30
Pˇr´ıklady na konvexnost a inflexn´ı body.
20
Funkce f (x) = x 3 − 9x.
10
Derivace jsou f 0 (x) = 3x 2 − 9 a f 00 (x) = 6x. Funkce f je konvexn´ı na intervalu (0, ∞) ´ ı na intervalu (−∞, 0). Inflexn´ı bod c = 0. a konkavn´ Funkce f (x) =
x . 1+x 2
−20 −30 −4
y = x3−9x −2
0
2
4
2
4
0.6
2 1−x 2 −2x 2 = (1+x Derivace jsou = 1+x 2 )2 (1+x 2 )2 −2x(1+x 2 )2 −(1−x 2 )(1+x 2 )4x 00 f (x) = = (1+x 2 )4 −2x(1+x 2 )((1+x 2 )+2(1−x 2 )) −2x(3−x 2 ) = = (1+x 2 )3 . (1+x 2 )4
f 0 (x)
0 −10
a
0.4 0.2
y = x / (1+x2)
0 −0.2
√ −0.4 √ 3, 0) a na intervalu ( 3, ∞) Funkce f je konvexn´ı na intervalu (− √ √ −4 ´ ı na intervalu (−∞, a konkavn´ (0, 3). √ − 3) a na intervalu √ Inflexn´ı body jsou c1 = − 3, c2 = 0 a c3 = 3.
−2
0
´ Funkce f (x) je definovana: f (x) = x 3 pro x < 0 a f (x) = x 2 pro x ≥ 0. Pak f 0 (0) = 0, ale f 00 (0) neexistuje. ´ e, ˇ f ma´ inflexn´ı bod x = 0. Nicmen ´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
Matematika 1
1/6
30
Pˇr´ıklady na konvexnost a inflexn´ı body.
20
Funkce f (x) = x 3 − 9x.
10
Derivace jsou f 0 (x) = 3x 2 − 9 a f 00 (x) = 6x. Funkce f je konvexn´ı na intervalu (0, ∞) ´ ı na intervalu (−∞, 0). Inflexn´ı bod c = 0. a konkavn´ Funkce f (x) =
x . 1+x 2
−20 −30 −4
y = x3−9x −2
0
2
4
2
4
0.6
2 1−x 2 −2x 2 = (1+x Derivace jsou = 1+x 2 )2 (1+x 2 )2 −2x(1+x 2 )2 −(1−x 2 )(1+x 2 )4x 00 f (x) = = (1+x 2 )4 −2x(1+x 2 )((1+x 2 )+2(1−x 2 )) −2x(3−x 2 ) = = (1+x 2 )3 . (1+x 2 )4
f 0 (x)
0 −10
a
0.4 0.2
y = x / (1+x2)
0 −0.2
√ −0.4 √ 3, 0) a na intervalu ( 3, ∞) Funkce f je konvexn´ı na intervalu (− √ √ −4 ´ ı na intervalu (−∞, a konkavn´ (0, 3). √ − 3) a na intervalu √ Inflexn´ı body jsou c1 = − 3, c2 = 0 a c3 = 3.
−2
0
´ Funkce f (x) je definovana: f (x) = x 3 pro x < 0 a f (x) = x 2 pro x ≥ 0. Pak f 0 (0) = 0, ale f 00 (0) neexistuje. ´ e, ˇ f ma´ inflexn´ı bod x = 0. Nicmen ´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
Matematika 1
1/6
30
Pˇr´ıklady na konvexnost a inflexn´ı body.
20
Funkce f (x) = x 3 − 9x.
10
Derivace jsou f 0 (x) = 3x 2 − 9 a f 00 (x) = 6x. Funkce f je konvexn´ı na intervalu (0, ∞) ´ ı na intervalu (−∞, 0). Inflexn´ı bod c = 0. a konkavn´ Funkce f (x) =
x . 1+x 2
−20 −30 −4
y = x3−9x −2
0
2
4
2
4
0.6
2 1−x 2 −2x 2 = (1+x Derivace jsou = 1+x 2 )2 (1+x 2 )2 −2x(1+x 2 )2 −(1−x 2 )(1+x 2 )4x 00 f (x) = = (1+x 2 )4 −2x(1+x 2 )((1+x 2 )+2(1−x 2 )) −2x(3−x 2 ) = = (1+x 2 )3 . (1+x 2 )4
f 0 (x)
0 −10
a
0.4 0.2
y = x / (1+x2)
0 −0.2
√ −0.4 √ 3, 0) a na intervalu ( 3, ∞) Funkce f je konvexn´ı na intervalu (− √ √ −4 ´ ı na intervalu (−∞, a konkavn´ (0, 3). √ − 3) a na intervalu √ Inflexn´ı body jsou c1 = − 3, c2 = 0 a c3 = 3.
−2
0
´ Funkce f (x) je definovana: f (x) = x 3 pro x < 0 a f (x) = x 2 pro x ≥ 0. Pak f 0 (0) = 0, ale f 00 (0) neexistuje. ´ e, ˇ f ma´ inflexn´ı bod x = 0. Nicmen ´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
Matematika 1
1/6
Pˇr´ıklady na asymptoty. Asymptoty grafu funkce f (x) = 3x +
2 . x−5
V bodeˇ c = 5 ma´ funkce nevlastn´ı jednostranne´ limity, tedy graf funkce f ma´ svislou asymptotu x = 5. 80
Pro c = ∞: k = limx→∞
f (x) x
1 = 3, x(x−5) 2 limx→∞ x−5 = 0,
= limx→∞ 3 +
q = limx→∞ f (x) − kx =
funkce ma´ sˇ ikmou asymptotu y = 3x v okol´ı ∞. Podobneˇ pro c = −∞: k= q=
y = 3x + 1/(x−5)
60 50
asymptota x = 5
40 30 20
f (x) limx→−∞ x
1 = limx→−∞ 3 + x(x−5) = 3, 2 limx→−∞ f (x) − kx = limx→−∞ x−5 = 0,
funkce ma´ sˇ ikmou asymptotu y = 3x v okol´ı −∞.
´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
70
Matematika 1
asymptota y = 3x
10 0 −10 −20 0
2
4
6
8
10
12
2/6
Asymptoty grafu funkce f (x) = 7x + sin x. f je spojita´ na R, proto nema´ svislou asymptotu. Pro c = ∞: f (x) k = limx→∞ x = limx→∞ 7 + sinx x = 7, q = limx→∞ f (x) − kx = limx→∞ sin x neexistuje.
12 10 8
y = 2x/3 + sin(x)
6
V okol´ı c = ∞ graf funkce f nema´ asymptotu. Podobneˇ pro c = −∞.
4 2 0
Asymptoty grafu funkce f (x) = x 2 .
−2
f je spojita´ na R, proto nema´ svislou asymptotu.
−4 −5
Pro c = ∞: k = limx→∞
f (x) x
asymptota neex.! 0
5
10
15
= limx→∞ x = ∞ ∈ / R,
proto v okol´ı c = ∞ graf funkce f nema´ asymptotu. Podobneˇ pro c = −∞.
´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
Matematika 1
3/6
Asymptoty grafu funkce f (x) = 7x + sin x. f je spojita´ na R, proto nema´ svislou asymptotu. Pro c = ∞: f (x) k = limx→∞ x = limx→∞ 7 + sinx x = 7, q = limx→∞ f (x) − kx = limx→∞ sin x neexistuje.
12 10 8
y = 2x/3 + sin(x)
6
V okol´ı c = ∞ graf funkce f nema´ asymptotu. Podobneˇ pro c = −∞.
4 2 0
Asymptoty grafu funkce f (x) = x 2 .
−2
f je spojita´ na R, proto nema´ svislou asymptotu.
−4 −5
Pro c = ∞: k = limx→∞
f (x) x
asymptota neex.! 0
5
10
15
= limx→∞ x = ∞ ∈ / R,
proto v okol´ı c = ∞ graf funkce f nema´ asymptotu. Podobneˇ pro c = −∞.
´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
Matematika 1
3/6
ˇ funkce f (x) = ln (1 + cos x). ˇ funkce. Urˇcete prub Pˇr´ıklad - prub ˚ eh ˚ eh Definiˇcn´ı obor je D(f ) = R \ {π + 2kπ, k ∈ Z}. Pruseˇ ˚ c´ıky s osami: {[ π2 + kπ, 0], k ∈ Z}. ´ budeme zkoumat jen Sudost, lichost, periodiˇcnost - funkce f je suda´ a periodicka´ - nadale interval h0, π). Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: limx→π− f (x) = limx→π− ln (1 + cos x) = −∞. Asymptoty: Svisla´ asymptota x = π, periodicky se opakuje, x = π + 2k π, k ∈ Z. ˇ em ´ okol´ı ∞ nebo −∞, tedy nema´ sˇ ikmou asymptotu. Funkce nen´ı definovana´ na nejak − sin x . Prvn´ı derivace je f 0 (x) = 1+cos x Monotonie: f 0 (x) < 0 pro vˇsechna x ∈ (0, π), tedy f je klesaj´ıc´ı na intervalech (2kπ, π + 2kπ) a rostouc´ı na intervalech (π + 2kπ, 2kπ), k ∈ Z. 1 ´ ı maxima v bodech x = 2kπ, k ∈ Z. Lokaln´ 0 ´ ı neostra´ maxima v bodech x = 2kπ, k ∈ Z. Globaln´ −π −π/2 ´ ı ani globaln´ ´ ı minima nejsou. Lokaln´ −1
Druha´ derivace je f 00 (x)
=
− cos2 x−cos x−sin2 x (1+cos x)2
π/2
π
−2
=
− cos x−1 (1+cos x)2
y = ln(1 + cos(x))
< 0 pro x ∈ D(f ). −3
´ ´ ı. Konvexnost a konkavnost: funkce f je na D(f ) konkavn´
−4 −5 −6 −4
´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
Matematika 1
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
4/6
ˇ funkce f (x) = ln (1 + cos x). ˇ funkce. Urˇcete prub Pˇr´ıklad - prub ˚ eh ˚ eh Definiˇcn´ı obor je D(f ) = R \ {π + 2kπ, k ∈ Z}. Pruseˇ ˚ c´ıky s osami: {[ π2 + kπ, 0], k ∈ Z}. ´ budeme zkoumat jen Sudost, lichost, periodiˇcnost - funkce f je suda´ a periodicka´ - nadale interval h0, π). Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: limx→π− f (x) = limx→π− ln (1 + cos x) = −∞. Asymptoty: Svisla´ asymptota x = π, periodicky se opakuje, x = π + 2k π, k ∈ Z. ˇ em ´ okol´ı ∞ nebo −∞, tedy nema´ sˇ ikmou asymptotu. Funkce nen´ı definovana´ na nejak − sin x . Prvn´ı derivace je f 0 (x) = 1+cos x Monotonie: f 0 (x) < 0 pro vˇsechna x ∈ (0, π), tedy f je klesaj´ıc´ı na intervalech (2kπ, π + 2kπ) a rostouc´ı na intervalech (π + 2kπ, 2kπ), k ∈ Z. 1 ´ ı maxima v bodech x = 2kπ, k ∈ Z. Lokaln´ 0 ´ ı neostra´ maxima v bodech x = 2kπ, k ∈ Z. Globaln´ −π −π/2 ´ ı ani globaln´ ´ ı minima nejsou. Lokaln´ −1
Druha´ derivace je f 00 (x)
=
− cos2 x−cos x−sin2 x (1+cos x)2
π/2
π
−2
=
− cos x−1 (1+cos x)2
y = ln(1 + cos(x))
< 0 pro x ∈ D(f ). −3
´ ´ ı. Konvexnost a konkavnost: funkce f je na D(f ) konkavn´
−4 −5 −6 −4
´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
Matematika 1
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
4/6
ˇ funkce f (x) = ln (1 + cos x). ˇ funkce. Urˇcete prub Pˇr´ıklad - prub ˚ eh ˚ eh Definiˇcn´ı obor je D(f ) = R \ {π + 2kπ, k ∈ Z}. Pruseˇ ˚ c´ıky s osami: {[ π2 + kπ, 0], k ∈ Z}. ´ budeme zkoumat jen Sudost, lichost, periodiˇcnost - funkce f je suda´ a periodicka´ - nadale interval h0, π). Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: limx→π− f (x) = limx→π− ln (1 + cos x) = −∞. Asymptoty: Svisla´ asymptota x = π, periodicky se opakuje, x = π + 2k π, k ∈ Z. ˇ em ´ okol´ı ∞ nebo −∞, tedy nema´ sˇ ikmou asymptotu. Funkce nen´ı definovana´ na nejak − sin x . Prvn´ı derivace je f 0 (x) = 1+cos x Monotonie: f 0 (x) < 0 pro vˇsechna x ∈ (0, π), tedy f je klesaj´ıc´ı na intervalech (2kπ, π + 2kπ) a rostouc´ı na intervalech (π + 2kπ, 2kπ), k ∈ Z. 1 ´ ı maxima v bodech x = 2kπ, k ∈ Z. Lokaln´ 0 ´ ı neostra´ maxima v bodech x = 2kπ, k ∈ Z. Globaln´ −π −π/2 ´ ı ani globaln´ ´ ı minima nejsou. Lokaln´ −1
Druha´ derivace je f 00 (x)
=
− cos2 x−cos x−sin2 x (1+cos x)2
π/2
π
−2
=
− cos x−1 (1+cos x)2
y = ln(1 + cos(x))
< 0 pro x ∈ D(f ). −3
´ ´ ı. Konvexnost a konkavnost: funkce f je na D(f ) konkavn´
−4 −5 −6 −4
´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
Matematika 1
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
4/6
´ ı extremy. ´ Pˇr´ıklady na globaln´ ´ ı extremy ´ Najdeme globaln´ funkce f (x) = x −2 ln x na intervalu h1, ei. Derivace je f 0 (x) = −2x −3 ln x + x −2 x1 = −2x −3 (ln x − 21 ). Derivace je nulova´ jen v bodeˇ x1 = e1/2 . Spoˇcteme hodnoty funkce f v krajn´ıch bodech intervalu 1 a e a v bodeˇ x1 : f (1) = 0, f (e1/2 ) =
1 −1 e , 2
0.2
f (e) = e−2 .
[e,e−2]
0.1
Funkce f ma´ na intervalu h1, ei ´ ı minimum 0 v bodeˇ 1 globaln´ ´ ı maximum 21 e−1 v bodeˇ e1/2 . a globaln´
0.05
[1,0]
y = x−2ln(x) na <1,e>
0 0.8
´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
[e1/2,e−1/2]
0.15
´ Porovname 0 < e−2 < 21 e−1 .
Matematika 1
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
5/6
ˇ R vepiˇste rovnoramenn´y trojuheln´ ˇ s´ıho obsahu. Do kruˇznice o polomeru ık nejvetˇ ´ ´ Oznaˇcme polovinu zakladny trojuheln´ ıka a a v´ysˇ ku v . Jisteˇ bude v > R. ´ Obsah trojuheln´ ıka je S = av . ´ p ´ ´ any ´ vztahem R 2 = (v − R)2 + a2 , tedy a = R 2 − (v − R)2 . Zakladna a v´ysˇ ka jsou svaz p Tedy pro obsah plat´ı S = av = v R 2 − (v − R)2 . p ´ 1) T´ım mame obsah S jako funkci v´ysˇ ky trojuheln´ ıka S(v ) = v R 2 − (v − R)2 . ´ 2) Definiˇcn´ım oborem funkce S je interval (R, 2R). 3) Najdeme maximum funkce S na intervalu (R, 2R). 1 Derivace funkce S podle v je p −2(v −R) 0.8 0 2 2 √ = S (v ) = R − (v − R) + v 2 2 2
=
R 2 −(v −R)2 −v (v −R)
√
R −(v −R)
v (3R−2v ) = √ 2
0.6 0.4
. 2
0.2 R 2 −(v −R)2 R −(v −R) 0 ´ a tedy S rostouc´ı. intervalu (R, 23 R) je derivace S kladna, −0.2 3 ´ ´ a tedy S klesaj´ıc´ı.−0.4 intervalu ( 2 R, 2R) je derivace S zaporn a,
Na Na ´ zˇ e na intervalu (R, 2R) nab´yva´ funkce S To znamena, ´ sveho maxima pro v = 32 R. ´ Obsah takoveho trojuheln´ ıka je pak S( 32 R) = · · · = ´
´ ska (5.11.2009) 5. pˇrednaˇ
Matematika 1
√ 3 3 2 R . 4
S
v
R
a
−0.6 −0.8 −1
−0.5
0
0.5
1
6/6
