Co jsem dělal o prázdninách 1na Hraštici 2016 Leoš Dvořák, KDF MFF UK Praha Následující text je stručným popisem dvou „miniprojektů“ na jarním soustředění pro budoucí učitele fyziky a spřízněné duše na Hraštici v květnu 2016.
Kyvadlo s velkým rozkyvem Známý vztah pro matematické či fyzické kyvadlo dává periodu kmitů pro malé rozkyvy; typicky se uvádí do 5°. Pro větší hodnoty amplitudy rozkyvu je perioda delší, příslušný vztah a jeho odvození je mimo možnosti středoškolské fyziky. Bylo by možno prodloužení periody alespoň ukázat jednoduchým pokusem? Cílem dále popisovaného „miniprojektu“ bylo nějaký takový jednoduchý pokus vyvinout a ověřit, zda je dostatečně průkazný. Základní myšlenkou bylo sestrojit fyzické kyvadlo, které by mohlo mít amplitudu výchylek větší než 90°. Konkrétním nápadem bylo použít CD jako tenký kotouč, na nějž se „přicvakne“ dvojice malých neodymových magnetů jako závaží. Výsledek ukazuje fotografie na obr. 1.
Obr. 1. Jednoduchá konstrukce kyvadla s velkým rozkyvem. Osou, kolem níž se CD otáčí, byl tlustší drát (zřejmě z mosazi), na který byla nasazena provrtaná gumová zátka, na níž bylo nasazeno CD. Jako provizorní „ložiska“ byly využity zatočené části kovových pružin v dřevěných kolíčcích na prádlo. Kolíčky byly přišroubovány k dřevěným laťkám a ty pak pomocí kovových úhelníků k prkénku, které sloužilo jako základna celého zařízení. Na CD byly vyznačeny rysky po 10°.
1
Pardon, to je reminiscence na [1].
1
Problémem se ukázalo snímání kmitů kyvadla. Periodu kmitů lze měřit ručně pomocí stopek. Ovšem vinou tření v provizorních „ložiskách“ se amplituda kmitů poměrně rychle snižuje, a pokud měříme třeba 10 kmitů, nelze určit, jaké amplitudě naměřená perioda odpovídá. S velmi dobrou přesností lze měřit periodu kmitů pomocí malé cívečky (10 závitů zvonkového drátu, průměr cívečky asi 1 cm), jejíž vývody zapojíme do vstupu zvukové karty počítače a signál daný tím, že v blízkosti cívečky se pohybuje magnet tvořící závaží kyvadla, nahrajeme pomocí programu Audacity [2]. Výsledek ukazuje obr. 2.
Obr. 2. Snímání kmitů kyvadla pomocí cívky – záznam signálu pomocí programu Audacity. Uvedená metoda umožňuje změřit periodu velmi přesně (s přesností na milisekundy), ovšem v záznamu nemáme žádnou informaci o tom, jaká byla amplituda rozkyvu. Jako vyhovující se nakonec ukázalo nahrát videozáznam pohybu daného kyvadla. V podmínkách hraštického soustředění byla použita nejjednodušší varianta – nahrát pohyb kyvadla pomocí tabletu. (Tablet byl opřen o stůl a držen v ruce.) Výsledný videosoubor byl následně (již po soustředění) zkopírován do počítače a přehrán pomocí programu VLC player [3], který umožňuje záznam krokovat po jednotlivých snímcích. Stanovení periody tak není příliš přesné: Snímková frekvence byla 30 snímků za sekundu a při přehrávání záznamu bylo odhadováno, na kterém snímku byla výchylka maximální, v některých případech bylo odhadnuto, že výchylka byla maximální mezi dvěma snímky. Chybu určení času tak můžeme odhadnout na řekněme 10 ms, chybu určení periody tedy až na 20 ms, což je téměř až 5% poloviny periody. (Fakticky byla určována doba kyvu, tedy polovina doby kmity tj. periody.) Amplituda kmitů byla určena přímo odečtem z jednotlivých snímků s využitím rysek vyznačených na CD. Přesnost odečtu amplitudy můžeme odhadnout jako lepší než 5%, fakticky snad na 2 až 3%. I s takto provizorním měřením lze závislost periody na amplitudě kmitů zhruba vyhodnotit a porovnat s teorií. Určujeme přitom poměr periody pro určitou výchylku vůči periodě pro malé výchylky. Teoretickou hodnotu poměru určujeme výpočtem uvedeným v článku [4]. V něm se perioda počítá iterativně, překvapivě jednoduchým postupem využívajícím aritmetický a geometrický průměr. (Tři jednoduché iterace umožňují určit periodu s přesností lepší než 1 promile až do rozkyvu 170°.)
2
Porovnání teoretických a naměřených hodnot ukazuje obr. 3. Vzhledem k jednoduchosti jak experimentálního zařízení, tak měření period i amplitud se shoda měření s teorií jeví až překvapivě dobrá. 1,8 1,6 1,4 1,2 T/T0
1,0 T/T0 měření
0,8
T/T0 teorie
0,6 0,4 0,2 0,0
0
20
40
60
80
100
120
140
160 fi0 (stupně)
Obr. 3. Porovnání teoretické předpovědi periody kmitů s naměřenými hodnotami. Problémem uvedeného jednoduchého kyvadla je tření osy v „ložiscích“, tlumení kyvů je bohužel značné. (Při počáteční výchylce 150° klesne amplituda po prvním kmitu o asi 15°, po dalším kmitu o 10°.) Mazání osy olejem na kola a šicí stroje přineslo jen malé zlepšení. Pro přesnější měření by tedy bylo vhodné využít nějaká dostupná ložiska, která by minimalizovala tření. Jednoduché a přitom vyhovující by snad mohlo být hrotové uložení osy. Pokud se týče měření periody kmitů při určité amplitudě, lze uvažovat o třech možnostech: a) Pokud by tření bylo opravdu malé, lze využít výše uvedené měření pomocí cívky a nahrávání signálu do Audacity s tím, že se pro každou amplitudu kmitu provede zvláštní měření. b) K měření period pomocí cívky a Audacity by šlo doplnit informaci o amplitudě výchylky užitím zvukové karty se stereofonním vstupem. V jednom kanálu by se nahrával signál z cívky, do druhého kanálu by byl zapojen mikrofon, na který bychom nahráli hlasovou informaci o amplitudě kmitu. c) Kmity kyvadla by šly zachytit pomocí vysokorychlostní kamery resp. fotoaparátu, který je schopen nahrát video s vyšším počtem snímků za sekundu. Jak základní jednoduché kyvadlo tak některou z vylepšených možností zamýšlí autor tohoto příspěvku prezentovat na konferenci Veletrh nápadů učitelů fyziky 21.
3
LC oscilátor (netlumené kmity) Pokud chceme dosáhnout toho, aby LC obvod kmital netlumeně, musíme mu dodat energii, kterou během každého kmitu ztrácí. (Ztráty přitom zdaleka nejsou způsobeny jen ohmickým odporem cívky, zřejmě hrají roli i „ztráty v železe“ a možná částečně i ztráty v kondenzátoru.) Energii poskytne baterie; to, aby byla dodávána ve správnou chvíli, může zajistit například tranzistor. Zapojení, která mohou oscilovat, se v literatuře uvádí celá řada. V našem případě byl použit snad nejjednodušší a „nejklasičtější“ typ známý pod názvem Meissnerův oscilátor. Konkrétní zapojení ukazuje obr. 4. Rezonanční LC obvod je zapojen v kolektorovém obvodu tranzistoru; sekundární vinutí o několika málo závitech přivádí malé střídavé napětí do báze tranzistoru; to ovládá proud v kolektoru, který dodává energii do LC obvodu.
Obr. 4. Použité zapojení LC oscilátoru (Meissnerův oscilátor) Cívka rezonančního obvodu je navinuta na feritovém toroidním jádře [5]: vnější průměr je 35,6 mm, vnitřní průměr 22,9 mm, výška 12,7 mm, prodejce (GES elektronik) uvádí indukčnost 952mH při 1000 závitech. V našem případě měla cívka 165 závitů smaltovaného drátu o průměru 0,85 mm. (Tomu by podle teoretického vztahu odpovídala indukčnost asi 25 mH, měření LR metrem UNI-T 602 dalo 24,2 mH.) Sekundární cívka připojená do báze tranzistoru měla 10 závitů, byla vinuta zvonkovým drátem. S uvedeným kondenzátorem (M1, tj. 0,1 μF) kmital daný oscilátor na frekvenci asi 2400 Hz. (Bylo měřeno pomocí programu Audacity; výstup z oscilátoru byl přiveden do vstupu zvukové karty.) Tato frekvence ne zcela odpovídá teoretickému vztahu (Thomsonův vztah) ω = 1
LC ; ten pro indukčnost L = 25 mH a C = 10 F dává asi f = 3180 Hz. Příčinou může být skutečnost, že při vyšších proudech se může měnit permeabilita jádra cívky a ta tak může mít vyšší indukčnost. Navíc je k rezonančnímu obvodu připojen kolektor tranzistoru, takže nejde o ideální samostatný LC obvod, pro nějž je odvozen Thomsonův vztah. Navíc v našem jednoduchém zapojení jistě není zesílení tranzistoru nastaveno přesně tak, aby do kmitavého obvodu dodával právě tolik energie, kolik z něj odebere tlumení. Tranzistor je typicky poněkud „přebuzen“, takže kmity ani nejsou přesně harmonické. (Poznámka: zesílení se nastavuje změnou odporu v emitoru tranzistoru.) Do budoucna by bylo jistě zajímavé pátrat jak v literatuře, tak vlastním experimentováním, po obvodu, který by i při jednoduchém zapojení kmital na frekvenci bližší Thomsonovu vztahu. -7
4
Jako ukázka LC oscilátoru dávajícího netlumené kmity byl daný oscilátor prezentován na přednášce Fyzika II (Elektřina a magnetismus) pro posluchače 1. ročníku oboru Fyzika zaměřená na vzdělávání na MFF UK. Výstup byl demonstrován pouze akusticky, jako pískání. (Výstup z oscilátoru byl veden do malých reprosoustav k počítači.) Bylo též ukázáno, že zapojíme-li k LC obvodu paralelně kondenzátor o kapacitě 1 μF, tón je výrazně nižší – závislost frekvence na kapacitě tak byla demonstrována alespoň kvalitativně.
Závěr Jak je uvedeno výše, oba miniprojekty by bylo zajímavé rozvíjet dále, zpřesňovat jejich výsledky, odstraňovat rušivé vlivy apod. Hraštické soustředění tak opět sehrálo roli jakéhosi „inkubátoru“, kde lze zkoušet nové i staronové dosud nevyzkoušené nápady a náměty na pokusy, měření a zařízení. Poděkování: Děkuji vedoucím RNDr. Zdeňce Koupilové, Ph.D. a Mgr. Petru Kácovskému za organizaci letošního hraštického soustředění. Soustředění bylo podpořeno nadačním příspěvkem Nadace Depositum Bonum pro Univerzitu Karlovu v Praze ve školním roce 2015-2016 a také z prostředků Institucionálního rozvojového plánu pro MFF UK v roce 2016.
Literatura [1] Pratchett, T.: Zajímavé časy. Český překlad Talpress, 1998. [2] Audacity ®. Dostupné online, http://www.audacityteam.org/. Cit. 8. 5. 2016. [3] VideoLAN: VLC media player. Dostupné online, http://www.videolan.org/vlc/. Cit. 8. 5. 2016. [4] Carvalhaes C.G., Suppes P.: Approximations for the period of the simple pendulum based on the arithmetic-geometric mean. Am. J. Phys. 76 (Dec. 2008), 1150-1154, doi: 10.1119/1.2968864. [5] AMIDON: FT-140-43. Dostupné online, http://www.amidoncorp.com/ft-140-43/. Cit. 8. 5. 2016.
5
