Důchody jako pravidelné platby z investice Důchod – pravidelná platba ve stejné výši (anuita) Podle toho, kdy jsou anuity placeny, rozlišujeme důchod: • •
Předlhůtní – anuity placeny na počátku určitého časového intervalu. Polhůtní –anuity placeny na konci určitého časového intervalu.
Podle toho, jak dlouho se důchod bude vyplácet, rozlišujeme důchod: • •
Dočasný – důchod je vyplácen po určitou pevně stanovenou dobu. Věčný - důchod je vyplácen neomezeně dlouho.
Jiné dělení důchodu: • •
Bezprostřední – s výplatou důchodu se začne ihned. Odložený - s výplatou se začne až po uplynutí určité doby.
Uvažujeme • Počáteční (současnou) hodnota důchodu D – součet současných hodnot všech v budoucnu realizovaných plateb důchodu. Udává, kolik si musíme dnes uložit, abychom si zajistili při dané úrokové sazbě vyplácení příslušných výplat důchodu. • Konečná (budoucí) hodnota důchodu S – součet všech výplat důchodu přepočtených ke konci posledního roku, kdy se důchod vyplácí. Platí S = D ⋅ (1 + i ) n ,
kde S D i n
budoucí hodnota důchodu, současná hodnota důchodu, roční úroková sazba, počet úrokových období, ve kterých dochází k výplatě anuit.
Důchod bezprostřední • •
Bezprostřední předlhůtní Bezprostřední polhůtní
Bezprostřední polhůtní Je vyplácen na konci období.
D = a⋅ kde D a i n v
1 − vn i
nebo D = a ⋅
1 − (1 + i ) − n , i
počáteční hodnota důchodu, pravidelná platba, roční úroková sazba, počet úrokových období, ve kterých dochází k výplatě anuit, 1 diskontní faktor ( v = ). 1+ i
Zásobitel polhůtní- počáteční hodnota jednotkové důchodové platby vyplácené vždy koncem úrokového období po n období při úrokové sazbě i. 1 − vn . ani = i
Zásobitel polhůtní X střadatel polhůtní sni = ani ⋅ (1 + i ) n .
Bezprostřední předlhůtní Vyplácen vždy počátkem úrokového období. D´= a ⋅
1 − (1 + i ) − n 1 − vn , nebo D´= a ⋅ (1 + i ) ⋅ i⋅v i
kde D´ a i n v
počáteční hodnota předlhůtního důchodu, pravidelná platba, roční úroková sazba, počet úrokových období, ve kterých dochází k výplatě anuit, 1 diskontní faktor ( v = ). 1+ i
Zásobitel polhůtní- počáteční hodnota jednotkové důchodové platby vyplácené vždy počátkem úrokového období po n období při úrokové sazbě i. a´in =
1 − (1 + i ) − n 1 − vn . nebo a´in = (1 + i ) ⋅ i⋅v i
Vztah mezi počáteční hodnotou polhůtního a předlhůtního důchodu D D´= D ⋅ (1 + i ) nebo D´= , v kde D´ počáteční hodnota předlhůtního důchodu, D počáteční hodnota polhůtního důchodu, i roční úroková sazba, 1 ). v diskontní faktor ( v = 1+ i Důchod odložený
S výplatou se začne po k letech. Odložený polhůtní - vyplácen na konci určitého časového intervalu, vyplácení je odloženo o k let. 1 − vn K = vk ⋅ a ⋅ , i kde K současná hodnota odloženého důchodu a pravidelná platba, i roční úroková sazba, n počet úrokových období, ve kterých dochází k výplatě anuit, 1 v diskontní faktor ( v = ), 1+ i k počet úrokových období, po které nejsou platby vypláceny. Odložený důchod polhůtní, který je vyplácen m krát do roka n
⎛ m −1 ⎞ 1− v K = v k ⋅ m ⋅ x ⋅ ⎜1 + , ⋅i⎟⋅ 2⋅m ⎠ i ⎝ kde K x m i n v k
současná hodnota odloženého důchodu pravidelná platba (za rok je jich m), počet stejně dlouhých částí roku, v nichž jsou placeny částky x, roční úroková sazba, počet úrokových období, ve kterých dochází k výplatě anuit, 1 ), diskontní faktor ( v = 1+ i počet úrokových období, po které nejsou platby vypláceny.
Důchod odložený předlhůtní K = v k −1 ⋅ a ⋅ K´
současná hodnota odloženého důchodu
1 − vn , i
a i n
pravidelná platba, roční úroková sazba, počet úrokových období, ve kterých dochází k výplatě anuit, 1 ), diskontní faktor ( v = 1+ i počet úrokových období, po které nejsou platby vypláceny.
v k
Současná hodnota odloženého důchodu předlhůtního X Současná hodnota odloženého důchodu polhůtního K ´= K ⋅ (1 + i ) . Odložený důchod předlhůtní, který je vyplácen m krát do roka n
⎛ m +1 ⎞ 1− v K = v k ⋅ m ⋅ x ⋅ ⎜1 + , ⋅i⎟⋅ 2⋅m ⎠ i ⎝ kde K´ x m i n
současná hodnota odloženého důchodu pravidelná platba (za rok je jich m), počet stejně dlouhých částí roku, v nichž jsou placeny částky x, roční úroková sazba, počet úrokových období, ve kterých dochází Důchod věčný
Jeho výplata není časově omezena (doba splatnosti n → ∞ ). • Předlhůtní • Polhůtní Důchod věčný polhůtní • Bezprostřední D = lim a ⋅ n →∞
•
1 − vn 1 − (1 + i ) − n a = lim a ⋅ = n →∞ i i i
Odložený o k let K = vk ⋅
kde K a i v k
a , i
současná hodnota odloženého důchodu pravidelná platba, roční úroková sazba, 1 ), diskontní faktor ( v = 1+ i počet úrokových období, po které nejsou platby vypláceny.
Věčný důchod je vyplácen m- krát za úrokovací období ⎛ m −1 ⎞ m ⋅ x ⋅ ⎜1 + ⋅i⎟ 2m ⎠ ⎝ , D= i kde D x m i
počáteční hodnota věčného důchodu pravidelná platba (za rok je jich m), počet stejně dlouhých částí roku, v nichž jsou placeny částky x, roční úroková sazba.
Věčný důchod předlhůtní D´= lim a ⋅ (1 + i ) ⋅ n →∞
kde D´ i a
současná hodnota důchodu, roční úroková sazba, pravidelná platba.
a 1 − vn 1 − (1 + i ) − n = lim a ⋅ (1 + i ) ⋅ =a+ , n →∞ i i i
