Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
Bab V
KECEPATAN DAN PERCEPATAN P ADA DU A TITIK Y ANG BE RIMP IT KOMPONE N CORI OL IS D ARI PERCE P AT AN NORMAL 5.1
Kecepatan relatif dua titik berimpit Untuk menentukan besarnya kecepatan suatu titik yang bergerak
terhadap sebuah badan yang juga bergerak, perhatikan titik B yang bergerak terhadap badan M, yang pada saat bersamaan badan M tersebut bergerak dalam satu bidang, seperti terlihat pada gambar. Ditetapkan sebuah system sumbu koordinat, X dan Y, dan akan digunakan untuk menentukan posisi absolute suatu titik dalam bidang X dan Y. Sebuah system sumbu yang kedua, c dan d ditetapkan pada badan M dan bergerak dalam cara yang sama seperti badan M
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
56
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
bergerak. Sudut ? memberikan posisi sudut dari sumbu c dengan sumbu X
Y
M B d
c ?
d c XA
(c sin ? + d cos ?)
?
YB
A (c cos ? - d sin ?)
YA O
XB
X
(a)
Pada gambar diatas menunjukkan bahwa perpindahan X dan Y dari titik B dapat dinyatakan sebagai berikut, dimana A merupakan satu titik tetap pada M : X B = X A + c cos θ - d sin θ YB = YA + c sin θ + d cos θ Dideferensialkan persamaan-persamaan di atas dan mengganti ω =
dθ dt
yaitu kecepatan sudut badan M, dengan menganggap bahwa c dan d adalah variable-variabel
dX B dX A dc dd = V Bx = − cω sin θ + cosθ − dω cosθ − sin θ dt dt dt dt
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
57
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
dY B dY A dc dd = V BY = + cω cosθ + sinθ − d ω sin θ + cosθ dt dt dt dt
dX A dYA dc dd X y = uc , = ud , = V A dan = VA dt dt dt dt
Dengan
Maka V Bx = V Ax − ω (c sin θ + d cosθ ) + u c cos θ − u d sin θ
V BY = V Ay + ω ( c cos θ − d sinθ ) + uc sin θ + u d cos θ
? (c cos ? - d sin ?)
H
Y
R? ?
B
? (c sin ? + d cos ?) G d
90-?
? c
?
R
(c sin ? + d cos ?)
? A
J
(c cos ? - d sin ?)
X
O (b)
Dengan menjumlahkan persaman diatas secara vektor dan menyederhanakan seperti dibawah : (a). V B = (V XB
V yB )
(b). V A = (V XA
V yA )
(c). ω ( c sin θ + d cos θ )
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
(
ω ( c cos θ − d sin θ ) = ω c 2 + d 2
)
1/ 2
58
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
(d). (u c cos ?
u c sin ?) =
[ ( u c cosθ ) 2 + ( uc sin θ ) 2 ]1 / 2
(e). (u d cos ?
u d sin ?) =
[ ( ud cosθ ) 2 + ( ud sinθ ) 2 ]1 / 2 = u
= uc d
Maka VB = V B Tetapi V B
R?
uc
ud
R? = VBm yaitu kecepatan suatu titik pada badan M yang
berimpit dengan titik B, karena A dan satu titik pada badan M yang berimpit dengan B adalah dua buah titik pada satu penghubung kaku. Juga, u c
ud = u, yaitu kecepatan relatif B terhadap badan M. sehingga
persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk : VB = V M B
u
Sebagai kesimpulan , interpretasi persamaan diatas yaitu bahwa kecepatan sebuah titik yang bergerak terhadap satu badan yang juga bergerak, diperoleh dengan menjumlahkan secara vector kecepatan titik yang berimpit pada badan gerak dan kecepatan relatif terhadap badan, dengan menganggap badan diam. Persamaan dapat dituliskan dalam bentuk siap pakai dengan menyebut titik gerak sebagai B 3 titik berimpit pada badan M sebagai B4, sehingga bentuknya menjadi : VB3 = VB 4
VB3B4
Interprestasi sebenarnya adalah bahwa kecepatan relatif, VB3B4, diamati dengan menganalisa lintasan gerak titik B3 relatif ke penhubung 4 (penghubung dimana titik B 3 bergerak ), dengan menganggap penghubung 4 diam. Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
59
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
5.2
Percepatan dua titik berimpit Untuk menentukan percepatan relatif dua buah titik yang berimpit
dimana satu titik bergerak terhadap satu body yang bergerak, seperti pada pasangan sliding (sliding pair). Maka analisa percepatan untuk keadaan tersebut diatas akan lebih rumit karena pusat kecepatan relatif untuk pasangan seperti ini berada di tak terhingga. Penyelesaian untuk analisa kinematika dari problem diatas ialah dengan berdasarkan ketentuan bahwa hubungan yang mentransfergerakan dari pasangan seperti keadaan diatas berimpit pada satu titik. Kedua titik yang berimpit dari pasangan link tersebut mempunyai kecepatan dan percepatan relatif satu dengan yang lainnya. Dalam analisa ini kita akan mencari persamaan yang menentukan besarnya percepatan normal relatif antara kedua titik tersebut.
? ?
VQ S s
Q
VQ S s
Q
S
?
zs
z
? M s M
s Q pada link z S pada link s M pada link z dan link s
(a)
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
(b)
60
S
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
Pada gambar (a) diatas link S bergerak dengan kecepatan sudut ? S , sedangkan titik Q bergerak diatas link S dengan jari-jari lintasan ? dan pusat lintasan M. Dengan memisalkan MQ = link z dengan panjang ? yang berputar diatas link S dengan M sebagai pusatnya serta kecepa tan sudutnya ? ZS. Pada gambar (b) Arah VQS keatas apabila ? ZS. Arahnya berlawanan arah putaran jarum jam dan arahnya akan kebawah bila ? ZS berputar searah putaran jarum jam. Kecepatan Q relatif terhadap S : VQS = ? ? Z S. Atau
ω ZS = ±
VQS ρ
Tanda positip
? ZS berlawanan dengan putaran jarum jam dan
apabila negative arah ?
ZS
sama dengan putaran jarum jam.
Kecepatan sudut absolute dari link Z adalah : ? Z = ? S + ? ZS Dengan menggunakan persamaan gerak relatif maka : ( AQM ) n = ( AQS )n + ( ASM )n ( AQS )n = ( AQM )n + ( ASM )n Kemudian ditinjau titik Q dan titik M pada link z.
Q
?
zs
?
M
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
61
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
( AQM ) n = ? ω 2Z = ? (? S + ? ZS ) 2 2 = ? ω S2 + ? ω ZS ± 2 ? ω S ? ω ZS
Dengan memasukkan persamaan diatas dalam persamaan ini dihasilkan : ( AQM ) n = ? ω + ρ 2 S
( A QM ) n = ? ω S2 +
2 VQS
ρ2
2 VQS
ρ
± 2 ? ωS
VQS ρ
± 2 ω S V QS
Kemudian ditinjau titik S dan M pada link S.
( ASM )n = ? ω S2
ωS
S ρ
M
Mensubstitusikan persamaan () dan () kedalam persamaan () maka akan didapatkan : ( AQM ) n = ? ω + 2 S
2 VQS
ρ
± 2 ω S V QS - ? ω 2S
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
62
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
( AQM ) n =
2 VQS
ρ
± 2 ω S VQS
Persamaan () menunjukkan besarnya percepatan normal titik Q yang bergerak diatas link S yang juga bergerak. Komponen percepatan
2 VQS
ρ
adalah percepatan normal titik Q,
apabila link S diam. Dalam hal ini berarti VQS = V q , dan arah
Sedangkan komponen percepatan
2 VQS
ρ
adalah dari Q ke M.
± 2 ω S VQS disebut komponen
Coriolis dari percepatan normal titik Q relatif terhadap titik S. Tanda positip menunjuj\kkan bahwa arah ω ZS
sama dengan arah ω S ,
dan komponen + 2 ω S VQS arahnya dari M menuju Q. Sekarang apabila lintasan titik Q diatas link S adalah berpa garis lurus, maka dalam hal ini harga ρ tak terhingga, sehingga komponen percepatan
2 VQS
ρ
harganya nol.
Jadi untuk kasus ini percepatan normal antara titik Q relatif terhadap S adalah : ( AQS )n = ± 2 ω S VQS Selanjutnya percepatan normal titik S relatif terhadap titik Q. ( ASQ )n = ± 2 ω S VSQ
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
63
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
Cara untuk menentukan arah komponen percepatan coriolis Arah dari komponen percepatan coriolis dapat juga kita tentukan tanpa memperhatikan tanda positip atau negative dari komponen percepatan tersebut. Arah dari 2 ω S VQS adalah sama dengan arah VQS yang diputar 900 menurut arah putaran ω S .Sedangkan arah 2 ω S VSQ sama dengan arah VSQ yang diputar 90 0 menurut arah putaran ω S . Selain dengan pedoman diatas arah komponen percepatancoriolis dapat juga ditentukan sebagai berikut : Arah percepatan coriolis 2 ω S V QS adalah sama dengan arah perkalian cros dari kecepatan sudut link pembawa ω S dan kecepatan relatif antara titik Q dan S. Jadi secara vektor hal tersebut diatas dapat dituliskan : ( AQS )coriolis = 2 ω S VQS ( A SQ ) coriolis = 2 ω S VSQ Komponen percepatan coriolis seperti yang telah kita bahas diatas terjadi pada dua titik yang berimpit dari dua buah link yang merupakan pasangan sliding, rolling atau slip-rolling.
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
64
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
Pada ketiga gambar diatas titik Q pada link q dan titik S pada link s. Pada gambar ini link q mempunyai gerakan sl iding, slip-rolling atau rolling pada link s. Dalam hal ini link s dikatakan sebagai link pembawa CONTOH SOAL : Diketahui Link 2 berputar dengan kecepatan sudut ? 2 konstan.
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
65
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
Pada mekanisme diatas diketahui data-data sebagai berikut : Diagram Kecepatan Kecepatan titik Q : V Q = (O 2Q) ω2 VQ diketahui tegak lurus O 2Q arahnya sesuai ω2 Table diagram kecepatan No
Besaran
Harga
Arah
1
VQ = Ov - q
2
VSQ = q - s
?
¦ O4S
3
VS = Ov - s
?
- O4S
4
VP = Ov - p
5
- O2Q
(O2Q) ω2
Diperoleh dengan (
VR = Ov -r
?
VP O4 P
=
VS O4 S
)
¦ Lintasan titik R
Dari diagram kecepatan didapat : VSQ = q – s ( arah ke bawah) VS
= o–s
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
66
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
?S
=
VS ( arahnya berlawanan putaran jarum jam ) O4 S
Diagram Percepatan Percepatan titik A yang berputar terhadap satu pusat tetap sama dengan AQ =
(O2 Q)α 2
(O 2 Q )ω 2 2
Harga O2A dan ω2 diketahui sehingga percepatan normal
(O 2 Q )ω 2 2dapat dihitung. Arah (O 2 Q )ω 2 2adalah sepanjang garis A – O 2 dari A menuju O 2 dan harga percepatan normalnya = (O2 Q)α 2 =0. AQ digambarkan dengan skala percepatan yang sesuai. Pembuatan diagram percepatan dapat ditabelkan sebagai berikut : Table diagram percepatan Percepatan Normal No 1
Besaran A Q = o’ –
Percepatan Tangensial
Harga
Arah
Vektor
Harga
Arah
Vektor
ω 22 (O2Q)
Q – O2
o’ – q0
0
-
q0 – q’
2ω s xVSQ
- O4S
q’ - sq
?
¦ O4S
sq – s’
o’ – s0
?
¦VS
s0 – s’
q’ 2
A SQ = q‘s’
3
A S = o’ –
(kekanan) S – O4
ω S2 (O 4S)
s’ 4
AP = o’ –
Diperoleh dengan (
p’ 5
A RP = p‘-
ω 52 (RP)
R-P
p’ - rp
AP A = S ) O 4 P O4 S ?
¦VRP
rp – r’
r’ Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
67
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
6
A R = o’ –
0
-
o’ – r
?
0
¦VR
r0 – r’
r’
r’
s’
O’
so
p’
q’ sq
2? S VSQ
?S
2? S VSQ V SQ
Diagram percepatan
SOAL-SOAL : Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
68
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
1. Suatu mekanisme seperti pada gambar dibawah diketahui : O2 O 3 = 36 cm O2 B 2 = 8 cm O3 B 3 = 32 cm R
= 48 cm
Penghubung 2 sebagai penggerak berputar dengan kecepatan konstan ? 2 = 40 rad/det2. Tentukan ? 3 dan a3 dengan membuat diagram kecepatan dan diagram percepatan lebih dahulu.
2. Kecepatan titik A adalah 12 m/det dengan penghubung 2 berputar pada suatu kecepatan sudut konstan dalam arah melawan putaran jam. Dengan membuat polygon kecepatan dan polygon percepatan tentukan kecepatan sudut penghubung 4, 5, 6 dan kecepatan titik B serta percepatan titik C pada penghubung 5 (atau 6) dan percepatan sudut penghubung 3, 4, 5 dan 6.
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
69
Diktat Kinematika Oleh : Ir Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno.
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
70
