BAB III ANUITAS DENGAN BEBERAPA KALI PEMBAYARAN SETAHUN TERHADAP TABUNGAN PENDIDIKAN
3.1
Tabungan Pendidikan Anak Tabungan merupakan salah satu produk yang ditawarkan oleh bank untuk
menyimpan uang. Untuk mempersiapkan dana pendidikan anak, menabung di bank merupakan salah satu cara investasi termudah yang dapat dilakukan orang tua selain dengan mengivestasikan barang atau uang di reksa dana. Produk tabungan yang ditawarkan oleh bank juga bervariasi. Bank-bank tertentu telah mengeluarkan produk khusus tabungan pendidikan anak. Beberapa bank juga telah menyediakan asuransi untuk produk tabungan pendidikan sehingga jika terjadi sesuatu yang tidak diinginkan pada orang tua maka kepastian dana untuk pendidikan anak tetap sesuai rencana. Tabungan pendidikan adalah investasi untuk pendidikan yang dilindungi dengan asuransi. Bunga yang ditawarkan oleh bank juga sangat tinggi agar menarik minat nasabah. Lazimnya, perhitungan tingkat bunga bank adalah bunga majemuk harian atau bulanan.
3.2
Anuitas Tentu dengan Beberapa kali Pembayaran Setahun Anuitas tentu dengan beberapa kali pembayaran setahun maksudnya
rangkaian pembayaran secara periodik yang dilakukan m kali setahun, dengan selang
34
pembayarannya dilakukan setiap
1 tahun. (misal m = 2 berarti pembayarannya m
dilakukan setiap 6 bulan ).
3.2.1
Anuitas Awal Tentu (Annuity Certain Due) dengan beberapa kali pembayaran Setahun a&&n(m ) adalah nilai tunai dari anuitas awal tentu sebesar
1 (satuan uang) m
dengan pembayaran m kali setahun selama n tahun. Nilai tunai untuk setiap periodenya pada anuitas ini yaitu nilai tunai anuitasnya, sama seperti pada anuitas tahunan, hanya disini pembayaran kedua dilakukan 1
tunainya adalah v m , pembayaran ketiga
1 tahun kemudian dengan nilai m
2 tahun kemudian dengan nilai tunainya m
2
v m , dan seterusnya. Pembayaran terakhir pada tahun ke n − 1 dilakukan n − 1 kemudian dengan nilai tunainya adalah v n −1 . Jumlah nilai tunai setiap pembayaran adalah nilai tunai dari anuitasnya, sehingga secara matematik dapat dituliskan sebagai berikut : a&&n(m ) =
1 2 1 1+ 1 2 n −1 m m m 1 + v + v + ... + v + v + ... + v + ... + v m
persamaan tersebut dapat dipecah menjadi beberapa periode tahunan sebagai berikut : tahun ke-1 =
1 2 1 1− 1 m m m 1 + v + v + ... + v m
35
1 1− m 2− m 3− m 1 1− m m m = v v +v + v m + ... + 1 m
1 1− m 2− m 3− m 1 −m m m = v v v +v + v m + ... + 1 m
1 1 1 1 1+ 1+ 1+ 2− 1 m m m m tahun ke-2 = v + v +v + v ... + v m
=
1 1− m 2− m 3− m 1 − m 2 m + v m + v m + ... + 1 v v v m
dan seterusnya, terakhir pada tahun ke-n yaitu : 1 ( n −1) 1 ( n −1) 2 ( n −1) 3 n− 1 n −1 m m m m tahun ke-n = v + v +v +v + ... + v m
1 1− m 2− m 3− m 1 − m n m m = v v v +v + v m + ... + 1 m
Jika dijumlahkan dari tahun ke-1 sampai tahun ke-n menghasilkan : (m ) n
a&&
=v
−
1 m
2−m 3− m 1−mm 1 2 n m +v + v m + ... + 1 v + v + ... + v v m
(
)
(3.1)
Perhatikan persamaan (2.9), jika pembayaran premi sebesar 1 (satuan uang) dilakukan m kali setahun maka jumlah besar pokok ditambah dengan bunga selama satu tahun adalah : 1− m m
S1( m ) = (1 + i ) substitusikan v =
(1
+ i)
−1
+ (1 + i )
2− m m
+ (1 + i )
, sehingga S1( m ) menjadi :
36
3− m m
1 + ... + 1 m
S
(m) 1
2− m 3− m 1−mm 1 m = v +v + v m + ... + 1 m
(3.2)
substitusikan persamaan (3.2) dan persamaan (2.9) ke dalam persamaan (3.1) didapat
a&&n(m ) = v (m ) n
a&&
−
1 m
.a n .S 1( m )
= a n .S
(m) 1
.v
−
1 m
(3.3)
Untuk mempermudah perhitungan S 1( m ) .v
−
1 m
untuk m = 2 (setengah tahunan),
m = 4 (quartalan) dan m = 12 (bulanan)
Tabel 3.1 Jumlah Nilai Akhir Selama Satu Tahun yang Pembarannya Dilakukan Beberapa Kali Setahun Dikali dengan Nilai Tunai Dari Pembayaran yang 1 Dilakukan tahun, Keduanya sebesar 1 (satuan uang) m −
1 m
−
1 m
m
S1( m )
2
1,006 211 4
1,012 422 8
1,018 711 4
4
1,009 326 8
1,006 192 2
1,015 576 8
12
1,011 407 2
1,002 059 8
1,013 490 5
v
S 1( m ) .v
Dimana S1( m ) adalah jumlah besar pokok ditambah bunga satu tahun dengan m kali pembayaran dan v
3.3
−
1 m
adalah nilai nilai tunai dari setiap
1 tahun. m
Cicilan Netto Pada anuitas tentu besar cicilan netto sama dengan premi netto dan sisa
pembayaran yang belum terbayar sama dengan nilai tunai asuransi. Bila
37
pembayaranya dilakukan m kali setahun maka rumus untuk besar cicilan adalah sebagai berikut : Sisa = Harga – Uang muka Besar cicilan =
(3.4)
sisa m.a&&n( 2 )
Sehingga besar cicilan netto untuk periode pembayaran 1. setengah tahunan adalah =
3.4
(3.5)
sisa 4m.a&&n( 2)
(3.6)
sisa 12m.a&&n( 2)
(3.7)
2. quartalan adalah =
3. bulanan adalah =
sisa 2m.a&&n( 2)
Cicilan Bruto
Berdasarkan rumus premi brutto tahunan di mana premi netto sama dengan besar cicilan netto dan anuitas yang digunakan adalah anuitas tentu pembayaran m kali setahun, maka besar cicilan brutto sebagai berikut : besar cicilan netto + 1− β
α a&&n(m )
38
+γ (3.8)
3.5
Anuitas Hidup dengan Beberapa kali Pembayaran Setahun Anuitas hidup dengan beberapa kali pembayaran setahun maksudnya
penbayaran dilakukan m kali setahun, dengan selang pembayarannya dilakukan setiap 1 tahun ( misal m = 2 berarti pembayaran dilakukan setiap 6 bulan), dan m pembayaran dilakukan selama masih hidup.
3.5.1
Anuitas Seumur Hidup dengan Beberapa Kali Pembayaran Setahun Telah diketahui bahwa pembayaran anuitas dapat dilakukan diawal periode
disebut anuitas awal hidup dan di akhir periode disebut dengan anuitas akhir hidup, dan yang akan dibahas adalah hanya untuk anuitas awal seumur hidup.
a&&x(m ) nilai tunai suatu anuitas awal seumur hidup untuk seseorang yang berusia (x) tahun yang akan dibayar m kali setahun sebesar
1 (satuan uang). Seperti m
pada anuitas awal seumur hidup dengan pembayaran tahunan maka pada anuitas awal seumur hidup dengan beberapa kali pembayaran setahun nilai tunai untuk setiap periode adalah : Pembayaran pertama dilakukan sekarang juga dengan nilai tunainya adalah 1, pembayaran kedua
1 tahun kemudian dengan nilai tunainya adalah m
pembayaran ketiga
2 tahun kemudian dengan nilai tunainya adalah m
39
2 m
1 m
Ex ,
E x dan
seterusnya. Jumlah dari nilai tunai setiap pembayaran adalah nilai
tunai dari
anuitasnya, secara matematik dapat ditulis sebagai berikut : a&&x(m ) =
1 1+ 1 E x + 2 E x + 3 E x + ... m m m m
atau
a&&x(m )
1 1 1 m m = 1 + v . 1 p x + v . 1 p x + 3 E x + ... m m m m
karena tabel mortalitas tidak memberikan informasi dari seseorang dengan peluang hidup kecil, maka untuk menaksirnya digunakan persamaan identitas. Perhatikan kedua persamaan identitas berikut : 1. 0 | a&&x = a&&x − 0 2. 1 | a&&x = a&&x − 1 Persamaan Identitas tersebut akan digunakan untuk menaksir (aproksimasi)
2 m
1.
| a&&x dan umumnya
1 m
| a&&x = a&&x −
m −1 m
| a&&x , sehingga diperoleh :
1 m
40
1 m
| a&&x ,
1 m
| a&&x adalah nilai tunai anuitas hidup untuk berusia (x) tahun dengan pembayaran 1 tahun kemudian, pembayaran m
tahunan 1 (satuan uang), pembayaran pertama
kedua 1 +
2.
2 m
2 m
1 tahun kemudian, dan seterusnya. m
| a&&x = a&&x −
2 m
| a&&x adalah nilai tunai anuitas hidup untuk berusia (x) tahun dengan pembayaran 2 tahun kemudian, pembayaran m
tahunan 1 (satuan uang), pembayaran pertama
kedua 1 +
3.
m −1 m
m −1 m
2 tahun kemudian, dan seterusnya. m
| a&&x = a&&x −
m −1 m
| a&&x adalah nilai tunai anuitas hidup untuk berusia (x) tahun dengan pembayaran
tahunan 1 (satuan uang), pembayaran pertama
kedua 1 +
m −1 tahun kemudian, pembayaran m
m −1 tahun kemudian, dan seterusnya. m 0
| a&&x + 1 | a&&x + 2 | a&&x + ...+ m −1 | a&&x m
m
m
41
Adalah nilai tunai suatu rangkaian pembayaran sebesar 1 (satuan uang), tiap kali pembayaran dengan periode
1 tahun, pembayaran pertama sekarang juga, dan m
berlangsung terus selama (x) hidup, tetapi ini sama saja dengan m.a&&x( m ) . Jadi
m.a&&x( m ) = 0 | a&&x + 1 | a&&x + 2 | a&&x + ...+ m −1 | a&&x m
m
m
1 2 m −1 = (a&&x − 0 ) + a&&x − + a&&x − + ... + a&&x − m m m
= ma&&x −
1 {1 + 2 + 3 + ... + (m − 1)} m
untuk menghitung jumlah 1 + 2 + 3 + ... + (m − 1) gunakan rumus deret aritmatika
dengan beda sama dengan 1. Rumus umum untuk jumlah deret aritmatika adalah S n=
1 n(2a + (n − 1)b ) di mana a adalah suku pertama dan b adalah beda dan n 2
adalah masa pembayaran, maka didapat : 1 (m − 1)m m 2
m.a&&x( m ) = ma&&x −
= ma&&x − a&&x( m ) = a&&x −
(m − 1) 2
(m − 1) 2m
42
3.5.2
Anuitas Awal Hidup Berjangka dengan Beberapa Kali Pembayaran Setahun a&&xm:n| adalah nilai tunai dari anuitas awal hidup berjangka, pembayaran m kali
setahun sebesar
1 (satuan uang) setiap periodenya. Nilai tunai anuitas ini sama m
halnya dengan anuitas awal hidup berjangka dengan pembayaran tahunan hanya disini pembayarannya dilakukan beberapa kali setahun dengan permbayaran pertama dilakukan sekarang juga nilai tunainya adalah sama yaitu 1, pembayaran kedua dilakukan
1 tahun kemudian dengan nilai tunainya adalah m
2 tahun kemudian dengan nilai tunainya adalah m
2 m
1 m
E x , pembayaran ketiga
E x dan seterusnya. Terakhir tahun
ke-n dilakukan n tahun kemudian dengan nilai tunainya adalah
n −1
E x . Jumlah dari
nilai tunai setiap pembayaran adalah nilai tunai dari anuitasnya, secara matematik dapat ditulis sebagai berikut :
a&&xm:n| =
1 1+ 1 E x + 2 E x + 3 E x + ...+ 1 E x + ...+ n−1 E x m m m m
a&&xm:n| =
1 2 1 1 n −1 m m 1 + v . p + v . p + ... + v . p + ... + v . p 1 x 2 x 1 x n − 1 x m m m
atau (3.9)
karena tabel mortalitas tidak memberikan informasi dari seseorang dengan peluang hidup kecil, maka untuk menaksirnya digunakan persamaan identitas sebagai berikut :
43
1. a&&x;n| = a&&x( m ) − n | a&&x( m ) Sehingga untuk pembayaran m kali setahun menjadi a&&xm:n| = a&&x( m ) − n | a&&x( m ) 2. n | a&&x = n E x .a&&x + n Sehingga untuk pembayaran m kali setahun menjadi n | a&&xm+ n = n E x .a&&x( m+ n) dengan menggunakan kedua persamaan identitas terdebut, persamaan (3.9) dapat ditulis sebagai berikut : a&&xm:n| = a&&x( m ) − n | a&&x( m )
= a&&x( m ) n E x .a&&x( m+ n)
(3.10)
Telah diketahui a&&x(m ) = a&&x −
m −1 2m
(3.11)
dan jika usianya ( x + n ) tahun maka persamaan (3.11) menjadi
a&&x( m+ n) = a&&x + n −
m −1 2m
(3.12)
substitusikan persamaan (3.12) dan persamaan (3.11) ke dalam persamaan (3.10) didapat :
a&&xm:n| = a&&x −
m −1 m −1 − n E x (a&&x + n − ) 2m 2m
= (a&&x − n E x .a&&x + n ) −
m −1 (1− n E x ) 2m
substitusi a&&x:n| = a&&x − n E x .a&&x + n , sehingga menjadi :
44
m −1 (1− n E x ) 2m
a&&xm:n| = a&&x:n| −
Maka untuk periode pembayarannya : 1. setengah tahunan
1 : a&&x( :n2 )| = a&&x:n| − (1− n E x ) 4
(3.13)
2. quartalan
3 : a&&x( :n4 )| = a&&x:n| − (1− n E x ) 8
(3.14)
3. bulanan
: a&&x( 5:n)| = a&&x:n| −
11 (1− n E x ) 12
(3.15)
Premi netto dengan beberapa kali pembayaran setahun Rumus premi netto asuransi dwiguna yang dibayar m kali setahun dengan pembayaran dilakukan awal periode (tahun) untuk masing-masing periiode adalah sebagai berikut : 1. setengah tahunan
:
P
x:nΙ
=
2. quartalan
:
P
x:nΙ
=
3. bulanan
:
P
x:nΙ
=
A
x:nΙ ( 2) x:nΙ
(3.16)
2.a&&
A
x:nΙ ( 4) x:nΙ
(3.17)
4.a&&
A
x:nΙ
(3.18)
) 12.a&&x(12 :nΙ
Rumus premi brutto asuransi endowment dengan pembayar m kali setahun adalah sebagai berikut : Px:nΙ + *
P
x:n Ι
=
α a&&x( :mnΙ)
+γ
(1 − β )
45
(3.19)
