Bab1. Sistem Bilangan

Modul Pra Kalkulus 1-2013.1 Bab1. Sistim Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan

1.1 Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali digunakan tentunya adalah bilangan-bilangan yang digunakan untuk menghitung jumlah benda yakni bilangan asli. Misalnya terdapat 10 ekor sapi yang sedang makan rumput, terdapat 15 pohon jambu. Bilangan 10 dan 15 merupakan bilangan asli. Aktivitas manusia yang terus meningkat baik dalam bidang penelitian maupun dalam bidang industri membutuhkan jenis-jenis bilangan baru yang sesuai dengan kebutuhan. Sampai saat ini, jenis bilangan yang terakhir digunakan adalah bilangan kompleks. Sangat dimungkinkan dimasa yang akan datang, dunia ilmu pengetahuan membutuhkan digunakan jenis bialngan baru untuk membantu menyelesaikan masalah-masalah yang terus berkembang. Bagan berikut ini menunjukkan hirarki bilangan yang dipergunakan sampai saat ini.

Bilangan Kompleks (C)

Bilangan Imajiner (Im)

Bilangan Riil (R)

Bilangan Rasional (Q)

Bilangan Irrasional

Bilangan Bulat (Z)

Bilangan Pecahan

Bilangan Asli (N)

Nol

1 Created By Edwin Setiawan N.

Bilangan Bulat Negatif


Keterangan: 1. Bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5,.... 2. Bilangan nol: 0 3. Bilangan cacah: N  0 = 0, 1, 2, 3, 4, 5,.... 4. Bilangan bulat negatif: x | x + n = 0, n  N, x = -1,-2,-3,-4,-5,..... 5. Bilangan bulat Z = N  0  x | x + n = n + x, nN, x = 0, 1, -1, 2,-2,.... 6. Bilangan pecahan:

 |

∈ ,  0

=

1 1 2 2 3 3 ,− , ,− , ,− ,… 2 2 3 3 4 4

7. Bilangan rasional |

∈

1 1 = 0,1, −1, , − , … 2 2

, 0∈

8. Bilangan irrasional ≠

,

∈ ,

≠0∈

, 0∈

∪

= √2, √3, , , …

9. Bilangan riil |

∈

≠

,

∈ ,

10. Bilangan imajiner | = √−1,

≠0∈

11. Bilangan kompleks +

| = √−1, ,

∈


≠0∈

1 = √2, −1,0,1, , … 2


1. 2 Bilangan Riil Bilangan riil merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Semua bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, sedangkan bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Himpunan semua bilangan riil dapat digambarkan dalam bentuk garis bilangan berikut ini:

5 -3

-2

1

0

1

2

3

Diantara bilangan 2 dan bilangan 3, tebak ada bilangan apa saja? 2,01; 2,011;2,0111, 2,0111....., sepertinya banyak sekali... Tentu saja jawaban yang tepat adalah diantara bilangan 2 dan bilangan 3 diisi bilangan rasional dan bilangan irrasional dengan jumlah yang tak berhingga. Dalam semua bab Mata Kuliah Pra Kalkulus 1, jenis bilangan yang dipergunakan adalah bilangan riil, sekalipun mungkin saja jika nanti mahasiswa akan menemukan jenis bilangan kompleks. Sifat-sifat aljabar suatu himpunan bilangan 1.Tertutup terhadap penjumlahan

7.Komutatif terhadap perkalian

 a, b  H  a + b  H 2.Komutatif terhadap penjumlahan  a, b  H  a + b = b + a 3.Asosiatif terhadap penjumlahan  a, b, c  H  (a + b) +c = a + (b + c) 4.Keberadaan elemen zero  a  H, z H  z + a = a + z = a

5.Keberadaan elemen invers  a  H, z H, v H  v+a=a+v=z

 a, b  H  a x b = b x a 8.Asosiatif terhadap perkalian  a, b, c  H  (a x b) x c = a x (b x c)

9.Keberadaan elemen unit  a  H, u H u x a = a x u = a

10.Keberadaan elemen invers terhadap perkalian  a  elemen zero  H, u elemen unit  H, w H  w x a = a x w = u 11. Distributif terhadap penjumlahan dan perkalian  a, b, c  H  a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (a + b) x c = a x c + b x c

6.Tertutup terhadap perkalian  a, b  H  a x b  H



1.3 Pangkat Arti pangkat Untuk memahami konsep-konsep bilangan berpangkat, perhatikanlah contoh-contoh berikut: 1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 dapat disederhanakan menjadi 45 2. 7 x7 x7 x7 dapat disederhanakan menjadi 74 3. 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 dapat disederhanakan menjadi 3354

Sederhanakanlah soal-soal berikut ini ! 1. 2 x 2 x 2 =..... 2. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =..... 3. 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 =..... 4. 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 20 x 20 x 20 =..... 5. 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 44 x 44 x 44 x 44 x 44 =.....

Pangkat negatif Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk pangkat begitu juga sebaliknya. Untuk memahami pangkat negatif, perhatikanlah contoh-contoh berikut: 1 =5 5 1 =3 3

1 =6 6 1 =7 7

1 = 22 22 1 = 11 11

Ubahlah bilangan pecahan berikut menjadi

Ubahlah bilangan berpangkat berikut menjadi

bilangan berpangkat!

bilangan pecahan!

1 = ⋯. 10 1 2. = ⋯. 3 1 3. = ⋯. 4 1 4. = ⋯. 7 1 5. = ⋯. 9

6. 2-5 = ...

1.

7. 8-2 = ... 8. 12-8 = ... 9. 10-2 = ... 10. 23-10 = ...



Sifat-sifat bilangan berpangkat yang lain: 1.

=

2.

=

,

≠0

Contoh: 1. 52 x 58 = 52+8 =510

Contoh:

2. 3-5 x 39 = 5-5+9 = 34

1.

8 =8 8

2.

12 12

3.

7 7

-5

9

-5+9

3. 10 x 10 = 10

3. (

4

= 10

) =

4. (

=8

= 12

= 12 (

=7

Contoh:

1. (10 ) = 10

1. (2 3) = 2

2. (9 ) = 9

2. (5 6) = 5

3. (5 ) = 5

3. (8

10 )

6. √

=

=

,

≠0

=7

) =

Contoh:

5.

)

3 6 = 8 10

,

≥0

Contoh:

Contoh: 3 1. 7

3 = 7

2.

5 9

=

3.

10 8

1. 4 = 4 2. (2 − 1) = (2 − 1) 5 9 =

3. 10 8


(9 − 2 ) = (9 − 2 )


Latihan No 1-20, sederhanakanlah bilangan pangkat berikut ini: 1. 2.

=⋯ =⋯

11.

10 5

12.

12 8

=⋯ =⋯

3.

=⋯

13.

9 6

4.

=⋯

14.

(2 (2

) )

15.

(2 (4

)

16.

25 6

5.

=⋯

6.

=⋯

=⋯

x

=⋯

17.

16 4

8.

=⋯

18.

3 6

19.

(3 (2

20.

(25 (5

=⋯

10.

=⋯

=⋯

)

7.

9.

=⋯

3 5 x

=⋯

20 5

=⋯

x ) )

3 5

x

=⋯

(

)

(

)

) x

)

=⋯

( (

)

No.21- 40, ubahlah bilangan-bilangan berpangkat berikut dalam bentuk akar 21.

=⋯

31. (3 − 7)

22

=⋯

32. (5 + 10)

=⋯

23.

=⋯

33. (12 − 8 )

=⋯

24.

=⋯

34. 7

− (12 )

25.

=⋯

35. 9

− (7 )

=⋯

=⋯ =⋯

26. (2 )

=⋯

36. (12 )

− (5 )

=⋯

27. (3 )

=⋯

37. (6 )

− (2 )

=⋯

28. (7

)

=⋯

38. 7


−5

)

=⋯

=⋯


29. (15

)

=⋯

30. (125

)

39. 10

=⋯

+8

40.

−

=⋯ =⋯

No. 41- 60, ubahlah bilangan-bilangan akar berikut dalam bentuk pangkat 41. √ = ⋯

51.

42. √ = ⋯

43.

=⋯

44.

=⋯

45.

=⋯

46.

−

47.

48.

49. 50.

1 √ √ √ √ √

53.

=⋯

56. 57.

=⋯

58. 59.

=⋯ (

=⋯

1

) =⋯

=⋯

√ 1

55.

=⋯

+

=⋯

√

52.

54.

=⋯

−

√

=⋯

1

=⋯

√ 1 √ 1 √ 1 √ 1

60.

+

=⋯

+

=⋯

−

=⋯

+

x

Menghitung akar pangkat Contoh: 1.

= 25 →

2. 3 3.

=2→ 10

−4

= √25 = ±5 =

2 → 3

= 6 → 10

=

2 3

→

− 4 = 36 →


=

8 27

=4 →

= 16

=⋯


Latihan Selesaikan persamaan berikut 1. 6

=3

11.

2

+1

=2

2. 9

=6

12.

3

−1

=3

3. 8

= 10

13.

2

−3

=4

4. 3

= 15

14. (2

5. 2

= 10

15. (

6. 3

+4 =6

16. (3

7. 2

+2=7

17. (

8. 3

− 5 = 11

18. (3

+ 2) = 36

9. 5

−4 =6

19. (2

− 6) = 100

20. (2

− 278) = 8

10. 5

+3 =9

− 27) = 9 + 8)

=5

+ 6) = 9 − 2) = 16

1.4 Logaritma  Log suatu bilangan menunjukkan sepuluh pangkat berapa hasilnya adalah bilangan itu.  Log a artinya sepuluh pangkat berapa hasilnya a  Log 100 artinya sepuluh pangkat berapa hasilnya 100 Contoh: 1. log 1 =..... Artinya 10 pangkat berapa supaya hasilnya 1, jawabannya adalah 0. Jadi log 1= 0 2.log 1000 = .... Artinya 10 pangkat berapa supaya hasilnya 1000, jawabannya adalah 3. Jadi log 1000 = 3 3. log 0,0001=... Artinya 10 pangkat berapa supaya hasilnya 0,0001, jawabannya adalah -4. Jadi log 0,0001 = -4 4. log108 =.... Artinya 10 pangkat berapa supaya hasilnya 108, jawabannya adalah 8.



Jadi log 0,0001 = -4 Jadi : log 10a = a dan log 10 = 1

Isilah titik-titik dibawah ini: 1. log 106 = ..... 2. log 105 = ..... 3. log 10-8 = ...... 4. log 0,001=...... 5. log 0,000001=......

Sifat-sifat logaritma

1. a log b 

2. log a b  b log a

log b log a

Contoh: 1. log5 =

Contoh: log5 log2

2. log10 =

log10 log4

3. log13 =

log13 log6

1. Log 4 = log 22 = 2 log 2 2. Log 25 = log 52 = 2log5 3. Log 27 = log33 = 3log3

3. a log  b  c   a log b  a log c

b 4. a log   a log b a log c c

Contoh:

Contoh

1. Log (15) = log(3 x 5) = log 3 + log5

1. log = log7 − log5

2. Log 20 = log (22 x 5) = 2log 2 + log 5

2. log

2

= log8 − log10 =

3

3. Log (36) = log (4 x 9) = log(2 x 3 )

= log2 − log(2 x 5)

= 2log + 3log3

= 3log2 − log2 − log5 = 2log2 − log5 9 3. log = log9 − log6 6 9

Created By Edwin Setiawan N.


= log3 − log(2 x 3) = 2log3 − log 2 − log3 = log3 − log 2

5. a n log b m 

6. a log a  1

m a log b n

Contoh 1. 2. 3.

2 log3 = 3 4 log7 = 5 6 log13 = 9

Contoh: log3

1. 2.

log3

3.

8. a

Contoh:

Contoh log3 =

2. log10 3. log7

log16 = log6 =

log 12 = 1 .

log 0.3 = 1

log3

7. a log b x a log c a log c

1. log5

log 5 = 1

log3

a

log b

b

1. 2

log16 log6

=6

2. 10

= 15

3. 13

= 20

Soal-Soal Latihan 1. Hitunglah .

log 16 = ⋯

.

log 25 = ⋯

.

log 64 = ⋯

.

log 32 = ⋯

.

log 625 = ⋯

.

log 128 =⋯ log 9

.

log 64 =⋯ log 32

ℎ.

log 27 =⋯ log 81

.

log 125 =⋯ log 25

.

log 196 =⋯ log 27



2. Hitunglah 2 81 3 . 2 log + log − 2 log = ⋯ 3 8 4 4 . log + log70 − log 2 + 2 log 5 = ⋯ 35 2 . 2 log + log35 −2 log 4 + log 5 = ⋯ 14 4 . log + log13 − log 4 + 2 log 125 = ⋯ 65 4 32 1 . 2 log + log −2 log =… 3 8 12 3. Diberikan nilai log 3=0.4771, tentukan nilai dari algoritma berikut ini: . log 27

. log 300

. log 810

. log 0,009

4. Jika 3 log 7 = a, nyatakanlah soal berikut dalam a. .

log 9

.

log

1 7

.

log √49

5. Hitunglah: .

log 3

log 49

.

log 3

log

Soal-Soal Tambahan 1.

3

0,125 



5

32



1

 2 2   . 2

1 27 3    4 2. Tentukan nilai dari 52 2 3

3 4

3. 27  16 

2 

8 4.

5

2 3

3

22



1  3 729  243

4



!

.

2 3

3

2

1  . 64 1

5. Sederhanakan bentuk

3

3 2 4 x x x y   !  3 x x  


1 125

.

log 3

√

log

1 64




6. Diketahui p  3  2 2

a



1

5  4 4

7. Sederhanakan bentuk



dan q  3  2 2

 a 3   a a   a

3

a a 

1  3

   



1

1

1

. Nilai 1  p  1  q  .

1 2

!

3

1



1

  x  2  2   y 2  2  1     1       y    x     8. Bentuk sederhana dari  adalah …. 1 1   2  x   2   y 2  2     1     1    y    x     

 1  9. Nilai x yang memenuhi persamaan 52     25  x

10. Jika x  0 dan x  1 memenuhi 3

2 x 6

1 6

 1 adalah ….   25 

 x p dengan p bilangan rasional, maka p   .

3

x x

11. Nilai x yang memenuhi persamaan 4 x  3  4 8 x  5 adalah …. 3x

2  1   3  31 3 12. Diberikan persamaan  . Jika x0 memenuhi persamaan tersebut,    x 2  3  9  243 

3 4

maka nilai 1  x0 adalah …. 13. Hitunglah a. log  4 log  2 log16   1

1

2

b. 5 log 5  5 log125  2 c.



3

2

log 3 3 log 5 5 log

log 36    3 log 4  3

1 2

 3 log 81   .

2

log 12

d. 10log5  2 log 5  log 2  log12  log 20  log 3 !

log 35 5  3log 175  log1 e. f.

2 5

log 35 a

1 1 1 b c . log  bc   1 log  ca   1 log  ab   1



14. Jika 4 log 5  p dan 4 log 28  q , maka 4 log 70   . 15. Jika log 2  a, log 3  b, dan 2 x 1  323 x , maka nilai  x  1   . 1 4 16. Jika a log b  4, c log a  2, dan a, b, c bilangan positif, a , c  1 , maka  a log  bc   2   .  

17. Jika a log x  2, a log y  3, dan

a

 3 x2 z a log z  4 , maka log  2 2 3 y z 

   .  

2

18. Jika

3 m log a log a  m ,  n, a  1, dan b  1 , maka  . 3 2 log b log b n

19. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

ab a. log x  4log  a  b   2log  a  b   3log a 2  b 2  log    a b 



b.  3x 2 log 27  5 log 3 c.



a

log  3x 1 5 log a   3

d. log





9 x  4  log 81x 5  0





e. 2 log 2 log x  2 log 5  2  2 log x   1




Modul Pra Kalkulus 1-2013.1 Bab2. Persamaan dan Pertidaksamaan

Bab2. Persamaan dan Pertidaksamaan Pengertian Persamaan dan Pertidaksamaan Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan dua hal persis sama. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan. Nilai kebenaran baik persamaan maupun pertidaksamaan tergantung nilai variabel yang ada didalamnya. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Umumnya variabel ditulis dalam bentuk hurup kecil dan berpangkat satu. Didalam persamaan terdapat lambang sama dengan ‘=’. Didalam pertidaksamaan terdapat lambang pertidaksamaan “<”,“”,“>”, dan “”. Lambang < memiliki arti lebih kecil Lambang  memiliki arti lebih kecil atau sama dengan Lambang > memiliki arti lebih besar Lambang  memiliki arti lebih besar atau sama dengan Persoalan yang harus dipecahkan dalam persamaan maupun pertidaksamaan adalah himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian adalah himpunan bilangan-bilangan pengganti variabel sedemikian sehingga baik persamaan maupun pertidaksamaan bernilai benar. Contoh persamaan 2x = 8, jika x = 4 persamaan tersebut bernilai benar. Berarti himpunan penyelesaiannya {4}. Kadang-kadang himpunan penyelesaian dari persamaan dinamakan solusi. Persamaan Linier Satu Variabel Persamaan linier satu variabel adalah persamaan yang variabelnya berpangkat satu.

Bentuk umum : ax + b = 0, dimana a, b, c  R dan a  0

Contoh persamaan linier satu variabel 1. 2x - 10 = 22

2. 4-3a = -7

3. 5 – 3x =7 (x + 4)

Contoh bukan persamaan linier satu variabel 1. 2x + 6y =15

2. y-3-7 = 12

3. 5sin z - 2 =1

Mengapa persamaan diatas dikategorikan bukan persamaan linier satu variabel? Sifat umum persamaan adalah persamaan akan tetap ekivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi atau dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama. Sehingga untuk mencari



solusinya, dapat dilakukan operasi aritmatika yang sama pada kedua ruas sedemikian sehingga diperoleh bentuk yang paling sederhana. contoh1 : Tentukan nilai x dari persamaan 2x-18 = 0! Penyelesaian 2x-18 +18 = 0 + 18 (kedua ruas ditambah 18) 2x = 18 1 1  2 x   18 (kedua ruas dikali dengan ½) 2 2

x=9 contoh2: Tentukan nilai x dari persamaan 5x + 5 = 2x + 14 Penyelesaian 5x + 5- 2x - 5 = 2x + 14 - 2x - 5 (kedua ruas ditambah -2x dan -5) 3x = 9 1 1 1  3 x   9 (kedua ruas dikali ) 3 3 3

contoh3: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 1.

1 1 3x  2    4 x  5 2 5

2.

3 1 2 x  6  4  2x  4 2

Penyelesaian 1.

1 1 3x  2    4 x  5 2 5

 10 

1 1  3 x  2   10   4 x  5  (kali dengan bilangan yang habis dibagi 2 dan 5) 2 5

 5  3x  2   2  4 x  5   15 x  10  8 x  10  17 x  20  x

20 Jadi himpunan penyelesaian = 17

 20     17 



2.

3 1 2 x  6  4  2x  4 2

 4

3 1  2 x  6   4   4  2 x  (kali dengan bilangan yang habis dibagi 4 dan 2) 4 2

 32 x  6  2 4  2x   6 x  18  8  4 x  10 x   10  x  1 Jadi himpunan penyelesaian = {-1} Latihan Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan berikut ini a. 2x + 8 = 5x- 16 c. 3(2 x – 6 ) = 2(5- ½ x ) 1 2 1  x  x 1 6 3 2 2x 1 x  1 g.  5 2

e.

i.

x 3x 4 x   4 2 4 3

b. 5( x – 1 ) = 3( x +2 ) 2 1 1 1 x  x 3 2 6 3 3  1  f. 2  3  x    x  1 4  2  x  5 2x  5 h.  4 3

d.

j.

x 3x 1 2 x    2 4 6 3

Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Bentuk umum: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b  0, ax + b  0 dimana a, bR dan a  0

Sifat-Sifat Pertidaksamaan 1.

a > b  ac > bc, c > 0

2.

a > b  ac < bc, c < 0

3.

a>ba+c
4.

a > b untuk | a | > | b | maka a2 > b2

5.

| a | < | b | maka a2 < b2

6.

a/b > 0  a  b > 0

7.

a > b, b > c  a > c



Penyelesaian suatu pertidaksamaan dapat diperoleh dengan cara mendapatkan bentuk setara yang lebih sederhana dengan menggunakan sifat pertidaksamaan no.1,2 dan 3 diatas yakni:  Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap  Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan dibalik  Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan postif atau negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap

Contoh: Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini: 1. 3x - 8 >13

2. 2x+10 < 2

3. 2( 3 – x )  x + 9

Penyelesaian 1. 3x - 8 >13  3x > 13 + 8  3x > 21 

1 1  3 x   21 3 3

x>7 himpunan penyelesaian = {x | x > 7} 2. 2x + 10 < 2  2x < 2 - 10  2x < 8 

1 1  2 x   ( 8) 2 2

 x < -4 himpunan penyelesaian = {x | x < -4} 3. 2( 3 – x )  x + 9  6 - 2x  x + 9  - 2x – x  9 - 6  - 2x - x  3  - 3x  3 1 1    ( 3 x )    3 3 3

 x  -1 himpunan penyelesaian = {x | x < -1} 17 Created By Edwin Setiawan N.

4. 2x – 5  x + 3 < 5x – 9


4. 2x – 5  x + 3 < 5x – 9 Penyelesaiannya dibagi 2 bagian: 

2x - 5  x + 3

 2x - x  3+5  x8



x + 3 < 5x – 9

 x - 4x < -9 – 3  -3x < -12  

1 1  3 x     12  3 3

 x>4 irisan kedua hasil diatas: x  8  x > 4 = 4 < x  8, himpunan penyelesaiannya = {x | 4 < x  8}

Latihan Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan berikut ini a.15 – 2x < 25

b.2( x – 4 ) > 3 ( x – 3 )

c.5 + 6 > x

d.x + 7  6

e.3x – 3  3

f.7 > -4 – x

g.3x – 3  2x+7

h.

2x 1 x 1  5 2

j.

1 3x 2 x   4 2 4 3

1  1  i. 2  3  x    2 x  1 3  2 

Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax2 + bx + c = 0 dimana a, b, c  R dan a  0 contoh: a. x2 + 3x – 4 = 0

 nilai a = 1, b = 3 dan c = -4

b. x2 - 8x + 6 = 0

 nilai a = 1, b = -8 dan c = 6

c. 2x2 - 3x – 15 = 0 

nilai a = 2, b = -3 dan c = -15

Akar-akar persamaan kuadrat Setiap nilai x yang merupakan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat dinamakan akar. Ada tiga cara menentukan akar-akar persamaan: 1.

Pemfaktoran ax2 + bx + c = 0  ( x – x1 )( x – x2 ) = 0 18



Prinsipnya mencari faktor dari c sehingga c = x1 . x2 dan b = x1 + x2 Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : x2 – 8x + 12 = 0 Penyelesaian x2 – 8x + 12 = 0 (faktor dari 12 dan jumlahnya -8 adalah -6 dan -2)  ( x – 6 )( x – 2 ) = 0 

x1 = 6

atau

x2 = 2

Jadi himpunan penyelesaian = {2 , 6} 2.

Kuadrat sempurna Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan 2x2 – 6x – 5 = 0 Penyelesaian. 2x2 – 6x – 5 = 0  2x2 – 6x = 5  x2 – 3x =

5 2 2

5  3  3  x – 3x +         2  2  2

2

2

2

3 5 9   x    2 2 4  2

3  19   x    2 4   x

3 1  19 2 2

 x

3 1  19 2 2

 x

3 1  19 2 2

atau

Himpunan penyelesaian = { 3.

 x

3 1  19 2 2

3 1 3 1  19 ,  19 } 2 2 2 2

Rumus abc, yaitu =

− ±√ −4 2



Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4x2 – x – 3 = 0 Penyelesaian a = 4 , b = - 1 dan c = - 3 x1,2 =

 b  b 2  4.a.c 2 .a

 x1,2 =

( 1) 

 1

1  1  48 8

 x1,2 =

1 7 8

 x2 =

 4.4.  3 

2.4

 x1,2 =

 x1 =

2

1 7 1 8 1 7 3  8 4

himpunan penyelesaian = { 

3 ,1} 4

Latihan 1. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode pemfaktoran: a. x2 + 2x – 3 = 0

b. x2 + 2x – 8 = 0

c. x2 – 9 = 0

d. 2x2 + 4x - 6 = 0

e. 5x2 - 13x – 6 = 0

f. 3x2 + 7x +2 = 0

2. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode kuadrat sempurna: a. x2 - 2x – 24 = 0

b. x2 - 7x + 10 = 0

c. 3x2 - x – 1 = 0

d. 5x2 - 16x + 3 = 0

e. 2x2 - 3x – 20 = 0

f. 4x2 - 2x – 3 = 0

3. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode abc: a. x2 + 3x – 4 = 0

b. x2 - 5x + 6 = 0

c. 2x2 - x – 15 = 0

d. 3x2 + 3x – 6 = 0

e. 5x2 - 5x – 10 = 0

f. 2x2 - 4x – 7 = 0



Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat a. Penjumlahan : x1  x2   b. Perkalian

: x1  x2 

b a

c a

Pembuktian: Dengan menggunakan rumus abc, akan diperoleh: x1  x2 

 b  b 2  4ac b  b 2  4ac  2a 2a



b  b 2  4 ac  b  b 2  4 ac 2a



 2b 2a



b a

 b  b 2  4 ac b  b 2  4 ac x1  x2   2a 2a 

b 2  b b 2  4 ac  b b 2  4 ac  b 2  4 ac 4a 2



4ac 4a 2



c a

Jenis akar Persamaan kuadrat Ada tiga jenis akar persamaan kuadrat. Jenis ini dapat ditentukan dari nilai diskriminan (D). Nilai D = b2 - 4ac. Jenis akar tersebut adalah: 1. Real yang sama: D = 0 2. Real yang berbeda: D > 0 3. Imaginer: D < 0 Silahkan pikirkan mengapa diskriminan didefinisikan D = b2 - 4ac ? Contoh Tentukan jenis akar dari persamaan-persamaan berikut ini 1. 2x2 - 2x - 3= 0

2. x2 - 4x + 2 = 0 21


3. x2 - x + 5= 0


Penyelesaian 1. 2x2 - 2x - 3= 0



a = 2, b = -2, c = -3

D = b2 - 4ac = (-2)2-4(2)(-3) = 28 > 0 berarti akar real berbeda 2. x2 - 4x + 4 = 0



a = 1, b = -4, c = 4

D = b2 - 4ac = (-4)2- 4(1)(4) = 0 berarti akar real sama 3. x2 - x + 5= 0



a = 1, b = -1, c = 5

D = b2 - 4ac = (-1)2 - 4(1)(5) = -19 < 0 berarti akar real imaginer

Rumus-rumus penting yang berkaitan dengan akar

2

x12  x22   x1  x2   2x1 x2

1 1 x1  x2   x1 x2 x1 x2

2

x1 x2  x1  x2   2 x1 x2   x2 x1 x1 x2

3

x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2 

untuk latihan...silahkan buktikan sendiri!

Membentuk persamaan kuadrat

Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat tersebut adalah : (x - x1)(x - x2) = 0 atau x2 - (x1 + x2) + x1x2 = 0

Contoh: a. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan 3x2 - 4x - 2 = 0, tentukanlah nilai x12  x22 ! b. Jika  dan  adalah akar-akar persamaa x2 - 7x + 12 = 0, berapakah nilai 3 dan 3? c.  dan  adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + a - 4= 0. Jika  = 3, tentukanlah nilai a! d. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2+ b – 4 = 0 adalah  dan . Jika nilai

1 1   3,  

berapakah nilai b? e. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 8x + 10 = 0



f. Persamaan kuadrat x2 + (m - 2)x + 9 = 0 memiliki akar-akar nyata. Tentukanlah nilai m yang memenuhi! Penyelesaian a. 3x2 - 4x - 2 = 0 memiliki nilai a = 3, b = -4 dan c = -2 2

x12  x22   x1  x2   2x1 x2 2

c  b    2 a  a 2

(2)  (4)     2 3  3  

16 4  9 3



28 9

b. x2 - 7x + 12 = 0 memiliki a = 1, b = -7 dan c = 12 3

 3   3       3     3

c b  b    3   a a  a 3

12  (7)   (7)     3   1 1   1 

 343  252  91 c. x2 + 4x + a - 4= 0 memiliki a = 1, b = 4 dan c = a - 4  = 3  

b 4  3     a 1

 4   4    1   = 3 = -3   

c a

 ( 1)  ( 3) 

a4 1

 3 a 4  a 7 d. 5x2+ bx– 4 = 0 memiliki a = 5, b = b dan c = -1 23 Created By Edwin Setiawan N.


1 1 1 1    3        

b  3

 3

a b c c a

b 1

 b 3 e. Misal  dan  adalah akar-akar persamaan x2 + 8x + 10. Maka akar-akar persamaan yang baru adalah 2 dan 2. Persamaan kuadrat baru: x - (x1 + x2) + (x1  x2) = 0  x2 - (2 + 2)x + (2  2) = 0  x2 - 2( + )x + 4(  ) = 0 c  b  x2  2    x  4  0 a  a 10  8  x2  2    x  4  0 1  1

 x2 - 16x + 40 = 0 f. x2 + (m - 2)x + 9 = 0 memiliki akar-akar nyata berarti D  0  b2 - 4ac  0  (m - 2)2 – 4  1  9  0  m2 - 4m + 4 – 36  0  m2 - 4m - 32  0  (m + 4)(m - 8)  0  m  - 4 atau m  8

Latihan 1.

Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2!

2.

Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan -3!

3.

Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan -7!

4.

Akar-akar persamaan kuadrat x2 - 5x - 3 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 - 1 dan x2 - 1!



5.

Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar persamaan kuadrat x2 + 3x +5 = 0 !

6.

Salah satu persamaan kuadrat (a - 1)x2 + (3a - 1)x - 3a = 0 adalah 1. Tentukanlah akar yang lainnya!

7.

Tentukan nilai k agar persamaan :( + 5)

+ 16 + ( − 25) = 0 memiliki akar real !

8.

Tentukan nilai k agar persamaan : ( + 1)

+ ( + ) − 35 = 0 tidak memiliki akar

real. memiliki akar real ! 9.

Akar-akar persamaan ( k + 2 )x 2 - ( 2k - 1) x + k – 1 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Tentukanlah jumlah kedua akarnya!

10. Jika  dan  adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 3x + 1 = 0. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya

1 1    2 dan  ! 2    

Pertidaksamaan Kuadrat Jika pada persamaan kuadrat tanda sama dengan ‘=’ diubah dengan tanda ketaksamaan, maka akan terbentuk pertidaksamaan kuadrat Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan x2 - 7x + 10 > 0 Penyelesaian x2 - 7x + 10 > 0  (x - 2) (x - 5) > 0 Pertidaksamaan ini menunjukkan bawah ruas kiri bernilai positif. Selanjutnya gunakan garis bilangan, dengan pembuat nol: x = 2 dan x = 5 I

II 2

III 5

Dari garis bilangan diatas, ada tiga daerah yaitu Daerah I: x < 2, Daerah II: 2 < x < 5 dan Daerah III: x > 5 Gunakan uji beberapa titik: Daerah I misal x = 0 

(x - 2)(x - 5) = 10 > 0 memenuhi syarat (ruas kiri bernilai +)

Daerah II misal x = 3 

(x - 2)(x - 5) = -4 < 0 tidak memenuhi syarat (ruas kiri bernilai -)

Daerah III misal x = 6 

(x - 2)(x - 5) = 4 > 0 memenuhi syarat (ruas kiri bernilai +)



+ + + 0

- - - - - - 0

+ + +

5 2 Jadi daerah I dan daerah III yang memenuhi syarat . himpunan penyelesaian = { x | x < 2 atau x > 5 }

Cara cepat: (x - a) (x - b) < 0 dan a < b maka nilai x yang memenuhi: a < x < b (x - a) (x - b) > 0 dan a < b maka nilai x yang memenuhi: x < a atau x > b

Pertidaksamaan Rasional Bentuk umum : A( x) C ( x )  B ( x) D ( x )

Untuk menyelesaikan bentuk-bentuk diatas, seerhanakanlah menjadi bentuk p ( x)  0 g ( x)  0 g ( x)

Jika simbol sama dengan ‘=’ diubah dengan simbol ketaksamaan (<, >, , ) maka terbentuk pertidaksamaan rasional. Contoh 1.

3 8 x

2.

x 1  1 x2

Untuk menyelesaikan persamaan rasional, ubahlah pertidaksamaannya kedalam bentuk setaranya seperti sifat pertidaksamaan no.6: a/b > 0  a  b > 0

contoh1 Tentukanlah himpunan penyelesaian berikut ini 1.

3 8 x

2.

x 1  1 x2

Penyelesaian 1.

3 3  8 , x ≠ 0  8  0 x x





3  8x 0 x

 x(3  8 x)  0 Pembuat nol: x = 0 dan x = 8/3 - - - 0

+ + + + + 0

0

- -

-

8/3

Himpunan penyelesaian = { x | x < 0  x  8/3 } 2.

x 1 x 1 x  2 1  0 , x ≠ 2  0 x2 x2



2x 1 0 x2

 ( x  2)(2 x  1)  0 Himpunan penyelesaian = { x | x < 1/2  x  2 } Pada penyelesaian soal no.2 diatas, sengaja tidak diberikan garis bilangan

contoh2 Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini a.

x 2  4 x  12 0 2 x2  5x  2

b.

5 7  x7 x5

Penyelesaian a.

x 2  4 x  12 0 2 x2  5x  2



( x  2)( x  6) 0 ( x  2)(2 x  1)



( x  6) 0 (2 x  1)

 (2x 1)( x  6)  0  6  x 

1 2

himpunan penyelesaian = { x | 6  x  b.

5 7   x7 x5

1 } 2

5 7  0 x7 x5





5( x  5)  7( x  7) 0 ( x  7)( x  5)



2 x  74 0 ( x  7)( x  5)

+ + + 0

- - -

-5

0 + + +

0

7

37

- - -

Himpunan penyelesaian = { x | x < 5 atau 7 < x < 37 }

Latihan 1. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. x2 - 4x + 4 > 0

b. x2 - 2x - 3 < 0

c. x2 + 3x - 18  0

d.2x2 - 9x + 9  0

e.3x2 - 17x + 20  0

f.3x2 - 17x + 20  0

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a.

13 x  39 0 x  12

b.

x 2  x  12 0 2 x2  9 x  4

c.

x2  x  6 0 x2  2x  3

d.

2x  7 1 x 1

e.

x 2 x 1

f.

x2 3x  2  2 x 1 x  1

Persamaan Pangkat Bentuk umum : Jika ax = ay, maka x = y Jika ax = bx, maka a = b

Contoh 1: Selesaikan persamaan pangkat berikut ini: 3x2

a. 2

x6

2

b. 2

y 3

 16

Penyelesaian 28 Created By Edwin Setiawan N.

3 y

1 c.   9

4 x2

1    81 

x 3

Modul Pra Kalkulus 1-2013.1 Bab2. Persamaan dan Pertidaksamaan 3x2 x6 a. 2  2  3x + 2 = x – 6

 3x + x = -6-2  4x = -8  x = -2 3 y

(ingat : 16 = 24 )

b. 2 y 3  163 y  2 y  3   2 4 

124 y

 2 y 3   2 

 y - 3 = 12 - 4y  y + 4y = 12 + 13  5y = 15  y=3

1 c.   9

4 x2

1    81 

x 3

1   9

4 x2

1  2  9 

x 3

 4x - 2 = 2x - 6  4x-2x = -6 + 2  2x = -4  x = -2 Contoh 2: Selesaikan persamaan eksponensial 32 x  3  84  3x  9  0 Penyelesaian a. 32 x  3  84  3x  9  0

 27  32 x  84  3x  18  0 misal 3x = p, maka:  27  p 2  84  p  9  0  9  p 2  28  p  3  0   9 p  1 p  3  0  p

1 9

 3x 

1 9

atau

p =3

3x  3

 3 x  32

3x  31

 x = -2,

x = 1,

himpunan penyelesaian = {-2, 1}



Latihan Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini 3x  81

1.

3. 64 3

5.

1

3 4 x 2

2. 1

 16

45 x  8

1 2 x 4

4. 35 x  27 x 7  9

1 8

90.5 x  7  27 2( x 1)

6. 3x 1  3x  18  0

x4

7. 22 x 1  2 x  2  30  0

8. 52 x 1  5x 1  20  0

9. 52 x  2  4 x  60  0

10. 102 x 1  10 x 1  900  0

Pertidaksamaan Pangkat Bentuk umum: untuk a > 1

untuk 0 < a < 1

Jika ac > ad, maka c > d

Jika ac > ad, maka c < >d

Jika ac < ad, maka c < d

Jika ac < ad, maka c >
Contoh: Selesaikanlah pertidaksamaan eksponen berikut ini: a. 2

2 x  5

 16

1 x 1 4

2 x 7

b. 3

 27

Penyelesaian 1

a. 2 2 x  5  16 4

x 1

1

 2 2 x  5   2 4  4

x 1

 -2x + 5  x – 4  -2x -x  - 4-5  -3x  -9  x  -3 b. 32 x 7  27 x  5

 

 32 x  7  3

3

x5

 2x -7  x + 5  -2x -x 5 + 7  -3x  12  x  -4


x5

1 c.   8

3x 2

1

 1 5    32 

x 2  x 10


1 c.   8

x 1

1

 1 5    32 

x 2  x 1

1   3  2 

x 1

1   2

1

 1 5  5 2 

3 x3

1   2

x 2  x 1

x 2  5 x 5

 3x + 3  x2 + 5x - 5  -x2 + 3x- 5x + 3+5  0  -x2 -2x + 8  0  x2 + 2x – 8  0  (x - 2) (x + 4)  0  -4  x  2 Latihan Selesaikan pertidaksamaan berikut ini: 2. 23 x7  64

2 x5 4 1. 2

3.

32 x5  81

4.

37 x8  81

5.

52 x7  25

6.

43 x 1  82 x 5

7.

93 x  5  272 x 5

8.

85 x 1  324 x 1

9.

5x 1  252 x 1

10.

1 11.   9 1 13.   9

4 x 1

2 x 1

1

 1 3    27  1

 1 4    81 

x2 

x2 

5 3

43 x 1  16 x 5

1 12.   4

1 4

1 14.   5

2 x 3

2 x 1

1

 1 3   8

x2 

1

 1 2    25 

2 3

x2 

1 2

Persamaan Logaritma Dalam bagian ini akan dibahas bagaimana mencari himpunan penyelesaian persamaan yang melibatkan fungsi logaritma. a

log b c log d , apabila a = c maka b = d

Untuk membantu dalam menyelesaikan soal-soal persamaan logaritma, ingatlah sifat logaritma: a b log b a dan

b

log b  1 dimana b > 0, sehingga bilangan 2, 3 , 4, 5 bisa

dituliskan sebagai berikut:

2 2 log 2 2 3 log 32 4 log 4 2 3 2 log 23 3 log 33  4 log 43 31 Created By Edwin Setiawan N.


4 2 log 2 4 3 log 34 4 log 4 4 5 2 log 25 3 log 35 4 log 45 Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian dari a. 2 log  3 x  2   3 b. 3 log  x  2  3 log  x  6   2





c. log x 2  5 x 10  log  3x  5 Penyelesaian a. 2 log  3 x  2   3  2 log  3 x  2   3  2 log  3x  2  2 log 23  3x + 2 = 8  3x = 6  x=2 jadi himpunan penyelesaian = { 2} b. 3 log  x  2  3 log  x  6   2 , solusinya harus memenuhi x - 2 >0 dan x + 6 >0  3 log  x  2  3 log  x  6  3 log 32  3 log  x  2  x  6  3 log 32  (x - 2)(x + 6) = 9  x2 + 4x – 12– 9 = 0  x2 + 4x – 21 = 0  (x + 7) (x - 3) = 0  x1 = -7 atau x2 = 3 untuk x1 = –7  x – 2 = –7 – 2 = -9 < 0 x1 = –7 bukan solusi untuk x2 = 3

x–2=3–2=1>0  x +6 = 3 + 6 = 9 > 0 x2 = 3 adalah solusi

Jadi himpunan penyelesaian = { 3 }





c. log x 2  5 x 10  log  3x  5 , solusinya harus memenuhi x2 + 5x - 10 >0 dan 3x + 5 >0



 x2 + 5x - 10 = 3x + 5  x2 + 5x – 3x– 10-5 = 0  x2 + 2x – 15 = 0  (x +5)(x - 3) = 0  x1 = -5 atau x2 = 3 untuk x1 = –5  3x +5 = 3(–5) + 5 = -10 < 0 x1 = –5 bukan solusi  x2 + 5x - 10 = 32 + 53 – 10 = 13 > 0

untuk x2 = 3

 3x + 5 = 33 + 5 = 14 > 0 Jadi himpunan penyelesaian = { 3 }

Latihan Tentukan himpunan penyelesaian berikut ini: 1. 2 log  2 x  6   5

2. 2 log  3x  4   2

3. 3 log  x  3 3 log  x  4   6

4. 3 log  x  2  :3 log  3 x  1  1

5. 3 log  2 x  7  3 log  x  1  2

6. 3 log  x  2  3 log  2 x  1  1





7. log x2  4 x  10  log  x  6 





9. x3 log x2  8x  14 x3 log  6  2 x 





8. log x 2  6 x  5  log  3x  5



Pertidaksamaan Logaritma

1. a log b a log c Jika a > 1 maka b  c Jika 0 < a < 1 maka b  c karena log a akan bernilai negatif

2. a log b a log c Jika a > 1 maka b  c Jika 0 < a < 1 maka b  c karena log a akan bernilai negatif




10. x8 log x 2  12 x  25  x8 log 14  2 x 


Contoh: Selesaikanlah pertidaksamaan logaritma berikut ini:



1



a. 2 log x2  5 x  6  1

b. 2 log  x 2  5 x  4    2

Penyelesaian





a. 2 log x2  5 x  6  1 solusinya harus memenuhi syarat x 2  5x  6  0 

2





log x 2  5x  6 2 log 21

 x 2  5x  6  2  x 2  5x  4  0  (x + 4)(x + 1) > 0  x < -4 atau x > -1 syarat x 2  5x  6  0  (x + 2)(x + 3) > 0  x < -3 atau x > -2 irisan: (x < -4 atau x > -1)  (x < -3 atau x > -2) = x < -4 atau x > -1 himpunan penyelesaian = { x | x < -4 atau x > -1} 1

a. 2 log  x 2  5 x  4    2 solusinya harus memenuhi syarat x2 - 5x + 4 > 0 

1 2

1 2

1 log x  5 x  4  log   2



2



2

 x2 - 5x + 4 < 4  x2 - 5x < 0  x(x -5) < 0  0<x<5 syarat x2 - 5x + 4 > 0  (x -1)(x - 4) > 0  x < 1 atau x > 4 irisan: (0 < x < 5)  (x < 1 atau x > 4) = 0 < x < 1 atau 4 < x < 5 himpunan penyelesaian = {x | 0 < x < 1 atau 4 < x < 5}



Latihan 1.

2

3.

2

5. 7. 9.

1 2

 log  x

  6 x  8  1

log x2  5 x  6  1 2



2. 4.



log x 2  9 x  8   3

6.

log( x  4)  log( x  8)  log(2 x  16) 2



1 2

2

1 2





log x 2  5 x  4   2









log x2  10 x  24  3 log x 2  16 x  64   2

8. 2log x  log(2 x  5)  2log 2 2



10. log  x  1  log( x  1)

log x 2  3x  2 2 log(10  x)

Persamaan Harga Mutlak. Definisi harga mutlak: | | =

, untuk ≥ 0 − , untuk < 0

Dari definisi diatas, maka setiap harga mutlak suatu bilangan bernilai positif (kecuali 0). Contoh | 2 | = 2, | -5| = - (-5) = 5 Karena harga mutlak selalu bernilai positif (kecuali 0), harga mutlak dapat juga dinyatakan: | |=√ Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian a. | 4x | = 2

b. | 5x + 1 | = 3

c. | 5x -3 | = | 3x + 5 |

d. | 1+2(x -1) | = | 3x - 7 |

Penyelesaian a. | 4x | = 2 untuk 4x  0  4x = 2  x=½ untuk 4x < 0  -4x = 2  x = -½ himpunan penyelesaian = { -½, ½ } b. | 5x + 1 | = 3 untuk 5x + 1 > 0  5x + 1 = 3  5x = 3 - 1  x

2 5



untuk 5x + 1 < 0  -(5x + 1) = 3  -5x = 3 + 1  x

4 5

2 4 himpunan penyelesaian =  ,   5 5 

c. | 5x -3 | = | 3x + 5 | 

2

5 x  3  3x  5 2

 5 x  3  3x  5

2

2

2

  5x  3   3x  5

2

 25x2- 30x + 9 = 9x2 + 30x + 25  25x2 - 9x2 - 30x - 30x + 9 - 25 = 0  16x2 - 60x -16 = 0  4(4x2 - 15x - 4) = 0  4x2 -15x - 4 = 0  (4x + 1)(x - 4) = 0  x =  14 atau x = 4 himpunan penyelesaian ={  14 , 4 } d. | 1+2(x -1) | = | 3x - 7 |  | 1+2(x -1) |2 = | 3x - 7 |2  ( 2x -1)2 = (3x – 7)2  4x2 - 4x + 1 = 9x2- 42x + 49  4x2 - 9x2 - 4x - 42x +1-49 = 0  -5x2 - 46x - 48 = 0 (kedua ruas di kali -1)  5x2 + 46x + 48 = 0  (5x + 6) (x + 8) = 0  x= -6

5

atau x = -8

himpunan penyelesaian ={- 6 , -8 } 5



Latihan Tentukan himpunan persamaan berikut ini: a. | x – 2 | = 3

b. | 2x + 5 | = 6

c. | 3x – 6 | = 9

d. | 4 – x | = 5

e. | 2 – 2x | = 7

f. | 3x -3 | = | 3x + 2 |

g. | x -1 | = | x + 2 |

h. | 2x -6 | = | 2x + 4 |

i. | 3x -1 | = | x + 4 |

j. | x -2 | = | x + 3 |

Pertidaksamaan yang melibatkan bilangan mutlak Sifat-sifat pertidaksamaan harga mutlak 1.

| x |  a  -a  x  a, a  0

2.

| x |  a  x  -a dan x  a, a  0

3.

| x | < a  x2 < a2

4.

| x |  0  x dipenuhi semua harga

5.

| x | > 0  x dipenuhi semua harga kecuali x = 0

6.

| x | < 0  x  { }, tidak ada nilai x yang memenuhi

7.

| x |  a dan a < 0, x dipenuhi semua harga

8.

|x+y||x|+|y|

9.

|xy||x||y|

10. | x - y |  | x - z | + | y- z | 11. | x - y |  | x | + | y |

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut ini: a. | 3x + 2 | > 5 b. | 2x +1 | < | 2x – 3 | c. | x – 2 |2 < 4| x – 2 | + 12 Penyelesaian a. | 3x + 2 | > 5  3x + 2 < -5  3x + 2 > 5  3x < -7  3x > 3  x < -7/3  x > 1 himpunan penyelesaian ={ x | x < -7/3  x > 1} b. | 2x +1 | < | 2x – 3 |  (2x +1)2 < (2x – 3)2 37 Created By Edwin Setiawan N.


 4x2 + 4x + 1 < 4x2 - 12x + 9  4x + 12x < 9 - 1  16x < 8  x<½ himpunan penyelesaian ={ x | x < ½ } c. | x – 2 |2 < 4| x – 2 | + 12  (x – 2)2 < 4| x – 2 | + 12  x2 -4x + 4 < 4| x – 2| + 12  x2 - 4x - 8 < 4| x – 2| Untuk x – 2  0  x  2  x2 - 4x - 8 < 4(x – 2 )  x2 - 4x - 8 < 4x – 8  x2 - 8x < 0  x(x - 8) < 0  0< x<8 Irisan x  2  0 < x < 8 = 2  x < 8 Untuk x – 2 < 0  x < 2  x2 - 4x - 8 < 4(-x+ 2 )  x2 - 4x - 8 < -4x + 8  x2 - 16 < 0  (x - 4)(x + 4) < 0  -4 < x < 4 Irisan x < 2  -4 < x < 4 = -4 < x < 2 digabungkan: 2  x < 8  -4 < x < 2 = -4 < x < 8 himpunan penyelesaian = { x | -4 < x < 8}

Latihan Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini: a. | 2x - 3 | < 5

b. | 2x - 7 | < -| 1 |

c. | 1 4 x - 3 | < 6

d. | x + 3 | < x - 2

e. | x + 3 | < | x - 2 |

f. | x2 – x – 1 | >1

g. |9 - 2x | > |4x |

h. | x2 – 2 | - 6 + 2x < 0

i.

x2 4 2x  3

j.


2x  7 1 x 1


Latihan Tambahan 1.Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan berikut ini a. 2x + 8 = 20

b. 5 – 3y = 7

c. 4z - 6 = 18- 2z

d. 5a+ 20 = 3a – 6

e. 8m + 6 = 10(m - 1)

f. 2(n - 1) + n = 5(2n + 3) - 2(n + 3)

g. 5(s - 3) + 4s - 1 = 2s + 3(s - 2)

h.

1 3  5t  3 t

j.

2 q 36 q  10   3 5 5

5 1 1 p  2p 4 2 2

i.

2.Tentukanlah himpunan penyelesaian pada perstidaksamaan berikut ini a. x - 8 < 15

f. 1 – x  4x + 2 < -x + 6

b. 4y + 3 > 11

g. (2x + 3)6 < 1/2(4x + 12)

c. 2(3x - 2) < 4x +8

h.

2 x  1 3x  2  2 4

d. 3(4x - 6)  6(x + 2)

i.

x 1 x x 1   2 3 4

e. -x < 5x - 1 < 3x + 3

5  1  j. 2  4  x    3x  3 3  2 

3. Apabila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 10. Tentukanlah nilai dari: a. x1 + x2

b. x1x2

c. x12  x22

d. x13  x23

e. x14  x24

f.

1 1  x1 x2

x2 x1  x1 x2

h.

1 1  2 2 x1 x2

g. 4.

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat + 8 + 10 = 0 adalah ….

5.

Tentukanlah akar-akar persamaan (2 + 1) + 2 = (2 − 1) !

6.

Tentukanlah nilai k, agar persamaan

+2

+ ( + 4) + 1 = 0 memiliki dua

akar real yang berlainan. 7.

Jika salah satu satu persamaan kuadrat7x2 + (a - 6)x + (a - 5) = 0 adalah 3, tentukanlah nilai a!



8.

Persamaan 3

−2

+ (2 − 3) = 0 memiliki dua akar real yang sama, tentukalah

nilai p! 9.

Jika

dan

adalah akar-akar dari persamaan 25

−

− 12 = 0, nilai dari

+

adalah akar-akar dari persamaan 15

+ 4 + 4 = 0 maka persamaan

adalah …….. 10. Jika

dan

kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 11. Akar-akar persamaan akar-akarnya

1 1 dan x1 x2

12. Akar-akar persamaan

1 1 dan adalah... 2x1 2x2

+ 2 + 3 = 0 adalah

dan

. Persamaan kuadrat baru yang

dan

. Berapakah nila

adalah... − 4 + 6 = 0 adalah

x12  x22 ?

13. Sebuah taman yang berbentuk persegipanjang memiliki keliling sama dengan 104 m dan luas 640 m2. Lebar taman tersebut adalah …….m. 14. Selama terjadi wabah flu di sebuah desa, dinas kesehatan menemukan bahwa total jumlah penderita flu (P) setelah t hari sangat mendekati rumus

=−

+ 26 +

106 dimana 1≤ t ≤ 13 hari. Berdasarkan rumus tersebut, maka 250 orang terjangkit flu ketika wabah telah berlangsung selama …. hari. 15. Sebuah benda dijatuhkan pada ketinggian 20 m dari balon udara yang sedang naik dengan kecepatan 5 m/detik. Dengan menggunakan persamaan ketinggian benda yang bergerak vertikal , yaitu ℎ = −5

+

+ ℎ , maka waktu yang diperlukan oleh benda

untuk mencapai tanah adalah ………. detik. 16. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: 4x  5 0 x3 x 2  2 x  15 d. 2 0 2x  9x  5 4 x 2  14 x  12 f. 0 2 x2  5x  3 4x  5 h. 2 x 1 2 x 3x 1 j.  3 x 1 x  1

a. x2 - 6x + 8 > 0

b.

c. 6x2 - 5x - 8 < 0 e. 56- 9x - 2x2  0 g. x2 - x -12  0 i. 4x2 + 11x - 3  0

17. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini



a.

x

c.

x

2

e.

x

2

2

 6x  8

 2x  3



 4x  8

3 x6



6 x 7



2 x 1 3





 x2  6 x  8



 x2  2x  3



2

2 x4

3 x 1



 x  4x  8



1 2 x 2 3

b.

x

d.

x

2

2

 3x  4  2x  3





2 x5

4 x 8









 x 2  3x  4  x2  2 x  3

3x7

3 x2

e. 32 x 2  3x 2 18  0

f. 22 x1  5  2x  6  0

g. 52 x 1  5 x 1 

h. 42 x 2  4x 2  32  0

i.

6 0 5

22 x1  2x1 112  0

18. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan berikut ini a. 22 x9  8

b. 23( x1)  32

c.

36 x  27

d.

3

e.

252( x2)  125

f.

44x1  82x7

g.

93( x1)  32 x4

h.

325x1  84x1

i.

25x1  52 x1

j.

163x1  4x3

 1 k.    81 

4 x 1

1

 1 2 m.   9

x

1 2

1

 1 3   9

x2 

1

 1 2    81 

5 3

x2 

1

2 x1

1 l.    4 1 2

x 1

 1  n.    125 

9

1

 1 3   8 x

1 3

x2 

2 3

1

 1 2    25 

x2 

1 2

19. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini a. 2 log  x  2   3

b. 2 log  2 x  1  1

c. 2 log  x  3  2 log  x  3  2

d. 3 log  2 x  3 3 log  3 x  1  1

e. 3 log  2 x  5  3 log  3x  3  2

f. 3 log  5 x  4  3 log  x  1  1







g. log x 2  6 x  7  log 10 x  5





h. log x 2  5 x  4  log 1  4 x 





i. x1 log x 2  10 x  16  x1 log 8  4 x 



j. x5 log x2  8 x  20  x5 log  9  2 x 

20. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini a.

2





log x2  4x 1  1

b.


1 2





log x2  5x  4  2

Modul Pra Kalkulus 1-2013.1 Bab2. Persamaan dan Pertidaksamaan 2

c.

1 2

e.



d.





f.

log x2  6 x  8  3

log( x  4)  log( x  3)  log(2x  5)

g. i.



log x 2  6 x  8  3

2



2

1 2





log x 2  2 x  1  1





log x2  16x  68  2

h. 2log( x 1)  log(2x  5)  2log 2



log x2  10 x  17 2 log(3x  5)

j.

2

log  x  2   log(3x  6)

21. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini: a. |2 x – 1 | = 4

b. | 2c - 5 | = 6

c. | 2x – 3 | = 7

d. | 4 + d | = 8

e. | 5 – 3x | = 9

f. | 3m - 5 | = | 4m - 3 |

g. | a +3 | = | a - 2 |

h. | 2n - 4 | = | n - 5 |

i. | 3b + 1 | = | b - 4 |

j. | 3s - 6 | = | s + 5 |

22. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. | 2x - 4 | < 5

b. |3y - 8 | < 6

c. | 2x + 1 |  7

d. |4y + 7 | > 9

e. |7x + 1 |  8

f. |12 – 2z | > 14

g. |p2 + 3p - 5 | < 5

h. |z2 – 7z - 15 | <3

i. |q2 – 5q + 3 | > 1

j. |a2 - 3 | > 4

k. | 3r + 5 | < | 2r - 3 |

l. | b - 6 |  | 3b - 8 |

m. | 2s + 7 | < | 3s - 4 |

n. | 3c - 5 |  | c + 6 |

o. | 2t + 1 | > | t - 1 |

p. 2| d - 8 | < 3| 2d - 15 |


Modul Pra kalkulus 1-2013.1 Bab3. Trigonometri

Bab 3. Trigonometri

3.1 Sudut Dalam bab ini kita akan mempelajari sudut-sudut yang dibatasi dua buah garis yang berada dalam bidang. Besarnya sudut dapat dinyatakan oleh satuan derajat atau satuan radian. Alat ukur sudut yang sering digunakan adalah busur derajat.

Sudut yang diukur :  

3.2 Derajat Satuan derajat sering juga digabungkan dengan menit (‘) dan detik(“), misalnya 20o15’20’’. 10 = 60’

atau

1’ = 60’’

atau

sehingga

Beberapa ukuran sudut seperti 00, 900, 1800 dan 3600 ditunjukkan pada gambar dibawah ini. y y 900 00 x

x

y

y 1800

3600 x

x



Isilah titik-titik berikut ini 1. 20 = …..’ = …..’’

6. 30’ = …..0

Penyelesaian

Penyelesaian

20 = 2 x 60’ = 120’=120 x 60’’ = 7200’’

30 = 30x

Jadi 20 = 120’ = 7200’’

1 60

Jadi 30 = 2. 50 =……’ =……..’’

7. 100’ =…..0

3. 100 =……’ =……..’’

8. 120’ =…..0

4. 2,250 =……’ =……..’’

9. 3000’’ =…..0

5. 4 ½ 0 =……’ =……..’’

10. 7200’’ =…..0

3.3 Radian Satu radian dinyatakan besarnya sudut yang disapu oleh jari-jari r sepanjang tali busur yang panjangnya r. Dalam penulisan, satuan sudut radian sering di singkat menjadi rad. y

r 1 rad

r x

1 rad r 1 rad 1    0 0 360 2 r 360 2  2 rad  3600 (sudut satu putaran)   rad  1800 (sudut setengah putaran) 

1

2

 rad  900 (sudut seperempat putaran)



Contoh 1. Nyatakanlah sudut 400 50’ 40” kedalam satuan derajat ! Penyelesaian 40050’40” = 400 + 50’ + 40” 0

0

 50   40  0  40        40,84 60 3600     0

2. Nyatakanlah sudut 70,620 kedalam satuan derajat menit detik! Penyelesaian 70,620 = 700 + 0,60+0,020 = 700 + (0,6x60)’+(0,02x3600)” = 700 36’72” 3. Nyatakanlah sudut-sudut berikut kedalam radian a.300

b.450

Penyelesaian a. 10 

 radian 180

   1 300  30 x     radian  180  6    1 b. 450  45 x     radian  180  4

4. Nyatakanlah sudut-sudut berikut kedalam derajat a. 10 rad

b.

Penyelesaian

 180  a. 1 rad      

0

0

0

0

540  180  540 3 rad  3x    171, 97 0    3.14    b.

5 5  180   rad   x   4 4   

0

= 2250


5

4

 rad


Latihan 1. Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat a. 25015’30”

b. 40020’45”

c. 60010’20”

d. 90030’15”

2.Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat menit detik a. 60,250

b. 45,360

c. 65,810

d.120, 220

3.Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan radian a. 100

b. 500

c.1250

d. 2200

4. Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat a.

2

5

 rad

b.

3

8

 rad

c. 3 rad

d. 8 rad

3.4 Perbandingan Sisi-sisi Segitiga Siku-Siku Perhatikanlah segitiga siku-siku berikut ini.

r

y

 x Pada segi tiga siku-siku diatas: r adalah panjang sisi miring, y adalah panjang sisi tegak, x adalah panjang sisi mendatar. Berlaku hukum phytagoras: r2 = x2 + y2, Jika kita buat sudut  dibuat tetap maka berapapun ukuran segitiga siku-siku akan memiliki perbandingan yang tetap. Setiap perbandingan panjang antar sisi diatas memiliki nama khusus. Berikut adalah namanama khusus perbandingan tersebut. Perbandingan panjang sisi tegak terhadap sisi miring disebut sin  Perbandingan panjang sisi mendatar terhadap sisi miring disebut cos 



Perbandingan panjang sisi tegak terhadap sisi mendatar disebut tan  Kebalikan dari sin  disebut csc  Kebalikan dari cos  disebut  Kebalikan dari sin sin  disebut csc  Semua nama-nama khusus perbandingan diatas dinamakan fungsi trigonometri.

 = tetap

= tetap

= tetap

= tetap

= tetap

= tetap

= tetap

Selanjutnya kita dapat tuliskan:

tan

=

csc

=

=

sec

=

=

cot

=

Contoh Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.

 3

 4 a. Hitunglah panjang sisi miring b. Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot  c. Hitunglah Sin , Cos , tan, csc , sec, cot  Penyelesaian 47 Created By Edwin Setiawan N.


a. panjang sisi miring: r  32  4 2 = 5 b. sin  

3 4 3 5 5 4 , cos   , tan   , csc   , sec   , cot   5 5 5 3 3 3

c. sin  

4 3 4 5 5 3 , cos   , tan   , csc   , sec   , cot   5 5 5 4 4 4

Latihan 1. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.



c

a

 b b. Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot  c. Hitunglah Sin , Cos , tan, csc , sec, cot  2. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.

n



m

o



b. Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot  c. Hitunglah Sin , Cos , tan, csc , sec, cot 

2. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.



p

q

 r


48


a. Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot  b. Hitunglah Sin , Cos , tan, csc , sec, cot 


 1

 2 a. Hitunglah panjang sisi miring b. Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot  c. Hitunglah Sin , Cos , tan, csc , sec, cot 


 12

 5 a. Hitunglah panjang sisi miring b. Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot  c. Hitunglah Sin , Cos , tan, csc , sec, cot 



3.5 Sudut-sudut Istimewa 00 0 1 0

 Sin Cos Tan

300 ½

450 1/2√2 1/2√2 1

1/2√3 1/3√3

600 1/2√3 ½ √3

900 1 0 

3.6 Mengenal Kuadran Sumbu koordinat kartesius dapat dibagi 4 daerah atau kuadran berdasarkan sudut polarnya. Posisi Kuadran I Kuadran II Kuadran III Kuadran IV

Sudut polar  00 <  < 900 900 <  < 1800 1800 <  < 2700 2700 <  < 3600

900 Kuadran II

Kuadran I A

y r 

1800 O

Kuadran III

2700

00 = 3600

x

Kuadran IV

Titik A (x, y) berada di kuadran I. Karena nilai x dan y positif, sehingga, nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut  sebagai berikut =

bernilai +

=

bernilai +

=

bernilai + 50



Dengan cara yang sama maka dapat ditentukan nilai positif atau negatif fungsi trigonometri untuk kuadran yang lain seperti ditunjukkan dalam table berikut ini (silahkan buktikan!). Kedududukan Kuadran I Kuadran II Kuadran III Kuadran IV

Nilai x

Nilai y

Sin 

Cos 

Tan 

+ +

+ + -

+ + -

+ +

+ + -

3. 7 Mengubah ke sudut lancip Sudut yang bernilai diantara 00 sampai 900 dinamakan sudut lancip Kuadran II

Kuadran II

Sin (1800 - ) = Sin

Sin

Cos (1800 - ) = -Cos

Cos

Tan (1800 - ) = -tan

tan

Kuadran III

Kuadran IV

Sin (1800 + ) = -Sin

Sin (3600 - ) = -Sin

Cos (1800 + ) = -Cos

Cos (3600 - ) = Cos

Tan (1800 + ) = tan

Tan (3600 - ) = -tan

Catatan: Fungsi-fungsi trigonometri bersifat periodik. Sin(360k+) = Sin Cos(360k+) = Cos tan(180k+) = tan Contoh: 1. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip a. Sin 1300

b.Cos 1450

c.tan1500

Penyelesaian a. Sin 1300 = Sin(1800 - 500) = Sin 500 b.Cos 1450 = Cos(1800 - 350) = -Cos 350 51 Created By Edwin Setiawan N.


c.tan 1500 = tan(180 - 30) = -tan 300 2. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip a. Sin 2100

b.Cos 2250

c.tan 2500

Penyelesaian a. Sin 2100 = Sin(1800 + 300) = -Sin 300 b.Cos 2250 = Cos(1800 + 450) = -Cos 450 c.tan 2500 = tan(1800 + 700) = tan 700 3. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip a. Sin 2850

b.Cos 2900

c.tan 3300

Penyelesaian a. Sin 2850 = Sin(3600 -750) = -Sin 750 b.Cos 3000 = Cos(3600 - 600) = Cos 600 c.tan 3300 = tan(3600 - 300) = -tan 300 4. Ubahlah menjadi sudut-sudut bernilai positif dan lancip dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini: a.Sin(-750)

b.Sin(-1600)

c.Cos(-400)

d.Cos(-2300)

e.tan(-800)

f.tan(-3000)

Penyelesaian a. Sin(-750) = Sin(3600 - 750)= - Sin750 b. Sin(-1600) = Sin(3600 -1600) = Sin(2000) = Sin(1800 + 200) = -Sin200 c. Cos(-400) = Cos(3600 - 400) = Cos 400 d.Cos(-2300) = Cos(3600 - 2300) = Cos 1300 = Cos(1800 - 500) = -Cos500 e.tan(-800) = tan(3600 - 800) = -tan800 f.tan(-3000) = tan(3600 -3000) = -tan 600



Latihan 1. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut menjadi sudut lancip a. Sin 320

b. tan 295

c. Cos 175

d. Sin 800

e. tan160

f. Cos 1100

g. Sin220

h. tan 900

i. Cos350

j. tan 1400

2. Ubahlah menjadi sudut-sudut bernilai positif dan lancip fungsi trigonometri dibawah ini: a. Sin -200

b. tan -5000

c. Cos -750

d. Sin -4000

e. tan -500

f. Cos -2600

g. Sin -1200

h. tan -6000

i. Cos -2500

j. tan -11000

3.8 Aturan Cosinus Untuk mendapatkan aturan Cosinus pada segi tiga sembarang, perhatikanlah segitiga dibawah ini: C

b

a

A D

c

B

Dari gambar diatas: AB = c, BC = a, AC = b. CD adalah garis tinggi segitiga yang tegak lurus sisi AB. a2 = CD2 + BD2 dengan menssubtitusikan CD2 = b2 - AD2 dan BD= c –AD ke persamaan diatas, diperoleh a2 = b2 - AD2 + (c-AD)2 a2 = b2 - AD2 + c2-2cAD+AD2 a2 = b2 + c2 - 2cAD karena AD = b Cos A, diperoleh 53 Created By Edwin Setiawan N.


a2 = b2 + c2 - 2bcCos A......................(1) dengan cara sama seperti diatas akan diperoleh: b2 = a2 + c2 – 2ac Cos B......................(2) c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C......................(3) persamaan (1), (2) dan (3) dinamakan aturan Cosinus.

Aturan Cosinus a2 = b2 + c2 - 2bcCos A b2 = a2 + c2 – 2acCos B c2 = a2 + b2 – 2abCos C

Contoh Diberikan segitiga ABC dengan panjang a = 4 cm dan b = 6 cm dan C=700.Tentukanlah panjang sisi c menggunakan aturan Cosinus! Penyelesaian c2 = a2 + b2 – 2abCos C

 a 2  b2  2abCos C  42  62  2  4  6Cos 700  16  36  48  0,939  2, 63

Latihan 1.Tentukan panjang sisi-sisi lainnya pada segitiga ABC dengan aturan Cosinus, jika diketahui a. b = 5, c = 4 dan  A = 1000 b. a = 10, c = 14 dan  B = 800 c. a = 16, c = 12 dan  C = 500 d. a = 8, c = 10 dan  B = 1200



e. b = 18, c = 20 dan  A = 700 2. Dalam segitiga ABC diketahui b2 = a2 + c2 – ac, tentukanlah  B ! 3. Dalam segitiga ABC diketahui b 2  a 2  c 2  3ac tentukanlah  A + C ! 3.9 Aturan Sinus Untuk memahami bagaimana aturan Sinus diturunkan, perhatikanlah gambar segitiga dibawah ini: C b

a D

A

B

c

Karena CD = b Sin A dan CD = a Sin B maka b Sin A = a Sin B atau

a b . Hasil  Sin A Sin B

lebih lengkap akan diperoleh apabila ditarik garis tingg dari B tegak lurus garis AC sehingga a b c akan didapat,   Sin A Sin B Sin C Aturan Sinus a b c    2R Sin A Sin b Sin C

3.10 Luas segitiga sembarang

L

1 b c Sin A 2

L

1 ab Sin C 2

L

1 ac Sin B 2

Contoh 1.Diberikan segitiga ABC, A = 45 dan B = 80 dan a = 6, berapakah panjang b dan c? Penyelesaian C = 1800 - 450 - 800 = 550,



panjang b:

a b  Sin A Sin b

6 b  0 Sin 45 Sin 800

0

Sin 80  b 6 Sin 450  b

panjang c:

c a  Sin C Sin A

0,985  6  8, 359 0, 707



c 6  0 Sin 55 Sin 450 0

Sin 55  c 6  6, 951 Sin 450 2. Hitunglah luas segitiga pada gambar dibawa ini C 10

500

45

8

5 B

A

O

0

8 250

P

(a)

12

M

Q

3 (b)

N R

(c)

Penyelesaian 1 a. Luas segitiga ABC : L  10  8  Sin 50 0  30, 63 2 1 b. Luas segitiga PQR: L  3  5  Sin 250  3,17 2 1 c. Luas segitiga MNO : L  10  8  Sin 450  20 2 2

Latihan 1. Diberikan segitiga ABC,tentukanlah panjang b dan c jika diketahui a.  A = 300,  B = 500 dan a = 6

b.  A = 250,  B = 1100 dan a = 7

c.  A = 300,  B = 300 dan a = 8

d.  A = 400,  B = 1000 dan a = 5



2. Diberikan segitiga ABC,tentukanlah  B,  C dan panjang sisi c, jika diketahui a. a = 2, b = 6 dan  A = 400

b. a = 8, b = 8 dan  A = 600

c. a = 6, b = 5 dan  A = 300

d. a = 9, b = 4 dan  A = 800

3. Tentukan panjang sisi lainnya pada segitiga ABC, jika diketahui a. b = 6, c = 10 dan  C = 500

b. a = 8, b = 5 dan  B = 1000

c. b = 10, c = 10 dan  B = 800

d. a = 12, c = 9 dan  A = 900

4. Tentukanlah luas segitiga berikut ini: Z K

R X

12

I

3

800

7

J

200

6

10 600

T

4

S

Y

(a)

(c)

(b)

5. Tentukanlah luas segitiga berikut ini: Z K

R X

30

0

J

80

20

8

I (a)

40

0

Y

S (c)

(b)


250

24

12

T

50

Modul Pra Kalkulus 1-2013.1 Bab3. Trigonometri

3.11 Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perhatikan gambar lingakaran yang berpusat di titik (0,0) berikut ini: y P (rcos, rsin) r 

Q (rcos, rsin)



x

(0,

Jarak antar dua titik dalam koordinat kartesius dapat dicari menggunakan rumus phytagoras, dan dinyatakan sebagai berikut:

d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 Dengan demikian jarak PQ dapat dicari menggunakan rumus diatas, sehingga:

PQ 

2

 rcos  rcos    rsin  rsin 

2

Cara lainnya dalam menentukan jarak PQ yaitu dengan menggunakan aturan Cosinus : PQ  r 2  r 2  2rrcos     

melalui subtitusi diperoleh:

r 2  r 2  2rrcos      

2

 rcos  rcos    rsin  rsin 

Dikuadratkan kedua ruas: 2

r 2  r 2  2rrcos        rcos  rcos    rsin  rsin  1  cos       1  cos cos  sin sin

cos       cos  cos   sin  sin 


2

2


Berapakah cos ( + ) ? Cos ( + ) = cos ( - (-))  cos  cos( )  sin  sin(  )  cos  cos   sin  sin 

cos       cos  cos   sin  sin 

Berapakah sin ( + ) ?

sin(   )  cos  90        cos  90     

 cos   90        cos  90    cos   sin  90    sin   sin  cos   cos  sin 

sin      sin  cos   cos sin 

Berapakah sin ( - ) ? sin ( - ) = sin ( +( - ))

 sin  cos     cos  sin     sin  cos   cos  sin 

sin      sin  cos   cos  sin 

Untuk latihan buktikan bahwa:

1. tan     

tan   tan  1  tan  tan 

2. tan     

tan   tan  1  tan  tan 



Contoh 1. Dengan menggunakan rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, tentukan: a. cos (2A+3B)

b. cos (5A-7B)

2. Tentukanlah nilai a. cos150

b. cos750

3. Sederhanakanlah: cos (500 - a0) cos (100 + a0) – sin (500 - a0) sin (100 + a0) Penyelesaian 1.cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B cos(A - B) = cos A cosB + sin A sin B a. cos(2A + 3B) = cos 2A cos3B - sin 2A sin 3B b. cos(5A-7B) = cos 5A cos7B + sin 5A sin 7B 2. a. coss150 = cos (450 - 300) = cos 450 cos 300 + sin 450 sin 300 

1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2



1 4



6 2



b. cos 750 = cos(450 + 300) = cos 450 cos 300 - sin 450 sin 300 

1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2



1 4



6 2



3. cos (500 - a0) cos (100 + a0) – sin (500 - a0) sin (100 + a0) Ingat : cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B Pada soal no.3: A = (500 - a0), B = (100 + a0) sehingga cos (500 - a0) cos (100 + a0) – sin (500 - a0) sin (100 + a0) = cos 600



3.12 Perkalian Dua Fungsi Sekarang panggil kembali rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus cos (A + B) = cosA cosB – sinA sinB cos (A - B) = cosA cosB + sinA sinB

+

cos (A + B) + cos(A - B) = 2cosA cosB

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

-

cos (A + B) – cos (A - B) = -2 sin A sin B

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

+

sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A cos B

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B sin (A + B) - sin (A - B) = 2 cos A sin B

Hasil dari penurunan diatas, diperoleh sebagai berikut

2 cos A cos B = Cos(A + B) + Cos(A - B) -2 sin A sin B = Cos(A + B) - Cos(A - B) 2 sin A cos B = Sin (A + B) + Sin (A - B) 2 cosA sin B = Sin (A + B) - Sin (A - B)



Contoh Ubahlah pernyataan berikut kedalam bentuk penjumlahan dan pengurangan a. 4cos (3x) cos( 2x)

b. 6cos400 cos 100

c. 3sin(4A) sin(3A)

d. 8 sin 500 sin 200

Penyelesaian a.4cos 3x cos 2x = 2(2cos 3x cos 2x) = 2(cos (3x+2x) + cos (3x-2x)) = 2(cos 5x + cos x) = 2cos 5x + 2cos x

b.6cos 400 cos 100 = 3(cos (400 + 100) cos (400 - 100)) = 3(cos(500) + cos (300)) = 3cos 500 + 3cos 300 c. 3sin  4A  Sin  3A   

3  2sin  4A  Sin 3A   2

 

3  cos(4 A  3 A)  cos(4 A  3 A)  2

 

3  cos(7 A)  cos( A)  2

 

3 3 cos(7 A)  cos( A) 2 2

d. 8Sin 500Sin 200 = -2(-4 Sin 500Sin 200) = -2(Cos(500 + 200)- Cos(500 - 200) = -2Cos 700 + 2Cos 300



Latihan 1.Sederhanakanlah pernyataan dibawah ini menjadi bentuk penjumlahan atau pengurangan a.4sin 5a sin a

b.10 cos 13a cos 3a

c.sin 5x sin x

d. ½ cos 6y cos 2y

e. sin 11m sin 3m

f. cin 13m cos 5m

2. Tentukan nilai dari a. 2sin 450 sin150 0

1 1 c. 10sin 22 sin 7 2 2 e.

b. 6 cos 52 0

1 1 cos 7 2 2 0

1 1 d. 8sin 52 sin 7 2 2

3 1 1 cos 52 cos 7 7 2 2

e.

0

3 1 1 cos 22 cos 7 7 2 2

3.Tunjukkan bahwa: a. 2 cos (450 + x0) cos (1350 + x0) = -cos2x b. 2 sin (450 + x0) sin (1350 + x0) = cos2x

3.13 Jumlah Dua Fungsi Misal A+ B = X dan A – B =Y A+B=X A- B=Y + 2A = X + Y

A+ B = X A–B=Y 2B = X - Y

A= ½ (X+Y)

B = ½ (X - Y)

Dengan mensubtitusikan A+ B = X , A - B = Y, A= ½ (X+Y) dan B = ½ (X - Y) kedalam persamaan-persamaan ini Cos(A + B) + Cos(A - B) = 2cosA cosB Cos(A + B) - Cos(A - B) = -2sinA sinB Sin (A + B) + Sin (A - B) = 2 sinA cosB Sin (A + B) - Sin (A - B) = 2 cosA sinB akan diperoleh



Cos X + Cos Y = 2cos ½ (X + Y) cos ½ (X - Y) CosX - CosY = -2sin ½ (X + Y) sin½ (X - Y) Sin X + Sin Y = 2 sin½ (X + Y) cos½ (X - Y) Sin X - Sin Y = 2 cos½ (X + Y) sin½ (X - Y)

Contoh Ubahlah kedalam bentuk perkalian dari peryataan-pernyataan berikut ini: a.Sin 300 + Sin 200

b.Sin 600 - Sin400

c.Cos 500 + Cos 300

d.Cos 650-Cos 350

Jawab 1 1 a. Sin 300  Sin 200  2 Sin (30 0  200 )C os (30 0  20 0 ) 2 2  2 Sin 250 C os 50 1 1 b. Sin 600  Sin 40 0  2Cos  60 0  400  Sin  60 0  40 0  2 2 0 0  2Cos 50 Sin 10

c. Cos 50 0  Cos 30 0  2Cos

1 1 50 0  300 Cos 50 0  30 0 2 2









 2Cos 400 Cos 100 1 1 d. Cos 650  Cos 350  2 Sin  650  350  Sin  650  350  2 2 0 0  2 Sin 50 Sin 15 Latihan 1.Ubahlah kedalam bentuk perkalian dari pernyataan-pernyataan berikut ini: a. Sin 400 + Sin 300

b. Sin 200 – Sin600

c. Cos 700 + Cos 400

d. Cos 450- Cos 250



3.14 Persamaan Identitas 1.

+

2.

=1

+1=

3.

+1=

4.

(− ) = −

5.

(− ) =

6.

(− ) = −

7.

( + )=

+

8.

( + )=

−

9.

( + )=

10.

(2 ) = 2

11.

(2 ) =

12.

(2 ) =

13.

=

14.

=

+ 1−

− 2 1−

1−

(2 ) 2

1+

(2 ) 2

Contoh Buktikan persamaan identitas berikut ini : a. Sin 2x= 2 Sin x Cos x

b. Cos 2x = Cos2x - Sin2 x

c. 1 + 2Cos2x = (2Cos x + 1) (2Cos x - 1)

d.

Penyelesaian a. Pembuktian Sin 2x = 2 Sin x Cos x Sin 2x = Sin (x + x) = Sin x Cos x + Sin x Cos x = 2Sin x Cos x, terbukti


2Tan   Sin 2 1  Tan 2


b. Pembuktian Cos 2x = Cos2x - Sin2 x Cos 2x = 2Cos2x - 1 Cos 2x = 1 - 2Sin2x Cos 2x = Cos(x + x) = Cos x Cos x – Sinx Sin x = Cos2x - Sin2x, terbukti = Cos2x- (1 - Cos2x) = Cos2x – 1 + Cos2x = 2Cos2x - 1, terbukti = 2(1 - Sin2x) - 1 = 2 - 2Sin2x – 1 = 1 - 2Sin2x , terbukti c. Pembuktian 1 + 2Cos2x = (2Cos x + 1) (2Cos x - 1) 1 + 2Cos2x = 2 + 2Cos2x - 1 = 2(1 + Cos 2x) – 1 = 2  2Cos2 x-1 = 4Cos2 x-1 = (2Cos x + 1) (2Cos x - 1), terbukti d. Pembuktian

2 tan   sin 2 1  tan 2 

Sin  2Tan  Cos   2 Sin 2 1  Tan  1 Cos 2 2

Sin  Cos   2 Cos  Sin 2  Cos 2 Cos 2 2

2

Sin  Cos 2  Cos  1

 2Cos  Sin   Sin 2



Latihan Buktikan bahwa 1.

2.

3.

+

1− 1−2 .

4.

1− =

1+

−

−

1+

=

−

+ .

=

=

.

1+

5.

+

=

6. (

−

) +(

+

−

)=

(

7. 8.

−

=2

9.

+

=

−1 2 .

10.

−

=

.

11.

+

=

+

12.

+

=

14. (

− 1)(

15.

+

=

1+

13. 2

) =2

+

1+

1+

+ 1) = 1 − =

2 .



Soal-Soal Tambahan 1. Perhatikanlah gambar segitiga dibawah ini: C

4 

B

A

6

Tentukanlah besarnya sin , cos , tan , csc , cosec  dan cot! 2. Pada segitiga dibawah ini sin  

3 . Jika panjang sisi AB = 15 cm, tentukanlah panjang 4

sisi AC! C



B

A

3. Tentukanlah nilai fungsi trigonometri yang lain jika diketahui tan  

2 ? 3

4. Tentukanlah nilai fungsi trigonometri yang lain jika diketahui cos  

2 2 ? 3

5. Tentukanlah nilai fungsi-fungsi trigonometri dari  jika posisi standar  pada titik (4,-3)? 6. Ali berkendaraan sejauh 20 km dengan arah 20 derajat. Dari tempat yang sama Bobi berkendaraan sejauh 12 km dengan arah 140 derajat. Berapakah jarak Ali dan Bobi? 7. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal itu melanjutkan perjalanan dengan arah 30 derajat sejauh 60 mil. Berapakah jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat? 8. Diketahui tan a 

1 1 1 , tan b  , dan tan c  . Nilai tan  a  b  c    . 2 5 8

9. sin  sin  3 x  2 y  sin 2  x  y    a

dan

cos  cos  3 x  2 y  cos 2  x  y    b .

dinyatakan dengan a dan b, maka cos  cos a    . 10. cos 22, 5  sin 22, 5 cot11, 25   . 68 Created By Edwin Setiawan N.

Jika


11. Diketahui sin x  cos x   12. Buktikan bahwa

1 1 dan sin x cos x   , maka sin 3 x  cos3 x   . 2 2

cot  cot     2 cot 2  csc  ! 1  sec  1  sec 

13. Buktikan bahwa sin 3  4 sin 3   3sin  dan cos 3  4 cos 3  3cos  ! 14. Buktikan bahwa

cos 5  cos 3  4 sin  cos  ! sin   sin 3

15. Buktikan bahwa

sin 4  sin 2  tan 3 ! cos 4  cos 2

16. Buktikaan bahwa 17. Buktikan bahwa

sin 6 x  sin 4 x  tan 5 x ! cos 6 x  cos 4 x sin 3  sin 5  sin 7  sin 9  tan 6 ! cos 3  cos 5  cos 7  cos 9

Soal tambahan II

1 1. Jika diketahui cos   , tentukanlah sin, tan, sec, csc, cot? 3 2. Jika diketahui sin  

2 , tentukanlah cos, tan, sec, csc, cot? 3

3. Jika diketahui tan  

4 , tentukanlah sin, cot, sec, csc, cot? 5

4. Jika diketahui cot  

5 , tentukanlah sin, cos, tan, sec, csc? 6

5. Jika diketahui csc  

2 , tentukanlah sin, tan, sec, cos, cot? 5

6. Perhatikanlah segitiga siku-siku berikut ini

b 1 300 a Tentukanlah panjang sisi a dan sisi b!



7. Perhatikanlah segitiga siku-siku berikut ini b a 370 5 Tentukanlah panjang sisi a dan sisi b!

8. Hitunglah nilai dari fungsi trigonometri berikut ini tanpa menggunakan alat bantu a. sin 300

b. cos 600

c. tan 370

d. csc 300

e. sec 600

f. cot 370


b. cos 1500

c. tan 1530

d. csc 1200

e. sec 1500

f. cot 1530


b. cos 2400

c. tan 2170

d. csc 2100

e. sec 3400

f. tan 2170

11. Hitunglah nilai dari fungsi trigonometri berikut ini tanpa menggunakan alat bantu a.Sin 3000

b.Cos 3300

c.Tan 3000

d.Csc 3300

e.Sec 3000

f.Tan 3300


b.Cos 4100

c.Tan 3970

d.Csc 3900

e.Sec 4100

f.Tan 3970

13. Hitunglah nilai dari fungsi trigonometri berikut ini tanpa menggunakan alat bantu



a.Sin(-370 )

b.Cos (-600)

c.Tan (-300)

d.Csc (-370)

f.Sec (-600)

g.Tan (-300)


b.Cos 8400

c.Tan 8700

d.Csc 7500

e.Sec 8400

f.Tan 8700

15. Hitunglah operasi berikut ini tanpa menggunakan alat bantu a.Sin 300 + Cos 600

b.Tan 300 + Cot 600

c.Sin 1200 + Cos 2450

d.Cos 1500 + Tan 1430

e.Cot 300 + Sec 600

f.Csc 1500 + Sec 1500

16. Hitunglah operasi berikut ini tanpa menggunakan alat bantu a.Sin 300 + Cos 2250 + Cos 3000

b.Tan 300 + Cot 1200 + Csc 3300

c.Sin 1200 + Sin 2450 + Cos 2100

d.Cos 1500 + Cos 1430 + Cos 3000

e.Cot 300 + Tan 600 + Tan 2400

f.Csc 1500 + Sec 1500 + Sin 3300

17. Hitunglah operasi berikut ini tanpa menggunakan alat bantu sin 300  cos 30 0 a. tan 300

tan 600  cot 30 0 b. cos 300

sin 370  cos 37 0 tan 370

cos 530  sin 530 cot 530

sec 600 sec 600 csc 300

sin 450  cos 450 sin 450 cos 450

18. Hitunglah operasi berikut ini tanpa menggunakan alat bantu sin 2100  cos150 0 1  cos1200 tan150 0

tan1200  sin 3300 cos1500 sec1250  1



3 csc1270 sin 530  2 csc127 0 sec 210 0 3 2 0 0 2 cot150 sin 330  cot 210 0 tan 210 0

2 cot 2400  5 cos1430 3 tan 300 0  2 sin1200 cos1500

1 cos11250 cot 7500  3 tan 7800 sin 4800 2 4 cot12000 tan 37200  2sin1500 0 tan1590 0 5csc1270 sin 530  2 csc127 0 sec 210 0 3 0 10sin 900  1 cos12000 tan12900 sin15600 2

19. Hitung cos( + ) dan cos( - ) jika

sin  

24 3 dan sin   25 5

sin  

24 4 dan sin   25 5

sin  

3 3 dan sin   5 5

sin  

3 4 dan sin   5 5

sin  

4 4 dan sin   5 5

sin  

5 3 dan sin   13 5

(0 <  < 900 dan 0 <  < 900) 20. Hitunglah nilai fungsi berikut tanpa menggunakan alat bantu a.cos 150

b.sin150

c.tan150

d.cos 750

e.sin 750

f.tan 750

g.cos 1050

h.sin 1050

i.tan 1050

j.sin 3450

(Petunjuk: gunakan rumus cos (a-b), cos (a+b), sin (a-b), sin (a+b), tan (a-b), tan (a+b)) 21. Buktikanlah ! a. sin2 x + cos 2 x= 1

b. tan2x + 1 = sec2 x

c. (sin x - cos x)2 + (sin x - cos x)2 = 2

d.tan2x - sin2x = tan2x sin2x

e.cosec x (cosec x - sin x) = cot2x

f.sin4x - cos4x = 2sin2x – 1

g.tan x + cot x = sec x cosec x

h.

1  sin x cos x 2   cos x 1  sin x cos x

sin x cos x   cos ecx 1  cos x sin x

j.

1  tan 2 x  2 cos 2 x  1 1  tan 2 x

i.


Modul Pra Kalkulus 1-2013.1 Bab 4. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

Bab 4. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

4.1 Persamaan Trigonometri Dalam bab ini akan dipelajari bagaimana mencari solusi persamaan yang melibatkan fungsifungsi trigonometri. Dibawah ini, ada beberapa contoh persamaan dasar dari fungsi trigonometri 1. sin xo = sin o Apakah persamaan ini punya satu solusi? Solusi yang paling mudah diperoleh adalah x = o. selain itu, ingat bahwa sinus dikuadran kuadran I dan kuadran II bernilai sama dan juga bersifat periodik dengan periode sebesar 3600 sehingga x = o + k  360 atau x = (1800 - o) + k  360 dengan k = 0, 1, 2, 3,… apabila dinyatakan dalam sudut radian x =  + k2 atau x = ( -) + k2 dengan k = 0, 1, 2, 3,... Contoh Tentukan himpunan penyelesaian sin x = sin 20o untuk 0 o  x  360o Penyelesaian Sin x = sin 20o x = 20o + k  360o untuk k = 0  x1 = 20o + 0  360o = 20o



untuk k = 1  x2 = 20o + 1  360o = 380o (tidak memenuhi syarat) x = (180 o - 20o ) + k  360o untuk k = 0  x3 = (180 o - 20o ) + 0  360o = 160o untuk k = 1  x2 = (180 o - 20o ) + 1  360o = 520o (tidak memenuhi syarat) HP = {20o, 160o}

2. cos xo = cos o Ingat bahwa fungsi cosinus di kuadran I dan kuadran IV bernilai sama dan juga bersifat periodik dengan periode sebesar 3600 sehingga x = o + k  360 atau x = (3600 - o) + k  360o = - o + k  360o dengan k = 0, 1, 2, 3,… apabila dinyatakan dalam sudut radian x =  + k2 atau x = - + k2 dengan k = 0, 1, 2, 3,... Contoh Tentukan himpunan penyelesaian cos x = cos 60o untuk 0o  x  360o Penyelesaian cos x = cos 60o x = 60o + k  360o untuk k = 0  x1 = 60o + 0  360o = 60o untuk k = 1  x2 = 60o + 1  360o = 420o (tidak memenuhi syarat) x = -60o + k  360o untuk k = 0  x3 = -60o + 0  360o = -60o (tidak memenuhi syarat) 74 Created By Edwin Setiawan N.


untuk k = 1  x4 = -60o + 1  360o = 300o HP = {60o, 300o} 3. tan xo = tan o Ingat bahwa fungsi tangen bersifat periodik dengan periode sebesar 1800 sehingga diperolah x = o + k  180 apabila dinyatakan dalam sudut radian x =  + k dengan k = 0, 1, 2, 3,... Contoh Tentukan himpunan penyelesaian tan x = tan 45o untuk 0o  x  360o Penyelesaian tan x = tan 45o x = 45o + k  180o untuk k = 0  x1 = 45o + 0  180o = 45o untuk k = 1  x2 = 45o + 1  180o = 225o untuk k = 2  x2 = 45o + 2  180o = 405o (tidak memenuhi) HP = {45o, 225o}

Contoh - contoh tambahan 1. Tentukan himpunan penyelesaian sin x = sin 1/3 untuk 0o  x  2 Penyelesaian Sin x = sin 1/3 x = 1/3 + k  2 untuk k = 0  x1 = 1/3 + 0  2 = 1/3 untuk k = 1  x2 = 1/3 + 1  2 = 2 1/3  (tidak memenuhi syarat) x =  - 1/3 + k  2



untuk k = 0  x3 = ( - 1/3) + 0 2 = 2/3  untuk k = 1  x4 = ( - 1/3) + 1  2 = 2 2/3  (tidak memenuhi syarat) HP = {1/3, 2/3 } 2. Tentukan himpunan penyelesaian cos x = cos 1/4 untuk 0  x  2 Penyelesaian cos x = cos 1/4 x = 1/4 + k  2 untuk k = 0  x1 = 1/4 + 0  2 = 1/4 untuk k = 1  x2 = 1/4 + 1  2 = 2 1/4  (tidak memenuhi syarat) x = - 1/4 + k  2 untuk k = 0  x3 = - 1/4 + 0 2 = -1/4  (tidak memenuhi syarat) untuk k = 1  x4 = - 1/4 + 1  2 = 1 3/4  HP = {1/4, 1 3/4  }

3.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin (2x + 60 o) = 1/2 untuk 0  x  360 o Penyelesaian 

sin (2x + 60 o) = sin 30 o 2x + 60 o = 30 o+ k  360 o 2x = -30 o+ k  360 o x = -15 o+ k  180 o untuk k = 0  x1 = -15 o+ 0  180 o = -15o (tidak memenuhi syarat) untuk k = 1  x2 = -15 o+ 1  180 o = 165o untuk k = 2  x3 = -15 o+ 2  180 o = 345o



2x + 60 o = (180 o - 30o) + k  360 o 2x + 60 o = 150 o + k  360 o 76



2x = 90 o + k  360 o x = 45 o + k  180 o untuk k = 0  x4 = 45 o + 0  180 o = 45 o untuk k = 1  x5 = 45 o + 1  180 o = 225 o untuk k = 2  x5 = 45 o + 2  180 o = 405 o (tidak memenuhi syarat) HP = {45 o, 165 o , 225 o, 345 o}

4.2 Persamaan Kuadrat Trigonometri Masih ingat dengan bentuk umum persamaan kuadrat? ax2 + bx + c = 0 dimana x adalah variabel. Bentuk umum persamaan kuadrat trigonometri sama seperti bentuk diatas, hanya saja variabel x diganti dengan fungsi trigonometri. Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan dengan tiga cara yaitu dapat menggunakan metode pemfaktoran, kuadrat sempurna dan rumus abc. Pilih cara yang paling mudah sesuai dengan soal. Contoh 1 Tentukanlah himpunan penyelesaian 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 untuk 0  x  360 o Penyelesaian 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 (2sinx - 1)(sin x + 2) = 0 sin x = 1/2 atau sin x = -2 tidak memiliki solusi untuk sin x = 1/2 maka diperoleh x ={30 o, 150 o } HP = {30 o, 150 o } Contoh 2 Tentukanlah himpunan penyelesaian sin (2x) = sin x untuk 0  x  360o Penyelesaian sin (2x) = sin x 2 sinx cos x - sin x = 0 sin x (2cosx - 1) = 0 77 Created By Edwin Setiawan N.


sin x = 0  x = {0 o, 180 o , 360 o } atau cos x = 1/2  x={60 o, 300 o } HP = {0 o , 60 o, 180 o, 300 o, 360 o } Contoh 3 Tentukanlah himpunan penyelesaian sin (3x) + sin x + √2 sin 2x = 0 untuk 0  x  360 o Penyelesaian Gunakan rumus identitas trigonometri berikut: sin A + sin B = 2 sin ½(A + B) cos ½(A - B) sin (3x) + sin x =2sin (2x) cos x sehingga sin (3x) + sin x + √2 sin 2x = 2sin (2x) cos x + √2 sin 2x sin (2x) ( 2 cos x+ √2 ) = 0 sin (2x) =  x = {0 o , 180 o } cos = − √2  x = {135 o, 225o } HP = {0 o ,135 o, 225 o, 180 o}

Latihan Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut ini untuk 0  x  2 : 1. 2sin x  1  0 2. sin x  2   sin x 3. 3 tan 2 x  1  0 4. 2sin 2 x  sin x  1  0 5. 2sin 2 x  3cos x  3  0 6. 2 cos  3 x  1  0



 x 7. 3 tan    3  0 2 8. sec 2 x  2 tan x  4 9.

1  sin x cos x  4 cos x 1  sin x

10. 4sin 3 x  2 sin 2 x  2 sin x  1  0

    11. 2cos 2  x    3sin   x   1  0 6  3  12. sin x  cos x  1  0 13. cos 2 x  cos x sin x  1

 14. 2sin(  x)  1 2 15. tan x  sin x 16. sin 4 x  2sin 2 x  0 17. cos 2 x  cos8x  cos 6 x  1 18. sin 4 x  2sin 2 x  0 19. 2 tan x cos 2 x  tan x 20. 3sin x  5cos x  7 21. 2sin x sin 3x  cos 4 x 22. cos 3 x  sin x  3  cos x  sin 3 x  23. sin x sin 3x  sin 4 x sin 8x  0 24. sin 3 x cos x  sin x cos3 x 

25. sin 6 x  cos6 x 

2 8

7 16



Pertidaksamaan Trigonometri Untuk memahami bagaimana cara-cara menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri, berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan penyelesaiannya Contoh 1 Tentukanlah nilai x jika sin x > 1/2 dan 0 < x < 360o. Penyelesaian sin x > 1/2 sin x -1/2 > 0 (artinya nilai ruas kiri harus positif) pembuat nol : sin x =1/2 x = 30o, 150o garis bilangan : -----0 +++++ 0 ----30o

150o

HP ={ x | 30o < x < 150o} Masih ingat cara menentukan tanda positif dan negatif pada garis bilangan? Contoh 2 Tentukanlah himpunan penyelesaian √2 cos x – 1 > 0 untuk interval 0  x  360o Penyelesaian √2 cos x - 1> 0 Pembuat nol: 1 = √2 2 x = 45o, 315o

garis bilangan:

++++0 -------- 0 ++++ 45o

315o

HP = { x | 0 < x < 45o dan 315o < x < 360o }



Latihan Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: 1. 5sin x  0 2. 2sin x  1 3. 2cos x  2  0 4. tan x  3  0 5. sin x 

1 3 cos x 3

6. sin 2 x  cos x 7. 2cos x  1  0 8. 4sin 2 x  1  0 9. 2sin 2 x  3sin x  2 10. 2sin 2 x  3cos x 11. cos 2 x sin x  4 sin x 12. sin 2 x  4 sin x  2  0 13. 2sin 2 x  3sin x  2 14. tan x  cos x 15. 2cos 2 x  3cos 1 16. 2 sin 2 x  cos x  1  0 17. 2sin x cos x  sin x  2cos x  1  0 18.

cot x  1 0 sin x

19.

2cos 2 x  6 cos x  2 2cos x  1 1  2cos 2 x

cos 2 2 x 20.  3 tan x cos 2 x


Bab1. Sistem Bilangan

Recommend Documents