Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality TEORI RINGKAS PERTIDAKSAMAAN Sifat-sifat - a > b ⇔ ac > bc untuk c > 0 - a > b ⇔ ac < bc untuk c < 0 - a > b ⇔ a + c > b + c untuk c ∈ R - ab > 0 maka a/b > 0 - ab < 0 maka a/b < 0 - Jika a > b dan b > c maka a > c - a2 > 0 untuk setiap a∈ R Harga mutlak -
⎧x x2 = x = ⎨ ⎩− x
untuk untuk
x≥0 x≤0
-
x < a maka – a < x < a
-
x >a
-
x > y
-
x < y ⇔ x2 < y2 ⇔ (x – y)(x + y) < 0
maka x < – a atau x > a ⇔ x2 > y2 ⇔ (x – y)(x + y) > 0
Irasional - { f(x) < a , a > 0} ⇔ ⎧⎨f(x) > a 2 ∧ f(x) ≥ 0 ⎫⎬ ⎩
⎭
-
f(x) > g(x) ⇔ {f(x) > g(x) ∧
-
f(x) < h(x) ⇔ f(x) < [h(x)]2 ∧ f(x) ≥ 0 ∧ h(x) > 0
f(x) ≥ 0 ∧
g(x) ≥ 0}
PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum ax + bx + c = 0 dengan a, b, c a bilangan real dan a ≠ 0 2
Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat sempurna dari bentuk umum dan dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus abc adalah x1,2 =
−b ± D 2a
x1 dan x2 akar ax2 + bx + c = 0 D = b2 − 4ac D disebut diskriminan SIFATOPERASI AKAR b
Sifat jumlah x 1 + x 2 = − a c
Sifat kali x1 .x 2 = a
Sifat pengurangan x1 − x 2 = ±
D a
Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas 1. Jumlah kuadrat akar-akar x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1 x2 2. Jumlah pangkat tiga akar-akar x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1 x2 (x1 + x2) 3. kuadrat selisih akar-akar (x1 − x2)2 = D
a2
(x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1 x2 4. selisih kuadrat akar-akar x12 − x22 = (x1 + x2) (x1 − x2)
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality 5. jumlah kebalikan akar-akar 1 + 1 = x1 + x 2 x1 x2 x1 x 2
Jenis-jenis akar 1. Dua akar real berlainan ⎯→ D > 0 2. Dua akar kembar ⎯→ D = 0 3. Tidak memiliki akar real ⎯→ D < 0 4. Dua akar real ⎯→ D ≥ 0 5. Kedua akarnya real positif, jika (D ≥ 0 ; x1 + x2 > 0 ; x1 x2 > 0) 6. Kedua akarnya real negatif (D ≥ 0 ; x1 + x2 < 0 ; x1 x2 > 0) 7. Kedua akar berbeda tanda, jika (D > 0 ; x1 x2 < 0) 8. Akar berlawanan tanda ( baca x1 = − x2) ⇔ x1 + x2 = 0 ⇔ b = 0 9. Akar berkebalikan ( baca x1 = 1
x2
) ⇔ x 1 x2 = 1 ⇔ c = 1
10. Kedua akar rasional D = k dimana a, b, c dan k bilangan rasional. 2
Menyusun Persamaan Kuadrat baru : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
RELASI DAN FUNGSI Produk Cartesius : dari A dan B adalah A x B = { (x,y) ⏐ x ∈ A dan x ∈ B, A dan B himpunan tak kosong } Sifat : 1. A x B ≠ B x A 2. Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka n(A x B) = n1 . n2 Relasi : Relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B (R adalah relasi jika R ⊂ A x B). Sifat : Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka banyak relasi dari A ke B n .n atau dari B ke A ada 2 1 2 − 1 Fungsi : Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap elemen A dengan satu elemen B. Sifat : Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka banyak fungsi yang dapat n dibuat dari A ke B ada n 2 1 fungsi.
A
x
B
f
y
Domain, Kodomain dan Range Fungsi dari A ke B dinotasikan dengan f : A → B Jika x ∈ A dan y ∈ B, maka: f : x → y atau y = f(x) Bentuk y = f(x) disebut aturan fungsi. Dalam hal ini x disebut variabel bebas dan y disebut variabel tak bebas. Dapat pula dikatakan y peta (bayangan) dari x. Domain (Daerah asal) Fungsi Df = { x ⏐ y terdefinisi }= A Kodomain (Daerah kawan) adalah Kf = B
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality Range (Daerah hasil) adalah Rf = { y ⏐ y = f(x), x ∈Df } Operasi Aljabar pada Fungsi 1) Jumlah fungsi f(x) dan g(x) ditulis : (f + g) (x) = f(x) + g(x) 2) Selisih fungsi f(x) dengan g(x) ditulis : (f – g)(x) = f(x) – g(x) 3) Hasil kali fungsi f(x) dengan konstanta k ditulis : (k f)(x) = k f(x) 4) hasil bagi fungsi f(x) dengan g(x) ditulis : (f . g)(x)= f(x) . g(x) ⎛ ⎞ f(x) 5) Hasil bagi fungsi f(x) dengan g(x) ditulis : ⎜ f ⎟(x) = ⎝g⎠
g(x)
6) Perpangkatan fungsi f(x) dengan n ditulis : f n (x ) = {f(x )}n
Definisi : Jika fungsi f dan g memenuhi Rf ∩ Dg ≠ ∅ maka komposisi dari g dan f, ditulis g o f (berarti f dilanjutkan g) dengan aturan : g o f (x) = g(f (x)).
{ } = {z z = g(R ∩ D )}⊂ R
Domain : D gof = x f ( x ) ∈ D g ⊂ D f Range
: R g of
f
g
g
Sifat: 1. Tidak komutatif: f o g ≠ g o f 2. Assosiatif: ( f o g ) o h = f o (g o h) 3. Terdapat unsur identitas yaitu fungsi I(x) = x sehingga foI=Iof=I
Fungsi Invers
Definisi : Jika fungsi f : A → B diitentukan dengan aturan y = f(x), maka invers dari f adalah f − 1 : B→ A dengan aturan x = f −1 (y). f − 1 bisa berupa fungsi atau relasi (bukan fungsi) Dalam hal f − 1 berupa fungsi maka f − 1 dinamakan fungsi invers f − 1 bisa berupa fungsi atau relasi (bukan fungsi) Dalam hal f − 1 berupa fungsi maka f − 1 dinamakan fungsi invers Teorema: 1. Fungsi f −1 merupakan fungsi bijektif (satu-satu kepada) 2. Grafik fungsi f(x) dengan f −1(x) simetris terhadap garis y=x Sifat : 1. f o f −1 = f −1 o f = I 2. (f o g)−1 = g−1 o f −1 3. f o g = h ⇒ f = h o g −1 4. f o g = h ⇒ g = f − 1 o h FUNGSI KUADRAT
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality Grafik parabola a > 0 buka atas a < 0 buka bawah Memotong sumbu -x di dua titik ⇒ D > 0 Menyinggung sumbu -x ⇒ D = 0 Tidak Memotong sumbu x ⇒ D < 0 a>0 D<0
a>0 D=0
a>0 D>0
x x
x
a<0 D<0
x
x
x
a<0 D>0
a<0 D=0
ax2 + bx + c definit positif maka 1. seluruh gambar diatas sumbu x 2. ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x Syarat yang harus dipenuhi … a > 0 dan D < 0 ax2 + bx + c definit negatif 1. seluruh gambar di bawah sumbu x 2. ax2 + bx + c < 0 untuk setiap x Syarat yang harus dipenuhi … a < 0 dan D < 0
Titik ekstrim grafik fungsi kuadrat (parabola) disebut juga titik puncak. (xp,yp) titik puncak ⇒ xp = − b , yp = D 2a − 4a
g
Garis g : sumbu simetri
g≡
x=− b
2a
2
y = a x + bx + c Untuk a < 0, Nilai y akan (− b , D ) pada titik 2a − 4 a maksimum puncak, notasi ymaks.
a<0
a>0
ymaks =
D −4a
Untuk a > 0, Nilai y akan minimum pada titik puncak, notasi ymin. ymin = D
(− b , D ) 2a − 4 a
−4a
Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai … 1. f(x) = a ( x −x1 ) (x − x2 ) dimana (x1,0) dan (x2,0) titik potong dengan sumbu-x 2. f(x) = a (x − xp)2 + yp dimana (xp,yp) adalah titik puncak para bola HUBUNGAN PARABOLA DENGAN GARIS
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality Hubungan parabola g : y = ax2 + bx + c dan garis f: y = mx + n dapat dirumuskan Sebagai berikut 1. Subtitusi kedua persamaan ⇒ ax2 + bx + c = mx + n ⇒ ax2 + (b − m)x + c − n = 0 2.
Tuliskan Ds = (b − m)2 − 4 a (c −n ) [Ds diskriminan ax2 + (b − m)x + c − n = 0, dengan kata lain diskriminan hasil subtitusi g dan f]
3.
Dari Ds bisa diambil kesimpulan sbb Ds > 0 ⇔ g dan f berpotongan di dua titik berbeda Ds = 0 ⇔ g dan f bersinggungan) Ds < 0 ⇔ g dan f tidak berpotongan. EKSPONEN
Sifat-sifat eksponen an.bn =(ab)n an ⎛ a ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ bn ⎝ b ⎠
n
n a n b = n ab
na a =n nb b
am.an = am+n am = a m −n an
a0 = 1 ( a
a
−n
≠ 0)
1 = n a
⎛a m ⎞ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
n
= a mn
n m a =a
m n
m n a = mn a = a
1 mn
TRIGONOMETRI
MI x SA
KUADRAN
DE
sinx = DE MI cosx = SA MI DE tanx = SA
1 sec x = cos x 1 csc x = sin x 1 cot x = tan x
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality
II
I
sin = +
semua +
II
II
tan = +
Sudut Istimewa 0o α 0 sin α cos α
1
tan α
0
Identitas 1. sin2 x + cos2 x = 1 2. sin2 x = 1 − cos2 x 3. cos2 x = 1 − sin2 x 4. 5. 6.
sin x cos x cos x cot x = sin x 1 sec x = cos x
tan x =
cos = +
30o
45o
60o
1 2
1 2 2
1 3 2
1 3 2 1 3 3
1 2 2
1 2
1
3
90o 1 0 -
7.
csc x =
1 sin x
8. sec2 x = tan2 x + 1 9. csc2 x = cot2 x + 1 10. Aturan sinus pada segitiga ABC a b c = = sin A sin B sin C
11.
Aturan cosinus pada segitiga ABC a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
12.
Luas segitiga ABC L = ½ . bc sin A = ½ . ac sin B = ½ . ab sin C L = s(s − a )(s − b)(s − c)
13. 14. 15. 16.
s = ½ (a + b + c) sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β
17.
tan (α + β) =
tan α + tan β 1 − tan α tan β
18. tan (α − β) =
tan α − tan β 1 + tan α tan β
19. sin 2α = 2 sin α cos α 20. cos 2 α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α 21.
tan 2α =
2tan α 1 − tan 2 α
22. sin2 α = 1 − 1 cos 2α 23.
2 2 cos α = 1 + 1 cos 2α 2 2 2
24. sin 3α = 3sin α − 4sin3 α
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality 25. 26. 27. 28. 29.
cos 3α = 4cos3 α − 3cos α 2sin α cos β = sin (α+β) + sin (α−β) 2cos α sin β = sin (α+β) − sin (α−β) 2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β) –2sin α cos β = cos (α+β) − cos (α−β)
30. sin α + sin β = 2 sin
1 2
(α+β) cos
1 2
(α−β)
sin α − sin β = 2 cos
1 2
(α+β) sin
1 2
(α−β)
32. cos α + cos β = 2cos
1 2
(α+β) cos
1 2
31.
33. cos α − cos β = −2 sin
1 2
(α+β) sin
(α−β) 1 2
(α−β)
Bentuk a cos x + b sin x 1. a cos x + b sin x = k cos (x−α) k=
a 2 + b2
dan tan α =
b a
2. y = a cos x + b sin x + c ymax = k + c dan ymin = − k + c 3. Agar acos x + bsin x = c bisa diselesaikan maka Persamaan trigonometri sin x = sin α x = α + n. 360o x = 180o – α + n. 360o cos x = cos α x = ±α + n. 360o tan x = tan α x = α + n.180o
BARISAN DAN DERET
Un = Sn − Sn−1 Un = Suku ke n Sn = Jumlah n suku pertama
Deret aritmatika u2 – u1 = u3 – u2 = un – un – 1 Un = a + (n−1) b Sn =
n n (2a + (n − 1)b ) (a + U n ) = 2 2
Suku tengah Ut =
U1 + U n 2
a = suku awal b = beda = un – un – 1 ut = suku tengah Sisipan b’ =
b k +1
b' = beda baru k = banyak sisipan Deret Geometri u2 u un = 3 = u1 u2 u n −1
Un = arn−1
berlaku untuk setiap deret
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality Sn =
a(r n − 1) a(1 − r n ) = r −1 1−r
Suku tengah Ut =
U1 U n
a = suku awal r = rasio =
un u n −1
ut = suku tengah Sisipan r' = k +1 r r' = rasio baru k = banyak sisipan Deret Geometri tak hingga S∞ =
a syarat −1 < r < 1 1−r
LIMIT
lim f(x) = L artinya nilai f(x) akan mendekati L untuk nilai x mendekati a.
x →a
Fungsi f(x) kontinu di x = a jika
lim x →a
f(x) = f(a)
Berikut sedikit ilustrasi tentang masalah limit dan kekontinuan suatu fungsi. Bisa kita lihat, nilai Lim f(x) belum tentu sama dengan nilai f(a). x →a
L
L
a a Lim f(x) = L
Lim f(x) = L
x →a
x →a
f(a) = L f(x) kontinu di a
f(a) tidak terdefinisi f(x) tidak kontinu di a
a Lim f(x) tidak ada
x →a
f(a) tidak terdefinisi f(x) tidak kontinu di
Operasi pada limit 1. Lim [ f(x) + g(x) ] = Lim f(x) + Lim g(x) x →a
x →a
x →a
2. Lim [ f(x) − g(x) ] = Lim f(x) − Lim g(x) x →a
x →a
x →a
3. Lim [ C f(x) ] = C Lim f(x), C konstanta x →a
x →a
4. Lim [ f(x) ⋅ g(x) ] = Lim f(x) ⋅ Lim g(x) x →a
x →a
x →a
Lim f(x) f(x) x →a , dengan Lim g(x) ≠ 0 5. Lim g(x) = Lim g(x) x →a x →a x →a
6. Lim [ f(x) ]n = [ Lim f(x)]n x →a
x →a
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality Bentuk tak tentu Bentuk Limit bentuk Bentuk Lim
0 0
,∞ ∞ ,∞ − ∞, 0 ⋅ ∞
0 0
f(x)
x → a g(x)
dimana f(a) = 0 dan g(a) = 0 disebut bentuk
0 0
. Bentuk ini diselesaikan
dengan cara … Metode pencoretan: f(x) dan g(x) akan mempunyai faktor yang sama, bentuk ini diselesaikan dengan pencoretan faktor yang sama tersebut. Metode L’hopital
f(x) bentuk 0 0 g(x) f ( x ) f ′(x ) maka lim = lim x → a g(x) x → a g ′(x ) lim x →a
Limit bentuk ∞ ∞ lim x →∞
⎧ 0 jika n < m ax n + bx n −1 ... ⎪⎪ a =⎨ jika n = m px m + qx m −1 ⎪ p ⎩⎪ ∞ jika n > m
Limit bentuk ∞ − ∞ Bentuk umum : Cara penyelesaian : Kalikan dengan bentuk sekawan (Baca : f(x) + g(x) )
Lim
x →∞
f ( x ) − g(x)
f(x) + g(x) f(x) + g(x)
= Lim
x →∞
f(x) − g(x) f(x) + g(x)
∞ menjadi bentuk ∞ ∞ . Selesaikan ∞ (Lihat sebelumnya)
Lim
x →∞
a1x 2 + bx + c − a 2 x 2 + px + q =
1. 2. 3.
b−p
untuk a = a1 = a2 2 a ∞ untuk a1 > a2 −∞ untuk a1 < a2
Limit fungsi trigonometri Untuk ξ → 0 Nilai dari sin ξ ≅ ξ tan ξ ≅ ξ cos ξ ≅ 1 − 1 ξ2 sec ξ ≅ 1 + 1 ξ2 2 2 tan ξ − sin ξ ≅ 1 ξ3 2 TURUNAN
Definisi : Turunan pertama dari fungsi y = f (x) didefinisikan sebagai berikut : f ( x + p) − f ( x ) dy = lim f ‘ (x) = y’ = p →0 p dx RUMUS-RUMUS TURUNAN 1. Jika y = c ( konstanta ) , maka y’ = 0 2. Jika y = x n , maka y’ = n.x n-1 3. Jika y = sin x , maka y’ = cos x 4. Jika y = cos x , maka y’ = –sin x 5. Jika y = tan x , maka y’ = sec2x 6. Jika y = cot x maka y’ = – csc2 x 7. Jika y = sec x maka y’ = secx tan x
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality 8.
Jika y = cscx maka y’ = – csc x.cot x
9.
Jika y = ln x , maka y’ =
1 x
10. Jika y = ex , maka y’ = ex SIFAT-SIFAT TURUNAN 1. Jika y = u ± v , maka y’ = u’ ± v’ 2. Jika y = u . v , maka y’ = u’.v + u.v’ u u '.v − u.v' , maka y’ = v v2
3.
Jika y =
4. 5. 6.
Jika y = u n , maka y’ = n. u n-1 . u’ Jika y = f ( u ) , maka y’ = f ’ ( u ) . u’ Jika y = f ( t ) dan t = g (x) , maka dy dx
=
dt dy . dx dt
PENGGUNAAN TURUNAN 1. f ’ (x ) = 0 ⇔ didapat titik kritis 2. f ’ (x) > 0 ⇔ f (x) naik 3. f ‘ (x) < 0 ⇔ f (x) turun 4. f ‘ (x) = 0 dan f “ (x) < 0 ⇔ didapat titik ekstrim maksimum 5. f ‘ (x) = 0 dan f ” (x) > 0 ⇔ didapat titik ekstrim minimum
INTEGRAL
Jika f(x) adalah fungsi yang differensiabel maka ∫ f ' ( x ) dx adalah f ( x ) + c
A.
Rumus Dasar 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
B.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x n dx =
1 x n + 1 + c dengan n ≠ −1 n +1
1 dx = x
∫
x −1 dx = ln x + c
sin xdx = − cos x + c cos xdx = sin x + c sec 2 xdx = tan x + c csc 2 xdx = − cot x + c sec x. tan xdx = sec x + c csc x. cot xdx = − csc x + c
Integral tentu Jika
∫ f ( x )dx = g( x ) + c
b
b
a
a
∫ f ( x )dx = g(x ) C.
Sifat-sifat integral 1.
maka
= g ( b ) − g (a )
∫ (f ( x ) + g(x ) )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g(x )dx
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality
3.
∫ (f ( x ) − g(x ) )dx = ∫ f (x )dx − ∫ g( x )dx ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx
4.
− ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
2.
b
a
a
b
b
c
c
a
b
a
∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
5.
a
∫ f ( x )dx = 0
6.
a
D.
Menghitung luas daerah
y = f(x) a
b
y = f(x) L= − ∫ f ( x )dx a
a
y = f(x) y = g(x) x=b
b
E.
x
b
L= ∫ f ( x )dx
L=
b
x
b
x=a
a
∫ (f ( x ) − g(x ))dx
a Volume Benda Putar
y
y = f(x) a
b
x
b
x = f(y) b
b
v = π ∫ y dx 2
a
v = π ∫ x 2 dy a
a
F
Integral Parsial
∫ udv = uv − ∫ vdu PERSAMAAN GARIS
Φ
Rumusan Persamaan Garis A x + B y + C = 0 (bentuk implisit) y = mx + n (bentuk eksplisit) dengan m adalah gradien garis tersebut m = − A
B
Garis g membentuk sudut α dengan sumbu-x positif, maka m = tanα
Φ
Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus Persamaan garis melalui sebuah titik (x1, y1) dengan gradien m y – y1 = m(x – x1) Persamaan garis melalui 2 buah titik (x1, y1) dan (x2 , y2) Adalah
y − y1 y − y1 = 2 x − x1 x 2 − x1
Dengan gradien m =
Φ
y 2 − y1 x 2 − x1
Hubungan Antara Dua Garis Lurus - Dua garis sejajar : m1 = m2 - Dua garis tegak lurus : m1.m2 = –1
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality -
Sudut antara 2 garis tan α =
-
Jarak titik (x1, y1) ke garis d=
-
m1 − m 2 1 + m 1 .m 2
Ax + By + C = 0
Ax1 + By1 + C A2 + B 2
Jarak antara garis Ax + By = C1 dan Ax + By = C 2 adalah d =
C1 − C 2 A2 + B 2
MATRIKS Bentuk umum suatu matriks adalah : ⎡ a 11 ⎢ ⎢a A = ⎢⎢ 21 ⎢ :: ⎢ ⎢⎣a m1
a 12 a 22
:::: ::::
::
::::
a m2
::::
a 1n ⎤ ⎥ a 2 n ⎥⎥
⎥ ⎥ ⎥ a mn ⎥⎦
::
Matriks A diatas memuat m baris dan n kolom, disebut berordo m x n. Transpos suatu matriks Transpose suatu matriks A ditulis At adalah matriks dengan menukar elemen-elemen pada baris A dengan elemen-elemen pada kolomnya Kesamaan dua matriks A = B ⇔ 1. Ordo A = Ordo B 2. elemen-elemen yang seletak nilainya
Operasi Jumlah C = A + B ⇔ 1. Ordo C = Ordo A = Ordo B 2. ci,j = ai,j + bi,j; i ∈ baris dan j ∈ kolom Sifat operasi penjumlahan 1. Komutatif : A + B = B + A 2. Asosiatif : (A + B ) + C = A + (B + C) 3. Ada matriks 0 sehingga A + 0 = 0 + A = A 4. Ada matriks −A sehingga A + (−A) = 0 5. (A+ B)t = At + Bt Definisi A − B = A + (−B) Catatan Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0. Matriks −A diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan −1. Perkalian dengan konstanta C = k A ⇔ 1. k bilangan real, A dan C matriks berordo sama 2. ci,j = k ai,j; i ∈ baris dan j ∈ kolom Sifat perkalian dengan konstanta p dan q bilangan real, A dan B matriks, maka (p + q) A = p A + q A p ( A + B) = p A + p B p (q A ) = ( p q) A Operasi Kali C = A B ⇔ 1. Cm x n = Amxp Bpxn 2. cij = ai1 b1 j + ai2 b2 j + … + aip bpj Sifat-sifat operasi kali 1. Tidak komutatif: A B ≠ B A 2. Asosiatif: (A B) C = A (B C) 3. Distributif A (B + C) = A B + AC 4. Ada matriks Identitas sehingga A I = I A = A 5. Jika A B = 0, belum tentu A = 0 atau B = 0 6. Jika A B = A C maka belum tentu B = C
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality 7. (A . B)t = Bt At Catatan Matriks Identitas adalah matriks ordo n x n (atau bujursangkar) yang semua elemen diagonal a11 = a22 = …= ann = 1 dan elemen lainnya nol Determinan Determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau ⏐A⏐. 1.
⎛ a 11 a 12 ⎞ ⎟ ⇒ ⏐A⏐=a11 a22 −a12 a21 A = ⎜⎜ ⎟ ⎝ a 21 a 22 ⎠
⎛ a 11 ⎜
a 12
a 13 ⎞ ⎟
⎜a ⎝ 31
a 32
a 33 ⎟⎠
a 22
a 23
a 32
a 33
2. A = ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟
⏐A⏐=a11
−a12
a 21
a 23
a 31
a 33
+a13
a 21 a 31
a 22 a 32
Cara lain adalah dengan metode Sorrus
a11 a12 a13 a11 a12
⏐A⏐ = a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) − (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) Sifat det (A B) = det(A) det (B) det (A + B) ≠ det(A) + det(B) A ordo nxn ⇒ det(k A) = kn det(A) det (At) = det(A)
det ( A−1 ) =
1 det A
Invers Matriks Invers dari matriks A ditulis A−1 dan didefinisikan sebagai berikut⏐ A−1 invers A ⇔ 1. A matriks ordo n x n 2. A A−1 = A−1 A = I ⎛a b⎞ ⎟ ⇒ A−1 = ⎟ ⎝c d⎠
A = ⎜⎜
1 A
⎛ d −b ⎞ ⎜ ⎟ ⎜− c a ⎟ ⎝ ⎠
Sifat Invers matriks 1. A = B−1 ⇔ B = A−1 2. (A−1)−1 = A 3. (A B )−1 = B−1 A−1 A B = C ⇒ A = C B −1 A B = C ⇒ B = A−1 C Ketiga kalimat berikut mempunyai pengertian sama 1. A singular 2. A tidak punya invers 3. det A = 0
TRANFORMASI Jika titik (x, y) ditransformasikan oleh matriks M sehingga memiliki bayangan (x’, y’) maka berlaku ⎛ x ⎞ ⎛ x' ⎞ M⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ y' ⎠
Copyright © 2009 www.usmitb.com Provide Free Tests and High Quality MATRIKS TRANSFORMASI Matriks pencerminan ⎛1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝0 − 1⎠
terhadap sumbu x ⎜⎜
⎛ −1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 0 1⎠
terhadap sumbu y ⎜⎜
⎛0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝1 0 ⎠
terhadap garis y = x ⎜⎜
⎛ 0 −1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝−1 0 ⎠
terhadap garis y = - x ⎜⎜ Matriks Rotasi ⎛ 0 −1 ⎞ ⎟ R 90 o = ⎜⎜ ⎟ ⎝1 0 ⎠
⎛ −1 0 ⎞ ⎟ R180 o = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 0 − 1⎠
Dilatasi faktor skala k
⎛ 0 1⎞ ⎟ R 270 o = ⎜⎜ ⎟ ⎝−1 0⎠
⎛ cos θ − sin θ ⎞ ⎟ R θ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ sin θ cos θ ⎠
⎛k 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 k⎟ ⎝ ⎠
Rotasi terhadap titik (a, b) ⎛ x − a ⎞ ⎛ x '−a ⎞ ⎟=⎜ ⎟ R⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ y − b ⎠ ⎝ y '− b ⎠
R = matriks rotasi Dilatasi terhadap titik (a, b) dengan faktor skala k ⎛ k 0 ⎞⎛ x − a ⎞ ⎛ x '−a ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 k ⎟⎜ y − b ⎟ = ⎜ y'− b ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Pencerminan terhadap garis y = mx + n yang memlalui
(a, b)
⎛ 1 − m2 ⎜ ⎜ 2 ⎜1+ m ⎜ 2m ⎜⎜ 2 ⎝1+ m
2m 1 + m2 −1 + m2 1 + m2
⎞ ⎟ ⎟⎛ x − a ⎞ ⎛ x '−a ⎞ ⎟=⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ y − b ⎟⎠ ⎜⎝ y'− b ⎟⎠ ⎟⎟ ⎠
PELUANG Kaidah pencacahan 1. 2.
n! = n (n – 1)(n – 2)(n – 3) ….. 3.2.1 Permuasi Prn =
n! (n − r)!
Permutasi siklis = (n – 1)! Permutasi dengan p, q, r unsure sama = 3.
n! p! q ! r!
Kombinasi ⎛n⎞ n! Cn r = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ r ⎠ r!(n − r)!
Binomial Newton :
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ (a + b) n = ⎜⎜ ⎟⎟a n + ⎜⎜ ⎟⎟a n −1 .b + ⎜⎜ ⎟⎟a n − 2 .b 2 + ... + ⎜⎜ ⎟⎟.b n ⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎝n⎠ ⎝0⎠
