Bevezetés a zikába 2. Csanád Máté
2016. október 6.
Tartalomjegyzék 1. H®tan
4
1.1.
4
1.2.
1.3.
A h®tan alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1.
A h®mérséklet mértékegységei és mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2.
H®mennyiség, fajh®
5
1.1.3.
Fázisok, fázisátmenetek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.4.
H®tágulás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.5.
A h®átadás fajtái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Kinetikus h®tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.
A h® kinetikus elmélete, az ekvipartíció
1.2.2.
Az általános gáztörvény és következményei
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.3.
Az entrópia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Axiomatikus termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.1.
A termodinamika alaptételei
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.2.
Állapotváltozások, körfolyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2. Elektromosság és mágnesesség 2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
9
15
Az elektromosság alapjelenségei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.1.
A Coulomb-törvény
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.2.
Térer®sség és er®vonalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.3.
A uxus és a Gauss-törvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Elektromos feszültség és elektromos áram
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.1.
Az elektromos potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.2.
Az elektromos áram
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2.3.
Az Ohm-törvény, az elektromos teljesítmény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.4.
Áramkörök
20
2.2.5.
A váltakozó áram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mágneses tér és hatásai
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.1.
Mágnesesség
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.2.
A Lorentz-er® és a mágneses nyomaték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.3.
A mágneses uxus és Gauss-törvény
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3.4.
Mágneses indukció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
A mágneses tér forrásai
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4.1.
Mozgó töltések és az áram mágneses tere
25
2.4.2.
Az Ampère-törvény
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.4.3.
Önindukció és transzformátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Elektromágneses hullámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.5.1.
A Maxwell-egyenletek
27
2.5.2.
Az elektromágneses spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.6.1.
A fény terjedése
2.6.2.
Geometriai optika
2.6.3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Hullámoptika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2
TARTALOMJEGYZÉK
3
3. Modern zika 3.1.
3.2.
3.3.
34
A részecske-hullám kett®sség, a kvantumvilág
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.1.1.
A fény kvantumtermészete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.1.2.
A részecskék hullámtermészete
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
A térid® modern fogalmának kialakulása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.1.
A newtoni mechanika és a Maxwell-egyenletek ellentmondása
. . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.2.
A speciális relativitáselmélet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.3.
Az általános relativitáselmélet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Atom- és mag zika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3.1.
Az atomok felépítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3.2.
Az atommagok kötési energiája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.3.3.
Maghasadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.3.4.
A magfúzió és összevetése más energiatermelési módszerekkel . . . . . . . . . . . . . . . .
44
A. Ellen®rz® kérdések
45
1. fejezet
H®tan Kísérlet: jég olvadása sós vízben • • •
Két pohár, 3-3 dl víz, 1-1 darab jég, az egyik pohárban sós a víz. Utak sózása alapján azt várjuk, a só segíti az olvadást. Eredmény: a sós vízben lév® jég sokkal tovább megmarad.
1.1. A h®tan alapjai 1.1.1. A h®mérséklet mértékegységei és mérése Az emberi h®érzet fogalmának kvantitatív kifejezésére született a h®mérséklet fogalma. Azért lehetséges a h®mérsékletet zikai mennyiségként de niálni, mert (különféle mértékegységeket de niálva) mérhet®, azaz értékei reprodukálhatóak. A hétköznapi életben legtöbbet használt mértékegység a Celsius, amelyet a víz olvadáspontjához (0
◦
C) és a forráspontjához (100
◦
C) kötve de niáltak. Az angolszász világban ehelyett a Fahrenheitet
használják, amely gyakorlatias h®mérsékletekhez köt®dik (0 t®t a
TF = 9TC /5 + 32
◦
F: hideg téli nap, 100
◦
F: meleg nyári nap). A ket-
egyenlet köti össze. A h®mérséklet, mint zikai mennyiség, akkor értelmes, ha mérhet®.
Ezt különféle eszközökkel lehet megtenni, amelyeket el®zetesen kalibrálunk (azaz valahonnan ismert h®mérsékletek melletti állásukat feljegyezzük). Ezen eszközök m¶ködésének alapja lehet például a gázok vagy folyadékok h®tágulása (ugyanis térfogatuk egyenletesen változik a h®mérséklettel), esetleg fémek ellenállásának változása, illetve az úgynevezett h®sugárzás vizsgálata is. Ezekr®l kés®bb olvashatunk valamivel b®vebben. A h®mérsékletet mindenesetre nem úgy de náltuk tehát, hogy megadtuk a jelentését, hanem a mérésének módján keresztül. Hogy mit jelent a h®mérséklet, mire vezethet® vissza, ezt majd a kinetikus gázelmélet tárgyalása során érthetjük meg. A h®mérsékleti skálán lefelé haladva tehetünk egy fontos meg gyelést: állandó térfogatú gáz nyomása lineárisan függ a h®mérséklett®l, azaz adott h®mérséklet-csökkenéshez mindig adott nyomáscsökkenés tartozik. Amennyiben ez a viselkedés nem szakad meg, akkor egy bizonyos h®mérsékletnél nulla alá csökkenne a nyomás, ami viszont értelmetlen. Kiderül továbbá az is, hogy ez a bizonyos h®mérséklet a gáz anyagi min®ségét®l és térfogatától is független:
Ez lehet®séget ad az abszolút nulla fok bevezetésére, amely Celsiusban segítségével bevezethet® a Kelvin skála:
TK = TC + 273, 15, 4
−273, 15
fok értéket vesz fel. Ennek
ebben 0 K az abszolút nulla fok, ahol minden
1.1. A HTAN ALAPJAI
5
gáz nyomása nullára csökken. A zikai törvények többségében a Kelvin skálát használjuk majd. Ezen kifejezve megadunk néhány karakterisztikus h®mérsékleti értéket: 4,2 K a hélium forráspontja normál légköri nyomáson (ahogy a továbbiakban megadott értékek mind), 77 K a N2 forráspontja, 273 K a víz olvadáspontja,373 K a víz forráspontja, 600 K az ólom olvadáspontja, 6000 K a Nap felszíne, 10
7
12
K a Nap központi h®mérséklete, és 10
K a nagyenergiás atommag-ütközésekben létrehozott h®mérséklet, ahol az atommag épít®kövei, a protonok és a neutronok is megolvadnak.
1.1.2. H®mennyiség, fajh® Most, hogy már ismerjük a h®mérséklet mérésének módját, feltehetjük a kérdést, hogy mi okozza a h®mérsékletváltozást? Ma már tudjuk: az energia egy fajtája, a h®energia (jele többnyire
Q)
felel®s ezért. Ennek mértékét
például kalóriában mérjük: 1 cal (kalória) az a h®, ami egy gramm vizet egy fokkal melegít fel. Miután ez az energia egy formája, így Joule-ban is megadhatjuk: értéke 4,186 J. Összességében megállapíthatjuk azt is, hogy egy adott közeg h®mérsékletének megváltoztatásához szükséges energia (h®) arányos a h®mérséklet-változással és az adott közeg tömegével:
Q ∝ m · ∆T .
Az arányossági tényez® a fajh®,
c,
mértékegysége J/(kg K). A
∆T
h®mérséklet-változáshoz szükséges energia (h®) tehát
Q = cm∆T c =4186 J/(kg K), = 335 kJ h®re van
(1.1)
A víz fajh®je
azaz például 1 liter víz 20 fokról történ® felforralásához (a 100 fok eléréséhez)
80 · 4186
szükség. Ha gyelembe vesszük, hogy 1 kWh = 3,6 MJ elektromos energia
J
kb. 50 forintba kerül, akkor láthatjuk, hogy ez a folyamat elektromosságot használva minimum 5 forintba kerül (természetesen ha a melegítésre használt energia egy része elveszik, ahogy az ténylegesen mindig be is következik, akkor több energiára van szükség). A víz fajh®je a legnagyobbak közé tartozik, a hidrogén, hélium, ammónia, lítium fajh®jével egyetemben. Igen alacsony fajh®j¶ anyagok (amelyek egy kg tömeg¶ mennyisége kevés h® hatására is sokat melegszik) az ólom, az arany, a higany és általában a nehézfémek fajh®jük a vízének kevesebb, mint harmincada. A leveg® fajh®je kb. 1000 J/(kg K), azaz 1 kg leveg® egy fokkal való felmelegítéséhez kb. 1 kJ energiára van szükség. Ugyanakkor vegyük észre, hogy 1 kg leveg® igen sok: egy köbmétert tölt be, azaz egy tipikus szobában összesen 20 kg leveg® van. Ez azt is jelenti például, hogy ha a szoba leveg®je 20 fokos, és elhelyezünk benne tíz liter 50 fokos vizet, akkor ez (egyéb például a falakon át történ® h®csere hiányában) 40 fokra való leh¶lése során a szoba leveg®jét is 40 fokosra melegíti (hiszen a h® kicserél®dése miatt
c1 m1 ∆T1 = c2 m2 ∆T2 ).
Ugyanezért nehéz nyáron egy szell®ztetéssel leh¶teni a lakást
ugyan a szoba leveg®jét kicserélhetjük 10-20 fokkal hidegebbre is, de a falak, berendezési tárgyak h®energiája ezt gyorsan semlegesíti, érdemleges leh¶lés nélkül (számoljuk ki, hogy 1000 kg beton egy fokkal való leh¶téséhez
n = m/M anyagmennyiQ = Cn∆T , ahol C = cM a
Miután a melegítéshez szükséges h® a tömeggel arányos, ezért tulajdonképpen az séggel is arányos
Q,
hiszen
Q = cm∆T = cnM ∆T .
Ez átírható úgy, hogy
mólh®, amelynek mértékegysége J/(mol K). Az egyatomos gázok mólh®je tipikusan kb. 12,5 J/(mol K) (állandó nyomáson), szilárd anyagoknak többnyire 25 J/(mol K), kétatomos gázoknak pedig kb. 21 J/(mol K). Ennek indoklását az általános gáztörvény alapján látjuk majd. A mólh® általánosságban is inkább az anyag szerkezetét®l, mint a konkrét elemt®l/molekulától függ. Érdekes felfedezni, hogy míg a fajh®ben az egyes elemek és egyszer¶ mokelulák között 50-szeres arány is tapasztalható, addig a mólh® esetében alig kétszeres arányokat látunk. Ez magyarázza az el®z® bekezdés végén említetteket: a víz fajh®je azért magas, mert
c = C/M , a mólh®
alig változik, viszont móltömege alacsony. Ugyanígy, a higany móltömege magas, így fajh®je alacsony.
1.1.3. Fázisok, fázisátmenetek Ahogy azt mindennap tapasztaljuk, az anyagok/közegek különféle halmazállapotban vesznek minket körül: vannak gázok, folyadékok és szilárd anyagok. Azonban az egyes anyagok halmazállapota nem rögzített: gázból folyadék lehet, folyadékból szilárd közeg, és így tovább. Ezek az átalakulások valamekkora h®cserével együtt történik, méghozzá legtöbbször adott nyomás esetén adott h®mérsékleten. Az átalakuláshoz szükséges h®mennyiséget látens h®nek nevezzük (jele tipikusan hogy
m
L). Ezt
úgy de niálhatjuk,
tömeg¶ anyag halmazállapotának adott módon történ® megváltoztatásához
Q = Lm
(1.2)
h®energiára van szükség. Maga az átalakulás tipikusan x h®mérsékleten történik, tehát csak akkor melegszik/h¶l tovább az adott közeg, ha teljesen átalakult az új halmazállapotba. Ezért f®zni csak 100 fokon lehet, akármilyen álláson van a f®z®lap: amíg az összes víz el nem forrt, nem történik további felmelegedés. És ugyanezért tartanak állandó alacsony h®mérsékleten egyes berendezéseket folyékony nitrogénnel: ennek h®mérséklete egészen addig nem megy 77 K fölé, amíg van folyékony komponense.
6
1. FEJEZET. HTAN
A látens h®re fontos példa, hogy víz olvadásh®je 333 kJ/kg, forrásh®je pedig 2257 kJ/kg. El®bbi azt jelenti, hogy 1 kg jég megolvasztásához 333 kJ h®re van szükség: ezt 10 liter víz nyolc fokkal való leh¶lése tudja fedezni ezért igen alkalmas h¶tésre a jég. A forrásh® mértéke pedig például azt jelenti, hogy 1 liter víz elforralásához közel hétszer annyi h®re van szükség, mint 20 fokról 100 fokra való felmelegítéséhez (335 kJ, ld. a fajh®r®l szóló bekezdést). Érdemes továbbá látni, hogy a jégkocka azért kiválóan alkalmas italok leh¶tésére, mert a halmazállapotának átalakításához sok h®re van szükség amit a leh¶teni kívánt ital biztosít, leh¶lése által. Ha kávét/teát szeretnénk melegen tartani, ahhoz például 50 fokon olvadó anyagból álló jégkockákra lenne szükség: ha ezt olvadt állapotban (zárt tégelyben) helyezzük az italba, akkor h¶lése és fagyása során rengeteg h®energiát adhat át annak. Erre szolgáló tárgyakat gyártanak is, lásd pl. a Coee Julies márkanevet. Ahogy láttuk, a különféle anyagok adott h®mérséklet és nyomás esetén egy bizonyos halmazállapotban avagy fázisban vannak. Az egyes halmazállapotokat egy h®mérséklet nyomás diagramon fázishatárok választják el; ezeket ábrázolja a fázisdiagram. Ez víz esetén így néz ki:
Ezen több érdekességet is felfedezhetünk:
•
Az olvadásponthoz (azaz a folyékony és a szilárd fázis határához) tartozó h®mérséklet a nyomás növelésével csökken (ez csak víz esetén igaz!): ezért olvad meg a curling k® alatt a jég (megkönnyítve annak csúszását), illetve a hótakaró alján ezért olvadhat meg a hó, visszafagyása esetén jégréteget alkotva. Itt említjük meg, hogy a sós víz olvadáspontja alacsonyabb, mint a tiszta vízé, ezért ez már akár -10 vagy -20 fokon is megolvadhat (utóbbi a maximális, 20% (mm) feletti koncentráció esetén érvényes)
•
A forrásponti h®mérséklet a nyomás növelésével n®: ezért kuktában 110-120
◦
C h®mérsékleten forr fel a
víz, amit®l könnyebb/gyorsabb lesz a f®zés (hiszen a biológiai makromolekulák átalakulása így gyorsabban következik be). Ugyanezért nehéz nagy tengerszint feletti magasságon f®zni: itt a víz már akár 80-90 fokon is felforr, ilyen alacsony h®mérsékleten pedig lassan következnek be a f®zést jelent® szerkezeti átalakulások. Megemlíthet®, hogy a víz forráspontja a sózástól is emelkedik, bár igen csekély mértékben.
•
A három fázis találkozik egy úgynevezett hármaspontban: ehhez 273 K és 6 mbar tartozik. Ennek nyomása alatt semmilyen h®mérsékleten nincs folyékony fázisú víz, itt a szilárdból közvetlenül a gáz fázisba megy át a jég h®átadás esetén. Normál nyomások is ez a helyzet a széndioxiddal (hiszen hármaspontja 216 K körül van): a szárazjég nem olvad, hanem szublimál (és a hideg gázban lecsapódó pára füstszer¶ jelenséget hoz létre, így m¶ködnek a füstgépek).
•
Igazi fázisátalakulás (folytonos vonallal jelezve) csak az úgynevezett kritikus pontig lehetséges: ennek koordinátái 647 K és 221 bar. Az ehhez tartozó nyomás felett csak egyfajta folytonos átmenet van, hasonlóan a vaj olvadásához: az átalakulás nem x h®mérsékleten következik be, és látens h® sincs.
Ilyen fázisdiagramja persze nem csak a víznek, hanem bármilyen más anyagnak is lehet, fent említettük például a széndioxid esetét. Az atommag anyagának is van fázisdiagramja, azaz az atommagok anyaga is megolvadhat, ezt nagyenergiás részecskegyorsítóknál kutatják. Fontos továbbá megemlíteni, hogy vízg®z nem csak 373 K felett lehetséges, a szobah®mérséklet¶ leveg®ben is van valamennyi gáz halmazállapotú víz. Egy adott térfogatban (adott nyomáson és h®mérsékleten) van egy maximális lehetséges vízmennyiség, ami g®z formában jelen lehet, ez a telítési mennyiség (amely nem függ a jelen lév® leveg® mennyiségét®l, s®t, vákuumban is ugyanezek a jelenségek játszódnak le). Az e feletti mennyiség többnyire kicsapódik de csak ha van valami felület, ahol ez megtörténhet, egyébként akár a maximális vízmennyiség háromszorosa is jelen lehet az adott térfogatban (szerencsére ez azonban a leveg®ben mindig van
1.1. A HTAN ALAPJAI
7
valamennyi por, ami szintén kicsapódásra alkalmas felületet képze). Ez az említett maximális vízmennyiség 30
3
3
Celsius fokon kb. 30 g/m , míg 0 fokon csak 5 g/m . Az ehhez képesti értéket szokás relatív páratartalomnak nevezni. Ezzel sok hétköznapi jelenség kapcsolatos. Ha például leh¶l a leveg®, az abszolút páratartalma megmarad, de a maximális lehetséges páratartalom lecsökken, ahogy a fenti számok mutatják. Emiatt a relatív páratartalom 100% felé kerül, és így a maradék vízg®znek ki kell csapódnia valamilyen felületre (ha van), akár porszemcsékére. Ezért keletkezik a télen kinyitott ablakon pára (a benti meleg leveg® találkozik az ablak küls®, hideg felületével, és emiatt leh¶l), az edény tetején lecsapódó g®z (a forró leveg® találkozik a valamivel hidegebb fed®vel), emiatt g®zölög a forró folyadék, de megemlíthet® a kondenzcsík, a harmat, a dér vagy a köd is.
1.1.4. H®tágulás A h®energiával kapcsolatos további fontos (már a fejezet elején is említett) jelenség, hogy a legtöbb anyag mérete, térfogata a h®mérséklett®l függ. Gázok esetén globálisan lineáris kapcsolat van a térfogat és a h®mérséklet között (állandó nyomás esetén, ahogy majd látni fogjuk), de ott az egész jelenségkört összetettebben tudjuk tárgyalni, ahogy majd kés®bb meg is tesszük. Szilárd anyagok esetén globálisan bonyolult a térfogat és a h®mérséklet közötti kapcsolat, de kis h®mérsékletváltozás esetén mondhatjuk, hogy lineáris az összefüggés, pontosabban a
∆L
hosszváltozás arányos a
∆T
h®mérsékletváltozással:
∆L = L0 α∆T L0
ha
α
(1.3)
volt az eredeti hossz. Azt is mondhatjuk, hogy ekkor az új hossz
a h®tágulási együttható, ennek nagyságrendje tipikusan
−6
10
L0 = L + ∆L = L0 (1 + α∆T ).
Itt
1/fok, azaz 1/(1 millió K). Ez azt jelenti,
hogy pl. 10 fokos h®mérsékletváltozás esetén az adott szilárd objektum egy százezred résznyivel lesz hosszabb. Az együttható konkrét értéke egyes anyagokra jelent®sen különböz® lehet: kvarc esetén pl. 0,5/millió K, míg fémekre: 20-30/millió K, ráadásul a h®mérséklett®l is függ. A h®tágulás sok hétköznapi példában is megjelenik: emiatt görbülnek el melegben a vasúti sínek (hiszen a hosszuk megn®, de erre a nyúlásra nincs hely), emiatt építenek dilatációs rést hidakba és más építményekbe (hogy h®tágulás esetén ne deformálódjanak el), és ezért feszesebbek a távvezeték kábelek télen. Ezen az elven m¶ködnek egyes id®kapcsolók is: két különböz® fém van bennük, amelyen bekapcsolás esetén áram folyik; az áram hatására felmelegednek, alakjuk a két fél különböz® mérték¶ tágulása miatt megváltozik, majd a visszah¶lés során újra eredeti állapotukba térnek vissza megsz¶ntetve az eredeti kapcsolatot (ez a bimetál kapcsolók és érzékel®k lényege). A fentiekben a h®tágulás egydimenziós változatát vizsgáltuk, azaz a tárgyak hosszának változását. Ugyanakkor h®mérsékletnövekedés hatására a dolgok térfogata is megn®. Hogy mennyire, azt egyszer¶en levezethetjük,
L oldalhosszúságú kocka L0 (1 + α∆T ) méretre változik egy
esetét alapul véve. Ennek
∆T
L0 = L + ∆L = V = L = L30 (1 + α∆T )3
h®mérsékletváltozás hatására
az oldalhosszúsága. Ekkor a térfogata
V0 =
L30 helyett
0
03
lesz, azaz
V 0 = V0 (1 + α∆T )3 . Innen a kis
x
értékekre érvényes
ugyanis ebben
x
(1 + x)n ≈ 1 + nx közelítést alkalmazva x 1 miatt elhanyagolhatóak)
(1.4) (amely a binomiális sorból következik,
magasabb hatványai
V 0 = V0 (1 + 3α∆T ),
avagy
∆V = V0 3α∆T adódik, vagy másképp
∆V = V0 β∆T
bevezetésével
(1.5) (1.6)
β = 3α.
Folyadékoknál is értelmezhet® a térfogati h®tágulási együttható, amely azonban a h®mérséklett®l er®sebben függ (mint szilárd anyagok esetében), és értéke általában nagyobb is. Szobah®mérsékleten higany, víz esetén
α=
200/ millió K, míg alkohol esetén
α=
1200 / millió K. Víz esetén érdekes módon négy fok körül
α=0
lesz, majd 0 és 4 Celsius fok között negatívba fordul: azaz négy fokról tovább h¶lve a víz valójában tágul, nem összemegy. Így tehát a nulla fokos víz fennmarad a tó tetején (keveredés híján), az ennél pár fokkal melegebb pedig alul gy¶lik össze, lehet®vé téve a vízi állatok és növények téli túlélését.
Kontroll-kísérlet: tintás jég olvadása sós vízben • •
Két pohár, 3-3 dl víz, 1-1 darab jég, az egyik pohárban sós a víz. A jegekbe tintát kevertünk. Eredmény: a sós vízben lév® jégb®l leolvadó tintás víz nem keveredik a többi vízzel, csak a pohár tetején jelenik meg a tinta színe
• •
Só nélkül a hidegebb víz s¶r¶bb, ezért leszáll a pohár aljára, a meleg víz felmegy, beindul a konvekció A sós víz azonban sokkal s¶r¶bb, a hideg víz ezért fentmarad a pohár tetején, sokkal kevesebb víz vesz részt a reakcióban.
8
1. FEJEZET. HTAN
1.1.5. A h®átadás fajtái Miután a h® és a h®mérséklet változásával kapcsolatos legalapvet®bb jelenségeket megemlítettük, a h®átadás módjainak is érdemes pár bekezdést szentelnünk. A h® alapvet®en három módon kerül át az egyik pontból a másikba: áramlással (ekkor a meleg és a hideg közeg helyet cserél, összekeveredik), vezetéssel (ekkor a h®t hordozó molekulák vagy atomok adják át egymásnak az energiát, elmozdulás nélkül) illetve sugárzással (ekkor a molekulák h®mozgásuk során elektromágneses sugárzást hoznak létre, ami akár vákuumban is terjed, energiát hordozva). Gázokban és folyadékokban általában az áramlás h®csere f® oka: ezért h¶l ki gyorsabban egy tea mint egy s¶r¶ krémleves, ez utóbbiban ugyanis lényegesen gyengébb áramlás tud megvalósulni (nagyobb viszkozitása okán). A h®áramlás magyarázza a szelek és tengeráramlatok kialakulását, de ennek segítségével melegíti fel a szobát a f¶t®test is, ezért száll fel a füst a kéményben, és ez segít a folyadékok és gázok er®m¶vekben történ® áramlásában. A legnagyobb h®átadás turbulencia kialakulása során valósul meg, ekkor jön létre ugyanis az optimális keveredés. Általában a h®áramlás hajtóereje az, hogy a melegebb közeg ritkább, így felfelé száll; vagy a nyomása nagyobb, így a hidegebb pont felé törekszik. Ahogy fent említettük, h®vezetés során a gyorsabban rezg® molekulák/atomok átadják a lassabbaknak az energiájuk egy részét, azaz a mozgási energia, másképp kifejezve a h® terjed a renszerben, valódi mozgás nélkül. Szilárd testekben ez a h®átadás f® módja. A
∆t
id® alatt
d
vastagságú,
A
keresztmetszet¶ felületen átadott h®
mennyisége
∆T A ∆Q =λ , (1.7) ∆t d ha a két oldalán ∆T a h®mérsékletkülönbség. Itt λ a h®vezetési együttható (nem a Boltzmann állandó!), mértékegysége W/Km. Ebben kifejezve néhány tipikus értéke: rézre 400, üvegre 1, leveg®re 0,024, ház falára 1 alatti (jó esetben). A leveg® azért rossz h®vezet® (avagy jó h®szigetel®), mert nagy távolságon vannak benne a molekulák, így kevésbé tudnak egymásnak ütközések által h®t átadni. A habok, üreges anyagok is ezért szigetelnek jól, és ezért két- vagy többréteg¶ek a jobb ablakok is (ráadásul többnyire a két réteg közé a normálállapotú leveg®nél is rosszabb h®vezetés¶ gázt tesznek). A jeges h¶t® is ezért h¶t rosszul: a jég ugyanis igen rossz h®vezet®. Házak és lakások energiaháztartásának vizsgálata során a vastagságot és a h®vezetési együtthatót szokás egyetlen
U = λ/d-vel jelölt h®átbocsátási tényez®vel megadni, ezzel ∆Q/∆t = U A∆T . Ekkor U
2
mértékegysége W/m K,
és azt adja meg, hogy egy négyzetméter felületen egy fok h®mérsékletkülönbség esetén mennyi energia távozik id®egységenként. Ez környezet zikai szempontból igen fontos, hiszen az így távozó h®energiát kell valamilyen f¶tési rendszerrel pótolni, azaz a h®átbocsátási tényez® minimalizálása az adott lakás vagy ház energiaigényét igen jelent®sen tudja csökkenteni. A h®sugárzás jelenségét kés®bb fogjuk megérteni, de a lényeg, hogy az atomok és molekulák rezgése elektromágneses teret hoz létre, amely energiát sugároz ki, akár vákuumban is és ennek során a kibocsátó anyag molekuláinak rezgése csökken, az anyagot h¶tve. Adott h®mérséklet mellett különböz® hullámhosszú sugárzáskomponensek is vannak, ezek összessége a Planck-spektrum, amely az alábbi ábrán látható:
Néhány száz kelvin esetén még nem látható a h®sugárzás, de ezer kelvin h®mérséklet környékén láthatóvá válik: ez a vörösizzás. Ahogy növeljük a h®mérsékletet, a spektrum maximuma egyre kisebb hullámhosszok felé tolódik, azaz a szín egyre több kéket és egyre kevesebb vöröset tartalmaz. 6000 K körül épp nagyjából egyenletesen tartalmaz minden színt a spektrum, így ez fehérnek t¶nik, felette pedig egyre kékebbnek. A Nap felszíni h®mérséklete alapján éppen fehér sugárzást bocsát ki pontosabban nyilván a szemünk a Nap színe alapján kalibrálja a színeket, azt éppen fehérre hangolva. Érdekes megemlíteni, hogy az univerzumban minden irányból kb. 2,7 K h®mérséklet¶ sugárzás észlelhet®, ez a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás. A h®sugárzáshoz kapcsolódik továbbá a Stefan-Boltzmann törvény. Eszerint egy
A
felület¶,
T
h®mérséklet¶ tárgy által
δt
id®
alatt kisugárzott h®energia mennyisége
∆Q = σAT 4 , ∆t
(1.8)
1.2. KINETIKUS HTAN
9
ahol a Stefan-Boltzmann állandó
σ = 5, 67 · 10−8 J/(sm2 K4 ),
és
egyfajta elnyelési és kisugárzási együttható,
tökéletesen fekete test esetén 1 (míg egyes komponenseket el nem nyel®, azokat visszever®, azaz éppen ilyen szín¶ test esetén egy alatti
értékek adódnak).
A h®csere három fajtáját az alábbi ábra illusztrálja:
1.2. Kinetikus h®tan 1.2.1. A h® kinetikus elmélete, az ekvipartíció A XIX. század végére az atomhipotézis számos meg gyelés magyarázatául szolgált, sokak véleménye azonban az volt, hogy a h®tan területén már nem alkalmazható sikeresen. A fordulópontot leginkább a Brown-mozgás felfedezése és magyarázata jelentette. Bár a jelenségr®l ó- és középkori szerz®k is írnak, Brown volt az, aki természettudományos módszerekkel fogott a jelenség vizsgálatához. 1827-ben virágpor vízen történ® véletlenszer¶ mozgását gyelte meg, ma ehhez kötjük a jelenség felfedezését, illetve els® tudományos dokumentációját. A jelenséget Einstein és Smoluchowski magyarázta meg véglegesen: eszerint a véletlenszer¶ mozgás a közeg atomjainak vagy molekuláinak h®mozgása miatt jön létre. Ezt elfogadva, az atomok nyelvén a h® mozgási energia, a h®mérséklet az atomok/molekulák átlagos energiájától függ. Az atomok mozgási energiájának tárgyalásához felidézzük a szabadsági fokok de nícióját (b®vebben lásd a tárgy els® félévi jegyzetének vonatkozó szakaszát). Egy atomot tömegpontként képzelünk el, amely haladó mozgást végezhet, ez
f =3
szabadsági fokkal jár, a tér három iránya miatt. Egy kétatomos molekulát egy kis
f = 5. Bonyolultabb f = 6 szabadsági foka van, melyb®l három
szakaszként képzelhetünk el, így ennek további két forgási szabadsági foka lesz, azaz összesen molekulákat kiterjedt merev testekként képzelünk el, ezeknek összesen mozgási és három forgási:
Megemlítend® még, hogy szilárd anyagokban potenciális energia és más, kollektív szabadsági fokok is elképzelhet®ek, ezért itt nagyobb
f
értékek is lehetnek.
A kinetikus h®tan alapja az ekvipartíció tétele: eszerint egy
T
h®mérséklet¶ közegben minden molekula vagy
atom minden szabasági fokára átlagosan ugyanannyi energia jut, méghozzá
= ahol
kBoltzmann
kBoltzmann T , 2 −23
a Boltzmann-állandó, értéke 1,38·10
(1.9)
J/K. Az ekvipartíció (ami lényegében egyenl® eloszlást
jelent) tételének oka tulajdonképpen az, hogy a h®mozgás során az energia kiegyenlít®dik, az egyenletes eloszlás a legvalószín¶bb. Ebb®l kikövetkeztethetjük egy gáz részecskéinek átlagos sebességét, hiszen mozgásra három
3 = 3kT /2, ugyanakkor ez egyúttal mv 2 /2-vel is egyenl®. A p részecskék átlagos sebessége innen v = 3kT /m. Egy adott irányban (nevezzük ezt z iránynak) a sebesség az p egyetlen szabadsági fokra jutó energiából adódik: vz = kT /m Egy rendszer teljes bels® energiája összesen E = f N , ha f az egyenként energiájú szabadsági fokok száma, N pedig közeg részecskéié. A gáz teljes bels® energiája innen tehátl kifejezhet® a T h®mérséklettel szabadsági fok jut, tehát a mozgási energia
E=
f f N kT = nRT, 2 2
(1.10)
10
1. FEJEZET. HTAN
ahol
R = k · NA
2
a Boltzmann-állandó szorozva az Avogadro-állandóval (10
3), n
Q ∆E = Q, C = Rf /2 adódik,
pedig a mólszám. Miután
h® átadásakor (egyéb folyamatok, azaz pl. tágulás vagy összenyomás hiányában) az energiaváltozás az állandó térfogaton vett mólh® kiszámítható. Ennek de níciója (Q
= Cn∆T )
szerint
ez egyatomos gázokra éppen 12,5 J/(mol K), ahogy a fajh®r®l szóló szakaszban láttuk. Részletesen lásd a termodinamikai átalakulásokról szóló szakaszban.
1.2.2. Az általános gáztörvény és következményei A gázbeli nyomás a kinetikus gázelmélet szerint a molekulák/atomok ütközése miatt hat, gyelembe véve, hogy az ütközés során impulzusváltozás történik, amely (az ütközés id®tartamával leosztva) az er®t adja meg, a nyomás pedig az adott felületra ható er®. Téglatestbe zárt gáz esetén levezethet® az adott h®mérséklet¶ és térfogatú gáz nyomása, azaz az úgynevezett általános gáztörvény:
• A keresztmetszet¶, l hosszúságú edényben legyen N gázatom T h®mérsékleten. • Az ekvipartíció p tétele alapján az egyes atomok átlagos sebessége a tér három irányában ugyanannyi, vx = vy = vz = kT /m. • A nyomás a falnak ütköz® részecskék által kifejtett er®t®l függ p = F/A, az er® pedig az átadott impulzustól: F = ∆pz /∆t. • Egy gázatom által átadott impulzus (a z -irányú sebessége el®jelet vált): 2mvz . • Hány gázatom ütközik a falnak ∆t id® alatt? Mivel vz sebességgel közelednek a falhoz átlagosan, ezért azok érik el a falat, akik vz ∆t távolságon belül voltak pontosabban ezeknek a fele, a másik felül a másik irányba megy.
•
Ennek a résznek a térfogata
vz ∆tA, azaz az itt lév® részecskék száma N vz ∆tA/V , a falnak ütköz®ké pedig
N vz ∆tA/2V • •
2mvz N vz ∆tA/2V , egyszer¶sítve: N mvz2 ∆tA/V . p = N kT /V , azaz pV = N kT .
Az ezek által átadott impulzus pedig: A nyomás tehát
p = N mvz2 /V ,
azaz
Ehhez az alábbi illusztráció ad segítséget
A fenti levezetésben feltettük, hogy a gáz részecskéi között csak ütközési jelleg¶ er®k hatnak, és maguk a részecskék semekkora térfogatot nem foglalnak el. Az ilyen feltételeket teljesít® gázokat ideálisnak nevezzük, a levezetés végén közölt összefüggés az ideális gázok állapotegyenlete, avagy az általános gáztörvény:
pV = N kT.
(1.11)
R = k · NA gázállandót (ahol NA = 6 · 1023 az Avogadro szám), ez pV = nRT egyenletként n = N/NA az anyagmennyiség (mólszám). Mindebb®l néhány egyszer¶ törvény levezethet®:
Bevezetve az írható, ha
• • •
is
V /T = N k/p = állandó (h®tágulás, Charles-törvény). pV = N kT = állandó (tágulás ⇒ nyomáscsökkenés, BoyleMariotte-tv.) esetén p/T = N k/V = állandó (h¶lés ⇒ nyomáscsökkenés, Gay-Lussac-tv).
Állandó nyomás esetén
Állandó h®mérséklet esetén Állandó térfogat
Érdemes megemlíteni, hogy reális gázok esetén két plusz tag adódik. Az els®t az adja, hogy az atomoknak is
V → V −nb. Továbbá a valóságban a molekulák nem p → p−an2 /V 2 . A fentieket 2 2 is gyelembe vev® egyenlet a reális gázok állapotegyenlete, a van der Waals-féle egyenlet: (p−an /V )(V −bn) = N kT . Ez az állapotegyenlet alacsony h®mérséklet esetén jelent®sen eltér az ideális gázokétól, de tárgyalása
van térfogata, ezért a rendelkezésre álló térfogat lecsökken:
csak mint billiárdgolyók ütköznek, hanem vonzzák is egymást, csökkentve a nyomást:
túlmutat jelen jegyzet keretein.
1.2. KINETIKUS HTAN
11
Kísérlet: színes alkohol és víz helycseréje • • • • •
Két kis pohár, egyikben víz, a másikban valamely színes alkohol. Mindkét poharat teljesen tele kell tenni. A vizes poharat egy kártyával a tetején megfordítjuk, az alkoholos pohárra tesszük. A kártyát kicsit kihúzva a víz elkezd lefelé áramolni, az alkohol pedig felfelé száll. Kis nyílás esetén nincs keveredés, a két folyadék helyet cserél. Mi az oka a keveredésnek? Miért tudtuk megakadályozni?
1.2.3. Az entrópia A h®tan egyik legfontosabb fogalma az entrópia, amelyet igazán a h® kinetikus értelmezése kapcsán érthetünk meg. Az entrópia fogalma alapvet®en a rendezetlenséghez kapcsolódik, és egy rendszer mikro- és makroállapotain keresztül értelmezhet®. A mikroállapot a rendszer tökéletes leírása, minden komponensének/részecskéjének összes tulajdonságát rögzíti. A makroállapot ezzel szemben a rendszer globális állapotát adja meg, tekintet nélkül egyedi részecskéinek állapotaira. Például egy pénzérmékb®l álló rendszer esetén egy adott mikroállapotban minden pénzérme állását tudjuk, egy adott makroállapot azonban például az lehet, hogy az érmék fele fej, fele írás. Látható, hogy egy adott makroállapot sokféle mikroállapoton keresztül valósulhat meg. Gázoknál is ez a helyzet: az adott nyomást és h®mérsékletet jelent® makroállapot sokféle konkrét molekula- és atomelrendez®dés esetén is létrejöhet. Ebben a képben az adott makroállapothoz tartozó entrópia de níciója
S = kBoltzmann log w , ahol
w
(1.12)
a lehetséges mikroállapotok (elemi elrendezések) száma, amelyek mind ugyanezt a makroállapotot
valósítják meg. A formulában szerepl® egyúttal az entrópia mértékegységét (J/K) is megadja. Négy pénzfeldobásnál a fenti formulában négy fej esetén
w = 1,
fele-fele esetén
w = 6.
Az utóbi állapot
entrópiája tehát magasabb. Érdekes észrevenni, hogy a négy pénzfeldobásos esetben a fele-fele arány a legvalószín¶bb. Ugyanígy, egy szobában sokkal többféleképpen lehet elhelyezni a tárgyakat úgy, ha bármelyik bárhol lehet: ha a könyvek csak a könyvespolcon, a ruhák pedig csak a ruhásszekrényben lehetnek, akkor a lehetséges mikroállapotok száma lényegesen alacsonyabb. Ez utóbbi lehet®séget a köznyelvben rendnek hívjuk: a rend sokkal valószín¶tlenebb, mint a rendetlenség. Az entrópia tehát a rendezetlenség mértéke. Ha egy 10 pénzérmét tartalmazó dobozt megrázunk, akkor a véletlen folyamatoknak köszönhet®en minden bizonnyal kb. fele fej, fele írás lesz. Ha egy
1027
molekulát tartalmazó teremben a molekulák véletlen mozgását engedjük meg (ahogy az a
valóságban zajlik), akkor a legvalószín¶bb az, hogy a molekulák fele a terem jobb oldalában, a másik fele a terem bal oldalában lesz (ez igen szerencsés, különben ugyanis a terem egyik felében ül® hallgatók megfulladnának). Mindezeket az alábbi ábra illusztrálja:
Ugyanígy, a fenti kísérletben mindkét folyadék molekulái véletlenszer¶en mozognak és ütköznek. Sokkal valószín¶bb, hogy a két folyadék molekulái véletlenszer¶en rendez®dnek el, mint hogy az egyik fajta az egyik oldalon, a másik a másikon ezt is a fenti ábra illusztrálja. Ha elég sok mozgást és ütközést várunk meg, tényleg összekeverednek. A kis réssel viszont elértük, hogy alig legyen köztük interakció, lényegében entrópiaváltozás nélkül zajlott le a folyamat, így helyet tudtak cserélni.
12
1. FEJEZET. HTAN
A fenti két bekezdés úgy is értelmezhet®, hogy az adott rendszer benne zajló véletlen folyamatok nyomán a lehet® legvalószín¶bb makroállapot felé halad, és jgy a saját entrópiáját maximalizálja. Az entrópia tehát nem megmaradó mennyiség, hiszen értéke magától zárt rendszer esetén is n®het (szemben az energiával: zárt, azaz küls® hatástól mentes rendszer energiája nem változhat, hiszen az energia megmarad). Egyszer¶en az a legvalószín¶bb, hogy az entrópia, azaz a rendezetlenség mértéke n®. Energiabefektetéssel persze csökkenthetjük az entrópiát, például rendet rakhatunk. Ekkor azonban az ezt (minket) is magában foglaló rendszer össz-entrópiája persze n®: a rendrakás következtében létrejöv® entrópiacsökkenést b®ven kompenzálja az anyagcserénk kapcsán létrejöv® entrópianövekmény. Az entrópiaváltozással nem járó folyamatok (például egy gáz gyors összenyomása vagy tágulása) megfordíthatóak, reverzibilisek: oda-vissza egyformán zajlanak le. Ilyen folyamatokban egy kis
dS = dQ/T
dQ
h®átadás hatására
entrópiaváltozás történik (nyilván nem zárt rendszerr®l beszélünk ekkor, hiszen a h® valahonnan
érkezik). Más folyamatok (például két gáz vagy folyadék keveredése, egy jégkocka megolvadása, egy váza földre esése és széttörése) irreverzibilisek. Ezek során az entrópiaváltozás lényegesen jelent®sebb lehet, és zárt rendszerben is n®het az entrópia ilyenkor. Ezek a folyamatok fordítva nem történnek meg: ugyan némi leh¶lés árán energetikailag lehetséges lenne a váza darabjainak felugrása és újra vázává való összeállása, ez (a véletlen folyamatokat gyelembe véve) annyira valószín¶tlen, hogy sosem következik be. Ugyanígy, lehetséges lenne, hogy a pohár víz egy része felmelegszik, egy másik része pedig leh¶l (és jégkockává áll össze), de annyira valószín¶tlen, hogy sosem következik be. A rendezetlenség csökkenése (a rend növekedése) annyira valószín¶tlen, hogy sosem következik be (zárt rendszerben, azaz magától).
Kísérlet: érmék a dobozban • •
Egy dobozban van csupa fej állású érme. Ha összerázzuk, a fej/írás arány 50-50% körül lesz. Ennek oka egyszer¶en az, hogy ez a legvalószín¶bb, és sok rázás során van id® a valószín¶ állapot kialakulására
•
Néhány érme esetén jelent®s eltérések fordulhatnak el®,
1023
érme esetén azonban egy ezreléknyi eltérés
is igen valószín¶tlen.
•
A doboz összerázása irreverzibilis folyamat, az entrópia n®, ahogy a rendezetlenség növekszik. Extrém alacsony annak a valószín¶sége, hogy a doboz érméinek fej/írás aránya egy egyenetlenebb, alacsonyabb entrópiájú állapotot mutasson magától. Természetesen rendet tehetünk a dobozban, de akkor már azt nem tekinthetjük zárt rendszernek.
1.3. Axiomatikus termodinamika 1.3.1. A termodinamika alaptételei A termodinamikát bizonyos értelemben axiomatizálni lehet 1+3 f®tétel segítségével Ezek közül a nulladik f®tétel a termodinamikai rendszerek tárgyalásmódját rögzíti. Fontos, hogy mindig egyensúlyi rendszerekr®l beszélünk, amelyek maguktól nem változnak. A termodinamikai átalakulások is ilyen egyensúlyi állapotokon keresztül történnek (itt tehát tulajdonképpen kváziegyensúlyról beszélünk, hiszen az egyensúly lényege éppen az lenne, hogy ebb®l nem tér ki a rendszer). Fontos továbbá, hogy termodinamikai rendszerek egyensúlya azt jelenti, hogy termodinamikai kapcsolatba helyezve ®ket, állapotuk nem változik meg; ebb®l az következik, hogy egyensúly esetén az egyes rendszerek intenzív állapothatározói (h®mérséklet, nyomás) megegyeznek. Maga a nulladik f®tétel pedig a következ®: ha két rendszer egyensúlyban van egy harmadikkal, akkor egymással is egyensúlyban vannak. A termodinamika els® f®tétele azt mondja ki, hogy a rendszer energiájának változását a vele közölt h® és a rajta végzett munka fedezi. Ez tehát tulajdonképpen azt jelenti, hogy az energia megmarad, és maga a f®tétel így fejezhet® ki:
∆E = Q + W. A rendszeren úgy végezhetünk munkát, hogy összenyomjuk; tágulás esetén a rendszer végez munkát, azaz Az állandó nyomáson végzett munka a
W = −p∆V
= −sA,
W < 0.
módon fejezhet® ki, hiszen a munka az er® szorozva az el-
mozdulással (F s), az er® a nyomás szorozva a felülettel (F a felülettel (∆V
(1.13)
= pA), míg a térfogatváltozás az elmozdulás szorozva
ahol a negatív el®jel azért van, mert az általunk kifejtett er® összenyomja a rendszert,
csökken a térfogata). Ez az összefüggés csak állandó nyomáson érvényes, egyéb esetben in nitezimálisan kicsi elemekre kell bontani a folyamatot, és ekkor
dW = −pdV lesz az összefüggés. A h®átadásra pedig (állandó Q = T ∆S összefüggés lesz érvényes, ami egyúttal az adott
h®mérsékleten, reverzibilis folyamatok esetén) a
h®mérséklet melletti entrópiaváltozást is megadja. Ha nem állandó a h®mérséklet, akkor ismét in nitezimálisan
1.3. AXIOMATIKUS TERMODINAMIKA
13
kicsi intervallumokra kell bontani a folyamatot, amelyekben
dQ = T dS .
Ekkor összességében a
dE = T dS − pdV
(1.14)
összefüggés lesz érvényes. A termodinamika második f®tételének három egyenérték¶ megfogalmazása van, ezek a következ®k:
•
A h®átadás iránya mindig a nagyobb h®mérséklet¶ rendszer fel®l az alacsonyabb h®mérséklet¶ rendszer
Q
felé mutat. Ekkor a melegebb helyr®l átadunk
h®t a hidegebbnek, és közben a rendszer
W
munkát
végez. Ennek ellenkez®je nem következik be, nem lehet tehát olyan hajót építeni, ami h¶ti a tengert, és az ebb®l nyert energiával körbehajózza a Földet.
•
történik. A hatásfok ekkor (η
•
Q h® áramlik, és közben W munkavégzés η = Wki /Qbe . Az állítás az, hogy minden valós rendszer hatásfoka kisebb egynél
A hatásfok azt jelenti, hogy a melegebb helyr®l a hidegebbre
< 1),
azaz a h®energiát nem lehet maximálisan munkavégzésre fordítani.
∆S = 0, irreverzibilis folyamaQ = 0 és W = 0, de az egyik fele
Zárt rendszer entrópiája nem csökken, itt zajló reverzibilis folyamatokban tok során pedig
∆S > 0
(megjegyzés: zárt rendszer számára összesen
adhat át h®t a másiknak vagy végezhet munkát a másikon ekkor van értelme a fenti entrópiaváltozást vizsgálni)
T1 és egy T2 h®mérséklet¶ tartály Q h®átadás, az egyest®l a kettes felé áramló a h®vel. Ekkor az entrópiaváltozás az egyes rendszerben ∆S1 = −Q/T1 (mivel ® leadott h®t), és ∆S2 = Q/T2 a kettes rendszerben. A teljes változás: ∆S = Q T12 − T11 . Ez akkor pozitív, ha T2 < T1 . Az els® és a harmadik verzió ekvivalenciája könnyen belátható: legyen egy között
A termodinamika harmadik f®tétele azt mondja ki, hogy az abszolút nulla fokot nem lehet elérni véges számú termodinamikai lépésben. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy ha
T → 0, akkor S
(néhány kivételt®l, például az
üvegekt®l eltekintve) nullához tart, azaz elérjük a tökéletes rendezettséget. Az abszolút nulla fok azért is érhet® el nehezen, mert ehhez egy másik, ennél hidegebb rendszerre volna szükség; ugyanakkor az abszolút nulla fokon az atomok/molekulák h®mozgása megsz¶nik, azaz lényegében megállnak ennél kisebb h®mérséklet pedig már nem képzelhet® el.
1.3.2. Állapotváltozások, körfolyamatok Az általános gáztörvény és a f®tételek következményeként a különféle állapotváltozásokat egyszer¶en leírhatjuk. Az állapotváltozások négy alapvet® típusa a következ®: Izobár Izochor Izoterm Adiabatikus (izentropikus) Az egyes folyamatokat
p−V
diagramon vagy
p= V = T = S=
T −S
áll. áll. áll. áll.
W = −p∆V W = 0, azaz ∆E = Q Q = T ∆S , továbbá ∆E = 0 Q = 0, azaz ∆E = W
diagramon ábrázoljuk:
Izobár állapotváltozáshoz állandó nyomású (tágulni képes), izochor változáshoz állandó térfogatú tartályra van szükség. Izoterm állapotváltozás esetén a rendszert megfelel®en nagy, állandó h®mérséklet¶ h®tartályban kell elhelyezni, adiabatikus állapotváltozásokhoz pedig igen jól szigetelt (h®cserét gátló) tartályra vagy nagyon gyors lefolyásra van szükség. Az adiabatikus esetben elmondhatjuk, hogy míg az energiaváltozás (az ekvipartíció miatt) addig az ezzel egyenl® munka
dW = −pdV = −N kT ∆V /V ,
dE = f /2·N kdT ,
ahol az utóbbi egyenl®ség az általános gáztörvény
14
1. FEJEZET. HTAN
f /2·dT /T = −dV /V , ami lényegében egy dierenciálegyenlet a T (V ) függvényre, amelynek T = C ·V −2/f , ahol C tetsz®leges (integrálási) állandó. Bevezetve a γ = (f +2)/f konstanst, T V γ−1 = γ vagy pV = állandó. A γ neve adiabatikus kitev®.
miatt áll fenn. Innen megoldása állandó,
Érdemes még megemlíteni, hogy izobár vagy izochor állapotváltozás esetén kiszámítható a gázok mólh®je, és a két esetre különböz® értékek adódnak:
• •
Izochor esetben
∆E = Q = nCV ∆T = f /2nR∆T , azaz CV = f /2R. W = −p∆V = −N k∆T , azaz Q = ∆E − W = f /2N k∆T + p∆V = (f /2 + Cp = CV + R
Izobár folyamatok esetén
1)N k∆T .
Azaz
Egyatomos gázok izochor (állandó térfogat mellett vett mólh®je) például fajh®jük
Cp = 21
CV = 12, 5
J/(mol K), míg izobár
J/(mol K). A két érték kétatomos gázok esetén 21 ill 30 J/(mol K).
A fenti folyamatokból körfolyamatok rakhatóak össze, melyek során egy rendszer állapotai ciklikusan változnak. Ezen körfolyamatok során h® befektetése mellett munka végezhet®: erre épülnek a termodinamikai gépek. Ilyen körfolyamatok mennek végbe az er®m¶vekben és a robbanómotorban is például. A szokásos benzinmotor az Otto-ciklust járja be: ez két adiabatikus és két izochor folyamatból áll:
Qfel h®t, lead Qle h®t (a körfolyamat ellentétes Wfel munkavégzés történik rajta, é Wle munkát végez (ad le). Ekkor az energiamegmaradás = Wle + Qle , ahonnan (mivel a hasznosuló nettó munka Whasznos = Wle − Wfel ):
A h®b®l munka keletkezik, pontosabban a rendszer felvesz pontjain), továbbá miatt
Wfel + Qfel
η=
Whasznos Wle − Wfel Qle = =1− . Qfel Qfel Qfel Q = nCV ∆T használható; az adiabatikus T V γ−1 =állandó. Ezután az r = Vmax /Vmin kompressziós adódik. Tipikus értékek (r = 8, γ = 7/5 = 1.4) mellett η = 0, 56.
Miután a h®leadás csak az izochor folyamat során történik, ekkor változások során pedig munkavégzés történik, és ekkor faktort de niálva véve a hatásfokra
η = 1−r1−γ
A benzinmotorok tehát a keletkez® h®t 56%-os termodinamikai hatásfokkal alakítják mozgási energiává. További veszteség keletkezik az égés tökéletlensége, a mozgási energia veszteséges (súrlódó) átvitele és sok más jelenség miatt, ezért a tényleges hatásfok jóval alacsonyabb is lehet. Lényegesen jobb hatásfokú lehet a Carnot-ciklus, amelyet két adiabatikus és két izoterm folyamat alkot. A
Qle , azonban az izoterm átalakulásokra vonatkozó Q = T ∆S összefüggés η = 1− Q fel = Tmin /Tmax , azaz η = 1−Tmin /Tmax . Itt Tmin → 0 esetén η → 1, tehát a 100% hatásfok csak egy
fentiekhez hasonlóan itt is miatt
Qle /Qfel
nulla fokos közeggel lenne elérhet®, ami viszont nem létezik. Ennek jelent®sége az, hogy a Carnot-körfolyamat a lehet® legnagyobb hatásfokú folyamat, és még ez sem 100% hatásfokú. A Carnot-körfolyamat
T −S
diagramon:
2. fejezet
Elektromosság és mágnesesség 2.1. Az elektromosság alapjelenségei Kísérlet: vattadarab lebegtetése •
Megdörzsölt m¶anyagrúddal vattadarabot vonzunk a rúdhoz. Néhányszor lerázva a vattadarabot a rúdról, a rúd taszítani fogja a vattát, így azt lebegtetni is tudjuk a rúd fölött.
•
Az elektromos állapotba hozott testek a semlegeseket a polarizáció vagy a megosztás lévén (attól függ®en, hogy szigetel® vagy vezet® a semleges test) vonzzák.
•
A vattadarab és a m¶anyagrúd érintkezésekor a vattadarab átvesz a rúd töltéséb®l, így azonos töltés¶vé válnak. Kis mérték¶ átvétel esetén a polarizáció miatt még mindig vonzást tapasztalunk (egy-két lerázással a vattadarab visszavonzható a rúdra), de többszöri átvétel után taszítás gyelhet® meg.
2.1.1. A Coulomb-törvény Az elektromosságot az ókorban fedezték fel (már a görögök is), pontosabban azt a jelenséget, hogy a sz®rmével dörzsölt borostyán (elektron az ógörögben) tárgyak taszítják egymást, a sz®rmét pedig vonzzák. Ez kétféle állapot megjelenésére utal (és érdekes megemlíteni, hogy régebben ezen az elven m¶ködtek a fénymásológépek), ezeket jellemezzük pozitív és negatív töltésel. A modern korban Franklin (villám), Galvani (békacomb), Volta (áram) és Coulomb (er®) kísérletei hozták létre a zika elektromosággal foglakozó ágát. Coulomb 1785-ben publikált törvénye így hangzik: A két ponttöltés közötti elektrosztatikus er® nagysága arányos a két töltés nagyságának szorzatával és fordítottan arányos a köztük lév® távolsággal. Az er® a töltéseket összeköt® egyenes mentén hat. Ha egyforma töltés¶ek, akkor az er® taszító, ha ellentétes töltés¶ek, akkor az er® vonzó típusú. (Érdekes észrevenni, hogy ez a törvény a gravitációs törvényhez igen hasonló, kivéve, hogy van negatív töltés is, míg negatív tömeg nincsen.) Ezt ma inkább egyenlettel fogalmazzuk meg, eszerint egymástól
q1
q2
és
F =k ahol
r
távolságra lév®
töltés között (amelyeket Coulomb mértékegységben adunk meg)
k = 9·109
2
Nm
/C2
q1 q2 r2
er® hat, illetve vektorosan
q1 q2 #» r #» F =k 3 r
(2.1)
a Coulomb-állandó. A töltés egysége tehát a Coulomb, ami úgy is de niálható, hogy két
1 C töltés¶, egymástól 1 méter távolságú töltés közötti er®
9 · 109
N (hivatalosan ennél trükkösebb a de níció,
az áramon és az áramjárta vezet®k közötti er®n keresztül adott, ezt itt most nem tárgyaljuk). A fenti
k
k = 1/(4π0 ) módon is megadhatjuk, ahol 0 a vákuum elektromos permittivitásnak neve8, 9·10−12 C2 /Nm2 . Ha a két töltés nem vákuumban van, akkor használható a közeg = r 0 ahol r ≥ 1 a relatív permittivitás, ami a közeg polarizálhatóságával függ össze. Adott töltések
állandót
zett állandó, értéke permittivitása,
által létrehozott elektromos tér egy konkrét pontban vett értéke tehát polarizálható közeg hatására csökken. Víz esetén például
r
= 80, ennek is köszönhet®, hogy a szervezetünkben az életm¶ködéshez nélkülözhetetlen
zikai-kémiai folyamatok (amelyek például elektrosztatikus kötések szétszakításával járnak) megvalósíthatók. Ma már tudjuk, hogy a töltés hordozói az atomok és az elektronok; a legkisebb lehetséges töltés értékét Millikan mérte meg el®ször, 1909-ben. Porlasztás során véletlenszer¶en töltött olajcseppek zuhanását gyelte mikroszkóppal, elektromos térben és anélkül. Ebb®l meg tudta határozni az elemi töltés értékét: ez
e=1,6·10−19
C. Ez éppen az elektron (−e) vagy proton (+e) töltésének felel meg. Érdekes kiszámolni, hogy két 10 távolságra lév® elektron között az er® 2,3·10 (10
22
−8
−10
m
Newton, ami megdöbbent®en nagy gyorsulást eredményezne
2
m/s ).
15
16
2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG
Fontos azt is tudni, hogy az anyag m¶ködése javarészt az elektromos kölcsönhatáson, illetve a Coulombtörvényen múlik: ez tartja egyben a szilárd testeket, vagy abszurd példával élve ez nem engedi átesni a sapjánkat a fejünkön. A h®tan (molekulák ütközései, köztük fellép® kölcsönhatás), a (bio)kémia (a molekulák és atomok elektronszerkezetével magyarázható), de a súrlódás vagy felületi feszültség is (mindkett® elektromos er®) ezzel magyarázható.
2.1.2. Térer®sség és er®vonalak A Coulomb-törvény helyett máshogy is megközelíthetjük az elektromosságot. A töltések között ható er® (amely a töltések távolságának változását azonnal követi, távolhatást hozva létre ezzel) helyett vezessük be az
elektromos tér
fogalmát, illetve a térer®sséget. Hogy egy adott pontban
ha ebben a pontban elhelyezünk egy
q
E
a térer®sség, az a következ®t jelenti:
töltést, akkor arra
#» #» F = qE
(2.2)
er® hat. Hogy jobban megértsük ezt, fogalmazzuk át a Coulomb törvényt: a melynek nagysága
r
E=k Ez az
E
Q
töltés elektromos teret kelt,
távolságban
elektromos tér hat a
q
töltésre, méghozzá
Q . r2
F = Eq
(2.3) mértékben. Ebbe behelyettesítve
F = kQq/r2
adódik, azaz visszakapjuk a Coulomb-törvény eredeti alakját. A térer®sség jelentése még egyszer tehát: ha egy
q
töltés¶ próbatestre egy adott pontban
F
er® hat, akkor ott
E = F/q
térer®sség van. A térer®sség is vektor
ez alapján, az er® irányába mutat. Valójában azt gondoljuk, hogy nem is a Coulomb-er® az, ami létezik, hanem az elektromos tér (vagy inkább mez®nek hívjuk sokszor). Ez sokkal szélesebb körben értelmezhet®, lényegesebb mennyiség, mint az er®. A térer®sség
egy
töltés esetén is létezik, azaz akkor is, ha nem eredményez er®t.
Az elektromos teret er®vonalakkal szemléltetjük. Az er®vonalak mindig a térer®sség irányába mutatnak, azaz az érint®jük adott pontban a térer®sség (emiatt nem is metszik egymást), az er®vonalak s¶r¶sége pedig a térer®sség nagyságát jelzi az adott pontban. Az er®vonalak mindig pozitív töltésb®l indulnak ki és negatív töltésben végz®dnek (vagy a végtelenben). Egy vagy két töltés terét egyszer¶ felrajzolni ezek alapján:
Érdekes kérdés, hogy ha az atomok semlegesek, akkor hogyan tarthatja mégis össze az elektromos er® ®ket molekulákban, illetve szilárd testekben. Ennek az a magyarázata, hogy az atomok polarizálják egymást, és végeredményben inkább két,
d távolságra lév® q
töltésb®l álló dipólusként képzelhet®ek el. Egy ilyen dipólus elektromos
x d távolságban könnyen kiszámítható. Ekkor az egyik töltést®l h i 1 1 vett távolság x + d/2, a másiktól pedig x − d/2. Az elektromos terek összege ekkor E = kq 2 − 2 , (x−d/2) (x+d/2) tere a dipólustól messze, a tengelye mentén
ami
d x
miatt, az
(1 + a)n ≈ 1 + an
közelítést felhasználva
E= teret eredményez. Az ebben szerepl® kulák közötti
másodrend¶
qd
2kqd qd = x3 2π0 x3
(2.4)
mennyiséget a rendszer dipólus-nyomatékának is nevezzük. Ez a mole-
kölcsönhatás alapja. Az er® két ilyen dipólus között:
F ≈ 6kq 2 d2 /x4 .
Kísérlet: világító uborka •
Egy uborkát rákötünk az elektromos hálózatra, majd változtatható feszültség¶ transzformátorral egyre növeljük az uborkára kapcsolt feszültséget. Adott feszültség (kb. 100 volt) felett az uborka elkezd világítani!
•
Az elektromos hálózat elektromos teret hoz létre, ez er®vel hat az uborkában lév® töltésekre. A pozitív és a negatív töltésekre ellentétes irányú er® hat, ezért ezek szétszakadnak, ionizáció jön létre. Ezek a szabad töltések már gyorsulni kezdenek, felforrósítva az uborka anyagát.
•
A h® hatására buborékok keletkeznek, amelyekben viszont ívkisülések következnek be. Ezekben annyira nagy a h®mérséklet, hogy az a látható fény tartományában sugároz.
2.1. AZ ELEKTROMOSSÁG ALAPJELENSÉGEI
17
2.1.3. A uxus és a Gauss-törvény A térer®sségen túl egy másik fontos absztrakt mennyiséget is de niálunk, mely a kés®bbiekben igen hasznos lesz számunkra. Ez a mennyiség az adott felülethez tartozó uxus. A uxust adott felületre vonatkoztatva de niáljuk, értéke konstans térer®sség és sík felület esetén
#» #» Φ = EA ahol
#» A
(2.5)
a felület nagyságával megegyez®, a felületre mer®leges vektor. Amennyiben a térer®sség változik, vagy a
felület nem sík, akkor az
A
felületet fel kell bontani in nitezimális
dA
felületelemekre, amelyeken már konstans
a térer®sség, és ekkor
Z Φ=
#» # » E dA
(2.6)
lesz a uxus de níciója. Fontos látni, hogy a térer®sség az er®vonalak lokális (felületi) s¶r¶ségét adja meg, ezért ezt a felületre integrálva éppen a felületen átmen® er®vonalak számát kapjuk meg. A de nícióból következik, hogy ha egy zárt felületen belül nincs belül töltés, akkor a bemen® vonalak ki is jönnek (csak töltésben végz®dhetnek!), ezért ezen a felületen a uxus nulla. Gondoljunk el ezek után egy sugarú gömböt egy
#» E
Q
töltés köré. Ekkor a képzeletbeli gömbfelület minden kis elemére
#» dA
r
párhuzamos a helyi
E = kQ/r2 . Emiatt erre a gömbfelszínre Z Z Q Q #» # » Φ = E dA = E dA = EA = k 2 4πr2 = 4πkQ = r 0
térer®sségvektorral, és minden pontban
tehát
Φ = Q/0
(2.7)
a gömb sugarától függetlenül. Ez általánosítható nem gömb alakú, de zárt felületre, illetve több
töltést bezáró felületekre is. A végs® következtetésünk a
Gauss-törvény : összesen Qbent
töltést tartalmazó zárt
felület uxusa
Z Φzárt = zárt
#» # » Qbent E dA = . 0
(2.8)
A fentieket illusztrálandó, az alábbi illusztráción négy képzeletbeli felület uxusa látható:
A Gauss-törvényb®l néhány egyszer¶ gyakorlati következmény adódik: a) Töltött, tömör vezet® test esetén a testen belül mindenhol
E = 0,
mivel különben a belül lév® szabad
elektronok mozognának (ez a vezet® anyag de níciója: benne lényegében szabad töltések találhatóak, amelyek kis elektromos tér hatására is könnyedén elmozdulnak). Emiatt egy tetsz®leges, belül elképzelt zárt felüeltre
Φ = 0.
A Gauss-törvény miatt azonban ezen elképzelt felületen belül ekkor nem lehetnek
töltések. Ez a képzeletbeli felület tetsz®leges, tehát a vezet® test belsejében sehol sem lehetnek töltések. Ez azt jelenti, hogy ilyenkor az összes töltés a test küls® felületén gy¶lik össze (és akár üreges testre is kiterjeszthet® a bizonyítás). b) Elektromos térbe helyezett üreges vezet® test esetén viszont az következik ebb®l, hogy az üregben nem lehet elektromos tér sehol! Ez a Faraday-kalitka. Ezt majd a potenciál de níciója segítségével vezetjük le. c) Töltött vezet® gömb elektromos tere a gömbön belül tehát mintha ponttöltés lenne, azaz
Φ = Q/0 = 4πkQ
értéket vesz
E = kQ/r2 , miveil fel, és E = Φ/A.
d) Csúcs-hatás: az éles csúcs kis gömbgént viselkedik, itt tehát esetén)
E
E = 0. A tér a gömbön kívül úgy A = 4r2 π felület¶ gömbön
a köré rajzolt
E = kQ/r2 ,
csökken, a uxus
a csúcshoz nagyon közel (kis
r
nagyon nagy lehet. Ez adja a villámhárító m¶ködésének alapját: a csúcs nagy elektromos tere
ionizálja a leveg®molekulákat, így vezet®vé válik a leveg®, és a csúcs elvezeti a feszültséget.
18
2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG
e) Egy
l
λ [C/m] lineáris töltéss¶r¶séggel töltött vezeték elektromos tere a köré rajzolt (képzeletbeli) r
sugarú,
hosszúságú hengerrel számolható. Ennek csak a palástjánvan uxus, hiszen a végein található síkokon
A = 2rπl, az ezen belüli E = Φ/A = 2kλ/r, ha λ a
nem megy át a térer®sség, hanem éppen árhuzamos azokkal. A palást felszíne töltés
Q = λl,
innen a Gauss-törvény segítségével (Φ
= Q/0 )
adódik, hogy
töltéss¶r¶ség (Coulomb/méter). f ) Egy
σ
2
[C/m ] felületi töltéss¶r¶séggel feltöltött síklap elektromos tere ugyanígy (képzeletbeli hasábbal)
megkapható. Ennek csak a lapjain van uxus (hiszen az oldallapjai párhuzamosak a térer®sséggel), és ha
Φ = Q/0 , és a térer®sség E = Φ/2A = A felületünk van). Két ellentétes töltés¶ lap között a térer®sség ennek kétszerese, E = σ/0 = Q/(A0 ). Ezt hívjuk a kondenzátornak. Azt is mondhatjuk, hogy ezen E térer®sség esetén Q = EA0 töltés jelenik meg. ezek felszíne
σ/20 ,
A,
akkor a bezárt töltés
Q = Aσ .
Emiatt a uxus
azaz konstans (a kettes szorzó amiatt van, hogy összesen kétszer
Ezeket az alábbi ábra illusztrálja:
Kísérlet: alufóliába tekert mobiltelefon •
A fólia elég jó vezet®, így a belsejében az elektromos térer®sség nulla. Ez sztatikus (id®ben nem változó) esetre vonatkozik, de eléggé megzavarja a mobilkommunikáció során küldött jeleket is (amelyek persze térben és id®ben változó elektromos tér formájában terjednek).
• • •
A betekert telefont hívva az nem lesz kapcsolható: a fólián belül nem tud jeleket fogadni és küldeni. Egy réteg fólia nem biztos, hogy elég, éppen a nagy frekvencia és a tér behatolási mélysége miatt. Az alufólia elég hamar kilyukad, ami szintén elronthatja a kísérletet (a lyukon át mégis bejut a jel).
2.2. Elektromos feszültség és elektromos áram 2.2.1. Az elektromos potenciál Ahogy láttuk, az elektromos térbe helyezett töltésre er® hat. Feltehetjük a kérdést, hogy mekkora energiára (munkára) van szükség, hogy egy töltést két pont között ezen er®tér ellenében mozgassunk? Vagy ekvivalensen, ha a töltést az er®tér mozgatja (gyorsítja) akkor mekkora munkát végez rajta, mekkora mozgási energiára tesz szert? Mindezeket a munka de níciójának segítségével számíthatjuk ki. Ha ismert az a töltésre ható
#» #» F = qE
a → b út minden pontjában
er®, akkor az út során végzett munka
Z
b
Wa→b =
#» #» F ds = q
a
Z Ua→b =
Z
b
#» #» E ds = qUa→b ,
azaz
(2.9)
a b
#» #» E ds.
(2.10)
a Itt
Ua→b
a két pont közötti
egy töltés adott
U
elektromos potenciálkülönbség,
feszültségkülönbségen halad át, akkor
avagy
qU
elektromos feszültség.
A de níció alapján ha
energiára tesz szert. A feszültség és az eletromos
potenciálkülönbség mértékegysége a de níciónak megfelel®en V=J/C. 1 volt feszültség egy elektront egy
ronvolt p
v=
−19
(eV) energiára gyorsít, ahol1 eV = 1,6·10
E/2m = c/1000 = 300 000
elekt-
J energia. Az egy elektronvolt energiájú elektron sebessége
m/s.
Ahogy az el®z® félévben tanultuk, konzervatív er®tér esetén (és az elektromos er®tér ilyen) ez a munka nem függ a konkrét úttól. Ekkor
V (r)
potenciális energia
de niálható,
U = V /q
Wa→b = Va − Vb
szerint írható, azaz minden
r
ponthoz hozzárendelhet® egy
(szabadon választott nulla-szinttel). Ezzel az adott pont elektromos potenciája is
módon, és ekkor
Ua→b = Ua − Ub .
A potenciális energiához hasonlóan az
U =0
szint is
bárhol felvehet®, többnyire a föld feszültségét vesszük ennek. Érdemes megvizsgálni, hogy két nagyon közeli (végtelenül, in nitezimálisan közeli) pont potenciálkülönbsége
#» #» dU = −E ds írható fel. A szorzást kibontva #» −dU = Ex dx+Ey dy+Ez dz adódik, ami matematikailag megfordítva E = −(dU/dx, dU/dy, dU/dz) összefüggést mekkora: ezek között már határesetben konstans a térer®sség, így
2.2. ELEKTROMOS FESZÜLTSÉG ÉS ELEKTROMOS ÁRAM
jelent, másképpen
E = −gradU .
19
A térer®sség tehát az elektromos potenciál gradiense ahogy a mechanikában
pedig az er® a potenciális energia gradiense. Ez valahogy azt jelenti, hogy a térer®sség a potenciál legnagyobb csökkenésének irányába mutat, a töltések maguktól ebbe az irányba mozdulnak el ahogy egy változó magasságú terepen elhelyezett labda is a legmeredekebb irányban gurul el. A fenti de níciókkal néhány konkrét esetben számoljuk ki két pont potenciálkülönbségét, illetve a nulla
E állandó) csak a h magasságban egy q töltés elektromos energiája V (h) = qEh (hasonlóan a gravitációs térhez, ahol Vgrav (h) = mgh, azaz homogén E térben h helyen az elektromos potenciál U = E · h. Másképpen d távolságon lév® U feszültség esetén a térer®sség átlagosan E = U/d.
szintet de niálva adott pont elektromos potenciálját. Homogén elektromos térben (ahol térer®sség irányába történt elmozdulás számít. Itt
2 Q ponttöltés elektromos terét, amely r helyen E(r) = kQ/r ; erre szintén levezethet® az elektroR∞ mos potenciál nagysága, az U = E(s)ds de níció alapján (csak itt az r távolságtól kell a végtelenik de niálni, r ha a nulla szintet a végtelenben helyezzük el). Az eredmény U (r) = −kQ/r , és ez a Gauss-törvény miatt nem Vegyük egy
csak ponttöltésre, hanem gömbszimmetrikus töltéseloszlásra is igaz. A fentiekkel a kondenzátorral kapcsolatban is egy további összefüggést kaphatunk. Ahogy korábban láttuk,
E = σ/0 térer®sség alakul ki, itt tehát U = σ/0 d. A síklap Q töltését U = Q/(0 Ad). Ez alapján bevezethetjük a kondenzátor kapacitását: C = Q/U = 0 Ad, és ez azt jelenti, hogy a kondenzátor U feszültségre kapcsolva Q = CU töltést tud tárolni. Itt a kapacitás jele C , mér-
két egyenletesen töltött síklap között gyelembe véve
tékegysége coulomb/volt avagy farad. Ha a kondenzátor lemezei között polarizálható dielektrikum van, akkor a fenti kifejezést ki kell egészítenünk a dielektrikumra jellemz®
r
értékkel, így a kapacitás tovább növelhet®. A
feltöltött kondenzátor energiát tárol, melyet a kondenzátor kisütésekor tudunk felhasználni. Az energia mértéke azzal a munkavégzéssel egyezik meg, amely a töltéseknek a kondenzátor lemezeire való felviteléhez volt szükséges. Egy kis
dQ
töltést az aktuálisan
U
feszültségen lév® lemezpárra
dW = U (Q)dQ
munkavégzéssel vihetünk.
Kezdetben a lemezek között nincs potenciálkülönbség, az a lemezek feltölt®désével együtt, a felvitt töltéss¶r¶séggel (a felvitt töltés mennyiségével) egyenesen arányosan n® a maximális között integrálva kapjuk, hogy az
U
U
értékig. A fenti kifejezést 0 és
feszültségre feltöltött kondenzátor energiája:
E=
1 2 QU
=
1 2 2 CU
=
U
2 1Q 2 C .
Kísérlet: feltöltött kondenzátor kisütése vasszöggel • •
0,65 F-os, 6,3 V-os elektrolitkondenzátort feltöltünk, majd egy vasszög segítségével kisütjük. A kis ellenállású vasszögön keresztül a töltéskiegyenlít®dés nagyon gyorsan megtörténik. A kisütéskor keletkez® nagy áramú szikra nagy h®-, fény- és hanghatással jár, amivel a szöget a kondenzátor kivezetéseihez hegeszthetjük.
•
Kis id® elteltével a kondenzátorban ismét kisüthet®. Ennek oka, hogy a benne található polarizált dielektrikum miatt újra létrejön a töltésszétválasztódás.
De niálhatjuk továbbá az ekvipotenciális felületek fogalmát: ezeken
U =állandó, ez a gravitációs analógiában
tulajdonképpen a térkép szintvonalainak felel meg. Az elektromos térer®sség (E ) mindig mer®leges a szintvonalakra (ne felejtsük el, a térer®sség iránya mindig az elektromos potenciál legnagyobb változásának iránya). azaz az er®vonalak és az ekvipotenciális felületek mer®leges hálózatot hoznak létre. Az ekvipotenciális felületek nem érintkezhetnek - hiszen adott felületen
U
értéke adott, két felületen különböz®. Fontos ezzel kapcsolatban látni,
hogy egy vezet® minden pontja ekvipotenciális, hiszen különben lenne benne térer®sség, és ennek hatására a vezet®ben jelen lév® szabad töltések elmozdulnának. A Faraday-kalitkára vonatkozó állítás könnyen bizonyítható ekvipotenciális felületekkel:
• •
Tegyük fel, hogy az üregben van térer®sség, azaz a potenciál pontról pontra változik. Rajzoljunk az üregen belül egy adott pontot tartalmazó zárt, ekvipotenciális felületet (ilyen biztosan van, hiszen a fém bels® felülete azonos potenciálon van).
• • •
Az er®vonalak erre mer®legesek, azaz ezen a felületen a uxus nem lehet nulla. Az üregben azonban nincs töltés, így Gauss tétele miatt ellentmondásra jutottunk. Ez egy módon oldható fel: ha az üreg egész bels® tere azonos potenciálon van, azaz itt nincs térer®sség.
2.2.2. Az elektromos áram Ahogy láttuk, potenciálkülönbség hatására elektromos tér alakul ki (vagy fordítva), amely a szabad töltéseket elmozdíthatja. Ez az áram jelensége: vezet® anyagra feszültséget kapcsolva a jelen lév® szabad töltések vándorolni kezdenek. A töltések vándorlását az áramer®sséggel jellemezzük, amelynek de níciója az id®egység alatt átáramlott töltésmennyiség. A jele
I,
mértékegysége amper, amely
A =Coulomb/sec
módon de niált. 1 A
már elég nagy áram, egy háztartásban többnyire csak több készülék egyszerre való bekapcsolása hoz létre ilyen nagyságrend¶ áramot.
20
2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG
Az áram nagysága konkrétan úgy alakul ki, hogy az elektronokat gyorsítja az elektromos tér, és mivel anyagban ütköznek a többi elektronnal, egyfajta közegellenállást tapasztalnak, amely a sebesség növekedésével n®. Amikor az elektromos tér gyorsító erejét éppen kioltja a megnövekedett közegellenállás, akkor az elektronok nem gyorsulnak tovább hasonlóan az es®cseppek zuhanási sebességénél tanultakhoz. Az elektronok ezen határsebességét driftsebességnek nevezzük. Hogyan függ az áram er®ssége ezen sebességt®l, illetve mi mástól függ még vajon? Ha minden más adott, akkor nyilván a sebesség növekedésével egyenesen arányosan n® az áram is, hiszen egységnyi
∆t
id®tartam alatt,
v
sebesség esetén
v · ∆t
távolságból érnek el az elektronok az adott
n, akkor ebben a v · ∆t Av · ∆t térfogatú részben ∆N = nAv · ∆t szabad elektron van, azaz id®egységenként ennyi Ez ∆Q = e∆N töltésnek felel meg, mert az egyes elektronok töltése e. Miután az elektromos
felülethez. Ha a vizsgált vezet®ben a szabad elektronok térfogategységre es® száma hosszúságú, azaz éri el a felületet.
áram nagysága az adott felületen áthaladó töltések id®egységenkénti mennyiségét jelenti, így
I=
∆N ∆Q =e = enAv. ∆t ∆t
(2.11)
Ebb®l a szabad elektronok száma az adott vezet®re jellemz®, a driftsebesség pedig arányos a megjelen® térer®sséggel (hiszen ez gyorsítja az elektronokat), azaz az áramer®sség is: módon számolható (ha
L
a vezet® hossza, ahol az
U
I ∼ E.
E = U/L I ∼ U A/L, a
Miután a térer®sség pedig
feszültség kialakul), így végeredményben
fenti képletb®l a keresztmetszett®l való függést is megtartva. Látható, hogy minél nagyobb a keresztmetszet, annál nagyobb az áram er®ssége: a metróból kiáramló tömeg is könnyebben kijut, ha szélesebb folyosón mehetnek ki. Az áramot befolyásoló többi tényez® (az elektronokra ható közegellenállás, illetve a szabad elektronok száms¶r¶sége) kizárólag az anyagra jellemz®. Ezt a tényez®t
I=U adódik, és
ρ-t
ρ-val
jelölve
A ρL
(2.12)
a vezet® fajlagos ellenállásának nevezzük (hiszen láthatólag ennek növekedése csökkenti az ára-
mot). Ennek mértékegysége Vm/A (volt·méter/amper). Vezet® fémekre
10−8
Vm/A körüli értéke tipikusak (de
ezen belül arany fajlagos ellenállása 10× kisebb az acélnál), míg szigetel®kre, például üvegre értéke
1010−14
Vm/A. Ennek magyarázata az, hogy el®bbi anyagban sok a szabad elektron, és ezek szinte akadálytalanul áramolhatnak. Többnyire a fajlagos ellenállás a h®mérséklettel n®, hiszen ekkor a h®mozgás jobban lassítja az elektronokat. Érdemes megemlíteni, hogy vannak félvezet® jelleg¶ anyagok is, amelyek ellenállása jelent®sen függ egyéb körülményekt®l: alapesetben kevés a szabad (vezethet®) elektron bennük, de energia (például h®) hatására az elektronok nagy mennyisége szabaddá tehet®, így az anyag jó vezet®vé változik.
2.2.3. Az Ohm-törvény, az elektromos teljesítmény Amennyiben egy konkrét, az
R = ρL/A
L hosszúságú és A keresztmetszet¶ tárgyról beszélünk, akkor ennek de niálhatjuk
ellenállását, amelyet a fenti formulába helyettesítve az Ohm-törvényt kapjuk:
U = RI azaz egy
I
áramot szállító
(2.13)
R ellenálláson U mértékben csökken a feszültség. Az ellenállás jele tehát R, mértékegyΩ-val jelölünk, és de níciója Ω=V/A. Miután ebb®l I = U/R adódik, így nagyon
sége pedig ohm, amit írásban
kicsi ellenállásra feszültséget kapcsolva (azaz feszültségesést létrehozva) nagyon nagy áram keletkezik ez a rövidzárlat jelensége. Az Ohm-törvény ezen viselkedése a második Newton-törvényéhez hasonlít: eszerint szinte nulla tömeg¶ testre er®t kifejtve szinte végtelen gyorsulás jön létre. A feszültségesés tulajdonképpen az er®nek felel meg, az ellenállás a tehetetlenségnek (tömegnek), míg az áram a gyorsulás párja ebben az analógiában. Fontos jelenség, hogy miután az elektronokat a gyorsító elektromos tér ellenében egyfajta közegellenállás avagy bels® súrlódás lassítja, ez energiaveszteséghez vezet, amely h® formájában jelenik meg. Ezért az elektromos áram folyásához folyamatos energia-pótlásra van szükség. Ennek nagyságát úgy kaphatjuk meg, ha gyelembe vesszük, hogy egy Ugyanakkor ha
U
e
töltés¶ elektron
feszültség hatására
feszültségen, ez pedig
∆W = U I∆t
I
U
eU ∆Q = I∆t
feszültségen való áthaladása során
áram folyik, akkor az
∆t
id® alatt
energiára tesz szert. töltést mozgat át
U
munkavégzésnek felel meg. Ez
P = ∆W/∆t = U I teljesítménynek felel meg. Eszerint ha
U
feszültség hatására egy
R ellenálláson I
(2.14) áram folyik, akkor az itt leadott
teljesítmény:
P = U I = I 2 R = U 2 /R.
(2.15)
Ez a törvény nagyon fontos, hiszen ez szabja meg az elektromos eszközök m¶ködtetéséhez szükséges energiát. Ha például egy 1
Ω ellenállású eszközt kötünk a 220 V feszültség¶ elektromos hálózatba, akkor azon 220 A áram
2.2. ELEKTROMOS FESZÜLTSÉG ÉS ELEKTROMOS ÁRAM
21
folyik majd, azaz az ez által felvett teljesítmény kb 48 kW lesz, ami egy óra alatt 48 kWh fogyasztást jelent ennek kapcsán 2014-es árakon Magyarországon kb. 2500 Ft költség keletkezik. A háztartási eszközeink ellenállása ennél általában lényegesen nagyobb: egy 60 W teljesítmény¶ izzó például az 700
Ω
R = U 2 /P
összefüggés alapján kb.
ellenállással rendelkezik. A régebbi háztartási biztosítékok is ezen az elven m¶ködnek: ha túl nagy áram
folyik rajtuk, akkor ezzel négyzetesen arányos h® keletkezik, ami megolvasztja a biztosítékot, megszakítva az áram folyását. Ezzel védekezünk a rövidzárlat és az extrém nagy áram illetve teljesítményfelvétel kialakulása ellen. Az elektromos energiát távvezetékeken szállítjuk, pontosabban két különböz® feszültség¶ vezetéken. Erre minden fogyasztó rákapcsolódhat, energiát vételezve. Ugyanakkor a fogyasztóhoz az esetenként több tíz vagy száz kilométerre lév® er®m¶b®l kell elvinni az elektromos energiát. Bár a távvezeték fajlagos ellenállása kicsiny, de összességében az ellenállása mégis nagy, az
P = I 2R I áramot
R = ρL/A
összefüggés és a vezeték nagy
L
hossza miatt. Így a
miatt jelent®s teljesítményt veszítünk a távvezetéken. Ezt úgy lehet elkerülni, ha a vezetékben folyó valahogy lecsökkentjük. Hogyan érhet® ez el? Megkülönböztetend® a távvezetéken es®
és a vezetékek közötti
Pf = Uf I ,
Uf
Ut
feszültség,
feszültség, amelyet a fogyasztó aztán használ. A fogyasztóhoz eljutó teljesítmény
míg a távvezetéken elvesz® teljesítmény
Pt -t
nem akarjuk csökkenteni,
igen: ez
Uf
Pt = I 2 R
(az áram a két esetben azonos). Míg
növelésével érhet® el, hiszen ekkor
I
csökken, és így
Pt
Pf
értékét
is csökken.
Ezért tehát a távvezetékeken 220 V-nál lényegesen (akár százezerszer) nagyobb feszültség folyik, viszont igen kicsiny az áramer®sség. Ezeket a fogyasztóhoz közel transzformálják át nagyobb árammá és kisebb feszültséggé.
2.2.4. Áramkörök Az elektromos feszültség és áram felhasználásával különféle eszközöket tervezhetünk, amelyek sokféle feladatot láthatnak el, a lámpakapcsolótól az autó elektronikai rendszerén át a számítógépekben található technológiáig. A legegyszer¶bb áramkörben egy feszültségforrás és egy ellenállás található, ennek m¶ködését az Ohm-törvény szabályozza:
U
feszültség és
R
ellenállás esetén az áramkörben
I = U/R
áram folyik. Az ilyen
(és más) áramkörök vizsgálatakor fontos elv (illetve közelítés), hogy a vezeték és a feszültségforrás ellenállása nulla, ezért csak magát az
R
ellenállást kell gyelembe vennünk. Ez azt is jelenti, hogy az egybefügg® vezeték
végig azonos feszültségen van, hiszen ha lenne rajta feszültségesés, akkor végtelen nagy áram jönne létre. A bonyolultabb szerkezet¶ áramkörök viselkedését két egyszer¶ törvény segítségével határozhatjuk meg. Ezek a
Kirchho-törvények, amelyek egyébiránt szinte triviális állításokat mondanak ki:
1. Egy csomópontban a be- és kifutó áramok összege nulla mivel az áram (a töltés) nem veszik el 2. Ha végigkövetjük egy zárt vonal (hurok) mentén a feszültség változását, akkor összességében nullát kapunk hiszen ugyanabba a pontba értünk vissza El®bbi egyszer¶en az elektromos töltés megmaradását jelenti, utóbbi pedig ahhoz az állításhoz hasonló, miszerint egy olyan hegyi túrán, amelynek során a kiindulási pontba érkezünk vissza, összesen ugyanannyit mentünk fel, mint amennyit le. Két egyszer¶ áramkör esetén ezen törvényekkel könnyen kiszámolható a kialakuló áramok és feszültségek nagysága:
A baloldali ábrán két ellenállás párhuzamos kapcsolása látható, a számolás alapján ekkor az összesített ellenállás
1/R = 1/R1 + 1/R2
kapcsolások esetén pedig
módon adódik két párhuzamosan kapcsolt ellenállás így eggyel helyettesíthet®. Soros
R = R1 + R2
adódik az összesített ellenállásra. Érdekes látni, hogy több ellenállás
párhuzamos kapcsolása esetén a teljes ellenállás
csökken, mivel több lehet®sége
van az elektronoknak mozog-
ni. Gyakorlásnak érdemes végiggondolni, hogy mi történik, ha kondenzátorokat helyezünk el az áramkörben
22
2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG
ezekre az Ohm-törvény helyett az
U = Q/C
törvényt kell alkalmazni, ahol
len® töltések nagysága (természetesen az egyik oldalon
+,
a másikon
−
Q
a kondenzátor két felén megje-
el®jellel). Figyelembe kell venni, hogy
kezdetben a vezeték minden pontja semleges, így két sorosan kapcsolt kondenzátor töltése azonos kell, hogy legyen, míg párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok esetén a feszültség azonos. Emiatt végül az adódik, hogy párhuzamos kapcsolás esetén a kapacitások összeadódnak (C adódnak össze (1/C
= C1 + C2 ),
míg soros kapcsolás esetén inverzen
= 1/C1 + 1/C2 ).
2.3. Mágneses tér és hatásai Kísérlet: vas mágnesezése •
A normál mágnes vonzza a mágnesezhet® anyagokat, például a vasszöget. Ha ennek súlya nem túl nagy, vagy a mágnes elég er®s, akkor a gravitáció ellenében meg tudja tartani, akár egy nagyobb vasdarabot is.
• •
Ekkor a vasdarab mágnessé válik, és vonzani tud más tárgyakat, kis gemkapcsokat meg is tud tartani. Ha elvesszük az eredeti mágnest, a vasdarab is elveszti mágnesességét, a gemkapcsok leesnek. Mindezen jelenségek magyarázatát lásd alább.
2.3.1. Mágnesesség Ókori, s®t, talán ®skori tapasztalat, hogy mágneses fémdarabok léteznek, amelyek vonzzák vagy taszítják egymást, továbbá a Föld égtájainak megfelel®en állnak be maguktól. A mágnesek mind dipólusok, a két pólusuk az
északi
és a
déli
nevet viseli: az északi pólus mindig észak felé szeret fordulni, míg a déli dél felé. Egy mágnest
kettévágva újabb dipólust kapunk, a tapasztalatok szerint mágneses monopólus nem létezik! A mágneses tér jele
B , mértékegysége tesla (T ). A Föld mágneses tere nagyságrendileg 30 µT, tipikus h¶t®mágnesek tere 5 mT,
hangszóró mágnes tere 1 T, míg az orvosi MRI készülékek mágneses tere néhány tesla. Az anyagok mágnesességét az atomok spinje azaz egyfajta forgása okozza: minden spinnel rendelkez® atom kis dipólusként képzelhet® el (ahogy ezt majd kés®bb levezetjük). Ezek alapesetben véletlenszer¶en rendezettek, mágneses tér hatására azonban egy irányba forgathatóak. Ez a paramágnesesség jelensége. Amennyiben a rendezettség a mágneses tér hiányában is megmarad, az anyag mágnessé válik, ez a ferromágnesesség. Ez az ú.n. Curie-h®mérséklet fölött (a h®mozgás miatt) megsz¶nik a hétköznapi mágnesek esetén ez jóval magasabb, mint a szobah®mérséklet (pl. vasra 1000 K körül van).
2.3.2. A Lorentz-er® és a mágneses nyomaték Oersted 1819-ben vette észre, hogy az áram hatással van az irányt¶kre, tehát az áram mágneses teret hoz létre. 1892-ben Lorentz megállapította, hogy a mágneses tér is hat a mozgó töltésekre illetve az áramra. Ez de niálja tulajdonképpen a mágneses teret (ahogy az
F = qE
formula az elektromos teret), a Lorentz-er®:
#» #» F = q #» v ×B mértékben, ahol
×
(2.16)
a keresztszorzat jele. Az er® tehát akkor maximális, ha a sebesség mer®leges a mágneses
térre, nagysága egyébként egy
sin(α)
faktorral csökken, ekkor
F = qvB sin(α).
Ha párhuzamos a sebesség és a
mágneses tér, akkor az er® nulla. Ez jelent®sen el®segíti a Földi élet fennmaradását, hiszen emiatt a világ¶rb®l érkez® kozmikus részecskék csak a Föld pólusainál jelennek meg, a többi helyen eltéríti ®ket a Föld mágneses tere. A pólusoknál ezek a részecskék hozzák létre a sarki fényt. Ez az er® mindig mer®leges a sebességre, ezért a sebességre mer®leges mágneses tér körmozgást hoz létre, ekkor a Lorentz-er® éppen a centripetális er®t adja majd. Miután a centripetális er® nagysága
r = p/qB
(ahol
p = mv
az impulzus).
mv 2 /r,
ami itt
qvB ,
ezek egyenl®ségéb®l adódik a pálya sugara:
2.3. MÁGNESES TÉR ÉS HATÁSAI
Hasonlítsuk össze a fenti törvényt az
23
#» E
elektromos tér
q
töltésre ható
#» #» F = qE
erejével! Láthatólag nagyon
hasonló itt is az er® és a tér kapcsolata, csak egy sebességgel való keresztszorzás megjelenik az elektromos teret pedig a mágnesesre kell cserélni. Ha lennének mágneses töltések, azokra éppen fordítva lehetne felírni az er®ket de nincsenek. Azt ugyanakkor a kés®bbiekben is meg gyelhetjük majd, hogy az elektromos és a mágneses jelenségek alaptörvényei igen hasonlóak, csak néha egy sebességgel való keresztszorzást a mágneses esetben be kell írni az adott formulába. Ezt gyelhettük meg fent is, és kés®bb, a töltések mágneses tere esetében is. Megállapíthatjuk azt is, hogy áramjárta vezet®re a benne mozgó töltések miatt Lorentz-er® hat. Minden
#» q #» v × B, q #» v vektor
q töltés van #» I l vektorral
töltésre egyforma er® hat, így ez összességében
ha
összesen ebben a vezet® szakaszban.
Ha ezt egy
a
helyettesíthet® (ez az áramról szóló
#» l
vektorral írjuk le, akkor itt a
szakasz elején írtakból is látható, de a mértékegységek vizsgálata is ezt támasztja alá: C·m/s áramjárta,
#» l
vektorral jellemezhet® vezet®re ható er®
=
C/s·m). Így az
l
#» #» #» F = I l × B.
(2.17)
Ha egy áramjárta hurkot hozunk létre, akkor ennek minden kis szakaszára is a fenti er® hat majd. Miután a hurok önmagában végz®dik, így az er®k összege nulla lesz (hiszen a kis
#» l vektorok összegét kell venni, ami a körbeérés
#» B -vel
való szorzás kiemelhet®, ahogy
összesen nem lesz nulla, ahogy azt egy téglalap alakú hurok esetén alább be is láthatjuk. Álljon a hurok a mágneses térhez képest. Ekkor a ellentétes irányú. Ezen
Fk
k
I
is, így a
miatt éppen nulla). Ugyanakkor az er®k forgatónyomatéka
hosszúságú oldalakra vízszintes
er®k hatásvonala is egybeesik (a
k
Fk
α szögben
er® hat majd, méghozzá egyforma, de
szakaszok közepér®l indulnak, az ®ket összeköt®
szakasszal párhuzamosan), így ezek forgatónyomatéka is összesen nulla. Az
l
hosszúságú szakaszokra ható er®k
azonban különböz® vonalban hatnak, így ezek forgatónyomatéka összesen nem nulla lesz. Ha a forgatónyomatékot
k cos(α)/2 lesz (amit úgy is #» #» |M | = | #» r × F | = rF sin(90◦ − α) = rF cos α módon számoljuk, ◦ hiszen az er® és karja 90 − α szöget zárnak be). Azt is megállapíthatjuk, hogy az l hosszúságú szakaszokra #» #» ható er® Fl = IlB (hiszen l ⊥ B ). Két ilyen er® hat, így összesen M = 2Fl r lesz a forgatónyomaték, és #» #» #» #» összesítésben a forgatónyomaték M = I A × B , ahol A a hurok felületi mer®legese. Ezt a levezetést illusztrálja
a hurok középvonalára (mint tengelyre) nézve írjuk fel, akkor az er®kar nagysága megkaphatunk, ha a forgatónyomaték nagyságát
az alábbi ábra:
A fenti forgatónyomaték akkor nulla, ha a felületi mer®leges és a tér párhuzamosak, azaz a tér éppen átmegy az áramhurok kijelölte felületen. Az áramhurok tehát kis mágneses dipólusként és irányt¶ként viselkedik, a mágneses tér a saját irányába forgatja ®t. Az atomokban kering® és forgó elektronok is egyfajta áramhurkot hoznak létre (ez az atomok spinje), ez okozza az anyagok mágnesességét. A
#» #» µ = IA
vektort mágneses nyomatéknak
nevezzük, a szakasz elején lév® ábrán ezt jelöli az atomhoz rajzolt nyíl. Az atomra ható forgatónyomaték ekkor
#» #» M = #» µ × B,
ez forgatja be az atom spinjét a mágneses tér irányába, illetve összességében az irányt¶t is (az
egyes atomoknál fogva).
2.3.3. A mágneses uxus és Gauss-törvény Az elektromossághoz hasonlóan itt is bevezethetjük az er®vonalak fogalmát, amelyekre pontosan ugyanazok a szabályok érvényesek, mint az elektromos er®vonalakra: irányuk a mágneses tér irányát jelzi, s¶r¶ségül pedig a mágneses tér nagyságát. Továbbá ugyanúgy bevezethetjük a mágneses uxust is:
sík felületre
#» #» ΦB = B A ,
Z illetve tetsz®leges felületre
ΦB =
#» # » B dA.
(2.18)
A Gauss-törvény itt még egyszer¶bben levezethet®. Miután az er®vonalak csak töltésekben végz®dhetnek vagy azokból indulhatnak, mágneses töltések (monopólusok) viszont nincsenek; így a mágneses er®vonalak mindig önmagukba záródnak, vagy a végtelenb®l a végtelenbe tartanak. Ezért minden zárt felületbe ugyanannyi er®vonal
24
2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG
megy be, mint amennyi ki, így zárt felület mágneses uxusa mindig nulla. Ez egyenlettel így fogalmazható meg:
Z ΦB,zárt =
#» # » B dA = 0.
(2.19)
zárt
Kísérlet: feszültség keltése mágnes mozgatásával • • • •
Vegyünk egy vezet® hurkot, vagy több egymás utáni hurkot, azaz tekercset. Mozgassunk a tekercs mellett egy mágnest, változtatva a tekercsnél észlelhet® mágneses teret. A tekercsben feszültség jön létre, amelyet voltméterrel könny¶szerrel kimutathatunk! Ez a mágneses indukció jelensége, amelyet a következ® szakaszban tárgyalunk.
2.3.4. Mágneses indukció A fenti kísérlet azt mutatja, hogy változó mágneses tér hatására feszültség jön létre. A legegyszer¶bb példa az, ha a fentieknek megfelel®en mágnest mozgatunk egy tekercsben, vagy ha egy tekercset mozgatunk helyfügg® mágneses térben. Egy zárt hurok alakú,
A felületet körbezáró vezet®ben a mágneses tér változása során indukált
feszültség nagyságát a Faraday-törvény adja meg:
Uind = −
dB dΦB = −A ., dt dt
Z Edl = −
illetve a feszültség de nícióját ismerve
zárt
Ha nem egy áramhurok van, hanem
N
darab, azaz egy
N
menetes,
A
dΦB = −AB˙ dt
(2.20)
keresztmetszet¶ tekercs, akkor minden
egyes hurkon a fenti feszültség indukálódik. Végeredményben a teljes tekercsen létrejöv® feszültég is
N -szer
akkora lesz:
Uind = −N Váltakozó,
B = B0 sin(ωt)
dΦB dΦB dB = −N = −N A . dt dt dt
jelleg¶ mágneses tér esetén a tekercsben
lódik, azaz az indukált feszültség amplitúdója
U0 = N AB0 ω
(2.21)
Uind = −N AB0 ω cos(ωt)
feszültség induká-
módon függ össze a mágneses tér amplitúdójával.
Ezt használja ki rengeteg hétköznapi eszköz, többek között a dinamó vagy a generátor: ez a forgási energiát (amelyet egy kerék vagy egy turbina forgása szolgáltat) feszültséggé, azaz elektromos energiává konvertálja. Az indukciós f®z®lap m¶ködésének alapja is ez a törvény: egy elektromágnes váltakozó mágneses teret kelt, ez feszültséget indukál az edény aljában (ezért nem m¶ködik a f®z®lap tetsz®leges edénnyel), ami áramot hoz létre, ez pedig h®leadással jár, tehát az edény felforrósodik. Ugyanígy, a hibrid és elektromos autók fékezéskor m¶ködésbe lép® energia-visszanyer® rendszere is ezt használja ki, de így m¶ködött régen (a GPS elterjedése el®tt) a biciklik sebességmér®je is (a generált feszültség a kerék forgásával, azaz a sebességgel n®). Amennyiben a létrejöv® (indukált) feszültséget hasznosítani akarjuk, akkor áramot kell termelnünk vele. Ez az áram viszont mágneses teret hoz létre (ahogy azt majd a következ® szakaszban láthatjuk): természetesen ez a létrejöv® mágneses tér
fékezi
azt a mágnest, ami a feszültséget indukálta, azaz negatív visszacsatolás jön
létre. Ha nem így lenne, ingyen tudnánk áramot termelni: egy alacsony súrlódású kereket jól megpörgetve és rá mágnest szerelve. Például ha egy mágnest mozgatunk egy tekercsbe befelé, növelve ezzel a mágneses teret, akkor a tekercsbeli mágneses uxus növekszik. Ez feszültség indukál a tekercsben, aminek hatására áram folyik benne. Ez az áram, ahogy majd a következ® szakaszban látjuk, mágneses téret hoz létre, ami fékezi a mágnes befelé haladását. Ezt Lenz-törvénynek nevezzük, és ezt fejezi ki a fenti egyenletekben a negatív el®jel. A Lenz-törvényt precízebben úgy fogalmazhatjuk meg, hogy az indukció során létrejöv® hatás ellentétes az ®t létrehozó okkal. Tehát a mágneses tér változása feszültséget indukál, a feszültség áramot kelt, ami mágneses teret hoz létre: ez a létrejöv® mágneses tér gyengíti az eredeti mágneses teret, azaz negatív visszacsatolás jön létre. Ha nem így lenne, azaz ez a mágneses tér hozzáadódna az eredetihez (és er®sítené azt), akkor az még nagyobb indukciót hozna létre, az még nagyobb mágneses teret, és így tovább: pozitív visszacsatolás jönne létre. A Lenz-törvény tehát az indukció során létrejöv® negatív visszacsatolást mondja ki. Különféle energia-visszatápláló rendszerek (pl Forma1-ben KERS) m¶ködését befolyásolja ez, hiszen ha nem így lenne, örökmozgót építhetnénk, ahogy a bekezdés elején is említettük. Továbbá a Lenz-törvényre épül a buszok és kamionok elektromos fékez®rendszere, a retarder. A hagyományos fékkel ellentétben ez nem melegszik annyira fel, és fékez® hatása jobban szabályozható.
2.3.5. A váltakozó áram A valóságban létrehozott elektromos hálózatban a feszültség nem konstans (azaz nem állandó feszültségr®l van szó), hanem id®ben szinuszosan változik, azaz
U = U0 sin(ωt),
ahol
ω = 2πf ,
és
f = 50
Hz a hálózati
2.4. A MÁGNESES TÉR FORRÁSAI
25
frekvencia. Ez a 19. század végén alakult ki, és két okból praktikus: egyrészt a váltakozó feszültséget könny¶ transzformálni (lásd a távvezetékeken elvesz® teljesítményr®l szóló szakaszt), másrészt az er®m¶vekben könny¶ eleve váltakozó feszültséget el®állítani. Ilyen hálózatokban a feszültség amplitúdója helyett annak eektív (átlagos) értékér®l beszélünk, ez
Ueff = 230 V (korábban 220 V). Ez a feszültség úgy adódik, hogy egy R ellenálláson
ekkora egyenletes feszültség esetén veszne el ugyanakkora teljesítmény. Miután a teljesítmény négyzetesen függ
2 P = U 2 /R = U02 sin2 (ωt)/R, ennek átlaga Pátl = U02 /(2R) miután a sin függvény átlaga √ 2 1/2. Miután Ue de níciója az, hogy Pátl = Ue /R, így Ue = U0 / 2. A 230 voltos hálózaton a
a feszültségt®l, azaz egy perióduson
feszültség amplitúdója valójában kb. 325 volt.
Ilyen váltakozó áramú áramkörökben kicsit máshogy viselkednek az áramköri elemek. Egy állandó feszültség alatt lév® kondenzátoron (lévén a két lapja nem érintkezik) nem folyik áram, azonban váltakozó feszültség esetén a két lap elektromos tere kölcsönhat, és virtuálisan átfolyik az áram a kondenzátoron, méghozzá a feszültség csökkenése mellett. A feszültségesés arányos az áramer®sséggel, ez tehát olyan, mintha a kondenzátornak lenne ellenállása. Ennek mértéke (ha a kapacitás
C ) 1/ωC ,
ahol
lehet belátni, hogy a kondenzátoron folyó áram nagysága áram amplitúdója
I0 = CU0 ω ,
azaz
Ohm-törvénnyel) Egyenáram esetén
ω = 2πf , és f az áramkör frekvenciája. Ezt onnan I = Q˙ = C U˙ , tehát itt U = U0 sin(ωt) esetén az mintha a tekercsnek 1/ωC ellenállása lenne (v.ö. az
U0 = I0 /ωC . Ez olyan, f → 0, tehát itt az ellenállás
végtelenhez tart (ahogy azt várjuk is, hiszen
egyenáram nem tud átfolyni a kondenzátoron). Az önindukció következménye, hogy váltóáramú áramkörben a tekercsnek is lesz egy ellenállás-jelleg¶ tulajdonsága, amely a tekercsben indukálódó ellentétes irányú feszültség következménye. Az ohmikus ellenállás mellett a tekercs induktív ellenállásáról szokás tehát beszélni, ennek mértéke pedig (ha a tekercs önindukciós együtthatója
L) Lω . Szemléletesen a nagy önindukciós együttható a tekercsben változó áram hatására nagyobb
mérték¶ ellenfeszültséget indukál, hasonlóan a frekvencia növelése is, hiszen így a tekercsben változó mágneses uxus fog gyorsabban változni.
Kísérlet: bekapcsolási jelenség •
Tekerccsel sorba kötött izzó az áramkör bekapcsolásakor kés®bb kapcsol be, mint a vele párhuzamosan kötött, ohmikus ellenállással sorba kapcsolt izzó.
•
A jelenség oka, hogy az önindukció miatt a tekercs ágán a bekapcsoláskor felépül® mágneses tér miatt a tekercsben ellentétes irányú feszültség indukálódik, ami csökkenti az áramer®sséget.
•
Meg gyelhet® a kikapcsolási jelenség is. Ilyenkor egy kis feszültségforrásra párhuzamosan kapcsolt tekercset és nagy gyújtófeszültség¶ lámpát kapcsolva, ha az áramkört megszakítjuk, a lámpa egy pillanatra felvillan a tekercsben indukálódó nagy feszültség miatt.
2.4. A mágneses tér forrásai Ugyan már láttuk, hogy a mágnesesség magyarázata az atomok spinjében rejlik, de ennek okát még egyáltalán nem értjük. A f® kérdés tehát az, hogy mi
hozza létre a mágneses teret. Azt már láttuk, hogy az elektromos teret #»
#» 3 1 4π0 Q r /r . Mágneses töltések azonban nincsenek, így nem világos, hogy ezt hogyan lehetne a mágneses tér esetére átültetni. az elektromos töltések hozzák létre, és egy töltés elektromos tere t®le
r
távolságban
E=
Kísérlet: elektromágnes •
Egy vasdarabot mágnessel mágnesezhetünk, de egy tekercsre egyenáramot kötve szintén magához tud vonzani kis fémtárgyakat: a tekercs a mágneshez hasonló teret hoz létre, ez az elektromágnes.
•
A mágneses tér forrása tehát az áram, ez a magyarázata annak, hogy az atomok spinjük miatt (egyfajta köráramként viselkedve) mágneses teret hoznak létre, amely az atomok egy irányba rendez®dése esetén makroszkopikus méreteket ölt.
2.4.1. Mozgó töltések és az áram mágneses tere A fenti kísérletb®l az derül ki, hogy a mágneses teret a mozgó elektromos töltések hozzák létre. Pontos kísérletek alapján megállapíthatnánk, hogy egy nagysága a töltést®l vett
#» r
v
sebességgel mozgó
Q
töltés mágneses teret kelt, amelynek
helyen
B=
µ0 Qv , 4π r2
illetve vektorosan
v × #» r #» µ0 Q #» B= 3 4π r
Figyeljük meg a hasonlóságot a ponttöltés keltette elektromos térrel: itt
1/0
helyett
(2.22)
µ0 = 4π10−7
Tm/A (vagy
Vs/Am) a vákuum mágneses permeabilitása szerepel. Ha nem vákuumban vagyunk, akkor ehelyett
µ = µr µ0 -t
26
2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG
kell írnun, ahol
µr
az adott közeg relatív permeabilitása. A törvényben ezen felül
Q #» r
helyett
Q #» v × #» r -t
kell
írnunk, hiszen csak mozgó töltés kelt mágneses teret. A tér akkor maximális, ha a töltés sebességére mer®leges irányban vizsgáljuk; a sebesség irányában pedig (a keresztszorzás tulajdonságai miatt) a mágneses tér nagysága nulla. Ez alapján felírhatjuk egy in nitezimálisan kis (dl) hosszúságú, mágneses teret is, ekkor a
Biot-Savart
törvényt kapjuk. Itt
I áramot vezet® szakasztól r távolságra mért #» Q #» v helyett I dl szerepel, hasonlóan a Lorentz-er®nél
mondottakhoz. A törvény így írható fel:
dB = Egy nem in nitezimális vezet®
l
#» µ0 I dl × #» r , 3 4π r
(2.23)
szakaszra integrálással kapjuk meg ennek mágneses terét (t®le
Z
µ0 4π
B=
l
r
távolságra):
Idl × r . r3
(2.24)
R sugarú, I áramot R távolságra van a µ0 I középponttól, így mindegyik kis dl szakasz mágneses tere dl . Ezt ha integráljuk, akkor a dl el®tti tényez®k 4π r 2 mind állandóak az összes szakaszra, így dl helyett a kör kerületét írhatjuk be, 2Rπ értéket. A végeredmény µ0 IR2 0I . A kört®l felületére mer®leges r távolságra is kiszámítható a mágneses tér nagysága: erre B = B = µ2R 2(R2 +r 2 )3/2 Ezzel a törvénnyel néhány egyszer¶ esetben kiszámíthatjuk a mágneses teret. Például egy
vezet® hurok tere a kör közepén abból adódik, hogy a körvezet® minden egyes kis szakasza
adódik ( gyelembe véve, hogy a kör minden kis in nitezimális szakasz-elemének mágneses tere ugyanolyan nagy,
#»
csak az irányuk más (dl és
#» r
irányára mer®leges). Ebb®l az is kiderül, hogy egy kis,
felület¶) köráramtól méreténél sokkal nagyobb,
r R
B=
µ0 IR2 µ0 IA = . 3 2r 2πr3
µ = IA
sugarú (azaz
A = R2 π
(2.25)
Itt vegyük észre a hasonlóságot az elektromos dipólus terével csak itt a áramhurok
R
(a felületre mer®leges irányban vett) távolságra a tér
qd
dipólus-nyomaték helyett az
mágneses nyomatéka jelenik meg. Ez a formula adja meg tehát a
µ
mágneses nyomatékkal
rendelkez® atom mágneses terét is!
2.4.2. Az Ampère-törvény A fenti törvényben szerepl® integrálást egy egyenes vezet®re is el lehet végezni az integrálást. Legyen a hossza
2a, ekkor a mágneses tér a közepét®l r távolságra B =
µ0 I √ 2a 4π r a2 +r 2 lesz. Ebb®l
a r esetén (azaz nagyon, ideális
esetben végtelen hosszú egyenes vezet®re)
B=
µ0 I . 2πr
(2.26)
adódik. A mágneses tér iránya pedig a jobbkéz-szabálynak megfelel® lesz: ha jobb kezünk hüvelykujját az áram irányába fordítjuk, akkor behajlított (kört formázó) ujjaink éppen a mágneses tér irányát jelölik ki. A mágneses tér tehát körkörösen körbeöleli az ®t létrehozó áramot. Ebb®l egy érdekes következtetést vonhatunk le:
R #» #» I áramot szállító vezet® köré képzelt körre kiintegráljuk a mágneses teret, azaz ezen a körön vesszük az B dl kifejezés értékét, akkor (miután a mágneses tér párhuzamos a dl szakasszal, és minden pontban azonos, B = µ0 I/(2πr) nagyságú) éppen µ0 I lesz az eredmény (hiszen a 2πr a kör kerületével szorozva kiesik). Az az érha az
dekesség derül ki, hogy ez nem csak kör alakú, hanem minden zárt görbére igaz lesz, és az így kimondott törvényt Ampère-törvénynek nevezzük Eszerint a mágneses tér elárulja az ®t létrehozó áramer®sséget, konkrétabban zárt (képzeletbeli) hurokra, amelyen
I
áram folyik keresztül:
Z
#» #» B dl = µ0 I.
(2.27)
zárt
R Bdl helyett írhatnánk UB mágneses feszültséget (az elektromos feszültség Edl de níciójához amellyel a törvény tömören UB = µ0 I alakot ölt. Ez részben hasonlít a Faraday-féle indukciós
Tulajdonképpen hasonlóan),
R
törvényre, ám ott áram helyett a mágnes uxus szerepel. Ezt az analógiabeli hibát fedezte fel Maxwell, és megállapította, hogy ha van változó elektromos uxus is, akkor az úgynevezett eltolási áramot is gyelembe kell venni, melynek mértéke a
ΦE
elektromos uxustól függ. Ez módosítja a fenti törvényt, az ezt is magába
foglaló alak:
Z UB = zárt
dΦE #» #» B dl = µ0 I + 0 . dt
(2.28)
2.5. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
27
Hasonlítsuk ezt össze a Faraday-féle indukciós törvénnyel:
B -t és E -t kicserélve lényegében ugyanazt kapjuk (az
elektromos áramtól eltekintve, ugyanis mágneses áram mágneses töltések híján nem létezik). Lássuk az Ampère-törvény egy egyszer¶ alkalmazását! Ha sok hurkot kötünk össze, akkor tekercset kapunk, azaz tulajdonképpen egy elektromágnest. Ebben megkaphatjuk a mágneses teret, ha egy képzeletbeli, a tekercsen átmen® zárt hurkot rajzolunk. A küls® részen kicsi a mágneses tér (jó közelítéssel), így annak járuléka 0. Belül pedig
l
hosszan megy a vonal (ha a tekercs
l
hosszú), és mivel itt nagyjából állandó a mágneses tér, illetve a
zárt hurkon átfolyó áram összesen a menetszám szorozva az áramer®sséggel (N I ), így a mágneses tér az erre az
Bl = µ0 N I
esetre alkalmazott
Ampère-törvényt kihasználva adódik:
Btekercs = µ0
NI . l
(2.29)
2.4.3. Önindukció és transzformátor Az indukció és az Ampère-törvény összesítéseként azt láthatjuk, hogy két tekercs tud egymásra hatni: az egyikben folyó váltakozó áram váltakozó mágneses teret hoz létre, ez pedig a másikban feszültséget indukál, azaz ebben is áram fog folyni ez a transzformátor m¶ködésének lényege. Itt az egyik tekercsben a váltakozó áram hatására létrejöv® mágneses tér is váltakozik, így a mágneses uxus is. Ez a váltakozó mágneses uxus feszültséget indukál a másik tekercsben, és mivel a uxus megegyezik (a két tekercs zikailag egyben van), így:
U1 = N1 Φ˙ , U2 = N2 Φ˙ , U1 /N1 = U2 /N2 . Ezzel tehát a nagyfeszültség kicsivé áram megn®, és a P = U I teljesítmény összességében csak kicsit csökken le).
transzformálható (miközben az
Valójában egy tekercs is vissza tud hatni így önmagára, ez az önindukció. Ha a tekercsben áram folyik, akkor ez a korábbiaknak megfelel®en
B = µ0 N I/l = µ0 N I0 sin(ωt)/l
I = I0 sin(ωt)
mágneses teret hoz létre. Ez
a mágneses tér feszültséget indukál:
Uind = N Φ˙ B = N AB˙ = µ0
N 2 AI˙ = LI˙ = ωLI0 cos(ωt), l
(2.30)
U0 = ωLI0 lesz, ahol bevezettük a tekercs L = AN 2 /l önindukciós együtthatóját. U0 = ωLI0 feszültség kapcsolódik, ezért ez olyan, mintha a tekercsnek egyfajta impedanciája) lenne, amelynek mértéke ωL. Egyenáram (ω = 0) esetén ez nulla (erre
azaz a feszültség amplitúdója Mivel az
I0
amplitúdójú áramhoz
ellenállása (valójában
számítunk, hiszen egyenáram esetén a tekercs egy nulla ellenállású vezetékdarab, csak a váltóáram és ennek mágneses tere okozhat mást). Korábban már említettük a kondenzátor viselkedik, zönséges
R
ωL
1/ωC
ellenállását, és most látjuk, hogy egy tekercs is hasonlóan
ellenállása van. A tekercs és a kondenzátor kicsit valójában máshogy viselkedik, mint egy kö-
ellenállás, ezért a fenti értékeket nem ellenállásnak, hanem impedanciának hívjuk. Érdekes, és az
√ RLC-kör, amely egy sorba kapcsolt feszültségforrásból, ellenállásból és ω = 1/ LC sajátfrekvenciája van, így ilyen körfrekvenciájú feszültséget kapcsolva √ √ áramkör csillapítása ζ = R C/2 L lesz, és pontosan az el®z® félévben a harmonikus
elektrotechnikában fontos áramkör az kondenzátorból áll. Ennek rá azt igen feler®sít®. Az
rezgéseknél tárgyaltaknak megfelel® csillapított rezgés jön rajta létre.
2.5. Elektromágneses hullámok 2.5.1. A Maxwell-egyenletek A fentiekben megismertük az elektromosság és a mágnesesség alapvet® törvényeit. Ezek közül a négy leglényegesebbet foglalja össze a Maxwell-egyenletek rendszere. Ezekben felhasználjuk az elektromos és mágneses uxus illetve a feszültség
Z ΦE =
Z EdA , ΦB =
Z BdA , UE =
Z Edl , UB =
Bdl
(2.31)
de nícióit. Ezekkel Elektromos Gauss-törvény, zárt felületre: Mágneses Gauss-törvény, zárt felületre: Faraday-féle indukciós törvény, zárt hurokra: Ampère-törvény az eltolási árammal, zárt hurokra:
Q 0 ΦB = 0 dΦB UE = − dt ΦE =
UB = µ0 I + µ0 0
(2.32) (2.33) (2.34)
dΦE dt
(2.35)
28
2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG
I = 0, Q = 0
Ugyanezek felírhatóak töltések és áram hiányában (azaz a
feltételek mellett), a uxusra és a
feszültségre vett de níciókkal együtt. Ekkor az alábbi szimmetrikus alakot kapjuk:
I EdA = 0
(2.36)
BdA = 0
(2.37)
I I
Z
dB dA A dt I Z dE Bdl = µ0 0 dA A dt Edl = −
Az egyenleteinket átalakíthatjuk integrálformából dierenciális formába, amelyhez kell a
(2.38)
(2.39)
∇ = (∂x , ∂y , ∂z ) vektor-
operátor fogalma, amelynek három komponense a tér három dimenziója szerinti deriválás. Ebb®l származtatható a divergencia és a rotáció fogalma, amelyet vektormez®kre vonatkoztatunk (ezek olyan függvények, amelyek értéke minden pontban egy vektor):
•
Vektormez® divergenciája: forráss¶r¶ség mértéke adott pontban, azaz a pont körüli
felület uxusa (a vek-
tor felületen vett integrálja) a felület által bezárt térfogattal osztva. Ha a vektormez® egyfajta sebességet jelképez, akkor ez az adott pontból történ® kifolyás vagy befolyás mennyiségét adja meg.
• •
A divergencia de níciója
divE = ∇ · E ,
azaz a
∇
vektorral vett skaláris szorzat.
Vektormez® rotációja: örvényer®sség mértéke adott pontban, azaz a pont körüli
görbe
mentén vett in-
tegrál a görbe által bezárt felülettel osztva. Ha a vektormez® egyfajta sebességet jelképez, akkor a rotáció éppen azt adja meg, hogy az adott pont körül alakult-e ki örvénylés.
•
A rotáció de níciója
rotE = ∇ × B ,
azaz a
∇
vektorral vett keresztszorzat.
Ezt illusztrálja az alábbi ábra, ahol a pirossal rajzolt felületen a kiáramlás adja a divergenciát, míg a kékkel rajzolt görbe mentén történ® áramlás a rotációt. Az els® esetben mindkett® nulla, a második eset divergens, a harmadik örvényes mez®t mutat.
H RA fent de niált mennyiségekre vonatkozik a matematikai Gauss-tétel, mely szerint egy E vektormez®re EdA = divEdV , ha az zárt A felület a V térfogatot tartalmazza. Hasonló állítást fogalmaz meg a matematikai StokesH R tétel is: eszerint egy E vektormez®re Edl = rotEdA, ha az l zárt görbe az A felületet fogja körbe. Ezekkel a fenti Maxwell-egyenleteket átalakíthatjuk, és integrálok helyett a divergencia és a rotáció szerepel majd bennük. Az így átírt Maxwell-egyenletek az alábbi alakot öltik:
divE = 0
(2.40)
divB = 0
(2.41)
rotE = −B˙ rotB = c bevezetve a
c2 = 1/(µ0 0 )
−2
E˙
(2.42) (2.43)
konstanst. Az egyenletrendszert tovább egyszer¶síthetjük, és ekkor a következ® két
hullámegyenlet alakú dierenciálegyenlet jön i:
¨ − c2 E 00 = 0, E ¨ − c2 B 00 = 0, B
(2.44) (2.45)
ahol a két pont az id®szerinti kétszeres deriválást, a két vessz® a tér szerinti kétszeres deriválást jelenti, és ezek az egyenletek a térer®sségek minden komponensére (Ex ,
Ey , Ez )
külön-külön érvényesek. Fontos továbbá, hogy
2.5. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
29
valójában a kétszeres tér szerinti deriválás helyett a
∆ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2
Laplace-operátor jelenik meg, amely a
tér minden dimenziója szerinti kétszeres deriválások összege. Miután a fenti egyenletek hullámegyenletek, ezek megoldása egy frekvenciával és és
B
λ = c/f
c
sebességgel haladó hullám, tetsz®leges
hullámhosszal. A Maxwell-egyenletek eredeti alakjából következik továbbám hogy
mer®leges egymásra és a haladás irányára, továbbá
|E| = c|B|.
f E
A hullámviselkedés pedig térben és id®ben
periodikus váltakozást jelent, és a hullám frekvenciája/hullámhossza tetsz®leges lehet. Ezt egyenes vonalban terjed® hullám esetén az alábbiaknak megfelel®en illusztrálhatjuk:
Az elektromágneses sugárzás energiát is hordoz, az intenzitása (azaz a felületegységre es® teljesítmény) arányos az amplitúdó négyzetével
I=
P E2 B2 = 0 c 0 = µ0 0 . A 2 2
(2.46)
Kés®bb kiderül, hogy az energiát kvantumok hordozzák, a fotonok. Egy kvantum energiája
h = 6, 6 × 10−34
E = hf ,
ahol
2
m kg/s, és a fény az összenergiájának megfelel® számú kvantumból áll, az intenzitás változása
esetén a kvantumok száma változik egyedül. Ahogy már a hullámegyenletr®l szóló el®z® félévi fejezetben is láttuk, egy pontszer¶ forrás esetén a hullámegyenlet megoldása egy, a forrástól bármely irányban távolodva
1/r
mértékben csökken®
jelent. Mivel az intenzitás az amplitúdó négyzete, így pontszer¶ forrás esetén az intenzitás
P teljesítmény¶ = 4rP2 π lesz.
ken. Ez azért sem meglep®, mert a az ezeken észlelt intenzitás
I=
P A
forrás köré egyre nagyobb,
4r2 π
amplitúdójú 1/r2
hullámot
mértékben csök-
felület¶ gömböket rajzolva
Kísérlet mikrohullámú analizátorral •
A Maxwell-egyenletek tehát kimondják, hogy léteznek elektromágneses hullámok: egy vezetékre szinuszosan változó feszültséget kapcsolva lehet ®ket létrehozni, egy másik vezetékben pedig (az eredetit®l akár jelent®s távolságra is) ugyanolyan frekvenciájú feszültséget keltenek. Így m¶ködnek az elektromágneses hullámokkal kommunikáló eszközök,.
•
A mikrohullámú analizátor a GHz-es tartományba es® frekvenciájú hullámokat észleli, és intenzitásukat méri.
•
A mobiltelefon elektromágneses hullámai id®ben er®teljesen változó intenzitásúak: az adatokat csomagokban küldik és fogadják a készülékek. Ett®l függetlenül észlelhet®, ahogy egy mobiltelefontól egyre messzebb menve az intenzitás a távolság négyzetének inverzével változik, azaz
I ∼ 1/r2 .
2.5.2. Az elektromágneses spektrum A Maxwell-egyenletek alapján tehát az elektromos és a mágneses tér hullámszer¶en tud viselkedni, lecsatolódhat az ®t létrehozó töltésekr®l és áramokról, és akár vákuumban is tovaterjedhet,
c sebességgel. A hullámzás
hullámhossza avagy frekvenciája tetsz®leges lehet. Az elektromágneses spektrum ezen hullámhosszakat öleli föl, amelyen belül különféle hullámtípusokat különböztetünk meg. Sugárzásról akkor beszélünk, ha a forrástól több hullámhossznyi távolságban vagyunk, ezért a 300 kHz alatti frekvenciatartományban (amely 1 km-nél is nagyobb hullámhosszat jelent) nem elektromágneses sugárzásról, hanem elektromos ill. mágneses térr®l beszélünk. Efelett a sugárzásokat a frekvenciától függ®en különféle kategóriákba soroljuk. Elektromágneses hullám a rádióhullám, a mikrohullám (azaz a mobiltelefon, a WiFi, a GPS, a mikrohullámú süt® m¶ködtetése során keletkez® sugárzás), a fény (az UV és az infravörös is), továbbá a röntgen- és a gamma-sugárzás is Az egyes sugárzások frekvenciáját és hullámhosszát az alábbi táblázat foglalja össze:
30
2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG
Sugárzás típusa
Frekvencia-tartomány
Hullámhossz
Alacsony frekvencia
< 300 kHz 0, 3 − 300 MHz 0, 3 − 300 GHz 0, 3 − 300 THz 350 − 750 THz 0, 75 − 30 PHz 0, 03 − 30 EHz > 30 EHz
>1 km − 1 km 1 mm − 1 m 1 mm − 800 nm 400 − 800 nm 10 − 400 nm 10 nm − 10 pm < 10 pm
Rádióhullámok Mikrohullámok Infravörös Látható fény Ultraibolya Röntgen Gamma
1 m
Az alábbi ábra is ezt illusztrálja, bemutatva, hogy a légkör a rádióhullámokat elég jól átereszti, míg kevésbé átlátszó a mikrohullámú tartományban: a mobilhálózat antennáit ezért sokkal s¶r¶bben kell elhelyezni, mint a rádióadókat. Efelett a látható fény tartományában átereszt® a légréteg, de az infravörös fényt visszaveri (ez az alapja az üvegházhatásnak: a látható fény felmelegíti a talajt, a légkör vagy az üvegtet® pedig nem engedi ki a talaj infravörös tartományú h®sugárzását), ahogy az ibolyántúli sugárzást is (ez az élet fennmaradása szempontjából fontos).
2.6. Optika 2.6.1. A fény terjedése Látható fényr®l kb. 350-750 nanométeres hullámhossz között beszélünk. Egyéb frekvenciájú hullámokra is hasonló törvények érvényesek bizonyos tartományokban, de mi csak a fényt vizsgáljuk. A fény ugyan fotonadagokban terjed, de jó leírása az egyenes vonalban terjed® hullám, adott
f = c/λ
λ
hullámhosszal,
c
sebességgel és
frekvenciával. Ebben és a következ® szakaszban a fénynek az anyag jelenlétében mutatott viselkedését
vizsgáljuk. Nem vákuumban, hanem anyagban (leveg®ben, vízben, üvegben) terjed® fény esetén a vákuum-állandók helyett az anyagra jellemz®eket kell használni:
0 →
c2 =
és
µ0 → µ,
ennek megfelel®en a sebesség
1 1 → c02 = . µ0 0 µ
(2.47)
Az anyag elektromos permittivitása és mágneses permeabilitása úgy alakul, hogy az
r
= r 0
és
µ = µr µ0 ,
ahol
indexes állandók az anyag relatív állandói. Ezek értéke szokásos anyagokra egynél nagyobb. Bevezetjük a
törésmutatót a közegbeli fénysebesség alapján:
c0 =
c , n
azaz
n=
√
r r µr =
µ . µ0 0
(2.48)
2.6. OPTIKA
31
Anyagban tehát lassabban terjed a fény, minél s¶r¶bb (optikailag), annál lassabban. Nem mágneses anyagokra
µr ≈ 1,
tehát itt lényegében
n≈
√
r .
A leveg® törésmutatója például
n = 1, 0003,
vízé
1, 333,
üvegé és átlátszó
m¶anyagoké tipikusan 1,5-1,6 között van. A törésmutató függ a fény hullámhosszától is (ezért bontja fel a fehér fényt komponenseire a prizma, illetve a szivárvány is hasonló okból jön létre), de ( gyelembe véve a látható fény keskeny frekvencia-tartományát) többnyire gyengén. Két anyag határán a beérkez® fénysugár nem egyenesen halad tovább: ez a fénytörés jelensége. A haladást
beesési mer®legessel bezárt α szöggel jellemezzük. A fénytörést a Fermat-elv határozza meg: két pont között a fény a lehet® leggyorsabban akar haladni, tehát nem a legrövidebb úton. Ebb®l az elvb®l levezethet® a a
fénytörés törvénye, amely szerint ha a fény egy szöget bezárva, és a másik közeg
n2
n1
törésmutatójú közegb®l érkezik a beesési mer®legessel
törésmutatójú, akkor az
α2
α1
továbbhaladási szögre az alábbi törvény lesz
igaz:
(2.49) Ez azt jelenti, hogy s¶r¶bb közegbe érkezve az
α
beesési szög kisebb lesz (közelebb kerül a fénysugár a beesési
mer®legeshez). Ezt a törvényt akkor értjük meg, ha feltesszük magunkban a kérdést, hogy a tóparton állva egy fuldoklót (t®lünk kicsit oldalirányban is eltávolodva) megpillantva hogyan rohannánk be hozzá. Biztosan nem az egyenes út a leggyorsabb, hiszen ekkor a tóban túl nagy utat kellene megtennünk: praktikus az oldalirányú távolság egy részét a parton, futva megtenni. Tulajdonképpen éppen az így optimalizált utat teszi meg a fény is a fenti ábrán. További következmény a teljes visszaver®dés.Ha teljesül egy adott szög esetén
α1
felett. Ezen
α1
teljes visszaver®désr®l
n2 > n1 ,
felett nem lehetséges olyan
akkor sin(α2 ) = n1 /n2 sin(α1 ) < 1 feltétel nem α2 , ami teljesíti a törési törvényt. Efeletti beesési
beszélünk, ekkor a fénysugár nem tud behatolni a közegbe. Erre épül például
az optikai kábel, a fényvisszaver® prizma. Üveg-leveg® határon ez a szög kb. 41 fok. További érdekesség, hogy leveg® törésmutatója függ a s¶r¶ségét®l, minél s¶r¶bb, annál nagyobb. Ez magyarázza a délibáb jelenségét: a fény a lehet® leggyorsabban akkor halad, ha lemerül az alsó, ritkább, és ezért kisebb törésmutatójú közegbe. Itt gyorsan haladva b®ven behozza azt a késést, amit a magasságváltozás során elszenvedett. Ezt illusztrálja az alábbi ábra is:
Kísérlet nagyít®lencsével •
A fentieknek megfelel®en leveg®b®l üvegbe vagy m¶anyagba lépve megtörik a fénysugár terjedési iránya: emiatt használhatunk lencséket. Egy lencse fókuszpontjához közelre fényforrást helyezve a lencsét®l távoli erny®n a fényforrás pontos (és fordított) képe alakul ki.
•
Ezt egyszer¶en reprodukálhatjuk egy lencsével és egy izzóval: a lencsét jól elhelyezve az izzó pontos képét kapjuk a szemközti falon. Így m¶ködik a projektor is például.
2.6.2. Geometriai optika A geometriai optika a fénytörést kihasználó eszközök (tükrök, lencsék) m¶ködését írja le. Ezek az eszközök egy adott tárgyat képeznek le, annak egy képét hozzák létre úgy, hogy a tárgyról érkez® fénysugarak (vagy azok meghosszabbítása) metszi egymást. Ha a tárgyról érkez® sugarak metszik egymást, akkor ott egy erny®n
32
2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG
felfogható a kép: így m¶ködik a projektor vagy vetít®gép. Ha a sugarak nem metszik egymást, de a meghosszabbításuk igen (azaz úgy t¶nik, mintha egy pontból jönnének), akkor virtuális képr®l beszélünk, ezt erny®n nem tudjuk felfogni, de a szemünkkel láthatjuk (és virtuális metszéspontban lev®nek látjuk a képet). A geometriai optikában de niáljuk a tárgy mérete pedig
K.
T
méret®t és
t távolságát (az optikai eszközt®l), a kép távolsága k ,
Ekkor az eszköz nagyítása a méretek hányadosa, amely megegyezik a távolságok hányadosával
(hasonlósággal belátható):
N=
k K = T t
(2.50)
A legegyszer¶bb optikai eszköz a síktükör. A tárgy és a kép távolsága ill. mérete ekkor azonos (tehát a nagyítás 1), de a kép a tükör mögött van (és így virtuális, hiszen a tükör mögé tett erny®n semmi sem látszik). A gömbfelszínen (illetve pontosabban egy parabola felszínén) kialakított (homorú vagy domború) tükör esetén de niálunk egy optikai tengelyt (a tükör szimmetriatengelyét). Ezt ismerve a tükrök m¶ködése az alábbiaknak megfelel®en írtható le:
•
A homorú tükör az ezzel párhuzamos sugarakat egy pontba gy¶jti (így m¶ködik a parabolaantenna is), ez a fókuszpontja, amely a sugár felének megfelel® távolságra van a tükörtül (azaz
•
f = R/2).
A domború tükör az optikai tengellyel párhuzamos sugarakat szétszórja úgy, mint ha egy túloldali (képzeletbeli) fókuszpontból jönnének.
•
Mint minden optikai eszköznél, itt is igaz, hogy egy sugár a megfordított irányban azonosan terjed, tehát például a homorú tükör esetén a fókuszpontból jöv® sugarak az optikai tengellyel lesznek párhuzamosak (lényegében így hoz létre szinte párhuzamos, irányított sugárnyalábot a re ektor vagy a zseblámpa).
•
Gömbtükrök esetén a kép- és a tárgytávolság összefügg a fókuszponttal, az alábbiaknak megfelel®en:
1 1 1 = + . f t k
(2.51)
Az optikai lencsék gömbfelszínekkel határolt, a közegt®l (amelyben a lencsét használjuk: leveg®, vákuum, vagy akár víz) eltér® törésmutatójú anyagból készült objektumok. Ezek fókusztávolsága a határoló gömbfelszínek
R1
és
R2
n = nanyag /nközeg 1 1 + , R1 R2
sugarától függ, és az anyag közeghez képesti relatív
1 = (n − 1) f
törésmutatójától:
(2.52)
és homorú határoló esetén negatív sugárról beszélünk, és a negatív fókusztávolságú lencse szórólencse, míg pozitív
•
f
esetén gy¶jt®lencsér®l beszélünk. M¶ködésük így foglalható össze:
Gy¶jt®lencse esetén az optikai tengellyel párhuzamos sugarak a fókuszba mennek; a fókuszból jöv® sugarak párhuzamosan mennek tovább.
•
Szórólencse esetén az optikai tengellyel párhuzamos sugarak szétszóródnak, mintha a fókuszból jönnének; a túloldali fókuszba tartó sugarak pedig párhuzamosan mennek tovább.
A fenti sugármenetekkel egy tárgy képét megszerkeszthetjük: a sugarak metszéspontjában lesz a kép (ha pedig csak a sugarak meghosszabbítása metszi egymást, azt virtuális képnek nevezzük). Ezt illusztrálja az alábbi ábra (balra lencsékkel, jobbra tükörrel):
2.6. OPTIKA
33
A szem egy 2,5 cm körül változtatható fókusztávolságú lencsével m¶ködik (az izmok megnyújtják a lencsét,
R1
amelynek így megn® az
és
R2
sugara, így megn® a fókusztávolsága). Az látni kívánt tárgynak megfelel®
távolságból jöv® sugarakat a retinára fókuszálja, így a retinán egy fordított állású kép alakul ki, amelyet az agy megfelel®en tud értelmezni. A nagyító egy x lencsével m¶ködik (a tárgyat a fókuszpont közelébe helyezve nagyon nagy nagyítás érhet® el). A távcs® és mikroszkóp több lencséb®l állnak, többszörös leképezéssel m¶ködnek (ahol az egyik lencse által létrehozott kép a következ® lencse tárgya).
Kísérlet: lézer szóródása CD-barázdákon •
A fény elektromágneses hullám, a hullámnak hol maximuma, hol minimuma van. Ha két hullám találkozik, fázistól függ®en kiolthatják vagy er®síthetik egymást: ez az interferencia jelensége.
•
A megfelel®en koherens (azaz azonos fázisú) és monokromatikus (azaz csak egyfajta hullámhosszú fényt tartalmazú) fénysugár elemei interferálnak egymással, és interferencia-mintázatot alakítanak ki.
•
CD-re lézermutatóval világítva a falon nem csak egy visszatükrözött pontot látunk, hanem többet: interferenciamintázat alakul ki.
2.6.3. Hullámoptika Ahogy a Maxwell-egyenletekr®l szóló részben láttuk, a fény nem más, mint elektromágneses hullám. A hullámhosszával egy nagyságrendbe es® tartományok esetén emiatt a geometriai optikán jócskán túlmutató jelenségeket tapasztalhatunk: például két fényhullám gyengítheti vagy kiolthatja egymást. Ennek alapja az, hogy hullám (egy adott id®pillanatban) egy
sin(2πx/λ) = sin(kx)
jelleg¶ függvénnyel írható le. A szuperpozíció elve
szerint ha két hullám találkozik, akkor ezek hullámfüggvénye összeadható. Ha az egyik hullám
sin(k1 x + φ) + sin(k2 x) lesz ha a fáziseltérés éppen π (vagy
φ
fáziskésésben
van, akkor
az összegük. Azonos hullámszám (avagy hullámhossz) esetén kioltás
történik,
páratlanszor
π ),
maximális er®sítés, ha
2π
(vagy párosszor
π ),
ahogy
az alábbi ábra mutatja:
A hullámtérben minden pont valójában úgy viselkedik, mint egy hullámforrás, és folyamatosan az ezekb®l a forrásokból érkez® interferenciát gyelhetjük meg. Ezt fogalmazza meg a Huygens-Fresnel elv: a hullámtér minden pontja elemi körhullámok kiindulópontja, a látott kép pedig ezek interferenciája. Az interferencia jelenségét használja ki a kétrés-kísérlet. Ennek során koherens ( x fázisú) és monokromatikus ( x hullámhosszú) fényt irányítunk két akkor
α
d
A kísérletben fáziskülönbség a két hullám által megtett út különbsége miatt lesz. Ha az éppen
π
λ, d sin(α). útkülönbség λ/2, az
távolságú résre. Ekkor az erny®n interferencia-mintázat jelenik meg. Ha a hullámhossz
szögben kiszámíthatjuk az összeadódott hullám er®sségét. Az útkülönbség egyszer¶en adódik:
2π
fázistolást eredményez, ekkor
d sin(α) = nλ.
A kísérlet segítségével optikai
fáziskülönbségnek felel meg kioltás történik. Ha az útkülönbség
λ,
az
maximális er®sítés lesz:
A kioltás feltétele tehát
d sin(α) = nλ + λ/2,
a maximális er®sítésé
rácsok rácsállandója, vékony szálak vastagsága, illetve - ha a fénynél kisebb hullámhosszú hullámokkal dolgozunk - kristályrácsok szerkezete is meghatározható. Hasonló jelenség látható vékony olajrétegen, szappanbuborékon, s¶r¶ áttetsz® függönyön vagy párás ablakon átnézve, CD felszínén, stb.
34
2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG
A Huygens-Fresnel elv segítségével értelmezhetjük a réselhajlás jelenségét is. Egy keskeny résen áthaladó fénysugár a rácselhajláshoz hasonló elhajlást mutat, er®sítési és kioltási helyekkel. Ennek oka, hogy a rés minden pontját hullámforrásnak tekinthetjük, ahonnan koherens hullámok indulnak azonos fázisban. A kétréskísérletben tapasztalt interferencia azért fontos, mert ez a bizonyíték a fény hullámtermészetére, és ahogy kés®bb kiderült, az anyag (részecskék, atomok, molekulák) is hasonlóan interferenciára képesek, tehát az anyag is tud hullámként viselkedni: ez vezetett a kvantummechanika felfedezéséhez.
3. fejezet
Modern zika 3.1. A részecske-hullám kett®sség, a kvantumvilág 3.1.1. A fény kvantumtermészete Fresnel és Young interferenciakísérletei óta ismert, hogy a fény hullám, méghozzá elektromágneses hullám. A 19. században azonban ezzel ellentmondásban álló meg gyelések láttak napvilágot. 1839-ben Becqerel felfedezte fotovoltaikus hatást (Nobel-díjat kapott, de nem ezért), ennek során fény hatására félvezet®k vezetési tulajdonságai megváltoznak, így m¶ködnek ma a napelemek, és ez irányította a gyelmet a fény és az elektronok kapcsolatára. A fotoelektromos jelenséget (fotoeektust) Hertz fedezte fel 1887-ben (Nobel-díjat kapott, egy másik hasonló felfedezésért), ennek során fémb®l elektronok lépnek ki fény hatására. A jelenséget Einstein magyarázta meg 1906-ban (Nobel-díját lényegében ezért kapta). Lénárd Fülöp 1902-ben egy ehhez hasonló jelensége talált, gázok ionizációját gyelte meg UV fény hatására (ezért Nobel-díjat kapott). A fotoeektus során azt tapasztaljuk, hogy a kilép® elektronok száma a fény intenzitásával arányos, és nem függ a frekvenciától. Van viszont egy legkisebb frekvencia, amely alatt intenzitástól függetlenül nem lépnek ki elektronok. Ez a jelenség a hullámképpel teljesen összeegyeztethetetlen, ugyanis hullámok esetén azok nagysága határozná meg, hogy kilépnek-e az elektronok, és a hullámok száma (azaz a frekvencia) határozná meg, hogy hány elektron lép ki. Gondoljunk csak egy csónakra: hiába jönnek s¶r¶n (azaz nagy frekvenciával) a hullámok, nem borítják fel a csónakot, csak ha a méretük (ami az intenzitásnak felel meg) elég nagy. Az ezzel ellentétes meg gyelésre az a magyarázat, hogy a fény kvantumok (fotonok) formájában érkezik, a fény intenzitása pedig a fotonok számát jelenti. Az egyes kvantumok energiája csak a frekvenciától függ, nagysága
E = hf ,
ahol
h = 6.63 · 10−34
Js, a Planck-állandó.
(3.1)
A fotoeektus jelensége alább a bal oldali ábrán látható, a hullámkvantumokat (illetve azt, hogy a hullámhossz a kvantumok nagyságát, az amplitúdó pedig a kvantumok számát jelzi) pedig a jobb oldali ábra illusztrálja:
A meg gyeléseket részletesen az alábbiak szerint tudjuk megmagyarázni. Az elektron anyagból való kilökéséhez szükséges energia (munka)
W , és az elektronokat akkor lehet kilökni, ha hf > W ; ekkor a kilökött elektronok
száma csak a fotonok számától függ. Hiába hordoz tehát a fény nagy energiát (azaz nagy az intenzitása), ha ez sok kisenergiás fotonból áll össze, akkor nem tud elektronokat kilökni. Ha viszont extrém alacsony intenzitású, azaz kevés fotonból áll, de azok nagy energiával rendelkeznek, akkor elektronokat lökhetnek ki. A fotonok létének elfogadásához további meg gyelésekre is szükség volt. Compton 1922-ben vizsgálta meg röntgensugarak szóródását para non (és ezért szintén Nobel-díjat kapott). Azt látta, hogy a szórt sugárzás frekvenciája lecsökken. Ez a fotonkép alapján egyszer¶en látható: egy a foton meglöki az elektront, ennek során energiát veszít, és így lecsökken a frekvenciája. Az is kiderült, hogy a fotonnak impulzusa is van, méghozzá
p=
E hf h = = . c c λ
A Compton-eektust az alábbi ábra mutatja:
35
(3.2)
36
3. FEJEZET. MODERN FIZIKA
A fentiek úgy összegezhet®ek, hogy a fotoelektromos hatás és a Compton-eektus (melyek során a fény energiát és impulzust ad át elektronoknak) csak úgy értelmezhet®ek, ha bevezetjük a fotonhipotézist. Felmerült, hogy mi történik, ha az el®z® részben tárgyalt interferencia-kísérlet során olyan alacsony intenzitású fényt vizsgálunk, amelyben egyszerre csak egy foton megy át a két résen. Vajon ekkor is létrejön az interferencia, azaz az egy fotonos nyaláb is két részre oszlik? Jánossy Lajos végezte el ezt a kísérletet nagy pontossággal, és is interferenciát talált. Ez azt jelenti, hogy egy darab foton interferál önmagával, hullámként mindkét résen átmegy. Ráadásul, ha valamilyen módon meg gyeljük, hogy melyik résen ment át a foton, akkor megsz¶nik az interferencia, azaz ekkor csak az egyik résen megy át a foton. Csak akkor megy át egy foton mindkét résen, ha nem akarjuk tudni, hogy melyiken ment át! Ezen jelenségeire a klasszikus zikai modellek nem adnak magyarázatot.
3.1.2. A részecskék hullámtermészete Az elektromágneses hullámok tehát bizonyos kísérletekben részecskeként viselkednek. Lehet, hogy a részecskéknek is van hullámtulajdonsága? Louis de Broglie 1924-es hipotézise alapján részecskékre is igaz a
λ = h/p
összefüggés (ezért ® is Nobel-díjat kapott), a részecskék hullámtulajdonságát pedig úgy lehet vizsgálni, ha a kétrés-kísérletet elvégezzük elektronokkal vagy nagyobb részecskékkel is. Ezt el®ször 1927-ben Davisson mutatta ki (és ezért Nobel-díjat kapott), de azóta atomokkal és nagyobb molekulákkal (pl. C60 -nal) is sikerült interferenciát kimutatni. Sikerült továbbá úgy is elvégezni a kísérletet, hogy a két résen egyszerre egy elektron megy csak át, tehát az elektron valamilyen értelemben önmagával interferál, maga az elektron viselkedik hullámként (és nem az elektronok találkozásakor jön létre az interferencia). Ha az egy elektronos kétrés-kísérletben (fotocellával) vizsgáljuk, hogy melyik résen megy át az elektron , akkor elt¶nik az interferencia! Tény, hogy az elektron mindig oszthatatlannak látszik, de egyetlen elektron is interferál és az interferencia elt¶nik minden olyan kísérletben, ahol az utat is meghatározzuk. Tulajdonképpen arra gondolhatunk, hogy a lehet®ségek interferálnak egymással de hogyan lehetne ezt tudományosan, a matematika nyelvét használva megfogalmazni? Elektromágneses hullámok esetén a térer®sség négyzete adja az hullám intenzitását (ahogy azt a Maxwellegyenletek után tárgyaltuk), és a két hullám amplitúdójának összeadódása egy adott helyen az intenzitásban kioltást vagy er®sítést eredményezhet, a fáziseltérést®l függ®en. Anyaghullámokkal hasonló a tapasztalat, ezek léte kísérleti tényként kezelend®, a kísérletek megkövetelik, hogy a részecskékhez (és általában az anyaghoz) hullámokat rendeljünk. De kérdés, hogy mi a hullámzó mennyiség? Ha bevezetjük a részecske
P (x)
valószín¶-
ségi eloszlását (azaz azt, hogy hol milyen valószín¶séggel található az adott részecske), akkor ez jelentheti az intenzitást. Ez lehet tehát az amplidúdó négyzete (ahogy az elektromágneses sugárzás esetén az intenzitás az elektromos és/vagy a mágneses tér négyzetével arányos). Legyen ezért
P (x) = |Ψ(x)|2 ,
ahol
Ψ(x)
a (komplex
szám érték¶) hullámfüggvény. Egy háborítatlanul haladó részecske hullámfüggvénye ekkor az elektromágneses hullámokhoz hasonlóan
sin(kx)
módon írható fel, és ekkor
λ = 2π/k
a részecske hullámhossza. Az interferencia
pedig teljesen a hullámoptikában megismertek alapján történik. Eszerint egy atom körüli elektron is egy
Ψ(x)
hullámfüggvénnyel írható fel, melynek alakja azonban jelen-
t®sen eltér az el®bbi egyszer¶ színusz-függvényt®l. A hullámfüggvény abszolútértékének négyzete az elektron valószín¶ségi eloszlása, erre gondolunk elektronfelh®ként. A kvantummechanika további érdekes következményei közé tartozik a szupravezetés és a szuperfolyékonyság, amelyeket itt részletesen nem tárgyalunk. Két érdekes kvantummechanikai jelenséget azonban az alábbiakban bemutatunk. Dirac fedezte fel a kvantummechanika és a relativiáselmélet házasítása közben, hogy létezhet az elektronnak egy antirészecske párja, az elektron (ezért Dirac Nobel-díjat kapott). Az 1928-as elméleti felfedezést 1932-ben kísérleti bizonyítás követte (Anderson által, aki ezért szintén Nobel-díjat kapott). Ma már tudjuk, hogy minden részecskének lehet anti-párja, és anti-atomokat is tudunk má létrehozni. Egy részecske az anti-párjával találkozva teljesen megsemmisül, és energiává (fotonokká) alakul, a folyamat során
2mc2
energia szabadul fel (ha
m
az
eredeti részecske és antirészecske tömege). 1 mg hidrogén és antihidrogén egyesülésekor 100 GJ energia termel®dne. A paksi er®m¶ éves energiatermelésének kb. 0,7 kg anyag-antianyag egyesülése felel meg. Az antianyag el®állításához azonban ennél még sok nagyságrenddel több energia szükséges, ezért nem hatékony energiatároló. A kvantummechanika további fontos következménye a radioaktivitás. Elképzelhet®, hogy egy részecske hullámfüggvénye úgy változik az id®ben, hogy a hullám amplitúdója id®ben csökken. Ekkor a hullámfüggvény
3.2. A TÉRID MODERN FOGALMÁNAK KIALAKULÁSA
négyzete, azaz a részecske létezésének valószín¶sége egyre csökken,
37
2−t/T
függvény szerint, ahol
T
a részecske
felezési ideje. A részecske folyton a létezés és a nemlétezés között lebeg, csak akkor derül ki, hogy megvan-e még, ha ránézünk. Egy adott részecskér®l sosem tudjuk, hogy mikor fog elbomlani, de átlagosan a valószín¶ségnek megfelel®en kövektezik ez be, azaz sok instabil részecske esetén a részecskék száma követi ezt a csökkenést. Ha
N
T id® múlva fele annyi, N/2 lesz. A részecskék számának N (t) = N (0) · 2−t/T , amely pontosan az el®z® mondatban leírt állítást vonja maga után. A −t/T helyett néha a λ bomlási állandót használjuk, melyet a 2 = e−λt összefüggés de niál.
részecske van jelen egy adott id®pontban, akkor
id®függése ilyenkor
T
felezési id®
(3.3) Sok atom viselkedik ilyen instabil módon, ezek megsz¶nése, bomlása a radioaktivitás. Az elbomló atommagok kibocsáthatnak magukból
α-részecskét
(hélium atommagot), röntgensugárzást (ha az elektronszerkezet insta-
bil, azaz nem alapállapotban van), gamma-sugárzást (ha az atommag instabil), és
β -sugárzást
(ilyenkor egy
neutron alakul át protonná, elektron kibocsátása mellett). Az alfa-sugárzás egyb®l elnyel®dik anyagban, akár egy papírlapban is, a béta-sugárzás valamivel vastagabb anyagban csak (pl. egy alumínium lapban), míg a gamma-sugárzás elnyeléséhez vastag ólomfalra van szükség.
3.2. A térid® modern fogalmának kialakulása 3.2.1. A newtoni mechanika és a Maxwell-egyenletek ellentmondása Bár Arisztotelész még azt gondolta, hogy a magára hagyott test megáll, és a mozgás magától nem marad fenn, Galilei és Newton óta tudjuk, hogy a mozgás relatív: semmilyen mechanikai jelleg¶ kísérlettel nem lehet megállapítani, hogy két, egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszer közül melyik mozog a másikhoz képest azaz nem lehet különbséget tenni köztük. Sima tengeren lév® hajó vagy vasúti kocsik esetében sem lehet megállapítani belülr®l (zárt ablakok mellett), hogy mozog-e vagy sem. Az újabb és újabb zikai jelenségek felfedezése nyomán azonban felmerült a kérdés, hogy a fentiekben megfogalmazott relativitási elv kiterjeszthet®-e nem mechanikai kísérletekre is, azon belül is a fényre, elektromosságra és mágnesességre. A XIX. század eleje óta ismert volt, hogy mozgó töltések mágneses teret keltenek, mozgó mágnes hatására pedig elektromotoros er® jön létre. Ez azt sugallja, hogy az elektromágnesesség esetében mégis abszolút értelemben megkülönböztethet® a mozgás és a nyugalom, ellentmondva a newtoni mechanikának. Az is kiderült a Maxwell-egyenletek szerint az elektromágneses hullámok vákuumban
c
sebességgel terjednek,
függetlenül az ®ket kibocsátó forrástól, ahogy a hangsebesség sem függ a forrás mozgásától. Olyan, mintha az elektromágneses hullámok is egy közeghez (egyfajta éterhez) lennének kötve ez azonban ellentmond a newtoni mechanikában is jelen lév® relativitás elvének: a fény vizsgálatával mégis különbséget tudunk tenni álló és mozgó meg gyel® között: az éterhez képest vett mozgás alapján. A kísérletek alapján azonban kiderült (Michelson, Morley, Fizeau is mások munkája nyomán), hogy éter nem létezik, de a fény mégis minden meg gyel® szerint azonos sebességgel halad tehát egy adott fénysugár sebessége független attól, hogy álló vagy mozgó rendszerb®l nézzük. Ez pedig még a sebesség összeadásának kinematikai szabályait is sérti! A fentiekben vázolt probléma feloldását Lorentz és Minkowski alapozta meg, és Einstein öntötte egységes keretbe. Két posztulátumot (alapfeltevést) fogalmazott meg: a zika törvényei minden inerciarendszerben azonosak, illetve a vákuumbeli fénysebesség természeti állandó (azaz minden meg gyel® számára azonos). Ebb®l levezette a speciális relativitáselméletet, amely tulajdonképpen a Galilei-féle relativitás kiterjesztése, hiszen immár semmilyen kísérlettel (nem csak mechanikaiakkal) nem lehet megállapítani egy rendszerr®l, hogy mozog-e vagy sem: a mozgás teljes mértékben relatív.
3.2.2. A speciális relativitáselmélet A relativitáselmélet szerint a tér és az id® nem abszolút, be kell vezetni a (Minkowski-féle) térid® fogalmát, amelyben a tér és az id® a meg gyel®t®l függ. Ezt Minkowski-diagramokkal világíthatjuk meg, amelyekben az
38
3. FEJEZET. MODERN FIZIKA
adott meg gyel® szerint érvényes derékszög¶ koordináta-rendszerben ábrázoljuk a térid®t, a vízszintes tengelyen a teret, a függ®legesen az id®t. A meg gyel® maga az
x=0
pontban tartózkodva mozog el®re az id®ben. Az
id®skálát úgy állítjuk be, hogy a fénysebesség egy szimmetrikusan (45 fokban) haladó egyenesnek feleljen meg.
Ha egy mozgó objektumhoz képest szeretnénk a jelenségeket vizsgálni, be kell ülni az ® koordinátarendszerébe. Ennek szabályait a Lorentz-transzformáció adja meg, amely szerint Minkowski diagramokon az állandó sebességgel mozgó meg gyel® számára úgy torzul a térid®, hogy az ® koordináta-rendszerében is éppen szimmetrikusan középen legyen a fénysebesség egyenese:
A Minkowski-térid®ben a tér és az id® egyesül, és valójában térid®r®l beszülünk, amelyben a tér három koordinátájából és az id®b®l álló négyesvektorok vannak. A négyesvektorok komponenseit a Lorentz-transzformáció módosítja koordinátarendszer-váltás esetén, és ennek központi eleme az, hogy a térid®vektorok Lorentz-hossza változatlan marad, amit a
(t, x) → (t0 , x0 )
váltás során a
p
x 2 − c2 t 2 =
p x02 − c2 t02
(3.4)
egyenlet fejez ki. A tér- és az id®tengely a fentiek alapján szimmetrikus a fénysebesség görbéjére, és mivel a tér és az id® mérése ezen tengelyekkel való párhuzamos vetítéssel történik, két térid®beli esemény közötti id® és távolság nem azonos a két meg gyel® számára. Ez a Lorentz-kontrakció, amelynek mértékét a
γ = 1/
p 1 − v 2 /c2
meg (v sebességkülönbség esetén): v/c
γ
10%
1.005
50%
1.1
70%
1.4
90%
2.3
99%
7
99.9%
22
99.995%
100
Továbbá a távolságok és id®intervallumok relativitását illusztrálja az alábbi ábra:
Lorentz-faktor adja
3.2. A TÉRID MODERN FOGALMÁNAK KIALAKULÁSA
39
Ez azt is jelenti, hogy a fénysebesség felével mozgó ¶rhajó kb. 10%-kal rövidebb a földi (álló) meg gyel® szerint, mint az ¶rhajóban utazók szerint. Hasonlóan, az ¶rhajóban ül®k szerint az id® is 10%-kal lassabban telik számukra. Ugyanakkor ez fordítva is igaz, azaz például a földi tárgyak az ¶rhajós szerint rövidebbek. A relativitáselmélet fontos következménye, hogy a sebesség-összeadás módosul:
v1 és v2 összege immár v1 +v2 ,
hanem
v 1 + v2 . 1 + v1 v2 /c2 Ha
(3.5)
v1 = 100 m/s és v1 = 100 m/s, akkor az összeg nem 200 m/s, hanem 199,99999999998 m/s. Tehát a korrekció
ekkor kicsi, de 100 000 km/s és 100 000 km/s összege már 200 000 km/s helyett 180 000 km/s sebességre
v1 +c 1+v1 c/c2 = c, tehát c-hez bármennyit adva továbbra is csak c-t kapunk. A fénysebesség állandó, bármilyen sebesség¶ meg gyel®r®l
módosul. Itt már lényeges a korrekció. A képletb®l látható továbbá, hogy
v2 = c
esetén
nézzük: végre sikerült megmagyarázni a fénysebesség állandóságát! Néhány további zikai mennyiség is a Lorentz-faktorral módosul, például az impulzus relativitáselméleti de níciója
p p = mv/ 1 − v 2 /c2 ,
ami
v c
esetén visszaadja a klasszikus közelítést. Az imént leírt formulának
az az oka, hogy az impulzus és az energia is egyetlen négyesvektort alkot, ez a négyesimpulzus (miután ennek négy komponense van). Ennek a Lorentz-hossza is független a koordináta-rendszert®l avagy a meg gyel®t®l, hasonlóan a térid®-vektorokhoz. Érdekes módon az derül ki, hogy a négyesimpulzus Lorentz-hossza éppen az adott tárgy tömegével egyezik meg (szorozva
c2 -tel), p
azaz következ® egyenlet lesz igaz:
E 2 − p2 c2 = mc2
Ez azt is jelenti, hogy a nulla impulzusú (nyugvó) objektum energiája
(3.6)
E = mc2
lesz, tehát a tömeg tulaj-
donképpen a nyugalmi energiának felel meg. Egyúttal azt is láthatjuk, hogy az energia és a tömeg ekvivalens mennyiségek, ezért alakulhat át egy
m tömeg¶ elektron és egy ugyanekkora tömeg¶ elektron 2mc2
összenergiájú
fotonokká. Ugyanígy, ha valamely kémiai vagy atomi rendszernek van valamekkora kötési energiája, akkor ez a tömegének módosulásával is együtt jár ahogy azt majd az atom- és mag zikáról szóló részben is láthatjuk. A relativitáselméletnek vannak furcsa és érdekes következményei:
•
Az egyidej¶ség relatív: a mozgás sebességét®l függ, hogy két esemény egyszerre történt-e, egymáshoz képest mozgó meg gyel®k err®l mást mondanak.
•
A fénysebesség egyfajta határsebesség: aki gyorsabban megy, az id®ben visszafelé is megy, pontosabban számára két esemény sorrendje megfordul (azaz az ok-okozati sorrendet fordítva észleli). Ezzel az a probléma, hogy egy okozat ismeretében megváltoztathatjuk az okot, azaz megsérthetjük a kauzalitás elvét, mely szerint az ok el®bb van, mint az okozat. Például a meccs végeredményének ismeretében a meccs el®tt fogadást tehetünk, vagy (morbid példával élve) megölhetjük egy korábban élt egyenesági felmen®nket, saját megszületésünket megakadályozva (ami ellentmondásra vezet).
•
Az id®dilatációt és a Lorentz-kontrakciót már fent említettük: mozgó rendszerben az id® lassabban telik, mint kívülr®l nézve, illetve mozgó tárgyak kívülr®l nézve rövidebbek!
A speciális relativitáselméletnek rengeteg kísérleti bizonyítéka van. Fontos példa a légkörben keletkez® kozmikus részecskék (müonok) esete, amelyek olyan rövid élettartamúak, hogy fénysebességgel menve is csak kb. 660 métert tudnak megtenni (ezután elbomlanak). Ugyanakkor nagy többségüket észleljük a Földön is, miután áthaladtak több tíz kilométernyi légkörön. Ez azért lehetséges, mert nagy sebességük miatt számukra a megteend® távolság nagyon lerövidül. Egy másik fontos példa, hogy ha két atomórát összehangolunk, majd az egyikkel egy gyors repül®vel teszünk egy kört, ez utóbbi óra kevesebbet fog mutatni, mikor újra egymás mellé tesszük a másikkal. Az eltérés mértéke éppen az id®dilatációnak megfelel® lesz.
3.2.3. Az általános relativitáselmélet A speciális relativitáselméletet tovább általánosíthatjuk, ha gyelembe vesszük a tényt, hogy semmilyen kísérlettel nem lehet különbséget tenni egy gravitációs térben lév® kabin, és egy, a csillagoktól távoli ¶rben gyorsuló kabin között:
40
3. FEJEZET. MODERN FIZIKA
Ez valamilyen értelemben azt jelenti, hogy a két rendszer között ekvivalencia gyelhet® meg, és a gravitációs tér és a vonatkoztatási rendszer gyorsulása egyenérték¶. Erre az általánosításra azért is szükség van, mert a speciális relativitáselmélet és a newtoni gravitáció is ellentmondásban áll egymással: a newtoni gravitáció szerint, ha két objektum hat egymásra, és az egyiket eltávolítjuk, azt a másik
azonnal
érzi. Ez a hatás végtelen
sebességgel érne el a másik objektumhoz, ez a távolhatás a speciális relativitáselmélet szerint lehetetlen. A fentiekb®l kiindulva vezette le Einstein az általános relativitáselméletet. Ennek lényege, hogy az anyag egyfajta görbült teret hoz létre, és a mozgást ebben a görbült térben kell értelmezni. A térid® görbülete a benne elhelyezett tömeggel n®, és ez a görbület hat aztán a további tárgyak mozgására. Az egész egyfajta súlyok által megnyújtott gumileped®höz hasonlít, ahogy az alábbi ábra is mutatja.
Az általános relativitáselméletnek is elméletnek sok kísérleti bizonyítéka van. Az egyik fontos bizonyíték az, hogy a Merkúr pályája elfordul 100 év alatt 574 szögmásodpercet, és ebb®l kb. 43 szögmásodperc nem magyarázható meg a newtoni mechanikával (illetve a többi bolygó jelenlétével), de az általános relativitáselmélet ez helyesen adja meg. Meg gyelték a gravitációs id®-dilatációt is: egy nehéz objektum úgy görbíti meg a térid®t, hogy a közelében lassabban járnak az órák, mint t®le távol. Ezt is gyelembe veszik a GPS m¶holdak tervezésekor, naponta 45
µs
eltérés keletkezik a földi és a m¶holdakon lév® órák között! Az anyag (pl. egy nehéz csillag)
által meggörbített térben a fény is görbén halad, ami érdekes jelenségeket hoz létre, az úgynevezett gravitációs lencse-hatás miatt. Az elmúlt évtizedekben sikerült úgynevezett Einstein-keresztet és Einstein-gy¶r¶t is meg gyelni: ezeknél egy masszív objektum a mögötte lév® galaxis fényét négyszeresen (kereszt formájában), vagy akár kör alakban képezi le. A fekete lyukak léte is az általános relativitáselméleten keresztül érthet® meg. Ha egy objektum extrém s¶r¶séget ér el, kiseb lesz az úgynevezett Schwarzschild-sugaránál (amely a test tömegét®l ahol
γ
2M γ/c
módon függ,
a gravitációs állandó ez tehát a Föld esetében 9 mm, a Nap esetében pedig 3 km), akkor fekete lyukká
válik: az objektum közelében ekkor olyan er®sen görbült a tér, hogy még a fény sem juthat ezen sugáron kívül, minden az objektum középpontja felé zuhan (ezért hívjuk ezt fekete lyuknak). A világegyetem id®fejl®dését is az általános relativitáselmélet segítségével vizsgálhatjuk. Eszerint az univerzum egy ®srobbanásban keletkezett, kb. 13,7 milliárd éve, azóta folyamatosan tágul: a térid® szövete nyúlik meg egyre jobban, ahogy azt az általános relativitáselmélet leírja. Erre az egyik fontos bizonyíték a Hubble-törvény: a messzi galaxisok (melyek relatív sebességét a Doppler-eektusból lehet meghatározni, távolságukat pedig úgynevezett szupernóva-robbanások segítségével) távolodási sebessége arányos a távolsággal (természetesen itt a látszólagos helyzetr®l beszélünk, hiszen egy távoli galaxist ott látunk, ahol akkor volt, amikor a most hozzánk érkez® fénye elindult). A másik a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás: a világegyetemben mindenhol észlelhet® egy kb 2.7 K h®mérséklet¶ sugárzás, amely az ®srobbanás utáni h®mérsékletet adja vissza (a Doppler-eektus miatt sokkal alacsonyabb frekvencián azaz sokkal kisebb h®mérsékletet mutatva).
3.3. ATOM- ÉS MAGFIZIKA
41
3.3. Atom- és mag zika 3.3.1. Az atomok felépítése A gondolat, hogy az anyag diszkrét, oszthatatlan egységekb®l áll, az ókori természet lozó ában gyökerezik. A 18. századig (vagy méginkább a 19. század elejéig) kellett azonban várni, hogy megkezd®djön a kérdés természettudományos módszerekkel történ® vizsgálata. Az els® lépéseket Lavoisier, Proust, Avogadro és Dalton tették meg, kémiai reakciók vizsgálatával (amelyekben meg gyelték a tömeg megmaradását illetve a reagensek arányainak állandóságára vonatkozó törvényeket). Utóbbi volt az els® atomelmélet megalkotója. A 19. század végéig az atomelmélet azonban nem nyert általános elismerést, ellenz®i az atomok helyett az energiát tekintették minden jelenség végs® alapjának (Ostwald és Helm). Mások (mint például Mach) a közvetlen érzékeléssel fel nem fogható dolgok létezését értelmezhetetlennek gondolták. A kérdésben az döntött, hogy makroszkopikus jelenségekben is sikerült az atomosság nyomaira bukkanni, és a h®t is sikerült az atomok és molekulák mozgásával megmagyarázni (lásd a kinetikus h®tanról szóló szakaszt). Az atomok szerkezetét azonban sokáig senki nem kutatta, oszthatatlannak gondolva azokat. Thomson katódsugarak (amelyeket egy forró fémszál bocsát ki elektromos tér hatására) vizsgálatakor arra jutott, hogy a sugárzás, amely uoreszcens erny®n fényfelvillanást kelt, az atomokból származik, és töltött részecskékb®l áll. Megmérte ezen részecskék töltés/tömeg arányát, és ezzel tulajdonképpen felfedezte az elektront (ezért Nobel-díjat kapott). Ez alapján Thomson megalkotta a plum pudding névvel illetett els® atommodellt. Eszerint az atom egy pozitív töltés¶ levesb®l áll, amelyben úsznak a negatív töltés¶ részecskék, az elektronok. Ezek töltését (azaz az
e elemi töltés nagyságát) kés®bb Millikan mérte meg: porlasztott (véletlenszer¶en töltött)
olajcseppeket elektromos térbe helyezve gyorsulásukat mérte, és ebb®l töltésüket határozta meg (eredményéért Nobel-díjat kapott). A modellt Rutherford kísérlete cáfolta, aki egyúttal egy jobb atommodellt is alkotott. Rutherford megmérte
α-bomlásból
származó (α-) részecskék arany fólián való szóródásában a szórt részecskék szögeloszlását. A
Thomson-féle atommodell alapján túlnyomórészt kisszög¶ szórást vártak, ezzel szemben a részecskék jó része szóródás nélkül továbbment, kis részük er®teljesen eltérült. Ezt egyfajta pontszer¶ maggal lehetett magyarázni, és a kísérleteket a centrális er®térben való szóródásra vonatkozó egyenletekkel lehet kiszámolni. Nagyon nagy
α-részecskére nem α-részecske sugarának
szögekre (visszaszóródásra) eltérést találtak ett®l a formulától: a maghoz nagyon közel men® tekinthet® pontszer¶nek a mag: ez a méretét mutatja lényegében, illetve a mag és az
összege. Arany esetében energiafüggetlenül ez kb. 13 femtometer. Rutherford atommodellje mindezek alapján azt mondta, hogy a
10−10
m atom közepén egy roppant kicsi,
10−15
m méret¶ mag található, az elektronok
pedig körülötte keringenek, egyfajta Naprendszert alkotva. Az elektronok energiáját ekkor egyrészt a Coulombkölcsönhatás potenciálja, másrészt a keringésb®l adódó mozgási energia adja. Ugyanakkor fontos látni, hogy a kering® elektronok elektromos tere id®ben változó, így mágneses teret is keltenek, amely szintén id®ben változó lesz. Ez végül elektromágneses sugárzást hozna létre, amelynek hatására az elektronok elveszítenék energiájukat, és az atommagba zuhannának. Egy más jelleg¶ probléma is adódott a Rutherford-féle atommodellel. A modellb®l ugyanis arra következtethetnénk, hogy az atomok bármilyen kis energiát el tudnak nyelni: ekkor az elektronok energiája kicsit megn®ne; és ugyanígy, valamely elektron az atommaghoz kicsit közelebb kerülve kis energiát veszítene, és így az atom ezt az energiát kisugározhatná. Gázok és g®zök elektromágneses sugárzási spektrumát tanulmányozva kiderült azonban, hogy ezen spektrumok (azaz a gázok színképe) diszkrét vonalakból állnak, amelyek szerkezete az atomokra jellemz®. Az atomok tehát csak néhány konkrét mennyiségnek megfelel® energiát tudnak elnyelni vagy kibocsátani! Ezt úgy lehet magyarázni, hogy gázok sugárzás-elnyelése és kibocsátása során az atomok elektronjai kizárólag diszkrét energiaszinteken között mozognak, és az energiakülönbségnek megfelel® fényt bocsátanak ki vagy nyelnek el. Egy olyan bolygómodellt jelent ez, amelyben nem lehetséges tetsz®leges pálya! Niels Bohr a fenti két problémára válaszként egy konzisztens modellt épített fel (és ezért Nobel-díjat kapott), alapvet®en a bolygómozgás mintájára, egy hozzáadott posztulátummal. A modell lényege ez a posztulátum, amely szerint az elektron pályájának kerülete a hullámhosszának egész számú többszöröse lehet csak, ekkor ugyanis az elektron éppen körbehullámozza az atommagot, a pálya kerületén egész számú hullám fér el, azaz
2rπ = nλ = nh/p (ahol n egész szám). Ez úgy is megfogalmazható, hogy az elektronok perdülete csak a redukált h/(2π) = ~ egész számú többszörse, L = mvr = pr = n~ lehet. Planck azt állította, hogy az ilyen
Planck-állandó
pályákon nincsen gyorsulásból fakadó sugárzás. A modell oka ismeretlen, értelmezhetetlen, de jó eredményre vezet! A Bohr modellben az elektronok energiáját úgy lehet kiszámolni, hogy kiindulunk a Coulomb-er® (a
Ze
42
3. FEJEZET. MODERN FIZIKA
töltés¶ mag és az
e
töltés¶ elektron között) és a pályán tartó centripetális er® egyenl®ségéb®l, azaz
k
Ze2 mv 2 p2 = = , innen 2 r r mr p2 r2 = kZe2 mr = n2 ~2 , tehát
(3.7) az
n.
pályasugár:
(3.8)
2 2
rn =
n ~ . kZe2 m
(3.9)
Az ehhez tartozó energiaszint
En =
mk 2 Z 2 e4 1 mk 2 Z 2 e4 mv 2 kZe2 mk 2 Z 2 e4 − =− 2 , − = 2 2 2 2 2 r 2n ~ n ~ n 2~2
(3.10)
ami pontosan visszaadja a kísérletekben mért spektrum-vonalakat. Nem világos azonban, hogy mi a Bohr-féle posztulátum magyarázata, és hogyan zajlik az átmeneti folyamat: a kvantummechanika képe ad teljesebb magyarázatot az atomok elektronszerkezetére. Ebben az elektronok már egyfajta
P (x) = |Ψ(x)|2
valószín¶ségi eloszlással rendelkeznek, amely a hullámfüggvényük abszolútértékének
négyzete. A kvantummechanika, illetve a hidrogénatom Schrödinger-féle modellje szerint ezen eloszlások az alábbi ábrának megfelel®en néznek ki (itt
n
az adott energiaszintet jelöli,
l
pedig az adott pályához tartozó
perdülettel függ össze; jelen jegyzetben ezt ennél jobban nem tudjuk részletezni):
3.3.2. Az atommagok kötési energiája Az atomok szerkezetét már ismerjük tehát, és tudjuk, hogy bennük egy igen kicsiny méret¶ atommag található. Világos, hogy egy
Z
rendszámú atomban
Z
darab elektron található, a mag pedig szintén
Z
töltés¶:
Z
darab protonnak köszönhet®en. Ugyanakkor a proton tömegének ismeretében az is kiderült, hogy az atommag (avagy az atom) mérete egy
A 6= Z
tömegszámmal jellemezhet® kb. ennyiszerese az atom tömege a protoné-
nak. Felmerül a kérdés, hogy mi a kapcsolat a tömegszám és a rendszám között. Könny¶ elemeknél nehezebb atomok esetén
Z < A/2
Z = A/2,
adódik, kell tehát még valaminek lennie az atommagban, ami a protonok
tömegéhez hozzáadódva kiadja az atom teljes tömegét (az elektronok tömege ezekhez képest elhanyagolható)! Az a kérdés is felmerül, hogy mi tartja össze az atommagot a protonok elektromos taszítása ellenében. A legfontosabb lépést ezzel kapcsolatban Chadwick tette 1932-ben, amikor felfedezte a neutront (amiért Nobel-díjat kapott). Kiderült, hogy ez az atommag tömegének hiányzó részét kiadó részecske; a magban a protont és a neutront pedig egy újfajta kölcsönhatás, a mager® tartja össze. A kémiai tulajdonságokat az elektronszerkezet, azaz a protonok száma határozza meg, a neutronszám ilyen szempontból irreleváns ez csak az adott mag tömegéhez járul hozzá. Ráadásul egy adott kémiai elem többféle neutronszámmal is létezhet, azonos protonszám (azaz rendszám) mellett. Egy adott atommag különböz® neutronszámú változatait izotópoknak hívjuk. Többnyire egy adott elemb®l csak 1-2 különböz® stabil izotóp fordul el® a természetben; a többi valamilyen bomlás (azaz részecskekibocsátás) mellett stabilizálódik. Az izotópok térképét alább láthatjuk:
3.3. ATOM- ÉS MAGFIZIKA
43
A proton és a neutron tömegének ismeretében kiderült az is, hogy az atomok könnyebbek, mint a megfelel® számú proton és neutron tömege. Ennek az az oka, hogy az atommagoknak van egyfajta kötési energiája, az ennek megfelel® tömeggel könnyebbek, mint az alkotórészeik (és ezért stabilak). Ezt a kötési energiát a mager® (az úgynevezett er®s kölcsönhatás) okozza, ez tartja össze az atommagot. Az egy nukleonra (a nukleon a proton és a neutron összefoglaló neve) jutó kötési energia a tömegszám függvényében úgy változik, hogy a vasnál van minimuma:
A vas környéki atommagok vannak tehát a legkedvez®bb állapotban. Nem kedvez® állapotból hasadással vagy fúzióval lehet kedvez®bbe jutni: a vasnál nehezebbek hasadni tudnak, a könnyebbek fuzionálni.
3.3.3. Maghasadás A nehéz atommagok maguktól nem esnek szét többnyire, de neutronnal bombázva ®ket maghasadás indukálható, rengeteg energia felszabadulása mellett. A 235-ös tömegszámú urán izotóp lassú (1 eV körüli mozgási energiájú) neutron hatására például széteshet kriptonra (A=92) és báriumra (A=141), emellett három neutron keletkezik (vannak más bomlások is, mindet gyelembe véve átlagosan 2,4 neutron keletkezik), és sok ( 200) MeV energia, amely h®ként jelenik meg:
A hasadás gyors neutronok hatására is bekövetkezhet, de több MeV energia esetén a hasadás valószín¶sége több nagyságrenddel kisebb, mint lassú, eV körüli neutronenergia esetén. Ugyanakkor a természetes uránércben a
235
U aránya csak 0.7%. A
238
U (természetes urán 99.3%-a) csak gyors neutronok hatására hasad szét, és akkor
is elég kicsi valószín¶séggel. További fontos különbség, hogy egy bomlásban átlagosan 1,7 neutron keletkezik..
44
3. FEJEZET. MODERN FIZIKA
Az urán hasadását használja ki az atombomba, láncreakciót hozva létre (hiszen egy hasadás nyomán egynél több neutron keletkezik, ezért egyre több hasadás történik, és az összes mag elhasadhat a másodperc töredéke alatt). Ugyanakkor egy urán-tömb felületen kiszökhetnek neutronok, esetleg más miatt nem okoznak hasadást. Így ugyan 2,4 vagy 1,7 neutron keletkezik, de nem mind hasít. A kiszökés els®sorban geometriai okból következik be, felület/térfogat aránytól függ, kis tömeg esetén arányosan több a szökés, mint nagy tömeg esetén. Ha a hasadásban keletkez® neutronok közül átlagosan hasadásonként egynél több okoz további hasadást, beindul a láncreakció: az ehhez szükséges tömeget a kritikus tömegnek nevezzük. Ugyanakkor a kritikusság attól is függ, hogy milyen uránt használunk: a 238-as izotóp hasadása során eleve csak 1,7 neutron keletkezik, így ebb®l sokkal kevesebbnek szabad elszöknie. Hogy ésszer¶ méreten már kritikus legyen az urántömeg, nagyon fel kell dúsítani (85% fölé) az
235
U arányát. Ugyan a keletkez® gyors neutronok miatt a
238
U is hasad itt ugyan, de az akkor
keletkez® 1,7 neutron kevés, arra nézve nem éri el a kritikus tömeget az atombomba. Az urán hasadását kontrolláltan az atomreaktorban tudjuk hasznosítani. Itt az a cél, hogy egy hasadás neutronjai közül mindig pontosan egy okozzon további hasadást. Ha egynél több tenné ezt (azaz a neutronsokszorozódás egynél nagyobb), akkor felgyorsulna a láncreakció, azaz megszaladna a reaktor. Ha egynél kevesebb, akkor viszont leáll a láncreakció. Akkor m¶ködik stabilan a reaktor, ha minden hasadásból keletkez® neutronok közül pontosan egy okoz további hasadást. Ezt
szabályzórudakkal
érik el, ezeket a hasadóanyagba egyre mé-
lyebbre engedve egyre több neutront nyelnek el, azaz csökkentik a neutronsokszorozódást. Éppen megfelel®en tartva elérhet®, hogy a neutronsokszorozódás éppen egy legyen. Azért, hogy a hasadás valószín¶sége nagy legyen, lelassítják a neutronokat, és így szinte mindegyik hasadást tud okozni (persze csak a arányára, 3-4%
235
235
U-ben). A hasadás nagy valószín¶sége miatt itt nincs szükség a 235-ös izotóp nagy
U arányt elérni. A neutronok lassítását végz® anyag az ún.
moderátor.
Az atomer®m¶vek m¶ködésének lényege, hogy a reakcióban keletkez® h®t a felforrósodott moderátor-közeg keringése során elszállítja (primer kör), és felmelegít egy másik közeget (szintén vizet), ez g®zzé forrva hajtja a turbinákat. A legelterjedtebb reaktortípus, a nyomottvizes reaktor m¶ködését az alábbi ábra illusztrálja:
A magfúzió a reaktortartályban zajlik, az üzemanyag-rudakban jön létre. Az itt keletkez® h®t a primer kör vezeti el, és még a reaktor betonkonténerében, egy h®cserél®ben átadja a h®t a szekunder körnek, felforralva az abban kering® vizet. Ez a g®z meghajtja a turbinákat, amelyek pedig a generátort, és így elektromosság jön létre. A szekunder köri víz h®jét (szintén egy h®cserél®n át) a h¶t®víznek adja át. Látható, hogy az ilyen reaktorokban a moderátor azonos a keletkez® h®t is elszállító anyaggal, többnyire mindkett®t víz vagy nehézvíz alkotja. Az ilyen reaktorok f® beépített biztonsági eleme az, hogy ha megszalad a reaktor, a moderátor (víz) elforr, a neutronok nem lassulnak le, ezért nem okoznak hasadást, így a reaktor leáll. A reaktorban keletkez® hasadványmagok viszont többnyire er®sen radioaktívak, ezek az elhasznált f¶t®elemekben rakódnak le. Ezek tárolása az maghasadás békés célú felhasználásának egyik kulcskérdése. A kiégett üzemanyagcellák avagy f¶t®elemek betonszarkofágokban helyezend®ek el, és jó megoldás lehet ezeket vízzáró rétegek közé, földrengésbiztos helyre elhelyezni. Probléma ugyanakkor, hogy a keletkez® hasadványmagok közül soknak a felezési ideje a millió évet is eléri; ugyanakkor semmilyen elhelyezés biztonsága nem garantálható ilyen hosszú távon. Ezen anyagok keletkezésének csökkentését, s®t, akár a korábbi kiégett üzemanyagcellák felhasználását is ígérik a következ®, negyedik generációs reaktortípusok.
3.3. ATOM- ÉS MAGFIZIKA
45
3.3.4. A magfúzió és összevetése más energiatermelési módszerekkel Ahogy fent láttuk, a könny¶ magok kötési energiája igen magas, így ezek egyesítése, fúziója során jelent®s energia nyerhet®. Ugyanakkor ehhez extrém magas h®mérsékletre van szükség (miután az atommagoknak az elektromos taszítást le kell gy®zniük, hogy egyesülhessenek). A csillagokban különféle folyamatok során négy hidrogén egyesül egy hélium-atommaggá, a Napban például tipikusan az alábbi módon:
Ezt a típusú magfúziót hasznosítja a hidrogénbomba is. Fontos ugyanakkor, hogy életük végén a csillagok létrehoznak a héliumnál nehezebb magokat is (a földi anyag nagy része távoli, felrobbant csillagok maradványa). A fenti reakcióhoz, ahogy írtuk, többmillió fokra van szükség. Ilyen magas h®mérsékletet nehéz a Földön tartósan fenntartani, hiszen semmilyen edény nem bírná ki azt. A csillagokban a gravitáció tartja össze a forró gázt, míg a Földön mágneses térben próbálhatjuk meg lebegésben tartani az anyagot, például egy tóruszban áramló plazma formájában. Ennek egy megoldását tokamaknak hívják, ilyeneket sikerült már építeni és rövid ideig üzemeltetni, de gyakorlati felhasználásuk még nem lehetséges. Ha sikerülne megépíteni, igen kevés üzemanyag befektetésével rengeteg energiát lehetne termelni. Álljon itt egy rövid összefoglaló arról, hogy a különböz® zikai módszerekkel mennyi energia keletkezik egységnyi anyag befektetésével:
• • • • •
Anyag+antianyag: 10 Fúzió: 10
9
11
MJ/kg
MJ/kg
8
Maghasadás atombombában: 10 Maghasadás er®m¶ben: 10 Fosszilis tüzel®anyagok:
6
MJ/kg
MJ/kg
50 MJ/kg
Természetesen nem mindegy, hogy milyen anyagot kell befektetni. A fosszilis tüzel®anyagok elfogyhatnak nem túlságosan sokára, ahogy az urán is, bár lassabban, és helyettesíthet® plutóniummal talán. Hidrogénb®l lényegesen több van, antianyag viszont egyáltalán nem áll rendelkezésre. Fontos szempont még a hatékonyság és károsanyag-termel®dés is minden szempontból optimális lenne a fúziós reaktor, azonban egyel®re kétséges, hogy mikorra tudjuk legy®zni a technikai akadályokat. A megújuló energiák (persze a Nap is kiég egyszer, ahogy a szelek sem fújnak örökké) szerepe is lényeges lehet, fontos azonban látni, hogy ehhez is kapcsolódnak káros anyagok, amelyek a gyártáskor keletkeznek. A kérdés (társadalmi és gazdasági vonatkozásaival együtt) túlságosan komplex ahhoz, hogy itt b®vebben tárgyaljuk. A különböz® energiaforrások jellemz®it azért alább áttekintjük: Rendelkezésre áll nyersanyag?
Technológia
Milyen
Keletkezik
Kockázatos
készen áll?
hatékony?
káros anyag?
az üzemeltetés?
Fosszilis er®m¶vek
Gyorsan fogy
Igen
Kevéssé
Sok
Nem
Maghasadás
Lassan fogy
Igen
Nagyon
Kevés
Részben
Magfúzió
Igen
Nem
Extrém
Nem
Kicsit
Antianyag
Nem
Nem
?
Nem
?
Igen
Részben
Kevéssé
Gyártáskor
Nem
Megújuló energiaforrások
A. függelék
Ellen®rz® kérdések Zárásként megadunk minden korábbi témához kapcsolódóan néhány kérdést (f® szakaszonként csoportosítva). Ezek célja, hogy segítségükkel az olvasó felmérhesse, megértette-e a kurzus illetve ezen jegyzet anyagát. A legjobb tehát, ha ezekre a választ ki-ki maga dolgozza ki, miután végigolvasta és feldolgozta a jegyzetet. Az el®adáshoz kapcsolódó gyakorlaton rengeteg gyakorlati példa megoldására kerül sor, ezért az alábbiakban inkább elméleti jelleg¶ kérdéseket teszünk fel, a kis számú, gyakorlatibb jelleg¶ kérdés azért szerepel, mert sokszor ez teszteli igazán a megértést. 1. Milyen h®mérsékleti skálákat ismersz, és mi köztük az összefüggés?
2. Mi a fajh®? 3. Mit jelent, ha egy anyag fajh®je 1000 J/kg/K 4. Mennyivel n® meg egy anyag h®mérséklete Q h® hatására?
5. Milyen fázisátmeneteket ismersz? 6. Hogy néz ki a víz fázisdiagramja? 7. Hogy változik a víz forráspontja a nyomással? 8. Hogy változik a jég olvadáspontja a nyomással? 9. Mit jelent a víz kritikus pontja? 10. Mi az a hármaspont? 11. Mi az a látens h®? 12. Mennyi energia kell egy liter víz elforralásához? 13. Mennyi h®re van szükség egy kg jég megolvasztásához? 14. Mi történik, ha -10 Celsius fokos jeget teszünk egy 120 Celsius fokos g®zzel teli kamrába?
15. Mi a h®átadás három formája? 16. Mi a h®átadás leghatékonyabb formája többnyire? 17. Hol jelenik meg h®áramlás a mindennapi életben? 18. Mit®l függ a h®vezetéssel átadott h®mennyiség? 19. Mi az a h®vezetési együttható? 20. Mit®l függ az ablakon át elveszett h® mennyisége (id®egységenként)? 21. Mondj jól/rossz h®szigetel® anyagokat. 22. Miért h¶t rosszabbul a jeges h¶t®gép?
46
47
23. Mi a h®sugárzás alaptörvénye? 24. Mi az a h®mérsékleti sugárzás? 25. Mi a h®sugárzás h®mérséklete és színe között a kapcsolat (mondj példákat)? 26. Miért fehér szín¶ a Nap?
27. Hogyan változik az anyagok mérete a h®mérséklettel? 28. Mennyi egy tipikus h®tágulási együttató? 29. Mi a kapcsolat a lineáris és a térfogati h®tágulás között? 30. Milyen anyagoknak kicsi/nagy a h®átadási együtthatója? 31. Miért görbülnek meg nyáron a sínek? 32. Mire szolgálnak a dilatációs rések hidakon? 33. Miért változik a fels®vezetékek feszessége az év során? 34. Miért nem fagy be a tavak alja általában?
35. A molekulák/atomok nyelvén kifejezve mi okozza a h®érzetet? 36. Mit jelent egy molekula szabadsági fokainak száma? 37. Hány szabadsági foka van egy molekulának? 38. Mi az az ekvipartíció tétele? 39. Mi a h®mérséklet de níciója molekuláris szinten? 40. Mennyi egy oxigén molekula átlagos sebessége 23 fokos leveg®ben (hogyan számolható ki)? 41. Mi okozza a nyomást molekuláris szinten kifejezve? 42. Mi az ideális gázok állapotegyenlete? 43. Milyen gáztörvények következnek az ideális gázok állapotegyenletéb®l? 44. Mennyi az ideális gázok bels® energiája? 45. Mennyi az ideális gázok mólh®je? 46. Mennyiben mások a van der Waals gázok, mint az ideális gázok?
47. Mi az az entrópia értelmezése? 48. Hogyan adhatjuk meg az entrópiaváltozást állandó h®mérséklet¶ rendszerben? 49. Hogy adhatjuk meg az entrópiát a valószín¶ségi képben? 50. Mit jelentenek a makro- és a mikroállapotok?
51. Mi a termodinamika nulladik f®tétele? 52. Mi a termodinamika els® f®tétele? Mi benne az egyes tagok el®jelének de níciója (mikor pozitívak/negatívak)? 53. Mi a termodinamika második f®tételének három megfogalmazása? 54. Mit tudunk termodinamikai folyamatok hatásfokáról? 55. Mit tudunk reverzibilis körfolyamatokról? 56. Mi a termodinamika harmadik f®tétele?
48
A. FÜGGELÉK. ELLENRZ KÉRDÉSEK
57. Mi az adiabatikus/izochor/izobár/izoterm állapotváltozás? 58. Gázok fajh®je izochor vagy izobár változás esetén nagyobb? Mennyivel? 59. Rajzold le
p-V
vagy
T -S
diagramon az adiabatikus/izochor/izobár/izoterm állapotváltozásokat.
60. Rajzold le az Otto-motor körfolyamatát p-V diagramon. 61. Mennyi az Otto-motor termodinamikai hatásfoka? 62. Rajzold le a Carnot-körfolyamatot T-S diagramon! 63. Mennyi a Carnot-körfolyamat termodinamikai hatásfoka? 64. Miért különleges a Carnot-körfolyamat
65. Minimum mekkora töltése lehet egy anyagdarabnak/részecskének? 66. Mekkora er® hat két 1 mm-re lév® elektron között? 67. Mi a Coulomb-törvény?
68. Mi az elektromos térer®sség? 69. Milyen elektromos teret kelt egy 70.
E
Q
ponttöltés?
elektromos tér mekkora er®vel hat
q
töltésre?
71. Mit jelentenek az er®vonalak? 72. Hogy néz ki egy ponttöltés elektromos tere er®vonalakkal lerajzolva? 73. Hogy néz ki egy dipólus elektromos tere er®vonalakkal lerajzolva? 74. Dipólus elektromos tere hogy függ a távolságtól? 75. Két dipólus (molekula) közötti er® hogyan függ a távolságtól?
76. Miért világít a nagyfeszülségre kapcsolt uborka?
77. Mi a uxus de níciója? Mire vonatkoztatva de niáljuk? 78. Mennyi a uxus értéke sík felületen, állandó elektromos térben? 79. Tetsz®leges felület és tér esetén hogyan számíthatjuk ki a uxust? 80. Mit mond ki a Gauss-törvény? 81. Mit tudunk a zárt felületre vonatoztatott uxusról?
82. Töltött vezet® testen belül mekkora az elektromos tér és miért? 83. Töltött vezet® testen hol helyezkednek el a töltések? 84. Mi a Faraday-kalitka, hogyan m¶ködik? 85. Mi az a csúcs-hatás, mi a jelent®sége? 86. Hosszú egyenes vezeték elektromos tere mekkora? 87. Nagy síklap elektromos tere mekkora?
88. Mit jelent a potenciális energia? 89. Elektromos térben hogy számíthatjuk ki a potenciális energia két pont közötti különbségét?
49
90. Mekkora egy töltés potenciális energiája egy másik töltést®l adott távolságra? 91. Mi az elektromos potenciál? 92. Mi az elektromos feszültség? 93. Mit jelent az elektronvolt mértékegység? 94. Mekkora a potenciál ponttöltést®l adott távolságra? 95. Két töltött síklap között mekkora az elektromos tér? 96. Adott távolságú töltött síklapok között mekkora a feszültség? 97. Mi a kondenzátor? 98. Mi az a kapacitás? 99. Mi a kapcsolat térer®sség és potenciál között? 100. Mik az ekvipotenciális felületek?
101. Mi az elektromos áram? 102. Mi az ellenállás? 103. Mi a fajlagos ellenállás? Mik a tipikus értékei? 104. Mekkora az elektromos áram által leadott teljesítmény?
105. Mi a soros és párhuzamos kapcsolás? 106. Milyen kapcsolásban hogyan számíthatjuk ki két ellenállás összegét? 107. Milyen kapcsolásban hogyan számíthatjuk ki két kondenzátor összegét? 108. Milyen alapvet® összefüggésekkel számíthatjuk ki egy áramkör állapotot (Kirchho törvények)?
109. Mi a mágneses tér mértékegysége? 110. Milyen tipikus mágneses térer®sségeket ismersz? 111. Hogyan hat a mágneses tér mozgó töltésekre? 112. Mi a vákuum mágneses permeábilitása? 113. A sebességre mer®leges mágneses tér milyen mozgást hoz létre? 114.
B
mágneses térben mozgó
p
impulzusú,
q
töltés¶ test mekkora körpályára áll?
115. Mekkora er® hat áramjárta vezet®re? 116. Áramhurokra mekkora forgatónyomaték hat? 117. Miért forgathatja a mágneses tér az atomokat? 118. Mi okozza az anyagok mágneses viselkedését (atomi szinten megmagyarázva)? 119. Milyen egy mágneses dipólus tere (er®vonalakkal)? 120. Mit tudsz a mágneses töltésekr®l? 121. Mekkora zárt felület mágneses uxusa?
122. Mi hozhat létre mágneses teret? 123. Mekkora egy mozgó töltés mágneses tere? 124. Mit mond a Biot-Savart törvény?
50
A. FÜGGELÉK. ELLENRZ KÉRDÉSEK
125. Mekkora egy szinte végtelen hosszú egyenes vezet® mágneses tere a vezet®t®l
r
távolságban?
126. Mit mond az Ampère-törvény? 127. Kör alakú vezet® mágneses tere mekkora (a kör közepén)? 128. Tekercs mágneses tere mekkora (középen)?
129. Mit okoz a változó mágneses tér? 130. Mit mond ki a Faraday-féle indukciós törvény? 131. Mekkora feszültség indukálódik egy tekercsben szinuszosan változó mágneses tér esetén? 132. Mi a Lenz-törvény? 133. Hogy m¶ködik a transzformátor? 134. Mi az önindukció? 135. Mekkora egy tekercs impedanciája váltakozó feszültség esetén? 136. Mekkora egy kondenzátor impedanciája váltakozó feszültség esetén?
137. Melyik négy törvény alkotja a Maxwell-egyenleteket? 138. Mi a Maxwell-egyenletek vákuumbeli alakja nagyjából? 139. Milyen egyenlet jön ki az elektromos és mágneses térre a Maxwell-egyenletekb®l? 140. Mekkora az elektromágneses hullámok terjedési sebessége? 141. Töltések hiányában milyen elektromos és mágneses tér lehetséges? 142. Anyagban hogy változik a permeabilitás és permittivitás? 143. Mi az intenzitás? 144. Hogy változik a pontszer¶ forrásból jöv® elektromágneses sugárzás intenzitása?
145. Mi a röntgensugárzás hullámhossz-tartománya? 146. Mi a látható fény hullámhossz-tartománya? 147. Mennyi a látható fény frekvenciája? 148. Milyen mikrohullámú eszközöket ismersz? 149. Az elektromos hálózat sugárzásának hullámhossza mennyi? 150. Mi a kapcsolat hullámhossz és frekvencia között?
151. Mi a törésmutató de níciója? Mik a tipikus értékei? 152. Mennyi a fény (és az elektromágneses hullámok) anyagbeli sebessége? 153. Mi a Fermat-elv? 154. Mi a fénytörés törvénye? 155. Hogyan mozog a fény közeghatáron? 156. Mi a teljes visszaver®dés? 157. Hogyan jön létre a délibáb?
158. Mi egy optikai eszköz nagyításának de níciója?
51
159. Mi a két nevezetes sugármenet gömbtükrök esetén? 160. Mekkora egy gömbtükör fókusztávolsága? 161. Mi a kapcsolat a fókusztávolság, tárgytávolság és képtávolság esetén? 162. Mi a lencsék két nevezetes sugármenete? 163. Mit®l függ egy lencse fókusztávolsága? 164. Mekkora a szem fókusztávolsága, és miért változhat?
165. Mit jelent az interferencia? 166. Mit jelent a két hullám közti fáziskülönbség? 167. Mikor olthatja ki vagy er®sítheti egymást két hullám? 168. Mi a kétrés-kísérlet lényege? 169. Milyen fényre van szükség a kétrés-kísérlethez? 170. Hol (milyen eltérülési szögnél) jelennek meg fényes/sötét foltok a kétrés-kísérletben? 171. Ha eleve koherens volt a fény, miért lesz mégis fáziskülönbség két komponense között a kétrés-kísérletben?
172. Mi a fotoeektus lényege? 173. Mi a Compton-eektus lényege? 174. Mi bizonyítja a fény részecske-természetét? 175. Mekkora egy foton energiája? 176. Mekkora egy foton impulzusa? 177. Mi bizonyítja, hogy a részecskék is viselkedhetnek hullámként? 178. Mit®l és hogyan függ egy részecske hullámhossza? 179. Mi a hullámfüggvény és mi a kapcsolata a részecske valószín¶ségi eloszlásával? 180. Mit tudsz az antirészecskékr®l? 181. Mi magyarázza radioaktivitást? 182. Mi a felezési id®?
183. Mik a speciális relativitáselmélet alapvet® feltevései? 184. Mik a speciális relativitáselmélet következményei? 185. Két esemény egyidej¶sége milyen feltétellel jelenthet® ki? 186. Mi az az id®dilatáció? 187. Mi az a Lorentz-kontrakció? 188. Mik a speciális relativitáselmélet fontos bizonyítékai? 189. Mir®l szól az általános relativitáselmélet? 190. Mik az általános relativitáselmélet fontos bizonyítékai?
191. Ha egy focipálya az atom, mekkora benne az atommag? 192. Mi az elemi töltés? 193. Mi bizonyította az atommag létét?
52
A. FÜGGELÉK. ELLENRZ KÉRDÉSEK
194. A Rutherford-modellben mi tartja az atommag körül az elektronokat? 195. Tipikusan mekkora az elektronok kötési energiája? 196. Mi volt a két probléma a mag körül kering® elektronok modelljével? 197. Mi bizonyította, hogy az elektronok energiaszintjei diszkrét értékeket vehetnek fel? 198. Mi Bohr modelljének lényege? 199. Ha nem keringenek az elektronok az atommag körül, hogy kell ®ket elképzelni?
200. Miért nem egyezik meg az atommagok rendszáma és tömegszáma? 201. Mi tartja össze az atommagot (az elektromos taszítás ellenében)? 202. Mi az atommagok kötési energiája? 203. Melyik atommag van a legoptimálisabb állapotban energetikai szempontból? 204. Mi a maghasadás, miért jöhet létre? 205. Mi a magfúzió, miért jöhet létre? 206. Hogyan m¶ködnek a csillagok, többek között a Nap? 207. Hogyan m¶ködik az atomer®m¶? 208. Mi az az urándúsítás? 209. Miért nem robbanhat fel a vízmoderált atomreaktor? 210. Mi az a kritikus tömeg? 211. Milyen energiatermel® mechanizmus esetén a legnagyobb a felhasznált anyag energiatartalma? 212. Mennyi a fosszílis tüzel®anyagok energiatartalma? 213. Miért nehéz fúziós er®m¶vet építeni? 214. Mi az a moderátor, és miért van rá szükség atomer®m¶vekben?
