De ontwikkeling van meetkundige inzichten - onderzoek van Piaget en Donaldson -

De ontwikkeling van meetkundige inzichten - onderzoek van Piaget en Donaldson J. Nelissen Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht Schooladviescentrum, Utrecht

In de vakdidactische analyses wordt doorgaans het standpunt ingenomen dat onderzoek, in de jaren zeventig verricht door de Britse psychologe Donaldson, heeft aangetoond dat Piaget de kinderen in zijn experimenten met dermate formele taken belastte dat deze daarop niet adequaat konden reageren. Donaldson verklaarde haar onderzoeksresultaten door erop te wijzen dat zij - in tegenstelling tot Piaget - erin was geslaagd een context te bedenken die aansloot bij de leef- en spelwereld van de kinderen. In dit artikel wordt gepleit voor een andere interpretatie van de onderzoeksgegevens. Deze worden gezien als indicaties van verschillende niveaus van ruimtelijk handelen en redeneren, namelijk: op ‘contextniveau’ en op ‘formeel niveau’. Er wordt dan ook voor gepleit de resultaten van het onderzoek van Donaldson en Piaget niet op te vatten als tegenstrijdig, maar als complementair. Donaldson laat zien hoe kinderen ruimtelijke problemen oplossen op contextniveau, het niveau waarop nog weinig reflectie en generalisatie plaatsvindt. De meer formele problemen die Piaget de kinderen wil laten oplossen, vereisen het vergelijken van meerdere perspectieven en daarbij is reflectie juist voorwaarde. Daarom is nu sprake van een formeel niveau van ruimtelijk redeneren.

1 Inleiding In het TAL-project dat op het Freudenthal Instituut wordt uitgevoerd, wordt momenteel onderzocht op welke gegevens en inzichten een leerlijnbeschrijving op het gebied van meten en meetkunde zou kunnen steunen. Er wordt gewerkt aan een beschrijving van - wat genoemd kan worden - kernactiviteiten binnen deze gebieden. Als deze activiteiten worden uitgevoerd is er een zekere garantie dat de kinderen aan het eind van het basisonderwijs relevante ervaringen hebben opgedaan op het gebied van meten en meetkunde. Dat wil dus zeggen dat de leerlijnbeschrijving niet als prescriptief, maar als descriptief wordt opgevat. Om tot zo’n leerlijnbeschrijving te komen worden concepten beschreven en bediscussieerd. Er worden videoopnamen gemaakt in groep 3 en 4 en deze worden geanalyseerd om een beeld te krijgen van de ontwikkeling en het niveau van de leerlingen in het huidige basisonderwijs. Met opzet worden de opnamen gemaakt in een ‘zwarte basisschool’ in Utrecht, zodat we van meet af aan de haalbaarheid in de praktijk van de voorstellen niet uit het oog verliezen. Bovendien wordt nagegaan hoe we kunnen profiteren van en putten uit reeds beschikbare gegevens van verricht onderzoek op het gebied van meten en meetkunde. Bekend zijn uiteraard de studies van het echtpaar Van Hiele (De Moor, 1999), maar die studies hebben betrekking op het voortgezet onderwijs. De cognitieve ontwikkeling en de ontwikkeling op het gebied van meten, meetkunde en ruimtelijke inzichten van jongere kinderen is, zoals bekend, vooral onderzocht door Piaget. De cognitieve processen die Piaget onderzocht zijn nauw

20

verbonden met de ontwikkeling van het meetkundig denken. Bij processen als reversibel denken en coördinatie van perspectieven gaat het immers om meetkundige activiteiten als viseren, denkbeeldige lijnen trekken, vergelijken en veranderen van hoeken, ruimtelijk representeren, mentaal roteren, enzovoort. De studies van Piaget hebben bij onderzoekers zowel instemmende als kritisch-afwijzende reacties uitgelokt. We kennen de kritiek op de indeling in ontwikkelingsfasen en de kritiek op de biologische verankering van zijn theorie over de cognitieve ontwikkeling (Van Oers, 1987). Freudenthal (1984) betoogde dat Piaget in zijn experimenten de kinderen voortdurend in een val probeert te lokken en dat de problemen geen zinvolle wiskunde weerspiegelen. En zo was er ook het commentaar dat als je kinderen goed instrueert, ze de problemen (zoals conversatie- en inclusieproblemen) wél goed oplossen. In dit artikel wil ik me echter beperken tot de kritiek dat Piaget de kinderen in zijn onderzoeken met problemen confronteerde die erg formeel van aard zijn. Als aan de kinderen hetzelfde wordt gevraagd in een andere, kindvriendelijke context, dan zullen ze heel anders reageren, zo luidt het kritische commentaar.

2 De onderzoeken van Donaldson en Piaget Met name de Britse onderzoekster Donaldson heeft in de jaren zeventig bekendheid gekregen door haar replicatieonderzoeken van een van de bekendste onderzoe-

tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs

ken van Piaget op het gebied van het ruimtelijk inzicht. Nu is er vaak opgemerkt dat Donaldsons onderzoeksresultaten (die straks worden weergegeven) die van Piaget tegenspreken. Dat is in zekere zin ook zo, maar toch wil ik in dit artikel onderzoeken of er gronden zijn voor een andere interpretatie. In dit artikel wordt bepleit deze - al oudere onderzoeksgegevens - in een nieuw verband te interpreteren, namelijk als indicaties van niveaus van ruimtelijk inzicht. De reacties die Donaldson bij de kinderen observeerde, gaan vooraf aan en zijn een voorwaarde voor - zo wordt bepleit - de denkoperaties die Piaget bij de kinderen uitlokte. De gegevens worden dus niet zozeer als tegenstrijdig opgevat, maar als complementair. Het dossier wordt opnieuw geopend. Maar eerst volgt een korte beschrijving van de beide onderzoeken, omdat die niet meer vers in ieders geheugen zullen liggen.

3 Piaget: coördinatie van perspectieven Het experiment van Piaget is als volgt opgezet. Op een karton van 1 m2 zien de kinderen drie bergen van 12 tot 30 cm hoog (fig.1).

Vanuit C is een slingerend pad zichtbaar op de groene berg, terwijl vanuit B een klein beekje is te zien op de bruine berg. Om te beginnen krijgen de kinderen een serie van tien plaatjes te zien waarop de bergen vanuit verschillende gezichtspunten - met de relevante details - zijn afgebeeld. Eveneens krijgen de kinderen drie gekleurde kartons: groen, bruin en grijs net als de drie bergen. Ten slotte verschijnt een figuurtje (popje) op verschillende posities en is het interessant te onderzoeken wat dat rondreizende figuurtje ziet, terwijl het kind op dezelfde plek blijft zitten. De kinderen wordt gevraagd of ze met de drie gekleurde kartonnetjes kunnen weergeven hoe een foto, die door het popje is gemaakt vanuit positie A, eruit zal zien. Ze moeten proberen de kartonnen in de juiste compositie neer te leggen. Daarna neemt het popje een foto vanuit C en de kinderen moeten zeggen hoe de foto er nú uit zal zien. Eventueel wordt gezegd dat het kind zélf de foto mag nemen. Daarna wordt hetzelfde gevraagd vanuit positie B en D. Vervolgens moeten de kinderen bij B, C en D gaan zitten en met de kartonnen aangeven welke foto van daaruit gemaakt kan worden. In het tweede deel van het experiment krijgen de kinderen de plaatjes te zien. Ze moeten er telkens eentje uitzoeken dat het meeste past bij de positie die het popje op dat moment inneemt. En omgekeerd krijgt het kind een plaatje en zoekt daarbij de positie die het popje nu moet innemen. Aan het experiment namen zo’n honderd kinderen deel, variërend in leeftijd van vier tot dertien jaar. Ik bespreek nu de bevindingen uit dit onderzoek.

figuur 1

Vanuit A ziet het kind rechts een groene berg met op de top een huisje. Links is een bruine berg die iets hoger is met een kruis op de top. Achter de beide bergen staat de hoogste berg, grijs van kleur met sneeuw op de top.

jaargang 20 nummer 1

Om te beginnen snappen kinderen van ongeveer vier à vijf jaar gewoon niet wat er gevraagd wordt. Kinderen van vijf tot zeven à acht jaar maken vrijwel geen onderscheid tussen het eigen gezichtspunt en dat van andere observatoren. Als het popje wordt verplaatst maken ze weliswaar met de kartonnen telkens een nieuwe ‘foto’, maar dat blijkt toch voortdurend dezelfde te worden, namelijk de ‘foto’ vanuit het eigen actuele gezichtspunt. Aan Zan (6;6) wordt bijvoorbeeld gevraagd hoe de ‘foto’ eruit zal zien als de pop vanuit B naar de bergen kijkt. Zan zelf zit dan bij A. Hij arrangeert echter de kartonnen niet vanuit B, maar vanuit zijn eigen positie bij A. De onderzoeker vraagt of dat goed is. Zan vindt van wel. ‘Zou jouw foto er zo uitzien als je daar (bij B) zat?’ Het antwoord van Zan is heel interessant: ‘Dat weet ik niet, ik denk het wel. Ik heb zoiets nog nooit gedaan.’ Zan kan dus niet putten uit enige zinvolle ervaring en hij voelt enigszins aan dat er misschien iets niet helemaal klopt. De onderzoeker verzoekt Zan bij B te gaan zitten. Zan doet dit en herschikt nu de kartonnetjes. Als hem wordt gevraagd vanuit D de foto te nemen, doet hij dat vanuit zijn nieuwe perspectief, namelijk B.

21

Het geval Zan is om een tweetal redenen interessant. Ten eerste laat Piaget met de weergave van dit protocol zien dat (hij er oog voor heeft dat) de cognitieve ontwikkeling van kinderen wel degelijk (ook) door ervaring wordt beïnvloed. Ten tweede zien we dat kinderen zoals Zan moeite hebben met het innemen van perspectief. Dit wordt veroorzaakt door het feit dat Zan moeite (geen ervaring) heeft met reversibel denken. Dat is een flexibele manier van denken die het mogelijk maakt een eenmaal ingenomen standpunt mentaal te confronteren met een ander, zelfs een rivaliserend, standpunt. Ook volwassenen hebben daar soms moeite mee. Terug nu naar het onderzoek. Als kinderen (tot zeven à acht jaar) gevraagd wordt één plaatje (uit de tien plaatjes) te kiezen - ongeacht de positie van het popje - kiezen ze het plaatje gezien vanuit de eigen positie. Het komt ook voor dat de kinderen willekeurig een plaatje kiezen als er maar drie bergen op voorkomen. En als het kind de positie van het popje moet aangeven bij een plaatje dat het vooraf uitkoos, dan gebeurt ook dat volstrekt willekeurig. Of het kind houdt de pop gewoon steeds op dezelfde plek omdat het toch van overal wel bergen kan zien. Vanaf ongeveer zeven à acht jaar zijn kinderen in toenemende mate in staat meerdere perspectieven te coördineren. Ze proberen nu tussen verschillende gezichtspunten te differentiëren. Soms wordt de positie van een van de bergen een beetje verschoven, maar behouden de andere hun plaats. Wan (8;3) zit bijvoorbeeld bij A en probeert de bergen te zien vanuit C. Hij probeert van alles, hij snapt dat er een ander perspectief vanuit C is, dan is de grote berg op de voorgrond, maar uiteindelijk rangschikt hij toch de plaatjes vanuit zijn eigen perspectief. Soms ook worden de bergen gewoon een beetje gedraaid, maar wordt niet de positie aangepast aan het andere perspectief. Pas vanaf negen à tien jaar echter is er sprake van echt inzicht in coördinatie van gezichtspunten. Ileb bijvoorbeeld zit bij A (bruine en grijze berg op de achtergrond) en wordt gevraagd hoe iemand vanuit C de bergen ziet. Ileb (7;4) rommelt een beetje en legt ten slotte de bruine kaart achter de grijze en zegt: ‘Hij ziet de hele grijze berg, niets van de groene en een klein stukje van de bruine’, een correcte verklaring dus van een opmerkelijk jong kind.

zouden kunnen inleven in de situatie: je verbergen voor iemand (een politieagent) (fig.2). De kinderen zien twee ‘muren’ die samen een kruis vormen. Er worden twee poppen gebruikt, één pop stelt een politieman voor en de andere pop een jongen. In figuur 2 is de politieman zodanig opgesteld dat hij de gebieden B en D kan zien, maar niet A en C, want die gebieden liggen verborgen achter de muur. Nu wordt de pop (de jongen) geïntroduceerd en de proefleider legt de jongen in het vak A. De vraag aan de kinderen is of de politieman de jongen daar kan zien. Vervolgens wordt de jongen in de vakken B, C en D gelegd en wordt dezelfde vraag gesteld.

figuur 2

Daarna plaatst de proefleider de politieman op de tegenovergestelde positie; hij kijkt nu naar de muur die A van C scheidt. Opnieuw wordt het kind gevraagd de pop zodanig te verbergen dat deze politieman de pop niet kan zien. De meeste kinderen hadden weinig moeite met dit verstopprobleem. Het volgende probleem is echter complexer. Er verschijnt een tweede politieman op het toneel en in figuur 3 zien we welke posities de beide figuren innemen.

4 Het replicatieonderzoek van Donaldson Donaldson (1978) heeft het onderzoek van Piaget herhaald, maar de context (naar een idee van M. Hughes) zodanig veranderd dat de kinderen zich gemakkelijker

22

figuur 3


De vraag aan de kinderen is nu hoe de pop zich voor beide agenten kan verstoppen. Om dit probleem op te lossen moeten de kinderen twee gezichtspunten in de gaten kunnen houden én deze kunnen coördineren. Tot driemaal toe wordt dit probleem aan de kinderen voorgelegd en telkens is een ander gebied het enige gebied waar de jongen zich voor de beide agenten kan verstoppen. Wat bleek uit dit experiment? Liefst 90 procent van de kinderen - tussen drieënhalf en vijf jaar oud - had geen moeite met deze problemen. Ook de jongste kinderen verborgen de pop op de juiste plaats. Zelfs als de kinderen worden geconfronteerd met vijf of zes gebieden en een derde agent wordt opgevoerd, lossen de vierjarigen en ongeveer de helft van de jongere kinderen het probleem nog goed op. Donaldson concludeert: ‘It seems to be impossible to reconcile these findings with Piaget’s claim that children under the age of seven are very bad at appreciating the point of view of some other person …’ (pag.23)

De verklaring voor die verschillende onderzoeksresultaten zoekt ze in de verschillen tussen de taken. De kinderen weten zich geen raad met het bergenprobleem, omdat ze niet precies begrijpen wat er van hen wordt gevraagd. Het agentenprobleem daarentegen, speelt zich af in een situatie die makes sense. Kinderen zijn vertrouwd met situaties waarin je je probeert te verbergen en dus begrijpen ze nu wél wat er wordt gevraagd. Het probleem raakt motieven en bedoelingen van mensen (de agent en de jongen), namelijk vluchten en achtervolgen. En dus, zegt Donaldson, snappen de kinderen de situatie direct. Het bergenprobleem daarentegen is ‘abstract’, dat wil zeggen ‘abstracted from all basic human purposes and feelings and endeavours’ (pag.4). Het is ‘totally cold-blooded’, en daarom roept het bij de kinderen geen enkele herkenning op. Deze interpretatie laat aan duidelijkheid niets te wensen over. Het is wel opvallend dat Zwitserse kinderen kennelijk zo weinig vertrouwd zijn met bergen. Een andere kanttekening is dat we niets weten over de kwaliteit van de interactie tussen proefleider en kinderen. Bijvoorbeeld: de introductie van het probleem, het vertellen over de bedoeling van het gesprek, de wijze van bemoediging van de proefleider, de wijze van beoordeling van het gesprek, de manier waarop vragen worden gesteld, de hulp die eventueel wordt geboden, enzovoort. We weten echter dat de aard van de interactie de reacties van kinderen sterk kan beïnvloeden. Over zulke gegevens wordt echter in de onderzoeken van Piaget nauwelijks informatie gegeven en dus kunnen we ze hier - helaas - niet wegen en beoordelen. Donaldson vermeldt echter, zij het in een voetnoot, dat Hughes een vereenvoudigde versie van het bergenprobleem aan de kinde-


ren voorlegde ‘by taking great care over the way in which the problem was introduced’ (pag.23) en aldus ‘a high proportion of correct responses’ van kleuters verkreeg. Dit geeft steun aan het vermoeden - als Donaldson hier althans bedoelt dat de interactie met de kinderen verbeterde - dat de kwaliteit van de interactie van invloed is én dat het bergenprobleem als zodanig wellicht toch niet zo’n formeel probleem hoeft te zijn.

5 Typering van beide onderzoeken Volgens Donaldson hebben de onderzoeken onverenigbare conclusies opgeleverd. Zeker, het is opvallend dat de kinderen in de onderzoeken van Donaldson op jongere leeftijd dan in de studies van Piaget heel goed in staat bleken vanuit het gezichtspunt van een ander te denken. Ook is het waarschijnlijk dat ze dit konden omdat ‘je verbergen’ nauw verbonden is met de sociale context van de kinderlijke leef- en speelwereld. Men kan ook instemmen met de verklaring van Donaldson dat het bergenprobleem van Piaget een formele ‘coldblooded’ situatie is, maar dat neemt niet weg dat het (weliswaar een formeel probleem, maar niettemin) een echt probleem is dat kinderen op een bepaalde leeftijd, op een bepaald niveau kunnen oplossen. Wat Piaget wil weten en onderzoeken is welke problemen kinderen op ‘eigen kracht’ kunnen oplossen, dat wil zeggen onder de conditie dat volwassenen de kinderen bij het oplossen van zulke problemen (in het verleden) niet expliciet hebben geholpen. Piaget is geen leerpsycholoog of didacticus, hij is een ontwikkelingspsycholoog. De onderzoeken van Piaget spelen zich af - om het in Vygotskiaanse termen te formuleren - in de zone van de actuele ontwikkeling, terwijl Donaldson in de zone van naaste ontwikkeling onderzoek verricht. Met onderzoek in de zone van actuele ontwikkeling is dan bedoeld dat nagegaan wordt hoe kinderen op eigen kracht, zonder hulp van volwassenen, problemen oplossen. Indien onderzoek wordt verricht in de zone van naaste ontwikkeling, dan is het doel na te gaan hoe kinderen problemen oplossen als ze hints en hulp krijgen van volwassenen. Er is in dat laatste geval niet gezegd dat de kinderen zonder meer iets nieuws leren (dat weten we vaak niet), maar dat men op basis van hulp probeert af te tasten hoe en wat kinderen kunnen leren. De typering is dus vanuit de onderzoekers en niet vanuit de kinderen gedacht. Misschien dat de onderscheiding ‘constaterend’ respectievelijk ‘formerend’ onderzoek hier adequaat is. Beide typen onderzoek zijn in elk geval niet tegenstrijdig, maar eerder complementair. Wat Piaget laat zien, is hoeveel moeite kinderen hebben met problemen die géén bekende ervaringen oproepen; zelfs volwassenen raken dan soms nog in de problemen. Men moet zich realiseren dat kinderen in

23

het dagelijkse leven voortdurend met vreemde - voor hen onbegrijpelijke en ogenschijnlijk zinloze - problemen worden geconfronteerd. Piaget laat nu zien hoe kinderen in zulke gevallen reageren, hoe ze handelen en redeneren, welke vragen ze stellen, enzovoort en dat is leerzaam en informatief. Overigens doet Piaget dat allemaal niet om richtlijnen te genereren voor het onderwijs, maar om te laten zien wat kinderen ‘op eigen kracht’ kunnen en hoe hun spontane denkprocessen (zij het steeds vanuit zijn eigen, typische theorie en terminologie) gekarakteriseerd kunnen worden. Donaldson echter toont heel iets anders aan. Zij laat zien hoe kinderen reageren als ze worden geconfronteerd met situaties die voor hen juist wél betekenis hebben. Zij lokt reacties uit, niet op formeel, maar op contextniveau. Haar onderzoeken roepen een interessant transferprobleem op, namelijk wat er zou gebeuren als kinderen wordt gevraagd de overeenkomst te analyseren tussen het agenten- en het bergenprobleem. En met name het uitlokken van reflectie op de aanpak van beide problemen zou weleens niveauverhogend kunnen werken. Het onderzoek van Donaldson werd zojuist (Vygotskiaans) gekarakteriseerd als onderzoek dat plaatsvindt in de zone van naaste ontwikkeling, oftewel formerend onderzoek. De context die voor de kinderen is bedacht (verstoppertje spelen) is immers, zo blijkt ook uit de reacties van de kinderen, een duidelijke ondersteuning van het probleemoplossend denken van de kinderen en zo is die context ook expliciet bedoeld.

6 Niveaus van ruimtelijk inzicht Volgens Piaget zijn kinderen steeds beter in staat mentaal operaties uit te voeren die vereist zijn om meerdere perspectieven te coördineren; uit zijn onderzoeksresultaten blijkt dat de kinderen dit op negen- à tienjarige leeftijd kunnen. Uit het onderzoek van Donaldson blijkt dat kinderen op jongere leeftijd in staat zijn vanuit meerdere perspectieven te handelen. Maar dan moet wel een context worden geconstrueerd die bij de kinderen zinvolle ervaringen oproept, zegt de onderzoekster. Het is verdedigbaar het niveau waarop de kinderen in de experimenten van Donaldson reageerden dan ook als contextgebonden niveau te typeren. Dit is het niveau dat nauw is verbonden met een bepaalde context, met de zinvolle ervaringen (‘context-in-mind’) die deze context bij de kinderen oproept. Er vindt op dit niveau nog geen sterke generalisatie en reflectie plaats. Dat laatste is wat Piaget de facto - op basis van taken die mentale coördinatie vereisen - wél van de kinderen vraagt. Het (tijdelijk) afzien van het eigen gezichtspunt en dat ge-

24

zichtspunt vergelijken met dat van een ander, is moeilijk voor te stellen zonder reflectie op dat vergelijkingsproces als zodanig. Je moet je immers afvragen wat je zelf ziet, hoe je waarneemt, hoe je het waargenomene ordent. Kortom, er wordt gereflecteerd op het eigen handelend waarnemen. Vervolgens moeten dezelfde vragen worden gesteld, maar nu vanuit het perspectief van een ander terwijl je jezelf in dat perspectief moet verplaatsen. Het actief innemen en het vergelijken van beide perspectieven is een proces van reflectie bij uitstek. Het is echter niet aannemelijk dat jonge kinderen al op zulk hoog niveau kunnen reflecteren, zeker niet als ze een formeel probleem (zoals het bergenprobleem) moeten oplossen. Het is dus ook niet verrassend dat de jongere kinderen in de onderzoeken van Piaget moeite hadden met de problemen. Natuurlijk worden ook bij jongere kinderen wel spontane reflectieprocessen geobserveerd (Podd’jakov, 1981), maar die zijn nog sterk gebonden aan en afhankelijk van een concrete context. Een bepaald niveau van reflectie is nodig, willen de kinderen erin slagen de mentale coördinaties - zoals Piaget die wenst - uit te voeren en hun eigen gezichtspunt te vergelijken met dat van een ander. Er wordt nu een formeel niveau van ruimtelijk inzicht of ruimtelijk handelen bereikt. Dat wordt gekenmerkt door generalisatie, door reflectie en het is bovendien in afnemende mate gebonden aan en afhankelijk van een concrete context. De kinderen beseffen nu waarom ze zo te werk gaan en kunnen hun werkwijze analyseren en verwoorden. De werkwijze is reflectief en juist daarom weten ze dat diezelfde werkwijze in andere, soortgelijke situaties weer toegepast kan worden (of het nu een verstop- of een bergenprobleem of wat dan ook betreft). Met andere woorden, door reflectie wordt de werkwijze gegeneraliseerd en dat is kenmerkend voor het handelen op dit hogere formele niveau. De kinderen lukt het dan ook steeds beter om los van een concrete context te redeneren. Naar dat laatste is Piaget dan ook op zoek. Hij wil weten hoe kinderen redeneren los van de concrete waarneming, maar wel over de waarneming, of beter: hij wil onderzoeken hoe ze waarnemingen integreren in een hoger coherent denksysteem. Het gaat dan om mentaal coördineren en het systeem dat kinderen opbouwen is, in de termen van Piaget, niet meer perceptueel (contextgebonden), maar conceptueel (formeel) van karakter. De conclusie luidt dat de onderzoeken van Donaldson en Piaget niet slechts tegenstrijdige bevindingen hebben opgeleverd. Het niveau waarop de kinderen in de onderzoeken van Donaldson - waarin voor een aansprekende context is gekozen - reageren, kan getypeerd worden als contextgebonden niveau. Dit niveau is voorwaarde om het hogere formele en reflectieve niveau te bereiken waarnaar Piaget op zoek is.1 Wordt zo’n niveau-indeling nu ook gevonden als de kinderen andere problemen moeten oplossen? De neo-


Piagetiaan Case (1991) neigt ertoe die vraag instemmend te beantwoorden, omdat naar zijn mening belangrijke algemene denkkarakteristieken zich niet zonder meer domeinspecifiek ontwikkelen en bovendien aan dezelfde beperkingen zijn onderworpen, bijvoorbeeld beperkingen in het werkgeheugen. Op welke leeftijd die niveaus kunnen worden bereikt, is overigens nog geheel niet duidelijk en hangt waarschijnlijk af van vele factoren, niet in het minst van de kwaliteit van het onderwijs in meten en meetkunde (ook dat wordt door Case erkend). In de volgende paragraaf zal dat met enkele observaties worden verduidelijkt.

Eerst werd aan de kinderen verteld dat de bovenste tekening ‘van opzij’ was en de onderste een tekening ‘van bovenaf’. Deze twee kinderen, hadden geen enkele moeite met het probleem. Daarna werd gevraagd een rondje te zetten om de muizen die de poes wél kon zien. Zoals in figuur 4 is te zien lukte ook dat prima. Het half zichtbare muisje (boven) vroeg van de kinderen wel wat extra aandacht, maar ze kwamen eruit. ‘En als de poes de muisjes kan zien, zien de muisjes dan ook de poes?’ Ja natuurlijk, wisten de kinderen, ze kijken naar elkaar. ‘Teken nu eens zelf een muisje die de poes niet kan zien.’ In figuur 4 zien we dat de kinderen ook met deze vraag geen moeite hadden.

7 Enkele observaties

Hoe kan het nu dat het deze jongere kinderen lukt vanuit het perspectief van de muis te kijken en de oudere (groep 8) er veel meer moeite mee hebben? Ik kan geen echt bevredigende verklaring bedenken, maar een ding is wel opvallend, namelijk dat we met deze kinderen al een uur aan de slag waren geweest met soortgelijke problemen: blokjes bouwen, naar verschillende aanzichten kijken (ook met de computer) en daarover praten, enzovoort. De kinderen leerden allerlei woorden, ze werden verrast door de onverwachte vorm van een blokjesgebouw op de computer, ze moesten toelichten hoe ze te werk waren gegaan en ze raakten regelmatig met elkaar in discussie. Het is aannemelijk dat ze hiervan zoveel hebben geleerd dat het poezenprobleem snel herkend werd als een soortgelijk probleem.

In het kader van het TAL-project worden video-opnamen gemaakt van kinderen die bezig zijn meetkundigruimtelijke problemen op te lossen.2 De filmfragmenten worden daarna geanalyseerd. Het eerste probleem is of de poes de muizen kan zien en of er muizen zijn die de poes niet kan zien (fig.4).

figuur 4

Dit probleem heeft Menne (enkele jaren geleden al) aan kinderen uit groep 8 voorgelegd en een groot deel van deze kinderen had grote moeite met dit probleem. Dit zou dus overeenstemmen met de bevindingen van Piaget. Wij legden dit probleem voor aan twee allochtone leerlingen uit groep 4. Wij vroegen deze kinderen een kruisje te zetten door de muisjes die de poes niet kon zien.


Met twee andere allochtone kinderen uit groep 3 maken we een maquette van de school en de omgeving. Op een vel papier worden de omgevende gebouwen met blokjes weergegeven. ‘Waar kun je je verstoppen zodat de juf je niet kan zien?’ De jongste van de twee (zes jaar) ziet het meteen. Hij geeft aan waar de juf hem niet kan zien. Hij komt zelf met het idee van een camera. ‘Waar zou je die hangen?’ De kinderen draaien langzaam met een potlood om het gebied te markeren dat de camera bestrijkt. We introduceren een tweede camera. ‘Waar zou je die tweede camera plaatsen?’ Het is een heel open vraag en de kinderen reageren door de camera op een heel andere plek te plaatsen. ‘Waarom niet ernaast?’ ‘Dan ziet die gewoon hetzelfde.’ En dan een derde camera. ‘Waar kun je die hangen zodat je je nergens meer kunt verstoppen?’ De kinderen gaan enthousiast experimenteren: ze draaien met potloden, ze trekken met de hand denkbeeldige lijnen, ze viseren, ze geven met gebaren gebieden aan en ten slotte vinden ze een plaats voor de derde camera. Staan deze observaties op gespannen voet met de bevindingen van Piaget? In zekere mate. Echter, de jongste van de twee kinderen was zonder enige twijfel zeer intelligent en vooral hij loste de meeste van de problemen op. Bovendien waren we ook met deze kinderen al een poosje met soortgelijke problemen aan het stoeien ge-

25

weest en daarvan hebben ze ongetwijfeld geprofiteerd. Maar ook is het belangrijk - Piaget wijst daar zelf vaak op - niet uit het oog te verliezen dat er zich in het bereiken van een hoog formeel denken reflectieniveau zich een grote spreiding voordoet. Onze observaties laten zien dat jongere kinderen in principe een hoog formeel niveau van ruimtelijk inzicht kunnen bereiken. Niet alleen intelligentie speelt een rol. Ook het onderwijs doet ertoe, zoals is geïllustreerd met deze observaties, ook al betreft het slechts enkele kinderen.

8 Besluit In dit artikel werd ouder onderzoek van Piaget en Donaldson na vele jaren opnieuw onder de loep genomen met als kernvraag of de bevindingen uit deze onderzoeken in alle opzichten wel zo tegenstrijdig zijn als in de literatuur doorgaans is beweerd. Deze vraag is actueel omdat in het TAL-project wordt nagegaan wat we uit reeds verricht onderzoek op het gebied van meten en meetkunde kunnen leren. Er werd benadrukt dat Piaget nooit didactisch of leerpsychologisch onderzoek heeft gedaan en dat we in zijn werk dus ook niet moeten zoeken naar didactische adviezen. Piaget wilde weten waar kinderen toe in staat zijn zonder expliciete hulp van volwassenen en daarom typeerde ik het als onderzoek dat zich richt op de ‘actuele ontwikkeling’, oftewel constaterend onderzoek. Het onderzoek van Donaldson is formerend en speelt zich af in ‘de zone van naaste ontwikkeling’. Wat Piaget interesseerde was hoe kinderen reageren op voor hen vreemde (sterk formele) problemen, waarmee ze in het dagelijks leven overigens voortdurend worden geconfronteerd. De conclusie uit de vergelijking van het werk van beide onderzoekers luidt dat de kinderen in de onderzoeken van Donaldson grotendeels opereren op contextgebonden niveau, dat is een sterk aan de ervaring, waarneming en de context gerelateerd niveau. Dat is voorwaarde om het niveau te bereiken waarop de oudere kinderen bij Piaget functioneren, namelijk het formele niveau. Dat wordt erdoor gekenmerkt dat kinderen losser en on-

26

afhankelijker van de context opereren en dat hun denken en mathematiseren wordt gekenmerkt door reflectie en generalisatie. Tot slot is het jammer dat noch in de onderzoeken van Donaldson, noch in die van Piaget voldoende aandacht wordt besteed aan de (stimulerende) rol die de taal bij het reflecteren, bij het oplossen van problemen, bij het verwerven van inzicht in meetkundig-ruimtelijke problemen en in het algemeen bij het mathematiseren zou kunnen en moeten spelen. Dit belangrijke aspect van het cognitieve functioneren en mathematiseren is - ten onrechte - grotendeels buiten beeld gebleven. In de toekomst valt er dan ook nog heel wat te onderzoeken, vooral met het oog op het onderwijs aan allochtone leerlingen. Noten 1 Opgemerkt moet worden dat er in het onderzoekswerk van Piaget regelmatig voorbeelden zijn te vinden van contexten die de kinderen zeker zullen aanspreken en die een beroep doen op hun ervaringskennis. Bovendien worden de kinderen door middel van hints regelmatig op een bepaald spoor gezet. Case (1991) is zelfs van mening dat: ‘Development cannot be understood without studying the cultural milieu in which the children are born’ (pag.364). 2 De ‘filmploeg’ bestaat uit J. Menne, J. van den Brink en de auteur van dit artikel.

Literatuur Case, R. (1991). The Mind’s staircase. Exploring the Conceptual Underpinnings of Children’s Thought and Knowledge. Hillsdale: LEA. Donaldson, M. (1978). Children’s Mind. Fontana: Collins. Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht: Reidel. Moor, E.W.A. de (1999). Van Vormleer naar realistische meetkunde. Utrecht: Universiteit Utrecht. Nelissen, J.M.C. (1987). Kinderen leren wiskunde. Een studie over constructie en reflectie in het basisonderwijs. Gorinchem: De Ruiter. Oers, B. van (1987). Activiteit en begrip. Proeve van een handelingspsychologische didactiek. Amsterdam: VU uitgeverij. Piaget, J. & B. Inhelder (1967; oorspr.1948). The child’s conception of space. London: Routledge & Kegan Paul. Podd’jakov, N.N.(1981). Die Denkentwicklung beim Vorschulkind. Berlin: Volk und Wissen.


De ontwikkeling van meetkundige inzichten - onderzoek van Piaget en Donaldson -

Recommend Documents