BONUS-MALUS SYSTÉM V POJIŠTĚNÍ AUTOMOBILŮ

Ma sa ry kova unive rz i ta Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Finance

BONUS-MALUS SYSTÉM V POJIŠTĚNÍ AUTOMOBILŮ Bonus-malus system in car insurance Bakalářská práce

Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Silvie KAFKOVÁ

Autor: Tomáš NOVÁK

Brno, 2013

Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta

Katedra financí Akademický rok 2012/2013

ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE

Pro:

NOVÁK Tomáš

Obor:

Finance

Název tématu:

BONUS-MALUS SYSTÉM V POJIŠTĚNÍ AUTOMOBILŮ Bonus-malus system in car insurance

Zásady pro vypracování:

Cíl práce: Na základě získaných informačních zdrojů vytvořit vlastní návrh bonus-malus systému pro pojištění automobilů. Postup práce a použité metody: Teoretické vymezení bonus-malus systému a zdůvodnění jeho užívání v oblasti pojištění automobilů. Získání dat pro matematický model. Rozdělení pojištěnců na základě Markovské analýzy. Tvorba matice přechodu mezi skupinami. Kompletace návrhu vlastního bonus-malus systému. Komparace vlastního návrhu s tržními produkty. Použité metody: analýza, dedukce, komparace, matematicko-statistické metody.

Rozsah grafických prací:

dle pokynů vedoucího práce

Rozsah práce bez příloh:

35 – 45 stran

Seznam odborné literatury: • BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. Praha: Grada Publishing, a.s., 2010. ISBN 978-80-247-32435. • CIPRA, Tomáš. Pojistná matematika: Teorie a praxe. Praha: EKOPRESS, s.r.o., 1999. ISBN 80-86119-17-3. • ČEJKOVÁ, Viktória a Svatopluk NEČAS. Pojišťovnictví. Brno: Masarykova univerzita, 2006, ISBN 8021039906. • DAŇHEL, Jaroslav, Eva DUCHÁČKOVÁ, Ondřej POUL, Petr SOSÍK, František STACH a VINŠ. Pojistná teorie. Professional Publishing, 2006. ISBN 80-86946-00-2. • DENUIT, Michel, Xavier MARÉCHAL, Sandra PITREBOIS a Jean-François WALHIN. Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus systems. Chichester, England: John Wiley & Sons Ltd, 2007. ISBN 9780-470-02677-9. • KAAS, Rob, Marc GOOVAERTS, Jan DHAENE a Michel DENUIT. Modern Actuarial Risk Theory. USA: Kluwer Academic Publishers, 2002. ISBN 0-306-476037.

Vedoucí bakalářské práce:

Mgr. Silvie Kafková

Datum zadání bakalářské práce:

28. 11. 2012

Termín odevzdání bakalářské práce a vložení do IS je uveden v platném harmonogramu akademického roku.

…………………………………… vedoucí katedry

V Brně dne 28. 11. 2012

………………………………………… děkan

J méno a příj mení autora :

Tomáš Novák

N ázev diplo mové prác e:

Bonus-malus systém v pojištění automobilů

N ázev práce v angli čtin ě:

Bonus-malus system in car insurance

K at edra:

Financí

Vedoucí diplo mov é práce :

Mgr. Silvie Kafková

R ok obhaj ob y:

2013

Anotace Předmětem bakalářské práce je bonus-malus systém v pojištění automobilů. První část práce hovoří o základních principech pojišťovnictví a o pojištění automobilů. Následující části se zabývají teoretickými podklady k tvorbě a analýze bonus-malus systémů konstruovaných jako Markovské řetězce. V dalších částech jsou analyzovány a komparovány nejhojněji užívané bonus-malus systémy na českém pojistném trhu. Na závěr je na základě získaných poznatků konstruován vlastní návrh bonus-malus systému a ten hodnocen.

Annotation The subject of this thesis is the bonus-malus system in car insurance. The first part talks about the basic principles of insurance and car insurance. The following sections deal with theoretical basis for the creation and analysis of bonus-malus systems designed as a Markov chain. In the next parts most widely used bonus-malus systems in the Czech insurance market are analyzed and compared. Finally, own proposal of bonus-malus system based on gained knowledge is created and evaluated.

Klíčová slova Bonus-malus systém, pojištění automobilů, Markovská analýza

Keywords Bonus-malus system, car insurance, Markov analysis

Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Bonus-malus systém v pojištění automobilů vypracoval samostatně pod vedením Mgr. Silvie Kafkové a uvedl v ní všechny použité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisy Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU. V Brně dne vlastnoruční podpis autora

Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval Mgr. Silvii Kafkové za cenné připomínky a odborné rady, kterými přispěla k vypracování této bakalářské práce.

Obsah Úvod..........................................................................................................................................10 1. Základní principy a pojmy pojištění, pojištění automobilů............................................11 1.1 Pojištění..........................................................................................................................11 1.2 Principy pojištění............................................................................................................11 1.3 Pojištění a riziko.............................................................................................................12 1.5 Trh pojištění automobilů................................................................................................12 1.6 Havarijní pojištění..........................................................................................................13 1.6.1 Stanovení výše základního pojistného....................................................................13 1.7 Pojištění odpovědnosti z provozu vozidla .....................................................................13 1.7.1 Povinné ručení jako pojištění povinně smluvní......................................................14 1.7.2 Pojištění řidiče........................................................................................................14 1.7.3 Stanovení výše základního pojistného....................................................................15 2. Teoretické vymezení bonus-malus systémů......................................................................16 2.1 Bonus-malus systém a Markovské řetězce.....................................................................16 2.2 Chování bonus-malus řetězců........................................................................................16 2.2.1 Příklad bonus-malus řetězce (stupnice)..................................................................17 2.3 Finanční rovnováha pojišťovny......................................................................................18 2.4 Důvody tvorby a užívání bonus-malus systémů.............................................................18 2.5 Využití bonus-malus systémů.........................................................................................20 2.6 Psychologický aspekt určení oblasti využití bonus-malus systémů...............................20 3. Teorie tvorby bonus-malus systémů..................................................................................21 3.1 Markovská analýza.........................................................................................................21 3.2 Matice přechodu.............................................................................................................21 3.2.1 Stanovení pravděpodobností přechodu...................................................................21 3.2.2 Sestrojení matice přechodu.....................................................................................22 3.3 Stabilizované rozložení..................................................................................................22 3.4 Výše vybraného pojistného............................................................................................23 3.5 Efektivita bonus-malus systému.....................................................................................24 4. Analýza bonus-malus systémů užívaných na českém pojistném trhu............................25 4.1 Výběr bonus-malus systémů...........................................................................................25 4.2 Podklady pro analýzu.....................................................................................................25 4.2.1 ČSOBP Index..........................................................................................................25 4.2.2 Stanovení středních hodnot pro hodnocení efektivity............................................26 4.2.3 Způsob zjištění parametrů bonus-malus systémů...................................................26 4.3 Bonus malus systém České pojišťovny..........................................................................27 4.4 Bonus-malus systém pojišťovny Kooperativa................................................................28 4.5 Bonus-malus systém České podnikatelské pojišťovny..................................................30 4.6 Bonus-malus systém Allianz..........................................................................................31 4.7 Shrnutí kapitoly 4...........................................................................................................32 5. Komparace bonus-malus systémů užívaných na českém pojistném trhu......................33 5.1 Základní srovnání bonus-malus systémů.......................................................................33 5.2 Komparace na základě efektivity bonus-malus systémů................................................34 5.3 Komparace na základě výše pojistného..........................................................................35 5.4 Shrnutí kapitoly 5...........................................................................................................36 6. Návrh bonus-malus systému..............................................................................................38 6.1 Základní myšlenky při návrhu bonus-malus systému....................................................38 6.2 Konstrukce matice přechodu..........................................................................................38 6.2.1 Počet stupňů matice přechodu................................................................................39 6.2.2 Pravidla přechodu mezi stupni................................................................................39 6.2.3 Pravděpodobnosti přechodu mezi stupni................................................................39

6.2.4 Kompletace matice přechodu.................................................................................40 6.3 Konstrukce stabilizovaného rozložení............................................................................42 6.4 Stanovení výše pojistného pro jednotlivé stupně stupnice.............................................42 6.5 Konečná podoba mého návrhu.......................................................................................43 6.6 Výpočet výše pojistného.................................................................................................44 6.7 Výpočet efektivity bonus-malus systému.......................................................................44 6.8 Komparace mého návrhu s tržními produkty a zhodnocení jeho výhod a nevýhod.....45 6.8.1 Základní srovnání bonus-malus systémů................................................................45 6.8.2 Komparace mého návrhu na základě efektivity bonus-malus systémů..................46 6.8.3 Komparace mého návrhu na základě výše pojistného............................................47 6.8.4 Výhody mého návrhu z pohledu řidiče...................................................................47 6.8.5 Nevýhody mého návrhu z pohledu řidiče...............................................................48 6.9 Shrnutí kapitoly 6...........................................................................................................48 Závěr........................................................................................................................................49 Seznam zdrojů.........................................................................................................................50 Seznam tabulek a grafů..........................................................................................................52 Seznam příloh..........................................................................................................................53

Úvod Pojišťovnictví má v českých zemích dlouhou tradici. Její prvopočátky sahají již do konce 17. století, kdy byl vytvořen návrh povinného pojištění budov v Čechách. Přestože se objevovaly pokusy o zakládání pojišťoven již v 18. století a první zahraniční pojišťovny začaly fungovat na českém území již na počátku 19. století, skutečně historickým aktem bylo až založení První české vzájemné pojišťovny v Praze roku 1827 (původně pod názvem Císařsko-královský, privilegovaný, český, společný náhradu škody ohněm svedené pojišťující ústav). Od tohoto aktu se tradice českého pojišťovnictví odvíjí již nepřetržitě až do dnešních dnů. Velká vlna zakládání českých pojišťoven a pojistných spolků se vzedmula ve druhé polovině 19. století. V této době vznikla i instituce později úspěšná i v oblasti zajištění – První česká zajišťovací banka v Praze. V 70. a 80. letech 19. století bylo již české pojišťovnictví tak silné, že například ekonomickou stabilitou První české vzájemné pojišťovny neotřásla ani největší náhrada škody v devatenáctém století poskytnutá za jednu pojistnou událost, související s požárem Národního divadla v Praze. Po válečných letech 1914-1918 začíná nová etapa pojišťovnictví na našem území – československé pojišťovnictví. Přes útlum vývoje v období Protektorátu Čechy a Morava působilo v Československu před rokem 1945 přes 700 pojišťoven a pojišťovacích spolků. Roku 1945 došlo ke znárodnění soukromých pojišťoven a roku 1948 k jejich sloučení v jeden ústav – Československou pojišťovnu. Tento stav přerušil na několik desetiletí přirozený tržní vývoj pojišťovnictví.1 K rozpadu tohoto monopolu došlo v období po roce 1991. To umožnilo rozvoj pojistných služeb a produktů a v konečném důsledku, obzvláště po uvolnění regulace povinného ručení v roce 1999, i rozvoj segmentace zákazníků a užívání bonus-malus systémů u pojistných produktů, což je ústředním tématem této práce. Cílem této práce je objasnit důvody užívání a vymezit oblasti užívání bonus-malus systémů a shrnout teoretické podklady pro analýzu a tvorbu bonus-malus systémů. V praktické části poté pomocí těchto teoreteckých podkladů analyzovat a komparovat bonus-malus systémy užívané na českém pojistném trhu. Následně i na základě postřehů získaných při analýze bonus-malus systémů pomocí matematicko-statistických metod vytvořit vlastní návrh bonus-malus systému a ten zpětně komparovat s bonus-malus systémy užívanými na českém pojistném trhu.

1 Zpracováno na základě: ČEJKOVÁ, Viktória a Svatopluk NEČAS. Pojišťovnictví. Brno: Masarykova univerzita, 2006, s. 18 - 24. ISBN 8021039906.

10

1. Základní principy a pojmy pojištění, pojištění automobilů Na úvod práce považuji za nutné zmínit základní principy pojištění a též stručně popsat nejdůležitější pojistné produkty, u kterých nalézají bonus-malus systémy uplatnění. Jak bude zdůvodněno v následující kapitole, jedná se především o produkty v oblasti pojištění automobilů.

1.1 Pojištění Pojištění je forma vytváření společných rezerv sloužících ke krytí případných škod. Tyto rezervy se vytvářejí v závislosti na riziku a slouží k úhradě pojistných potřeb. Základem pojištění je objektivní existence rizika. Přirozenou snahou člověka je bránit se hrozícímu nebezpečí, nebo alespoň snížit míru rizika, případně ztráty, která může nastat. Vzhledem k tomu, že není možné v plné míře odstranit existenci rizika, je nutné vytvářet takové podmínky, aby ztráty, které vzniknou, byly alespoň částečně nahrazeny. Tomuto účelu slouží právě pojištění. Ekonomický základ pojištění je dán tím, že podstatou pojištění je ekonomicky vyjádřená ztráta, způsobená realizací pojistného rizika. Právní základ je dán tím, že pojištění vzniká pojistnou smlouvou, která je postavená na právním základě. Tento základ je dlouhodobou zárukou dodržení podmínek dohodnutých v pojistné smlouvě. Zájemcům o pojistnou ochranu umožňuje pojištění rozložit náklady a tím udržovat jejich pravidelnost, míru zisku i zisk samotný. U občanů pojištění podporuje stabilitu jejich životní úrovně a také zabraňuje jejímu poklesu v případě náhodné pojistné události.2

1.2 Principy pojištění Rozdělování pojistných rezerv vzniklých výběrem pojistného vytváří pojistné vztahy, které jsou charakteristické určitými typickými principy pojištění. V. Čejková a S. Nečas uvádí ve skriptech Pojišťovnictví 3 tyto principy pojištění a jejich charakteristiku: • princip solidárnosti, • princip podmíněné návratnosti, • princip neekvivalentnosti. Princip solidárnosti se projevuje tak, že pojištění, resp. pojistníci, společně přispívají pojistnými příspěvky, pojistným, do jednoho fondu, pojistných rezerv. Zároveň respektují princip podmíněné návratnosti a neekvivalentnosti. Podmíněná návratnost znamená, že pojistné plnění se pojištěnému poskytne pouze v případě, že nastane pojistná událost, tedy událost, která byla předem dohodnuta v pojistné smlouvě 2 Podkapitola zpracována na základě: ČEJKOVÁ, Viktória a Svatopluk NEČAS. Pojišťovnictví. Brno: Masarykova univerzita, 2006, s. 7 – 15, 23 - 24. ISBN 8021039906. 3 ČEJKOVÁ, Viktória a Svatopluk NEČAS. Pojišťovnictví. Brno: Masarykova univerzita, 2006, s. 14. ISBN 8021039906.

11

a v pojistných podmínkách. Neekvivalentnost znamená, že pojistné plnění není závislé na výši zaplaceného pojistného. Pojistné plnění tedy může být vyšší i nižší, než je pojistné, které bylo doposud zaplaceno. Tento princip, ale nemusí platit vždy, zejména v odvětví životního pojištění je možné jistou ekvivalentnost vypozorovat.

1.3 Pojištění a riziko V kontextu pojištění může riziko být chápáno jako nejistota ohledně budoucího vzniku škody a nejistota ohledně výše této škody. Aby bylo riziko pojistitelné, musí splňovat tato kritéria4: • riziko musí být identifikovatelné, • ztráta z realizace rizika musí být vyčíslitelná, • riziko musí být pro pojišťovnu ekonomicky přijatelné, • projev rizika musí být náhodný. Dojde-li k pojištění některého rizika, toto riziko se přesune na pojistitele. Pojistitel vytváří z rizik s podobnou charakteristikou rizikové společenství – pojistný kmen. „Při zahrnutí dostatečně velkého souboru stejnorodých rizik do rizikového společenství, na základě platnosti zákonu velkých čísel, ztrácí vznik pojistných událostí svůj původně náhodný charakter a mění se pro pojistitele na statisticky zákonný.“5 Pojistné je potom cenou za poskytovanou pojistnou ochranu či pojištění.

1.5 Trh pojištění automobilů Jak bude objasněno v následující kapitole, bonus-malus systémy nalézají své uplatnění především v oblasti pojištění motorových vozidel. Na základě výročních zpráv České asociace pojišťoven6 lze o tomto segmentu pojistného trhu říci následující: Pojištění automobilů je součástí neživotního pojištění, které dle výše předepsaného pojistného tvořilo roku 2011 53,6 % pojistného trhu. Z neživotního pojištění se k pojištění automobilů vázalo 43,1 % objemu předepsaného pojistného. Z celého pojistného trhu tedy pojištění automobilů zabíralo zhruba 22,1 %. Relativní velikost tohoto segmentu klesá (25,5 % v roce 2010, 28,5 % v roce 2009) a celková výše předepsaného pojistného v tomto segmentu klesá též (35,2 mld v roce 2011, 38 mld v roce 2010, 40.6 mld v roce 2009). Nicméně lze si jen těžko představit, že by se tento segment pojištění v představitelné budoucnosti potýkal s existenčními problémy. Je tedy patrné, že bonus-malus systémy jsou využívány ve významném segmentu pojistného 4 Dle: ČEJKOVÁ, Viktória a Svatopluk NEČAS. Pojišťovnictví. Brno: Masarykova univerzita, 2006, s. 18. ISBN 8021039906. 5 ČEJKOVÁ, Viktória a Svatopluk NEČAS. Pojišťovnictví. Brno: Masarykova univerzita, 2006, s. 17. ISBN 8021039906. 6 Česká asociace pojišťoven. Výroční zprávy 2009, 2010 a 2011 [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.cap.cz/ItemF.aspx?list=DOKUMENTY_01&view=pro+web+V%C3%BDro%C4%8Dn %C3%AD+zpr%C3%A1vy

12

trhu a jsou proto pro pojišťovny i pro zákazníky velmi důležité. Mezi hlavní produkty nabízené na trhu pojištění automobilů patří havarijní pojištění, pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla (povinné ručení) a jejich kombinace.

1.6 Havarijní pojištění Předmětem tohoto pojištění je vozidlo uvedené v pojistné smlouvě a jeho části a příslušenství uložené ve vozidle nebo v něm či na něm připevněné. Všechny věci, na něž se pojištění vztahuje, musí být uvedené v pojistné smlouvě a vozidlo, na něž se pojištění uzavírá, musí být v době uzavření smlouvy v dobrém technickém stavu. Havarijní pojištění motorových vozidel představuje pojištění zahrnující zejména riziko havárie, ale i riziko živelní, riziko odcizení a riziko vandalismu. Vyskytují se i produkty tzv. omezené havárie, které kryjí pouze riziko živelní a odcizení (celého vozidla). S ohledem na vysoké riziko odcizení ale není toto pojištění pojišťovnami příliš nabízeno. Havarijní pojištění je produkt, který je výhodný sjednávat spíše pro nové automobily nebo automobily vyšší hodnoty. V případě starších automobilů nižší hodnoty jeho význam klesá. V případě havarijního pojištění se výluky z pojistného krytí obvykle vztahují na nesprávnou obsluhu a údržbu, přirozené opotřebení a řízení osobou bez řidičského oprávnění.7 1.6.1 Stanovení výše základního pojistného Základní pojistné je pojistné, které by pojistník platil, kdyby pojišťovna nepoužívala bonus-malus systém, nebo se na bonus-malus stupnici nacházel na stupni „základní třída“8. Mezi nejčastěji užívaná kritéria pro stanovení výše základního pojistného patří9: • typ a značka vozidla, • pořizovací cena vozidla, • stáří vozidla, • zvolená pojistná nebezpečí (odcizení, havárie, živel, komplexní), • zabezpečení vozidla, • způsob platby, • skutečnost, zda je vozidlo tuzemské nebo zahraniční výroby, • zvolená spoluúčast.

1.7 Pojištění odpovědnosti z provozu vozidla Povinné ručení, přesněji pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla, spadá mezi pojištění odpovědnosti za škodu. J. Daňhel10 o tomto druhu pojištění uvádí: „Takto konstruované druhy pojištění zakládají pojištěnému subjektu nárok, aby za něj pojišťovna 7 Podkapitola zpracována na základě: DAŇHEL, Jaroslav, Eva DUCHÁČKOVÁ, Ondřej POUL, Petr SOSÍK, František STACH a VINŠ. Pojistná teorie. Professional Publishing, 2006, s. 171. ISBN 80-86946-00-2. 8 Jedná se o stupeň, ke kterému se váže nulový bonus a zároveň nulový malus. 9 Dle: Výše pojistného na havarijní pojištění. Finance.cz [online]. [cit. 2013-01-14]. Dostupné z: http://www.finance.cz/pojisteni/automobil/havarijni-pojisteni/pojistne/ 10 DAŇHEL, Jaroslav, Eva DUCHÁČKOVÁ, Ondřej POUL, Petr SOSÍK, František STACH a VINŠ. Pojistná teorie. Professional Publishing, 2006, s. 182. ISBN 80-86946-00-2.

13

uhradila škodu vzniklou třetí osobě (tedy osobě mimo právní vztah pojištěný – pojišťovna), pokud se na tuto škodnou událost vztahuje ujednání pojistné smlouvy a pokud pojištěný za vzniklou škodu odpovídá.“ Skripta Pojišťovnictví11 potom dodávají: „Zároveň pojišťovna pojištěnému poskytuje právní ochranu při soudním projednávání způsobené újmy v trestním řízení. Pojištění se vztahuje na způsobené škody i tehdy, když je nezpůsobil pojištěný vlastník motorového vozidla, ale jiná osoba, případně pachatel, který vozidlo odcizil. V případě odcizení pojišťovna vymáhá od pachatele všechna vyplacená pojistná plnění.“ 1.7.1 Povinné ručení jako pojištění povinně smluvní Pojištění odpovědnosti z provozu motorových vozidel je pojištěním povinně smluvním. Subjekt vlastnící nebo provozující motorové vozidlo má tedy zákonem danou povinnost sjednat si toto pojištění s některou z pojišťoven pojištění nabízející. J. Daňhel12 objasňuje povinně smluvní charakter povinného ručení následovně: „Důvody pro přinucení majitele či provozovatele motorového vozidla k uzavření pojištění odpovědnosti z provozu motorových vozidel jsou především v ekonomické oblasti: škody mohou přesahovat finanční možnosti viníků dopravních nehod. I pro majitele nejluxusnějšího vozu by mohl být problém vyplácet poškozenému s trvalým poškozením zdraví, které mu svým automobilem způsobil, desítky let diferenční rentu související s dlouhodobou újmou na výdělku. Je tudíž nutné, aby odškodnění poškozených při dopravních nehodách prováděla bonitní finanční instituce, která vedle běžných příjmů z pojistného disponuje i adekvátními rezervami na výkyvy ve škodním průběhu (jak co do finanční výše, tak co do času). Jde tedy o to, aby poškozený finanční odškodné reálně dostal. S tím souvisí i subjektivní stránka problému: motorizovaný účastník – viník nehody může mít subjektivní názor, že on nic nezavinil a tudíž nebude iniciovat žádné odškodňování. Řešením je postoupení dopravní nehody objektivním institucím, z nichž jednou je pojišťovna, a ta příčiny nehody objektivně, eventuálně ve spolupráci s dalšími institucemi, posoudí a v případě oprávněnosti nároku poškozeného jej spravedlivě finančně odškodní.“ 1.7.2 Pojištění řidiče J. Daňhel13 zmiňuje i názor, že efektivnější než pojišťovat odpovědnost vozidel by bylo pojišťovat přímo odpovědnost řidičů. Povinnost pojistit svou odpovědnost za škody by měl každý, kdo vlastní platný řidičský průkaz. Mezi možné výhody této alternativy patří odstranění závislosti pojistného na objemu a výkonu motoru, problému leasingu, vlivu změny vlastníka na pojištění a také třeba umožnění toho, aby bonus-malus systémy sledovaly průběh pojištění konkrétního řidiče a ne automobilu. Nicméně tato varianta je jen těžko schůdná, jelikož by znamenala předepsat poměrně vysoké pojistné všem řidičům, tedy třeba i těm, kteří automobil nevlastní, a naopak výrazně ulevit řidičům ve vyšších příjmových kategoriích, vlastnícím a provozujícím třeba i větší množství vozidel.

11 ČEJKOVÁ, Viktória a Svatopluk NEČAS. Pojišťovnictví. Brno: Masarykova univerzita, 2006, s. 39 - 40. ISBN 8021039906. 12 DAŇHEL, Jaroslav, Eva DUCHÁČKOVÁ, Ondřej POUL, Petr SOSÍK, František STACH a VINŠ. Pojistná teorie. Professional Publishing, 2006, s. 183 - 184. ISBN 80-86946-00-2. 13 DAŇHEL, Jaroslav, Eva DUCHÁČKOVÁ, Ondřej POUL, Petr SOSÍK, František STACH a VINŠ. Pojistná teorie. Professional Publishing, 2006, s. 187. ISBN 80-86946-00-2.

14

1.7.3 Stanovení výše základního pojistného Mezi nejčastěji užívaná kritéria pro stanovení výše základního pojistného u pojištění typu povinného ručení patří14: • věk majitele, • zda se jedná o fyzickou či právnickou osobu, • bydliště, • frekvence platby pojistného, • druh vozidla (motocykl, osobní automobil, nákladní automobil,...), • objem válců motoru, • výkon motoru, • stáří vozidla, • využití vozu.

14 Dle: Finance.cz. Kolik zaplatíte za povinné ručení? [online]. [cit. 2013-01-14]. Dostupné z: http://www.finance.cz/pojisteni/automobil/povinne-ruceni/cena/

15

2. Teoretické vymezení bonus-malus systémů Základem pojištění je, že ti šťastnější pojištění pomáhají uhradit škody, které se stanou těm méně šťastným. Nicméně u soukromého pojištění by se nemělo stávat, že ti, co riskují méně, doplácejí na ty, co riskují více. Pojišťovatel, který by se snažil tento princip uplatnit, by se pravděpodobně setkal s tím, že méně riskující klienti by se pojistili u konkurence, která rozlišení na základě rizikovosti nabízí, a jemu by zůstali pouze více riskující klienti. U některých druhů pojištění se výše pojistného z velké míry zakládá na množství pojistných událostí pojištěného, které jsou pojištěným v minulých obdobích způsobeny. V těchto hodnotících systémech založených na zkušenosti mohou tedy být získány slevy ze základního pojistného, bonusy, když pojištěný nezpůsobil v minulých obdobích pojistnou událost. A také přirážky k základnímu pojistnému, malusy, když pojištěný v minulých obdobích zapříčinil pojistnou událost. Hodonotící systémy penalizující pojištěné zodpovědné za jednu nebo více pojistných událostí přirážkami k pojistnému a odměňující bezeškodní průběh jiných pojištěných slevami z pojistného jsou běžnou součástí standardně užívaných produktů pojišťoven v mnoha rozvinutých zemích. Kromě motivování pojištěných ke snaze o bezeškodní průběh pojištění se též snaží o lepší zhodnocení individuální rizikovosti. Ale aby mohla být výše pojistného stanovena pro každého pojištěného na základě zcela individuální rizikovosti, musela by být použita některá z technik teorie kredibility. Nicméně kredibilitní vzorce jsou v praxi těžko implementovatelné, jelikož jsou matematicky složité. Zákazníci totiž často nejsou ochotní používat mechanismy, které považují za složité, obzvláště v oblasti pojištění. Z tohoto důvodu byly pojišťovnami navrhnuty bonus-malus systémy. Tyto systémy mohou být vnímány jako komerční verze kredibilitních vzorců. Typický zákazník z nich může sám vyčíst, jaké pojistné bude platit vzhledem k určitému předchozímu průběhu pojištění.15

2.1 Bonus-malus systém a Markovské řetězce U bonus-malus systémů, které jsou v práci zkoumané, stačí na zjištění následující úrovně na bonus-malus stupnici znalost stávající úrovně a množství pojistných událostí během stávajícího časového období. Takže budoucí stav (stav v roce t+1) závisí pouze na součastnosti (stavu v roce t a počtu nehod ohlášených během roku t) a ne na minulosti. Tato skutečnost je úzce spjatá s „bezpaměťovostí“ Markovova řetězce. Pokud počet pojistných událostí v jiných letech neovlivňuje stav v čase t+1, pak trajektorie pojistníka po bonus-malus stupnici je Markovovým řetězcem.

2.2 Chování bonus-malus řetězců Celková výše pojistného, kterou pojistník bude platit následující rok, závisí na hodnocení současného období, na stupni, na kterém v současném období je, na pravidlech postupu mezi stupni bonus-malus stupnice a na výši základního pojistného. V praxi se bonus-malus stupnice 15 Zpracováno na základě: DENUIT, Michel, Xavier MARÉCHAL, Sandra PITREBOIS a Jean-François WALHIN. Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus systems. Chichester, England: John Wiley & Sons Ltd, 2007, s. 166 - 167. ISBN 978-0-470-02677-9. (vlastní překlad)

16

skládá z konečného množství stupňů, přičemž každý má stanovenou různou relativní výši pojistného. Nový pojistník je zařazen na předepsaný stupeň. Dále se každý rok mezi stupni přesouvá nahoru nebo dolů v závislosti na počtu pojistných událostí jím způsobených. Výše pojistného, kterou pojistník daný rok platí, je určena jemu příslušnou relativní výší pojistného v řetězci a výší základního pojistného, která závisí na přímo pozorovatelných vlastnostech (viz kapitoly 1.6.1 a 1.7.3). 2.2.1 Příklad bonus-malus řetězce (stupnice) Následující příklad zobrazuje bonus-malus stupnici užívanou ČSOB Pojišťovnou, a.s. pro produkt „Pojištění vozidla typu kasko“. Tabulka 1: Bonus-malus stupnice ČSOB Pojišťovny, a.s.

Doba škodného průběhu

Výše bonusu/malusu (%)

Stupeň 10, 120 měsíců a více

50

Stupeň 9, 108 až 119 měsíců

45


40


35


30


25


20


15


10


5


0

Stupeň -1, –1 až – 12 měsíců

5

Stupeň -2, – 13 až – 24 měsíců

10


15


20


25


30


40


50


60


70


80


90

Stupeň -13, – 145 a více

100

Pramen: ČSOB Pojišťovna. NAŠE AUTO pojistné podmínky [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.csobpoj.cz/cs/produkty/pojisteni-vozidel/Documents/VPP%20NASE%20AUTO%202011.pdf

17

Tento konkrétní bonus-malus řetězec se skládá z 24 stupňů. Nový klient bez předchozího pojištění vstoupí do řetězce na stupni 0. Rozhodná doba, během které ovlivňuje, na který stupeň se dostane další pojistné období, je pojistný rok. Pokud během tohoto roku nezpůsobil pojistnou událost, doba škodného průběhu se mu zvýšila o 12 měsíců a klient se dostal na stupeň 1, takže následující pojistný rok platil jen 95 % ze základního pojistného. Pokud během druhého pojistného roku způsobil tři pojistné události, doba škodného průběhu se mu snížila o 108 měsíců (36 za každou pojistnou událost) na -96 (kladné měsíce tohoto pojistného roku se nezapočítávají). Klient se tedy dostal na stupeň -8 a platil následující pojistný rok pojistné ve výši 150 % základního pojistného. Je patrné, že pro určení pojistného pro třetí pojistný rok klientovi stačila vědomost stávajícího stupně a počtu pojistných událostí. Není tudíž rozhodující, jakým způsobem se na stávající stupeň dostal. Jedná se tedy o „bezpaměťový“ řetězec, Markovův řetězec. Struktura řetězce také napovídá, že ČSOB se domnívá, že špatní řidiči (ve smyslu počtu pojistných událostí) jsou rizikovější než nezkušení řidiči. Nezkušený řidič vstupuje do řetězce na stupni 0, ale špatný řidič se může dostat až na stupeň -13. Jsou pojišťovny, které u svých produktů negativní stupně neužívají a staví tak nezkušené řidiče na úroveň špatných řidičů.

2.3 Finanční rovnováha pojišťovny Jak ve své knize podotýká M. Denuit 16, z pohledu pojišťovny je důležité, aby rozdělení klientů určitého pojištění nenarušovalo její finanční rovnováhu. Je tedy žádoucí, aby zavedení bonus-malus systému nemělo vliv na celkovou roční výši vybraného pojistného. Tedy částky placené jednotlivými klienty jsou ovlivňeny množstvím jejich pojistných událostí, ale pojišťovna vybere stejné množství peněz, jako kdyby tomu tak nebylo. Možným řešením případné nerovnováhy je přizpůsobit výši základního pojistného nerovnováze, kterou do výše vybraného pojistného vnese bonus-malus systém. Pokud by za jinak neměnných podmínek zavedení bonus-malus systému snížilo výši vybraného pojistného, je nutné stanovit základní pojistné tak, aby tento efekt bonus-malus systému kompenzovalo.

2.4 Důvody tvorby a užívání bonus-malus systémů Důvody užívání bonus-malus systémů lze ilustrovat na pojištění motorových vozidel. Pro stanovení základní výše pojistného se užívají kritéria jako výkon motoru, objem válců motoru, stáří vozidla, hmotnost vozidla, bydliště a věk pojistníka. Tato data jsou předem zjistitelná a hrají důležitou roli při posouzení rizikovosti klienta a možné výše škod jím způsobených. Nicméně podstatnou roli hrají i další, předem nezjistitelné, faktory. Faktory ovlivňující tvorbu základního pojistného a bonus-malus stupnice lze přiblížit na tvorbě bonus-malus systému pro pojištění automobilů na Nizozemském trhu. Ten byl tvořen na základě rozsáhlého průzkumu v roce 1982. Bylo studováno zhruba 700 000 pojistek, o kterých bylo známo 50 různých podrobností a kterých se týkalo 80 000 pojistných událostí.

16 DENUIT, Michel, Xavier MARÉCHAL, Sandra PITREBOIS a Jean-François WALHIN. Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus systems. Chichester, England: John Wiley & Sons Ltd, 2007, s. 167. ISBN 978-0-470-02677-9. (vlastní překlad)

18

Mnoho zkoumaných faktorů mohlo být vytříděno, jelikož byly přímo souvislé s faktory jinými. Například dobrý odhad počtu najetých kilometrů mohl být stanoven na základě faktorů jako je hmotnost automobilu, stáří automobilu, typ paliva (dieselové motory bývají užívány spíše řidiči s větším nájezdem kilometrů) a způsob užívání automobilu (osobní nebo pracovní). Hustota dopravy může být vyčtena z místa bydliště, rychlost jízdy z výkonu motoru a hmotnosti automobilu. Ve výzkumu bylo zjištěno následující: kromě hmotnosti automobilu, objemu válců motoru a výkonu motoru automobilu neměly žádné další parametry valnou vypovídací hodnotu. Bylo prokázáno, že hmotnost automobilu silně souvisela s celkovou výší pojistného plnění, což je výsledek četnosti pojistných událostí a jejich průměrné výše. Těžší automobily jsou obvykle užívány více a také obvykle způsobí větší škodu, když jejich řidiči zaviní havárii. Hmotnost automobilu je pohodlným hodnotícím kritériem, jelikož může být nalezena v technickém průkazu automobilu. V mnoha zemích se pro stanovení základního pojistného u pojištění typu povinného ručení užívá spíše cena nového automobilu. Tato metoda má ale nevýhody, protože není odůvodněné předpokládat, že auto s metalickým lakem nebo dražším audiosystémem způsobí při kolizi větší škody dalším účastníkům havárie. Pro povinné ručení bylo v průzkumu prokázáno, že při použití kritéria hmotnosti automobilu kritérium ceny nového automobilu již nepomáhalo vylepšit odhad rizikovosti. Nicméně u pojištění vlastního automobilu samozřejmě kritérium pořizovací ceny zůstalo dominantní. Analýza vlivu oblastí na pojistné události prokázala, že v méně obydlených oblastech došlo k méně pojistným událostem, nicméně s o něco větší škodou. Též se zdálo, že efekt dané oblasti se nesnižuje s rostoucím počtem let bez pojistné události, takže vliv oblasti bydliště pojistníka mohl být v pojištění zohledněn jako fixní sleva (přirážka) v základním pojistném. Věk pojistníka je velmi důležitý pro jeho rizikovost v oblasti pojistných událostí. Četnost pojistných událostí ve věku 18 let je zhruba čtyřnásobná oproti četnosti pojistných událostí řidičů ve věku 30 až 70 let. Zjistilo se ale, že tato skutečnost souvisí se zkušeností řidičů, takže byla zohledněna až při tvorbě bonus-malus stupnice a nebyla zahrnuta do základního pojistného. Nicméně při použití pouze těchto předem známých dat zůstává nemožné stanovit průměrnou náchylnost k pojistným událostem klienta. Některé faktory, o nichž bylo myšleno, že jsou podstatné pro výši pojistného, nebylo totiž možno použít jako hodnotící faktory. Jedná se o další závažné faktory jako řidičské umění, rychlost reflexů, míra agresivity za volantem a znalost dopravních předpisů, které nejsou na předem známých datech závislé. Tudíž, pokud chce pojišťovna klientovi stanovit co možná nejspravedlivější výši pojistného, je nutné, aby brala v potaz i klientovu historii pojistných událostí. Tato historie tedy narozdíl od ostatních dat není ex ante, ale ex post faktorem, který je znám až v době stanovení pojistného pro další období. Tím pádem bylo nutno, aby pojišťovna vytvořila stupnici, jež by výši pojistného upravovala v závislosti na tomto ex post faktoru v průběhu pojištění. Touto stupnicí je bonus-malus stupnice.17

17 Podkapitola zpracována na základě: KAAS, Rob, Marc GOOVAERTS, Jan DHAENE a Michel DENUIT. Modern Actuarial Risk Theory. USA: Kluwer Academic Publishers, 2002, s. 128 - 131. ISBN 0-306-47603-7. (vlastní překlad)

19

2.5 Využití bonus-malus systémů Bonus-malus systémy nalézají své uplatnění v oblastech pojištění, ve kterých není možné stanovit výši pojistného pouze na základě předem měřitelných údajů. Je tedy zřejmé, že jejich uplatnění je zejména v oblasti neživotního, rizikového, škodového pojištění. Konkrétní oblast, ve které jsou bonus-malus modely užívány nejhojněji, je oblast pojištění motorových vozidel. Jak již bylo řečeno, je to zejména z toho důvodu, že pro stanovení výše pojistného v této oblasti je nutné brát v potaz i ex post faktory promítnuté do historie pojistných událostí klienta. V českém právním prostředí je navíc stanovena povinnost pojišťoven u pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla zohlednit při stanovení výše pojistného i předchozí škodní průběh pojištění. Tato povinnost je zakotvena v zákoně č. 168/1999 Sb. o pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla. Konkrétní odstavec zní následovně: „Při sjednávání výše pojistného v pojistné smlouvě zohlední pojistitel celkový předcházející škodný průběh pojištění odpovědnosti pojistníka, a to slevou na pojistném v případě bezeškodného průběhu pojištění nebo přirážkou k pojistnému v případě výplaty pojistného plnění z pojištění odpovědnosti. Při zohlednění předcházejícího škodného průběhu pojistitel nepřihlíží k době přerušení pojištění odpovědnosti. V takovém případě se při zohlednění předcházejícího škodného průběhu doba přerušení pojištění odpovědnosti nezapočítává do pojistné doby tohoto pojištění.“

2.6 Psychologický aspekt určení oblasti využití bonus-malus systémů Jak podotýká R. Kaas18, existuje též psychologický důvod, proč jsou hodnotící modely založené na zkušenosti všeobecně přijímány v oblasti pojištění automobilů a ne například v oblasti zdravotního pojištění. Bonusy jsou vnímány jako odměna za opatrné ježdění a přirážky k pojistnému jako zasloužená pokuta za větší sklon způsobovat dopravní nehody. Lidé se domnívají, že dopravní přestupky nejsou trestány příliš přísně a dostatečně často. Ale někoho, kdo je nemocný, z jeho nemoci obecně není možno vinit a nezaslouží si kromě zdravotního i peněžní postih.

18 KAAS, Rob, Marc GOOVAERTS, Jan DHAENE a Michel DENUIT. Modern Actuarial Risk Theory. USA: Kluwer Academic Publishers, 2002, s. 128. ISBN 0-306-47603-7. (vlastní překlad)

20

3. Teorie tvorby bonus-malus systémů Tato část práce se zabývá teorií tvorby bonus-malus systému. Cílem je shrnout základní postupy užívané při tvorbě a hodnocení bonus-malus systémů tak, aby byly dále aplikovatelné při analýze bonus-malus systémů na českém pojistném trhu a při tvorbě mého návrhu bonus-malus systému. Tato kapitola je zkombinována ze zdrojů: R. Kaas: Modern Actuarial Risk Theory19, M. Denuit: Actuarial Modelling of Claim Counts 20 a T. Cipra: Pojistná matematika21.

3.1 Markovská analýza Jak již bylo řečeno, bonus-malus systémy jsou speciálním případem Markovských procesů. To jsou procesy, ve kterých se jedinec přesouvá z jednoho stupně na druhý v čase. Důležitou vlastností Markovských procesů je jejich bezpaměťovost. Pravděpodobnost těchto přesunů nezáleží na tom, jak se daný jedinec do konkrétního stupně dostal. Pomocí Markovské analýzy je možné zjistit, jaká část řidičů se bude nacházet na kterém stupni Markovského řetězce. Markovská analýza také umožňje určit, jak efektivní bonus-malus systém je ve stanovování výše pojistného v závislosti na rizikovosti řidiče (Loimarantova efektivita).

3.2 Matice přechodu Základním stavebním kamenem pro Markovskou analýzu je tvorba matice přechodu. Jak již název napovídá, jedná se o matici, jež obsahuje pravděpodobnosti přechodu z jednoho stupně na druhý. Nejdříve je tedy nutné určit pravděpodobnost těchto přechodů pro řidiče s parametrem nehodovosti λ. 3.2.1 Stanovení pravděpodobností přechodu Pro zjištění pravděpodobností nehod může být užito Poissonovo rozložení, o kterém učebnice Průvodce základními statistickými metodami22 hovoří následovně: „Náhodná veličina X udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu (resp. v jednotkové oblasti), přičemž k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Parametr λ > 0 je střední hodnota těchto událostí.“ Pro výpočet pravděpodobnosti různých počtů nehod v závislosti na střední hodnotě nehodovosti λ se proto užívá následující vzorec: x

λ p ( x)= e−λ x! kde x udává počet nehod a p(x) pravděpodobnost nastání tohoto počtu nehod. 19 KAAS, Rob, Marc GOOVAERTS, Jan DHAENE a Michel DENUIT. Modern Actuarial Risk Theory. USA: Kluwer Academic Publishers, 2002, s. 131 - 137. ISBN 0-306-47603-7. (vlastní překlad) 20 DENUIT, Michel, Xavier MARÉCHAL, Sandra PITREBOIS a Jean-François WALHIN. Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus systems. Chichester, England: John Wiley & Sons Ltd, 2007, s. 168 – 183 a s. 240 - 242. ISBN 978-0-470-02677-9. (vlastní překlad) 21 CIPRA, Tomáš. Pojistná matematika: Teorie a praxe. Praha: EKOPRESS, s.r.o., 1999, s. 365 - 370. ISBN 8086119-17-3. 22 BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. Praha: Grada Publishing, a.s., 2010, s. 95. ISBN 978-80-247-3243-5.

21

3.2.2 Sestrojení matice přechodu Na základě zjištěných pravděpodobností můžeme vytvořit matici přechodu. Objasnit sestrojení matice přechodu je nejsnadnější na příkladu. Uvažujme tedy, že chceme sestrojit bonus-malus systém se třemi možnými stavy s výšemi pojistného t, u a v, přičemž t > u > v. Základní myšlenky tohoto systému si stanovme následovně: 1. Pokud pojištěný v pojistném období nenahlásí pojistnou událost, posune se o jednu úroveň výše (z t na u, nebo z u na v) 2. Při nahlášení pojistné události se posune na nejnižší úroveň Jednotlivé řádky matice přechodu jsou tvořeny pravděpodobnostmi přechodu z daného stupně na stupeň jiný a pravděpodobností setrvání na stupni stejném. Stanovme si tedy, že pravděpodobnost nenahlášení pojistné události je q a pravděpodobnost nahlášení jedné nebo více událostí p. Vzhledem k tomu, že součty členů v jednotlivých řádcích jsou vždy rovny jedné (součet pravděpodobností přechodu v jednom období je vždy roven jedné a tyto pravděpodobnosti nemohou být záporné), lze na tomto základě sestrojit matici přechodu P pravděpodobností přechodu pij pro přechod ze stavu i do stavu j. Obecně:

(

p00 P= p10 p20

p01 p11 p21

p02 p12 p 22

)

V našem příkladě:

( )

p q 0 P= p 0 q p 0 q

3.3 Stabilizované rozložení Z hlediska pojištěného a zejména pojišťovny je samozřejmě důležité především dlouhodobé chování bonus-malus systému. Intuitivně lze očekávat, že v dlouhodobém horizontu se rozdělení pojištěných v žebříčku stabilizuje v závislosti na frekvenci nehodovosti λ a kolem tohoto stabilizovaného stavu bude oscilovat. Počáteční rozložení řidičů π(0) lze zapsat jako matici následovně:

π (0) =( f 1

f2

f 3)

,přičemž f1; f2 a f3 jsou podíly řidičů na jednotlivých stupních, tudíž f1 + f2 + f3 = 1

22

Rozložení těchto řidičů po prvním roce potom bude vypadat následovně: (1)

π =π π =( f 1 (1)

(0)

P

( )

p q 0 p 0 q =( p q f 1 q( f 2+ f 3 ) ) p 0 q

f 3)

f2

Rozložení po dvou letech následovně:

π (2)=π(1) P=( p

pq q 2 )

π (3)=π (2) P=( p

pq q 2)

A po třech letech:

Z výše uvedeného je patrné, že stabilizované rozložení není ovlivněno původním rozložením pojištěných na stupnici. V našem příkladě se bonus-malus systém stabilizoval již po dvou letech. Výsledná matice je tím pádem stabilizovaným rozložením pro náš bonus-malus systém. U složitějších bonus-malus systémů bude samozřejmě trvat podstatně déle, než rozložení pojištěných konverguje ke stabilizovanému rozložení. Obecně lze říci, že jsme dospěli ke stabilizovanému rozložení, pokud platí, že:

( s)

π =( f 1 ...

f n)

( ) p 11 ... . . ... . p n1 ...

p1n . . =( f 1 ... . p nn

f n)

π(s)........stabilizované rozložení

3.4 Výše vybraného pojistného Stabilizované rozložení nám říká, kolik bude pojištěných dlouhodobě na jednotlivých stupních žebříčku pro dané λ. Tím pádem, známe-li průměrnou frekvenci nehodovosti řidičů λ a výši pojistného pro jednotlivé stupně, jsme schopni odhadnout výši vybraného pojistného b(λ). V našem příkladě je vybraná výše pojistného pro dané λ:

b( λ)=t⋅p+u⋅pq+v⋅q

23

2

Obecně lze říci, že souhrn pojistného pro dané λ je počítán jako vážený průměr členů stabilizovaného rozložení, kde vahami jsou výše pojistného k těmto členům náležející. Výsledkem je výše vybraného pojistného jako podíl ze základního pojistného. Například b(0,05) = 0,6 znamená, že při frekvenci nehodovosti 0,05 je výše vybraného pojistného 60 % ze základního pojistného pojištěným předepsaného.

3.5 Efektivita bonus-malus systému Hlavním cílem bonus-malus systémů je, aby každý platil pojistné, které odpovídá jeho ročnímu očekávanému počtu pojistných událostí. Pro hodnocení bonus-malus systému z tohoto pohledu je nutné zjistit, jak závisí placené pojistné na frekvenci nehod λ. K tomu účelu se využívá Loimarantova efektivita e(λ):

e ( λ)=

d ln b( λ) d ln λ

Loimarantova efektivita (dále jen efektivita) je tedy elasticitou vybraného pojistného v závislosti na frekvenci nehodovosti. Pro "malá" h poté platí, že je-li λ vynásobeno 1+h, b(λ) by se mělo zvýšit přibližně 1+e(λ)h krát:

b( λ(1+h))≈b ( λ)(1+e (λ)h) Tudíž:

b ( λ(1+h)) −1 b( λ) e ( λ)≈ h Pokud by měl být bonus-malus systém dokonale elastický, muselo by se e(λ) = 1. To značí, že pokud se například zvýší frekvence nehodovosti λ o 10 %, zvýší se vybrané pojistné též o 10 %. Pokud je e(λ) < 1, znamená to, že zvýšení frekvence nehodovosti je větší než zvýšení vybraného pojistného. Například pokud e(λ) = 0,2, znamená to, že 10% nárůstu frekvence nehodovosti odpovídá jen 2% nárůst pojistného. Pokud je e(λ) < 1 pro všechny λ, v konečném důsledku to tím pádem znamená i dotování rizikovějších řidičů těmi méně rizikovými.

24

4. Analýza bonus-malus systémů užívaných na českém pojistném trhu Tato část práce se zabývá zkoumáním jednotlivých aspektů bonus-malus systémů pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla vybraných pojišťoven působících na českém pojistném trhu. Jejím cílem je zvolit vhodné bonus-malus systémy pro analýzu, vhodná hodnotící kritéria a popsat jednotlivé bonus-malus systémy z hlediska jejich charakteristiky a podoby jejich stupnice. Na tomto základě následně spočítat jejich efektivitu a výši vybraného pojistného pro zvolené frekvence nehodovosti λ.

4.1 Výběr bonus-malus systémů Bonus-malus systémy pro analýzu a komparaci byly vybrány z produktů typu povinného ručení. Hlavním důvodem výběru bonus-malus systémů právě těchto produktů byla známost průměrného množství zaviněných dopravních nehod na českém území, což umožnilo bonus-malus systémy analyzovat a komparovat se zaměřením na reálně dosahované hodnoty jednotlivých pojištěných. Vybrány byly bonus-malus systémy čtyř pojišťoven s (dle počtu přihlášených vozidel) největším podílem na trhu pojištění odpovědnosti z provozu motorových vozidel. Tyto informace byly převzaty ze statistik České kanceláře pojistitelů s platností ke dni 31.12. 201223. Na tomto základě byly vybrány produkty pojišťoven Česká podnikatelská pojišťovna, a.s., Vienna Insurance Group (dále jen Česká podnikatelská pojišťovna), Allianz pojišťovna, a.s. (dále jen Allianz), Kooperativa pojišťovna, a.s., Vienna Insurance Group (dále jen Kooperativa) a Česká pojišťovna a.s. (dále jen Česká pojišťovna). Podíl těchto čtyř pojišťoven na trhu povinného ručení přesahuje, dle počtu přihlášených vozidel, 70 % z celkového počtu přihlášených vozidel24.

4.2 Podklady pro analýzu Základem pro mou analýzu a srovnání jednotlivých bonus-malus systémů byla znalost těchto systémů, získaná z pojistných podmínek pojišťoven (platných k 20.4. 2013), a též znalost hodnot průměrného počtu zaviněných dopravních nehod na 100 automobilů za rok na území České republiky. Tento údaj počítá ČSOB Pojišťovna, a. s., člen holdingu ČSOB (dále jen ČSOB), ve svém ČŠOBP Indexu. 4.2.1 ČSOBP Index ČSOBP Index je index, kterým ČSOB pojišťovna sleduje vývoj frekvence pojistných událostí v jednotlivých okresech na území České republiky. Je počítán na základě statistik škod z povinného ručení pro vozidla do 3,5 tuny jako podíl počtu pojistných událostí z povinného 23 Počet pojištěných vozidel v databázi ČKP. Česká kancelář pojistitelů [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.ckp.cz/tisk/statistiky_a_informace.php?id=5 24 Viz příloha č. 1

25

ručení způsobených v daném roce řidiči z příslušného okresu a počtu vozidel pojištěných v této době v daném okresu. Uvádí i hodnotu pro celou Českou republiku. 4.2.2 Stanovení středních hodnot pro hodnocení efektivity Jak již bylo zmíněno, důležitým faktorem pro hodnocení funkčnosti bonus-malus systému je Loimarantova efektivita, udávající elasticitu systému. Pro výpočet této efektivity je ale nutné znát střední hodnotu počtu daných událostí λ. Tyto střední hodnoty byly vybrány čtyři na základě ČSOBP Indexu tak, aby výsledné efektivity co nejlépe vystihovaly chování bonus-malus systémů pro odlišné řidiče, ale výskyt řidičů s těmito charakteristikami nebyl raritou. Vzhledem k tomu, že hodnoty ČSOBP Indexu se v jednotlivých letech pro okresy pohybovaly zhruba v rozmezí 2,25 % – 9,5 % (2011), byla zvolena hodnota λ = 0,02 pro méně rizikové řidiče a hodnota λ = 0,11 pro více rizikové řidiče. Nejmenší a největší hodnota jsou tedy hodnoty o něco výraznější než průměr v nejméně rizikovém a nejvíce rizikovém okresu, což by mělo zajistit jejich relativně častý výskyt, ale zároveň již značnou odlišnost od celorepublikového průměru. Průměr pro celou Českou republiku dle indexu byl roku 2009 5,84 %, 2010 5,75 % a roku 2011 4,9 %. Pro průměrného řidiče tedy byla zvolena λ = 0,05, což je hodnota, kolem které se celorepublikový průměr pohybuje. Nakonec byla ještě přidána hodnota λ = 0,08 pro pravidelné pokrytí nejčastěji se vyskytujících hodnot. 4.2.3 Způsob zjištění parametrů bonus-malus systémů Základem pro analýzu bonus-malus systémů jsou data o těchto systémech uvedená v pojistných podmínkách jednotlivých pojišťoven. Z nich bylo možné určit počet stupňů bonus-malus stupnice, procentuální výši pojistného, která se váže k jednotlivým stupňům, a pravidla přestupu mezi stupni. Na základě těchto informací byly vytvořeny, obdobně jako v následující kapitole, matice přechodu pro dané bonus-malus systémy a pro jednotlivé zvolené parametry nehodovosti λ. Matice přechodu byly následně násobeny maticemi rozložení, dokud se matice rozložení nestabilizovala, jak je znázorněno v kapitole 3.3. Na základě stabilizovaného rozložení poté byly vypočítány hodnoty "jednotkového pojistného"25. Efektivity pro jednotlivé frekvence nehodovosti λ poté byly spočítány pomocí zvoleného h = 0,001. Tato hodnota h byla záměrně zvolena tak, aby h bylo zároveň dostatečně malé a nezkreslovalo výsledky a zároveň aby jeho vliv nebyl natolik malý, že by hrozilo, že zanikne v nějakém zaokrouhlení. Celkově byl postup obdobný jako v následující kapitole při tvorbě mého vlastního návrhu bonus-malus systému, de facto tedy musely být tyto bonus-malus systémy pro analýzu také „vytvořeny“.

25 Jedná se o výši pojistného, kterou pojišťovna nakonec vybere z každé jednotky základního pojistného, viz kapitola 3.4.

26

4.3 Bonus malus systém České pojišťovny Jak již bylo řečeno, pro analýzu a komparaci jsem zvolil bonus-malus systémy užívané k produktům typu „povinného ručení“. Česká pojišťovna k těmto produktům uplatňuje jednu bonus-malus stupnici, jež je popsána v jejích pojistných podmínkách. Podoba pojišťovnou užívaného bonus-malus systému a jeho charakteristika je následovná: Tabulka 2: Bonus-malus stupnice České pojišťovny

Stupeň bonusu/malusu

Rozhodná doba (měsíce)

Bonus

Malus

B 10

120 a více

50 %

B9

108 až 119

45 %

B8

96 až 107

40 %

B7

84 až 95

35 %

B6

72 až 83

30 %

B5

60 až 71

25 %

B4

48 až 59

20 %

B3

36 až 47

15 %

B2

24 až 35

10 %

B1

12 až 23

5%

Z – zákl. třída

0 až 11

0%

M1

-12 až -1

10 %

M2

-24 až -13

20 %

M3

-36 až -25

40 %

M4

-48 až -37

70 %

M5

-49 a dále

100 %

0%

Pramen: vlastní vypracování na základě pojistných podmínek pojišťovny Česká pojišťovna. Sdružené pojištění vozidla [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.ceskapojistovna.cz/documents/10262/50017/vppsdruzene-pojisteni-vozidla-1011.pdf

Tento bonus-malus systém má 16 stupňů, 10 s bonusem, 5 s malusem a základní třídu, která je užívána i pro vstup nových pojištěných bez předchozího (beze)škodního průběhu do systému. Umístění jednotlivce na stupnici se řídí tzv rozhodnou dobou vyjádřenou v měsících. Na stejném principu jsou založeny i zbylé systémy. Za každých 12 měsíců bez nehod je klient pojištěný Českou pojišťovnou přesunut o jeden stupeň vzhůru. Naopak za každou pojistnou událost je mu z rozhodné doby strženo 36 měsíců, padá tedy o tři stupně dolů. Základní charakteristiku stupnice lze shrnout následovně: Tabulka 3: Charakteristika bonus-malus stupnice České pojišťovny

Počet stupňů

Bezeškodní rok

Změna při pojistné události

16

+1

-3

Pramen: vlastní vypracování na základě pojistných podmínek pojišťovny Česká pojišťovna. Sdružené pojištění vozidla [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.ceskapojistovna.cz/documents/10262/50017/vppsdruzene-pojisteni-vozidla-1011.pdf

27

V textu bude zkráceně užíván zápis: bonus-malus systém (počet stupňů/bezeškodní rok/změna při pojistné události), v tomto případě se tedy jedná o bonus-malus systém (16/+1/-3). Vypočtené výše pojistného a efektivity pro jednotlivé λ jsou: Tabulka 4: Výše pojistného a efektivita bonus-malus systému České pojišťovny

λ

0,02

0,05

0,08

0,11

b(λ)

0,506616459

0,519439077

0,537396974

0,563639245

e(λ)

0,04813654

0,01627661

0,10754145

0,19604916

Pramen: vlastní vypracování

4.4 Bonus-malus systém pojišťovny Kooperativa K analýze a komparaci byl i v tomto případě zvolen jediný užívaný bonus-malus systém k produktu typu pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla. Konkrétně se jedná o bonus-malus stupnici uvedenou v pojistných podmínkách k pojištění „Povinné ručení NA100PRO“. Podoba pojišťovnou užívaného bonus-malus systému a jeho charakteristika je následovná: Tabulka 5: Bonus-malus stupnice pojišťovny Kooperativa



Bonus

Malus

B 10

120 a více

50 %

B9

108 až 119

45 %

B8

96 až 107

40 %

B7

84 až 95

35 %

B6

72 až 83

30 %

B5

60 až 71

25 %

B4

48 až 59

20 %

B3

36 až 47

15 %

B2

24 až 35

10 %

B1

12 až 23

5%


0 až 11

0%

M1

-12 až -1

10 %

M2

-24 až -13

20 %

M3

-36 až -25

30 %

M4

-48 až -37

50 %

M5

-60 až -49

80 %

M6

-61 a dále

120 %

0%

Pramen: vlastní vypracování na základě pojistných podmínek pojišťovny Kooperativa. Povinné ručení NA100PRO [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.koop.cz/nase-produkty/pojistenivozidel/povinne-ruceni-na100pro/

28

Jak je z tabulky patrné, jedná se o bonus-malus stupnici, která má 17 stupňů. Z toho deset stupňů základní pojistné snižuje, jeden stupeň ponechává a šest stupňů naopak základní pojistné navyšuje v závislosti na předchozím (beze)škodním průběhu tohoto nebo obdobných předcházejících pojištění. Nejnižší výše pojistného, které lze dosáhnout, je 50 % ze základního pojistného. Na druhé straně nejvyšší pojistné může dosáhnout hodnoty 220 % ze základního pojistného. Za každý rok bez pojistné události je k rozhodné době připočteno 12 měsíců. Za každou nahlášenou pojistnou událost klesá rozhodná doba pro stanovení výše pojistného v následujícím období o 24 měsíců. Základní charakteristiku stupnice lze shrnout následovně: Tabulka 6: Charakteristika bonus-malus stupnice pojišťovny Kooperativa

Počet stupňů

Bezeškodní rok


17

+1

-2

Pramen: vlastní vypracování na základě pojistných podmínek pojišťovny Kooperativa. Povinné ručení NA100PRO [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.koop.cz/nase-produkty/pojistenivozidel/povinne-ruceni-na100pro/

Vypočtené výše pojistného a efektivity pro jednotlivé λ jsou: Tabulka 7: Výše pojistného a efektivita bonus-malus systému pojišťovny Kooperativa

λ

0,02

0,05

0,08

0,11

b(λ)

0,50323242

0,509102617

0,51663115

0,526218579

e(λ)

0,00688747

0,02157325

0,042694089

0,07693191


29

4.5 Bonus-malus systém České podnikatelské pojišťovny Pro analýzu a komparaci byl použit bonus-malus systém k části pojištění „Autopojištění Combi Plus II“ týkající se pojištění z odpovědnosti motorového vozidla, který je opět popsán v pojistných podmínkách náležejících k danému pojištění. Podoba pojišťovnou užívaného bonus-malus systému a jeho charakteristika je následovná: Tabulka 8: Bonus-malus stupnice České podnikatelské pojišťovny



Bonus

Malus

B 10

120 a více

50 %

B9

108 až 119

45 %

B8

96 až 107

40 %

B7

84 až 95

35 %

B6

72 až 83

30 %

B5

60 až 71

25 %

B4

48 až 59

20 %

B3

36 až 47

15 %

B2

24 až 35

10 %

B1

12 až 23

5%


0 až 11

0%

M1

-12 až -1

10 %

M2

-24 až -13

30 %

M3

-36 až -25

50 %

M4

-48 až -37

80 %

M5

-60 až -49

110 %

M6

-61 a dále

150 %

0%

Pramen: vlastní vypracování na základě pojistných podmínek pojišťovny Česká podnikatelská pojišťovna. Pojistné podmínky Autopojištění Combi Plus II [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.cpp.cz/User_data/Media/Original/CPP/201206/pp-acp-1_12.pdf

Opět se jedná o stupnici o 17 stupních s deseti bonusovými stupni, základní třídou a šesti malusovými stupni. Za bezeškodní průběh během roku je k rozhodné době připočteno 12 měsíců a za každé pojistné plnění od rozhodné doby odečteno 24 měsíců. Základní charakteristiku stupnice lze shrnout následovně: Tabulka 9: Charakteristika bonus-malus stupnice České podnikatelské pojišťovny

Počet stupňů

Bezeškodní rok


17

+1

-2

Pramen: vlastní vypracování na základě pojistných podmínek pojišťovny Česká podnikatelská pojišťovna. Pojistné podmínky Autopojištění Combi Plus II [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.cpp.cz/User_data/Media/Original/CPP/201206/pp-acp-1_12.pdf

30

Vypočtené výše pojistného a efektivity pro jednotlivé λ jsou: Tabulka 10: Výše pojistného a efektivita bonus-malus systému České podnikatelské p.

λ

0,02

0,05

0,08

0,11

b(λ)

0,50323242

0,509102655

0,516564193

0,526230625

e(λ)

0,00688747

0,02157325

0,042769947

0,07710498


4.6 Bonus-malus systém Allianz Pro analýzu a komparaci byl vybrán bonus-malus systém užívaný k povinnému ručení pojišťovny, které je uváděno jako „ALLIANZ AUTOPOJIŠTĚNÍ 2012“. Data jsou i v tomto případě čerpána z pojistných podmínek daného pojištění. Podoba pojišťovnou užívaného bonus-malus systému a jeho charakteristika je následovná: Tabulka 11: Bonus-malus stupnice pojišťovny Allianz



Bonus

Malus

B 10

120 a více

50 %

B9

108 až 119

45 %

B8

96 až 107

40 %

B7

84 až 95

35 %

B6

72 až 83

30 %

B5

60 až 71

25 %

B4

48 až 59

20 %

B3

36 až 47

15 %

B2

24 až 35

10 %

B1

12 až 23

5%


0 až 11

0%

M1

-12 až -1

25 %

M2

-24 až -13

50 %

M3

-36 až -25

75 %

M4

-48 až -37

100 %

M5

-49 a dále

150 %

0%

Pramen: vlastní vypracování na základě pojistných podmínek pojišťovny Allianz autopojištění. Pojistné podmínky [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.allianz.cz/download.php? FNAME=1348472952.upl&ANAME=Autopoji%C5%A1t%C4%9Bn%C3%AD_VPP+ZPP_n%C3%A1hled.pdf

Jak je z tabulky patrné, jedná se v tomto případě o bonus-malus systém se 16 stupni, ve kterém je pouze pět malusových stupňů. Za rok bez pojistné události je řidiči připočteno k rozhodné době 12 měsíců a za každou pojistnou událost 24 měsíců strženo.

31

Základní charakteristiku stupnice lze shrnout následovně: Tabulka 12: Charakteristika bonus-malus stupnice pojišťovny Allianz

Počet stupňů

Bezeškodní rok


16

+1

-2

Pramen: vlastní vypracování na základě pojistných podmínek pojišťovny Allianz autopojištění. Pojistné podmínky [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.allianz.cz/download.php? FNAME=1348472952.upl&ANAME=Autopoji%C5%A1t%C4%9Bn%C3%AD_VPP+ZPP_n%C3%A1hled.pdf

Vypočtené výše pojistného a efektivity pro jednotlivé λ jsou: Tabulka 13: Výše pojistného a efektivita bonus-malus systému pojišťovny Allianz

λ

0,02

0,05

0,08

0,11

b(λ)

0,50323242

0,509113781

0,516567453

0,526254979

e(λ)

0,00688747

0,02156539

0,04487108

0,07742255


4.7 Shrnutí kapitoly 4 Pro analýzu a následnou komparaci byly zvoleny čtyři produkty pojišťoven s největším zastoupením na českém trhu povinného ručení. Na základě ČSOB Indexu poté byly stanoveny λ = {0,02; 0,05; 0,08; 0,11} jako vhodné hodnoty frekvence nehodovosti, na základě kterých měly být tyto systémy dále analyzovány. Byly popsány stupnice jednotlivých bonus-malus systémů a pravidla přechodu mezi stupni těchtu stupnic. Pro každý systém též byly spočítány efektivity a vybrané výše pojistného pro zvolená λ.

32

5. Komparace bonus-malus systémů užívaných na českém pojistném trhu Jak je z analýzy bonus-malus systému jednotlivých pojišťoven patrné, stupnice, které užívají, jsou na první pohled obdobné. Přesto nejsou zcela totožné a existují mezi nimi jisté odchylky. Cílem této části práce je tyto odchylky popsat a zjistit, jak se mohou projevovat v praxi a jak moc se v praxi díky tomu bonus-malus systémy odlišují, zejména s ohledem na efektivitu bonus-malus systémů a předpokládanou výši vybraného pojistného pro jednotlivé zvolené frekvence nehodovosti λ.

5.1 Základní srovnání bonus-malus systémů Bonus-malus systémy jednotlivých pojišťoven mají mnoho podobností. Všechny pojišťovny používají totožnou bonusovou část stupnice a stejný je i princip přestupu na stupeň vyšší. Počet stupňů stupnic je též odlišný jen mírně, dvě pojišťovny užívají 16 stupňové stupnice, zbylé dvě mají stupňů 17. Domnívám se, že tyto skutečnosti z hlediska potencionálního pojištěného ani pojišťovny mezi bonus-malus stupnicemi patrnější rozdíly netvoří. Stupnice se nicméně liší malusovými částmi. Česká pojišťovna umožňuje maximální výši malusu 100 % ze základního pojistného. Naproti tomu Kooperativa umožňuje malus ve výši 120 % a Allianz a Česká podnikatelská pojišťovna až ve výši 150 %. Intuice velí, že tato skutečnost by se měla promítnout zejména v rozdílné průměrné výši vybraného pojistného od nadprůměrně rizikových pojištěných. Největším rozdílem mezi stupnicemi ale je zejména pád o tři stupně v případě pojistné události u bonus-malus stupnice České pojišťovny. Tím se liší od zbývajících tří pojišťoven, u kterých hrozí pád pouze o dva stupně.

33

5.2 Komparace na základě efektivity bonus-malus systémů Komparace bude prováděna na základě spočítaných hodnot efektivity e(λ) pro jednotlivé bonus-malus systémy, které jsou uvedeny v předcházející kapitole. Základem pro komparaci budiž graf shrnující velikost efektivity e(λ) pro jednotlivé frekvence nehodovosti λ: Graf 1: Závislost efektivity bonus-malus systémů a frekvence nehodovosti 0,25 0,2 0,15

e(λ)

Česká poj. Allianz Kooperativa Česká p. p.

0,1 0,05 0 0,02

0,05

0,08

0,11

λ Pramen: vlastní vypracování

Z grafu je patrné, že efektivity systémů Allianz (16/+1/-2), Kooperativy (17/+1/-2) a České podnikatelské pojišťovny (17/+1/-2) jsou prakticky totožné. Allianz a Kooperativa se liší jen počtem stupňů v malusové části stupnice. Výši maximálního malusu mají stejnou. Překvapivější ale je, že téměř nulový rozdíl je i mezi Kooperativou a Českou podnikatelskou pojišťovnou. Ty mají sice stejná pravidla přechodu i počet stupňů, nicméně výší pojistného v malusové části stupnice se liší. Maximální malus Kooperativy dosahuje 120 % a České podnikatelské pojišťovny 150 %. Je proto poměrně překvapivé, že se jejich efektivity téměř neliší ani pro nadprůměrné frekvence nehodovosti, zejména pro λ = 0,11. Je to způsobeno tím, že i více rizikoví řidiči mají tendenci hromadit se v bonusové části stupnice, která je u obou systémů totožná. V malusové části stupnice při stabilizovaném rozložení pro λ = 0,11 totiž kupodivu bude jen 0,01545 % řidičů26. Větší rozdíl je mezi efektivitou systému České pojišťovny (16/+1/-3) a ostatních pojišťoven. Tento fakt je způsoben tím, že při pojistné události klesá pojištěný na stupnici o tři stupně, oproti dvěma stupňům u pojišťoven ostatních. Nedochází tím pádem k tak výraznému hromadění pojištěných na nejvyšších stupních stupnice 27. Přestože tedy maximální možný malus České pojišťovny je jen 100 %, což je nejméně ze všech, je efektivita jejího bonus-malus systému pro zvolená λ jednoznačně nejvyšší. 26 Viz příloha č. 3 27 Viz příloha č. 2

34

Obecně lze říci, že bonus-malus systém Kooperativy, Allianz a České podnikatelské pojišťovny mají efektivitu jen minimální. Srovnáme-li hodnoty jejich efektivit s efektivitou dokonalou (e(λ) = 1), která značí, že frekvence nehodovosti a výše pojistného roste (klesá) stejným tempem, je jasně patrné, že tyto pojišťovny na rozlišení řidičů dle jejich předchozího (beze)škodního průběhu téměř nespoléhají. Z toho vyplývá, že buďto výrazně preferují u těchto svých produktů princip neekvivalentnosti, nebo zhodnocují individuální rizikovost spíše podle kritérií užívaných pro stanovení základního pojistného28. Systém České pojišťovny již trochu vyšší efektivitu vykazuje. Přestože se zvyšuje až k e(λ) = 0,2 pro λ = 0,11, je ale stále velmi vzdálena efektivitě dokonalé. Celkově je z grafu patrný trend zvyšování efektivity s rostoucí nehodovostí. To je způsobeno tím, že pro nízká λ dochází k výraznému hromadění pojištěných na nejvyšším bonusovém stupni. Mezi těmito pojištěnými pak systémy nejsou schopny rozlišit menší nuance v rizikovosti. Pro zvyšující se λ toto hromadění přestává být tak výrazné, a proto schopnost bonus-malus systémů zhodnotit individuální rizikovost takovýchto řidičů vzrůstá. Přesto u všech zkoumaných systémů platí, že při zvolených frekvencích nehodovosti λ dochází k docela výraznému přispívání méně rizikových pojištěných na pojišťené více rizikové. Reakce výše vybraného pojistného na změnu parametru λ je tedy velmi malá.

5.3 Komparace na základě výše pojistného Základem pro komparaci budiž graf závislosti předpokládané výše vybraného pojistného b(λ) na frekvenci nehodovosti λ: Graf 2: Závislost výše vybraného pojistného a frekvence nehodovosti

0,57 0,56 0,55 0,54 0,53

b(λ)

Česká poj. Allianz Kooperativa Česká p. p.

0,52 0,51 0,5 0,49 0,48 0,47 0,02

0,05

0,08

λ Pramen: vlastní vypracování 28 Viz kapitola 1.7.3.

35

0,11

Jak je patrné již z porovnání výše uvedeného grafu s grafem shrnujícím velikost efektivity e(λ) pro jednotlivé frekvence nehodovosti λ, velikost efektivity a výše vybraného pojistného spolu souvisí. Je to dáno tím, že vyšší efektivita značí větší schopnost rozlišit rizikovost pojištěných právě stanovením vyššího pojistného pro více rizikové pojištěné. Přesto je i komparace na základě výše vybraného pojistného pro porovnání jednotlivých bonus-malus systémů důležitá. Sdělí nám totiž, jakou část pojistného ze základního pojistného mohou pojišťovny za dané frekvence nehodovosti očekávat a také třeba může dopomoci určit, v jaké výši lze stanovit základní pojistné. Opět platí, že daný ukazatel je pro Českou podnikatelskou pojišťovnu (17/+1/-2), Allianz (16/+1/-2) i Kooperativu (17/+1/-2) téměř shodný. Tato podobnost ve výší vybraného pojistného pro zvolená λ je dána tím, že i pro λ = 0,11 se drtivá většina pojištěných nebude nacházet na malusové části stupnice29. A zbytek stupnice užívají všechny pojišťovny shodný, přičemž shodná jsou i pravidla přestupu z jednoho stupně na stupeň jiný. Neprojeví se tedy nijak výrazně ani rozdílný celkový počet stupňů, ani rozdílná výše malusů těchto bonus-malus systémů. Bonus-malus systém České pojišťovny (16/+1/-3) kvůli většímu poklesu při pojistné události způsobuje, že vybrané pojistné bude pro všechna λ vyšší. Díky většímu poklesu při pojistné události totiž pro všechna λ platí, že oproti konkurenčním stupnicím budou pojištění více zastoupení v nižších částech stupnice s nižšími bonusy, případně i malusy. Obecně lze říci, že výše vybraného pojistného u České podnikatelské pojišťovny, Allianz a Kooperativy se se zvyšující frekvencí nehodovosti zvyšuje jen minimálně. Řidiči s frekvencí nehodovosti λ = 0,11 budou platit pojistné průměrně kolem 52,6 % ze základního pojistného, kdežto řidiči s λ = 0,02 budou platit kolem 50,3 % ze základního pojistného. Z toho je patrné, že základní pojistné musí být stanoveno zhruba na dvojnásobek pojistného, které tyto pojišťovny hodlají vybrat. Trochu větší rozlišení na základě individuální rizikovosti nabízí Česká pojišťovna. U ní se výše pojistného pro λ = 0,11 pohybuje v průměru kolem 56,4 % ze základního pojistného a pro λ = 0,02 kolem 50,7 % ze základního pojistného. Vzhledem k tomu, že výše vybraného pojistného je pro všechna λ u České pojišťovny nejvyšší, lze usuzovat, že za jinak stejných podmínek ve všech pojišťovnách by si mohla Česká pojišťovna dovolit stanovit nejnižší základní pojistné (a tedy i pojistné stanovené nově pojištěným na základní třídě).

5.4 Shrnutí kapitoly 5 Komparace bonus-malus systémů ukázala, že tři ze čtyř bonus-malus systémů (Kooperativa, Allianz a Česká podnikatelská pojišťovna) se od sebe, i přes rozdíly v jejich stupnicích, velikostí efektivity a výší vybraného pojistného téměř neliší. Vykazují jen minimální velikost efektivity a výše vybraného pojistného pro různá λ je u nich téměř totožná. Čtvrtý bonus-malus systém (Česká pojišťovna) se odlišuje zejména díky pádu o více stupňů 29 Viz přílohy č. 3 a 4

36

v případě pojistné události. Vykazuje již v jisté míře efektivitu a rozdíly ve vybraném pojistném pro různá λ, nicméně i v tomto případě jde o hodnoty velmi malé.

37

6. Návrh bonus-malus systému Cílem této části práce je na základě teoretických poznatků a osobních názorů vycházejících z analýzy bonus-malus systémů užívaných na českém pojistném trhu navrhnout vlastní bonus-malus systém pro pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla a následně zhodnotit jeho možné výhody a nevýhody, a to i ve srovnání s produkty užívanými na českém trhu.

6.1 Základní myšlenky při návrhu bonus-malus systému Vzhledem k tomu, že můj návrh bonus-malus systému a jeho jednotlivých aspektů je návrhem čistě osobním, je důležité, abych popsal základní myšlenky, které mě k návrhu tohoto bonus-malus systému vedly. Předně jsem provedl analýzu nejhojněji užívaných bonus-malus systémů na českém trhu pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla, která je podrobně rozebrána v předchozích kapitolách. Můj názor je takový, že tyto systémy nedostatečně zhodnocují individuální rizikovost na základě předchozího (beze)škodního průběhu. Proto se pokusím, aby v mém návrhu bonus-malus systému byla zhodnocena více. Též jsem se snažil, aby výsledný bonus-malus systém byl alespoň teoreticky konkurenceschopný a, opět z mého osobního pohledu, nebyl pro potencionální pojištěné z nějakého důvodu zcela nepřijatelný. Proto jsem se snažil do jisté míry zachovat koncepci systému obdobnou té, jakou disponují systémy již na českém trhu zavedené. Přesto jsem ale chtěl vytvořit systém poněkud odlišný, který by nabízel jiné výhody a pojily by se s ním jiné nevýhody, než které se pojí se systémy již užívanými. Ty jsou si z mého pohledu velmi podobné. Mým cílem bylo vytvořit bonus-malus systém, který sice v dostatečné míře zachová princip neekvivalentnosti, ale též znatelně rozdělí výši pojistného dle individuálního předchozího (beze)škodního průběhu pojištění řidiče. Konkrétněji potom byla má představa taková, že by systém vykazoval nějakou reálně pocítitelnou efektivitu již pro frekvenci nehodovosti λ = 0,02, pro λ = 0,05 tato efektivita byla již znatelná, ale pořád byl spíše upřednostňován princip neekvivalence a pro vyšší λ se efektivita dále zvyšovala a mířila směrem k efektivitě dokonalé. Z hlediska výše vybraného pojistného bylo mým hlavním cílem zajistit, aby se pro λ = 0,05 příliš nelišila od produktů, které jsem analyzoval v jedné z předchozích kapitol. To by indikovalo, že ani základní pojistné nemusí být nastaveno příliš odlišně a produkt může být z tohoto hlediska konkurenceschopný.

6.2 Konstrukce matice přechodu Jak již bylo uvedeno v kapitole 3.2, základem bonus-malus systémů na bázi Markovských řetězců je matice přechodu. Pro sestrojení matice přechodu je nutné znát počet stupňů daného systému, pravidla přestupů mezi stupněmi a pravděpodobnosti jednotlivých možných přechodů. 38

6.2.1 Počet stupňů matice přechodu Počet stupňů matice přechodu jsem se rozhodl stanovit podobný, jako mají komerčně užívané bonus-malus systémy. Samotný počet těchto stupňů, není-li příliš malý, výrazně neovlivňuje charakter bonus-malus systému, který je dán spíše pravidly přechodu mezi stupni a rozdílem v pojistném mezi jednotlivými stupni. Dospěl jsem proto k názoru, že 17 stupňů bude akorát pro to, aby tento systém zůstal přehledný, ale zároveň nabízel dostatečnou volnost v pozdějším nastavení dalších pravidel. Také jsem přihlédl k tomu, aby byla výsledná stupnice snadněji srovnatelná s produkty českých pojišťoven, které jsem v práci zkoumal. 6.2.2 Pravidla přechodu mezi stupni Pravidla přechodu mezi stupni jsou velmi důležitá pro chování bonus-malus stupnice. Spolu s nastavením výše pojistného pro jednotlivé stupně mají zásadní vliv na efektivitu a vybrané pojistné. Čím lépe tato pravidla dokáží rozvrstvit pojištěné mezi různé stupně, tím vyšší potom tedy může být výsledná efektivita systému pro jednotlivá λ. Vzhledem k tomu, že považuji efektivitu dříve analyzovaných bonus-malus systémů za nedostatečnou a stabilizovaná rozložení za příliš posunutá k maximální bonusové části těchto systémů, rozhodl jsem se pravidla stanovit o poznání příkřejší, jedná-li se o posun po stupnici směrem dolů při pojistné události. Též z důvodu, aby nebyl v závěru kladen příliš velký tlak na rozlišení stupňů dle výše pojistného, rozhodl jsem se stanovit počet stupňů, o které se za každou pojistnou událost pojištěný v dalším období posune směrem dolů, na pět. Naproti tomu, aby efekt tohoto opatření nebyl ničím kompenzován, posun po stupnici nahoru po roce bez pojistné události jsem ponechal na čísle jedna. Základní charakteristiku stupnice lze shrnout následovně: Tabulka 14: Charakteristika bonus-malus stupnice mého návrhu

Počet stupňů

Bezeškodní rok


17

+1

-5


6.2.3 Pravděpodobnosti přechodu mezi stupni Vzhledem k tomu, že hledání obecné matice přechodu pro 17 stupňový systém by bylo časově i prostorově náročné, dál je konstrukce bonus-malus systému ilustrována na jeho konstrukci pro frekvenci nehodovosti λ = 0,05, což je, jak již bylo řečeno, frekvence nehodovosti, kolem které se pohybuje průměrná frekvence nehodovosti v České republice. Byla stanovena náhodná veličina X, která udává počet pojistných událostí v průběhu jednoho roku. Na základě poissonova rozložení s parametrem λ = 0,05 pak byly pomocí vzorce pro výpočet pravděpodobnosti různého počtu nehod (viz kapitola 3.2.1) vypočteny pravděpodobnosti pro jednotlivé realizace náhodné veličiny X, které byly nutné pro sestrojení matice přechodu.

39

p (0)=

0,050 −0,05 e =0,951229424 0!

p (1)=

0,051 −0,05 e =0,047561471 1!

p (2)= p (3)=

0,052 −0,05 e =0,00118903678 2!

0,053 −0,05 e =0,00001981727967 3!

6.2.4 Kompletace matice přechodu Díky vytvoření základní charakteristiky bonus-malus systému a výpočtu pravděpodobností způsobení různého počtu pojistných událostí při λ = 0,05, mohla být zkompletována matice přechodu pro tuto frekvenci nehodovosti. Nejdříve byla vytvořena matice řádu 17, což odpovídá počtu stupňů bonus-malus systému. Vzhledem k tomu, že matice přechodu je maticí pravděpodobností přechodů pij pro přechod ze stavu i do stavu j (viz kapitola 3.2.2), jsem poté postupoval dle následujících pravidel: • Pravděpodobnosti p(0) jsem doplnil na základě toho, že při bezeškodním průběhu bude pojištěný v příštím období o jeden stupeň výše. Tedy oproti hlavní diagonále matice, která znázorňuje pravděpodobnosti setrvání na stejném stupni a která je pro většinu matice nulová, jelikož pravděpodobnost setrvání na stejném stupni je nulová (dochází buďto k posunu výše, nebo k pádu níže), vždy o sloupec dále v daném řádku. Pouze na nejvyšším stupni v případě bezeškodního průběhu a na nejnižším v případě pojistných událostí pojištěný zůstane na stejném stupni. • Pravděpodobnosti p(1), p(2) a p(3) byly do matice doplněny na základě toho, že za každou pojistnou událost dochází k poklesu o pět stupňů. Vzhledem k hlavní diagonále tedy byly tyto pravděpodobnosti doplněny o pět (p(1)), deset (p(2)) a patnáct (p(3)) sloupců vlevo v daném řádku. • Díky tomu, že součet pravděpodobností přesunu z daného stupně na jakýkoliv stupeň v příštím období musí být vždy roven jedné (je 100% pravděpodobnost, že pojištěný bude v příštím období na některém stupni), byly pravděpodobnosti pádu na nejnižší stupeň 1 dopočítány pomocí vzorce:

17 pi1 =1−∑ p ij j=2

40

Výsledná matice přechodu potom má následující podobu:

41

6.3 Konstrukce stabilizovaného rozložení Jak je znázorněno v kapitole 3.3, stabilizované rozložení vychází z matice přechodu. V našem případě budu i dále počítat s λ = 0,05, a proto vycházet z matice přechodu pro λ = 0,05 uvedené v předcházející kapitole. Pro stanovení stabilizovaného rozložení jsem matici přechodu násobil maticí rozložení řidičů na bonus-malus stupnici v předcházejícím období, dokud se toto rozložení nestabilizovalo a pro další roky již nezůstalo totožné. Jak je znázorněno v kapitole 3.3, rozložení pojištěných v prvním období může být libovolně zvolené s tím, že musí mít počet členů roven počtu stupňů bonus-malus stupnice. Důležité pouze je, aby tyto členy, vzhledem k tomu, že znázorňují podíly pojištěných z celku na jednotlivých stupních, byly nezáporné a jejich součet byl roven jedné. Ve svém postupu jsem zvolil počáteční rozložení, jako by se jednalo o novou pojišťovnu bez stabilizovaného pojistného kmene, tudíž jsem všechny pojištěné umístil na stupeň základní třídy (viz tabulka 6 na následující straně). Matici rozložení uvedenou na předchozí straně jsem tedy násobil nejdříve rozložením

π =( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) (1)

a následně vždy rozložením, které z tohoto součinu vzešlo, dokud se toto rozložení nestabilizovalo – dokud nezvniklo stabilizované rozložení π(s)30:

Tato matice tedy znázorňuje rozložení pojištěných na jednotlivých stupních. Říká nám například, že na nejvyšším 17. stupni bude zhruba 73,81 % pojištěných, na 12. stupni 4,62 % pojištěných a na nejnižším 1. stupni 0,05 % pojištěných.

6.4 Stanovení výše pojistného pro jednotlivé stupně stupnice Známe-li stabilizované rozložení pro dané λ = 0,05, zbývá už jen stanovit výši pojistného pro jednotlivé stupně stupnice. Tento závěrečný úkon mi dopomohl přiblížit se k myšlenkám, se kterými jsem se do návrhu bonus-malus systému pustil. Stanovením výše pojistného pro jednotlivé stupně se dá ovlivnit efektivita výsledného systému i výše vybraného pojistného. Jak je patrné z podoby stabilizovaného rozložení, i v případě tohoto bonus-malus systému dochází při λ = 0,05 k částečnému hromadění pojištěných na nejvyšších stupních stupnice. Z toho důvodu pro dosažení vyšší efektivity je nutné stupně stupnice náležitě rozlišit výší pojistného, které se k nim pojí. Aby se bonus-malus stupnice blížila mým představám popsaným v kapitole 6.1, musel být zvolen odstup mezi jednotlivými stupni ve výši 15 % ze základního pojistného. Nicméně, aby byla zachována i myšlenka podobného výběru pojistného pro λ = 0,05, jako mají produkty pojišťoven na českém trhu, bylo nutné stanovit rozdíly mezi posledními čtyřmi stupni pouze 30 Hodnoty byly zaokrouhleny z důvodu prostorové úspornosti. Ve výpočtech bylo ale počítáno s přesnými hodnotami.

42

na 10 % ze základního pojistného s tím, že maximální bonus bude ve výši 60 %. Tím je zároveň zajištěno i to, že od žádného řidiče pojišťovna nemůže dostávat méně než 40 % ze základního pojistného a v případě výrazného snížení průměrné frekvence nehodovosti na českých silnicích bude mít zajištěny příjmy v této minimální výši. Také jsem se tímto snažil o to, aby existovalo právě pět bonusových stupňů a řidiči z nejvyššího stupně nehrozilo, že se při jedné pojistné události dostane do malusové části stupnice. Kdyby tomu tak bylo, myslím, že by to mohlo mít dopad na konkurenceschopnost bonus-malus stupnice a tím pádem celého pojištění.

6.5 Konečná podoba mého návrhu Konečná podoba stupnice, která se váže k mému návrhu bonus-malus systému, je tedy následovná: Tabulka 15: Bonus-malus stupnice dle mého návrhu



Bonus

Malus

B5

60 a více

60 %

B4

48 až 59

50 %

B3

36 až 47

40 %

B2

24 až 35

30 %

B1

12 až 23

15 %

S – zákl. třída

0 až 11

0%

M1

-12 až -1

15 %

M2

-24 až -13

30 %

M3

-36 až -25

45 %

M4

-48 až -37

60 %

M5

-60 až -49

75 %

M6

-72 až -61

90 %

M7

-84 až -73

105 %

M8

-96 až -85

120 %

M9

-108 až -97

135 %

M 10

-120 až -109

150 %

M 11

-121 a dále

165 %

0%


Jedná se o stupnici s pěti bonusovými stupni, základní třídou a deseti malusovými stupni. Za každý rok bez pojistné události je k rozhodné době připočteno 12 měsíců a za každou pojistnou událost jich je 60 strženo.

43

6.6 Výpočet výše pojistného Souhrn pojistného pro dané λ je počítán jako vážený průměr členů stabilizovaného rozložení, kde vahami jsou výše pojistného k těmto členům náležející. Obdobně jako při analýze bonus-malus systémů v kapitole 4 byla výše pojistného spočítána pro hodnoty λ = {0,02; 0,02002; 0,05; 0,05005; 0,08; 0,08008; 0,11; 0,11011}. To znamená, že pro tyto hodnoty λ musely být vytvořeny matice přechodu a stabilizovaná rozložení (viz příloha č. 5). Výše pojistného b(λ) jsou následující31: b(0,05) = 2,65*0,0005 + 2,5*0,0008 + 2,35*0,0011 + 2,2*0,0016 + 2,05*0,0020 + 1,9*0,0025 + 1,75*0,0055 + 1,6*0,0073 + 1,45*0,0089 + 1,3*0,0104 + 1,15*0,0117 + 1*0,0462 + 0,85*0,0440 + 0,7*0,0418 + 0,6*0,0398 + 0,5*0,0378 + 0,4*0,7381 = 0,5303336879 b(0,05005) = 0,5305255412 b(0,02) = 0,439367014 b(0,02002) = 0,439413576 b(0,08) = 0,674085714 b(0,08008) = 0,674551271 b(0,11) = 0,875800314 b(0,11011) = 0,876623429

6.7 Výpočet efektivity bonus-malus systému Obdobně jako při analýze bonus-malus systémů v kapitole 4 byla efektivita mého návrhu bonus-malus systému počítána pro hodnoty λ = {0,02; 0,05; 0,08; 0,11} a pro h = 0,001. To je důvod, proč musely být zkonstruovány matice přechodu, stabilizovaná rozložení a vypočteny výše pojistného i pro λ = {0,02002; 0,05005; 0,08008; 0,11011}. Dále bylo postupováno dle vzorce pro výpočet efektivity (viz kapitola 3.5): b (0,05005) 0,5305255412 −1 −1 b (0,05) 0,5303336879 e (0,05)≈ = =0,3617595747 0,001 0,001 e (0,02)≈0,105975813

e (0,08)≈0,6906493472 e (0,11)≈0,9398431424 Vypočtené výše pojistného a efektivity pro jednotlivé λ jsou: Tabulka 16: Výše pojistného a efektivita bonus-malus systému mého návrhu

λ

0,02

0,05

0,08

0,11

b(λ)

0,439367014

0,530333688

0,674085714

0,875800314

e(λ)

0,105975813

0,361759575

0,690649347

0,939843142

Pramen: vlastní vypracování 31 Hodnoty užívané během výpočtu jsou kvůli prostorové úspornosti zaokrouhlené, ale výsledek byl dosažen pomocí nezaokrouhlených hodnot.

44

6.8 Komparace mého návrhu s tržními produkty a zhodnocení jeho výhod a nevýhod Vzhledem k tomu, že jsem se pokoušel, aby můj návrh byl alespoň v jisté myslitelné míře použitelný v tržním prostředí, je namístě, aby byl srovnán s bonus-malus systémy nejhojněji užívanými na českém trhu pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla. Také je vhodné, abych se na závěr zamyslel nad tím, jaké výhody a nevýhody může nabízet jednotlivým řidičům.

6.8.1 Základní srovnání bonus-malus systémů Počtem stupňů se můj návrh od ostatních zkoumaných bonus-malus systémů příliš neliší, nicméně z pohledu na stupnice (viz kapitola 6.5 a kapitoly 4.3, 4.4, 4.5 a 4.6) je zřejmé, že jsou mezi nimi větší rozdíly. Můj návrh má zcela jinou bonusovou i malusovou část stupnice. Bonusová část není tvořena deseti stupni, ale pouze pěti stupni. Naproti tomu malusová část se skládá ze stupňů deseti a nikoliv ze stupňů pěti nebo šesti. Odlišná je také výše pojistného stanovená pro jednotlivé stupně. U mého návrhu jsou přechody mezi jednotlivými stupni v bonusové části větší. To má za úkol lépe rozvrstvit řidiče, kteří mají tendenci, při zvolených λ, se shromažďovat především v bonusových částech stupnic. Výše rozdílů mezi stupni v malusové části stupnice se od užívaných bonus-malus systémů výrazně neliší, nicméně vzhledem k největšímu počtu malusových stupňů je maximální výše pojistného u mého návrhu nejvyšší (265 % ze základního pojistného oproti 250 % u České podnikatelské pojišťovny a Allianz). Velký rozdíl je též v nastavení charakteru systému. Za každou pojistnou událost následuje pád o pět stupňů, oproti třem stupňům u České pojišťovny a dvěma u Allianz, Kooperativy a České podnikatelské pojišťovny.

45

6.8.2 Komparace mého návrhu na základě efektivity bonus-malus systémů Základem pro komparaci budiž graf shrnující velikost efektivity e(λ) pro jednotlivé frekvence nehodovosti λ: Graf 3: Závislost efektivity bonus-malus systémů (a mého návrhu) a frekvence nehodovosti 1 0,9 0,8 0,7 0,6

e(λ)

Můj návrh Česká poj. Allianz Kooperativa Česká p. p.

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,02

0,05

0,08

0,11


Z grafu je patrné, že můj návrh disponuje pro všechna zvolená λ nejvyšší efektivitou. To je způsobeno jednak většími pády při pojistné události a jednak většími rozestupy v pojistném v bonusové části stupnice. Ovšem je nutné říci, že pro nízké hodnoty frekvence nehodovosti není ani můj návrh schopen dosáhnout větší efektivity než zhruba 10,6 %. Pro λ = 0,05, resp. λ = 0,08, potom systém dosahuje efektivity 36,2 %, resp. 69,1 %, což jsou hodnoty násobně vyšší, než kterých dosahují zkoumané produkty pojišťoven. Na druhou stranu se pořád neblíží k efektivitě dokonalé a osobně je vnímám jako vhodnější kompromis mezi principem neekvivalentnosti, zhodnocením individuální rizikovosti dle kritérií pro stanovení základního pojistného a zhodnocením individuální rizikovosti dle předchozího (beze)škodního průběhu pojištění. Efektivita systému pro vyšší λ roste, při λ = 0,11 dosahuje již zhruba 94 %. To už je hodnota blížící se efektivitě dokonalé. To by znamenalo, že při dalším zvýšení rizikovosti nad tuto hodnotu bude již růst výše placeného pojistného téměř shodným tempem. Tento fakt nevnímám jako negativum. Ve svém důsledku totiž znamená, že systém rizikovější řidiče více motivuje ke snížení této rizikovosti.

46

6.8.3 Komparace mého návrhu na základě výše pojistného Základem pro komparaci budiž graf závislosti předpokládané výše vybraného pojistného b(λ) na frekvenci nehodovosti λ: Graf 4: Závislost výše vybraného pojistného a frekvence nehodovosti (i u mého návrhu)

1 0,9 0,8 0,7 0,6

b(λ)

Můj návrh Česká poj. Allianz Kooperativa Česká p. p.

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,02

0,05

0,08

0,11


Z grafu lze vyčíst, že u mého návrhu výše pojistného silněji závisí na frekvenci nehodovosti. Můj systém vykazuje chování, kdy pro malá λ je výše vybraného pojistného nižší než u ostatních systémů. Je to způsobeno maximálním bonusem ve výši 60 %, narozdíl od maximálního dosažitelného bonusu 50 % u ostatních systémů. Přesto můj systém již pro λ = 0,05 vykazuje mírně vyšší množství vybraného pojistného, než jaké mají ostatní systémy. To indikuje, že základní pojistné by přes vyšší maximální bonus nemuselo být nastaveno příliš odlišně a systém by tudíž mohl být konkurenceschopný z hlediska neodrazování nových pojištěných. Pro vyšší λ poté vybrané pojistné dále roste, ale přesto ani pro λ = 0,11 nedosahuje v průměru ani výše 87,6 % ze základního pojistného. Nicméně i to je velký rozdíl oproti dalším analyzovaným systémům, u kterých dosahuje výše pouze kolem 52,6 % (Allianz, Česká podnikatelská pojišťovna, Kooperativa) a 56,4 % (Česká pojišťovna) ze základního pojistného. 6.8.4 Výhody mého návrhu z pohledu řidiče Pro zhodnocení konkurenceschopnosti mého bonus-malus systému považuji za nutné zhodnotit jeho výhody a nevýhody z pohledu řidiče, který by se rozhodoval mezi pojištěními odpovědnosti z provozu motorového vozidla s dříve analyzovanými bonus-malus systémy a pojištěním se systémem mým. Toto zhodnocení je vedeno jen s ohledem na tyto 47

bonus-malus systémy, ne na zbylé součásti pojištění. Mezi hlavní výhody, které řidiči můj návrh nabízí, patří zejména to, že řidiči nabízí větší maximální bonus. Nezpůsobuje-li pojistné události, pak je jeho pojistné ve výši pouze 40 % ze základního pojistného, kdežto u ostatních systémů je 50 %. Navíc se na tento bonusový stupeň lze dostat výrazně rychleji. Další výhodou mého návrhu je, že pojistné se snižuje pro bonusové stupně výrazněji, je tedy možné za stejné časové období získat větší bonus. A také je nutné podotknout, že náběh bonusů je zejména pro první bezeškodní roky podstatně výraznější než u ostatních bonus-malus systémů. 6.8.5 Nevýhody mého návrhu z pohledu řidiče Výše uvedené výhody jsou nicméně vykoupeny nevýhodami. Jejich hlavní příčinou je „strmost“ bonus-malus systému. Řidiči hrozí, že způsobí-li pojistnou událost, výše jeho pojistného se zvedne výrazněji než u bonus-malus systémů užívaných na trhu. S tím se pojí i to, že za jedinou pojistnou událost řidič vždy přijde o celý bonus, ať už je jeho bonusový stupeň jakýkoliv. Další nevýhodou potom může být nejvýraznější maximální malus ve výši 265 % ze základního pojistného.

6.9 Shrnutí kapitoly 6 Na základě teoretických poznatků a snahy o vyšší efektivitu, větší rozdíl v placeném pojistném pro různé frekvence nehodovosti a zachování jisté konkurenceschopnosti, jsem vytvořil bonus-malus systém pro pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla. Komparací s produkty užívanými na českém pojistném trhu potom bylo ukázáno, že můj návrh bonus-malus systému opravdu disponuje pro zvolená λ vyšší efektivitou a většími rozdíly ve vybraném pojistném, nicméně to je vykoupeno jeho větší „příkrostí“ . Na závěr byla připojena snaha o nahlédnutí na vytvořený „příkrý“ bonus-malus systém z pohledu potencionálního pojistníka, nicméně skutečné možnosti nebo spíše slabosti tohoto systému by se pravděpodobně projevily až s pokusem tento systém zavést na trh.

48

Závěr Bakalářská práce byla zaměřena na možnosti a důvody využití, analýzu a tvorbu bonus-malus systémů. Bonus-malus systémy jsou speciálními případy Markovských řetězců, které se vyznačují svou „bezpaměťovostí“. Užívají se pro stanovení výše pojistného v závislosti na předchozím průběhu pojištění, jelikož méně riskující pojištění by neměli doplácet na více riskující pojištěné. Nejhojněji jsou bonus-malus systémy užívány v oblasti pojištění automobilů. Jejich jednoduchost totiž umožňuje na základě znalosti stávajícího stupně na bonus-malus stupnici a počtu pojistných událostí spočítat, na kterém stupni se bude pojištěný nacházet v příštím období. Díky tomu a znalosti základního pojistného a relativní výše pojistného pro daný stupeň stupnice lze spočítat i to, jaké konkrétní pojistné bude pojištěný v příštím období platit. Jejich konstrukce je založena na teorii Markovských řetězců. Nejdříve je vytvořena matice přechodu pro frekvenci nehodovosti λ. Pomocí této matice je posléze získáno stabilizované rozložení, které udává, jaký podíl pojištěných bude na kterém stupni stupnice. Pomocí stabilizovaného rozložení je možné spočítat i výši vybraného pojistného pro dané λ a pomocí toho spočítat efektivitu bonus-malus systému. Ta udává, jak výrazně se změní velikost vybraného pojistného při změně frekvence nehodovosti. Na základě těchto metod byly analyzovány produkty vybraných pojišťoven na českém trhu pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla. Výsledkem této analýzy a jejich následné komparace bylo zjištění, že vykazují jen velmi omezenou efektivitu a nejsou tedy v praxi schopny účinně rozčlenit pojištěné v závislosti na jejich osobní frekvenci nehodovosti. Na základě tohoto poznatku a znalosti charakteristik analyzovaných bonus-malus systémů jsem se pokusil vytvořit svůj návrh bonus-malus systému, který by osobní rizikovost zhodnocoval více. Výsledkem byl bonus-malus systém, jehož charakteristika je „příkřejší“, takže přestože jsem se snažil o zachování jeho konkurenceschopnosti, je otázkou, do jaké míry by byl schopen se na trhu prosadit. Otázkou k zamyšlení zůstává, jestli při tak nízkých frekvencích nehodovosti, jakých je běžně dosahováno, a při snaze o vyšší efektivitu bonus-malus systémů i pro tyto nízké frekvence, jsou konstrukce bonus-malus systémů na základě „bezpaměťových“ Markovských řetězců nejvhodnější. Je možné, že vhodnější by mohly být třeba systémy, které za každou pojistnou událost snižují budoucí rychlost přesunu na stupně vyšší, nebo třeba systémy, které při určitém počtu pojistných událostí postupu na nejvyšší stupně zcela zamezují.

49

Seznam zdrojů BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. Praha: Grada Publishing, a.s., 2010. ISBN 978-80-247-3243-5. CIPRA, Tomáš. Pojistná matematika: Teorie a praxe. Praha: EKOPRESS, s.r.o., 1999. ISBN 80-86119-17-3. ČEJKOVÁ, Viktória a Svatopluk NEČAS. Pojišťovnictví. Brno: Masarykova univerzita, 2006, ISBN 8021039906. DAŇHEL, Jaroslav, Eva DUCHÁČKOVÁ, Ondřej POUL, Petr SOSÍK, František STACH a VINŠ. Pojistná teorie. Professional Publishing, 2006. ISBN 80-86946-00-2. DENUIT, Michel, Xavier MARÉCHAL, Sandra PITREBOIS a Jean-François WALHIN. Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus systems. Chichester, England: John Wiley & Sons Ltd, 2007. ISBN 978-0-470-02677-9. KAAS, Rob, Marc GOOVAERTS, Jan DHAENE a Michel DENUIT. Modern Actuarial Risk Theory. USA: Kluwer Academic Publishers, 2002. ISBN 0-306-47603-7. zákon č. 168/1999 Sb. o pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla

Internetové zdroje Allianz autopojištění. Pojistné podmínky [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.allianz.cz/download.php?FNAME=1348472952.upl&ANAME=Autopoji %C5%A1t%C4%9Bn%C3%AD_VPP+ZPP_n%C3%A1hled.pdf Česká asociace pojišťoven. Výroční zprávy 2009, 2010 a 2011 [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.cap.cz/ItemF.aspx?list=DOKUMENTY_01&view=pro+web+V %C3%BDro%C4%8Dn%C3%AD+zpr%C3%A1vy Česká kancelář pojistitelů. Počet pojištěných vozidel v databázi ČKP. [online]. [cit. 2013-0501]. Dostupné z: http://www.ckp.cz/tisk/statistiky_a_informace.php?id=5 Česká podnikatelská pojišťovna. Pojistné podmínky Autopojištění Combi Plus II [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.cpp.cz/User_data/Media/Original/CPP/201206/pp-acp1_12.pdf Česká pojišťovna. Sdružené pojištění vozidla [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.ceskapojistovna.cz/documents/10262/50017/vpp-sdruzene-pojisteni-vozidla1011.pdf ČSOB Pojišťovna. NAŠE AUTO pojistné podmínky [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.csobpoj.cz/cs/produkty/pojisteni-vozidel/Documents/VPP%20NASE%20AUTO %202011.pdf

50

ČSOB Pojišťovna. Nehody v 1. polovině roku 2012 [online]. [cit. 2013-01-07]. Dostupné z: http://www.csobpoj.cz/cs/o-spolecnosti/pro-media/tiskove-zpravy/Stranky/Nehody-v-1polovine-roku-2012.aspx ČSOB Pojišťovna. V roce 2011 nejčastěji způsobovali nehody opět řidiči z metropolí – z Prahy, Ostravy a Brna [online]. [cit. 2013-01-07]. Dostupné z: http://www.csobpoj.cz/cs/ospolecnosti/pro-media/tiskove-zpravy/Stranky/V-roce-2011-nejcasteji-zpusobovali-nehodyopet-ridici-z-metropoli-z-Prahy-Ostravy-a-Brna.aspx Finance.cz. Kolik zaplatíte za povinné ručení? [online]. [cit. 2013-01-14]. Dostupné z: http://www.finance.cz/pojisteni/automobil/povinne-ruceni/cena/ Finance.cz. Výše pojistného na havarijní pojištění [online]. [cit. 2013-01-14]. Dostupné z: http://www.finance.cz/pojisteni/automobil/havarijni-pojisteni/pojistne/ Kooperativa. Povinné ručení NA100PRO [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.koop.cz/nase-produkty/pojisteni-vozidel/povinne-ruceni-na100pro/

51

Seznam tabulek a grafů Tabulka 1: Bonus-malus stupnice ČSOB Pojišťovny, a.s. Tabulka 2: Bonus-malus stupnice České pojišťovny Tabulka 3: Charakteristika bonus-malus stupnice České pojišťovny Tabulka 4: Výše pojistného a efektivita bonus-malus systému České pojišťovny Tabulka 5: Bonus-malus stupnice pojišťovny Kooperativa Tabulka 6: Charakteristika bonus-malus stupnice pojišťovny Kooperativa Tabulka 7: Výše pojistného a efektivita bonus-malus systému pojišťovny Kooperativa Tabulka 8: Bonus-malus stupnice České podnikatelské pojišťovny Tabulka 9: Charakteristika bonus-malus stupnice České podnikatelské pojišťovny Tabulka 10: Výše pojistného a efektivita bonus-malus systému České podnikatelské p. Tabulka 11: Bonus-malus stupnice pojišťovny Allianz Tabulka 12: Charakteristika bonus-malus stupnice pojišťovny Allianz Tabulka 13: Výše pojistného a efektivita bonus-malus systému pojišťovny Allianz Tabulka 14: Charakteristika bonus-malus stupnice mého návrhu Tabulka 15: Bonus-malus stupnice dle mého návrhu Tabulka 16: Výše pojistného a efektivita bonus-malus systému mého návrhu Graf 1: Závislost efektivity bonus-malus systémů a frekvence nehodovosti Graf 2: Závislost výše vybraného pojistného a frekvence nehodovosti Graf 3: Závislost efektivity bonus-malus systémů (a mého návrhu) a frekvence nehodovosti Graf 4: Závislost výše vybraného pojistného a frekvence nehodovosti (i u mého návrhu)

52

Seznam příloh Příloha č. 1: Počet přihlášených vozidel u povinného ručení k jednotlivým pojišťovnám Příloha č. 2: Stabilizovaná rozložení České pojišťovny Příloha č. 3: Stabilizovaná rozložení České p. p. a Kooperativy Příloha č. 4: Stabilizovaná rozložení Allianz Příloha č. 5: Stabilizovaná rozložení mého návrhu

53

Příloha č. 1: Počet přihlášených vozidel u povinného ručení k jednotlivým pojišťovnám Pojistitel zpracováno: AIG pojišťovna dříve Chartis europe

Allianz pojišťovna AXA pojišťovna Česká podnik. pojišťovna Česká pojišťovna ČSOB pojišťovna Direct pojišťovna Generali pojišťovna Hasičská vzáj. pojišťovna Kooperativa pojišťovna Slavia pojišťovna Triglav pojišťovna Uniqa pojišťovna Wüstenrot pojišťovna CELKEM

Počet vozidel ke dni 30.6.2012 2.7.2012

Počet vozidel ke dni 31.12.2012 3.1.2013

2 776

2 702

711 214 72 848

694 987 143 782

1 066 455

1 057 326

1 771 002 503 462 68 811 511 526

1 750 855 519 334 44 284 490 471

32 862

33 507

1 442 655 125 966 176 778 273 022 93 220 6 852 597

1 427 731 137 692 186 918 284 549 99 897 6 874 035

Pramen: Počet pojištěných vozidel v databázi ČKP. Česká kancelář pojistitelů [online]. [cit. 2013-05-01]. Dostupné z: http://www.ckp.cz/tisk/statistiky_a_informace.php?id=5

Příloha č. 2: Stabilizovaná rozložení České pojišťovny (λ = 0,02....0,05....0,08....0,11)32

32 Hodnoty menší než 0,0001 byly v tomto i dalších případech zaokrouhleny na 0.

Příloha č. 3: Stabilizovaná rozložení České p. p. a Kooperativy(λ = 0,02....0,05....0,08....0,11)

Příloha č. 4: Stabilizovaná rozložení Allianz (λ = 0,02....0,05....0,08....0,11)

Příloha č. 5: Stabilizovaná rozložení mého návrhu (λ = 0,02....0,05....0,08....0,11)

BONUS-MALUS SYSTÉM V POJIŠTĚNÍ AUTOMOBILŮ

Recommend Documents