SOAL DAN PEMBAHASAN POSTEST PEMBINAAN GURU OLIMPIADE MADRASAH ALIYAH (MA) NARASUMBER: DODDY FERYANTO
31 Juli-1 Agustus 2016
KAMPUS PUSDIKLAT TENAGA TEKNIS PENDIDIKAN DAN KEAGAMAAN
POSTTEST PEMBINAAN GURU OLIMPIADE MADRASAH ALIYAH 1. Bilangan dua angka dari 19 sampai 92 ditulis secara ditulis berurutan untuk membentuk bilangan N = 19202122 . . . 909192 Tentukan bilangan terbesar k sehingga 3k habis membagi N . 2. Tentukan semua bilangan positif m sehingga
3m+25 2m−5
3. Berapa sisa dari 21000 jika dibagi 13? 4. Untuk setiap bilangan bulat n > 1, didefinisikan an =
n
1 log 2002
Misal b = a2 + a3 + a4 + a5 dan c = a10 + a11 + a12 + a13 + a14 . Berapa nilai b − c? 5. Tentukan semua bilangan bulat a sehingga a−
j a k = 2005 2005
6. Berapa banyak cara menaruh 5 bola ke dalam 3 wadah jika tidak boleh ada wadah yang kosong? 7. Dari sepuluh orang siswa akan dibentuk 5 kelompok, masing-masing beranggotakan 2 orang. Berapa banyak cara membentuk kelima kelompok ini? 8. Dalam suatu perkumpulan terdapat 7 pria dan 3 wanita. Dalam berapa cara mereka tersusun dalam suatu barisan sehingga (a) Tidak ada pria diantara ketiga wanita tersebut. (b) Posisi paling ujung ditempati pria dan tidak ada wanita yang duduk bersebelahan. 9. Dengan mengkombinasikan ketiga warna dasar: merah, kuning, dan biru dapat diperoleh warnawarna lain. Misal ada 5 kaleng cat warna merah, 5 kaleng cat warna kuning, dan 5 kaleng cat warna biru. Budi boleh memilih kaleng manapun untuk mencampurkan warna dan semua cat dalam sebuah kaleng harus dipakai semua. Ada berapa pilihan warna yang dihasilkan? 10. Berapakah banyaknya cara memilih tiga bilangan berbeda sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan itu dipilih dari himpunan {1, 2, 3, . . . , 10}? Selamat Bekerja
PEMBAHASAN 1. Sebuah bilangan habis dibagi 3 dan 9 jika jumlah angka-angka penyusunnya secara berturut-turut habis dibagi 3 dan 9. Perhatikan bahwa: dan
1 + 2 + 3 + . . . + 8 = 36
1 + 2 + 3 + . . . + 9 = 45
sehingga S = 1 + 9 + 2 + 0 + 2 + 1 + ... + 9 + 1 + 9 + 2 = 10 + 2.10 + (1 + 2 + . . . + 9) + 3.10 + (1 + 2 + . . . + 9) + . . . + 8.10 + (1 + 2 + . . . + 9) + 3.9 + 1 + 2 = 10.(1 + 2 + . . . + 8) + 7.(1 + 2 + . . . + 9) + 3.9 + 3 = 10.36 + 7.45 + 3.9 + 3 = (40 + 35 + 3).9 + 3 = 78.9 + 3
Jadi S habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 9, maka k = 1 2. Misal
3m+25 2m−5
= a, dengan mengalikan kedua ruas dengan 2, diperoleh 6m + 50 = 40am − 10a 50 = 40am − 10a − 6m 50 = (2a − 3)(2m − 5) − 15 65 = (2a − 3)(2m − 5)
2a − 3 = 1 ⇒a=2 2m − 5 = 65 ⇒ m = 35 2a − 3 = 65 ⇒ a = 34 2m − 5 = 1 ⇒ m = 3 hanyalah 3 dan 5.
2a − 3 = 5 2m − 5 = 13 2a − 3 = 13 2m − 5 = 5
⇒a=4 ⇒m=9 ⇒a=8 ⇒m=5
Yang membuat a menjadi bilangan bulat
3. Perhatikan bahwa 26 ≡ −1 (mod 13), sehingga 21000 = (26 )166 .16 (mod 13) = (−1)166 .16
(mod 13)
= 16 (mod 13) = 3 (mod 13)
Jadi 21000 jika dibagi 13 bersisa 3.
4. Untuk an =
n
1 log 2002
=2002 log n maka
b − c = a2 + a3 + a4 + a5 − a10 − a11 − a12 − a13 − a14 =2002 log 2 +2002 log 3 +2002 log 4 +2002 log 5 −2002 log 10 −2002 log 11 −2002 log 12 −2002 log 13 −2002 log 14 2.3.4.5 =2002 log 10.11.12.13.14 1 =2002 log 11.13.14 1 =2002 log 2002 = −1
Jadi b − c = −1. m m 5. Perhatikan bahwa m − b 2005 c = 2005 maka m − 2005 = b 2005 c. Berdasarkan sifat fungsi tangga, maka m 2005 m 2005
−1 −1 (m − 2005) −2005 20052 − 2005 2005 2005
m < b 2005 c < (m − 2005) < 2005(m − 2005) < 2004m − 20052 < 2004m <m <m
m ≤ 2005 m ≤ 2005 ≤m ≤0 ≤ 20052 2 ≤ 2005 2004 ≤ 2006
Nilai m yang memenuhi hanya 2006. 6. Masukkan masing-masing wadah dengan satu bola. Jadi tersisa (5 − 3) = 2 bola. Kemudian kita bebas menaruh kedua bola tersebut ke wadah manapun. Berdasarkan kesimpulan sebelumnya, 2+3−1 banyaknya cara menaruh kedua bola kedalam tiga wadah adalah C3−1 = C24 cara. 7. Perhatikan proses berpikir berikut: • Misal hanya ada 2 orang akan dibentuk kelompok yang anggotanya 2, maka banyaknya cara hanya ada 1 cara. • Misal ada 4 orang (misal A,B,C,D) yang akan dibentuk 2 kelompok yang anggotanya masingmasing 2. Cara memasangkan A dengan satu orang ada 3 cara dan sisanya langsung membentuk kelompok yang lain. Jadi ada 3 × 1 = 3 cara. • Misal ada 6 orang (misal A,B,C,D,E,F) yang akan dibentuk 3 kelompok yang anggotanya masingmasing 2. Cara memasangkan A dengan satu orang ada 5 cara. Sisanya 4 orang dapat dibentuk dengan 3 × 1 cara. Jadi banyak cara untuk 5 orang adalah 5 × (3 × 1) Dari proses berpikir seperti di atas, maka dapat disimpulkan bahwa untuk membentuk 5 kelompok dari 10 orang yang masing-masing kelompoknya ada 2 orang ada sebanyak 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945 cara. 8. Ada 7 pria dan 3 wanita.
(a) Jika ketiga wanita selalu berdampingan, kita anggap sebagai satu kesatuan, sehingga banyaknya cara menempatkan kesepuluh orang itu seperti menempatkan 8 orang dalam 8 wadah saja, banyaknya cara adalah 8!. Karena ketiga wanita juga dapat bertukar tempat sebanyak 3 × 2 × 1, maka banyaknya cara menjadi 8! × 6 cara. (b) Karena tidak ada wanita yang bersebelahan dan di kedua ujung haruslah pria, maka kita dapat bentuk posisi seperti ini: P −P −P −P −P −P −P jadi ada 6 tempat yang mungkin dapat ditempati oleh ketiga wanita, dengan banyak cara = C36 . Sedangkan cara menempatkan ketujuh pria itu adalah 7! cara. Jadi total cara adalah 7! × C36 cara. 9. Ada 3 warna dasar: merah, kuning, biru. Masing-masing ada 5 kaleng. • Perbandingan (0 : 0 : 1), (0 : 0 : 2), . . . , (0 : 0 : 5) menghasilkan 1 warna. Karena ada 3 warna maka perbandingan di atas hanya menghasilkan 3 warna. • Perbandingan (0 : 1 : 1), karena ada 3 warna dasar (m,k,b) maka perbandingan itu menghasilkan 3.2.1 2.1 = 3 • Perbandingan (0 : 1 : 2), (0 : 1 : 3), (0 : 1 : 4), (0 : 1 : 5), (0 : 2 : 3), (0 : 2 : 5), (0 : 3 : 4), (0 : 3 : 5), (0 : 4 : 5) menghasilkan 9 × (3.2.1) = 54 warna. (3.2.1 berdasarkan posisi warna) • Perbandingan (1 : 1 : 1) hanya ada
3.2.1 3.2.1
= 1 warna.
• Perbandingan (1 : 1 : 2), (1 : 1 : 3), (1 : 1 : 4), (1 : 1 : 5), (1 : 2 : 2), (1 : 3 : 3), (1 : 4 : 4), (1 : 5 : 5) menghasilkan 8 × 3.2.1 2.1 = 24 warna. • Perbandingan (1 : 2 : 3), (1 : 2 : 4), (1 : 2 : 5), (1 : 3 : 4), (1 : 3 : 5), (1 : 4 : 5) menghasilkan 6 × (3.2.1) = 36 warna. • Perbandingan (2 : 2 : 3), (2 : 2 : 4), (2 : 2 : 5), (2 : 5 : 5) akan menghasilkan 4 ×
3.2.1 2.1
= 12 warna.
• Perbandingan (2 : 3 : 4), (2 : 3 : 5), (2 : 4 : 5) akan menghasilkan 3 × (3.2.1) = 18 warna. (perhatikan bahwa (2 : 2 : 2) = (1 : 1 : 1) (2 : 2 : 4) = (1 : 1 : 2), (2 : 4 : 4) = (1 : 2 : 2)) • Perbandingan (3 : 3 : 4), (3 : 3 : 5), (3 : 4 : 4), (3 : 5 : 5) akan menghasilkan 4 ×
3.2.1 2.1
= 12 warna.
• Perbandingan (3 : 4 : 5) akan menghasilkan 1 × (3.2.1) = 6 warna. • Perbandingan (4 : 4 : 5), (4 : 5 : 5) menghasilkan 2 ×
3.2.1 2.1
= 6 warna.
Total warna = 3 + 3 + 54 + 1 + 24 + 36 + 12 + 18 + 12 + 6 + 6 = 185 warna. 10. Banyaknya cara memilih 3 bilangan dari 10 adalah C310 = 120. Agar tidak ada 2 bilangan yang berurutan maka yang dipilih juga tidak boleh ada 3 bilangan berurutan. • 3 bilangan berurutan: (1, 2, 3), (2, 3, 4), . . . , (8, 9, 10) ada 8 buah. • 2 bilangan berurutan: (1, 2), (2, 3), (3, 4), . . . , (9, 10). Untuk (1, 2, a) maka a ada 7 kemungkinan (karena untuk a = 3 sudah masuk kategori di atas). Begitu juga untuk (a, 9, 10) ada 7 kemungkinan. Jadi ada 14 cara. • Untuk (2, 3, a) maka a ada 6 kemungkinan (karena 1 dan 4 sudah masuk kategori sebelumnya), begitu juga untuk (3, 4), (4, 5), . . . , (8, 9). Jadi ada 7 × 6 = 42 cara. Total cara untuk memilih = 120 − 8 − 14 − 42 = 54 cara.
DAFTAR PUSTAKA 1. Modul Kumpulan Soal OSN tahun 2002-2009 2. J.Douglas Faires, First Step For Math Olympians, MAA Problem Books
