Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

KALKULUS III Teorema Integral

Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

1

Kalkulus III - Puji Andayani (2015)

INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika 𝑓 didefinisikan pada kurva 𝐶 diberikan secara parametrik dengan 𝒓 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝐢 + 𝑦 𝑡 𝐣 + 𝑧 𝑡 𝐤, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, maka integral garis dari 𝑓 atas 𝐶 adalah 𝑛

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = lim

𝑛→∞

𝐶

terpenuhi jika limitnya ada.

2


𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 ) ∆𝑠𝑘 𝑘=1

INTEGRAL GARIS How to evaluate a Line Integral? Untuk mengintegralkan fungsi f(x,y,z) atas kurva C : 1. Temukan parametrisasi smooth dari C, 𝒓 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝐢 + 𝑦 𝑡 𝐣 + 𝑧 𝑡 𝐤. 2. Taksir integral nya yaitu 𝑏

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = 𝐶

𝑓(𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡)) 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡. 𝑎

dimana, 𝑑𝑠 𝑣 = = 𝑑𝑡 3


𝑑𝑥 𝑑𝑡

2

𝑑𝑦 + 𝑑𝑡

2

𝑑𝑧 + 𝑑𝑡

2

Contoh : Integralkan 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 − 3𝑦 2 + 𝑧 atas kurva C dengan titik asal (1,1,1).

Solusi : Pilih parameterisasi paling sederhana, yaitu 𝒓 𝑡 = 𝑡𝐢 + 𝑡𝐣 + 𝑡𝐤,

0 ≤ 𝑡 ≤ 1.

Komponen tersebut memiliki turunan pertama yang kontinu dan 𝑣(𝑡) = 𝐢 + 𝐣 + 𝐤 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 tidak pernah bernilai nol, maka parameterisasinya smooth.

4


Contoh : Integral dari 𝑓 atas 𝐶 adalah 1

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑟 = 𝐶

1

(𝑡 − 3𝑡 2 + 𝑡)( 3) 𝑑𝑡

𝑓(𝑡, 𝑡, 𝑡)( 3) 𝑑𝑡 = 0

0

1

= 3 (2𝑡 − 3𝑡 2 ) 𝑑𝑡 0

= 3 𝑡2 − 𝑡3

5


1 0

=0

INTEGRAL GARIS Integral Garis pada MedanVektor Definisi : Misalkan 𝑭 adalah medan vektor (vector field) dengan komponen kontinu yang didefinisikan sepanjang kurva smooth 𝐶 yang diparameterisasi oleh 𝒓 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. Maka integral garis 𝑭 sepanjang 𝐶 adalah 𝑭(𝒓) ∙ 𝑑𝒔 = 𝐶

6


𝐶

𝑑𝒓 𝑭∙ 𝑑𝑠 = 𝑑𝑠

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 . 𝐶

INTEGRAL GARIS Menaksirkan Integral Garis dari 𝑭 = 𝑀𝐢 + 𝑁𝐣 + 𝑃𝐤 sepanjang 𝐶: 𝒓(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝐢 + 𝑦(𝑡)𝐣 + 𝑧(𝑡)𝐤 1. Ekspresikan vector field 𝐹 dalam bentuk kurva

parameterisasi 𝐶 sebagai 𝑭(𝒓(𝑡)) dengan mensubstitusikan komponen x = 𝑥 𝑡 , y = 𝑦 𝑡 , z = 𝑧 𝑡 dari 𝒓 dalam komponen skalar 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) dari 𝑭. 2. Temukan turunan (kecepatan) vektor 𝑑𝒓 𝑑𝑡 . 3. Taksir integral garis yang bergantung pada parameter 𝑡, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, untuk mendapatkan 𝑏

𝑭(𝒓) ∙ 𝑑𝒓 = 𝐶 7


𝑭 𝒓 𝑡 𝑎

∙ 𝒓′ 𝑡 𝑑𝑡

Contoh : 2𝐤 𝑭(𝒓) ∙ 𝑑𝒓 dimana 𝑭 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧𝐢 + 𝑥𝑦𝐣 − 𝑦 𝐶 sepanjang kurva C yang diberikan oleh 𝒓 𝑡 = 𝑡 2 𝐢 + 𝑡𝐣 + 𝑡𝐤, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.

Taksirkan

Solusi : Diketahui 𝐅 𝒓 𝑡

= 𝑡𝐢 + 𝑡 3 𝐣 − 𝑡 2 𝐤

dan 𝑑𝒓 1 = 2𝑡𝐢 + 𝐣 + 𝐤. 𝑑𝑡 2 𝑡 8


Contoh : Sehingga, 1

𝑭(𝒓) ∙ 𝑑𝒓 = 𝐶

=

2𝑡 0

9


∙ 𝒓′ 𝑡 𝑑𝑡

0

1

=

𝑭 𝒓 𝑡

3 2

3

2

+

𝑡3

1 3 − 𝑡 2 𝑑𝑡 2

2 5 1 4 𝑡 2 + 𝑡 5 4

1 0

17 = . 20

INTEGRAL GARIS Integral garis pada bidang Hitung nilai integral garis dari (1) saat 𝑭 𝒓 = −𝑦, −𝑥𝑦 = −𝑦𝐢 − 𝑥𝑦𝐣 dan C adalah lengkungan yang digambarkan sebagai berikut

10


INTEGRAL GARIS Integral garis pada bidang Solusi : 𝐶 dapat kita nyatakan sebagai 𝑟 𝑡 = cos 𝑡, sin 𝑡 = cos 𝑡 𝒊 + sin 𝑡 𝒋,

dimana 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 2. Maka 𝑥 𝑡 = cos 𝑡, 𝑦 𝑡 = sin 𝑡, dan 𝑭 𝒓(𝑡) = −𝑦 𝑡 𝐢 − 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 𝐣 = − sin 𝑡 𝐢 − cos 𝑡 sin 𝑡 𝒋. Dengan diferensial diperoleh 𝑟′ 𝑡 = −𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝒊 + cos 𝑡 𝒋,

11


INTEGRAL GARIS Integral garis pada bidang

Sehingga, 𝜋 2

𝑭(𝒓) ∙ 𝑑𝒓 = 𝐶

𝜋 2

− sin 𝑡 , cos 𝑡 sin 𝑡 ∙ [−𝑠𝑖𝑛 𝑡, cos 𝑡] 0

sin2 𝑡 − cos 2 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡

= 0 𝜋 2

= 0

1 1 − cos 2𝑡 𝑑𝑡 − 2

≈ 0.4521 12


0

𝑢2 1

Misal : cos 𝑡 = 𝑢 𝜋 1 −𝑑𝑢 = − 0 − 4 3

Ingat! Aturan Trigonometri

13


INTEGRAL GARIS Integral garis pada ruang Perhitungan integral garis pada ruang pada dasarnya sama dengan integral garis pada bidang. Hitung nilai integral garis dari (1) saat 𝑭 𝒓 = 𝑧, 𝑥, 𝑦 = 𝑧𝐢 + 𝑥𝐣 + 𝑦𝐤 dan C adalah spiral yang digambarkan sebagai berikut 𝑟 𝑡 = cos 𝑡, sin 𝑡 , 3𝑡 = cos 𝑡 𝒊 + sin 𝑡 𝒋 + 3𝑡 𝐤 dimana 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. 14


INTEGRAL GARIS Integral garis pada ruang Solusi : Dari persamaan (2) diperoleh 𝑥 𝑡 = cos 𝑡 , 𝑦 𝑡 = sin 𝑡 , 𝑧 𝑡 = 3𝑡 Maka 𝑭 𝒓 𝑡 ∙𝒓 𝑡 = (3𝑡𝐢 + cos 𝑡 𝐣 + sin 𝑡 𝐤) ∙ (− sin 𝑡 𝐢 + cos 𝑡 𝒋 + 3𝒌) Dengan perkalian product didapatkan 𝑭 𝒓 𝑡 ∙ 𝒓 𝑡 = −3𝑡 sin 𝑡 + cos2 𝑡 + 3 sin 𝑡

15


INTEGRAL GARIS Integral garis pada ruang Maka diperoleh, 2𝜋

(−3𝑡 sin 𝑡 + cos 2 𝑡 + 3 sin 𝑡)𝑑𝑡

𝐹(𝑟) ∙ 𝑑𝑟 = 𝐶

0

= 6𝜋 + 𝜋 + 0 = 7𝜋 ≈ 21,99

16


SIFAT-SIFAT INTEGRAL GARIS Sifat integral garis sesuai dengan sifat integral tentu dalam Kalkulus, yaitu : 1. 2. 3.

17

𝐶

𝑘𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝑘

𝐶

(𝑭 + 𝑮) ∙ 𝑑𝒓 =

𝐶

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 =

𝐶1


𝐶

(k konstanta)

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 𝐶

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 +

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 +

𝐶2

𝐶

𝑭 ∙ 𝑑𝒓

𝑮 ∙ 𝑑𝒓

PATH INDEPENDENCE TEOREMA 1 Path Independence Suatu integral garis dengan fungsi kontinu 𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 pada domain 𝐷 dalam ruang dimensi 3 adalah garis edar bebas (path independence) di 𝐷 jika dan hanya jika 𝐅 = 𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 adalah gradien dari beberapa fungsi 𝑓 di 𝐷, 𝜕𝑓

𝜕𝑓

𝜕𝑓

𝑭 = grad 𝑓, sehingga 𝐹1 = 𝜕𝑥 , 𝐹2 = 𝜕𝑦 , 𝐹3 = 𝜕𝑧

18


Contoh : Tunjukkan bahwa integral 𝐶

𝐹 ∙ 𝑑𝑟 =

𝐶

(2𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 + 4𝑧 𝑑𝑧)

adalah path independent pada setiap domain di ruang dan hitung nilai integrasi dari 𝐴: 0,0,0 ke 𝐵: 2,2,2 . Solusi : 𝐹 = 2𝑥, 2𝑦, 4𝑧 = grad 𝑓, dimana 𝑓 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑧 2 , karena 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 = 2𝑥 = 𝐹 , = 2𝑦 = 𝐹 , 1 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 = 4𝑧 = 𝐹3 . 𝜕𝑥

Maka berdasarkan Teorema, integralnya adalah path independent. Nilai integrasi 𝑓 𝐵 − 𝑓 𝐴 = 𝑓 2,2,2 − 𝑓 0,0,0 = 4 + 4 + 8 = 16 19


INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Bidang Konservatif TEOREMA 1- Teorema Dasar Integral Garis Misalkan C kurva smooth yang menggabungkan titik A ke titik B pada bidang atau ruang dan diparameterisasi oleh 𝒓(𝑡). Misalkan 𝑓 fungsi diferensiabel dengan vektor gradien kontinu 𝐹 = 𝛻𝑓 pada domain 𝐷 yang mengandung 𝐶. Maka 𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝑓 𝐵 − 𝑓 𝐴 . 𝐶

20


Contoh : Suppose the force field 𝐹 = 𝛻𝑓 is the gradient of the function 1

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = − 𝑥 2 +𝑦2 +𝑧 2 . Find the work done by F in moving an object along a smooth curve C joining (1,0,0) to (0,0,2) that does not pass through the origin.

Solusi : Dengan Teorema 1 diperoleh

𝐶 21

1 3 𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝑓 0,0,2 − 𝑓 1,0,0 = − − −1 = 4 4


Note : Kecepatan gravitasi yang disebabkan oleh planet, dan kecepatan listrik yang berhubungan dengan partikel yang bermuatan, keduanya dapat dimodelkan dengan bidang 𝐹 yang diberikan pada contoh 1 hingga konstanta yang bergantung pada unit pengukuran.

22


INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Bidang Konservatif TEOREMA 2- Bidang Konservatif adalah Bidang Gradien Misalkan 𝑭 = 𝑀𝐢 + 𝑁𝐣 + 𝑃𝐤 adalah bidang vektor yang komponennya kontinu diseluruh daerah terhubung sederhana 𝐷 pada ruang. Maka 𝐹 konservatif jika dan hanya jia 𝐹 bidang gradien 𝛻𝑓 untuk fungsi diferensiabel 𝑓 .

23


Contoh : Find the work done by the concervative field 𝐹 = 𝑦𝑧𝑖 + 𝑥𝑧𝑗 + 𝑥𝑦𝑘 = 𝛻𝑓, dimana 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧, Along any smooth curve C joining the point 𝐴(−1,3,9) to 𝐵 1,6, −4 .

Solusi : Dengan 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧, kita punya 𝐵

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝐶

𝛻𝑓 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑓 𝐵 − 𝑓 𝐴 𝐴

= 𝑥𝑦𝑧

1,6,−4

− 𝑥𝑦𝑧

= −24 + 27 = −3 24


−1,3,9

= 1 6 −4 − −1 3 9

INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Bidang Konservatif TEOREMA 3 – Sifat perputaran bidang konservatif Pernyataan dibawah ini adalah ekuivalen.

𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 0 disekitar putaran (yang merupakan kurva tertutup 𝐶) di 𝐷. 2. Bidang 𝐹 konservatif di 𝐷 1.

25

𝐶


INTEGRAL GARIS Menghitung potensial untuk Bidang Konservatif Misalkan 𝐹 = 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 + 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤 adalah bidang pada daerah tertutup dan daerah tertutup sederhana yang komponen fungsinya memiliki turunan parsial yang kontinu. Maka F konservatif, jika dan hanya jika 𝜕𝑃 𝜕𝑦

26

=

𝜕𝑁 , 𝜕𝑧


𝜕𝑀 𝜕𝑧

=

𝜕𝑃 𝜕𝑥

dan

𝜕𝑁 𝜕𝑋

=

𝜕𝑀 𝜕𝑦

Contoh : Tunjukkan bahwa

𝐹 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 𝐢 + 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 cos 𝑦 𝐣 + xy + z 𝐤

atas domain bilangan asli dan hitung funsi potensialnya. Solusi : Dengan mengaplikasikan pernyataan pada slide sebelumnya

𝑀 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧, 𝑁 = 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 cos 𝑦 , 𝑃 = 𝑥𝑦 + 𝑧

Hitung, 𝜕𝑃 𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑃 𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝑥 =𝑥= , =𝑦= , = −𝑒 sin 𝑦 + 𝑧 = 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 27


Turunan parsialnya kontinu, maka persamaan tersebut menyatakan bahwa 𝐹 konservatif, maka terdapat fungsi 𝑓 dengan 𝛻𝑓 = F. Kita dapat menemukan 𝑓 dengan mengintegrasikan persamaan berikut : 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑥 𝑥 = 𝑒 cos 𝑦 + 𝑦𝑧, = 𝑥𝑧 − 𝑒 cos 𝑦 , = 𝑥𝑦 + 𝑧. (3) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Integralkan persamaan pertama terhadap 𝑥, anggap 𝑦 dan 𝑧 tetap, diperoleh 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑔 𝑦, 𝑧 .

28


Konstanta integrasi dituliskan fungsi terhadap 𝑦 dan 𝑧 karena nilai tersebut dapat bergantung pada 𝑦 dan 𝑧, bukan pada 𝑥. Lalu 𝜕𝑓 𝜕𝑦

𝜕𝑓 hitung 𝜕𝑦

pada persamaan (3). Diperoleh, 𝜕𝑔 𝑥 −𝑒 sin 𝑦 + 𝑥𝑧 + = 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 sin 𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝑔 Maka, 𝜕𝑦

29

dari persamaan, lalu samakan dengan ekspresi

= 0. Sehingga, 𝑔 adalah fungsi dari 𝑧 sendiri, dan 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + ℎ 𝑧 .


Sekarang 𝜕𝑓 𝜕𝑧

𝜕𝑓 hitung 𝜕𝑧

dari persamaan dan samakan dengan bentuk

dalam persamaan (3). Diperoleh, 𝑥𝑦

𝑑ℎ + 𝑑𝑧

= 𝑥𝑦 + 𝑧, atau

𝑑ℎ 𝑑𝑧

= 𝑧.

Maka, 𝑧2 ℎ 𝑧 = + 𝐶. 2 Jadi, 2 𝑧 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + + 𝐶. 2 Kita punya jumlah tak terbatas fungsi potensial F, salah satunya adalah C. 30


Soal Tunjukkan apakah fungsi berikut konservatif ! 1. 2. 3. 4. 5.

𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹

= 𝑦𝑧𝐢 + 𝑥𝑧𝐣 + 𝑥𝑦𝐤 = 𝑦𝐢 + 𝑥 + 𝑧 𝐣 − 𝑦𝐤 = −𝑦𝐢 + 𝑥𝐣 = (𝑥 + 𝑦)𝐢 + 𝑧𝐣 + (𝑦 + 𝑥)𝐤 = 𝑦 sin 𝑧 𝐢 + 𝑥 sin 𝑧 𝐣 + 𝑥𝑦 cos 𝑧 𝐤

Cari fungsi potensialnya ! 6. 7.

8. 31

𝐹 = 2𝑥𝐢 + 3𝑦𝐣 + 4𝑧𝐤 𝐹 = 𝑦 + 𝑧 𝐢 + (𝑥 + 𝑧)𝐣 + (𝑥 + 𝑦)𝐤 𝐹 = 𝑦 sin 𝑧 𝐢 + (𝑥 sin z) 𝒋 + (𝑥𝑦 cos 𝑧)𝐤


THANK YOU

謝謝

32


Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Recommend Documents