diffusiemechanismen in leidingen, kanalen,
rivieren, estuaria en randzeeën (stromingen zonder dichtheidseffekten )
G.A .L . Delvigne en M. Karelse
verslag literatuuronderzoek
R895-2
lig ri
Inni 11111 ,11!_
IIIM 1
AIIu 1111511 1 ~1~11' ' 11111' 'MIIISCIIIIP, IIIMF december 1978
toegepast onderzoek waterstaat
INHOUD
Lijst van symbolen Lijst van tabellen Lijst van figuren blz . 1
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 .!
Aanleiding onderzoek ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 .2
1
Opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f
1 .3
. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Indeling rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
2
Overzicht van begrippen samenhangend met verspreiding . . .
2 .1
Algemeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
3
2 .2
Moleculaire diffusie en convectie . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . .
2 .3
Turbulente diffusie en convectie . . . . . . . . . . . .
2 .4
Dispersie en advectie . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . Menging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 .1
Basisvergelijkingen . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 .2
Turbulente stromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g
3 .3
Tweedimensionale beschouwingen , . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . ., . . . . . .
3 .3 .1
10
Vertikaal vlak
3 .3 .2
Twee horizontale dimensies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . 1 . . . . . Turbulente stroming in pijpen . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Eendimensionale beschrijvingswijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Quasi.-stationaire beschrijvingswijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4
Moleculaire dif fusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . .
15
5
Turbulente diffusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
5 .1
17 17
5 .3
Algemeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . Turbulente viskositeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * . . . . . . . . . . . . . . . . . Turbulente stof- of warmtediffusie in een richting J- wandi .
5 .4
Tangentiële massa-/warmtediffusie in pijpen . . . . . . . . . . ., . . . .
5 .5
Stationaire vrije turbulente stromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 .5
3
6
3
3 .4 3 .5 3 .6
5 .2
11
stroomrichting . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . .
1.0 12
18 21 25 26
INHOUD (vervolg)
6 6 .1 6 .2
blz . , .,Dwarsdispersie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . Dwarsdiffusie in tweedimensionale gesloten leidingen of
30 30
open kanalen . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
6 .3
Dwarsdispersie in stationaire kanaal- pf rivierstroming . . . . . Dwarsdispersie in getijstroming . . . . . . . . . . . . .. . . . , . . . . . . . . . . . .
33
7
Eendimensionale dispersie . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . ., . . . . . . . . . .
7 .1
40
Eêndimensionale dispersire in stationaire stromen . ., : . . .. . . . .
40
Analytische berekening van dispersie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 .1 .2
41
Experimenteel bepaalde dispersie . . ., . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
7 .1 .2 .1
Tweedimensionale stroming . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Driedimensionale stroming . . . . . . . . . , . ., . ., . . . . . . . . . . . . . . , . . . .
48
7 .2
Dispersie in getijstromingen , . . . . . . . . . . . . . . . . . .* . . . . ., . . . ., .
50..
7 .2 .1
Dispersie in homogene oscillerende stromingen . . . . . . . . . . . . . . .
52
7 .2 .2
Dispersie in niet-homogene, smalle estuaria . . . . . . . . . . . . . . . . .
56 .
8
Vlekdiffusie in estuaria en zeeën . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . Algemene beschouwing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estuaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
60
. . . . .
60
. . . ..
60
Zeeën . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vlekdiffusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62 '65
8 .3
Wet van Fi.ck, ltichardson's 4/3 wet, principe van Kolmogorov; . . Verband tussen diffusie en variantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 .3 .1
Variantie van een rotatiesymmetrisch systeem . . . . . . . . . . . . . . . .
66
8 .3 .2
Variantie van een niet-rotatiesymmetrisch systeem . . . . . . . . . . .
67
8 .3 .3
Variantie en diffusiekoëfficiënt in een turbulent diffusief
7 .1 .1
7 .1 .2 .2
8,1 . 8 .1 .1 8 .1 .2 8 .1 .3 8 .2
38
63 66
systee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . , . . .~ .
68
8 .3 .4
Variantie en diffusiekoëfficiënt in een dispersief systeem
..
70
8 .4
Empirische bepaling van de diffusiekoëfficiënt voor absolute en relatieve diffusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
8 .5
Tweedimensionale, radiaalsymmetrische diffusie ., . . . . . . . . . . . .
73
8 .6
Driedimensionale diffusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . Experimenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Numerieke en hydraulische diffusiemodellen ., . . . . . . . . . . . .. . . .
84
Numerieke modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
8 .7
9 .1
78
INHOUD (vervolg) blz, 84'
9 .1 .1
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 .1 .2 9 .1 .4
Eéndimensionaal (x) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: . ., . . . . . . . . . . . . Tweedimensionaal (xy) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tweedimensionaal (xz) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
9 .1 .5
Driedimensionaal (xyz) model ., . . . . . .
88
9 .2
Hydraulische modellen , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
89
Menging door wind- en go lven . . . .,., . . .* . . . . . . .
. . ., . . . . . . . .
92
ersiekoëfficiënt . . . . ., .
96 96
11 .2 .1
, . . : : ., . . . , . ., . . . Dispersiekoëffici9nt in getalvorm . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . Goten, kanalen, rivieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
11 .2 .1 ..1
Longitudinale dispersiekoëfficiënt . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . .
101
111 .2 .1 .2
Dwarsdispersiekoëfficiënt . . . . . .. . . . . . . . . . . , . . . ., . . ., . . . . ., .,
104
11 .2 .1 .3
104
11 .2 .2
Vertikale dispersiekoëfficiënt , . . . . ., ., ., . . . Getijrivieren, estuaria, zandzeeën . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 .2 .2,1
Longitudinale en horizontale dispersiekoëfficiënt . . . . . . .. . . .
105
11 .2 .2 .2
Vertikale diffusiekoëfficiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . .
111
11 .2 .2 .3
Dwarsdispersiekoëfficiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
115
11 .2 .3
Zeeën, meren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
11 .2 .3 .1
Longitudinale en horizontale dispersiekoëfficiënt . . . . . . . ., ..
116
11 .2 .3 .2
Dwarsdispersiekoëfficiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ., .,
120
11 . 2 .3 .3
Vertikale diffusiekoëfficiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
12
Enige opmerkingen- over diffusie in gelaagde systemen . . . ., . .
123
13
Samenvatting en konklusies . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . .
125
9 .1 .3
10
-
11
Turbulente diffusiekoëfficiënt, dis
11 .1
Dispersiekoëffici9nt in formulevortit
11 .2
. .
. .', .
86 86
100
105
Referenties
128
Tabellen
151
Figuren
Lijst van symbolen A
oppervlakte van een dwarsdoorsnede
m2
b,B
breedte
c,C
m
C
koncentratie, gemiddeld over turbulente tijdschaal Chézy-koëfficiënt
D
energiedissipatiesnelheid
variabel m i2/S m2/s3
e,e x ,ey ,ez dispersiekoëfficiënt, in x-, y- en z-richting exy horizontale dispersiekoëfficiënt e
xY(r)
ex(y,z) ,etc .
m2 /s
horizontale dispersiekoëfficiënt, geintegreerd
2 m /s
over de z-richting longitudinale dispersiekoëfficiënt, geintegreerd over de dwarsdoorsnede, etc .
m2/s
koncentratietransport g
variabel
versnelling van de zwaartekracht
h
(water)diepte
MIS 2 m
hr diepteverhouding model en prototype k
wrijvingskoëfficiënt
-
1,1 x ,1y ,1 z mengweglengte, x-, y- en z-richting lr lengteverhouding model en prototype L
-
n
karakteristieke lengtemaat L
P,P P
horizontale schaalfaktor druk, gemiddeld over turbulente tijdschaal diffusiesnelheid
d Pr
Prandtl-getal
Pr t
turbulent Prandtl-getal
Q,
debiet of momentane hoeveelheid
N/m 2
MIS m3,
/s, kg
radiale koprdinaat R
straal
Re
Reynoldsgetal
Ri
Richardsongetal
Sc
Schmidtgetal
-
Set
turbulent Schmidtgetal
-
t
tijdvariabele
t T
1
T
dispersie tijdschaal
s
karakteristieke tijd
5
temperatuur
TL
oK,oc
lagrange tijdschaal
u. z
snelheidskomponenten
s
u,
v, w
m/s
Lijst van symbolen (vervolg)
u
schuifspanningssnelheid
windsnelheid Uw u,v,w,
stroomsnelheid in x--, y- en z-richting
U,V,W,
stroomsnelheid,gemiddeld over turbulente tijd-
m/s m/s MIS
schaal in x-, y- en z-richting x
horizontale (longitudinale) koórdinaat
m
y
horizontale (dwars)koórdinaat
m .:
z
vertikale koórdinaat
m
S
vertikale schaalfaktor
turbulente e,em massadiffusiekoëfficiënt schijnbare diffusiekoëfficiënt ea turbulente eu impulsdiffusiekoëfficiënt (eddy vis-
m2
/s
m2 /s
cosity) e
x,y,z
turbulente diffusiekoëfficiënt in x-, y- en zrichting
m2 /s
exy
horizontale turbulente diffusiekoëfficiënt
m2 /s
r,
dynamische viskositeir
Ns/m2
hoekkoórdinaat
rad
rc
konstante van Von Kárman (n 0,4)
kinematische vu viskositeit (moleculaire impulsdiffusiekoëfficiënt)
m2 /s
moleculaire vh warmtediffusiekoëfficiënt
m2 /s
moleculaire vm (massa)diffusiekoëfficiënt
m2 /s kg/m3
p
dichtheid
62
standaarddeviatie (voor de koncentratie) van een diffunderende vlek
Qr
horizontale variantie voor hek rotatiesymmetrisch systeem
csx,6Y,6z
variantie in de richting, van x-, y- en z--koórdinaat
02 xy
¢2 + u2 x y schuifspanning
2
Coriolisparameter
m2 m2 .
m2 . NIM 2 -l . s
Lijst van symbolen (vervolg)
t
tijdsmiddeling (zodanig dat turbulente fluktuaties verdwenen zijn) ruimtelijke middeling (over één of meer ruimtelijke koórdinaten) óf middeling over getijperiode turbulente deel van de beschouwde grootheid tijdsmiddeling
over de getijperiode
Lijst van tabellen blz . 4 .1
Moleculaire diffusiekoëffieiënten voor water
151
4 .2
Moleculaire diffusiekoéfficiënten voor lucht
1 .52
5 .1
Turbulente viskositeiten e
153
5 .2.
u iTurbulente diffusiekoëfficignten loodrecht op de wand
5 .3
Turbulente diffusiekoëfficiënten in richting // wand
156
5 .4
Turbulent Prandtl- of Schmidtgetal
157
6 .1
Dwarsdispersiekoëfficiënten in leidingen en goten
158
6 .2
Dwarsdispersiekoëfficiënten in modellen
159
6 .3
Dwarsdispersiekoëfficiënten in rivieren
159
6 .4
Dwarsdispersiekoëfficiënten in kanalen en rivieren
160
7 .1
Experimentele gegevens over de déndimensionale dispersie
11 .1 11 .2 11 .3
in open kanalen
161
Experimentele waarden van
in de Missouri ex(YZ) Berekende en waargenomen horizontale dispersiekoëfficiënten
103
voor enkele Amerikaanse rivieren en estuaria
105
Horizontale dispersiekóëfficiënten voor enkele Amerikaanse estuaria
11 .4
110
Experimentele vertikale diffusiekoéfficiënten in estuaria en randzeeën
11 .6
107
"Overall" horizontale dispersiekoëfficiënten voor enkele . Britse estuaria en randzeeën
11 .5
154
114
Experimentele vertikale diffusiekoëfficiënten in zeeën en meren
121
Lijs t van -figuren
4 .1
Variatie dynamische viskositeit van water met zoutko'ncentratie en temperatuur
5 .1
Schematisch verloop turbulente schuifspanning en totale schuifspanning
5 .2
Vergelijking van uitdrukkingen voor em
5 .3
Re-invloed op de turbulente viskositeit
5 .4
Turbulente viskositeit, vergelijking theorie en experiment
5 .5
Variatie van- .het turbulente Prandtl-getal volgens Jenkins (1952)
5 .6
Variatie van het turbulente Prandtl-getal volgens Azer en Chao (1960)
5 .7
Variatie van turbulent Prandtl-getal of Schmidtgetal
5 .8
Variatie van turbulent Prandtl-getal of Schmidtgetal volgens metingen van Quarmby
5 .9
(1969 en 1972)
Variatie van turbulent Prandtl-getal uit metingen. van Abbrecht, Sleicher en Page
5 .10
Variatie van turbulent Prandtl- en Schmidtgetal, als funktie van Pr- en Sc-getal
5 .11
Variatie van de massadiffusie met afstand tot de bodem in de open kanaalstroming
5 .12
Verhouding van tangentiële tot radiale massa- of warmtediffusie(voor lucht)
5 .13
Verhouding van tangentiële tot radiale massa- of warmtediffusie bij verschillende waarden van Pr of Se
5 .14
Verdeling van schuifspanning en turbulente viskositeit in een vlakke zogstroom
5 .15
Verdeling van turbulente viskositeit in een ronde straal
5 .16
Variatie van het Prt -getal in een ronde straal
6 .1
Variatie van de dwarsdiffusie in een open kanaalstroming als funktie van de afstand tot de bodem
6 .2
Variatie van de dwarsdiffusiekoëffici~nt met de breedte/diepteverhouding in een open kanaalstroming
6 .3
Variatie van de dwarsdiffusiekogfficiënt als funktie van de kanaalruwheid
.
6 .4
Variatie van
6 .5
Variatie van de dwarsdispersiekoëfficiënt in meanderende stromen
6 .6
Variatie van de dwarsdispersiekoëfficiënt als funktie van de kanaalgeometrie
é
mpIh11/4 Y B u'h \ 1
met de ruwheid
Lijst van figuren (vervolg)
6 .7
Variatie van de getijgemiddelde dwarsdispersiekoëfficiënt als funktie van de kanaalgeometrie
7 .1
Toelichting ééndimensionale dispersie
7 .2
Variatie van de 1D - dispersiekoëfficiënt in oscillerende stroming volgens Holley e .a .
7 .3
Variatie van de 1D-dispersiekoëfficiënt in oscillerende stroming volgens Taylor III
7 .4
Variatie van de 1D-dispersiekoëfficiënt met T/Tz
7 .5
Toename van de dispersiekoëfficiënt ten gevolge van gravitatie~ cirkulatie met toenemende Richardsongetal
7 .6 8 .1 8 .2 8 .3
Korrelatie tussen de dispersieparameters en mate van gelaagdheid Rhodamineverdeling 7 uur na lozing in het Fal-estuarium (U .K .) Dispersiekoëfficiënten voor het Tees-estuarium (U .K .) als funktie van de longitudinale x-koórdinaat a . Vlek 270 uur na puntlozing in centrale Noordzee b . Vlek 6,5 uur na puntlozing bij Suffolk kust
8 .4
Lijnen van gelijke koncentratie bij een momentlozingsexperiment
8 .5
Vertikaal koncentratieprofiel op 1400 en 4350 m afstand van een kontinue bron in een stromend medium
8 .6
Aanpassing van diverse diffusievergelijkingen met experimentele RHENO-resultaten ; waarnemingen na 5, 11 en 19 dagen van diffusie
8 .7
Empirische diffusiekoëfficiënt voor het RHENO-experiment
8 .8
Horizontale dispersiekoëfficiënten versus diffusieschaal
8 .9
Horizontale diffusiekoëfficiënten vergeleken met e ti L 4/3 -curve
8 .10 8 .11
Variantie Q 2 versus diffusietijd vergeleken met G 2 % t3-relatie 2 t (variantie versus diffusietijd)-waarnemingen bij momentoxy lozingen in zeeën, kustwateren en estuaria
8 .12
Relatieve maximale koncentratie versus diffusietijd voor momentpuntlozingen in de Noordzee
9 .1
Longitudinale koncentratieverdeling voor het Tees-estuarium, berekend volgens een- en tweedimensionaal model
10 .1
Vertikaal wind- en waterstromingsprofiel (schematisch)
10 .2
Door wind gegenereerde stroming als funktie van de waterdiepte
10 .3
Ontwikkeling gemiddelde stroomsnelheid in de tijd, veroorzaakt door wind
Lijst van figuren (vervolg)
10 .4
Horizontale diffusiekoëfficiënt 6x in voortplantingsrichting van golven in veld met brekende golven, versus Hb xb /T
10 .5
Ontwikkeling in de tijd
van door wind geinduceerde stroming
11 .1
Longitudinale verspreiding door getij-invloeden in een systeem met "oeverkommen"
11 .2
a . Overzicht Tay-estuarium met meetstations b . Schijnbare diffusiekoëfficiënt versus zoetwaterafvoer c . Schijnbare diffusiekoëfficiënt versus afstand tot monding
11 .3
Gevoeligheidstest van diffusiekoëfficiënt op koncentratieverloop in een getijrivier
11 .4
Longitudinale dispersiekoëfficiënt gedurende een getijperiode in een estuarium, berekend volgens vergelijking 11,21
11 .5
Metingen en berekeningen van het koncentratieverloop bij een kontinue lozing in een getij-estuarium
11 .6
Horizontale diffusiesnelheid als funktie van de vertikale stromingsstruktuur
11 .7
Vertikale diffusiekoëfficiënt E waarnemingen in kustwateren
11 .8
z
als funktie van U2N- ; w
Dwarsdiffusiekoëfficiënt als funktie van de diffusieschaal, gemeten uit de pluimverbreding bij een kontinue lozing in stromend kustwater
12 .1
Schema circulatiestroming in tweedimensionaal estuarium met dichtheidsgradiënt
1
Inleiding
1 .1
Aanleiding onderzoek
Ter beschrijving van de snelheids-, koncentratie- of temperatuurverdeling in een medium (gas of vloeistof) als funktie van de plaats en de tijd is het noodzakelijk om het transport van impuls, materie of warmte in het medium te kennen . Het transport van een fysische eigenschap
impuls, koncentratie of
warmtekoncentratie ( : : temperatuur)] wordt onderscheiden in twee typen, die komplementair zijn dat wil zeggen de som van beide typen transport in een bepaalde richting is gelijk aan het totale transport in de beschouwde richting : convectie~type -transport, dat gericht is volgens de stroomrichting en . waarvan de grootte per eenheid van een loodrecht op de stroomrichting staand vlak gelijk is aan het produkt van de stroomsnelheid en de fysische eigenschap in het beschouwde punt . Het mechanisme van dit type transport is de meevoering van de fysische eigenschap met het bewegende medium . diffusie type- transport, dat bepaald wordt door de grootte en richting van de (plaats)gradignt in de fysische eigenschap . Als er een gradiënt in de fysische
eigenschap aanwezig
is wordt dit transport als enige transport waargenomen door een met het medium meebewegende waarnemer . De evenredigheidskonstante tussen dit zogenaamde diffusieve transport en de gradiënt is de diffusiekoëfficiënt . Bij impulsoverdracht wordt veelal van viskositeit gesproken . De kontinuiteitsvergelijking, de bewegingsvergelijking(en) en de balansvergelijking voor de beschouwde stof of voor warmte vormen een gesloten stelsel vergelijkingen, indien voor de
diffusieve
transporten de grootte van de
kogfficignten gegeven zijn . Dit betekent dat in dat geval de snelheids- en koncentratie- of temperatuurverdeling te berekenen zijn als ook de rand- en beginkondities gegeven zijn . Er is veel literatuur over diffusiemechanismen en over de grootte van de diffusiekoëfficiënten in verschillende stroomsituaties beschikbaar . 1 .2
Opdracht
In het kader van het TOW-onderzoek stromen en transportverschijnselen werd
door de Direktie Waterhuishouding en Waterbeweging van Rijkswaterstaat opdracht gegeven tot het uitvoeren van een literatuurstudie .naar de diffusieen dispersiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren, getijrivieren en randzeeën . De studie zou zich in hoofdzaak beperken tot stromen zonder dichtheidsverschillen . Deze studie werd uitgevoerd door twee personen . Het gedeelte, dat de diffusiemechanismen in leidingen, kanalen, rivieren en smalle estuaria behandeld werd geschreven door drs . M . Karelse . Het gedeelte, dat de diffusiemechanismen in brede estuaria en randzeeën behandelt werd geschreven door dr . G .A .L . Delvigne . 1 .3
Indeling rapport
Het rapport kan globaal in drie delen gesplitst worden . In het eerste deel worden de voor de verspreiding van een fysische eigenschap belangrijke begrippen behandeld (hfdst . 2) en wordt de wiskundige beschrijvingswijze van turbulente stromen gegeven (hfdst . 3), In het tweede deel (hfdst . 4 t/m 10) wordt nader ingegaan op de beschrijving van diffusiemechanismen en wordt de grootte van de diffusiekoëfficiënten, zoals die volgt uit de theorie en experimenten, gegeven . De grootte van de moleculaire diffusiekoëfficiënten voor lucht en water wordt in hoofdstuk 4 gegeven . De turbulente diffusie in pijpen, gesloten leidingen en in open kanalen komt in hoofdstuk 5 aan de orde . In hoofdstuk b wordt dwarsdispersie behandeld die samenhangt met de tweedimensionale schematisatie . In hoofdstuk 7 wordt de ééndimensionale schematisatie van diverse stromingen als uitgangspunt genomen om de verspreiding van warmte of stof te beschrijven . In hoofdstuk 8 komt de "vlek"diffusie aan bod, waarbij meer speciaal aan diffusie op zee wordt gedacht . De invloed door wind en golven op de diffusie wordt behandeld in hoofdstuk 9 . Hoofdstuk 10 is gewijd aan diffusieproblemen in hydraulische modellen . In het laatste deel van dit rapport wordt een opsomming gegeven van de theoretische en experimenteel bepaalde waarden van de diffusiekoëfficiënten in diverse omstandigheden (hfdst .
,
11), wordt het onderzoek samengevat en worden
de belangrijkste konklusies op een zij gezet (hfdst 13) .
2 2 .1
Overzicht van begrippen samenhangend met verspreiding Algemeen
Wordt door middel van een momentlozing een hoeveelheid kleurstof (tracer) aan een ontvangend watersysteem toegevoegd binnen een beperkt gebied van het totale watervolume, dan zal door diverse oorzaken de kleurstofvlek veranderingen in de tijd ondergaan . De veranderingen van de vlek en zijn positie kunnen gesplitst worden in toeneming van de omvang, vervorming en verplaatsing . Diverse transportverschijnselen als diffusie en convectie zijn verantwoordelijk voor deze veranderingen . In het hiernavolgende zullen deze transportverschijnselen nader aan de orde komen.
Opmerking In de literatuur worden de begrippen (turbulente) diffusie, dispersie, advectie en convectie niet altijd op gelijke wijze gebruikt . De betekenissen die
er in dit rapport aan worden gehecht, zullen in de komende paragrafen nog nader aangeduid worden . Reeds nu zij opgemerkt dat in dit rapport de begrippen moleculaire diffusie,
turbulente diffusie en dispersie een duidelijke
betekenis hebben, terwijl het in de literatuur vaak verschillend behandelde begrip diffusie in dit rapport op alle drie termen kan slaan en synoniem kan
worden gesteld aan verspreiding . 2 .2
Moleculaire diffusie en convectie
De stroming van vloeistoffen of gassen kan zeer regelmatig zijn ; de vloeistofof gaspakketjes volgen dan banen evenwijdig aan de stroomrichting (laminaire stromin) . Het transport van met de stroom meegevoerde deeltjes is gelijkuraan het convectieve transport . Daarnaast kunnen er diffusieve transporten optreden tengevolge van de moleculaire warmtebeweging : diffusieve stofstroom in-
dien er een koncentratiegradiënt aanwezig is, diffusie van warmte in een temperatuurgradiënt en diffusieve impulsstroom in een snelheidsgradiënt . In niet-stromende media is dit moleculaire diffusieve transport het enige transport mechanisme .
In hoofdstuk 4 wordt de moleculaire diffusie uitvoeriger behandeld .
2 .3
Turbulente diffusie en convectie
Het turbulente deel van stromingen bestaat uit die stromingen die in de tijd onregelmatig zijn in richting en in snelheid, terwijl ze gemiddeld over een zekere tijd (langer dan de "turbulentietijd") nul zijn . Het transport tengevolge van deze stromingen wordt het turbulent diffusief transport genoemd . Onder convectie wordt verstaan de (lokale) meevoering in de stroomrichting, waarbij ervan uitgegaan wordt dat er een zekere tijdgemiddelde (gemiddeld over de turbulentietijd) stroomrichting te definiëren is . De turbulente beweging van de waterdeeltjes kan men opgebouwd denken uit wervelbewegingen .
(Denk hierbij aan de wijze waarop in de Fourier-analyse een
golfbeweging wordt samengesteld uit sinusfunkties met verschillende frekwenties en amplitudes) . De afmetingen van deze turbulente wervels kunnen lopen van grootte-orde 1 mm tot een zekere markante afmeting van het systeem (denk aan Prandtl-mengweglengte) . De "levensduur" van een wervel is ten hoogste de turbulentietijd : de bewegingsrichtingen en snelheden van een deeltje op twee tijdstippen, langer dan de turbulentietijd van elkaar verwijderd, is ongekorreleerd . Of een transport als turbulent diffusie ¬ of convectie ¬ wordt beschouwd, hangt niet alleen af van de "werkelijke" aard van de stroming, maar zal vaak afhankelijk zijn van het diffusie-experiment zelf en van de beschrijvingswijze die men kiest . Een zeer grote turbulente wervel zal bij de beschrijving van diffusie op veel kleinere schalen als een convectieve stroming tot uiting komen, daar noch de grootte, noch de vorm van de vlek door deze wervel belangrijk gewijzigd wordt . Grootschalige wervels veroorzaken slechts een verplaatsing van een vlek of een meanderend effekt van een pluim . Ook qua definitie is geen scherp onderscheid te maken tussen turbulente en convectieve transporten, zeker niet bij anisotrope turbulentie . In estuaria en randzeeën laat de altijd nabije aanwezigheid van oppervlak, bodem en wanden principieel geen random-richting van stromingen toe . Zowel de dempende invloed van een grensvlak, als de genererende eigenschappen (bijv . stromingen veroorzaakt door de wind via het wateroppervlak) zijn altijd richtingsgevoelig . Volkomen isotrope turbulentie komt dus, in een bepaalde grootteklasse van de wervels, alleen voor in een systeem met neutrale gelaagdheid op grote afstand
(groot
ten opzichte van karakteristieke wervelafmeting) van grensvlakken . Dit geldt bijvoorbeeld zowel voor de volgens het turbulentiespektrum regulier aanwezige, maar anisotrope turbulentie vlak bij het wateroppervlak, maar ook voor de van
- 5
buiten ingebrachte stromingen door golven. Hier is de orbitaalbeweging zeker geen turbulentie, maar zou onder de convectieve waterbeweging moeten vallen . Bij de beschrijving van diffusie op grotere schaal (groter dan de golflengte van de oppervlaktegolven) is het echter handiger deze waterbeweging bij turbulentie onder te brengen . Het resultaat is dan wel dat de turbulentiegraad plaatsafhankelijk en anisotroop is . Turbulentie kenmerkt zich door fluktuerende waarden van c en ui (i duidt richting aan) om over een zekere zogenaamde turbulente tijdschaal gemiddelde waarde Ct en U t zodat op tijdstip t geldt :
waarbij overigens zowel Ct en Ut als c' en ui plaats en tijdsafhankelijk kunnen zijn (getijbeweging) . Het convectieve transport wordt gedefinieerd door : (2 .2)
Fconv = Ut Ct dit is een lokale grootheid . Het turbulent diffusieve transport wordt gedefinieerd als :
Fturb,i '
u
rt
(2 .3)
(-t : gemiddeld over turbulentietijdschaal) . 2 .4
Dispersie en advectie
Van de begrippen convectie, advectie, turbulente diffusie en dispersie hebben slechts turbulente diffusie en convectie een duidelijke fysische betekenis . Daarentegen komen de begrippen advectie en dispersie te voorschijn uit een wiskundige middeling van grootheden . Convectie en turbulente diffusie hebben te maken met lokale waarden van snelheid en koncentratie, en leiden derhalve tot lokale transporten . Ruimtelijke middeling over één of meer ko3rdinaten van de snelheid en de koncentratie leidt tot het advectieve transport :
U C Fadv = waarbij
(2 .4)
boven een grootheid de middeling over één of meer ruimtelijke
koórdina(a)t(en) aanduidt . voor dispersie is middeling over tenminste één ruimtekoórdinaat noodzakelijk . Het begrip leidt, evenals advectie bij vereenvoudiging van een driedimensionaal systeem tot een twee- of ééndimensionaal systeem . Het dispersieve transport wordt in dit rapport gedefinieerd als :
U C - U C + Fturb
(2 .5)
U C + F C + Ftot disp - U Fturb
(2 .b)
Fdisp Het totale transport is nu
Fadv + Fdisp Opmerking Uit vergelijking (2 .5) blijkt dat
Fdisp deeld is over de integratiekoërdinaat . 2 .5
-
Fturb als U en/of C homogeen ver-
Menging
Werkelijke menging wordt slechts veroorzaakt door moleculaire diffusie . Convectie en turbulente diffusie zorgen slechts voor een verspreiding van de beschouwde stof over een groter volume, zodat de koncentratie gemiddeld over het vergrote volume daalt . Deze koneentratievermindering is dus evengoed mogelijk bij niet-mengbare vloeistoffen . Op zeer kleine schaal blijven ook na turbulente beweging koncentratiegradiënten bestaan, daar de kleinste turbulentieklasse (waar de energie tengevolge van viskeuze krachten gedissipeerd wordt) van de orde van millimeters is . Op kleinere schaai zorgt de moleculaire diffusie (en voor colloidale oplossingen de Brownse beweging) voor een homogene verdeling van de koncentratie . Aansluitend aan het normale woordgebruik zal evenwel de koncentratiegradiëntvermindering door turbulente diffusie ook als menging worden aangeduid .
3
Wiskundige formulering van turbulente- stromingen
3 .1
Basisvergelij kingen
De beschrijving van een turbulente stroming berust op de Navier-Stokesvergelijkingen . In deze literatuurstudie wordt de vloeistof als een inkompressibel, kontinu medium beschreven . Mikroskopische invloeden worden daartoe verwerkt in moleculaire diffusiekoëfficiënten . Behalve de zwaartekracht worden geen andere uitwendige krachten in beschouwing genomen . uitgaande van een koórdinatensysteem x, y, z met een vertikaal omhooggerichte z-as worden de balansvergelijkingen voor de impuls bij konstante dichtheid p :
2
au + a (U ) + a (uv ) + a (uw) } 1 l ap at a az ay p ax _av at
_a(uv) + ax +
_aw + at
av 2
ay
a(uw) + a(vw) ax ay
3(vw)
*az +
v
u
a 2u ax 2
_1 a +pY+vu
a(w2 ) +
az
+
p
+
a
u +
ay2
a2u
az2
~. + g + az
a2 v a 2 v _v 82 ax2+ a y 2+ a z 2 vu
a 2w
a2w ay2 ax 2 +
(3 .2)
O a2w + az2 -
(3 .3)
Deze vergelijkingen gelden momentaan voor tijden < turbulentietijd . De kontinulteitsvergelijking voor een niet-samendrukbare vloeistof luidt
áX + V+ a y á~ =o
(3 .4)
Hierin zijn
u, v, w
snelheidskomponenten in x-, y- en z-richting
t
tijd
p
druk
g
gravitatieversnelling
vu
kinematische viskositeit .
De termen met vu zijn op te vatten als de moleculaire impulstransporttermen met vu als impulsdiffusiekoëfficiënt (zie hfdst . 4) . Voor de hoeveelheid opgeloste stof geldt een balansvergelijking van de vorm ac
at
+ a(uc) + a(vc) + a(wc) - v + a 2 c + aIc -WC ax a ay m [a"C X_ 2 yc a Z2
(3 .S)
waarin
c
koncentratie, hoeveelheid opgeloste stof of warmte per volume-eenheid
vm moleculaire diffusiekoëfficiënt voor opgeloste stof (index m) of warmte (index h) . Indien de moleculaire diffusiekoëfficiënten vu en vm (of vh) bekend zijn (stof konstanten), is er sprake van een gesloten stelsel van 5 vergelijkingen met 5 onbekenden (u, v, w, p en c) . Enkele empirische bepaalde waarden van deze koëfficiënten zijn gegeven in hoofdstuk 4 . In een laminaire stroming is, indien de begin- en randkondities bekend zijn, net stelselvergelijking oplosbaar .
3 .2
Turbulente stromi ngen
In de praktijk van de turbulente stromingen werkt men met statistische grootheden als de over een zekere tijdschaal gemiddelde snelheid of koncentratie . De momentane waarden worden gesplitst in een gemiddeld deel (met t aangeduid) en een fluktuerend deel (met ' aangeduid) u =U t +u' t p=p + p , c = C t + c'
en enz . .
In het vervolg wordt er slechts over gemiddelde grootheden en de momentane afwijking daarvan gesproken . Daarom wordt in het verdere verhaal de t boven de gemiddelde grootheid weggelaten . Toepassing van de middelingsprocedure op de vergelijkingen (3 .1) t/m (3 .5) levert : aT xx { DTxy + DT xz aU + a(U 2 ) + a(UV) + a(UW) + L ap - 1 át ax áy az p ( ax p a ay az
vw)
av + a (uv) + aa (~ + 1 2 ) + aa (aP át ax ay az p ay _
(VW)
+ at + ax W + aazW2) y
-
1
+ 1 aP + g - 1 p az p
aT
aT
aT
z + `.M + y z __2 y aa y (9T XZ + ~ y + z
ax
áx + á v+ á~ =0 Y aC + a (UC) + a (VC) + a (WC) + aF x +, aFy + aFz - 0 at ax ay az ax ay az
ay
aTZ
az
0
(3 .6)
= 0
(3 .7)
Z)
'
(3 .8)
(3 .9)
(3 .10)
waarin de (Reynoldse) schuifspanningen gedefinieerd worden volgens T _xx_ p
p
.
T _zz
2U u
_au -
(ur)2
t
TX~
2v u
áy
av _
(vr)2t
TxZ
u
p
29
aX
aw _ áz
(wr)2 t
p
Y
vu
vu
p
u
3
p
-au _av) UV ay } ax
(r az *
aw
ax
(av + 3z a2-,Y-,
urwr
t
(3 .11)
wt v
De diffusieve massatransporten worden, aannemend dat er sprake is van een gradiënt-type transport, gedefinieerd als F
x
F
z
ac 1
t = u,c, - v
=
VT~F
-t-
w c rt r
m áx
vm
-
m
acy
(3 .12)
_ ac
az
De vergelijkingen (3 .6) t/m (3 .10) hebben dezelfde vorm als de basisvergelijkingen . De middelingsprocedure levert extra transporttermen nl . de turbulente transporttermen in vergelijkingen [(3 .11) en (3 .]2)] . Het grote aantal termen
in de bovenstaande vergelijkingen wordt in het algemeen gereduceerd door middel van orde van grootte-beschouwingen b .v . - moleculaire diffusie is verwaarloosbaar klein ten opzichte van turbulente diffusie in turbulente stromingen - normale turbulente druk is verwaarloosbaar klein ten opzichte van de normale drukterm P >> (u,)2 Z
(Vr)2 :
(r)z .
Ter berekening van de snelheids-, koncentratie- of temperatuursverdeling met mathematische modellen is het noodzakelijk de grootte van de diffusie (of
dispersie)koëfficiënten te kennen . Zonder deze kennis overtreft het aantal onbekende grootheden het aantal beschikbare vergelijkingen . Daar de kennis van de turbulente struktuur van stromingen gering is voor de meeste turbulente stromen wordt de grootte van de diffusie- of dispersiekoëfficiënten experimenteel bepaald uit de snelheids- en koncentratieverdeling in ruimte en tijd .
Met deze empirische relaties wordt het stelsel vergelijkingen gesloten . Diverse onderzoekers gebruiken turbulentiemodellen, die ingewikkelder zijn dan het eenvoudige turbulentiemodel (waarvan in dit rapport uitgegaan wordt) dat turbulente schuifspanningen en transporten direkt aan gemiddelde snelheden en koncentraties koppelt . Ze gaan uit van basisrelaties tussen de variabele turbulentiegrootheden die minder afhankelijk zijn van geometrische kondities . Voor eenvoudige stromingen in pijpen en dergelijke bieden deze nieuwe turbulentietheorieën geen duidelijke verbeteringen, terwijl ze voor de natuurlijke stromen in rivieren e .d . nog in het ontwikkelingsstadium verkeren . In verband hiermee wordt in dit rapport slechts van het klassieke turbulentiemodel uitgegaan . 3 .3 3 .3 .1
Tweedimensionale beschouwingen Vertikaal vlak // stroomrichting
in veel stromingen zijn de snelheids-- en koncentratiegradiënten in een richting evenwijdig aan de wand en loodrecht op de stroomrichting verwaarloosbaar, zodat men de stroming als tweedimensionaal kan beschouwen (axiaalsymmetrische pijpstroming, oneindig brede gootstroming) . Via de ondiep-waterbenadering van goten, kanalen en rivieren volgt als stelsel vergelijkingen a (T a (T au + a(u 2 ) * auw + l ap * xz/p) 7 XX/p) + 0 át aX áz p aX aX aZ
(3 .13)
OP az = - p g
(3 .14)
(hydrostatische drukverdeling)
au + aw = o áX áZ
(3 .15)
+ aFX + aFz - o ac + EUC + awc at aX áx ax az
(3 .16)
In analogie met de vorm van de moleculaire diffusie worden de turbulente transporten in de literatuur gewoonlijk benaderd als gradiënt-type transporten (moleculaire effekten worden verwaarloosd)
_1
-
p TXx
E u,x
_au ax
E u,z
au az
(3 .17)
_
-
E m,z
_ac az
Hierin zijn : EU,X en E
m, x
tu,z
en E
m, z
turbulente impulsdiffusiekoëfficiënten (eddy viscosity) in x- en z-richting turbulente massadiffusiekoëfficiënten in x- en z-richting .
In de tweedimensionale, over de breedte geintegreerde, beschouwing wordt de horizontale diffusie verwaarloosd omdat volgens de ondiep-waterbenadering aT aT _XX Xz « aX a2
ax
(3 .18)
az
Opmerking : De in vergelijking(3 .17)gegeven uitdrukkingen voor Txx en FX zijn gebruikelijk voor homogene stromen, doch liggen niet zonder meer voor de hand bij gelaagde stromen . Volgens een literatuurstudie van moderne turbulentietheorieën (Waterloopkundig Laboratorium,
1974, p 3-22) is het longitu-
dinale, diffusieve impuls- resp . massatransport in gelaagde stromen evenredig met
áz
3 .3 .2
resp .
áz.
Twee-horizontale dimensies
In een open kanaal of in een rivier wordt veelal gewerkt met over de vertikaal gemiddelde grootheden . De wrijvingskracht wordt in de praktijk in deze beschrijving niet door een gradiënt-type term weergegeven, doch door een term die bepaald wordt door de over de vertikaal gemiddelde snelheden (overallgrootheden) Tb = k p U/U/
(3 .19)
waarin een - boven een grootheid duidt op de over de vertikaal gemiddelde waarde van die grootheid . De grootte van de wrijvingskoëfficiënt k is afhankelijk van de aard van de bodemmaterie en van de vorm van de dwarsdoorsnede .
De tweedimensionale stofbalansvergelijking wordt door de middeling over de vertikaal a[h(uc - uc) + hFx]
a(hc) a(huc) ahvc at + x + ay
+
ax
a[h(VC - VG) + hF ] Y + aY
~.
0
(3 .20)
De transporten in de 4e en 5e term worden dispersieve transporten genoemd, behalve van turbulente diffusie zijn deze. transporten ook afhankelijk van het snelheids- en koneentratieprofiel . Er wordt veelal aangenomen dat deze dispers eve transporten als gradiënt-type transporten, beschouwd kunnen worden . (Dit mag echter slechter onder beperkende voorwaarden (zie Taylor 1953 en 1954)), (uC - L1C) + Fx (vc - vc) + F y = -
ac ex(z) áx (3 .21) eY(z),ay
Hierbij duidt de index (z) in de dispersiekoëff ciënten e en X(z) eY(z) middeling over de vertikale dimensie, 3 .4
Turbulente stromin
op een
in wijpen
Voor stromingen in ronde pijpen gebruikt men cylinderkeërdinaten : r koórdinaat in radiale richting ; r = 0 is centrum pijp hoekkoórdinaat R : straal van de pijp u, ur , u 0 zijn snelheidskomponenten in x-, r- en O- richting . In een volledig ontwikkelde turbulente pijpstroming geldt dat 1 0 . ur =0 en U~ -0 20 . axiale symmetrie a = 0 a¢ 3 0 . het snelheidsveld is onafhankelijk van koërdinaat x . De vergelijkingen (3 .6) en (3 .9) krijgen daardoor in cylinderkoórdinaten de vorm : 2 } 1 _au (22 (r u~u F r )+ vm Pp ax = - r 2r ar t r ar . 9P
1 a
(3 .22)
- 1 3-
_
-
ar
P
r
(u' _ (r(ur)2 t + --- ) 2r_ ) r
(3 .23)
Met behulp van de randkondities aan de wand is uit vergelijkingen (3 .22) en (3 .23) af te leiden dat u r ~. --u .,t r
u
m
_a U ar
+ _r 2 (ux
g.
zie Laufer (1954), waarin u
DU - Eu, r 8 r
(3 .24)
_ de schuifspanningssnelheid
r
voorstelt . Y De totale schuifspanning verloopt lineair met afstand tot de wand . De stof- of warmtebalansvergelijking krijgt de vorm De ~t
+ auc + a
ac +
(- m x x x
+ r2
---r--rt 1 u c ) + t a
ar
-rjr t (ru r
vmx
ac 8r)
+ ao ( . vm á0
(3 .25)
In turbulente pijpstromen kan het turbulente transport weer als een gradiënttype transport opgevat worden .
_
vm
_ac ~-t _ _ ax + _ac
m ar
+
fit r
-
(vm + Em,x )
ax
De + - (vm em,r) gr
(3 .26)
Indien er van warmtetransport sprake is, wordt in plaats van de index m de index h gebruikt in de diffusiekoëfficiënten . 3 .5
Eêndimensionale beschrijv ingswijze
Middeling over een dwarsdoorsnede loodrecht op de hoofdstroomrichting levert een êéndimensionaal model. op dat geschikt is voor stromingen waarin de snelheids- en koncentratiegradiënten in richtingen loodrecht op de hoofdstroom-
richting klein zijn . Evenals in het tweedimensionale model met twee horizontale dimensies wordt de schuifspanning aangenomen als Tb = k r waarin de _ boven een grootheid duidt op de over de dwarsdoorsnede gemiddelde waarde van deze grootheid .
UIUI
De ééndimensionale stofbalansvergelijking wordt door de middeling over de dwarsdoorsnede
a AC
+ D(AUC)
+
[A (UC - UC) +
ax
fX]
= 0
(3 .27)
Overeenkomstig de definities gegeven in hoofdstuk 2 .4 kan het dispersief transport geschreven worden als : (UC -
ué)
+ Fx
- e
x(yz)
(3 .28)
aX
waarin eX(yz) de éëndimensionale dispersiekogfficiënt genoemd wordt . ((yz) duidt op middeling over y-3 .6
en
z-dimensie) .
Kwasi- stationaire beschrijvingswijze
Indien een turbulente stroming periodiek varieert in de tijd (bijv . getij_ stroming) dan wordt soms gebruik gemaakt van over deze periode gemiddelde grootheden . Maakt men hiervan gebruik en definieert men het convectie-type transport met behulp van over deze periode gemiddelde snelheden en .koncentraties dan wordt in het dispexsieve transport een bijdrage tengevolge van deze middelingsprocedure opgenomen . Het kwasi-stationaire ééndimensionale model verkrijgt men uit de middeling over de getijperiode T van vergelijking (3 .27) . Het resultaat is - eX(yzT)
Uriv C
_ DC ax
(3 .29)
waarbij - boven een grootheid duidt op middeling over de getijperiode T . De dispersiekogfficignt _1 T o
T
(Q - Qriv )
mede afhankelijk van de middelingsprocedure : ex(yzT) is (C -C) -Ae x(yz)
DE ax
~
~
dt - -Áe
x(yzT)
_8C
ax
(3 .30)
Het bovenstaande is nader uitgewerkt in rapport M896-III (Waterloopkundig Laboratorium,
1971) .
- 15 -
4
Moleculaire diffusie
In het vervolg wordt met de .koncentratie de hoeveelheid van een fysische eigenschap (impuls, warmte of materie) per eenheid van volume bedoeld .
Tengevolge van de warmtebeweging van de moleculen zal indien er sprake is van variatie van een fysische eigenschap met de plaats er relatief ten opzichte van het medium een z .g . moleculair diffusief transport plaatsvinders
van een plaats met hogere koncentratie naar een met lagere koncentratie . In navolging van Fick stelt men in de literatuur dat het moleculaire stof--
transport Fm in de x-richting tengevolge van de moleculaire bewegingen evenredig is met de gradiënt van de massakoncentratie c in die richting _ _de m,x - - vm dx
F
(4 .1)
waarin vm een stofkonstante is [m2 /s], die moleculaire stófdiffusiekoëfficiënt genoemd wordt . In navolging van Fourier wordt bet warmtetransport Fh in de x-richting evenredig gesteld met de gradiënt in de warmtekoncentratie pc T in die richting p Fh,x waarin
cp
vh x
dT X dx
(4 .2)
soortelijke warmte bij konstante druk
p
dichtheid
T
temperatuur
vh
-
een stofkonstante [m2/s]
is, die
warmtediffusiekoëfficiënt genoemd wordt (in literatuur ook wel temperatuursvereffeningskoëfficiënt) . De afgeleide stofkonstante a wordt warmtegeleidingskoëfficiënt genoemd .
Ook het moleculaire impulstransport laat zich op analoge wijze beschrijven, doch naast het vlak, waardoor het transport plaatsvindt, moet men ook de beschouwde impulsrichting specificeren . Het impulstransport F u,xy wil zeggen dat er een transport in y-richting is van x-impuls . Dit impulstransport manifesteert zich in een wrijving als er sprake is van een snelheidsgradiënt, in
bovenstaand geval in een schuifspanning Txy . In navolging van Newton kan men voor de schuifspanning schrijven au au (4 Txy ° .n ay - p ~ u á y
.s)
waarin
u
snelheidskomponent in x-richting
kinematische vu viskositeit of impulsdiffusiekoëfficiënt (is weer een stofkonstante) n
dynamische viskositeit .
De stofkonstanten vm , vh , A, v u en n hangen nog af van de druk, de temperatuur en de samenstelling, doch veelal zijn ze. nagenoeg onafhankelijk van de gradiënt . In figuur 4 .1 wordt voor water de afhankelijkheid van de viskositeit van temperatuur en de zoutkoncentratie getoond . De temperatuursafhankelijkheid van de viskositeit van vloeistoffen is groot en domineert de afhankelijkheid van de koncentratie . In tabel 4 .1 zijn de stofkonstanten voor twee temperaturen gegeven . De kinematische viskositeit neemt sterk af met de temperatuur (belangrijk voor berekening van de grootte van een Reynoldsgetal) . De warmtediffusiekoëfficiënt vh neemt slechts in geringe mate toe met toenemende temperatuur . De massadiffusiekoëfficiënt neemt sterk toe met toenemende temperatuur, doch de grootte is tevens sterk afhankelijk van het oplosmiddel en de koncentratie van oplosmiddel, zie tabel 4 .1b . De moleculaire diffusiekoëfficiënten voor zouten in water zijn van de orde (1 á 3)10-9 m2 /s . In tabel 4 .2 zijn de diffusiekoëfficiënten voor lucht gegeven . Bij normale druk en temperatuur zijn de diffusiekoëfficiënten voor gassen van de orde(0,5 á 2)10-s m2 /s . Uit de kinetische gastheorie volgt dat de koëfficiënten van gelijke orde van grootte zijn . De verhouding vu/vh wordt het Prandtl-getal genoemd (Pr) . De verhouding vu/vm wordt het Schmidtgetal genoemd (Sc) . Voor lucht geldt : Pr sr Sc
P:~
1 .
Ter verkrijging van de juiste grootte van de diffusiekoëfficiënten wordt verwezen naar Welty (1969) of andere handboeken waarin moleculaire diffusie behandeld wordt .
5
Turbulente diffusie
5 .1 -- Algemeen Als een vloeistofstroming turbulent is, is de snelheid in een bepaald punt niet konstant, maar varieert op willekeurige wijze in grootte en richting met de tijd om een gemiddelde waarde . De stroming kan dan opgevat worden als de som van een stroming met een konstante snelheid (de gemiddelde waarde) en een turbulent deel (het gemiddelde van het turbulente deel is per definitie
tul) .
Het turbulente deel kan op elke plaats en tijd opgebouwd gedacht worden uit wervels van diverse grootte . De wervels veroorzaken de beweging van vloeistofelementjes kompleet met warmte-, stof- of impulsinhoud in richtingen, die loodrecht op de stroomrichting kunnen staan . Deze wervels zijn verantwoordelijk voor impulstransport, ze veroorzaken dus schuifspanningen de z .g . Reynoldsspanningen . Beschouwt men deze impulstransporten tengevolge van turbulentie als gradiënt-type transporten dan introduceert men een extra viskositeit eu , de z .g . turbulente viskositeit ("eddy viscosity") . Deze grootheid is geen stofkonstante, maar hangt af van de aard van de stroming . De wervels veroorzaken tevens stof- of warmtetransporten, die als gradiënt-type transporten beschreven worden en door turbulente diffusiekoëfficiënten gekarakteriseerd worden . Een maat voor het turbulent zijn van de stroming is het Reynoldsgetal Re = u--~--1, v waarin u en 1 een karakteristieke snelheid resp . lengte is . Hoe groter Re des te kleiner is het moleculaire transport ten opzichte van het overeenkomstige turbulente transport . Er is een kritische waarde voor het Reynoldsgetal te vinden waarboven de stroming turbulent is . Laminaire pijpstromen bijvoorbeeld worden turbulent bij een waarde van het Reynoldsgetal (gebaseerd op gemiddelde snelheid en de diameter van de pijp) van Re ~ 2000 . Bij afwezigheid van stoorbronnen kunnen pijpstromen tot veel hogere Reynoldswaarden (» 2000) laminair blijven . Vrije "schuif"-stromen worden instabiel bij veel lagere Reynoldswaarden . Volgens de mengwegtheorie van Prandtl kunnen de turbulente fluktuaties evenredig gesteld worden met de lokale gradiënt en een mengweglengte 1, die beschouwd mag worden als de afmeting van die wervels, die in hoofdzaak .verantwoordelijk zijn voor de diffusie . u' -- w' - 1
áz
(5 .1)
-18-
ae az
l
c'
12
zodat
u c
waaruit volgt
1
2
(5 .2)
-ui au i az áz 11ul
e
_ac
az
Sz
U,Z
cm,z
3u áz _ ge
az
(5 .3)
12 lazl t u,z - c m,z -
De diffusieve uitwisseling is te karakteriseren door relaties voor de effektieve mengweglengte op te geven. In het vervolg zullen er echter slechts relaties voor de turbulente diffusiekogfficiënten zelf gegeven worden . Slechts metingen en theorie van volledig ontwikkelde turbulente stromen in pijpen, rechthoekige leidingen of goten komen in dit hoofdstuk aan de orde . 5 .2
Turbulente viskositeit
In de literatuur van de tweedimensionale grenslaag-, kanaal- en pijpstroming is er slechts een komponent van de turbulente viskositeit belangrijk . 't
en in pijpstroming
x z -
eu,z u,uYt
zx r = ,
aU
zie vergelijkingen (3 .17) en (3 .18)
z
- -
Eu
>r
ar
(zie vergelijking 3 .24)
Het gedrag van de andere komponenten van de schuifspanning is onbekend in de literatuur, omdat de metingen hoofdzakelijk in tweedimensionale stromingen verricht zijn (cylindersymmetrie in pijpen, geen variaties in dwarsrichting in goten en leidingen) . De grenslaagstroming langs een rechte wand kan onderscheiden worden in verschillende lagen, ieder met een eigen beschrijvingswijze voor het snelheidsprofiel :
(zie fig . 5 .1) :
binnenlaag voor
n
< 0 .1
(á 0 .2)
In deze laag is de totale schuifspanning nagenoeg konstant . De relatieve afstand rl is z/h voor leidingen en kanalen en z/R voor pijpen . Deze laag wordt onderverdeeld in drie sublagen : - lineaire ..sublaag voor
z < S
waarin de schuifspanning
u
vrijwel volledig viskeus is en het snelheids-
profiel lineair met afstand tot wand toeneemt . overgangslaag (bufferlayer) voor 5v z < 30v N uK U
waarin het snelheidsprofiel overgaat van lineair profiel naar een logarithmisch profiel . De totale schuifspanning is konstant in deze laag, met toenemende z neemt de bijdrage van de turbulente schuifspanning aan de. totale schuifspanning sterk toe .
logarithmische sublaag (inertial sublayer) voor 30v < z < 0 .1 h (of 0 .1 R) UN waarin het snelheidsprofiel logarithmisch is . Voor z > 3ov is de stroming volledig turbulent . De bijdrage van de u viskeuze schuifspanning aan de totale schuifspanning is nihil . De turbulente schuifspanning mag in deze laag bij benadering als konstant beschouwd worden . -; buitenlaag voor
n
> 0 .1
(á 0 .2)
waarin het snelheidsprofiel met een z .g . snelheidsverschilwet beschreven wordt
Umax -
U - UN f (n)
De turbulente schuifspanning neemt lineair af met toenemende n . In de lineaire sublaag mag volgens bovenstaande de diffusiekoëfficiënt gelijk gesteld worden aan de moleculaire diffusiekoëfficiënt . De overgang van een logarithmisch naar een lineair snelheidsprofiel (overgangslaag) nabij een gladde wand kan goed beschreven worden met de relatie die van Reichart (1951) afkomstig is
.u,r - ~u,z = K u u In de z .g .
v
u
z _ll
tanh
I1u
(5 .4)
logarithmische sublaag leveren dimensiebeschouwingen een logarith-
misch snelheidsprofiel en eu r = K u 9 z waarin
(5 .5)
K : von Karmankonstante (0 .40 - 0 .41) .
In pijp- en kanaalstroming blijkt dat het logarithmisch snelheidsprofiel ook vrij goed opgaat voor de buitenlaag . Uitgaande van een lineaire schuifspanningsverdeling en een logarithmische snelheidsverdeling volgt K UN z (1 - n) eu,r = voor de buitenlaag .
(5 .6)
_ 20 --
In de literatuur wordt naast vergelijking (5 .6) een groot aantal andere relaties voor de turbulente viskositeit in de buitenlaag gegeven . Een eenvoudige relatie die aansluit op vergelijking (5 .5) is de relatie van Reichardt (1951) . e
'z ° u 6 u h
{1 + 2 n (2-n) ll (1-n)21
(5 .7)
In de literatuurstudie van het Waterloopkundig Laboratorium (1973) wordt in hoofdstuk 3 een goed overzicht gegeven van de empirische relaties voor de turbulente viskositeit . In het bovenstaande is een korte samenvatting van deze literatuurstudie gegeven . Figuur 5 .2 is afkomstig uit dit rapport . In deze figuur worden diverse relaties vergeleken met bekende metingen . In tabel 5 .1 is bij de diverse auteurs aangegeven of ze met snelheidsverdelingen de turbulente viskositeit bepaald hebben . In de literatuur zijn nog veel meer gegevens over de gemiddelde snelheidsverdeling te vinden dan in tabel 5 .1 gegeven is, echter zonder dat de auteurs de turbulente viskositeit zelf bepaald hebben . Nabij de wand stemmen de uit metingen bepaalde viskositeiten onderling redelijk overeen, doch verder van de wand af blijken er signifikante verschillen op te treden . In het midden van een pijpstroming of nabij het wateroppervlak in een gootstroming is de snelheidsgradiënt klein en daardoor niet erg nauwkeurig te bepalen . Uitgaande van een lineair schuifspanningsprofiel volgt hieruit dat ook de viskositeit die uit de schuifspanning en het snelheidsprofiel volgt onnauwkeurig bepaald wordt in het midden van een pijp of nabij wateroppervlak in een open kanaalstroming . Uit figuur 5 .2 blijkt dat de metingen van Jobson and Sayre (1970) in een apen-kanaalstroming en van Nikuradse in een pijpstroming nabij het wateroppervlak respektievelijk in het centrum een naar nul naderende viskositeit opleveren . Een dergelijke wordt verkregen door een logaritmisch snelheidsprofiel aan u ,z te nemen ; deze vorm komt overeen met vergelijking (5 .6) .
vorm van de e
De overige metingen in figuur 5 .2 duiden op een gedrag dat redelijk door vergelijking (5 .7) wordt weergegeven : De viskositeit stijgt, volgens deze metingen, vanaf de wand tot een maximale waarde ongeveer halverwege tussen de wand en het centrum van de pijp (of wateroppervlak) . Daarna neemt de waarde naar het centrum gaande weer iets af tot 8/9 van de maximale waarde volgens Reichardt (1951) of tot 3/4 volgens de analyse die Travis (1971) van diverse metingen maakte . Travis gaf als beste benadering een modifikatie van Reichardt's vergelijking nl .
uUhZ
= 6 l3
+ 2 (1 -n) 2 } n (2-n)
(5 .8)
Deze relatie is, naast andere, in figuur 5 .1 gegeven . Niet in figuur 5 .2 vermelde metingen van Brinkworth (1969), Quarmby (1969x), Page (1952) en Dwyer (1966) geven ook aan dat de turbulente viskositeit in het centrum van een pijpstroming niet naar nul gaat . In de tot nu toe gegeven relaties is er geen Reynoldsafhankelijkheid aanwezig . Quarmby and Anand (1969x) vonden uit hun metingen wel een Reynoldsafhankelijkheid : met toenemend Re-getal neemt ook
toe (zie fig . 5 .3) . cu,z/uXR In Quarmby and Quirk (1972) is dit vergeleken met de Re-invloed die uit de
metingen van Nikuradse (1932) volgde . Uit figuur 5 .4 blijkt dat Nikuradse juist de tegengestelde tendens aangeeft : met toenemend Re-getal neemt eu,z/uKR af . In figuur 5 .4 hebben Quarmby and Quirk (1972) naast enkele meetresultaten de theoretische relaties tussen cu,z/UNR en r/R gegeven. Deze relaties hebben ze verkregen door toepassing van het sublaagprofiel van Deissler (1955) . In het middengedeelte van de stroming wordt door een Reichardt-type uitdrukking een algemeen geldende relatie gevonden van de vorm e n U'Z = b (Re) (5,9) zi = u R
J o
j
die de Reynoldsafhankelijkheid geeft . Voor de grootte van de koëfficiënten zie Quarmby en Quirk (1972) .
.
Travis (1971) vond uit zijn analyse ook dat met toenemend Reynoldsgetal de Eu,z/u3R
5 .3
iets toeneemt .
Turbulente stof- o£ warmtediffusie in een r ichting
1 - wand
In de literatuur is veel aandacht besteed aan de verhouding van de turbulente diffusie van warmte en massa enerzijds en van impuls anderzijds . Reynolds veronderstelde dat er geen verschil zou zijn op grond van de analogie van de uitwisselingsprocessen, die niet afhankelijk van de fysische eigenschap (stof- o£ warmtekoncentratie of impuls) zouden zijn, doch slechts af zouden hangen van de turbulente stroming . De analogie tussen de turbulente diffusie van warmte en van stof wordt door de theorie en door metingen bevestigd . Uit de theorie en uit metingen volgt dat de analogie tussen impulsuitwisseling enerzijds en warmte- of stofuitwisseling anderzijds niet algemeen
-- 2 2-
geldig is . Diverse onderzoekers hebben het effekt van het moleculaire Prandtlof Schmidtgetal op de verhouding
turbulent PrandtlEu,r/ h,r °f cu,r/em,r resp . Schmidtgetal nagegaan ; daarnaast blijkt deze verhouding afhankelijk te zijn van de afstand tot de gaand en volgens sommige auteurs is er enig effekt van het Reynoldsgetal . De grootte van de radiale
diffusiekoëfficiënten wordt bepaald met behulp van
vergelijking (3 .25) voor het geval van een pijpstroming of uit vergelijking (3 .16) voor het geval van een stroming ineen leiding of open kanaal . Veelal wordt er gemeten in een permanente stroming, waarin kontinu een konstante hoeveelheid stof of warmte geloosd wordt . Met behulp van grootte-ordebeschouwingen is aan te tonen dat de longitudinale diffusieterm verwaarloosbaar is . Neemt men bovendien aan dat de koncentratieverdeling ook tweedimensionaal is
(in pijp een puntbron in de as of een ringbron, aan de wand gebruiken) dan wordt vergelijking (3 .25) gereduceerd tot auc 1 áx - 7
x a
(r E
m,r
DC ) ar
o
(5 .10)
o ¬ een analoge vorm voor een gootstroming . Uit de gemeten snelheidsverdeling u(x,r) en koncentratieverdeling c(x,r) volgt met behulp van deze vergelijking de grootte van de diffusiekoëfficiënt r m, r'
Omgekeerd als de diffusiekoëfficiënt bekend is dan is met behulp van vergelijking (5 .10) en gegeven randkondities de koncentratieverdeling te berekenen . Uitgaande van de Reynoldsanalogie eu r /cm,r = 1 zou uitgaande van de vergelijking van Reichardt (5 .7) de koncentratieverdeling globaal te berekenen zijn . Jenkins (1951) heeft een theorie opgesteld die voor diverse gassen en vloeistoffen de verhouding cu r/ch r geeft . Daartoe is een model voor de turbulente beweging en uitwisseling nodig . Jenkins heeft de Prandtl mengwegtheorie gemodificeerd in die zin dat het gas- of vloeistofpakketje, dat door een wervel verplaatst wordt, tijdens deze verplaatsing reeds een impuls-, temperatuur- of koncentratieverandering ten gevolge van moleculaire uitwisseling ondergaat . Het resultaat van deze gemodificeerde mengwegtheorie is
-- 23 --
r
- _9d Eu, r 1 vu 6 Iff
Eh, r = _ i - Pr Pr Eu,r t
1
6 v 90
1 = n6
u,X
E
u
Quarmby (1972) substitueerde voor
n=1
2 2 n7rvu
_ exp P e _r u n2Tr 2v u - exp Eu
(5 .11)
u de relatie (5 .9), zodat het turbulente
E
Prandtl- of Schmidtgetal volgens vergelijking (5 .11) afhankelijk is van Pr, van Re en van de afstand z tot de wand . In figuur 5 .5 is vergelijking (5 .11) grafisch weergegeven voor enkele Voor lucht (Pr Z 0,7) is volgens Jenkins theorie Eh r/cu u r/vu . r < 1 en voor vloeibare metalen Pr . < 0,1 zelfs veel kleiner dan 1 . Voor water (Pr » 1) t
volgt uit deze theorie
r /EU,r > 1 . Substitueert men voor cu in vergelijking (5 .11) de relatie van Reichardt,verEh
gelijking (5 .8) dan is het turbulente Prandtl-getal (of Schmidtgetal) alleen afhankelijk van Pr (of Sc) en van de afstand tot de wand . Diverse andere auteurs, zoals Deissler (1952), Lykoudis en Toulukian (1958) en Azer en Chao (1960), hebben een soortgelijke mengwegtheorie als Jenkins opgesteld om de grootte van het turbulente Prandtl-- of Schmidtgetal te bepalen . Azer en Chao (1960) vonden een afhankelijkheid van het Prandtl-getal, van het Reynoldsgetal en van de afstand tot de wand . In figuur 5 .6 is voor een drietal waarden van Pr en enkele waarden van Re de vorm van Prt (r/R) gegeven . Lykoudis en Toulukian (1958) leidden theoretisch een relatie af die onafhankelijk van de afstand tot de wand en van Re is . 17eissler vond een relatie die onafhankelijk van de afstand tot de wand is . Voor lucht (Pr z 0,7) zijn de resultaten van de hierboven opgesomde theorieën vergeleken in figuur 5 .7 . Tevens zijn de metingen van Quarmby (1969b en 1972) en van Sleicher (1958) in deze figuur gegeven . De metingen van Quarmby zijn apart gegeven in figuur 5 .8 . Uit de gemeten koncentratie- en temperatuursverdelingen blijkt binnen de experimentele spreiding volgens figuur 5 .8 geen Re-invloed . Voor warmte- en massatransport volgt als beste benadering e E
m,r u,r
=
E
h,r
E
u,r
= 1 + 400(_r1)
waarin n de dimensieloos gemaakte afstand tot de wand is (n = r/R, pijp en n = z/h, leiding) .
(5 .12)
- 24-
De variatie met de afstand tot de wand is van 1 tot 2 bij de wand .
in 't midden (Reynoldsanalogie)
De pijpmetingen van Sleicher (1958) daarentegen (zie fig . 5 .7) geven wel een Re-invloed weer . Tevens vond Sleicher dat in 't midden van de pijpstroming Prt » 1 is . Ook de metingen van Page (1952) duiden op een Re-invloed en op een Pr t > 1, zie figuur 5 .9 . De metingen van Abbrecht (1960) daarentegen tonen deze Re-invloed niet, de spreiding in de uitkomsten is dermate groot
dat niet te zeggen is of Prt overal < 1 is (zie fig . 5 .9) . De invloed van het Pr-getal op de grootte van Prt of Se t die volgens enkele theorieën aanwezig moet zijn is niet gevonden door Quarmby en .Quirk (1974) uit vergelijking van metingen in water Se (760 - 1200) en lucht . (Sc t-- 0,7) .
Uit de meetresultaten van figuur . 5 .10 is de beste benadering van de metingen ongeveer de vergelijking (5 .12) die voor Prsb Se = 0,7 gold volgens Quarmby (1972) . Brinkworth (1973) vond uit zijn metingen in water (Pr ^6, Re Y 10 5 ) dat de Reynoldsanalogie voor de gehele pijpdoorsnede voldoet ; hierbij is de relatie van Reichardt (verg . 5 .7) gebruikt (zie fig . 5 .10) . De metingen van Jobson (1970) in een open~kanaalstroming naar de vertikale verspreiding van
een kleurstof geven nagenoeg een Reynoldsanalogie, als uitgegaan wordt van de door Jobson gemeten e u,r uit figuur 5 .2 . Dit betekent dat in het punt waar de schuifspanning nul wordt (wateroppervlak) de diffusiekoëfficiënt ook naar nul gaat, in tegenstelling tot de gemeten verdelingen in gesloten leidingen
en pijpen (zie fig . 5 .11), waar de turbulente wervels in het punt T = 0 niet begrensd worden door een rand . Schiller (1975) heeft de vertikale verspreiding van warmte in een open-kanaalstroming bestudeerd en vond dezelfde vorm als Jobson voor die gevallen waarin de invloed van dichtheidsverschillen klein verondersteld mag worden (zie fig . 5 .11) . Uit de summier weergegeven meetresultaten van Kalinske e .a .
(1943) in een apen-kanaalstroming is het profiel van de diffusiekoëfficiënt niet nader te bepalen .
In tabel 5 .2 is een overzicht gegeven van de belangrijkste literatuur op het gebied van de turbulente warmte- of stofuitwisseling in een richting lood-
recht op de wand . Het grootste deel van de metingen geeft aan dat in de nietdirekte omgeving van de wand de Reynoldsanalogie bij benadering opgaat .
Gezien de spreiding in de metingen valt als eindkonklusie te geven : - De resultaten van de metingen zijn niet eenduidig .
- Het overgrote deel van de metingen in pijpen en gesloten leidingen geeft een turbulent Prandtl- of Schmidtgetal dat iets kleiner dan 1 is en dat
naar de wand toe afneemt . De kromme van Quarmby (5 .12) lijkt een goede benadering voor diverse Pr- of Sc-getallen; dit wil zeggen dat er geen Re- en
-25-
geen Pr-invloed op het Pr t- of Se t-getal is, slechts een variatie met de afstand tot de wand is aantoonbaar . Jammer genoeg stemt geen van de genoemde theorieen overeen met de meetresultaten . Slechts Azer en Chao (1960) geven een Prt of Se
kleiner dan t één voor Pr = Sc - 0,7 (lucht) . Het gebrek aan. overeenstemming tussen de theorieën onderling is bij hoge Pr- of Sc-waarden nog opvallender . De metingen in open-kanaalstromingen duiden op een zodanige afname van de diffusieparameter dat deze nabij het wateroppervlak nul wordt . Uitgaande van de snelheidsmetingen van Jobson volgt daaruit dat over de gehele diepte de Reynoldsanalogie nagenoeg geldig is . De turbulente massa- en warmte-uitwisseling zijn analoog op grond van de vele meetresultaten . 5 .4
Tangentiële massa-/warmtedif fusie - in pijpen
Nikuradse (1930) toonde met zijn merkstofexperimenten in een turbulente pijpstroming aan dat het turbulente transport in tangentiële richting sneller verloopt dan in de radiale richting . Dit anisotroop gedrag van de turbulente stofoverdracht is van belang voor diverse toepassingen zoals de voorspelling van de verspreiding van stof of warmte in een open--kanaalstroming en de opname van warmte door koelwaterpijpstromen . De grootte van de tangentiële diffusiekogfficiënten wordt bepaald met behulp van vergelijking (3 .25) . Meet men in permanente pijpstromen met kontinue injektie van een konstante hoeveelheid stof of warmte dan wordt vergelijking (3 .25) onder verwaarlozing van de longitudinale diffusieterm : _DUC ax
_1 a aC _ 1 _ a aC r 0 - r ar e m,r ar - r 2 » (em,~ 3¢ ) -
(5 .13)
Indien de u(r) en de c(x,r,¢) gemeten worden en em .r bekend is dan zijn de tangentiële koéfficiënten em' ~ te berekenen uit deze vergelijking . De nauwkeurigheid van deze bepaling zal sterk afhangen van de`nauwkeurigheid van de bepaling van de radiale diffusiekogfficiënt . Het snelheidsprofiel en de radiale diffusiekogfficiënten worden verondersteld hetzelfde te zijn als in een vergelijkbaar axiaal symmetrische lozing van stof of warmte . Laufer (1954) en Sandborn (1955) toonden experimenteel aan dat nabij het eentrum van de pijp de turbulentie isotroop is doch nabij de wand (u') 2 E (u~) 2 .
- 26 -
Kamalesha en Hamratty (1970) en Sherwood (1968) konden uit hun metingen aantonen dat
(up 2
/U niet naar nul' nadert bij de wand . De tangentiele turbulente
snelheidskomponent blijkt bij de wand veel groter te zijn dan de radiale komponent en doet verwachten dat de tangentiële diffusie nabij de wand veel groter is dan de radiale diffusie . Dit wordt door Sparrow and Black (1967) bevestigd . /c h,r in de binnenlaag de waarde 10 moesten £had geven om een goede overeenstemming tussen gemeten en berekend temperatuursproZij vonden dat ze de verhouding fiel te verkrijgen . Quarmby en Anand (1969b) en Quarmby en Quirk (1972) bepaalden in diverse punten van de dwarsdoorsnede de grootte van de tangentiële diffusie van stof (NO 2 gas) en warmte voor verschillende Re-getallen (zie fig . 5 .12) . Gegeven de beperkte meetnauwkeurigheid laat het resultaat een kromme zien : 1 .
e ~ m , `Y N N Eh, r F,m,r E
2 . geen Re-invloed in bereik 6500 - 170 .000 waarneembaar 3 . slechts funktie van afstand tot de wand,verlopend van 1 in centrum van de stroming naar waarde van 10 á 100 nabij de wand . In figuur 5 .13 zijn extra gegevens van Quarmby en Quirk (1970) toegevoegd met Se = 1000 - 1200 waaruit blijkt dat er geen invloed van Pr of Se waarneembaar is . 5 .5
Stationaire vrije turbulente stromingen
Voor eenvoudige vrije turbulente stromingen is de diffusie uit metingen bekend . a . - vlakke -vrije - straal Uitgaande van de tweedimensionale vergelijkingen als voor een tweedimensionale straal (zie Hinze, 2 + . ay v
ax
22 _- ay (eu>Y ay )
DUC + -ar _ a ax
Dy
- áY
_De
(£ m, y Dy )
(3 .13) en 3 .16) vindt men
1975) :
(5 .14)
(5 .15)
- 2 7-
Gebruik makend van een gelijkvormigheidsbeschouwing volgt uit de snelheidsverdeling
á = 0
waarin
X Jr
0 .003
u0
uittreesnelheid
d
diameter van de straalopening .
Gebruik makend van de maximale waarde
umax en de breedte y1 (afstand van centrum tot punt waar u de helft van de maximale waarde geworden is) per doorsnede volgt
eu'-X -- = 0 .0125 maxy i Uit de gemeten temperatuur- of koncentratieverdeling in een vrije straal bepaalden Reichardt (1951) Pr t = 0,54, Van der Hegge Zijnen (1958) Pr t = 0,42 0,59 en Wynanski Fiedler (1970) als gemiddelde 0,45 . Dit betekent dat in een vrije straal de impulsuitwisseling langzamer plaatsvindt dan de warmte-uitwisseling . b . vlakke -zogstroom Voor een tweedimensionale zogstroming achter een cylinder met hoofdstroomsnelheid u0 en diameter d van de cylinder gaat men uit van de vergelijkingen gAu = a _EAU) (E o ax ay u,y ay
u
o
ac
r a ay
x
(E
m,y
(5 .16)
ae ) -Le
(5 .17)
waarin pu l de afname van de hoofdsnelheid in het zog is . Uit metingen achter een cylinder volgt als resultaat (zie Hinze, E
u,y
Prt De vorm
eui~y
1975)
= 0 .0164 u d 0 = 0 .54
als funktie van y is gegeven in figuur (5 .14) .
- 28-
c . - ronde - straal -in -stilstaande -omgeving (as-symmetrisch) Uitgaande van de as-symmetrie volgt uit vergelijkingen (3 .6) en .(3 .10) voor het geval van de ronde straal :
a(u z) ax
ax
+
1
+ r
_3
ar
1 _a _au (rUW) _ r (r Eu,r ar ar )
rUC ) _-r ar (r r gr (
f
ar )
(5 .18)
(5 .19)
Als u0 weer de uittreesnelheid is en d de uittree-opening volgt uit de snelheidsmetingen in het centrum van de straal (zie Hinze, 1975) Eu
r = 0 .00196 umax(x+a) ; 0 .0116 u0d
de waarde in de as en (x+a) de afstand tot "de oorsprong van max gelijkvormigheid" . in figuur 5 .15 is het verloop in de radiale richting weer-
Hierin is u
gegeven (Einze, 1975) .
Hinze en Van der Hegge Zijnen (1949) maten de temperatuursverdeling in een warmtestraal en de koncentratieverdeling in een isotherme straal . Zij vonden geen verschil in de verspreiding van warmte en stof in een ronde straal . Het Prt-getal bleek uit de metingen afhankelijk te zijn van de radiale afstand tot de as van de straal (zie fig . 5 .14) . De gemiddelde waarde was Pr t = Se t ~ 0 .73 Uit metingen van anderen volgt een variatie tussen 0,70 en 0,83 (zie tabel 5 .4) . De in figuur 5 .16 aangegeven relatie kan als een redelijk gemiddelde van de metingen beschouwd worden . d . ronde zogstroom (as-symmetrisch) Uitgegaan wordt er bij de ronde zogstroom van de vergelijkingen aAu _Mu _ _1 (r E u,r ar ) r r o -a u ax
uo ax
r ar (r Em,r ar )
waarin Au het snelheidsverschil met uo in de zogstroming voorstelt .
(5 .20)
(5 .21)
-29_
Uit metingen achter een ronde schijf (diameter d) vindt men voor het midden van de zogstroom (Carmody, 1964)
uud a
= 0 .097
(aXa) -1/3
De grootte van het Pr t-getal is niet gegeven voor dit type stroming .
-- 30 -
6
Dwars dispersie
6 .1
Dwarsdiffusie in tweedimensionale gesloten leidingen of oen goten
Omdat de verspreiding in dwarsrichting [// bodem en l stroomrichting in een gesloten leiding o£ een open goot met kunstante dwarsdoorsnede zich onder-
in
scheidt, wat grootte van de dimensieloze diffusieparameter betreft, van de tangentiele verspreiding in een pijp (hfdst . 5 .3) zijn beide facetten van de
verspreiding in dwarsrichting afzonderlijk behandeld, De turbulentie in een gesloten leiding of in een open kanaal is niet isotroop , waardoor er geen
analytische relatie tussen de diffusie in vertikale en die in dwarsrichting bepaald kan worden . De diffusie in dwarsrichting kan daarom alleen experimenteel bepaald worden . De meetmethoden zijn te onderscheiden in* - meting van de verspreiding in dwarsrichting van drijvende deeltjes, Dit levert de dwarsdiffusie nabij het wateroppervlak - meting van de verspreiding in dwarsrichting van kleurstof of warmte . Dit levert het verloop van de dwarsdiffusie over de vertikaal, of indien men met een middeling over de vertikaal werkt, de over de vertikaal gemiddelde dwarsdiffusie . Zie tabel 6 .1 . De in de literatuur vermelde metingen aan de verspreiding in dwarsrichting zijn verricht in permanente stromingen met veelal een kontinue injektie van een konstante hoeveelheid stof of warmte per tijdseenheid . Aannemend dat de stroming slechts één snelheidskomponent heeft (in de lengterichting) en dat de longitudinale diffusie ten opzichte van de dwars- en vertikale diffusie verwaarloosd kan worden wordt vergelijking (3 .10) auc + a (_ E az ay m,y
ax
ac) ay
+
a
(-
¬
ac
m,z 9Z) - °
Indien c m,z als bekend aangenomen wordt (hfdst . 5 .3) dan is uit de gemeten koncentratieverdeling c(x,y,z) en de snelheidsverdeling u(y,z) het verloop van
E
m2Y
(u,z)
te bepalen .
Veelal echter wordt er gewerkt met een middeling over de vertikaal . In dat geval wordt vergelijking (3 .20) toegepast op een permanente stroming met kontinue injekties van een konstante hoeveelheid stof
a
ahuc ,~
ay
ax
(_ h e
_3c )
ay
Y (z)
G
(6 .2)
waarin --- duidt op middeling over de vertikaal : dispersiekoëfficiënt in y richting, geintegreerd over de vertikaal .
y (z)
Uit de koncentratieverdeling c(x,y) en de snelheidsverdeling u(y) volgt dan het verloop van in de dwarsrichting . eY(z) De grootte van de dispersiekoëfficiënt wordt in het algemeen bepaald met de z .g . momentenmethode u dot
(6 .3)
eY(z) - 2 dx ,~ -
c
(y-Yo)2
°°, f c
dy
dy
"
_--
: de variantie van de koncentratieverdeling in dwarsrichting
en
= plaats stroomlijn door lozingspunt . yo Dit betekent dat voor de bepaling van de dispersiekoëfficiënt de gehele koncentratie-dwarsverdeling op twee plaatsen in de lengterichting gebruikt wordt . Uitgaande van vergelijking (6 .1) volgt __ _1 _a _aa_2 ao2 1 Em,y 2 [U ax - az e m,z az
(6 .4)
waaruit emgy(y,z) volgt . Andere methoden om de dwarsdispersiekoëfficiënt te bepalen berusten op de aanname dat de koncentratieverdeling in dwarsrichting Gauss-vormig is ; uitgaande van vergelijking (6 .2) met h u en konstant veronderstellend volgt eY(z) c _
waarin
Qm
2h
éY ( ) u ~x-x z 0
exp
(6 .5)
: geloosde massa per tijdseenheid
xo ,Y0 : lozingspunt . via een niet-lineaire eY(z) kleinste-kwadratenmethode, toegepast op de gemeten c(x,y) en vergelijking Indien er geen invloed van de oevers is kan
(6 .5) bepaald worden . Een andere methode die volgt uit vergelijking(6 .5) is de
-32-
variatie van
cmax
ten opzichte van (x-xo) te beschouwen de
max 2 h 41r
êy(z)u
Deze methode is erg gevoelig voor verlies van stof door absorptie of afbraak van stof, waardoor c afneemt . max Indien de koncentratieverdeling de zijwanden bereikt dan is vergelijking (6 .5) te generaliseren door toepassing van het spiegelbeeldprincipe . Voor het geval
van injektie aan de zijwand zo = 0 krijgt men
c =
QM h &
ey(z)
u (x-x. )
rrr n~~~ s:~
exp
-
(y-2nB_) 2 4 e y(z)
(x-Xo )
(6 .6)
waarin B de breedte is . Fischer (1973) en Nysing (1975) hebben een literatuuroverzicht gegeven van de turbulente diffusie in dwarsrichting . In tabel 6 .1 is een overzicht gegeven
van de belangrijkste literatuurbronnen met meetgegevens . De metingen met drijvende deeltjes leveren een gemiddelde dimensieloze koëffiy(z} ciënt ~ . 0,20 . (wateroppervlak) h ux De dwarsdispersiekoëfficiënt voor rechte leidingen en open goten, bepaald uit koncentratie- of temperatuursverdelingen in het midden van de leiding of goot is gemiddeld ey(z) h uA
0,15 .
Okoye (1970) bepaalde met behulp van vergelijking (6 .4) de variantie van e rally over de vertikaal . Fischer (1973) modificeerde zijn resultaten, zodanig dat
bovenstaande waarden ermee in overeenstemming zijn ; dit leverde figuur (6 .1) op . Vergelijking met de vertikaae diffusiekoëfficiënt toont dat de dwarsdispersiekoëfficiënt gemiddeld een faktor 2 á 2,5 groter is (over gehele vertikaal anisotropie) . In het midden van een pijpstroom daarentegen is er geen verschil in tangentiële en radiale waarde, zie par . 5 .3 . Okoye's metingen (1970) in een rechte goot lieten zien dat met de variatie van de breedte/diepteverhouding (B/h) ook de dime n sieloze dispersiekoëfficiënt varieerde : hoe groter B/h des te groter is - Y(z) . uNh
Dit duidt er op, dat de karakteristieke lengtemaat voor de turbulentie gemodificeerd moet worden : als B/h toeneemt moet de turbulente mengweglengte
-- 33 -
ook toenemen . In figuur 6 .1 zijn naast de meetresultaten van Okoye ook van anderen metingen gegeven . De metingen van Miller (1974) onderschee iden zich vanwege de grote bodemruwheid . In figuur 6 .2 is het verloop van y (z) als uNh funktie van gJ /C` (C = Chézy) weergegeven . Hoe ruwer de goot des te groter is de dwarsdispersie . Een Reynoldsafhankelijkheid is niet uit de metingen gevonden, zodat het resultaat is
-Y(z) = f (z, u%
g~~ B/h)
(6 .7)
Kwantitatief is het resultaat op grond van de metingen van Okoye (1970), Prych (1970), Sayre en Miller (1974) als volgt te benaderen : voor
Jg/C` < 0,09
en voor
Jg/C` a 0,09
,
e
z}
(B)1 /4 =
uh e 9 (z) u h
(B)1/4
0,065
- 0,427 Jg/C` + 0,027
HiQrbij is het B/h-bereik 5 - 65 en het //C? bereik 0,04 - 0,21 . De in deze paragraaf behandelde metingen zijn verricht in rechte goten en rechte leidingen, waarin verondersteld mocht worden dat er geen sekundaire
stromen optraden, die een belangrijke bijdrage aan de verspreiding van stof of warmte leverden . De metingen werden daarom in het midden van de stroming uitgevoerd, in de nabijheid van de zijwanden kunnen sekundaire stromen wel een bijdrage leveren (zie Tracy, 1965) . Beschouwen we de dwarsverspreiding in rivieren dan worden de sekundaire stromen belangrijk ; hierop wordt in paragraaf 6 .2 nader ingegaan . 6 .2
Dwarsdispersie in een stationaire kanaal- of rivierstroming
In kanalen en rivieren is in het algemeen de breedte/diepte-verhouding groot (orde 100) . Bij de beschouwing van de verspreiding van geloosde stof of
warmte benedenstrooms van een lozingspunt in een permanente kanaal- of rivierstroming worden bij kontinue lozing drie mengzones onderscheiden . De
eerste zone strekt zich uit van het lozingspunt tot aan sektie waar de stof of warmte nagenoeg homogeen over de vertikaal is verdeeld . Indien de initiële
menging bij het lozingspunt gering is ligt de lengte van deze zone in de orde
van (50 á 100) h (zie o .a . Yotsukura en Sayre,
1976 en verder par . 7 .2) .
Als de initiële menging bij het lozingspunt groot is wordt de lengte van de zone aanzienlijk kleiner . De tweede zone strekt zich verder benedenstrooms uit tot een sektie waar de koncentratie- of temperatuurverdeling redelijk uniform over de gehele dwarsdoorsnede wordt . De lengte van deze zone hangt sterk van de breedte van het kanaal of de rivier af en ligt veelal in orde van 10 km of zelfs nog eenorde groter (zie verder par . 7 .2) . In deze zone is een tweedimensionale benadering van de koncentratie- of temperatuursverdeling zinvol . De derde zone strekt zich vanaf het punt waar de tweede zone eindigt verder benedenstrooms uit . In deze zone is een 99ndimensionale beschouwing zinvol (hfdst . 7) . zoals reeds vermeld is, is in de tweede zone de koncentratie- of de temperatuursverdeling redelijk homogeen over de vertikaal, terwijl in de dwarsrichting direkt benedenstrooms van de eerste zone grote gradiënten optreden . Worden de stroming en de koueentratieverdeling in verband hiermee tweedimensionaal beschouwd door over de vertikaal gemiddelde waarden aan te nemen (- boven grootheid) dan wordt vergelijking (3 .20) voor kontinue lozing a(huc)
_3(hvc
_8
[-
Hierin is aangenomen dat de longitudinale dispersieterm uit vergelijking (3 .20) verwaarloosd mag worden als de gradiënten in dwarsrichting veel groter zijn dan de gradiënten in langsrichting (dit geldt voor meest stroomopwaartse deel van zone 2) . In paragraaf 6 .,1 is de verspreiding in dwarsrichting tengevolge van diffusie van stoffen of warmte in een gesloten leiding of in een open-kanaalstroming beschouwd . In de beschouwde stromingen was er voornamelijk stroming in de lengterichting, de invloed van sekundaire stromen op de dwarsverspreiding was klein . In een kanaal of een rivier daarentegen zijn er niet alleen sekundaire stromen aanwezig, doch ook netto dwarssnelheden tengevolge van bochtstroming en dieptevariaties . In de tweede term van vergelijking (6 .8) is de invloed van de netto dwarssnelheid v op de koncentratieverdeling . in rekening gebracht . 1n de derde term komt naast de turbulente diffusie ook een convectieve bijdrage voor n1 .
(vc - vc),
waarin de invloed van sekun-
daire stromen weergegeven wordt . De verspreiding in dwarsrichting als gevolg
- 35-.
van een niet uniforme dwarssnelheidsverdeling en van turbulente dwarsdiffusie gezamenlijk wordt dwarsdispersie genoemd en als gradiënt-type transport beschouwd (vc-vc+Fy) _-e
ac y, z 8y
(6 .9)
zie ook vergelijking (3 .17) . Deze ruwe benadering blijkt voor praktijkproblemen zinvol te zijn . In vergelijking (6 .7) is de longitudinale dispersie verwaarloosd ten opzichte van de dwarsdispersie op grond van een orde van groottebeschouwing .De dwarsdispersie geeft aan de verspreiding in dwarsrichting die een meebewegende waarnemer ziet . Deze waarnemer verplaatst zich langs een stroomlijn . Om de dwarsdispersie uit de gemeten koncentratieverdeling te bega~ len is het dus nodig de tweedimensionale snelheidsverdeling u (x,y) te meten . De belangrijkste dwarsdispersiemechanismen in een permanente stroming zijn : a . diffusie tengevolge van de bodemschuifspanning b . sekundaire stromingen tengevolge van bochten . in de stroming c . stromingen en turbulentie tengevolge van wandgeometrie . Ad a : . Dit mechanisme is in rechte leidingen en kanalen dominerend (zie par,
6 .1) .
Ad b : In een rivierbocht maken de nprmaalkrachten, te weten de drukvervalkracht tengevolge van tiet dwarsverhang van het wateroppervlak en de normale komponent van de traagheidskrachten ( : : u2 ), geintegreerd over de vertikaal evenwicht . Aan het wateroppervlak overheerst de traagheidskracht de over de vertikaal konstante-drukvervalkracht en aan de bodem is dit juist andersom . Aan het wateroppervlak is de cirkulatiestroming dus naar buiten gericht en aan, de bodem juist naar de binnenbocht . Fischer (1969a) bepaalde uit 5 proeven in een uniform gekromde open goot de dwarsdispersie
(z) u h waarin
= c
( u )2 u
( }2
lt
kromtestraal (2,06 m)
c
konstante,orde van grootte 25 á30 .
De metingen blijken redelijk met vergelijking (6 .10) te benaderen .
(6 .10)
- 36-
varieerde van 0,5 tot 2,4 bij Re - uN h/v variatie van 150 - 500 . eY(z)/uKh Uit de grootte van in vergelijking tot de waarde in rechte goten eY(z)/uKh (par . 6 .1) volgt dat in deze goot de sekundaire stromen de dwarsdispersie domineren . Chang (1971) verkreeg in een sinusvormige goot waarden van van 0,62 tot 1,2 . Yotsukura (1976) heeft voor meanderende stromen eY(z)/u% de variatie van de dwarsdispersiekoëfficiënt met de breedte/diepteverhouding (B/h) en de diepte/kromtestraalverhouding (h/R) nagegaan en vond
ey(z) u%
~_
c (urm) u
(R)2
(h)
2
in figuur 6 .5 is dit verband weergegeven door getrokken lijnen . De modelmetingen in meanderende goten van Fischer (1969x) en Chang (1971) zijn uitgezet naast de metingen van Krishnappan en Lau (1977) in een meanderende goot met onregelmatige bodemligging en naast veldmetingen in de Missouri van Sayre en Yeh (1973) . Vergelijking (6 .11) is een uitbreiding van vergelijking (6 .10) ; in figuur 6 .5 zijn 3 lijnen getrokken, één voor een goot met uniform doorsnede, één voor een goot met sterk wisselende doorsnede en één voor de Missouri . In alle veldmetingen is er enig effekt van de sekundaire . stroming tengevolge van rivierbochten op de. dwarsdispersie aanwezig . Ad c : Indien er kribben aanwezig zijn in een rivier, zal zodra de koncentratieverdeling zich tot aan de oevers uitstrekt de kribinvloed op de dwarsverspreiding aanwezig zijn . Indien er geen netto-dwarssnelheden aanwezig zijn wordt ter bepaling van de dwarsdispersie veelal de verandering van de variantie van de koncentratieverdeling (verg . 6 .3) gebruikt . Holley e .a .
(1971)
hebben deze methode gegeneraliseerd, zodat deze gebruikt kan worden voor de bepaling van de dwarsdispersie in onregelmatige kanalen, waarin dwarsstromen optreden en in kanalen waarin de merkstof de kanaaloever bereikt . Deze methode heeft tot doel om het effekt van dwarsstromen en dwarsdispersie te scheiden . In plaats van de variantie van de koncentratieverdeling ging Holley uit van de variantie van de massastroom uhc .
Toepassing van deze methode is
slechts zinvol mogelijk als meetgegevens in dwarsdoorsneden gegeven worden die zodanig dicht bijeen liggen dat de integraties in de lengterichting nauwkeurig genoeg zijn . In veel veldmetingen is dit praktisch niet uitvoerbaar . Holley en Abraham (1973x) toetsten deze methode echter in een rechte goot, waarin kribben aangebracht werden en in een fysisch model van de IJssel .
- 36-
varieerde van 0,5 tot 2,4 bij Re - uK h/v variatie van 150 - 500 . ey(z)/ .Kh Uit de grootte van vergelijking tot de waarde in rechte goten eY(z)/uKh in (par . 6 .1) volgt dat in deze goot de sekundaire stromen de dwarsdispersie domineren . Chang (1971) verkreeg in een sinusvormige goot waarden van van 0,62 tot 1,2, Yotsukura (1976) heeft voor meanderende stromen eY(z)/uxh de variatie van de dwarsdispersiekogfficignt met de breedte/diepteverhouding (B/h) en de diepte/kromtestraalverhouding (h/R) nagegaan en vond e
y(?)
uNh
= c
(urm) .(R)2
u
(h)2
In figuur 6 .5 is dit verband weergegeven door getrokken lijnen . De modelmetingen in meanderende goten van Fischer (1969x) en Chang (1971) zijn uitgezet naast de metingen van Krishnappan en Lau (1977) in een meanderende goot met onregelmatige bodemligging en naast veldmetingen in de Missouri van Sayre en Yeh (1973) . Vergelijking (6 .11) is een uitbreiding van vergelijking (6 .10) ; in figuur 6 .5 zijn 3 lijnen getrokken, één voor een goot met uniform doorsnede, éên voor een goot met sterk wisselende doorsnede en êén voor de Missouri, In alle veldmetingen is er enig effekt van de sekundaire . stroming tengevolge van rivierbochten op de dwarsdispersie aanwezig. Ad c : Indien er kribben aanwezig zijn in een rivier, zal zodra de koncentratieverdeling zich tot aan de oevers uitstrekt de kribinvloed op de dwarsverspreiding aanwezig zijn . Indien er geen netto-dwarssnelheden aanwezig zijn wordt ter bepaling van de dwarsdispersie veelal de verandering van de variantie van de koncentratieverdeling (verg . 6 .3) gebruikt . Volley e .a .
(1971)
hebben deze methode gegeneraliseerd, zodat deze gebruikt kan worden voor de bepaling van de dwarsdispersie in onregelmatige kanalen, waarin dwarsstromen optreden en in kanalen waarin de merkstof de kanaaloever bereikt . Deze methode heeft tot doei om het effekt van dwarsstromen en dwarsdispersie te scheiden . In plaats van de variantie van de koncentratieverdeling ging Holley uit van de variantie van de massastroom uhc .
Toepassing van deze methode is
slechts zinvol mogelijk als meetgegevens in dwarsdoorsneden gegeven worden die zodanig dicht bijeen liggen dat de integraties in de lengterichting nauwkeurig genoeg zijn . In veel veldmetingen is dit praktisch niet uitvoerbaar . Holley en Abraham (1973x) toetsten deze methode echter in een rechte goot, waarin kribben aangebracht werden en in een fysisch model van de IJssel .
- 37 -
De kribben veroorzaken een verplaatsing van de stroomlijnen nabij de kribkoppen naar het midden van de goot ; in de neerstroom aan de benedenstroomse zijde van de krib treden sekundaire cirkulatiestromingen op tengevolge van de dwarsdrukvervalkracht in de neerstroom . Bovendien treedt er aan de stroomscheiding tussen hoofd- en neerstroom extra turbulentie op . In tabel 6 .2 is het resultaat van Holley en Abraham (1973) weergegeven . De kribben blijken een grote invloed op de grootte van ey/u-«h te hebben . De grootte van de dimensieloze dwarsdispersie varieert in de dwarsrichting . De grootste waarden komen bij de oever voor tengevolge van de grote kribinvloed : Dit komt tot uiting in een grotere waarde van de over de dwarsdoorsnede konstante Holly
bij zij-injektie ten opzichte van de waarde bij middeninjektie eY(z) (1975) heeft de methode van Holley toegepast , op een goot met een drie-
hoekvormige dwarsdoorsnede om te onderzoeken of er in plaats van met een konstante dwarsdispersiekogfficiënt per dwarsdoorsnede beter met een aan de lokale diepte gekoppelde kogfficignt gerekend kan worden (e
u(x,y)h(x,y)) .
De beste benadering van de metingen gaf ey : : 0,5 uK h dat wil zeggen de konstante waarde . De grootre van de dimensieloze parameter is ongeveer een faktor 2 groter dan in een goot met een rechthoekige doorsnede . Holly schreef dit toe aan de invloed van de schuifspanning aan de zijwanden . In veel rivieren is uit metingen de grootte van de dwarsdispersie bepaald (zie tabel 6 .3) . De analyse van de veldmetingen wordt veelal verricht met behulp van de verandering van de variantie van de koncentratieverdeling in de lengterichting (verg . 6 .3) . Een redelijke benadering kan met deze methode bereikt worden voor gemiddelde omstandigheden over grote afstanden .in de lengterichting (x > 5 km), doch lokaal kunnen er grote afwijkingen optreden (zie Holley en Abraham,
1973a en b) . Indien men de gemeten netto dwarssnelheden
niet in rekening brengt om de gemeten koncentratieverdeling te korrigeren, komt het effekt van deze dwarssnelheden als een extra bijdrage tot uiting in de dwarsdispersie . In paragraaf 6 .1 werd voor een recht kanaal gevonden dat de dwarsdispersie toenam met toenemende B/h-verhouding . Uit de metingen van Glover, Fischer en Yotsukura volgt voor een rivier zonder kribben een zelfde tendens . In een rivier met kribben is de invloed van de kribben op de dwarsdispersie echter des te groter hoe kleiner B/h is dat wil zeggen met toenemende B/hverhouding zal ey/uKh dan afnemen (Holley,
1973a) .
- 38 -
In een kanaal of rivier blijkt de turbulente diffusie in dwarsrichting veelal niet het dominerende dispersiemechanisme te zijn . De verspreiding van stof of warmte in de dwarsrichting wordt in een rivierbocht aanzienlijk door sekundaire stromen beinvloed, met behulp van vergelijkingen (6 .10) of (6 .11) is deze invloed a¬ te schatten . Indien de diepte in dwarsrichting sterk varieert en indien er kribben aan de oevers voorkomen wordt de dwarsdispersie ook aanzienlijk groter . De grootte hiervan in een willekeurige rivier is slechts te schatten . Uit numerieke berekeningen van de koncentratieverdeling in een rivier blijkt dat de gevoeligheid van de berekende koncentratieverdeling voor de grootte van ey(z) niet lineair is . Een afwijking van 50% in e y(z) geeft een veel kleinere afwijking in de koncentratie (zie o .a . Hoiley, 1971b) . Hieruit volgt dat een redelijke schatting van de grootte van de dispersie voldoende is . 6 .3
Dwarsdisversie in Qetiistromen
Uit vergelijking (3 .21) volgt dat als de longitudinale dispersie verwaarloosd wordt voor een meebewegende waarnemer geldt dc
2 2c
(6 .12)
waarin
onafhankelijk van y genomen is . ey(z) Behalve de in paragraaf 6 .2 reeds genoemde dispersiemechanismen worden in een getijstroming ook de grootschalige horizontale cirkulatiestromen, die vooral rond de kentering optreden belangrijk .
Ward (1972 en 1974) en Sumer (1976)
hebben de dwarsdispersie in getijgoten
gemeten . Ward bepaalde de dwarsdispersie in een goot met getijbeweging fotografisch . Het bijzondere van zijn experimenten was dat hij in een rechte goot en 3 soorten meanderende goten gemeten heeft . In de analyse van z'n metingen werd de koncentratieverdeling niet gekorrigeerd voor de netto dwarssnelheden, doch werd een soort gemiddelde dispersiekoëfficiënt berekend (middeling in lengterichting) :
via vergelijking (6 .3) voor een kontinue lozing rond ey(z) maximale vloedstroom en éy(Z) door een in lengte en tijd gemiddelde koncentratieverdeling te bekijken . In de figuren (6 .6) en (6 .7) is het resultaat van Ward getoond . Vooral uit figuur 6 .7 volgt dat zowel de verhouding h/R als ook
B/R van invloed zijn . e De waarde van y(z) voor een rechte goot is groter dan de in een permanente stroming hUK waarde . Mogelijke oorzaak hiervan is het bestaan optredende
-39-
van grote horizontale cirkulatiestromen bij de kenteringen . Sumer (1976) vond uit zijn getijgootmetingen hetzelfde . Bij een niet-uniforme dwarsdoorsnede
werd de dwarsdispersie extra vergroot (zie tabel 6 .4) .
Ward (1974) analyseerde veldmetingen in de San Francisco Bay (Dispersion Studies, 1972), Cordova Bay (Waldichuk, 1967) en in het Gironde estuarium (Bonneville, 1966) en vond respektievelijk -_ 1 en en 1,03 (zie tabel 6 .4) . ey(z)/huN ey(z) /huN - 0,42 In de Delaware vond Fischer (1974a) ey/
m = 1,2 .
hu
-GO-
7
Eendimensionale d ispersie
7 .1
Eendimensionale dispersie in stationaire stromen
Voor veel praktische problemen, denk aan stromingen in pijpen, goten en smalle kanalen, is het transport van massa of warmte in de hoofdrichting slechts van
belang, omdat de koncentratieverdeling redelijk uniform is over de dwarsdoorsnede . De over de .dwarsdoorsnede gemiddelde koncentratieverdeling c(x,t)
wordt dan beschouwd . In waterlopen is er als er een stroming aanwezig is steeds sprake van een snelheidsgradiënt in een richting loodrecht op de wand tengevol-
ge van de schuifspanning aan de wand . Een uit de literatuur bekende figuur om de werking van een vertikale snelheidsgradiënt op de longitudinale verspreiding
van stof aanschouwelijk weer te geven is figuur 7 .1 . Op het begintijdstip van lozen is alle stof in een lijnbron gekoncentreerd . Uitgaande van meesleping van de stof met het bewegende water verspreidt de stof zich volgens de vorm van
het snelheidsprofiel, die door de bodemschuifspanning bepaald wordt . Als men uitgaat van een logarithmische snelheidsprofiel wordt de meeste stof verplaatst met een snelheid nagenoeg gelijk aan de oppervlaktesnelheid terwijl aan de bodem de verplaatsing duidelijk kleiner is . In figuur Ic is weergegeven hoe na een korte tijd de over de vertikaal gemiddelde koncentratie varieert in de lengterichting . De verspreiding in de lengterichting blijkt een orde groter te zijn dan uit de moleculaire of turbulente diffusie in de lengterichting volgt . De aanwezige vertikale diffusie zal er voor zorgen dat de vertikale koncentratieverschillen, die veroorzaakt worden door de vertikale snelheidsgradiënt, verkleind worden . Dit betekent dat het pakketje water aan het oppervlak dat
met de oppervlaktesnelheid verplaatst wordt tijdens deze verplaatsing een lagere koncentratie krijgt vanwege de vertikale diffusie . Hetzelfde geldt voor een pakketje water aan de bodem . Het resultaat is dat met toenemende vertikale diffusie de verspreiding in lengterichting afneemt . Taylor (1953) nam waar dat ver genoeg benedenstrooms van de lijnbron de toename van de vertikale koncentratiegradiënt vanwege het schuifspanningseffekt gekompenseerd wordt door de afname van deze gradiënt door vextikale diffusie . Dit blijkt volgens Taylor (1953) het geval te zijn als c"« c. waarbij - boven een grootheid duidt op middeling over de dwarsdoorsnede. " boven een grootheid duidt op het van de ruimtelijk gemiddelde waarde afwijl+:end deel . Onder bepaalde aannamen (zie par . 7 .1 .1)
is het zinvol om een éêndimensionale
- 41 -
benadering toe te passen . Substitutie van c = c + c" en u = u + u" in de driedimensionale massabalansvergelijking (3 .10) en integratie over de dwarsdoorsnede A Zevert de êêndimensionale massabalansvergelijking : + f a Au"c ~~
aAc + a
Het transport in de hoofdstroomrichting is hierin gesplitst in een advectief deel uc en een dispersief deel (zie par . 2 .4) : ,i c" + F
- - e
X(yz)
_a c
ax
(7 .2)
De eerste term van het linkerlid van vergelijking (7 .2) is de bijdrage van het snelheidsprofiel aan de dispersie en de tweede term is de diffusieve bijdrage, die in een 99ndimensionale analyse meestal verwaarloosd mag worden ten opzichte van de eerste term. 7 .1 .1
Analytische benadering van dispersie
De Taylor--methode (1953) toegepast op een tweedimensionale stroming gaat uit van de volgende veronderstellingen . aF
ay
ax « az z at
c" « c
en
a' c ~
aX
«
ac" ac
áx
< De at
(7 .3)
(7 .4)
Integratie van de driedimensionale massabalansvergelijking (3 .10) over de dwarsdoorsnede, gebruikmakend van de veronderstellingen (7 .3) en (7 .4) Zevert op :
at
aX
dT
(7 .5)
Substitutie van vergelijking (7 .5) in de tweedimensionale vorm van vergelijking (2 .10) levert samen met (7 .3) en (7 .4) op : u
k'
+ w ac + aFz - 0 aX áz az
ac
(7 .6)
- 4 2-
Uitgaande van een uniforme stroming : au = 0 dus w = o en ax u = fl
(7 .7)
(uN , u, h, z)
wordt vergelijking (7 .6) : De De 9 (urm , h, ax + az [Fmz z) az" 1
0
(7 .8)
Hieruit is c" op te lossen ; de oplossing is van de vorm c waarin
_2c (urm , u, h, z) - ax f2
f2 =
r
o
(7 .9)
f
1
z (u-u) dz dz 1 mz o 1
1 ze
Uit vergelijking (7 .7) en (7 .9) volgt dat het dispersieve transport van de volgende vorm is : h
u~, u T, = De
= De
waaruit volgt ex(yz)
f
(urm , u, h, z) f 2
(urm , u, h, z) dz (7 .10)
f
U , h) 3 (UN, -
rm f3 (u ' u, h)
(7 .11)
Indien het snelheidsprofiel en de vertikale diffusiekoëfficiëntF bekend zijn mz is de grootte van de dispersiekoëfficiënt ex(yz) te berekenen onder de voorwaarde dat voldaan is aan de veronderstellingen (7 .3), (7 .4) en (7 .7) . Uit vergelijking (7 .9) volgt dan f
en dus ook omgekeerd evenredig is met de grootte 2 ex(yz) van de vertikale diffusiekoëfficiënt c . z Is de stroming uniform en verandert de ruwheid en de geometrie van de waterloop
niet dan volgt er een konstante dispersiekoëfficiënt uit vergelijking (7 .11) . Taylor (1954) heeft met behulp van vergelijking (7 .11) voor een pijpstlroming
met straal a (2 a -- 1 cm) afgeleid dat na een lengte L van 100 a geldt :
- 43-
10,1 a uK
eX(yz)
(7 .12)
Experimenteel werd (10 .0-12 .8) a uH gevonden voor rechte pijpen met gladde en ruwe wanden . Voor licht gebogen pijpen werd een grotere dispersie gevonden . Deze metingen zijn uitgevoerd met moment--lozingen .
Voor oneindig brede open kanaalstromen met diepte h leidde Elder (1959), gebruikmakend van een vertikale diffusiekoëfficiënt analoog aan vergelijking (5 .6) en van een logaritmisch snelheidsprofiel, af dat na h 2e100 h geldt : 5 .9 h uN eX(yz) =
(7 .13)
terwijl hij experimenteel 6 .3 h uK vond . Fischer (1967a) breidde deze methode om de dispersiekoëfficiënt te berekenen uit tot prismatische kanalen met eengrote breedtediepteverhouding, overeen-
komstig de natuurlijke kanalen . De dominerende bijdrage aan de dispersie wordt in dit geval geleverd door de dwarsvariatie van de snelheid : 1 eX(yz)
- A
B
f f
o
h
u" dz
10
1
y
é h y
f
o
y
h 0
u" dzdy
dy
dy
(7 .14)
waarin
de over de diepte gemiddelde dwarsdispersiekoëfficiënt is . Uit de Ey snelheidsverdeling in dwarsrichting en de dwarsdispersiekoëfficiënt volgt (yz)
° f (urm , u, B/h)
De dispersieve beschrijvingswijze volgens Taylor geldt slechts na een zekere beginperiode na lozing (als aan de voorwaarden (7 .3) en (7 .4) voldaan is) . Tijdens de beginperiode van lozen wordt de wolk met geloosde vloeistof hoofdzakelijk bepaald door de snelheidsverdeling in de dwarsdoorsnede . Pas als de menging over de dwarsdoorsnede bijna volledig is, mag de eendimensionale dis-persiemethode toegepast worden . Aris (1956) analyseerde de 6êndimensionale dispersiebenadering met behulp van de bepaling van momenten van de longitudinale koncentratieverdeling in een met de over de dwarsdoorsnede gemiddelde snelheid meebewegend systeem . Uit de driedimensionale balansvergelijking leidde hij de grootte van de momenten af . Daaruit volgde dat deze momenten,die tijdsafhankelijk zijn,na een zekere tijd asymptotisch naderen naar de waarden van de momenten behorend bij een Gauss-
vormige koncentratieverdeling (tweede moment konstant in de tijd) .
- 4 4-
Sayre (1969) toonde aan met Aris' theorie dat pas na een tijd tl = 0,5 e2 de koncentratieverdeling de Gauss-vorm krijgt en de dispersiebenadering toegepast mag worden . In dimensieloze vorm luidt dit kriterium voor toepassing
van de dispersiebeschouwing
(7 .15)
met 1 : c:
karakteristieke lengte van de dwarsdoorsnede karakteristieke diffusiekoëfficiënt .
Voor de tweedimensionale stroming betekent dit, 1 = h en c - 0,067 uKh Z aannemend,dat na een tijd groter dan de dispersietijdschaal t 1 t>t 1 .~ 7 .5h u of dat na een afstand van de bron (7 .16)
de dispersiebeschouwing toegepast mag worden . i Voor u/u10 ' N 20 (C 2~ 60 M2 /s) betekent dit xl > 150 h en voor u/u N (C ;:t~ 30 m 2 /s) x 1 > 75 h . Is er sprake van een kanaal of rivier met een grote breedte - diepteverhouding B/h dan volgt : P . 2' B
t
t 1 ti 0 .62
s y g:~ 0 .2 uHh
B2 . B u h
(7 .17)
Het dispersiemodel mag na een afstand van de bron : x1 > 0 .62
2 u
hu
toegepast worden . Voor een praktisch geval van een rivier met B/h r-- 100, B -- 400 m,u/J ~ 20 komt dit neer op x 1 > 500 km .
- 45 --
Voor praktische toepassing op brede rivieren is dit een zeer streng kriterium . Taylor (1954) leidde uit zijn experimentele resultaten in een rechte pijpstroming af dat :
t' > 0 .25 Fischer (1967) vond uit metingen in een goot dat de dispersiebeschouwing niet toegepast mag worden op een kleurstofwolk tot na een zekere begintijd, de konvektieve periode genoemd . In deze periode, die hij in orde van grootte 2 voor driedimensionale stroming gelijk aan de Lagrange-tijdschaal T = 0 .3 l L R u schatte, hangt de verspreiding van kleurstof hoofdzakelijk af van de snelheidsverdeling . Uit de metingen van Fischer volgde dat de konvektieve periode duurt van (0 - 3)T L en dat vanaf 6 TL de diffusieve periode aanvangt,
waarin de dispersiemethode wel toegepast mag worden . (Van 3 TL tot 6 TL is de overgangsperiode) . Hieruit volgt dus voor de dispersietijdschaal t : i t 1 - 6 TL = 1 .8
of wel
t' > 0 .4
R u
w 0 .4
(7 .18)
Zoals hierboven reeds is vermeld is een kriterium ais t' > 0,4 zeer streng voor praktische gevallen . Veel experimentele dispersiestudies zijn volgens
kriterium (7 .18) niet uitgevoerd in de diffusieve (Taylor-)periode, zodat de dispersiemethode eigenlijk niet toegepast mocht worden .
Diverse anderen hebben zich ook beziggehouden met de grootte van t i . Philip (1963) vond voor een ronde pijpstroming dat t i » 0 .1 . Chatwin (1970) leidde analytisch af via een asymptotische benadering van de koncentraties dat vanaf
t' > 1 de koncentratieverdeling vrijwel Gaussisch is . Fischer (1973) vindt dit kriterium veel te stringent : diverse numerieke oplossingen van de tweedimensionale diffusievergelijking tonen aan dat vanaf t' > 0 .2 de variantie van de koncentratieverdeling reeds nagenoeg een lineaire funktie van de tijd is evenals dat in de Gauss-verdeling het geval is . Samenvattend blijkt t' > 0 .4 een goed kriterium te zijn voor het mogen toepassen van de dispersiemethode .
Diverse personen hebben zich beziggehouden met de oplossing van de diffusievergelijking inde beginperiode (de konvektieve periode) . Aris (1956) geeft
voor eenvoudige gevallen een analytische oplossing . Yotsukura en Fiering (1964) deden dit voor een tweedimensionale stroming numeriek en vonden voor
- 46-
de eenvoudige gevallen overeenstemming met Arms' oplossing . Lighthill (1966) geeft een oplossing die alleen geldig is voor t' < 0 .1 . McQuivey en Keefer (1976) ontwikkelden een eenvoudig konvektief model, dat de dispersieprocessen
tijdens een konvektieve periode TL goed beschrijft . Dit model is toepasbaar over langere tijden door de tijd in tijdvakken gelijk aan of kleiner dan TL in te delen en binnen elk tijdvak TL het konvektieve model toe te passen, waarbij echter na tijd TL volledig menging over de dwarsdoorsnede wordt aangenomen . 7 .1 .2
Experimenteel bepaalde dispersie
Uitgaande van een konstante A, u en ex volgt als oplossing van :
at +u ax -e x(yz)
a2 o
ax
2 -D
(7 .19)
voor een momentane injektie van een massa M in een vlakbron : --
A
M
4
2 ._ exp _ (x - ut) 4 e x(yz) t ex(yz) t
(7 .20)
dat wil zeggen de koncentratieverdeling op een rekentijdstip t is Gaussisch, waarbij de verspreiding in lengterichting een variantie u 2 = 2e x t heeft . De grootte van de dispersie volgt bij gebruikmaking van meerdere meetstations het nauwkeurigst uit : 1 do x z dt
ex(yz)
2 (7 .21)
Een andere manier om metingen te analyseren is op één plaats de variantie van het verloop van de koncentratie in de tijd te bepalen : cs t
2
--
6 x2 r.(t - tm dt ax )2 c ~ -J -°° u2 l c dt
Door dit in verschillende stations te doen volgt :
ex(yz)
__
(u) 3 du t 2
dx
2 (7 .22)
- 4 7-
Deze momentenmethoden zijn uitgebreid bestudeerd door Aris (1956) en deze toonde aan dat de momenten konvergeren naar de momenten behorend bij een Gaussverdeling (par . 7 .2) . Een andere wijze van bepalen van de dispersiekoëfficiënt is dit lokaal te doen uit de gemeten snelheads- en koncentratieverdeling in een dwarsdoorsnede en de longitudinale koncentratiegradignt via :
f (u-u)
(c-c) dA
ƒ
urrcrrdA
ex (yz )
Deze methode wordt veelal in estuaria toegepast, waar de grootte van de dispersie sterk afhangt van de afstand tot de mond (zie paragraaf 7 .3) . 7 .1 .2 .1
Tweedimensionale stromi ng
Taylor (1954) vond dat voor een rechte pijpstroom (2 a ;::~1 cm) zijn experimentele uitkomsten voor ex(Y,) goed overeen kwamen met de theoretisch afgeleide grootte : 10 .1 a uH = 20 .2 R uN (zie vergelijking (7 .12))
ex(yz)
Elder vond een zelfde overeenstemming tussen experiment en theorie voor een tweedimensionale stroming (in oneindig breed kanaal, 1,5 cm diep : ex(Yz)
~ 5 .9
h u
(zie vergelijking (7 .13)
Elder deed deze experimenten bij kleine waarden van het Reynolds-getal . Fischer (1967a) heeft veel experimenten gedaan in rechthoekige goten met een zodanig B/h -verhouding, dat de stromingen bij benadering tweedimensionaal
waren (h varierend van 4 .6-22 .9 cm, B varierend van 61 tot 110 cm) . Gebruikmakend van een zandbodem vond hij voor de dispersie (yz) waarden van 5 .5-7 .0, die redelijk overeenkomen met Elder's resultaat . u h Voor de gladde staalbodem en een bodem bedekt met gruis was de uitkomst echter aanmerkelijk groter :
ex(Yz)/h
u9£ van 10 .4 tot 15 .7
Thackston en Krenkel (1967) bepaalden voor een tweedimensionale stroming
- 4 8-
(d < 5 cm) waarden van
eX(yz)/uK
h:
11 .5 tot 12 .4 welke uitkomsten volgens Fischer (1968c) goed overeenstemmen met zijn resultaten . Sayre en Chang (1968) geven voor een gootstroming met d van 15 tot 37 cm, B = 2 .4 m en houten ruwheidselementen eX(yz) = 5 .3 h urm . Fischer (1973) heeft diverse verklaringen voor de verschillen tussen experimentele en theoretische uitkomsten op een rijtje gezet : - de grootre van de dispersiekoëfficiënt hangt af van de vorm van het snelheidsprofiel . Uitgaande van verschillende veronderstellingen over de vorm van het snelheidsprofiel vonden Ellison (1960) en Bowden (1965) een dispersiekoëfficiënt van (6-25) uK h - variatie van de snelheid in de dwarsrichting vergroot de dispersie . Vanwege de invloed van zijwanden waren de gootstromingen niet volkomen tweedimensionaal - Chatwin (1971) heeft aangetoond dat de dispersie in. de orde van 20% kan toenemen bij het in rekening brengen van de viskeuze sublaag (berging van kleurstof in de sublaag) - veel experimenten in goten zijn uitgevoerd op tijdstippen dat het dispersiemodel nog niet toegepast mag worden . Chatwin (1971) heeft Fischer's goot< 1) nogmaals geanalyseerd en kleinere waarden voor e /uK h X gevonden (dan Fischer gaf) . metingen (met t'
Samengevat geeft voor een tweedimensionale stroming Elder's resultaat
eX(yz)/uN 6 een ondergrens voor de dispersie . Als de vorm van het snelheidsprofiel goed
bekend is, is de grootte van
eX(yz) eX(yz) = (6-15) uN h weer te geven . 7 .1 .2 .2
beter dan de orde van grootteschatting
Driedimensionale stromingen
Fischer (1967c, 1968a) paste de Taylor-methode toe op een driedimensionale snelheidsverdeling en vond :
eX(yz)
= f(u , u, B/h) (zie vergelijking (7 .14))
h
- 49-
Fischer (1967) vergeleek de uit deze formule berekende dispersie met de uit metingen in een rechte goot, waarin wandruwheidselementen voor een dwars-
snelheidsprofiel zorgden, bepaalde dispersie . De overeenkomst tussen berekende en gemeten dispersie is redelijk, zoals in tabel 7 .1 te zien is .
De orde van grootte van de dimensieloze dispersieparameters e
X(yz) /uN
h blijkt
150-400 te zijn, dat wil zeggen een orde groter dan in een tweedimensionale stroming .
In tabel 7 .1 zijn voor diverse rivieren en kanalen berekende en gemeten dispersiegrootheden weergegeven . Voor de veldmetingen blijkt de overeenstemming
een orde slechter te zijn dan voor de gootmetingen, wat toegeschreven kan worden aan de eenvoudige geometrie en de nauwkeuriger snelheidsgegevens in de goot . De door Fischer gegeven analyse heeft zin als de rivier slechts een langzaam variërende geometrie heeft, zodat een gemiddelde breedte, diepte en snelheid zinvol aan te wijzen zijn .
McQuivey en Keefer (1974) hebben uit dispersiemetingen in een 17-tal Amerikaanse rivieren een eenvoudige formule afgeleid om de grootte van de dispersie in rivieren te voorspellen uitgaande van globale geometrie- en stroomgegevens _u g - 0 .058 e(yz) ' 2 rm X (u ) u
h
uK
(7 .23)
Uitgaande van de integraalformule (7 .14) leidde Fischer (1975) een eenvoudige formule af 0 .011 eX(yz) -
2
(u# ) (h)
2
u
h u
(7 .24)
Voor een negental Amerikaanse rivieren heeft Fischer de gemeten dispersiekoëfficiënten vergeleken met de volgens de vergelijkingen (7 .23) en (7 .24) berekende koëfficiënt . Vergelijking (7 .23) benadert de gemeten waarden iets beter dan vergelijking (7 .24) : deze laatste vergelijking echter heeft een theoretische basis en verdient daarom de voorkeur . De vergelijkingen (7 .23) en (7 .24) geven slechts een orde van grootte . In praktijk is dit vaak.een redelijke benadering omdat de berekeningen van de koncentratieverdeling vrij ongevoelig voor de grootte van zijn . Liu (1977) bepleit echter in plaats van vergelijking (7 .24) ex(yz) de volgende relatie te gebruiken 0 .18 (h) eX(yz) -
2
(urm) u
0 .5
h u
(7 .25)
- 5 0--
Volgens Liu is deze relatie een betere benadering dan de voorgaande relaties : de dispersie is uit vergelijking (7 .25) beter dan faktor 6 te bepalen voor een aantal veldmetingen in Amerikaanse rivieren, terwijl vergelijking (7 .24) een
faktor 20 bij dezelfde rivieren oplevert . Bochten in een rivier induceren centrifugale krachten die de dwarssnelheidsverdeling beinvloeden . Erosie zal het diepteprofiel aan deze dwarssnelheids-
verdeling aanpassen . De in bochten optredende sekundaire stromen die de dwarsdispersie vergroten, verkleinen enigszins de toename van de longitudinale dispersie tengevolge van het snelheidsdwarsprofiel . .In tabel 7 .1 is het resultaat
van Fukuoka's (1971) proeven gegeven.
De opeenvolging van bochten in altenerende richting, zoals deze in grote rivieren voorkomt heeft een extra effekt . Fischer (1969) analyseerde dit e ¬fekt en vond dat, als de tijd nodig om menging over de dwarsdoorsnede te krijgen veel groter is dan de tijd die het
water nodig heeft om eenbocht te nemen de longitudinale dispersie gereduceerd wordt . Dit komt overeen met wat voor de Missouri River gevonden is (Yotsukura,
1970) . Oeveronregelmatigheden kunnen een grote invloed hebben ;
zijn er "dode zones" aanwezig aan de oever dan wordt water uit de hoofdstroom geïsoleerd en wordt dus merkstofmateriaal opgeborgen in de dode zone om enige
tijd later weer in de hoofdstroom terecht te komen zodat de longitudinale dispersie vergroot wordt . Okubo (1972) en Hayes e .a . (1966) hebben getracht het effekt van de dode zones te analyseren . Thackston en Schnelle (1970) vonden een vergroting van de dispersie met een faktor 4 in een gootstroming met dode zones . Day (1975) vond voor steile bergstromen dat de dispersiekoëfficiënt lineair toeneemt met de afstand tot het lozingspunt hetgeen betekent dat de Taylor-
theorie niet geldig is voor deze onregelmatige stromen . Waarschijnlijk hangt dit verschijnsel ook samen met het nog niet geheel in de diffusieve periode liggen van de waarnemingen en van de aanwezigheid van allerlei obstakels in de rivier . De bevestiging van deze toename volgens Beltaos en Day (1976) in de Lesse Slave uiver is mede omdat een groot deel van de waarnemingen buiten de diffusieve periode vielen niet duidelijk gevonden . 7 .2
Dispersie in een niet-stationai re stroming
Voor een tweedimensionale stroming ziet de massabalansvergelijking er in een meebewegend assenstelsel (met gemiddelde snelheid aldus uit :
u)
az
ax
az
ac z az
ax
x
(7 .26)
Abraham (1976) laat zien dat er een essentieel verschil bestaat tussen dispersieproblemen, waarbij de term ac/aT een tweede orde term is in vergelijking (7 .26) en die waarbij ac/aT niet verwaarloosbaar is ten opzichte van andere termen in vergelijking (7 .26) . Zoals weergegeven in paragraaf 7 .1 .1 wordt als c' « c geldt voldaan aan voorwaarde dat ac/aT klein is . Men vindt dan een dispersie die van plaatselijke grootheden afhankelijk is . Is echter ac/aT niet meer verwaarloosbaar dan gaan longitudinaal geintegreerde effekten de dispersie beinvloeden . Aan de voorwaarde dat
ac/aT verwaarloosbaar is wordt voldaan bij lozingen in permanente stromingen en bij momentlozingen in estuaria onder het voorbehoud dat er gemeten wordt in de zogenaamde di. ffusieve periode of op een zekere afstand xl van het lozingspunt (zie par . 7 .1 .1) . In het algemeen wordt in een getijrivier met een voldoende grote rivierafvoer voor dispersieproblemen met kontinue iniektie en voor zoutindringingsproblemen niet aan bovenvermelde voorwaarde voldaan . Dit betekent dat in zo'n getijrivier kontinue en momentane lozingsproeven . afzonderlijk behandeld moeten worden . Middeling van vergelijking (7 .26) over de diepte levert : _ac 5T
_1
A
_a (A e Dax x(Yz) ax ) -
(7 .27)
Deze 6éndimensionale massabalansvergelijking wordt in zoutindringingsproblemen vaak gemiddeld over de getijperiode omdat in eerste instantie de zoutverdeling bij periodieke randkondities beschreven kan worden als de getijgemiddelde zoutverdeling, die met de horizontale getijbeweging heen en weer beweegt . Integratie van vergelijking (7 .27) over de getijperiode levert als resultaat :
_ac
Uriv c - ex(YzT) ax
(7 .28)
waarbij - boven grootheid duidt op getijgemiddelde waarde . uriv - 4riv/A . rivierafvoer/gemiddelde oppervlak eX(YzT) : dispersiekoëfficiënt die volgt uit (UA
- uriv A) A
(c - c) ex(Yz)
De _
e x(YzT)
De
ax
(7 .29)
- 5 2-
In deze dispersiekoëfficiënt
is dus een bijdrage van de in de tijd ex(YzT) variërende snelheid en koncentratie verwerkt . In het vervolg wordt duidelijk onderscheid gemaakt tussen de dispersie in oscillerende stromingen zonder dichtheidsverschillen en stromingen met dichtheidsverschillen, omdat in het laatste geval de effekten van de dichtheidsverschillen op de dispersie gaan overheersen . In dit hoofdstuk worden slechts stromingen met een niet te grote breedtediepteverhouding behandeld, dat wil zeggen stromingen in rivieren en getijrivieren met B/h < 200 . 7 ..2...í . Dispersie-. in homogene oscillerende stromingen Okubo (1967) toonde aan dat in een tweedimensionale oscillerende stroming de verhouding van de periode van oscillatie T tot de tijdschaal voor menging over de vertikaal T z = h 2 /£ z belangrijk is . Indien T « Tz dan is gedurende een periode T de menging zo gering dat een op het tijdstip t o losgelaten lijnbron op het tijdstip (to+T) op zijn oorspronkelijke positie terugkomt zonder veel longitudinal.e dispersie (als de reststroom Uriv « maximale snelheid) . Een permanente stroming, waarbij een geringe vertikale menging aanwezig is geeft daarentegen juist een zeer grote longitudinale dispersie . Indien T » Tz dan vindt de vertikale menging zo snel plaats dat de koncentratieverdeling niet de vorm van het vertikale snelheidsprofiel aanneemt, doch alleen van x afhankelijk is . In dit geval is het dispersieve gedrag van een oscillerende en een permanente stroming (in de diffusieve periode) identiek . Een lineair snelheidsprofiel veronderstellend vindt Okubo (1967) met Aris' momentenmethode dat voor permanente stroming met uo (1-z/h) geldt : u ex(Yz),P
° 120 Tz
(7 .30)
waarin de index p duidt op permanente stroming oscillerende stroming met u° (1-z/h) sin wt en T' = T/T z
« 1 geldt :
2 uo T2 2 (Tf « 1) = --- ti 3 (T ex(Yz) ex(Yz)~p ) 47T 2 Tz
(7 .31)
-53-
oscillerende stroming met uo (1-z/h) sin wt en T' » 1 geldt : '> 1)
ex(Yz)(T
rT
(Deze foktor 1/2 volgt uit
o
u 2 e o - x(Yz),p 236 T z 2
(7 .32)
(sin wt) 2 dt - 1/2 .) T
De dispersie in een oscillerende stroming met maximale snelheid u aan het o wateroppervlak blijkt dus de helft te zijn van de dispersie in een permanente stroming met dezelfde oppervlaktesnelheid u als T' » 1, doch is veel kleiner a dan de dispersie in een permanente stroming met oppervlaktesnelheid u als 0 T' « 1 . Bowden (1965) had een zelfde resultaat voor T' » 1 ook reeds afgeleid . Holley e .a . (1970) pasten Taylor's methode toe, uitgaande van een lineair snelheidsprofiel met U /U « 1 om een analytische uitdrukking voor riv mar ex(yz)(V) te verkrijgen, die relatief ten opzichte van de dispersiekoëfficiënt voor permanente stroming ex(yz) (-) uitgezet werd :
ex(Yz)
(T
ex(Y'z)
) _ 240 (T .)2 f(V) (-) 7T4
Hierin is
de dispersiekoëfficiënt voor het geval T' ex(Yz)(-) zeggen naderend naar de permanente stroming :
ex(Y'z)(-)
= 1/2
ex(yz),P
dat wil
z ie vergelijking (7 .32)
Deze verhouding is in figuur 7 .2 weergegeven . Uit deze figuur volgt dat voor T' < 0 .1 de longitudinale dispersie in een oscillerende stroming snel klein wordt . Via een numerieke analyse vond Holley e .a . (1970) dat uitgaande van een logarithmisch snelheidsprofiel of van een reële snelheidsverdeling in een dwarsdoorsnede de f(V) verandert (zie fig . 7 .2, de onderbroken lijn voor
pijpstroming) :
) ex(Yz) (Tr ex(Yz) (.)
10 (T')2
(7 .33)
- 54-
- T'
> 1 de longitudinale dispersie onafhankelijk van T' wordt (zie vergelijking (7 .32) .
Bij . hun analyse zijn ze expliciet . uitgegaan van
á
= 0 (zie Abraham, 1976) . c Taylor III (1974) liet zien dat de interpretatie van de dispersie in een oscillerend systeem ten, opzichte van de dispersie in een permanente stroming
afhankelijk is van de wijze waarop men beide stromingen relateert . Taylor III rekende analytisch de grootte van de dispersieve transporten uit, uitgaande van veronderstellingen over het snelheidsprofiel, waarbij rekening is gehouden
met faseverschuivingen als funktie van de plaats in de dwarsdoorsnede (wat Holley e .a . niet gedaan hebben) . De oplossing in de oscillerende stroming kan uitgedrukt worden als een funktie van de drukgradiënt en als funktie van de maximale snelheid aan het oppervlak en genormeerd worden met de korresponderende oplossing van de permanente stroming met drukgradiënt of oppervlakte-
snelheid als norm. In figuur 7 .3 zijn de resultaten hiervan samen met Holley's resultaat uitgezet . De verschillen blijken in het gebied T' « 1 groot te zijn. Taylor 111 (1974) liet zien dat als men in plaats van te normeren met eX(yz) eX(yz),p nu normeert met T en als funktie van T/T z beschouwt, er een Umax2 soort resonantiecurve (zie fig . 8 .3) ontstaat . Voor T/T z « 1 is gedurende de periode dan oscillatie T de vertikale menging zo gering, dat de geloosde kleurstof na T nagenoeg weer op z'n plaats komt : eX(yz) is klein . Voor T/T
» 1 z is de vertikale uitwisseling in een periode T zo groot dat de bijdrage van het schuifspanningseffekt aan de dispersie klein blijft : eX(yz) is klein . Tussen deze twee uitersten wordt voor T/T z = 1 .58 een maximum bereikt in een tweedimensionale stroming . Holley e .a .
(1970) maakten een onderscheid voor natuurlijke getijstromen in een tijdschaal voor vertikale menging Tv = d2 /ez en een tijdschaal voor dwars-
menging TD = (1/2 B) 2 /c . Taylor III (1974) berekende dat voor een rechthoekig y kanaal met eindige breedte B de plaats van de resonantiepiek afhangt van de verhouding van deze twee tijdschalen .
Holley en Harleman (1965) behandelden het geval van een oscillerende turbulente pijpstroming, ervan uitgaande dat de snelheidsverdeling en het verloop van de radiale diffusiekoëfficiënt dezelfde zijn als in een permanente stroming . In deze proeven was U « 1 en T' » l . Zij vonden dan ook een dispersie/U riv mar koëfficiënt overeenkomstig aan Taylor's resultaat (7 .12) :
ex(yz)(T'
» 1) = 20 .2 R lux (t)I
(7 .34)
- 5 5-
waarin R: hydraulische straal . Verder volgt uit hun analyse dat na enkele getijperioden na lozing de koncentratieverdeling voldoende nauwkeurig benaderd kan worden met een konstante dispersiekoëfficiënt gelijk aan de getijgemiddelde waarde :
èX(Yz)(T'
waarin
ux,T -
» 1) - 20 .2 R um,T
U3E,max
_ ~ - Um,max
T o
I siT wt l dt
Deze voorspelde dispersiekoëfficiënt zijn kleiner dan de gemeten dispersiekoUficiënt, doch met toenemend Reynolds-getal werd de overeenstemming beter, waaruit de auteurs konkludeerden dat de laminaire sublaag de longitudinale dispersie blijkbaar verhoogt (pijpstraal 2 cm, UT tm 1 .4 m/s, U .05 m/s) . riv - 0 af Fukuoka (1973) gebruikte de momentenmethode om uitdrukkingen voor eX(YZ) te leiden uitgaande van lineaire en parabolische snelheidsprofielen en een konstante of tijdsafhankelijke diffusie . Hij vond nagenoeg dezelfde resultaten als Holley e .a .
(1970) numeriek gevonden hadden .
Awaya (1969) leidde een uitdrukking voor
af en deed experimenten in ex(YZ) een ronde oscillerende pijpstroming ter verifikatie . Zijn resultaten geven een analoog gedrag als funktie van T' als Holley (1970) gaf, doch de experimentele waarden waren aanzienlijk groter dan . de uit de theorie volgende waarden . Voor homogene estuaria is veelal T/T V > 1 en T/T D « 1
(zie Holley e .a .
(1970)) .
Aannemend dat de relaties uit figuur 7 .3 ook geldig zijn voor als ¬unktie van T/T D blijkt dat hoe groter de
breedte
eX(yz)/eX(yz), is (des te kleiner T/T D
zal zijn) des te kleiner de bijdrage van de dwarssnelheidsverdeling aan de longitudinale dispersie zal zijn . Dit betekent dat voor veel homogene estuaria de dispersie voornamelijk bepaald wordt door het vertikale snelheidsprofiel. en dus dat de orde van grootte uit paragraaf 7 .1 .2
volgt :
eX(YZ)
(6`15)
lum i h
(7 .35)
In de literatuur wordt veelal de relatie (7 .34) aangehouden om de orde van grootte weer te geven . In de getijgoot uit Vickburg zijn proeven met Rhodamine gedaan waarbij bleek dat de dispersiekoëfficiënt ex(yzT)
in de mond van
de goot goed benaderd werd met de relatie (7 .34), zie Ippen (1966) hoofdstuk 14 .
- 56-
Metingen in de Andelse Maas (WL, getijgebied leverden op :
1974), een homogene tak in het Nederlandse
= 200 uN h
eX(Yz)
In deze homogene getijrivier geldt niet dat U /U « 1 terwijl dit volgens riv max Abrahem (1976) een noodzakelijk uitgangspunt voor afleiding van relatie (7 .34) is . In natuurlijke estuaria zal de invloed van de onregelmatige rivieroever een grote invloed op de koncentratieverdeling kunnen uitoefenen tengevolge waarvan de dispersie vergroot wordt (zie verder onder par . 7 .2 .2) . 7 .2 .2
Dis ersie in niet-homogene estuaria
Op grond van de optredende gelaagdheid worden de estuaria in 3 typen onderscheiden : gemengde, halfgemengde en gelaagde estuaria . Toepassen van een éêndimensionale dispersiebeschouwing is slechts zinvol voor gemengde estuaria (c' Uriv « wordt _ ook voor halfgemengde estuaria Umax) doch vaak W ;~:; c' Uriv /Umax niet erg klein) een êêndimensionale beschouwing toegepast .
« c,
In estuaria, waar er een longitudinale dichtheidsgradiënt aanwezig is, treedt er per getijperiode een netto-stroom nabij de bodem landinwaarts op en een netto-stroom nabij het wateroppervlak zeewaarts ; deze circulatiestroming wordt de gravitatiecirculatie genoemd, omdat de dichtheidsverschillen in de lengterichting deze stromen veroorzaken . Deze gravitatiecirculatie levert dispersiegrootheden op die in het zoutindringingsgebied groot zijn ten opzichte van de overeenkomstige grootheden in homogene getijstromen . Fischer (1972) heeft de WES - getijgootproeven gebruikt om de verhouding van de dispersiekoëfficiënten e
in niet -homogene getijgootproeven en overeenkomstig vergex(yzT) eX(pzT) lijking (8 .9) te bepalen . Deze verhouding zette hij uit (fig . 7 .5) ais funktie van een gelaagdheidsparameter (Richardson-getal) : RiE =
h
g
U T
2
U
riv UT
Hoe gelaagder de stroming (Ri E groter) des te groter wordt de bijdrage van de vertikale gravitatiecirculatie aan de dispersie .
In figuur 7 .5 zijn ook getijgootproeven uit de .WL-getijgoot weergegeven (WL, 1976) . In de analyse van de getijgootproeven is uitgegaan van een dispersiekoëfficiënt :
-- 57-
B ex(yz),T - eo x+B
(7 .36)
waarin eo de waarde van de dispersie in de mond voorstelt en B een positieve konstante is . Met toenemende afstand tot de mond neemt de dispersie dus af . In de literatuur (zie Ippen,
1966) wordt veelal een puur empirische aanpak
bij de bepaling van dispersiekogfficignten gevolgd door uit ijkmetingen de grootte als funktie van plaats en tijd te bepalen of door een eenvoudige relatie van de dispersiekoëfficignt te veronderstellen en met ijkmetingen de parameters te ijken . Stigter en Siemons (1967) bijvoorbeeld gebruikten : (7 eo ( 1- x/L) n ex(yz)
.37)
waarin L de lengte van de getijrivier voorstelt en
en n aan de hand van ex(yz) metingen gekozen werden om met een tijdsafhankeli .jk ééndimensionaal model de zoutverdeling in de Rotterdamse Waterweg te berekenen .
Met een waarde van eo _ 1200 m2 /s en n = 3 was het mogelijk een redelijke reproduktie van een veldmeting in de Rotterdamse Waterweg 1956 te verkrijgen (ondanks het onafhankelijk van de tijd zijn van e ) . x Thatcher en Harleman (1972) gebruikten een tijdsafhankelijk ééndimensionaal model, waarbij
zij voor de dispersie een splitsing maakten in een bijdrage van
het schuifspanningseffekt (20 uN R) en een bijdrage van het gravitatie-effekt, die evenredig met dc/dx gesteld werd :
ex(yz)
= 20 u
R + K
d C/c o d x/ L
(7 .38)
Met deze tijdsafhankelijke dispersiekoëfficignt werd de zoutverdeling volgend uit gootproeven en uit riviermetingen gereproduceerd . Uit getijgootmetingen volgt dat in het zoutindringingsgebied de bijdrage van de tweede term van vergelijking (7 .38) groter is dan de bijdrage van de eerste term . Zij bepaalden voor diverse getijgootproeven, voor metingen in enkele rivieren en riviermodellen de grootte van de dispersieparameter K als funktie van een gelaagdheidsparameter B = D
vloedvolume Q T riv
Uo d g s en poneerden dat met deze korrela-
tie voor een willekeurig estuarium uit de getijbeweging de grootte van de dispersiekoëfficiënt ex te bepalen is, Dit laatste werd aangevochten door Abraham e .a .
(1975), die aantoonden via metingen in de WL-getijgoot dat de gegeven
58 -
korrelatie niet eenduidig is (zie fig . 7 .6) . Bovendien volgde uit hun analyse dat in natuurlijke estuaria de grootte van de dispersie niet lokaal bepaald is doch dat longitudinale integratie--effekten van invloed kunnen zijn tengevolge waarvan in het algemeen brede estuaria met eb- en vloedscharen niet vergeleken mogen worden met smalle estuaria of met getijgootproeven .
Voor de Mersey schatte Fischer (1972) af dat in dit estuarium met een grote B/h-verhouding de bijdrage van de dwarsgravitatiecirculatie een faktor 10 groter is dan de bijdrage van de vertikale gravitatiecirculatie . In een breed estuarium met een in dwarsrichting variërende diepte wordt er een netto-dwarscirculatie door de longitudinale dichtheidsgradignt opgewekt . De dichtheidsgradiënt levert namelijk een drukgradignt op, die met toenemende diepte toeneemt en steeds landinwaarts gericht is . Hansen (1965) en Fischer (1972) splitsten in een zoutindringingsgebied van een estuarium de snelheden en de koncentraties in een aantal komponenten, zodanig dat ze de bijdrage van de verschillende dispersiemechanismen konden afschatten . Fischer gebruikte dit om aan te tonen dat de dwarsgravitatiecirculatie in veel estuaria belangrijker is dan de vertikale gravitatiecirculatie . In de Rotterdamse Waterweg blijkt echter de vertikale gravitatiecirculatie dominerend te zijn in het zoutindringingsgebied (WL, 1976) (getijrivier met B/d = 40) . In estuaria wordt de dispersie behalve door de gravitatiecirculatie en het schuifspanningseffekt beinvloed door circulatiestromen, die door de getijstromen en de vorm van het estuaria bepaald worden . - veelal gaan, de hoofdvloedstroom en de hoofdebstroom door verschillende geulen (schaareffekt) - het faseverschil tussen horizontaal en vertikall. getij geeft stromen naar en uit de bergende oppervlakken, die uit fase zijn met de hoofdstroom (faseeffekt) . Tengevolge van dit faseverschil treden er tussen rivieren en kombergingsgebied ook dichtheidsverschillen op, waardoor uitwisselingsstromen veroorzaakt wordt . Schijf en Schënfeld (1953) schatten dat de invloed van het faseverschil tussen horizontaal en vertikall getij ter plaatse van kombergingsgebieden (havens) op de zoutindringing en de dispersie aanzienlijk kan zijn in de Nederlandse estuaria . Dit fase-effekt tengevolge van de aanwezigheid van havens zou een aanzienlijke vergroting van zoutindringing en dispersie geven . Okubo (1973) bracht de invloed van een onregelmatige rivierrand in rekening (inhammen of havens) en vond dat door de aanwezigheid van inhammen of havens de zoutindringing en de dispersie aanzienlijk vergroot kan worden .
- 59-
Uit de waarnemingen in buitenlandse estuaria volgt dat de dispersiekogfficignten en in de orde van 500-1500 m2 /s liggen . Voor de Nederlandse esex(yz) ex(yzT) tuaria gelden lagere dispersiekogfficiënten (Eems : 150--300 m2 /s, zie Eggink, 1965 en Westerschelde 90-200 m2 /s, zie Waterloopkundig Lanoratorium, 1977 . Dit zijn zeer gemengde estuaria met lage rivierdebieten . Afhankelijk van de geometrie en de hydraulische karakteristieken van het estuarium zullen vertikale of
dwarscirculaties de dispersie in het estuarium domineren . Veelal heersen verschillende mechanismen in verschillende delen van het estuarium (zout-zoetgebied/ zoet getijgebied) .
F'ischer heeft een uitvoerig overzicht gegeven over de dispersie in estuaria . Meer dan een orde van grootteschatting voor de dispersie in een estuarium is er niet te geven zonder metingen te verrichten in het estuarium zelf .
- 60--
8
Vlekdiffusie in estuaria en zeeën
8 .1 -- Al_gemene beschouwing 8 .1 .1
Estuaria
De geometrie van een estuarium is doorgaans lastig, zowel wat betreft de randen. als een vaak onregelmatig bodemprofiel . Waar de beschrijving van de geometrie van een zee vereenvoudigd wordt door de min of meer oneindige horizontale afmetingen, en van een kanaal of rivier doordat de afmetingen lengte, breedte en diepte steeds tenminste een ordegrootte verschillen, zijn bij een estuarium de lengte en breedte doorgaans van dezelfde grootte--orde . De stromingen in een estuarium worden bepaald door de geometrie van het estuarium, de rivierafvoer, de getijbeweging,en dichtheidsstromen tengevolge van saliniteits- en temperatuurgradiënten . Ook wind en het Corioliseffekt kunnen een rol spelen .
Stromin-
gen in een estuarium kunnen derhalve zeer ingewikkeld zijn en dankzij grote snelheidsgradiënten tot sterke dispersie aanleiding geven . Figuur 8 .1 geeft een voorbeeld van een momentlozing in een estuarium. Na 7 uur is een contourenbeeld opgemaakt waaruit blijkt dat de vlek niet meer aaneengesloten is, maar uiteengevallen in 4 koncentratiepunten .
(In de figuur is tevens
de lijn getekend die één punt gedurende die 7 uur heeft afgelegd) . Uit deze figuur blijkt dat er niet gesproken kan worden van één dispersiekoëfficiënt, maar dat de dispersiekoëfficiënt lokaal (en door getij-invloed ook tijdsafhankelijk) is . Bij de bestudering van diffusie in een dergelijk estuarium zal het ook niet erg reëel zijn om na het opmaken van een "ekwivalente cirkel" te besluiten tot êén schijnbare horizontale dispersiekoëfficiënt, welke procedure voor zeeën vaak wordt toegepast (par . 8 .5) . Wanneer een estuarium tot een ééndimensionaal model wordt teruggebracht kan de afhankelijkheid van de dispersiekoëfficiënt
voor x (x neemt toe in ex(Yz) stroomafwaartse richting) worden beschreven als een stijgende funktie naar de monding : ex(Y,z) ~ A(t) exp (ax)
(8 .0)
zoals door Okubo (1964) toegepast voor de dispersiekoëfficiënt van een diffunderende wolk in het Delaware-estuarium, waarbij gemiddeld is over het getij .
De faktor exp (ax) geeft de afhankelijkheid aan voor veranderde omstandigheden als afmetingen en stromingen in het estuarium, terwijl A(t) te maken heeft met de groeiende afmeting van de wolk . Voor een meebewegende waarnemer is A dus niet konstant, maar neemt toe met toenemende afmeting van de wolk zolang deze kleiner is dan de maximale wervelafmeting die tot de dispersie bijdraagt . Figuur 8 .2 geeft de door Gallagher en Hobbs (1973) afgeleide dispersiekoëfficiënten van het Tees (U .K .)-estuarium als funktie van x . is afgeleid ex(Y'z) uit de zoutindringing en is gegeven voor doodtij . Eveneens zijn gegeven ex(z)' afgeleid uit Elder's relatie (7 .13) voor permanente stroming uit een ex(y)p vereenvoudiging (zie verg . 11 .7b) vare de vergelijking van Fischer (7 .14) en ex(y) voor oscillerende stroming uit de vergelijkingen van Holley((7 .31) en (7 .32)) . Tevens is in figuur 8 .2 de verhouding T/Ty gegeven, waarin TY de diffusietijd van dwarsdiffusie is . (De parameter 0 is een maat voor het snel-
heidsdwarsprofiel, parabolisch verondersteld met 0 = (u waarbij max-umin mi )/u, 0 = 1,5 en in - 0) . Gallagher en Hobbs konkluderen dan aan de hand van figuur 8 .2 :
m
a . tezamen met waarnemingen van andere estuaria kan uit de waarden van ex(Y'z) van het Tees-estuarium worden afgeleid dat zeker voor de grote waarden dicht bij de mond de dwarsvariatie in snelheid een belangrijkere rol speelt
op de dispersie dan de vertikale snelheidsvariatie b . de aanvankelijke voortdurende toeneming van e als funktie van x wordt x (Y' z ) dichter bij de monding onderdrukt door de toenemende dwarsdiffusietijd Ty : een effekt dat al eerder beschreven is . Opmerking De
uit figuur 8 .2 beschrijft een soortgelijk proces als Okubo's ex(y~z)-curve vergelijking (8 .0) indien in deze vergelijking de waarde van A(t) wordt ingevuld, behorende bij een oneindig grote wolk . Immers, Gallagher en Hobbs bepaalden hun
uit de zoutverdeling in het estuarium ; de overgang van zout ex(Y,z)-curve naar zoet kan daarbij gezien worden als de rand van een oneindig grote (zoute of zoete) wolk . ~merking
Ook na menging over de dwarsdoorsnede zal de diffusie van een wolk in longitudinale richting door de êindimensionale diffusievergelijking slechts na een
initiële periode vanaf de lozing goed beschreven kunnen worden (Fischer (1966, 1967)) . In eerste instantie toont de koncentratieverdeling namelijk een grote gradiënt aan stroomafwaartse zijde en een kleine gradiënt stroomopwaarts . Na
- 62-
een zekere periode (de "konvektieve" periode) zal de koncentratieverdeling aangepast zijn en ongeveer gaussisch verlopen . Een parameter voor de konvektieve periode is de Langrange-tijdschaal : TL = 0,30 L2 /Ru N
waarin L een karakteristieke lengte en R de hydraulische straal . Laboratoriumexperimenten leidden tot de bepaling van de konvektieve periode op 6T . 8 .'1 .2
feeën
Niet te dicht bij de kust en in vrij diep water zijn de stromingen op zee meestal vrij goed te beschrijven . De snelheidsgradiënten in horizontale richting zijn meestal klein, zodat de verspreiding van een koncentratie voor een
groot deel door turbulente diffusie en de vertikale snelheidsgradiënt plaatsvindt . Wel is de zee in deze gebieden doorgaans in twee lagen verdeeld door temperatuurstratifikatie (epilimnion en hypolimnion, gescheiden door een laag met een grote temperatuurgradiënt : de thermocline) waarbij de vertikale diffusie door zo'n grensvlak aanzienlijk kleiner is dan de horizontale diffusie .
Problematischer is het gebied dicht bij de kust . Zeidler (1974) deelt de kuststrook in in drie gebieden : a. de kuststrook, waar dispersieve stromingen en golven de diffusie langs de kust vergroten . In deze strook kunnen de stromingen zeer complex zijn door de kombinatie van getijstromingen, dichtheidsstromingen, wind- en golf effekten, vorm van de kustlijn en bodemgeometrie . Metingen van 2eidler geven aan dat de dwarsdiffusiekoëfficiënt evenredig is met L6/7 waarin L de afstand tot de kust is b . gebied ver van de kust, waar de horizontale diffusie vrij homogeen is en de vertikale diffusie beperkt is door de diepte en/of gelaagdheid . In dit gebied kunnen windstromingen belangrijk zijn c . overgangsgebied . Metingen op volle zee betreffen meestal vlekexperimenten (momentlozing), dicht bij de kust zowel vlek- als pluimexperimenten (kontinue lozing) . Slechts zelden zijn bij de gerapporteerde experimenten. de specifieke omstandigheden zoals gelaagdheid en windsnelheid meegenomen .
-b3-
8 .1 .3
Vlekdiffusie
Zeer veel experimenten zijn verricht aan de momentlozing van een stof in een vloeistof ; in dit hoofdstuk worden momentlozingen in oceanen, randzeeën, meren en estuaria besproken . De geloosde stof bestaat vaak uit een rhodamineoplossing, zwevers o¬ drijvers, waarbij wij in het eerste geval te maken hebben met een tra cer (geen beinvloeding) . .Bij het gebruik van zwevers wordt elke zwever apart gevolgd in de tijd en de meting dient dus meer ter bepaling van de turbulentiestruktuur in de grootteklasse groter of gelijk aan de zwever . De verspreiding van drijvers kan uitstekend bepaald worden met luchtfoto's . Vanzelfsprekend is deze verspreiding slechts één- o¬ tweedimensionaal . De verspreiding van een rhodaminevlek wordt zowel met luchtfoto's bestudeerd als met een schip dat via meerdere lijnen de vlek doorkruist en langs zijn weg, liefst op meerdere diepten, de koncentratie bepaalt . In alle bovengenoemde gevallen is de horizontale verspreiding aanzienlijk groter dan de vertikale . Dit vindt niet alleen zijn oorzaak in het feit dat de turbulente diffusie in horizontale richting doorgaans aanzienlijkgroter is dan in ver-
tikale richting, maar tevens doordat zowel de horizontale als vertikale snelheidsgradiënten van horizontale stromingen tot een horizontale verspreiding aanleiding geven. Als oorzaak van de veelal geringe vertikale turbulente dif-
fusie geldt de gelaagdheid die in estuaria door een saliniteitsgradiënt wordt veroorzaakt, en in oceanen door een vertikall temperatuurverschil . Vlak bij de kust zal de gelaagdheid echter vaak verwaarloosbaar zijn . In randzeeën zullen de dispersieve stromingen dicht bij de kust het grootst zijn (waarbij vooral grote snelheidsgradiënten kunnen ontstaan bij een onregelmatige kustlijn en/of diepte), maar de absolute stroomsnelheden zijn kleiner . Ondanks de kleinere turbulente diffusie zullen dan toch de grotere snelheidsgradiënten vaak voor een grotere totale verspreiding zorgen dan verder van de kust .
De dispersieve stromingen langs de kust zullen aanleiding geven tot een langgerekte vorm van de diffunderende vlak (zie fig . 8 .3b) . Maar ook in die gevallen waar, bijvoorbeeld op de oceaan, sprake is van isotrope horizontale diffusie zal een puntlozing aanvankelijk toch niet uitgroeien tot een cirkel maar tot een zeer onregelmatige vorm, vooral zolang de omvang van de wolk kleiner is dan de wervelafmeting in de grootste wervelklasse (zie fig . 8 .3a) .
- 6 4-
Immers, de sterkste vervorming treedt op door een wervel van dezelfde grootteorde als de vlek . Diffusie tengevolge van wervels met veel kleinere afmeting dan de vlekomvang zal leiden tot een steeds meer cirkelvormige vlek . Vooral
bij diffusie -experimenten op zee vergelijkt men vaak het .oppervlak S van de werkelijk gevormde vlek met een ekwivalente cirkel met straal re = S (zie par . 8 .3 .1) .
Er kunnen in de diffusievergelijking die de koncentratie in een vlek (uitgaande van een puntlozing) als funktie van plaats en tijd beschrijft een aantal verschillende dispersiekoëfficiënten worden toegepast : isotroop of anisotroop, één-, twee- of driedimensionaal, tijdsafhankelijk of niet (waarbij de tijdsafhankelijkheid doorgaans een afhankelijkheid van de vlekomvang betekent) . Vaak wordt vertikale diffusie niet in de berekening meegenomen : als koncen-
tratie op een punt P dient dan de koncentratie geintegreerd over de vertikaal te worden genomen, waarbij dan het effekt van de vertikale diffusie in de horizontale diffusiekoëfficiënt wordt verdiskonteerd . Voor experimenten op
volle zee wordt veelal met een horizontale isotropie van de diffusie gerekend : een (minder isotroop) experiment kan met deze berekeningswijze worden vergeleken via bovengenoemde, ekwivalente straal .
Voor het beschrijven van een diffunderende vlek wordt een met het zwaartepunt van de vlek meebewegend assenstelsel gekozen, zodat de diffusievergelijking (3 .10) wordt omgevormd tot :
De + a{(u-u zw )c} + a{(v-v zw)c} + 9{(w-wzw )c} _ _ _ a
at
ax
- áz
(EZ
ay
ay
_ac _ _~ ac ax (c x ax ) ay (Ey ay)
-
az) ° °
0 roerkin In dit hoofdstuk zullen slechts momentane lozingen worden behandeld maar een kontinue lozing kan in principe behandeld worden met het superpositiebeginsel (Schónfeld (1962), Harremoes (1966), Van Dam (1973)) . Koncentratieberekeningen kunnen dan worden uitgevoerd door de kontinue lozing te vervangen door een reeks van eenvoudiger te berekenen, momentane lozingen op korte tijd van elkaar gelegen . Bruikbaarheid en beperkingen van het superpositiebeginsel zijn behandeld door Abraham en Van Dam (1970) .
-65-
8 .2
Wet van Fick, Richardson's 4/3-wet, principe van-Kolmogorov
In een kanaal of (ondiep) estuarium kan de diffusiekoëfficiënt voor lokale uitwisseling e z (en eventueel £ y ) op de wijze van paragraaf 5 .1 worden bepaald waarbij de mengweg een funktie is van de afstand tot bodem of wand en de totale diepte of breedte .'Op deze wijze is de diffusiekoëfficiënt afhankelijk van de omgeving, maar heeft lokaal een konstante waarde . Wordt voor een diffunderend
systeem (bijvoorbeeld een diffunderende kleurstofwolk) de diffu-
siekoëfficiënt(die nu evenwel de uitwisseling van de wolk met zijn omgeving beschrijft) konstant gehouden dan spreekt men van de wet van Fick . Fick's wet heeft echter geen algemene geldigheid : "klassieke" proefnemingen door Richardson (1926) voor de atmosfeer en door Stommel (1949) voor de oceaan gaven aan, dat de diffusiekoëfficiënt afhankelijk is van een zekere afmeting L volgens E
4/3
(8 .2)
= AL
Deze afmeting L is de "kleinste
der karakteristieke afmetingen" van het be-
schouwde systeem, in dezelfde richtring genomen als de richting waarvoor e de uitwisseling beschrijft . .Voor een kleine vlek in de oceaan is L dan de vlek afmeting in de beschouwde richting, maar voor een vlek in een kanaal moet de kleinste afmeting (vlekafmeting of `afstand tussen vlek en wand) worden genomen . Voor een gelaagd systeem kan een scherp grensvlak als "wand" gelden) . Deze 4/3afhankelijkheid is door Kolmogorov (1941) theoretisch afgeleid . Kolgomorov gaat hierbij uit van een gelijkvormigheidsstruktuur van het turbulente systeem voor de verschillende afmetingen van de turbulente wervels, dat wil zeggen, de ruimte is voor alle wervelgrootten op overeenkomstige wijze volgestapeld : de onderlinge wervelafstand is dan recht evenredig met de wervelgrootte . De tweede aanname van Kolmogorov is dat uitsluitend de grootste wervelklasse energie opneemt van buitenaf, in cascade doorgeeft naar de steeds kleinere klassen, waarna de kleinste wervels via de viskositeit de energie verliezen in warmte . Kolmogorov drukte nu lengte en tijd uit in energiedissipatiesnel heid D (m2 /s3 ) en kinematische viskositeit v (m2/s) . Indien geschreven wordt 1 aP (m2 P e kp . Hieruit blijkt dat e = ALP dan krijgt A s-1 ) de dimensie v alleen voor p = 4/3 de grootheid A onafhankelijk is van m, hetgeen per definitie voor de gehele "inertial range" vereist is . Ozmidov (1965) . heeft er echter op gewezen dat energie-invoer plaats kan vinden in verschillende wervelklassen . Wanneer er sprake is van min of meer diskrete waarden van wervelgrootten waar energie wordt toegvoegd, zijn er een aantal
- 6 6-
inertial subranges waar de theorie van Kolmogorov op van toepassing kan zijn . Zo kan men zich voorstellen dat in de oceaan er drie wervelklassen bestaan waar energie van buitenaf wordt toegevoegd : een klasse van 1000 km met energietoevoer door de atmosferische drukverdeling, een klasse van orde 10 km voor getijbewegingen en een klasse van 10 m voor oppervlaktegolven . Opmerking Bij experimenteel gevonden afwijkingen van Richardson's 4/3-wet moet wel worden bedacht dat de 4/3-wet afgeleid is uit turbulentietheorieën en dus slechts op zou hoeven te gaan voor diffusie uitsluitend veroorzaakt door turbulentie in de stromingen . Recente advektiediffusiemodellen (zie par . 8 .3 .4) houden eveneens rekening met snelheidsgradiënten van deze stromingen (dispersie) . Onder andere Talbot en Talbot (1974) en Kullenberg (1971) hebben experimenteel laten zien dat turbulente diffusie op de totale verspreiding vaak van sekundair belang is . 8 .3 8 .3 .1
Verband tussen diffusie en variantie Variantie van een rotatiesyrometrisch systeem
Is van een diffunderende vlek op een bepaald tijdstip de koncentratieverdeling voldoende bekend, dan kan de vlek weergegeven worden met contouren van gelijke koncentratie, zoals in figuur 8 .4 gedaan is voor een tweedimensionale (horizontale) doorsnede op een bepaalde diepte . Volgt men nu de redenering van Okubo (1968) dan wordt intuitief aangenomen dat elke contour voor identieke lozingen op overeenkomstige tijdstippen ongeveer gelijke oppervlakten zal omsluiten ondanks de verschillende onregelmatige vorm . Dit oppervlak kan dan aangeduid worden met een ekwivalente cirkel van gelijk oppervlak met straal re .
(In dit
beeld past voornamelijk een vlek die zich in horizontale richting uitbreidt geheel of vrijwel geheel tengevolge van (isotrope) diffusie zoals op volle zee vaak het geval zal zijn . Aan de ekwivalente cirkel wordt dan ook één (schijnbare) horizontale diffusiekogfficignt toegekend) . De totale vlek wordt dan vervangen door een systeem van cirkels, waarvan de toegekende koncentratieverdeling c(t,r e ) bekend is . Worden de cirkels koncentrisch geplaatst, dan wordt het werkelijke systeem vergeleken met een radiaalsymmetrisch systeem, waarvan de variantie gedefineerd wordt door : 00
o(t) 2 _ re
°ƒ
0
1
r 2 c (t, r e ) 27re dr e e c (t, re) 2nr e dre
(S .3)
- 6 7-
De index r duidt op het tweedimensionale, rotatiesymmetrische karakter van de beschouwde definitie . Een driedimensionale opzet is eveneens mogelijk, waarbij dan de diffusie vergeleken wordt met een bolsymmetrisch systeem . In de praktijk is evenwel de horizontale diffusie aanzienlijk groter dan de vertikale ; de horizontale diffusiekoëfficiënt wordt dan berekend via bovenstaande variantie a 2 , waarbij de koncentratieverdeling in een horizontaal vlak verre vangen moet worden door de koncentratieverdeling geintegreerd over de vertikaal . Bij de berekening van de vertikale diffusiekoëfficciënt wordt de variantie oz(t) bepaald, in driedimensionale vorm gedefinieerd door : co
o2 (t) _ _ z
ƒ W
~O
r
o1
-W ~0co
z 2 c(t,x,y,x) dx dy dz
(8 .4)
c(t,x,y,z) ex dy dz co o J
Meestal wordt evenwel de ééndimensionale integratie toegepast volgens :
h
o a2z (x, Y . t) = ~ ~ O
z 2 c(t,z) dz
(8 .5)
c(t,z) dz
welke definitie overeenkomt met de vorige indien voor c(t,z) de koncentratieverdeling wordt genomen na integratie over beide horizontale richtingen . Evenwel wordt ook wel de lokale waarde toegepast, zodat de dan berekende va~ riantie slechts een min of meer duidelijke maat is voor de exacte variantie . 8 .3 .2
Variantie van een niet-rotatiesymmetris ch systeem
Is de diffusie niet-rotatiesymmetrisch dan worden als definities : = CZ(t) x
ox
en u
2
ƒ-ƒ x2 c(t,x,y,z) dx dy dz
-.m
c,x,y,zxyz d d d l~f(t) ) -00
onderscheiden met
(8 .6)
en aY(t) ~
J _ f~f y2 c(t,x,y,z) dx dy dz 1
loof c(t,x,y,z)
-00
dx dy dz
terwijl de totale horizontale variantie wordt gegeven door :
(8 .7)
- 68-
a (8 0xy - 0x + 2 Het verband tussen
02
re
en
a2, x
2 cs re = 20
x
02
y
0y
.8)
is voor een gaussische dichtheidsverdeling : (zie bijv . Okubo (1968))
(8 .9)
Wanneer onderscheid wordt gemaakt in diffusie in twee horizontale richtingen wordt meestal verondersteld dat het diffusiepatroon tweezijdig symmetrisch is, dus aanleiding geeft tot elliptische contouren van gelijke koncentratie . 2 2 (Uit de meting van 0 en ay zal dan worden besloten tot diffusiekoëfficiënten x in x- en y--richting) . Min of meer elliptische diffusie komt voor wanneer dispersie optreedt . Dit is bijvoorbeeld het geval in een ondiepe zee tengevolge van het vertikale snelheidsprofiel (door bodemwrijving) maar kan door wind of golfinvloeden ook in een diepe zee plaatsvinden . Een (toegevoegd) snelheidsprofiel in dwarsrichting treedt op dicht bij de kust of in estuaria . Van "elliptische diffusie" is gebruik gemaakt door Van Dam et al (zie o .a . Van Dam (1965) en Van Dam et a1 (1970)) voor diffusie-experimenten langs de Hollandse kust . 8 .3 .3
Variantie en diffusiekoëfficiënt in een turbulent diffusief systeem
In deze paragraaf wordt een uniform snelheidsveld verondersteld . De dimensie van a2 is L2 , een oppervlak dus, en kan in het tweedimensionale geval gezien worden als een maat voor de grootte van de vlek . Is het type van de koncentratieverdeli.ng van de vlek (of de overeenkomstige radiaalsymmetrische vlek in het geval dat de horizontale turbulente diffusie niet isotroop is) bekend, bijvoorbeeld gaussisch, dan kan men a2
in het tweedimensionale geval zien
als het oppervlak tot waar de koncentratie tot een zekere fraktie van de maximale koncentratie
afgenomen, en in het é9ndimensionale geval is a de cmax is z diepte tot waar de koncentratie tot een zekere fraktie van c gedaald . max is
Variantie en diffusiekoëfficiënt zijn in dit niet-dispersieve systeem gekoppeld via de relatie (8 .10) (zie opmerking par . 8 .3 .4) welke relatie ook als definitie van e zou kunnen
- 6 9-
gelden . Vanzelfsprekend moeten c en a steeds in dezelfde richting worden genomen . Uit vergelijking (8 .10) volgt dat meting van de waarde van 0 2 één van de methoden is om de diffusiekoëfficiënt voor een diffunderend systeem (bijv . kleurstofwolk) experimenteel te bepalen . Het spreekt vanzelf dat men slechts over de diffusiekoëfficiënten e , e J. e x y z kan spreken als deze koëfficiënten weinig afhankelijk zijn van de plaats van het diffunderend systeem en van het tijdstip, maar bijvoorbeeld slechts van de omvang van de vlek . In open oceanen zal de afhankelijkheid van de plaats niet sterk zijn, maar vlak bij de kustlijn en in ondiep water zullen sterke stroomsnelheidsgradiënten de diffusie versnellen . Vrij willekeurig definieert Okubo als de afmeting van het diffunderend systeem de waarde 3c wat in het geval van een gaussische koncentratieverdeling neerkomt op een diameter van een radiaalsymmetrisch systeem waarbinnen 95% van de substantie zich bevindt . Eveneens definieert Okubo een schijnbare diffusie2 koëfficiënt (apparent diffusivity) sa = 4t, dat wil zeggen een maat voor de
toenemende vlekoppervlakte gemiddeld over de periode 0 -> t als op t = 0 een puntlozing (e 2 (t = 0) = 0) plaatsvond . De difinities voor afmeting L en schijnbare diffusiekoëfficiënt c a zijn willekeurig : bij andere auteurs en ook in andere publikaties van Okubo komen ander definities voor . De schijnbare diffusiekoëfficiënt ea 4t gedefinieerd door Okubo komt overeen met de werkelijke diffusiekoëfficiënt c in het tweedimensionale radiaalsymmetrische diffusieprobleem,indien ckonstant in de tijd zou zijn (d .w .z . onafhankeli .ik van de groeiende afmeting I. dus een Fickse diffusiekoëfficiënt) (Van Dam (1969)) . Omdat in het algemeen de vertikale diffusie klein is ten opzichte van de horizontale (althans wanneer de vlekafmetingen groot zijn ten opzichte van een karakteristieke vertikale maat die de diepte of de gelaagdheid aangeeft) kan men de vertikale integratie ter bepaling van a 2
verwaarlozen . De relatieve
koncentratieverdeling in een horizontaal vlak hangt dan nauwelijks van ez af, maar wel de absolute waarde van de koncentratie .
Immers, het is belangrijk of
op tijdstip t na de punt lozing de vlek zich in vertikale richting over 10 cm of 10 m heeft verspreid . Voor het berekenen van de vertikale diffusiekoëfficiënt moet men echter wel rekening houden met de horizontale diffusie en met de veranderingen van de horizontale diffusie over de vertikall . Als voorbeeld dient figuur 8 .5 (Murthy (1974)), waar de gemeten vertikale koncentratieverdeling van een kontinue lozing op 17 m diepte in een stromend ontvangend me -
- 70-
dium is weergegeven tezamen met een gaussverdeling . Een verdeling gelijk of vrijwel gelijk aan de gaussdistributie verwacht men als de horizontale en vertikale diffusiekoëffficiënten niet afhankelijk zijn van plaats, maar slechts van de afmetingen van de vlek of van de diffusietijd . Kent men slechts gin (relatief) koncentratieprofiel, zoals in figuur 8 .5, dan kan de afwijking van de gaussdistributie zowel verklaard worden door een verminderde vertikale diffusiekoëfficiënt bij diepten van ± 9 en 17 m (bijv . tengevolge van gelaagdheid) waardoor een neiging tot een homogene laag ontstaat, maar een tweede verklaring is een vergrote horizontale diffusie op eerder genoemde diepten, waardoor een sterkere afvoer van koncentratie ter plaatse plaatsvond . Uitsluitsel over beide mogelijkheden levert een meting van de afneming van de (maximale) koncentratie in de tijd . 8 .3 .4
Variantie en diffusiekoëfficiënt in een dis ersief systeem
OQmerking In het algemeen zullen er gradiënten in de stroomsnelheid van het beschouwde systeem bestaan zodat een vlek zich verspreidt door dispersie . Doorgaans laat men het koórdinatensysteem (de waarnemer) meebewegen met het zwaartepunt van de vlek, welke beweging na driedimensionale integratie wordt gevonden . De formules uit paragraaf 8 .3 .1, 8 .3 .2 en 8 .3 .3 blijven geldig, alleen de overeenkomstige vergelijking (8 .10) definieert dan geen turbulente diffusiekoëfficiënt e, maar een dispersiekoëfficiënt (De index (xyz) moet nu geplaatst wore(Xyz) . den omdat het koórdinatensysteem in het dispersieve systeem tot stand kwam na ruimtelijke integratie in een inhomogeen snelheidsveld) . Een niet - radiaalsymmetrisch model is opgezet door Carter en Okubo (1965), met een stroomsnelheid in de x-richting en snelheidsgradiënten in y- en z - richting volgens :
-
uo(t)
-
y
6u 8y -
du
z Sz
Werden de turbulente diffusiekoëfficiënten eX , ey en ez konstant verondersteld, dan kan een uitdrukking voor de koncentratieverdeling c(t,x,y,z) (zie de oorspronkelijke publikatie) en de longitudinale variantie warden afgeleid :
ox
= 2e x t + 2/3
2
sy `gy~
t3 f 1/6 ez ~8z1
2
t3
(8 .I2)
terwijl in de y_richting blijft gelden : 2 _ _ 2Eyt oy
(8 .13)
Het in de tijd toenemende belang van dispersie ten opzichte van turbulente diffusie blijkt uit de evenredigheid van de bijbehorenden terme in vergelijking (8 .12) met t : _t 3 respektievelijkt - l . Evenzo werden door Carter en Okubo uitdrukkingen afgeleid voor ondiep water (invloed van nabije bodems) en voor tweedimensionale situaties . Een evident nadeel van het model van Carter en Okubo is de konstante snelheidsgradiënt die veronderstelt wordt . In de praktijk treedt evenwel de grootste waarde van au/az vlak bij de bodem op . Voor ondiep water zal deze analytische oplossing dan niet voldoen, maar kunnen numerieke oplossingen uitkomst bieden (Tolbot en Talbot (1974)) . Okubo (1967) behandelde horizontale en vertikale diffusie in een periodiek stromingsveld met vertikale gradiënt volgens : u(t,z) = vo (1-z/d') sin wt u (z) = Uo(1-z/d)
(8 .14) (8 .15)
waarin Uo het stationaire deel van de stroming is bij z = 0 ; d en d' zijn lengteschalen behorende bij de stromingen . Okubo leidde uitdrukkingen voor de dispersie in geval van een diffunderende momentane puntbron in een onbegrensde, halfbegrensde en begrensde zee, waarbij het kriterium voor onbegrensd geldig is als h2 » 7r 2 E z t . (h is de waterdiepte) . In deze vergelijkingen (gezien de uitgebreidheid wordt verwezen naar de oorspronkelijke publikatie) komen voor de verschillende toestanden de relatieve belangrijkheid van dispersie tengevolge van schuifspanningen door het stationaire en door het instationaire deel van de stroming tot uiting . Kullenberg (1974) beschouwde het onbegrensde geval met het snelheidsveld (periodiek met vertikale gradiënten) : u = UO (z) + uo (z) co$ wt
(8 .16)
v = Vo + vo (z) sin wt
(8 .17)
_72_
De dispersieve stromingen kunnen dan geschreven worden als : dU
du
u = z cos wt = -(a o+a cos wt) z dz o + dzo dv v = z dz o sin cut = -bz sin wt
(8 .18)
(8 .19)
Daar het dispersieve effekt vaak overheerst over de zuiver turbulente diffusie worden e x en ey verwaarloosd (maar blijft ez gehandhaafd daar in deze richting geen dispersie optreedt), zodat de diffusievergelijking luidt : 8c Sc + óc + át~dxv&y=
_S 2c
(8 .20)
zsz2
Afgeleid kunnen dan worden de varianties : 2 4a a 2 a a2 a e sin wt o t cos 2wt + 2/3 e a2 t3 + ezt w2 e z x = z o w2 2w3 z
+
4a a o e sin wt z 3 w
et z b 2a o b2 e zb 2 (2ao -a) + ay = 9/8 2 e z t + 2 2 3 w a w 2w e zb 2 (a-4ao ) aw
a2 = 2e t z z
3
sin wt
(8 .21) 2 sin 2wt -
(8 .22)
(8 .23)
(In de praktijk kunnen in c 2 en a2 de .trigonometrische termen verwaarloosd worden) . van de diffusiekoëfficiënt voor absolute en relatieve diffusie Er zijn diverse semi--empirische formules afgeleid om de diffusiekoëfficiënt te bepalen wanneer diverse hydraulische parameters bekend zijn (zie o .a . par . 8 .1 .3) . De meest direkte methode om de diffusiekoëfficiënt te bepalen is echter
-73_
volgens de twee definities, zoals in vergelijking (3 .12) en (8 .10) geformuleerd : ~t _ _ ac uí ci -E i ax.
1
e i(xyz) of
ei
__ 1 a(a2 ) 2. at
((3 .12))
((8 .10))
Vergelijking (8 .10) wordt verreweg het meeste toegepast . De diffusiekoëfficiënten in (3 .12) en (8 .10) duiden evenwel niet op hetzelfde proces . Vergelijking (3 .12) beschrijft het lokale transport van koncentratie door turbulente fluktuaties . Op deze wijze kan voor elke stroming aan elke plaats een diffusiekoëfficiënt worden toegekend, waarbij dan de absolute turbulente diffusie wordt beschreven . In vergelijking (8 .10) heeft de diffusiekoëfficiënt betrekking op een geheel diffunderend systeem . De toeneming in onderlinge afstand van de diffunderende deeltjes wordt daarmee beschreven . Dit wordt ook wel relatieve diffusie genoemd . Bij relatieve diffusie is altijd sprake van een karakteristieke lengteschaal van diffusie, wat bijvoorbeeld in geval van een diffunderende wolk in zee de afmeting van de wolk is . In dit voorbeeld neemt deze afmeting voortdurend toe, waardoor de diffusiekoëfficiënt eveneens toeneemt in de tijd . In het geval dat in de diffusiekoëfficiënt tevens het effekt van de verspreiding door dispersieve stromingen zit opgenomen, is eveneens sprake van relatieve diffusie . Dan is de karakteristieke afmeting de afstand waarover over de dispersieve stromingen geintegreerd is, zoals bijvoorbeeld ter bepaling van de longitudinale dispersiekoëfficiënt in een kanaalstroming geintegreerd wordt over de dwarsdoorsnede van het kanaal . Daar voor dit geval evenwel de karakteristieke afmeting niet veranderd in de tijd, is de longitudinale dispersiekoë ¬ ficiënt in een kanaalstroming wel konstant in de tijd (althans wanneer de beschouwde wolk in het kanaal voldoende lang is (zie par . 8 .1 .1) . De diffusiekoëfficiënt voor absolute diffusie is slechts afhankelijk van de hydraulische eigenschappen van de stroming en varieert niet in de tijd indien deze hydraulische eigenschappen niet variëren . 8 .5
Twe edimensionale, radiaalsymmetrische diffusie
Niet altijd wordt in de afleiding van een diffusievergelijking een konstante met de eenheid m2 /s (diffusiekoëfficiënt) gebruikt . Zo had Richardson (1926)
- 74 --
- L 413 gepostuleerd x (op dimensionele gronden gesteund door Taylor (1959)) . Joseph en Sendner (1958)
voor een diffunderende, wolk al een diffusiekoëfficiënt e
= 2Pd Rmax tmax , waarin maximale straal is die een isokoncentratielijn kan bereiRmax de ken en tijd, waarin die straal werd bereikt . De waarde van Pd is dan tmax de voor elke isokoncentratielijn gelijk volgens deze aanname . veronderstelden een konstantediffusiesnelheid Pd gedefinieerd door
Een overzicht van de verschillende diffusievergelijkingen (zie bijv . Okubo (1962b)) voor de beschrijving van isotrope, horizontale diffusie (dus tweedimensionaal : koncentratie integreren over de vertikaal) voor een momentpuntlozing zonder advectie, ziet er als volgt uit : a . Diffusie volgens Fick (zie o .a . Brosin et al {1972)), met diffusiekoëfficiënt e (m2/s) : _ r
Q
(,) crt
4irete
2
4et
(8 .24)
b . Diffusie volgens Joseph en Sendner (1958), met diffusiesnelheid P d (m/s) : r Wp t d Q e c (r, t) = (8 .25) 27r P2 t 2 c . Diffusie volgens Ozmidov (1958), met energiedissipatiefaktor y (m2/3 /s) : r2/3 c(r,t)
-
Q3 3
6Try
t
e-
(8 .26)
yt
d . Diffusie volgens Okubo en Pritchard (1960), met diffusiesnelheid W (m/s) :
c(r,t) =
rr W
Q t
2 e
r2 2 2 W .t
(8 .27)
e . Diffusie volgens Okubo (1962b), met energiedissipatiefaktor a (m2/3 /s) : r4/3 3 c(r,t) =
3/Q
3 3
2 e a t
2
(8 .28)
- 75-
f . Diffusie volgens Obukhov (1959), met energiedissipatiefaktor ¢ (m2/3/s) : _ r2 3 3 4 c(r,t) = e 3 3 0 t r 7r 0 t
(8 .29)
g . Diffusie volgens Schánfeld's (1959) theorie van superponeerbare diffusie met diffusiesnelheid ~ (m/s) : c(r,t) _ 42 ,E
2 2
t
2 3/2
(8 .30)
De in bovenstaande formules gebruikte diffusieparameters e, Pd , 7, W, a, S en zijn binnen het diffusiemodel dat aan de vergelijkingen ten grondslag ligt, konstanten . In de praktijk kunnen deze parameters echter slechts onder beperkende kondities als konstanten worden beschouwd . Zo bemerkten Joseph en Sendner (1972) dat Pd geen werkelijke konstante blijkt maar een zwakke afhankelijkheid van de diffusieschaal bezit . Aan de hierboven gegeven uitdrukkingen voor c(r,t) liggen verschillende diffusiemodellen ten grondslag . Zo zal de diffusie volgens vergelijking (8 .24), de Pickse diffusie met kanstante diffusiekoëfficiënt, optreden als de turbulente bewegingen klein zijn ten opzichte van de afmeting van het diffunderende systeem (dit is o .a . bij moleculaire diffusie het geval, waar dan ook een kanstante diffusiekoëfficiënt geldt) . De diffusie onder b, schuifspanningsdiffusie, veronderstelt een kanstante diffusiesnelheid door de aanwezigheid van snelheidsgradiënten in de stroming . Diffusie onder c, de inertial-subrangediffusie, veronderstelt een konstante energiedissipatieparameter, waaraan het model zoals door Kolmogorov beschreven, ten grondslag ligt . In principe kunnen ook best de drie mechanismen volgens vergelijkingen (8 .24), (8 .25) en (8 .26) tegelijk werkzaam zijn . De wijze waarop c(r,t) voor de drie mechanismen van t afhangt, laat dan zien dat in dat geval aanvankelijk vergelijking (8 .24) zal overheersen en bij toenemende t gaat vergelijking (8 .25) en tenslotte vergelijking (8 .26) overheersen . De diffusiekoëfficiënten die voor een in twee richtingen diffunderend systeem aan vergelijkingen (8 .24), (8 .25) en (8 .26) toegekend kunnen worden, zijn voor vergelijking (8 .24) e _ konstant, voor vergelijking (8 .25) e - L en voor verL4/3 . gelijking (8 .26) e Uitgaande van een puntmomentlozing neemt de vlek-
- 76-
oppervlakte dan toe volgens u2 _ t, a2 _ t 2 en o2 _ t3 respektievelijk, (Het verband tussen e en o2 wordt gegeven door vergelijking (8 .10)) . Bij vlekdiffusie is het belangrijk de afnemende maximale koncentratie als funktie van de tijd te meten, c(O,t) en de koncentratieverdeling op een bepaald tijdstip c(r) . De verschillende diffusievergelijkingen geven voor de tweedimensionale diffusie : Fick
t-2
Joseph en Sendner, Okubo en Pritchard, Sch~nfeld
t-3
Ozmidov, Okubo, Obukhov
en Joseph en Sendner -c l r
2
e
Fick, Okubo en Pritchard, Obukhov
3 -c r4 / 1 e
Okubo
-c r 2 / 3 1
Ozmidov
e
e1 (r, 2 +r2 )
-3/2
Schónfeld
Okubo (1962) heeft afgeleid dat de diffusievergelijkingen (8 .24) tot (8 .29) afgeleid kunnen worden met speciale aannamen voor de algemene waarschijnlijkheidsdichtheidsfunktie waarmee, zeer algemeen, de waarschijnlijkheid kan worden berekend om een zeker deeltje op een zekere tijd op een zekere plaats in de vlek te vinden . Volgens een methode van Kolmogorov (1931) kan de algemene waarschijnlijkheidsfunktie uit de statistische karakteristieken van de diffusie bepaald, vervangen worden door twee koëfficiënten A(r,t) en B(r,t), waardoor de diffusievergelijking geschreven kan worden als :
dt
(C(r,t)r)
r
~Br(
6C(r,t) + .C(r,t) óx~(Br) - C(r,t)Ar}
(8 .31)
In feite zou men nu de koëfficiënten A(r,t) en B(r,t) empirisch moeten bepalen . Tot de diffusievergelijkingen (8 .24) tot (8 .29) komt men nu door het toepassen _ d van de vereenvoudiging (Br) = Ar, zodat vergelijking (8 .31) overgaat in : dr _SC __ _1 _S _dc St r Sr (Br) dr)
- 77-
met B(r,t) de overgebleven, algemene diffusiekogfficignt . Eveneens werd door Okubo gepostuleerd dat algemeen zal gelden : B(r,t) = krn f(t)
(8 .32)
waarin f(t) uitsluitend een funktie is van de tijd . Dan volgen bij zekere waarden van f(t) en n de diffusievergelijkingen : a . Fick, f(t) = 1, n = 0 -} vergelijking (8 .24) b . Joseph en Sendner, f(t) = 1, n = 1 -} vergelijking (8 .25)
=
c . Ozmidov, f(t),= 1, n
3
-~ vergelijking (8 .26)
d . Okubo en Pritchard, f(t) = t, n = 0 -> vergelijking (8 .27) e . Okubo, f(t) = t, n
= 3 -~
vergelijking (8 .28)
f . Obukhov, f(t) = t2 , n = 0
vergelijking (8 .29)
Schónfeld : volgt niet uit vergelijking (8 .30) . 8 .6
Driedimensionale diffusie
Brosin et al (1972) beschreven hun driedimensionaal gemeten vlekdiffusie met de vereenvoudigde diffusievergelijking (in Lagrange-koórdinaten) : _Sc dt
ex
2 2 2 6 c + 6 e + 6 c e e 5X2 z 6Z2 Y 6Y2
(8 .33)
waarin de diffusiekogfficignten in eerste instantie konstanten zijn onafhankelijkheid van de plaats en de tijd (diffusie volgens Fick) . Deze diffusievergelijking leidt tot een wolk bestaande uit koncentrische ellipsoiden (halve ellipsoiden in geval van een vrij oppervlak waar de momentlozing plaatsvond) . In geval van een momentlozing van een hoeveelheid Q aan het oppervlak luidt dan de uitdrukking voor de koncentratieverdeling als funktie van de tijd :
exp 4x3/2 t 3 /24e e )1 2 e x y z
c(x>Y>z~t)
_ _L ( 2 4t
e x
.+
2
Y
2) +
Ez
(8 .34)
Voor de maximale koncentratie c'(O,O,O,t) die in diffusie-experimenten vaak gemeten wordt, geldt dan :
emax(t)
- t -3/2
(8 .35)
- 7 8-
Wordt nu de vertikale diffusie niet in de berekening meegenomen en is c dan over de vertikaal geintegreerde koncentratie dan geldt :
emax(t) 8 .7
w
max
(8 .36)
t-1
Experimenten
Vertelij.kin2-diverse -diffusiemodellen Helaas blijken de diverse experimenten naar vlekdiffusie onderling zoveel uit-
een te lopen dat geen duidelijke voorkeur voor één van de vergelijkingen (8 .24) (8 .30) kan worden gemaakt (zie bijv . de vergelijkingen die Okubo (1962) voor enkele experimenten heeft gemaakt met de diverse c - t- en c - r-relaties) . Het zeer groots opgezette Rheno-experiment (zie Weidemann (1973)), waarin een rhodaminevlek gedurende 20 dagen op .de Noordzee gevolgd werd, lijkt nauwkeurig genoeg om vast te stellen dat geen van de beschrijvingen een juist beeld van de diffusie geeft . Een meer algemene beschrijving van de statistische karakteristieken van de turbulente diffusie kan daarom wenselijk zijn . Figuur 8 .6 geeft voor de 7 verschillende diffusievergelijkingen, die zonder tijdsafhankelijkheid leiden tot 5 verschillende koncentratiedistributiefunkties (zie boven), deze .laatstgenoemde verdelingen weer, zo goed mogelijk aangepast aan de resultaten van het Rheno-experiment . Geen van de funkties komt echter goed overeen met de Rheno-resultaten, die aanvankelijk een gaussverdeling geven op de log c-r plot (fig . 8 .6a), op latere tijdstippen een buigpunt in de curve vertonen (fig . 8 .6b) en waarin tenslotte de log c voor grote r vrij snel af neemt met een macht van r groter dan 1 . Men heeft daarom besloten de koëfficiënt B(r,t)
(als enige koëfficiënt die de diffusie beschrijft) empirisch te
bepalen zonder zich te bekommeren om de fysische interpretatie die aan de diffusievergelijkingen a - g ten grondslag liggen . Uitgaande van een uit curve fitting gevonden relatie c(r,t) volgen dan de waarden voor de diffusiekoëfficiënt B8r,t), zoals in figuur (8 .7) weergegeven . Kullenberg (1974) paste zijn en Okubo's dispersiemodel met stationaire en instationaire gradiënten (beschreven in par . 8 .3 .4) toe op het Rheno-experiment en kon aldus, uitgaande van de aanwezige gegevens over snelheidsgradiënten en diffusiekoëfficiënten, op bevredigende wijze de gemeten koncentratieverdelingen berekenen .
- 79 -
Vanzelfsprekend kan men vlekdiffusie het beste bestuderen in een watersysteem met homogene diepte, turbulentiestruktuur en stromingen, die ook konstant zijn de in tijd . Slechts dan is het mogelijk dat de diffusie door een van de diffusievergelijkingen konform het experiment beschreven wordt . In het langdurige en qua vlekomvang uitgebreide Rheno- experiment zijn de invloeden van weersveranderingen (en daardoor andere turbulentiestruktuur), dieptevariaties en veranderlijke stromingen moeilijk te bepalen . Al deze invloeden zitten in de B(r,t)-curven die derhalve specifiek voor dit ene experiment zijn . Diffusiekoëfficiënt e
versus diffusieschaal L (Okubo-grafieken)
25Y__-_T-_____--____-____________-_______-__
Een groot aantal diffusie- experimenten in volle zee en dicht bij de kust, waarin de variantie als funktie van de tijd is bepaald, is door Okubo (1962, 1968) verzameld . In verzamelgrafieken is de diffusiekoëfficiënt tegen de diffusie-
schaal uitgezet . Over een gebied van L = 10 m tot 104 km kunnen de oudere waarnemingen (van vóbr 1962) beschreven worden met s - L1'19, de nieuwere met L 1,15 zodat een duidelijke afwijking met de 4/3-macht (zie par . 8 .2) wordt waargenomen . (De waarnemingen zijn tezamen weergegeven in figuur (8 .8) . Okubo merkt evenwel op dat de 4/3-exponent lokaal kan gelden : in figuur 8 .9 zijn steeds groepen waarnemingen gekorreleerd met de curve s ~ L4/3 : de 4/3-machtwet is dan geldig voor inertial subranges in de turbulentiestruktuur waar geen energie van buitenaf wordt toegevoegd . De afgeleide grafiek in figuur 8 .10 waar or e tegen de tijd t na lozing is uitgezet, toont bij het toepassen van de 4/3-wet (wat neerkomt op een t 3 afhankelijkheid van de vlekoppervlakte) een scheiding tussen twee subranges bij 1/2 d 1 dag, kennelijk afkomstig van energietoevoer tengevolge van getijstromingen . Vooral in rivieren en estuaria kan de vlek grotere afmetingen aannemen dan de afmeting van de grootste wervelklasse . De diffusiekoëfficiënt zal dan verder konstant blijven en afhangen van deze grootste wervelklasse . Op overeenkomstige wijze als figuur 8 .10 toont figuur 8 .11 (Talbot (1974)) _ t grafieken voor verschillende omgevingen, zoals zeeën, kustgebieden, 02 estuaria etc . . Wanneer door deze waarnemingen rechten worden getrokken verloopt de evenredigheid van a 2 met t van t0,96 tot t2,87, in het algemeen dus zeer y duidelijk afwijkend van t 3 . Duidelijk afwijkend van Okubo's o2 - t grafiek zijn de resultaten van Djuric en Leribaux (1974) waarin de diffusie van drijvers (plastic flessen) in een tl'05 . meer werd bepaald en bleek te voldaan aan a2 Bovendien varieert e,
- 8 0-
bij berekening volgens e
=2
d(o 2 )/dt, slechts van 2000 tot 2500 cm 2 /s bij een toeneming van de "vlek" met een faktoor 3 . Ben duidelijk verschil dus met dif-
fusie in open water waar gewoonlijk ongeveer de 4/3-machtwet geldt . Een verklaring hiervoor is niet voorhanden . Maximale -koncentratie versus diffusietijL ( E22r dze t:21cp2rimentenl
In sommige vlekdiffusie- experimenten meet men de afname van de maximale koncentratie in de tijd . Zo gaven de theoretische diffusiemodellen van Fick, Joseph t-3 en Sendner en Ozmidov een afneming volgens c(O,t) - t-1, t-2, respektievelijk . Andere modellen kunnen nog andere evenredigheden geven, zoals het driedimensionale advectie-diffusiemodel van Carter en Okubo (1965) met c(O,t) t-2,5 en het overeenkomstige tweedimensionale model : c(O,t) - t-2 . Metingen van Carter en Okubo (1965) en van Pritchard, Okubo en Carter (1966) bij Cape Kennedy gaf c(0,t) - t-1,5 tot t-2,5 voor driedimensionale situaties (diep water en c(O,t) - t-1,0 a t-2,0 voor tweedimensionale metingen (ondiep water) . Figuur 8 .12 geeft een groot aantal meetresultaten weer van metingen op de Noordzee uitgevoerd door van Dam et al (1966, 1968, 1970, 1977), Meerburg (1970a, 1971), Joseph, Sendner en Weidemann (1964), Sendner (zie Meerburg (1970b)), Weidemann (1973) en Barrett, Munro en Agg (1968) . In de figuur is de lokatie en de afstand tot de kust aangegeven . De figuur is samengesteld door middel van gegevens uit bovenstaande publikaties, terwijl voor de metingen van Van Dam et a1 de uitgewerkte meetgegevens ter beschikking werden gesteld (Van Dam 1977b) . De meeste metingen zijn verricht door het nemen van monsters met een schip waarbij gewoonlijk op 99n vaste diepte wordt gemeten . Door extrapolatie wordt de maximale koncentratie vastgesteld, terwijl een schatting moet worden gemaakt voor de effektieve diepte waarover menging heeft plaatsgevonden . (Figuur 8 .12 geeft immers de maximale koncentratie aan geintegreerd over de diepte ( cmax in kg/m2 ) per geloosde kg stof (M) ; de diffusie wordt derhalve tweedimensionaal-horizontaal bekeken) . Een beperkt aantal metingen is verricht via luchtfoto's . De in-
terpretatie van deze foto's levert meer moeilijkheden op dan metingen met een schip ; beschouwingen over de interpretatie van luchtfoto's zijn gegeven door Van Dam (1977a) .
Uit figuur 8 .12 blijkt dat de metingen in een band om een rechte lijn liggen . De spreiding per experiment is doorgaans niet zeer groot, maar wei. tussen de diverse experimenten onderling . Dit is ook wel te verwachten door de verschil-
len in stromingsomstandigheden (eventueel ook beinvloed door het weer) en diepten op de diverse lokaties . In het algemeen is te verwachten (en lijkt ook
bevestigd te worden door figuur 8 .12) dat de diffusie dicht bij de kust het sterkst is tengevolge van sterk dispersieve stromingen (shear-effect) . Metingen ver van de kust (bijv. metingen van Joseph et al en het Rheno-experiment) geven een geringere diffusie, eventueel nog verzwakt door mogelijke temperatuurstratifikatie in het proefgebied . Ter vergelijking zijn een tweetal IJsselmeer-proeven (Suijlen (1975) in de figuur opgenomen : door de afwezigheid van getijstromingen kan men hier een lage diffusie verwachten zoals ook blijkt) . Interessant is het nu om figuur 8 .8 te vergelijken met figuur 8 .12, dus om de
a
oceaanexperimenten te vergelijken met de Noordzee-waarnemingen . De e -L-curve van Okubo (schijnbare diffusiekoëfficiënt versus afmeting van het diffunderend systeem) moet daartoe worden omgezet in een cmax-t-curve (maximale koncentratie versus diffusietijd) .
r
De omrekening vindt plaats met behulp van Okubo's definities L = 3o en e = o 2 /4t' De rechte lijn in figuur 8 .8, gegeven door e = 2,055 x 10-4 L1,15
a
r
a
wordt dan omgezet naar
cmax - 3 .105 t-2,353 M Het blijkt dat deze lijn, in figuur 8 .12 aangeduid met "Okubo-lijn", overeenkomt met de Noordzee~experimenten . Het is niet bekend in hoeverre de spreiding van de waarnemingen in figuur 8 .12 te maken heeft met de diverse lokaties in de Noordzee waar de experimenten plaatsvonden, dan wel met de verschillen in stromingen en meteorologische omstandigheden die op één lokatie op verschillende tijdstippen kunnen optreden . Interessant is het de spreiding in de meetresultaten van figuur 8 .8 te vergelijken met figuur 8 .12 . In figuur 8 .8 lijkt een spreiding in de waarde van de diffusiekoëfficiënt aanwezig van een faktor 5 . Indien deze spreiding met bovenstaande relaties wordt omgewerkt naar een c -t-curve, volgt eenspreiding max van een faktor 45 voor c voor deze oceaanexperimenten . Uit figuur 8 .12
max
blijkt duidelijk dat een spreiding van ongeveer 50 eveneens zeer reëel is voor
max
in de Noordzee-experimenten .
Opmerking In figuur
8 .12
zijn geen tijdskorrekties aangebracht die het verschil tussen
de werkelijke lozing en een "mathematische" momentpuntlozing in rekening zouden moeten brengen .
- 82-
Koncentratieverdelin
binnen een vlek
In bovenstaande Noordzee-experimenten is de maximale koncentratie in de vlek bepaald met een beperkt aantal metingen en met een zekere aanname over de kon~ centratieverdeling in de vlek . Experimenten die niet alleen tot doel hebben de diffusiesnelheid o£ afname van de maximale koncentratie te bepalen, maar tevens de koncentratieverdeling, vereisen een groot aantal metingen met goede nauwkeurigheid . Een dergelijk experiment is gedaan door Van Dam, Sydow en Westhoff (1970) op enkele kilometers uit de kust . De gemeten koncentratieverdeling werd vergeleken met een gaussdistributie, een exponentiële verdeling en verdelingen volgens (1+ar t ) -3/2 en 2 -5/2 (1+br ) . De gaussverdeling volgt uit de klassieke diffusievergelijking, waarin de diffusiekoëfficiënten onafhankelijk zijn van de afmeting van het systeem ; een exponentiële koncentratieverdeling werd ingevoerd door Joseph en Sendner (1958) als konsekwentie van een beredeneerde en experimenteel gevonden diffusiekoëfficiënt evenredig met de wolkafmeting :
E
= Pd R/2 . De twee overige
verdelingscurven dienen voornamelijk ter overbrugging van de tamelijk stompe gaussische en de spitsere exponentiële verdelingen . De metingen van Van Dam et al tonen in eerste instantie een voorkeur voor de gaussische verdeling (in horizontale richtingen), maar in een later stadium een overgang naar de spitsere vorm - (1+br2)-5/2 . Als verklaring wordt genoemd dat een gaussische verdeling (die gevormd wordt als de diffusie wordt veroorzaakt door turbulente wervels veel kleiner dan de vlekomvang) bij een vlek van enkele honderden meters gevormd wordt ; dan zijn de voornaamste wervels, opgewekt door bodemwrijving, grenslaagwrijving o ¬ windgolven, tamelijk klein . Krijgen de grotere turbulentieklassen de overhand (eventueel kan men de getijweg als grootste, tevens energietoevoerende, "turbulentie"klasse beschouwen en een verder verloop via cascade naar kleinere klassen, waarbij de grootte ongeveer gelijk is aan de dan heersen grootte van de vlek) dan is een spitsere verdeling theoretisch waarschijnlijker . Deze grotere turbulentieklassen krijgen op den duur altijd de overhand, daar deze zorgen voor een afmeting van de maximale koncentratie volgens t-3 (voor deze tweedimensionale diffusie wordt dan een diffusie- L4/3 verondersteld) en halen dan de kleine wervels koëfficiënt ex'y(z) (klein ten opzichte van de vlekomvang) in, waarbij de afneming van maximale koncentratie volgens t-1 verloopt (tweedimensionale diffusie met e
- Lo ) . x,y (z) Op de lange duur kan echter de vlek dusdanig in omvang toegenomen zijn dat alle wervelklassen van kleinere grootte-orde zijn dan de vlekafmeting : de uitbreidende vlek zou dan weer naar een gausscurve moeten neigen .
- 83-
Uitbreidingssnelheid van een diffunderende vlek Veel experimenten aan vlekverspreiding beogen slechts de uitbreidingssnelheid van de vlek te bepalen . Joseph en Sendner (1958) werkten met de eerder (par . 8 .5 .1) genoemde diffusiesnelheid P
d
gedefinieerd door R
max .
2Pd
Waartmax* nemingen leveren altijd een diffusiesnelheid in de orde van 1 cm/s : voor diffusie op grote schaal maten Joseph en Sendner diffusiesnelheden van 0,8 tot 1,5 cm/s, op kleine schaal van 0,2 tot 0,4 cm/s (Joseph et al (1964)) . Joseph en Sendner veronderstellen een lineaire betrekking tussen diffusiesnelheid en vlekomvang volgens e = P
d
R/2 .
Ren vertikale snelheidsgradiënt zal de diffusiesnelheid P
d
verhogen door het
dispersieve karakter van de stroming . Kullenberg (1968) vond uit een aantal proeven de relatie : {1,1 h
1dz l
+ 1,4} 10 -4 m/s
(8 .37)
waarin h de diepte is waarover de vlek zich bevindt . Waarden tussen 0,05 en 0,6 cm/s. werden waargenomen . De uitbreiding van een isolijn van konstante koncentratie werd met luchtopnamen gevolgd door Zac en AndrjugEenko (1972) . De zichtbaarheidsgrens op de luchtfoto's wordt als een isokoncentratielijn geinterpreteerd . De vlekoppervlakte blijkt empirisch te kunnen worden beschreven met S = atn waarbij n voor 9 proeven de waarden 0,63 - 1,29 aannam terwijl de straal van de vlek toenam van 20 tot 350 m . Door Fucuda et al (1965) werd n = 1,04 - 1,96 gevonden bij R = 79 378 m, door Fushimoto en Tanaka (1968) n = 0,93 - 1,25 voor vlekstraal van R = 40 tot 143 m. Driedimensionale diffusiemetiLRen Door Brosin et al (1972) zijn driedimensionale vlekdiffusie-experimenten gedaan . Een puntlozing leidt aanvankelijk tot een zeer onregelmatig gevormde vlek, maar groeit steeds meeruit tot een elliptische vorm (zie par . 8 .6) . Twee series metingen zijn uitgevoerd bij verschillende stroomsnelheden en gelaagdheidskarakteristieken in de Oostzee : de eerste proef gaf een goede menging over 5 á 6 m diepte, waarna een dichtheidsgradiënt een verdere uitwisseling verhinderde, de 2e proef evenzo bij 10 m. De maximale koncentratie bij deze stagnerende driedimensionale (dus vergelijkbaar met tweedimensionale) diffusie nam af volgens t -3 (een evenredigheid ook gevonden voor tweedimensionale diffusie met e - 4/3 , zie boven) . Voor werkelijk driedimensionale diffusie met cxgy>xt-9/2 volgt (monin (1969)) .
L
mar -
L 4/3
- 8 4-
9
Numerieke en hydraulische diffusiemodellen
9 .1 9 .1 .1
Numerieke modellen Inleiding
Verschillende numerieke modellen zijn ontwikkeld om de hydrodynamische toestand en diffusie in estuaria, getijrivieren en zeeën te berekenen . Echtex, het prototype is doorgaans zeer ingewikkeld wat betreft vorm, stromingen en
koncentratieverdeling, zodat vereenvoudigingen nodig zijn . Vaak gaat men er toe over zodanige vereenvoudigingen aan te brengen dat een ééndimensionaal of tweedimensionaal model overblijft . De vergelijkingen worden numeriek opgelost,
gebruik makend van de gegeven randvoorwaarden, terwijl tevens de turbulente diffusiekoëfficiënten e en eu (vaak gelijk verondersteld) gegeven moeten worm den . em en eu moeten volgen uit experimentele gegevens of ad hoc hypothesen . De noodzakelijke invoer van deze gegevens is een nadeel voor het numerieke
model . Een tweede nadeel. van het wiskundige model ten opzichte van het fysisch model voor diffusieproblemen is de meestal noodzakelijke vereenvoudiging tot een één- of tweedimensionaal model, terwijl ook verdere vereenvoudigingen vaak nodig zijn . Accepteert men eenmaal die vereenvoudigingen, dan is het analytisch model verder exact maar bij het numerieke model kunnen problemen ontstaan doordat een middeling over de maaswijdte noodzakelijk is : omdat binnen een cel volledige menging verondersteld wordt ontstaat numerieke dispersie . Fysische modellen maken vaak een vertrekking van de horizontale schaal ten opzichte van de vertikale schaal noodzakelijk om viskeuze invloeden te vermijden . Ook zonder vertrekking kunnen echter schaaleffekten optreden ; diffusieprocessen die sterk beinvloed worden door viskeuze krachten worden in een schaalmodel slecht nagebootst . Het fysisch model is geschikt voor zwaartekrachtstromingen waartoe de dichtheidsstromen behoren, zodat menging van zout en zoet water, geinduceerd door dichtheidsstromingen, in een fysisch model goed onderzocht kan worden . Crookshank (1973) verdeelt de numerieke modellen van rivieren en estuaria in drie kategorieën : a . hydrodynamische modellen : ter bepaling van waterhoogten en stroomsnelheden als funktie van plaats en tijd
b . transportmodellen : de uitkomsten van het hydrodynamische model., waaraan toegevoegd de diffusie- en dispersiemechanismen, leiden tot een beschrijving van de koncentratieverdeling van een konservatieve stof in het systeem
-- 8 5 -
c . waterkwaliteitsmodellen : de uitkomsten van het hydrodynamische en het transportmodel (waaraan toegevoegd reaktiemogelijkheden van de nietkonservatieve stof zoals verval en chemische reaktie) leiden tot een be schrijving van de koncentratieverdeling in het systeem . Een verdere indeling in typen rekenmodellen voor getijrivieren en estuaria brengt het aantal dimensies in beeld : driedimensionaal (xyz) of vereenvoudigd tot twee dimensies door integratie over de breedte (xz) of diepte (xy), of vereenvoudigd tot één dimensie (x) . (Zie voor de klassifikatie van estuaria Hinwood en Wallis (1975a,b) en Abraham en Karelse (1976)) . In het algemeen zullen diffusieproblemen wiskundig niet makkelijk zover te vereenvoudigen zijn dat een analytische oplossing mogelijk wordt . De volgende paragrafen zullen daarom gericht zijn op het numerieke model .
(Voor een
groot aantal analytische oplossingen voor diverse vereenvoudigde diffusieproblemen zij verwezen naar Dobbins (1965) en Carslaw en Jaeger (1963)) . Een recent analytisch model voor een driedimensionaal systeem (rivier) is gegeven door Kuo (1976), terwijl Carter en Okubo (1970) een analytische oplossing gaven voor de longitudinale dispersie in een estuarium met niet-homogene doorsnede . Van belang voor de wiskundige beschrijving van het model is het koór-dinatensysteem waarin gewerkt wordt . Men onderscheidt daarin het Eulerse systeem (stilstaand) en een Lagrangiaans systeem dat meebeweegt (bijvoorbeeld meebewegend met het getij ; maar vele variaties zijn toepasbaar) . De korrelatie tussen de funkties in de verschillende koórdinatensystemen worden hier niet behandeld . Verwezen wordt naar een recent artikel van Weinstock (1976) en de daarin opgenomen referenties . Wat betreft het gebruik van numerieke modellen ter berekening van diffusie in estuaria en randzeeën trokken Vreugdenhil en Voogt (1975) onder andere de volgende konklusies : a . mathematische modellen hebben empirische informatie over impuls- en massauitwisseling nodig b . middeling over de waterdiepte en over de tijd leidt tot eenvoudiger mathematische modellen waarbij de uitwisselingsprocessen in overall termen worden gevangen, maar deze termen vereisen informatie over het driedimensionale en tijdsafhankelijke stromingsbeeld c . aan driedimensionale modellen zal in de toekomst de voorkeur moeten worden gegeven voor algemeen gebruik ; eenvoudiger modellen voor speciale toepassingen .
- 86-
9 .1 .2
Eêndimensionaal (x) model
De vereenvoudiging van driedimensionale diffusie naar êëndimensionale dispersie is uitvoerig behandeld in hoofdstuk 7, waarnaar wordt verwezen . 9 .1 .3
Tweedimensionaal (xy) model
De wiskundige vergelijkingen voor een tweedimensionaal model met twee horizontale dimensies zijn gegeven in paragraaf 3 .3 .2 . Ten opzichte van het driedimensionale model vond een middeling plaats over de vertikale koërdinaat . De reduktie met de vertikale koórdinaat is voor de beschrijving van dispersie in een gelaagd estuarium niet mogelijk zonder een groot verlies aan nauwkeurigheid . Veel estuaria zijn evenwel vertikaal gemengd met een horizontale saliniteitsgradiënt . De eerste tweedimensionale numerieke modellen ter bestudering van diffusie in estuaria en randzeeën zijn opgezet door Leendertse (1967) en Reid en Bodine (1968) waarbij de hydrodynamische en de diffusievergelijkingen benaderd worden door de eindige differentiemethode (finite difference method, FDM) . Eén van de toepassingen van deze methode is door Masch et a1 (1971) uitgevoerd ter berekening van de diffusie van momentlozingen en kontinu geloosde stoffen . (Maaswijdte * 1 mijl) . Een probleem vormt het bepalen van de dispersiekoëffizijn momentane grootheden die van het moment in de geey(z) tijperiode afhangen via de afhankelijkheid van u en v, zoals in vergelijking ciënt ; ex(z) en
(2 .36) aangegeven . Masch's numeriek model is vergeleken met metingen en gaf redelijk goede resultaten, zowel voor de verandering van de koncentratie in de tijd op een bepaald punt, als de waarde van de piekkoncentratie . Vlak bij een lozingspunt kan met een kleiner rekenrooster gewerkt worden ; de uiteindelijke fijnheid is in feite een kwestie van de grootte van het computergeheugen en de beschikbare rekentijd . Door verschillende onderzoekers zijn de afgelopen. jaren tijdsafhankelijke numerieke modellen ontwikkeld, waarvan een beknopte beschrijving aan Masch et al (1971) kan worden ontleend . Orlob (1967) loste de getij-afhankelijke hydrodynamische vergelijkingen van een tweedimensionaal estuarium op met een kanaalmodel . De resultaten werden gebruikt in een waterkwaliteitsmodel gebaseerd op de é9ndimensionale diffusievergelijking voor dit kanaalmodel . Ondanks de manier waarop het estuarium wordt beschreven is dit model voor een aantal prototypes gebruikt met bevredigende resultaten .
- 87 -
Leenderse (1970) gebruikte de eindige differentiemethode om de hydrodynamische en diffusievergelijkingen op te lossen . Steeds worden de momentane getijsnelheden berekend om de konvektie- en diffusietermen in de diffusievergelijking te bepalen . Voor een geheel roosternetwerk over het estuarium wordt het probleem opgelost en kost dus relatief veel computertijd . Bij de in dit model bestudeerde geometrie van het estuarium is de konklusie dat als konvektie- en diffusieprocessen worden bepaald, het proces overheerst wordt door konvektie . In het model van Shankar en Masch (1970) worden voor de konvektieve snelheden de resulterende snelheden gemiddeld over het getij genomen . Ten opzichte van de momentane snelheden binnen een getijcyclus worden in dit model aanzienlijk grotere diffusiekoëfficiënten vereist . Andere variaties worden nog gegeven door Fischer (1970), Oster et a1 (1970)), Harleman et a1 (1968) en Guymon et al (1970) . Een probleem met al deze modellen is dat afstemming op een bepaalde situatie met behulp van de keuze van de diffusiekoëfficiënten wel mogelijk is, maar dat de voorspellende waarde gering is . Dit geldt overigens niet zo zeer voor koncentratieberekeningen binnen een getijcyclus waar, zoals Masch berekende, de waarde van de dispersiekoëfficiënt vrij ongevoelig is, maar voor de getijgemiddelde modellen waar veel grotere dispersiekaëfficiënten vereist zijn . 9 .1 .4
Tweedimensionaal (xz) model
(Zie voor de wiskundige vergelijkingen par . 3 .3 .1) . In smalle estuaria die in vertikale richting niet goed gemengd zijn, ligt het voor de hand het probleem te beschrijven in een tweedimensionaal model, waarbij over de breedte geintegreerd wordt, Deze methode is o .a . toegepast door Farraday et al (1975) waarbij de diffusievergelijking wordt verkregen : 6(bc) _ s a (ubc) + a (wbc) - bq + _se - a x (bex(Y) _ac bsc = 0 + Sz(bez(Y) dt dx ) áx óz .dz)
(9 .1)
waarin b de lokale breedte van het estuarium is, q de per tijd toegevoegde stof en s de veevalsnelheid van die stof . Farraday et a1 veronderstellen de hydrodynamische gegevens bekend en lossen vergelijking (9 .1) op met de eindige elementenmethode . Een probleem bij dit tweedimensionale (xz) model ten opzichte van een tweedimensionaal (xy) model van een gemengd estuarium is dat met de verandering van de getijwaterstand langs de x-as en in de tijd rekening moet
- 88-
worden gehouden . Daartoe is een vertikaal roosternetwerk toegepast met gefixeerde positie in de longitudinale richting en met de vertikale getijsnelheid meebewegende positie langs de z-as, zodat een gemengd Euler-Lagrange referentieframe werd gebruikt . Het model is toegepast op het Engelse Tees-estuarium, 60 km lang en aan de mond tot 700 m breed en 15 m diep . Het tweedimensionale snelheidsveld is uit = k(b2/h) p met k en p metingen bekend .,Empirisch werd bepaald op ex(y) ex(Y) af te stemmen konstanten en h de lokale estuariumdiepte . werd paraboez(Y) lisch over de diepte verondersteld met = 0 aan oppervlak en bodem, terez(y) wijl de ruimte- en tijdstappen werden genomen als 500 m horizontaal, 3 m ver~ tikaal en 3/100 getijperiode . Op deze wijze gaf het model een goede weergave van de werkelijke zoutsituatie en werd verder vergeleken met een (goedkoper) êêndimensionaal model dat de zoutverdeling eveneens bevredigend beschrijft . Figuur 9 .1 vergelijkt de koncentratieverdeling van een kontinue lozing zoals berekend met het éên- en tweedimensionale model . De vorm van de verdelingen is vrijwel gelijk (duidend op gelijke longitudinale diffusie) maar de grootten zijn verschillend, waaruit de konklusie mag worden getrokken dat de vertikale koncentratiegradiënt belangrijk is (oplossingen met één- en tweedimensionaal model voor vertikaal gemengde estuaria tonen minder verschil) . 9 .1 .5
Driedimensionaal (xyz) model
Een driedimensionaal numeriek model voor estuaria en randzeeën is opgezet door Leendertse (1975), waarbij de "derde dimensie", de vertikale richting, in de berekening vereenvoudigd is door verwaarlozing van vertikale versnellingen . Evenals in Leenderse's tweedimensionale model wordt de eindige differentiemethode toegepast voor de numerieke oplossing van de vergelijkingen, nu gebruik makend van een driedimensionaal rooster . Het model behoeft nog de invoer van gegevens over wind, lozingen en open grenzen, terwijl empirische koëfficiënten tot de beschrijving van de kleinschalige (binnen een roosterblok) uitwisseling van massa en impuls moeten bijdragen . Vooral de driedimensionale modellen zijn nog in het ontwikkelingsstadium. Een groot probleem zijn de lange rekentijden en daarmee gepaard gaande hoge computerkosten, waardoor de modellen (nog) niet voor algemeen gebruik geschikt zijn . Veel aandacht wordt derhalve besteed aan het reduceren van de rekentijden door het aanbrengen van vereenvoudigingen . Zo wordt in het driedimensionale diffusiemodel van Dinelli en Tozzi (1977) de vertikale drukverdeling
- 89 -
hydrostatisch verondersteld waardoor de Navier-Stokes-vergelijkingen vereenvoudigd worden ; een verdere belangrijke vereenvoudiging is het in vertikale richting opdelen van het systeem in lagen waarbij in iedere laag de stroming tweedimensionaal wordt verondersteld . Andere driedimensionale diffusiemodellen zijn beschreven door Policastro en Dunn (1976) en Cheng, Powell en Dillon (1976) . 9 .2
Hydraulische modellen
Het bestuderen van dispersie in hydraulische modellen stuit op de moeilijkheid dat door de grote lengte-diepte verhouding van estuaria en randzeeën de hydraulische modellen noodzakelijkerwijs vertrokken zijn om een voldoende diepte te verkrijgen in verband met de viskositeit . Daar de konvektie volledig in horizontale en vertikale komponenten gesplitst kan worden, wordt de konvektie in een vertrokken model goed weergegeven . Dat dit voor diffusie niet het geval is kan blijken uit het wervelbeeld : ronde wervels uit het prototype zouden in het vertrokken model als ellipsen moeten worden weergegeven . Daar echter ook in het vertrokken model de wervels rond zijn worden horizontale en vertikale diffusie niet in overeenkomstige mate weergegeven . Derhalve wordt ook dispersie, als samenstelling van konvektie en turbulente diffusie, niet korrekt weergegeven . Een vertrokken hydraulisch model kan voor het bestuderen van .dispersie dus als een goed model worden gezien als konvektie overheersend is, maar als een slecht model als de turbulente diffusie overheerst . Beperkingen voor het gebruik van hydraulische modellen voor het bestuderen van dispersie zijn onder andere beschreven door Harleman et al (1966), Fischer en Holley (1971) en Waterloopkundig Laboratorium (1976a) . Fischer en Holley laten zien dat het effekt van vertikale snelheidsgradiënten op de longitudinale dispersiekoëfficiënt versterkt wordt in een vertrokken model ten opzichte van het prototype terwijl het effekt van dwarssnelheidsgradiënten in een stationair systeem verzwakt wordt en in een getijmodel versterkt, verzwakt of juist weergegeven wordt afhankelijk van de tijdschaal . Harleman et al (1966) beschrijven hoe de koncentratieverdeling in het prototype bepaald kan worden uitgaande van koncentratiemetingen in een vertrokken model . De beschreven methode is echter alleen geschikt in een "goed" hydraulisch model, waar de konvektie overheersend is . Gebruik moet dan worden gemaakt van een mathematisch model : de longitudinale dispersiekoëfficiënt voor het vertrokken model moet worden bepaald door de met het mathematische model berekende koncentraties te vergelijken met de gemeten koncentratieverdeling . Daarna moet
- 90-
de dispersiekoëfficiënt voor het prototype uit die van het model worden bepaald met een schaalregel : er
W
h2/1 1/2
(uit ex - uR h)
indien de vertikale snelheidsgradiënt slechts belangrijk is voor de longitudinale dispersiekoëfficiënt of : /2 et, = 1 /hr r
(uit verg . 7 .14»
indien de dwarssnelheidsgradiënt domineert . Hierin is er de verhouding van de longitudinale dispersiekoëfficiënt voor model en prototype, hr en lr respektievelijk de verhouding van de vertikale en horizontale afmetingen. Tenslotte moet de koncentratieverdeling in het prototype met het mathematische model berekend worden met de verschaalde longitudinale dispersiekoëfficiënt . Bovenstaande schaalregels zijn overigens slechts bestemd voor modellen waarin de Froudegetallen gelijk met het prototype worden gehouden . Tamai (1974) betoogt dat hydraulische getijmodellen van estuaria en randzeeën veelal van de Froudeschaal afwijken omdat een extra ruwheid wordt ingevoerd zodanig dat stroomsnelheden èn waterstanden met het prototype overeenkomen . In dat geval moet de schaalregel voor een dominante dwarssnelheidsgradiënt vervangen worden door : e r = 13/2 r De verspreiding van een wolk zou korrekt worden weergegeven in een vertrokken model (dat wel voldoet aan de Froudewet) als :
Voornoemde schaalregels geven steeds andere uitdrukkingen zodat de verspreiding van een wolk in een vertrokken model in principe onjuist wordt weergegeven . In een vertrokken hydraulisch model dat voldoet aan de Frouderegel, worden de horizontale en vertikale turbulente diffusie onjuist weergegeven . Afhankelijk van de wijze waarop de turbulente diffusiekoëfficiënt in een karakteristieke lengte en snelheid wordt uitgedrukt (e - u
h, - uh of
v
uL) volgen dan de
schaalregels (Abraham (1973)) voor de verhouding van de in het model voorkomende waarde van e en de voor een juiste weergave. vereiste e :
Tabel
1
karakteristieke
werkelijk
parameters
hor .diff .
vert .diff .
3/2 h3/2 1 r r
h-1/2 1 1/2 r r
e
u
h
e - uh
h
e - uL
1
r
l-1 r
F-
vereist
h -1 1 r r h-2 1 2 r r
Uit deze tabel blijkt dus dat in een model de horizontale diffusiekoëfficiënt (volgens de eerste beschrijvingswijze) een faktor te krachtig wordt (1r /hr)3/2 weergegeven en de vertikale diffusiekoëfficiënt in het model verzwakt wordt 1 /2 . met een faktor (1 r /hr ) Deze effekten zijn inderdaad waargenomen (Crickmore (1972)) . Volgens Huguchi en Sugimoto zal in een vertrokken getijmodel waarin een dynahr 1/2 en = .1 r1 mische overeenkomst met het prototype heerst (tr = lr hr > Cr met C de Chêzy-kogfficignt ; er is dan Froude-overeenkomst) de horizontale en . vertikale turbulente diffusie korrekt worden weergegeven als hr = lr/3 Echter, de longitudinale dispersie wordt dan overdreven met de modelvertrekking tot de macht 3/2 . Qhlmeyer (1977) maakt aannemelijk dat dispersieproblemen in het far-field goed worden weergegeven bij h r = 1r/ , althans voor systemen met een grote breedte-diepte verhouding . Enkele onderzoekingen ter vergelijking van diffusie in prototype en vertrokken model (San Francisco Bay door Bailey et al (1966) en Brouwershavense Gat door Waterloopkundig Laboratorium (1974c)) geven evenwel een goede overeenkomst tussen prototype en model . Bij het laatstgenoemde onderzoek worden de voorwaarden waaraan voldaan dient te worden om een goede reproduktie van diffusie van een tracer in een vertrokken model te bewerkstelligen als volgt samengevat : - het estuarium moet voldoende ondiep zijn om snel een volledige vertikale menging te verkrijgen, zodat daarna de modelresultaten niet worden beinvloed door de relatief te zwakke vertikale diffusie in een vertrokken model - de horizontale diffusie dient voornamelijk tot stand te worden gebracht door wervels met vertikale as . Een systeem met getijbeweging en dieptevariaties blijkt hieraan te voldoen - de waterbeweging (snelheidsveld) dient juist te worden weergegeven om de konvektie goed te laten verlopen .
-92 ..
10
Menging door wind en
olven
Wind over een wateroppervlak veroorzaakt golven en stromingen die op hun beurt weer voor turbulente menging van de watermassa zorgdragen . Een schematisch wind- en stromingsprofiel is gegeven in figuur 10.1 . De kennis van de "tussenstap" windgolven en -stromingen is noodzakelijk om de turbulente menging tengevolge van wind te kunnen benaderen : de door wind aan het water geleverde energie wordt immers niet direkt verbruikt voor menging, maar deels opgeslagen in deze golven en stromingen waardoor later en op een andere plaats menging
kan worden veroorzaakt . De diffusiekogfficignt blijkt empirisch dan ook meer aan bijvoorbeeld het golfspektrum te moeten worden gerelateerd dan aan de lokale windsnelheid (Wiegel (1963)) . De door wind veroorzaakte stroming aan het water-lucht grensvlak in een gesloten systeem (met retourstroming) bedraagt 3 'a 4% van de windsnelheid op 10 m hoogte (Waterloopkundig Laboratorium (1974)) en kan dan gelden als de maximale oppervlaktesnelheid die loodrecht op de kust kan optreden . Breitschneider (1972) geeft oppervlaktesnelheden van 3
a
7% in open systemen
en vertikaae snelheidsprofielen. (stationaire toestand) zoals in figuur 10 .2 weergegeven. . De toeneming in stroomsnelheid als funktie van de tijd voor het niet-stationaire geval is gegeven in figuur 10 .3 volgens de formule : v/U w = .
/km {tanh tUW/d
}
(10 .1)
waarin v de gemiddelde (over de vertikaal) stroomsnelheid is, Uw de windsnelheid op 10 m boven het wateroppervlak, k een wrijvingsfaktor van het oppervlak, kR een wrijvingsfaktor van de bodem en d de waterdiepte . Een tweede effekt van de wind is de vorming van gebieden met hoge of brekende golven vlak bij de kust, die op hun beurt weer cirkulatiestromingen veroorzaken . Er treedt. immers in een golfzone massatransport op in de golfvoortplantingsrichting . Bowen en Inman (1972) onderscheiden drie aspekten aan de menging van kustwateren door oppervlaktegolven : a . de golfbeweging aan zeezijde van de zone met brekende golven . De bijdrage . aan de turbulentie zal in dit gebied klein zijn ten opzichte van bijvoorbeeld getijstromingen b . menging door breking : sterke vertikaae menging en sterke horizontale menging in de richting ongeveer loodrecht op de kust
- 9 3--
c . grootschalige menging door een cirkulatiepatroon dat wordt opgezet door een gebied met brekende golven . Water wordt naar dit gebied vertrokken, naar de kust getransporteerd, stroomt langs de kust en verdwijnt dan weer in zee via muistromen . Een dergelijke cirkulatiecel heeft de (beperkte) afmeting van ± 4x de breedte van de brekende golfzone . Uitdrukkingen voor de turbulente diffusie als funktie van golfkarakteristieken (orbitaalsnelheid,
amplitude) in ondiep of diep water volgens a zijn (zie
Bowen en Inman (1972)) op theoretische grondslag gegeven door Shebalin (1957), Thornton (1970), Masch (1963) en Longuet-Higgens (1970) en op basis van laboratorium- of prototypemetingen door Masch (1973), Inman et al (1971) en Harris et a1 (1963) . Een zeer uitgebreide studie over diffusie in oceanen tengevolge van willekeurige (random) golven is verricht door Tamai (1972) . De longitudinale turbulente diffusiekoëfficiënt wordt in het golfspektrum uitgedrukt door : ex = 0,1 t/w2 voor t « t i (10
.2)
(10 ex = 0,003/w 3 voor t » t i
.3)
waarin w de hoekfrekwentie is van de spektrumpiek en t i een zekere interaktietijd . t is moeilijk te schatten, in eerste instantie heeft het te maken met de tijd na lozing (van een tracer), maar omdat de diffusiekoëfficiënt ontstaat door tertiaire golven pas na zekere tijd groeiend uit de wisselwerking van twee golftreinen, moet er een soort effektieve tijd worden ingevuld . Bij een reële waarde w = 10 rad/s zou uit vergelijking (10 .2) een veel grotere waarde volgen dan uit Okubo's relatie (zie fig . 8 .8) : t1,3 e x ~ 10-6 wanneer in beide vergelijkingen voor t de tijd na puntlozing wordt genomen . Golubeva (1964) en Isajeva en Isajev
(1963) vatten in zeeën de vertikale dif-
fusiekoëfficiënt aan het wateroppervlak tengevolge van golven samen als : ez
o
= 0,02 H/T
2
waarin H de golfhoogte en T de golfperiode is .
(10 .4)
- 9 4-
Door Pritchard (1959) wordt de invloed van de door wind geinduceerde golven op de vertikale menging in een (gelaagd) estuarium in rekening gebracht door de empirische relatie : e
- 2 -2 ° t1 uz 2 (h z) (1+ORi) + z 3 h
z(h-z) H H e h
-27rz/L
9 (1+~Ri)-2
(10 .5)
waarin Lg de golflengte is, u een snelheid (bijv . gemiddeld over het getij in het midden van het estuarium) en r1 en ~ experimenteel te bepalen konstanten (waarbij n van de definitie van u afhangt) . De eerste term in het rechterlid geeft dus de invloed weer van de door de stroming geinduceerde turbulentie, de tweede term de door de wind via golven geinduceerde turbulentie .
(Met de faktor 1 + ORi, waarin S een konstante is en
Ri het Richardsongetal, kan het effekt van gelaagdheid in rekening worden gebracht . Voor homogene stromingen is Ri = 0) . Zeidler (1976) koppelt zijn laboratoriumgolfmetingen aan een soort Reynolds2~H getal Rw = 2 (sinh ) -1/4 met L een zekere karakteristieke horizontale lengte .
Menging door brekende golven is direkt bestudeerd door metingen aan kleurstofdiffusie door Harris et al (1963) en Inman et al (1971), terwijl de diffusiekoëfficiënt ook theoretisch herleid kan worden uit de gemeten koncentratiedistributie in de gevormde stromingen langs de kust, zoals gedaan door Bowen (1969), Longuet--Higgins (1970) en Thornton (1970) . Figuur 10 .4 toont de direkte experimentele waarnemingen in grafiek uitgezet als de horizontale, loodrecht op de golffronten gerichte kinematische eddy viscosity
(in m2 /s) tegen de faktor Hbxb/t (eveneens in m 2 /s), waarin Hb su,x de waterdiepte is op het breekpunt, xb de breedte van de brekende-golfzone en T de golfperiode .
Met de relatie van Longuet-Higgins voor de horizontale turbulente impulsdiffusiekoëfficiënt in de brekende golfzone : e u,
x
= Nxgh
(10 .6)
waarin x de afstand tot de kust is en h de gemiddelde diepte in de zone, kan menging goed benaderd worden met toepassing van de empirische konstante N z 0,30 . Menging door het cirkulatiepatroon onder c kan behandeld worden volgens Inman et al (1971) volgens het cellensysteem . Het stromingspatroon kan ruwweg voor-
- 9 5-
speld worden bij enige kennis van het golfsysteem . Door Breitschneider zijn behandeld de veranderingen die diepwatergolven en windgolven ondergaan als zij de kust naderen en die veroorzaakt worden door o .a . bodemwrijving en refraktie . Het veranderende golfpatroon is immers belangrijk in verband met de zich wijzigende bodemsnelheden, snelheden op de golftop en golfhoogte en het daaruit voortvloeiende cirkulatiepatroon . Kennis van deze zaken is zeker belangrijk bij het kiezen van een lozingspunt bij de kust ; dit lozingspunt zal zeker buiten de zone van brekende wind- en diepwatergolven moeten liggen . Tijdsafhankelijke oplossingen van door wind geinduceerde stromingen bij de kust zijn gegeven door Hopkins (1972) als funktie van diverse parameters (turbulente diffusiekoëfficiënt £z , wrijvingssystemen) . Een voorbeeld van de berekende tijdsontwikkeling van het vertikale snelheidsprofiel voor een open systeem is gegeven in figuur 10 .5 . Fischer (1970) geeft enkele numerieke berekeningen van dispersie door getijstromingen met en zonder windinvloed . In het algemeen zal wind de vertikale snelheidsgradiënt van het stromingsveld beinvloeden, eventueel ook de horizontale gradiënt . Dit effekt kan dan direkt worden meegenomen in advektiediffusiemodellen, zoals van Carter en Okubo, Okubo en Kullenberg (zie par . 8 .3 .4), waarin de snelheidsgradiënten een belangrijke rol spelen . Dat wind de stroming aanzienlijk kan beinvloeden blijkt uit het proefgebied van Fukuda (1974) waar 30% van de stromingen in dit kustgebied door de wind werden geinduceerd .
- 96-
11 11 .1
Turbulente diffusiekoëffi ciënt, dispersiekoëfficiënt Dis ersiekoëfficiënt in formulevorm
In deze paragraaf zullen relaties die de dispersiekoëfficiënten van een. diffunderend systeem verbinden met bepaalde (hydraulische) parameters in het
kort opgesomd worden . Meestal zijn deze vergelijkingen reeds in voorgaande hoofdstukken besproken . Het tussen dubbele haakjes geplaatste vergelijkingsnummer refereert aan de eerder geplaatste vergelijking . Dispersiekoëfficiënten kunnen gedefinieerd worden door ((8 .10))
(11 .1)
Deze definitie komt overeen met de gedefinieerde turbulente diffusiekoëfficiënt in vergelijking (3 .12) als geen dispersie aanwezig is en bovendien de
koncentratieverdelingen gaussisch zijn . Vergelijking (11 .1)
is in de kompo-
nenten x, y, z te splitsen . Bij gebruik van "rechte d's" definieert vergelij king (11 .1) de schijnbare dispersiekoëfficiënt . Vergelijking (11 .1) geeft een exacte (wegens het definitiekarakter) manier om de dispersiekoëfficiënt uit metingen te bepalen . Er zijn echter ook een aantal semi-empirische formules afgeleid die de dispersiekoëfficiënt aan bepaalde hydraulische parameters koppelt, vaak in wat geschematiseerde situaties . Zo bepaalde Taylor uit metingen voor een ê9ndimensionale buisstroming : ex(y,z) = 10,6 Rux
((7 .12))
(11 .2)
((7 .13))
(11 .3)
Elder voor een breed kanaal (tweedimensionaal.) :
eX(z)
= 5,9 huN
Bowden voor onregelmatige kanalen (tweedimensionaal) : a hu ex(z) ° met a tussen 5,9 en 200 .
(11 .4)
- 97-
Voor natuurlijke stromingen zou, bij toepassing van vergelijking (11 .4) a nog grotere waarden kunnen aannemen : a = 200 a. 4000 (Liu (1977)) . Voor natuurlijke stromingen is de voorspellende waarde van vergelijking (11 .4) dus vrijwel nihil . De koëfficiënten voor vertikale en dwarsdispersie worden op overeenkomstige wijze als vergelijking (11 .4) uitgedrukt door : (11 S hum e z(x'Y) -
:5)
ey(X,z) = .y hu
(11 .6)
welke relaties dan gelden als gemiddelden over de hoogte respektievelijk breedte (zie verg .
(5 .6)) voor de lokale uitdrukking bij een zeker snelheids-
profiel) . Indien de vertikale en dwarsdiffusie niet door dispersieve stromingen beïnvloed wordt (wat doorgaans niet het geval is in geschematiseerde, rechte kanalen), dan zijn de dispersiekoëfficiënten in vergelijking (11 .5) en (11 .6) gelijk aan de . turbulente diffusiekoëfficiënten (dus
ez(X'Y) = E z % ~ E ) . In bochten van rivieren e .d . evenwei treden sekundaire dwarse Y(Xaz) Y stromen op, zodat ook dispersie in de dwarsrichting ontstaat (zie Fischer (1969b)) en een dwarsdispersiekoëfficiënt door middeling over de vertikale richting is te definiëren . Vergelijking (11 .4) geeft de longitudinale dispersiekoëfficiënt weer, gemiddeld over de diepte bij het bestaande vertikale snelheidsprofiel . Voor een bekend snelheidsprofiel, bijvoorbeeld een logarithmische snelheidsverdeling, kan de kanstante a voor de vertikale dispersiekoëfficiënt worden berekend op a = 0,067, zoals door Elder (1959) werd gedaan . 0p overeenkomstige wijze berekende Fischer (1968) de longitudinale dispersiekoëfficiënt voornamelijk veroorzaakt door dwarsvariatie van de snelheid zoals in veel estuaria de dwarsvariaties in de stroming de voornaamste oorzaak zouden zijn van dispersie : b eX(YZ) - - Á 01 waarin q(y) =
h (Y)
0
~
q(Y)oj
y
y cyh(y
Of
q(Y) dY dY dY
((7 .14))
(11 .7a)
_ _ (u-u) dz en u en u respektievelijk de lokale en over de
dwarsdoorsnede gemiddelde stroomsnelheid . .Oplossing van
vereist derhalve eX(YZ) volledige hydrodynamische gegevens, maar Fischer (1968, 1975) leidde een be-
- 98-
nadering af :
eX(Yz)
__ (u')` 0,30 uIE
h L2
(11 .7b)
of wel 2 b2 _ -ups u 0,11 eX(Yz) u
(11 .7c)
waarin L de afstand van ,het midden van de stroming tot de dichtsbijzijnde oever en u' = lu - Ui . Het blijkt dat in het algemeen veel groter is dan ex(Y) als de breedte-diepte verhouding groot is . ex(z) Met behulp van deze vergelijkingen (11 .7) en de daaraan toegevoegde empirische waarde voor E Y , te weten e Y = 0,23 hum , was Fischer in staat uit stroomgegevens de longitudinale dispersiekoëfficiënt binnen een faktor 4 te berekenen in geval van niet-uniforme stromingen en vaak binnen 30% nauwkeurig voor uniforme stro-
men . Liu (1977) maakt echter melding van een mogelijke fout van een faktor 20 bij gebruik van vergelijking (11 .7c) . Liu bepleit het gebruik van de relatie :
ex (Yz}
0 'i 8
1 ,5
( gRS u
)
Q2 u3E
R3
voor natuurlijke stromen met Q het debiet (Q = uA), R z A/b en S de gemiddelde helling . Volgens vergelijking (11 .8) zou dan binnen een faktor 6 zijn eX(Yz) te bepalen . Talbot (1972) vervangt in vergelijking (11 .4) uw door um om de dispersie in getij-estuaria te beschrijven, um kan (o .a .) gedefinieerd worden als de maxi-
male stroomsnelheid in het getij . Dus :
eX(z)
= dh um
waarin 6 van de definitie van um afhangt en verder experimenteel bepaald dient te worden (en is dan tevens afhankelijk van het verloop van de stroomsnelheden gedurende een getij) .
De vertikale diffusiekoëfficiënt s z kan vaak niet als een konstante over de gehele diepte worden beschouwd door de meestal dichte nabijheid van oppervlak en bodem (afgezien nog van gelaagdheid) ; uitdrukkingen bestaan voor het verti-
kale e z -profiel . Theoretisch afgeleide e z --profielen hangen weer af van het ver-
- 9 9-
onderstelde vertikale snelheidsprofiel . Voor een in estuaria en randzeeën vaak verondersteld Van Veen-snelheidsprofiel. (Van Veen (1938)) : u (z) = uo 1h18 met
~
Z
0,19 en uo de snelheid aan het oppervlak, toonde Bowden (1963) aan dat 0,$
(1- ~) uh
e z (z) = 8,72x10 -3 ~h}
(11 .9a)
waarin u de over de vertikall gemiddelde snelheid is . Een empirische benadering gebaseerd op Prandtl's mengweghypothese bracht Pritchard (1959), voor dit zelfde Van Veen-profiel, tot : e z (z) = 8,97-*10
-3
2
~ ~
~1- ~)
2
uh
(11 .9b)
Het verschil tussen (11 .9a) en (11 .9b) is door Talbot (1970, fig . 12) grafisch uitgezet . Afname van de vertikale turbulente diffusie door gelaagdheidsinvloeden en toename van door wind veroorzaakte oppervlaktegolven brachten Pritchard (1959) tot de uitdrukking : E
uz 2 (h-z) 2 -2 + ~ z (h-z) h (1+SRi) 3 h
= n Z
.
H . f
e
-21rz/L 9 .(I+$Ri) -2
{{1Q .5))
{11 .9c)
De gelaagdheidsfaktor (1+SRi) is afkomstig van de relatie van Munk en Anderson (1948) : (11 e z = e o (1+ORi) -3/2
.10)
die uitsluitend de invloed van de gelaagdheid op de vertikale turbulente diffusie aangeeft en waarin 8 experimenteel op 10/3 is bepaald . Golubeva (1964) en Isayeva en Isayev (1963) geven de golfinvloed op de vertikale turbulente diffusiekoëfficiënt aan het oppervlak weer door : ((10 .4)) = 0,02 H/T2 ez=0
(11 .11)
- 100 -
(waarin e z=0 in feite de uitsluitend door golfinvloeden veroorzaakte vertikale
diffusiekoëfficiënt is) .
Door Schijf en Schónfeld (1953) en door Okubo (1973) is, op een overigens niet geheel gelijke manier, het mengend mechanisme beschreven dat in een estuarium of randzee gevormd kan worden door min of meer afgesloten gebieden langs de oever tengevolge van de langskomende getijstromingen . Het principe is schematisch weergegeven in figuur 11 .1 (Pritchard (1959)) .
Okubo leidde af dat voor een stroming U = Uo cos wt, een overal even onregelmatige oeverlijn met een volumeverhouding r van volume van de kommen ten opzichte van volume van het overige systeem, een uitwisselingstijdschaal k, geldt :
ex
_
e
x o _ 1 + r + s(l+r) 2 (I+r+w/k
waarin ex de longitudinale dispersie zonder de oeverkommen voorstelt . Slechts het koppelen van geometrische parameters en stromingsgegevens (waaronder ook de gelaagdheidseigenschappen en golven gerekend kunnen worden) aan
de dispersiekoëfficiënt zou kunnen leiden tot een voorspelling van de dispersiesnelheid in een systeem . Andere relaties, zoals genoemd in paragrafen 8 .5,
8 .6 en 8 .7 koppelen de dispersiekoëfficiënten aan koncentratieverdelingen en kunnen o .a . worden gebruikt om experimenteel de waarden van de koëfficiënten
te bepalen . Tenslotte kan nog genoemd worden Richardson's 4/3-wet : e = ¢ L4/3 die een dispersiekoëfficiënt (in het algemeen de horizontale turbulente diffu-
siekoëfficiënt) koppelt aan de (horizontale) afmeting van de diffunderende vlek . In deze relatie is evenwel ~ afhankelijk van geometrische en stromingskondities van het systeem . 11 .2
Dispersiekoëff iciënten in getalvorm
Zeer veel metingen zijn verricht om dispersiekoëfficiënten in verschillende systemen te bepalen . Door Jain en Rajagopal zijn een aantal methoden besproken
om met behulp van metingen van de koncentratieverdeling (in ruimte en/of in de tijd) de longitudinale dispersiekoëfficiënt, zoals deze voorkomt in de ééndimensionale diffusievergelijking, experimenteel te bepalen .
Deze methoden gaan er vanuit dat de stroom uniform is zonder sekundaire stromingen, terwijl bovendien ex slechts van y en z afhangt .
Paragraaf 8 .5 levert voor . een tweedimensionale radiaalsymmetrische diffusie uitdrukkingen die de koncentratieverdeling aan de turbulente diffusiekoëfficiënten of dispersiekoëfficiënten koppelt . Paragraaf 8 .6 geeft relaties van een driedimensionaal turbulent diffusiesysteem, terwijl paragraaf 8 .3 .4 relaties geeft van de koncentratieverdeling tot de dispersiekoëfficiënten voor een dispersief systeem . Van het grote aantal experimenten ter bepaling van de longitudinale, vertikale en dwarsdispersiekoëfficiënten zijn hieronder een aantal bijeengebracht . In de opsomming is geen volledigheid nagestreefd, maar het doel is slechts om enig gevoel te krijgen van de waarden van de dispersiekoëfficiënten onder verschillende omstandigheden . Onder verschillende omstandigheden wordt dan be doeld zowel de geometrische verschillen die bestaan tussen kanalen of rivieren,
estuaria, randzeeën en oceanen, als onderlinge geometrische verschillen binnen éên van deze groepen, zowel als verschillen in stromingskondities, gelaagdheid, wind, golven e .d . In sommige referenties komen uitgebreide tabellen voor met waargenomen dispersiekoëfficiënten ; deze zijn niet overgenomen maar in die
tuatie wordt slechts naar deze referenties verwezen . Een indeling wordt gemaakt in de voornaamste geometrische
verschillen : goten-
kanalen-rivieren, getijrivieren- estuaria-randzeeën en zeeën-meren . Tevens worden in volgorde de longitudinale, vertikale en dwarsdispersiekoëfficiënt behandeld, hoewel deze laatste indeling niet altijd scherp is . Immers sommige experimenten beogen een horizontale dispersiekoëfficiënt te bepalen, ook in het geval dat de horizontale diffusie niet isotroop is en er dus een longitudinale en dwarsrichting aan te wijzen zou zijn . In deze experimenten wordt een (elliptische) vlek door middel van een ekwivalente cirkel met een isotrope diffusie vergeleken, leidend tot een horizontale radiaalsymmetrische dispersiekoëfficiënt . 11 .2 .1 11 .2 .1 .1
Goten, kanalen, rivieren Longitudina le dispersiekoëfficiënt
Klassiek is Taylor's (1954) dispersiekoëfficiënt in een pijpstroming . Semi-empirisch leidde hij de relatie
ex(yz)
= 10,6 au
(semi-empirisch)
(11 .13)
- 102 -
af (a is de straal van de buis) . Zijn metingen gaven de faktoren : ex(yz)~aum
= 10,0 tot 12,8
(experimenteel)
met een bocht in de pijp liep deze faktor voor de longitudinale dispersie op tot 23 . Elder (1959) breidde vergelijking (11 .13) uit voor een breed, ondiep kanaal met logarithmische vertikall snelheidsprofiel tot :
ex(z)
= 5,9 hu
(semi-empirisch)
(11 .14)
terwijl zijn metingen geven :
ex(z)
= 6,3 hu'
(experimenteel)
waarin h de waterdiepte voorstelt . Bowden (1965) generaliseerde vergelijking (11 .14) voor onregelmatige kanalen met willekeurige vertikale snelheidsprofielen . In het algemeen kan dan gesteld worden :
waarin a kan variëren tussen 6, het resultaat van Elder voor een kanaal met logaritmisch snelheidsprofiel, tot een typische waarde van orde 200 voor estuaria, waarin het snelheidsprofiel wordt veroorzaakt door dichtheidsstromen . Fischer (1967,
1968) konkludeert uit metingen in laboratoriumgoten tot in grote rivieren dat doorgaans : ex(yz)/huw = 100 á 500 met een uitschieter in de Missouri tot 5600 . Yotsukura (1967) mat in de Missouririvier een waarde :
ex(yz)/hug
= 1000 9 4000
- 10 3 -
ter plaatse waar de rivier 200 m breed en 3 m diep is . Door Jain en Rajagopal (1972) zijn verschillende methoden beschreven om longitudinale dispersiekoëf£iciënt (dus in een tot één dimensie gereduceerd systeem) experimenteel te bepalen . De meeste methoden gaan uit van metingen aan de kon-
centratieverdeling (bijv . meting van de afname van de maximale koncentratie) . Voor een konstante waarde van ex geldt de oplossing (in één dimensie) :
co
c(x,t) =
2
e
zre
Fischer (1966b) toonde aan dat
ex(yz)
-
dot
2
dx
2
4eX(Yz)t
(11 .16)
gegeven wordt door :
eX(Yz)
u3
x
(11 .17) .
waarin ot de variantie is van de funktie
2 rre
u
exp
2
x
~. u
(- 4 ex (yz) t
is de
over de dwarsdoorsnede gemiddelde snelheid . Tabel 11 .1 geeft voor de verschillende methoden (waarin het meten van de curve-breedte op halve maximum waarde (FWHM), de afname van de piekkoncentratie en de methoden van Parker (1961) en Levenspiel en Smith (1957) te maken hebben met vergelijking (11 .16), terwijl de momentenmethode duidt op gebruik van vergelijking (11 .17) toegepast op metingen in de Missouririvier) de resultaten weer . Een verschil van een ¬aktor twee kan optreden . Jain en Rajagopal konkluderen dat de momentenmethode de beste is gevolgd door een bepaalde kontroleprocedure (routing method, zie oorspronkelijke publikatie) . Tabel 11 .1
Experimentele waarden van
Missouri
FWHM
sektie nr.
Afname emax
eX(Yz)(in
Parker
m2 /s) in de Missouri
Levenspiel en Smith
1% cut
3% cut
1% cut
3% cut
Momentenmethode 1% cut
3% cut
1
767
784
661
534
898
762
--
-
2
698
798
867
580
1154
840
--
-
3
712
589
1040
803
1209
945
4
734
-
1337
1031
1382
1159
1351 -
1068 -
- 104 -
Dat verschillende methodieken, toegepast op dezelfde metingen, leiden tot verschillende waarden van de dispersiekoëfficiënt, zoals tabel 11 .1 laat zien, roept onmiddellijk de vraag op hoe belangrijk afwijkingen van de juiste dispersiekoëfficiënten zijn indien deze toegepast worden ter berekening van koncentratieverdelingen (zie gevoeligheidstest in par . 11 .2 .2 .1) . 11 . 2 .1 .2
Dwarsdisp ersi ekoëf ficiënt
Elder (1959) mat in een goot een dwarsdiffusie : Ey
= 0,23 huN
welke koëfficiënt hier dus de turbulente diffusiekoëffieiënt voorstelt, daar immers in een rechte, rechthoekige goot geen schuifspanning kan bijdragen tot dwarsdispersie . In natuurlijke stromen kunnen dwarsstromen voorkomen. Metingen van Fischer (1967b,
1975), Orlov (1959) en Sayre en Chamberlain (1964)
in rechthoekige laboratoriumgoten en in smalle kanalen leidden tot : E Y /huK
= 0,15 tot 0,23
In rivieren mat Yotsukura (1967) een waarde ey = 0,6 hum voor de Missouri en Glover (1964) vond e
Y
= 0,72 hum voor de Columbia rivier . In deze rivieren is
het dus mogelijk dat dispersieve stromingen de dwarsdiffusie .vergroten ; voor goten moet dan vervangen worden door
eY(z)
.
E
Y
Fischer (1969) mat in bochten van laboratoriumgoten een waarde e Y(z) = 2,4 hum, een aanzienlijke toename dus vergeleken met rechte goten door het optreden van dwarsstromen . Ward (1974) deed laboratoriumexperimenten in een meanderende, oscillerende stroming en vond, gemiddeld over de oscillatietijd :
eY(z)/huw 11 .2 .- 1 .3
= 0,66 tot 1,70
Vertikale dispersiekoëffi ciënt
Elder (1959) leidde voor een breed kanaal met logarithmisch vertikaal snelheidsprofiel semi-empirisch a£ dat de over de diepte gemiddelde vertikaae diffusiekoëfficiënt wordt gegeven door :
- 10 5 -
c z = 0,067 huK maar Okoye (1970) vond dat voor een smallere stroming de evenredigheidskonstante afhangt van de breedte-diepte verhouding (konstante neemt af bij afnemende verhouding) . 11 .2 .2
Getijrivieren, estuaria, randzeeën
In getijrivieren, estuaria en randzeeën komt doorgaans een zekere mate van gelaagdheid voor tengevolge van verschil in saliniteit . Invloed van gelaagdheid op de diffusie valt buiten het veld van dit rapport . Echter moet wel worden bedacht dat een theoretisch model voor diffusie in dergelijke gebieden nog wel opgezet kan worden met weglating van dichtheidseffekten, maar experimentele waarnemingen in het prototype hebben altijd met deze gelaagdheid te maken . In de nu volgende experimenten zal de dispersiekoëfficiënt dus vaak door de gelaagdheid beinvloed zijn . 11 .2 .2 .1
Longitudinale en horizontale dispersiekoëfficiënt
Rivieren en estuaria Fischer geeft een methode om uit stroomgegevens (snelheidsmetingen en metingen aan de helling van het wateroppervlak) de longitudinale dispersiekoëfficiënt te bepalen,zoals reeds besproken in par . 7 .1 .1 en genoemd in vergelijking (11 .7x) . Tabel 11 .2 geeft voor enkele rivieren en estuaria de op deze wijze berekende dispersiekoëfficiënt, vergeleken met experimenteel waargenomen waarden : Tabel 11 .2
Berekende (verg .
(11 .7a}) en waargenomen horizontale dispersiekoëfficiénten voor enkele Amerikaanse rivieren en estuaria (Fischer (1968))
Rivier, estuarium
Diepte Breedte Debiet ex(y)' ver (m) (m) m3 (13 .7a) /s m2 /s
g.
ex(y) waargenomen
berekende dimensieloze koëfficiënt ex(y)/huN
Copper Creek
0,48 0,84 0,48
16 18 16
1,5 8,1 1,3
5,9 27,5 11,0
18,9 20,7 9,2
500 250 245
Clinch River
0,84 2,10 2,07
46 58 82
8,7 81 49
14,4 83,7 53,1
13,5 52,2 45
235 245 210
Copper Creek Powell River Clinch River Coachella Can .
0,40 0,84 0,57 1,53
18 33 35 24
13 3,8 6,5 26
2,7 8,8 28,8 3,8
9,5 9,2 7,8 9,3
220 200 280 140
- 106 -
De laatste kolom, waarden, voor e , geeft enige waarden voor a zoals ijl x(Y)/hu vergelijking (11 .4) genoemd . In deze reeks kan e binnen een faktor 4 volx(Y) gens vergelijking (11 .7a) worden berekend . Echter, vergelijking (11 .7a) vraagt gedetailleerde kennis van hydrografische gegevens . Daartoe is een benadering van deze formule, die slechts kennis van deze parameters "in grote lijn" vraagt, door Fischer (1967) gegeven als vergelijking (11 .7b) . Door Gallagher en Hobbs (1973) zijn in figuur 8 .2 dispersiekoëfficiënten gegeven als funktie van de lengtekoórdinaat voor het Tees-- estuarium (grotere waarde van x is dichter naar zee toe) . Gegeven zijn (1) de longitudinale dispersiekoëfficiënt berekend uit de zoutindringing,(2) de longitudinale dispersiekoëffiex(Yz) ciënt uitsluitend met vertikaal -dispersieve stromingen berekend uit Elder's ex(z) vergelijking ex(z) = 5,9 hu , (3) de longitudinale dispersiekoëfficiënt uitsluitend met dwarsdispersieve stromingen berekend uit Fischers "bulk"ex(Y) vergelijking (13 ;7b) en derhalve geldig voor stationaire stromingen en (4) de overeenkomstige waarde van voor niet- stationaire stromingen, zoals door ex(Y) Holley et al (1970) gegeven in vergelijking (7 .31) en (7 .32) . Tevens is de verhouding T/T cs weergegeven . Gallagher en Hobbs merken bij deze figuur op dat : a . de waargenomen waarden van ex(yz) /hu i lopen van 50 tot 350 van x = 0 tot de estuariummonding, welke laatste waarde te groot is om het voornaamste effekt van vertikale schuifspanning te verwachten . Dwarsdispersieve stromingen moeten derhalve belangrijk zijn . b . landinwaarts T/T cs groot is en dwarsdiffusie binnen de getijcyclus in evenwicht komt met het dwarsschuifspanningseffekt . De berekende uit ex(y)stat vergelijking (11 .14) geeft de juiste x- afhankelijkheid maar is een faktor 2 tot 6 groter dan waargenomen . ex(Y) c . zeewaarts T/Tcs klein is dus geen evenwicht binnen de getijperiode ; derhalve wordt de longitudinale dispersie onderdrukt . Volgens Holley, Harleman en Fischer (1970) is voor de meeste getij - estuaria T/T z (waarin Tz de tijd is om over de vertikaal te mengen) groter dan 1, waardoor Elder's relatie voor brede kanalen mag worden toegepast (verg . (11 .14)) . Voor T/T < 0,1 geldt : Y 2 2 lT 10 e 0,16-1 hu ` x(y)stat ex(Y) -
u'
2
(waarin u' 2 dezelfde betekenis heeft als in vergelijking (11 .7b) .
- 10 7 -
Dan volgt de verhouding : 2 ,2 ex(Y) = 0,027 2 2 ex(z) b2 Een toepassing van het bovenstaande wordt voor een aantal Amerikaanse estuaria gegeven door Holley et ai : Tabel 11 .3
estuarium
Hudson
Horizontale dispersiekoëfficiënt voor enkele Amerikaanse estuaria
diepte
Delaware James
ex(z) verg . (11 .14) m2 /s
uT (m/s)
(m)
(m)
7,5
510
0,9
660
0,6
4,8
600
0,18
3,9
3600
0,5
5,7
360
6,6 6,6
18 Potomac
breedte
18
. ex(Y)/ex(z) I
II
0,052
2,0
2,7
4,3
0,044
2,8
5,9
0,72
2,9
0,0053
0,28
22
0,079
0,00035
0,32
0,6
0,66
16
0,056
0,018
0,070
780
1,1
0,75
2,4
17
0,017
9,7
480
0,6
1,5
13
0,034
0,81
3,2
1,2
1,2
4,9
2
In geval I is genomen u' 2 /(2 uT
= 0,01
)
In geval II is genomen u'2/(2
2 uT)
11
= 0,04
Een longitudinale diffusiekoëfficiënt met minder fysische betekenis als voorheen is opgesteld door Williams en West (1972) om de menging in het Tay-estuarium met een ééndimensionale methode te beschrijven . De betreffende grootheden worden gemiddeld over de dwarsdoorsnede ên over de getijperiode . Omdat het noodzakelijk leek ook de wisselende oppervlakte van de dwarsdoorsnede A gedurende het getij in rekening te brengen, zijn de turbulente fluktuaties, dwarsdoorsnedefluktuaties en andere getijfluktuaties samengevat in é9n getijgemiddelde schijnbare diffusiekoëfficiënt ex(yz)AT volgens : Sx (cQ)
_ _ _Sc 8x A ex(yz)AT 6x
(11 .21)
- 108 -
waarin dus c, A en e getijgemiddeld zijn en de zoetwaterafvoer Q gedurende een getijperiode ongeveer konstant is . Waarnemingen in vijf meetstations in het Tay-estuarium (fig .
11 .2a) leiden
tot empirische waarden van
als funktie van de bovenafvoer Q en de ex(yz)AT longitudinale koórdinaat x, zoals in figuur 11 .2b,c weergegeven . De afhankelijkheid van
voor Q en x is groot, waarbij vooral in de monding ex(yz)AT ex(yz)AT sterk toeneemt (en dus ook de toch nog min of meer gekoppelde menging) . Fischer (1975) paste de "trapping"-formule (11 .12) toe op het Mersey-estuarium . Invullen van "redelijke" waarden levert : e' = 0,9 ex + 360 m2/s De door Bowden en Gilligan (1971) experimenteel bepaalde waarde in dit estuarium is van de grootte-orde van de tweede term, zodat de gehele longitudinale dispersie in het Mersey-estuarium uit het trapping-mechanisme verklaard kan worden. Gevoeligheidstest -en voorbeeld -van^vergelij.king-van metingen-met -berekeningen Harleman et al (1968) testten de gevoeligheid van ex(z) op het koncentratieverloop tengevolge van kontinue lozing in de getijrivier Potomac door via numerieke berekeningen het koncentratieverloop op twee vaste punten gedurende een periode van 15 dagen (dus getijgemiddelde) te berekenen met de juiste dispersiekoëfficiënten (orde 3 m2 /s, uitgaande van vergelijking (11 .14) en een
koafficiënt 10x zo groot . Figuur 11 .3 toont deze resultaten met slechts een bescheiden verschil voor beide koëfficiënten . waarde van e
x(z)
(Vanzelfsprekend is de juiste
wel belangrijker bij een moment--(punt)lozing) .
Door Holley en Harleman (1965) is de dispersierelatie van Taylor (verg .
(11 .2))
gemodificeerd ter toepassing op een estuarium waarin menging over de dwarsdoorsnede heeft plaatsgevonden :
ex(Yz)
- 20,2 huK
(11 .22)
Harleman (1971) veronderstelde uit enkele metingen dat ongeveer de dubbele waarde juist is voor estuaria met homogene dichtheid (zie ook pag . 106 onder a) . Met behulp van vergelijking (11 .22) is voor het Potomac--estuarium (in het zoet-
- 109 -
watergebied, waar echter wel getijstromen optreden . De longitudinale dispersiekoëfficiënt zal hier veel kleiner zijn dan in het gebied met zoutindrin-
ging ; dat in estuaria de dispersiekoëfficiënt toeneemt naar de monding komt o .a . door een toenemende invloed van dichtheidsstromen) de longitudinale dispersiekoëfficiënt berekend gedurende een getijperiode ; figuur 11 .4 geeft het resultaat .
Figuur 11 .5 geeft het met deze dispersiekoëfficiënt numeriek berekende koncentratieverloop (steeds bepaald voor hoog- en laagwaterkentering), over 15
dagen op twee vaste punten . Deze berekeningen zijn vergeleken met rhodaminemetingen en tonen een goede overeenkomst . Estuaria en zeeën Door Kullenberg (1968) zijn enkele tientallen proeven uitgevoerd met vlekdiffusie in kustwateren . Op alle plaatsen zijn vertikale temperatuur- en saliniteitsprofielen gemeten, stroomsnelheid en -richting, windsnelheid en -richting . Voor de horizontale diffusie maakte Kullenberg gebruik van de methode van Joseph en Sendner, met de diffusievergelijking : _dc _ _1 _d 2 (Pr dc St - r 8r gr) met de oplossing, zoals eerder in vergelijking (8 .25) gegeven :
c(r,t) =
r _ _ Pt
Q 27r Pt 2
e
(11 .24)
Kullenberg past de methode van de ekwivalende cirkel toe (par . 8 .3 .1) . Uit de experimenten blijkt de empirische relatie : P _ {1,1 Ho
lá 1 + u
1,4} 10 -2 m/s
waarin Ho de oorspronkelijke (bij start experiment) dikte van de rhodaminelaag is . Bovenstaande relatie is in figuur 11 .5 met de metingen, uitgebeeld . Voor de overige resultaten (gemeten waarden van P en van de vertikale diffu-
siekoëfficiënt in relatie tot gelaagdheid en windinvloeden) zij verwezen naar de oorspronkelijke .publikatie .
Door Talbot (1972) zijn dertien diffusie-experimenten in Britse estuaria eu randzeeën (elders beschreven) samengenomen . De voornaamste grootheden zijn ; Tabel 11 .4
"Overall" horizontale dispersiekoëfficiënten voor enkele Britse estuaria en randzeeën
Estuarium, zee
totale diffusietijd 10 4 s
uM (m/s)
h (m)
e
x (z) 2 m /s
exy(z) /h um
Lowestoft
2,37 1,22
1,19 0,94
16,5 12,8
120 23
Colne
6,1 1,9
1,8
0,67
7,5
14
2,8
0,63
10,0
13,4
4,3
0,49 0,77
7,5 8,0
23 13
6,3 2,1
0,56
8,4
1,86
0,77
9,0
20 ,5 60
4,2 8,7
Swale
1,6
0,60
3,6
2,6
1,2
Solent
1,62 1,98 2,0
1,05 0,84 0,70
18 21 14
22 97,4 6,1
1,2 5,5 0,6
S 0,55
39
20,6 19,8
0,96 0,92
0,43
37
4,4
0,27
19,6
0,70
33
17,0
17,4
0,74
0,70
40
46,5
1,66
Blackwater Crouch
2
,32
11,16 2,04
9,0
Roach
Whitby
8,4 11,3
Southern Bight
24,
Irish Sea
2
( `
1
um = maximale getijsnelheid, gemiddeld over de diepte h = gemiddelde waterdiepte 2 do dto r bepaald uit _ exY(z) exy(z)
2
Nadere bestudering van de experimenten boven de stippellijn in tabel
11 .4 le-
vert de konklusie dat het vértikale schuifspanningseffekt steeds een belangrijke bijdrage aan de horizontale diffusie levert . Voor deze experimenten kan de empirische relatie _ 3,6 h um (11 exy(z)
.26)
worden opgesteld . De experimenten onder de stippellijn in tabel 11 .4 voldoen echter niet aan deze relatie ; de waargenomen horizontale dispersiekoëfficiën-
ten zijn te laag . Als mogelijke oorzaken geldt het feit dat vergelijking (11 .26) geen invloed van golven meeneemt (golven veroorzaken vertikale menging en in een systeem met effekt van vertikale schuifspanning derhalve een afnemende horizontale diffusie) en de grotere waterdiepte van deze experimenten (waardoor de vertikale mengtijd van de orde van of groter dan de halve getijperiode wordt ; zie de relatie T = h2 /e ) . Onder bepaalde aannamen kan worden afgeleid dat voor verschillende snelheidsprofielen de relatie (11 .26) kan worden geschreven als : exy(z) /h um = 0,56 tot 4,76
(Talbot en Talbot (1974))
(11 .27)
(of van 1,52 tot 4,76?, Talbot (1974)) . Een nog uitgebreidere lijst van diffusiekoëfficiënten, experimenteel bepaald in Britse estuaria en randzeeën, is gegeven door Talbot en Talbot (1974) (zie de publikatie, tabel 17a, b) . Tevens zijn dwars- en vertikale diffusiekoëfficiënten gegeven . 11 .2 .2 . 2
Vertikale diffusiekoëfficiënt
Daar over het algemeen geen vertikale stroomsnelheidsgradiënten voorkomen, treedt geen dispersie in vertikale richting op en kan de vertikale diffusie~ koëfficiënt beschouwd worden als de vertikale turbulente diffusiekoëfficiënt Vertikale diffusie is onder andere afhankelijk van de gelaagdheid (uit te drukken door het Richardsongetal) en golfinvloeden . Beide invloeden zijn in
vergelijking (11 .9c) door Pritchard (1959) tot uitdrukking gebracht . Zijn metingen in het James River-estuarium leiden tot waarden van n, ~ en 0 volgens : EX
=
H -2wz/L 8,59x10 -3 -u z 2 (h-z) 2 + 9,57x10 -3 z(h-z) h T, e h3
(1+0,276 Ri) -2
(11 .28)
(waarin u de gemiddelde getijsnelheid op halve diepte voorstelt) welke uitdrukking dus tevens e z als funktie van z uitdrukt . Zonder golfinvloed en ge-
middeld over de diepte wordt dan gevonden :
-4 2 h-u/(]+0,276 Ri) (11 ez = 2,86K10
.29)
In het algemeen geldt de relatie zonder golfinvloed en gemiddeld over de diepte, met Ri = 0, uitgaande van vergelijking (11 .9c) : e z = 0,005 n hu
(11 .30)
Expérimenten van Harleman en Ippen (1967) in een getijgoot kwamen goed met Pritchard's vergelijking (11 .28) overeen en zij achten deze vergelijking "geschikt voor ingenieursgebruik" .
Enkele typische waarden voor e z in estuaria zijn de door Francis et al (1953) genoemde waarden voor het Kennebee-estuarium :
= 5 kot 65m10 -3 m2 /s . ez Bowden en Gilligan (1971) meten in het Mersey-estuarium (gelaagd) een maximale
waarde van ez op 0,6 van de hoogte met waarden van 1,2 tot 3,7H10 -3 m2/s, naar oppervlak en bodem toe kleiner . Kullenberg (1968) voerde een groot aantal experimenten uit met vlekdiffusie in kustwateren (zie ook par . 11 .2 .2 .1, horizontale diffusiekog£ficignten) . Gebruik werd gemaakt van de diffusievergelijking : 6c _S 2 c át = eZ 6Z2 die als oplossing heeft voor geval : A . - sterke -gelaagdheid h 2 In
co
c
waarin co de koncentratie is op t = 0 en h de laagdikte voorstelt, waarin de kleurstof zich bevindt en die bij sterke gelaagdheid gedurende de proef ongeveer konstant blijft . De oorspronkelijke publikatie geeft in tabel 4 de waargenomen vertikale diffusiekogfficignten (orde 4 -- 15 .10 -6 m2 /s) in relatie tot h (orde 0, 5 m) en tijdsduur van het experiment (2 á 4 h) .
B . - zwakke -gelaagdheid e z te bepalen uit :
c
co
2
erf
1 -z/h * szt h2
2
erf 1 +z/h e t z 2 h2
met h de oorspronkelijke laagdikte . Tabel 5 van Kullenberg (1968) geeft de gemeten waarden van e z (1-60«10 in relatie tot h, z en t .
-4 m2 /s)
voor alle experimenten toont figuur 11 .7 het verband tussen e z en de faktor U
2 N 2,
waarin Uw de windsnelheid (m/s) is en N de stabiliteitsparameter (s gegeven door N2 (p = dichtheid) . P Sz Uit de figuur blijkt de relatie : e z z 3,310-8
(Nw)
2
m /s
-1 )
(11 .34)
Beter kan echter een splitsing in harde en zwakke wind worden teweeggebracht, waarna volgt : Uw ; 5 m/s
ez z 2,7x10-4
(UW) U
Uw < 4 m/s
e z z 7,610-7
(
1,9 (11 .35) 1,2
N~
(11 .36)
Talbot (1974) en Kullenberg {1974} verzamelden een aantal experimentele waarnemingen voor de vertikale dif£usiekoëfficíënt in zeeën, meren, kustwateren en estuaria . De koëfficiënten voor kustwateren en estuaria zijn weergegeven in tabel 11,5 ; voor zeeën en meren zie tabel 11 .6 in paragraaf 11 .2 .3 .3 .
Tabel 11 .5
Experimentele vertikale diffusiekoëfficiënten in estuaria en randzeeën .
Referentie
Plaats
Kullenberg (1968)
Diepte (m)
~resund (kustes .)
e z (10
m/s)
0,04 - 1,2 0,2 - 60
Kullenberg (1968) Ford 3
Gel aag2heid N 2 {s
N2 > 3m10-3 < 4H10-4
0,04 - 0,1
(2,4-9,1)10 -3
0,7 - 1,5
(1,4-2,5)m10-
Kullenberg (1974) Kustwater
15 - 20
Kullenber
oppervlakte5 - 60 laag
neutraal
ervlakte- 3 26 opp g
-
(
1974) Kustwater
)
3
Talbot (1972)
Oost-Terne Zee
Talbot (1972)
Noord-Ierse Zee
Talbot (1972)
Solent
10 - 244
Talbot (1972)
Thames Est .
119 - 320
verwaarloosbaar
Bowden (1965)
Mersey Est .
0 - 20
6 - 32
Ri = 0,1 - 0,6
Bowden (1966)
Mersey River .
halve diepte
25
4,4x10 -4
Bowden (1966)
Cumberland .) (ku (kustes
halve diepte
6
1,4%10-4
Bowden et al (1966)
Liverpool Bay
0,6 - 39
Foxworthy et al (1966)
California (kustes .)
0,25 - 22
-
Bowden et al (1973)
Holy Loch (kustes .)
2 - 17,8
-
Bowden
et al
oppervlakte20 - > 55 laag
Red Warf-Bay
9
verwaarloosbaar -
Ri < 0,87
-
Carter et al (1965)
Atl . Oceaan (kustes .)
0 - 10
19
1,7m10-4
Carter et al (1965)
Atl . Oceaan (kustes .)
0 - 10
1,3
4m10 -4
Talbot en Talbot (1974) hebben een groot aantal waarnemingen verzameld voor experimenten in Engelse kustwateren, en estuaria (zie tabel 17a, b uit deze publikatie) . In veel van deze experimenten is ez op twee manieren berekend : A. volgens een gemodificeerde, numerieke Carter-Okubo methode (zie par . 8 .3 .4) en B . volgens de veronderstelling dat de niet-begrensde vertikale koncentratieverdeling kan worden beschreven met : c
= c
z
o
e-z2 /4ezt
(11 .37)
(dus in feite de Fickse beschrijvingswijze met korstante diffusiekoëfficiënt) dan geldt voor de begrensde situatie :
+ 2 exp c '(z) l = co
-~
2 ~
4szt
+ 2 exp
I-
-
2
t ~ z )
+ 2 exp
-
6
2
C4 zt)
+ . . .
(11 .38)
zodat na een set metingen e z kan worden bepaald . De met beide methoden bepaalde waarden voor e z zijn steeds van dezelfde ordegrootte . 11 .2 .2 .3
Dwarsdispersiekoëfficiënt
Voor rechte, rechthoekige kanalen wordt de dwarsdiffusiekoëfficiënt semiempirisch gegeven door (Fischer 1973)) : ey = 0,15 huN en geldt dan als de turbulente diffusiekoëfficiënt . In natuurlijke stroming echter wordt de dwarsdiffusiekoëfficiënt vergroot door het optreden van dwarsstromen tengevolge van geometrische onregelmatigheden . Ward (1974) geeft als experimentele waarden voor enkele estuaria waarin getijstromingen optreden : San Francisco Bay Cordova Bay Gironde Estuarium
ey(z)/hui ey(z)/hu«
= 1,00 = 0,42 - 1,03
ey(z)/hu' terwijl Fischer (1974) een experimentele waarde noteert van
eY(z)
= 1,2 hum
2 (= 1 m /s) voor het Delaware-estuarium, Laboratoriumproeven van Ward geven voor meanderende getijstromingen getijgemiddelde waarde van
= 0,66 tot 1,70 . eY(z)/hu* Murthy en Kenney hebben dicht bij de oevers van de grote Amerikaanse meren experimenten uitgevoerd waarbij de verbreding van een kontinue lozingspluim werd bepaald . Grootschalige turbulenties kwamen voor getuige het meanderende karakter van de pluim . De eigenlijke stroming is steeds langs de oever gericht, terwijl onregelmatige vormen en windinvloeden dispersieve stromingen doen optreden, Figuur 11 .8 geeft de resultaten weer : de dwarsdiffusiekogffiis gegeven met de bijbehorende diffusieschaal Ly (gedefinieerd ey(z) als L y = 3cy ) . ciënt
De verzamelde waarden zijn vergeleken met een curve :
ey(z)
= 2K10-2
L1,2
waarin de exponent 1,2 dicht bij RichardsonRs waarde 4/3 ligt,
(Hoewel moet
worden benadrukt dat Richardson's 4/3-wet bedoeld is voor een turbulentdiffusief systeem en niet voor een dispersief systeem, zoals in Murthy en Kenney's proeven,) Talbot en Talbot (1974) verzamelden een groot aantal diffusie-experimenten in Engelse estuaria en kustwateren, waarin meestal ook de dwarsdiffusiekoëfficiënt is bepaald . In het algemeen moet van dwarsdiffusie gezegd worden dat het mechanisme nog slecht bekend is, evenmin als bekend is wat het effekt van gelaagdheid is op dwarsdiffusie . 11 .2 .3 11. ..2..3 .1 .
Zeeen, meren Longitudinale en horizontale dispersiekoëfficiënt
De meeste experimenten ter bepaling van diffusiekoëfficignten in zeeën of meren zijn uitgevoerd met een momentlozing van kleurstof . Ofschoon de diffunderende wolk meestal niet rotatiesymmetrisch is maar min of meer elliptisch van vorm is in het horizontale vlak, wordt doorgaans geen longitudinale en dwarsdispersiekoëfficignt apart bepaald, maar slechts gén horizontale diffusiekogfficignt .
Deze horizontale diffusiekoëfficiënt wordt bepaald uit :
exy of uit
_
d- xy dt
2
_ _1 dor er 2 dt
waarin
axy definieerd .
en a
r
de betekenis hebben zoals in paragraaf 8 .3 .1 en 8 .3 .2 ge-
Daar in zeeën en meren de horizontale afmetingen groot zijn en de stromingen doorgaans kleiner dan in rivieren en estuaria, kan men verwachten dat de turbulente diffusie een relatief belangrijkere rol speelt . Richardson koppelde een diffunderende vlek in een turbulent-diffusieve onbegrensde ruimte aan de relatie :
Een oude waarde van ~ komt van Inoue (1950) met
.= 4,5it10-4 m2/3 s-1
Visser's (1966) metingen aan een diffunderende vlek in de Noordzee bij Texel, kwamen met deze waarde van ~ overeen : hij vond exy = 120 m2/s bij L = 9,3 km, terwijl Inoue l s waarde overeen zou komen met L = 11,8 km . Op zeeën blijkt
te variëren tussen 0,7x10 -4 en 2,5x10 -3 m2/3 /s (Koh en Brooks
(1975)) . Okubo (1968) verzamelde alle in aanmerking komende experimenten . De waarden van exy(z) uitgezet tegen L (zie fig .
8 .9) maken het aannemelijk dat Richard-
son's 4/3-wet opgaat op zekere inertial subranges . Slechts waar energie-invoer (of eventueel energieverlies) van buiten af plaatsvindt en Kolmogorov's wervelcascade verbroken wordt, zou dan ook een diskontinuiteit in de e-L grafiek naorden waargenomen (zie par .
8 .5 .2) .
(Voor uitgebreide gegevens wat betreft
diffusietijd en vlekomvang van de door Okubo verzamelde experimenten zie Okubo (1971)) .
Ook nieuwere experimenten passen in Okubo's grafiek (zie Kullenberg
(1974, fig . 41)
voor zijn experimenten in de Baltische Zee, Lake Ontario, het
Rheno-experiment (Weideman (1974)) en de metingen van Meerburg (1971), de laatste twee experimenten uitgevoerd in de Noordzee) . Terwijl de voorgaande experimenten steeds gedaan zijn in de oppervlaktelaag,voer-
de Murthy (1975) experimenten uit in de oppervlaktelaag en dieper (op en onder de thermocline) in I,ake Ontario, Aparte waarden werden uitgerekend voor e e
y(z)
, exy(z) en er(z)' Figuur
8 .5 geeft de resultaten voor ey(z) . .
X(z)
,
Ook in zeeën en oceanen treedt dispersie van een kleurstofwolk op door een horizontale of vertikale gradiënt van de horizontale stroomsnelheid, ofschoon doorgaans in mindere mate dan in rivieren en estuaria door het ontbreken van dichtbijzijnde begrenzingen . Een belangrijk vertikaal schuifspanningseffekt kan echter veroorzaakt worden door een vertikale gelaagdheid, terwijl horizontaal schuifspanningseffekt veroorzaakt kan worden door een snelle verdieping dwars op de stroom (zoals gekonstateerd door Chew en Berbian (1972) bij Florida), maar ook aan de rand van de golfstroom kan een effekt verwacht worden aan de hand van stromingsprofielen (Stommel (1965)), Het effekt van een snelheidsgradiënt op verspreiding is evenredig met het produkt van de turbulente diffusiekoëfficiënt en de snelheidsgradiënt in het kwadraat . De verhouding tussen het effekt van horizontale en vertikale diffusie is dan (Kullenberg (1974)) :
(óu) R _- E y ay
2
8u IE ( aZ )
2
au op de oceaan kan 10 -5 s-1 zijn, van van de orde De orde van grootte van lu s-1 . van 10W2 De turbulente diffusiekoëfficiënten lopen in horizontale en vertikale richting sterk uiteen. Een 40 dagen durend experiment van Folsom en Vine (1957) over een oppervlak van 40 .000 km2 leidde tot : Exy :~ 10 3 m2 /s en E Z = 10-4 m2 /s Waarden voor de turbulente diffusiekoëfficiënten en snelheidsgradiënten in zee bij Cape Kennedy zijn door Carter en Okubo (1965) experimenteel bepaald : £
x Ez dz
duy
= Ey
winter -1 4%10 m2 /s -4 19X10 m2/s
zomer 4x10-
1
m2
/s1
1,3x104 m2 /s
1,8x10-3 s-1
6,6x10.-3 s-1
< 10-4 s -1
> 10-4 s-1
De gekombineerde werking van turbulente diffusie en snelheidsgradiënten bij Cape Kennedy leidt tot een diffusiesnelheid Pd = 10-2 m/s, terwijl een zelfde waarde van de diffusiesnelheid ook direkt kan worden bepaald uit het radiaalsymmetrische model . Zac en Andrjuscenko (1972) voerden een diffu.sieproef uit in de Zwarte Zee . De uitbreidende vlek werd vanuit de lucht waargenomen, waarbij de zichtbaarheidsgrens de rand voorstelt .
(Kennelijk zullen dan de gevonden waarden van
e
een waarde vertegenwoordigen tussen s en e ) . De diffusiesnelxyY xi'Y x,Y(z) __ _1 do2R heid werd berekend volgens R = 2Pd t en uit 2 eyx(z~) dt exY( z) De gevonden waarden variëren tussen Pd = 0,60 - 0,87x10 -2 m/s en exy(z?) 2,1 - 5,4 m2 Is bij t = 30 minuten . De koncentratieverdelingen als funktie van de tijd na lozing zijn voor het Rheno-experiment op de Noordzee (Weideman (1973)) allereerst teruggebracht tot een radiaalsymmetrisch systeem . Deze koncentratieverdelingen vertonen steeds afwijkingen van de verschillende diffusiemodellen, zoals in paragraaf 8 .5 .2 beschreven . De uiteindelijke resultaten van de waarnemingen aan horizontale diffusie voor dit experiment zijn weergegeven in de gegeneraliseerde diffusiekoëfficiënt B(r,t), figuur 8 .7 . (Voor de betekenis van B(r,t) zie de oorspronkelijke publikatie) . Uitgaande van de gedachte dat bij toenemende omvang van de vlek steeds grotere wervels aan de diffusie kunnen meewerken, kan men B(r,t)curven verwachten toenemend zowel bij toenemende r als bij toenemende t . De waarnemingen lijken deze verwachting te splitsen : de curven bij t = 173 460 h tonen een toenemende diffusiekoëfficiënt bij toenemende r, maar niet sterk afhankelijk van t, terwijl de overige curven vrijwel geen afhankelijkheid van r ten toon spreiden, maar slechts in de tijd sterk toenemen . Het effekt van stratifikatie op de horizontale diffusiekoëfficiënt in oceanen is niet duidelijk .
(De vertikale diffusie neemt af bij toenemende gelaagdheid) .
Ozmidov (1965b) konstateerde een toenemende horizontale diffusie bij gelaagdheid, Kolesnikov et al (1964) daarentegen een afname, terwijl experimenten van Webster (1964) en Foxworthy (1968) geen verband vonden met de gelaagdheid .
- 12 0 -
11 .2 .3 .2
Dwarsdispersiekoëfficiënt
Slechts zelden wordt bij diffusie-experimenten op zee of in meren onderscheid gemaakt tussen longitudinale en transversale diffusie, maar wordt meestal slechts gesproken van horizontale diffusie : meestal na de "kunstgreep" van het toekennen van een ekwivalente straal aan een bijvoorbeeld elliptisch diffunderende vlek om de diffusie radiaalsymmetrisch te kunnen beschrijven . Murthy en Kenney (1974) maten in de Amerikaanse grote meren de verbreding van de pluim tengevolge van een kontinue lozing . Hun gevonden dwarsdiffusiekoëfficiënt e
is als funktie van L (afmeting van de pluim in dwarsrichting) Y(Z) Y weergegeven in figuur 11 .5 * Murthy (1975) onderscheidde longitudinale en transversale diffusie bij vlekdiffusie-experimenten in de bovenlaag en in . de thermocline van het Ontario Meer . e
is gegeven als funktie van de vlekafmeting in dwarsrichting y{z) (waarvoor genomen is de waarde van 6 ) . y
Brosin et al (1972) geven als resultaat van waarnemingen in de Oostzee de waarden van de longitudinale, transversale en vertikale diffusiekoëfficiënten als funktie van de tijd (tot 10 uur) na momentlozing . De in de tijd sterk wisselende waarden vertonen geen enkele gelijkenis met de 4/3--wachtwet, maar zijn kennelijk afhankelijk van een sterk wisselende stroming . 11 .2 .3 .3
V'ertikale diffusiekoëfficiënt
De vertikale diffusiekoëfficiënt is sterk afhankelijk van de gelaagdheid in het systeem . (Evenals in paragraaf 11 .2 .2 .2 wordt de vertikale diffusiekoëfficiënt gelijkgesteld aan de vertikale turbulente diffusiekoëfficiënt .) Talbot (1974) en Kullenberg verzamelden een aantal experimentele waarnemingen van de vertikale diffusiekoëfficiënt (zie voor experimenten in kustwateren, estuaria en rivieren paragraaf 11 .2 .2 .2 tabel 11 .5), waarvan de resultaten voor zeeën en grote meren zijn :
Tabel 11 .6 Experimentele vertikale diffusiekoëfficiënten in zeeën en meren .
Referentie
Plaats
Gelaagds z(10 -4 m2 /s) heid N2 (S -1 )
Diepte
Jacobsen (1913)
Schultz's Ground
0,04 - 2,1
Folsom (1967)
Stille Oceaan
6j10-3
Osborn (1969)
Stille Oceaan
0,02 - 0,06
Nasmyth (1970)
Stille Oceaan
Rooth et al (1972)
Atl . Oceaan
0 - 500 0,2
-
Weideman (1974)
Rheno, Noordzee
0 -
-
Kullenberg (1974)
Middellandse Zee
20 - 30
1,5
5K10-4
Kullenberg (1974)
Baltische Zee
26
0,1
1,1x10 -3
Kullenberg (1974)
Baltische Zee
50
0,03
2x10-3
Brosin et al (1972)
Oostzee
Karabashev et al (1965) Zwarte Zee
130 - 270 ; 0,06 - 3,1
30 1,2 - 3,9
-
4m10 -5
4 - 5
-
42
-
Csanady (1970)
Eriemeer
1 - 30
-
Murthy et al (1971)
Huronmeer
2 - 15
-
- 122 -
Doorgaans wordt een tijdsafhankelijke waarde van
waargenomen, waarbij de ez tijdsafhankelijkheid samenhangt met de vertikale afmeting van het diffunderende systeem. Zo werd in het Rheno--experiment een waarde van de vertikale diffusiesnelheid P d = 14,41x10-6 m/s uit de metingen afgeleid, waarbij dan het waardegebied van Ez = .(1,2-3,9)iR10 -4 m2 /s, zoals weergegeven in tabel 11,6 werd afgeleid voor de tijd van 5-20 dagen na de start via de relatie ez(t) = P? t .
Geëxtrapoleerd naar 0 dagen volgt dan; Ez (0) = 0,33N10 -4 .m2/s De invloed van golven op de vertikale diffusiekoëfficiënt aan het zeeoppervlak werd door Golubeva (1964) en Isayeva en Isayev (1963) gegeven door :
c z=0 - 0,02 H 2 waarin H de golfhoogte en T de golfperiode voorstelt,
- 123 -
12
Enige opmerkingen over diffusie in gelaagde systemen
Indien in een systeem een dichtheidsgradiënt bestaat (in welke richting dan ook) zal een duidelijk effekt op de turbulente diffusie merkbaar zijn . Een dichtheidsgradiënt beperkt namelijk de vrije beweging van turbulente wervels zodanig dat grotere wervels worden teruggekaatst door een laag met een verandering in dichtheid . Daar de turbulente diffusie juist in belangrijke mate bepaald wordt doom de grootste wervels, wordt het transport door die laag belangrijk beperkt . In estuaria treden veelvuldig dichtheidsgradiënten op in zowel de horizontale als de vertikale richting door de zoutindringing vanuit zee, Tengevolge van de horizontale dichtheidsgradiënt en rekening houdend met de netto zoetwaterafvoer ontstaat in een estuarium een circulatiestroming zoals in figuur 12 .1 schematisch is weergegeven . De circulatiestroming is tweedimensionaal verondersteld en gemiddeld over het getij . In de bovenlaag ontstaat een netto stroming zeewaarts, in de onderlaag landinwaarts tot aan het omkeerpunt . Hansen en Rattray (1965) klassificeerden de estuaria in drie typen afhankelijk van de wijze waarop strati£ikatie-circulatie plaatsvindt . De longitudinale en vertikale dispersiekoëfficiënten zullen in een systeem met dichtheidsgradiënten andere waarden hebben dan in een homogeen systeem, daar deze koëfficiënten een funktie zijn van de turbulentie- en snelheidsdistributie . In het geschematiseerde getijgemiddelde voorbeeld van figuur 12 .1 kan men de longitudinale dispersiekoëfficiënt opgebouwd denken als de sommatie van een deel veroorzaakt door de zoetwaterafvoer en een deel veroorzaakt door de door dichtheidsstromen gegenereerde circulatie . Ook indien slechts een vertikale dichtheidsgradiënt aanwezig is, kan een grote verandering in de horizontale dispersie ontstaan daar immers de vertikale turbulente diffusie en de vertikale snelheidsgradiënt belangrijk zijn voor de horizontale dispersie . Een belangrijke parameter voor een stromend gelaagd systeem is het Richardsongetal, gedefinieerd door : Ri = g p ap/(ti-) z a2 waarin ap/az de vertikale dichtheidsgradiënt en au/óz de vertikale snelheidsgradiënt voorstelt . Het belang van dit getal voor de diffusiekoéfficiënt komt tot uitdrukking in de empirische relatie van Munk en Anderson (1948) aangaande de vertikale turbulente diffusiekoëfficiënt ;
- 12 4 -
= E o (1*3,33
Ez
waarin
Ri)
-1,5
(12 .2)
de diffusiekogfficignt in het homogene geval voorstelt . Een soort-
E
o
gelijke empirische relatie vonden zij voor vertikale impulstransportkogfficignt : -0,5 = E0 (1t10Ri) (12 z
Eu
.3)
a
Belangrijk in een gelaagd systeem is tevens het flux Richardsongetal Rf, gedefinieerd door :
Rf
_
E E
z
u,Z
Ri
(12 .4)
welk getal voorstelt het gedeelte van de aanwezige energie dat gebruikt wordt om vertikale menging te bewerkstelligen (verhoging van de potentiële energie) en dus principieel kleiner is dan 1 . In een driedimensionaal estuarium kunnen ook in dwarsrichting dichtheidsgradignten voorkomen, die aanleiding geven tot dichtheidsstromen in dwarsrichting . Verdere dwarseffekten worden veroorzaakt door de Corioliskracht en door centrifugale versnellingen. De mate waarin de vertikale en dwarskomponent bijdragen tot de longitudinale dispersie hangt af van de gelaagdheid :
in sterk gelaagde
systemen is de dwarsbijdragen klein, voor gedeeltelijk gemengde estuaria is deze van gelijke grootteorde als de vertikale bijdrage . Model- en prototypeonderzoek naar dispersie in gelaagde systemen is beschreven in Waterloopkundig Laboratorium (1976b) . Een overzicht van de huidige kennis van de vertikale diffusiekogfficignten in gelaagde stromingen is gegeven in Waterloopkundig Laboratorium (1974b) hoofdstuk 2 . Een recente behandeling van de longitudinale dispersie in estuaria met dichtheidsgradiënten is gegeven door Harleman en Thatcher (1974) .
- 125 -
13
Samenvatting en konklusies
In dit rapport zijn de uit de literatuur bekende experimentele gegevens over de diffusie van impuls, stof of warmte verzameld . Dit is gedaan voor verschillende stromingskondities : voor stromingen in rechte pijpen tot stromingen in estuaria en randzeeën . Dichtheidsinvloeden zijn daarbij buiten beschouwing gelaten . Van fysische eigenschappen als impuls en warmte en ook voor vele stoffen is de grootte van de molekulaire diffusie voldoende bekend . De molekulaire diffusie is voor turbulente stromingen echter van ondergeschikt belang . In een pijp of goot is het verloop van de turbulente viskositeit als funktie van de afstand tot de wand goed bekend . De formule van Reichardt (verg . 5 .7) geeft een goede indikatie . De turbulente diffusie in een richting loodrecht op de wand (normale turbulente diffusie) voldoet aan de Reynolds-analogie (turbulente diffusie van impuls, warmte en stof is identiek), doch nabij de wand wordt de warmte- en stofdiffusie groter dan de impulsdiffusie (zie fig . 5 .8) . De tangentiële turbulente diffusie van warmte en stof is identiek en gelijk aan de normale turbulente diffusie (isotropie) in het midden van een ronde pijp, doch nabij de wand wordt de tangentiële diffusie een orde groter dan de normale diffusie (fig . 5 .12) . In rechte gesloten leidingen en goten is de dwarsdispersie een faktor 3 á 4 groter dan de gemiddelde vertikale turbulente diffusie . De grootte van de dwarsdispersie is tot op 25% nauwkeurig bekend . Dit betekent dat de tweedimensionale koncentratie- of temperatuurverdeling tot op ~-, 10% nauwkeurig berekend kan worden als de rand- en stromingskondities in de leiding of goot bekend zijn . In een kanaal of rivier is voor de verspreiding van stof of warmte in dwarsrichting de turbulente dwarsdiffusie veelal niet het dominerende diffusiemechanisme . Geometrie-invloeden (kribben, dieptevariaties) en sekundaire stromingen in rivierbochten beinvloeden de dwarsdispersie in sterke mate . De schatting van de dwarsdispersie voor een willekeurige rivier zal in het algemeen niet nauwkeurig dan 25 á 50% zijn . In een kanaal- of rivierstroming, waar er sprake is van geringe koncentratieof temperatuursverschillen over de dwarsdoorsnede is een êéndimensionale beschouwing zinvol . De longitudinale dispersie is voor een stroming in een lei-
- 126 -
ding of goot goed te berekenen uit de diepte- en snelheidsverdeling (bijv . verg . 7 .10) en de uitkomst is redelijk nauwkeurig (25%) . Voor kanalen en rivieren is theoretisch de grootte van de dispersiekoëfficiënt niet nauwkeurig af te leiden . De empirische relaties voor de dispersiekoëfficiënt (bijv . verg . 7 .24) geven slechts een orde van grootte aan . Wil men echter een nauwkeuriger benadering van de te verwachten koncentratie- of temperatuursverdeling dan is het noodzakelijk metingen in het kanaal of in de rivier zelf uit te voeren bij diverse randkondities . In niet-permanente stromingen is de onzekerheid in de grootte van de dispersiekoëfficiënt vrij groot, behalve voor de pijpstroming . In een. rechte goot bijvoorbeeld is de experimentele informatie over de grootte van de dispersiekoëfficiënt vrij summier en lijkt nader onderzoek naar deze dispersie in een homogene getijstroming bij diverse randkondities en gootparameters gewenst . Voor homogene getijrivieren (en ook voor zout-zoet) geldt dat de grootte van de longitudinale dispersiekoëfficiënt slechts wat orde van grootte betreft bekend is . Voor nauwkeuriger waarden is het nodig koncentratiemetingen in de rivier zelf te verrichten . In estuaria en zeeën wordt kennis van de diffusieprocessen veelal gebruikt voor het beschrijven van de verspreiding van een vlek (ontstaan na bijvoorbeeld een momentlozing) of een pluim (ontstaan bij kontinue lozing) . Deze verspreiding kan berekend worden indien lokaai. de stromingen en diffusiekoëfficiënten in de diverse richtingen bekend zijn . Berekeningen op deze wijze vinden plaats in numerieke roostermodellen . Door onvoldoende kennis
van de lokale omstandig-
heden kan men evenwel vaak volstaan met een eenvoudiger model, waarbij de beweging van het zwaartepunt van de vlek (of as van de pluim) wordt gevolgd, terwijl tevens de relatieve koncentratieverdeling om het zwaartepunt heen en de verandering van de absolute waarden van, de koncentraties aan bepaalde (veronderstelde dan wel waargenomen) van het systeem afhankelijk wetmatigheden voldoen . Aan een dergelijke diffunderende vlek wordt één diffusiekoëfficiënt gekoppeld die onder andere afhankelijk is van de grootte van de vlek . Deze diffusiekoëfficiënt beschrijft dan de verspreiding van de vlek en dus de absolute waarde van de koncentratie . De relatieve koncentratieverdeling varieert voor de diverse experimenten niet bijzonder veel en is ongeveer gaussisch van vorm (zie par . 8 .8) . Aan de hand van een groot aantal experimenten in estuaria en zeeën kan de aan-een-vlek-gekoppelde diffusiekoëfficiënt beschreven worden door
- 12 7 -
indien de diffusie horizontaal en radiaal-symmetrisch plaatsvindt . Onafhankelijk waar de experimenten plaatsvonden, blijkt S een waarde te bezitten van 1,1 á 1,2, hoewel de spreiding in de waarnemingen groot is
(fig . 8 .9) .
a zal van diverse karakteristieken van het systeem afhankelijk zijn, maar de kennis van de faktor is slechts zeer klein . Uit een groot aantal samengebrachte experimenten van de oceaan (fig . 8 .9) blijkt dat a binnen een faktor 5 kan variëren, overeenkomend met een faktor 50 in de variatie van de maximum koncentratie op een zeker tijdstip vanaf het moment van lozen (fig . 8 .12) . Bij het berekenen van diffusieve verspreiding via een roostermodel moet lokaal de waterbeweging en de turbulente diffusiekoëfficiënt worden gegeven . De turbulente diffusiekoëfficiënt is hierin doorgaans een onbekende faktor . In hoeverre evenwel de verspreiding van de koncentratie door het model juist wordt weergegeven ondanks een grote onzekerheid in de diffusiekoëfficiënt, hangt af van de mate waarin dispersieve stromingen voorkomen . De gevoeligheid voor c hangt dus van de waterbeweging af . De vertikale diffusiekoëfficiënt in estuaria en zeeën is sterk afhankelijk van de in deze systemen doorgaans aanwezige gelaagdheid . Experimenteel wordt voor een waarde waargenomen die vaak een faktor 10 2 á 106 kleiner is dan de cz horizontale di¬ fusiekoëfficiënt . In het algemeen kan men stellen dat in estuaria en zeeën de diffusiekoëfficiënten niet theoretisch te berekenen zijn en zelfs niet of nauwelijks via empirische formules . Slechts via een groot aantal experimenten kan men een idee krijgen over de grootte en mogelijke spreiding in een bepaalde situatie .
79-FA-307
R 895-2 "Diffusiemachanismen in leidingen, kanalen, rivieren, estuaria eá randzeeën (stromimen zonder dichtheidseffekten)" Verslag literatuuronderzoek . R 895-2 T .O.W .
Rektifikaties Blz . 128
5e referentie :
R 895-2
m .z . :
R 895-1
Blz . 129
10e referentie :
chearing
m.z . :
shearing
investigation
m .z . :
investigations
Blz . 131 laatste referentie : Blz . 132
1 e referentie :
MFA 6901
m .z . :
MFA 6812
Blz . 150
3 e referentie :
ICE'S
m .z . :
ICES
ICE
m .z . :
ICES
)
ICES = International Council for the Exploration of the Sea
- 1 .28 -
Referenties 1960
ABBRECHT, H . en CHURCH, S .W. : "The thermal entrance region in fully developed turbulent flow", A .I .Ch .E . Journal, vol . 6, no . 2, p . 268 .
1970
ABRAHAM, G. en VAN DAM, G .C . : "On the predictability of waste koncentrations" . FAO conf . on Mar . Poll ., Rome .
1973
ABRAHAM, G. : "Genera) report" . 15th IÁHR Congress, Istanbul .
1975
ABRAHAM, G ., KARELSE, M. en LASES, W.B .P .M . : "Data requirement for one-
1976
ABRAHAM, G . : "Limitations of dispersien concept" Delft Hydraulics Laboratory, report R895-2 .
1976
ABRAHAM, G . : "Reference notes on density currents",
1976
ABRAHAM, G . en KARELSE, M . : "Classification of models of tidal waters and review of models of tidal waters" . Proc . ASCE 102, HY6, 808 .
1956
ARTS, R . : "On the Dispersion of a Solute in a Fluid Flowing Through a Tube", Proc . Roy . Soc ., A, 235, p . 67 .
1959
ARIS, R . : "The longitudinal diffusion coefficient in flow through a tube with stagnant pockets", Chem. Engineering Science, Vol . 11 .
1973
AUXILIEN, J .M . : "Conductivité turbulente dans un écoulement entre deux plans paralléles en régime établi avec gradient de vitesse", Doctoral Thesis, University of Paris, Rapport CEA-R--4442 .
1969
AWAYA, Y . : "Turbulent Dispersion in Periodic Flow", Proc . 13th IAHR Congress, Kyoto, Japan, 3, p . 207 .
1960
AZER, N .Z. en CHAO, B .T . : "A mechanism of turbulent heat transfer in liquid metals, Int . J . Heat . Mass . Transfe r 1, p .l .
1961
BALDWIN, L .V . and WALSH, Th .J . : "Turbulent Diffusion in the Core of Fully Developed Pipe Flow", A .I .Ch .E . Journal, 7, p . 53 .
dimensional mathematica) modelling of salinity intrusion in estuaries", Delft Hydraulics Laboratory, publication no . 149 .
hydr . engng. Delft, 1975-1976 .
Intern . course in
- 129
Referenties (vervolg) 1968
BARRETT, M .J ., MUNRO, D . en AGG, A .R . : "Radiotracer dispersion studies in the vicinity of a sea outfall" . 4th Int . Conf . on Water Poll . Res ., Prague .
1975
BELTAOS, S . : :"Evaluation of transverse mixing coefficients Erom slug tests", J . Hyd . Res . 13, p .351 .
1976
BELTAOS, S . and DAY, T .J . : "Longitudinal dispension in a natural stream : Lesser Slave River, Alberta", Transportation'and Surface Water Engineering Divisiou, Alberta Research Council, Internai Report no . REH/76/1 .
1978
BELTAOS, S . : "Tranverse Mixing in natural streams" Transportation and sufface water engineering division, Alberta Research Council, Internal Report SWE--78/01 .
1978
BELTAOS, S . : "An Interpretation of longitudinal dispersion data in rivers" Transportation and surface water engineering division, Alberta Research Council, Internal Report SWE-78/03 .
1970
BETTS . C . en HATTON, A.P . : "The Enhancement of Turbulent Diffusion in a Parallel-Wall Duet" . Proc . Instrn . Mech . Engng ., 185 59/71, p .825 .
1966
BONNEVILLE, R ., REUZEL, M . en PERNECKER, L . : "Emploi des tracers radioactifs pour ëtudier l'êvolution d'un nuage de vase dans un estuaire, Proc . of 1Oth conf . on Coastal Engin ., Japan, 1, p . 730 .
1967
BOOTHROYD, R .G . : "Turbulente Characteristics of the Gaseous Phase in Duct Flow of a Suspension of fluid Particles", Trans . Instn . Chem . Engrs ., 45 T p . 297 .
1963
BOWDEN, K .F . : "The mixing processes in a tidal estuary" . Int . J . Air Water Pollution 7, p . 343 .
1965
BOWDEN, K .F . : "Horizontal mixing in the sea due to a chearing current" . Journ . Fluid Mech . 21, p . 83 .
1967
BOSMEN, K .F . : "Stability effects on turbulent mixing in tidal currents" . In : "Boundary layers and turbulente", Phys . of Fluids Suppl ., S 278
1971
BOWDEN, K .F . en GILLIGAN R .M . : "Characteristic features of estuarine circulation as represented in the Mersey estuary" . Limn . and Ocean . 16, p . 490 .
- 13 0 -
Referenties (vervolg) . 1973
BOWDEN, K .F . en LEWIS, R .E . : "Dispersion in flow from a continuous source at sea'" . Wat . Res . 7, p . 1705 .
1966
BOWDEN, K .F . en SHARAF EL DIN : "Circulation and mixing processes in the Liperpool Bay area of the Irish Sea" . Geophys . J .R . Astr . Soc ., 11, p . 279 .
1969
BOWEN, A.J . : "The generation of longshore currents on a plane beach" . J . Mar . Res ., 27, p . 206 .
1972
BOWEN, A .J . en INMAN, D .L . : "Nearshore mixing due to waves and waveinduced currents" . Symp . on the dispersal of pollutants in . the sea, Aarhus, Denemarken .
1972
BREITSCHNEIDER, C .L . : "On the influence of waves and currents on dispersion over the continental shelf" . Symp . on the dispersal of pollutants in the sea, Aarhus, Denemarken .
1969
BRINKWORTH, B .J . en SMITH, P .C . : "Velocity Distribution in the Core of Turbulent Pipe Flow", Chem . Engng . Sci ., 24, p . 787 .
1973
BRINKWORTH, B .J . en SMITH, P .C . : "Radial Distribution of Diffusivity in the Core of Turbulent Pipe Flow", Chem. Engng . Sci ., 28, p . 1847 .
1972
BROSIN, H .J ., GEZENEVEJ, A .N ., KARABASEV, G .S ., KREMSER, U ., LE KUANG TOAI, MURAVEV, S .S ., OZMIDOV, R .V . en VOIGT, K . : "Das mittlere dreidimensionale Bild der Diffision von Beimengungen aus momentane Punktquellen im Meer" . Beitrage zur Meereskunde 30/31 , p . 41 .
1965
BUNCH, D .W. en STRUNK, M .R . : "The determination of eddy mass diffusivities for the air-water system in a wetted walt column, A.I .Ch .E .Journa l 11, p . 1108 .
1964
CARMODX, T . : "Establishment of the water behind a disk'", Trans . Am . Soc . Mach . Engrs ., Journ . of Basic Engng 86, p . 869 .
1965
CARTER, H .H . en OKUBO, A . : "A study of the physical processas of movement and dispersion in the Cape Kennedy area'" . Chesapeake Bay Inst ., The Johns Hopkins Univ, Rep . No . 65 - 2 .
Referenties
(vervolg)
1971
CHANG, Y . : 'lateral mixing in meandering channels" ; thesis, Department of Mechanics and Hydraulics, University of Iowa .
1970
CHATWIN, P .C . : "The approach to normality of the concentration distribution of a solute in a solvent flowing along a straight pipe': J . Fluid M.ech . 43, p . 321 .
1971
CRATWIN,P .C . : "On the interpretation of some longitudinal dispersion experiments'! J . Fluid Mech . 48, p . 689 .
1973
CHATWIN, P .C . : "A calculation illustrating effects of the viscous sublayer on longitudinal . dispersion" . Qaart . Journ . of Mech . and Appl . Math . 26, p . 427 .
1975
CHATWIN, P .C . : "On the longitudinal dispersion of passive contaminant in oscillatory flows in tubes" . J . of fluid Mech . 71, p . 513 .
1976
CHANG, R .T ., POWELL, T .M . en DILLON, T .M . : "Numerical models of winddriven circulation in lakes" . Appl . math . modeling 1, p . 12 .
1972
CHEW, F . en BERBERIÀN, G . : "Neighbor diffusivity as related to lateral shear in the Florida current" . Deep-Sea Res ., 19, p . 493 .
1967
CHURCH, M . . "Observations of turbulent diffusion in a natural channel'; Can . J . Earth Sci . 4, p . 855 .
1972
CRICKMORE, M .J . : "Tracer tests of eddy diffusion in field and modeli : Proc . ASCE, 98, HY10, p . 1737 .
1973
CROOKSHANK, N . : "Numerical model studies of rivers and estuaries" . Proc . )st Canad . Hydr . Conf ., Publ . 4, p . 315 .
1969
CSANADY, G .T . : "Dif ¬usion in an Ekman layer" . J . Atm . Sci ., 26, p . 414 .
1970
CSANADY, G .T . : "Dispersal of effluents in the great lakes" . Water Res . 4, p . 79 .
1966
VAN DAM, G .C . en DAVIDS,J.A .G . :"Radioactive waste disposal and investigation on turbulent di ¬fusion in the Netherlands coastal areas" . Symp . Disposal Radioactive Wastes, Vienna .
- 13 2 -
Referenties (vervolg) 1968
VAN DAM, G .C . : "Dispersie van opgeloste en zwevende stoffen in zee gebracht ter hoogte van Wijk aan Zee op 3 km uit de kust" . Rijkswaterstaat, nota MFA 6901 .
1969
VAN DAM, G .C . : "Elementaire behandeling van enkele grondgedachten uit de theorie van de turbulente diffusie" . Rijkswaterstaat, nota MFA 6901 .
1970
VAN DAM, G .C ., SYDOW, J .S . en WESTHOFF, J .W. : "Een diffusie-experiment op 10 km uit de Nederlandse kust ter hoogte van Ter Heyde" . Rijkswaterstaat, Nota MFA 7003 .
1977a
VAN DAM, G .C . : "Interpretatie van het zichtbare oppervlak van kleurstofwolken op luchtfoto's . Rijkswaterstaat nota FA 7701 (in concept) .
1977
VAN DAM, G .C .,
1975
DAY, T .J . : "Longitudinal dispension in natural channels", Water Resources Res ., 11, No . 6 .
1952
DEISSLER R .G. en EIÁN, C .S . : "Analytical and experimental investigation of fully developed turbulent flow of air in a smooth tube with heat transfer with variable fluid proporties" NALA TN 2629 .
1952
DEISSLER, R.G . : "Analysis of fully developed turbulent heat transfer at low Peclet numbers in smooth tubes with application to liquid metals" NALA RM E52 F05 .
1955
DEISSLER, R .G . : "Analysis of turbulent heat transfer mass transfer and frictien in smooth tubes at high Prandtl and Schmidt numbers' ; NACA Report 1210 .
1958
DHANAK, A.M. : "Momentum and Mass Transfer by Eddy Diffusion in a Wetted-Wall Channel", A.I .Ch .E . Journal, 4, p . 190 .
1977
DINELLI, G . en TOM, A . : "Three-dimensional modeling of the dispension of pollutants in mediterranean coastal fraters" . Proc . 17th IAHR Congress, Baden-Baden .
1970
DOSKI, M .R . en GILL, W.W. : "A note on the mixing length theory of turbulent flow, A .I .Ch .E . Journal, 5, p . 885 .
Persoonlijke communicatie .
- 133 -
Referenties (vervolg) 1965
EGGINK, H .J . : "Het estuarium als ontvangend water van grote hoeveelheden afvalstoffen; dissertatie L .H . Wageningen .
1968
EIFLER, W . : "Uber die turbulente Geschwindigkeitsverteilung und Wandreibung in Str3mungska4len verschiedener Querschnitte" . Thesis, T .H. Darmstadt .
1959
ELDER, J .W. : "The dispension of marked fluid in turbulent shear flow" . J . Fluid Mech . 5, p . 544 .
1960
ELLISON : "A note on the velocity profile and longitudinal mixing in a braad open channel ;' J . Fluid Mech . 8, p . 33 .
1969
ENGELUND, F . : "Dispension of floating particles in uniform channel flow:' Proc . ASCE 95, HY4, p . 1149 .
1974
ENGMANN, J .E .O. and KELLERHALS, R . : "Transverse mixing in an icecovered river" ; Water Resources Research, 10, no . 4 .
1975
FARRADAY, R .V ., O'CONNOR, B .A. and SMITH, I .M . : "A two-dimensional finite element model for partially mixed estuaries" . Proc . 16th IAHR Congress .
1966
FISCHER, H .B . : "A note on the one-dimensional dispersion model" . Air and Water Poll . 10, p . 443 .
1966b
FISCHER, H .B . : "Longitudinal dispersion in laboratory and natural streams" . Cal . Inst . Techn . Pasadena, Rep . no . KH - R - 12 .
1967
FISCHER, H .B . : "The Mechanics of dispension in natural streams" . Proc . ASCE 93, HY 6 , p . 187 .
1967b
FISCHER, H .B . : "Transverse mixing in a sand-bed channel" . U .S . Geol . Survey Prof . Paper 575 _ D, D 267 -- D 272 .
1968
FISCHER, H .B . : "Dispension predictions in natural streams" . Proc . ASCE 94, SAS, p . 927 .
1969
FISCHER, H .B . : "Cross-sectional time stales and dispersion in estuaries" . Proc . 13th IAHR Congress, Kyoto, Paper C19 .
1969b
FISCHER, H .B . : "The effect o£ bends on dispension in . streams" . Water Resource Research 5, p . 496 .
- 134 -
Referenties (vervolg) 1970
FISCHER, H .B . : "A method for prediction pollutant transport in tidal waters" . Water resources Center, Contr . no . 132, Univ . Calif ., Berkeley .
1971
FISCHER, H .B . en HOLLEY, E .R . : "Analysis of the use of distorted hydraulic roodels for dispersion studies" . Water Resources Res . 7, p . 46 .
1973
FISCHER, H .B . : "Longitudinal dispersion and turbulent mixing in open channel flow" . Ann . Rev . Fluid Mechn . 5, p . 59 .
1975
FISCHER, H .B . : Discussion of "Simple method for predicting dispersion in streams" by McQuivey and Keefer . Proc . ASCE 101, EE3, 453 .
1976
FISCHER, H .B . : "Mixing and dispension in estuaries" . Ann . Rev . Fluid Mech . p . 107 .
1967
FOLSOM, T .R . : "Persistence of radioactive contaminations in thin layers in the ocean" . (Niet gepubliceerd . Geciteerd door Okubo (1970)) .
1957
FOLSOM, T .R . en VINE, A .C . : "On the tagging of water masses for the study,of physical processen in the ocean" . Nat . Acad . Sci . - Nat . Res . Council, Publ . no . 551, p . 121 .
1968
FOXWORTHY, J .E . : "Eddy diffusivity and the 4/3-law in near-shore coastal waters" . Univ . So . Calif . Allan Hancock Found . Rep . 68 - 1 .
1966
FOXWORTHY, J .E ., TIBBY, R .B . en BARSOM, G .M. : "Dispension of a surface waste field in the sea" . J . Wat . Poll . Control Fed . 38, p . 1170 .
1974
FUKUDA, M . : "The change of diffusivity witli measuring position" . Rapp . P .-v . Réun .Cons . Int . Explor . Mer ., 167, p . 129 .
1965
FUKUDA, M ., ITO, N. en SAKAGISHI, S . : "Dif£usion phenomena in coastal areas" . Proc . 2nd Int . Conf . on Water pollution Res ., Tokyo, 3, p . 193 .
1973
FUKUOKA, S . : "Longitudinal Dispension of Matter in Alternating Shear Flows", Res . Bull . no . C9, Dept . of Eng ., James Cook University of North Queensland .
- 135 -
Referenties (vervolg) 1973
FUKUOKA, S . and SAYRE, W .W . : "Longitudinal dispersion in sinuous Channels", Proc . ASCE, 99, HY1, p . 195
1968
FUSHIMOTO, M . en TANAKA, K . : "Dye diffusion experiments in the ocean by use of aerial photography" . J . Jap . Soc . Photogr . 7, p . 8 .
1973
GALLAGHER, L . en HOBBS, G .D . : "Estuarine dispersion" . Symp . on the use of mathematical models in water pollution control, University Newcastle upon Tyne .
1968
GILDENBLATT, N .Y . : '"Velocity distribution and resistance in a channel and in a circular pipet' Izv . Inst . Gidrol . BE Vedeneer, 86, p . 133 .
1964
GLOVER, R .E . : "Dispension of dissolved or suspended materials in flowing streams" . U .S . Geol . Survey Prof . Paper 433 - B .
1963
GODFREY, R .G . and FREDERICK B .J . : "Dispension in Natural Streams", United States Geological Survey open-file report .
1964
GOLUBEVA, V .N . : "The formation of the temperature field in a stratified sea" . Bull . Acad . Sci . USSR, Geophys . Ser ., p . 467 .
1978
GRIMM-STRELE, J . : "Lateral dispersion in rivers", bijdrage aan Euromech . 109 Colloquium, Delft .
1970
GROENHOF, H .C . : "Eddy Diffusion in the Central Region of Turbulent Flows in Pipes and Between Parallel Plates", Chem. Engng . Sci ., 25, p . 1005 .
1970
GUYMON, G .L ., SCOTT, V .H . en HERRMANN, L .R. : "A general numerical solution of the two-dimensional diffusion-convection equation by the finite element method"' . Water Resources Research 6, p . 1611 .
1965
HANSEN, D .V . en RATTRAY, M . : "Gravitational circulation in straits and estuaries" . J . Mar . Res . 23, p . 319 .
1964
HARLEMAN, D .R .F . : "The significanse of longitudinal dispersion in the analysis of pollution in estuaries" . Proc . 2nd Int . Conf . Water Pollution Res ., Tokyo .
- 136 -
Referenties (vervolg) 1966
HARLEMAN, D .R .F ., HOLLEY, E .R . en HUBER, W.C . : "Interpretation of water pollution data from tidal estuary models" . Proc . 3rd Conf . Water Pollut . Res ., Munich .
1967
I1ARLEMAN, D .R .F . en IPPEN, A .T . : "Two-dimensional aspects of salinity intrusion in estuaries : analysis of salinity and velocity distributions" . Tech . Bull . no . 13, Corps of Engrs ., U .S . Army .
1968
HARLEMAN, D .R.F ., LEE, C .H. en HALL, L .C . : "Numerical studies of unsteady dispersion in estuaries" . Proc . ASCE, vol . 91, SA 5 , p . 897 .
1974
HARLEMAN, D .R .F . en THATCHER, M.L . : "Longitudinal dispersion and unsteady salinity intrusion in estuaries" . La Houille Blanche 1/2, p . 25 .
1966
HARREMOES, P . : "Prediction of pollution from planned wastewater out falls" . J . Water Poll . Contr . Fed . 38, p . 1323 .
1963
HARRIS, T.F .W ., JORDAAN, J .M ., MCMURRAY, W.R ., VERWEY . C .J . en ANDERSON, F .P . : "Mixing in the surfzone" . Int . J . Air Water Poll . 7, p . 649 .
1966
HAYES, J .R. : "Masstransport phenomena in open channel flow': Ph .D . dissertation, Van der Bilt Univ ., Tenn .
1974
HIGUCHI, H . en SUGIMOTO, T . : "Experimental study of horizontal diffusion due to the tidal current" . Rapp . P . v . Réun . Cons . int . Explor . Mer ., 167, p . 177 .
1949
HINZE, J .O . and VAN DER HEGGE ZIJNEN, B .G . : "Heat- and mass transfer in the turbulent mixing zone of an axially symmetrical jet" In "Proc . of 7th Intern Congr .for Appl . Mech ., 2, p . 286 .
1962
HINZE, J .O . : "Turbulent pipe flow" Coll . Mech de la Turb . Marseille, Centre de la Rech . Scient . Paris, p . 129 .
1975
HINZE, J .O . : "Turbulente"MeGraw-Hall, New York .
1965
HOLLEY, E .R . en HARLEMAN, D .R .F . : "Dispersion of pollutants in estuary-type flows" MIT, Rep . no . 74, Hydrodyn . Lab .
- 137 --
Referenties (vervolg) 1970
HOLLEY, E .R,, HARLEMAN~ D .R.F . en FISCHER, H .B . : "Dispersion in. homogeneous flow" . Proc . ASCE 96, HY 8, p . 1691 .
1972
HOLLEY, E .R ., SIEMONS, J . and ABRAHAM, .G . : "Some aspects of analyzing transverse diffusion in rivers" ; J . Hydr . Res . 10, p . 27 .
1973a
HOLLEY, E .R . and ABRAHAM, G . : "'Laboratory studies on transverse mixing in rivers" . J . Hydr . Res . 11, p . 219 .
1973b
HOLLEY . E .R . and ABRAHAM, G . : "'Fields tests on transverse mixing in rivers", Proc . ASCE, 99, HY12, p . 2313 .
1973
HOLLEY, E .R . and KARELSE, M . : "Model-prototype comparisons for transverse mixing . in rivers", Proc . 1Sth Congress IAHR, Istanbul, Vol. . 1, paper A40 .
1975
HOLLY, P .M ., Jr . : "'Two-dimensional mass dispersion in rivers" ; Hydrology papers, Colorado State University, no . 78 .
1975
ROLLY, . F .M . and SIMONS D,B . : "Transverse mixing of neutrally buoyant tracers in non rectangular channels" ; Proc . 16th Congress IAHR, Sao Paulo, Brazil .
1972
HOPKINS, T .S . : "0n time - dependent wind-induced motions" . Symp . on the dispersal o¬ pollutants in the sea, Aarhus, Denemarken .
1971
INMAN, D .L ., TAIT, F .J . en NORDSTROM, C .E . : "Mixing in the surf zone" . J. Geophys . Res . 76, p . 3493 .
1950
INOUE, E . : "The application of turbulence theory to the oceanography" . J . Met . Soc . Japan 28, p . 420 .
1966
IPPEN, A.T . : "Estuary and coastline hydrodynamics"New York, McGraw-Hill .
1963
ISAYEVA, L .S . en ISAYEV, I .L . : "Determination of vertical eddy dif ¬ usion in the upper layer o¬ the Black Sea by a direct method" . Sov . Oceanogr . Trans . Mar . Hydropbys . Inst ., Acad . Sci . USSR 2, p . 22 .
1913
JACOBSEN, J .P . : "Beitrag zur Hydrographie der dánischen Gewasser" . Meddx . Komm . Havunders,, Hydrografi 2 .
138
Referenties
(vervolg)
1972
JAIN, S .C, en RAJAGOPAL, S . : "Determination of longitudinal dispersion . coefficient from experimental data" . Jnl . Inst . of Engineers (India), Civil Engineering Div ., 53, p . 24 .
1951
JENKINS . : "Variation of the eddy conductivity with Prandtl modulus and its use in the prediction o£ turbulent heat transfer coefficients" . Proc . Heat Transf . and F1 . Mech . Inst ., Stanford, p . 147 .
1970
JOBSON, H .E . and SAYRE, W .W . : "Vertical Transfer in Open Channel Flow", Proc . ASCE, 96, HY3 , p . 703 .
1962
JOHNK, R .E . and HÁNRATTY, T.J . : "Tempera.ture Profiles for Turbulent Flow of Air in a Pipe - I", Chpm . Engng . Sci ., 17, p . 867 .
1958
JOSEPH, J . en SENDNER, H . : "Uber die horizontale Diffusion im Meere" . Deutsche Hydrogr . Z,eitschrift 11, p . 49 .
1962
JOSEPH, J . en SENDNER, H . : "On the spectrum of mean diffusion velocities in the ocean" . J . Geophys . Res . 67, p . 3201 .
1964
JOSEPH, J . SENDNER, H . en WEIDEMANN, H . : "Untersuchungen uber die horizontale Diffusion in der Nordsee" . Deutsche Hydrogr . Zeitschrift 17, p . 57 .
1943
KALINSKE, A.A. en PIEK, L .L . : "Experiments on eddy-diffusion and suspended=material transportation in open channels . Transactions Amer . Geophys . Union, part II .
1970
KAMALESK, K .S . and HANRETTY, T .J, : "The limiting behaviour of the turbulent transverse velocity component close to the walla' J . Fluid Mech ., 44, p . 605 .
1965
KARABASHEV G .S . en OZMIDOV R .V . : "A study of turbulent diffusion in the sea with the aid of fluorescent tracers" . Izv . Akad . Nauk . SSSR, Fiz . Atmon Okeana I, 1178 .
1959
KENT, R .E . en PRITCHARD D .W . : "A test of mixing length theories in a coastal plain estuary" . J . Marine Res . 18, p . 62 .
1975
KOH, R .C .Y . en BROOKS, N .H . :. "Fluid mechanics of waste water disposal in the ocean" . Ann . Riv . Fluid Mech . 7, p . 187 .
- 13 9
Referenties (vervolg) 1964
KOLESNIKOV, A .G., .PANTEZEYEV, N .A, en PISAREV, .N . : .D "Results of direct determination of the intensity of deer turbulent exchange in the Atlantic" . Dokt . Acad . Sci . USSR, Barth Sci . Sect . 155 , p . 3.
1931
KOLMOGOROV, A.N. : Mber die analytischen Methoden der Wahrscheinlich-keitsrechnung" . Math . Ann . 104 , p . 415 .
1941
KOLMOGOROV, A .N. : "Thee local structure of turbulence in incompressible viscous fluid foor very .large Reynold's numbers" . Comptes Rendus Acad . Sci . USSR, 30, p . 301 .
1976
KRISHNAPPAN, B .G, and LAU, X .L . : "Transverse mixing in meandering channels with verying bed tOpography" ; Hydrgulics Research Division, Canade Centre for Inland Waters, Burlington, Ontario .
1968
KULLBNBERG, G . : '~ieasurements of horiaontal and vertical diffusion in coastal waters" . Rep . no . 3, Univ . Copenhagen, Instit . Phys . Ocean .
1971
KULLENBERG, G . : "Results of diffusion experiments in the upper region of the sea" . Inst, Phys . Ocean Univ . Copenhagen, Rep . no . 12 .
1974
KULLENBERG, G . : "An experimental and theoretical investigation of the turbulent diffusion in the upper layer of the sea" . Inst . Phys . Ocean ., Univ . Copenhagen, Rep . no . 25 .
19
KULLENBERG, G . : '"Investigation en dispersion in stratified vertical shear flow" . Rapp . P .-v . Rëun . Cons . Int . Explor . Mar . 16 7 (in press)
1977
LAU, Y .L . and KRISHNAPPAN, B .G . : "Transverse dispersion in rectan-gular channels" ; Proc . ASCE, 103 , HX10 , p . 1173 .
1954
LAUFER, .T . : "The Structure of Turbulence in Fully Developed Pipe Flow" . NACA Rept . 1174 .
1964
LEE, J . en BRADLEY, R .S . : "Turbulent motion and mixing in a pipe A .I .Ch .E . Journa l 10, p . 187 .
1967
LEENDERTSE, J .J . ; "Aspects of a computationál model for Zong-period water-wave propag4tion" . Rand . Corp . RM-5297-PR .
- 140 -
Referenties (vervolg) 1970
LEENDERTSE, J .J. : "A water-quality simulation model for well-mixid estuaries and coastal seas" . Vol . I Memo . M-623Q-RC, Rand Gorporation, Calif .
1975
LEENDERTS, J .J . en LIN, S .K . : "Model of three-dimensional flows in e s tuaries" . Symp . on modeling technique, San Francisco .
1957
LEVENSPIEL, . O . en SMITH, W .K . : "Notes on the diffusion type model fox the longitudinal mixing of fluids in flow" ; Chem . Engng . Sc . 6, p . 227 .
1977
LIU, H . : "Predicting dispersion coefficient of streams" . Proc . ASCE, 103 , EEI , p . 59 .
1966
LIGHTHILL, M .J . : "Initial development 9f diffusion in poiseuille flow." J . Inst . Math . Appl . , P . 97 .
1970
LONGUET-HIGGINS, M .S . : "Longspore-currents generated by obliquely incident sea waves" . J . Geophys . Res . 75, p . 6778 .
1958
LYKOUDIS, P .S . en TOULUKIAN, Y .S . : "Heat transfer in liquid metals" . Trans . Am . Soc . Mech . Engrs . 80, p . 653 .
1959
LYNN, S . : "Centre-rline value of the eddy viscosity" . A.I .Ch .E . Journa l 5, p . .566 .
1965
MALENGE, J .F . and LOSSE, J . : "Etude expêrimentaï,e de la diffusion de Matiêre par turbulenee dans les conduits", Gênie Chimique, 94, p . 170 .
1963
MASCH, F .D . ; "Mixing and dispersion of gastes by wind and wave action" . Int . J . Air and Water Pollution 7, p . 697 .
1971
MASCH, F .D NARAYANAN, M .
1976
MCQUIVEY, R .S . and KEFFER, T.N . : "Measurement of velocity--concentration oovariance'.' Proc . ASCE 98, HY9, p . 1625 .
en BRANDES, R .J . " "A shprt.-term conservative transport model for §hallow estuaries" . . Hydr . Engng . Lab ., Univ . of Texas at Austin, Tech . Rep . HYD 12-7104 .
Referenties (vervolg) 1970
MEERBURG, A .J . : "Een diffusie-experiment voor de Nederlandse kust met behulp van Rhodamine--B" . KNMI, De Bilt, Rapp . no . 70-1 .
1971
MEERBURG, A .J . : "A diffusion experiment near an amphidromic current point in the North Sec" . KNMI, De Bilt, Rapp . no . 71-1 .
1974
MILLER, A .C . en RICHARDSON, E .V . : "Diffusion and dispersiou in open channel flow, Proc . ASCE 100 , HY1 , p . 159 .
1970 .
NIZUSHINA, T . and OGINO, P . : "Eddy viscosity and universal velocity profile in turbulent flow in a straight pipe" . J . Chem. Eng . Japan 3, p . :i66 .
1966
MONIN, A .S . : "Uber die Wechselwirkung zwischen vertikaler und horizontaler Diffusion von Beimengungen im Meer" . Okeanslogija 5, p . 1 .
1943
MONTGOMERY, R .B . : "Generalization for rylinders of Prandtl's linear assumption for mixing length" . Ann . N .Y . Acad . Sci ., 44, p, 89 .
1948
MUNK, W .H . en ANDERSON, B .R . : "Note on the theory of the thermocline" . J . Mar . Res . 7, p . 276 .
1975
MURTHY, C .R . : "Horizontal diffusion characteri$tics in lakti Ontario" . Canada Centre for Inland Waters, Lakes Research Division, Burlington, Canada .
1971
MURTHY, C,R . en CSANADY, G .T . : "Experimental studies of relative diffusion in cake Huzon" . J . Phys . Ocean . 1, p . 17 .
1974
MURTHY, C .R . en KENNEY, B .C . : "Diffusion in spastal currents of large lakes" . Rapp . P .-v . Réun . Cons . Int . Explor . Mar ., 167 , p . 111 .
1974
MURTHY, C .R . : "Simulated outfall diffusion expgrimentals in coastal currents of a lakti" . Water Res . 8, p . 961 .
1970
NASMYTH, P . : "Oceanic turbulente" . Thesis, Univ . Brit, Columbia .
- 142 -
Referenties (vervolg) 1930
NIKURADSE, J . : "Untersuchungen uber Turbulente Strpmungen in nicht-kreisfórmigen Rohren", Ingenieur Archiv, 1, p . 306 .
1975
NYSING, R ., EIFLER, W. and DELFAU, B . : "Lateral turbulent diffusion for longitudinal flow in a rectangular channel" . Nucl . Eng . Des . 32, p . 221 .
1959
OBUKHOV, A.M . : "Description of turbulence in terms of Lagrangian variables" . Adv . in Geophys . 6, p . 113 .
1973
OHLMEYER, F . en VOLLMARS, H . : "Thermal and sewage pollution in tidal areas, Proc .15th congr . IAHR, 2, paper B35 .
1977
OHLMEYER, F . : "Scaling of physical models with dispersion problems" . IAHR Conf ., Baden-Baden, B2, 9 .
1970
OKOYO, J .K, : "Characteristics of transverse mixing in open channel f lows" . Report KR-R-23, Keck Lab . Pasadena, Calif ., Inst . Technol .
1960
OKUBO, A . en PRITCHARD, D .W .,
1962
OKUBO, A . : "Horizontal diffusion from an instantaneous pointsource due to oceanic turbulence" . Chesapeake Bay Inst ., Rep . no . 32, The Johns Hopkins Univ .
1962b
OKUBO, A . : "A review of theoretical models for turbulent diffusion in the sea" . J . Oceanogr . Soc . Japan 20, p . 286 .
1964
OKUBO, A . : "Equations describing the diffusion of an introduced pollutant in a one-dimensional estuary" . Studies on Oceanography, p . 216 .
1967
OKUBO, A . : "The effect of shear in an oscillatory current on horiontal diffusion from an instantaneous source" . Int . J . Oceanol . Limnol . 1, p . 194 .
1968
OKUBO, A. : "A new set of oceanic diffusion diagrams" . Chesapeake Bay Inst ., Rep . no . 38, The Johns Hopkins Univ .
Ongepubliceerd . Zie Okubo (1962b) .
- 143 -
Referenties (vervolg) 1970
OKUBO, A . : "Oceanic mixing" . Chesapeake Bay Inst ., The Johns Hopfins Univ ., Techn . Rep . 62 .
1971
OKUBO, A . : "Oceanic diffusion diagrams" . Deep Sea Res . 18, p . 789 .
1973
OKUBO, A. : "Effect of shoreline irregularities on streamwise dispension in estuaries and other embayments" . Neth . J . of Sea Res . 6, p . 213 .
1959
ORLOB, G.T . : "Eddy diffusion in homogeneous turbulence" . Proc . ASCE 89, HY9, p . 75 .
1967
ORLOB, G .R ., SHUBINSKI, R .P . en FEINGER, K.D . : "~Iathematical modeling of water-quality in estuary systems" . Nat . Symp . on Estuarine Pollution, Stanford Univ .,. 646 .
1969
OSBORN, T .R . : "Oceanic fine structure" . Thesis, Univ. Calif ., Scripps Inst . Oceanogr .
1970
OSTER, C .A ., SONNICHSEN, J .C . en JASKE, R.T . : "Numerical solution to the convective diffusion equation" . Water Resources Res ., 6, p . 1746 .
1958
OZMIDOV, R .V . : "On the calculation of horizontal turbulent diffusion of the pollutant patches in the sea" . Dokl . Akad . Nauk . SSSR . 120, p . 761 .
1965
OZMIDOV, R .V . : "Energy distribution between oceanic motions of different scales" . Isv . Atm. Ocean . Phys . Ser . 1, p . 257 .
1965b
OZMIDOV, R .V . : "Turbulent exchange in a stably stratified ocean" . Acad . Sci . USSR, Atm . Ocean . Phys . 1, p . 493 .
1952
PAGE, F . Jr ., SCHLINGER, W .G . BREAUX, D .K . and SAGE, B .H . : "Point Values of Eddy Conductivity and Viscosity in Uniform Flow Between Parallel Plates", Ind . Eng . Chem . 44, p . 424 .
1961
PARKER, F .L . : "Eddy diffusion in reservoirs and pipe lines" . Proc . ASCE 87, HY3, p . 151 .
- 144 -
Referenties (vervolg) 1965
PFENNIGWERTH, P .L . and STEER, R .W. : '"Preliminary Air-Water Mixing Tests", WAPD-TM--492 . (Zie Nijsing e .a . 1975) .
1963
PHILIP, J .R . : "The theory of dispersal during laminar flow in tubes" . Austral J . Phys . 16, p . 287 .
1976
POLICASTRO, A .J . en DUNN, W .E . : "Numerical modeling of surface thermal plume s'" . ICHMT-Congress, Dubrovnik .
1952
PRANDTL, L . : "The essential of (luid dynamies" . Blackie, London .
1959
PRITCHARD, D .W. : "The movement and mixing of contaminants in tidal estuaries" . Proc . lst Int . Conf . Waste Disposal in Mar . Env ., Berkeley, Calif .
1966
PRITCHARD, D .W., OKUBO, A . en CARTER, H .H . : "'Observations and theory of eddy movement and diffusion of an introduced tracer material in the surface layers of the sea" . In "Disposal of radioactive wasces into sea, ocean and surface waters" . Int . Atomic Energy Agency, Wenen .
1970
PRYCH, E .A . : "Effects of density differences on laterai mixing in open channel flows" . Keek Lab . Pasadena, Calif . Inst . Technol ., report KH-R-21 .
1969a
QUARMBY, A . en ANAND, R .K. : "Axisymmetric Turbulent Mass Transfer in a Circular Tube", J . Fluid Mech ., 38, p . 433 .
1969b
QUARMBY, A . en ANAND, R .K . : "Non-axisymmetric turbulent mass transfer in an circular tube',' J . Fluid Mech . 38, p . 457 .
1972
QUARMBY, A . en QUIRK, R . : ""Measurements of the Radial and Tangential Eddy Diffusivities of Heat and Mass in Turbulent Flow in a Plain Tube'", Int . J . Heat Mass Transfer, 15, p . 2309 .
1974
QUARMBY, A . en QUIRK, R. : "Axisymmetric and non-axisymmetric Turbulent Diffusion in a Plain Circular Tube at High Schmidt Number", Int . J . Heat Mass Transfer, 17, p . 143 .
1968
REID, R .O . en BODINE, B .R. : "A numerical model for storm surges in Galveston Bay" . Proc . ASCE Vol . 94, WWI, p . 33 .
- 145 -
Referenties (vervolg) 1951
REICHARDT, H . : "Vollst~ndige Darstellung der turbulenten Geschwindiglceitsverteilung in glatten Leitungen", Z . Angew . Math . Mech ., 31, p . 208 .
1963
REYNOLDS, W .C . : "Turbulent heat transfer in a circular tube with variable circumferential heat flux', Int . J . Heat Mass Transfer 6, p . 445 .
1926
RICHARDSON, L .F . : "Atmospheric diffusion shown on a distanceneighbour graph" . Proc . Roy . Soc . London, A, 110 , p . 709 .
1972
ROOTH, C .G. en OSTLUND, H .G . : "Penetration of tritium into the atlantic thermocline" . Deep-Sea Res . 19, p . 481 .
1955
SANDBORN, V .A . : "Experimental evaluation of momentum terms in turbulent pipe flow," NALA TN 3266 .
1964
SAYRE, W .W . en CHAMBERLAIN, A .R . : "Exploratory laboratory study of lateral turbulent diffusion at the surface of an alluvial channel" . U .S . Geol . Survey Circular 484 ..
1968
SAYRE, W .W. and CHANG, F .M . : "A laboratory investigation of openchannel dispersion processes for dissolved, suspended, and floating dispersants" ; U .S . Geological Survey Professional Paper 433-E .
1969
SAYRE, W .W . : "Dispersion of silt particles in open channel flow'; Proc . ASCE, 95, HY3, p . 100 .
1973
SAYRE, W .W . and YEH, T .P . : "Transverse mixing characteristics of the Missouri River downstream from the Cooper nuclear station" ; Iowa Institute of Hydraulic Research,Report no . 145, University of Iowa, Iowa City .
1973
SAYRE, W.W . : "Natural mixing processes in rivers", in "Environmental impact on rivers", Ed . H .W . Shen, Ft . Collins, Colorado .
1975
SCHILLER, E .J . en SAYRE, W .W . : "Vertical temperature profiles in open channel flow . Proc . ASCE, 101, HY6, p . 749 .
- 146 -
Referenties (vervolg)
1959
SCHONFELD, J .C . : "Diffusion by homogeneous isotropic turbulence" . Rijkswaterstaat, Rapp . no . FA-1959-1 .
1962
SCHONFELD, J .C . : "Integral diffusivity" . J . Geophys . Res . 67 .
1953
SCHIJF, J .B . en SCHONFELD, J .C . : "'Theoretical considerations on the motion of salt and fresh water'" . Proc . Minnesota Int . Hydr . Conv ., Minneapolis, p . 321 .
1972
SEGALL, B .A . and GIDLUND, E .R. : "Vetocity Profiles and Dispersion in Estuarine Flow", Proc . ASCE , 98, SA4, p . 647 .
1970
SHANKAR, N .J . en MASCH, F .D . : '"Influence of tidal inlets on salinity and related phenomena in estuaries"" . Techn . Rep . HYD 16-7001, Hydr . Engng . Lab ., Univ . Texas at Austin .
1957
SHEBALIN, O .D . : "Eddy viscosity induced by waves in shallow water" . Dokl Akad . Nauk USSR 116 , p . 591 .
1974
SHERIFF, N . and O'KANE ; D .J . : "Eddy Diffusivity of Mass Measurements for Air in Circular Duet" . Zie Nijsing . e .a ., 1975 .
1968
SHERWOOD, T .K ., SMITH, K .T . and FOWLES, P .E . : "The vetocity and eddy viscosity distribution in the Wall region of turbulent pipe flow" Chem . Engng Sci . 23, p . 1225 .
1958
SLEICHER, C .A . : "Experimental vetocity and temperature profiles for air in turbulent flow'Trans . Am . Soc . Mech . Engrs . 80, .p . 693 .
1958
SLEMBER, R .J . : "Mass - transfer by eddy diffusion across the wide direction of a rectangular duet" . M.Sc . thesis, Univ . of Pittsburg .
1967
SMITH, J .W. GOWEN, R .A . and WASMUND, B .O . : "Eddy Diffusivities and Temperature Profiles for Turbulent Heat Transfer to Water in Pipes", Chem. Eng . Progress Series, 63, p . 92 .
1967
SPARROW, E .M . and BLACK, A .W. : "Experiments on turbulent heat transfer in a tube with circumferentially varying thermal boundary conditions" . Trans . Am. Soc . Mech . Engrs ., C89, p . 258 .
- 147 -
Referenties (vervolg) 1967
STIGTER, C . and SIEMONS, J . : "Calculation of longitudinal salt distribution in estuaries as function of time", WaterloQpkundig Laboratorium, Publ . 52 .
1949
STOMMEL, H . : "Horizontal diffusion due to oceanic turbulente" . J . Mar . Res . 8, p . 199 .
1965
STOMMEL, H . : "The golf stream" . Univ . of Calif . press .
1968
SULLIVAN, P .J . : "Dispersion in Turbulent Shear Flow", Doctoral Thesis, University of Cambridge .
1975
SUIJLEN,J .M . : "Turbulente diffusie in het IJsselmeer bij Medemblik, gemeten met de merkstof Rhodamine-B" . Rijkswaterstaat, Nota FA 7501 .
1977
SUMER, S .M . and FISCHER, H .B . : "Transverse mixing in partially stratified flow': Proc . ASCE 103, HY6, p . 587 .
1970
TALBOT, J .W . : "The influences of tides, waves and other factors on diffusion rates in marine and coastal situations" . FAO Conf . on Mar . Poll ., Rome .
1972
TALBOT, J .W. : "Measurement of dispersion" in "Mathematical and Hydraulic modelleng of estuarine pollution", Water Poll . Res ., Tech . Pap . no . 13 .
1974
TALBOT, J .W . : "Interpretation of diffusion data" . Int . Symp . on Discharge of Sewage from Sea Outfalls, London .
1974
TALBOT, J .W . en TALBOT, G .A . : "Diffusion in shallow seas and in English coastal and estuarine waters" . Rapp . P .-v . Réun . Cons . Int . Explor . Mer . 167 .
1974
TAMAI, N . : "Dispersion models in coastline waters with predominant transverse shear" . Coastal Engng . Japan 17, p . 185 .
1954
TAYLOR, G .I . : "The dispersion of matter in turbulent flow through a pipe~~ . Proc . Roy . Soc . (London) A 223, p . 446 .
- 148 -
Referenties (vervolg) 1959
TAYLOR, G .I . : "The present position in the theory of turbulent diffusson" . Adv . in Geoph . 6, p . 101 .
1973
TAYLOR, C ., en DAVIS, J . : "Finite element numerical modelling of flow and dispersion in estuaries" . IAHR Int . Symp . on River Mech ., Bangkok, C39 .
1974
TAYLOR, R .B . III : "Dispersive mass transport in oscillatory and unidirectional flows", Coastal and ocean . engng Lab ., Univ . of Florida, Tech . report 24 .
1966
THACKSTON, E .L . and KRENKEL, P .A . : "Longitudinal Mixing and Reaeration in Natural Streams," Tech . Rpt . No . 7, Sanitary and Water Resources Engineering, Vanderbilt University, Nashville, Tenn .
1967
THACKSTON, E .L . and KRENKEL, P .A. : "Longitudinal mixing in natural streams', Proc . ASCE 93, SAS , p . 67 .
1970
THACKSTON, E .L . and SCHNELLE, K .B ., Jr ., : "Predicting effects of dead zones on stream mixing", Proc . ASCE, 96, SA2 , p . 319 .
1972
THATCHER, M .L . en HARLEMAN, D .R .F . : "A mathematica) model for the prediction of unsteady salinity intrusion in estuaries" . M.I .T . report 144 and 159 .
1970
THORNTON, E .B . : "Variation of longshore currents across the surf zone" . Proc . 12th Conf . Coastál Eng ., Washington, p . 291 .
1965
TRACY, H .J . : "Turbulent Flow in a Three-Dimensional Channel", Proc . ASCE, 91, HY6, p . 9 ..
1971
TRAVIS, J .P . : "A model for velocity and eddy diffusivity distribution in fully turbulent pipe flow, Canad . J . Chem . Eng . 49, p . 14 .
1968
TRUCKENBRODT, E . : "Stromungsmechanik . Grundlager und technische Anwendungen ;' Berlin, Springer Verlag .
1938
VAN VEEN, J . : "Water movements in the Straits of Dover" . J. Cons . perm . int . Explor . Mcr . 13, p . 7 .
1966
VISSER, M .P . : "Note on the estimation of eddy diffusivity froin salinity and current observations" . Neth . J . Sea Res . 3, p . 21 .
- 149 -
Referenties (vervolg) 1975
VREUGDENHIL, C .B . en VOOGT, J . : "Hydrodynamic transport phenomena in estuaries and coastal waters . Scope of mathematica) models's Symp . on modeling technique, San Francisco .
1967
WALDICHUK, M . : "Currents from aerial photography in coastal pollution studies" . 3e Intern . Conf . on Water Poll . Res ., Water Poll . Contr . Fed ., 3, p . 263 .
1973
WARD, P .R.B . : "Measurement of dye concentrations by photography" . Proc . ASCE, 99, EE3- , p . 165 .
1974
WARD, P .R .B . : "Transverse Dispersion in Oscillatory Channel Flow", Proc . ASCE , 100 , HY6, p . 755 .
1976
WARD, P .R .B . : "Measurements of estuary dispersion coefficient" . Proc . ASCE, 102 , EE4, p . 855 .
1971
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM : "Theoretische grondslagen getijgootonderzoek", rapport M896-3 .
1974a
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM : "Invloed wind op snelheidsverdeling in homogene stromingen" . Rapport W 152, Delft .
1974b
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM : "Momentum and mass transfer in stratified flows : report on literature study" . Report R 880, Delft .
1974c
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM : "Diffusie in estuaria : schaalonderzoek in prototype en hydraulische modellen van het estuarium Brouwershavensegat-Grevelingen" . Rapport M 1010, Delft .
1974
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM : "Verspreiding van afvalstoffen of warmte in netwerkstelsels ; natuurmetingen in het Andelse Maasgebied ter ontwikkeling van een rekenmethode voor niet-permanente dispersieproblemen in netwerkstelsels", rapport 5146 III .
1976a
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM : "Evaluatie toepassingsgebied van wiskundige en hydraulische modellen" . Rapport 5280-I, Delft .
1976b
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM : "Onderzoek naar dispersieve transporten in getijgoot, getijmodel Rijnmond en de Rotterdamse Waterweg" . Rapport M896-29 ; Delft .
- 150 -
Referenties (vervolg) 1977
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM : "PZEM-centrale Borssele, uitbreiding extern koelcircuit", rapport M1333-3 .
1964
WEBSTER, C .A.G . : "An experimental study of turbulence in a densitystratified shear flow" . J . Fluid Mech . 19, p . 221 .
1973
WEIDEMANN, H . : "The ICE's diffusion experiment RHENO 1965" . ICE, Charlottenlund Slot, Danmark, Rep . 163 .
1969
WELTY, J .R ., WICKS, C .E . en WILSON, R.E . : "Fundamentals of momentum, heat and mass transfer ; Wiley, New York .
1963
WIEGEL, R .L . : "Some engineering aspects of wave spectra" in "Ocean Wave Spectra" . Prentice-Hall, New Yersey .
1970
WYNÀNSKI, I . and FIEDLER, H .E . : "The two - dimensional mixing region" . J . Fluid Mech . 41, ;, . 327 .
1964
YOTSUKURA, N . and FIERING, M .B . : "Numerical solution to a dispersion equation" ; Proc . ASCE, 90, HY5, p . 83 .
1967
YOTSUKURA, N . : "General discussion" . Proc . 12th Congr . IAHR, Fort Collins, 5, p . 542 .
1970
YOTSUKURA, N ., FISCHER, H .B . and SAYRE, W .W . : "Measurement of mixing characteristics of the Missouri River between Sioux City, Iowa, and Plattsmouth, Nebraska" ; U .S . Geological Survey Water-Supply Paper 1899-G .
1972
YOTSUKURA, N . and COBB, E .D . : "Transverse diffusion of solutes in natural streams" ; U .S . Geological Survey Prof . Paper 582-C .
1976
YOTSUKURA, N . and SAYRE, W .W . : "Transverse Water Resources Research, 12, p . 695 .
1972
ZAC, V .I . en ANDRJUSCENKO, B .F . : "Einige Ergebnisse von Untersuchungen her die turbulente Diffusion von Farbflechen an der Meeresoberflache mit Hilfe von Luftbildaufnahmen" . Beitrage zur Meereskunde 30/31 , p . 153 .
mixing in natural channels" ;
Tabel 4 . la Moleculaire diffusiekoëfficiënten voor water Water zonder oplosmiddel
Naam
Symbool
dichtheid
p
kg/m 3
dynamische viskositeit
n
kg/ms
kinematische viskositeit
v
warmtediffusiekoëfficiënt
v
Prandtl
grootte bij
Eenheden
2
0 0C
20 0 0
999 .8
995 .7
1 .'791
1Q
u
m /s
1 .791
10
g
m 2 /s
1 .31
10
Pr = v u /vh
13 .67
-3 --6
1 .0
10~
-7
1 .OQ4 10 1 .43
10
3
-6 -7
7 .01
Uit : Truckenbrodt (1968)
Tabel 4 .1b Water met H C1 als oplosmiddel
Temperatuur
Koncentratie
`Sc
0
9
2 .7
0
2
1 .8
10
9
3 .3
"
vm
gr mol/liter
oC 10 -9
vm
massadiffusiekoëfficiënt
663 1000
10
2 .5
2 .5
"
16
0 .5
2 .44
"
Uit : Welty (1969)
- 15 2 -
Tabel 4 .2 Moleculaire diffusiekoëfficiënten voor lucht 3 .2a Lucht zonder oplosmiddel
Naam
Symbool
Eenheden 3
.
grootte bij 0 e
20oc
dichtheid
p
kg/m
1 .251
dynamische viskositeit
n
kg/ms
1 .717 10-
kinematische viskositeit
v
2 m /s
1 .373 1Q -5
1 .548 10
warmtediffusiekoëfficiënt
v
m 2 /s
1 .925 ]0- 5
2 .18
Prandtl
Pr
u H
1 .166 5
0 .71
1 .803 10 -5 -5
10~
5
0 .71
3 .26 Lucht met C 02 als oplosmiddel massadiffusiekoëfficiënt
v
M
2 m /s
1 .36 I .ol
]o-
5
1 .52 1 .02
Uit Truckenbrodt (1968) en Welty (1969)
10
-5
- 15 3 -
Tabel 5 .1 Turbulente viskositeiten c
Referentie
Medium
u
Type
Reynolds^
stroom
getallen 10-3
Abbrecht e .a .
(1960)
lucht
pijp
15 - 65
Brinkworth
(1969)
lucht en water
pijp
46 - 104 50 - 346
Eifler
(1968)
// platen
3obson
(1970) water
open kanaal
11
18 - 224
Viskositeit In vorm e / y um u nee fig . 5 .3 ja
5 .2
fig .
5 .2 5 .2
pijp
Nikuradse (zie Hinze 1962)
water
pijp
tot 3,24
fig .
Quarmby
lucht
pijp
20 - 130
Page
(1951)
lucht
(1952) gas
verwerkt in figuur 5 .9
// platen // platen
18 - 54
0 .063
0 .072
fig .
lucht
Reichart
nee
ja
haufer (zie Hinze 1959)
(1969a)
Re-invloed (eu /yu ) o p e /YUK in midu den stroming
nee
} 0 0 .06
ja
0
fig .5 .3,5 .4
ja
f(Re)
fig .
nee
0 .066
nee
5 .2
- 154 -
Tabel 5 .2 Turbulente diffusiekoëfficiënten (warmte/stof) loodrecht op de wand (in de niet direkte nabijheid van de wand) Referentie '
Mediun
Type stroom
Warmte/ stof
Pr/Sc
Reynolds -3 K 10
e y uN
Pr /Sc t t
Abbrecht
(1960) :lucht
pijp
warmie
0 .7
15 - 65
Baldwin
(1961)
lucht
pijp
warmte
0 .7
280 - 640 0 .06
Betts
(1970)
lucht
// platen stof (N0 2 )
0 .7
10 - 100
0 .064
Boothroyd
(1967) lucht
pijp
stof
35 - 80
0 .066
Brinkworth (1973) water
pijp
warmte
;:z%6
100
0 .070
Bunch/Strunk (1965) lucht
pijp
stof
N1
3 .2-24 .2
1 .25-1 .5
// platen stof
P-~1
20 - 160
0 .58
Dhanak
(1958) lucht
Groenhof
(1970) water
Jobson
(1970) water
Johnk
(1962) lucht
pijp
warmte .
Lee/Bradly (1964) water
pijp
stof
Hp platen kanaal
stof
26 - 75
stof
1000-4000 0 .063 1)
Malenge Gosse water (1965)
// platen stof
Page e .a .
(1952) lucht
// platen warmte
Quarmby
(1969) lucht
pijp
Quarmby
(1972) lucht
pijp
Quarmby
(1974) water
pijp
) Gemiddeld over kanaaldiepte
1
stof warm/ e stof
0 .7
18 - 71 52 .5 1 .7-101 .5
E(Z)
bepaald
zie fig . 5 .9
ja
zie fig .5 .10
ja
0 .080 .~ 1
ja
0 .08 1 .25 1
0 .7
18 ~ 54
zie fig . 5 .9
ja
0 .7
20 - 130
zie fig . 5 .8
ja
160
zie fig . 5 .7
ja
5 - 235
zie fig . 5 .8
ja
N 0 .7
^'7 .50
10
-
- 155 -
vervo lg tabel 5 .2
Schwartz e .a .
lucht
pijp
stof
N1
25
Sheriff (Uit Nysing 1974) lucht
pijp
stof
N1
13 -- 130
Sherwood e .a .(1939) lucht // platen
stof
N1
3 .6-38 .5
Sleicher
(1958)
warmte
0 .7
14 .5-80
Slember
(1958) water // platen
stof
Smith e .a .
(1967) water
pijp
warmte
Schiller
(1975) water
open kanaal
warmte
Kalinske Pien (1943) water
open kanaal
sediment
(1956)
lucht
pijp
gemiddeld over kanaaldiepte
1 .2-1 .9 0 .099
0 .63 zie fig . 5 .9
40 - 150 N10
11 - 44
1 0 .10
2-40 1) .: 0 .08
r,-08
- 156 -
Tabel 5 .3 Turbulente diffusiekogfficiënt in richtding // wand niet direkte nabijheid van de wand . Eigen-
.,stroomrichting in de
Medium
Reynolds x 10 -3 -3
Zei-
lucht
ZO - 120
pijp
Quarmby/Quirk 1972 N02 gas/ lucht warmte
6 - 170
pijp
N 10
5 .2-23 .5
pijp
10 - 100
Referentie
schap
Quarrnby/Anand 19b9 N02 gas
Quarmby/Quirk 1974
stof
Sparrow/Black 1967 warmte
water
lucht . 16 - 58
ding
pijp
m~/tmr of Eh~ /Ehr in p x 0 1 Bijzonderheden in p 1
N
1
zie fig . 5 .11
> 1
zie fig . 5 .13 invloed
E
± op hr temp .verdeling
-
Tabel 5 .4
15 7 -
Turbulente Prandtl- of Schmidtgetal in een ronde straal
Medium
Referentie Hinze/Van der Hegge (1949)
lucht
Ruden
(1953)
lucht
Corrsin
(1949)
lucht
Forstall/Gaylord
(1955)
water
Forstall/Shapiro
(1950)
lucht
Merkstof gas + warmte
Prt of Sct Bijzonderheden 0 .735
uit Hinze (1975)
warmte
0 .78
"
warmte
0 .70
He-gas
0 .77-0 .83
"
0 .71 5
'~
- 158 -
Tabel 6 .1 Turbulente dwarsdispersie koëfficiënten in rechte, gesloten leidingen en rechte kanalen (goten)
Referentie
Gesloten Medium of open Meettechniek goot
Auxilien ,(1973}
gesloten
warmteverspreiding
_
e K'm ) bereik Ref10 -3 u zo . . ._ .__~18 120-530 0 .148--0 .154 llit N Y sing (1975)
B/z o
(
Betts e .a . (1970)
lucht
gesloten N203 gas .
48
13-70
0 .12
Nysing e .a .
water
gesloten
25
30-86
0 .16-0 .21
60
21-55
0 .144-0 .179
12-45
0 .20
(1975)
Na Cl
Pfennigwerth e.a .(1965) lucht./ gesloten He gas resp . water kleurstof l+ngelund (1969)
water
open
dr ijvende vende pl as12 .5-40 ti c ball etj es
Orlob {1958/S9)
water
open
drijvende plastic schijfjes
Pyrch 1970
water
open
Sayre & Chamberlain (1964)
water
open
drijvende plastic deeltjes
13 .7
Sayre & Chang (1968)
water
open
drijvende plastic deeltjes
6-16
160-300 0 .196-0 .264
Elder (1959)
water
open
kleurstof
29
2 .3-4 .5
0 .16
Glover (1964)
water
open
zout
17
95
0 .077
Holley (1973)
water
open
Rhodamine B
12 .4
10
0 .16
Kalinske/Fien (1944)
water
open
zoutzuur en alcoholmengsel
4 .5.
125
0 .08
uit Okoyo (1970)
Miller (1975)
water
open
Rhodamine NT
S
44-279
0 .10-0 .18
zie fig . 6 .3 & 6 .4
Okoyo (1970)
water
open
sodium chloride
5-80
-
0 .10--0 .20
zie fig . 6 .3 & 6 .4
Pyrch (1970)
water
open
sodium chloride
5-80
-
0 .10-0 .20
zie fig . 6 .3 & 6 .4
Sayre/Chang 1968
water
open
Rhodamine
6-16
160-300
Sullivan (1968)
water
open
kleurstof
7-10
60
(w)
drijvende
deeltjes
22 .5 10 .28
13
uit Okoyo
(1970)
0 .16
60-200 0 .167-0 .252 70
0,24
0 .16-0 .179 6z ie .3 &fiá .4 0 .107-0 .133
zo : afstand bodem tot punt waar r = 0 (in open goot is dit wateroppervlak) e Sullivan heeft de -Z' m van Elder gekorrigeerd van 0 .23 ->- 0 .16 u zo
- 159 -
Tabel 6 .2
Proef nr .
1}warsdispersiekoëfficiënten in modellen Faciliteit
15/18
rechte goot
10/11
rechte goot
12/13
Lengte
Injektie
kribben p .
punt
e
YJh
midden 0,5 m
0,16
rechte goot
midden
0,5 m
0,36
42/43
rechte goot
zij
1
0,15 m
0,47 - 0,49
IJsselmodel
zij
0,41
2-3
midden
ZJsselmodel
0,46
zij
Tabel 6 .3
0,64 - 0,67
Awarsdispersiekoëfficiënten in rivieren
River IJssel
Referentie Holley
(1973b)
Rhodamine
ja
EEM~
P4erkstof
Kribben ja/nee
_ 4. ,0 17,5 1,0
e
Oh
0,4 - 0,5
Waal
"
IJssel
Rhodamine
"
ja
4,9
54
Waal
temperatuur
"
ja
4,1
29,5 0,54
temperatuur radio--aktief mengsel Rhodamine
0,6
ja
5,8
42
1,05
0,4
nee
3,05 100
1,35
0,72
nee
0,67 27
Rhodamine
0,65 0,24 - 0,25
nee
2,7
1,75
Columbia River
Glover
Irrig canal
Fischer
Missouri River
Yotsukura (1970
(1964 (1967b)
74
0,92 0,4 - 0,5
0,6
- 16 0 -
Tabel 6 .4
Dwarsdispersiekoëfficiënten in kanalen en rivieren met getij
Getijmodel. of
Referentie
estuarium
h m
Methode
B/h
recht kanaal
Wárd (1972) fotora fisch
22-70
meanderende R=2,3 m R4 2 m kanaal R=7,5 m
0,027 -0,085
Ward (1972) fotografisch
0,0 2 -0,08
11,5-47
getijgoot uniforme doorsnede
Sumer 1976
Rhodamine 0,21-0,28
niet-uniforme doorsnede
Sumer 1976
Rhodamine
Girande (Fr)
z i.e Ward ( 1 972)
Cordova Bay (Fr)
zie Ward (1972)
radioaktief sediment
San Francisco Bay(Fr) zie Ward (1972)
(m)
u=umax
2._ 1 ~
~T 0
0, .22
u
_
e y( z)
m/s (} ey(z) uKh bij max . t h vloed 0 035 0,235 _0 :043 0 ' 44 0,033 1,27 0,87 0,044 0,70
9 - 13
0,72 0,63 0,48
0,233
16
0,317
9
600
1,4
1,03
luchtfoto's
10
600
0,7
0,42
Rhodamine
13
850
0,54
jujdt
middeling over getijperiode
1,0
- 16L -
Tabel 7 .1 Experimentele gegevens van de longitudinale dispersie in open kanalen . (Uit Fischer, 1972) Referentie
Kanaal
SchuifspanningsDiepte Breedte snelheid m uK cm sec
ex(Yz) ex(Yz) m2 /sec
du
Thomas (1958)
Chicago Ship Canal
807
State of California (1962)
Sacramento River
Owens et al (1964)
River Derwent
Glover (1964)
South Plate River
Schuster (1965)
Yuma Mesa A Canal
Fischer (1967a)
345
goot met wandruwheid
3 . .5
.40
2 .02
.123
4 .7
174
.43
3 .59
3 .5
.253
.40
150
3 .51
.415
3 .5
.34
338
3 .48
.250
2 .1
.33
205
3 .28
.400
392
2,1
.19
3 .88
.220
270
1,91
3 .0
20
400
5 .1
15
74
25
14
46
4 .6
131
6 .9
16 .2
510
Fischer (1968a)
Green-Duwamish River, Waschington
110 .
Yotsukura et al (1970)
Missouri River
Godfreq and Frederick (1970)
Copper Creek, Va .
3 .45
0 .76
8,6
20
4 .9
270
200
7,4
1500
7500
49
16
8 .0
85
20
18
10 .0
500
49
21
16
250
8 .0
9 .5
245
85
47
6 .7
210
14
60
235
10 .4
210
54
Copper Creek, Va .
53
245
10 .7
40
47
19
210
11 .6
9 .9
220
Powell River, Tenn .
85
34
Clinch River, Va .
5 .5
9 .5
58
36
200
Coachella Canal,Calif
4 .9
8 .1
156
280
24
4 .3
9 .6
140
sinusvormige, rechthoekige goot (gladde wanden, gladde en ruwe bodem 25 experimenten)
2 .3 tot 7 .0
.13 tot .25
1 .1 tot 2 .7
Clinch River, Tenn,
Fukuoka (1971)
48 .8
6 .5 -8 .5120-160
5 .8 tot 35
ó 4 ao11
DYNAMISCHE EN0 w TEMPERATUUR 4 N0 VISKOSITEIT a LABORATORIUM a O (VAN UIT ABRAHAM WATER ~ MET 19766) q ZOUT-
R895-1028 ó O á 4
b Qr
O
Z ' 3
Z m~t a
0
.. íui
U _00
V 0 á
C) 0 á
C~ 00
M ~ t11
Co ~ C11
b ~ tel
ícj Itj d tel tll
Ó
G
S
0
M Il
~ e1
11
O 11
O
1
~ w` N M
I
11
.
V'
U a á
O I
+n
h
.
N
w
a N O
,b O
°
0 J8
VARIATIE KONCENTRATIE WATERLOOPKUNDIG
A4 1
1F16.4.1
LOGARITMISCHE SUBLAAG
I
VISKEUZE SCHUIFSPANNING
SCHEMATISCH VERLOOP TURBULENTE SCHUIFSPANNING ( EN TOTALE SCHUIFSPANNING (---) INDELING IN LAGEN IN GRENSL AAGSTROMIN6
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
1
PUP
KANAAL
CU, z U*
n
A, 4
0,10
R
*
1
0,09
UM 0,08
I x . iv
x \. _
OOSHI -GIL L
l
0,07
MIZUSHINA
~~+
11lai,v
REICHARDT
v
0,06
TRA VIS GILDENBLAT T
0,05
L
0,04
0,03
r
0,02
0,01
0,2
0,4
0,6
THEORIE :
.8 0
t0
n
ME TINGEN REICHARDT
GESLOTEN LEIDING
GILDENBLATT GESLOTEN LEIDING LOGARITHMISCH PROFIEL - - -- - DOSHI-GKL PUP - - -- " - TRAVIS PUP -- MIZUSHINA PJP
--
o a o x
GLAD NIKURADSE (pup) Rlks = 15 f ZIE HINZE 1975) Rlks -252 LAUFER-NUNNER, lPuP1 (ziE HINZE 1975) REICHARDT (KANAAL) o JOBSON EN SAVRE (OPEN KANAAL 1
ia
VERGELUKING VAN UITDRUKKINGEN VOOR
Eu,Z
(UIT WATERL . LAB . 1974a)
WATERI,OOPKUNDIG LABORATORIUM
R895-1030
1F16.5.21
KANAAL PUP
u0H
U.Rr
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
155.000
D"
0,02
144.500 115.000
a
102.000
G UARMBY 19691
68.000 45 .500
32 .600
0,01
24.800 18.500
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-~--_ t. 71
(=
1-
h)
Re -INVLOED OP OE TURMENTE'VISKOSITEIT
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
R,9.95 -1031
. 5.3 FIG
REICHAROr (1.951)
°
THEORIE QUARMBY d o_ GUIRL 119721
m rIR F16. 5.4 TURBULENTE VISKOSITEIT, VER6ELUKIN6 THEORIE EN EXPERIMENT
(QUARMBY 1972)
O L----1 0,03 0,1
1,0
10
--~ PRANOTL NUMBER F16.5.5 VARIATIE VAN HET TURBULENT PRANDTL GETAL Prt VOLGENS JENKINS 1952
(uir
ouARAeY, 1972)
JB A4
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
R89b- 103 2
1 Re : 3.96 x 10°
[
THEORIE Pr, =1 ---- THEORIE Pr =10
- METINGEN BROWN Pr-0,02
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
FIG. 5.6 VARIATIE VAN HET TURBULENT PRANOTL GETAL VOLGENS AZER EN CHAO, 19601 _1
set Prt
.m. 11 F16,5.7 VARIATIE VAN TURBULENT PRANDTL OF SCHMIDTGETAL (UIT AUARM$Y, 1972)
WATERLOO PK U NDIG LABORATORIUM
R965-10331
1 Prt
_1
SCt
T
Pr :0,7
2,0
Sc = 0,77
19 ,
1,6
STOF (1s72 J Re v -- 6001
- 28423 0-48000 0 - 158391D
0 -- 36665 A - 74675 e - 96135
16700
15
%*5 k0v
1,7
WARMTE Re M-10700
"-
v
1,8
+ - 44700 - 66900
i V" "
0Nb
r
0
p - 91950 © - . 119100 x - 129900
++ O"
vv 9 EL 2 v
167168
R:
+
1,3 0
v-
0 - 20800 o -- 20800 0 - 33000
~;3~ " , .- v
1,4
0 -= 6097
STOF (1969
D
1,5 - 5
1,2
T
T~
~i ~e
elo
e
v"
JB
VARIATIE VAN TURBULENT PRANDTL EN SCHMIDTGETAL VOLGENS METINGEN VAN QUARMBY (1969 EN 1972) WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
A4 R895- 1034
F16.58
_1 Prt
5,0
4,5 r
XlD
15000
0,453
0
Re 65000
0
1,13 4,12
n
9,97
v
ABBRECHT
A : Re = 14 500
4,0
O : Re=
8 :Re z24000
SLEICHER
C : Re ; 38 000 D : Re
80 000
9 190
® : Re = 18 220 © .' Re = 36 660
PAGE
® : Re = 53 450
3,5 v
3,0 v
2,5 v
2,0
_°
v
O
-
v
°
v
v
- ._...
_ ..._ .r ..._ - _ .
.
.
. ,
"
v ~
: ce~e J
rC
0
e
0
00 0
Q5
0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
VARIATIE VAN TURBULENT PRANDTLGETAL UIT METINGEN VAN ABBRECHT (1950)., SLEICHER (1958) EN PAGE (1952)
0,8
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
0,9
LUCHT P,- % 0,7
1. 0
r R
ia A4
R895- 1035
[F16,5.9
2,0 _1 pr t
f
0
AXX X ~X
X 0 00
0 00
X
© X
X0
0
- 0
_1
0
Sct
0.5
EXPERIMENTEN QUARMBY (1969 1972)
QUARMBY (1974)
WARMTE Pr 0,7 STOF Sc - 0,77 Re = 6000 - 170.000 s
Re
790 725
X 23550 A 19 700
764
BRINKWORTH (1973)
0,2
Sc
06075
Pr =6
0,4
0,6
0,e --»
VARIATIE VAN TURBULENT PRANDTL EN SCHMIDTGETAL ALS FUNKTIE VAN Pr
EN Sc
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
1,0
h OF R
VARIATIE VAN DE MASSADIFFUSIE MET AFSTAND TOT u DE BODEM IN EEN OPEN KANAALSTROMING F4,--
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
9V ==r
Em,
1
100 80 60 50 40 30 ó
_. . .._- T..
e
a v
20
x
.,~
10 8 6
_ .. ,_.T .
STOFWARMTE Re Re - 6458 0 - 9745 -- 12065 - 22512 - 15064 E - 156490 - 16794 - 104566 169655
°" s v
4 3
~~x c o o
2
n n x! x
x . .
+9 0a
o x G
0 x '
R
D o
QUA RMBY/ _aulRlr11s6s 61
-`~ z 1h OF r1R
FIG. 5.12 VERHOUDING VAN TANGENTIËLE TOT RADIALE MASSA OF WARMTE DIFFUSIE ( VOOR LUCHT Pr = Sc = 0,7 J r u1T QuARmey 1972)
em, 0
CM, v Eh, L-h, r
100 80 60
40 30
WARMTE Pr :0,7
0
I'! (Z)
20
Re 10000 -160000
STOF Scr0,77 6000 -170000 .. Sc=1000-1200 5000 -22000 Sc:0,77 20000-120000
QUARMBY 1,969 1959
1974 1972
A
10
8o x r
4 3
FIG. 5.13 VERHOUDING VAN TANGENTIËLE TOT RADIALE MASSA OF WARMTE DIFFUSIE 83 VERSCHILLENDE WAARDE VAN Pr OF Sc (UIT QUARMBY, 19741
WATERLOOPKUNDIG LA80RATORIUM
R895--1038
u1 . u2 U
2 MAX
U I u2
0,06
f1
0,05
2 MAX
0,025
£m UQ d
0,04 0,03
Red=
0,02
Uv
0,020 0.015
= 1,380
0.010 0.005
0,01
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Q6 0,7 »-
2 =x2
u2 FIG. EN 5.14 VERDELING VAN SCHUIFSPANNING U7IN EEN VLAKKE ZOGSTROOM
UZ,max
d(x1ta)
TURBULENTE VISKOSITEIT
(HINZE 1975)
-Eu'r
(X+0)
E u,Y Up d
Red = 7x 10 4
0,0022-
XtC d
0,0018
= S TOT 20
0,0014 0,0010
E
0
0,04
0,08
0,12 r 92 : X +a
FIG. 5.15 VERDELING VAN DE TURBULENTE VISKOSITEIT IN EEN RONDE STRAAL
(HINZE 1975 )
Red =7x104
1,6 1,4 1,0 0
0,04
0,08
0,12
0,16 r x+a
FIG. 5.16 DE VARIATIE VAN HET Prt-GETAL IN EEN RONDE STRAAL (HINZE 1975)
ja A4 WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
zlh
1,0
0,5
0,1
0,2
0,3
-> Eylhu* FIG. 61 VARIATIE VAN OE DWARSDIFFUSIE IN EEN OPEN KANAALSTROMING ALS FUNKTIE VAN DE AFSTAND TOT DE BODEM I FISCHER,1973 )
i, 00 _Ey
u"h
t
LABORATORIUMMETINGEN
O ®
v
0,40
O
ELDER (1959)
SULLIVAN (1968) KALINSKE EN PIEN(1943) PRYCH (1975)
GOOT OKYO (f970) NYSING (1975)
PFENNINGWERI'H (1965) AUXILIEN (1973) MILLER (1975)
e 0,20
8 ,- op v PFENNINGWERTH 0,10
VELDMETINGEN
INMINO
0 YOTSUKURA e. o. (1970)
AUXILIEN
~wO cp I~l 1
O ~0~
O
15 FISCHFR (19676 ) C 6LOVER (1964)
M1L LER 0
0,04L-0,01 0,04 0,10' 0,40
1,00
F16,6.2 VARIATIE VAN DE DWARSOIFFUSIEKOEFFICIENT MET DE BREEDTEDIEPTEVERHOUDING IN OPEN KANAALSTROMING
JB A4 WATERLOOPKUNDIG
LABORATORIUM
R895-1040
w (\1
0 0 N
CO
h 0
0
I . .----
O'
I
O
I
N
O
1
I
O
Vg-I
VARIATIE VAN DE DWARSDIFFUSIEKOEFFICIENT ALS FUNKTIE VAN DE KANAALRUWHEID
A4
-j7-
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
1 R895-1041
1F16.6.3
0
r
2 p -"
tV
O
a~ rn zt Ca
~ oc av. O
«Q ~ Ó 0 a o s
a
a
0 0
0 A
0
0
o
>
ó
VARIATIE VAN
lB)
O
0
0
0
ALS FUNKTIE VAN
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
0 0
0
Vg-lè
A4 R895-1042
IFIG.6.4
CHANG (1971 FISCHER (1969 KRISHNAPPAN EN LAN (1977) MISSOURI,
SAYRE EN YEH (1973) EN YOTSOKURA
USSEL, HOL L EY e.a . (1973b) RUN,
GRIMM - STRELE (1978)
VARIATIE VAN OE OWARSDISPERSIEKOEFFICIENT IN MEANDERENDE STROMEN
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
_ey h u"
1,4
VOORSPELDE WAARDEN VAN PERMANENTE STROMING IN EEN BOCHT 1/2 - o,18
1.2 1,0
R
0,8 0,8
°
0,4
.0
0,2 0 0
a~°-°
0
0
GEMETEN WAARDEN
,
i 1
2
3
4
FIG. 6.6 VARIATIE VAN DE DWARSDISPERSIEKOEFFICIENT AL S FUNK TIE VAN DE KANAALGEOMETRIE ( WA RD, 1974)
47 5 14 .0 ° 250
ey hi
00
(2.29) (4.27) (762 00
1,6
0.26 015 0.064 0.00
1,4 1,2 1,0
_ °_
0,8
°
os
BlR
0,4 ~
0,2
0
0
1
3
F16.67 VARIATIE VAN DE GETJGEMIODELDE 0W4RSDISPERSIEKOEFFICIENT ALS FUNKTIE VAN DE KANAALGEOMETRIE (WARD, 1974)
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
f
1 R895-1044
F76 .o TYPISCH SNELHEIDSPROFIEL L UNBRON OP TJDSTIP= O
FIG.b VORM VAN DE LUNBRON OP TJDSTIP t
FIG . c
OVER HOOGTE GEMIDDELDE
KONCENTRATIE VERDELING
OP TJDSTIP t
TOELICHTING EENDIMENSIONALE DISPERSIE
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
e
20 - STROMING GREEN RIVER
FIG, 7 2 VARIATIE VAN OE 10 -DISPERSIEKOEFFICIENr
IS OSCILLERENDE STROMING VOLGENS HOLLEY e.a. (19701
ex(yz ) (T ,) ex (yz) P
O: O 0
HOLLEY, HARLEMAN FISCHER 119701 DRUK NORM . Urncx. NORM.
10 T FIG. 7,3 VARIATIE 1D-DISPERSIEKOEFFICIENT IN
OSCILLERENDE STROMING VOLGENS TAYLOR ld
ia A4 WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
i
R895-1046
10 3 FIG. 7.4
ex
L)
10 2
1
0
VARIATIE VAN DE lD-D1SPERSIEKOEFFICIENT MET
20
ex(yz),P 10 8
117
340
4
240
14 0 fs
0
2 10
,
9
137 136 2 0~~17 100150
102 103 -» T/TZ T/ TZ
145* A 606 ^3
~ 121 a 121
03 606
A " f37
"
181
ex(y2 T)/ex(yz),p x(YZ)Iex(yz) .A
0 FISCHER (1972) 136
10-1
0,2
0,4
0,81
2
--i RiE
10
FIG. 7.5 TOENAME VAN DE DISPERSIEKOEFFICIENT TGV VERTIKALE GRAVITATIECIRKULATIE MET TOENEMENDE RICHARDSONGETAI
JB
l-
A4
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
R895-1047
FIG.
va
o
ó
Ó
Q 2
~ ck:
j ~ W
Q ~u
,ti
ó
.
Cf
1
W ~
.
logo
0
~W U OC o
Z Z 1~ Ó QQOcr
W
U
c
loos . .
kij
0
o c°n
Opq c°7
o
~~ WÓW ,C LL,
r
Q=2 Gl airgW
W ~~ 0 0 02 0
N
Ó
3
__ Q
"Ó a
ó O
.. ó
-'
-: o
ó d
~
v
a ti
ti
ó
h
.~ ~~mmm
cp
4
à á mmm
OA
DA
KORRELATIE TUSSEN DISPERSIEPARAMETERS EN MATE VAN GELAAGDHEID WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
b
ti
VL = VLOEDVOLUME
JB A4
R895-1048
] FIG .L6
T/Ty
`T/Ty
E z
300
:W U 0 W
ex (y,?P 82
i
á
ó
- 0,3
i
vgl-11.17b
200-
-
0,2
I1
100
- 0,1
ex(y)ty 82
ex (yZ )
ex(Z) ~9L. 713 10
0 15
20
25
30
----~ X (km) (LONGIT. COQRD. RICHTING ZEE)
DISPERSIECOËFFICIËNTEN VOOR HET TSES (UK) ESTUARIUM ALS FUNCTIE VAN DE LONGITUDINALE x - COORDINAAT (UIT GALL AGHER & HOBBS (1973) )
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
A4 R. 895 -1I -1002
2, 10 EN 50 .10 8 kg/m 3
CONTOUREN VAN (RHODAMINE B)
'De
13
1
.. .
i.. ...._ ._.__
1`44*
46' kg/m3 CONTOUREN VAN 6,16, 32 EN 64,10-8
d
VLEK, 270 h NA
b
VLEK, 6,5 h NA PUNTLOZING, SU SUFFOLK KUST
PUNTLOZING IN CENTRALE NOORDZEE
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
LONEN VAN GELUKE CONCENTRATIE BU EEN MOMENTLOZINGS EXPERIMENT. CONCENTRATIE OP - 1, 5 m (UI T OKUBO (19fi8»
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
DIEPTE (m) 4
EXPERIMENT
10
GAUSS VGL .
12
14
,- 14
16
18 AFSTAND TOT BRON 1400 m
DIEPTE (m) 6
10
12
14
16 AFSTAND TOT BRON 4350 m
VERTICAAL CONCENTRATIEPROFIEL OP 1400 EN 4350 m AFSTAND VAN EEN CONTINUE BRON (OP 17 m DIEPTE) IN EEN STROMEND MEDIUM. (UIT MURTHY 19741) WATERLOOPKUNDIG
LABORATORIUM
R.895 2I -1005
FIG. 8.5
v . . . . . ... . C
C e -ar \
.
JOSEPH EN
SENDNER
FICKIAN, OBUKHOV OF
OKUBO EN PRITCHARD
SCHONFELD C=Co e` art FICK, OBLIKHOV OF OKUBO EN PRITCHARD
~
C .Co e- ar 413 OKUBO
- - C= Co e -ar
213 OZMIDOV e 'GEMIDD. EXP. WAARDEN
\
'\
GEMIDD. EXP. WAARDEN
EMPIRICAL DISTRIBUTION FUNCTION - . - C=Co e-ar 2 FICK, OBUKHOV OF OKUBO £N PRITCHARD
C.Co (1+a 2r2 ) -312 SCH(7NFELD
--- C.Co e- ar 213OZMIDOV
C. Co é ar 413 OKUB0\k C . C0 e -ar 213 0ZMIDOV GEMIOD. EXP WAARDEN 4
6
8
10 12 14,
16 18 20
.. . . .. . .. . C=Ca e-a"JOSEPH EN SENDNER -'- - C= Co e -ar 2 FICK, OBUKHOV OF 0KUB0 EN PRITCHARD .--- C. Co e -ar 413 0KU80 .
EMPIRISCHE VERDELINGSFUNCKTIE
in -~, "
AANPASSING DIVERSE DIFFUSIE VGLN MET EXP. RHENO RESULTATEN. a, b, c : WAARNEMINGEN NA 5, 11 EN 19 DAGEN DIFFUSIE (WEIDEMANN (197311
. . . . . . . . C= Co e -ar JOSEPH EN SENDNER -.. - CC :O+a (1 22 r )' 312 SCH0NFELD
TUD NA LOZING (UREN)
75 17? 222 270 340 460 --- 560
DIFFUSIECOEFFICIENT VOOR HET RHENO - EXPERIMENT (EMPIRISCH)
(WEIDEMANN (1973)
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
10 4 -
N 10 3 -
O RHENO 0 1964 Y v 1962Z1 0 19622r 0 19611 -t- 1 v *2 E -'t 3 4 s* 5
:W U
NOORDZEE
Bi CAPE KENNEDY
" NEW YORK BI6HT
(ii W
D #a o #6
O # c 0 # d e .#e
b ti
0 0 0
BJ
CALIFORNIA
c
0
m # f
cir i
® BANANA RIVER
O
e
e
OG
10` 1
10 -2
1
r 10 10 1 2 103 10 f0 I
4
6
5
-- ~ L (m)
WK
HORIZONTALE' DISPERSIECOËFFICIËNTEN VERSUS DIFFUSIE SCHAAL L (MET L
W
3 c)
(UIT OKUBO (1968)1
WATERLOOPKUNDIG
LABORATORIUM
R.895 Ir -1008
FIG . 8.8
(WAARHORIZONTALE DIFFUSIECOËFFICIËNTEN NEMINGEN) VERGELEKEN MET e N L 41-1 CURVE (UIT OKUSO (1968) )
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
& OUDE WAARN. (VÓÓR 1,962)
oNIEUWE
WAARNJ'62-'66)
VARIANTIE c 2 VERSUS DIFFUSIETUD (WAARNEMINGEN) VERGELEKEN MET o2 ^- t3 RELATIE (UIT 0KU80 (1968)1
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
(B)ENGELSE ESTUARIA
105
(A) ONDIEPE ZEE
10 s 1
(D) AMERIKAANSE KUSTWATEREN
(F)BALTISCHE (G) FJORDEN KUST G 2 -1,3,9t 1,65 10 4 -1 xy- , ! 10 5 -7
~Xy=0,081 12 19
." 10 4
10 5
(ZONDER 7 GROOTSTE WAARDEN)
(E) AMERIKAANSE ESTUARIA
10 6
10 4
-2 24 , B Xy=0, 1410t
----;- TUD, t (s)
lo l
10 3
0
10 4
10 4
, GXy=
u;y
3,25 t 1,35 10 5
10 3-
0
7
3
2.32 t 1,7910
10 4 ----
2O
10 5
1
10 4
10 5
- TUD, t (s)
xy-t (VA RIANTIE- DIFFUSIETUD) WAARNEMINGEN BU MOMENT
WK
LOZINGEN IN ZEEEN, KUSTWATEREN EN ESTUARIA (UIT TALBOT (19741)
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
---1
A4 R.895- 1I - 1011
[FIG.8.11
WERl
'1Di~'~i
111
~~ ~%1"~ Mr
m ÍIEREN
~~
om
1
mi ml.poligpilidii 1 ,1111 0 Eil
N
CV
RELATIEVE MAXIMALE CONCENTRATIE VERSUS DIFFUSIETUD
R. R.
VOOS? MOMENTPUNTLOZINGEN IN DE NOORDZEE
A3
l^JAFÉR1 OC PKUNDIG
LABORATORIUM
8895°Y~ 1049
FIG. 81,E
04
O
CONTINUE INJECTIE VAN 2000 kglh OP 7,1 km VERVALSNELHEID 0, llh
RESULTAAT 2- DIMENSIONAAL (xz) MODEL (RESULTAAT IS OVER DE DIEPTE GEMIDDELD) - - - RESULTAAT 1- DIMENSIONAAL MODEL
km AFSTAND VAN VICTORIA BRIDGE
LONGITUDINALE CONCENTRATIEVERDELING VOOR HET TSES ESTUARIUM, BEREKEND VOLGENS &N- EN TWEEDIMENSIONAAL MODEL
(FARRADAY ET AL (19751)
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
WINDSNEL HEIDSPROFIEL
GEMDDELDE WATEROPPERVLAK
VERI7KAAL WINDMEN WATERSTROMINGS PROFIEL (SCHEMATISCH)
(BRETSCHNEIDER (1972) )
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
u`= STROOMSNELHEID GEMIDDELD OVER DE VERTIKAAL Uw= WINDSNELHEID OP 10 m HOOGTE
Uw = SNELHEID AAN
OPPERVLAK
3 Uw SNELHEID AAN BODEM
DOOR WIND GEGENEREERDE STROMING ALS FUNCTIE VAN DE WATERDIEPTE (h)
(BRETSCHNEIDER (1972) )
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
naam
3,5 7
3,0 2,5 -~
80 - 70 60
2,0 1,5 I
50 /
~
r
40 30
,0
20
~r
0.5 °0
J3
2
~~rrrrr 4 6 8 10 12 14 16 18
10 20
---~ TUD(UREN)
ONTWIKKELING GEMIDDELDE STROOMSNELHEID
(u )
IN DE TUD,
WK
VEROORZAAKT DOOR WIND (UW), BU WATERDIEPTE VAN 30 m,
MA NNING'S M=0,025 EN k= 3.10-6 (BRETSCHNEIDER[1972], WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
R.895?I - 1015 1F16.10.31
Ex 10 (M 215 )
0
0 INMAN ET AL. (1971)
--+-- HARRIS ET AL (1963) x
THORNTON (1970)
0 aQ
10_
0
1
10 -2 ~
0
0
0
LA8ORATORIUM n
10 --------~-
Hb xb T
(m 2/s )
IN VOORTPLANTINGSRICHTING VAN GOLVEN IN GOLFVELD MET BREKENDE GOLVEN, VERSUS Hb xb l T (BOWEN (197211
HORIZONTALE DIFFUSIECOËFFICIËNT e x
WATERLOOPKUNDIG
LABORATORIUM
A4 R.895-7I -1016
FIG.104
-0,5 1-..L .
0 t
I
0,5 I
t=1 DAG
77/-"/'"77//////77777 -0,5 !
I
0 I
I
0,5 !
1
t=2 DAGEN
777777///7777/7/7 -0,5 I
0 t
1
0,5 I
I
I
1 I
t= 3 DAGEN
-0,5 I
0 I
I
0,5 I
I
1 I
f
t = 4 DAGEN
SNELHEID MET BODEMWRJVING (m/5)
E=0,D3m2/s
WATERDIEPTE = 7, 5 m ZEKERE WRUVINGSTERMEN
ONTWIKKELING IN OE TUD VAN DOOR WIND GEINDUCEERDE STROMING. BEREKENINGEN VAN HOPKINS (1972)
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
R.895 Z
- 1017
FIG.10. 5
LONGITUDINALE VERSPREIDING DOOR GETUINVLOEDEN IN EEN SYSTEEM MET "OEVERKOMMEN" (PRITCHARD (1959))
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
DUNDEE KIN- <'
MONIFLETH BROuGHrY
AYPORT ~ NEWPORT~ P,
i ' 'BY WORMIT
POOL
B.B. BIRKHILL BANK M.B. MIODLE BANK LADY BANK
N. S . N6WCOMBE SHORT
\
"-Q FLISK
BALMERINO
a) OVERZICHT TAY-ESTUARIUM MET MEETSTATIONS b) SCHUNBARE DIEF, COËFF. VERSUS ZOETWATERAFVOER (EXP.) c) SCHUNBARE DIEF. COËFF. VERSUS AFSTAND TOT MONDING (EXP. )
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
w
, ST ANDREWS 6AY
LfUCNARS
L's .
BVpDL
i ABERrAY SANDS i
pjU
BALMARM
P
BARRY
LOKATIE 1 HOOGWATERSTANDEN
LOKATIE 2 HOOGWATERSTANDEN
--- -- e x (Z) VOLGENS VGL .13,14 10x ex(z)
GEVOELIGHEIDSTEST VAN DIFFUSIECOËFFICIËNT ex(z) OP CONCENTRATIEVERLOOP (IN DE TUD) IN EEN GETURIVIER . NUMERIEKE BEREKENINGEN VAN HARLEMAN ET AL
(1968)
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
LOKAVE 2
LOKATIE 2
LONGITUDINALE DISPERSIËCOEFFICIËNT GEDURENDE EEN GETJPERIODE IN EEN ESTUARIUM, BEREKEND VOLGENS VGL (11.21)
Aa
DOOR HARLEMAN ET AL (1968)
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
R.695-1I - 1020
FIG .11 .4
METINGEN EN BEREKENINGEN VAN HET CONCENTRATIEVERLOOP BU EEN CONTINUE LOZING IN EEN GETU-ESTUARIUM (HARLEMAN ET AL (19681)
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
P(m/s) 0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0,2
0,3
0,4 No I
0,5 cl z
0,6
f (rrrls )
Ho =OORSPRONKELUKE LAAGDIKTE (BU LOZING)
HORIZONTALE DIFFUSIESNELHEID P ALS FUNKTIE VAN DE VERTIKALE STROMINGSSTRUCTUUR Ho I áz I (KULLENBERG (1968) ) WATERLOOPKUNDIG
LABORATORIUM
R. 985 -X -1022
UW= WINDSNELHEID
(rmls)
_8p N=STABILITEITSPARAMETER (S- 1) MET N2= 9 P
az
VERTIKALE DIFFUSIEC0ËFFICIËNT Ez ALS FUNCTIE VAN
Uw 2 N -2 . WAARNEMINGEN 1N KUSTWATEREN (KULLENBERG (1968) 1
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
DWARSDIFFUSIECOËFFICIËNT
Ey(z) ALS
FUNKTIE VAN DE DIFFUSIE
SCHAAL L y , GEMETEN UIT DE PLUIMVERBREDING BU EEN CONTINUE LOZING IN STROMEND KUSTWATER . (MURTHY EN KENNEY (1974»
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
VERTIKALE CONVECTIE
+v VERTIKALE DISPERSIE eY
HORIZONTALE CON VECTIE-u
c Y ZOET-
r
ZEE
HORIZONTALE CONVECTIE . + u
WATER
1
OMKEERPUNT
SCHEMA CIRCULATIESTROMING IN TWEE-DIMENSIONAAL ESTUARIUM MET DICHTHEIDSGRADIENT. (UIT HARLEMAN EN IPPEN (1967»
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
R. 895 11 -1026
FIG.12.1
