Buku Pendalaman Konsep
Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto
1
Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri, trigonometri banyak terkait dalam penyelesaian untuk masalah-masalah geometri, vektor dan kemudian dikembangkan untuk pembahasan-pembahasan lainnya. Banyak siswa yang mengeluh ketika harus mempelajari materi trigonometri. Hal tersebut sebagian besar dikarenakan banyaknya rumus dalam materi trigonometri dan mereka lebih menekankan pada hapalan rumus semata tanpa mengetahui konsep dasarnya. Untuk hal yang paling sederhana saja, contohnya masih banyak siswa yang sudah belajar trigonometri namun tidak mengetahui mengapa nilai sin 30o = 12 . Dalam buku ini dikupas mendalam materi-materi dalam trigonometri yang lebih menekankan pada konsep dasar. Buku ini bukan hanya diperintukkan bagi siswa namun juga dapat diperuntukkan bagi guru, mahasiswa teknik dan siapapun yang ingin mempelajari trigonometri mulai dari konsep dasar. Dalam penulisan buku ini, jelas bahwa tulisan pada buku ini bukan hanya merupakan hasil kerja penulis sendiri. Banyak gagasan, materi dan soal yang diambil dari berbagai sumber yang ada di daftar pustaka dan dari berbagai bantuan banyak pihak. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam buku ini. Penulis mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca mengenai materi, cara penyajian maupun soal. Jika ada kekurangan dalam penyajian di buku ini, penulis mohon maaf. Jakarta, Oktober 2011 Doddy Feryanto, M.Si
i
DAFTAR ISI Kata Pengantar
i
Daftar Isi
ii
Pendefinisian Trigonometri
1
Nilai Trigonometri pada Sudut Istimewa
6
Nilai Trigonometri Sudut yang Berelasi
14
Derajat dalam Radian
29
Identitas-Identitas Trigonometri
32
Trigonometri untuk Penjumlahan Sudut
36
Penjumlahan Trigonometri
50
Persamaan Trigonometri
52
Hubungan Koordinat Cartesius dengan Koordinat Polar
64
Grafik Fungsi Trigonometri
68
Ketaksamaan Trigonometri
81
Aturan Trigonometri pada Segitiga
88
Kumpulan Soal
110
Jawaban Soal
123
Daftar Pustaka
125
ii
1 Pendefinisian Trigonometri Kita telah mengenal rumus Pythagoras dalam suatu segitiga siku-siku, yaitu kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya.
|AC|2 = |AB|2 + |BC|2 Namun bagaimana cara mengetahui panjang sisi suatu segitiga jika yang diketahui adalah sudut dan salah satu sisinya, seperti gambar berikut:
Jika diketahui ∠CAB = 15o dan |AC| = 6 dapatkah kita mencari panjang sisi lainnya dengan menggunakan Pythagoras? Tentu saja hal tersebut tidak dapat dilakukan secara langsung menggunakan rumus Pythagoras. Sekarang kita akan mempelajari suatu fungsi yang memetakan suatu ukuran sudut ke bilangan real. Fungsi tersebut dinamakan fungsi trigonometri. Sekarang perhatikan gambar dua buah garis yang berpotongan dan membentuk sudut θ berikut:
Dari titik-titik A, A0 dan A00 ditarik proyeksi yang tegak lurus di titik B, B 0 dan B 00 . Sehingga masing-masing OAB, OA0 B 0 dan OA00 B 00 membentuk segitiga siku-siku yang sebangun. Kita dapat melihat adanya persamaan perbandingan berikut:
|AB |A0 B 0 | |A00 B 00 | = 0 0 = 00 00 |AO| |A O | |A O | |OB| |O0 B 0 | |O00 B 00 | = 0 0 = 00 00 |OA| |O A | |O A | 0 0 |A B | |A00 B 00 | |AB| = 0 0 = 00 00 |OB| |O B | |O B |
Perbandingan-perbandingan di atas bernilai sama untuk titik dimanapun pada garis g yang ditarik tegak lurus ke garis l sehingga membentuk segitiga siku-siku. Perbandingan di atas nilainya bergantung pada sudut θ yang dibentuk kedua garis g dan l, sehingga dinamakan sebagai
2
berikut: |AB |A0 B 0 | |A00 B 00 | = 0 0 = 00 00 = sin θ |AO| |A O | |A O | 0 0 |OB| |O B | |O00 B 00 | = 0 0 = 00 00 = cos θ |OA| |O A | |O A | 0 0 |AB| |A B | |A00 B 00 | = 0 0 = 00 00 = tan θ |OB| |O B | |O B | Kemudian dikembangkan lagi beberapa fungsi yang merupakan kebalikan dari fungsi lainnya: 1 sin θ 1 sec θ = cos θ 1 cot θ = tan θ csc θ =
Perhatikan juga terdapat hubungan antara tan θ dengan fungsi lainnya, |AB| = tan θ = |OB|
|AB |AO| |OB| |OA|
=
sin θ cos θ
Sehingga mengakibatkan cot θ =
cos θ sin θ .
Dalam suatu segitiga siku-siku, kita dapat melihat lebih mudah definisi perbandingan fungsi trigonometri sebagai berikut:
3
Diketahui ∠CAB = ∠A, ∠ABC = ∠B dan ∠BCA = ∠C dan untuk mempermudah penulisan sin ∠A ditulis sin A, begitu juga lainnya, sehingga a b a sin A = , cos A = , tan A = c c b b a b sin B = , cos B = , tan B = c c a Terdapat pendefinisian lain selian sinus, cosinus dan tangent, yaitu cosecant, secant dan cotangent dimana csc θ =
1 sin θ
sec θ =
1 cos θ
cot θ =
1 tan θ
sehingga untuk segitiga ABC pada gambar di atas, csc A =
c a
sec A =
c b
tan A =
b a
dan
c c a sec B = cot B = b a b o o Contoh [EBTANAS 1993]: Jika 0 < a < 90 dan tan a = csc B =
√5 11
maka
sin a = . . . √
A.
5 6
C.
1 6
B.
25 36
D.
5 36
11
E.
1 36
√
11
Jawab: Karena tan a = √511 dan 0o < a < 90o maka kita dapat gambarkan ∠a dalam sebuah segitiga siku-siku dengan perbandingan sisi sebagai berikut:
4
dimana: |AB| =
√
11
dan |BC| = 5
kemudian dengan Pythagoras, kita peroleh r √ 2 |AC| = 11 + 52 = 6 sehingga sin a =
|BC| 5 = |AC| 6
5
2 Nilai Trigonometri pada Sudut Istimewa 2.1
Nilai Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku
Sudut 45o Misal pada ∆ABC, ∠A = ∠B = 45o sehingga membentuk segitiga sama kaki dan sekaligus siku-siku √ dengan |AC| = |BC| = k untuk suatu k bilangan bulat dan |AB| = k 2.
sehingga sin A = sin 45o =
k 1 1√ |BC| = √ =√ = 2 |AB| 2 k 2 2
dan dengan cara yang serupa, diperoleh cos A = cos 45o = dan tan 45o =
sin 45o cos 45o
1√ 2 2
= 1.
Sudut 30o dan 60o Untuk menentukan nilai sin 30o , cos 30o , sin 60o dan cos 60o maka kita buat ∆ABC dengan ∠A = 60o dan ∠B = 30o . Kemudian refleksikan terhadap garis BC sehingga membentuk segitiga sama sisi.
Karena ∠D = 60o maka |AD = |AB| dan |AC| = |AD| 2 . Karena ∆ABC siku-siku maka berlaku |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 . sehingga |BC|2 = |AB|2 −
3|AB|2 |AB|2 = 4 4
√
√ 3|AB| = 12 3. Karena . Jadi sin A = sin 60o = |BC| 2 |BA| √ cos 30o = sin(90o − 30o ) = 12 3. Sedangkan sin 30o = cos 60o = 12 , √ √ tan 30o = cot 60o = 13 3, dan tan 60o = cot 30o = 3.
atau |BC| =
Jadi kita telah memperoleh nilai-nilai trigonometri pada sudut -sudut berikut: o o 30o 45 60 √ √ 1 1 1 sin θ 2 2 √2 2 3 √ 1 1 cos θ 2 √3 2 2 √12 tan θ 13 3 1 3 Berdasarkan definisi csc θ = dapat juga peroleh csc θ sec θ cot θ
1 sin θ , sec θ
30o 2 √ 2 3√ 3 3
=
o 45 √ √2 2 1
7
1 cos θ o 60 √ 2 3 3 2 √ 1 3 3
dan cot θ =
1 tan θ
kita
Contoh [OSP 2003]: Sebuah bola dengan jari-jari r ditendang dari B ke A. Bola tersebut menggelinding sebanyak tepat 10 kali putaran sebelum membentur bidang miring dan berhenti. Berapakah jarak dari B ke A?
Ket: ∠CAB = 60o . Jawab: Perhatikan gambar di bawah ini:
Perhatikan bahwa ∠OAD = ∠EAO = 30o dan |BD| = 2πr.10 = 20πr. Karena ∠DAO = 30o maka cot ∠DAO =
8
|DA| |OD|
sehingga |DA| = |OD| cot ∠DAO = r cot 30o √ =r 3 √ √ kita peroleh |BA| = |BC| + |CA| = 20πr + r 3 = (20π + 3)r.
2.2
Trigonometri dalam Lingkaran
Sudut-sudut istimewa yang telah dibahas sebelumnya hanya sudut-sudut yang berada diantara 0o dan 90o . Namun bagaimana nilai trigonometri pada sudut-sudut selain itu? Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang memetakan sudut ke bilangan real. Untuk 0o < θ < 90o kita dapat menggunakan gambaran suatu segitiga siku-siku seperti dibahas sebelumnya. Mengingat bahwa ukuran sudut berkisar dari 0o ≤ θ ≤ 360o dan kelipatannya maka kita tidak dapat lagi menggunakan gambaran segitiga siku-siku untuk mencari nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa diluar 0o < θ < 90o , bahkan untuk sudut 0o dan 90o sendiri kita belum menentukan nilai trigonometrinya. Sekarang kita pandang definisi trigonometri dalam suatu lingkaran:
9
Dengan tidak menyalahi definisi sebelumnya, kita dapat definisikan fungsifungsi trigonometri pada lingkaran sebagai berikut: y ordinat = r jari-jari x absis cos θ = = r jari-jari y ordinat tan θ = = x absis o Sekarang kita akan mencari nilai sin 0 , cos 0o dan tan 0o . Perhatikan untuk θ = 0o kita dapat melihat bahwa garis OA dengan koordinat A(r, 0) sin θ =
sehingga kita peroleh : sin 0o =
0 y = =0 r r
cos 0o =
x r = =1 r r
y 0 = =0 x r Untuk mencari nilai sin 90o , cos 90o dan tan 90o , kita dapat menggambarkan posisi sudut yang dibentuk garis OA dengan sumbu X dengan koordinat A(0, r) tan 0o =
10
sehingga kita peroleh :
sin 90o =
r y = =1 r r
cos 90o =
x 0 = =0 r r
tan 90o =
r y = =∞ x 0
Untuk mencari nilai sin 180o , cos 180o dan tan 180o , kita dapat menggambarkan posisi sudut yang dibentuk garis OA dengan sumbu X dengan koordinat A(−r, 0)
11
sehingga kita peroleh :
sin 180o =
y 0 = =0 r r
cos 180o =
x −r = = −1 r r
tan 180o =
y 0 = =0 x −r
Untuk mencari nilai sin 270o , cos 270o dan tan 270o , kita dapat menggambarkan posisi sudut yang dibentuk garis OA dengan sumbu X dengan koordinat A(0, −r)
12
sehingga kita peroleh : sin 270o =
y −r = = −1 r r
cos 270o =
0 x = =0 r r
tan 270o =
y −r = =∞ x 0
Untuk nilai sin 360o , cos 360o dan tan 360o nilainya akan sama dengan sin 0o , cos 0o dan tan 0o . Sehingga sekarang kita telah memperoleh tabel nilai trigonometri pada sudut-sudut istimewa dasar sebagai berikut :
sin θ cos θ tan θ
0o 0 1 0
30o 1 2 √
1 2 √3 1 3 3
o 45 √
o 60 √ 3
1 2 √2 1 2 2
1 2
1
√2 3
1
13
90o 1 0 ∞
180o 0 −1 0
270o −1 0 ∞
