Blok 3 - Vaardigheden

Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel 2

Uitwerkingen

Blok 3 - Vaardigheden bladzijde 192 1a 12, 3 × 23000 = 282900 = 2, 83 ⋅ 10 5 b 0, 057 ⋅ 5000000 = 285000 = 2, 85 ⋅ 10 5 c 32500 × 17500 = 568750000 = 5, 69 ⋅ 10 8 d 0, 0002 × 0, 0075 = 0, 0000015 = 1, 5 ⋅ 10 −6 e 6344, 21 × 781, 98 = 4961045, 336 = 4, 96 ⋅ 10 6 f 2, 5 ⋅ 10 9 + 245 ⋅ 10 6 = 2745000000 = 2, 745 ⋅ 10 9 g 0, 003 : 45075 = 6, 66 ⋅ 10 −8 h 0, 00007 ⋅ 0, 098 = 6, 86 ⋅ 10 −6

2a H = 2, 34 ⋅ m1,17 ⇒ H = 2, 34 ⋅ 3, 251,17 ≈ 9, 292

b H = 2, 34 ⋅ m1,17 ⇒ 2, 5 = 2, 34 ⋅ m1,17 ⇒ m1,17 =

1

 2, 5  1,17 2, 5 ≈ 1, 058 ⇒m=  2, 34  2, 34 1

7 ⇒ m =  7  1,17 ≈ 2, 55 De grafiek van H is stijgend  2, 34  2, 34 dus H < 7 geldt voor m = 1 en m = 2 . d Nee de grafiek heeft geen asymptoot. c 2, 34 ⋅ m1,17 = 7 ⇒ m1,17 =

3a 2(a − 3) + 5(a + 31) = 2 a − 6 + 5a + 155 = 7a + 149 b 7 m(3m − 5) = 21m2 − 35 m c 2 k − 3k + 7(2 k + 3) = 2 k − 3k + 14 k + 21 = 13k + 21 d 7(2 p − 5) − p(0, 5 p + 6) = 14 p − 35 − 0, 5 p2 − 6 p = −0, 5 p2 + 8 p − 35 e 7k + k(3k + 52) = 7k + 3k 2 + 52 k = 3k 2 + 59 k 8 m(2 m + 9) f = 8(2 m + 9) = 16 m + 72 voor m ≠ 0 m

4a 5

248

250

Inhoud is N(250, 5), dus: TI: P( I < 248) = Normalcdf(–E99, 248, 250, 5) ≈ 0,3446 Casio: Ncd: Lower = –EXP99; Upper = 248; σ = 5 ; µ = 250 geeft P(I < 248) ≈ 0,3446 Dus 34,5% van de flesen bevat minder dan 248 ml. b 5

244

250

255

TI: P( 244< I <255) = Normalcdf (244, 255, 250, 5) ≈ 0,7263 Casio: Ncd: Lower = 244; Upper = 255; σ = 5 ; µ = 250 geeft P( 244< I <255) ≈ 0,7263 Dus 72,6% van de flessen bevat tussen de 244 en 255 ml.

© Noordhoff Uitgevers bv

0pm_MW9_HAVOBB_WiskA_2-Uitw.indd 125

⁄ 125 24-04-2008 09:33:26

Blok 3 - Vaardigheden


Uitwerkingen

c 5

250

d

254

TI: P(I > 254) = Normaldcf(254, E99, 250, 5) = 0,2119 Casio: Ncd: Lower = 254; Upper = EXP99; σ = 5 ; µ = 250 geeft P(I > 254) ≈ 0,2119 Dus in 21,2% van de flessen zit meer dan 254 ml.

5

10% g

250

P( I < g ) = 0,10. TI: Invnorm(0,10 ; 250 ; 5) = 243,6. Casio: Stat-Dist – Norm – InvN – Area = 0,10; σ = 5 ; µ = 250 geeft 243,6 Dus in de 10% flessen met de minste inhoud zit minder dan 243,6 ml.

5a Er zijn 11 spelers, deze kunnen op 11! = 39 916 800 volgorden staan .  10  b Met 5 keer kop en 5 keer munt zijn er   = 252 mogelijke rijtjes.  5

c Met een 2, een 3 en een 4 kun je 3! = 6 verschillende getallen maken.  30 d Zij kunnen op   = 86 493225 manieren in de klas gaan zitten.  12  6a Voer in: Y1 = 2, 78 + 2 / ( X − 9, 3) en Y2 = 12. Kies Window X min = 7 ; X max = 15 en Ymin = 0 en Ymax = 24 (want je snijdt met de lijn y = 12), plot beide grafieken. Met de functie Calc- intersect (snijden) (TI-84) of G-Solv-ISCT (Casio) vind je de coördinaten van het snijpunt. De x-coördinaat is de oplossing van de vergelijking. De oplossing is: n = 9, 52 b Voer in: Y1 = 7, 28 * 2 ^ X en Y2 = 0, 36 . Kies Window X min = −5 ; X max = 5 en Ymin = 0 en Ymax = 1 (want je snijdt met de lijn y = 0,36), plot beide grafieken. Met de functie Calc- intersect (snijden) (TI-84) of G-Solv-ISCT (Casio) vind je de coördinaten van het snijpunt. De x-coördinaat is de oplossing van de vergelijking. De oplossing is: m = −4, 34 c Voer in: Y1 = 3, 025 X + 7, 45 en Y2 = −0, 235 X + 1, 03 . Kies Window X min = −10 ; X max = 10 en Ymin = −10 en Ymax = 10 , plot beide grafieken. Met de functie Calc- intersect (snijden) (TI-84) of G-Solv-ISCT (Casio) vind je de x-coördinaat, de oplossing van de vergelijking. De oplossing is: y = −1, 97 d Voer in: Y1 = 1 / (2 X − 8) + 2, 5 en Y2 = 1, 5 . Kies Window X min = −5 ; X max = 5 en Ymin = 0 en Ymax = 1 (want je snijdt met de lijn y = 0,36), plot beide

⁄ 126



24-04-2008 09:33:26


Uitwerkingen


grafieken. Met de functie Calc- intersect (snijden) (TI-84) of G-Solv-ISCT (Casio) vind je de x-coördinaat, de oplossing van de vergelijking. De oplossing is: m = −4, 34

bladzijde 193

7a

Instellingen: X min = −5 ; X max = 5 en Ymin = −5 en Ymax = 10 Je ziet aan het functievoorschrift en aan de plot dat er een verticale asymptoot is als 3t − 5 = 0 ⇒ 3t = 5 ⇒ t = 53 = 1 23 b Plot ook de grafiek van de functie Y2 = 4

Het snijpunt vind je voor t = 1, 99 De oplossing van de ongelijkheid S > 4 wordt dan: 1 23 < t < 1, 99 . c Ja, zoals je bij opdracht a al zag is t = 1 23 verticale asymptoot.

8a Je moet berekenen P(G < 4,05) voor een normale verdeling met gemiddelde 4,03 kg en standaardafwijking 0,09 kg. 0,09

4,03 4,05

TI: P(G < 4,05) = Normalcdf(–E99, 4,05, 4,03, 0,09) ≈ 0,5879. Casio: Ncd: Lower = –EXP99; Upper = 4,05; σ = 0, 09 ; µ = 4, 03 geeft P(G < 4,05) ≈ 0,5879. Dus 58,8% van de pakken heeft een gewicht van minder dan 4,05 kg.



⁄ 127 24-04-2008 09:33:26



Uitwerkingen

b 0,09

4,03

c

4,20

TI: P(G > 4,20) = Normalcdf(4,20, E99, 4,05, 0,09) ≈ 0,0295 Casio: Ncd: Lower = 4,20; Upper = EXP99; σ = 0, 09 ; µ = 4, 03 geeft P( G > 4,20) ≈ 0,0295 Dus het percentage pakken met een gewicht van meer dan 4,20 kg is 2,95%.

0,09

4,03

4,13

TI: P( 4,03< G < 4,13) = Normalcdf (4,03, 4,13, 4,03, 0,09) ≈ 0,3667 Casio: Ncd: Lower = 4,03; Upper = 4,13; σ = 0, 09 ; µ = 4, 03 geeft P( 4,03 < G < 4,13) ≈ 0,3667 Dus 36,7% van de pakken heeft een gewicht tussen 4,03 kg en 4,13 kg. d Op de verpakking staat 4 kg. Te weinig waspoeder betekent dus minder dan 4 kg.

0,09

44,03

TI: P( G < 4) = Normalcdf (–E99, 4, 4,03, 0,09) ≈ 0,3694 Casio: Ncd: Lower = EXP99; Upper = 4; σ = 0, 09 ; µ = 4, 03 geeft P( G < 4) ≈ 0,3694 Dus in 36,9% van de pakken zit te weinig waspoeder.

9a De formule wordt dan: K met = 49 + 12 r . b De instelling zijn: X min = 0 , X max = 60 , Ymin = 0 , Ymax = 1000

c Plot ook de grafiek van de kosten zonder kortingskaart, deze zijn K zonder = 20 r . Met de rekenmachine bepaal je het snijpunt van beide grafieken, dit wordt r = 6, 125 . Dus vanaf 7 retourtjes is de kortingskaart voordeliger. d De formule voor de kosten met kortingskaart wordt: K met = 49 + 12 r − 25 = 24 + 12 r . Weer snijden met K zonder = 20 r geeft r = 3 . Dus nu is het al vanaf 3 retourtjes voordeliger.

⁄ 128



24-04-2008 09:33:26


Uitwerkingen


10a Een afname tot 30% in 24 uur, geeft een groeifactor 0,30 per 24 uur. 1 De groeifactor per uur is dan 0, 30 24 ≈ 0, 951 . b De groeifactor per uur is 0,951, dus er verdwijnt per uur 4,9% van het medicijn. c Opgelost moet worden 0, 951t = 0, 5 met t in uren. Voer beide formules in op de rekenmachine en bepaal de oplossing. Je vindt t = 13,796. Dus na 13 uur en 0, 796 ⋅ 60 ≈ 48 minuten is de hoeveelheid gehalveerd.



⁄ 129 24-04-2008 09:33:26


Uitwerkingen

Blok 3 - Door elkaar bladzijde 194

1a Het aantal bacteriën neemt exponentieel, dus erg snel, toe en zo kun je erg grote, maar ook erg kleine aantallen in één figuur weergeven. b Op t = 0 zijn er 100 bacteriën, op t = 8 zijn er 1 000 000. De groeifactor per 8 uur is

1000 000 = 10 000 = 10 4 . 100 1 c De groeifactor per 8 uur is 10 000, dus is de groeifactor per uur 10 000 8 ≈ 3, 16. d De horizontale coördinaat van A is 3. De verticale coördinaat is een macht van 10 , namelijk 10 3,5 . Dus A (3, 10 3,5 ) of A (3, 3162) .

dus

2a Voor elke positie in het getal gooit hij met een dobbelsteen. Voor elke positie zijn er dus steeds 6 mogelijkheden. Hij kan dus 6 5 = 7776 verschillende getallen maken. b Wanneer alle cijfers verschillend zijn, dan zijn er 6 × 5 × 4 × 3 = 360 getallen mogelijk. c Met alleen enen of zessen op elke plaats, heb je dus voor elke plaats 2 mogelijkheden. Totaal zijn er dan 2 7 = 128 mogelijkheden.  7  7 d Wanneer je drie enen en vier vijven gooit krijg je   =   = 35 verschillende  3  4  getallen. e De ene vijf kan op zeven plaatsen staan.  6 De twee vieren kunnen nu op   = 15 verschillende manieren op de zes nog open  2

plaatsen gezet worden. De resterende zessen kunnen nog maar op één manier op de open plaatsen. Totaal kun je 7 × 15 × 1 = 105 getallen vormen.

bladzijde 195

3a Stel dat de vaste medewerkers elk a adressen krijgen. De studenten krijgen er dan elk a − 30 . Er moet gelden: 4 a + 16(a − 30) = 1400 ⇒ 4 a + 16 a − 480 = 1400 ⇒ 20 a − 480 = 1400 ⇒ 20 a = 1880 ⇒ a = 94 . De vaste medewerkers krijgen dus elk 94 adressen en de studenten elk 64. b P (alle vijf adressen bij studenten) = P (s, s, s, s, s)= 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ≈ 0, 2817 20 19 18 17 16 c P (pas bij derde bezoek iemand thuis) = P (niet thuis, niet thuis, thuis) = 0, 10 ⋅ 0, 20 ⋅ 0, 40 = 0, 008 d 90% van de 1400 krijgt één bezoek, dus 1260 adressen Van de overige 140 krijgt 80% twee bezoeken, dus 112 adressen. De laatste 28 adressen krijgen nog een derde bezoek. In totaal worden er dus 1 × 1260 + 2 × 112 + 3 × 28 = 1568 bezoeken afgelegd.

⁄ 130



24-04-2008 09:33:26


Uitwerkingen

Blok 3 - ICT Optimaliseren bladzijde 196 1a In cel B2 staat de formule 1000 + 270 ∗ A2 − 0, 036 ∗ (( A2)^ 3) Blijkbaar staat in cel A2 het aantal te maken mp3-spelers en dan staat in cel B2 de totale kosten voor dat aantal. b Typ in de cellen A17 t/m A21 de getallen 16 t/m 20 in. In cel B21 staat dan dat de productie van 20 mp3-spelers 6112 euro kost. c In cel C3 verschijnt het getal 269,748. Dit getal betekent dat de extra kosten wanneer de productie toeneemt van 2 naar 3 mp3-spelers 269,75 euro zijn. d Breidt het werkblad uit tot en met 31 en kopieer de formule uit C3 naar beneden. In cel C31 staan de extra kosten als de productie toeneemt van 30 naar 31. Dit is 169,52 euro. 2a Neem een nieuw werkblad en vul in cel A1: Aantal verkocht cel B1: Opbrengst , cel C1 Extra opbrengst. Vul in cel A2 het getal 1 in. Maak de volgende formules: In cel A3: =A2+1 en kopieer naar onder tot en met cel A21 bijvoorbeeld. In cel B2: =48*A2-0,006*((A2)^2) en kopieer naar onder tot en met cel B21 In cel C3: =B3–B2 en kopieer naar onder tot en met cel C21 b Om de opbrengst bij 2000 stuks te vinden, verander je cel A1 in 2000. De telling gaat dan lopen vanaf 2000, 2001 enz. Je ziet dat de opbrengst bij 2000 verkochte artikelen inderdaad 72000 euro is. c De extra opbrengst bij een toename van 2000 naar 2001 staat in cel C3, namelijk 23, 994 euro. d Verander cel A1 in 1900 en je ziet dat vanaf 1917 stuks de extra opbrengst kleiner is dan 25. 3a In één maand 500 stoelen verkocht. Dan geldt: TK = 0, 16 ⋅ 500 2 + 100 000 = 140 000 euro. TO = 1250 ⋅ 500 − 0, 25 ⋅ 500 2 = 562 500 euro. De winst bereken je met TW = TO − TK = 562 500 − 140 000 = 422 500 euro. b De grafiek van TK is bij q = 500 minder steil als de grafiek van TO, en dat betekent dat de marginale kosten kleiner zijn dan de marginale opbrengst. c Omdat de marginale kosten kleiner zijn dan de marginale opbrengst, is de winst dus nog aan het toenemen en dus kun je beter meer stoelen proberen te verkopen. d In één maand 2000 stoelen verkocht. Dan geldt: TK = 0, 16 ⋅ 2000 2 + 100 000 = 740 000 euro. TO = 1250 ⋅ 2000 − 0, 25 ⋅ 2000 2 = 1500 000 euro. De winst is dan TO − TW = 1500 000 − 740 000 = 760 000 euro. De winst is dus groter.

bladzijde 197

4a In kolom A staat het aantal. De kolom kosten wordt gemaakt met de formule in cel B2: = 0, 16 ∗ A2 ^ 2 + 100000 , dus de formule van de totale kosten. In kolom C staat de opbrengst met in cel C2 de formule voor de totale opbrengst: = 1250 ∗ A2 − 0, 25 ∗ A2 ^ 2 .



⁄ 131 24-04-2008 09:33:26

Blok 3 - ICT Optimaliseren


Uitwerkingen

De formule voor de Winst in cel D2: =C2-B2 In cel E3 de marginale kosten: =B3–B2 In cel F3 de marginale opbrengst: = C3–C2 Alles naar beneden gekopieerd. b Tussen 1400 en 1600 is de marginale opbrengst al aan het dalen, dus op dit stuk moet de winst maximaal zijn. c De winst is maximaal tussen 1510 en 1530 verkochte stoelen. d Door het werkblad uit te breiden in stapjes van één vanaf 1510 zie je dat de winst maximaal is bij een aantal van 1524 of 1525 stoelen. e De marginale opbrengst bij 1524 stoelen en de marginale kosten bij 1524 stoelen zijn ongeveer gelijk. Daarvoor waren de marginale kosten kleiner dan de marginale opbrengst, er kwam dus winst bij, daarna zijn de marginale kosten groter dan de marginale opbrengst, de winst daalt dus. 5 Voor de winst geldt: TW = TO − TK = 1000q 0 ,5 − 0, 01q 2 . Met de rekenmachine kun je hiervan het maximum bepalen. De maximale winst is 21 930 euro bij een productie van 855 stuks.

6a De kosten voor de machine zijn vast. Het maakt dus niet uit of je 100 of 101 heipalen verwerkt, de kosten veranderen daardoor niet. b Bij 100 heipalen zijn de gemiddelde kosten per heipaal 3000 = 30 euro. 100 Bij 200 heipalen zijn de gemiddelde kosten per heipaal 3000 = 15 euro. 200 c a 1 50 100 150 200 GK

3000

60

30

20

15

GK in euro’s

3000 2500 2000 1500 1000 500 0

0

50

100

150 200 aantal

d De formule is GK = 3000 a bladzijde 198

7a Een formule voor de gemiddelde kosten is : 3 2 TK = 0, 002q − 0, 15q + 4q + 63 = 0, 002q 2 − 0, 15q + 4 + 63 GK = q q q 63 2 Voor q = 23 ⇒ GK = 0, 002 ⋅ 23 − 0, 15 ⋅ 23 + 4 + ≈ 4, 35 euro. 23 b De lijn gaat door (0, 0) en (23,TK(23) ) = (23 ; 99,984). 99, 984 ≈ 4, 35 23 Dus zijn de gemiddelde kosten bij een productie van 23 artikelen gelijk aan de helling van de lijn door O en het punt voor q = 23.

De helling van deze lijn is

⁄ 132



24-04-2008 09:33:27


Uitwerkingen

Blok 3 - ICT Optimaliseren

c De lijn moet dus gaan door het punt bij q = 30. Je vindt een helling van ongeveer 3,4. De gemiddelde kosten bij een productie van 30 artikelen zijn dus 3,40 euro. d De lijn die hoort bij q = 20 is steiler dan de lijn die hoort bij q = 50, dus zijn de gemiddelde kosten bij q = 20 groter dan die bij q = 50. e De gemiddelde kosten zijn het kleinst als de lijn zo vlak mogelijk ligt en nog net de grafiek raakt. Dit is het geval voor q ≈ 45. De gemiddelde kosten zijn dan ongeveer 2,70 euro. 8a Druk op de startbutton en ga door tot ∆q = 3 . Je ziet dan dat ∆TO = 5, 1 . De opbrengst neemt dus toe met 5100 euro. b Dit is niet de marginale opbrengst omdat het niet de toename van de opbrengst betreft bij een productietoename van één, maar de gemiddelde toename op het interval van 40 miljoen, naar 41 miljoen. c De helling van de lijn wordt 2. De marginale opbrengst voor q = 40 is dus 0,002 euro. d De marginale opbrengst voor q = 50 is 0 e De opbrengst is het hoogst als q = 50 . De marginale opbrengst is dan 0.

9b Bij q = 25 zie je dat de grafiek van TO boven de grafiek van TK ligt. Er wordt dus winst gemaakt. c Bereken de snijpunten van beide grafieken. Je vindt q = 20 en q = 60 . Er wordt dus geen winst of verlies gemaakt bij 20 miljoen of minder verkochte ritten en bij 60 miljoen of meer verkochte ritten. d MK = MO wanneer de raaklijnen aan beide grafieken dezelfde helling hebben. De afstand tussen beide grafieken is dan maximaal, dus de winst is maximaal. Dit is het geval als q = 40 , dus bij 40 miljoen ritten. e TW = TO − TK = (−0, 1q 2 + 10q) − (0, 025q 2 + 150) = −0, 1q 2 + 10q − 0, 025q 2 − 150 = −0, 125q 2 + 10q − 150 f Invoeren van TW in de rekenmachine geeft een maximale winst van 50 miljoen bij 40 miljoen ritten.



⁄ 133 24-04-2008 09:33:27

Blok 3 - Vaardigheden

Recommend Documents