Design of a mechanical synchronizing system for research and demonstration purposes for D & C M.H.L.M. van den Tillaart DCT 2006.091
Afstudeeropdracht Begeleider
: Dr. ir. P.J.C.N Rosielle
Hoogleraar
: Prof. Dr. ir. M. Steinbuch
Commissie
: Prof. Dr. ir. M. Steinbuch Dr. ir. P.J.C.N Rosielle Prof. Dr. H. Nijmeijer
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Werktuigbouwkunde Sectie Dynamics and Control Technology Eindhoven, Augustus, 2006
Samenvatting Eén van de onderzoeksgebieden binnen de vakgroep D&C van de faculteit werktuigbouwkunde aan de Technische Universiteit Eindhoven is synchronisatie van oscillerende systemen. Deze systemen zijn geïnspireerd op de observatie uit de zeventiende eeuw van Christiaan Huygens. Christiaan Huygens merkte op dat als twee slingerklokken dicht bij elkaar opgehangen werden, de slingers het zelfde ritme aannamen. Hij had daarbij een experiment uitgevoerd waarbij twee slingerklokken aan een plank hingen die op twee keukenstoelen rustte. Dit experiment is door Ward Oud binnen de vakgroep herhaald met twee metronomen op een platform ( koppellichaam ) hangend in bladveren. Van dit experiment is vervolgens een dynamisch model opgesteld en vergeleken met numerieke simulaties. Voor vervolgonderzoek is een beter instelbare en nauwkeurigere opstelling gewenst die ook gebruikt kan worden voor demonstraties. Als eerst is gekeken naar de voorwaarde voor synchronisatie aan de hand van het bestaande systeem. Deze voorwaarden zijn: Een zwakke koppeling tussen onafhankelijke oscillatoren en demping in het koppellichaam. Als aan deze voorwaarde is voldaan, kan in een beperkt frequentieverschil tussen de oscillatoren synchronisatie optreden. Het bestaande systeem wordt beschreven door een niet-lineair dynamische model. Om te kijken of dit model te vereenvoudigen is zijn er meerdere systemen gesimuleerd. Hieruit blijkt dat lineaire systemen grotere frequentieverschillen tussen de oscillatoren kunnen synchroniseren dan niet-lineaire systemen. Voor het ontwerp is een lineair translerend systeem gebruikt. Om van een schematisch systeem naar reële parameters te komen zijn verscheidene simulaties uitgevoerd. Uit deze simulaties blijkt dat de massaverhouding tussen de oscillatoren en het koppellichaam een grote invloed heeft op het synchronisatiegedrag van het systeem. In-fase synchronisatie blijkt ook nog sterk afhankelijk te zijn van de begincondities en het relatief frequentieverschil tussen het koppellichaam en de oscillatoren. Om een translerend systeem te krijgen is gebruik gemaakt van verschillende type rechtgeleidingen. Voor de rechtgeleiding van de oscillatoren is gekozen voor een dubbel parallellogram mechanisme. Voor het koppellichaam is gebruik gemaakt van een dubbel mechanisme van Watt. Om de frequenties van de oscillatoren en het koppellichaam te variëren is aan de rechtgeleiding instelbare negatieve stijfheid toegevoegd. Het uiteindelijk ontwerp omvat alle benodigde elementen voor een werkend systeem, echter niet alle onderdelen zijn al in detail uitgewerkt. Om deze reden kan dit ontwerp beschouwd worden als een concept ontwerp.
2
Summary One of the fields of research within the department D&C of the mechanical engineering faculty at the Technische Universiteit Eindhoven is the synchronisation of oscillating systems. These systems have been inspired by Christiaan Huygen’s observation in the seventeenth century. Christiaan Huygens noticed that if two pendulum clocks were hung close to one another, the pendulums took on the same rhythm . Then he performed an experiment in which two pendulum clocks were hung from a board that was placed on two kitchen chairs . This experiment has been repeated by Ward Oud in the department with two metronomes on a platform ( linking body ) hanging in leaf springs. Next a dynamic model was mounted and compared with numerical simulations. A better adjustable and more accurate set up is desirable for further research ,it should be used for demonstrations too. First attention was paid to the condition for synchronisation on the basis of the existing system. These conditions are; A weak connection between independent oscillators and the damping of the linking body. If this condition is fulfilled synchronisation can occur in a limited frequency difference between the oscillators. The existing system is described by a non linear dynamic model. More than one system have been simulated to find out whether this model could be simplified. From this it appears that linear systems can synchronise greater frequency differences between oscillators than non linear systems. A linear translating system has been used for the project In order to evolve from a schematic system to real parameters several simulations have been performed. These simulations show that the mass ratio between the oscillators and the linking body has a deep influence on the synchronisation characteristics of the system. Also it appears that in-phase synchronisation is very much dependent on the starting conditions and the relative frequency difference between the linking body and the oscillators Different types of trajectory guidance have been used to obtain a translating system. A double parallelogram mechanism has been chosen for the trajectory guidance of the oscillators. A double mechanism of Watt has been used for the linking body In order to vary the frequencies of the oscillators and the linking body adjustable negative stiffness has been added to the trajectory guidance. The final design includes all the required elements for a working system , however not all parts have been worked out in detail That is why this design can be looked upon as a rough draft.
3
Voorwoord Dit werkstuk is een verslag van mijn afstudeerproject en vormt de afronding van mijn studie aan de Technische Universiteit Eindhoven. De opdracht was een meetinstrument te ontwerpen voor de vakgroep D&C binnen de faculteit Werktuigbouwkunde van de TUE. De aanleiding voor het onderzoek is geïnspireerd op een rapport uit de 17e eeuw van Christiaan Huygens waarin hij het fenomeen van synchronisatie tussen twee slingerklokken beschreef, die door een zwakke koppeling aan elkaar verbonden waren. Ik heb geprobeerd binnen de kaders van mijn afstudeerproject een opstelling te ontwerpen waarmee de synchronisatie van zwak gekoppelde oscillatoren gemeten kan worden. Hierbij is getracht de achterliggende dynamica zo eenvoudig mogelijk te houden. De afgelopen periode is voor mij zeer leerzaam geweest. Niet alleen in educatieve zin, maar ook voor mijn sociale ontwikkeling en mijn kijk op de toekomst. Hiervoor wil ik iedereen bedanken die mij daarbij geholpen heeft en een paar mensen in het bijzonder. Als eerste wil ik Huub Giesen bedanken dat hij mij twee jaar geleden heeft wakker geschud en daarmee mij en mijn studie terug op de rails heeft gezet. Mijn begeleider Nick Rosielle dank ik voor alle inzet en de leerzame gesprekken. In het bijzonder wil ik hem ook ervoor bedanken dat hij mij heeft laten inzien dat positief denken leidt tot oplossingen terwijl negatief denken tot niks leidt. Dominique Deen dank ik voor de vele gezellige maar vooral leerzame uurtjes in de bibliotheek en kantine. Jurriaan Gillissen voor de vele uren bijles en het nakijkwerk dat hij voor me verricht heeft. Tenslotte gaat mijn allergrootste dank uit naar mijn lieve vrouw Sarah, die ondanks deze tien niet altijd makkelijke jaren toch altijd in mij is blijven geloven.
4
Inhoudsopgaven Hoofdstuk 1: Introductie ............................................................................................................ 6 1.1 Het synchronisatieprincipe ............................................................................................... 6 1.2 Definitie van de opdracht ................................................................................................. 7 Hoofdstuk 2 : Numerieke experimenten .................................................................................... 8 2.1 Simulatie procedure.......................................................................................................... 8 2.2 Translerende slingers geïnspireerd op Huygens............................................................. 11 2.3 Roterend koppellichaam met slingers. ........................................................................... 12 2.4 Roterende schijven ......................................................................................................... 14 2.5 Volledig translerende opstelling..................................................................................... 16 2.6 Systeem keuze ................................................................................................................ 18 Hoofdstuk 3 : parameterisering ................................................................................................ 19 3.1 Massaratio ...................................................................................................................... 19 3.2 In-fase synchronisatie..................................................................................................... 20 3.3 ontwerp parameters ........................................................................................................ 23 Hoofdstuk 4 : Gebruikte concepten.......................................................................................... 24 4.1 definities van vrijheidsgraden ........................................................................................ 24 4.2 Elastische elementen ...................................................................................................... 24 4.3 Rechtgeleiding................................................................................................................ 25 4.4 Negatieve stijfheid.......................................................................................................... 27 Hoofdstuk 5 : Ontwerp ............................................................................................................. 28 5.1 Massaverdeling............................................................................................................... 28 5.2 Meten en regelen ............................................................................................................ 28 5.3 Ontwerp Oscillatoren ..................................................................................................... 29 5.3.1 Hulplichaam van de oscillator..................................................................................... 29 5.3.2 Hoofdlichaam van de oscillator................................................................................... 30 5.3.3 Rechtgeleiding en bevestiging oscillatoren................................................................. 31 5.4 Ontwerp koppellichaam en extra massa......................................................................... 32 5.5 Stijfheden bladveren oscillatoren ................................................................................... 33 Hoofdstuk 6 : Conclusie en aanbevelingen .............................................................................. 36 6.1 Conclusie........................................................................................................................ 36 6.2 Aanbevelingen................................................................................................................ 37 Literatuurlijst ............................................................................................................................ 38 A.1 : Afleiding translerende slingers.................................................................................... 39 A.2 : Afleiding roterend koppellichaam............................................................................... 41 A.3 : Afleiding roterende schijven ....................................................................................... 44 B.1 : De eigenfrequentie van een slinger ............................................................................. 46 B.2 : Afleiding slinger vergelijking..................................................................................... 47 C1 :Voorbeeld van een opstellingen met roterend koppellichaam. ..................................... 48 C2 :Voorbeeld van een opstellingen met alle rotaties om één as......................................... 49 D1 : Uitvergroting hoofdlichaam oscillator. ........................................................................ 50 D2 : Uitvergroting oscillator in frame.................................................................................. 51 D3 : Uitvergroting koppellichaam........................................................................................ 52 D4 : Uitvergroting 3D totaal overzicht. ............................................................................... 53
5
Hoofdstuk 1: Introductie 1.1 Het synchronisatieprincipe De oudste wetenschappelijke rapporten waarin over synchronisatie werd gesproken zijn van Christiaan Huygens uit eind zeventiende eeuw. Hij observeerde de slingers van twee slingerklokken die onder sommige omstandigheden naar verloop van tijd hetzelfde ritme gingen aannemen. Het bekendste experiment is weergegeven in figuur 1.1. Hierin zijn twee slingerklokken opgehangen aan een plank liggend op twee keukenstoelen. Als de bewegingsvlakken van de twee slingers hetzelfde waren, merkte Christiaan Huygens op dat na verloop van tijd, de klokken met dezelfde frequentie en 180 graden uit fase gingen oscilleren. Dit noemde hij : ”sympathy of two clocks, sympathie des horloges”.
Figuur 1.1: Originele tekening van Christiaan Huygens na aanleiding van zijn experimenten. Hierin is te zien hoe hij de twee slingerklokken ophing aan een plank rustend op twee keukenstoelen. [PIK-01]
Synchronisatie is een veel voorkomend fenomeen in de natuur en in door de mens geschapen systemen. Bij het bekeken type synchronisatie beïnvloeden twee of meer soortgelijke oscillatoren elkaar zo, dat ze naar verloop van tijd met dezelfde frequentie oscilleren. De interactie tussen de oscillatoren treedt op door middel van een zogenaamde zwakke koppeling. Een zwakke koppeling, zoals geschetst in Figuur 1.2, brengt energie over tussen de oscillatoren.
Figuur 1.2: Drie verschillende koppelingen. In A heeft de koppeling geen invloed op de frequentie van de slingers. B is een systeem waarin de koppeling wel invloed uitoefent op de slinger maar de frequentie niet direct oplegt. Hier is sprake van zwakke koppeling. In C wordt de fase direct opgelegd. Dit type van synchronisatie wordt niet bekeken in dit werk.
6
Tijdens synchronisatie streeft een systeem van twee zwak gekoppelde oscillatoren naar een stabiele toestand, welke gekenmerkt wordt door twee specifieke eigenschappen. De eerste is dat oscillatoren met dezelfde frequentie bewegen, ondanks een verschil in eigenfrequentie. De tweede is dat de oscillatoren in in-fase of in anti-fase bewegen. Tijdens een in-fase synchronisatie bewegen de oscillatoren steeds in dezelfde richting, terwijl ze in tegengestelde richting bewegen tijdens de anti-fasesynchronisatie. Behalve de aanwezigheid van de zwakke koppeling, is een tweede voorwaarde tot synchronisatie de aanwezigheid van demping van het koppellichaam. Er zou gesteld kunnen worden dat deze demping bepaalde frequenties uit het systeem 'filtert', waardoor alleen de gesynchroniseerde frequentie overblijft. Demping in het platform zorgt voor een dissipatie van energie, welke gecompenseerd moet worden door een externe energiebron. Het toevoegen van korte energiepulsen aan het systeem, zorgt voor een constant energieniveau. Deze energiepulsen worden het 'echappement mechanisme' genoemd. Niet elk systeem van oscillatoren, dat zwak gekoppeld is middels een lichaam met demping, kan synchroniseren. De overige eigenschappen van het systeem bepalen het synchronisatiegedrag mede. Een van de meest bepalende eigenschappen is het verschil in eigenfrequenties van de oscillatoren. Als dit verschil te groot wordt treedt er geen synchronisatie op. Het domein van frequentieverschillen waarbinnen synchronisatie optreedt wordt aangeduid met synchronisatie-bandbreedte [Pik-01]. De aanwezigheid van een synchronisatie-bandbreedte is een specifieke eigenschap van een synchroniseerbaar systeem. In hoofdstuk 3 zal uitvoerig gekeken worden hoe verschillende systeem parameters de synchronisatie-bandbreedte beïnvloeden.
1.2 Definitie van de opdracht Bij de vakgroep D&C op de TU Eindhoven wordt het proces van synchronisatie bestudeerd aan de hand van experimenten en computersimulaties. W.T. Oud heeft in zijn afstudeerperiode synchronisatie van twee metronomen bestudeerd [Oud-06]. Hiervoor is een testopstelling gebruikt bestaande uit twee metronomen gemonteerd op een platform hangend in bladveren. Hiermee zijn verschillende experimenten uitgevoerd en numerieke simulaties van gemaakt. De numerieke simulaties kwamen in grote lijnen overeen met de experimenten, echter, sommige systeemparameters in de opstelling waren slecht of niet instelbaar en meetbaar, wat een exacte vergelijking tussen model en experiment moeilijk maakte. In zijn conclusies geeft hij een aantal aanbevelingen ter verbetering van de opstelling: • het instrument zal alleen die vrijheidsgraden bevatten die nodig zijn om synchronisatie te kunnen aantonen; • het instrument dient zich zo exact mogelijk te gedragen als zijn dynamische model; • elke vrijheidsgraad van het instrument zal regelbaar en meetbaar zijn; • de instelbaarheid van de frequenties van de oscillatoren en het koppellichaam zullen in de orde van promilles zijn, met dezelfde reproduceerbaarheid; • het instrument dient ook voor demonstratiedoeleinden bruikbaar te zijn; • het instrument dient zowel in fase als antifase toestanden te kunnen genereren. In dit werk wordt aan de hand van deze punten een nieuwe opstelling ontworpen. Met behulp van numerieke simulatie zal het synchronisatie gedrag voor een aantal verschillende systemen bestudeerd worden. Behalve het klassieke geval van Huygens, wordt tevens gekeken naar drie alternatieve systemen van gekoppelde oscillatoren. Het uiteindelijke ontwerp zal gebaseerd worden op één van deze vier systemen.
7
Hoofdstuk 2 : Numerieke experimenten 2.1 Simulatie procedure. De simulatie procedure zal uitgelegd worden aan de hand van een systeem gebaseerd op de klokken van Christiaan Huygens. De hieronder beschreven simulatie procedure zal ook gelden voor alle andere systemen, besproken in dit verslag. Het vereenvoudigd dynamisch model van de opstelling van Huygens is weergegeven in figuur 2.1. Een horizontaal translerende massa M is middels een veer K3 en een demper D3 verbonden met de vaste wereld. Twee puntmassa’s m1 en m2, zijn middels twee massaloze staven van lengte l1 en l2 verbonden aan M. Deze slingers bewegen onder de invloed van zwaartekracht g, torsieveren k1 en k2 en torsiedempers d1 en d2.
Figuur 2.1: Schematisch overzicht van een translerend platform met twee slingers.
De bewegingsvergelijkingen zijn via de methode van Lagrange [Kra-01] afgeleid en zijn in figuur 2.1 weergegeven. De complete afleiding is gegeven in appendix A1. Het rechterlid van de bewegingsvergelijken (f1 en f2 ) zijn de eventueel aan te brengen externe krachten.
θ1 +
d1 m1 gl1 k ml θ + sin θ1 + 1 2 θ1 + 1 12 cos θ1 x = 2 1 2 m1l1 m1l1 m1l1 m1l1
θ2 +
d2 g k 1 x θ + sin θ 2 + 2 2 θ 2 + cos θ 2 2 2 m2l2 l2 m2l2 l2
x+
d3 k3 x + x ( m1 + m2 + M ) ( m1 + m2 + M )
f1 m1l12 f2 m2l2 2
= 2
= −∑ i =1
mi li θi cos θi − θi 2 sin θi ( m1 + m2 + M )
(
(2.1)
)
8
Om later een goede vergelijking te kunnen maken tussen de verschillende systemen, worden de belangrijkste karakteristieke systeemparameters bepaald. De eigenfrequenties ωi en de dimensieloze dempingsfactoren ξi worden verkregen door vergelijking (2.1) te lineariseren naar de standaardvorm (2.2). x + 2ξiωi x + ωi 2 x = rechterlid
( i = 1,2,3)
(2.2)
Vergelijking (2.1) wordt hiermee:
θi +
di g k f 1 θ + + i 2 θi = i 2 + x 2 i mili mi li li li mili
( i=1,2 )
2 d3 k3 mi li x+ x3 + x=∑ θi cos θi − θi 2 sin θi m1 + m2 + M m1 + m2 + M i =1 m1 + m2 + M
(
(2.3)
)
De onafhankelijke eigenfrequenties en de dempingsfactoren zijn dus:
ωi =
k g + i2 li mili
k3 m1 + m2 + M
( i=1,2 )
ω3 =
( i=1,2 )
d3 ξ3 = ( m1 + m2 + M ) ω3
di ξi = mili 2ωi
(2.4)
Hierin behoren ωi en ξi tot de oscillatoren en ω3 en ξ3 tot het koppellichaam. Verder worden de massa-ratio’s βi:
βi =
mi Mt
( i=1,2 )
(2.5)
en de energie toevoer parameters εi: ∆θ 2
εi =
∫θ
∆ − 2
f i (θ ) mi li 2
dθ
(i=1,2)
(2.6)
ingevoerd. Wanneer -∆θ/2<θi<∆θ/2, wordt een kracht fi(θ) opgelegd aan oscillator i in de bewegingsrichting. Het verloop van fi(θ) volgen een cosinus is gegeven in figuur 2.2
-∆θ/2
0
∆θ/2
Figuur 2.2: Functie f(θ) die gebruikt wordt om gelijkmatig energie aan de oscillatoren toe te voeren.
9
Voor alle simulaties zijn de volgende parameters en begincondities gebruikt:
Parameters ω1 ω2 ω3 ξ1, ξ2 ξ3 β1, β2 : ε1 , ε2 : ∆θ
2π rad s-1 (0.8 ω1< ω2<1.2 ω1) π rad s-1 0.01 ½ √2 1/10 0.025 rad s-2 0.01 rad
Begincondities θ1 (t=0)=0.1, θ 2 (t=0)=0, x(t=0)=0. θ (t=0)=0, θ (t=0)=0, x(t=0)=0. 1
2
De simulaties zijn uitgevoerd over een tijdsinterval van 125 s. De tijdstippen waarop de snelheden van de oscillatoren door nul gaan zijn bepaald. Hieruit volgen de frequenties f1 & f2 van de oscillatoren als functie van de tijd. Deze informatie zal gebruikt worden om uitspraken te doen over het synchronisatiegedrag van het systeem.
10
2.2 Translerende slingers geïnspireerd op Huygens. Voor zover bekent is in de beschikbare literatuur met betrekking tot mechanische synchronisatie, alleen gekeken naar systemen die afgeleid zijn van de klokken van Christiaan Huygens. [Ben-02, Oud-06]. In deze paragraaf wordt een dergelijk systeem bestudeerd, bestaande uit twee slingers, gemonteerd aan een translerend platform. Twee varianten worden behandeld. In het geval van de eerste variant bewegen de slingers in het verticale vlak, niet lineair aangedreven door de zwaartekracht. Hierbij is de torsieveer verwaarloosd. Bij de tweede variant bewegen de slingers in het horizontale vlak, gedreven door een lineaire torsieveer. Hierbij speelt zwaartekracht geen rol. In figuur 2.3 zijn beide varianten schematisch weer gegeven.
1.1
1.2
Figuur 2.3: De twee verschillende varianten van het model met hun bijbehorende begincondities, bewegingsrichting en de richting van de zwaartekracht.
In figuur 2.4 is het verschil in frequenties ∆f=f1-f2 van beide oscillatoren, gemiddeld over het tijdsinterval (100 s -125 s) weergegeven, als functie van de relatieve eigenfrequenties ω2/ω1. Voor beide systemen is een synchronisatie-bandbreedte te zien: een interval op de ω2/ω1-as waarvoor geld ∆f→0. Gemiddeld frequentie verschil van 100 tot 125 sec simulatie tijd 0.3
gemiddeld frequentie verschil oscillator 1 en 2
variant 1.1 variant 1.2 0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
relatieve frequentie oscillator (ω 2/ω 1)
Figuur 2.4: Gemiddeld frequentieverschil over het interval (100 s - 125 s). In het gebied waar synchronisatie plaatsvindt gaat het frequentieverschil naar 0. Buiten dat gebied kunnen de slingers geen eenduidige frequentie aannemen.
De variant met oscillatoren gedreven door een lineaire term geeft een grotere synchronisatiebandbreedte.
11
2.3 Roterend koppellichaam met slingers.
R1
Het tweede model vloeit voort uit het idee om een opstelling te maken met enkel roterende onderdelen. Hiervoor is het translerende koppellichaam uit de voorgaande opstelling vervangen door een roterend lichaam, dit lichaam heeft traagheid J3 en in het rotatiepunt is een torsieveer k3 en torsiedemper d3 opgenomen. Twee puntmassa’s m1 en m2, zijn middels twee massaloze staven van lengte l1 en l2 verbonden aan het roterend koppellichaam op afstand A van het rotatiepunt van het koppellichaam. Deze slingers bewegen onder de invloed van zwaartekracht g, torsieveren k1 en k2 en torsiedempers d1 en d2. In appendix C.1 is een voorbeeld gegeven van hoe een dergelijke opstelling er uit zou kunnen zien. In figuur 2.5 is een schematische tekening gegeven van een dergelijk systeem. De bewegingsvergelijking (2.7) luidt :
R2 Figuur 2.5: Schematisch overzicht van een volledig roterende model hierin is het translerende deel uit model 1 vervangen door een roterend deel.
θ1 +
d1 k1 m1 gR1 m AR θ 2 m1 AR1θ3 f + d θ + k θ θ1 + θ1 + sin θ1 + 1 2 1 3 sin (θ1 − θ3 ) + cos (θ1 − θ3 ) = 1 1 23 1 3 2 2 2 2 ( m1R1 + J1 ) ( m1R1 + J1 ) ( m1R1 + J1 ) ( m1R1 + J1 ) ( m1R1 + J1 ) ( m1R1 + J1 )
θ2 +
d2 k2 m2 gR2 m2 AR2θ32 m2 AR2θ3 f + d 2θ3 + k2θ3 θ2 + θ2 + sin θ 2 + sin (θ 2 − θ3 ) + cos (θ 2 − θ3 ) = 2 2 2 2 2 2 ( m2 R2 + J 2 ) ( m2 R2 + J 2 ) ( m2 R2 + J 2 ) ( m2 R2 + J 2 ) ( m2 R2 + J 2 ) ( m2 R2 2 + J 2 )
θ3 +
( d1 + d 2 + d3 ) θ + ( k1 + k2 + k3 ) θ
=
J3
3
J3
3
+
( m1 + m2 ) gA sin θ J3
2
3
+∑ i =1
mi 2 A θ i + ARiθi cos (θ i − θ 3 ) − ARiθi 2 sin (θi − θ3 ) J3
(
)
d1 k1 d k θ1 + θ1 + 2 θ2 + 2 θ 2 J3 J3 J3 J3
(2.7) De complete afleiding is gegeven in appendix A.2.
12
Ook voor deze opstelling worden twee varianten bestudeerd. Dit is net als bij het vorige systeem is dit gedaan de door zwaartekracht gedreven slinger te vervangen door een slinger werkende op een lineaire torsieveer. In figuur 2.6 zijn de twee varianten weergegeven g g
2.1
2.2
Figuur 2.6: De twee verschillende varianten van de opstellingen met hun bijbehorende begincondities, bewegingsrichting en de richting van de zwaartekracht.
In figuur 2.7 is ∆f, gemiddeld over het tijdsinterval (100 s -125 s) weergegeven tegen ω2/ω1. Gemiddeld frequentie verschil van 100 tot 125 sec simulatie tijd 0.3
gemiddeld frequentie verschil oscillator 1 en 2
variant 2.1 variant 2.2 0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
relatieve frequentie oscillator (ω2 /ω1 )
Figuur 2.7: Gemiddeld frequentieverschil over het interval (100 s - 125 s). In het gebied waar synchronisatie plaatsvindt gaat het frequentieverschil naar 0. Buiten dat gebied kunnen de slingers geen eenduidige frequentie aannemen.
Net als bij het translerende systeem in paragraaf 2.1 heeft de meer lineaire variant gedreven door torsieveren een grotere synchronisatie-bandbreedte. Beide varianten 2.1 en 2.2 synchroniseren in een bandbreedte die kleiner is t.o.v. het translerende systeem varianten 1.1 en 1.2. Dit zou verklaard kunnen worden doordat de bewegingen van de oscillatoren bijna loodrecht op de bewegingen van het koppellichaam staan. Hierdoor vindt er een kleinere energieoverdracht plaats tussen de oscillatoren en het koppellichaam dan bij het translerende systeem. De kleinere energieoverdracht betekent dat een kleiner frequentieverschil gestabiliseerd kan worden.
13
2.4 Roterende schijven Het derde systeem is schematisch weergegeven in figuur 2.8 bestaande uit drie schijven die kunnen roteren om dezelfde as. De schijven hebben eventueel een excentriciteit. In appendix C.2 is een voorbeeld gegeven van een opstelling passend bij dit systeem met meerdere oscillatoren. Schijf 1 met massatraagheid J1 is verbonden aan schijf 3 met een torsieveer k1 en een torsiedemper d1. Schijf 2 is op identieke manier verbonden aan schijf 3. Schijf 3 die het koppellichaam representeert is via torsieveer k3 en torsiedemper d3 verbonden met de vaste wereld. Θ3
Θ2
Θ1
k1,d1 f1
J1
g
k2,d2 J2
J3
f2
k3,d3 Rotatie as
Figuur 2.8 : Volledig roterende opstelling waarbij de oscillatoren via een torsieveer en een torsiedemper aan het koppellichaam gekoppeld zijn. Het koppellichaam is vervolgens gekoppeld aan de vaste wereld met een torsieveer en een torsiedemper.
Om de excentriciteit in de schijven mee te nemen worden de variabele li geïntroduceerd. li representeert de afstand van het rotatiepunt tot het massamiddelpunt van de schijf. De bewegingsvergelijkingen die dit systeem beschrijft zijn in (2.8) gegeven. De afleiding is te vinden in appendix A3. f1 + d1θ3 + k1θ3 d1 k1 m1 gl1 + θ1 + θ θ θ + = sin 1 1 1 m1l12 + J1 m1l12 + J1 m1l12 + J1 m1l12 + J1 f 2 + d 2θ3 + k2θ3 d2 k2 m2 gl2 + θ2 + θ θ θ + = (2.8) sin 2 2 2 m2l2 2 + J 2 m2l2 2 + J 2 m2l2 2 + J 2 m2l2 2 + J 2 d +d +d k +k +k m3 gl3 d1θ1 + d 2θ2 + k1θ1 + k2θ 2 θ3 + 1 2 2 3 θ3 + 1 2 2 3 θ3 + sin θ = 3 m3l3 + J 3 m3l3 + J 3 m3l32 + J 3 m3l3 2 + J 3 Drie varianten worden bekeken en zijn weergegeven in figuur 2.9. De totale massa’s en de totale massatraagheden zijn gelijk voor de drie varianten. In de eerste variant 3.1 worden drie homogene schijven gebruikt. Hierdoor is li = 0 en vervallen de niet-lineaire termen uit de bewegingsvergelijking. In de tweede variant 3.2 wordt li zo gekozen dat de bijdrage aan de massatraagheid van de excentriciteit gelijk is aan massatraagheid van de schijf zelf. In de derde variant 3.3 worden de schijven vervangen door slingers. De slingers bestaan uit puntmassa’s aan massaloze staven.
14
Figuur 2.9: Zijaanzicht van de drie varianten. Variant 3.1 bestaat uit een homogene schijf. Variant 3.2 bestaat uit een schijf met daarop een puntmassa. De laatste variant is een puntmassa aan een massaloze staaf.
In figuur 2.10 is ∆f, gemiddeld over het tijdsinterval (100 s -125 s) weergegeven tegen ω2/ω1. Gemiddeld frequentie verschil van 100 tot 125 sec simulatie tijd 0.25
gemiddeld frequentie verschil oscillator 1 en 2
variant 3.1 variant 3.2 variant 3.3 0.2
0.15
0.1
0.05
0 0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
relatieve frequentie oscillator (ω2/ω1)
Figuur 2.10: Gemiddeld frequentieverschil over het interval (100 s -125 s). In het gebied waar synchronisatie plaatsvindt gaat het frequentieverschil naar 0. Buiten dat gebied kunnen de oscillatoren geen eenduidige frequentie aannemen.
Het resultaat vertoont hetzelfde kenmerk als bij de twee voorgaande systemen. Dat wil zeggen dat de synchronisatie-bandbreedte kleiner wordt naarmate de niet-lineaire termen in de bewegingsvergelijking meer dominanter worden.
15
2.5 Volledig translerende opstelling Uit de simulatie van de eerste variant van de opstelling met de roterende schijven blijkt dat een lineair systeem synchronisatie vertoont. Hieruit kwam het idee om een volledig translerend model te maken. Het model bestaat uit een translerend platform (koppellichaam) met massa m3. Daarop staan twee translerende massa’s (m1 en m2 ) die de oscillatoren representeren. De massa’s worden met veren k1 en k2 en dempers d1 en d2 gekoppeld aan het koppellichaam. Het koppellichaam wordt ook nog met veer k3 en demper d3 gekoppeld aan de vaste wereld. In figuur 2.11 is een schematisch overzicht gegeven van het model. De beschrijvende bewegingsvergelijking van dit systeem (2.9) kan eenvoudig afgeleid worden uit een krachtendiagram. De enige niet-lineaire term die dit model nog bevat is het aandrijfmechanisme.
Figuur 2.11:
Volledig translerende opstelling waarbij de oscillerende massa’s via een veer en een demper gekoppeld zijn aan het koppellichaam. Het koppellichaam is met een veer en een demper gekoppeld aan de vaste wereld.
f + d x + k x d1 k x1 + 1 x1 = 1 1 3 1 3 m1 m1 m1 f + d 2 x3 + k2 x3 d k x2 + 2 x2 + 2 x2 = 2 m1 m1 m1 x1 +
x3 +
(2.9)
( d1 + d 2 + d3 ) x + ( k1 + k2 + k3 ) x m3
3
m3
3
=
d1 x1 + d 2 x2 + k1 x1 + k2 x2 m3
16
In figuur 2.10 is ∆f, gemiddeld over het tijdsinterval (100 s -125 s) weergegeven tegen ω2/ω1. Gemiddeld frequentie verschil van 100 tot 125 sec simulatie tijd 0.3
gemiddeld frequentie verschil oscillator 1 en 2
variant 4
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
relatieve frequentie oscillator 1/2
Figuur 2.12: Gemiddeld frequentieverschil over het interval (100 s-125 s). In het gebied waar synchronisatie plaatsvindt gaat het frequentieverschil naar 0; daarbuiten kunnen de oscillatoren geen eenduidige frequentie aannemen.
Het verkregen resultaat ligt in de lijn van de verwachtingen. Er ontstaat een relatief grote synchronisatie-bandbreedte.
17
2.6 Systeem keuze Alle vier de systemen met de bijbehorende varianten blijken te voldoen aan de in hoofdstuk 1 beschreven criteria voor synchronisatie. Opvallend is dat de door zwaartekracht gedreven varianten een kleinere synchronisatie-bandbreedte hebben als de meer lineaire varianten. De “volledig” lineaire systemen ( met uitzondering van de aandrijfterm) hebben de grootste bandbreedte wat ruimte geeft tot meer onderzoek geeft met betrekking tot de instellingen van de systeem parameters. De in de literatuur beschreven modellen bestaan doorgaans uit een translerend koppellichaam met daaraan een slingervormige oscillator. Dit resulteert in een niet-lineair systeem. Voor de vernieuwing van het onderzoek is het interessant om naar een volledig lineair model te kijken aangezien dit niet de algemene aanpak is. Uit de hierboven gegeven argumenten zou de keus op systeem 3, variant 3.1 of op systeem 4. Tenslotte moet de opstelling onder andere een demonstratieve functie vervullen. De keuze is gevallen op systeem 4 met de translerende massa’s, omdat roterende schijven moeilijker visualiseerbaar zijn dan translerende massa’s.
18
Hoofdstuk 3 : parameterisering Het schematische systeem (i.e. het lineair translerende systeem) is nu bekend. Om dit model om te kunnen zetten in een werkelijk instrument zal eerst gekeken worden welke systeemparameters een interessant onderzoeksgebied opleveren. Om deze parameters te bepalen zijn een aantal numerieke simulaties uitgevoerd. Er zal gekeken worden naar drie aspecten: (i) of er synchronisatie plaatsvindt, (ii) de tijdsduur waarna synchronisatie intreedt en (iii) het type synchronisatie (in- of anti-fase). Dit laatste aspect is een belangrijke eis uit de omschrijving van de opdracht.
3.1 Massaratio Voor het ontwerp van het instrument is de massaratio β (2.5) een belangrijke parameter. Uit voorgaande studies [Oud-06 ,Ben-02] blijkt dat β een aanzienlijke invloed heeft op de synchronisatiebandbreedte in niet-lineaire systemen. In figuur 3.1 is de invloed van β gegeven op de synchronisatiebandbreedte van het lineair translerende systeem.
Figuur 3.1 : Invloed van een verhouding in eigenfrequentie de tussen oscillatoren en de massaratio β. De synchronisatietijd is in kleur weergegeven. Beginconditie x1=0.025, x2=0, x3=0, v1=0, v2=0 , v3=0. De gebruikte parameters zijn β= variabel, ωo1=2π, ωo2=variabel ωk=π, ξo=0.01, ξk=0.707, ε=0.025 simulatietijd 200 sec. Positieve tijd staat voor in-fase synchronisatie. Negatieve tijd staat voor anti-fase synchronisatie
Naarmate β kleiner wordt, neemt de synchronisatiebandbreedte af. Een mogelijke verklaring hiervoor kan gezocht worden in de energieoverdracht. De correctie tussen de twee oscillatoren volgt uit de verplaatsing van het koppellichaam. Door de toename van de massa van het koppellichaam wordt de verplaatsing van het koppellichaam kleiner en hiermee de energie die de oscillatoren kunnen uitwisselen.
19
3.2 In-fase synchronisatie Oud [Oud-06] merkte op dat een in-fase synchronisatie realiseerbaar was door een relatief kleine β te gebruiken. Deze werd verkregen door het koppellichaam te verzwaren. Hierdoor nam de eigenfrequentie van het platform ωk af, gegeven dat de veerstijfheid constant gehouden werd. Deze aanpassingen stelde Oud in staat zijn metronomen in-fase te laten synchroniseren als de begincondities bijna in-fase gekozen werden. In deze paragraaf zullen de invloeden van drie parameters op het synchronisatiegedrag bestudeerd worden: begincondities, β, en ωk. In figuur 3.2 zijn β en de begincondities gevarieerd en is ωk constant gehouden.
Figuur 3.2: Synchronisatietijd afhankelijk van de begincondities en massaratio β . Beginconditie x1=0.025, x2=variabel, xk=0, v1=0, v2=0 , vk=0. De gebruikte parameters zijn β= variabel, ωo1=ωo2= 2π, ωk=π, ξo=0.01, ξk=0.7, ε=0.025, simulatie tijd 1000 sec. Positieve tijd staat voor in-fase synchronisatie. Negatieve tijd staat voor anti-fase synchronisatie. Om een beter contrast te creëren is bij alle positieve waarde 300 sec. opgeteld.
De eigenfrequenties van beide oscillatoren zijn gelijk gekozen. Hierdoor treedt er altijd synchronisatie op. De witte gaten in figuur 3.2 zijn ontstaan doordat de tijd tot synchronisatie langer is dan de gesimuleerde tijd. De verkregen resultaten zijn conform de theorie, waaruit naar voren komt dat voor in-fase synchronisatie een kleine β nodig is.
20
In figuur 3.3, worden de begincondities en ωk gevarieerd en wordt β op een reële constante waarde van 0.01 gehouden (zie §5.1).
Figuur 3.3: Synchronisatietijd afhankelijk van de begincondities en eigenfrequentie koppellichaam ωk . Positieve tijd staat voor in-fase synchronisatie. Negatieve tijd staat voor anti-fase synchronisatie. Beginconditie x1=0.025, x2=variabel, x3=0, v1=0, v2=0 , v3=0. De gebruikte parameters zijn β= 0.01, ωo1=ωo2= 1, ωk=variabel, ξo=0.01, ξk=0.7, ε=0.05, simulatie tijd 600 sec.
Het blauwe gebied in figuur 3.3 is het gebied van anti-fase synchronisatie. Het groene en rode gebied is in-fase synchronisatie. Door verlaging of verhoging van de eigenfrequentie van het platform neemt het gebied van in-fase synchronisatie aanzienlijk toe.
21
Tenslotte worden in figuur 3.4 de begincondities, β en ωk gevarieerd, waarbij β en ωk gekoppeld zijn door de veerstijfheid van het koppellichaam constant te houden. Deze veerstijfheid is zo gekozen dat ωk/ω1= 1 bij β = 0.1.
Figuur 3.4: Synchronisatietijd afhankelijk van de begincondities en ωk met β afhankelijk van ωk . Positieve tijd staat voor in-fase synchronisatie. Negatieve tijd staat voor anit-fase synchronisatie. Beginconditie x1=0.05, x2=variabel, x3=0, v1=0, v2=0 , v3=0. De gebruikte parameters zijn β= variabel, ωo1=ωo2= 2π, ωk=variabel, ξo=0.01, ξk=0.7, ε=0.05, simulatietijd 500 sec. Om een beter contrast te creëren is bij alle positieve waarde 100 sec. opgeteld en alle negatieve waarde 100 sec. afgetrokken.
Uit figuur 3.4 blijkt dat het koppelen van β en ωk door middel van de veerstijfheid geen probleem geeft om verschillende onderzoeksgebieden aan te spreken. In hoofdstuk 5 zal blijken dat dit constructief heel praktisch is.
22
3.3 ontwerp parameters Uit de simulaties blijkt dat het synchronisatiegedrag erg afhankelijk is van de systeemparameters β en ωk. Een grote bandbreedte (“grote β”) is interessant vanuit een fundamenteel en praktisch oogpunt. Een systeem met een grote bandbreedte heeft een grote stabiliteit bij een klein frequentieverschil tussen de oscillatoren. Hierdoor kan bijvoorbeeld de invloed van ruis op het echappement bestudeerd worden. Voor demonstratiedoeleinden is het van belang verschillende eigenschappen van synchronisatie goed visueel over te brengen. Een basisfrequentie van 1 Hz geeft een duidelijke visualisatie bij een amplitude van 20 mm. Tevens is een kleine β nodig (orde 1/100), om binnen een redelijk tijdsbestek (orde minuten) synchronisatie te laten optreden voor zowel in-, als anti-fase. In de hieronder gegeven tabel zijn de beoogde systeemparameters voor het instrument weergegeven. parameter
ontwerppunt
β 1/10 ωo 1 Hz ωk * 1 Hz amplitude 20 mm. * ωk is ook afhankelijk van β ** Bij kleine β *** Bij grote β
Werkgebied instrument Min max 1/10 1/100+ 0.8 Hz 1.2 Hz 0.1 Hz** 1.5 Hz*** 0 20 mm.
23
Hoofdstuk 4 : Gebruikte concepten In dit hoofdstuk zal de theorie achter de gebruikte concepten die in het instrument voorkomen besproken worden.
4.1 definities van vrijheidsgraden Het vastleggen van de positie van een star lichaam in de ruimte gebeurt met drie translaties en drie rotaties. Deze onafhankelijke coördinaten worden ook wel de vrijheidsgraden genoemd. In figuur 4.1 zijn deze vrijheidsgraden weergegeven. Elke verplaatsing en rotatie kan via deze zes vrijheidsgraden beschreven worden [Maxwell 1870]. In het instrument zullen enkel die vrijheidsgraden vrij zijn die nodig zijn voor synchronisatie. Dit resulteerde in een lineair translerend systeem dat bestaat uit twee oscillatoren en een koppellichaam met elk één vrije translatie. Die drie translaties lopen evenwijdig aan elkaar.
Figuur 4.1: De zes vrijheidsgraden.
4.2 Elastische elementen Voor de rechtgeleidingen in het instrument zal gebruik gemaakt worden van elastische elementen (b.v. bladveren). De werking van een elastische element berusten op het gegeven dat het element in de gewenste bewegingsrichting een veel lagere stijfheid heeft als in de ongewenste richtingen. Door deze elementen elastisch te deformeren ontstaan elastisch geleiding met de volgende voordelen hebben: • Geen wrijving: Wrijving is niet noodzakelijk voor synchronisatie en levert alleen een complexer dynamisch model op. Als de wrijving niet exact bekend is of verandert in de tijd kan dit onvoorspelbaar gedrag opleveren. • Geen slijtage: Slijtage zou het dynamisch gedrag van het systeem na verloop van tijd kunnen beïnvloeden wat de reproduceerbaarheid op de lange termijn kan aantasten. • Geen mechanische speling: Alle bewegingen zijn gecontroleerd en voorspelbaar. • Ongevoelig voor vervuiling: Elastische elementen zijn ongevoelig voor vervuiling door bijvoorbeeld stof. • Onderhoudsvrij: Als elastische elementen goed ontworpen zijn is hun levensduur zelfs niet beperkt door de vermoeiingsgrens van het materiaal. Een goed ontwerp zorgt ervoor dat de spanningen ruim onder deze grens blijven. Hierdoor kan een zeer lange levensduur worden gewaarborgd. • Beperkte stijfheid in de bewegingsrichting: De beperkte stijfheid in de bewegingsrichting is de veerstijfheid voor de frequenties van de oscillatoren en het koppellichaam.
24
Er zijn ook nadelen verbonden aan het gebruik van elastische elementen. Deze nadelen zijn onder andere : • Elastische elementen hebben een relatief lage knikgrens. Hierdoor is de maximale belasting op druk beperkt. • De aanwezigheid van de vloeigrens in het materiaal legt een beperking op aan de uitwijking. Deze nadelige effecten zijn constructief te minimaliseren.
4.3 Rechtgeleiding Voor het ontwerp van de oscillatoren en koppellichaam is een rechtgeleiding nodig waarbij alleen de x-richting ( figuur 2.12 ) vrij is. In de uitgebreide literatuur op het gebied van kinematica zijn verschillende mechanismen voor rechtgeleiding gegeven. De gekozen rechtgeleiding is hieronder nader toegelicht.
Rechtgeleiding oscillatoren De rechtgeleiding van de oscillatoren wordt gerealiseerd met een dubbelparallellogram.. Een dubbelparallellogram is opgebouwd uit twee enkele parallellogrammen. Het enkele parallellogram gegeven in figuur 4.2.A bestaat uit twee bladveren met daar tussen het translerende lichaam. De twee bladveren leggen ieder drie graden van vrijheid vast. Daarmee is de vrijheidsgraad φ (figuur 4.1) dubbel vastgelegd. Door een interne vrijheidsgraad in het lichaam te introduceren is dit mechanisme statisch bepaald. Bij een zeer kleine slag volgt het lichaam bijna een zuivere translatie. Een grotere verplaatsing leidt tot een zakking in de hoogte. Hiermee gedraagt een enkel parallellogram zich meer als een familieschommel dan als een rechtgeleiding. Bij een dubbel parallellogram worden twee enkele parallellogrammen geschakeld zoals in figuur 4.2B weergegeven. Het hulplichaam 1 maakt de halve uitwijking van de translerende oscillator: lichaam 2. Door deze twee lichamen met een 1 : 2 verhouding te koppelen met de vaste wereld maakt lichaam 2 altijd perfecte rechtlijnige beweging. Door de dubbele uitvoering kan de uitwijking en daarmee de buigbelasting van de bladveren gehalveerd worden bij gelijke lengte van de bladveren.
A
B
Figuur 4.2: A is een enkel parallellogram, B een dubbel parallellogram met hefboom
De zuivere translatie van lichaam 2 en de lagere belasting van de bladveren maken het dubbelparallellogram geschikt voor de oscillatoren. Door het grote gewicht van het koppellichaam bij kleine β is dit mechanisme ongeschikt voor rechtgeleiding van het koppellichaam. 25
Rechtgeleiding koppellichaam Voor het koppellichaam is een dubbel mechanisme van Watt genomen bestaande uit twee enkele mechanismen van Watt met daartussen het translerend lichaam. Een enkel Watt mechanisme is een hulplichaam, dat aan twee zijden gekoppeld is aan de vaste wereld via bladveren die in de tegenovergestelde richting staan (figuur 4.3A). Als dit mechanisme uit zijn positie wordt gebracht kantelt het hulplichaam waarbij het middelpunt een zuivere translatie beschrijft. Door een tussenlichaam te koppelen aan de rotatiepunten van twee van deze mechanismen, beschrijft het tussenlichaam een zuivere translatie. Dit dubbel Watt mechanisme is weergegeven in figuur 4.3B. In dit mechanisme wordt het gewicht gelijkmatig over de bladeren verdeeld. Hierdoor halveert de knikkracht op de onderste bladveren t.o.v. het dubbelparallellogram. Dit maakt een dubbel mechanisme van Watt geschikt is voor de rechtgeleiding van het koppellichaam. . Verdikte Bladveer
Bladveer
y x
Rotatiepunt
A
Translerend lichaam
B
Figuur 4.3: A is een enkel Watt mechanisme, B een dubbel Watt mechanisme [Veu-03]
26
4.4 Negatieve stijfheid Voor een voldoende hoge knikgrens, moeten de bladveren locaal verstijfd uitgevoerd worden, gelijkmatig dik maken resulteert in hoge veerstijfheid en eigenfrequentie. Om de eigenfrequentie in te stellen op de gewenste waarde, wordt een variabele hoeveelheid negatieve stijfheid aan het systeem toegevoegd. Bij negatieve stijfheid ondervindt een mechanisme een kracht van zijn neutraal positie af in de bewegingsrichting. Enkel in zijn neutrale positie is de kracht in de bewegingsrichting gelijk aan nul. Enkele voorbeelden van soortgelijke mechanismen zijn gegeven in figuur 4.4.
A
B
Figuur 4.4: In A staat de veer op druk. Als deze uit zijn horizontale positie wordt gehaald zal de veer kracht uit gaan uitoefenen in zijn bewegingsrichting. In B staan beide veren onder druk met hetzelfde resultaat als in A.
Door de druk op de veren in varianten A en B te veranderen kan de negatieve stijfheid gevarieerd worden. Om de eigenfrequenties in het systeem te variëren wordt negatieve stijfheid gecreëerd door een bladveer samen te drukken. tot een elastische knikvorm figuur 4.5b. Door de hoek α uit de figuur 4.5b te variëren is de negatieve stijfheid in te stellen tot maximaal figuur 4.5c. Door de goede instelbaarheid zal dit principe worden toegepast in het instrument.
Figuur 4.5: bladveer constructie met negatieve stijfheid [Ros-04]
27
Hoofdstuk 5 : Ontwerp 5.1 Massaverdeling De oscillatoren en het koppellichaam zijn translerende massa’s. Zoals uit hoofdstuk 3 bleek is een grote variatie van de parameter β wenselijk. Hiervoor kan zowel de massa van het koppellichaam en/of de massa van de oscillatoren aangepast worden. Het aanpassen van de massa van alleen het koppellichaam krijgt hier de voorkeur om de volgende redenen: • Bij de kleinste β hebben de oscillatoren hun minimale massa en het koppellichaam hun maximale massa. Door de massa van het koppellichaam lichter te maken wordt β verhoogd en de totale systeemmassa verlaagd. Door een verhoging van de massa van de oscillatoren kan β ook verhoogd worden, hierbij zal de totale systeemmassa stijgen. Om het instrument zo gebruiksvriendelijk mogelijk te houden bij het opzetten van een experiment of demonstratie, is een lage massa wenselijk. • Door alle krachten op één lijn te kunnen leggen om zo ongewenste momenten in het systeem te minimaliseren, zullen de oscillatoren in het koppellichaam verwerkt worden. Toevoeging van massa zal onhandig en tijdrovend worden. Voor het koppellichaam kan massa aan de buitenkant van het instrument worden toegevoegd wat een gemakkelijke toegankelijkheid heeft. • De massa van de oscillator hangt in bladveren waardoor een verhoging van de massa een lagere eigenfrequentie geeft. Dit zal gecompenseerd moeten worden om de eigenfrequentie gelijk te houden. Een massatoename van het koppellichaam betekent eveneens een verlaging van de eigenfrequentie, maar deze bleek juist wenselijk te zijn om het instrument in te kunnen stellen voor verschillende werkgebieden.
5.2 Meten en regelen Om het systeem te kunnen regelen zijn drie actuatoren nodig voor de drie vrijheidsgraden. Deze zijn uitgevoerd in de vorm van voicecoil actuatoren. Voicecoil actuatoren leggen een kracht op, maar geen positie. Door de stijfheid van de rechtgeleiding in de bewegingsrichting is het toch mogelijk de actuatoren naar een gewenste beginconditie te brengen. Hiervoor is wel een terugkoppeling van de positie naar de regelaar gewenst. De voicecoil actuatoren van de oscillatoren zijn aan het koppellichaam bevestigd, waardoor er geen directe invloed is op de rechtgeleding van het koppellichaam. De spoel van de voicecoil is aan het koppellichaam bevestigd, zodat de bedrading alleen de oversteek van het koppellichaam naar de vaste wereld hoeft te maken. Dit is gedaan om de dynamische invloeden van bedrading te minimaliseren. De voicecoil voor het koppellichaam bevindt zich aan de vaste wereld. De spoel is hierbij op de vaste wereld geplaatst. Voor de positiemeting is gebruik gemaakt van laser interferometer. Deze bevinden zich alle op vaste wereld zodat dit geen bedrading oplevert tussen de verschillende onderdelen en de vaste wereld. Om de positie van de oscillatoren te meten dienen de gemeten waarden gecompenseerd te worden met de positie van het koppellichaam. Een extra functie van de voicecoil actuatoren is de demping van het systeem. Deze demping is via de controller geregeld.
28
5.3 Ontwerp Oscillatoren Het ontwerp van de oscillator is opgesplitst in verschillende onderdelen.
5.3.1 Hulplichaam van de oscillator De massa van de oscillator bepaalt sterk de massa van het totale instrument. Elke besparing in massa van de oscillator levert een factor 10 op in massa besparing van het totale systeem. De rechtgeleiding van de oscillator (figuur 4.2) is opgebouwd uit twee lichamen. Het hulplichaam (lichaam 1) ondervindt niet alleen een horizontale translatie, maar ook een kleine verticale translatie. Door het hulplichaam zo licht mogelijk te construeren kan de invloed van de verticale translatie geminimaliseerd worden. De uitvoering van het hulplichaam is weergegeven in figuur 5.1. Het hulplichaam bestaat uit een dun-wandig U profiel waarvan de randen naar binnen zijn gevouwen voor weerstand tegen doorbuiging in de lengterichting (bewegingsrichting). In het profiel worden vier dwars profielen geplaatst waaraan de bladveren bevestigd worden. De dwars profielen zullen over de hele breedte van het U profiel lopen om stijfheid in de dwars richting te creëren. Het geheel zal uit aluminium vervaardigd worden en in het bovenvlak zullen gaten gemaakt worden voor gewichtsbesparing.
Figuur 5.1:Het voor-, zij-, en onderaanzicht van het hulplichaam
29
5.3.2 Hoofdlichaam van de oscillator Het hoofdlichaam van de oscillator ( lichaam 2 uit figuur 4.2 ) zal plaats bieden aan een drietal elementen: aandrijving, positie meting en negatieve stijfheid. Om de negatieve stijfheid te huisvesten is een minimale hoogte nodig. Deze hoogte zal bereikt worden door het geheel te huisvesten tussen twee aluminium platen gegeven in figuur 5.2. Deze zullen boven en onder op afstand gehouden worden door blokken waaraan de bladveer voor negatieve stijfheid gemonteerd wordt. In het midden zitten twee T-vormige blokken. De verticale streep van de T wordt breed uitgevoerd om de aluminium platen uit elkaar te houden. Aan de horizontale gedeelten zullen de bladveren voor de rechtgeleiding gemonteerd worden. In het midden van de opstaande aluminium platen zit een langwerpig slot voor een as die de hoek α van de bladveer kan verstellen om zo de negatieve stijfheid te variëren. Op ¼ en ¾ van de hoogte zijn bevestigingsgaten voor de magneet van de voicecoil voor aandrijving en een spiegel voor positiemeting met een laser interferometer. Door het aangrijpen van de voicecoil op ¼ van de hoogte zit deze in het midden tussen de bladveren van de rechtgeleiding. Hierdoor zullen de bladveren van de rechtgeleiding gelijke normaalkracht ondervinden.
B e ve s tig in g spieg e l p o sitie m e ting B la d ve e r v o o r n e ga tie ve stijfh e id B e ve stig in g b la d v e re n r ech tg eleid ing B e v e st iging m ag n e et v oic e c o il E le m e n t v o o r b e v e stig in g b la d ve e r ne g atie ve st ijfh e id
3 d ov e r z ic h t
T -v o rm ig elem en t
Figuur 5.2: Verschillende aanzichten van het hoofdlichaam van de oscillator met bladveer voor negatieve stijfheid Dit figuur is uitvergroot weergegeven in appendix D1.
30
5.3.3 Rechtgeleiding en bevestiging oscillatoren. De lichamen van de oscillatoren zullen via bladveren in een frame bevestigd worden (figuur 5.3). De bladveren van de rechtgeleiding worden uitgevoerd als twee smalle i.p.v. een brede. Hierdoor kunnen de bladveren dikker worden uitgevoerd wat resulteert in een hogere knikgrens en buigspanning. De verhoging van de buisspanning is geen probleem mits deze ruim onder de vloeigrens van het materiaal blijven. In de gecreëerde ruimte tussen de bladveren zullen de voicecoil en de 1:2 hefboom voor de rechtgeleiding geplaatst worden. Het frame waarin het de oscillator hangt zal naast de bladveren plaats bieden aan de bevestiging van de voicecoil, 1:2 hefboom, stelmechanisme negatieve stijfheid en een beveiliging tegen door zakking van de oscillator. De 1:2 hefboom bestaat uit een kruisveerscharnier met daaraan een staaf waaraan twee bladveren bevestigd zijn. De onderste bladveer is bevestigd aan het hoofdlichaam, de bovenste aan het hulplichaam. Voor de bevestiging aan het hulplichaam wordt op één van de dwarselementen van het hulplichaam een verhoging aangebracht om op 1:2 verhouding te komen. De bladveer naar de oscillator zal door een gat in deze verhoging naar een bevestigingselement van de negatieve stijfheid geleid worden. Het stelmechanisme voor de negatieve stijfheid is opengewerkt weergegeven in figuur 5.3. Op de stel-as wordt een tandwiel bevestigd dat via een wormwiel aangedreven wordt. Door het wormwiel van boven af te verdraaien kan nauwkeurig de hoek van de stel-as gevarieerd worden. Aan het ander uiteinde van de stel-as zit een opstaande as die dient als indicator voor de mate van negatieve stijfheid. Door de indicator tegen twee aanslagen aan te laten lopen bij maximale en minimale uitwijking wordt voorkomen dat de bladveer te ver getordeerd wordt.
Hoofdlichaam oscillator Stelmechanisme negatieve stijfheid Bladveer negatieve stijfheid Indicator negatieve stijfheid Frame oscillator Beveiliging zakking hoofdlichaam oscillator Bladveren rechtgeleiding Voicecoil Verhoging dwarselement hulplichaam
Hulplichaam oscillator
1:2 Hefboom
3d overzicht
Figuur 5.3: Verschillende aanzichten van de oscillator in het frame met alle elementen. Dit figuur is uitvergroot weergegeven in appendix D2.
31
5.4 Ontwerp koppellichaam en extra massa De belangrijkste functies van het koppellichaam zijn het onderbrengen van de oscillatoren en de extra massa. Als basis voor het koppellichaam is een standaard verkrijgbare aluminium balk genomen. De oscillatoren worden door aan de bovenkant in gefreesde gaten in de balk gebracht (zie figuur 5.4). Voor de regeling van de eigenfrequentie van het koppellichaam wordt gebruik gemaakt van het zelfde principe negatieve stijfheid als bij de oscillatoren. De gekromde bladveer wordt door gaten aan de onder- en bovenkant van de balk gestoken. Hierbij worden de uiteinde van de bladveer verbonden met de vaste wereld en de stel-as met het koppellichaam. De stel-as zal zich in het midden van het koppellichaam om de krachten zoveel mogelijk op dezelfde lijn te leggen. Om als vaak besproken β te variëren wordt aan het koppellichaam extra massa toegevoegd. De massa van het koppellichaam moet hiervoor minimaal met een factor tien te verhogen zijn. Om de belasting op het koppellichaam beperkt te houden zijn de extra massa zelfdragend uitgevoerd. De extra massa’s bestaan uit lange platen met de zelfde hoogte en lengte als het koppellichaam. Deze zijn in verschillende dikte en materiaal uitgevoerd om verschil in massa te krijgen. Door aan beide zijde gelijke massa’s te bevestigen worden momenten ten gevolge onevenredig verdeelde massa’s op de rechtgeleiding te voorkomen. Aan beide uiteinde van het koppellichaam wordt een bus ingeschoven waaraan het mechanisme van Watt is bevestigd, tevens dient deze bus om de balk extra torsie stijfheid te bieden. Aan een van de twee uiteinde is een beugel bevestigd om de voicecoil actuator te bevestigen zodat deze in het midden van de balk aangrijpt.
Figuur 5.4: Verschillende aanzichten van het koppellichaam. Dit figuur is uitvergroot weergegeven in appendix D3.
32
5.5 Stijfheden bladveren oscillatoren Voor de rechtgeleiding en de negatieve stijfheid wordt gebruik gemaakt van bladveren. De gezamenlijke stijfheid van de bladveren in de bewegingsrichting en de massa van de oscillatoren bepalen de eigenfrequenties van de oscillatoren. Bij het ontwerp van de bladveren is de stijfheid als vaste ontwerp parameter genomen. De variatie van het negatieve stijfheidmechanisme ten gevolge van de verandering van hoek α ( figuur 4.5 ) bepaalt het bereik van de eigenfrequenties van de oscillatoren. Het benodigde bereik is gegeven in § 3.3 en bedraagt ±20%. Door gebruik te maken formules (5.1 en 5.2 ) kan de minimale en maximale negatieve stijfheid bepaald worden. EI Cmin = 210 3 (5.1) l EI Cmax = 576 3 (5.2) l Hieruit volgend kan de stijfheid van de bladveren voor de rechtgeleiding bepaald worden. Er zijn verschillende type bladveren mogelijk: Bladveren met gelijke dikte of bladveren met locale verstijving. In tabel 5.1 zijn de verschillende type weer gegeven met de vergelijkingen voor de stijfheid, buigspanning en knikkracht. Breedte = b
u
h
Stijfheid Cxvoor u < 1 Buigspanning σψx Knikgrens Fk
12EI Ebh3 = 3 l3 l 3Ehu l2 4π 2 EI l2
(5.3) (5.5) (5.7)
72 EI Ebh3 1, 2 = 5l 3 l3 3Ehu l2 π 2 EI 36π 2 EI = l2 (l / 6) 2
(5.4) (5.6) (5.8)
Tabel 5.1: Bladveren met en zonder verstijfd middendeel [ROS-04]
De bladveren van de rechtgeleiding voor de oscillatoren zullen uitgevoerd worden met bladveren van constante dikte. Voor de koppellichaam zullen verdikte bladveren gebruikt worden, omdat deze een hogere knikgrens hebben. Uit figuur 5.4 en 5.5 blijk dat bij langere bladveren de buigspanning omlaag gaat. Het koppellichaam wordt gemaakt uit een standaard verkrijgbare aluminium balk. Omdat de oscillatoren in het koppellichaam vallen is deze zo groot mogelijk gekozen. Uit de MCB catalogus blijk dat de grootste standaard verkrijgbare balk aluminium 120x120 mm. De hieruit volgende afmetingen zijn gegeven in tabel 5.2.
33
8
2.4
x 10
Buigspanning afhankelijk van de lengte van de bladveren van de oscillatoren
2.2
2
1.8
[Pa] σ buig
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4 0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
lengte [m]
Figuur 5.4: Buigspanning afhankelijk van de lengte van de bladveren van de oscillatoren. breedte bladveren 2x10 mm, gebruikte materiaal is verenstaal 8
2.2
x 10
Buigspanning afhankelijk van de lengte van de bladveren van het koppellichaam
2
1.8
[Pa] σ buig
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4 0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
lengte [m]
Figuur 5.5: Buigspanning afhankelijk van de lengte van de bladveren van het koppellichaam. breedte bladveren 70 mm, gebruikte materiaal is verenstaal
Onderdeel Bladveren oscillator Bladveer negatieve stijfheid oscillator Oscillator incl frame Gewicht oscillator Bladveren koppellichaam Bladveer negatieve stijfheid oscillator Koppellichaam Gewicht Koppellichaam
Lengte 90 mm. 200 mm.
Breedte 2x10 mm. 10 mm.
Hoogte/dikte 0.16 mm. 0.20 mm.
216 mm. 0.45 Kg. 150 mm. 300 mm.
105 mm.
200 mm.
70 mm. 10 mm.
0.25 mm. 0.40 mm.
120 mm.
300 mm.
950 mm. 4.1 Kg
Tabel 5.2: Afmetingen bladveren en instrument
34
5.6 3D-Overzicht
figuur 5.5: 3D overzicht totale systeem zonder frame. Dit figuur is uitvergroot weergegeven in appendix D4.
35
Hoofdstuk 6 : Conclusie en aanbevelingen 6.1 Conclusie In dit werk is gekeken naar synchronisatie van twee oscillatoren gekoppeld via een zwakke koppeling. De zwakke koppeling verzorgt hierbij energie-overdracht aan de oscillatoren, maar legt geen fase vast. Door demping in de koppeling worden ongewenste frequenties uit het systeem gefilterd. Vervolgens kan synchronisatie plaatsvinden als er genoeg energieoverdracht is om het frequentieverschil tussen de oscillatoren te corrigeren. Om het geheel zo eenvoudig mogelijk te houden is er gekeken naar vier verschillende systemen. Van deze vier systemen zijn verschillende varianten gesimuleerd waarbij invloeden van de zwaartekracht gevarieerd worden. Hieruit blijkt dat het maximaal te synchroniseren frequentieverschil tussen de oscillatoren kleiner wordt naar mate de niet-lineaire termen in de bewegingsvergelijking dominanter worden. In de bekende literatuur wordt bij dit type synchronisatie altijd niet-lineaire systemen gebruikt. Voor de eenvoud en de vernieuwing van het onderzoek is voor een lineair translerend systeem gekozen. Om dit model om te kunnen zetten in een werkelijk instrument is eerst gekeken welke systeemparameters een interessant onderzoeksgebied opleveren. Uit de simulaties blijkt dat het synchronisatiegedrag sterk afhankelijk is van de massaratio β en de relatieve eigenfrequentie van het koppellichaam ωk/ω. Om grote frequentieverschillen tussen de oscillatoren te kunnen synchroniseren is een β van orde 1/10 en ωk/ω tussen de 0.5→1.2 nodig. Voor een stabiele in-fase synchronisatie is een kleine β van 1/100+ en lage ωk in de orde van 0.1 nodig. Bij deze waarde bepalen de begincondities of er in-fase dan wel anti-fase synchronisatie optreedt. Deze twee gebieden kunnen beide door enkel de aanpassing van de massa van het platform bereikt worden. De uiteindelijke ontwerpparameters zijn in onderstaande tabel weergegeven. parameter
ontwerppunt
β 1/10 ωo 1 Hz ωk * 1 Hz amplitude 20 mm. * ωk is ook afhankelijk van β ** Bij kleine β *** Bij grote β
Werkgebied instrument Min max 1/10 1/100+ 0.8 Hz 1.2 Hz 0.1 Hz** 1.5 Hz*** 0 20 mm.
Voor de oscillatoren is een dubbel parallellogram gebruikt als rechtgeleiding die in het koppellichaam valt. Om de frequentie te regelen wordt gebruikgemaakt van instelbare negatieve stijfheid. Dit mechanisme zal boven het koppellichaam uitsteken om de beweging te visualiseren. Het koppellichaam wordt opgehangen in een dubbel mechanisme van Watt. Voor de instelbaarheid wordt het zelfde mechanisme gebruikt. Bij de gekozen amplitude en wenselijke eigenfrequentie heeft het systeem de volgende afmetingen en gewicht gekregen. Oscillator incl. frame Koppellichaam
206x105x200 mm. 900x120x300 mm.
450 gram. 4.1 kg. (min ) →45 kg (max)
36
Het uiteindelijk 3d model omvat alle benodigde componenten voor het instrument. Niet alle elementen zijn al in detail uitgewerkt en hier zal nader aandacht aan moeten gegeven worden. In de aanbevelingen zijn deze onderdelen benoemd. Om deze reden kan dit ontwerp gezien worden als een conceptontwerp.
6.2 Aanbevelingen Zoals uit de conclusie al bleek is het ontwerp nog niet volledig. Een aantal elementen dienen nog verder uitgewerkt te worden. Dit zijn de volgende onderdelen: • 1:2 hefboom rechtgeleiding oscillatoren • Type voicecoil actuator • Koppeling dubbel mechanisme van Watt aan het koppellichaam. • Stelmechanisme negatieve stijfheid • Voor het koppellichaam uitgebreide sterkteberekeningen met extra toegevoegde massa • Eigenfrequentie berekeningen voor het instrument. • Ontwerp frame voor het instrument. In het huidige instrument hebben de oscillatoren een amplitude van 20 mm. Mogelijk is het verstandig deze amplitude te verkleinen waardoor het hele systeem kleiner wordt en daarmee ook veel lichter. In dit ontwerp zijn de oscillatoren gemaakt van aluminium; mogelijk dat enkele onderdelen uit kunststof vervaardigd kunnen worden om gewicht te besparen. Als extra bescherming van de rechtgeleiding in ontgrendelde toestand kan een extra geleidingsrail onder het koppellichaam aangebracht worden. Hierdoor kan het koppellichaam niet meer als de speetafstand zakken door onverwachte belasting. Om het systeem tijdens demonstratie interessanter te maken kan geluid worden toegevoegd aan het systeem. De frequentie van de oscillatoren bepalen dan de toon hoogte. Als de oscillatoren gesynchroniseerd zijn is er nog maar een toonhoogte te horen.
37
Literatuurlijst [Kra-01]
de Kraker, B., van Campen, D.H. (2001), Mechanical vibrations,Shaker Publishing BV
[Pik-01]
Pikovsky, A., Rosenblum, M & Kurths, J. (2001) , Synchronization, Cambridge University Press.
[Ben-02]
Bennet, M., Schatz, M., Rockwood, H. & Wiesenfeld, K. (2002), ‘Huygens’s clocks’, Proc. R. Soc. Lond. A 458(2019), 563-579
[Pol-02]
P.H.H. Leijendeckers, J.B. Fortuin, Frans van Herwijnen, Polytechnisch zakboekje, Elsevier Bedrijfsinformatie, Arnhem, 2002, 49e editie
[Veu-03]
Veugen, R.A., (2003), Design of a guiding mechanism with flexures for a Darwin Optical Delay Line, report master thesis project PE2003-119, Technische Universiteit Eindhoven
[Ros-04]
Rosielle, P.C.J.N. & Reker, E.A.G. Reker (2004), Constructieprincipes 1, Technische Universiteit Eindhoven. Lecture notes.
[Oud-06]
Oud, W.T., (2006), Design and experimental results of synchronizing metronomes inspired by Christiaan Huygen, report master thesis project DCT 2006.20, Technische Universiteit Eindhoven
internet www.matweb.com
38
A.1 : Afleiding translerende slingers q T = [θ1 θ 2
x]
T ( q, q ) = 12 m1r1 ⋅ r1 + 12 m2 r2 ⋅ r2 + 12 Mr3 ⋅ r3 r1 = ( x + l1 sin θ1 ) ⋅ e1 − ( l1 cos θ1 ) ⋅ e2 r2 = ( x + l2 sin θ 2 ) ⋅ e1 − ( l2 cos θ 2 ) ⋅ e2 r3 = x ⋅ e1
( ) ( ) r = ( x ⋅ +l θ cos θ ) ⋅ e + ( l θ sin θ ) ⋅ e r1 = x ⋅ +l1θ1 cos θ1 ⋅ e1 + l1θ1 sin θ1 ⋅ e2 2
2 2
2
1
2 2
2
2
r3 = x ⋅ e1
(
T ( q, q ) = 12 m1 x 2 + 2l1 xθ1 cos θ1 + l12θ12 cos 2 θ1 + l12θ12 sin 2 θ1
(
)
)
+ 12 m2 x 2 + 2l2 xθ2 cos θ 2 + l2 2θ2 2 cos 2 θ 2 + l2 2θ2 2 sin 2 θ 2 + 12 Mx 2
(
)
(
)
T ( q, q ) = 12 m1 x 2 + 2l1 xθ1 cos θ1 + l12θ12 + 12 m2 x 2 + 2l2 xθ2 cos θ 2 + l2 2θ2 2 + 12 Mx 2 V ( q, q ) = m1 gl1 (1 − cos θ1 ) + m2 gl2 (1 − cos θ 2 ) + 12 k1θ12 + 12 k2θ 2 2 + 12 k3 x 2 f1 − d1θ1 Q nc = f 2 − d 2θ2 f3 − d3 x
T
(T , ) q
d T , q dt
m1l1 x cos θ1 + m1l12θ1 2 = m2l2 x cos θ 2 + m2l2 θ 2 m1 x + m1l1θ1 cos θ1 + m2 x + m2l2θ2 cos θ 2 + Mx
T
( )
T
(T , ) q
m1l1 x cos θ1 − m1l1 xθ1 sin θ1 + m1l12θ1 2 m2l2 x cos θ 2 − m2l2 xθ 2 sin θ 2 + m2l2 θ 2 = cos θ − m l θ 2 sin θ + m cos θ − m l θ 2 sin θ + Mx m1 θ θ x + m l x + m l 11 1 1 11 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
− m1l1 xθ1 sin θ1 = − m2l2 xθ2 sin θ 2 0
39
T
(V , ) q
k1θ1 + m1 gl1 sin θ1 = k2θ 2 + m2 gl2 sin θ 2 k3 x
Lagrange d ∂T ∂T ∂V − + = Q nc dt ∂q ∂q ∂q
T
( )
f1 − d1θ1 m1l1 x cos θ1 − m1l1 xθ1 sin θ1 + m1l12θ1 + m1l1 xθ1 sin θ1 + k1θ1 + m1 gl1 sin θ1 x cos θ 2 − m2l2 xθ2 sin θ 2 + m2l2 2θ2 + m2l2 xθ2 sin θ 2 + k2θ 2 + m2 gl2 sin θ 2 = f 2 − d 2θ2 m2l2 2 m1 x + m2l2θ2 cos θ 2 − m2l2θ2 2 sin θ 2 + Mx + k3 x f3 − d 3 x x + m1l1θ1 cos θ1 − m1l1θ1 sin θ1 + m2 M t = M + m1 + m2 m l 2θ + m gl sin θ + k θ + m l cos θ f 1 1 1 1 1 11 1 x + d1θ1 121 1 1 x + d 2θ 2 = f 2 m2l2 θ 2 + m2 gl2 sin θ 2 + k2θ 2 + m2l2 cos θ 2 f 2 M t x + d 3 x + k3 x + ∑ mi li θi cos θi − θi 2 sin θi 3 i =1
(
)
mi li 2 = J i d1 g k1 1 1 f1 + cos θ1 x θ1 + θ1 + sin θ1 + θ1 J l J J l 1 1 1 1 1 d 2 g k2 1 1 f 2 + cos θ 2 x θ 2 + θ 2 + sin θ 2 + θ 2 = J2 l2 J2 J2 l2 2 1 d k ml x + 3 x + 3 x f 3 + ∑ i i θi cos θi − θi 2 sin θi Mt Mt i =1 M t M t
(
)
40
A.2 : Afleiding roterend koppellichaam gegeneraliseerde coordinaten q = [θ1 ,θ 2 ,θ C ] Lagrange d T ,q ) − (T ,q ) + (V ,q ) = Q nc ( dt Ti = 12 m1r1 ⋅ r1 + 12 J1θ12 T = 1 m r ⋅ r + 1 J θ 2 i
2
2 2
2
Tc = 12 J CθC
2
2 2
2
− R sin θ1 − A sin θC r1 ( q ) = 1 R1 cos θ1 + A cos θC R sin θ 2 + A sin θC r2 ( q ) = 2 − R2 cos θ 2 − A cos θC − R1θ1 cos θ1 − AθC cos θC r1 ( q ) = − R1θ1 sin θ1 − Aθ C sin θ C R θ cos θ 2 + AθC cos θC r2 ( q ) = 2 2 R2θ 2 sin θ 2 + Aθ C sin θC r1 ⋅ r1 = R12θ12 + A2θC 2 + 2 AR1θ1θC cos θ i cos θ C + 2 AR1θ1θC sin θ1 sin θC r ⋅ r = R 2θ 2 + A2θ 2 + 2 AR θ θ cos (θ − θ ) 1
1
1
1
C
1 1 C
1
C
r2 ⋅ r2 = R2 2θ2 2 + A2θC 2 + 2 AR2θ2θC cos (θ 2 − θC )
( m (R
)
T1 = 12 m1 R12θ12 + A2θC 2 + 2 AR1θ1θC cos (θ1 − θC ) + 12 J1θ12 + 12 J CθC 2 T2 =
1 2
2
2
θ2 2 + A2θC 2 + 2 AR2θ2θC cos (θ 2 − θC ) ) + 12 J 2θ2 2 + 12 J CθC 2
2
Tc = 12 J CθC 2 T = T1 + T2 + TC
41
( (
) )
m1 R`12θ1 + AR1θC cos (θi − θ C ) + J1θ1 m2 R2 2θi + AR2θC cos (θ 2 − θ C ) + J 2θ2 (T ,q ) = 2 2 m1 A θC + AR1θ1 cos (θ1 − θ C ) + m2 A θC + AR2θ 2 cos (θ 2 − θ C ) + J Cθ C
(
)
(
)
m R 2θ + AR θ cos (θ − θ ) − AR θ θ sin (θ − θ ) + AR θ 2 sin (θ − θ ) + J θ C C C 1 1 1 1 C 1 1 1 C 1 1 C 1 1 1 d 2 2 (Ti ,q ) = m2 R2 θ1 + AR2θC cos (θ2 − θC ) − AR2θ2θC sin (θ2 − θC ) + AR2θC sin (θ2 − θC ) + J 2θ2 dt 2 2 m1 A θ1 + AR1θ1 cos (θ1 − θC ) + AR1θ1θ C sin (θ1 − θ C ) − AR1θ1 sin (θ1 − θ C ) + 2 2 m2 A θ 2 + AR2θ 2 cos (θ 2 − θC ) + AR2θ 2θ C sin (θ 2 − θC ) − AR2θ 2 sin (θ 2 − θC ) + J CθC
(
)
( ( (
)
)
)
− m1 AR1θ1θC sin (θ1 − θC ) − m2 AR2θ2θC sin (θ 2 − θ C ) (Ti ,q ) = m1 AR1θ1θC sin (θ1 − θC ) + m1 AR1θ1θC sin (θ1 − θ C ) 2
2
V = 12 k1 (θ1 − θ C ) + 12 k2 (θ 2 − θ C ) + 12 kCθ C 2 + m1 g ( R1 cos θ1 + A cos θC ) + m2 g ( R2 cos θ 2 + A cos θ C ) k1 (θ1 − θC ) + m1 gR1 sin θ1 k2 (θ 2 − θC ) + m2 gR2 sin θ 2 (V ,q ) = k1 (θ C − θ1 ) + k2 (θ C − θ 2 ) + kCθ C + ( m1 + m2 ) gA sin θC
( (
) )
− d1 θ1 − θC + f1 Q nc = −d 2 θ2 − θC + f 2 −d θ − θ − d θ − θ − d θ + f 2 C 2 C C C 1 C 1
(
)
(
)
(
)
1) m1 R12θ1 + AR1θC cos (θ1 − θC ) − AR1θ1θC sin (θ1 − θC ) + AR1θC 2 sin (θ1 − θ C ) + J1θ1 +
(
)
m1 AR1θ1θC sin (θ1 − θ C ) + k1 (θ1 − θ C ) + m1 gR1 sin θ1 = − d1 θ1 − θC + f1
1)
2)
(m R
2 1 1
+ J1 )θ1 + m1 AR1θC cos (θ1 − θ C ) + m1 AR1θC 2 sin (θ1 − θ C ) +
(
)
k1 (θ1 − θC ) + m1 gR1 sin θ1 + d1 θ1 − θC = f1
(m R 2
2
2
+ J 2 )θ2 + m2 AR2θC cos (θ 2 − θ C ) + m2 AR2θC 2 sin (θ 2 − θ C ) +
(
)
k2 (θ 2 − θC ) + m2 gR2 sin θ 2 + d 2 θ2 − θC = f 2
42
( m ( A θ + AR θ cos (θ
)
m1 A2θ1 + AR1θ1 cos (θ1 − θC ) + AR1θ1θC sin (θ1 − θC ) − AR1θ12 sin (θ1 − θC ) + 2
c)
2
2
2 2
2
)
− θC ) + AR2θ2θC sin (θ 2 − θC ) − AR2θ2 2 sin (θ 2 − θC ) + J CθC −
m1 AR1θ1θC sin (θ1 − θC ) − m1 AR1θ1θC sin (θ1 − θC ) + k1 (θC − θ1 ) + k2 (θC − θ 2 ) + kCθC +
( m1 + m2 ) gA sin θC = −d1 (θC − θ1 ) − d 2 (θC − θ2 ) − dCθC + fC
( m ( A θ + AR θ cos (θ
)
(
)
m1 A2θ1 + AR1θ1 cos (θ1 − θC ) − AR1θ12 sin (θ1 − θC ) + d1 θC − θ1 + k1 (θC − θ1 ) +
c)
2
2
2
2 2
2
)
(
)
− θC ) − AR2θ2 2 sin (θ 2 − θC ) + d 2 θC − θ2 + k2 (θC − θ 2 ) +
( m1 + m2 ) gA sin θC + J CθC + dCθC + kCθC =
fC
43
A.3 : Afleiding roterende schijven q T = [θ1 θ 2 θ3 ] T ( q, q ) = 12 m1r1 ⋅ r1 + 12 m2 r2 ⋅ r2 + 12 m3 r3 ⋅ r3 + 12 J1θ12 + 12 J 2θ2 2 + 12 J 3θ32 r1 = ( l1 sin θ1 ) ⋅ e1 − ( l1 cos θ1 ) ⋅ e2 r2 = ( l2 sin θ 2 ) ⋅ e1 − ( l2 cos θ 2 ) ⋅ e2 r3 = ( l3 sin θ3 ) ⋅ e1 − ( l3 cos θ3 ) ⋅ e2
( ) ( ) r = ( l θ cos θ ) ⋅ e + ( l θ sin θ ) ⋅ e r = ( l θ cos θ ) ⋅ e + ( l θ sin θ ) ⋅ e r1 = l1θ1 cos θ1 ⋅ e1 + l1θ1 sin θ1 ⋅ e2 2
2 2
2
1
2 2
3
3 3
3
1
3 3
2
2
3
2
(
T ( q, q ) = 12 m1 2l1θ1 cos θ1 + l12θ12 cos 2 θ1 + l12θ12 sin 2 θ1
( m ( 2l θ cos θ
+ 12 m2 2l2θ2 cos θ 2 + l2 2θ2 2 cos 2 θ 2 + l2 2θ2 2 sin 2 θ 2 + 12
3
3 3
3
+ l3 2θ32 cos 2 θ3 + l32θ3 2 sin 2 θ3
(
)
)
)
)
(
T ( q, q ) = 12 m1 2l1θ1 cos θ1 + l12θ12 + 12 m2 2l2θ2 cos θ 2 + l2 2θ2 2
(
)
)
+ 12 m3 2l3θ3 cos θ3 + l3 2θ32 + 12 J1θ12 + 12 J 2θ2 2 + 12 J 3θ3 2 V ( q, q ) = m1 gl1 (1 − cos θ1 ) + m2 gl2 (1 − cos θ 2 ) + m3 gl3 (1 − cos θ3 ) 2
2
+ 12 k1 (θ1 − θ3 ) + 12 k2 (θ 2 − θ3 ) + 12 k3θ32
( (
) )
f1 − d1 θ1 − θ3 Q nc = f 2 − d 2 θ2 − θ3 f − d θ − d θ − θ − d θ − θ 3 3 1 3 1 2 3 2 3
(
)
(
)
Lagrange d ∂T ∂T ∂V − + = Q nc dt ∂q ∂q ∂q
T
( )
44
T
(T , ) q
d T , q dt
m1l1 cos θ1 + m1l12θ1 + J1θ1 = m2l2 cos θ 2 + m2l2 2θ2 + J 2θ2 m3l3 cos θ3 + m3l32θ3 + J 3θ3
T
( )
T
(T , ) q
T
(V , ) q
−m1l1θ1 sin θ1 + m1l12θ1 + J1θ1 = − m2l2θ2 sin θ 2 + m2l2 2θ2 + J 2θ2 − m3l3θ3 sin θ 3 + m3l32θ3 + J 3θ3
− m1l1θ1 sin θ1 = − m2l2θ2 sin θ 2 − m3l3θ3 sin θ 3 m1 gl1 sin θ1 + k1 (θ1 − θ3 ) m2 gl2 sin θ 2 + k2 (θ 2 − θ 3 ) = m3 gl3 sin θ3 + k1 (θ3 − θ1 ) + k 2 (θ3 − θ 2 ) + k3θ3
f1 − d1 θ1 − θ 3 2 −m1l1θ1 sin θ1 + m1l1 θ1 + J1θ1 + m1l1θ1 sin θ1 + m1 gl1 sin θ1 + k1 (θ1 − θ 3 ) − m l θ sin θ + m l 2θ + J θ + m l θ sin θ + m gl sin θ + k (θ − θ ) = − θ θ f − d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 22 2 f − d θ − d θ − θ − −m3l3θ3 sin θ3 + m3l32θ3 + J 3θ3 + m3l3θ3 sin θ3 + m3 gl3 sin θ 3 + 3 3 1 3 1 3 θ θ θ θ θ k − + k − + k ( ) ( ) 1 3 1 2 3 2 3 3 d θ − θ 2 3 2
( (
) )
)
(
(
)
( m1l12 + J1 ) θ1 + m1 gl1 sin θ1 + k1 (θ1 − θ3 ) + d1 θ1 − θ3 f1 2 ( m2l2 + J 2 ) θ2 + m2 gl2 sin θ 2 + k2 (θ 2 − θ3 ) + d 2 θ2 − θ3 = f 2 2 ( m l + J )θ + m gl sin θ + k (θ − θ ) + k (θ − θ ) + f3 3 3 3 3 3 1 3 1 2 3 2 33 k θ + d θ + d θ − θ + d θ − θ 3 3 1 3 1 2 3 2 3 3
(
)
(
(
)
(
)
)
45
B.1 : De eigenfrequentie van een slinger Een slinger gedreven door zwaartekracht geeft geen constante eigenfrequentie. Dit af te leiden aan de hand van de dynamica van een slinger k g
l
m Θ Figuur B.1 : Schematische weergaven van een slinger
k J
θ + θ +
g sin θ = 0 l
(1.1)
Differentiaalvergelijking (1.1) beschrijft de slinger uit figuur B.1. Hierin is zowel de zwaartekracht als een lineaire torsieveer in het rotatiepunt meegenomen. De complete afleiding is te vinden in appendix B.2 De massatraagheid J van de slinger is beschreven als een puntmassa aan een massaloze staaf. Er worden nu twee gevallen bekeken : het eerste is met de eigenfrequentie bepaald door de zwaartekracht waarbij de torsieveer wordt verwaarloosd. In de tweede situatie wordt de slinger horizontaal geplaatst en vervalt de invloed van de zwaartekracht, en wordt de eigenfrequentie bepaalt door de torsieveer. De eigenfrequentie is uit het standaard dynamisch model af te leiden gegeven door formule (1.2)
x + ωn 2 x = 0
(1.2)
Situatie 1 met zwaartekracht
ωn 2θ =
g sin θ l
ωn =
g sin θ lθ
(1.3)
Bij kleine uitwijkingen kan sin θ gelineariseerd worden naar θ. En dan wordt de g eigenfrequentie ωn = . Als dit niet gedaan wordt is de eigenfrequentie een functie van θ l
Situatie 2 met torsieveer k J
ωn 2θ = θ ωn =
k J
(1.4)
Nu is de eigenfrequentie onafhankelijk van θ.
46
B.2 : Afleiding slinger vergelijking. q =θ T ( q, q ) = 12 mr ⋅ r r = ( l sin θ ) ⋅ e1 − ( l1 cos θ1 ) ⋅ e2
(
)
(
)
r = lθ cos θ ⋅ e1 + lθ sin θ ⋅ e2
(
T ( q, q ) = 12 m 2lθ cos θ + l 2θ 2 cos 2 θ + l 2θ 2 sin 2 θ
)
T ( q, q ) = mlθ cos θ + 12 ml 2θ 2 V ( q, q ) = mgl (1 − cos θ ) + 12 kθ 2 Q nc = 0 T
(T , ) = ml cos θ + ml θ d (T , ) = −mlθ sin θ + ml θ dt (T , ) = −mlθ sin θ (V , ) = kθ + mgl sin θ 2
q
T
2
q
T
q
T
q
Lagrange d ∂T ∂T ∂V − + = Q nc dt ∂q ∂q ∂q
T
( )
− mlθ sin θ + ml 2θ + mlθ sin θ + kθ + mgl sin θ = 0 ml 2θ + kθ + mgl sin θ = 0 k J
θ + θ1 +
g sin θ = 0 l
47
C1 :Voorbeeld van een opstellingen met roterend koppellichaam.
Figuur C.1 : Opstelling bestaande uit roterend koppellichaam en twee roterende oscillatoren. In geel zijn de oscillatoren gegeven waarop excentrisch massa’s geplaatst kunnen worden. In blauw de elektromotoren met daarop in groen de encoders. In horizontale opstelling is er nog een torsieveer nodig tussen de oscillatoren en het koppellichaam.
Figuur C.2 : Opstelling bestaande uit roterend koppellichaam en zes roterende oscillatoren. De opstelling is nu met vier extra oscillatoren uitgebreid voor eventueel onderzoek naar het effect van meerdere oscillatoren.
48
C2 :Voorbeeld van een opstellingen met alle rotaties om één as.
Figuur C.4 : Opstelling bestaande uit roterend koppellichaam en zes roterende oscillatoren. In geel zijn de oscillatoren gegeven waarop excentrische massa’s geplaatst kunnen worden. In blauw de elektromotoren met daarom in groen de encoders. De grijze schijf representeert het koppellichaam waar eventueel extra massa aan toegevoegd kan worden. De blauwe as is verbonden met het koppellichaam en zal via torsieveren aan de gele oscillatoren gekoppeld worden. Door torsieveren te ontkoppelen kunnen oscillatoren in of uitgeschakeld worden.
Figuur C.2 : Zij aanzicht van de opstelling.
49
D1 : Uitvergroting hoofdlichaam oscillator.
50
D2 : Uitvergroting oscillator in frame.
51
D3 : Uitvergroting koppellichaam.
52
D4 : Uitvergroting 3D totaal overzicht.
53
