Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

KALKULUS III Teorema Integral (Green’s Theorem) Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

1

Kalkulus III - Puji Andayani (2015)

Kurva Tertutup Sederhana, Daerah Terhubung sederhana dan Berganda  Suatu kurva tertutup sederhana adalah suatu kurva yang

tidak saling beririsan.  Secara matematis, suatu kurva di bidang 𝑥𝑦 didefinisikan dengan persamaan parameter 𝑥 = 𝜙 𝑡 , 𝑦 = 𝜑 𝑡 dimana 𝜙 dan 𝜑 adalah fungsi bernilai tunggal dan kontinu pada suatu selang 𝑡1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡2 .  Jika 𝜙 𝑢 = 𝜙 𝑣 dan 𝜑 𝑢 = 𝜑 𝑣 maka kurva itu

dikatakan tertutup. 2


Kurva Tertutup Sederhana, Daerah Terhubung sederhana dan Berganda  Jika 𝜙 𝑡1 = 𝜙 𝑡2 dan 𝜑 𝑡1 = 𝜑 𝑡2 , hanya bila 𝑢 = 𝑣

(kecuali dalam kasus 𝑢 = 𝑡1 dan 𝑣 = 𝑡2 , maka kurva tersebut dikatakan kurva tertutup sederhana.  Jika suatu daerah pada bidang mempunyai sifat bahwa

suatu kurva tertutup yang terletak padanya dapat menyusut secara kontinu tanpa meninggalkan daerah tersebut, maka daerah itu dinamakan terhubung sederhana, dalam hal lain dinamakan terhubung berganda. 3


Teorema Green pada Bidang Divergensi bidang vektor Definisi : Divergensi bidang vektor (vector field) 𝑭 = 𝑀𝐢 + 𝑁𝐣 pada titik (𝑥, 𝑦) adalah 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝑑𝑖𝑣 𝑭 = + 𝜕𝑥 𝜕𝑦

4


Contoh :

5


Contoh :

6


Contoh :

7


Contoh:

8


k-Komponen Curl Definisi : Kepadatan sirkulasi medan vektor di titik (x, y) adalah ekspresi skalar 𝜕𝑁 𝜕𝑀 − . 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Pernyataan tersebut disebut juga 𝒌 − 𝒌𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏 𝒄𝒖𝒓𝒍, dilambangkan dengan 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭 ∙ 𝐤.

9


Contoh : Find the circulation density, and interpret what it means, for each vector field in Example 1. a) Uniform expansion : 𝜕 𝜕 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭 ∙ 𝐤 = 𝑐𝑦 − 𝑐𝑥 = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 b)

Gas ini tidak beredar pada skala yang sangat kecil. Rotation: 𝜕 𝜕 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭 ∙ 𝐤 = 𝑐𝑥 − −𝑐𝑦 = 2𝑐. 𝜕𝑥 𝜕𝑦

10

Kepadatan sirkulasi konstan menunjukkan rotasi di setiap titik. Jika 𝑐 > 0, rotasi berlawanan jarum jam; jika 𝑐 < 0 rotasi searah jarum jam.


Contoh : c)

Uniform expansion : 𝜕 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭 ∙ 𝐤 = − 𝑦 = −1. 𝜕𝑦

Kepadatan sirkulasi konstan dan negatif, sehingga roda dayung mengambang di air mengalami aliran geser berputar searah jarum jam. Tingkat rotasi sama pada setiap titik. Efek rata-rata aliran fluida yang mengalir untuk mendorong cairan searah jarum jam di sekitar lingkaran kecil ditunjukkan pada Gambar berikut.

11


12


Contoh : d)

Whirlpool: 𝜕 𝑥 𝜕 −𝑦 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭 ∙ 𝐤 = − 2 2 𝜕𝑥 𝑥 + 𝑦 𝜕𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦2 − 𝑥2 𝑦2 − 𝑥2 = 2 − 2 = 0. 2 2 2 2 𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦

Kepadatan sirkulasi 0 di setiap titik, menjauhi titik asal (di mana bidang vektor tidak terdefinisi dan efek pusaran air berlangsung), dan gas tidak beredar di setiap titik dimana bidang vektor didefinisikan.

13


Teorema Green Definisi : (Daerah Elementer) Daerah 𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 : 𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝜙1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜙2 (𝑥) dengan 𝜙1 𝑥 : [𝐴, 𝐵] → ℝ dan 𝜙2 𝑥 : [𝐴, 𝐵] → ℝ adalah fungsifungsi kontinu pada interval [𝐴, 𝐵] dan 𝜙1 (𝑥) ≤ 𝜙2 (𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ [𝐴, 𝐵] disebut daerah elementer 1. 𝜙2 (𝑥)

𝑅

𝜙1 (𝑥) 14

𝐴

𝐵

Teorema Green Definisi : (Daerah Elementer) Daerah 𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 : 𝑦 ∈ 𝐴1 , 𝐵1 dan 𝜑1 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝜑2 (𝑦) dengan 𝜑1 𝑥 : 𝐴1 , 𝐵1 → ℝ dan 𝜑2 𝑥 : 𝐴1 , 𝐵1 → ℝ adalah fungsi-fungsi kontinu pada interval 𝐴1 , 𝐵1 dan 𝜑1 (𝑥) ≤ 𝜑2 (𝑥) untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐴1 , 𝐵1 disebut daerah elementer 2. 𝐵1

𝜑1 (𝑦) 𝐴1 15


𝑅 𝜑2 (𝑦)

Teorema Green Teorema : (Teorema Green - Bentuk Normal) Misalkan 𝐶 adalah kurva terhubung sederhana (daerah elementer tipe 3) 𝑅 ⊆ ℝ2 dengan kurva batas C dengan orientasi positif. Misalkan pula 𝑭 = 𝑀𝐢 + 𝑁𝐣 medan vektor dengan 𝑀 dan 𝑁 kontinu pada turunan pertama. Maka fluks ke luar dari 𝐹 di 𝐶 sama dengan integral lipat dua dari 𝑑𝑖𝑣 𝐹 atas daerah 𝑅 yang tertutup oleh C.

𝑭 ∙ 𝒏 𝑑𝑠 = 𝐶 16

𝑀 𝑑𝑦 − 𝑁 𝑑𝑥 = 𝐶


𝑅

𝜕𝑀 𝜕𝑁 + 𝑑𝑥 𝑑𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Teorema Green Teorema : (Teorema Green – Bentuk tangensial) Misalkan 𝐶 adalah kurva terhubung sederhana (daerah elementer tipe 3) 𝑅 ⊆ ℝ2 dengan kurva batas C dengan orientasi positif. Misalkan pula 𝑭 = 𝑀𝐢 + 𝑁𝐣 medan vektor dengan 𝑀: 𝑅 → ℝ dan 𝑁: 𝑅 → ℝ kontinu pada turunan pertama pada daerah terbuka yang mengandung 𝑅. Maka peredaran 𝐹 yang berlawanan jarum jam disekitar C sama dengan integral lipat dua dari 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭 ∙ 𝒌 atas 𝑅.

𝑭 ∙ 𝑻 𝑑𝑠 = 𝐶

17

𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦 = 𝐶


𝑅

𝜕𝑁 𝜕𝑀 − 𝑑𝑥 𝑑𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Contoh :

18


Contoh :

19


Contoh :

20


Contoh :

21


Penggunaan Teorema Green untuk menyelesaikan Integral Garis Contoh 4 : Evaluate the line integral 𝑥𝑦 𝑑𝑦 + 𝑦 2 𝑑𝑥 , 𝐶

Where C is the square cut from the first quadrant by the lines 𝑥 = 1 and 𝑦 = 1.

22


Penggunaan Teorema Green untuk menyelesaikan Integral Garis Solusi : We can use either form of Green’s Theorem to change the line integral into a double integral over the square. 1. With the normal form. Taking M = 𝑥𝑦, N = 𝑦 2 , and C and R as the square’s boundary and interior gives 1 1

𝑥𝑦 𝑑𝑦 + 𝑦 2 𝑑𝑥 = 𝐶

𝑅

1

=

3𝑥𝑦 0

23

(𝑦 + 2𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =


𝑥=1 𝑥=0 𝑑𝑦

1

=

3𝑦 𝑑𝑦 = 0

0 0 1 3 2 0 𝑦

2

3𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 3 = . 2

Penggunaan Teorema Green untuk menyelesaikan Integral Garis Solusi : 2.

With the tangential form. Taking M = −𝑦 2 , N = 𝑥𝑦, gives the same result : −𝑦 2

𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =

𝐶

24


𝑅

3 (𝑦 − (−2𝑦)) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = . 2

Penggunaan Teorema Green untuk menyelesaikan Integral Garis Contoh 5 : Calculate the outward flux (aliran ke luar) of the vector field 𝑭 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝐢 + 𝑦 2 𝐣 across the square bounded by the lines 𝑥 = ±1 and 𝑦 = ±1. Solution : Calculating the flux with a line integral would take four integrations, one for each side of the square. With Green’s Theorem, we can change the line integral to one double integral. With M = 𝑥, N = 𝑦 2 , C the square, and Rthe square’s interior, we have 25


Contoh 5 :

26


Latihan Soal : Gunakan Teorema Green (𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑦) , 𝐶 ∶ the triangle bounded by

1. 𝐶

2.

𝑥 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑦 = 0 (3𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦) , 𝐶 ∶ the boundary of 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋,

𝐶

3.

(6𝑦 + 𝑥) 𝑑𝑥 + (𝑦 + 2𝑥) 𝑑𝑦 , 𝐶

27

0 ≤ 𝑦 ≤ sin 𝑥

𝐶 ∶ the circle (𝑥 − 2)2 +(𝑦 − 3)2 = 4


Latihan Soal : Gunakan Teorema Green untuk menemukan peredaran yang berlawanan jarum jam (counterclockwise circulation) dan aliran ke luar (outward flux) F dan kurva C. 4. 𝑭 = 𝑥 − 𝑦 𝐢 + 𝑦 − 𝑥 𝐣, C: dibatasi oleh persegi 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = 1 5.

𝑭 = 𝑥 2 + 4𝑦 𝐢 + 𝑥 + 𝑦 2 𝐣, C: dibatasi oleh persegi 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = 1

28


Latihan Soal :

29


Thank you Good Luck for Midterm

30


Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Recommend Documents