BAB IV
TRANSFORMASI LINEAR
4.1. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan
F : V → W. Lebih lanjut lagi, jika F
mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita menuliskan w = F(v) dan kita mengatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. Untuk melukiskannya, maka jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di dalam R2 , maka rumus : F(v) = ( x , x + y , x - y )
( 4.1)
mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3 . Khususnya, jika v = (1,1) , maka x = 1 dan y = 1 , sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1, 2, 0). Definisi. Jika F : V → W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dinamakan transformasi linear jika : (i) F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. (ii) F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k. Untuk melukiskannya, misalkan F : R2 → R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh
(4.1). Jika u = ( x1 , y1 ) dan v = ( x2 , y2 ), maka u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), sehingga : F(u + v) = (x1 +x2 , [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] - [y1 + y2]) = ( x1 , x1 + y1 , x1 - y1 ) + ( x2 , x2 + y2 ,x2 - y2) F(u + v) = F(u) + F(v) Juga , jika k adalah sebuah skalar , k u = (kx1 , ky1 ), sehingga F(k u) = (kx1 , kx1 +ky1 , kx1 - ky1) = k (x1 , x1 +y1 ,x1 - y1) = k F(u) Jadi F adalah sebuah transformasi linear. Jika F : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan sebarang k1 dan k2 , kita memperoleh : F(k1 v1 + k2 v2) = F(k1 v1) + F(k2 v2) = k1 F(v1) + k2 F(v2) Demikian juga, jika v1 , v2 , … , vn adalah vektor-vektor di dalam V dan k1 , k2 , … , kn adalah skalar, maka : F(k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn) = k1 F(v1) + k2 F(v2) + … + kn F(vn)
(4.2)
Contoh 1 : Misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di dalam Rm dan Rn , maka kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi T: Rn → Rm dengan : T(x) = A x
Perhatikan jika bahwa x adalah sebuah matriks n x 1 , maka hasil kali A x adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rn ke dakam Rm . Lagi pula , T linear, untuk melihat ini , misalnya u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalaian matriks, maka kita mendapatkan : A (u + v) = A u + A v
dan A (k u) = k (A u)
T(u + v) = T(u) + T(v)
dan T(k u) = k T(u)
atau secara ekivalen :
Kita akan menamakan transformasi linear di dalam contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks. Contoh 2 : Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalkan θ adalah sebuah sudut tetap, dan misalkan T : R2 → R2 adalah perkalian oleh matriks : cos θ − sin θ A= cos θ sin θ Jika v adalah vektor
maka
x v= y cos θ − sin θ T(v) = A v = sin θ cos θ
x x cos θ − y sin θ y = x sin θ + y cos θ
Secara geometrik, maka T(v) adalah vektor yang dihasilkan jika v dirotasikan melalui sudut θ . Untuk melihat ini, maka misalkan φ adalah sudut di antara v dan sumbu x positif, dan misalakan : x ' v’ = ' y
adalah vektor yang dihasilkan bila v dirotasikan melalui sudut θ (Gambar 4.1). kita akan memperlihatkan bahwa v’ = T(v). Jika r menyatakan panjangnya v , maka : x = r cos φ
y = r sin φ
Demikian juga, karena v’ mempunyai panjang yang sama seperti v , maka kita memperoleh : x’ = r cos(θ + φ) Maka
y’ = r sin(θ + φ)
x ' r cos (θ + φ ) v’ = y ' = r sin (θ + φ ) r cosθ + φ − r sin θ sin φ = r sin θ + φ + r cos θ sin φ x cos θ − y sinθ = x sinθ + y cosθ =
cosθ − sinθ sinθ cosθ
= Av = T(v)
Transformasi linear di dalam contoh ini dinamakan rotasi dari R2 melalui sudut θ. y
(x ’ y ’)
v’ v θ φ
x
Contoh 3: Misalkan V dan W adalah sebarang dua vektor. Pemetaan T : V → W sehingga T(v) = 0 untuk tiap-tiap v di dalam V adalah sebuah transformasi linear yang dinamakan transformasi nol. Untuk melihat bahwa T linear, perhatikanlah bahwa : T(u + v) = 0 , T(u) = 0 , T(v) = 0 dan T(k u) = 0
Maka T(u + v) = T(u) + T(v)
dan
T(k u) = k T(u)
Contoh 4: Misalkan V adalah sebarang ruang vektor. Pemetaan T : V → V yang didefinisikan oleh T(v) = v dinamakan transformasi identitas pada V. Jika seperti di dalam contoh 2 dan 4 , T : V → V adalah transformasi linear dari sebuah ruang vektor V ke dalam dirinya sendiri, maka T dinamakan operator linear pada V. Contoh 5: Misalkan
V adalah sebarang ruang vektor dan
k
adalah sebarang
skalar tetap. Kita
membiarkannya sebagai latihan untuk memeriksa bahwa fungsi T : V → V yang didefinisikan oleh : T(v) = k v adalah sebuah operator linear pada V. Jika k > 1 , T dinamakan dilatasi dari V dan jika 0 < k < 1 , maka T dinamakan kontraksi dari V. Secara geometrik, maka dilatasi “merenggangkan“ setiap vektor di dalam V dengan sebuah faktor sebesar k , dan kontradiksi dari V “memampatkan “ setiap vektor dengan sebuah faktor sebesar k (Gambar 4.2).
gambar 4.2
Contoh 6: Misalkan V adalah sebuah ruang perkalian dalam, dan misalkan W adalah sebuah sub-ruang dari V yang berdiameter berhingga yang mempunyai : S = {w 1,w 2,…,w r} adalah sebuah basis ortonormal. Misalkan T : V → W adalah fungsi yang memetakan sebuah vektor v di dalam V ke dalam proyeksi ortogonalnya pada W ; yakni : T(v) = < v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w 2 + … + < v, w r > w r v
T (v)T(v)
w
Gambar 4.3 Pemetaan T dinamakan proyeksi ortogonal dari V pada W ; linearitasnya didapatkan dari sifatsifat dasar perkalian dalam. Misalnya : T(u + v) = < u + v, w 1 > w 1 + < u + v, w 2 > w 2 + … + < u + v, w r > w r = < u, w 1 > w 1 + < u, w 2 > w 2 + … + < u, w r > w r + < v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w 2 + … + < v, w r > w r = T(u) + T(v) Demikian juga, T(k u) = k T(u) Contoh 7 :
Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalnya V = R3 mempunyai perkalian dalam Euclidis. Vektor-vektor w 1 = (1, 0, 0) dan w2 = (0, 1, 0) membentuk sebuah basis ortonormal untuk bidang xy. Jadi, jika v = (x, y , z) adalah sebarang vektor di dalam R3 , maka proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xy diberikan oleh : T(v) = < v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w 2 = x(1, 0, 0 ) + y(0, 1, 0) = (x, y , 0) (lihat Gambar 4.4) Contoh 8: Misalkan V adalah sebuah ruang vektor berdimensi n dan S = (w 1, w 2, …, w n) adalah sebuah basis tetap untuk V. Menurut teorema , maka sebarang dua vektor u dan v di dalam V dapat dituliskan secara unik di dalam bentuk : u = c1 w 1 + c2 w 2 + … + cn w n
dan
v = d1 w 1 + d2 w 2 + … + dn w n
z
(x, y, z)
v y T (v) x
(x, y, 0)
Gambar 4.4 Jadi
(u)s = (c1, c2, …, cn) (v)s = (d1, d2, …, dn)
Tetapi
u + v = (c1 + d1) w 1 + (c2 + d2) w2 + … + (cn + dn) w n k u = (k c1) w 1 + (k c2) w 2 + … + (k cn) w n
sehingga ( u + v )s = (c1 + d1, c2 + d2, …, cn + dn) ( k u )s = ( k c1 , k c2 , … , k cn) Maka ( u + v )s = (u)s + (v)s
dan
(k u)s = k (u)s
(4.3) Demikian
juga, untuk matriks koordinat, kita memperoleh : [ u + v ]s = [u]s + [v]s
dan
[k u]s = k [u]s
Misalkan kita ambil T : V → Rn sebagai fungsi yang memetakan sebuah vektor v di dalam V ke dalam vektor koordinatnya terhadap S ; yakni : T(v) = (v)s Maka menyatakannya dalam T , (4.3) menyatakan : T( u + v ) = T(u) + T(v) dan
T(k u ) = k T(u)
Jadi T adalah transformasi linear dari V ke dalam Rn . Contoh 9 : Misalkan V adalah sebuah ruang perkalian dalam dan misalkan v0 adalah sebarang vektor tetap di dalam V. Misalkan T : V → R adalah transformasi yang memetakan sebuah vektor v ke dalam perkalian dalamnya dengan v0 ; yakni : T(v) = < v , v0 > Dari sifat-sifat perkalian dalam , maka :
T( u + v ) = < u + v, v0 > = < u, v0 > + < v, v0 > = T(u) + T(v) T(k u) = < k u, v0 > = k < u, v0 > = k T(u)
dan
sehingga T adalah transformasi linear.
Contoh 10 : Misalkan V = C[0, 1] adalah ruang vektor dari semua fungsi bernilai real yang kontinu pada interval 0 ≤ x ≤ 1 , dan misalkan W adalah subruang dari C[0, 1] yang terdiri dari semua fungsi dengan turunan pertama yang kontinu pada interval 0 ≤ x ≤ 1. Misalkan D: W → V adalah transformasi yang memetakan f ke dalam turunannya ; yakni : D(f) = f’ Dari sifat-sifat diferensiasi, kita memperoleh : D( f + g ) = D(f) + D(g) dan
D(k f) = k D(f)
Jadi D adalah transformasi linear. Contoh 11 : Misalkan V = C [ 0, 1 ] adalah seperti di dalam contoh sebelumnya , dan misalkan J : V → R didefinisikan oleh : 1
J(f) =
∫0
f (x ) d x
Misalnya jika f(x) = x2 , maka J(f) =
Karena
∫
1
0
∫
1 0
x 2 dx =
1 3
1
1
0
0
( f ( x ) + q ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ q ( x ) dx
∫ k . f (x )dx =k ∫
dan
1
1
0
0
f ( x) dx
untuk sebarang k yang konstan, maka jelaslah bahwa J(f + g) = J(f) + J(g) J(kf) = kJ(f) Jadi J adalah transformasi linier. Komposisi Beberapa Transpormasi Linear Definisi Apabila T1 : U
V dan T2 : V
W
masing-masing
suatu
transformasi linear, maka komposisi T2 dengan T1 dinotasikan T2 o T1 merupakan tranpormasi (fungsi) yang didefinisikan oleh (T2 o T1)(u) = T2 (T(u)), u elemen U. Agar T2 (T(u)) ada, pada definisi sudah terlihat bhawa domain T2 memuat range T1 Teorema Apabila T1 : U
V dan T2 : V
transformasi linear, maka (T2 o T1) : U
W
masing-masing
W juga berupa transpormasi linear.
Bukti : Ambil vektor u dan v elemen U dan k sebarang skalar. Karena T1 dan T2 linear, maka (T2 o T1)(u + v) = T2 (T1 (u + v)) = T2 (T1 (u) + T1 (v)) = T2 (T1 (u) + T2 (T1 (v)) = (T2 o T1)(u) + (T2 o T1)( v) (T2 o T1)(k u) = T2 (T1 (ku)) = T2 (kT(u)) = k T2 (T1 (u))
suatu
= k (T2 o T1)( u) Contoh 1. Jika T1 : P1
P2 dengan rumus p(x) = x p(x) dan T2 : P2
P2 dengan
rumus p(x) = p(2x + 4), maka T1 (p(x)) = x p(x) dan (T2 (p(x)) = p (2x + 4)
2. Jika T : V
V transpormasi linear dan I : V
V transpormasi
identitas, maka T o I = I o T = T
Sifat Transformasi Linier; Kernel dan Jangkauan
Di dalam bagian ini kita memperlihatkan bahwa sekali bayangan vektor basis dibawah transformasi linier telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya di dalam ruang tersebut. Teorema 1. Jika T:V W adalah transformasi linier, maka: (a) T (0) = 0 (b) T(-v) = -T(v) untuk semua v di dalam V (c) T(v-w) = T(v) - T(w) untuk semua v dan w di dalam V Bukti misalkan v adalah sebarang vektor di dalam V. Karena 0v = 0 maka kita memperoleh T (0) = T (0v) = 0T (v) = 0
yang membuktikan (a). Juga, T(-v) = T(-1(v)) = (-1)T(v), yang membuktikan (b). Akhirnya, v -w = v + (-1)w; jadi T(v -w) = T(v +(-1) w) = T(v)+(-1)T(w) = T(v)-T(w)
Jika T:V W adalah transformasi linier, maka himpunan vektor di dalam V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T ; himpunan tersebut dinyatakan oleh ker (T). Himpuanan semua vektor di dalam w yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di dalam V dinamakan jangkuan dari T ; himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T). Contoh 12 Misalkan T:V W adalah transformasi nol. Karena T memetakan tiap-tiap vektor ke dalam 0, maka ker (T) = V. Karena 0 adalah satu-satunya bayangan yang mungkin di bawah T, maka R(T) terdiri dari vektor nol.
Contoh 13 Misalkan T:Rn
Rm adalah perkalian oleh
a 1 1 a 1 2 .. . a 1 n a a 22 ... a 2 n 21 A= M M M a mn a m1 a m 2 Kernel dari T terdiri dari semua
x1 x2 X= M xn Yang merupakan vektor pemecahan dari sistem homogen
x1 0 x2 0 A = = M M xn xn Jangkuan dari T terdiri dari vektor-vektor
b1 b 2 b= M bm
x1 x 2 A= M xn
b1 b = 2 M bm
Sehingga sistem
konsisten. Teorema Jika T:V
W adalah trasnformasi linier maka :
(a) Kernel dari T adalah subruang dari V. (b) Jangkuan dari T adalah subruang dari W.
Bukti (a) Untuk memperlihatkan bahwa ker (T) adalah subruang, maka kita harus memperlihatkan bahwa ker (T) tersebut tertutup di bawah pertambahan dan perkalian skalar. Misalkan v1 dan v2 adalah vektor-vektor di dalam ker (T), dan misalkan k adalah sebarang skalar. Maka T(v1 + v2 ) = T(v1 ) + T(v2 ) =0+0=0
sehingga v1 + v2 berada di dalam ker (T). Juga T(kv1 ) = kT (v1 ) = k0 = 0
Sehingga kv1 berada di dalam ker (T). (b) Misalkan w 1 dan w 2 adalah vektor di dalam jangkauan dari T. Untuk membuktikan bagian ini maka kita harus memperlihatkan bahwa w 1 + w 2 dan k w 1 berada di dalam jangkuan
dari T untuk sebarang skalar k; yakni kita harus mencari vektor a dan b di dalam V sehingga T (a) = w 1 + w 2 dan T(b) = kw 1. Karena w 1 dan w 2 berada di dalam jangkuan dari T, maka ada vektor a1 dan a2 di dalam V sehingga T (a1) = w 1 dan T(a2) = w2. Misalkan a = a1 + a2 dan b = ka1. Maka T(a) = T (a1 + a2) = T(a1) + T(a2) = w 1 + w 2 dan T(b) = T(ka1) = kT(a1) = kw1
yang melengkapkan bukti tersebut.
Contoh 14
Misalkan T:Rn
Rm adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n.
Dari contoh 13 maka kernel dari T terdiri dari semua pemecahan dari Ax = 0 ; jadi kernel tersebut adalah ruang pemecahan dari sistem ini. Juga dari contoh 13, jangkuan dari T terdiri dari semua vektor b sehingga Ax = b konsisten. Jadi, menurut Teorema 14 dari bagian 4.6, jangkuan dari T adalah ruang kolom dari matrik A. Misalkan {v1 , v2,....., vn } adalah sebuah basis untuk ruang vektor V dan T:V
>W
adalah transformasi linier. Jika kebetulan kita mengetahui bayangan vektor basis, yakni T(v1), T(v2), ..., T(vn) maka kita dapat memperoleh bayangan T(v) dari seberang vektor v dengan menyatakan dulu v dalam basis tersebut, katakanlah v = k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn
dan kemudian menggunakan hubungan (5.2) dari bagian 5.1 untuk menuliskan T(v) = (1,0) T(v2) = (2, - 1) T(v3) = (4,3) Carilah T(2, -3,5) !
Pemecahan. Mula-mula kita menyatakan v = (2, -3, 5) sebagai kombinasi dari v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), dan v3 = (1, 0, 0). jadi
(2, 3, 5) = k1 (1, 1, 1) + k2 (1, 1, 0) + k3 (1, 0, 0)
atau setelah menyamakan komponen-komponen yang bersangkutan
k1 + k2 + k3 = 2 k1 + k2
= -3
k1
= 5
yang menghasilkan k1 = 5, k2 = -8, k3 = 5 sehingga
(2, -3, 5) = 5v1 -8v2 + 5v3
jadi T(2, -3, 5) = 5T(v1) - 8T(v2) + 5T3 = 5(1,0) - 8(2, -1) + 5(4,3) = (9, 23)
Jika T:V
> W adalah transformasi linier, maka dimensi dari jangkauan dari T dinamakan rank
dari T dan dimensi dari kernel dinamakan nulitas (nullity)dari T.
Contoh 16 Misalkan T:R2
> R2 adalah rotasi dari R2 melalui sudut π/4. Jelaslah secara geometrik bahwa
jangkauan dari T adalah semuanya R2 dan kernel dari T adalah (0). Maka T mempunyai rank 2 dan nulitas = 0.
Contoh 17 Misalkan T:Rn
> Rm adalah perkalian sebuah matriks A yang berukuran m x n.
Didalam contoh 14 kita mengamati bahwa jangkauan dari T adalah ruang kolom dari A jadi rank dari T adalah dimensi ruang kolom dari A, yang persis sama dengan rank dari A. Secara ringkas, maka rank (T) = rank (A) Juga didalam Contoh 14, kita melihat bahwa kernel dari T adalah ruang pemecahan dari Ax = 0. Jadi nulitas dari T adalah dimensi ruang pemecahan ini.
Teorema kita berikutnya menghasilkan sebuah hubungan di antara rank dan nulitas dari transformasi linier yang didefinisikan pada sebuah ruang vektor berdimensi berhingga. Kita akan menangguhkan buktinya sampai keakhir bagian ini.
Teorema 3. (Teorema Dimensi). Jika T:V
> W adalah transformasi linier dari sebuah
ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka (rank dariT) + (nolitas dari T) = n
Di dalam kasus khusus di mana V=Rn-, W=Rm-, dan T:Rn
> Rm adalah perkalian oleh
sebuah matriks A yang berukuran m x n, maka teorema dimensi tersebut menghasilkan hasil yang berikut :
nulitas dari T = n - (rank dari T) = (banyaknya kolom dari A) - (rank dari T)
(5,4)
Akan tetapi, kita memperhatikan di dalam Contoh 17 bahwa nutilas dari T adalah dimensi dari ruang pemecahan dari Ax = 0, dan rank dari T adalah rank dari matriks A. Jadi (5.4) menghasilkan teorema yang berikut.
Teorema 4. Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah : n - rank (A)
Contoh 18 Di dalam Contoh 35 dari bagian (4.5) kita memperlihatkan bahwa sistem homogen 2x1 + 2x2 - x3
+ x5 = 0
-x1 + -x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0 x1 + x2 - 2x3
-x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
mempunyai ruang pemecahan berdimensi dua, dengan memecahkan sistem tersebut dan dengan mencari sebuah basis. Karena matriks koefisien 2 2 −1 0 1 −1 − 1 2 − 3 1 A= 1 1 − 2 0 −1 0 0 1 1 1 mempunyai lima kolom, maka jelaslah dari Teorema 4 bahwa rank A harus memenuhi 2 = 5 - rank (A) Sehingga rank (A) = 3. Pada pembaca dapat memeriksa hasil ini dengan mereduksi A kepada bentuk eselon baris dan dengan memperilihatkan bahwa matriks yang dihasilkan mempunyai tiga baris yang tak nol.
Transformasi linier dari Rn Ke Rm ; Geometri Transformasi Linier Dari R2 Ke R2
Di dalam bagian ini kita mempelajari transformasi linier dari Rn ke Rm dan mendapatkan sifat-sifat geometrik dari transformasi linier dari R2 ke R2 . Mula-mula kita akan memperlihatkan bahwa tiap-tiap transformasi linier dari Rn ke Rm adalah transformasi matriks. Lebih tepat lagi, kita akan memperlihatkan bahwa jika T:Rn
> Rm
adalah sebarang transformasi linier, maka kita dapat mencari sebuah matriks A yang berukuran m x n sehingga T adalah perkalian oleh A. Untuk melihat ini, misalkan
e 1 , e 2 ,...., e n
adalah basis standar untuk Rn , dan misalkan A adalah matriks m x n yang mempunyai
T(e 1 ), T(e 2), ....., T(e n)
sebagai vektor-vektor kolomnya, (Kita akan menganggap di dalam bagian ini bahwa semua vektor dinyatakan di dalam notasi matriks). Misalnya, jika T:R2
>R2 diberikan oleh
x x + 2 x2 T 1 = 1 x2 x1 − x2 maka 1 1 0 2 T(e1) = T = dan T ( e2 ) = T = 0 1 1 −1
1 A= 1
2 − 1
T(e 1)
T(e 2)
secara lebih umum, jika
a11 a12 a1n a12 ,T (e )= a22 ,......, T (e )= a2 n T(e1) = 2 n M M M am1 am 2 amn
A=
a 11 a 21 M a m 1
T(e1)
M am2
L a1 n L a2n M L a m n
T(e2)
... T(en)
a 12 a 22
Kita akan memperlihatkan bahwa transformasi linier T:Rn
> Rm adalah perkalian oleh A. Untuk
melihat ini, mula-mula perhatikanlah bahwa
x1 x x = 2 = x 1 e1 + x 2 e 2 + L + x n e n M xn
Maka, karena linieritas dari T,
T(x) = x1 T(e1) + x2 T(e2) + … + xn T(en)
sebaliknya
a11 a12 L a1n x1 a11x1 + a12 x2 + L + a1 n xn a a22 L a2 n x2 a21x1 + a22 x 2 +L + a1n xn 21 Ax = = M M M M M M M a a a x a x + a x + L + a x m1 m 2 mn n m2 2 mn n m1 1 a11 a = x1 22 + x2 M x m1
a12 a1 n a 22 + L + x 2 a 21 M M xm 2 a mn
= x1 T(e1)+x2 T(e2) + … + xn T(en)
Dengan membandingkan (5.7) dan (5.8) maka akan menghasilkan T(x) = Ax, yakni T adalah perkalian oleh A.
Kita akan menyebut matriks A di dalam (5.6) sebagai matriks standar untuk T. Contoh 19. carilah matriks standar untuk transformasi T:R3
> R4 yang didefinisikan oleh
x x 1 x T x2 = 1 x 3
+ x2 − x 2 x3 x1
Pemecahan 1 1 0 1 0 0 1 −1 0 T(e1) = T 0 = T ( e2 ) = T 1 = T ( e3 ) = T 0 = 0 0 0 0 1 1 1 0 0 Dengan menggunakan T(e1), T(e2), dan T(e3) sebagai vektor-vektor kolom, maka kita mendapatkan
1 1 1 − 1 A= 0 0 1 0
0 0 1 0
Sebagai pemeriksaan, perhatikanlah bahwa
x1 A x2 = x 3
x1 x 1
+ x2 − x 2 x3 x1
yang cocok dengan rumus yang diberikan untuk T. Contoh 20 Misalkan T:Rn a11 a A = 21 M am 1
> Rm adalah perkalian oleh
a12 L a1 n a22 L a2 n M M am 2 L amn
Carilah matriks standar untuk T. Pemecahan. Vektor-vektor T(e1), T(e2),......, T(en) adalah vektor-vektor kolom yang berturutan dari A. Misalnya,
a11 a 21 T(e1) = Ae1 = M am1
1 a12 L a1n a11 0 a22 L a2 n a2 n 0 = M M M M am2 L amn am1 0
Jadi matriks standar untuk T adalah
[T(e1) | T(e2) | ... | T(en)] = A
sebagai ikhtisar, maka matriks standar untuk sebuah transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. Contoh 20 menyarankan sebuah cara baru untuk memikirkan matriks, sebuah matriks A yang sebarang yang berukuran m x n dapat dipandang sebagai matriks standar untuk transformasi linier yang memetakan basis standar untuk Rn ke dalam vektor-vektor dari A. jadi 1 − 2 A= 3 4
1 6
adalah matriks standar untuk transformasi linier dari R3 ke R2 yang memetakan 1 0 e1 = 0 , e2 = 1 , 0 0
0 e3 = 0 1
berturut-turut kedalam 1 −2 1 3 , 4 , 6 Di dalam bagian selebihnya dari bagian ini kita akan mempelajari sifat geometrik dari transformasi linier bidang, yakni, transformasi linier dari R2 ke R2. . Jika T:R2 →R2 adalah sebuah transformasi seperti itu dan a b A= c d adalah matriks standar untuk T, maka x a b x ax + by T = = y c d y cx + dy
Ada dua tafsiran geometrik dari rumus ini sama baiknya : Kita dapat memandang entri-entri di dalam matriks-matriks x ax + by y dan cx + dy baik sebagai komponen-komponen vektor maupun sebagai kordinat-kordinat titik. Dengan tafsiran yang pertama, T memetakan panah menjadi panah, dan dengan tafsiran yang kedua, T memetakan titik menjadi titik (Gambar 5.5). Pilihan tersebut hanyalah merupakan kesukaan seseorang. Di dalam pembicaraan berikutnya, kita memandang transformasi linier bidang sebagai yang memetakan titik ke titik.
Contoh 21 Misalkan T:R2 → R2 adalah
transformasi linier yang memetakan setiap titik ke dalam bayangan
simetriknya terhadap sumbu y (Gbr. 5.6). Carilah matriks standard untuk T.
(-x,y)
(x,y)
Pemecahan. 1 −1 T ( e1 ) = T = 0 0
0 0 T ( e2 ) = T = 1 1
Dengan T(e1) dan T(e2) sebagai vektor-vektor kolom maka kita mendapatkan −1 0 A= 0 1 Sebagai pemeriksaan, maka −1 0 x − x 0 1 y = y
sehingga perkalian oleh A akan memetakan titik (x,y) ke dalam bayangan simetriknya (-x,y) terhadap sumbu y.
Kita sekarang akan memusatkan perhatian kita pada lima jenis transformasi linier bidang yang mempunyai arti penting khusus : rotasi, ekspansi, komposisi dan geseran.
Rotasi. Jika T:R2 → R2 merotasikan setiap titik di dalam bidang terhadap titik asal melalui susut θ, maka dari Contoh 2 dari Bagian 5.1 didapat bahwa matriks standar untuk T adalah cos θ − sinθ sinθ cos θ
Refleksi. Sebuah refleksi terhadap sebuah garis l melalui titik asal adalah sebuah transformasi yang memetakan setiap titik di dalam bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap l. Dapat diperlihatkan bahwa refleksi adalah transformasi linier. Kasus yang paling penting adalah refleksi terhadap sumbu kordinat dan terhadap garis y=x. Dengan mengikuti metode dari contoh 21, maka para pembaca harus mampu memperlihatkan bahwa matriks standar untuk transformasitrasnformasi ini adalah : Refleksi terhadap
−1 0 0 1
sumbu y
Refleksi terhadap
1 0 0 −1
sumbu x
Refleksi terhadap
0 1 1 0
garis y=x
Ekspansi dan kompresi. Jika kordinat x dari setiap titik di dalam bidang dikalikan oleh sebuah konstanta k yang positif, maka efeknya adalah mengekspansikan atau mengkompresi setiap gambar bidang di dalam arah x. Jika 0
( atau kompresi) di dalam arah x dengan faktor k. Demikian juga, jika kordinat y dari setiap titik dikalikan oleh sebuah konstanta k yang positif, maka kita mendapatkan sebuah ekspansi (atau kompresi) di dalam arah y dengan faktor k. Dapat diperlihatkan bahwa ekspansi dan kompresi sepanjang sumbu-sumbu kordinat adalah transformasi linier.
Gambar 4.7 Jika T:R2 → R2 adalah sebuah ekspansi atau kompresi di dalam arah x dengan faktor k, maka 1 k 0 0 T(e1)= T = , T(e2)= T = 0 0 1 1 sehingga matriks standar untuk T adalah k 0 0 1 Demikian juga, matriks standar untuk sebuah ekspansi atau kompresi di dalam arah y adalah 1 0 0 k Geseran sebuah geseran di dalam arah x dengan faktor k adalah sebuah transformasi yang mengerakkan setiap titik (x, y) sejajar dengan sumbu x sebanyak ky ke kedudukan yang baru (x+ ky, y).Dibawah transformasi seperti itu,maka titik-titik pada sumbu x tidak digerakkan karena y = 0. Akan tetapi,sewaktu kita makin menjauh dari sumbu x,maka besarnya y bertambah,sehingga titik-titik yang lebih jauh dari sumbu x bergerak sejarak yang lebih besar daripada titik-titik yang lebih dekat ke sumbu x tersebut. Sebuah geseran di dalam arah y dengan faktor k adalah sebuah transformasi yang mengerakkan setiap titik (x, y) sejajar dengan sumbu y sebanyak kx ke kedudukan yang baru (x, y + kx). Di bawah transformasi seperti itu, maka titik-titik pada sumbu y tetap diam dan titik-titik lebih jauh dari sumbu y bergerak sejarak yang lebih besar daripada titik-titik yang lebih dekat ke sumbu y tersebut.
Dapat diperlihatkan bahwa geseran adalah transformasi linier. Jika T: R2
> R2 adalah
sebuah geseran yang faktornya k didalam arah x, maka. 1 k 0 k T (e1) = T = , T ( e2 ) = = 0 0 1 1 sehingga matriks standar untuk T adalah 1 k 0 1 Demikian juga , matriks standar untuk sebuah geseran di dalam arah y yang faktornya k adalah 1 0 k 1 PERTANYAAN. Perkalian dengan matriks identitas 2 x 2 memetakan setiap titik kedalam dirinya sendiri. Ini dinamakan transformasi identitas. Jika diinginkan, maka informasi ini dapat dipandang sebagai rotasi melalui 00 , atau sebagai geseran sepanjang salah satu sumbu dengan K = 0, atau sebagai kompresi atau ekspansi sepanjang salah satu sumbu faktor k=1. Jika dilakukan banyak sekali transformasi matriks dari Rn ke Rn secara berurutan, maka hasil yang sama dapat dicapai dengan sebuah transformasi matriks tunggal. Contoh berikut akan melukiskan hal ini.
Contoh 22 Misalkan bahwa bidang tersebut dirotasikan melalui sudut θ dan kemudian dipengaruhi oleh geseran yang faktornya k di dalam arah x. Carilah sebuah transformasi matriks tunggal yang menghasilkan efek yang sama seperti kedua transformasi yang berurutan tersebut.
Pemecahan. Di bawah rotasi, titk (x, y) ditransformasikan ke dalam titik (x, , y) dengan koordinat yang diberikan oleh
x , cosθ , = y sin θ
− sin θ x cosθ y
(5.10)
Di bawah geseran, titik (x, , y) ditransformasikan kedalam titik (x,, , y,, ) dengan koordinat yang diberikan oleh
x ,, 1 k x , ,, = , y 0 1 y
(5.11)
Dengan mensubtitusikan (5.10) di dalam (5.11) maka akan menghasilkan
x ,, ,, = y
1 k cos θ 0 1 sin θ
− sin θ cos θ
x y
atau x ,, cos θ + k sin θ ,, = sin θ y
− sin θ + k cos θ cos θ
x y
Jadi rotasi yang diikuti oleh geseran dapat dilakukan oleh transformasi matriks dengan matriks
cos θ + k sin θ sin θ
− sin θ + k cos θ cos θ
Umumnya, jika transformasi - transformasi matriks
T1 (x) = A1 x, T2 (x) = A2x ,....,Tk(x) = Akx dari Rn ke Rn dilakukan berurutan (mula-mula T1 , lalu T2 , dan seterusnya), maka yang sama dicapai dengan sebuah transformasi matriks tunggal T(x)=Ax , dimana
A = Ak ... A 2A 1 Perhatikan bahwa urutan di dalam mana transformasi-transformasi tersebut dilakukan didapatkan dengan membaca kanan ke kiri di dalam (5.12)
Contoh 23 a) Carilah sebuah transformasi matriks dari R2 ke R2 yang mula-mula menggeser dengan sebuah faktor sebesar 2 di dalam arah x dan kemudian merefleksinya terhadap y = x. b) Carilah sebuah transformasi matriks dari R2 ke R2 yang mula-mula merefleksikan terhadap y = x dan kemudian menggeser dengan sebuah faktor sebesar 2 di dalam arah x. Pemecahan. (a). Matriks standar untuk geseran adalah 1 2 A1 = 0 1 dan untuk refleksi adalah
0 1 A2 = 1 0 sehingga matriks standar geseran yang diikuti oleh refleksi adalah 0 1 1 2 0 1 A2 A1 = = 1 0 0 1 1 2 Pemecahan (b). Refleksi yang diikuti oleh geseran dinyatakan oleh 1 2 0 1 2 1 A1 A2 = = 0 1 1 0 1 0 Di dalam contoh terakhir, perhatikan bahwa A1A2 ≠ A 2 A 1 ,sehingga efek penggeseran dan kemudian merefleksikan berbeda dari efek refleksi dan kemudian penggeseran. Ini dilukiskan secara geometrik didalam Gambar 4.9, di mana kita memperlihatkan efek transformasi pada sebuah segi empat siku-siku.
Contoh 24 Perhatikan bahwa jika T: R2
> R2 adalah perkalian oleh sebuah matriks elementer, maka
transformasi tersebut adalah salah satu dari antara yang berikut:
a) Geseran sepanjang sebuah sumbu kordinat. b) Refleksi terhadap y = x. c) Kompresi sepanjang sumbu kordinat. d) Ekspansi sepanjang sumbu kordinat. e) Refleksi terhadap sumbu koordinat f) Kompresi satu ekspansi sepanjang sumbu kordinat yang diikuti oleh refleksi terhadap sumbu koordinat. Pemecahan. Karena matriks elementer 2 x 2 dihasilkan melakukan operasi baris elementer tersebut harus mempunyai salah satu dari bentuk berikut (buktikan): 1 0 1 k 0 1 k 0 k 1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 k
Kedua matriks yang pertama menyatakan geseran sepanjang sumbu koordinat dan matriks yang ketiga menyatakan refleksi terhadap y = x. Jika k > 0, maka kedua matriks yang terakhir menyatakan kompresi atau ekspansi sepanjang sumbu koordinat yang bergantung pada apakah 0 = k = 1 atau k = 1. jika k < 0, dan jika kita menyatakan k di dalam bentuk k = -k1, dimana k > 0, maka kedua matriks yang terakhir dapat dituliskan sebagai k 0 −k 1 0 −1 0 k1 0 0 1 = 0 1 = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 k = 0 − k 1
1 0 = 0 − 1
1 0 0 k 1
5.13
5.14
karena k1 > 0, maka hasil kali didalam (5.13) menyatakan kompresi atau ekspansi sepanjang sumbu y yang diikuti oleh refleksi terhadap sumbu x . Di dalam kasus di mana k = 1, maka (5.13) dan (5.14) adalah refleksi berturut-turut terhadap sumbu y dan sumbu x. Misalkan T:R2
> R2 adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang dapat dibalik, dan
misalkan bahwa T memetakan titik (x, y) ke titik (x, , y, ) maka
x ' x ' = A y y
dan
' x −1 x y = A ' y
Jelaslah dari persamaan-persamaan ini bahwa jika perkalian oleh A memetakan (x, y) ke (x’ , y), maka perkalian oleh A-1 memetakan (x’, y) kembali ke kedudukannya yang semula (x, y). Karena ini, maka perkalian oleh A perkalian oleh A-1 dikatakan sebagai transformasi-transformasi invers.
Contoh 25 Jika T:R2
> R2 mengkompresi bidang dengan sebuah faktor sebesar 1/2 di dalam arah y, maka
teranglah secara intuitif bahwa kita harus mengekspansikan bidang tersebut dengan sebuah faktor sebesar 2 di dalam arah y untuk memindahkan setiap titik kembali ke kedudukannya yang semula. Sesungguhnya demikianlah kasusnya, karena
A=
1 0 1 0 2
menyatakan kompresi yang faktornya 1/2 di dalam arah y dan 1 0 A-1 = 0 2 adalah ekspansi yang faktornya 2 di dalam arah y
Contoh 26 Perkalian oleh cosθ A= sin θ
− sin θ cos θ
merotasikan titik di dalam bidang melalui sudut θ. Untuk mengembalikan sebuah titik kembali ke kedudukannya semula, maka titik tersebut harus dirotasikan melalui sudut -θ. Ini dapat dicapai dengan mengalikannya dengan matriks rotasi cos(−θ ) − sin( −θ ) sin( −θ ) cos(−θ ) Dengan menggunakan identitas, cos (-θ)= cos θ dan sin (- θ) = - sin θ, maka ini dapat dituliskan kembali sebagai cosθ − sin θ
sin θ cosθ
Dapat dibuktikan bahwa matriks ini adalah invers dari A. Kita menyimpulkan bagian ini dengan dua teorema yang menyediakan pandangan ke dalam sifat-sifat efek geometrik dari transformasi linier bidang. adalah sama seperti urutan yang sesuai dari geseran, konpresi, ekspansi, dan refleksi. Teorema 5. Jika T: R2
> R2 adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang dapat dibalik, maka
efek geometrik dari T adalah sama seperti urutan yang sesuai dari geseran, konpresi, ekspansi, dan refleksi.
Bukti. Karena A dapat dibalik, maka A dapat direduksi kepada identitas dengan urutan berhingga operasi baris elementer. Sebuah operasi baris elementer dapat dilakukan dengan mengalikan sebuah matriks elementer dari kiri, sehingga ada matriks-matriks elementer E1, E2,......., Ek sehingga
Ek ... E2E1A = I
Dengan memecahkan untuk A maka akan menghasilkan
A = E1−1 E2−1 L Ek−1 I atau
A = E1−1 E2−1 L Ek−1
(5.15)
Persamaan ini menyatakan A sebagai hasil kali matriks-matriks elementer hasilnya diperoleh dari Contoh 24.
Contoh 27 Nyatakanlah 1 2 A= 3 4 sebagai hasil kali matriks-matriks elementer, dan kemudian jelaskan efek geometrik dari perkalian oleh A dalam geseran kompresi, ekspansi, dan refleksi.
Pemecahan. A dapat direduksi kepada I sebagai berikut:
1 2 1 2 1 2 1 0 3 4 → 0 − 2 → 0 1 → 0 1 Tambahkan -3 kali baris pertama kepada baris ketiga
Kalikan baris kedua dengan 1/2
Tambahkan -2 kali baris kedua kepada baris pertama
Ketiga operasi baris yang berurutan tersebut dapat dilakukan dengan mengalikan dari sebelah kiri berturut-turut oleh 1 1 0 E1 = E2 0 − 3 1
0 1 − 2 1 E3 0 1 2
Dengan membalik matriks-matriks ini dan dengan menggunakan (5.15) maka akan menghasilkan
0 1 0 1 A = E1−1 E2−1 E3−1 = 3 1 0 − 2
1 2 0 1
Dengan membacanya dari kanan ke kiri dan dengan memperhatikan bahwa
1 0 1 0 0 − 2 = 0 − 1
1 0
0 2
maka jelaslah bahwa efek pengalian A akan ekivalen dengan :
1) Geseran oleh sebuah faktor sebesar 2 di dalam arah y, 2) kemudian mengekspansikannya dengan sebuah faktor sebesar 2 di dalam arah y, 3) kemudian merefleksikannya terhadap sumbu x, 4) kemudian menggesernya dengan sebuah faktor sebesar 3 di dalam arah y. Bukti untuk bagian-bagian dari teorema yang berikut dibicarakan di dalam latihan. Teorema 6. Jika T:R2
>
R2 adalah perkalian oleh sebuah matriks yang dapat dibalik,
maka: a) Bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus. b) Bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal. c) Bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar, d) Bayangan sebuah segmen garis yang berhubungan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q. e) Bayangan dari tiga titik akan terletak pada sebuah garis dab hanya jika titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis.
PERTANYAAN. Jelaslah dari bagian (c), (d), dan (e) bahwa perkalian dengan sebuah matriks A yang berukuran 2 x 2 dan yang dapat dibalik memetakan segitiga ke dalam segitiga dan memetakan paralelogram.
Contoh 28 Gambarlah bayangan sebuah sebuah bujur sangkar dengan titik-titik sudut P1 (0, 0), P2 (1, 0), P3 (0, 1), dan P4 (1,1) di bawah perkalian oleh: −1 2 A= 2 −1 Pemecahan. Karena 2 1 − 1 −1 2 0 0 −1 2 − 1 0 = 0 , 2 − 1 0 = 2 2 0 2 −1 2 1 1 −1 2 − 1 1 = −1 , 2 − 1 1 = 1 maka bayangan tersebut adalah sebuah paralelongram dengan titik-titik sudut (0, 0), (-1,2), (2, -1), dan (1,1)
Contoh 29 Menurut teorema 6, matriks yang dapat dibalik 3 A= 2
1 1
memetakan garis y = 2x + 1 ke dalam garis lain. Carilah persamaannya. Pemecahan. Misalkan (x, y) adalah sebuah titik pada garis y = 2x + 1 dan misalkan (x’ , y’ ) adalah bayangannya dibawah perkalian oleh A. Maka
dan
x ' 3 ' = y 2
1 1 −1
x y
y ' x 3 1 x 1 − 1 x = = y 2 1 ' −2 3 ' y y
sehingga x = x’ - y’ y = -2x’ + 3y’
Dengan mensubstitusikannya di dalam y = 2x + 1 maka akan menghasilkan -2x’ + 3y’ = 2(x’ - y’) + 1 atau secara okivalen y’ =
4 1 x'+ 5 5
jadi (x’ , y’) memenuhi y=
4 1 x+ 5 5
yang merupakan persamaan yang kita inginkan.
