DINAMIKA SISTEM EKONOMI DENGAN MODEL OVERLAPPING-GENERATION
FEBRIANTI RAMAHAYU
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010
ABSTRACT FEBRIANTI RAMAHAYU. Dynamics of Economic System with OverlappingGeneration Model. Supervised by Endar Hasafah Nugrahani and Retno Budiarti. This manuscript describes a modern macroeconomic model in discrete time so-called Overlapping-Generation Model. In general, modeling framework of Overlapping-Generation is assumed that each person lives for only two periods, i.e. he/she works in the first period and retires in the second. By maximizing lifetime utility, which depends on consumption in the two periods of life, there will exist a steady state condition. Steady state happens when capital per capita at the first and the second periods are equal. In the end, economics converges to a steady state. Some numerical simulations show the effects of some parameters to the steady state condition.
ABSTRAK FEBRIANTI RAMAHAYU. Dinamika Sistem Ekonomi dengan Model Overlapping-Generation. Dibimbing oleh Endar Hasafah Nugrahani dan Retno Budiarti. Pada karya ilmiah ini dibahas model makroekonomi modern pada waktu diskret yang disebut Model Overlapping-Generation (OLG). Secara umum, dalam kerangka kerja pemodelan OLG diasumsikan bahwa setiap orang hanya hidup selama dua periode. Orang bekerja pada periode pertama dan pensiun pada periode kedua. Jika memaksimalkan utilitas waktu hidup dengan kendala pada konsumsi dalam dua periode kehidupan tersebut, maka akan terdapat kondisi tunak. Kondisi tunak terjadi saat pendapatan per kapita pada periode pertama sama dengan pendapatan per kapita pada periode kedua. Beberapa simulasi numerik menunjukkan pengaruh parameter-parameter pada model terhadap kondisi tunak.
DINAMIKA SISTEM EKONOMI DENGAN MODEL OVERLAPPING-GENERATION
FEBRIANTI RAMAHAYU G54052807
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2010
Judul : Dinamika Sistem Ekonomi dengan Model Overlapping-Generation Nama : Febrianti Ramahayu NRP : G54052807
Menyetujui,
Pembimbing I
Dr.Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S. NIP. 19631228 198903 2 001
Pembimbing II
Ir. Retno Budiarti, M.S. NIP. 19610729 198903 2 001
Mengetahui: Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara, pasangan Bapak Hiras Lumbantoruan dan Ibu Roma Silaen. Penulis dilahirkan di Jakarta, pada tanggal 12 Februari 1987. Pendidikan penulis diawali dengan lulus tahun 1993 di Taman Kanak-kanak Mardi Yuana, Depok, Jawa Barat, lalu lulus di SD Mardi Yuana, Depok, tahun 1999. Pada tahun 2002 penulis lulus dari Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 3 Depok dan melanjutkan ke Sekolah Menengah Umum (SMU) Negeri 2 Depok yang lulus pada tahun 2005. Penulis resmi diterima menjadi mahasiswa di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur USMI pada tahun 2005, lalu mengikuti kegiatan perkuliahan pada tingkat TPB yang kemudian mengantarkan penulis masuk ke Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Pengetahuan Alam. Selama menjadi mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB), penulis juga aktif dalam organisasi kemahasiswaan. Pada tahun 2005, penulis bergabung sebagai anggota UKM Agria Swara serta dalam organisasi rohani Persatuan Mahasiswa Kristen (PMK) IPB. Penulis dipercaya menjabat sebagai Koordinator Pelantikan Anggota Baru (UKM Agria Swara) yang diselenggarakan di Auditorium Toyib Hadiwidjaya, IPB, serta menjadi Koordinator Divisi Paduan Suara (PMK Komisi Kesenian). Kemudian pada regenerasi kepengurusan UKM Agria Swara pada bulan September tahun 2006, penulis terpilih sebagai Presidium Agria Swara masa jabatan 2006/2007. Kegiatan UKM Agria Swara selain mengadakan Konser Tahunan yaitu diantaranya turut berpartisipasi pada Musicademia bersama “Twilite Orchestra” pimpinan Adi MS, berpartisipasi dalam Acara Kepresidenan di Jakarta, serta mengikuti festival paduan suara dalam maupun luar negeri. Pada bulan April 2007, penulis bersama 36 orang lainnya yang tergabung dalam tim festival “Agria Swara Goes To Hungary” diberangkatkan oleh Prof. Dr. Ir. Ahmad Ansori Mattjik, Rektor Institut Pertanian Bogor untuk mengikuti festival “International Mission of Art and Culture II” Hungary, March 30th- April 12th 2007. Dalam kesempatan tersebut kami berhasil memperoleh Golden Diplome untuk kategori folklore dan mix choir.
Bogor, April 2010
Febrianti Ramahayu
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat tak berkesudahan yang diberikan kepada penulis sehingga karya ilmiah dengan judul Dinamika Sistem Ekonomi dengan Model Overlapping-Generation ini dapat penulis selesaikan. Penulis sadar bahwa di belakang pengerjaan karya ilmiah ini banyak dukungan dan bantuan banyak pihak yang luar biasa, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Ibu Endar Hasafah Nugrahani dan Ibu Retno Budiarti selaku pembimbing I dan pembimbing II atas segala kesabaran, ilmu dan nasehat selama bimbingan menjadi semangat bagi penulis, serta Bapak Toni Bakhtiar selaku penguji terima kasih atas saran dan masukannya. 2. Semua dosen Departemen Matematika yang telah memberi ilmu kepada penulis. 3. Orangtuaku tersayang mama dan papa yang telah memberi kasih sayang, doa, pendidikan, dukungan, kesabaran, dan kerja kerasnya untuk menyekolahkan putrimu ini. Tak lupa adik-adikku Herman Agustinus dan Hendrico Septiadi terima kasih atas doa dan dukungannya. 4. Keluarga besarku: oppung doli-oppung boru, inanguda-bapauda, tulang-inangtulang, adik-adik sepupuku terima kasih atas doa dan dukungannya. 5. Staf tata usaha dan perpustakaan Departemen Matematika, ibu Susi, ibu Ade, bapak Yono, mas Bono, mas Deni, mas Heri terima kasih atas masukan, motivasi, dan bantuannya dalam memperlancar administrasi bagi penulis. 6. Diah, Margi, dan Andrew atas kesediaannya sebagai pembahas pada saat seminar. 7. Agnes, Ricken, Nyoman, Ocoy, dan Lisda terima kasih atas persahabatan, doa, masukan, dukungan kalian selama ini; 8. Johanes Wiharto, Josiah Axl, bang Ico, bang Wastin, ka Oci, Kezia, ka Roma, Rohani, terima kasih atas kebersamaan kita selama ini yang selalu memberikan semangat hidup dalam suka maupun duka. 9. Teman-teman Agria Swara,khususnya kepada Bhaskoro, Melvin, Stefanus, Afwan, Hafiz, Windri, Pipiet43, Memes, Max, Merry, Pipiet44, Mei, Adit, serta semua anakanak alto terima kasih atas persahabatan, doa, dan dukungan kalian selama ini. 10. Teman- teman matematika 42: Eyyi, Erlin, Ayip, Zil, Danu, Yusep, Mega, Titi, Nola, Hesti, Dendi, Sapto, Dian, Tia, Vita, Riu, Luri, Octa, Hikmah, Hapsari, Jane, Eko, Jawa, Mira, Rima, Siti, Ardi, Ilyas, Vera, Nofita H, Achi, Niken, Oby, Suwarno, Yudi, Lina, Dewi, Pipit, Lela, Ety, Yuni, Nofi, Awi, Putranto, Gita, Rita, Bima, Fachri. Begitu juga kepada kakak kelas dan adik kelas, Mate41 dan Mate43 serta Mate44 yang telah memotivasi. Tentu begitu banyak nama yang terus menerus memberikan dukungan, pengaruh dan pelajaran yang amat berharga. Namun, tentunya tidak dapat penulis sebutkan pada kesempatan kali ini tanpa mengurangi hormat penulis kepada mereka.
Bogor, April 2010
Febrianti Ramahayu
DAFTAR ISI Halaman
I
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................................
ix
DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................................
ix
PENDAHULUAN 1.1 Latar Balakang .............................................................................................................. 1 1.2 Tujuan ........................................................................................................................... 1
II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Beda ............................................................................................................ 2 2.2 Sistem Dinamik ............................................................................................................. 3 2.3 Sistem Ekonomi............................................................................................................. 3 III PEMBAHASAN 3.1 Siklus Kehidupan Individu dan Demografinya ........................................................... 3.2 Titik Tetap ................................................................................................................... 3.3 Dinamika Kondisi Tunak ............................................................................................
6 7 9
IV KESIMPULAN .................................................................................................................. 12 DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................................. 13 LAMPIRAN ............................................................................................................................. 14
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Kurva Indifference ................................................................................................................
4
2 Kurva Indifference untuk menentukan kepuasan maksimum .................................................
4
3 Kurva Indifference untuk efek substitusi dan efek pendapatan. .............................................
5
4 Kurva Indifference untuk barang inferior ...............................................................................
5
5 Kurva Indifference untuk barang giffen ..................................................................................
5
6 Titik tetap pendapatan per kapita fungsi produksi dan fungsi utilitas Cobb-Douglas ............
8
7 Titik tetap pendapatan per kapita fungsi produksi Cobb-Douglas dan fungsi utilitas overlapping-generation ..........................................................................................................
9
8 Kondisi tunak saat ݇௧ ൌ ݇௧ାଵ .................................................................................................. 10 9 Pertumbuhan modal per kapita dengan model overlapping-generation ................................. 10 10 Pengaruh elastisitas produksi pada modal per kapita terhadap ݇ כ.......................................... 11 11 Pengaruh tingkat pertumbuhan populasi terhadap ݇ כ............................................................. 11 12 Pengaruh perkembangan teknologi terhadap ݇ כ..................................................................... 11
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Mendapatakan persamaan (3.1.6) ........................................................................................... 14 2 Mendapatakan persamaan (3.1.7) ........................................................................................... 15 3 Mendapatakan persamaan (3.2.4) ........................................................................................... 16 4 Mendapatkan kondisi marjinal dalam intensitas modal menggunakan fungsi produksi Cobb-Douglas dengan pengaruh teknologi ............................................................................ 16 5 Mendapatakan persamaan (3.2.2) ........................................................................................... 17 6 Mendapatakan solusi positif dari persamaan (3.2.2) .............................................................. 19 7 Solusi persamaan (3.2.3) ........................................................................................................ 19 8 Mendapatakan persamaan (3.2.6) ........................................................................................... 20 9 Mendapatakan persamaan (3.2.7) ........................................................................................... 20 10 Mendapatakan solusi positif dari persamaan (3.2.7) .............................................................. 20 11 Simulasi Gambar 7 dengan menggunakan software Maple 12 .............................................. 22 12 Simulasi Gambar 9 dengan menggunakan software Mathematica 7 ...................................... 23 13 Simulasi Gambar 10 dengan menggunakan software Mathematica 7 .................................... 23 14 Simulasi Gambar 11 dengan menggunakan software Mathematica 7 .................................... 24 15 Simulasi Gambar 12 dengan menggunakan software Mathematica 7 .................................... 24
1
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perkembangan kegiatan dalam perekonomian dapat ditunjukkan dengan bertambahnya barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat. Setiap negara di dunia berpacu memajukan ekonomi bangsanya. Pertumbuhan ekonomi suatu negara merupakan parameter bagi instrumen negara dalam memanfaatkan semua potensi dan kekayaan negara demi membangun ekonomi makro. Hal ini menjadi penting karena kondisi ekonomi menjadi faktor utama dalam menjaga stabilitas suatu negara. Pertumbuhan ekonomi pada akhir tahun tujuh puluhan telah banyak diteliti oleh para ekonom, tetapi belum ada kesepakatan tentang penyebab terjadinya pertumbuhan tersebut. Beberapa ekonom yang mengikuti aliran neoklasik menekankan pada penyediaan tenaga kerja, stok modal, dan perubahan teknologi dalam proses pertumbuhan ekonomi. Ekonom lainnya mengikuti aliran keynesian yang menekankan pada faktor permintaan. Pendekatan keynesian menitikberatkan ekspor regional sebagai penggerak pertumbuhan ekonomi. Saat ini banyak ekonom yang tertarik kembali untuk melakukan studi di bidang pertumbuhan ekonomi. Hal ini disebabkan oleh adanya teori baru yang memprediksi pentingnya memasukkan faktor eksternalitas berupa inovasi teknologi dan sumber daya manusia (SDM) sebagai faktor penggerak pertumbuhan ekonomi. Berdasarkan teori ini dapat memperlihatkan bahwa karakteristik awal setiap sistem perekonomian dapat menyebabkan perbedaan pertumbuhan pendapatan per kapita. Salah satu tokoh ekonomi terkenal yang menganut aliran neoklasik adalah Robert Solow. Analisis teori pertumbuhan ekonomi yang dilakukannya menghasilkan model pertumbuhan yang disebut dengan Solow growth model. Model pertumbuhan Solow menunjukkan interaksi tabungan, pertumbuhan populasi, dan kemajuan teknologi dalam mempengaruhi tingkat output perekonomian dan pertumbuhannya sepanjang waktu. Tingkat pertumbuhan ekonomi dapat dihitung melalui beberapa pendekatan, yaitu
pendekatan pendapatan, pendekatan modal, dan pendekatan pengeluaran. Sampai saat ini banyak para ekonom yang meneliti model ekonomi yang sesuai mendekati rutinitas kegiatan masyarakat sehingga dapat diperoleh model yang sesuai untuk memperlihatkan kestabilan suatu negara. Salah satu model ekonomi yang mendekati rutinitas kehidupan masyarakat adalah model overlappinggeneration (OLG). Model ini mampu menjadi model kunci secara makroekonomi modern yang mengaplikasikan siklus kehidupan manusia. Perekonomian setiap periode pastinya berbeda dengan perekonomian pada periode sebelum atau pun sesudahnya. Setiap negara berusaha meningkatkan perekonomian sehingga menuju ke suatu kondisi yang stabil. Dengan adanya pergantian populasi ini akan lebih mudah mengatur model waktu diskret. Karya ilmiah ini merumuskan model dinamika sistem ekonomi dengan waktu diskret dan menganalisis sistem ekonomi sesuai dengan teori pertumbuhan Solow. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Menganalisis dinamika sistem ekonomi diskret dengan memaksimalkan utilitas waktu hidup dengan kendala pada konsumsi dalam dua periode kehidupan, yang disebut dengan model overlappinggeneration. 2. Melakukan simulasi terhadap model.
2
II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini. Persamaan Diferensial Biasa Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau ordo lebih tinggi dari fungsi sebarang, atau peubah tak bebas terhadap peubah bebasnya. Suatu persamaan diferensial biasa orde satu dapat dinyatakan sebagai berikut , , dengan (
,
,…
0,
merupakan peubah tak bebas ) dan peubah bebas. (Farlow 1994)
2.1 Persamaan Beda Konsep persamaan beda (difference equation) digunakan dalam analisis sistem dinamik dengan variabel diskret untuk menunjukkan dinamika atau perubahan suatu variabel pada periode tertentu. Untuk fungsi , nilai berubah bila nilai berubah dari integer yang satu ke integer berikutnya, misal 1, 2, 3, dan seterusnya. Pola perubahan digambarkan dengan istilah ‘beda’ (difference). Misalkan ∆ menunjukkan besar perubahan pada dua periode berurutan, sehingga dapat ditulis ∆ , dengan adalah nilai pada periode ke- . Sedangkan menunjukkan nilai pada satu periode setelah periode ke- . Bentuk di atas dapat ditulis ∆ , ∆ , ∆ , … … … … … … … …. Misalkan 0 , maka kita dapat menyatakan sebagai fungsi dari ,…, . Hal yang sama berlaku juga sebaliknya, dalam hal ini jika persamaan berbentuk ∆ . (Chiang & Wainwright 2005)
Turunan Turunan digunakan untuk mengukur tingkat perubahan sesaat variabel takbebas jika terjadi perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas. Turunan fungsi pada bilangan dinyatakan dengan ′ adalah ′
,
lim
jika limit ini ada. Jika , maka mendekati 0 jika dan hanya jika . Sehingga dapat ditulis ′
lim
dan mendekati
. (Stewart 1998)
Prinsip Maksimum dan Minimum Fungsi Penerapan dari turunan kedua salah satunya adalah menguji nilai maksimum dan minimum (terkait kecekungan). Dalam kalkulus dikenal dengan sebutan Uji Turunan Kedua. Andaikan " kontinu di sekitar , a) Jika ′ 0 dan " 0, maka mempunya nilai minimum lokal pada . b) Jika ′ 0 dan " 0, maka mempunya nilai maksimum lokal pada . (Stewart 1998) Kemonotonan Fungsi Andaikan fungsi terdefinisi pada selang (terbuka, tertutup, atau bukan keduanya). Dikatakan bahwa i. adalah naik pada jika untuk setiap pasang bilangan dan dalam . ii. adalah turun pada jika untuk setiap pasang bilangan dan dalam . iii. monoton murni pada jika ia naik pada atau turun pada . (Purcell & Varberg 1999)
3
2.2 Sistem Dinamik Definisi 1 Sistem Dinamik Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem dinamik dengan waktu diskret dinyatakan sebagai berikut : , merupakan fungsi dari . dengan (Tu 1994) Definisi 2 Sistem Persamaan Beda Mandiri Misalkan diberikan suatu sistem persamaan beda orde pertama sebagai berikut: , 0 , dengan matriks . (Tu 1994) Definisi 3 Titik Tetap Diberikan SPD . 0. Titik disebut titik tetap jika Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. (Tu 1994)
2.3 Sistem Ekonomi Setiap sistem ekonomi pada intinya merupakan interaksi sekumpulan individu. Analisis dapat dimulai dengan meneliti perilaku individu. Individu mempunyai 2 peran: 1. individu sebagai konsumen, 2. individu penyedia tenaga kerja dalam proses produksi. Definisi 4 Pertumbuhan Ekonomi Pertumbuhan ekonomi (economic growth) adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksikan dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menunjukkan persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional riil pada tahun sebelumnya. (Sukirno 2004) Definisi 5 Kondisi Tunak (Steady State) Ekonomi yang berada pada kondisi tunak (steady state) adalah suatu keadaan yang modal per kapita pada periode sekarang sama
dengan modal per kapita pada periode sebelumnya. (Zhang 2006) Definisi 6 Model Pertumbuhan Solow Model pertumbuhan Solow (Solow growth model) menunjukkan bahwa dalam jangka panjang, tingkat tabungan perekonomian menunjukkan ukuran persediaan modal dan produksinya. Semakin tinggi tingkat tabungan, semakin tinggi persediaan modal dan semakin tinggi tingkat output. (Mankiw 2000) Definisi 7 Teori Pertumbuhan Neoklasik Teori pertumbuhan aliran neoklasik menjelaskan tentang penyebab terjadinya pertumbuhan ekonomi. Teori pertumbuhan ini menekankan pada penyediaan tenaga kerja dan stok modal sebagai penyebab utama pertumbuhan ekonomi. Fungsi produksinya dapat ditulis sebagai berikut: , , adalah dengan adalah pendapatan riil, stok modal pada saat , adalah tenaga kerja, dan adalah waktu. (Mankiw 2000) Bentuk spesifik dari hubungan teori pertumbuhan neoklasik dikenal sebagai fungsi produksi Cobb-Douglas yang menambahkan faktor perubahan teknologi sebagai penyebab pertumbuhan ekonomi. Definisi 8 Model Pertumbuhan Tanpa Perkembangan Teknologi Dalam model ini, fungsi produksi secara umum ditulis sebagai berikut: . Nilai dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenaga kerja. (Mankiw 2000) Definisi 9
Model Pertumbuhan dengan Perkembangan Teknologi Dalam model ini, fungsi produksi secara umum ditulis sebagai berikut: . Nilai dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenaga kerja dan adalah perkembangan teknologi. (Mankiw 2000)
4
Definisi 10 Fungsi Utilitas Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut: , ,…, dengan adalah kegunaan/utilitas total, dan , ,…, merupakan banyaknya produk yang dikonsumsi. Kegunaan total barang yang dikonsumsi seorang individu biasanya semakin meningkat pada saat dia mengonsumsi suatu produk. Sehingga pada tingkat tertentu, kegunaan marginalnya menjadi lebih kecil dibandingkan dengan sebelumnya. Hal ini terjadi sejalan dengan kejenuhan individu bersangkutan akan produk itu. (Pass et al. 1994) Definisi 11 Tingkat Bunga Nominal Tingkat bunga nominal adalah tingkat bunga pasti yang ditentukan bank terhadap nominal uang (dengan tidak memperhitungkan inflasi). Tingkat bunga nominal berkaitan dengan pertumbuhan uang berdasarkan suku bunga. Misalkan, tepat setahun lalu Anda mendepositokan Rp 1.000.000,- ke dalam deposito satu tahun yang menjamin suku bunga 10%. Anda akan segera memperoleh Rp 1.100.000,- sekarang. (Bodie et al 2005) Definisi 12 Tingkat Bunga Riil Tingkat bunga riil adalah tingkat bunga nominal pasti yang dikoreksi dengan cara mengurangi laju inflasi, untuk menyesuaikan perubahan dalam daya beli uang. Jadi, suku bunga riil berkaitan dengan pertumbuhan daya beli. Dalam contoh di atas, apakah imbal hasil sebesar Rp 100.000,- itu riil? Bergantung pada apa yang dapat dibeli uang sekarang, yang sangat dipengaruhi oleh tingkat inflasi dalam setahun terakhir. (Kunarjo 2003) Definisi 13 Teori Utilitas Ordinal Teori utilitas ordinal merupakan salah satu pendekatan teori perilaku konsumen yang mengukur kepuasan dalam konsumsi dengan berdasarkan urutan kepuasan. Penilaiannya menggunakan kurva indifference. (Nicholson 1991)
Definisi 14 Kurva Indifference Kurva indifference disebut juga kurva kepuasan sama diantara semua produksi yang dikonsumsi. Preferensi kepuasan konsumen meningkat secara konsisten yang ditandai dengan semakin banyaknya barang yang dikonsumsi. (Nicholson 1991) Ciri-ciri kurva indifference a. Garis turun dari kiri atas ke kanan bawah yang menunjukkan kombinasi antara barang dan . b. Mempunyai kemiringan negatif dan cembung ke arah origin. c. Garis tidak saling berpotongan.
Gambar 1 Kurva Indifference (
dengan sumbu jumlah barang
Definisi
)
dan masing-masing adalah dan . (Nicholson 1991)
Kepuasan Maksimum Konsumen Syarat kepuasan maksimum dapat tercapai bila utilitas marjinal barang dibanding dengan harganya sama dengan marginal utilitas barang dibandingkan dengan harganya.
Gambar
15
2
Kurva Indifference ( ) untuk menentukan kepuasan maksimum
dengan sumbu dan masing-masing adalah jumlah barang dan , kita dapat lihat pada Gambar 3 bahwa: dengan titik A dan B menunjukkan • kepuasan konsumen belum optimum. • dengan titik C menunjukkan konsumen mencapai titik optimum.
5
•
dengan titik D menunjukkan bahwa anggaran konsumen tidak mencukupi untuk memenuhi kebutuhan barang dan . (Nicholson 1991)
Definisi 16 Efek Substitusi dan Efek Pendapatan Efek substitusi terjadi jika kenaikan harga barang akan menyebabkan naiknya permintaan barang . Sedangkan, efek pendapatan terjadi jika naiknya harga barang mengakibatkan penurunan pendapatan konsumen. Kita dapat lihat pada gambar di bawah ini,
Gambar 4 Kurva Indifference ( inferior
) untuk barang
merupakan total efek, adalah efek adalah efek pendapatan. substitusi, dan (Nicholson 1991) Definisi 18 Barang Giffen Suatu barang dapat disebut barang giffen karena sifatnya yang menyerupai barang inferior, sifat khususnya adalah jika barang inferior turun maka jumlah permintaan juga akan turun.
Gambar 3 Kurva Indifference ( ) untuk efek substitusi dan efek pendapatan
merupakan total efek, adalah efek adalah efek pendapatan. substitusi, dan (Nicholson 1991) Definisi 17 Barang Inferior Suatu barang dapat disebut barang inferior jika kenaikan pendapatan konsumen dapat akan menurunkan jumlah barang yang diminta.
Gambar 5 Kurva Indifference ( giffen
) untuk barang
merupakan total efek, adalah efek adalah efek pendapatan. substitusi, dan (Nicholson 1991)
6
III PEMBAHASAN 3.1 Siklus Kehidupan Individu dan Demografinya Secara umum, dalam kerangka kerja pemodelan overlapping-generation (OLG) diasumsikan bahwa setiap orang hanya hidup selama dua periode. Orang bekerja pada periode pertama dan pensiun pada periode kedua. Pada kenyataannya, satu periode mungkin akan bertahan selama 30 tahun. Setiap orang mengonsumsi pada dua periode tersebut, mereka membayar untuk pengeluaran dalam periode dua dengan menabung pada periode pertama. Kelompok yang lahir pada waktu disebut sebagai generasi . Anggota dari generasi ini, disebut muda pada periode dan tua pada periode 1. Pada setiap titik waktu, hanya anggota dari dua generasi yang hidup. Setiap orang memaksimalkan utilitas waktu hidupnya, dengan bergantung pada pemakaian dalam dua periode kehidupan. Utilitas waktu hidup mereka dinyatakan sebagai , dengan waktu, jadi
(3.1.1)
0 sebagai tingkat preferensi sebagai diskonto waktu.
Utilitas total dinyatakan oleh sedangkan dan masing-masing menyatakan utilitas pada periode pertama dan periode kedua. Konsumsi periode pertama dinyatakan oleh dan konsumsi periode kedua adalah . Setiap individu merupakan satu unit tenaga kerja inelastis dan menerima upah/gaji . adalah tabungan pada periode . Anggaran yang dibatasi pada periode dan 1 adalah , 1 1 , (3.1.2) dengan adalah tingkat suku bunga dari periode sampai 1. Batasan anggaran di periode pertama dinyatakan sebagai konsumsi periode pertama pada waktu , , sedangkan di periode kedua konsumsi pada waktu 1 dinyatakan oleh 1 . Untuk setiap individu, dan adalah faktor eksogen.
Utilitas pada kasus CIES (Constant Intertemporal Elasticity of Substitution) ini, diketahui sebagai berikut: ;
1,
(3.1.3) ; 1 adalah elastisitas substitusi
ln dengan antar masa,
.
(3.1.4)
Berdasarkan kendala-kendala yang disebutkan sebelumnya, maka dapat dijelaskan bahwa tabungan setiap individu bergantung pada tingkat suku bunga dan tingkat upah/gaji. Hal tersebut menunjukkan bahwa peningkatan tabungan berbanding lurus dengan tingkat upah/gaji. Walaupun demikian, ternyata tingkat suku bunga dapat menimbulkan dampak yang positif dan dampak negatif. Jika terjadi peningkatan pada tingkat suku bunga, maka berdasarkan pensubstitusian biaya konsumsi periode dua ke periode pertama akan menyebabkan biaya konsumsi di periode dua menurun. Sedangkan hal tersebut mampu meningkatkan pendapatan karena jumlah pendapatan yang ditabung guna konsumsi pada periode ke dua dikurangi. Berdasarkan pada persamaan (3.1.3), fungsi utilitas dapat ditulis kembali sebagai berikut
, (3.1.5) Asumsikan fungsi utilitas kontinu sehingga untuk memaksimumkan utilitas, kondisi turunan pertama terhadap adalah sebagai berikut:
0 1
. (3.1.6)
Uraian persamaan (3.1.6) dapat dilihat pada Lampiran 1. Penyelesaian dari persamaan (3.1.6)
, dengan
(3.1.7)
7
/
1
1.
/
Uraian persamaan (3.1.7) dapat dilihat pada Lampiran 2. Persamaan (3.1.7) tersebut diperoleh dari efek substitusi dan efek pendapatan yang dipengaruhi tingkat suku bunga pada tabungan yang bergantung pada nilai . Peningkatan tabungan berbanding lurus dengan tingkat suku bunga jika nilai kurang dari 1 ( 1), sehingga efek substitusi mendominasi efek 1 jika
pendapatan. Diketahui bahwa
dan hanya jika 1, sehingga kita dapat mengatakan bahwa ketika elastisitas substitusi antar masa adalah besar, kemudian efek substitusi cenderung mendominasi efek pendapatan dan efek dari dan cenderung positif. Demografi struktur ekonominya adalah sebagai berikut. Jumlah tenaga kerja pada waktu disebut . Total populasi pada waktu adalah . Oleh karena setiap individu menawarkan satu unit tenaga kerja, maka jumlah angkatan kerja sama dengan jumlah dari generasi muda, . Pertumbuhan populasi pada tingkat dinyatakan sebagai berikut 1 . 3.2 Titik Equilibrium/Titik Tetap Perilaku produsen mempunyai produksi neoklasik , , dengan ,
fungsi
,
dengan adalah jumlah tenaga kerja, adalah total output, dan adalah total modal. Sedangkan adalah jumlah output per kapita, dan adalah modal per kapita. Perilaku optimal produsen diperoleh dari produk marjinal yang menentukan harga faktor-faktor produksi. Fungsi produk marjinal terhadap modal menentukan nilai tingkat suku bunga, sedangkan fungsi produk marjinal terhadap tenaga kerja menentukan tingkat upah/gaji. Perilaku individu diperoleh dari fungsi tabungan. Dengan menganggap fungsi adalah
kontinu, penambahan suatu kondisi tetap diperlukan pada pengembalian modal, yaitu , , (3.2.1) dengan adalah tingkat depresiasi dari modal. Uraian persamaan (3.2.1) dapat dilihat pada Lampiran 3. Sekarang akan memodelkan perilaku konsumen. Fungsi produksi yang digunakan adalah fungsi Cobb-Douglas dengan pengaruh teknologi sebagai berikut: , , 1, , , 0. Nilai dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenaga kerja, sedangkan adalah perkembangan teknologi. Asumsikan bahwa depresiasi adalah seimbang untuk semua terhadap modal. Total dari depresiasi adalah sama dengan . Tingkat suku bunga real dan upah tenaga kerja diberikan oleh , , ,
.
Diasumsikan dimiliki oleh semua individu pada periode awal. Kita tulis kondisi marginal dalam intensitas modal , . Lampiran 4 menguraikan kondisi marjinal dalam intensitas modal menggunakan fungsi produksi Cobb-Douglas dengan pengaruh teknologi. Kasus I Asumsikan tingkat utilitas, , yang konsumen raih bergantung pada tingkat konsumsi komoditas, , dan saving , pada periode . Sebelum dianalisis menggunakan fungsi utilitas overlapping-generation, akan dianalisis terlebih dahulu fungsi utilitas CobbDouglas untuk mendeskripsikan perilaku konsumen. , 1, , 0, dengan dan adalah respon atas kecenderungan konsumen untuk mengonsumsi barang dan menimbun kekayaan. Rumah tangga memaksimumkan
8
utilitas subjek untuk membatasi anggaran. Anggap fungsi utilitas dan fungsi produksi Cobb-Douglas adalah kontinu sehingga penyelesaikan kepuasan optimal konsumen sebagai berikut , , dapat dilihat pada Lampiran 5. Pendapatan konsumen pada periode berasal dari pembayaran bunga, , dan upah, sebagai berikut: . disebut sebagai pendapatan saat ini (current income). Total nilai kekayaan konsumen dapat dijual untuk membeli barang dan untuk disimpan yang sama dengan . Pendapatan yang sudah siap dibelanjakan (gross disposable income) sama dengan . Pendapatan yang sudah siap untuk dibelanjakan tersebut digunakan untuk tabungan dan konsumsi. Pada periode , konsumen akan mendistribusikan total ketersediaan anggaran untuk tabungan, dan mengkonsumsi barang, . Batasan anggaran diberikan oleh . Total modal pada periode pensiun sama dengan tabungan pada periode bekerja, . Selanjutnya akan dituliskan kembali dinamika dalam per kapita. dan , dengan 1 , maka akumulasi modal, diperoleh dari . Bagi persamaan di atas dengan , menghasilkan
Substitusi kondisi tunak tersebut ke persamaan (3.2.2) sehingga menghasilkan 1 . Persamaan tersebut memiliki solusi positif yang unik /
.
Uraian solusi positif dari persamaan (3.2.2) dapat dilihat pada Lampiran 6. Dengan menganggap fungsi adalah kontinu sehingga langsung menunjukkan
1. Gambar 6 menampilkan hubungan antara dan , yang kita tuliskan sebagai berikut . Kemiringan Ψ takhingga pada 0 dan berkurang secara konstan 1 . Garis 45 menggambarkan kondisi perekonomian saat pendapatan per kapita periode pertama sama dengan pendapatan per kapita periode kedua. Fungsi Ψ memotong garis 45 pada nilai kondisi mapan, . Kurva modal konvergen secara monoton titik tetapnya yang unik dari waktu ke waktu.
. Substitusi 1 . ke dalam persamaan di atas, sehingga diperoleh 1 . (3.2.2) Uraian persamaan (3.2.2) dapat dilihat pada Lampiran 5. Berikut adalah persamaan beda nonlinier dalam yang dapat dituliskan kembali dengan . 1 Agar persamaan beda ini berada dalam kondisi tunak maka .
Gambar 6 Titik Tetap pendapatan per kapita dengan fungsi produksi dan fungsi utilitas Cobb-Douglas
Kasus II Sekarang akan dibandingkan titik tetap unik pada fungsi produksi dan utilitas CobbDouglas jika fungsi utilitasnya diganti menggunakan fungsi utilitas overlappinggeneration. Dalam perekonomian tertutup, aset-aset keluarga sama dengan modal. Penanaman modal bersih keseluruhan sama
9
dengan total pendapatan dikurangi total konsumsi 1
.
(3.2.3) ke dalam
Substitusi persamaan (3.2.1) persamaan (3.2.3), kita peroleh , , (3.2.4) dengan 1 . Dari persamaan (3.2.3) dan (3.1.2) kita memperoleh 1 . Uraian solusi dari persamaan (3.2.3) dapat dilihat pada Lampiran 7. Asumsikan bahwa perekonomian dimulai dengan kondisi | 1 0 1 1 1 , yang ekuivalen terhadap 2 1 1 dengan persamaan (3.2.3) dan (3.1.2). persamaan di atas menjadi , yang artinya bahwa tabungan orang semasa muda sama dengan modal untuk periode berikutnya. Dapat dituliskan kembali dalam persamaan per kapita berikut
Agar persamaan beda ini berada dalam kondisi tunak maka . Substitusi kondisi di atas ke persamaan (3.2.7) sehingga menghasilkan 1 2 1 . Persamaan tersebut memiliki solusi positif yang unik /
.
Uraian solusi positif persamaan (3.2.7) dapat dilihat pada Lampiran 10. Dengan menganggap fungsi adalah kontinu sehingga langsung menunjukkan
1. Gambar 7 menampilkan hubungan antara dan , yang kita tuliskan sebagai berikut . Uraian penggunaan software Maple 12 untuk Gambar 7 dapat dilihat pada Lampiran 11. Kemiringan Ω takhingga pada 0 dan berkurang secara konstan 1.
. Substitusikan pada persamaan (3.1.7) ke dalam persamaan di atas, menghasilkan
,
1
(3.2.5) yang digunakan dari definisi . Pada kasus fungsi utilitas 1 dan menyertakan kondisi tetap pada pengembalian modal, dapat ditunjukkan bahwa persamaan (3.2.4) menjadi
, (3.2.6) yang menyatakan modal per kapita pada periode pensiun. Uraian persamaan (3.2.6) dapat dilihat pada Lampiran 6. Substitusikan fungsi produksi Cobb-Douglas teknologi, , 1, ke dalam persamaan (3.2.6) sehingga diperoleh modal per kapita periode pensiun yang lebih spesifik yaitu
.
(3.2.7)
Uraian persamaan (3.2.7) dapat dilihat pada Lampiran 9.
Gambar 7 Titik Tetap pendapatan per kapita dengan fungsi produksi CobbDouglas dan fungsi utilitas overlapping-generation
Garis 45 menggambarkan kondisi perekonomian saat pendapatan per kapita periode pertama sama dengan pendapatan per kapita periode kedua. Fungsi Ω memotong garis 45 pada nilai kondisi mapan, . Modal konvergen secara monoton titik tetapnya yang unik dari waktu ke waktu. 3.3 Dinamika Kondisi Tunak Pada dasarnya, hubungan antara modal per tenaga kerja dalam waktu dua periode seperti ini akan cukup kompleks. Persamaan
10
perekonomian berada pada kondisi tunak. Perhatikanlah Gambar 8, dimulai dengan nilai yang berada di bawah kondisi tunak, modal per tenaga kerja meningkat dari waktu ke waktu dan mendekati kondisi tetap secara monoton.
Gambar 8 Kondisi tunak saat
Pada Gambar 9, pemetaan titik antara dan dilakukan secara diskret dengan nilainilai parameter sebagai berikut: 1; 0,2; 2; 0,5. Uraian penggunaan software Mathematica 7 untuk Gambar 9 dapat dilihat pada Lampiran 12. Pemetaannya merupakan pemetaan yang naik. Pada akhirnya perekonomian konvergen ke kondisi tunak. Sifat kualitatif pada dinamika titik keseimbangan mirip dengan model Solow. 0.275 0.270 0.265 0.260
kt
adalah fungsi nonlinear dan komponen di dalamnya, dan juga nonlinear. Saat menganalisis titik keseimbangan secara grafis, gambarkan nilai pada garis horizontal (sumbu ) dan nilai pada garis vertikal (sumbu ). Kemudian tarik garis 45°, yang secara definisi mewakili titik-titik nilai yang konstan dari waktu ke waktu. Setelah itu, petakan keseimbangan antara dan . Ketika kurva pemetaan titik antara dan memotong garis 45° maka , modal per tenaga kerja konstan dari waktu ke waktu. Dengan kata lain, perekonomian berada pada kondisi tunak. Di luar nilai-nilai kondisi tunak, dapat menggunakan gambar yang sama untuk menjelaskan evolusi nilai dari waktu ke waktu. Gunakan garis 45° untuk memproyeksikan nilai-nilai keesokan harinya terhadap nilai-nilai hari ini di sumbu . Terdapat kasus ketika pada kondisi tunak dan titik keseimbangan mempunyai kemiringan negatif. Untuk fungsi utilitas secara umum, sebagai contoh untuk 1, kita memiliki banyak kemungkinan titik-titik keseimbangan dan pastinya tidak stabil. Selain itu, tergantung interaksi antara efek pendapatan dan efek substitusi yang mengakibatkan terdapat hal-hal yang tidak pasti. Untuk menganalisis dinamikanya, kita sederhanakan pemetaan titik yaitu saat 1 dan Cobb-Douglas teknologi, ln , 1 dengan asumsi-asumsi ini, kedua dampak dari pada tabungan tidak berpengaruh dan
0.255 0.250 0.245 0.240 0
5
10
15
20
t
.
Gambar 9 Pertumbuhan modal per kapita dengan model Overlapping-Generation
Maka
.
(3.3.1)
Persamaan di atas diperoleh dengan melakukan substitusi persamaan CobbDouglas teknologi ke dalam persamaan modal per tenaga kerja. Pemetaaan antara dan merupakan pemetaan yang naik. Kita amati keunikan nilai yang memotong garis 45° sehingga . Perpotongan nilai dengan garis 45° menunjukkan bahwa
Jika parameter-parameter pada model overlapping-generation dianalisis pergerakannya terhadap pada kondisi tunak maka akan diperoleh:
11
1. Pengaruh
3. Pengaruh
terhadap
terhadap
0.6
0.25 0.5
0.20
k*
k*
0.4 0.3
0.15 0.10
0.2
0.05
0.1
0.00
0.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
Gambar 10
Pengaruh elastisitas produksi pada modal per kapita terhadap
Pengaruh yang merupakan elastisitas produksi pada modal per kapita dengan nilainilai parameter lainnya sebagai berikut: 1; 2; 0,1; ditunjukkan pada Gambar 10. Uraian penggunaan software Mathematica 7 untuk Gambar 10 dapat dilihat pada Lampiran 13. Jika nilai semakin menuju 1 atau elastisitas produksi pada modal semakin elastis maka modal per kapita pada kondisi tunak semakin menurun. 2. Pengaruh
terhadap
0.45 0.40
k*
0.35 0.30 0.25 0.20 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
n
Gambar 11
0.5
1.0
1.5
2.0
A
a
Pengaruh tingkat pertumbuhan populasi terhadap
Pengaruh yang merupakan tingkat pertumbuhan populasi dengan nilai-nilai parameter lainnya sebagai berikut: 1; 2; 0,2; ditunjukkan pada Gambar 11. Uraian penggunaan software Mathematica 7 untuk Gambar 11 dapat dilihat pada Lampiran 14. Jika nilai semakin besar atau tingkat pertumbuhan populasi semakin tinggi maka pengaruh modal per kapita pada kondisi tunak semakin kecil.
Gambar 12
Pengaruh perkembangan teknologi terhadap
Pengaruh yang merupakan perkembangan teknologi dengan nilai-nilai parameter lainnya sebagai berikut: 1; 0,2; 0,1; ditunjukkan pada Gambar 12. Uraian penggunaan software Mathematica 7 untuk Gambar 12 dapat dilihat pada Lampiran 15. Jika nilai semakin besar atau perkembangan teknologi semakin tinggi maka modal per kapita pada kondisi tunak semakin meningkat. Sehingga dengan adanya perkembangan teknologi menyebabkan modal per kapita yang digunakan untuk proses produksi semakin besar. Selain itu pada model overlappinggeneration ini, penting sekali interaksi antara generasi yang berbeda dalam menghasilkan pertumbuhan. Upah/gaji generasi muda meningkat karena modal yang dimiliki oleh orang tua (tabungan mereka) meningkat, yang mengakibatkan generasi muda lebih banyak menabung.
12
IV KESIMPULAN Pada karya ilmiah ini diberikan sebuah model makroekonomi modern pada waktu diskret yang disebut Model OverlappingGeneration. Secara umum, dalam kerangka kerja pemodelan OLG diasumsikan bahwa setiap orang hanya hidup selama dua periode. Orang bekerja pada periode pertama dan pensiun pada periode kedua. Dengan memaksimalkan utilitas waktu hidup dengan kendala pada konsumsi dalam dua periode kehidupan tersebut, maka diperoleh hasil bahwa pemetaaan antara dan merupakan pemetaan yang naik
dengan tingkat kenaikan menurun. Perekonomian pada kondisi tunak yang unik dilambangkan dengan ternyata nilai yang berada di bawah kondisi tunak, modal per tenaga kerja meningkat dari waktu ke waktu dan mendekati kondisi tetap secara monoton. Pada akhirnya perekonomian konvergen ke kondisi tunak. Kita dapat menyimpulkan bahwa sifat kualitatif pada dinamika titik keseimbangan mirip dengan model Solow. Pada kasus ini, penting sekali interaksi antara generasi yang berbeda dalam menghasilkan pertumbuhan.
13
DAFTAR PUSTAKA Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2005. ed.McGraw Hill, Investments 6th Singapore. Chiang CA, Wainwright K. 2005. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Edisi Ke-4. McGraw-Hill Companies inc. New York. Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application. Mc Graw-Hill, New York. Kreyszig E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Terjemahan Bambang Sumantri. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Kunarjo. 2003. Ekonomi, Keuangan, dan Pembangunan. Jakarta: Universitas Indonesia (UI-Pres). Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Edisi Kelima. I Nurmawan, Penerjemah; CW Kristiaji, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics 5th Edition. Nicholson W. 1991. Teori Mikroekonomi. Binarupa Aksara, Jakarta.
Purcell EJ and Varberg D. 1999. Kalkulus dan Geometri Analisis. Edisi Ke-5. Terjemahan I Nyoman Susila dan Kawankawan. Erlangga, Jakarta. Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid 1. Edisi Ke-4. IN Susila da H Gunawan, penerjemah; N Mahanani dan W Hardani, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition. Sukirno S. 2004. Makroekonomi Teori Pengantar. PT Raja Grafindo Persada, Jakarta. Tu PNV. 1994. Dynamical System. An Introduction with Application in Economics and Biology. Second Revised and Enlarged Edition. Springer Verlag, Berlin. Zhang WB. 2005. Differential Equations, Bifurcation, and Chaos in Economics. World Scientific Publishing, Singapore. Zhang WB. 2006. Discrete Dynamical Systems, Bifurcation and Chaos in Economics. Elsevier, Amsterdam.
13
LAMPIRAN
14
Lampiran 1 Mendapatkan persamaan (3.1.6) Fungsi Utilitas pada kasus CIES (Constant Intertemporal Elasticity of Substitution) adalah 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 Turunan persamaan utilitas tersebut terhadap 1 1
Turunan terhadap
: 1
1
1 1
1
masing-masing (i) dan (ii)
(i) 1
(ii)
1
1
1
1
1
Jadi, 1
1
1
1
.
0, sehingga
Agar utilitas maksimum maka 1
1 1
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
0……………………….. (3.1.6)
1
15
Lampiran 2 Mendapatkan persamaan (3.1.7) Turunan pertama fungsi utilitas terhadap 1
dapat ditulis kembali sebagai berikut: 1
Solusi persamaan tersebut adalah 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1
1 1
1
1
1 1 1 1
1
1 1 ⁄
1 1
1
⁄
1 1
⁄
1 ⁄
1 1
1
⁄
⁄
1
1 1
⁄
1
⁄
·
1 1
1 1
1
1
1
⁄
1
Jadi solusinya,
,
………………………………………………………………… (3.1.7)
dengan
1
/ /
1.
16
Lampiran 3 Mendapatkan persamaan (3.2.1) Fungsi produk marjinal diperoleh dari keuntungan optimal: Misal keuntungan = b Keuntungan adalah nilai penerimaan total perusahaan dikurangi biaya total yang dikeluarkan perusahaan, maka penerimaan total-biaya produksi dengan jumlah output yang dihasilkan, unit, dan harga tiap unit yaitu satu satuan harga, 1. Terdapat depresiasi terhadap modal, , dan pengaruh tingkat suku bunga/imbal hasil, . Sehingga, 1 Keuntungan akan maksimum jika 0 sehingga 0 ……………………………………………………..... (3.2.1) Pada saat Break even point (BEP) yaitu titik dimana jumlah biaya sama dengan pendapatan maka keuntungannya nol, sehingga didapatkan persamaan dari upah riil yaitu : 0 1 0 , substitusikan suku bunga/imbal hasil maka 1 0 …………………………………. (3.2.1)
Lampiran 4
Mendapatkan kondisi marjinal dalam intensitas modal menggunakan fungsi produksi Cobb-Douglas dengan pengaruh teknologi
Dari persamaan (3.2.1) persamaan tingkat suku bunga riil dan upah tenaga kerja,yaitu •
Tingkat suku bunga riil
•
Upah tenaga kerja
17
Lampiran 5 Mendapatkan persamaan (3.2.2) Pertumbuhan populasi pada tingkat : 1 1 1 Fungsi produksi yang digunakan adalah fungsi Cobb-Douglas teknologi sebagai berikut: , , 1, , 0. Fungsi utilitas Cobb-Douglas sebagai berikut: ,
1,
Sedangkan batasan anggarannya adalah
.
Menetapkan ekspresi lagrangian :
0….. (1) 0….. (2) 0……. (3) Menentukan solusi dan Persamaan (1) dan (2) :
dalam bentuk persamaan :
Bagi persamaan diatas :
1 atau
……. (4) Persamaan (4) disubsitusi ke persamaan (3) : 0
0
Karena
1 maka
1
,
0.
18
Sehingga
. Kepuasan optimal konsumen: , Diketahui: Pendapatan konsumen Batasan anggaran diberikan oleh .
.
. .
Sehingga pendapatan yang sudah siap dibelanjakan (gross disposable income) dirumuskan sebagai berikut:
1
Dinamika dalam bentuk persamaan per kapita dengan akumulasi modal , diperoleh Bagi persamaan dengan
Substitusi 1 ke dalam persamaan tersebut, sehingga
1 1
dan .
,
19
Lampiran 6 Mendapatkan solusi positif dari persamaan (3.2.2) Kondisi mapan adalah . Maka dari persamaan (3.2.2) menghasilkan 1 . Solusi dari kondisi mapan tersebut adalah 1
Itu langsung menunjukkan
.
1
Lampiran 7 Solusi persamaan (3.2.3) Berdasarkan persamaan (3.1.2) , 1 . Diketahui : Penanaman modal bersih keseluruhan = Pendapatan total – Konsumsi total
1 1
1
20
Lampiran 8 Mendapatkan persamaan (3.2.6) Diketahui : Tabungan orang semasa muda sama dengan modal untuk periode berikutnya dan
Dengan
, maka
pada persamaan (3.1.9) ke dalam persamaan di atas, menjadi
Substitusi
1 Jika
,
(3.2.5)
1 dan menyertakan kondisi tetap pada pengembalian modal, persamaan (3.2.5) menjadi
Lampiran 9 Mendapatkan persamaan (3.2.7) Diketahui : Fungsi produksi Cobb-Douglas teknologi,
,
Substitusi fungsi produksi tersebut ke dalam persamaan (3.2.6)
Lampiran 10 Mendapatkan solusi positif dari persamaan (3.2.7) . Kondisi mapan adalah Maka dari persamaan (3.2.7) menghasilkan 1 2 1 Solusi dari kondisi mapan tersebut adalah 1
2
1
1
21
Itu langsung menunjukkan
.
1
22
Lampiran 11 Simulasi untuk menentukan titik tetap pendapatan per kapita dengan fungsi produksi Cobb-Douglas dan fungsi utilitas overlapping-generation dengan menggunakan software Maple 12 (Gambar 7)
23
Lampiran 12 Simulasi untuk menampilkan pertumbuhan modal per kapita dengan model overlapping-generation dengan menggunakan software Mathematica 7 (Gambar 9) RecurrenceTable[{k[t+1]==((1-0.2)2k[t]^0.2)/((2+1)(1+0.5)),k[0]==0.142857},k,{t,1,20}]; ListPlot[%,PlotRange->All,Frame->True,FrameLabel-> {t,k (t)}] 0.275 0.270 0.265
kt
0.260 0.255 0.250 0.245 0.240 0
5
10
15
20
t
Lampiran 13 Simulasi untuk menampilkan pergerakan elastisitas produksi pada modal per kapita terhadap dengan menggunakan software Mathematica 7 (Gambar 10) /
α_ :
.
Plot
,
, 0,1 , Frame
True, FrameLabel
"α", "k "
0.4
k*
0.3
0.2
0.1
0.0 0.0
0.2
0.4
0.6 a
0.8
1.0
24
Lampiran 14 Simulasi untuk menampilkan pergerakan tingkat pertumbuhan populasi terhadap dengan menggunakan software Mathematica 7 (Gambar 11) .
n_ : Plot
,
/
.
, 0,1 , Frame
True, FrameLabel
"n", "k "
0.45 0.40
k*
0.35 0.30 0.25 0.20 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
n
Lampiran 15 Simulasi untuk menampilkan pergerakan perkembangan teknologi terhadap dengan menggunakan software Mathematica 7 (Gambar 12) .
A_ : Plot
/
.
.
,
, 0,2 , Frame
True, FrameLabel
"A", "k "
0.25
k*
0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.0
0.5
1.0 A
1.5
2.0
