NILAI AKUMULASI ANUITAS AKHIR DENGAN ASUMSI DISTRIBUSI UNIFORM UNTUK m KALI PEMBAYARAN Nomi Kelatri1*, Hasriati2, Musraini2 1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeritas Riau Kampus Bina Widya 28293 Indonesia *
[email protected] ABSTRACT This paper discusses the accumulated value of the immediate annuity for m times per year. The assumption of uniform distribution is used in determining the accumulated value of the immediate annuity, which is a linear approximation to the probability that the insurance participant died. The accumulated value of the annuity is influenced by cash value annuity paid by insurance participant, the interest rate, and the amount of annuity payments made by insurance participants. Keywords: accumulation value, cash value of annuity, uniform distribution. ABSTRAK Artikel ini membahas tentang nilai akumulasi anuitas akhir untuk pembayaran sebanyak m kali pertahun. Dalam menentukan nilai akumulasi anuitas akhir digunakan asumsi distribusi uniform, yaitu pendekatan linier terhadap peluang meninggal dari peserta asuransi. Nilai akumulasi anuitas dipengaruhi oleh nilai tunai anuitas yang dibayarkan oleh peserta asuransi, tingkat bunga dan banyaknya pembayaran anuitas yang dilakukan oleh peserta asuransi. Kata kunci: distribusi uniform, nilai akumulasi, nilai tunai anuitas. 1. PENDAHULUAN Dalam mekanisme pelaksanaan asuransi, baik asuransi jiwa seumur hidup maupun asuransi jiwa berjangka dan asuransi jiwa dwiguna, setiap nasabah diharuskan membayar premi tiap bulannya sebagai bukti bahwasanya seorang nasabah resmi menjadi pemegang polis pada asuransi tersebut. Rangkaian pembayaran premi dikenal dengan istilah anuitas. Berdasarkan sistem pembayarannya, anuitas terbagi menjadi dua yaitu pembayaran anuitas yang dilakukan pada setiap awal periode yang disebut anuitas awal (due annuity) dan pembayaran anuitas yang dilakukan pada setiap akhir periode yang disebut anuitas akhir (immediate annuity). Pembayaran anuitas pada awalnya dapat dilakukan sekali dalam setahun, akan tetapi seiring dengan berjalannya waktu pembayaran yang dilakukan oleh pihak tertanggung juga dapat dilakukan sekali dalam tiga bulan (tri wulan), sekali
1
dalam empat bulan (kuartal) atau sekali dalam enam bulan (semester). Bentuk pembayaran anuitas inilah yang disebut dengan pembayaran anuitas dengan m kali pembayaran dalam setahun. Sedangkan nilai yang akan datang dari anuitas disebut nilai akumulasi anuitas. Besarnya anuitas dapat dihitung menggunakan asumsi distribusi uniform yang diperoleh dari buku karangan Dickson, et al [3]. Asumsi distribusi uniform merupakan bahwa besarnya peluang meninggal dari seluruh peserta asuransi dianggap sama besar. Pada [3], perhitungan nilai tunai anuitas awal berjangka menggunakan asumsi distribusi uniform dengan status hidup perorangan dengan pembayaran dilakukan sebanyak m kali dalam setahun. Namun pada artikel ini, yang ditentukan adalah nilai akumulasi dari nilai tunai anuitas akhir berjangka menggunakan asumsi distribusi uniform untuk status hidup perorangan dengan pembayaran dilakukan sebanyak m kali dalam setahun. 2. ASURANSI JIWA SEUMUR HIDUP DAN NILAI TUNAI ANUITAS Pada bagian ini dibahas mengenai premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup, nilai tunai anuitas seumur hidup dan nilai tunai anuitas berjangka yang diperoleh dari [4]. Premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup merupakan asuransi secara permanen dimana premi setiap tahun sama besarnya. Premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup untuk m kali pembayaran secara diskrit merupakan premi asuransi dari seseorang yang berusia ݔtahun, dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun secara diskrit yang berlangsung selama peserta asuransi tersebut masih hidup, dengan ݒmenyatakan faktor diskon, t / m p x menyatakan peluang hidup dari seseorang yang berusia ݔtahun hingga ݐtahun, dan q x +t m menyatakan peluang dari seseorang berusia ݔ ݐtahun yang akan meninggal dalam satu tahun berikutnya, yang dinyatakan dengan persamaan ∞
Ax( m ) = ∑ v
t +1 m
p x q x +t m .
t m
t =0
(1)
Sedangkan premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup untuk m kali pembayaran secara kontinu merupakan premi asuransi dari seseorang yang berusia ݔtahun, dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun secara kontinu yang berlangsung selama peserta asuransi tersebut masih hidup, dengan ݒ menyatakan faktor diskon, t p x menyatakan peluang hidup dari seseorang yang berusia ݔtahun hingga ݐtahun, dan µ x +t menyatakan percepatan mortalita dari seseorang berusia ݔ ݐtahun, yang dinyatakan dengan persamaan Ax
(m)
∞
= ∫v
t
(m )
+
1 m t
p x µ x +t dt .
(2)
0
Anuitas hidup merupakan anuitas yang dipengaruhi oleh peluang hidup dari peserta asuransi jiwa. Adapun jenis anuitas yang digunakan pada pembahasan ini adalah anuitas seumur hidup dan anuitas hidup berjangka. Nilai tunai anuitas awal seumur hidup untuk m kali pembayaran merupakan anuitas hidup dari peserta asuransi jiwa yang berusia x tahun, dengan
2
pembayaran sebanyak m kali dalam setahun yang berlangsung selama peserta asuransi tersebut masih hidup yang dinyatakan sebagai berikut (m ) a&& x =
1 m
∞
∑
t=0
vt /m t /m px.
Untuk pembayaran yang dilakukan di akhir periode pembayaran, nilai tunai anuitas akhir seumur hidup dengan pembayaran m kali dalam setahun dinyatakan dengan
ax
(m )
=
1 m
∞
∑
t =1
vt/m t/m px.
Kemudian, dari persamaan (1) diperoleh hubungan antara premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun yang dinotasikan dengan Ax( m ) terhadap nilai tunai anuitas seumur hidup dengan (m ) pembayaran sebanyak m kali dalam setahun yang dinotasikan dengan a&&x ,
dengan dipengaruhi d (m ) tingkat diskon nominal yang dinyatakan dengan
Ax( m ) = 1 − d ( m ) a&&x
(m)
(3) Suatu anuitas yang pembayarannya dilakukan selama jangka waktu tertentu disebut nilai tunai anuitas hidup berjangka. Nilai tunai anuitas hidup awal berjangka merupakan anuitas hidup dari peserta asuransi jiwa yang berusia x tahun, dengan pembayaran berlangsung selama jangka waktu tertentu yang telah disepakati oleh kedua peserta asuransi dan perusahaan asuransi jiwa yang dinyatakan dengan persamaan (m) a&&x:n =
.
1 nm −1 t / m ∑ v t / m px . m t =0
( m) Selanjutnya, terdapat hubungan antara a&&x:n nilai tunai anuitas awal
(m )
seumur hidup untuk pembayaran sebanyak m kali pertahun dengan a&&x nilai tunai anuitas awal berjangka untuk pembayaran sebanyak m kali pertahun, yang dipengaruhi n p x peluang hidup peserta asuransi jiwa dan v faktor diskon yang dinyatakan ( m) ( m) ( m) a&&x:n = a&&x − v n n px a&&x+n .
(4)
Untuk pembayaran yang dilakukan di akhir periode pembayaran, nilai tunai anuitas akhir berjangka dengan pembayaran m kali dalam setahun dinyatakan dengan
a x:n
( m)
=
1 nm t / m ∑ v t / m px . m t =1
Sedangkan, hubungan antara nilai tunai anuitas akhir berjangka dengan ( m) pembayaran sebanyak m kali dalam setahun yang dinotasikan dengan a x:n dan nilai tunai anuitas awal berjangka dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun, yaitu
a x:n
(m)
= a&&x:n
(m)
3
−
(
)
1 1 − v n n px . m
(5)
Nilai tunai anuitas pada persamaan (4) dan (5) berlaku untuk uang pertanggungan sebesar 1 satuan. Jika peserta asuransi menginginkan uang pertanggungan sebesar (m) (m) dan Ra x:n . Kemudian, R , maka anuitas yang harus dibayarkan sebesar Ra&&x:n dapat ditentukan besarnya nilai akumulasi anuitas dari peserta asuransi jiwa.
3. NILAI AKUMULASI ANUITAS DENGAN ASUMSI DISTRIBUSI UNIFORM Pada bagian ini dibahas mengenai asumsi distribusi uniform yang diberikan oleh [1] dan [2], sedangkan nilai tunai anuitas, dan nilai akumulasi anuitas berdasarkan asumsi distribusi uniform diberikan oleh [3]. Asumsi distribusi uniform merupakan suatu metode untuk menentukan nilai tunai anuitas dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun. Asumsi distribusi uniform menurut [2] merupakan interpolasi linier pada interval ( x , x + 1) , dengan x menyatakan usia peserta asuransi jiwa, l x +t menyatakan banyaknya peserta asuransi jiwa berusia x + t tahun dan l x +1 menyatakan banyaknya peserta asuransi jiwa berusia x + 1 tahun, yang dinyatakan sebagai berikut. l x +t = (1 − t )l x + tl x +1 . (6) Berdasarkan persamaan (6), diperoleh peluang hidup, peluang meninggal, dan percepatan mortalita dengan menggunakan asumsi distribusi uniform. Hal ini mempengaruhi premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup untuk m kali pembayaran pada persamaan (2) menjadi i ( m) (7) Ax = (m ) Ax , i (m ) dimana Ax merupakan premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup dengan asumsi distribusi uniform, dengan i menyatakan tingkat bunga dan i (m ) mmenyatakan tingkat bunga nominal. Selain itu,berdasarkan [1], diperoleh beberapa rumusan asumsi distribusi uniform, antara lain id i. α (m ) = ( m) ( m) ≈ 1 , i d ii. β (m ) =
i − i (m) m −1 . ≈ (m) (m) i d 2m
dengan α (m ) := biaya penutupan baru polis asuransi untuk pembayaran sebanyak m kali dalam setahun β (m) := biaya pengumpulan premi sepanjang jangka waktu pertanggungan premi untuk pembayaran sebanyak m kali dalam setahun. Untuk memperoleh nilai akumulasi anuitas akhir dengan asumsi distribusi uniform untuk pembayaran sebanyak m kali dalam setahun, dimulai dengan mengubah bentuk persamaan (3) menjadi
4
1 − Ax( m ) . (8) d (m) Substitukan persamaan (7) ke persamaan (8) sehingga diperoleh id i − i (m) (m) a&&x = ( m ) ( m ) a&&x − ( m ) ( m ) . (9) i d i d Substitusikan persamaan (i) dan (ii) ke persamaan (9) sehingga diperoleh nilai tunai anuitas awal seumur hidup dari seseorang yang berusia x tahun dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun yang dinyatakan dengan ( m) a&&x =
(m) a&&x = α (m)a&&x − β (m) .
(10) Berdasarkan persamaan (10) yang disubstitusikan ke persamaan (4) diperoleh nilai tunai anuitas awal berjangka dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun berdasarkan asumsi distribusi uniform, yaitu
[
]
( m) a&&x:n = α (m)a&&x:n − β (m) 1 − v n n p x .
(11)
Selanjutnya, substitusikan nilai α (m ) dan β (m ) pada asumsi distribusi uniform ke persamaan (11) sehingga nilai tunai anuitas awal berjangka dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun berdasarkan asumsi distribusi uniform menjadi (m) a&&x:n ≈ a&&x:n −
m −1 1 − v n n px . 2m
(
)
(12)
Kemudian, dengan mensubstitusikan persamaan (12) ke persamaan (5) diperoleh nilai tunai anuitas akhir berjangka dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun berdasarkan asumsi distribusi uniform, yaitu m −1 (m) a x:n ≈ a x:n + 1 − v n n px . (13) 2m Setelah mendapatkan nilai tunai anuitas awal berjangka dengan asumsi distribusi uniform untuk pembayaran sebanyak m kali dan nilai tunai anuitas akhir berjangka dengan asumsi distribusi uniform untuk pembayaran sebanyak m kali, sehingga dapat diperoleh nilai akumulasi anuitas berjangka dengan asumsi distribusi uniform untuk pembayaran sebanyak m kali, baik yang awal maupun yang akhir. Nilai akumulasi dari nilai tunai anuitas awal berjangka dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun, dengan i tingkat bunga, dinyatakan dengan persamaan
(
)
&s&x:n (m ) = (1 + i )n a&&x:n (m ) .
(14)
Kemudian, substitusikan persamaan (12) ke persamaan (14), sehingga diperoleh nilai akumulasi anuitas awal berjangka dengan asumsi distribusi uniform untuk pembayaran sebanyak m kali dalam setahun adalah
&s&x:n ( m ) ≈ (1 + i )n a&&x:n −
(
)
m −1 (1 + i )n − n p x . 2m
(15)
Nilai akumulasi anuitas akhir berjangka dengan pembayaran sebanyak m kali dalam setahun dinyatakan sebagai berikut
s x:n
(m )
= (1+ i ) a x:n n
5
(m )
.
(16)
Kemudian, substitusikan persamaan (13) ke persamaan (16), sehingga diperoleh nilai akumulasi anuitas akhir berjangka dengan asumsi distribusi uniform untuk pembayaran sebanyak m kali dalam setahun diperoleh
s x:n
( m)
≈ (1 + i ) a x:n + n
(
)
m −1 (1 + i )n − n p x . 2m
(17)
4. CONTOH Nyonya Mia yang berusia 30 tahun mengikuti program asuransi jiwa berjangka di salah satu perusahaan asuransi jiwa dengan tingkat bunga sebesar 2.5% dan besar pembayaran tiap tahun adalah Rp2.000.000. Maka, berapa nilai akumulasi yang akan diterima Nyonya Mia setelah 10 tahun kemudian, jika: a. Pembayaran dilakukan setiap 3 bulan di awal periode dengan menggunakan asumsi distribusi uniform. b. Pembayaran dilakukan setiap 3 bulan di akhir periode dengan menggunakan asumsi distribusi uniform. Diketahui: x = 30 , pembayaran dilakukan setiap 3 bulan maka banyaknya pembayaran dalam setahun adalah m = 4 , tingkat bunga sebesar i = 2.5% maka 1 diperoleh faktor diskon sebesar v = = 0,9756 . 1 + 0,025 a. Untuk menentukan nilai akumulasi anuitas awal berjangka dengan pembayaran 4 kali dalam setahun berdasarkan asumsi distribusi uniform, akan ditentukan terlebih dahulu nilai tunai anuitas awal berjangka dengan pembayaran sekali dalam setahun sebagai berikut.
a&&30 :10 =
9
∑ v t t p 30 t =0
Kemudian berdasarkan data pada Tabel Mortalita Indonesia Tahun 1999, maka diperoleh 9 l a&&30:10 = Rp2.000.000 ∑ v t 30+t l30 t =0
a&&30:10
l l l = Rp2.000.000 1 + v 31 + v 2 32 + ... + v 9 39 l30 l30 l30 = Rp2.000.000 (8,927827)
a&&30 :10 = Rp17.855.654. Perhitungan lebih lengkapnya dari anuitas awal berjangka dengan pembayaran sekali dalam setahun menggunakan program Microsoft Excel disajikan pada Tabel 1.
6
Tabel 1: Anuitas Awal Berjangka dengan Pembayaran Sekali dalam Setahun Tahun 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Faktor Diskon Peluang Hidup 1 1 0.9756 0.999 0.9518 0.9979 0.9286 0.9968 0.906 0.9957 0.8839 0.9945 0.8623 0.9934 0.8413 0.9921 0.8207 0.9908 0.8007 0.9894 JUMLAH
Anuitas Awal Berjangka 1 0.9746 0.949814 0.925639 0.902051 0.879035 0.85657 0.834634 0.813209 0.792275 8.927827
Selanjutnya, dapat ditentukan nilai akumulasi anuitas awal dengan asumsi distribusi uniform dari peserta asuransi jiwa yang berusia 30 tahun untuk pembayaran 4 kali dalam setahun. Berdasarkan persamaan (15), maka diperoleh 4 −1 &s&30:10 ( 4) ≈ (1 + 0,025)10 a&&30:10 − (1 + 0,025)10 −10 p30 2⋅ 4 3 10 ≈ (1,025) Rp17.855.654 − (1,025 )10 − 0,9879 8 ≈ Rp22.856.746,7119 − 0,1095
(
)
(
)
&s&30:10 ( 4) ≈ Rp22.856.746,6024 &s&30:10 ( 4) ≈ Rp22.856.747,60. Sehingga nilai akumulasi anuitas awal dengan asumsi distribusi uniform untuk pembayaran 4 kali dalam setahun yang akan diterima oleh Nyonya Mia adalah Rp22.856.747,60. b. Untuk menentukan nilai akumulasi anuitas akhir berdasarkan asumsi distribusi uniform dengan pembayaran 4 kali dalam setahun, akan ditentukan terlebih dahulu nilai tunai anuitas akhir berjangka dengan pembayaran sekali dalam setahun sebagai berikut.
a 30 :10 =
10
∑v
t t
p 30
t =1
Kemudian berdasarkan data pada Tabel Mortalita Indonesia Tahun 1999, maka diperoleh 10 l a 30 :10 = Rp2.000.000 ∑ v t 30+t l30 t =1
l l l = Rp2.000.000 v 31 + v 2 32 + ... + v10 40 l30 l30 l30
7
a 30 :10 = Rp2.000.000 (8,699609) a 30 :10 = Rp17.399.218. Perhitungan lebih lengkapnya dari anuitas akhir berjangka dengan pembayaran sekali dalam setahun menggunakan program Microsoft Excel disajikan pada Tabel 2. Tabel 2: Anuitas Akhir Berjangka dengan Pembayaran Sekali dalam Setahun Tahun 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Faktor Diskon Peluang Hidup 0.9756 0.999 0.9518 0.9979 0.9286 0.9968 0.906 0.9957 0.8839 0.9945 0.8623 0.9934 0.8413 0.9921 0.8207 0.9908 0.8007 0.9894 0.7812 0.9879 JUMLAH
Anuitas Akhir Berjangka 0.9746 0.949814 0.925639 0.902051 0.879035 0.85657 0.834634 0.813209 0.792275 0.771782 8.699609
Selanjutnya, dapat ditentukan nilai akumulasi anuitas akhir dengan asumsi distribusi uniform dari peserta asuransi jiwa yang berusia 30 tahun untuk pembayaran 4 kali dalam setahun. Berdasarkan persamaan (12), maka diperoleh 4 −1 ( 4) 10 (1 + 0,025)10 −10 p30 s30:10 ≈ (1 + 0,025) a30:10 + 2⋅4 3 10 ≈ (1,025) Rp17.399.218 + (1,025 )10 − 0,9879 8 ≈ Rp22.272.470,0429 + 0,1095
(
)
(
s30:10
( 4)
≈ Rp22.272.470,1524
s30:10
( 4)
≈ Rp22.272.470,15.
)
Sehingga, nilai akumulasi anuitas akhir dengan asumsi distribusi uniform untuk pembayaran 4 kali dalam setahun yang akan diterima oleh Nyonya Mia adalah Rp22.272.470,15.
5. KESIMPULAN Kesimpulan yang penulis dapatkan dari pembahasan yang ada yaitu nilai tunai anuitas dengan pembayaran di awal maupun di akhir tanpa menggunakan asumsi distribusi uniform nilainya lebih kecil daripada yang menggunakan asumsi distribusi uniform. Sehingga nilai akumulasi anuitas tanpa menggunakan asumsi distribusi uniform nilainya juga menjadi lebih kecil daripada yang menggunakan
8
asumsi distribusi uniform. Hal ini disebabkan karena pembayaran anuitas yang dilakukan sebanyak m kali dalam setahun selama jangka waktu masa kontrak. Sehingga jika menggunakan asumsi akan memberikan keuntungan bagi pihak peserta asuransi dikarenakan peserta asuransi merasa ringan dalam proses pembayaran anuitas. Sedangkan bagi pihak perusahaan asuransi juga memberikan keuntungan. Hal ini dapat dilihat dari kapasitas dana pada perusahaan asuransi yang selalu ada. Selain itu, untuk pembayaran anuitas yang dilakukan di awal periode akan lebih besar dari pembayaran yang dilakukan di akhir periode.
DAFTAR PUSTAKA [1] Batten, R. W. 2009. Life Contingencies, A Logical Approach to Actuarial Mathematics, 2009 Edition. ACTEX Publications, Inc. United States of America. [2] Bowers, N. L., H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, & C. J. Nesbitt. 1997. Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries, United States of America. [3] Dickson, D. C. M., M. R. Hardy, & H. R. Waters. 2009. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. Cambridge University Press, New York. [4] Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa, Bagian 1. Terj. dari Seimei Hoken Sugaku, Jokan (“92 Revision), oleh Herliyanto, Gatot. Penerbit Incorporated Foundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center, Japan.
9
