De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

De ge¨ımpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging

van de graad van

BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE

door

Donald Hollenberg Delft, Nederland Februari 2011

Copyright

© 2011 door Donald Hollenberg. Alle rechten voorbehouden.

BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE

“De ge¨ımpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes“

Donald Hollenberg

Technische Universiteit Delft

Begeleider Dr. J.H.M. Anderluh

Overige commissieleden Dr. G.F. Ridderbos

Dr. J.A.M. van der Weide

Februari, 2011

Delft

Chapter 1

Inleiding In de optiemarkt, waar opties van aandelen verhandeld worden, worden prijzen hoofdzakelijk berekend aan de hand van het Black-Scholes model. Via het Black-Scholes model is er een prijs te vinden van call en put opties die afhankelijk is van 5 parameters: de rente, de looptijd, de volatiliteit, de huidige aandeelprijs en de uitoefenprijs. De volatiliteit beschrijft de beweeglijkheid van het aandeel en is als zodanig een eigenschap van het aandeel. Het Black-Scholes model leek een prima wijze om opties te prijzen, tot maandag 19 oktober 1987. Op deze maandag duikelde de index in Amsterdam van 247,09 op vrijdag naar 217,43 bij het slot op maandag. Een daling van 12 procent, wat de grootste daling op een dag betekende. Die daling zette dinsdag door toen de beurs nog eens bijna 6 procent inleverde en sloot op 204,57. Uiteindelijk bereikte de index op 10 november dat jaar zijn laagste punt. De 152,36 punten van die dag staken schril af bij de 286,05 van 11 augustus eerder dat jaar. Een totale daling van ruim 46 procent. De Black-Scholes formule maakt de aanname dat de volatiliteit vast is. Sinds 1987 is echter gebleken dat de volatiliteit correlatie vertoont met de uitoefenprijs en de looptijd van een optie. De optieprijzen die Black-Scholes gaf, bleken niet bestand tegen grote verschuivingen van aandeelprijzen, zoals in 1987 gebeurde. Er moet dus een aanpassing gedaan worden aan BlackScholes. Dit is hetgeen in deze opdracht gedaan wordt: er wordt een ge¨ımpliceerde binomiale boom gemaakt waarin de volatiliteit niet vast is, maar varieert met de uitoefenprijs en de looptijd. Er wordt gekeken hoe deze ge¨ımpliceerde binomiale boom verkregen kan worden en er wordt met behulp van MATLAB een programma gemaakt die bij gegeven data de bijbehorende ge¨ımpliceerde binomiale boom geeft. Deze scriptie is gebasseerd op het artikel ’The volatility smile and its implied tree’, geschreven door Emanuel Derman en Iraj Kani in Januari 1994. In dit artikel worden bovenstaande dingen heel kort uitgelegd. In deze scriptie wordt de inhoud van dit artikel uitgebreid uitgelegd en worden de betreffende formules uit het artikel uitgewerkt. Verder blijkt de in het artikel genoemde ge¨ımpliceerde binomiale boom arbitragemogelijkheden te bevatten als de boom wordt bekeken voor langere tijd. Er wordt laten zien hoe deze arbitragemogelijkheden zijn uit te buiten. Enkele figuren die in deze scriptie terugkomen, zijn overgenomen uit dit artikel. Ik wil alvast mijn begeleider bij dit project, Dr. Jasper Anderluh bedanken voor zijn hulp bij het begeleiden van dit project.

6

CHAPTER 1. INLEIDING

Donald Hollenberg 2011

Contents 1 Inleiding

5

2 Opties en het Black-Scholes model 2.1 Introductie over opties . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Prijzen van opties . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Het Black-Scholes model . . . . . . . . . . . . . 2.4 Risiconeutrale kansen en Arrow-Debreu prijzen 2.5 Lognormale verdeling . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

11 11 12 16 16 18

3 De ge¨ımpliceerde binomiale boom: De theorie 3.1 Waarom een ge¨ımpliceerde binomiale boom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Samenstelling ge¨ımpliceerde binomiale boom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 21

4 De ge¨ımpliceerde binomiale boom: De praktijk 4.1 Een uitgewerkte binomiale boom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Arbitrage mogelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 30

5 Conclusie

37

6 Appendix 6.1 Appendix 6.2 Appendix 6.3 Appendix 6.4 Appendix 6.5 Appendix

39 39 40 41 47 49

A B C D E

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

7 Referenties

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

51

7

8

CONTENTS

9

10

CONTENTS

Chapter 2

Opties en het Black-Scholes model 2.1

Introductie over opties

Om over opties te kunnen praten is het belangrijk eerst te weten wat een optie precies inhoudt. Ook is het belangrijk te melden dat als er over opties gesproken wordt in dit verslag, het altijd over aandelen opties gaat. Een optie is een recht om tegen een vooraf bepaalde prijs binnen een afgesproken periode een bepaald goed te kopen of te verkopen. Een optie in de financ¨ıele markt geeft de houder van de optie het recht (maar niet de plicht) om een aandeel te kopen of verkopen tegen een vaste prijs op een bepaalde tijd. Er zijn erg veel soorten optiecontracten, maar in dit verslag zullen we naar 2 specifieke optiecontracten kijken: call opties en put opties. Een call optie geeft de houder het recht een aandeel te kopen; Een put optie geeft de houder het recht een aandeel te verkopen. Een optie is altijd een contract tussen 2 partijen. Dit betekent dat er naast de houder van de optie ook een schrijver van de optie is. Als de houder van een optie besluit gebruik te maken van zijn recht om het onderliggende aandeel te kopen of verkopen, zeggen we dat hij zijn optie uitoefent. De prijs waarop de optiehouder zijn optie uitoefent noemen we de uitoefenprijs. De prijs van het aandeel wordt de spotprijs genoemd. Opties hebben een bepaalde looptijd. Dit betekent echter niet automatisch dat de optie slechts uit te oefenen is aan het einde van deze looptijd. Indien een optie slechts uit te oefenen is op de verloopdatum zelf en niet eerder, wordt gesproken van een Europese optie. Echter, als een optie uit te oefenen is op elk willekeurig moment tot aan de verloopdatum, wordt de optie een Amerikaanse optie genoemd. De namen van deze opties hebben niets te maken met de locatie waar deze opties verhandeld worden: beide worden wereldwijd verhandeld. In dit verslag zal uitsluitend gekeken worden naar Europese opties. Zoals reeds vermeld is een optie een contract tussen 2 partijen. De houder van de optie heeft het recht een optie uit te oefenen. Er wordt ook wel gezegd dat de houder een long positie heeft in het contract. De schrijver van de optie heeft juist een short positie in het contract. Aangezien de houder het recht heeft zijn optie uit te oefenen, heeft de schrijver van de optie de verplichting om het onderliggende aandeel desgevraagd te kopen of leveren. Dit roept de vraag op waarom mensen opties schrijven. Immers, de houder van een optie maakt alleen gebruik van zijn recht als dit hem winst oplevert. Het antwoord hierop is dat een optie 11

12

CHAPTER 2. OPTIES EN HET BLACK-SCHOLES MODEL

een prijs heeft. Als een partij een optie koopt, betaalt hij hiervoor een bedrag aan de schrijver van de optie. Dit bedrag compenseert de schrijver van de optie voor het risico dat hij loopt in het geval dat de houder van de optie zijn optie uit zal oefenen. Als de uitoefenprijs van een call-optie lager is dan de spotprijs, zal de houder zijn optie uitoefenen. Het verschil tussen de spotprijs en de uitoefenprijs wordt de payoff genoemd. Dit is het bedrag dat de houder van de optie bruto verdient aan de optie als hij hem op dit moment zal uitoefenen. Een payoff is uiteraard altijd positief. Als er een payoff is bij het uitoefenen van een optie, wordt gezegd dat een optie in-the-money is. Een call optie is dus in-the-money als de uitoefenprijs lager is dan de spotprijs en put opties zijn juist in-the-money als de uitoefenprijs hoger is dan de spotprijs. Op dezelfde manier is een optie out-of-the-money als er geen payoff is bij het uitoefenen van de optie, bij een call optie dus als de uitoefenprijs hoger is dan de spot prijs en bij een put optie als de uitoefenprijs lager is dan de spotprijs. Is de spotprijs gelijk aan de uitoefenprijs wordt de optie at-the-money genoemd. Let er wel op dat als een optie out-of-the-money is, de houder ervan de optie natuurlijk niet zal uitoefenen.

2.2

Prijzen van opties

Zoals hierboven vermeld, heeft een optie een prijs. In 1979 publiceerden John Cox, Stephen Ross en Mark Rubinstein het binomiale optie prijs model. Dit model geeft een techniek voor het prijzen van opties, waarbij de simpele aanname wordt gemaakt dat een spotprijs aan het eind van de volgende periode slechtst 2 waarden kan hebben. Om een beetje een idee te krijgen van hoe dit model werkt, eerst een simpel voorbeeld van het berekenen van de prijs van een optie over 1 periode. Om deze prijs te berekenen, wordt een replicerend portfolio samengesteld dat dezelfde payoff heeft als de optie. Aangezien de optie en het portfolio dezelfde payoff hebben, moet de optie evenveel waard zijn als het portfolio. Immers, als dit niet zo zou zijn, zou er een arbitragemogelijkheid zijn, wat wil zeggen dat er door op de juiste manier te investeren een gegarandeerde winst te behalen valt. Om dit te verduidelijken, bekijken we het volgende voorbeeld. Beschouw een Europese call optie die verloopt na 1 periode met een uitoefenprijs van 50 dollar. De spotprijs op t = 0 is ook 50 dollar. We nemen verder aan dat de prijs van het aandeel over 1 periode kan stijgen of dalen met 10 dollar. De risicovrije rente is 6 procent. Deze informatie kunnen we samenvatten in een binomiale boom, zoals hieronder te zien in figuur 1.

2.2. PRIJZEN VAN OPTIES

13

Deze binominale boom bevat alle informatie die we op dit moment hebben: De spotprijs, prijs van een obligatie, de mogelijke spotprijzen na 1 periode en de payoff in beide gevallen. Om nu de prijs van de optie te berekenen, moet aangetoond worden dat de payoffs zijn te repliceren met een portfolio van het aandeel en een obligatie. Laat ∆ het aantal aandelen zijn dat gekocht ˜ het bedrag zijn dat geleend of uitgeleend is. Om de waarde van de call optie wordt, en laat B te bepalen, moet de waarde van het portfolio gelijk zijn aan de payoff van de optie, ongeacht of de spotprijs na 1 periode omhoog of omlaag gaat. Dit geeft 2 vergelijkingen, 1 voor het geval als de spotprijs omhoog gaat en 1 voor het geval de spotprijs omlaag gaat. Als de spotprijs omhoog gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 10 dollar (de waarde van de call bij die spotprijs): ˜ = 10 60∆ + 1.06B

(2.1)

Als de spotprijs omlaag gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 0 dollar (de waarde van de call bij die spotprijs): ˜=0 40∆ + 1.06B (2.2) ˜ Dit oplossen geeft We hebben 2 vergelijkingen met 2 onbekenden, ∆ en B. ∆ = 0.5

(2.3)

˜ = −18.8679 B

(2.4)

Een portfolio dat 0.5 aandeel long is en waarbij 18.87 dollar geleend is tegen 6 procent disconteringsvoet heeft dus een waarde na 1 periode die exact gelijk is aan de waarde van de call optie. De waarde van de call optie vandaag is nu gelijk aan de huidige waarde van de portfolio. Dit geeft ˜ = 50(0.5) − 18.87 = 6.13 50∆ + B (2.5)

14


De waarde van een call optie is dus gelijk aan 6.13 dollar. Uiteraard zijn optieprijzen ook uit te rekenen voor opties die verlopen na meer dan 1 periode. Hieronder zal een voorbeeld gegeven worden van een calloptie die verloopt na 2 periodes. Het principe voor een optie die verloopt na n periodes is analoog. Beschouw nu een Europese call optie die verloopt na 2 periodes met een uitoefenprijs van 50 dollar. De spotprijs op t = 0 is 40 dollar. We nemen verder aan dat de prijs van het aandeel over 1 periode kan stijgen of dalen met 10 dollar. De risicovrije rente is wederom 6 procent. Deze informatie kunnen we samenvatten in een binomiale boom, zoals hieronder te zien in figuur 2:

Om de optieprijs in een binomiale boom van meer dan 1 periode uit te rekenen, wordt begonnen aan het eind van de boom en van daaruit teruggewerkt. Op tijdstip 2 verloopt de optie. De optie zal dan 10 dollar waard zijn als de spotprijs naar 60 dollar is gegaan en zal anders niets waard zijn. Het idee is nu om te bekijken wat de optie waard is op elk mogelijke spotprijs op tijdstip 1. Wat is bijvoorbeeld de waarde van de optie als de optieprijs op tijdstip 1 is gestegen naar 50 dollar? In dit geval blijft de binomiale boom over die reeds in figuur 1 is weergegeven. Hierboven was aangetoond dat deze calloptie een waarde had van 6.13 dollar. Verder geldt voor ˜ = −18.87 het replicerend portfolio dat ∆ = 0.5 en B Als de optieprijs op tijdstip 1 is gedaald naar 30 dollar, zal de optie nooit meer in het geld kunnen eindigen, aangezien de spotprijs nooit meer boven de 50 dollar uit kan komen. In dit geval heeft de calloptie een waarde van 0 dollar. Nu de waarden van de calloptie op tijdstip 1 bekend zijn, kan er nu door terug te rekenen de optieprijs op tijdstip 0 bepaald worden. De verwachte payoff als de optie omhoog gaat is gelijk

2.2. PRIJZEN VAN OPTIES

15

aan de optieprijs van de calloptie op tijdstip 1 en is dus gelijk aan 6.13 dollar. De verwachte payoff als de optie omlaag gaat is gelijk aan 0. Er is dus nu een binomiale boom met de volgende situatie:

Dit is weer gewoon de eerder behandelde binomiale boom met een periode van 1. De vergelijkingen worden nu alleen iets anders. Als de spotprijs omhoog gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 6.13 dollar: ˜ = 6.13 50∆ + 1.06B

(2.6)

Als de spotprijs omlaag gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 0 dollar: ˜=0 30∆ + 1.06B

(2.7)

˜ Dit oplossen geeft Wederom 2 vergelijkingen met 2 onbekenden, ∆ en B. ∆ = 0.3065

(2.8)

˜ = −8.67 B

(2.9)

˜ = 40(0.3065) − 8.67 = 3.59 40∆ + B

(2.10)

De waarde van de calloptie is gelijk aan

Het grootste verschil tussen een optie die na 1 periode verloopt en een optie die na n periodes verloopt, is dat bij een optie die na n periodes verloopt het replicerend protfolio aan het eind van elke periode moet worden aangepast. In dit geval worden er op t = 0 0.3065 aandelen gekocht en 8.67 dollar geleend. Als de spotprijs omlaag gaat naar 30 dollar, zijn de aandelen 30 ∗ 0.3065 = 9.20 dollar waard en de schuld is gegroeid naar 8.67 ∗ 1.06 = 9.20 dollar. De netto

16


waarde van het portfolio is dus gelijk aan 0. In het geval dat de spotprijs stijgt naar 50 dollar, stijgt de netto waarde van het portfolio ook naar 6.13 dollar. In dit geval wordt de nieuwe ∆ van het portfolio 0.5 en moeten er dus 0.50 − 0.3065 = 0.1935 aandelen bijgekocht worden. Dit wordt betaald door 0.1935 ∗ 50 = 9.67 bij te lenen. Deze nieuwe samenstelling van het portfolio kost geen extra geld, op t = 2 is de schuld gelijk aan 8.67 ∗ 1.06 + 9.67 = 18.87 dollar, wat de ˜ was. eerder gevonden B

2.3

Het Black-Scholes model

In de werkelijkheid is het natuurlijk niet realistisch dat een aandeel over een paar tijdsintervallen met hetzelfde bedrag omhoog en omlaag gaat. Om het model realistisch te maken wordt de limiet van elk tijdsinterval naar 0 gebracht. Hierdoor worden oneindig veel tijdsintervallen verkregen. Dit leidt tot de formule van het Black-Scholes model: C = S × N (d1 ) − P V (K) × N (d2 )

(2.11)

met N (d) de kans dat een normaal verdeelde variabele een kleinere waarde heeft als d en d1 en d2 staan voor √ ln[S/P V (K)] σ T √ d1 = + 2 σ T √ d2 = d1 − σ T In deze formules is PV(K) de contante waarde van de uitoefenprijs, S de huidige prijs van het aandeel, T het aantal jaren totdat de optie verloopt en σ de volatiliteit van het aandeel. Om de waarde van een optie te bepalen zijn dus slechts 5 parameters nodig: De spotprijs, de uitoefenprijs, de verloopdatum, de risicovrije rente en de volatiliteit van het aandeel. Hiervan is de volatiliteit de enige parameter die voorspeld moet worden, de overige zijn direct waarneembaar. Hoe wordt deze volatiliteit dan geschat? Een manier waarop deze volatiliteit geschat kan worden, is door de optieprijs als input nemen en in te vullen in de Black-Scholes formule. Hierdoor blijft de volatiliteit over als enige onbekende. Deze schatting van de volatiliteit wordt ook wel de ge¨ımpliceerde volatiliteit σimp genoemd. De gevonden Black-Scholes formule geldt voor een call optie, maar ook voor een put optie is er een Black-Scholes formule. Call en put opties zijn namelijk als volgt verbonden via put-call pariteit: C = P + S − P V (K)

(2.12)

Dit substitueren in de Black Scholes formule geeft de Black-Scholes formule voor een put optie P = P V (K)[1 − N (d2 )] − S[1 − N (d1 )]

2.4

(2.13)

Risiconeutrale kansen en Arrow-Debreu prijzen

Naast de hierboven besproken manier is er nog een andere manier om optieprijzen uit te rekenen, namelijk via risiconeutrale kansen. De term risiconeutraal duidt er hier op dat wordt verondersteld dat een portfolio zo kan worden samengesteld, dat deze risicoloos is. Om aan te geven dat het om risiconeutrale kansen gaat en niet om daadwerkelijke kansen, wordt de risiconeutrale kans ρ genoemd. Om in te zien hoe risiconeutrale kansen werken, ga uit van een bedrag X op t = 0. Dit bedrag

2.4. RISICONEUTRALE KANSEN EN ARROW-DEBREU PRIJZEN

17

is groter te maken door het op de bank te zetten. In dit geval wordt er rente over dit bedrag verkregen en is er op t = 1 een bedrag verkregen van (1 + r) × X. Om risicoloos te handelen, moet de verwachting van het bedrag dat verkregen wordt door aandelen te kopen, gelijk zijn aan het bedrag dat verkregen wordt door geld op de bank te zetten. Dit is precies wat risiconeutrale kansen weergeven: ze geven die kans waarvoor de verwachting van het bedrag dat verkregen wordt door aandelen te kopen, gelijk is aan het bedrag dat verkregen wordt door geld op de bank te zetten. Om dit te verduidelijken een voorbeeldje. Bekijk nogmaals de situatie uit figuur 1. De spotprijs hier was 50 dollar, de uitoefenprijs was eveneens 50 dollar en in 1 periode kon deze spotprijs stijgen met 10 dollar en dalen met 10 dollar en de risicovrije rente is 6 procent. Laat ρ de risiconeutrale kans zijn dat de spotprijs stijgt, waardoor de risiconeutrale kans dat de spotprijs daalt 1 − ρ wordt. Door op t = 0 50 dollar op de bank te zetten, wordt op t = 1 1.06 × 50 = 53 dollar verkregen. De verwachte waarde van het aandeel op t = 1 is gelijk aan 60ρ + 40(1 − ρ). Door deze aan elkaar gelijk te stellen wordt de vergelijking gevonden waaruit de risiconeutrale kans te bepalen is: 1.06 × 50 = 60ρ + 40(1 − ρ) (2.14) Dit oplossen geeft ρ = 0.65. Merk op dat dit niet de daadwerkelijke kans is dat de spotprijs stijgt, maar dat dit de kans geeft waarvoor geld op de bank zetten en beleggen in een aandeel naar verwachting hetzelfde bedrag oplevert. Om het begrip risiconeutraal iets te verduidelijken, stel dat de daadwerkelijke kans dat het aandeel uit figuur 1 stijgt gelijk is aan 75 procent en de daadwerkelijke kans dat het aandeel daalt gelijk is aan 25 procent. In dit geval heeft het aandeel een verwachte opbrengst van: 60 × 0.75 + 40 × 0.25 − 1 = 0.1 50

(2.15)

Dit geeft dus een verwachte opbrengst van 10 procent. Aangezien de risicovrije rente 6 procent is, betekent dit dat het aandeel een risicopremie heeft van 4 procent. Als nu teruggegaan wordt naar de risiconeutrale kansen ρ = 0.65 en 1 − ρ = 0.35, dan wordt de verwachte opbrengst van het aandeel: 60 × 0.65 + 40 × 0.35 − 1 = 0.06 (2.16) 50 In dit geval is de verwachte opbrengst van het aandeel gelijk aan de risicovrije rente, waardoor het aandeel geen risicopremie heeft, vandaar de term risicovrije kansen. Deze risiconeutrale kansen kunnen nu worden gebruikt om optieprijzen te bepalen. De waarde van een optie is uiteraard gelijk aan het bedrag dat een optie naar waarschijnlijkheid opbrengt, oftewel de verwachte payoff van de optie. Als het aandeel uit figuur 1 stijgt naar 60 dollar is er een payoff van 10 dollar en als het aandeel daalt is er geen payoff. De verwachtte payoff is dus gelijk aan 10 × (0.65) + 0 × (1 − 0.65) = 6.50 dollar. Aangezien dit de verwachte payoff is op t = 1 en de optieprijs op t = 0 verkregen moet worden, moet dit bedrag nog gedeeld worden door de risicovrije rente. Dit geeft 6.50 1.06 = 6.13 dollar, wat zoals verwacht hetzelfde antwoord is dat gevonden werd in paragraaf 2. Dicht verbonden met risiconeutrale kansen zijn Arrow-Debreu prijzen λi . Hierin staat de i voor het i-de knooppunt van onderaf gezien. De Arrow-Debreu prijs van een knooppunt geeft de gedisconteerde risiconeutrale kans om dit knooppunt te bereiken. Om dit te verduidelijken, beschouw wederom figuur 1. Er wordt gestart vanuit het knooppunt op t = 0. De gedisconteerde

18


risiconeutrale kans λ1 om dit knooppunt te bereiken is uiteraard gelijk aan λ1 = 1. Vervolgens wordt de transitie omhoog of omlaag gemaakt. Hierboven was aangetoond dat de risiconeutrale kans om een transitie omhoog te maken gelijk was aan ρ = 0.65. De gedisconteerde kans λ2 om het bovenste knooppunt op t = 1 te bereiken is dus gelijk aan λ2 = 0.65 1.06 = 0.6132. Op dezelfde wijze is de risiconeutrale kans om een transitie omhoog te maken gelijk aan 1 − ρ = 0.35. De gedisconteerde kans λ1 om het onderste knooppunt op t = 1 te bereiken is dus gelijk aan λ1 = 0.35 1.06 = 0.3302. Om nu Arrow-Debreu prijzen te berekenen op t = 2, zijn alleen de Arrow-Debreu prijzen op t = 1 en de risiconeutrale kansen om vanuit t = 1 de transitie omhoog of omlaag te maken nodig. Deze vermenigvuldigd geven de nieuwe Arrow-Debreu prijzen op t = 2. Arrow-Debreu prijzen zullen een zeer handig hulpmiddel blijken bij de uiteindelijke constructie van de ge¨ımpliceerde binomiale boom.

2.5

Lognormale verdeling

Als gekeken wordt naar binomiale bomen, bestaan er 2 soorten binomiale bomen. Er zijn bomen waar de spotprijs telkens verandert met een vast bedrag omhoog of omlaag. In dit geval wordt gesproken van een additieve boom. Hiernaast zijn er ook bomen waar de spotprijs niet verandert met een bepaald bedrag, maar verandert via een percentage. In dit geval wordt gesproken van een multiplikatieve boom. Stel er wordt nu gekeken naar de verdeling van de eindprijs die tot stand komt na een bepaald aantal tijdstappen. Als de additieve prijsverandering tussen tijdstippen t en t+1 gegeven worden door ∆St,t+1 , dan geldt: Sn = S0 + ∆S0,1 + ∆S1,2 + .. + ∆Sn−1,n

(2.17)

Bij een additieve boom veranderd de prijs dus telkens met hetzelfde bedrag, bijvoorbeeld +10 met kans p en -10 met kans (1 − p). Uit de centrale limietstelling volgt dan dat de gemiddelde prijsverandering, na een groot aantal stappen, normaal verdeeld is. Als nu naar een multiplikatieve boom gekeken wordt, wordt uiteraard een ander resultaat verkregen. Als de procentuele prijsveranderingen tussen tijdstippen t en t + 1 gegeven worden door ∆St,t+1 , dan geldt: St Sn = S0 × (1 +

∆S0,1 ∆S1,2 ∆Sn−1,n ) × (1 + ) × .. × (1 + ) S0 S1 Sn−1

(2.18)

Aangezien de centrale limietstelling alleen toe te passen is op sommen en in (2.18) juist producten staan, is de centrale limietstelling niet toe te passen op (2.18). Van producten zijn echter sommen te maken, door te werken met logaritmes. Hierdoor wordt uit (2.18) het volgende verkregen: ln Sn = ln S0 + (1 +

∆S0,1 ∆S1,2 ∆Sn−1,n ) + ln(1 + ) + .. + ln(1 + ) S0 S1 Sn−1

(2.19)

Aangezien nu weer een vergelijking verkregen is met sommen, is de centrale limietstelling nu wel weer toepasbaar. Een multiplicatieve boom heeft dus een normale verdeling voor logaritmes, oftewel een lognormale verdeling.

Chapter 3

De ge¨ımpliceerde binomiale boom: De theorie 3.1

Waarom een ge¨ımpliceerde binomiale boom?

Er is nu dus een manier gevonden om opties te prijzen. Waarom dan toch een ge¨ımpliceerde binomiale boom? Dit heeft er mee te maken dat het Black-Scholes model de aanname maakt dat de volatiliteit constant is, zoals te zien is in figuur 4.

In werkelijkheid is de volatiliteit echter niet constant. Het blijkt bijvoorbeeld dat de ge¨ımpliceerde volatiliteit gecorreleerd is met de uitoefenprijs. Figuur 5 laat zien dat de ge¨ımpliceerde volatiliteit een correlatie vertoond met de uitoefenprijzen van opties op de SP 500 index, bekeken op 5 Mei 1993.

19

20

CHAPTER 3. DE GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM: DE THEORIE

Naast de uitoefenprijs, blijkt de ge¨ımpliceerde volatiliteit ook gecorreleerd te zijn met de looptijd. Als wederom gekeken wordt naar de SP 500 index van 5 Mei 1993, is te zien dat de ge¨ımpliceerde volatiliteit en de looptijd correlatie vertonen. Dit is te zien in figuur 6.

Er kan dus een beter model verkregen worden door de volatiliteit variabel te maken in de tijd in plaats van vast. Hierdoor verkrijgen we een volatiliteit die afhankelijk is van zowel de spotprijs

3.2. SAMENSTELLING GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM

21

als de tijd. In dat geval krijgen we de situatie zoals deze te zien is in figuur 7.

Het model met een volatiliteit die variabel is in de tijd is de ge¨ımpliceerde binomiale boom die hier gaat worden afgeleid.

3.2

Samenstelling ge¨ımpliceerde binomiale boom

Om de ge¨ımpliceerde binomiale boom te verkrijgen, gaat het Black-Scholes model dus eigenlijk uitgebreid worden. Zoals eerder gezien heeft het Black-Scholes model de belangrijke eigenschap dat spotprijzen zich voortbewegen met een constante volatiliteit σ op elke tijd en elk marktlevel. Deze aanname bleek echter niet helemaal overeen te komen met de werkelijkheid. Figuur 5 laat de afname van σimp zien bij hogere uitoefenprijs. Dit figuur blijkt a-symmetrisch te zijn, terwijl we via Black-Scholes dus een rechte lijn zouden verwachten. Dit verschijnsel wordt ook wel de volatiliteits skew genoemd. Om de ge¨ımpliceerde boom nu te verkrijgen moeten er eerst een paar dingen gedefinieerd worden. We gaan er van uit dat er al een boom geconstrueerd is die loopt van tijdstip t1 tot tijdstip tn . Al de gegevens die tot dit tijdstip berekend zijn, zijn berekend aan de hand van de ge¨ımpliceerde volatiliteiten van alle opties met alle spotprijzen tot deze periode. Van deze boom zijn al n tijdstippen geconstrueerd, dus er zijn n knooppunten en elk knooppunt heeft een bekende spotprijs si . Het doel is om het (n + 1)e tijdstip te construeren, want als dat gedaan is, is via inductie de gehele boom te construeren. Er is dus de situatie als in figuur 8:

22


Er zijn dus al n knooppunten bekend op tijdstip tn . Elk knooppunt heeft een bekende spotprijs si en gaat of naar een hoger knoopunt met prijs Si+1 of een lager knooppunt met prijs Si op tijdstip tn+1 . Verder introduceren we de forward price Fi . Deze forward price geeft het bedrag dat een tijdstip later uitgekeerd wordt indien geld op de bank wordt gezet. Over dit wordt dan rente verkregen. De forward price wordt daarom gegeven door Fi = er∆t si

(3.1)

Hierin staat r voor de risicovrije rente. Zoals in chapter 2 was laten zien, heeft elk knooppunt een risiconeutrale kans ρi om de transitie omhoog te maken naar het volgende knooppunt. De risiconeutrale kans om de transitie omlaag te maken is dan uiteraard gelijk aan 1 − ρi . Deze risiconeutrale kans geeft de waarde van de kansen waarvoor de verwachte waarde van het aandeel op tijdstip tn+1 exact gelijk is aan de forward price. Er wordt met ρi gewerkt in plaats van pi , om duidelijk te maken dat het gaan om risiconeutrale kansen en niet om daadwerkelijke kansen. Eerder was al aangetoond hoe spotprijzen en risiconeutrale kansen met elkaar verbonden waren: si =

Si+1 ρi + Si (1 − ρi ) er∆t

(3.2)

er∆t naar de andere kant halen en (3.1) invullen geeft een alternatieve formule voor de forward price: Fi = ρi Si+1 + (1 − ρi )Si (3.3)


23

Omschrijven geeft ook de risiconeutrale kans ρi , afhankelijk van de forward price en spotprijzen: ρi =

Fi − Si Si+1 − Si

(3.4)

In het deel over risiconeutrale kansen is al laten zien dat de theoretische waarde van de optieprijs gelijk is aan de som van het product van de gedisconteerde kans een bepaald knooppunt te bereiken en de payoff in dit knooppunt. Laat nu C(si , tn+1 ) en P (si , tn+1 ) de bekende huidige marktwaarden zijn voor een call en put optie met uitoefenprijs si die verloopt op tn+1 . De theoretische waarde van een call optie met uitoefenprijs K die verloopt op tn+1 is dan dus gegeven over de som van de gedisconteerde risiconeutrale kansen om ieder knooppunt j op tijdstip tn+1 te bereiken vermenigvuldigd met de payoff in ieder knooppunt. De payoff voor een call optie is het verschil tussen de uitoefenprijs en spotprijs als de spotprijs hoger is dan de uitoefenprijs en anders gelijk aan 0. Deze payoff wordt dus gegeven door max(Sj+1 − K, 0)

(3.5)

In het gedeelte over Arrow-Debrue prijzen was aangetoond dat de gedisconteerde risiconeutrale kans om een knooppunt op tijdstip tn+1 te bereiken de som is van de vermenigvuldiging van de Arrow-Debreu prijzen op tijdstip tn met de risiconeutrale kansen om dit betreffende knooppunt te bereiken. Deze is dus gelijk aan λj ρj + λj+1 (1 − ρj+1 )

(3.6)

Het product van de gedisconteerde kans een bepaald knooppunt j te bereiken en de payoff in dit knooppunt is dus het product van 3.6 en 3.5 en is gelijk aan: (λj ρj + λj+1 (1 − ρj+1 )) max(Sj+1 − K, 0)

(3.7)

De theoretische waarde van C(K,tn+1 ) is gelijk aan de som van het product van de gedisconteerde kans een bepaald knooppunt j te bereiken en de payoff in dit knooppunt, oftewel de som over 3.7 en is gelijk aan C(K, tn+1 ) = e−r∆t

n X

(λj ρj + λj+1 (1 − ρj+1 ))max(Sj+1 − K, 0)

(3.8)

j=1

Merk op dat deze vergelijking begint met een transitie omhoog vanaf het 1e knooppunt. De transitie omlaag vanuit het 1e knooppunt wordt niet gemaakt. Hier is dus de aanname gemaakt dat de bijdrage van deze transitie 0 is, oftewel dat de payoff bij deze transitie 0 is. Anders gezegd, S1 < K. Als de uitoefenprijs K gelijk is aan de spotprijs si , dan kan de contributie van het eerste knooppunt waarvoor de optie in the money belandt gescheiden worden van de overige contributies. Op deze manier is (3.8) zo te schrijven dat hij afhankelijk is van de bekende Arrow-Debreu prijzen, de bekende spotprijzen si en de bekende forward prijzen. Dit geeft e

r∆t

C(si , tn+1 ) = λi ρi (Si+1 − si )

n X

(λj (Fj − si ))

j=i+1

Voor de uitwerking van (3.9), zie appendix A.

(3.9)

24


Aangezien Fi en C(si , tn+1 ) bekend zijn, is via (3.4) en (3.9) Si+1 uit te werken in termen van Si P Si [er∆t C(si , tn + 1) − nj=i+1 λj (Fj − si )] − λi si (Fi − Si ) P (3.10) Si+1 = [er∆t C(si , tn + 1) − nj=i+1 λj (Fj − si )] − λi (Fi − Si ) Voor de uitwerking hiervan, zie appendix B. Via deze gevonden vergelijkingen is het mogelijk de Si+1 en ρi te bepalen voor alle knooppunten die boven het centrale deel van de boom liggen als Si bekend is in een initieel knooppunt. Als het aantal knooppunten op tijdstip tn+1 oneven is, dan ligt deze Si centraal (op i = n2 + 1) met een spotprijs die gelijk is aan de huidige spotprijs (De spotprijs in het startpunt van de boom). Vervolgens zijn Si+1 en ρi te bepalen via (3.3) en (3.10). Via deze weg is de bovenste helft van de boom te bepalen. Als het aantal knooppunten op tijdstip tn+1 even is, dan is er geen centraal knooppunt. In dit geval wordt gekeken naar de knooppunten die net boven en onder het centrum liggen, oftewel Si en Si+1 met i = n+1 2 . In paragraaf 2.5 was al aangetoond dat een multiplicatieve boom lognormaal verdeeld is. Hierdoor kan worden verondersteld dat het gemiddelde van de natuurlijke logaritme van de spotprijzen van deze 2 knooppunten, gelijk is aan het logaritme van de huidige spotprijs, oftewel log(Si ) + log(Si+1 ) 2 Via de rekenregels van de logaritmen geeft (3.11) log(si ) =

Si =

s2i Si+1

(3.11)

(3.12)

Dit substitueren in (3.10) geeft de formule voor de bovenste van de 2 middelste knooppunten: P si [er∆t C(si , tn+1 ) + λi si − nj=i+1 λj (Fj − si )] P (3.13) Si+1 = λi Fi − er∆t C(si , tn+1 ) + nj=i+1 λj (Fj − si ) Op deze manier is dus het gehele bovenste deel van de ge¨ımpliceerde binomiale boom te bepalen. Op een zelfde wijze is ook het onderste deel te bepalen. Dit gebeurt aan de hand van bekende putoptie prijzen. In dit geval wordt een formule verkregen die sterkt lijkt op (3.10). Het verschil is alleen dat de payoff bij put opties precies het tegenovergestelde is als bij call opties. De payoff bij een put optie is max(K − Sj+1 , 0)

(3.14)

De formule die de spotprijs berekent van een knooppunt in het onderste deel via een bekende spotprijs van een hoger gelegen knooppunt wordt gegeven door P Si+1 [er∆t C(si , tn + 1) − i−1 j=1 λj (si − Fj )] − λi si (Fi − Si+1 ) Si = Pi−1 r∆t [e C(si , tn + 1) − j=1 λj (si − Fj )]] − λi (Fi − Si+1 )

(3.15)

Het verschil tussen deze formule en de eerder gevonden (3.10) is dat Si en Si+1 precies omgedraaid zijn, aangezien hier de waarde van een lager knooppunt wordt bepaald uit een hoger knooppunt, waar (3.10) juist de waarde van een hoger knooppunt bepaalde uit een lager knoopunt. Verder is het gedeelte achter de sommatie precies omgekeerd, vanwege (3.14), oftewel omdat de payoff bij putopties precies omgekeerd is aan de payoff bij call opties.


25

Als de spotprijs van het centrale knooppunt bekend is, is nu via (3.4) en (3.15) de waarde van de spotprijzen en de risiconeutrale kansen op alle knooppunten in het onderste deel te bepalen.

26


Chapter 4

De ge¨ımpliceerde binomiale boom: De praktijk 4.1

Een uitgewerkte binomiale boom

Met de formules die in het vorige hoofdstuk zijn afgeleid, is het nu mogelijk een complete ge¨ımpliceerde binomiale boom te construeren. Om het niet te gecompliceerd te maken wordt deze ge¨ımpliceerde binomiale boom geconstrueerd voor tijdsperiodes van één jaar. Allereerst moeten er een paar aannames worden gemaakt. Zo moet de huidige waarde van het aandeel, het dividendrendement en de risicovrije rente gekozen worden. In de binomiale boom die hier geconstrueerd wordt, is ervan uitgegaan dat de huidige waarde van het aandeel 100 dollar is, er geen dividendrendement is en een risicovrije rente van 3 procent. Verder wordt aangenomen dat de jaarlijkse ge¨ımpliceerde volatiliteit van een at-the-money Europese call optie gelijk is aan 10 procent en dat deze ge¨ımpliceerde volatiliteit lineair stijgt met 0.5 procent voor elke daling van 10 dollar van de uitoefenprijs. Op dezelfde manier daalt de ge¨ımpliceerde volatiliteit lineair met 0.5 procent voor elke stijging van de uitoefenprijs met 10 dollar. Anders gezegd, als we de uitoefenprijs K noemen, de ge¨ımpliceerde volatiliteit σimp en S de spotprijs, dan wordt de ge¨ımpliceerde volatiliteit bepaald via σimp = 0.1 +

K −S 2000

(4.1)

Aangezien de aanname was gemaakt dat S = 100, wordt dit σimp = 0.1 +

K − 100 2000

(4.2)

De ge¨ımpliceerde binomiale boom wordt nu als volgt geconstrueerd. Eerst worden de optieprijzen bepaald. De spotprijs op tijdstip 0 was 100 dollar. Om nu de spotprijzen te bepalen van de ge¨ımpliceerde binomiale boom op het tijdstip t, is de uitoefenprijs op tijdstip t-1 nodig. Deze is direct af te lezen uit de tot dan toe geconstrueerde ge¨ımpliceerde binomiale boom. Aan de hand van deze uitoefenprijs kan de ge¨ımpliceerde volatiliteit bepaald worden via (4.2). Bij deze ge¨ımpliceerde volatiliteit hoort een binomiale boom (let op, geen ge¨ımpliceerde binomiale boom), waarvan de waarde bij een transitie omhoog danwel omlaag in deze binomiale boom gegeven wordt door een factor e±σimp . Via deze binomiale boom zijn de optieprijzen te berekenen die horen bij de bijbehorende σimp . Hoe optieprijzen uit een binomiale boom te halen zijn, is in 27

28

CHAPTER 4. DE GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM: DE PRAKTIJK

hoofdstuk 1 aangetoond. Nu deze optieprijs gevonden is, kunnen de waarden van de ge¨ımpliceerde binomiale boom worden bepaald. Dit gaat op een andere manier voor oneven knooppunten als voor even knooppunten. Als het aantal knooppunten in de ge¨ımpliceerde binomiale boom op tijdstip tn oneven is, is de waarde van het middelste knooppunt gelijk aan de gekozen spotprijs op tijdstip 0, in dit geval 100 dollar. De waarden van de knooppunten boven dit middelste knooppunt zijn recursief te vinden via (3.10) en de waarden van de knooppunten onder dit middelste knooppunt zijn recursief te vinden via (3.15). Als het aantal knooppunten in de ge¨ımpliceerde binomiale boom op tijdstip tn even is, is er geen middelste knooppunt. In dit geval wordt de waarde van de bovenste van de 2 middelste knooppunten bepaald via (3.13). Nu de waarde van dit knooppunt bekend is, is ook de waarde van de onderste van de 2 middelste knooppunten te berekenen via (3.12). Nu de waarden van deze 2 middelste knooppunten bekend is, zijn wederom de waarden voor de overige bovenliggende en onderliggende knooppunten recursief te bepalen via (3.10) en (3.15). De boom is nu te construeren onder aannamen voor de spotprijs op tijdstip 0, het dividendrendement en de risicovrije rente. Dit is gedaan met behulp van het programma MATLAB. De matlabcode is te vinden in Appendix C. Deze code geeft voor de eerste 5 jaar de volgende ge¨ımpliceerde binomiale boom:        

 100.00 110.52 120.30 130.07 139.16 147.73 0 90.48 100.00 110.57 120.36 130.10   0 0 79.31 90.44 100.00 110.63   0 0 0 71.32 79.29 90.39   0 0 0 0 58.86 71.19  0 0 0 0 0 54.34

Hierin is de t-de kolom tijdstip t − 1 en de K-de rij knooppunt K − t + 1. Dit houdt in dat er op tijdstip 0 één knooppunt is met spotprijs 100. Vervolgens zijn er op tijdstip 1 twee knooppunten: één met een transitie omhoog vanaf het knooppunt op tijdstip 0 (met spotprijs 110.52) en één met een transitie omlaag vanaf het knooppunt op tijdstip 0 (met spotprijs 90.48). Dit gaat zo door tot tijdstip 5. Om duidelijk te maken hoe deze boom nou precies is opgebouwd, zullen de eerste paar tijdstippen uitgewerkt worden. Op tijdstip 0 is er één knooppunt met spotprijs 100. Op tijdstip 1 zijn er 2 knooppunten, één met transitie omhoog vanaf het knooppunt op tijdstip 0 en één met transitie omlaag van tijdstip 0. Omdat het aantal knooppunten even is, is er geen middelste knooppunt en moet de waarde van de spotprijs van het bovenste knooppunt bepaald worden via (3.13). De uitoefenprijs is gelijk aan si = 100, er∆t = 1.03, Fi = 1.03 ∗ 100 = 103 en λ0 = 1.000. Dit invullen geeft 100[1.03 ∗ C(100, 1) + 1.000 ∗ 100] Si+1 = (4.3) 1.000 ∗ 103 − 1.03 ∗ C(100, 1) De sommatie term is hier gelijk aan 0, omdat er geen hoger gelegen knooppunten zijn. Uit (4.2) volgt dat bij een uitoefenprijs van 100 dollar een ge¨ımpliceerde volatiliteit hoort van 10 procent. Dit geeft de binomiale boom, waaruit de optieprijs van de call C(100,1) te halen is. Deze blijkt hier gelijk te zijn aan 6.38 dollar. Dit invullen in (4.3) geeft Si+1 = 110.52.

4.1. EEN UITGEWERKTE BINOMIALE BOOM

29

Het onderste knooppunt op tijdstip 1 is nu makkelijk te verkrijgen via (3.12). Invullen geeft Si = 90.48. Via (3.4) is nu ook de kans op een opwaartse transitie op tijdstip 1 uit te rekeken: ρ0 =

103 − 90.48 = 0.625 110.52 − 90.48

(4.4)

Via deze kans is ook de nieuwe Arrow-Debreu prijs uit te rekenen: λi+1 =

λ0 ∗ ρ0 1.000 ∗ 0.625 = = 0.607 er∆t 1.03

(4.5)

Als laatste zullen de knooppunten op tijdstip 2 behandeld worden. Dit tijdstip heeft 3 knooppunten, waarvan de middelste spotprijs 100 heeft. Via (3.10) is nu recursief de waarde van het bovenste knooppunt te berekenen. De uitoefenprijs is gelijk aan si = 110.52, er∆t = 1.03, Fi = 1.03 ∗ 110.52 = 113.84 en λi+1 = 0.607. Dit invullen in (3.10) geeft Si+1 =

100[1.03 ∗ C(110.52, 2)] − 0.607 ∗ 110.52 ∗ (113.84 − 100) 1.03 ∗ C(110.52, 2) − 0.607 ∗ (113.84 − 100)

(4.6)

De sommatie term is hier wederom gelijk aan 0, omdat er geen hoger gelegen knooppunten zijn. Uit (4.2) volgt dat bij een uitoefenprijs van 110.52 een ge¨ımpliceerde volatiliteit hoort van 9.47 procent. Dit geeft de binomiale boom, waaruit de optieprijs van de call C(110.52,2) te halen is. Deze blijkt hier gelijk te zijn aan 3.92 dollar. Dit invullen in (4.6) geeft Si+1 = 120.30. De waarde van het onderste knooppunt is op soortgelijke wijze recursief te bepalen via (3.15). Dit geeft Si = 79.31. Op deze manier is bovengenoemde matrix geconstrueerd. Ook zijn nu weer bijbehorende risiconeutrale kansen en Arrow-Debreu prijzen op soortgelijke wijze te vinden. Via het in Appendix C beschreven MATLAB programma zijn ook alle risiconeutrale kansen en Arrow-Debreu prijzen die bij de gevonden ge¨ımpliceerde binomiale boom horen te vinden. Deze zien er als volgt uit. Risiconeutrale kansen:      

0.6248 0.6815 0.6837 0.7240 0.7506 0 0.6713 0.6239 0.6822 0.6854 0 0 0.5421 0.6692 0.6230 0 0 0 0.7147 0.5458 0 0 0 0 0.3731

     

Arrow-Debreu prijzen:        

1.0000 0.6066 0.4014 0.2664 0.1873 0.1365 0 0.3643 0.4250 0.3807 0.3235 0.2606 0 0 0.1163 0.2164 0.2580 0.2549 0 0 0 0.0517 0.1054 0.1503 0 0 0 0 0.0143 0.0516 0 0 0 0 0 0.0087

       

30

4.2


Arbitrage mogelijkheden

Zoals te zien wordt er voor de eerste 5 jaar een keurige ge¨ımpliceerde binomiale boom geconstrueerd. Als echter gekeken wordt naar de eerste 6 jaar, doet zich iets geks voor. In dit geval ziet de ge¨ımpliceerde binomiale boom er als volgt uit:

         

 100.00 110.52 120.30 130.07 139.16 147.73 155.60 0 90.48 100.00 110.57 120.36 130.10 139.06   0 0 79.31 90.44 100.00 110.63 120.39   0 0 0 71.32 79.29 90.39 100.00   0 0 0 0 58.86 71.19 79.14   0 0 0 0 0 54.34 58.57  0 0 0 0 0 0 86.29

Het blijkt dat hier, vanaf het onderste knooppunt op tijdstip 5 bekeken, zowel de transitie omhoog als de transitie omlaag een hogere index geeft dat het onderste knooppunt op tijdstip 5. Dit betekent dat de bijbehorende optieprijs een arbitragemogelijkheid geeft. Anders gezegd, de optieprijs is te hoog of te laag, waardoor er door op de juiste wijze te kopen en verkopen een mogelijkheid is om risicoloos geld te verdienen. Het gaat in dit geval om de prijs van een putoptie met een looptijd van 6 jaar en een uitoefenprijs van 54.34 dollar. Deze putoptie P(54.34,6) heeft een optieprijs van 0.0254. Om te bekijken of deze optieprijs te hoog of te laag is, moet worden gekeken naar de grafiek van de optieprijs uitgezet tegen de spotprijs van het onderste knooppunt op tijdstip 6. Er doet zich een arbitragemogelijkheid voor als de spotprijs van dit knooppunt hoger is als 54.34. Uit deze grafiek is dus af te lezen bij welke optieprijs er geen arbitragemogelijkheid is, waardoor ook meteen duidelijk is of de optieprijs van 0.0254 te hoog of te laag is. De grafiek van een putoptie P(54.34,6) uitgezet tegen de spotprijs op het te onderzoeken knooppunt ziet er als volgt uit:

4.2. ARBITRAGE MOGELIJKHEDEN

31

Uit deze grafiek volgt dat de spotprijs tussen 0 en 54.34 ligt, zo lang de optieprijs in het interval [0,0.0204] ligt. Hierna wordt de spotprijs negatief om vervolgens even discotinu te zijn en een sprong te maken naar een spotprijs die hoger ligt dan 54.34, waarna deze a-symptotisch naar 54.34 toeloopt. Hieruit blijkt dus dat de optieprijs van 0.0254 te duur is. Ter verduidelijking hier de grafiek van de optieprijs uitgezet tegen de spotprijs op het interval [0,0.0204]:

32


De vraag die blijft staan nu is hoe deze arbitragemogelijkheid dan precies benut kan worden. Om dit te doen, wordt gebruik gemaakt van de techniek voor het prijzen van opties, die eerder in dit verslag besproken was. Hier werd de prijs van een optie bepaald door een replicerend portfolio te maken die de dezelfde payoff heeft als de optie. Vervolgens geldt, omdat beide dezelfde payoffs hebben, dat de waarde van de optie en het replicerend portfolio aan elkaar gelijk moeten zijn. Het enige probleem waar we hier mee te maken hebben, is dat de spotprijs van het onderste knooppunt op tijdstip 6 onbekend is. Het enige wat bekend is van dit knooppunt is dat de spotprijs ligt in het interval [0,54.34]. Stel nou dat de spotprijs wel bekend was en dat deze gelijk is aan 50 dollar. In dit geval is via de in paragraaf 2 gebruikte methode precies te achterhalen wat voor portfolio op elk tijdstip nodig is om een arbitragemogelijkheid te hebben. Dit gaat als volgt in zijn werk: Ten eerste is uit figuur 8 af te lezen welke optieprijs hoort bij een spotprijs van 50 dollar. De optieprijs voor een P(54.34,6) blijkt 0.0111 te zijn. Door op elk tijdstip het juiste portfolio te nemen is dus een gegarandeerde winst te behalen van 0.0254 − 0.0111 = 0.0143 dollar. Dit portfolio wordt samengesteld, zoals reeds in hoofdstuk 2 uitgelegd, het enige verschil is dat we hier een binomiale boom hebben met 6 periodes. De enige manier waarop de optie in het geld kan geraken, is als 6 keer de transitie omlaag wordt gemaakt. Zodra in de binomiale boom 1 keer de transitie omhoog wordt gemaakt, kan de optie niet meer in het geld komen en is de optie niets meer waard. Dit betekent automatisch dat de ˜ krijgen van 0. Dit geeft een verlies van samenstelling van het replicerend portfolio een ∆ en B 0.0111 dollar op het portfolio, maar een winst van 0.0254 dollar op de verkochte optie, wat de verwachte winst van 0.0143 dollar opbrengt De binomiale boom moet dus doorgerekend worden voor de onderste tak op elk tijdstip. Zoals


33

eerder al in hoofdstuk 2 was laten zien, moet begonnen worden op t = 5 en moet vanuit daar teruggerekend worden naar t = 0. Op t = 5 is er de volgende binomiale boom:

Dit geeft 2 vergelijkingen: ˜=0 58.57∆ + 1.03B

(4.7)

˜ = 4.34 50∆ + 1.03B

(4.8)

2 vergelijkingen met 2 onbekenden, oplossen geeft: ∆ = −0.506418

(4.9)

˜ = 28.796977 B

(4.10)

De waarde van de calloptie op t = 5 is gelijk aan ˜ = 54.34(−0.506418) + 28.796977 = 1.278238 54.34∆ + B

(4.11)

Dit betekent dat, mocht de spotprijs 5 keer dalen en 54.34 dollar worden, dan is de P(54.34,6) optie 1.278238 dollar waard. Op t = 4 is er een spotprijs van 58.86, een transitie omhoog naar 71.19 en een transitie omlaag naar 54.34. De verwachte payoff bij een transitie omlaag is gelijk aan de waarde van de putoptie op t = 5 en is dus 1.278238. Dit geeft weer 2 vergelijkingen met 2 onbekenden: ˜=0 71.19∆ + 1.03B

(4.12)

˜ = 1.278238 54.34∆ + 1.03B

(4.13)

34


Oplossen geeft: ∆ = −0.075860

(4.14)

˜ = 5.243165 B

(4.15)


(4.16)

In Appendix D is dit uitgewerkt voor t = 3 tot en met t = 0 Door op t = 0 de P(54.34,6) te verkopen voor 0.0254 dollar en het replicerend portfolio te kopen en telkens aan te passen naar de samenstelling die zojuist hierboven berekend is, is er een gegarandeerde winst te behalen van 0.0254 − 0.0111 = 0.0143 dollar. Dit gaat als volgt in zijn werk. Op t = 0 wordt 0.001516 aandeel verkocht voor een prijs van 100 dollar. Tevens wordt er 0.162637 dollar op de bank gezet tegen een risicovrije rente van 3 procent. De verkoop van het aandeel levert 0.151570 dollar op, terwijl het geld op de bank zetten 0.162637 dollar kost. De kosten hiervoor zijn dus 0.162637 − 0.151570 = 0.011067 dollar. Als de spotprijs van het aandeel op t = 1 stijgt, kan de P(54.34,6) nooit meer in het geld belanden en is er dus een winst behaald van 0.001516 − 0.0111 = 0.0143 dollar. Indien de spotprijs daalt naar 90.48, gaat het portfolio aangepast worden. Er wordt −0.001516 − (−0.004597) = 0.003081 aandeel extra verkocht voor een prijs van 90.48 dollar. Dit levert 0.003081 ∗ 90.48 = 0.278769 dollar op. Dit geld wordt op de bank gezet. Er staat nu 1.03 ∗ 0.162637 + 0.278769 = 0.446285 ˜ Er is dus geen extra op de bank, wat (op afrondfouten na) gelijk is aan de eerder gevonden B. geld uitgegeven om het portfolio aan te passen en de kosten voor het portfolio zijn nog altijd 0.0111 dollar. Dit gaat zo door tot t = 5. Als de spotprijs omhoog gaat, is er een winst van 0.0143 dollar en als de spotprijs daalt, wordt het portfolio aangepast. Er van uitgaande dat de spotprijs elk tijdstap gedaald is en het portfolio aangepast, is er op t = 5 de situatie dat de spotprijs 54.34 dollar is en dat de spotprijs kan stijgen naar 58.57 dollar of kan dalen naar 50 dollar. Verder is er een portfolio, waarin 0.506418 aandeel verkocht is en 28.796977 dollar op de bank gezet is. Als de spotprijs stijgt, is de optie niet in het geld en kan het portfolio kosteloos ingeruild worden, wat weer de winst van 0.0143 dollar geeft. Indien de spotprijs daalt naar 50 dollar, is de optie in het geld en 54.34 − 50 = 4.34 dollar waard. Aangezien de optie verkocht was, moet dit geld worden uitgekeerd. ˜ + 50 × ∆ = 1.03 × 28.796977 + Echter, het portfolio kan ook worden ingewisseld, wat 1.03 × B 50 × −0.506418 = 4.34 dollar oplevert, waarmee de optie afbetaald kan worden. Ook in dit geval is de optie verkocht voor 0.0254 dollar en het portfolio verkocht voor 0.0111 dollar, wat wederom de winst van 0.0143 dollar oplevert. In elke mogelijke situatie wordt er 0.0143 dollar winst gemaakt, dus er is in dit geval sprake van een arbitragemogelijkheid. Er is in dit geval echter de aanname gemaakt dat op tijdstip 6 de spotprijs van het onderste knooppunt 50 dollar is. In werkelijkheid is de spotprijs op dit knooppunt onbekend, het enige wat bekend is, is dat de spotprijs in het interval [0,54.34] ligt. In het geval dat de spotprijs 40 blijkt in plaats van 50 en de spotprijs daalt op elk tijdstip, dan moet op t = 6 54.34 − 40 = 14.34 dollar worden uitgekeerd voor de P(54.34,6) optie. Het portfolio zal in dit ˜ + 40 × ∆ = 1.03 × 28.796977 + 40 × −0.506418 = 9.40 dollar oplevert. In dit geval 1.03 × B


35

geval kost de optie meer als dat het portfolio oplevert en is er dus geen arbitragemogelijkheid. Anders gezegd, als het portfolio opgebouwd is zoals hierboven beschreven, is er slechts een arbitragemogelijkheid als de spotprijs van het onderste knooppunt op t = 6 groter of gelijk is dan 50 dollar. Dit betekent dus dat er alleen een arbitragemogelijkheid is als de payoff van de optie niet hoger uit kan vallen. Dit is uiteraard het geval als ervan uitgegaan wordt dat de spotprijs van het onderste knooppunt op t = 6 gelijk is aan 0 dollar. In dit geval kan de uitbetaling van de optie nooit hoger uitvallen dan het bedrag wat verkregen kan worden door het portfolio in te wisselen. Uit figuur 8 is af te lezen dat bij een spotprijs van 0 dollar een optieprijs van 0.0204 dollar hoort. Er is dus een gegarandeerde winst te behalen van 0.0254 − 0.0204 = 0.0050 dollar. De samenstelling van het replicerend portfolio gaat op dezelfde wijze als eerder bij een spotprijs van 50 dollar en is uitgewerkt in Appendix E.

36


Chapter 5

Conclusie Er kan geconcludeerd worden dat het wel gelukt is de formules te vinden waarmee een ge¨ımpliceerde binomiale boom kan worden geconstrueerd, maar dat deze binomiale boom helaas arbitragemogelijkheden bevat. Hiervoor zijn verschillende mogelijke oorzaken. Wat opvalt is dat de arbitragemogelijkheid helemaal onderin de ge¨ımpliceerde binomiale boom zit. De Arrow-Debreu prijzen worden aan de onderkant van de boom steeds kleiner naarmate de tijd groter wordt. Een mogelijke reden is dat de arbitragemogelijkheid veroorzaakt wordt door afrondfouten. Een klein verschil van orde 10−2 op t = 2 kan leiden tot dollars verschil op grotere tijdstippen. Een andere mogelijkheid is dat de arbitragemogelijkheid komt door de gekozen tijdstap. In de in het verslag geconstrueerde ge¨ımpliceerde binomiale boom is gekozen voor een ∆t van 1 jaar. De Black-Scholes formule werd verkregen door de limiet van elk tijdsinterval naar 0 te brengen, waardoor oneindig veel tijdsintervallen verkregen worden. Op dezelfde manier is het mogelijk een betere ge¨ımpliceerde binomiale boom te verkrijgen door ∆t te verkleinen. Door de limiet van ∆t naar 0 te laten lopen wordt een betere ge¨ımpliceerde binomiale boom verkregen, die mogelijk geen arbitragemogelijkheden bevat. Verder is in de hierboven geconstrueerde ge¨ımpliceerde binomiale boom alleen de correlatie tussen de ge¨ımpliceerde volatiliteit en de uitoefenprijs meegenomen, terwijl de ge¨ımpliceerde volatiliteit ook gecorreleerd bleek met de looptijd. Door de correlatie van de looptijd en de ge¨ımpliceerde volatiliteit mee te nemen in het model is het dus ook mogelijk een betere ge¨ımpliceerde binomiale boom te vinden dan hierboven verkregen is. Tot slot blijft de vraag staan wat te doen als er een ge¨ımpliceerde binomiale boom met arbitragemogelijkheid wordt verkregen. Anders gezegd, hoe kan de ge¨ımpliceerde binomiale boom aangepast worden om deze bruikbaar te maken. Om dit te bewerkstelligen moet de spotprijs die de arbitragemogelijkheid geeft aangepast te worden. De werkelijke waarde van deze spotprijs is niet te bepalen, maar er is wel een indicatie te maken wat de meest waarschijnlijke spotprijs op dat knooppunt is. Om dit te bepalen, wordt gebruikt dat een multiplicatieve boom een lognormale verdeling heeft. Hierdoor kan via (3.12) de meest waarschijnlijke spotprijs voor het btreffende knooppunt gevonden worden. In de ge¨ımpliceerde binomiale boom uit het verslag zou de meest waarschijnlijke spotprijs voor het knooppunt die de arbitragemogelijkheid gaf gelijk zijn aan 54.342 Si = = 50.42 (5.1) 58.57 37

38

CHAPTER 5. CONCLUSIE

Chapter 6

Appendix 6.1

Appendix A

Hier wordt aangetoond dat als K gelijk is aan si , dat dan de contributie van het eerste knooppunt waavoor de optie in the money beland gescheiden kan worden van de overige contributies. Op deze manier is (3.8) zo te schrijven dat hij afhankelijk is van de bekende Arrow-Debreu prijzen, de bekende spotprijzen en de bekende forward prijzen, wat (3.9) oplevert. Om te beginnen wordt e−r∆t naar de andere kant gehaald in (3.8) en wordt de sommatie uitgeschreven. er∆t C(si , tn+1 ) wordt voor het gemak even C˜ genoemd. Dit geeft: C˜ = λi ρi (Si+1 − si ) + λi+1 (1 − ρi+1 )(Si+1 − si ) + λi+1 ρi+1 (Si+2 − si ) + ... + λn ρn (Sn+1 − sn ) + λn+1 (1 − ρn+1 )(Sn+1 − si )

(6.1)

Merk op dat uit figuur 6 volgt dat λn+1 (1 − ρn+1 )(Sn+1 − Sn ) = 0 is, aangezien deze transitie niet bestaat. Dit geeft C˜ = λi ρi (Si+1 − si ) + λi+1 (1 − ρi+1 )(Si+1 − si ) + λi+1 ρi+1 (Si+2 − si ) + ... + λn ρn (Sn+1 − si )

(6.2)

Dit is om te schrijven naar: C˜ = λi ρi (Si+1 − si ) + λi+1 ((1 − ρi+1 )(Si+1 − si ) + (ρi+1 (Si+2 − si ))) + ... + λn ((1 − ρn )(Sn − si ) + (ρn (Sn+1 − si )))

(6.3)

De uitoefenprijzen buiten haakjes halen en gebruik maken van het feit dat (1 − ρi+1 ) + ρi+1 = 1 geeft: C˜ = λi ρi (Si+1 − si ) + λi+1 (ρi+1 Si+2 + (ρi+1 )Si+1 − si ) + ... + λn (ρn Sn+1 + (1 − ρn )Sn − si )

(6.4)

Merk nu op dat ρi+1 Si+2 + (ρi+1 )Si+1 precies Fi+1 is, waaruit volgt: C˜ = λi ρi (Si+1 − si ) + λi+1 (Fi+1 − si ) + ... + λn (Fn − si ) Dit als sommatie schrijven geeft (3.9) 39

(6.5)

40

6.2

CHAPTER 6. APPENDIX

Appendix B

Hier wordt aangetoond dat uit (3.4) en (3.9), (3.10) te verkrijgen is. Stel we hebben P Si [er∆t C(si , tn+1 ) − nj=i+1 λj (Fj − si )] − λi si (Fi − Si ) P [er∆t C(si , tn + 1) − nj=i+1 λj (Fj − si )] − λi (Fi − Si )

(6.6)

3.9 invullen in (6.8) geeft Si [λi ρi (Si+1 − si )] − λi si (Fi − Si ) λi ρi (Si+1 − si ) − λi (Fi − Si )

(6.7)

Fi − Si = ρi (Si+1 − Si )

(6.8)

Si [λi ρi (Si+1 − si )] − λi si ρi (Si+1 − Si ) λi ρi (Si+1 − si ) − λi ρi (Si+1 − Si )

(6.9)

uit (3.4) blijkt dat Dit invullen in (6.8) geeft

Deze formule uitschrijven geeft Si λi ρi Si+1 − Si λi ρi si − Si+1 λi ρi si + Si λi ρi si λi ρi (Si − si )

(6.10)

Si λi ρi Si+1 − Si+1 λi ρi si λi ρi (Si − si )

(6.11)

λi ρi (Si Si+1 − si Si+1 ) λi ρi (Si − si )

(6.12)

Oftewel

λi en ρi buiten haakjes halen geeft

λi en ρi zijn nu weg te delen, Si+1 buiten haakjes halen geeft nu Si+1 (Si − si ) Si − s i

(6.13)

Dit is gelijk aan Si+1 , oftewel (6.8) is gelijk aan Si+1 , wat hetgeen was wat aangetoond moest worden.

6.3. APPENDIX C

6.3

41

Appendix C

Met deze m-file wordt de bijbehorende ge¨ımpliceerde volatiliteit bepaald bij gegeven startvolatiliteit, spotprijs op t = 0 en uitoefenprijs: f u n c t i o n [ i m p l i e d s i g m a ] = i m p l i e d v o l a t i l i t y ( S t a r t v o l a t i l i t y , AssetP , S t r i k e ) i m p l i e d s i g m a = S t a r t v o l a t i l i t y − ( S t r i k e − AssetP ) / 2 0 0 0 ; end Met deze m-file wordt de bijbehorende optieprijs bepaald bij gegeven spotprijs op t = 0, uitoefenprijs, risicovrije rente, dividend, volatiliteit, verlooptijd, tijdsperiode en soort optie (call/put): f u n c t i o n [ o p t i e p r i j s ] = BinomialEuro ( CallPut , AssetP , S t r i k e , RiskFree , Div , Time , Vol , n S t e p s ) dt = Time / n S t e p s ; i f CallP u t b = 1; end i f ˜ Cal lP u t b = −1; end RR = exp ( R i s k F r e e * dt ) ; Up = exp ( Vol * s q r t ( dt ) ) ; Down = 1 / Up ; P up = ( exp ( ( R i s k F r e e − Div ) * dt ) − Down) / (Up − Down ) ; P down = 1 − P up ; Df = exp(− R i s k F r e e * dt ) ; f o r i = 0 : nSteps state = i + 1; St = AssetP * Up ˆ i * Down ˆ ( n S t e p s − i ) ; Value ( s t a t e ) = max ( 0 , b * ( St − S t r i k e ) ) ; end f o r t t = n S t e p s − 1 : −1 : 0 for i = 0: tt state = i + 1; Value ( s t a t e ) = ( P up * Value ( s t a t e + 1 ) + P down * Value ( s t a t e ) ) * Df ; end end o p t i e p r i j s = Value ( 1 ) ; end Dit is het mainscript, waar de ge¨ımpliceerde binomiale boom wordt berekend bij gegeven input: %i n p u t S t a r t v o l a t i l i t y = 0 . 1 ; %g e e f t de waarde van de v o l a t i l i t e i t op t=0

42

CHAPTER 6. APPENDIX

R i s k F r e e = 0 . 0 3 0 4 ; %g e e f t de r i s i c o v r i j e r e n t e n =7; %g e e f t h e t a a n t a l j a a r aan AssetP = 1 0 0 ; %g e e f t de s p o t p r i j s op t=0 %maakt de nxn matrix i m p l i e d t r e e aan , voor de b i n o m i a l e boom impliedtree = zeros (n ) ; i m p l i e d t r e e ( 1 , 1 ) = AssetP ; %maakt de nxn matrix AR aan , voor de arrow−debreu p r i j z e n AR = z e r o s ( n ) ; AR( 1 , 1 ) = 1 . 0 0 0 ; %maakt de nxn matrix Kans aan , voor de r i s i c o n e u t r a l e kansen Kans = z e r o s ( n ) ; %maakt de matrix aan met o p t i e p r i j z e n o p t i e p r i j s = zeros (n ) ; %h i e r wordt h e t programma g e s c h r e v e n wat de b i n o m i a l e boom g a a t u i t r e k e n e n . %z o a l s i n h e t v e r s l a g t e l e z e n , z i j n e r 2 s i t u a t i e s t e o n d e r s c h e i d e n : %t i j d s t i p p e n met een even a a n t a l knooppunten en t i j d s t i p p e n met een oneven %a a n t a l knooppunten . B i j t i j d s t i p p e n met een even a a n t a l knooppunten z i j n %e r weer 3 s i t u a t i e s t e o n d e r s c h e i d e n : De s i t u a t i e voor h e t b o v e n s t e %m i d d e l s t e knooppunt , s i t u a t i e voor de o v e r i g e c a l l o p t i e s %( a l l e s boven h e t b o v e n s t e m i d d e l s t e knooppunt ) en de s i t u a t i e voor de %p u t o p t i e s ( a l l e s onder h e t m i d d e l s t e knooppunt ) . De p r e c i e z e f o r m u l e s voor %d e z e s i t u a t i e s s t a a n i n h e t v e r s l a g vermeld . Ook voor de t i j d s t i p p e n met %een oneven a a n t a l knooppunten z i j n weer 3 s i t u a t i e s t e o n d e r s c h e i d e n : Het %m i d d e l s t e knooppunt ( d e z e i s g e l i j k aan Assetp ) , de c a l l o p t i e s %( a l l e s boven h e t m i d d e l s t e knooppunt ) en de p u t o p t i e s %( a l l e s onder h e t m i d d e l s t e knooppunt ) f o r t =2:n i f mod( t , 2 ) == 0 %t i j d s t i p met even a a n t a l knooppunten TT = t / 2 ; %s t e l t T g e l i j k aan bovenste , m i d d e l s t e knooppunt f o r K = TT S t r i k e = i m p l i e d t r e e (K, t −1); i m p l i e d s i g m a = i m p l i e d v o l a t i l i t y ( S t a r t v o l a t i l i t y , AssetP , S t r i k e ) ; o p t i e p r i j s (K, t ) = BinomialEuro ( 1 , AssetP , S t r i k e , l o g (1+ R i s k F r e e ) , 0 , t −1, i m p l i e d s i g m a , t −1); ForwardPrice = (1+ R i s k F r e e ) * S t r i k e ; a r d e b r e u = AR(K, t −1); i f K>1 %i n d e z e i f l o o p word de waarde van de sommatie u i t g e r e k e n d i=K; sommatie = 0 ; w h i l e i >1 sommatie = sommatie + AR( i −1, t −1) * ((1+ R i s k F r e e ) * i m p l i e d t r e e ( i −1, t −1) − i m p l i e d t r e e (K, t − 1 ) ) ; i= i −1; end else sommatie = 0 ;

6.3. APPENDIX C

43

end i m p l i e d t r e e (K, t ) = ( S t r i k e * ((1+ R i s k F r e e ) * o p t i e p r i j s (K, t ) + a r d e b r e u * S t r i k e − sommatie ) ) / ( a r d e b r e u * ForwardPrice − (1+ R i s k F r e e ) * o p t i e p r i j s (K, t ) + sommatie ) ; end f o r K = (TT−1) : −1 : 1 %l a a t K l o p e n van midden t o t b o v e n s t e knooppunt S t r i k e = i m p l i e d t r e e (K, t −1) i m p l i e d s i g m a = i m p l i e d v o l a t i l i t y ( S t a r t v o l a t i l i t y , AssetP , S t r i k e ) o p t i e p r i j s (K, t ) = BinomialEuro ( 1 , AssetP , S t r i k e , l o g (1+ R i s k F r e e ) , 0 , t −1, i m p l i e d s i g m a , t −1) ForwardPrice = (1+ R i s k F r e e ) * S t r i k e S i = i m p l i e d t r e e (K+1, t ) a r d e b r e u = AR(K, t −1) i f K>1 %i n d e z e i f l o o p word de waarde van de sommatie u i t g e r e k e n d i=K; sommatie = 0 ; w h i l e i >1 sommatie = sommatie + AR( i −1, t −1) * ((1+ R i s k F r e e ) * i m p l i e d t r e e ( i −1, t −1) − i m p l i e d t r e e (K, t − 1 ) ) ; i= i −1; end else sommatie = 0 ; end i m p l i e d t r e e (K, t ) = ( S i * ((1+ R i s k F r e e ) * o p t i e p r i j s (K, t ) − sommatie ) − a r d e b r e u * S t r i k e * ( ForwardPrice − S i ) ) / (((1+ R i s k F r e e ) * o p t i e p r i j s (K, t ) − sommatie ) − a r d e b r e u * ( ForwardPrice − S i ) ) ; end f o r K=(TT+1): t i f ( ( t /2)+1) == K i m p l i e d t r e e (K, t ) = ( ( i m p l i e d t r e e (K−1, t −1))ˆ2)/ i m p l i e d t r e e (K−1, t ) ; e l s e %g e v a l put−o p t i e S t r i k e = i m p l i e d t r e e (K−1, t −1); i m p l i e d s i g m a = i m p l i e d v o l a t i l i t y ( S t a r t v o l a t i l i t y , AssetP , S t r i k e ) ; o p t i e p r i j s (K, t ) = BinomialEuro ( 0 , AssetP , S t r i k e , l o g (1+ R i s k F r e e ) , 0 , t −1, i m p l i e d s i g m a , t −1); ForwardPrice = (1+ R i s k F r e e ) * S t r i k e ; S i = i m p l i e d t r e e (K−1, t ) ; a r d e b r e u = AR(K−1, t −1); i f K
44

CHAPTER 6. APPENDIX else sommatie = 0 ; end i m p l i e d t r e e (K, t ) = ( S i * ((1+ R i s k F r e e ) * o p t i e p r i j s (K, t ) − sommatie ) + a r d e b r e u * S t r i k e * ( ForwardPrice − S i ) ) / (((1+ R i s k F r e e ) * o p t i e p r i j s (K, t ) − sommatie ) + a r d e b r e u * ( ForwardPrice − S i ) ) ; end end e l s e %t i j d s t i p met oneven a a n t a l knooppunten T = ( t +1)/2; %s t e l t T g e l i j k aan m i d d e l s t e knooppunt f o r K = T : −1 : 1 %l a a t K l o p e n van midden t o t b o v e n s t e knooppunt i f ( ( t +1)/2) > K %g e v a l c a l l −o p t i e S t r i k e = i m p l i e d t r e e (K, t −1) i m p l i e d s i g m a =i m p l i e d v o l a t i l i t y ( S t a r t v o l a t i l i t y , AssetP , S t r i k e ) o p t i e p r i j s (K, t ) =BinomialEuro ( 1 , AssetP , S t r i k e , l o g (1+ R i s k F r e e ) , 0 , t −1, i m p l i e d s i g m a , t −1) ForwardPrice = (1+ R i s k F r e e ) * S t r i k e S i = i m p l i e d t r e e (K+1, t ) a r d e b r e u = AR(K, t −1) i f K>1 %i n d e z e i f l o o p word de waarde van de sommatie u i t g e r e k e n d i=K; sommatie = 0 ; w h i l e i >1 sommatie = sommatie + AR( i −1, t −1) * ((1+ R i s k F r e e ) * i m p l i e d t r e e ( i −1, t −1) − i m p l i e d t r e e (K, t −1)) i= i −1; end else sommatie = 0 ; end i m p l i e d t r e e (K, t ) = ( S i * ((1+ R i s k F r e e ) * o p t i e p r i j s (K, t ) − sommatie ) − a r d e b r e u * S t r i k e * ( ForwardPrice − S i ) ) / (((1+ R i s k F r e e ) * o p t i e p r i j s (K, t ) − sommatie ) − a r d e b r e u * ( ForwardPrice − S i ) ) e l s e i f ( ( t +1)/K) == 2 %m i d d e l s t e knooppunt i m p l i e d t r e e (K, t ) = AssetP ; end end f o r K = (T+1): t %g e v a l put o p t i e S t r i k e = i m p l i e d t r e e (K−1, t −1) i m p l i e d s i g m a = i m p l i e d v o l a t i l i t y ( S t a r t v o l a t i l i t y , AssetP , S t r i k e ) o p t i e p r i j s (K, t ) = BinomialEuro ( 0 , AssetP , S t r i k e , l o g (1+ R i s k F r e e ) , 0 , t −1, i m p l i e d s i g m a , t −1) i f K==7 & t==7 for y = 0:0.0001:0.0254 o p t i e p r i j s (K, t )=0.0247 −y ; ForwardPrice = (1+ R i s k F r e e ) * S t r i k e ;

6.3. APPENDIX C

45

S i=i m p l i e d t r e e (K−1, t ) ; a r d e b r e u = AR(K−1, t −1); a = S i * ((1+ R i s k F r e e ) * o p t i e p r i j s (K, t ) − sommatie ) ; x = a r d e b r e u * S t r i k e * ( ForwardPrice − S i ) ; b = (1+ R i s k F r e e ) * o p t i e p r i j s (K, t ) − sommatie ; y = a r d e b r e u * ( ForwardPrice − S i ) ; i m p l i e d t r e e (K, t ) = ( a+x ) / ( b+y ) end else o p t i e p r i j s (K, t )= o p t i e p r i j s (K, t ) ; end ForwardPrice = (1+ R i s k F r e e ) * S t r i k e ; S i = i m p l i e d t r e e (K−1, t ) ; a r d e b r e u = AR(K−1, t −1); i f K
46 end %h i e r wordt de output weergegeven optieprijs impliedtree

CHAPTER 6. APPENDIX

6.4. APPENDIX D

6.4

47

Appendix D

˜ voor de overige tijdstippen berekend wordt. Hier wordt uitgerekend hoe de ∆ en B Op t = 3 is er een spotprijs van 71.32, een transitie omhoog naar 79.29 en een transitie omlaag naar 58.86. De verwachte payoff bij een transitie omlaag is gelijk aan de waarde van de putoptie op t = 4 en is dus 0.778056. De vergelijkingen worden: ˜=0 79.29∆ + 1.03B

(6.14)

˜ = 0.778056 58.86∆ + 1.03B

(6.15)

∆ = −0.038084

(6.16)

˜ = 2.931730 B

(6.17)

Oplossen geeft:


(6.18)

Op t = 2 is er een spotprijs van 79.31, een transitie omhoog naar 90.44 en een transitie omlaag naar 71.32. De verwachte payoff bij een transitie omlaag is gelijk aan de waarde van de putoptie op t = 3 en is dus 0.215578. De vergelijkingen worden: ˜=0 90.44∆ + 1.03B

(6.19)

˜ = 0.215578 71.32∆ + 1.03B

(6.20)

∆ = −0.011275

(6.21)

˜ = 0.990010 B

(6.22)

Oplossen geeft:


(6.23)

Op t = 1 is er een spotprijs van 90.48, een transitie omhoog naar 100 en een transitie omlaag naar 79.31. De verwachte payoff bij een transitie omlaag is gelijk aan de waarde van de putoptie op t = 2 en is dus 0.095114. De vergelijkingen worden: ˜=0 100∆ + 1.03B

(6.24)

˜ = 0.095114 79.31∆ + 1.03B

(6.25)

∆ = −0.004597

(6.26)

˜ = 0.446319 B

(6.27)

Oplossen geeft:


(6.28)

48

CHAPTER 6. APPENDIX


(6.29)

˜ = 0.030375 90.48∆ + 1.03B

(6.30)

∆ = −0.001516

(6.31)

˜ = 0.162637 B

(6.32)

Oplossen geeft:

De waarde van de calloptie op t = 0 is gelijk aan ˜ = 100(−0.0015) + 0.1644 = 0.011066 100∆ + B

(6.33)

6.5. APPENDIX E

6.5

49

Appendix E

Hier wordt berekent hoe het replicerend portfolio samengesteld moet worden als de eerder vermeldde spotprijs gelijk is aan 0 dollar. Op t = 5 is er een spotprijs van 54.34, een transitie omhoog naar 58.57 en een transitie omlaag naar 0. De payoff bij een transitie omlaag is 54.34 − 0 = 54.34. De vergelijkingen woren: ˜=0 58.57∆ + 1.03B

(6.34)

˜ = 54.34 0∆ + 1.03B

(6.35)

∆ = −0.927779

(6.36)

˜ = 52.757282 B

(6.37)

Oplossen geeft:


(6.38)


(6.39)

˜ = 2.341786 54.34∆ + 1.03B

(6.40)

∆ = −0.138978

(6.41)

˜ = 9.605699 B

(6.42)

Oplossen geeft:


(6.43)


(6.44)

˜ = 1.425432 58.86∆ + 1.03B

(6.45)

∆ = −0.069772

(6.46)

˜ = 5.371053 B

(6.47)

Oplossen geeft:


(6.48)

50

CHAPTER 6. APPENDIX


(6.49)

˜ = 0.394948 71.32∆ + 1.03B

(6.50)

∆ = −0.020656 ˜ = 1.813739 B

(6.51)

Oplossen geeft: (6.52)


(6.53)

Op t = 1 is er een spotprijs van 90.48, een transitie omhoog naar 100 en een transitie omlaag naar 79.31. De verwachte payoff bij een transitie omlaag is gelijk aan de waarde van de putoptie op t = 2 en is dus 0.175492. De vergelijkingen worden: ˜=0 100∆ + 1.03B

(6.54)

˜ = 0.175492 79.31∆ + 1.03B

(6.55)

∆ = −0.008482 ˜ = 0.823492 B

(6.56)



(6.58)

Op t = 0 is er een spotprijs van 100, een transitie omhoog naar 110.52 en een transitie omlaag naar 90.48. De verwachte payoff bij een transitie omlaag is gelijk aan de waarde van de putoptie op t = 1 en is dus 0.056044. De vergelijkingen worden: ˜=0 110.52∆ + 1.03B

(6.59)

˜ = 0.056044 90.48∆ + 1.03B

(6.60)

∆ = −0.002797 ˜ = 0.300076 B

(6.61)


De waarde van de calloptie op t = 0 is gelijk aan ˜ = 100(−0.002797) + 0.300076 = 0.020418 90.48∆ + B

(6.63)

Chapter 7

Referenties E. Derman en I. Kani (1994). The volatility smile and its implied tree. Goldman Sachs: 1-15.

M. Rubinstein (1993). Implied binomial trees. American Finance Association.

J. Cox, S. Ross en M. Rubinstein (1979). Option Pricing, a simplified approach. Journal of financial economics: 229-263

J. Berk en P. DeMarzo (2007). Corporate finance. Pearson International Edition.

51

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

Recommend Documents