Bahan Kuliah LOGIKA MATEMATIKAPriode UTS-UAS
Aljabar Boolean DADANG MULYANA
1 dadang mulyana 2012
ALJABAR BOOLEAN
dadang mulyana 2012
Definisi Aljabar Boolean Misalkan terdapat - Dua operator biner: + dan ⋅ - Sebuah operator uner: ’. - B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ⋅, dan ’ - 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Tupel (B, +, ⋅, ’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut: 3 dadang mulyana 2012
4 dadang mulyana 2012
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat Huntington.
5 dadang mulyana 2012
Aljabar Boolean Dua-Nilai Aljabar Boolean dua-nilai: - B = {0, 1} - operator biner, + dan ⋅ - operator uner, ’ - Kaidah untuk operator biner dan operator uner: a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a⋅b 0 0 0 1
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a+b 0 1 1 1
a 0 1
a’ 1 0
6 dadang mulyana 2012
Cek apakah memenuhi postulat Huntington: 1. Closure : jelas berlaku 2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1 ⋅ 0 = 0 ⋅ 1 = 0 3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
7 dadang mulyana 2012
4. Distributif: (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran: b c b + c a ⋅ (b + c) a 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1
a⋅b
a⋅c
(a ⋅ b) + (a ⋅ c)
0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 1 1 1 8
dadang mulyana 2012
(ii) Hukum distributif a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i). 5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa: (i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1 (ii) a ⋅ a = 0, karena 0 ⋅ 0’= 0 ⋅ 1 = 0 dan 1 ⋅ 1’ = 1 ⋅ 0 = 0 Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan ⋅ operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean. 9 dadang mulyana 2012
Ekspresi Boolean • Misalkan (B, +, ⋅, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ⋅, ’) adalah: (i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 ⋅ e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
Contoh:
0 1 a b a+b a⋅b a’⋅ (b + c) a ⋅ b’ + a ⋅ b ⋅ c’ + b’, dan sebagainya dadang mulyana 2012
10
Mengevaluasi Ekspresi Boolean • Contoh: a’⋅ (b + c) jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi: 0’⋅ (1 + 0) = 1 ⋅ 1 = 1 • Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh: a ⋅ (b + c) = (a . b) + (a ⋅ c) 11 dadang mulyana 2012
Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b . Penyelesaian: a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a’ 1 1 0 0
a’b 0 1 0 0
a + a’b 0 1 1 1
a+b 0 1 1 1
• Perjanjian: tanda titik (⋅) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan: (i) (ii) (iii)
a(b + c) = ab + ac a + bc = (a + b) (a + c) a ⋅ 0 , bukan a0 12 dadang mulyana 2012
Prinsip Dualitas • Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, ⋅, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti ⋅ + 0 1
dengan dengan dengan dengan
+ ⋅ 1 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.
Contoh. (i) (a ⋅ 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 ⋅ a’) = 1 (ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b 13 dadang mulyana 2012
Hukum-hukum Aljabar Boolean 1 . H u k u m id e n tita s : (i) a + 0 = a (ii) a ⋅ 1 = a
2 . H u k u m id e m p o te n : (i) a + a = a (ii) a ⋅ a = a
3 . H u k u m k o m p le m e n : (i) a + a ’ = 1 (ii) a a ’ = 0
4 . H u k u m d o m in a n s i: (i) a ⋅ 0 = 0 (ii) a + 1 = 1
5 . H u k u m in v o lu s i: (i) (a ’ )’ = a
6 . H u k u m p e n y e ra p a n : (i) a + a b = a (ii) a (a + b ) = a
7 . H u k u m k o m u ta tif: (i) a + b = b + a (ii) a b = b a
8 . H u k u m a s o s ia tif: (i) a + (b + c ) = (a + b ) + c (ii) a ( b c ) = (a b ) c
9 . H u k u m d is trib u tif: (i) a + (b c ) = (a + b ) (a + c ) (ii) a (b + c ) = a b + a c
10. H u k u m D e M o rg a n : (i) (a + b )’ = a ’b ’ (ii) (a b )’ = a ’ + b ’
11.
H u k u m 0 /1 (i) 0 ’ = 1 (ii) 1 ’ = 0 14 dadang mulyana 2012
Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab Penyelesaian: (i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan) = a + (ab + a’b) (Asosiatif) = a + (a + a’)b (Distributif) =a+1•b (Komplemen) =a+b (Identitas) (ii) adalah dual dari (i)
15 dadang mulyana 2012
Fungsi Boolean • Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : Bn → B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. 16 dadang mulyana 2012
• Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. • Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1’ ⋅ 0 + 0’⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . 17 dadang mulyana 2012
18 dadang mulyana 2012
Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran. Penyelesaian: x 0 0 0 0 1 1 1 1
y 0 0 1 1 0 0 1 1
z 0 1 0 1 0 1 0 1
f(x, y, z) = xy z’ 0 0 0 0 0 0 1 0 19 dadang mulyana 2012
Komplemen Fungsi
1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ + (y’z’ + yz)’ = x’ + (y’z’)’ (yz)’ = x’ + (y + z) (y’ + z’)
20 dadang mulyana 2012
21 dadang mulyana 2012
Bentuk Kanonik
22 dadang mulyana 2012
x 0 0 1 1
y 0 1 0 1
Minterm Suku Lambang x’y’ m0 x’y m1 xy’ m2 xy m3
Maxterm Suku Lambang x+y M0 x + y’ M1 x’ + y M2 x’ + y’ M3
23 dadang mulyana 2012
x 0 0 0 0 1 1 1 1
y 0 0 1 1 0 0 1 1
z 0 1 0 1 0 1 0 1
Minterm Suku Lambang x’y’z’ m0 x’y’z m1 x‘y z’ m2 x’y z m3 x y’z’ m4 x y’z m5 x y z’ m6 xyz m7
Maxterm Suku Lambang x+y+z M0 x + y + z’ M1 x + y’+z M2 x + y’+z’ M3 x’+ y + z M4 x’+ y + z’ M5 M6 x’+ y’+ z x’+ y’+ z’ M7 24
dadang mulyana 2012
Contoh 7.10. Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS. Tabel 7.10 x 0 0 0 0 1 1 1 1
y 0 0 1 1 0 0 1 1
z 0 1 0 1 0 1 0 1
f(x, y, z) 0 1 0 0 1 0 0 1 25 dadang mulyana 2012
26 dadang mulyana 2012
27 dadang mulyana 2012
28 dadang mulyana 2012
29 dadang mulyana 2012
LATIHAN 1.
2.
2.
Buktikan bahwa untuk sembarang elemen a dan b dari aljabar boole: a+a’b=a+b dan a(a’+b)=ab Cari komplemen dari fungsi : f(x,y,z)=x’(yz’+y’z) dengan cara de morgan dan prinsip dualitas Nyatakan fungsi boolean f(x,y,z)=xy+x’z dalam bentuk POS dan SOP dadang mulyana 2012
Konversi Antar Bentuk Kanonik
31 dadang mulyana 2012
32 dadang mulyana 2012
33 dadang mulyana 2012
Bentuk Baku
Tidak harus mengandung literal yang lengkap. Contohnya,
f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz
(bentuk baku SOP
f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’)
(bentuk baku POS) 34
dadang mulyana 2012
Aplikasi Aljabar Boolean 1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)
Saklar: objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. Tiga bentuk gerbang paling sederhana: 1.
a
x
b
Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka ⇒ x 2.
a
x
y
b
Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka ⇒ xy 3.
a
x
b
y
c
Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka ⇒ x + y 35 dadang mulyana 2012
Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik: 1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND Lampu A
B
∞ Sumber tegangan
2. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR A Lampu B ∞ Sumber Tegangan
36 dadang mulyana 2012
2. Rangkaian Logika x
x
xy
y
x+ y
x
y
Gerbang AND
Gerbang OR
x'
Gerbang NOT (inverter)
37 dadang mulyana 2012
Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a) Cara pertama x xy
y
xy+x'y x y
x' x'y
38 dadang mulyana 2012
(b) Cara kedua x y
xy
xy+x'y x' x'y
(c) Cara ketiga x
y xy xy+x'y x' x'y
39 dadang mulyana 2012
Gerbang turunan x y
x
(xy)'
Gerbang NAND
x y
Gerbang NOR
(x+y)'
x +y
y
Gerbang XOR
x
(x + y)'
y
Gerbang XNOR 40 dadang mulyana 2012
x
(x + y)' ekivalen dengan
y
y'
y'
x+y
(x + y)'
y
x'
x'
x
x'y'
ekivalen dengan
x y
x
x' + y' ekivalen dengan
y
(x+y)'
(xy)'
41 dadang mulyana 2012
