11.+12. přednáška Některé aplikace derivací. 1.Věta o aproximaci funkce Nechť f je libovolná funkce,která má v nějakém okolí bodu x0 derivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x0 ve tvaru n
Tn ( x) = å j =0
f ( j ) ( x0 ) ( x - x0 ) j . j!
Poznámka: Polynom Tn(x) se nazývá Taylorův polynom n-tého řádu funkce f v bodě x0 . Velmi často používáme Taylorův polynom funkce f v bodě 0. Z historických důvodů mu říkáme Maclaurinův polynom. 2. Rovnice tečny a normály ke grafu funkce 3. Věta o monotónnosti funkce 4. Vyšetřování průběhu funkce EXTRÉMY FUNKCE Pro mnohé vědní obory je důležité rozhodnout, pro které hodnoty nezávisle proměnné veličiny nabývá daná funkce extrémů tj. maximální resp. minimální hodnoty. Budeme rozlišovat extrémy buď v okolí určitého bodu - lokální extrémy - nebo v celém definičním oboru - globální extrémy. Funkce f má v čísle x0 lokální maximum, existuje-li okolí čísla x0 tak, že "x ÎU d ( x0 ) je f ( x ) £ f ( x0 ) ,
Funkce f má v čísle x0 lokální minimum, existuje-li okolí čísla x0 tak, že "x ÎU d ( x0 ) je f ( x ) ³ f ( x0 ) . Platí-li v uvedených nerovnostech jen znaménko nerovnosti, hovoříme o ostrém lokálním maximu f ( x ) < f ( x0 ) resp. ostrém lokálním minimu f ( x ) > f ( x0 ) . Souhrnný název pro lokální maximum a lokální minimum je lokální extrémy. Fermatova věta: nutná podmínka existence lokálního extrému Má-li funkce f v čísle x0 lokální extrém a existuje-li f ¢( x0 ) , pak f ¢( x0 ) = 0 .
1
Poznámka: Protože uvedená podmínka je jen podmínkou nutnou, může se stát, že f ¢( x0 ) = 0 , avšak funkce v tomto bodě extrém nemá.Věta opačná neplatí! 1. postačující podmínka pro existenci lokálního extrému : Mění-li 1.derivace znaménko v okolí stacionárního bodu nebo bodu, v němž neexistuje derivace, potom v tomto bodě nastává extrém. Metoda vyšetřování lok.extrémů: 1. Najdeme všechny stacionární body dané funkce a body,v nichž neexistuje derivace. 2. Vyšetříme, zda v okolí těchto bodů 1.derivace mění znaménko; mění-li znaménko z (+) na (-) Þ bod lok. maxima mění-li znaménko z (-) na (+) Þ bod lok. minima Vyšetřování lok. extrémů pomocí 2. derivace Věta: 2. postačující podmínka pro existenci extrému Nechť f ¢( x0 ) = 0 a nechť existuje f ¢¢( x0 ) . Potom je-li f ¢¢( x0 ) > 0 , má funkce v x0 lokální minimum, je-li f ¢¢( x0 ) < 0 , má funkce v x0 lokální maximum. Poznámka: Je-li f ¢¢( x0 ) = 0, větu nelze použít. Věta: Nechť f ¢( x0 ) = f ¢¢( x0 ) = ××× = f ( n -1) ( x0 ) = 0 a f ( n ) ( x0 ) ¹ 0 , je-li n sudé, v bodě x0 je lokální extrém, a to lokální.minimum, je-li f ( n ) ( x0 ) >0, lokální maximum, je-li f ( n ) ( x0 ) <0, je-li n liché , v bodě x0 není lokální extrém.
Shrnutí: Pokud má daná diferencovatelná funkce nějaký lokální extrém (lokální maximum či minimum), je zřejmé, že její tečna v tomto bodě musí být vodorovná, tzn. derivace této funkce musí být v tomto bodě nulová. (Pokud funkce v nějakých bodech tečnu, resp. derivaci nemá, derivace o takových bodech samozřejmě nic prozradit nedokáže.) Pokud v tomto bodě lze spočítat i druhou derivaci, prozradí její znaménko, o jaký extrém se jedná: ·
V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je kladná, se nachází lokální minimum.
·
V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je záporná, se nachází lokální maximum. 2
·
V bodech, kde je jak první, tak druhá derivace nulová, se nachází tzv. stacionární bod, který může a nemusí být extrémem.
·
(V bodech, kde funkce nemá první či druhou derivaci, je nutno použít jiná kritéria.)
Příklad: Najděte extrémy funkce y = x 3 + x 2 .
3
Konvexnost, konkávnost a inflexe křivek Konvexnost a konkávnost je označení pro změny rychlosti růstu funkce, tzn. zakřivení jejího grafu. Pokud funkce na některém intervalu svůj růst zrychluje (případně zpomaluje svůj pokles), tzn. graf je zakřivený směrem nahoru, označuje se zde funkce jako konvexní, naopak, pokud je graf zakřiven směrem dolů (a funkce zpomaluje růst nebo zvyšuje pokles), je zde funkce konkávní. Přechod mezi konvexní a konkávní částí grafu se označuje jako inflexní bod. V inflexním bodě se mění zakřivení grafu funkce a tečna grafu v tomto bodě graf protíná. Na obrázku je funkce konkávní např. v intervalu x1 , x 2 , inflexním bodem je např. x 4 .
Nechť funkce f má v čísle x0 derivaci f ¢( x0 ) . Existuje-li d -okolí U d (x0 ) tak, že " x Î U d (x0 ) , x ¹ x0 leží bod [x, f ( x )] nad tečnou tº
y = f ( x0 ) + f ¢( x0 ) × ( x - x0 ) ,
říkáme, že funkce f je konvexní v bodě x0 . Nechť funkce f má v čísle x0 derivaci f ¢( x0 ) . Existuje-li d -okolí U d (x0 ) tak, že " x Î U d (x0 ) , x ¹ x0 leží bod [x, f ( x )] pod tečnou t , říkáme, že funkce f je konkávní v bodě x0 . Je-li funkce konvexní (konkávní) ve všech bodech intervalu, je konvexní (konkávní) v tomto intervalu. Konvexnost resp. konkávnost určíme podle znaménka 2. derivace.
4
Věta: Platí : je-li f ¢¢( x0 ) > 0 , je funkce v bodě x0 konvexní. je-li f ¢¢( x0 ) < 0 , je funkce v bodě x0 konkávní. Funkce f má v bodě x0 inflexní bod, existuje-li U d (x0 ) tak, že v levém okolí x0 je funkce f konvexní a v pravém okolí x0 je konkávní nebo naopak. Geometricky to značí, že graf funkce f přechází z polohy nad tečnou do polohy pod tečnou nebo naopak. Poznámka: Má-li funkce f druhou derivaci, pak inflexní bod může být jen v bodě, kde f ¢¢( x0 ) = 0 . Podmínka je nutná, není postačující, neboť např. funkce y = x 4 v x0 = 0 má y ¢¢(0) = 0 , avšak v bodě x0 je konvexní. Věta: postačující podmínka pro existenci inflexního bodu Má-li funkce f v bodě x0 druhou derivaci rovnou 0 ( f ¢¢( x0 ) = 0 ), přičemž v levém okolí bodu x0 má jiné znaménko než v pravém okolí bodu x0 , pak má v bodě x0 inflexní bod.
Poznámka: Inflexní bod může nastat také v bodě, v němž 1. derivace je nevlastní (tečna je rovnoběžná s osou y). V tomto bodě neexistuje druhá derivace, avšak funkce se mění z konvexní na konkávní nebo obráceně.
Asymptoty Asymptota (asymptotická přímka) křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od křivky se s rostoucí souřadnicí limitně zmenšuje.
Pomocí asymptot můžeme zkoumat chování grafu funkce v nevlastních bodech a v okolí bodů nespojitosti 2.druhu.
5
1. Asymptoty bez směrnice (rovnoběžné s osou y) Je-li
lim f ( x ) = ±¥ nebo lim f ( x ) = ±¥ je přímka o rovnici x = x0 asymptotou grafu
x ® x0 +
x ® x0 -
funkce f ( x ) . Asymptoty tohoto druhu mohou být jen v bodech nespojitosti funkce nebo ve vlastních koncových bodech jejího definičního oboru. 2. Asymptoty se směrnicí Přímka y = kx + q je asymptotou grafu funkce y = f ( x ) , jestliže existují vlastní limity k = lim x ®¥
f (x ) a x
q = lim[ f ( x ) - k x ] x ®¥
(analogicky pro x ® -¥ )
Průběh funkce Vyšetřováním průběhu funkce rozumíme zjištění níže uvedených vlastností, které umožní nakreslení grafu funkce. Postup při vyšetřování průběhu funkce : 1. Určíme D(f) a obor hodnot. 2. Vyšetříme, zda f je sudá, lichá, periodická. 3. Určíme jednostranné limity v bodech nespojitosti, případně v krajních bodech definičních intervalů, a vyšetříme chování funkce v okolí těchto bodů. 4. Stanovíme průsečíky s osami. 5. Určíme intervaly monotónnosti a stacionární body (pomocí f ¢( x) ). 6. Určíme body, v nichž nastávají lokální extrémy. 7. Stanovíme inflexní body a intervaly, kde je funkce konkávní či konvexní. 8. Vypočítáme rovnice asymptot se směrnicí (asymptoty bez směrnice viz bod 3.). 9. Vypočítáme souřadnice několika určitých bodů na křivce a nakreslíme graf. Postup při náčrtku grafu: 1) osy x,y; 2) asymptoty bez směrnice; 3) asymptoty se směrnicí; 4) vyznačíme průsečíky s osami; 5) body, v nichž nastává extrém; 6) inflexní body 7) doplnit body z tabulky (bod 9.)
Příklad: Vyšetřujme průběh funkce y = x ln x .
6
Fyzika Jednoznačně nejdůležitější oblastí použití derivace ve fyzice jsou derivace podle časové proměnné, vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase. Nejběžnější pak jsou časové derivace polohy, které se vyskytují v klasické kinematice: ·
Rychlost (okamžitá rychlost, koncept průměrné rychlosti se obejde bez diferenciálního počtu) je derivace souřadnice polohy tělesa podle času.
·
Zrychlení je derivace rychlosti podle času, tzn. druhá derivace polohy podle času.
·
Ryv je derivace zrychlení podle času, tzn. třetí derivace polohy podle času.
Kromě těchto základních pojmů se derivace objevují v mnoha teoriích fyzikálních polí, Maxwellových rovnicích atd.
7
