College 7 Tweeweg Variantie-Analyse - Leary: Hoofdstuk 12 (p. 255 t/m p. 262) - MM&C: Hoofdstuk 12 (p. 618 t/m p. 623 ), Hoofdstuk 13 - Aanvullende tekst 9, 10, 11
Jolien Pas ECO 2012-2013
Het Experiment Zorgt het drinken van alcohol voor een meer verstoorde subjectieve perceptie van fysieke aantrekkelijkheid? 3 condities, random ingedeeld (opnieuw posttest-only design): - Geen alcohol - Weinig alcohol: 2 bier in 4 uur - Veel alcohol: 8 bier in 4 uur Hoe aantrekkelijk is de geselecteerde partner op een schaal van 0 t/m 100? 2
Contrast toetsen vs. Multipele vergelijkingen F(2, 45) = 13.426, p < 0.01; Er is verschil tussen de condities! Tenminste twee µ’s verschillen van elkaar. Maar waar zit dit verschil? Multipele Vergelijkingen: achteraf bekijken welke condities verschillen zie vorige week Contrast Toetsen: indien van te voren specifieke hypotheses zijn geformuleerd Ook wel: a priori contrasten of planned comparisons 3
Contrast toetsen Scoort de geen-alcohol populatie hoger dan de alcohol populaties (zowel weinig als veel)? H0 : µ1 = 0.5(µ2 + µ3) HA : µ1 > 0.5(µ2 + µ3) Scoort de weinig alcohol populatie hoger dan de veel alcohol populatie? H0 : µ2 = µ3 HA : µ2 > µ3 4
Contrast toetsen H0 : µ1 = 0.5(µ2 + µ3) H0 : µ1 − 0.5(µ2 + µ3) = 0 H0 : µ1 − 0.5µ2 − 0.5µ3 = 0
ψ = µ1 − 0.5µ2 − 0.5µ3 Een contrast ψ is een combinatie van populatiegemiddelden die onder H0 gelijk is aan 0 H0 : ψ = 0 HA : ψ > 0 5
Contrast toetsen ψ = µ1 − 0.5µ2 − 0.5µ3 Contrastcoëfficiënten (ai’s): 1, -0.5, -0.5 Tellen bij elkaar op tot nul: Σai = 0 Contrasten worden getoetst met (speciale versie van de) t-toets ai xi c ∑ = De algemene vorm is t = SEc s p ∑ ai2 ni En df = DFE = N – I
6
Contrast toetsen ψ = µ1 − 0.5µ2 − 0.5µ3 Voor het steekproefcontrast c vullen we geen populatiemaar steekproefgemiddeldes in c = 1× 63.75 − 0.5 × 64.69 − 0.5 × 47.19 = 7.81
7
Contrast toetsen ψ = µ1 − 0.5µ2 − 0.5µ3 MSE = 115.486 = 10.746 = s p (zie vorige week) SEc = s p
2 a ∑ i ni = 10.746 × 0.306 = 3.290
c 7.81 t= = = 2.374 met df = 45 SEc 3.29
p < .05
H0 verwerpen
De geen-alcohol populatie scoort hoger op de aantrekkelijkheidsschaal dan de alcohol populatie 8
Contrasten in SPSS
Contrast toetsen Scoort de geen-alcohol populatie hoger dan de alcohol populaties (zowel weinig als veel)? H0 : µ1 = 0.5(µ2 + µ3) HA : µ1 > 0.5(µ2 + µ3) Scoort de weinig alcohol populatie hoger dan de veel alcohol populatie? H0 : µ2 = µ3 HA : µ2 > µ3 10
Contrast toetsen - opmerkingen Alleen gebruiken wanneer er van tevoren specifieke hypotheses zijn geformuleerd. Met een contrast toets kan een specifiek verschil gevonden worden, ook al is de F-toets van de ANOVA niet significant! De contrast toets heeft meer power Contrastcoëfficiënten kunnen vermenigvuldigd worden (zolangs je ze maar allemaal met hetzelfde vermenigvuldigd). Het resultaat is hetzelfde. 11
Nog één contrast Zijn gelovigen gelukkiger dan niet-gelovigen? We bekijken hiervoor 5 populaties: Protestanten, Katholieken & Moslims (gelovigen) Atheïsten & Agnosten (niet-gelovigen)
ψ = 0.33 (µpr + µka + µmo) – 0.5 (µat + µag) ψ = 0.33µpr + 0.33µka + 0.33µmo – 0.5µat – 0.5µag H0 : ψ = 0 HA : ψ > 0 12
éénweg vs. factoriële designs Tot zover steeds eenweg design (1 onafhankelijke variabele). Maar wat te doen bij factoriële designs? (meerdere onafhankelijke variabelen, zie ECO week 5) Bijvoorbeeld bij het volgende 3 x 2 blokontwerp: Zorgt het drinken van alcohol voor een meer verstoorde subjectieve perceptie van fysieke aantrekkelijkheid en is er een verschil tussen mannen en vrouwen hierop? Alcohol (A) 1. geen 2. weinig 3. veel
Geslacht (B) 1. mannen 2. vrouwen
Tweeweg ANOVA één onafhankelijke variabele twee onafhankelijke variabelen
éénweg ANOVA tweeweg ANOVA
Mogelijk in een: - compleet gerandomiseerd factorieel ontwerp - blokontwerp (randomised block design) - cross-sectioneel ontwerp (geen experiment!) Een tweeweg ANOVA heeft een aantal voordelen NB. Een gebalanceerd design bevat hetzelfde aantal ppn in elke conditie
14
Voordelen van een tweeweg ANOVA Betere generaliseerbaarheid: niveau’s van een verscholen variabele zijn onder controle Efficiënter onderzoek dan bij twee aparte experimenten met hetzelfde aantal waarnemingen per conditie Grotere power: de error variantie wordt verkleind door opname van een tweede factor in het model Opname van een tweede factor maakt het mogelijk om de (relatieve) invloed van twee onafhankelijke variabelen en een interactie hiertussen vast te stellen 15
Het ANOVA model Eenweg model: DATA = FIT + RESIDUAL = µ + αi + εij xij waarbij i een conditie aangeeft en j een proefpersoon Tweeweg model: DATA = FIT + RESIDUAL xijk = µ + αi + βj + αβij + εijk waarbij i een conditie van factor A aangeeft, j een conditie van factor B en k een proefpersoon 16
Het tweeweg ANOVA model I x J ANOVA (er worden I x J groepen vergeleken) Model: xijk = µ + αi + βj + αβij + εijk Model in MM&C: xijk = µij + εijk Dus µij = µ + αi + βj + αβij Assumpties (zelfde als bij eenweg ANOVA) : - Spreiding van de residuen is in elke populatie even groot - De residuen zijn normaalverdeeld (met een gemiddelde van 0 en standaarddeviatie σ ) - De residuen zijn onafhankelijk 17
De parameters in een tweeweg ANOVA µ wordt geschat met x µij wordt geschat met xij Effectparameters αi en βj worden geschat met:
aˆi = xi. − x en βˆ j = x. j − x
Interactie-effecten αβij worden geschat met:
αˆβˆij = xij − ( x + αˆ i + βˆ j )
σ wordt geschat met sp 18
Schatten van effectparameters: de hoofdeffecten
aˆ1 = x1. − x = 63.75 − 58.54 = 5.21 aˆ 2 = x2. − x = 64.69 − 58.54 = 6.15 aˆ3 = x3. − x = 47.19 − 58.54 = −11.35
In een gebalanceerd design:
βˆ1 = x.1 − x = 56.88 − 58.54 = −1.66 βˆ2 = x.2 − x = 60.21 − 58.54 = 1.67
∑ αˆ j = 0,
ˆ = 0, β ∑ j
ˆ =0 ˆ α β ∑ ij
In dit voorbeeld komt het niet helemaal uit vanwege afronding tussendoor. 19
Schatten van effectparameters: de interactie-effecten
aˆ1 = 5.21, aˆ 2 = 6.15, aˆ3 = −11.35
βˆ1 = −1.66, βˆ2 = 1.67 αˆβˆ11 = x11 − ( x + αˆ1 + βˆ1 ) = 66.88 − (58.54 + 5.21 − 1.66) = 4.79 αˆβˆ12 = x12 − ( x + αˆ1 + βˆ2 ) = 60.62 − (58.54 + 5.21 + 1.67) = −4.80 αˆβˆ21 = 3.84, αˆβˆ22 = −3.86, αˆβˆ31 = −8.65, αˆβˆ32 = 8.64
20
De tweeweg ANOVA-tabel Nu 3 F-ratio’s, 1 voor elk effect; hoofdeffect A, hoofdeffect B, interactie-effect AxB
21
Berekenen SSA, SSB en SSAB
SSA = ∑ ni aˆi2 = 16 × 5.212 + 16 × 6.152 + 16 × (−11.35) 2 = 3100.626
SSB = ∑ n j βˆ j2 = 24 × (−1.66) 2 + 24 × 1.67 2 = 133.068 SSAB = ∑ nijαˆβˆ ij2 = 8 × 4.79 2 + 8 × (−4.80) 2 + ... = 1800.811 22
SPSS output SPSS
Analyze
General Linear Model
Univariate
SSM = SSA + SSB + SSAB 23
SPSS output
SST = SSM + SSE
24
SPSS output
Onze SST is de SS(Corrected Total) SS(Total) = SS(Corrected Total) + SS(Intercept) We negeren “Total” en “Intercept” meestal
25
Significante effecten?
Hoofdeffect Alcohol: F(2, 42) = 19.961, p < .001 Hoofdeffect Geslacht: F(1, 42) = 1.716, p = .197 Interactie-effect: F(2, 42) = 11.593, p < .001 Interpretatie?? 26
Interpretatie effecten
27
Effectgrootte Proportie verklaarde variantie voor het totaal = SSM / SST Proportie verklaarde variantie van een effect: η 2 = SSeffect / SST η 2partial = SSeffect / (SSeffect + SSE) Schatting van de effectgrootte in de populatie:
ωˆ = 2
2 ˆ ω partial
SS effect − ( DFeffect × MSE ) SST + MSE : behoort niet tot de stof van ECO 28
Effectgrootte - opmerkingen Meer factoren
kleinere η 2 voor een bepaald effect
In een éénweg ANOVA geldt:
η 2 = η 2partial, want SST = SSeffect + SSE in een éénweg ANOVA Ιn een éénweg ANOVA met maar 2 condities:
η 2 = η 2partial = rpb2
29
Effectgrootte - voorbeeld
Effectgrootte voor Alcohol:
η 2 = 0.374, η 2partial = 0.487 en ωˆ 2 = 0.352 30
Effectgrootte
R Squared = SSM / SST 31
Vergelijking één- en tweeweg ANOVA
32
Nog een voorbeeld: IJzer in eten Data uit onderzoek van Adish et al. (1999): Factor A: Soort Pan - IJzer (IRON) - Aluminium (ALU) Factor B: Soort Gerecht - Yesiga wet’ – vleesgerecht met Ethiopische kruiden (MEAT) - Shiro wet’ – “legume-based” mix van meel en pepers (LEGU) - Ye-atkilt allych’a – pittig gekruide “vegetable” stoofpot (VEGE)
IJzer in eten - Ruwe data Afhankelijke variabele: IJzergehalte (in mg/100g bereid voedsel)
IRON ALU
MEAT
LEGU
VEGE
5.27 4.06 1.77 1.96
3.69 3.84 2.40 2.41
2.45 2.80 1.03 1.07
5.17 4.22 2.36 2.14
Wat zie je (al) aan de ruwe data?
3.43 3.72 2.17 2.34
2.99 2.92 1.53 1.30
IJzer in eten - Gemiddelden MEAT
LEGU
VEGE
IRON
4.6800
3.6700
2.7900
3.7133
ALU
2.0575
2.3300
1.2325
1.8733
3.3688
3.0000
2.0113
2.7933
Hoofdeffecten:
aˆ1 = 0.92, aˆ 2 = −0.92 βˆ1 = 0.5755, βˆ2 = 0.2067, βˆ3 = −0.7820 Interactie-effecten:
aˆβˆ11 = 0.3912, aˆβˆ12 = −0.25, aˆβˆ13 = −0.1413, etc.
IJzer in eten – ANOVA tabel
Conclusie: er is een significant effect van Soort Pan en van Soort Gerecht; ook de interactie tussen Soort Pan en Soort Gerecht is significant. Interpretatie?
IJzer in eten - weergeven resultaten Twee manieren om interactie weer te geven:
IRON, ALU
MEAT, LEGU, VEGE
IJzer in eten - Effectgrootte
Effectgrootte voor Soort Gerecht:
η 2 = 0.247, η 2partial = 0.811,
ωˆ 2 = 0.239
Volgende week: Tentamen Succes!!
39
