Bab IV Studi Kasus dan Analisis

Bab IV Studi Kasus dan Analisis IV.1 Respon Modal dan Kriteria Penerimaan

Keakuratan respon modal dari model elemen hingga dengan massa yang terdistribusi seragam akan dilakukan untuk beberapa model struktur dimana besaran yang menjadi tolak ukur sensitivitas yaitu frekuensi natural, perpindahan modal dan faktor partisipasi modal. Untuk dapat mendapatkan gambaran sejauh mana meshing pada metoda elemen hingga ini memberikan hasil yang akurat terhadap model dengan massa yang terdistribusi seragam, akan dihitung persen perbedaan atau perbedaan relatif dari respon yang diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut, ⎛ FEM Result ⎞ Percent Difference = 100 × ⎜ − 1⎟ ..................................... (IV.1) ⎝ DSM Result ⎠ Acceptance Criteria yang digunakan untuk memvalidasi hasil dari model elemen

hingga yaitu bila persen perbedaan absolut kurang atau sama dengan 5% baik untuk frekuensi natural, perpindahan modal dan faktor partisipasi modal. Persen perbedaan yang lebih dari 100% akan dianggap sama dengan 100% dimana persen perbedaan 100% menunjukkan hasil FEM yang salah merepresentasikan respon yang sesungguhnya atau juga menunjukkan bahwa mesh yang diberikan tidak cukup untuk mendapatkan hasil yang akurat. Studi kasus pertama-tama akan dilakukan pada struktur balok dan kemudian struktur portal. Pada struktur balok akan dilakukan analisis untuk mengetahui apakah asumsi minimal 3xN elemen dimana N adalah mode yang ditinjau yang digunakan oleh program SAP2000 untuk memvalidasi hasil analisis modalnya, memenuhi kriteria penerimaan yang disyaratkan. Vibrasi portal berusaha untuk menjawab sejauh mana asumsi lumped mass yang umum digunakan pada analisis dinamik struktur bertingkat banyak akibat gempa dapat diterapkan dan apakah meshing perlu dilakukan.

45

IV.1.1 Vibrasi Balok

Pada verifikasi program, frekuensi natural dari balok Euler-Bernoully untuk beberapa kondisi perletakan sudah diberikan maka pada subbab ini akan dihitung juga mode shape dan faktor partisipasi modal dari balok untuk dibandingkan dengan hasil analisis berdasarkan metoda elemen hingga. Untuk consistent mass hanya frekuensi natural dan faktor partisipasi modal dari balok yang akan dibandingkan. Jumlah meshing terhadap model elemen hingga yang akan dianalisis yaitu berturut-turut adalah 1, 2, 3, 4, 3×N, 8, 16, 32, 64 dan 100 dimana N menunjukkan mode yang ditinjau. 3×N merupakan jumlah elemen minimum yang digunakan oleh SAP2000 untuk memvalidasi hasil analisis vibrasi terhadap frekuensi natural balok(1) karena itu akan ditinjau apakah syarat minimum ini juga valid untuk nilai faktor partisipasi modal dan perpindahan modal dimana untuk perpindahan modal hanya 3xN elemen yang akan ditinjau. a. Balok jepit-jepit Data yang digunakan sama dengan verifikasi dari program pada subbab III.2. Hasil lengkap perhitungan persen perbedaan dari frekuensi natural dan faktor partisipasi modal kesepuluh mode pertama untuk balok jepit-jepit ini diberikan berturut-turut pada tabel D1a dan D1b yang ada pada lampiran D. Berdasarkan ketiga tabel tersebut jelas dengan bertambahnya jumlah elemen, keakurasian respon modal berdasarkan metoda elemen hingga meningkat. Penulis tertarik untuk melakukan validasi terhadap jumlah minimum 3xN elemen yang ditetapkan oleh SAP2000 sebagai jumlah minimum elemen untuk analisis vibrasi namun perlu diketahui bahwa validasi hanya dilakukan terhadap frekuensi natural struktur padahal respon struktur terhadap beban dinamik tidak bergantung pada frekuensi natural saja namun juga mode shapes dan faktor partisipasi modal dari balok itu sendiri.

46

Tabel IV.1. Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Jepit (3xN Elemen) ω

PD - ω

Mode

Type

LM

CM

DSM

LM /DSM

CM /DSM

1

L-S

331.87

338.21

336.83

-1.47

0.41 0.20

2

L-A

924.25

930.32

928.50

-0.46

3

A-S

1630.0

1646.8

1638.4

-0.51

0.51

4

L-S

1818.8

1821.1

1820.2

-0.08

0.05 0.05

5

L-A

3006.3

3010.5

3008.9

-0.09

6

A-A

3260.0

3293.5

3276.8

-0.51

0.51

7

L-S

4492.6

4496.2

4494.8

-0.05

0.03

8

A-S

4883.3

4946.9

4915.3

-0.65

0.64

9

L-A

6275.6

6279.3

6277.9

-0.04

0.02

10 A-A 6505.3 6601.7 6553.7 -0.74 0.73 L-S = symmetrical lateral mode, L-A = antisymmetrical lateral mode, A-S = symmetrical axial mode dan A-A = antisymmetrical axial mode MPF (UZ)

PD - MPF (UZ)

Max Ф (UZ) DSM

PD – Ф

Mode

LM

CM

DSM

LM/DSM

CM/DSM

LM

LM/DSM

1

-1.315

1.209

1.338

-1.72

-9.61

0.951

0.986

-3.628 -0.944

2

0

0

0

0

0

0.927

-0.936

3

0

0

0

0

0

0

0

0

4

-0.585

0.573

-0.586

-0.10

-2.15

0.934

0.937

-0.22

5

0

0

0

0

0

0.935

-0.937

-0.28

6

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0.372

-0.367

0.373

-0.06

-1.58

0.939

0.939

-0.07

8

0

0

0

0

0

0

0

0 -0.03 0

9

0

0

0

0

0

-0.935

0.935

10

0

0

0

0

0

0

0

Dari tabel IV.1 dapat dilihat untuk 3xN elemen, model CM memberikan frekuensi natural yang lebih besar dari metoda eksak sedangkan model LM memberikan frekuensi natural yang lebih kecil dari metoda eksak namun baik LM dan CM memberikan persen perbedaan absolut yang lebih kecil dari 5% yang menunjukkan keakuratan minimum 3xN elemen dalam metoda elemen hingga untuk frekuensi natural. Akan tetapi seperti sudah dikemukakan di atas, frekuensi natural sendiri tidak bisa menjadi ukuran keakuratan dari respon total balok akibat beban luar karena respon total juga dipengaruhi oleh bentuk vibrasinya. Dari tabel IV.1 dan gambar IV.1a-e untuk bentuk vibrasi lateral dari balok jepit-jepit dapat dilihat bahwa 3xN elemen juga akurat untuk perpindahan modal maksimum maupun mode shape namun

47

tidak untuk faktor partisipasi modal. Hal ini jelas karena perhitungan mode shape yang dibuat dengan cubic polynomial menunjukkan bentuk mode shape yang tepat dengan nilai x yang cukup rendah sedangkan nilai faktor partisipasi modal hanya dihitung untuk eigen vector pada nodal-nodal yang diberikan sehingga akan memberikan perbedaan yang cukup besar seandainya meshing tidak diberikan dengan jumlah yang cukup banyak atau dengan kata lain yaitu meskipun perpindahan pada nodal menunjukkan nilai yang akurat namun nilai perpindahan antar nodal tidak menunjukkan hasil yang akurat, namun secara visual selisih perbedaan ini tidak dapat dilihat dari gambar modeshape yang diberikan. Untuk keperluan menjawab beberapa pertanyaan mengenai analisis dinamik struktur bertingkat banyak akibat gempa maka pada studi kasus balok jepit-jepit ini dapat dilihat keunik dimana balok ini memiliki titik simetri ditengah bentang dimana modes yang dihasilkan dapat simetri (eigenvector menunjukkan arah yang sama dikedua sisi terhadap titik simetri) dan antisimetri (eigenvector menunjukkan arah yang berlawanan dikedua sisi terhadap titik simetri). Sebagai contoh adalah mode-1 yang merupakan mode ke arah lateral dan simetri (L-S), mode-2 merupakan mode ke arah lateral yang antisimetri (L-A), mode-3 merupakan mode ke arah longitudinal yang simetri (A-S) dan mode-6 merupakan mode ke arah longitudinal yang antisimetri (AA). Jelas bahwa untuk mode yang antisimetri, nilai faktor partisipasi modal akan sama dengan nol atau hasil numerik memberikan nilai faktor partisipasi modal yang munuju nol karena vektor perpidahan yang saling meniadakan terhadap titik simetri akibatnya untuk respon balok terhadap gaya luar, mode yang antisimetri ini tidak akan tereksitasi oleh gaya luar tersebut. Dengan alasan ketidak akuratan dari faktor partisipasi modal maka untuk kasus ini sebaiknya lebih dari 3xN elemen diberikan untuk diskretisasi balok atau sebanyak mungkin selama tidak menyebabkan masalah numerik. Untuk itu pada kasus struktur balok dengan massa dan kekakuan yang terdistribusi

seragam,

penggunaan

metoda

kekakuan

dinamik

dapat

lebih

menguntungkan dari metoda elemen hingga karena metoda ini memberikan respon modal yang eksak tanpa perlu melakukan meshing.

48

BENDING BEAM MODE SHAPES (FIXED - FIXED) - MODE 1

1.25

phi(x) - mm

0.75 0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=3)

Gambar IV.1a. Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Jepit

BENDING BEAM MODE SHAPES (FIXED - FIXED) - MODE 2 1.25

phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=6)

Gambar IV.1b. Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Jepit

49

6000


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=12)

Gambar IV.1c. Mode Shape Mode 4 Balok Jepit-Jepit


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=15)

Gambar IV.1d. Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Jepit

50

6000


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=21)

Gambar IV.1e. Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Jepit b. Balok jepit-sendi Hasil lengkap perhitungan persen perbedaan dari frekuensi natural dan faktor partisipasi modal kesepuluh mode pertama untuk balok jepit-sendi ini diberikan berturut-turut pada tabel D2a dan D2b yang ada pada lampiran D. Gambar mode shapes lateral model LM dan metoda eksak untuk balok jepit-sendi dapat dilihat pada gambar IV.2a-e. Tabel IV.2. Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Sendi (3xN Elemen) ω

PD - ω

Mode

Type

LM

CM

DSM

LM /DSM

CM /DSM

1

L

231.06

232.58

232.12

-0.46

0.20

2

L

750.46

753.20

752.23

-0.24

0.13

3

L

1566.5

1571.2

1569.5

-0.19

0.11

4

A

1633.6

1643.1

1638.4

-0.29

0.29

5

L

2682.1

2685.0

2683.9

-0.07

0.04

6

A

3260.0

3293.5

3276.9

-0.51

0.51

7

L

4093.8

4096.5

4095.5

-0.04

0.02

8

A

4883.3

4946.9

4915.3

-0.65

0.64

9

L

5802.4

5805.4

5804.3

-0.03

0.02

10

A

6505.3

6601.7

6553.7

-0.74

0.73

51

MPF (UZ)

PD - MPF (UZ)

Max Ф (UZ) DSM

PD - Ф

Mode

LM

CM

DSM

LM/DSM

CM/DSM

LM

1

1.292

1.194

1.385

-6.70

-13.76

0.930

0.937

LM/DSM -0.82

2

-0.170

-0.177

0.133

27.67

32.88

0.937

0.939

-0.14

0.937

-0.05 0 -0.21

3

0.513

0.485

0.538

-4.69

-9.87

0.937

4

0

0

0

0

0

0

0

5

-0.082

-0.086

0.071

15.87

21.05

0.936

0.938

6

0

0

0

0

0

0

0

7

-0.326

-0.318

0.333

-2.17

-4.55

0.936

0.936

8

0

0

0

0

0

0

0

0 -0.03 0

9

0.053

0.055

0.048

10.61

14.94

-0.939

0.939

10

0

0

0

0

0

0

0

0 -0.05

Dari tabel IV.2 terlihat bahwa sama halnya dengan balok jepit-jepit respon modal dengan 3xN elemen untuk balok jepit sendi ini hanya akurat untuk frekuensi natural dan perpindahan modal maksimum. Perbedaan dari balok jepit-sendi ini yaitu tidak adanya titik simetri pada balok akibatnya tidak ada mode yang simetri ataupun antisimetri sehingga semua mode akan tereksitasi oleh gaya luar sesuai arah gerak yang bersangkutan karena nilai faktor partisipasi modalnya tidak sama dengan nol. Dengan demikian pada analisis vibrasi balok, jumlah elemen lebih dari 3xN harus diberikan untuk mendapatkan respon modal yang akurat. BENDING BEAM MODE SHAPES (FIXED - PINNED) - MODE 1 1.25

phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=3)

Gambar IV.2a. Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Sendi

52

6000

BENDING BEAM MODE SHAPES (FIXED - PINNED) - MODE 2 1.25

phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=6)

Gambar IV.2b. Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Sendi


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=9)

Gambar IV.2c. Mode Shape Mode 3 Balok Jepit-Sendi

53

6000


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=15)

Gambar IV.2d. Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Sendi


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=21)

Gambar IV.2e. Mode Shapes Mode 7 Balok Jepit-Sendi

54

6000

c. Balok jepit-bebas Hasil lengkap perhitungan persen perbedaan dari frekuensi natural dan faktor partisipasi modal kesepuluh mode pertama untuk balok jepit-bebas ini diberikan berturut-turut pada tabel D3a dan D3b yang ada pada lampiran D. Gambar mode shapes lateral model LM dan metoda eksak untuk balok jepit-bebas dapat dilihat pada gambar IV.7a-e. Balok jepit-bebas ini memberikan konsistensi hasil yang sedikit berbeda dari balokbalok dengan kondisi perletakan lainnya terutama untuk perpindahan modal maksimum dimana balok jepit-bebas menunjukkan nilai persen perbedaan lebih dari 5% pada beberapa mode seperti dapat dilihat pada tabel IV.3. Dengan demikian sangat disarankan bahwa untuk struktur balok, penggunaan lebih dari 3xN elemen dalam analisis vibrasi harus dilakukan untuk mendapatkan respon modal yang akurat. Struktur-struktur gedung merupakan representasi dari struktur kantilever, studi kasus balok jepit-bebas atau kantilever ini menunjukkan pentingnya membandingkan respon antara model elemen hingga dengan model eksak pada struktur portal dan akan diberikan pada subbab IV.1.2.

Tabel IV.3. Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Bebas (3xN Elemen) Ω

PD - ω

Mode

Type

LM

CM

DSM

LM /DSM

CM /DSM

1

L

50.366

52.940

52.934

-4.85

0.01

2

L

317.77

331.82

331.73

-4.21

0.03

3

A

818.10

820.25

819.21

-0.14

0.13

4

L

912.20

928.98

928.86

-1.79

0.01

5

L

1790.7

1820.6

1820.2

-1.62

0.02

6

A

2450.4

2464.7

2457.6

-0.29

0.29 0.01

7

L

2976.6

3009.3

3008.9

-1.07

8

A

4077.5

4114.4

4096.1

-0.45

0.45

9

L

4458.8

4495.3

4494.8

-0.80

0.01

10

A

5702.0

5766.6

5734.5

-0.57

0.56

55

MPF (UZ)

PD - MPF (UZ)

Max Ф (UZ) DSM

PD – Ф

Mode

LM

CM

DSM

LM/DSM

CM/DSM

LM

LM/DSM

1

1.235

1.248

1.261

-2.00

-1.01

1.189

1.242

-4.25

2

0.700

0.689

-0.699

0.17

-1.34

1.146

1.242

-7.73

3

0

0

0

0

0

0

0

0 -4.71 -9.23

4

0.410

0.406

0.410

-0.01

-0.83

1.184

1.242

5

-0.293

0.290

-0.293

-0.02

-1.14

1.128

1.242

6

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0.228

0.226

0.228

-0.01

-0.89

1.185

1.242

-4.65

8

0

0

0

0

0

0

0

0

9

-0.186

-0.185

-0.186

-0.01

-0.77

1.191

1.242

-4.10

10

0

0

0

0

0

0

0

0

5000

6000

BENDING BEAM MODE SHAPES (FIXED - FREE) - MODE 1 1.25

phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN = 3)

Gambar IV.3a. Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Bebas

56


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=6)

Gambar IV.3b. Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Bebas


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=12)

Gambar IV.3c. Mode Shape Mode 4 Balok Jepit-Bebas

57

6000


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=15)

Gambar IV.3d. Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Bebas


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=21)

Gambar IV.3e. Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Bebas

58

6000

d. Balok sendi-sendi Hasil lengkap perhitungan persen perbedaan dari frekuensi natural dan faktor perpindahan modal kesepuluh mode pertama untuk balok sendi-sendi ini diberikan berturut-turut oleh tabel D4a dan D4b yang ada pada lampiran D. Gambar mode shapes lateral model LM dan metoda eksak untuk balok sendi-sendi dapat dilihat pada gambar IV.4a-e.

Tabel IV.4. Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Sendi-Sendi (3xN Elemen) ω

PD - ω

Mode

Type

LM

CM

DSM

LM /DSM

CM /DSM

1

L-S

148.42

148.71

148.59

-0.11

0.08

2

L-A

593.67

594.84

594.36

-0.12

0.08

3

L-S

1335.7

1338.4

1337.3

-0.12

0.08

4

A-S

1633.6

1643.1

1638.4

-0.29

0.29

5

L-A

2376.3

2378.2

2377.4

-0.05

0.03

6

A-A

3260.0

3293.5

3276.9

-0.51

0.51 0.02

7

L-S

3713.5

3715.5

3714.7

-0.03

8

A-S

4883.3

4946.9

4915.3

-0.65

0.64

9

L-A

5347.8

5350.1

5349.2

-0.03

0.02

10

A-A

6494.2

6601.7

6553.7

-0.91

0.73

MPF (UZ)

PD - MPF (UZ)

Max Ф (UZ) DSM

PD - Ф

Mode

LM

CM

DSM

LM/DSM

CM/DSM

LM

1

-1.315

1.221

1.449

-9.30

-15.74

0.875

0.878

LM/DSM -0.43

2

0

0

0

0

0

0.875

0.878

-0.43

3

-0.438

0.407

-0.483

-9.30

-15.74

0.875

0.878

-0.41 0 -0.09

4

0

0

0

0

0

0

0

5

0

0

0

0

0

0.873

0.874

6

0

0

0

0

0

0

0

7

-0.276

0.266

-0.290

-4.70

-8.21

0.878

0.878

8

0

0

0

0

0

0

0

9

0

0

0

0

0

0.878

0.878

0 -0.05

10

0

0

0

0

0

0

0

0

59

0 -0.02

Pada tabel IV.1, IV.2, IV.3 dan IV.4 dapat dilihat bahwa untuk perpidahan modal maksimum, model elemen hingga dengan lumped mass memberikan nilai yang lebih kecil dari hasil eksak jadi nilainya konvergen dari bawah seiring bertambahnya jumlah elemen. Hal ini menunjukkan bahwa model lumped mass tidak memberikan hasil yang konservatif terhadap respon perpindahan modal pada balok. Berdasarkan hal ini, jumlah elemen yang digunakan sebaiknya ditentukan setelah beberapa kali iterasi yang menunjukkan tidak adanya perubahan nilai perpindahan modal yang signifikan.

BENDING BEAM MODE SHAPES (PINNED - PINNED) - MODE 1 1.25

phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=3)

Gambar IV.4a. Mode Shape Mode 1 Balok Sendi-Sendi

60

6000


phi(x) - mm

0.75

0.25

-0.25

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=6)

Gambar IV.4b. Mode Shape Mode 2 Balok Sendi-Sendi


phi(x) - mm

0.75

0.25 -0.25 0

1000

2000

3000

4000

5000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=9)

Gambar IV.4c. Mode Shape Mode 3 Balok Sendi-Sendi

61

6000


phi(x) - mm

0.75

0.25

-0.25

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=15)

Gambar IV.4d. Mode Shape Mode 5 Balok Sendi-Sendi


phi(x) - mm

0.75

0.25

-0.25

0

1000

2000

3000

4000

5000

-0.75

-1.25

x - mm EM

LM (3xN=21)

Gambar IV.4e. Mode shapes mode 7 balok sendi-sendi

62

6000

Rekapitulasi – Vibrasi Balok Beberapa butir penting yang dapat diambil dari studi kasus yang dilakukan terhadap struktur balok adalah sebagai berikut: 1. Meshing harus dilakukan pada saat analisis modal dengan menggunakan metoda elemen hingga hal ini dilakukan untuk dapat merepresentasikan distribusi massa/inersia yang kontinyu sepanjang balok. 2. Minimum 3xN elemen yang digunakan untuk memvalidasi hasil analisis vibrasi pada SAP2000 tidak dapat digunakan dengan alasan bahwa min 3xN elemen ini hanya valid untuk frekuensi natural namun dapat tidak akurat untuk faktor partisipasi modal maupun perpindahan modal seperti diperlihatkan pada contoh balok jepit-bebas. Untuk itu, lebih dari 3xN elemen harus diberikan agar mendapatkan respon modal yang akurat. Tidak ada aturan umum berapa jumlah maksimum elemen yang harus diberikan. Satusatunya cara yang terbaik adalah membagi balok menjadi elemen hingga yang cukup banyak (>>3xN) dan dengan beberapa kali iterasi dilakukan pengecekan perbedaan nilai dari respon modal yang bersangkutan sehingga tidak lagi mengalami perubahan. Tentu saja jumlah elemen tidak dapat diberikan terlalu banyak karena dengan jumlah elemen yang terlalu banyak, panjang elemen menjadi sangat kecil dan akibatnya kekakuan menjadi sangat besar yang dapat menimbulkan masalah pada analisis numerik seperti truncation error karena jumlah digit yang dapat direpresentasikan secara

numerik adalah terbatas. 3. Untuk balok yang memiliki titik simetri, akan ada dua jenis mode yang terjadi yaitu mode simetri dan mode antisimetri dimana yang terakhir tidak akan berkontibusi pada respon total dari balok akibat gaya luar karena nilai faktor partisipasi modalnya adalah nol sehingga tidak akan tereksitasi oleh gaya luar yang bekerja. Dilain pihak kedua jenis mode tersebut tidak ada pada balok yang tidak memiliki titik simetri sehingga semua mode dapat berkontibusi terhadap respon total yang ditinjau.

63

IV.1.2 Vibrasi Portal Bidang

Dari studi kasus pada struktur balok yang sudah dilakukan sebelumnya dapat dilihat bahwa makin tinggi mode, makin banyak jumlah elemen yang harus diberikan untuk mendapatkan respon modal yang akurat. Oleh karena itu pemahaman yang dapat muncul yaitu bahwa ukuran derajat kebebasan akan menjadi sangat banyak seandainya dianggap min. 3xN elemen harus diberikan ditiap member pada suatu struktur portal bertingkat yang memiliki jumlah lantai dan bentang cukup banyak bila metoda elemen hingga yang digunakan. Masalah yang akan timbul dengan jumlah derajat kebebasan yang banyak mencakup komputasi numerik dari analisis yang dilakukan serta penyimpanan data hasil analisis. Lalu bagaimana dengan prinsip pemodelan struktur portal bertingkat pada umumnya dengan menggunakan programprogram analisis struktur berbasis metoda elemen hingga. Apakah tidak dilakukannya mesh seperti yang menjadi kebiasaan para perencana struktur sekarang ini tanpa mengetahui asumsi-asumsi yang perlu diketahui akan menyebabkan hasil analisis menjadi salah?. Studi kasus pada struktur portal bidang ini berusaha menjawab pertanyaan yang menjadi tujuan tesis ini yaitu mengapa atau kapan meshing tidak perlu dilakukan? dan asumsi apa yang memungkinkan hal tersebut dapat dilakukan?. Keuntungan lainnya dengan memanfaatkan struktur yang simetris dan beraturan, jumlah derajat kebebasan dari struktur dapat direduksi. Untuk itu perlu diketahui dahulu apa yang menjadi ciri khas struktur bertingkat kebanyakan seperti gedung apartemen, perkantoran, mall, dll?. Struktur gedung seperti apartemen, perkantoran, mall dll memiliki dua ciri khas utama yaitu pertama semua struktur tersebut memiliki konsentrasi massa pada level lantai saja dan pelat lantai yang kaku pada bidangnya. Respon struktur sendiri sangat dipengaruhi oleh beam-to-column stiffness ratio. Untuk itu pada studi kasus struktur portal bidang ini, pengaruh dari rasio kekakuan dan rasio massa antara balok dan kolom akan menjadi variasi parameter untuk membandingkan respon modal dari elemen hingga dengan hasil eksak menggunakan

64

metoda kekakuan dinamik. Selain struktur portal yang simetris beraturan, struktur yang tidak simetris beraturan juga akan dianalisis. Pada pemodelan kondisi jepit-jepit diasumsikan pada perletakan untuk semua kasus dan karena program yang dibuat dengan metoda kekakuan dinamik tidak dapat memodelkan massa terkonsentrasi maka studi kasus yang dilakukan adalah hanya untuk massa yang terdistribusi seragam seandainya ada massa tambahan yang diperlukan. a. Portal 1 lantai-1 bentang Portal 1 lantai dan 1 bentang yang distudi dapat dilihat pada gambar IV.5 adapun data-data dimensi portal, penampang balok serta kolom dan properti material yang digunakan adalah sebagai berikut: panjang bentang

L = 6000 mm, tinggi lantai H =

3000 mm, E = 23500 MPa; ρ = 2400 kg/m3 = 2400 × 9.81 × 10-9 = 0.000023544 N/mm3.

H

L

Gambar IV.5. Model Portal 1 Lantai 1 Bentang

65

Untuk keperluan analisis, model dengan LM dan CM akan dibagi menjadi 1, 2, 3, 4, 5 dan 10 elemen tiap member. Analisis akan dilakukan untuk mengetahui pengaruh rasio kekakuan dan massa antara balok dan kolom terhadap sensitivitas keakuratan respon modal dari model LM dan CM.

•

Pengaruh rasio kekakuan balok dan kolom (Model K)

Untuk mengetahui pengaruh dari rasio kekakuan balok dan kolom maka pada studi kasus ini 5 buah model (K1-K5) seperti terlihat pada tabel di bawah dimana momen inersia dari balok di tingkatkan dari 0.1 s.d 100 kalinya. Hanya 5 mode pertama yang akan ditinjau pada hasil analisis. Member

K1

K2

K3

K4

K5

1

Ic

Ic

Ic

Ic

Ic

2

0.1 Ib

Ib

10 Ib

50 Ib

100 Ib

3

Ic

Ic

Ic

Ic

Ic

Hasil lengkap perhitungan persen perbedaan dari frekuensi natural, faktor partisipasi modal dan perpindahan modal kelima mode pertama untuk portal bidang 1 lantai dan 1 bentang dengan variasi kekakuan balok ini diberikan berturut-turut untuk model K1, K2, K3, K4 dan K5 oleh tabel-D5a-c, tabel D6a-c, tabel D7a-c, tabel D8a-c dan tabel D9a-c pada lampiran D. Dengan tujuan untuk menjelaskan apakah mesh harus diberikan pada struktur portal bidang untuk model elemen hingga baik CM dan LM maka tabel IV.5 memberikan gambaran pengaruh peningkatan rasio kekakuan balok terhadap kolom terhadap jumlah mesh minimum sedemikian sehingga untuk ketiga respon modal yang dianalisis, persen perbedaan absolutnya adalah kurang dari 5%.

66

Tabel IV.5. Jumlah Mesh Minimum Model K1 s.d K5 dengan Abs % Difference Kurang Dari 5% Num. Of Mesh K1

K2

K3

K4

K5

ω MPF Ф ω MPF Ф ω MPF Ф ω MPF Ф ω MPF Ф

1st Mode CM LM 2 3 2 3 2 3 1 2 2 1 1 2 1 2 2 4 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2

5th Mode CM LM 3 >5 >5 >5 >5 >5 3 4 4 4 3 4 3 2 5 >5 4 >5 2 4 5 >5 5 >5 2 3 4 >5 3 2

Dari tabel IV.5 tersebut terlihat bahwa CM secara garis besar memberikan hasil yang lebih baik dibanding LM baik untuk fundamental mode dan higher modes (diambil mode ke-5) dimana jumlah mesh minimum pada model K1 s.d K5 untuk ketiga besaran yang dianalisis adalah lebih kecil atau sama dengan LM kecuali untuk beberapa perkecualian yang dapat diabaikan. Menarik untuk diperhatikan bahwa walaupun model CM menunjukkan perpindahan modal yang akurat dilokasi yang ditinjau tanpa adanya mesh yang dilakukan pada fundamental mode namun nilai faktor partisipasi modalnya ternyata menunjukan hasil yang kurang akurat dan memerlukan mesh paling sedikit 2 elemen. Hal ini menunjukkan bahwa nilai perpindahan modal pada lokasi nodal sangat baik diberikan oleh CM namun nilai perpindahan modal antar nodal dapat menunjukkan hasil yang tidak akurat dan berpengaruh terhadap nilai faktor partisipasi modal yang merupakan total dari seluruh vektor perpindahan nodal yang ada dimana hal ini tidak tertangkap oleh model elemen hingga baik LM dan CM sendainya meshing tidak dilakukan. Alasan ketidakakuratan dari model elemen hingga dalam penentuan mode shape menurut

67

Cheng(5) disebabkan karena shape function balok Euler-Bernoully yang berdasarkan empat generalized coordinates yang digunakan untuk menurunkan matrik massa dan kekakuan balok pada metoda elemen hingga tidak cukup fleksibel untuk merepresentasikan bentuk vibrasi natural terutama untuk higher modes. Secara keseluruhan jelas terlihat peningkatan rasio kekakuan balok terhadap kolom tidak menunjukkan sensitivitas yang signifikan pada keakuratan hasil dari model elemen hingga baik pada fundamental mode dan higher modes. Namun perlu dikutip hasil analisis yang dilakukan oleh Ovunc(7) dimana peningkatan rasio kekakuan balok terhadap kolom memberikan akurasi yang lebih baik untuk consistent mass walaupun untuk studi kasus yang dilakukan tidak ada tren hasil yang mendukung pernyataan tersebut.

•

Pengaruh rasio massa balok dan kolom (Model M)

Untuk pengaruh rasio massa antara balok dan kolom, dimensi yang digunakan sama dengan model K2 namun massa dari balok ditingkatkan relatif terhadap massa kolom dimana massa kolom dibuat konstan sesuai tabel di bawah ini: Member

M1

M2

M3

M4

M5

1

swc

swc

swc

swc

swc

2

0.1 swb

swb

10 swb

50 swb

100 swb

3 swc swc swc swc Note: swb = self weight of beam; swc = self weight of column

swc

Hasil lengkap perhitungan persen perbedaan dari frekuensi natural, faktor partisipasi modal dan perpindahan modal kelima mode pertama untuk portal bidang 1 lantai dan 1 bentang dengan variasi massa balok ini diberikan berturut-turut untuk model M1, M2, M3, M4 dan M5 oleh tabel-D10a-c, tabel D11a-c, tabel D12a-c, tabel D13a-c dan tabel D14a-c pada lampiran D. Sama dengan model K, tabel IV.6 juga menampilkan jumlah mesh minimum yang diperlukan untuk struktur portal bidang ini seandainya rasio massa balok terhadap kolom ditingkatkan.

68

Tabel IV.6. Jumlah Mesh Minimum Model M1 s.d M5 dengan Abs % Difference Kurang Dari 5% Num. of Mesh M1

M2

M3

M4

M5

ω MPF Ф ω MPF Ф ω MPF Ф ω MPF Ф ω MPF Ф

1st Mode CM LM 1 3 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5th Mode CM LM 3 2 5 4 3 >5 3 4 4 4 3 4 3 4 >5 >5 >5 >5 3 >5 5 >5 5 >5 3 >5 5 >5 5 >5

Dari tabel IV.6 hasil yang sangat jelas terlihat yaitu untuk fundamental mode (1st mode), makin meningkatnya rasio massa balok terhadap kolom, baik model LM dan CM tidak memerlukan mesh. Namun tidak ada konsistensi yang sama untuk higher modes dan bahkan cenderung membutuhkan jumlah mesh yang makin banyak untuk higher modes pada model LM. Karena secara teoretis, semua mode dapat berkontribusi terhadap respon total maka seharusnya semua mode harus ditinjau pada saat analisis sehingga sesuai studi kasus untuk model M dimana lima buah mode yang harus ditinjau maka paling sedikit 5 elemen untuk CM dan >5 elemen untuk LM di tiap member harus diberikan saat analisis. Untungnya hal ini tidak benar karena kontribusi mode bergantung pada eksitasi beban luar dan untuk struktur akibat gempa horisontal, hanya mode yang berhubungan dengan vibrasi dari portal ke arah horisontal saja yang akan memberikan kontribusi terhadap respon total dan dalam hal ini mode ke-5 model M5 dari portal di atas adalah mode yang antisimetri pada arah horisontal terhadap sumbu simetri portal sehingga memberikan nilai faktor partisipasi

69

modal sama dengan nol pada arah horisontal (UX) seperti dapat dilihat pada tabel D14b dan tidak akan tereksitasi oleh beban gampa horisontal tersebut sehingga dapat diabaikan pada analisis.

•

Ragam getar yang tereksitasi

Dari penjelasan di atas jelas terlihat bahwa tidak semua mode tereksitasi seperti dapat dilihat dari nilai faktor partisipasi modalnya. Dalam hal analisis struktur akibat gempa horisontal, nilai MPF (UX) tentunya menjadi patokan. Kalau pada struktur balok dapat dilihat bahwa untuk balok satu bentang yang simetris akan terdapat 2 jenis mode yang bekerja yaitu mode simetri dan mode antisimetri dimana dengan meninjau vibrasi longitudinal dan lateral akan ada 4 buah mode yang mungkin terjadi yaitu: 1. Symmetrical lateral mode 2. Antisymmetrical lateral mode 3. Symmetrical axial mode 4. Antisymmetrical axial mode Keempat mode tersebut adalah independen satu terhadap yang lain. Namun untuk struktur portal bidang yang simetris dan beraturan bentuk mode menjadi sangat komplek dan akan timbul deformation coupling antara vektor UX dan UZ. Akan tetapi hanya dua bentuk mode natural yang mungkin terjadi pada struktur portal bidang 1 lantai 1 bentang yang simetris dan beraturan seperti dapat dilihat pada gambar IV.6a dan b.

70

−v +v

−v +v

−u +u

+u −u

Gambar IV.6a. Antisymmetrical UX – Symmetrical UZ Mode

−v +v

+v −v

−u +u

−u +u

Axis of Symmetry

Gambar IV.6b. Symmetrical UX – Antisymmetrical UZ Mode

71

Akibatnya mode-mode tersebut berdiri secara independen dimana MPF(UX) memiliki nilai tetapi MPF(UZ) sama dengan nol untuk bentuk mode seperti gambar IV.6b dan MPF(UZ) memiliki nilai tetapi MPF(UX) sama dengan nol untuk bentuk mode seperti gambar 10a. Hal ini tentunya tepat hanya jika struktur portal tersebut adalah simetris dan beraturan sehingga eigenvector pada kedua sisi dari sumbu simetri akan memiliki nilai dan arah yang sama untuk mode simetri dan nilai yang sama namun arah yang berbeda untuk mode yang antisimetri. Dalam hubungannya dengan respon struktur akibat gempa horisontal maka hanya bentuk mode yang berhubungan dengan gambar IV.6b saja yang akan berkontribusi pada respon total. Oleh karena sifat dari mode-mode yang independen tersebut, struktur yang simetris dan beraturan akibat gempa gempa dapat dimodelkan dengan idealisasi rigid frame dimana semua titik pada level lantai yang sama dianggap bergerak sebagai suatu badan kaku. Hal ini dimungkinkan karena balok dianggap jauh lebih kaku kearah longitudinalnya atau pada struktur gedung 3D, pelat lantai dianggap sangat kaku pada bidangnya dibanding kekakuan lateral dari portal. b. Portal 3 lantai-3 bentang Studi kasus portal bidang 1 lantai 1 bentang menunjukkan bahwa tidak semua mode berkontribusi pada respon total dan mode-mode yang berhubungan dengan antisymmetrical UX pada struktur portal yang simetris beraturan tidak akan tereksitasi oleh beban gempa horisontal karena memiliki nilai faktor partisipasi modal sama dengan nol sehingga struktur dapat dimodelkan sebagai rigid frame atau portal dengan diafragma yang kaku pada bidangnya. Studi kasus kali ini berusaha menunjukkan bahwa mode-mode yang dominan pada struktur portal bertingkat simetris dan beraturan hanya dominan pada tiga mode pertama yang berhubungan dengan symmetrical UX mode dimana ketiga mode ini berhubungan dengan goyangan samping portal atau frame sidesway mode. Pada studi kasus untuk struktur portal bidang 3 lantai dan 3 bentang ini juga akan divariasikan rasio kekakuan dan massa balok terhadap kolom yang dibagi menjadi 3 model seperti diberikan oleh tabel di bawah ini.

72

Stiffness Ib 10 Ib 100 Ib

Mass Sw 10 sw 100 sw

Model A B C

Struktur yang akan distudi adalah seperti terlihat pada gambar IV.7. Modulus elastisitas dan massa jenis material yang digunakan disamakan dengan studi kasus sebelumnya dan karena struktur adalah simetris dan beraturan, sumbu simetri akan terletak pada tengah bentang balok.

Gambar IV.7. Model Portal 3 Lantai 3 Bentang

Pemodelan portal dilakukan sebagai flexible frame dimana semua derajat kebebebasan akan diperhitungkan. Model rigid frame dengan mengabaikan deformasi aksial kolom akan dilakukan kemudian untuk menjelaskan bahwa mode pada arah horisontal yang dominan terhadap respon struktur dengan rasio massa balok terhadap kolom yang besar adalah tiga mode dari model rigid frame yang berhubungan dengan sidesway dari portal dan mode-mode yang lain tidak akan berkontribusi secara signifikan terhadap respon struktur akibat gempa horisontal.

73

•

Model A

Hasil lengkap perhitungan persen perbedaan dari frekuensi natural, faktor partisipasi modal dan perpindahan modal kesepuluh mode pertama model A ini diberikan berturut-turut oleh tabel-D15a, D15b dan D15c pada lampiran D. Dari ketiga tabel tersebut sangat jelas terlihat bahwa respon modal hanya akurat untuk fundamental mode (1st mode) saja dan untuk ketiga besaran yang dianalisis, model CM menunjukkan akurasi yang lebih baik dari LM. Dua kemungkinan mode seperti dijelaskan pada studi kasus portal 1 bentang 1 lantai akan disebut sebagai kategori A untuk symmetrical UX – antisymmetrical UZ dan kategori B untuk antisymmetrical UX – symmetrical UZ dimana kedua kategori ini juga berlaku untuk struktur dengan jumlah lantai dan bentang yang lebih banyak. Tabel IV.7 menunjukkan bahwa tanpa dilakukan mesh (M=1), model elemen hingga baik LM dan CM dapat memberikan kategori mode yang berbeda dari metoda eksak untuk mode ke-4 dst dimana mode ke-i yang dihitung dengan metoda eksak dapat muncul pada mode ke-j pada model elemen hingga. Namun dapat dilihat bahwa ketiga mode pertama menunjukkan kategori yang sama dengan hasil eksak dimana ketiga mode ini berhubungan dengan frame sidesway mode walaupun untuk mode ke-2 dan mode ke-3, baik LM dan CM menunjukkan akurasi yang buruk terutama nilai faktor partisipasi modalnya. Hal ini terjadi karena kekakuan arah lateral portal lebih rendah dibanding kekakuan arah vertikal portal. Tabel IV.7. Kategori, MPF(UX) dan % Diff erence MPF(UX) Model A Mode 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

DSM A A A B B A B A B B

Kategori CM A A A B B A B B A A

LM A A A B A B A B B B

DSM 6.302 -1.244 -0.495 0 0 0.142 0 0.174 0 0

MPF UX CM 6.165 0.978 -0.261 0 0 0.016 0 0 -0.040 -0.018

74

LM -6.257 -1.007 -0.264 0 -0.0014 0 -0.007 0 0 0

% Diff MPF (UX) DSM/CM DSM/LM -2.18 -0.72 -21.38 -19.03 -47.32 -46.74

Untuk membuktikan bahwa model elemen hingga akan memberikan hasil yang akurat seandainya meshing dilakukan dapat dilihat pada tabel IV.8 untuk model A dimana dari perbandingan antara metoda eksak dengan LM dengan jumlah elemen M=30 tiap member menunjukkan hasil yang sangat akurat terhadap hasil eksak untuk ketiga respon modal yang dianalisis. Hal ini tentu saja karena dengan M=30, massa/inersia sepanjang balok dapat direpresentasikan secara kontinyu sepanjang member.

Tabel IV.8. Perbandingan Antara Model Lumped mass dan Kekakuan Dinamik dengan Jumlah Mesh 30 Elemen untuk Model A

Mode

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FEM LM

DSM

FEM LM

ω (rad/s)

ω (rad/s)

MPF (UX)

MPF (UZ)

MPF (UX)

MPF (UZ)

13.715 49.849 92.966 160.47 173.06 175.37 179.77 187.98 194.81 199.77

13.716 49.853 92.975 160.48 173.07 175.38 179.78 187.99 194.82 199.79

-6.303 1.244 -0.495 0 0 0.142 0 0.174 0 0

0 0 0 0.946 0.698 0 -5.399 0 -1.394 0.786

6.302 -1.244 -0.495 0 0 0.142 0 0.174 0 0

0 0 0 0.947 0.699 0 5.399 0 1.392 0.786

DSM

FEM

DSM

LM Modal Disp (UX) Node-8

Modal Disp(UX) Node-12

Modal Disp (UX) Node-16

Modal Disp (UX) Node-8

Modal Disp(UX) Node-12

Modal Disp(UX) Node-16 0.1883

0.1251

0.1683

0.1883

0.1251

0.1683

-0.2025

-0.0173

0.2036

-0.2025

-0.0173

0.2036

0.1193

-0.2225

0.1529

-0.1193

0.2226

-0.1530

75

•

Model B

Pada model B, baik kekakuan dan massa balok ditingkatkan menjadi 10× dari model A. Hasil lengkap perhitungan persen perbedaan dari frekuensi natural, faktor partisipasi modal dan perpindahan modal kesepuluh mode pertama model B ini diberikan berturut-turut oleh tabel-D16a, D16b dan D16c pada lampiran D. Namun sama dengan model A, untuk mode 4 ke atas, model elemen hingga dapat salah menunjukkan arah mode atau lokasi mode

Tabel IV.9. Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model B Mode 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

DSM A A A B A B B B A B

Kategori CM A A A B A B B B B A

LM A A A B A B A B B B

DSM 15.723 1.979 -0.500 0 -0.001 0 0 0 -0.067 0

MPF UX CM 15.661 -1.880 -0.437 0 -0.001 0 0 0 0 0.011

LM -15.698 1.894 0.438 0 -0.008 0 -0.024 0 0 0


Tabel IV.9 menunjukkan peningkatan yang signifikan pada ketiga mode pertama yang merupakan sidesway mode dari portal. Hal ini konsisten dengan studi kasus portal 1 lantai dimana meningkatnya rasio massa balok terhadap kolom akan meningkatkan akurasi dari respon modal untuk sidesway modes serta menunjukkan nilai faktor partisipasi modal yang makin besar namun untuk mode ke-3 walau terjadi peningkatan akurasi, faktor partisipasi modal yang dihitung masih kurang akurat bila meshing tidak dilakukan.

76

•

Model C

Pada model C, baik kekakuan dan massa balok ditingkatkan menjadi 100× dari model A. Hasil lengkap perhitungan persen perbedaan dari frekuensi natural, faktor partisipasi modal dan perpindahan modal kesepuluh mode pertama model C ini diberikan berturut-turut oleh tabel-D17a, D17b dan D17c pada lampiran D. Tabel IV.10. Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model C Mode 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

DSM A A A B A B B B B B

Kategori CM A A A B A B B B B B

LM A A A B A B B B B B

DSM 48.154 5.514 -1.271 0 0.060 0 0 0 0 0

MPF UX CM 48.134 -5.483 -1.252 0 0.056 0 0 0 0 0

LM 48.150 5.488 1.252 0 0.070 0 0 0 0 0


Model C yang paling tepat untuk merepresentasikan struktur pada umumnya dimana massa terkonsentrasi pada level lantainya saja menunjukan keakuratan hasil untuk sidesway modes (1st – 3rd mode). Konsisten dengan model A dan B dimana terjadi peningkatan yang signifikan keakuratan dari respon modal dan semua respon modal memberikan persen perbedaan absolut kurang dari 5% baik untuk mode ke-3. Dari tabel IV.10 dapat dilihat bahwa model elemen hingga baik LM dan CM memberikan arah mode yang benar seperti ditunjukkan pada kolom kategori. Namun hasil ini tidak bisa dijadikan patokan keakuratan hasil karena ternyata frekuensi natural dan faktor partisipasi modal pada beberapa mode di atas mode ke-3 menunjukkan persen perbedaan absolut yang lebih dari 5%. Hal ini menunjukkan bahwa untuk higher modes, model elemen hingga memerlukan meshing untuk mendapatkan respon modal yang akurat akan tetapi respon modal yang akurat tidak menjadi prinsip-prinsip pemodelan struktur akibat gempa horisontal karena hanya mode-mode yang dominan dan yang tereksitasi oleh beban gempa saja yang seharusnya menjadi perhatian dan harus diperhitungkan dalam analisis.

77

•

Sidesway mode

Sidesway mode menjadi perhatian dalam perencanaan struktur akibat gempa horisontal karena pada umumnya mode tersebut yang dapat menimbulkan potensi kerusakan paling besar pada struktur. Untuk struktur portal yang simetris dan beraturan mode-mode tersebut akan memberikan kontribusi yang paling dominan dari respon total karena memiliki nilai faktor partisipasi modal yang paling besar dibanding mode-mode dengan kategori A lainnya. Jelas secara intuisi sidesway modes akan memberikan nilai faktor partisipasi modal yang lebih besar dibandingkan mode-mode yang lain e.g local modes, mixed modes dan modes dengan kategori B karena MPF(UX) merupakan jumlah dari semua vektor perpindahan dikalikan massanya pada arah horisontal seperti dapat dilihat untuk mode 1, 2 dan 3 pada tabel IV.10 untuk model C. Menarik untuk dianalisis juga bahwa mode ke-5 seperti dilihat pada tabel IV.10 memberikan nilai MPF(UX) = 0.06 berdasarkan metoda eksak. Walaupun demikian, mode ke-5 bukan merupakan sidesway mode maupun mode dengan kategori B karena tidak menunjukkan antisymmetrical mode pada arah UX melainkan mode dengan kategori A namun perpindahan arah UX nya sangat kecil dan vektor arah UZ-nya antisimetri seperti ditunjukkan pada gambar IV.8. Mode ini tidak dianggap sebagai sidesway mode.

Gambar IV.8. Mode ke-5 dari Portal 3 Lantai dan 3 Bentang

78

•

Rigid frame

Dari analisis yang sudah dilakukan sebelumnya terhadap mode shapes dari suatu portal bidang yang simetris dan beraturan, diperoleh bahwa hanya mode dengan kategori A yang perlu diperhatikan dalam analisis dinamik struktur akibat gempa horisontal. Mode yang simetris pada arah horisontal ini sendiri hanya dominan pada sidesway modes yang berjumlah sama dengan jumlah lantai struktur dan untuk struktur portal yang simetris dan beraturan, fundamental mode yang akan memberikan konstribusi paling dominan pada respon struktur. Pemahaman ini memungkinkan untuk melakukan idealisasi rigid frame pada analisis dimana hanya mode pada arah UX yang simetris saja yang akan diperhitungkan dalam analisis. Lebih lanjut lagi diasumsikan bahwa defleksi dari balok tidak bergantung pada deformasi aksial kolom. Asumsi ini menganggap bahwa deformasi aksial pada kolom adalah tidak signifikan. Rigid frame dengan balok fleksibel Portal dengan balok yang fleksibel dilakukan untuk model A namun massa dari balok dikalikan 100. Model A yang dimodifikasi tanpa diskretisasi ini akan dibandingkan dengan hasil dari metoda eksak untuk sidesway modes yang diberikan pada tabel IV.11.

Tabel IV.11. Respon Modal Sidesway Modes Rigid Frame dengan Balok Fleksibel Ω

MODE 1

MODE

PD

MPF(UX)

PD

LM

DSM

%

LM

DSM

%

1.742

1.738

0.25

-47.775

47.758

0.04

2

6.230

6.201

0.47

-7.902

8.017

-1.43

3

11.257

11.222

0.31

2.291

-2.346

-2.37

Φ-8

PD

Φ-12

PD

Φ-16

PD

LM

DSM

%

LM

DSM

%

LM

DSM

%

1

0.0157

0.0156

0.30

0.0212

0.0212

0.06

0.0241

0.0241

-0.20

2

0.0266

0.0266

0.10

0.0062

0.0063

-1.52

-0.0229

-0.0229

0.26

3

-0.0177

-0.0177

-0.05

0.0279

0.0277

0.60

-0.0131

-0.0130

0.90

79

Dapat dilihat pada tabel IV.11, idealisasi ini menunjukkan hasil yang sangat akurat dengan demikian untuk kasus ini deformasi aksial pada kolom tidak menunjukan pengaruh terhadap respon portal ke arah lateral untuk sidesway modes.

Rigid frame dengan balok kaku Portal dengan balok yang kaku merupakan karakteristik dari model C. Model C tanpa diskretisasi ini akan dibandingkan dengan hasil dari metoda eksak untuk sidesway modes yang diberikan pada tabel IV.12.

Tabel IV.12. Respon Modal Sidesway Modes Rigid Frame dengan Balok Kaku Ω

MODE 1

MODE

PD

MPF(UX)

PD

LM

DSM

%

LM

DSM

%

2.002

1.738

15.20

-48.163

47.758

0.85

2

7.429

6.201

19.81

-5.376

8.017

-32.94

3

12.081

11.222

7.65

-1.246

-2.346

-46.90

Φ-8

PD

Φ-12

PD %

Φ-16

LM

DSM

%

LM

DSM

LM

1

0.0174

0.0156

11.24

0.0211

0.0212

-0.68

2

0.0265

0.0266

-0.25

0.0036

0.0063

-42.33

3

0.0161

-0.0177

-9.06

-0.0283

0.0277

2.34

0.0139

PD DSM

%

0.0230

0.0241

-4.63

-0.0235

-0.0229

2.69

-0.0130

6.78

Model C merupakan representasi dari shear buildings. Karena balok yang kaku, kekakuan lateral dari portal meningkat sehingga meningkatkan frekuensi natural dari portal. Gambar IV.9 juga menunjukkan bahwa rasio kekakuan balok terhadap kolom menunjukkan pengaruh pada mode shape dari struktur.

80

SIDESWAY OF MODE 1

SIDESWAY OF MODE 3

SIDESWAY OF MODE 2 16000

16000

12000

12000

12000

Z - mm

Z - mm

Z - mm

16000

8000

8000

8000

4000

4000

4000

0 0

1000

2000

0 -2000

0

2000

0 -2000

0

2000

Φ (x 60000) - mm

Φ (x 60000) - mm

Φ (x 60000) - mm

Rigid Girders

Rigid Girders

Rigid Girders

Flexible Girders

Flexible Girders

Flexible Girders

Gambar IV.9. Sidesway Modes Portal 3 Lantai-3 Bentang dengan Rigid dan Flexible Girder

Dengan membandingkan rigid frame dengan balok kaku terhadap hasil eksak jelas terlihat bahwa fleksibilitas dari balok dapat memberikan pengaruh yang signifikan terhadap respon modal seperti terlihat pada tabel IV.12 sehingga untuk meningkatkan akurasi dari respon modal, fleksibilitas balok harus diperhitungkan. Idealisasi shear building sendiri dapat digunakan seandainya balok jauh cukup kaku kearah lateralnya. •

Kondensasi statik untuk model lumped mass

Dari analisis sebelumnya dapat dilihat bahwa sidesway modes merupakan mode yang dominan dalam menentukan respon total pada struktur dan fleksibilitas dari balok harus diperhitungkan seandainya balok tidak cukup kaku dibandingkan kolom untuk struktur portal dengan idealisasi rigid frame. Idealisasi rigid frame ini dengan mengabaikan deformasi aksial pada kolom akan mereduksi jumlah derajat kebebasan dari struktur. Coupling antara derajat kebebasan rotasi dengan translasi sendiri akan

81

memberikan mode dengan kategori A pada mode-mode yang tinggi sehingga mode dengan kategori A ini seharusnya juga tereksitasi oleh beban gempa horisontal. Namun untuk struktur kebanyakan mode ini dapat diabaikan karena bukan merupakan sidesway modes yang akan memberikan kontribusi dominan terhadap respon total. Mode-mode ini dapat diabaikan dalam analisis dengan melakukan kondensasi statik dimana derajat kebebasan rotasi yang memberikan massa nol dieliminasi yang sesuai dengan asumsi lumped mass. Jadi pada struktur berlantai banyak akibat gempa horisontal untuk model elemen hingga dengan kondensasi statik, jumlah derajat kebebasan dapat direduksi hingga mencapai jumlah lantainya. c. Portal 10 lantai-3 bentang Pada studi kasus portal 3 lantai-3 bentang terlihat bahwa sidesway modes dari portal dengan idealisasi rigid frame menggunakan metoda elemen hingga memberikan hasil yang akurat untuk respon modal dari ketiga mode pertama struktur yang dimodelkan sebagai flexible frame baik menggunakan metoda elemen hingga dan kekakuan dinamik. Studi kasus kali ini akan menyelidiki apakah konsistensi yang sama juga berlaku untuk kasus yang lain dalam hal ini struktur portal 10 lantai-3 bentang dengan beban dan dimensi penampang yang direncanakan sesuai kondisi nyata. Dua jenis sistem akan dianalisis yaitu portal A tanpa dinding geser dan portal B dengan dinding geser seperti terlihat pada gambar IV.10. Perhitungan persen perbedaan akan dilakukan untuk nilai frekuensi natural dan faktor partisipasi modal arah UX dari model elemen hingga dengan idealisasi rigid frame terhadap model elemen hingga dan metoda kekakuan dinamik dengan idealisasi flexible frame. Modulus elastisitas dan massa jenis dari material yang digunakan sama dengan contoh-contoh sebelumnya. Beban tambahan yang diberikan adalah DL = 1000 kg/m3 dan LL = 1200 kg/m3

82

Gambar IV.10. Model Portal 10 Lantai - 3 Bentang (Portal A – Portal Tanpa Dinding Geser dan Portal B – Portal Dengan Dinding Geser)

Dari tabel IV.13a terlihat bahwa idealisasi rigid frame untuk portal-A tanpa dinding geser dengan menggunakan model elemen hingga memberikan respon yang akurat untuk kesepuluh sidesway modes terhadap model elemen hingga dengan idealisasi flexible frame. Namun perbedaan terhadap metoda kekakuan dinamik dengan idealisasi flexible frame menunjukkan ketidakakuratan dari nilai MPF(UX) untuk mode ke-9 dan 10. Hal ini perlu diperhatikan bila higher sidesway modes menunjukkan kontribusi yang dominan terhadap respon total.

83

Tabel IV.13a. Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal-A Mode 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FLEXIBLE FRAME FEM(LM) DSM ω MPF(UX) ω MPF(UX) 21.257 4.4010 -21.255 4.402 -8.427 11.273 -8.433 11.278 5.688 20.043 -5.685 20.050 3.772 26.602 -3.769 26.645 -3.761 34.666 -3.742 34.718 2.172 39.352 -2.209 39.536 -2.926 48.342 -2.931 48.412 -1.929 60.708 -1.884 60.772 71.324 90.805

-1.014 2.798

71.656 90.904

Percent Difference % Mode

FEM(RF)/FEM(FF)

-0.758 1.972

RIGID FRAME FEM(LM) ω MPF(UX) 4.4760 21.325 11.360 8.272 20.088 5.667 26.664 3.771 34.726 -3.737 39.385 2.204 48.401 2.935 60.719 1.916 71.484 -1.019 91.118 -2.799

Percent Difference % FEM(RF)/DSM(FF)

PD-ω

PD-MPF(UX)

PD-ω

1

1.70

0.33

1.69

PD-MPF(UX) 0.32

2

0.77

-1.91

0.72

-1.83

3

0.22

-0.32

0.19

-0.36

4

0.23

0.04

0.07

-0.03

5

0.17

-0.14

0.02

-0.64

6

0.08

-0.25

-0.38

1.45

7

0.12

0.14

-0.02

0.32

8

0.02

1.68

-0.09

-0.68

9

0.22

0.55

-0.24

34.43

10

0.34

0.03

0.24

41.93

Tabel IV.13b. Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal-B Mode 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FLEXIBLE FRAME FEM(LM) DSM ω MPF(UX) ω MPF(UX) 21.407 4.7830 -21.406 4.7840 -8.391 13.175 -8.409 13.175 5.752 23.835 5.769 23.766 4.140 35.232 -4.166 34.958 -1.987 47.659 -2.652 46.645 3.004 48.197 -2.449 47.600 2.382 62.282 -2.683 61.517 73.198 87.765 118.22

2.159 2.033 2.656

72.177 87.372 119.861

84

1.534 1.456 2.671

RIGID FRAME FEM(LM) ω MPF(UX) 4.8902 21.491 13.416 -8.182 24.034 -5.743 35.774 4.174 49.271 -3.589 66.09 2.838 82.077 -2.249 102.25 -2.160 127.81 -1.681 153.41 -2.505


FEM(RF)/FEM(FF)


PD-ω

PD-MPF(UX)

PD-ω

1

2.24

0.40

2.22

PD-MPF(UX) 0.39

2

1.83

-2.70

1.83

-2.49

3

0.83

-0.45

1.13

-0.17

4

1.54

0.18

2.33

0.82

5

3.38

35.31

5.63

80.65

6

37.12

15.91

38.85

-5.51

7

31.78

-16.19

33.42

-5.60

8

39.69

0.06

41.67

40.80

9

45.63

-17.35

46.28

15.46

10

29.77

-5.68

27.99

-6.21

Kebanyakan literatur membandingkan asumsi rigid frame ataupun rigid floor dari model elemen hingga dengan flexible frame atau flexible floor dari model elemen hingga juga. Hal ini menjadi tidak konsisten karena model flexible frame dengan metoda elemen hingga yang dilakukan tanpa adanya meshing akan memberikan hasil yang tidak akurat dengan makin banyaknya mode yang ditinjau seperti sidesway mode ke-9 dan 10. Namun walaupun persen perbedaan yang diberikan tidak akurat untuk mode ke-9 dan 10, kedua mode mungkin tidak memberikan kontribusi yang signifikan pada respon total sehingga idealisasi rigid frame dengan metoda elemen hingga dapat diterima untuk struktur portal tanpa dinding geser. Pengaruh dari higher modes terhadap respon total dapat menjadi topik penelitian tersendiri terutama bila dibandingkan dengan hasil dari metoda kekakuan dinamik. Untuk itu studi lanjut terhadap analisis gempa berdasarkan metoda kekakuan dinamik sangat diperlukan. Tabel IV.13b memberikan hasil yang berbeda untuk portal dengan dinding geser. Terlihat bahwa idealisasi rigid frame hanya memberikan respon modal yang akurat untuk keempat mode yang pertama. Sidesway modes yang lain menunjukkan persen perbedaan yang sangat besar sehingga untuk portal dengan dinding geser, idealisasi rigid frame tidak tepat untuk digunakan. Hasil yang diperoleh ini konsisten dengan hasil studi dari Ju dan Lin(23) dimana untuk struktur 3D yang dianalisis menunjukkan asumsi rigid floor/rigid frame akan memberikan respon yang tidak akurat seandainya struktur portal dikombinasikan dengan dinding geser.

85

d. Portal bidang dengan ketidakberaturan vertikal Analisis terhadap struktur portal bidang 10 lantai-3 bentang sebelumnya menunjukkan bahwa idealisasi rigid frame memberikan respon yang akurat untuk struktur portal tanpa dinding geser atau portal A walaupun higher sidesway modes memberikan nilai faktor partisipasi modal yang tidak akurat dari portal A terhadap respon dari metoda kekakuan dinamik. Portal A sendiri adalah struktur yang simetris beraturan, untuk itu pada studi kasus kali ini, ketidakberaturan vertikal dari struktur portal tanpa dinding geser akan ditinjau. Studi kasus ini akan mencoba menganalisis pengaruh ketidak beraturan vertikal pada struktur portal bidang tanpa dinding geser. Struktur portal yang distudi adalah portal A dengan tambahan bentang di lantai-lantai bawahnya seperti ditunjukkan pada gambar IV.11. Struktur seperti tergambar merupakan konfigurasi struktur yang kadang ditemukan pada praktik yang disebut struktur dengan vertical setbacks (A/L > 0.25). Ketidak beraturan vertikal juga dapat berasal dari soft story dan weak columnstrong beam namun untuk studi ini kedua jenis ketidak-beraturan vertikal ini tidak

akan dibahas. Dimensi penampang yang diberikan disesuaikan dengan kondisi nyata yang tentunya untuk pembebanan normal akan mampu menahan beban gravitasi. Adapun beban tambahan yang diberikan yaitu beban mati (DL) = 1000 kgf/m dan beban hidup (LL) = 1200 kgf/m. Sidesway modes untuk kasus struktur yang tidak simetris dan tidak beraturan pada model dengan idealisasi flexible frame sulit untuk diidentifikasi karena faktor partisipasi modal yang tidak lagi independen. Sehingga identifikasi dari sidesway modes pada idealisasi flexible frame lebih kepada mode shape yang ’mostly horizontal’ atau ’mostly vertical’ walaupun tidak selalu akurat. Tentunya untuk struktur portal yang dibebani gempa horisontal, mode shape yang ’mostly horizontal’ yang perlu diperhatikan.

86

Gambar IV.11. Model Portal 10 Lantai Tidak Simetris dengan Vertical Setbacks

Tabel IV.14 menunjukkan bahwa model elemen hingga dengan idealisasi rigid frame memberikan hasil yang tidak akurat terutama untuk nilai faktor partisipasi modal pada higher sidesway modes untuk struktur yang distudi ini walaupun tidak terdapat dinding geser. Selisih perbedaan cenderung sangat besar terhadap flexible frame untuk DSM dibanding flexible frame untuk FEM. Hal ini konsisten dengan analisisanalisis sebelumnya dimana metoda elemen hingga tanpa adanya mesh dari member individu tidak cukup fleksibel dalam menangkap bentuk vibrasi sepanjang member yang jelas memiliki pengaruh terhadap nilai faktor partisipasi modal.

87

Tabel IV.14. Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal dengan Vertical Setbacks FLEXIBLE FRAME Mode 1

FEM(LM)

RIGID FRAME

DSM

ω

MPF(UX)

ω

6.2912

21.651

FEM(LM) ω

MPF(UX)

6.2920

MPF(UX) 21.651

6.3735

-21.767

13.993

10.456

2

13.798

-10.658

13.802

-10.648

3

25.905

-7.887

25.903

-7.886

26.085

7.806

4

34.067

4.760

34.052

4.738

34.374

-4.678

5

46.457

4.399

46.335

-4.397

46.901

-4.373

6

55.977

2.238

55.699

-2.218

56.524

2.354

7

69.571

2.638

69.647

2.064

70.274

-2.494

8

74.839

1.913

73.128

-1.618

75.849

2.170

9

88.012

2.949

88.606

2.519

94.065

2.677

10

N.C

N.C

N.C

N.C

109.28

2.785


FEM(RF)/FEM(FF)


PD-ω

PD-MPF(UX)

PD-ω

1

1.31

0.54

1.29

0.53

2

1.41

-1.89

1.38

-1.80

3

0.69

-1.02

0.70

-1.01

4

0.90

-1.72

0.95

-1.26

5

0.96

-0.59

1.22

-0.55

6

0.98

5.18

1.48

6.11

7

1.01

-5.46

0.90

20.83

8

1.35

13.45

3.72

34.15

9

6.88

-9.24

6.16

6.27

10

N.C

N.C

N.C

N.C

88

PD-MPF(UX)

SIDESWAY MODE - 2

30000

25000

25000

25000

20000

20000

20000

Z - mm

30000

15000

15000

15000

10000

10000

10000

5000

5000

5000

0 0

2000

0 -5000

4000

Φ (x 1/40000) - mm LM(RF)

0

0 -5000

5000

Φ (x 1/40000) - mm

DSM(RF)

LM(RF)

SIDESWAY MODE - 4

DSM(RF)

LM(RF)

30000

25000

25000

25000

20000

20000

20000

Z - mm

30000

15000

15000

15000

10000

10000

10000

5000

5000

5000

0

5000

Φ (x 1/40000) - mm LM(RF)

DSM(RF)

0 -5000

0

5000

Φ (x 1/40000) - mm LM(RF)

DSM(RF)

89

5000

DSM(RF)

SIDESWAY MODE - 6

30000

0 -5000

0

Φ (x 1/40000) - mm

SIDESWAY MODE - 5

Z - mm

Z - mm

SIDESWAY MODE - 3

30000

Z - mm

Z - mm

SIDESWAY MODE - 1

0 -5000

0

5000

Φ (x 1/40000) - mm LM(RF)

DSM(RF)

SIDESWAY MODE - 9

SIDESWAY MODE - 8 30000

30000

25000

25000

25000

20000

20000

20000

Z - mm

30000

Z - mm

Z - mm

SIDESWAY MODE - 7

15000

15000

15000

10000

10000

10000

5000

5000

5000

0 -5000

0

5000

0 -5000

0

5000

0 -5000

0

5000

Φ (x 1/40000) - mm

Φ (x 1/40000) - mm

Φ (x 1/40000) - mm

LM(RF)

LM(RF)

LM(RF)

DSM(RF)

DSM(RF)

DSM(RF)

Gambar IV.12. Sidesway Modes dari Portal 10 Lantai Tidak Beraturan antara Model FEM(RF) dan DSM(FF)

Gambar IV.12 menunjukkan bentuk vibrasi dari model elemen hingga dengan idealisasi rigid frame terhadap metoda kekakuan dinamik dengan idealisasi flexible frame yang diambil sebagai perpindahan modal rata-rata. Terlihat untuk sidesway mode ke-7, 8 dan 9, idealisasi rigid frame memberikan bentuk vibrasi yang tidak akurat. Dengan demikian asumsi rigid frame bisa tidak tepat digunakan untuk struktur yang tidak beraturan. Flexible frame dengan metoda elemen hingga tanpa adanya mesh sendiri dapat memberikan respon modal yang tidak akurat untuk higher modes sehingga dalam pemodelan, paling tidak dua atau tiga node tambahan harus diberikan pada member-member individu jika semua mode ingin diperhitungkan dalam analisis. Namun mengacu kepada struktur tahan gempa, pada umumnya hanya fundamental mode dan beberapa lower mode yang memberikan kontribusi signifikan. Jika demikian, hasil studi menunjukkan bahwa model elemen hingga tanpa adanya mesh dengan idealisasi rigid frame memberikan respon modal yang cukup akurat. Karena

90

penulisan tesis ini lebih mengacu kepada respon modal dibanding respon total maka analisis yang detail mengenai pengaruh dari higher modes dan lantai fleksibel terhadap respon total tidak dapat diberikan disini dan dapat dilihat pada referensireferensi yang ada.

IV.2 Keandalan dan Kelemahan dari Metoda Elemen Hingga dan Kekakuan Dinamik

Keandalan dari kedua metoda tentunya harus ditinjau dari berbagai sisi. Banyak hal yang tidak tercakup pada penulisan tesis ini mengharuskan penulis mengutip beberapa referensi yang juga mencoba membandingkan penggunaan kedua metoda ini selain dari hasil studi kasus yang penulis lakukan. Berikut adalah beberapa hal yang dapat dirangkum mengenai dari keandalan maupun kelemahan dari kedua metoda: 1. Keakuratan hasil Dari studi kasus yang sudah dilakukan, jelas bahwa metoda kekakuan dinamik akan memberikan hasil yang akurat untuk permasalah vibrasi terutama pada higher modes. Hal ini tentu saja karena metoda kekakuan dinamik menyertakan massa/inersia yang kontinyu dalam persamaan gerak balok sehingga memberikan ’exact’ shape function yang berlaku sepanjang balok. Metoda elemen hingga dilain pihak hanya akan memberikan hasil yang eksak bila member dibagi menjadi elemen-elemen yang cukup banyak dengan maksud untuk memodelkan massa/inersia yang kontinyu sepanjang balok. 2. Masalah Eigen Metoda elemen hingga yang diturunkan untuk permasalahan statik dapat digunakan untuk permasalah dinamik dengan sedikit keunggulan dalam penyelesaian masalah eigen. Analisis vibrasi pada metoda elemen hingga merupakan solusi terhadap masalah eigen linier sedangkan metoda kekakuan dinamik yang merupakan solusi terhadap masalah eigen nonlinier/transenden yang memberikan matrik kekakuan sebagai fungsi frekuensi dari sistem akibatnya analisis vibrasi dari metoda kekakuan dinamik ini lebih kompleks

91

dibanding metoda elemen hingga antara lain karena matrik kekakuan dinamik harus selalu dirakit tiap kali iterasi pada WWA. Hal ini tentu saja tidak terjadi pada metoda elemen hingga yang hanya memerlukan satu kali perakitan matrik massa dan kekakuan. 3. Meshing Karena shape function yang berlaku sepanjang balok maka metoda kekakuan dinamik secara teori tidak memerlukan meshing kecuali untuk kasus ill conditioning pada local modes. Metoda elemen hingga sendiri dari studi kasus yang sudah dilakukan menunjukkan bahwa meshing harus dilakukan untuk struktur balok. Untuk struktur portal akibat gempa horisontal, meshing dapat diminimalisir seandainya rasio massa balok terhadap kolom cukup besar. Kondisi ini pada umumnya berlaku untuk bangunan yang nyata dimana massa terkonsentrasi pada level lantainya saja. 4. Kecepatan penyelesaian masalah eigenvalue Perbandingan kecepatan kedua metoda dalam penentuan eigenvalue/frekuensi natural dilakukan oleh Yuan et al(15) sesuai algoritma yang diadaptasi oleh penulis pada program yang dibuat. Tentu saja perbedaanya pada program yang dibuat oleh penulis, full matrix masih digunakan dalam perakitan, penyimpanan data dan eliminasi Gauss pada WWA. Hal ini mengakibatkan program yang dibuat penulis tidak dapat dibandingkan dengan program metoda elemen hingga seperti SAP2000. Akan tetapi program yang dikembangkan oleh Yuan et al, menunjukkan keandalan algoritma yang dibuat dalam penyelesaian masalah eigenvalue. Problem struktur yang dbandingkan adalah struktur portal bidang dengan 200 lantai dan 39 bentang. Semua member adalah identik, kekakuan aksial kolom diperbesar 10000 kalinya dimana jumlah derajat kebebasannya berkisar dengan nilai 24000 yang merupakan tipikal jumlah derajat kebebasan struktur-struktur pada praktik. Perhitungan lima frekuensi natural pertama berdasarkan metoda kekakuan dinamik dengan algoritma dari Yuan et al ini dibandingkan dengan metoda elemen hingga dimana ada dua algoritma yang dipilih untuk

92

menyelesaikan masalah eigen linier dari metoda elemen hingga yaitu Subspace Iteration dan Block Lanczos. Perbandingan dari kecepatan dari ketiga algoritma dapat dilihat pada gambar IV.13. Perlu dikutip bahwa solusi menggunakan subspace iteration tanpa adanya frequency shifting, tidak ada konvergensi yang terjadi sehingga eigenvalue shift sebesar 2π x 10-3 diberikan pada subspace iteration agar konvergen. Namun seandainya mode-mode yang lebih tinggi ingin dianalisis, untuk mendapatkan akurasi yang lebih baik pada metoda elemen hingga paling tidak dua atau tiga elemen harus diberikan pada tiap member individu sehingga mengakibatkan waktu yang diperlukan menyelesaikan masalah eigen bertambah karena bertambahnya jumlah derajat kebebasan. Jadi metoda kekakuan dinamik memiliki keandalan dalam hal ini yaitu kecepatan yang lebih baik dalam penentuan eigenvalue.

Gambar IV.13. Perbandingan Frekuensi Natural dan Kecepatan Komputasi antara Metoda Kekakuan Dinamik dan Metoda Elemen Hingga (Sumber: Referensi 14) 5. Penurunan ’exact shape function’ Kelemahan dari metoda kekakuan dinamik justru terletak pada penurunan shape functionnya dimana shape funtion yang ’eksak’ ini sangat sulit diturunkan secara matematik seandainya distribusi dari kekakuan dan massa adalah tidak seragam bahkan untuk elemen satu dimensi sekalipun. Untuk itu aplikasinya pada praktek maupun pemrograman sangatlah sedikit dibanding metoda elemen hingga dimana distribusi yang tidak seragam dari massa dapat 93

didekati dengan membagi member menjadi elemen-elemen yang cukup banyak. 6. Analisis struktur praktis Metoda kekauan dinamik tidak andal dalam untuk analisis struktur praktis karena pada kenyataannya beban yang bekerja pada struktur bukan hanya beban dinamik tetapi juga beban statik. Metoda kekakuan dinamik yang didasari oleh shape function yang eksak untuk analisis vibrasi tidak dapat digunakan untuk analisis statik. Sehingga untuk analisis struktur praktis, kecepatan yang kompetitif untuk masalah eigen menjadi rancu seandainya respon statik juga harus dihitung akibatnya matirk kekakuan dan massa berdasarkan metoda elemen hingga harus dirakit juga.

94

Bab IV Studi Kasus dan Analisis

Recommend Documents