BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Pada bagian ini, akan dibahas system predator-prey dengan respon fungsi tak

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini, akan dibahas system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton, titik ekuilibrium, pelinieran, analisa kestabilan titik ekuilibriumnya dengan menggunakan Software Maple 16 dan untuk mengetahui perilaku dari pemangsa-mangsa berdasarkan system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton. 4.1 Analisis Titik Ekuilibrium Sistem Predator-Prey dengan Respon Fungsi Tak Monoton Bentuk umum system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton (Prihantoso, Kus [4]): 𝑥̇ = 𝑥(1 − 𝑥) −

𝑥𝑦 𝛼𝑥 2 + 𝛽𝑥 + 1 (4.1)

𝑥𝑦 𝑦̇ = −𝛿𝑦 − 𝜇𝑦 2 + 2 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 + 1 Untuk memperoleh titik ekulibrium dari persamaan (4.1) maka harus dipenuhi persamaan berikut : 𝑥̇ = 0 dan 𝑦̇ = 0 Sehingga masing-masing persamaan (4.1) memberikan : 𝑥𝑦

𝑥̇ = 0, maka 𝑥(1 − 𝑥) − 𝛼𝑥 2 +𝛽𝑥+1 = 0, 𝑥𝑦

𝑦̇ = 0, maka = −𝛿𝑦 − 𝜇𝑦 2 + 𝛼𝑥 2 +𝛽𝑥+1 = 0 Berdasarkan persamaan (4.2), maka titik ekulibrium yang diperoleh yakni : 1. Untuk titik ekuilibrium pertama, 𝑇1 (0,0).

20

(4.2)

𝛿

2. Untuk titik ekuilibrium pertama, 𝑇2 (0, − 𝜇). 1

3. Untuk titik ekuilibrium pertama, 𝑇3 ( , 0). Berdasarkan uraian di atas, diketahui bahwa pada system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton diperoleh tiga titik ekulibrium, yakni 𝑇1 (0,0), 𝛿

1

𝑇2 (0, − 𝜇)dan 𝑇3 ( , 0). 4.2 Pelinieran 4.2.1 Pelinieran Titik Ekuilibrium 𝑇1 (0,0) Untuk proses pelinieran pada titik ekuilibrium 𝑇1 (0,0) tidak akan mengubah bentuk umum dari system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton. Misal : 𝑝 = 𝑥 − 𝑥0 , maka 𝑝 = 𝑥 atau 𝑥 = 𝑝. Misal : 𝑞 = 𝑦 − 𝑦0 , maka 𝑞 = 𝑦 atau 𝑦 = 𝑞. Kemudian mensubtitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦 ke persamaan (4.1), sehingga diperoleh : 𝑥̇ = 𝑝(1 − 𝑝) −

𝛼𝑝2

𝑝𝑞 + 𝛽𝑝 + 1

𝑝𝑞 𝑦̇ = −𝛿𝑞 − 𝜇𝑞 2 + 2 𝛼𝑝 + 𝛽𝑝 + 1 Jika persamaan (4.3) disajikan dalam bentuk matriks, diperoleh : 𝑝𝑞 − 𝑝 2 − 2 𝑝 𝑥̇ 𝛼𝑝 + 𝛽𝑝 + 1 1 0 ( )=( )( ) + ( ) 𝑝𝑞 𝑦̇ 0 −𝛿 𝑞 −𝜇𝑞 2 + 2 𝛼𝑝 + 𝛽𝑝 + 1 𝛿

4.2.2 Pelinieran Titik Ekuilibrium 𝑇2 (0, − 𝜇) 𝛿

Untuk proses pelinieran pada titik ekuilibrium 𝑇2 (0, − 𝜇). Misal : 𝑝 = 𝑥 − 𝑥0 , maka 𝑝 = 𝑥 atau 𝑥 = 𝑝.

21

(4.3)

𝛿

𝛿

Misal : 𝑞 = 𝑦 − 𝑦0 , maka 𝑞 = 𝑦 + 𝜇 atau 𝑦 = 𝑞 − 𝜇. Kemudian mensubtitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦 ke persamaan (4.1), sehingga diperoleh :

𝑥̇ = 𝑝 − 𝑝2 −

𝛿 (𝑝𝑞 − 𝜇 𝑝) 𝛼𝑝2 + 𝛽𝑝 + 1 (4.4)

𝛿 (𝑝𝑞 − 𝜇 𝑝) 𝑦̇ = 𝛿𝑞 − 𝜇𝑞 2 + 2 𝛼𝑝 + 𝛽𝑝 + 1 Jika persamaan (4.4) disajikan dalam bentuk matriks, diperoleh :

−𝑝 2 −

𝛿 (𝑝𝑞 − 𝜇 𝑝)

𝛼𝑝2 + 𝛽𝑝 + 1 𝛿 (𝑝𝑞 − 𝜇 𝑝) −𝜇𝑞 2 + 2 𝛼𝑝 + 𝛽𝑝 + 1

𝑥̇ 1 0 𝑝 ( )=( )( ) + 𝑦̇ 0 𝛿 𝑞 (

)

1

4.2.3 Pelinieran Titik Ekulibrium 𝑇3 ( , 0) 1

Untuk proses pelinieran pada titik ekuilibrium 𝑇3 ( , 0). 1

1

Misal : 𝑝 = 𝑥 − 𝑥0 , maka 𝑝 = 𝑥 −  atau 𝑥 = 𝑝 + . Misal : 𝑞 = 𝑦 − 𝑦0 , maka 𝑞 = 𝑦 atau 𝑦 = 𝑞. Kemudian mensubtitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦 ke persamaan (4.1), sehingga diperoleh :

𝑥̇ = −𝑝 − 𝑝2 −

1 (𝑝𝑞 +  𝑞) 2𝛼 𝛼 𝛽 𝛼𝑝2 +  𝑝 + 𝛽𝑝 + 2 +  + 1 

𝑦̇ = −𝛿𝑞 − 𝜇𝑞 2 +

1 (𝑝𝑞 +  𝑞) 2𝛼 𝛼 𝛽 𝛼𝑝2 +  𝑝 + 𝛽𝑝 + 2 +  + 1 

Jika persamaan (4.5) disajikan dalam bentuk matriks, diperoleh :

22

(4.5)

1 (𝑝𝑞 +  𝑞) − 𝑝 2 − 2𝛼 𝛼 𝛽 𝛼𝑝2 +  𝑝 + 𝛽𝑝 + 2 +  + 1

𝑝 𝑥̇ −1 0 ( )=( )( ) + 𝑦̇ 0 −𝛿 𝑞

1

−𝜇𝑞 2 + (



(𝑝𝑞 +  𝑞) 2𝛼 𝛼 𝛽 𝛼𝑝2 +  𝑝 + 𝛽𝑝 + 2 +  + 1 ) 

4.3 Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Dalam menentukan jenis titik ekuilibrium stabil atau tidak, diperlukan matriks Jacobi dan nilai eigen. Dari proses pelinieran, diperoleh matriks Jacobi berikut: 𝑦 𝑥𝑦 + 2 + 𝛽𝑥 + 1 (𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 + 1)2 𝑦 𝑥𝑦(2𝛼𝑥 + 𝛽) − 2 2 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 + 1 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 + 1

1 − 2 𝑥 − 𝐽(𝑥,𝑦) = (

𝛼𝑥 2

𝑥 + 𝛽𝑥 + 1 𝑥 −𝛿 − 2𝜇𝑦 + 2 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 + 1) −

𝛼𝑥 2

4.3.1 Titik Ekuilibrium 𝑇1 (0,0) Berdasarkan matriks Jacobi yang diperoleh, didapatkan matriks Jacobi untuk titik ekuilibrium 𝑇1 (0,0) sebagai berikut : 1 0 𝐽(0,0) = ( ) 0 −𝛿

Dengan nilai eigen, 𝑁𝐸 = 1, −𝛿. Karena salah satu nilai eigennya positif, 1 > 0 dan −𝛿 < 0, maka titik ekuilibrium 𝑇1 (0,0) merupakan titik sadel yang tidak stabil. 𝛿

4.3.2 Titik Ekuilibrium 𝑇2 (0, − 𝜇) Berdasarkan matriks Jacobi yang diperoleh, didapatkan matriks Jacobi untuk titik 𝛿

ekuilibrium 𝑇2 (0, − 𝜇) sebagai berikut : 𝛿 𝜇 = 𝛿 − ( 𝜇 1+

𝐽

𝛿 𝜇

(0,− )

23

0 𝛿 )

Dengan nilai eigen, 𝑁𝐸 =

𝜇+𝛿 𝜇

, 𝛿.

Karena nilai eigennya positif,

𝜇+𝛿 𝜇

> 0 dan 𝛿 > 0, maka titik ekuilibrium

𝛿

𝑇2 (0, − 𝜇) merupakan titik tidak stabil. 1

4.3.3 Titik Ekuilibrium 𝑇3 ( , 0) 

Berdasarkan matriks Jacobi yang diperoleh, didapatkan matriks Jacobi untuk titik 1

ekuilibrium 𝑇3 ( , 0) sebagai berikut :

𝐽

1

( ,0)



1

−1

−

0

−𝛿 +

= (

Dengan nilai eigen, 𝑁𝐸 = −1, −

𝛼

𝛽

 ( 2 +  + 1) 

1 𝛼 𝛽  ( 2 +  + 1) ) 

𝛿𝛼+𝛿𝛽+𝛿2 − 𝛼+𝛽+2

Karena salah satu nilai eigennya negatif, −1 < 0 dan − diketahui −

𝛿𝛼+𝛿𝛽+𝛿2 − 𝛼+𝛽+

2

< 0 atau −

𝛿𝛼+𝛿𝛽+𝛿2 − 𝛼+𝛽+2

𝛿𝛼+𝛿𝛽+𝛿2 − 𝛼+𝛽+2

belum

> 0, maka titik ekuilibrium

1

𝑇3 ( , 0) belum diketahui kestabilannya. 4.4 Metode Manifold Center Pada metode manifold center ini, yang akan dibahas hanya bagian titik ekuilibrium 1

𝑇3 ( , 0). Untuk menyelesaikan persamaan (4.5), kita menyertakan parameter 𝛿 sebagai variable baru, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :

24

𝑥̇ = −𝑝 − 𝑝2 −

1 (𝑝𝑞 +  𝑞) 2𝛼 𝛼 𝛽 𝛼𝑝2 +  𝑝 + 𝛽𝑝 + 2 +  + 1  (4.6)

𝛿̇ = 0

𝑦̇ = −𝛿𝑞 − 𝜇𝑞 2 +

1 (𝑝𝑞 +  𝑞) 2𝛼 𝛼 𝛽 𝛼𝑝2 +  𝑝 + 𝛽𝑝 + 2 +  + 1 

Jika persamaan (4.6) disajikan dalam bentuk matriks, diperoleh : 1 (𝑝𝑞 +  𝑞)

− 𝑝 2 −

𝑥̇ −1 (𝑦̇ ) = ( 0 0 𝛿̇

2𝛼 𝛼 𝛽 𝛼𝑝2 +  𝑝 + 𝛽𝑝 + 2 +  + 1 0 0 𝑝  1 0 0) (𝑞 ) + (𝑝𝑞 + 𝑞)  0 0 𝛿 −𝛿𝑞 − 𝜇𝑞 2 + 2𝛼 𝛼 𝛽 𝛼𝑝2 +  𝑝 + 𝛽𝑝 + 2 +  + 1 (

0



)

Setelah dilakukan langkah-langkah metode center manifold, diperoleh persamaan : 𝑝̇ = 𝑎𝑝2 + 𝑏𝛿𝑝 + 𝑐𝑝3 + 𝑑𝛿𝑝2 + 𝑂(𝑝, 𝛿)4 (4.7)

𝛿̇ = 0 Dimana :

𝑎=

𝛼 + 2  , 𝛽 𝛼 + 1 + 2 

−𝛽 −  −

𝛼



𝑏=−

1 𝛽

 ( + 1 +

25

, ) 2

𝛼



2𝛼 2 2 3 1 (−2𝛽 − 2 − 2 + 𝛼  ) (𝛽 +  ) −𝛽 − 2 𝛼 − 2 ( ) 𝛽 +  2 + 𝛼 𝑐=

𝛽

+1+

,

𝛼

2 2𝛼

𝑑=

 (𝛽 +  ) −1 + 𝛽 +  2 + 𝛼 𝛽

𝛼

 + 1 + 2

Setelah itu, persamaan (4.7) dilakukan scalling variable sehingga diperoleh persamaan : 𝑞̇ = 𝑏𝛿𝑞 + 𝑞 2 dan 𝑞̇ = 𝑏𝛿𝑞 + 𝑞 3 4.5 Analisis Bifurkasi Satu Parameter pada Sistem Predator-Prey dengan Respon Fungsi Tak Monoton Bifurkasi adalah perubahan kestabilan yang terjadi pada sistem ketika melewati sebuah titik ekuilibrium. Bifurkasi terjadi pada penyelesaian titik setimbang yang mempunyai paling sedikit satu nilai eigen sama dengan nol pada bagian realnya. Nilai dari parameter  = 0 yang menyebabkan bagian real dari nilai-nilai eigen 𝐷𝑥 𝑓 adalah nol, disebut nilai bifurkasi. (Thomas,[7]) Pada pembahasan sebelumnya diketahui bahwa system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton, setelah manifold center dan scalling variable diperoleh persamaan 𝑞̇ = 𝑏𝛿𝑞 + 𝑞 2 . Hal ini menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi transkritikal, digambarkan dengan 𝑞̇ = 𝑏𝛿𝑞 + 𝑞 2 . Terdapat dua solusi ekuilibrium

26

yaitu 𝑞 = 0 dan 𝑞 = 𝑏𝛿, keduanya mengalami perubahan kestabilan pada saat 𝑏𝛿 melewati 0.

Gambar 4.1: Bifurkasi Transkiritikal pada Sistem predator-prey Selain itu, system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton, setelah manifold center dan scalling variabel diperoleh persamaan 𝑞̇ = 𝑏𝛿𝑞 + 𝑞 3 . Hal ini menunjukkan

bahwa

terjadi

bifurkasi

pitchfork,

digambarkan

dengan

𝑞̇ = 𝑏𝛿𝑞 + 𝑞 3 . Jika 𝑏𝛿 > 0 tidak ada solusi ekuilibrium, yaitu 𝑞 = 0 yang merupakan solusi yang stabil. Jika 𝑏𝛿 < 0 ada tiga buah solusi, yaitu solusi takstabil 𝑞 = 0, dan dua buah solusi stabil 𝑞 = ±√𝑏𝛿.

27

Gambar 4.2: Bifurkasi Pitchfork pada Sistem predator-prey Berdasarkan uraian di atas, jadi pada system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton terjadi bifurkasi satu parameter yaitu bifurkasi transkritikal dan bifurkasi pitchfork.

28