DIKTAT METODE NUMERIK
DESIGN BY : LIA PRABA KUSUMA PUTRI S.Si
TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI JAKARTA 2010
KATA PENGANTAR Segala sesuatu yang berawal dari keingintahuan dan proses pembelajaran akan membuat seseorang menjadi semakin berilmu. Bagai ilmu padi, semakin berisi maka sebaiknya ia semakin menunduk. Semakin banyak ilmu yang dimiliki, maka semakin memahami bahwa semua ini hanya milik Tuhan semata. Segala yang dijalani, segala yang dialami, segala yang dini’mati hanyalah kepunyaan Tuhan semata. Segala ujian yang dihadapi akan menambah ilmu dan kemampuan yang dimiliki adalah semata untuk selalu mensyukuri ni’mat Tuhan YME. Kehilangan, kepunyaan hanyalah sebuah benda yang datang dan pergi. Manusia akan sangat kaya dan sukses ketika ia menjadi berarti dan berilmu serta mempunyai akhlak yang mulia. Alhamdulillah, berkat restu dari Allah SWT diktat METODE NUMERIK ini telah diselesaikan dengan baik. Segala kesempurnaan hanya milik Allah SWT, begitu juga dengan diktat ini, yang merupakan intisari dari perjalanan seorang mahasiswa yang mengontrak mata kuliah METODE NUMERIK pada semester V program studi TEKNIK INFORMATIKA UNINDRA. Materi pada diktat ini mencakup seluruh materi yang ada sebagai aplikasi pemrograman berbasis matematika. Perumusan yang telah dipelajari sejak semester I sampai dengan semester IV akan digunakan untuk pembuatan program sesuai dengan studi kasus yang diberikan per individu sebagai tugas besar di akhir semester. Waktu pengerjaan adalah ± 1 bulan. Suatu kebanggaan bagi saya untuk dapat menyelesaikan diktat ini serta mengaplikasikannya sehingga dapat digunakan oleh mahasiswa. Semoga dengan adanya diktat ini dapat membantu kinerja mahasiswa dalam meraih yang terbaik di mata kuliah ini khususnya, serta penyelesaian pembelajaran sebagai mahasiswa pada umumnya. Jakarta, Juli 2010
Lia Praba Kusuma Putri S.Si
2
DAFTAR ISI
Kata Pengantar
.......................
2
Daftar Isi
.......................
3
Satuan Acara Pengajaran
.......................
4
Pendahuluan
.......................
6
a. Teori Kesalahan
.......................
8
b. Solusi Persamaan Linier
.......................
10
c. Solusi Persamaan Non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Materi Ujian Tengah Semester
Linier Studi Kasus
.......................
24
Sistematika Penulisan Makalah
......................
31
Aturan Penilaian
......................
33
a. Interpolasi
.......................
34
b. Integrasi Numerik
.......................
39
c. Persamaan Diferensial
.......................
42
.......................
45
Materi Ujian Akhir Semester
Daftar Pustaka
3
SATUAN ACARA PERKULIAHAN TEMU
POKOK BAHASAN
I
Pendahuluan
TUJUAN
MATERI
Memberi gambaran singkat tentang - Dasar Numerik konsep dasar metode numerik dalam hubungannya dengan matematika dan kaitannya
dengan
komputer
serta
- Perkembangan Komputer
aturan perkuliahan.
II
Teori Kesalahan
Memahami berbagai timbul
dan
memperhitungkan - Angka Signifikan dan
macam dalam
kesalahan
pendekatan
yang
Keterbatasan Komputer
secara - Kesalahan
numerik
relatif
dan
mutlak - Kesalahan pemotongan dan pembulatan
III
Persamaan Linier Simultan
Mampu
memahami
serta
dapat
menggunakan prinsip matriks
dan
Metode
Gauss-Jourdan
(Identitas Matriks)
berbagai metode pendekatan untuk menyelesaikan
persamaan
linier
simultan
IV
Metode mencari Akar Persamaan
Mampu memahami dan dapat mencari Metode tertutup : akar-akar
persamaan
baik
aljabar
maupun transenden dengan berbagai metode pendekatan
- Bisection - False Position (Regula Falsi)
V
Metode mencari Akar Persamaan
Idem
Metode Terbuka : - Fixed Point
VI
Metode mencari Akar Persamaan
Idem
Metode Terbuka : - Newton Rhapson - Secant
4
VII
KUIS
VIII
UJIAN TENGAH SEMESTER
IX
Studi Kasus
Mampu
menerapkan
- Sistematika Penulisan
materi
metode numerik dalam aplikasi kehidupan
X
Regresi dan Interpolasi
sehari-hari
- Studi Kasus
dan
penerapannya dalam program.
- Aplikasi
Mampu
- Regresi
dasar
memahami antara
perbedaan
regrasi
dan
- Interpolasi :
interpolasi serta meggunakannya untuk
mengolah
dan
- a. Linier
memanipulasi data
XI
Lanjutan
Lanjutan
Polonomial Lagrange
XII
Lanjutan
Lanjutan
Polinomial Newton
XIII
Integrasi Numerik
Mampu memahami dan dapat Metode Trapezoida menghitung dengan
integrasi
tertentu
berbagai
metode
pendekatan
XIV
Persamaan Diferensial
Mampu memahami dan dapat
Metode Euler
memecahkan persamaan diferensial biasa dengan berbagai metode pendekatan
XV XVI
Lanjutan
Lanjutan
Metode Runge-Kutta
UJIAN AKHIR SEMESTER
5
PENDAHULUAN
Metode Numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian Aritmetika. Selain itu, Metode Numerik juga merupakan cara penyelesaian Matematis yang dikembangkan dari cara analisis dan memasuki wilayah simulasi. Simulasi dilangsungkan dengan menggunakan media komputer. Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Proses penyelesaian mungkin memerlukan puluhan sampai jutaan operasi, tergantung pada kompleksitas problema yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan, metode yang dipakai dan sebagainya. Apabila jumlah operasi hitung yang diperlukan hanya berjumlah puluhan, maka problema dapat diselesaikan secara manual atau dengan menggunakan kalkulator. Tetapi, jika suatu kasus memerlukan jutaan operasi hitung, maka penyelesaiannya harus dilakukan dengan bantuan komputer berkecepatan tinggi. Disinilah kemajuan teknologi komputer memegang peranan penting dalam komputasi numerik. Meskipun demikian, pemilihan metode yang efisien merupakan aspek lain yang menjadi perhatian dalam komputasi numerik. Hal ini akan semakin terasa di dalam menyelesaikan problema-problema berskala besar yang melibatkan ribuan variabel. Selain sumber-sumber tersebut, kesalahan numerik juga dapat disebabkan oleh kekurang-cermatan manusia (human error), penggunaan alat ukur dan penggunaan mesin hitung, kalkulator atau komputer. Kekurangcermatan manusia dapat menyebabkan kesalahan di dalam merumuskan model matematika suatu fenomena alam dan hasil pengukuran (kesalahan membaca alat ukur). Pemakaian alat ukur yang tidak akurat juga akan menghasilkan pengukuran (data) yang mengandung galat. Keterbatasan mesin hitung, kalkulator atau komputer dalam menyajikan suatu bilangan akan menghasilkan kesalahan-kesalahan pembulatan atau pemotongan.
6
Suatu galat dapat disebabkan kekurang-telitian model matematika dan galat bawaan dari data masukan bersifat inherent (bawaan/melekat). Galat ini tetap ada, sekalipun penyelesaiannya diperoleh menggunakan metode eksak. Tingkat keakuratan suatu model matematika dalam menjelaskan suatu fenomena alam dapat diuji dengan membandingkan hasil-hasil beberapa eksperimen dan beberapa hasil penyelesaian khusus menggunakan beberapa parameter masukan. 6 elemen utama pemrograman yang langsung berkaitan dengan metode numerik adalah sebagai berikut : -
Konstanta dan variable
-
Masukan-keluaran (input-output)
-
Komputasi
-
Kontrol
-
Subprogram
-
Dokumentasi
7
TEORI KESALAHAN / GALAT Sumber-sumber Galat Selain kecepatan, aspek lain yang sangat penting untuk diperhatikan di dalam komputasi numerik adalah keakuratan penyelesaian yang diperoleh. Hal ini disebabkan penyelesaian yang diperoleh melalui komputasi numerik umumnya merupakan solusi hampiran, tentu saja terdapat beberapa galat (kesalahan numerik). Beberapa sumber galat (error) pada suatu solusi hampiran yang diperoleh dengan menggunakan suatu metode komputasi numerik, yaitu: 1. Model matematika untuk suatu fenomena alam. 2. Galat bawaan dari data masukan (parameter masukan). 3. Metode penyelesaian. 4. Adanya pembulatan di dalam melakukan operasi-operasi aritmatika atau operasi– operasi jenis lain pada bilangan-bilangan yang terkait. Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa galat dalam komputasi numerik dapat dikelompokkan menjadi tiga macam, yaitu: 1. Galat bawaan (inherent error), yaitu galat yang dapat disebabkan oleh kesalahan hasil pengukuran, kesalahan data awal, dan sejenisnya. 2. Galat pemotongan (truncation error), yaitu galat yang berkaitan dengan metode numerik yang dipakai. Galat ini dapat terjadi karena adanya pemotongan deret tak berhingga yang menyangkut perhitungan nilai suatu fungsi atau nilai desimal, dan karena penghentian proses perhitungan. 3. Galat pembulatan (rounding off error), yaitu galat yang berkaitan dengan penggunaan sejumlah terbatas angka signifikan.
8
Angka Signifikan (Penting) /Angka Bena Sebagai ilustrasi, misalkan kita menghitung berat badan. Berdasarkan timbangan diperoleh berat badan kita adalah 62 atau 63 kg. Mungkin lebih tepatnya sekitar 63 kg. Jika untuk ketelitian data menginginkan 1 digit di belakang koma dapat diperkirakan nilainya 62,7 kg atau 62,9 kg. Adanya keterbatasan timbangan tadi menyebabkan kita tak dapat memastikan (menduga saja), untuk digit ketiga (digit kedua di belakang koma). Jadi akan menjadi aneh jika diperkirakan bahwa berat badan seseorang 62,897653657 kg. Angka signifikan atau digit menyatakan suatu keandalan sebuah nilai numerik. Banyaknya angka signifikan adalah banyaknya digit tertentu yang dapat meyakinkan kita.
9
SOLUSI PERSAMAAN LINIER METODE GAUSS JORDAN Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol). Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama. Metode tersebut dinamai eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.
Aplikasi untuk mencari Invers Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan matriks identitas dalam dimensi yang sama, serta melalui operasi-operasi matriks:
Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:
Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:
10
Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks[AI] sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir:
Tugas Individu I : Waktu pengerjaan 1 minggu dari pertemuan ini, lewat dari batas tersebut dengan alasan apapun tidak akan diterima tugas tersebut. Penerimaan tugas hanya berlaku untuk tulisan tangan dan diterima oleh dosen yang bersangkutan di kelas masing-masing. Setiap mahasiswa wajib mengerjakan masing-masing 5 soal dari soal-soal yang ada. ( 1 Soal wajib silahkan dipilih dari soal no 12 – 15, soal no 1-11 yang dikerjakan boleh sama tetapi hanya satu soal saja ) 1. x + y + z = 9; x – y + z = -1; x + y – z = 5 2. 3x + 7y +z = 14; 2x – 5y + 4z = 13; x + 2y + 3z = 15 3. 2x – y +3z = 15; x – y +5z = 19; 4x + 2y +7z = 25 4. –x - 2y + z = 11; x – 3y + 2z = 12; 2x – 7y – 3z = -17 5. 2x – 3y – 2y = 1; x + y + 3z = -9; x – 2y – 5z =12 6. x – 2y – 4z = -1; 7x – 8y +2z = -3; -x – 6y +9z = 24 7.
1 1 x y 2 3
1 z 4
2;
8.
3 x 5
3 z 4
6;
2 y 3
3 x 2 5 x 3
1 y 2 y
4 z 3
1 z 2
7; x
50 ; x
11
1 y 9
y
1 z 2 5 z 6
2
24
9. 3x + 4y +6z = 6; 6x + 8y – 3z = 2; -3x +4y - 9z = -6 10.
1 x
1 y
1 z
2;
3 x
2 y
3 z
32 ;
4 x
1 y
2 z
18
11. 2x +y +3z = 4; x – 3y +4z = 3; 3x – 2y +7z = 7 12. Mother goes to market, together with Sarimin, to buy “mango, banana, guava.” The price of 2 bananas, 2 mangoes, and 4 guavas is Rp 18.000,00. The price of 4 bananas, 1 mango, and 1 guava is 18.000,00. The price of 2 mangoes, 3 bananas, and 1 guava Rp 16.000,00. By an amount of Rp 50.000,00 find the number of mangoes, bananas, and guavas that can be bought by mother, n.b the number of bananas is as many as possible and the three fruits should be bought ? 13. From two supermarkets of one company it is abtained that data of selling of meat and fish in one week as shown in the following table. Meat (kg)
Fish (kg)
Total sells (in thousand rupiahs)
Supermarket A
80
20
2960
Supermarket B
70
40
3040
Then the price of fish/kg in the two supermarket is . . . 14. Mr. Agus works for 6 days which 4 days are overtime to get Rp 74.000,00. Mr. Bardi works for 5 days which 2 days are overtime to get Rp 55.000,00. Mr. Agus, Mr. Bandi, and Mr. Dodo work under the same payment system. If Mr. Dodo works for 5 days overtime, then the payment that he shall receive is . . . 15. Evie works for one week which 3 days are overtime to get Rp.120.000,00. Roni works for one week which 5 days are overtime to get Rp 130.000,00. Evie, Roni, and Ina works under the same payment system. If Ina works for one week overtime, Then find the payment that she shall receive.
12
SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER
METODE PENCARIAN AKAR Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan secara iteratif (looping). Secara umum metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi dua jenis , yaitu ; Metode Tertutup (Bracketing Method) dan Metode Terbuka. 1. METODE TERTUTUP Meode ini menggunakan selang [a,b] untuk mencari akar yang berada pada selang tersebut. Dalam selang tersebut dapat dipastikan minimal terdapat satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Ada dua metode klasik yang termasuk ke dalam metode tertutup, yaitu metode bagi dua dan metode regula-falsi. a. Metode bagi dua Metode ini dapat dilakukan dengan memperhatikan bagan berikut : [a,b] ] bagi dua di
[a,c] ]
[c,b] ] f(a)f(c) < 0 ?
Ya
tidak
Selang baru: [a,b]←[a,c]
Selang baru: [a,b]←[c,b]
13
Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya, kondisi berhenti dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut : 1. Lebar selang baru :
, dalam hal ini
adalah nilai toleransi lebar
selang yang mengukur akar. 2. Nilai fungsi di hampiran akar : f(c) = 0. Beberapa bahasa pemrograman membolehkan pembandingan dua buah bilangan riil, sehingga perbandingan f(c) = 0 dibenarkan. Tetapi, dapat pula kita uji f(c) = 0 dengan menghampiri nilai f(c) < epsilon mesin.
3. Galat relatif hampiran akar :
, dalam hal ini
adalah galat
relatif yang diinginkan. Dengan jumlah iterasi dapat diprediksi menggunakan :
Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) =
di dalam selang [0,1] dan
! Penyelesaian : Tabel berikut adalah tabel yang menggunakan metode bagi dua. Jumlah iterasi yang dibutuhkan :
Jadi, dibutuhkan minimal 17 kali iterasi (r = 0 sampai dengan r = 16) agar galat akar hampiran kurang dari 14
I
A
c
b
f(a)
f(c)
f(b)
selang baru
lebarnya
0
0,000000
0,500000
1,000000
1,000000
0,398721
-2,281718
[c,b]
0,500000
1
0,500000
0,750000
1,000000
0,398721
-0,695500
-2,281718
[a,c]
0,250000
2
0,500000
0,625000
0,750000
0,398721
-0,084879
-0,695500
[a,c]
0,125000
3
0,500000
0,562500
0,625000
0,398721
0,173023
-0,084879
[c,b]
0,062500
4
0,562500
0,593750
0,625000
0,173023
0,048071
-0,084879
[c,b]
0,031250
5
0,593750
0,609375
0,625000
0,048071
-0,017408
-0,084879
[a,c]
0,015625
6
0,593750
0,601563
0,609375
0,048071
0,015581
-0,017408
[c,b]
0,007813
7
0,601563
0,605469
0,609375
0,015581
-0,000851
-0,017408
[a,c]
0,003906
8
0,601563
0,603516
0,605469
0,015581
0,007380
-0,000851
[c,b]
0,001953
9
0,603516
0,604492
0,605469
0,007380
0,003268
-0,000851
[c,b]
0,000977
10
0,604492
0,604980
0,605469
0,003268
0,001210
-0,000851
[c,b]
0,000488
11
0,604980
0,605225
0,605469
0,001210
0,000179
-0,000851
[c,b]
0,000244
12
0,605225
0,605347
0,605469
0,000179
-0,000336
-0,000851
[a,c]
0,000122
13
0,605225
0,605286
0,605347
0,000179
-0,000078
-0,000336
[a,c]
0,000061
14
0,605225
0,605255
0,605286
0,000179
0,000051
-0,000078
[c,b]
0,000031
15
0,605255
0,605270
0,605286
0,000051
-0,000014
-0,000078
[a,c]
0,000015
16
0,605255
0,605263
0,605270
0,000051
0,000018
-0,000014
[c,b]
0,000008
Jadi, hampiran akarnya adalah x = 0,605263 b. Metode Regula Falsi Meskipun metode bagidua selalu menemukan akar, tetapi kecepatan konvergensinya sangat lambat. Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bila nilai f(a) dan f(b) juga turut diperhitungkan. Logikanya, jika f(a) lebih dekat ke nol daripada f(b) tentu akar lebih dekat ke x = a daripada ke x = b. Metode yang memanfaatkan niai f(a) dan f(b) ini adalah metode regula-falsi (metode posisi palsu). Dengan metode regula-fasi dibuat garis 15
lurus yang menghubungkan titik (a,f(a)) dan (b,f(b)). Perpotongan garis tersebut dengan sumbu-x merupakan taksiran akar yang diperbaiki. Garis lurus tadi seolah-olah berlaku manggantikan kurva f(x) dan memberikan posisi palsu dari akar. y
B y = f(x) a
C c
b
x
A Perhatikan gambar di atas : gradien garis AB = gradien garis BC
Yang disederhanakan menjadi,
Pada kondisi yang paling ekstrim,
tidak pernah lebih kecil dari
, sebab salah
satu titik ujung selang, dalam hal ini b, selalu tetap untuk setiap iterasi r = 0,1,2, . . . . Titik ujung selang yang tidak pernah berubah itu dinamakan titik mandek (stagnant point). Pada titik mandek, r =0,1,2,. . . Yang dapat mengakibatkan program mengalami looping.Untuk mengatasi hal ini, kondisi berhenti pada algoritma regula-falsi harus ditambah dengan memeriksa apakah nilai f(c) sudah sangat kecil sehingga medekati nol. Maka, dilakukan perbaikan Metode Regula-Falsi untuk mengatasi kasus titik mandek. Caranya, pada akhir iterasi r = 0, diperoleh selang baru untuk iterasi r = 1. Berdasarkan 16
selang baru tersebut, tentukan titik ujung selang yang tidak berubah (jumlah perulangan > 1) yang kemudian menjadi titik mandek. Nilai f pada titik mandek itu diganti menjadi setengah kalinya, yang akan dipakai pada iterasi r = 1. Misalkan, setelah menghitung nilai c0 pada iterasi, ujung selang b tidak berubah . Titik b menjadi titik mandek. Karena itu, untuk iterasi selanjutnya yang digunakan adalah f(b)/2. Dengan cara ini titik mandek dapat dihilangkan. Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) =
di dalam selang [0,1] dan
! Penyelesaian : Tabel berikut adalah tabel yang menggunakan metode regula falsi yang diperbaiki. Tabel iterasi untuk menghitung f(x) =
di dalam selang [0,1] dan
adalah :
I
A
C
B
f(a)
f(c)
f(b)
selang baru
0
0,000000
0,304718
1,000000
1,000000
0,891976
-2,281718
[c,b]
0,695282
1
0,304718
0,609797
1,000000
0,891976
-0,019205
-1,140859
[a,c]
0,390203
2
0,304718
0,603367
0,609797
0,891976
0,008005
-0,019205
[c,b]
0,006430
3
0,603367
0,605259
0,609797
0,008005
0,000035
-0,019205
[c,b]
0,004538
4
0,605259
0,605275
0,609797
0,000035
-0,000035
-0,009602
[a,c]
0,004522
5
0,605259
0,605267
0,605275
0,000035
0,000000
-0,000035
[a,c]
0,000008
Hampiran akar x = 0,605267.
17
lebarnya
2. METODE TERBUKA Dalam metode terbuka tidak diperlukan selang untuk mengurung akar. Yang diperlukan tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung akar. Hampiran akar didasarkan pada hampiran akar sebelumnya melalui prosedur iterasi. Terkadang iterasinya bisa konvergen ke akar, atau isa pula divergen. Jika iterasinya
konvergen,
makakonvergensi
tersebut
berlangsung
sangat
cepat
dibandingkan metode tertutup. a. Metode Iterasi Titik-Tetap (fixed-point itteration) Metode ini kadang-kadang dimakan juga metode iterasi sederhana atau metode langsung. Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur iterasinya mudah dibentuk. Susunlah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x). Lalu, bentuklah menjadi prosedur iterasi Dan terkalah sebuah nilai awal x0, lalu hitung nilai x1, x2, . . . , yang konvergen ke akar sejati s sedemikian sehingga f(s) = 0 dan s = g(s). Iterasi berhenti jika kondisi berada pada Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 = 0 dengan Metode Iterasi Titik-Tetap, ε = 0,00001 ! Penyelesaian : x2 – 2x – 3 = 0 x2 = 2x + 3
18
Dalam hal ini,
. Prosedur iterasinya adalah
. Misalkan
x0 = 4 r 0
4,000000
0,000000
1
3,316625
0,683375
2
3,103748
0,212877
3
3,034385
0,069362
4
3,011440
0,022945
5
3,003811
0,007629
6
3,001270
0,002541
7
3,000423
0,000847
8
3,000141
0,000282
9
3,000047
0,000094
10
3,000016
0,000031
11
3,000005
0,000010
12
3,000002
0,000003
13
3,000001
0,000001
14
3,000000
0,000000
Jadi, hampiran akarnya x = 3,000000 b. Metode Newton-Rhapson modifikasi Deret Taylor Diantara semua metode pencarian akar, metode Newton-Rhapsonlah yang paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya. Metode Newton-Rhapson yang akan dibahas pada perkuliahan metode numerik untuk Tehnik Informatika adalah yang sudah dimodiikasi dengan bantuan deret Taylor. Prosedur iterasinya adalah :
19
Kondisi iterasi berhenti jika
Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 = 0 dengan Metode Newton Rhapson, ε = 0,00001 dan tebakan awal x0 = 2! Penyelesaian : f(x) = x2 – 2x – 3 f’(x) = 2x – 2 Prosedur iterasi Newton-Rhapson :
Tabel Iterasinya : R 0
2,000000
0,000000
1
3,500000
1,500000
2
3,050000
0,450000
3
3,000610
0,049390
4
3,000000
0,000610
5
3,000000
0,000000
Jadi, hampiran akarnya x = 3,000000 c. Metode Secant Tahapan iterasi metode Newton-Rhapson memerlukan perhitungan turunan fungsi, f’(x). Tetapi, tidak semua fuungsi dapat dicari turunannya dengan mudah, terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan tersebut dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan benuk lain yang ekivalen. Modifikasi metode tersebut dinamakan metode secant. 20
Prosedur iterasinya adalah :
xr
xr
1
f ( xr )( xr xr 1 ) f ( xr ) f ( xr 1 )
Kondisi iterasi berhenti jika
Contoh : Tentukan akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 = 0 dengan Metode Secant, ε = 0,00001 dan tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 0,75! Penyelesaian : f(x) = x2 – 2x – 3 Prosedur iterasi Secant :
xr
1
xr
f ( xr )( xr xr 1 ) f ( xr ) f ( xr 1 )
Tabel Iterasinya :
f ( xr )
r 0 1 2 3 4 5 6
0.500000
-3.750000
0.000000
0.750000
-3.937500
0.250000
-4.500000
26.250000
5.250000
0.065217
-3.126181
4.565217
-0.420608
-1.981873
0.485825
-1.262028
1.116771
0.841420
-0.958775
-0.163201
0.303253
21
7 8 9 10
-0.997441
-0.010230
0.038666
-1.000027
0.000107
0.002586
-1.000000
0.000000
0.000027
-1.000000
0.000000
0.000000
Ternyata, hampiran akarnya mengarah ke akar yang lain x = -1 (yang merupakan solusi dari persamaan tersebut). Tugas Individu II : Waktu pengerjaan 1 minggu dari pertemuan ini, lewat dari batas tersebut dengan alasan apapun tidak akan diterima tugas tersebut. Penerimaan tugas hanya berlaku untuk tulisan komputer (dihitung secara manual atau komputasi) dan diterima oleh dosen yang bersangkutan di kelas masing-masing. Setiap mahasiswa wajib mengerjakan masingmasing satu soal. (Setiap mahasiswa dalam satu kelas tidak boleh mengerjakan soal yang sama ! ). Tentukan solusi dari persamaan non linier berikut dengan metode terbuka 1 buah dan metode tertutup 2 buah, bandingkan hasil yang anda peroleh dan jelaskan! ! 1.
f x
2.
f x
x2 1 x x2
4 x
3.
f x
x2 1 x
4.
f x
x2 1 x 1
f x
x2 3 x 1
5.
6.
f x
x
2
2x 8 x 2
22
7.
f x
8.
f x
x2
6x 5 x 3
x 2 9 x 20 x 6
x2
7 x 16 x 3
9.
10. f x
x 2 3x 3 x 2
11. f x
2x2
12. f x
x2
13. f x
8 2x
f x
7x 4 6x 8 x2
14. f x 15. f x
x2
2x 3
6x 9 x2
2
35. f x
x 3
16. x2 -5x -24 = 0
36. f x
x3
17. x2 + 2x -5 =0
37. x2 – 10,1 x +1 = 0
6x 3
18. 4x2 + 12x -9 =0 19. 9x2 + 5x = 2
38. f x
20. 4x2 -x -7 =0 21. x2 -6x -16 =0 22. x2 + 2x - 48 =0
1 2 x
39. f x
ex 1 x x2
40. f x
x2
23. 3x2 + 8x -3 =0 2
24. x + 9x -10 =0 25. 16x2 - 9 =0 26. f x
3x 6
9
27. f x
6x 9
28. f x
1 x2
9
29. f x
x5 12 x 4
293 x3
3444 x 2
30. f x
5 x 2 12 x 30
31. f x
x3 5 x 2
32. f x
x4
6 x 3 12 x 2 10 x 3
33. f x
x3
3x 1
34. f x
x2
4x 3
20884 x 240240
7x 3
23
40 x 2
STUDI KASUS UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIK
Makalah ini ditulis berdasarkan studi kasus yang anda ambil untuk menggantikan nilai UAS (Tugas Individu). Kecuali nilai anda tidak memuaskan, silahkan mengerjakan UAS untuk tambahan nilai. Jika anda mengumpulkan paling lambat : Kelas Pagi : 5 Januari 2011 pukul 12.00 Kelas Sore : 5 Januari 2011 pukul 20.00 Maka dosen ybs dapat mengevaluasi lebih dini untuk nilai total Mata Kuliah Metode Numerik. Jika melewati batas waktu tersebut, makalah tidak akan diterima dengan alasan apaapun! Hasil pengerjaan dilaporkan dalam bentuk PRINT OUT!!!! Tidak diterima dalam bentuk lain. Silahkan pilih sendiri (tidak ada mahasiswa yang mengerjakan kasus yg sama), satu mahasiswa boleh mengerjakan satu kasus tetapi dengan metode yang berbeda (polinom lagrange atau polinom newton). Ketua kelas melaporkan kepada dosen ybs hasil keputusan pemilihan kasus via email :
[email protected]
Kode
Keterangan
NPM
A
Diketahui jumlah kecelakaan lalu-lintas di DKI Jakarta, 20002008.
200743519007A
Thn 00 Jml
01
02
03
05
07
200743519001B
08
2263 2550 2515 3310 2006 1893 1467
Estimasi jumlah kecelakaan di tahun 2004 ! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
B
Diketahui jumlah pencari kerja yang mendaftarkan di kantor tenaga kerja,DKI Jakarta 1991-1998. Thn 91
92
94
95
96
97
200743519120A
Jml
8679 14310 13396 25218 34633 43001
Estimasi jumlah pencari kerja di tahun 1993 ! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
C
Diketahui harga rata-rata perdagangan karet dalam rupiah/100kg di Jakarta 1967 – 1972. Thn 67 Jml
68
69
71
72
3179 9311 14809 10238 11143
Estimasi harga rata-rata perdagangan karet di tahun 1970! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
D
Seorang penerjun payung terjun dari pesawat. Jarak (kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak) adalah : t
d
t
v t dt 0
0
gm 1 e c
c/m t
dt
Hitung seberapa jauh penerjun jatuh setelah waktu t = 10 detik!
E
Berikut adalah table pendinginan angin! Temperatur(0F) -30
-20
-10
Kecepatan 0 Angin 10 (mph)
-30
-20
-10
-58
-45
-31
20
-81
-68
-52
25
30
-94
-78
-63
Tentukan temperature saat kecepatan angin sebesar 15 mph! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
F
Suatu dealer mobil ingin mengetahui gambaran hasil penjualan selama 150 hari, diperoleh :
Mobil/hari 0
1
2
4
5
6
Jml
32
40
12
9
6
24
Hitung frekuensi jumlah mobil yang terjual 3 buah/hari ! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
G
Tabel tinggi badan 20 anak balita.
Tinggi
60
65
70
75
80
Frekuensi
1
2
8
6
3
Estimasi jumlah balita yang mempunyai tinggi badan 72 cm ! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
H
Sebuah perusahaan memiliki data perkembangan hasil produksi sebagai berikut :
26
Tahun
2002 2003 2004
2006
2007
Hasil
124
100
145
155
242
Tentukan jumlah produksi tahun 2005! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
I
Berikut data hasil penjualan computer di “Toko Angin Ribut” dari bulan Januari sampai bulan April 2007
Bulan
Jan
Feb
Maret
April
Hasil
25
31
23
35
Estimasi hasil penjualan computer pada bulan ke – 5! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
J
Berikut data jumlah pemakaian tenaga listrik dalam KwH di DKI Jakarta tahun 2009 Bulan
Jan
Feb
Maret
April
Juni
Pemakaian 110693 108183 104910 117652 124166 Estimasi jumlah pemakaian tenaga listrik pada bulan ke – 5! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
K
Berikut data jumlah uang yang disimpan di Bank Tabungan Pos di Indonesia(dalam juta) !
27
Tahun Deposit
2000 2001 71
49
2003
2004
2005
95
128
156
Estimasi jumlah uang yang disimpan pada tahun 2002! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
L
Berikut adalah jumlah uang yang beredar dalam milyar dan harga beras dalam Rp./kg Jml
183,44 250,29 320,76 474,01 669,00
Harga
36,88
42,55
40,81
49,93
76,51
Estimasi harga beras jika jumlah uang yang beredar 300! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
M
Berikut jumlah pengeluaran untuk iklan (X) dalam juta dan jumlah penjualan produk (Y) dalam juta. X
36
28
41
19
32
22
38
Y
192
113
294
28
123
51
252
Estimasi jumlah penjualan produk jika jumlah pengeluaran untuk iklan 50 juta! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
N
Berikut luas tanah panen dalam hektar (X) dan hasil produksi dalam metric ton (Y) X
415831 410663 474519 414211 507249
28
Y
290104 307166 379683 341088 408950
Estimasi hasil produksi jika luas tanah panen adalah 450000! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
O
Berikut data rata-rata harga perdagangan besar kopi robusta di pasar Jakarta (Y) serta jumlah peredaran uang di Indonesia(X). X
51,47 113,89 183,44 250,29 320,76
Y
42,41 10966
11128
14902
14902
Estimasi rata-rata harga perdagangan besar kopi robusta jika jumlah peredaran uang sebesar 120! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
P
Berikut pendapatan perkapita (X) dan konsumsi perkapita (Y) negara “Nusantara” X 189000 220500 245700 252000 270900 283500 Y 151200 176400 196560 201600 216720 226800 Estimasi konsumsi perkapita negara tersebut, jika pendapatannya 230000! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
Q
Berikut jumlah rata-rata pendapatan dalam milyar (X) dan rata-rata biaya pelayanan dalam milyar (Y) dari 94 perusahaan perhotelan di daerah pariwisata
29
X
96
83
126
61
59
90
82
88
Y
6
22
18
8
12
10
17
11
Estimasi biaya pelayanan jika pendapatan sebesar 100! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
R
Berikut data PT.Pesona Indah tentang promosi dan penjualan produk Minuman Ringan. Promosi (juta)
10
20
30
40
Penjualan (Milyar)
25
30
40
50
Estimasi biaya penjualan jika biaya promosi 50 juta! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
S
Berikut adalah table pendinginan angin! Temperatur(0F) -30
-20
-10
Kecepatan 0 Angin 10 (mph)
-30
-20
-10
-58
-45
-31
20
-81
-68
-52
30
-94
-78
-63
Tentukan kecepatan angin saat temperature sebesar -250 F! T
Berikut data hasil produksi rata-rata padi kering per hektar dalam kuintal! Jumlah Desa
20
30
10
5
30
35
Hasil
65,80 62,03 37,00
48,00
46,97
Estimasi hasil produksi jika jumlah desa 15! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
V
Berikut jumlah rata-rata pendapatan dalam milyar (X) dan rata-rata biaya promosi dalam milyar (Y) dari 94 perusahaan perhotelan di daerah pariwisata X
80
98
74
76
113
80
Y
20
20
10
20
30
10
Estimasi biaya penerimaan jika biaya promosi sebesar 50! Polinom Lagrange (A) Polinom Newton (B)
Sistematika Penulisan Makalah Judul (Kelogisan judul dengan studi kasus dan metode, jika tidak sesuai : -5) Kata Pengantar Daftar Isi Bab I Pendahuluan Bab ini menjelaskan latar belakang penulis mengangkat studi kasus dan seberapa jauh ketertarikan penulis dengan studi kasus dan bagaimana cara penyelesaiannya Bab II Teori Dasar / Dasar Teori / Kajian Teori 31
Penjelasan studi kasus dan metode yang digunakan, teori boleh diambil dari buku,artikel,blog, web atau apapun yang bersifat resmi. Sumber harus ditulis pada daftar pustaka sesuai kaidah EYD. Bab III Pembahasan Dalam bab ini penulis wajib menjelaskan metode yang diaplikasikan untuk penyelesaian studi kasus. Penyelesaiannya dengan cara manual atau cara automatis (program). Jelaskan diagram alirnya terlebih dahulu, kemudian tampilkan source code baru kemudian Java Swing (jika menggunakan Java) tampilkan input dan output hasil program tersebut. Bab IV Kesimpulan dan Saran Jelaskan kesimpulan yang anda dapatkan setelah mengerjakan makalah tersebut dan berikan saran dan kritik terhadap yang anda kerjakan. Daftar Pustaka Penulisan sesuai dengan EYD, sumber harus dari buku atau jurnal yang terkait (tidak sesuai : -5)
Aturan Penulisan Makalah Batas Margin : Batas Atas dan Kiri 4, Batas Bawah dan Kanan 3. (Tidak Sesuai : -5) Huruf Penulisan Times new roman 12, kecuali judul bab : 14 (Tidak sesuai : -5) Cover (Cover tidak sesuai nilai : -5)
32
Keterangan Cara Penilaian : Keterangan
Skala 100
90
80
70
60
50
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
DAFTAR PUSTAKA
x
x
x
x
x
X
DAFTAR ISI
x
x
x
x
x
X
SOURCE CODE
x
x
x
x
x
DIAGRAM ALIR
x
x
x
x
x
x
x
x
Makalah : 1. 2. 3. 4. 5.
Kata Pengantar BAB I BAB II BAB III BAB IV
Tidak Lengkap
TEORI DASAR 1. STUDI KASUS 2. METODE
x
JAVA SWING (aplikasi) : 1. INPUT 2. OUTPUT
x Diluar dari cara penilaian di atas, makalah ditolak.
33
x
Pelajarilah jagad raya ini. Jangan kecewa karena dunia tidak mengenal anda, tetapi kecewalah karena anda tidak mengenal dunia (Kong Fu Tse – filusuf China)
INTERPOLASI Pengertian Interpolasi
Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva kecocokannya dibuat melalui setiap titik, persis sama kalau kurva fungsi yang sebenarnya dirajah (ditelusuri) melalui setiap titik itu. Disebutkan bahwa kita menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi. Bila fungsi kecocokan yang digunakan berbentuk polinom, polinom tersebut dinamakan polinom interpolasi. Pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinom disebut interpolasi (dengan ) polinom. Contoh data yang mempunyai ketelitian tinggi adalah titik-titik yang dihitung dari fungsi yang telah diketahui atau data tabel yang terdapat pada acuan ilmiah (data percepatan gravitasi bumi). Selain dengan polinom, interpolasi titik-titik data dapat dilakukan dengan fungsi spline, fungsi rasional (pecahan) atau deret Fourier. Jenis Interpolasi : a.
Linier
b. Polinom Newton dan Lagrange a. Interpolasi Linier Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik (x0,y0) dan (x1,y1).Polinom yang menginterpolasi kedua titik tersebut adalah persamaan garis lurus yang berbentuk :
Dengan sedikit manipulasi aljabar (lih. Rinaldi Munir hal.194) diperoleh :
34
Dengan kurva polinom ini adalah berupa garis lurus. Contoh : Perkirakan jumlah telur yang dihasilkan seorang peternak ayam pada bulan ke-5 berdasarkan data tabulasi berikut : Bulan Jumlah Telur (Butir) Penyelesaian :
1 1525
11 1785
Dengan menggunakan persamaan diatas, diperoleh :
Jadi, diperoleh jumlah telur yang dihasilkan oleh ternak-ternak tersebut pada bulan ke-5 adalah 1629 butir. b. Polinomial Lagrange Tinjau kembali persamaan polinom linier pada a. :
Persamaan ini dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi
Atau dapat dinyatakan dalam bentuk :
Ket :
Persamaan diatas dinamakan polinom Lagrange berderajat 1. 35
Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n + 1) titik berbeda adalah :
Ket :
Contoh : Estimasi fungsi f(x) = cos x dengan polinom Interpolasi derajat tiga di dalam selang [0.0, 1.2]. Gunakan empat titik, . Perkirakan nilai dengan x = 0,5 . (Gunakan 5 angka bena) Penyelesaian : xi yi
0,0 1,0000
0,4 0,9211
0,8 0,6967
1,2 0,3624
Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat titik di tabel adalah :
36
Sebagai perbandingan nilai sejatinya adalah Note : Polinom Lagrange berlaku untuk semua titik baik yang berjarak sama ataupun tidak berjarak sama. Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena alasan berikut : -
Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumya yang dapat digunakan.
-
Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara dan pada polinom Lagrange.
c. Polinomial Newton Polinom Newton dibuat untuk mengatasi kelemahan ini. Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai untuk membuat polinom derajat yang makin tinggi. Polinom Newton ditulis dalam bentuk rekursif sebagai : 1. Rekurens : + 2. Basis :
Atau dalam bentuk polinom lengkap : +
Berikut ini adalah polinom interpolasi selisih terbagi Newton dalam bentuk tabel selisih terbagi. i 0 1 2 3
ST-1
37
ST-2
ST-3
Contoh : Hitunglah f(9,2) dari nilai-nilai (x,y) yang diberikan pada tabel di bawahi dengan polinom berderajat tiga. (7 angka bena dari f(x) = ln x) i
0 1 2 3 8,0 9,0 9,5 11,0 2,079442 2,197225 2,251292 2,397895
Penyelesaian : Tabel selisih terbagi :
i 0 1 2 3
8 9 9,5 11
2,079442 2,197225 2,251292 2,397895
ST-1 0,117783 0,108134 0,097735
ST-2 -0,006433 -0,005199
ST-3 0,000411
Contoh cara menghitung nilai selisih-terbagi pada tabel adalah :
f[x2, x1] =
=
f(x2, x1, x0) =
= 0,108134
=
=-0,006433
dan seterusnya. Polinom Newton-nya (dengan
sebagai titik data pertama) adalah :
2,079442 + 0,117783(x - 8) - 0,006433(x - 8)(x – 9) + 0,000411(x - 8)(x – 9)(x – 9,5) Taksiran nilai fungsi pada x = 9,2 adalah 2,079442 + 0,141340 - 0,001544 + 0,000030 = 2,219208 Jika dibandingkan dengan nilai sejatinya
.
38
Jangan ikuti kemana jalan menuju, tetapi buatlah jalan sendiri dan tinggalkan jejak (Anonim)
INTEGRASI NUMERIK
Di dalam kalkulus, integral adalah satu dari dua pokok bahasan yang mendasar disamping turunan. Dalam kuliah kalkulus, anda telah diajarkan cara memperoleh solusi analitik (dan eksak) dari integral tak-tentu maupun tentu. Integral tak-tentu diyatakan sebagai
.
Terapan integral dalam Bidang Sains dan Rekayasa Integral mempunyai banyak terapan dalam bidang sains dan rekayasa. Dalam praktek rekayasa, seringkali fungsi yang diintegrasikan (integrand) adalah fungsi empirik yang diberikan dalam bentuk tabel, atau integrand-nya tidak dalam bentuk fungsi elementer (seperti sinh x, fungsi Gamma, dsb). Contoh persoalan : 1. Dalam bidang fisika, integral digunakan untuk menghitung persamaan kecepatan.Misalnya kecepatan sebuah partikel merupakan fungsi waktu menerus yang diketahui terhadap waktu, v(t). Jarak total d yang ditempuh oleh partikel ini selama waktu t diberikan oleh : 2. Dalam bidang aktuaria (tehnik perhitungan asuransi), integral digunakan untuk menghitung besar premi tahunan asuransi jiwa dari seseorang berusia x tahun dengan jangka waktu atau periode asuransi selama t tahun, yang benefitnya dibayarkan sesaat setelah nasabah meninggal, yaitu : Dalam perkuliahan ini hanya dibahas salah satu dasar dari metode Newton-Cotes, yaitu : Kaidah trapesium.
39
Pandang sebuah pias berbentuk trapesium dari x = x0 sampai x = x1 berikut: y
h x0
x1
x
Bila selang [a,b] dibagi atas n buah pias trapesium, kaidah integrasi yang diperoleh adalah kaidah trapesium gabungan : x1
b
f x dx a
f x dx
f x dx x0
xn
x2
x1
h h f x0 f x1 f x1 2 2 h f x0 2 f x1 2 f x2 2 n 1 h f 0 2 f1 f n 2 i 1
f x dx xn
1
h f xn 2
f x2
2 f xn
1
1
f xn
f xn
Dengan fr =f(xr), r = 0,1,2, . . . , n. Menentukan jumlah pias adalah dengan n = (b-a)/h Contoh : 3 .4
Hitunglah
e x dx dengan menggunakan kaidah trapesium, gunakan jarak antar titik h = 0,2. 1 .8
Perkirakan juga batas-batas galatnya ! Gunakan 5 angka bena. Penyelesaian : Jumlah selang : n = (3.4 – 1.8)/0,2 = 8 r 0 1 2 3 4
xr 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6
40
f(xr) 6.050 7.389 9.025 11.023 13.464
5 6 7 8
2.8 3.0 3.2 3.4
16.445 20.086 24.533 29.964
Nilai integrasinya, 3.4
e x dx 1.8
h f0 2
2 f1 2 f 2 2 f 6
0,2 6,050 2 7,389 2 23,994
2 f7
2 9,025
f8
2 20,086
Nilai integrasi sejatinya adalah 3.4
e x dx 1.8
1,8
ex
3, 4
e3, 4
e1,8
29,964
6,050
23,914
Galat hasil integrasinya adalah : 23,914 =23,944 = -0,080
41
2 24,533
29,964
Rasa ingin tahu adalah ibu dari semua ilmu pengetahuan (Anonim)
PERSAMAAN DIFFERENSIAL Penyelesaian PDB secara numerik berarti menghitung nilai fungsi di xr+1 = xr + h, dengan h adalah ukuran langkah (step ) setiap iterasi. Pada metode analitik, nilai awal berfungsi untuk memperoleh solusi yang unik, sedangkan pada meode numerik nilai awal (initial value) berfungsi untuk memulai iterasi. Pada perkuliahan ini akan dibahas mengenai metode yang paling dasar,yaitu : Metode Euler Diberikan PDB orde satu, y’ = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x 0) = y0 Misalkan yr = y(xr) adalah hampiran nilai y di x r yang dihitung dengan metode euler, yaitu : y(xr+1) = y(xr)+hf(xr,yr) Contoh : Diketahui PDB dy/dx = x+y dan y(0) = 1 Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0,10) dengan menghitung langkah h = 0,05 dan h = 0,02. Jumlah angka bena = 5. Diketahui solusi sejati PDB tersebut adalah y(x) = ex – x -1. Penyelesaian : a. Diketahui : a = x0 = 0 b = 0,10 h = 0,05 Dalam hal ini. f(x,y) = x+y, dan penerapan dalam metode Euler adalah : y(x r+1) = y(xr)+0,05f(xr,yr) R
xr
yr
42
0 1 2
0.00 0.05 0.10
1.0000 1.0500 1.1050
Jadi, y(0,10) = 1,1050 Jika dibandingkan dengan nilai solusi sejatinya,
y 0,10
e0,10 0,01 1 1,1103
Sehingga galatnya = 1,1103 – 1,1050 = 0,053. b. Diketahui a = x0 = 0 b = 0,10 h = 0,02 Dalam hal ini. f(x,y) = x+y, dan penerapan dalam metode Euler adalah : y(x r+1) = y(xr)+0,02f(xr,yr) R
xr
yr
0
0.00
1.0000
1
0.02
1.0200
2
0.04
1.0408
3
0.06
1.0624
4
0.08
1.0849
5
0.10
1.1082
Jadi, y(0,10) = 1,1082 Jika dibandingkan dengan nilai solusi sejatinya,
y 0,10
e0,10 0,01 1 1,1103
Sehingga galatnya = 1,1103 – 1,1082 = 0,031. Dari contoh di atas dapat terlihat kita dapat mengurangi galat dengan memperbanyak langkah (memperkecil h).
43
Metode Runge Kutta Diberikan PDB orde satu, y’ = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x 0) = y0 Misalkan yr = y(xr) adalah hampiran nilai y di x r yang dihitung dengan metode euler, yaitu : y(xr+1) = y(xr)+hf(xr,yr) Contoh : Diketahui PDB dy/dx = x+y dan y(0) = 1 Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0,10) dengan menghitung langkah h = 0,05 dan h = 0,02. Jumlah angka bena = 5. Diketahui solusi sejati PDB tersebut adalah y(x) = ex – x -1. Penyelesaian : c. Diketahui : a = x0 = 0 b = 0,10 h = 0,05 Dalam hal ini. f(x,y) = x+y, dan penerapan dalam metode Euler adalah : y(x r+1) = y(xr)+0,05f(xr,yr) R
xr 0 1 2
yr 0.00 0.05 0.10
Jadi, y(0,10) = 1,1050 Jika dibandingkan dengan nilai solusi sejatinya,
y 0,10
e0,10 0,01 1 1,1103
Sehingga galatnya = 1,1103 – 1,1050 = 0,053. d. Diketahui a = x0 = 0 b = 0,10 44
1.0000 1.0500 1.1050
h = 0,02 Dalam hal ini. f(x,y) = x+y, dan penerapan dalam metode Euler adalah : y(x r+1) = y(xr)+0,02f(xr,yr) R
xr
yr
0
0.00
1.0000
1
0.02
1.0200
2
0.04
1.0408
3
0.06
1.0624
4
0.08
1.0849
5
0.10
1.1082
Jadi, y(0,10) = 1,1082 Jika dibandingkan dengan nilai solusi sejatinya,
y 0,10
e0,10 0,01 1 1,1103
Sehingga galatnya = 1,1103 – 1,1082 = 0,031. Dari contoh di atas dapat terlihat kita dapat mengurangi galat dengan memperbanyak langkah (memperkecil h).
HAVE FUN WITH FINAL TEST OF NUMERIC METHOD
DAFTAR PUSTAKA http://2.bp.blogspot.com/_qVaCsbwu7Ws/SweLw6OZ2uI/AAAAAAAAAPQ/FveJyQzmcA/s1600/MN+02+%28Teori+Galat%29_01.gif http://ibumei.wordpress.com/2009/11/24/metode-numerik-bab-1-galat/ http://is.its-sby.edu/subjects/numerical_methods/Irfan_Metode_Numerik.pdf Munir, Rinaldi. 2008. METODE NUMERIK. ITB. Bandung Slamet, Sumantri dan Mia Indrika. 1988. MONOGRAPH : METODA NUMERIK. PAU Ilmu Komputer UI. Jakarta.
45
