Bijlage 3 Gereedschapskist Meetkunde Eerste graad A-stroom

Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde / 2

Bijlage 3

Bijlage p.

43

Gereedschapskist Meetkunde Eerste graad A-stroom

Hoe kunnen we bewijzen dat de maatgetallen van 2 hoeken even groot zijn? (H)

Als we bijv. kunnen aantonen dat: ze hetzelfde complement (supplement) hebben het overstaande hoeken zijn de benen van de ene hoek evenwijdig zijn met of loodrecht staan op de benen van de andere hoek én ze beiden scherp (of stomp) zijn ze hetzelfde maatgetal hebben (na berekening bijvoorbeeld) het twee overeenkomstige hoeken, verwisselende binnenhoeken, verwisselende buitenhoeken, … zijn bij evenwijdige rechten gesneden door een snijlijn het basishoeken zijn van een gelijkbenige driehoek het hoeken zijn die gevormd worden door de bissectrice van een hoek ze allebei rechte hoeken zijn het overeenkomstige hoeken zijn van congruente driehoeken het basishoeken zijn van een gelijkbenig trapezium het overstaande hoeken zijn van een parallellogram (dus ook van rechthoek, ruit, vierkant) de ene hoek het beeld is van de andere door een verschuiving, een spiegeling, een draaiing, een puntspiegeling

Hoe kunnen we bewijzen dat 2 rechten evenwijdig zijn? (ER)

Door bijv. aan te tonen dat de ene rechte het beeld is van de andere door een verschuiving, een puntspiegeling beide rechten elk evenwijdig zijn met een gegeven andere rechte eenzelfde rechte loodrecht staat op beide rechten het twee rechten zijn die gesneden worden door een snijlijn en als zich daarbij één van de volgende gevallen voordoet: o

2 overeenkomstige hoeken gelijk zijn

o

2 verwisselende binnenhoeken gelijk zijn

o

2 verwisselende buitenhoeken gelijk zijn

o

2 binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement zijn

o

2 buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement zijn

beide rechten de middelloodlijnen zijn van 2 lijnstukken gelegen op evenwijdige rechten de rechten dragers zijn van overstaande zijden van een parallellogram (rechthoek, ruit, vierkant).

Bijlage p.

44


Hoe kunnen we de gelijkheid van (het maatgetal van) de lengte van 2 lijnstukken bewijzen? (L)

Door bijv. aan te tonen dat het ene lijnstuk het beeld is van het andere door een spiegeling, puntspiegeling, draaiing of verschuiving de lijnstukken de gelijke benen zijn van een gelijkbenige driehoek de lijnstukken zijden zijn van een gelijkzijdige driehoek beide lijnstukken de helften zijn van een gegeven lijnstuk beide lijnstukken een gemeenschappelijk eindpunt hebben op de middelloodlijn van een derde lijnstuk (de andere eindpunten zijn deze van het derde lijnstuk) beide lijnstukken een gemeenschappelijk eindpunt hebben op de bissectrice van een hoek (de andere eindpunten zijn de voetpunten van de loodlijnen op de benen van de hoek) de lijnstukken overeenkomstige zijden zijn van 2 congruente driehoeken de lijnstukken de opstaande zijden zijn van een gelijkbenig trapezium de lijnstukken de overstaande zijden zijn van een parallellogram de lijnstukken 2 zijden zijn van een ruit of een vierkant de lijnstukken de diagonalen zijn van een rechthoek de lijnstukken zijden zijn van een regelmatige veelhoek

Hoe kunnen we bewijzen dat een punt het midden is van een lijnstuk? (Mi)

Door bijv. aan te tonen dat het punt even ver ligt van de eindpunten van het lijnstuk en dat het punt ligt op dat lijnstuk het lijnstuk een diagonaal is van een parallellogram en dat het punt samenvalt met het snijpunt van de diagonalen het punt het centrum is van een puntspiegeling waarbij de uiteinden van het lijnstuk elkaars beeld zijn het punt het voetpunt is van de hoogtelijn uit de top in een gelijkbenige driehoek het punt het snijpunt is van een zijde en de overeenkomstige zwaartelijn in een driehoek

Door bijv. gebruik te maken van eigenschap van een verschuiving, een puntspiegeling, een spiegeling en een draaiing (behoud van het midden)

Hoe kunnen we bewijzen dat 2 rechten loodrecht op elkaar staan? (Lo)

Door bijv. aan te tonen dat de rechten het beeld zijn van 2 loodrechte rechten door een verschuiving, een puntspiegeling, een spiegeling, een draaiing de ene rechte het beeld is van de andere door een draaiing over een rechte hoek de ene rechte de middelloodlijn is van een lijnstuk gelegen op de andere rechte de ene rechte hoogtelijn is van een driehoek met betrekking tot de zijde gedragen door de andere rechte


Bijlage p.

45

Door bijv. berekeningen uit te voeren maatgetallen van hoeken te berekenen

Door bijv. gebruik te maken van een kenmerk van spiegelingen (spiegelas en drager van het lijnstuk dat punt en beeldpunt verbindt staan loodrecht op elkaar)

Hoe kunnen we aantonen dat een vierhoek een parallellogram is? (Pa)

Door bijv. aan te tonen dat de overstaande zijden evenwijdig zijn (definitie) de overstaande zijden gelijk zijn (kenmerk) de overstaande hoeken gelijk zijn (kenmerk) de diagonalen elkaar middendoor delen (kenmerk) twee overstaande zijden gelijk zijn én evenwijdig (kenmerk) ...

Hoe kunnen we aantonen dat een parallellogram een rechthoek is?

Door bijv. aan te tonen dat één van de hoeken recht is de diagonalen gelijk zijn twee opeenvolgende hoeken gelijk zijn …

Hoe kunnen we aantonen dat een parallellogram een ruit is?

door bijv. aan te tonen dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan twee opeenvolgende zijden gelijk zijn ...

Hoe kunnen we aantonen dat een parallellogram een vierkant is?

door bijv. aan te tonen dat twee opeenvolgende hoeken en twee opeenvolgende zijden gelijk zijn

Bijlage p.

46


.Bijlage 4 Meet- en tekenopdrachten

Hier worden een aantal opdrachten samengebracht ter inspiratie voor opdrachten waarbij meet- en tekenvaardigheden gekoppeld worden aan de meetkundige kennis van vlakke figuren en hun eigenschappen. Een aantal oefeningen komen ook in aanmerking als differentiatiemateriaal. 1)

Jan heeft de hoogtelijn AH getekend in driehoek ABC en daarna de hoogtelijn KE in driehoek BEC.

Piet bekijkt de tekening en er komt een gesprek: Jan: De rechten AH en KE snijden niet. Piet :

Toch wel, niet op je blad maar ergens ver weg zullen ze toch snijden.

Jan:

Toch niet, ik ben er zeker van dat ze elkaar niet snijden. … …

Piet: Je hebt inderdaad gelijk. Wat heeft Jan gezegd om Piet te overtuigen?

Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde / 2 2)

Bijlage p.

47

Mijn portret: ik ben driehoek ABC mijn zijden [AB] en [AC] meten 4 cm mijn hoekpunt B ligt op de cirkel met de kleinste straal mijn hoekpunt C ligt op de cirkel met de grootste straal mijn omtrek ligt tussen 13 cm en 14 cm. Teken mij!

3)

ABCD is een ruit waarvan de hoekpunten C en D buiten het blad vallen. a. Bepaal de omtrek van deze ruit. b. Teken de delen van de diagonalen die op het blad kunnen. Verklaar je werkwijze. c. Bepaal de lengte van de diagonalen. (Je mag niets tekenen buiten de rand ! )

Bijlage p.

48


4)

Teken de figuur na en bereken de lengte van dit versiersel aan een ijzeren hekken.

5)

Gebruik enkel een lat (niet meten!) om de rechthoek EFGH te tekenen waarvan de hoekpunten G en H ook op de cirkel liggen.


Bijlage p.

49

6)

Het hoekpunt van driehoek ABC ligt buiten de rand van het blad. Je weet dat de oppervlakte van de driehoek gelijk is aan 40 cm². Bereken de lengte van de zijde [AC].

7)

De oppervlakte van driehoek ABC is gelijk aan 3 cm². Bepaal de oppervlakte van driehoek A’B’C’ (zonder te meten). (de stippellijn is een hulplijn)

Bijlage p.

50


8)

Bepaal de grootte van de hoek O (benen x en y) zonder de benen te verlengen buiten het blad (verticale lijn = rand van het blad)

9)

ABCD en EFGC zijn 2 vierkanten. Teken driehoek ACF. Welk soort driehoek is dit? Verklaar.

10) Teken hoekpunt C van driehoek ABC als de rechte d de bissectrice is van hoek BAC en de hoogtelijn uit A. Welk soort driehoek is driehoek ABC? Waarom?

11) Teken een punt C zodat de driehoeken RIC en RAC dezelfde oppervlakte hebben. Noteer je werkwijze.


Bijlage p.

51

Bijlage 5 Waarom constructies met passer en liniaal?

Artikel uit Uitwiskeling, december 1994 van Hilde Van Buggenhout Het gebeurt wel eens dat mijn studenten tijdens hun stage een les moeten geven in verband met middelloodlijnen, hoogtelijnen, bissectrices, regelmatige veelhoeken, enz. Bijna altijd krijg ik dan de vraag of ze deze lijnen of veelhoeken moeten laten tekenen met passer en liniaal of dat ze gewoon dat "handige instrument", de geodriehoek, mogen gebruiken. Ik doe dan altijd twee dingen. Ten eerste geef ik hen het advies dit te vragen aan de stagementor omdat het antwoord vaak afhangt van de context waarin deze onderwerpen behandeld worden. Ten tweede vraag ik hen waarom zij het met passer en liniaal zouden doen. Het antwoord dat ik van mijn studenten op die laatste vraag bijna altijd krijg, is dat deze constructies veel nauwkeuriger zijn. (Dat is trouwens ook dikwijls de reden die de mentor opgeeft.) Dit is zeker niet altijd waar. Een regelmatige zeshoek zal ik altijd met passer en liniaal tekenen maar bij een regelmatige vijfhoek zal ik, naast de passer om een cirkel te tekenen, gauw mijn geodriehoek gebruiken om met de gradenboog die daar op staat middelpuntshoeken van 72° af te meten. Hetzelfde geldt voor middelloodlijnen, bissectrices, hoogtelijnen, enz. Een dik potloodpunt blijft een dik potloodpunt, of het nu hoort bij een passer of bij een potlood. Elk instrument heeft zijn fouten en de uitvoerder meestal ook. Volgens mij zijn er andere en betere redenen om deze constructies met passer en liniaal op het programma te zetten. De meetkunde die vandaag in het secundair onderwijs gegeven wordt, is voor een groot deel gebaseerd op de verwerking door Legendre (1752 - 1833) van de geschriften van de Griekse wiskundige Euclides (ca. 300 v.Chr.). Deze geschriften droegen de naam "Elementen" en bestonden uit dertien boeken. Ze vormden een georganiseerd geheel van wat toen over wiskunde in de Griekse wereld bekend was. De genialiteit van Euclides kwam tot uiting in zijn keuze van de axioma's, de klassering van de stellingen, sommige nieuwe bewijzen en de strengheid waarmee hij alle bewijzen opstelde. Belangrijk is ook dat hij nooit een constructie uitvoerde zonder aan te tonen dat deze constructie mogelijk was. Constructies waren essentieel in de gedachtewereld van Euclides en van alle grote denkers van zijn tijd. Laten we dit nader verklaren. Onze huidige Westerse cultuur en de hedendaagse visie op het wiskundig denken is voor een groot deel geïnspireerd door de beschaving van de Oude Grieken, die teruggaat tot 2800 v.Chr. en die haar grootste bloei kende tussen 600 v.Chr. en 600 n.Chr. De eerste periode tussen 600 en 300 v.Chr. (de Klassieke periode) begon met Thales; de tweede, tussen 300 v.Chr. en 600 n.Chr. (de Alexandrijnse periode), begon met Euclides en eindigde met Boëthius (475 - 524). In die tijd ontstonden er grote scholen, waarvan de leermeesters namen hadden die we nu nog kennen. De eerste van deze scholen was de Ionische, rond 640 v.Chr. in Milete, Klein-Azië, gesticht. Thales (ca. 600 v.Chr.) was er de belangrijkste leermeester van. Een leerling van Thales was Pythagoras (ca. 540 v.Chr.), die zijn eigen school stichtte in Crotona in Zuid- Italië. De pythagoreeërs waren de eersten die getallen en meetkundige figuren herkenden als abstracties, los van de werkelijkheid. Zij waren ook de eersten die een studie maakten van de constructie van een veelhoek met dezelfde oppervlakte als die van een andere gegeven veelhoek.

Bijlage p.

52


De filosoof Plato (430 - 349), leerling van de pythagoreeërs, zag ook de getallen en de meetkundige concepten als idealisering van fysische dingen. Vermits de idealiseringen, in tegenstelling tot de fysische objecten, niet aan veranderingen onderhevig waren, waren zij volgens hem de absolute waarheden. Vanuit deze manier van denken verdedigde hij de "deductie vanuit expliciete axioma's" als de enige manier van bewijzen in de wiskunde. Dit is trouwens de meest wezenlijke bijdrage van de Grieken tot de wiskunde geweest. Hij systematiseerde als eerste de regels van de rigoureuze bewijsvoering. Aristoteles (384 - 322), leerling en later collega van Plato, legde de eerste regels van de logica vast. Van die regels was de "wet van de uitgesloten derde" de voornaamste. Hij boog zich ook over het begrip "definitie" en kwam tot het besluit dat de definitie van een ding ons wel zegt wat dat ding is, maar niet dat het bestaat. Dingen definiëren die niet bestaan, was zinloos volgens hem. "Het bestaan" moest dus bewezen worden behalve voor de primitieve begrippen, zoals punt en lijnstuk, waarvan het bestaan axiomatisch aanvaard werd. De methode om dit te bewijzen was voor Aristoteles en Euclides de constructie van het gedefinieerde ding. Daarom waren constructies van zo'n groot belang. Waarom moesten ze dan met passer en liniaal gebeuren? Bewijzen, dus ook deze constructies, moesten, zoals we zagen bij Plato, vertrekken van primitieve begrippen en axioma's. Primitieve begrippen waren bij Euclides o.a. punt, lijnstuk, oppervlak, de cirkel met zijn middelpunt en straal en ook evenwijdige rechten. Als axioma's formuleerde hij: -

Het is mogelijk een lijnstuk te construeren tussen twee punten.

-

Het is mogelijk een lijnstuk langs beide kanten continu te verlengen tot een lijnstuk. (Euclides bekeek geen rechten die langs beide zijden oneindig doorlopen.)

-

Het is mogelijk een cirkel te construeren met gelijk welk punt als middelpunt en met een gegeven lengte als straal.

-

Alle rechte hoeken zijn gelijk aan elkaar.

-

Als een rechte A twee rechten B en C snijdt zodat de som van de binnenhoeken langs dezelfde kant van A kleiner is dan twee rechte hoeken, dan snijden B en C elkaar aan die kant van A. (Dit axioma is de oude vorm van wat wij nu "het axioma van Euclides" noemen of "het parallellenaxioma".)

Uit deze axioma's volgde dat alleen de constructie van lijnstukken en cirkels gegarandeerd was. Dus alle nieuwe dingen moest men kunnen construeren met behulp van lijnstukken en cirkels, dus met passer en liniaal, die de fysische equivalenten zijn van de cirkel en het lijnstuk. Om deze constructies te kunnen uitvoeren, moesten ze hun definities geven in functies van lijnstukken en cirkels of ze herformuleren. Een mooi voorbeeld hiervan, dat iedereen kent, is de middelloodlijn. De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte door het midden van het lijnstuk, loodrecht op het lijnstuk. (De meest voor de hand liggende definitie.) Herformulering: De middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van alle punten even ver gelegen van de randpunten van dat lijnstuk. (Gelijke afstanden kunnen met de passer bepaald worden.)


Bijlage p.

53

Drie grote constructieproblemen hebben de Grieken steeds in de ban gehouden en hebben een diepgaande invloed uitgeoefend op al de resultaten die ze bereikten. Deze problemen waren : 1. de driedeling van een hoek 2. de verdubbeling van de kubus 3. de kwadratuur van de cirkel. Ze waren de logische uitbreiding van problemen die ze al hadden opgelost. 1. De driedeling van een hoek was een normale vraag nadat men erin was geslaagd een hoek in twee gelijke delen te verdelen. Een rechte hoek in drie verdelen konden ze allang, maar geen willekeurige. Hieraan verbonden stelde zich de vraag naar de verdeling van gelijk welke hoek in een willekeurig aantal gelijke delen. 2. Vermits ze ontdekt hadden dat de diagonaal van een gegeven vierkant de zijde was van het vierkant met dubbele oppervlakte, was het evident dat ze zich afvroegen wat de ribbe was van een kubus waarvan het volume het dubbele was van dat van een gegeven kubus. 3. In hun zoektocht naar meetkundige figuren met dezelfde oppervlakte als die van een gegeven figuur, was het vanzelfsprekend dat ze geconfronteerd werden met de vraag naar een vierkant met dezelfde oppervlakte als deze van een gegeven cirkel. Door het verbinden van constructies met passer en liniaal aan het oplossen van vergelijkingen, heeft men later kunnen aantonen dat de vorige drie problemen niet oplosbaar waren met passer en liniaal, dus langs cirkels en rechten, maar wel langs andere curven, waarvan de Grieken er al heel wat gevonden hadden. Voor de driedeling van een hoek gebruikt o.a. Hippias van Elis (ca. 425 v.C.) de "kwadratrix" en Nicomedes (ca. 180 v.C.) de "conchoïde". Deze kwadratrix werd ook door Deinostratus (ca. 350 v.C.) aangewend bij de kwadratuur van de cirkel en Diocles gebruikte rond 180 v.C. de "cissoïde" bij het verdubbelen van de kubus. Een andere soort van constructieproblemen voor de Grieken was het inschrijven van regelmatige veelhoeken in een cirkel, vooral dan van de regelmatige zevenhoek, waarvan later ook bewezen werd dat het niet mogelijk was met passer en liniaal. Regelmatige veelhoeken met minder dan zeven zijden konden ze construeren. Lange tijd dacht men dat de Grieken alles ontdekt hadden wat er in dit verband te ontdekken viel, tot Gauss in 1796 bewees dat het mogelijk was een regelmatige 17-hoek te construeren met passer en liniaal. Het zoeken naar oplossingen voor deze moeilijkheden heeft in de loop der tijden een schat aan eigenschappen, stellingen en nieuwe problemen opgeleverd. Daarom is het zowel vanuit didactisch als wiskundig oogpunt belangrijk en verantwoord deze eigenschappen aan te leren verbonden aan de problematiek van constructies met passer en liniaal. Dat is volgens mij een echt goede reden om deze constructies aan te leren maar zeker niet om ze in elke situatie op die manier uit te voeren.

Bijlage p.

54


Bijlage 6 Onderscheid tekenen - construeren

Construeren is voor velen verbonden met hun wiskundige vorming. In opdrachten wordt vaak een onderscheid gemaakt tussen tekenen en construeren, in deze tijd meer dan vroeger. Met tekenen wordt dan nu bedoeld het maken met geodriehoek en meetlat. Construeren betekent het striktere en traditionelere maken met passer en liniaal. In vorige bijlage kon je lezen over het historische belang van constructies in de wiskunde, maar ook over hun bijdrage tot de ontwikkeling van wiskunde zelf. Ook nu nog kan construeren meetkundig inzicht bijbrengen. Het precies omschrijven op basis van eigenschappen van de te volgen weg en de nauwgezette uitvoering staat borg voor een degelijke aanpak van het denken en het handelen. Maar onder de druk van tijd en moderne technieken, die het fijne werk veel vlugger en nauwkeuriger kunnen uitvoeren, gaat de aandacht nu vooral naar tekenen en schetsen. Met schetsen wordt dan een vlugge schets bedoeld die een eerste indruk weergeeft van de situatie of het voorwerp. Ook dit is een belangrijke vaardigheid, want niet altijd beschikt men over goede tekenmiddelen of de plaats en de ruimte om een degelijke tekening, laat staan een constructie te maken. Het nauwkeurig moeten uitvoeren van een ‘tekening’ (constructie) noopt de uitvoerder tot het nauwkeurig analyseren van de figuur en het tekenproces en tot het precies opmeten (overnemen) van lengten en hoeken en het gebruik van eigenschappen om bepaalde punten, lijnen… te bekomen. Voorbeeld -

Een schets van de middelloodlijn van een lijnstuk geeft nauwelijks de realiteit weer. Via codes zal men de (tekening)lezer op de juiste gedachte brengen. Bijvoorbeeld streepjes om gelijke lijnstukken aan te geven (cf. midden lijnstuk); haakjes om aan te geven dat de hoeken recht zijn. Bij nameten is er weinig kans dat het midden inderdaad precies het midden is van het lijnstuk en dat de aangeduide hoeken precies rechte hoeken zijn. Toch begrijpt de lezer wat bedoeld wordt.

-

Een tekening van een middelloodlijn van een lijnstuk wordt uitgevoerd met geodriehoek en meetlat. Ze steunt op de definitie van het begrip: de loodlijn in het midden van het lijnstuk. Ze zal de situatie ‘perfect’ weergeven als met de nodige nauwkeurigheid wordt gewerkt. Foutjes kunnen schuilen in het onnauwkeurig meten, het afronden bij lengtemeting (meetlat nauwkeurig tot op 1 mm) of het onnauwkeurig gebruik van de geodriehoek bij de hoekmeting (precies op het midden? lijntjes samenvallend?).

-

De constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk wordt uitgevoerd met passer en liniaal. Ze steunt op de kenmerkende eigenschap dat haar punten even ver van de


Bijlage p.

55

uiteinden van het lijnstuk liggen. De constructie zal de situatie perfect weergeven als ze met de nodige nauwgezetheid is uitgevoerd. Foutjes kunnen schuilen in het niet nauwkeurig plaatsen van passerpunten (zowel middelpunt als straal) en het niet nauwgezet kunnen bepalen van de snijpunten van boogjes (cf. de keuze van de straal opdat de snijpunten zo scherp mogelijk zijn).

Tekenopdrachten/constructieopdrachten Getracht wordt een indeling te maken in verschillende soorten teken-/constructieopdrachten. Met dergelijke opdrachten is er heel wat differentiatie mogelijk, vooral in het tweede jaar. Mmits een goede keuze (en goede begeleiding) geven deze teken-/constructieopdrachten toch wel heel wat mogelijkheden tot het verwerven van probleemoplossende vaardigheden. Zelf (na)tekenen van een gegeven figuur Voorbeeld (uit Pascal, wiskundereeks Nederland) Probeer deze figuur met je passer na te tekenen:

Opdrachten -

Teken de volgende figuur zo nauwkeurig mogelijk na. Er is al één lijntje klaargetekend. Je mag enkel een passer en een liniaal (voor het tekenen van rechte lijnen, niet om te meten) gebruiken.

Bijlage p.

-

56


Teken deze figuren na en bereken daarna de omtrek.

Het tekenen (ev. het construeren) van een vlakke figuur, een bijzondere rechte, het beeld van een figuur door een gegeven transformatie (steunt meestal op definities, eerder een ‘technische’ uitvoering) Voorbeelden Teken een cirkel, teken een vierkant met een zijde van 4 cm, teken een gelijkbenige driehoek, teken een gelijkzijdige driehoek, … Teken de hoogtelijnen in een gegeven driehoek, teken de middelloodlijn van een lijnstuk, teken het beeld van een vierhoek door een gegeven spiegeling… enz. Opdracht Spiegel de volgende rechthoek om de drager van één van zijn diagonalen. Zet het spiegelbeeld in het groen.


Bijlage p.

57

Het tekenen (ev. het construeren) van een vlakke figuur vanuit een gegeven aantal elementen Hierbij wordt gebruik gemaakt van begrippen en eigenschappen. Het is dus meer een denkopdracht, een redeneerprobleem met mogelijkheden voor gebruik van heuristiek. Hoe dergelijke opdrachten didactisch aanpakken? Voorbeeld 1

ˆ = 120°. De hoogte van het Construeer een parallellogram ABCD als |AB| = 5 cm en A parallellogram is 4 cm. Hoe aanpakken? Maak een schets (heuristiek: stel het probleem voor als opgelost) m.a.w. teken een parallellogram ABCD

Gegevens aanduiden

Analyse/exploratie ……. Uitvoering (nieuwe tekening maken!) …. Reflectie (altijd oplosbaar? aantal oplossingen? )

Bijlage p.

58


Voorbeeld 2 Gegeven is dat d1 de hoogtelijn is uit A van driehoek ABC en d2 de hoogtelijn uit B. Bepaal het derde hoekpunt C.

Hoe aanpakken? Heuristiek: stel het probleem voor als opgelost m.a.w. teken een driehoek ABC

Gegevens aanduiden (kleur)


Bijlage p.

Analyse/exploratie van de figuur punt C ? uit B: loodlijn op d1 uit A: loodlijn op d2 Uitvoering

(uitgaande van gegeven)

Reflectie: is er altijd een oplossing? zijn er meerdere oplossingen mogelijk? Voorbeeld 3 Teken een rechthoekige driehoek XYZ als gegeven is dat x een hoogtelijn en y een zwaartelijn is uit X.

Analoge uitwerking voorbeeld 1.

59

Bijlage p.

60


Voorbeeld 4 Zoek het vierkant met symmetriemiddelpunt M, de rechte d een symmetrieas en M een punt op één van de zijden.

Teken een parallellogram ABCD met O als symmetriemiddelpunt. Noteer een eigenschap die je hierbij gebruikt.

Algemene werkwijze Duidelijk fasen onderscheiden: -

schets maken (heuristiek: stel probleem voor als opgelost )

-

analyse of exploratie (denk bijv. aan kleurgebruik voor aanduidingen gegeven, voor aanduidingen als gevolg van een redenering…)

-

uitvoering (nieuwe figuur!!)

-

verwoorden van begrippen, eigenschappen die gebruikt worden

-

reflectie (altijd uitvoerbaar? meerdere oplossingen)

Opdracht Construeer het spiegelbeeld M’ van het punt M door de puntspiegeling met centrum O en gebruik hierbij enkel een liniaal.


Bijlage p.

61

Tekenopdrachten waarbij punten, lijnstukken of rechten moeten bepaald worden die aan meerdere voorwaarden moeten voldoen (eigenlijk zoeken naar een ‘meetkundige plaats’). Voorbeeld Construeer de punten die op 5 cm liggen van M en even ver liggen van het punt A als van het punt B.

Alle punten op 5 cm van M liggen op een cirkel. Alle punten die even ver liggen van het punt A als van het punt B liggen op de middelloodlijn van [AB] Gemeenschappelijke punten bepalen van de cirkel en de middelloodlijn.

Reflectie: aantal oplossingen? Opdracht De rechten a en b snijden elkaar in O. Construeer (!!) een punt X dat op gelijke afstand ligt van a en b en op 3 cm van O. Geef alle mogelijkheden.

Bijlage p.

62


Bijlage 7 Oefeningen meetkunde eerste graad

Je vindt hier een aantal meetkundeoefeningen waarbij de leerling een redenering moet opzetten vanuit eigenschappen. Van leerlingen wordt ook een verklaring verwacht van hun antwoord. Een aantal oefeningen zijn rechtstreekse toepassingen. Ze krijgen de code R. Andere behoren tot het normale basisniveau en moeten door de gemiddelde leerling vlot kunnen opgelost worden. Ze krijgen code B. Een derde code (V) verwijst naar verdiepingsoefeningen die zeker als differentiatiemateriaal in aanmerking komen. Soms zijn hierbij combinaties van eigenschappen nodig, of beter ontwikkelde zoekstrategieën. 1)

Hoeken bij evenwijdige rechten gesneden door een snijlijn/ soorten driehoeken en eigenschappen daarvan. [B] De rechten x en z zijn evenwijdig. Welk soort driehoek is ∆ABC? Verklaar.

2)

Hoeken bij evenwijdige rechten gesneden door een snijlijn/ soorten driehoeken en eigenschappen daarvan [B] Gegeven:

Teken de bissectrice van de hoek BÂC.


Bijlage p.

63

E is het snijpunt van deze bissectrice met [BC] . Teken door B de rechte die evenwijdig is met AE. F is het snijpunt met AC. Zoek in de bekomen figuur alle hoeken die gelijk zijn aan de hoek BÂE. BÂE = …………. want…………………. BÂE = …………. want…………………. BÂE = …………. want…………………. Welk soort driehoek is ∆FBA? Waarom?

3)

Tekenopdracht, steunend op eigenschappen parallellogram a. Teken het parallellogram MAIN, rekening houdend met de gegeven afmetingen (meeteenheid 1 cm). [B]

MA = 5 MI = 7 MN = 3,5

Noteer een eigenschap die je gebruikt hebt.

b. Teken het parallellogram PIED, rekening houdend met de volgende gegevens. [V] O is het snijpunt van de diagonalen. Hoek PÔD = 70° Hoek IÊO = 40°

Noteer een eigenschap die je gebruikt hebt bij deze constructie.

Bijlage p.

64


c. Teken het parallellogram BRAS rekening houdend met de volgende gegevens.

[V]

De diagonalen snijden elkaar in O. Hoek SÂO = 52° Hoek OÂR = 25°

4)

Eigenschappen ruit

[R]

Teken een ruit ABCD waarbij de diagonaal [BD] = 9 cm. Noteer een eigenschap die je hierbij gebruikt.

5)

Eigenschappen of kenmerken van vierhoeken C en C’ zijn 2 cirkels met middelpunt O. Geef de best passende naam aan de vierhoek AFCH. Verklaar je antwoord. Geef de best passende naam aan de vierhoek ABCD.Verklaar je antwoord. Geef de best passende naam aan de vierhoek EBGD. Verklaar je antwoord. Geef de best passende naam aan de vierhoek EFGH. Verklaar je antwoord.

[B]


6)

Bijlage p.

65

[V] Gegeven het lijnstuk [AP]. Teken zo nauwkeurig mogelijk de driehoeken PIF, PAF en FIN rekening houdend met de gegeven hoekgroottes op bijgevoegde schets. (deze figuur is dus niet noodzakelijk exact).

Bijlage p.

66


Wat weet je van de punten P, I en N? Verklaar je antwoord. Voldoen de punten A,F en N ook aan diezelfde voorwaarde? Verklaar je antwoord.

7)

Eigenschappen ruit

[R]

Teken een ruit ABCD. O is het snijpunt van de diagonalen. [AB] meet 4 cm. Noteer een eigenschap die je hierbij gebruikt.

8)

[V] Teken een ruit ABCD waarvan a een drager is van een diagonaal en M een punt van een zijde. Noteer een eigenschap die je hierbij gebruikt.

Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde / 2 9)

Bijlage p.

67 [B]

Teken een parallellogram ABCD met O het snijpunt van de diagonalen, |AB| = 6 cm, |BC| = 4 cm. Noteer een eigenschap die je hierbij gebruikt.

10)

[R] Teken een parallellogram ABCD met symmetriemiddelpunt O en waarbij B op b en D op a ligt. Noteer een eigenschap die je hierbij gebruikt.

Bijlage p.

68


11)

[B] Teken een parallellogram ABCD. O is het snijpunt van de diagonalen, B een punt van a en M een punt op één van de zijden. Noteer een eigenschap de je hierbij gebruikt.

12)

[R] Teken een ruit ABCD met |AC| = 4 cm en de oppervlakte gelijk aan 12 cm². Verklaar je werkwijze.

13)

[R] Teken een parallellogram ABCD met |AB| = 4 cm, |BC| = 3 cm en de oppervlakte gelijk aan 8 cm². Verklaar je werkwijze.


Bijlage 8 Oefeningen ruimtemeetkunde

Bijlage p.

69

Bijlage p.

70



Bijlage p.

71

Bijlage p.

72



Bijlage p.

73

Bijlage p.

74



Bijlage p.

75

Bijlage 9 Voorbeelden van geïntegreerd leermateriaal

Combinatie Metend rekenen.

Naam : Klas

:

Nr

Datum : /

WISKUNDE

Volume van meetkundige lichamen 1.

Wat is de inhoud van een blikje sprite ( of cola ) ? …………. We gaan dit eens controleren. Welke afmetingen moet je kennen ?

Meet ze.

………………….. ………………….. ………………….. Bereken met deze meetresultaten het volume van het blikje. met de formule.)

(Begin eerst

…………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………..

Wel, is jouw resultaat hetzelfde als wat er op de verpakking staat ? …………..… Hoe komt het dat het resultaat niet volledig klopt ? …………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………..

Bijlage p.

2.

76


Heb je je ooit als eens afgevraagd hoeveel liter water je gebruikt als je een bad neemt ?

Wel we gaan dat even berekenen. Welke afmetingen moet je kennen ? Meet ze ook meteen. ………………….. ………………….. …………………..

Hoeveel liter water bevat je bad als je het tot op 30 cm van de rand vult ? (Begin eerst met de formule) …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………..

Toch kan ons resultaat wat afwijken. Wat kunnen de oorzaken zijn ? …………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………..

Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde / 2 Vraagstukvorm: Eline en Mathias zijn nu 1 jaar getrouwd en ze willen gaan bouwen. Maar dit blijkt een probleem te zijn. De schoonmoeder (=S) wil dat haar schoondochter en zoon even ver van haar wonen als van Elines moeders (=M). De werkgever van Eline eist dat ze binnen een straal van 4 km van haar werk (=W) gaat wonen. Waar kunnen Eline en haar echtgenoot hun droomhuis bouwen? Maak de plaats(en) met groen zichtbaar. Opm : teken op schaal 1/100 000

M.

.S

.W

Bijlage p.

77

Bijlage p.

78

Kijkhoek



Bijlage p.

Oefeningen uit Pascal (Wiskundereeks Nederland, uitgeverij Thieme Meulenhoff)

79

Bijlage p.

80


Teken het bovenaanzicht, het vooraanzicht en een zijaanzicht van (bijvoorbeeld) een koolmeeskast.

Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde / 2 Oefeningen uit

Getal en ruimte (wiskundereeks Nederland)

Bijlage p.

81

Bijlage p.

82


Bijlage 3 Gereedschapskist Meetkunde Eerste graad A-stroom

Recommend Documents