BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Kontrak Opsi Kontrak opsi merupakan suatu perjanjian atau kontrak antara penjual opsi
dengan pembeli opsi, penjual opsi memberikan hak dan bukan kewajiban kepada pembeli opsi untuk menjual atau membeli suatu sekuritas tertentu pada waktu dan harga yang telah ditetapkan. Sekuritas yang dapat diperjual belikan berupa saham, obligasi, mata uang, komoditi dan lainnya. Kontrak opsi yang memperjual-belikan saham disebut dengan opsi saham. Pihak yang terlibat dalam kontrak opsi yaitu pemilik atau pembeli dan penerbit atau penjual dari opsi, namun perusahaan penerbit sekuritas saham (emiten) yang dijadikan opsi tidak terlibat di dalamnya, dengan kata lain, opsi diterbitkan oleh investor untuk dijual kepada investor lainnya, dalam hal ini, perusahaan yang merupakan penerbit sekuritas dari saham yang dijadikan opsi tidak bertanggung jawab terhadap pembuatan, penghentian maupun pelaksanaan kontrak opsi.
2.1.1
Jenis Opsi Berdasarkan hak yang terjadi, opsi dapat dikelompokkan menjadi dua,
yakni sebagai berikut: 1.
Opsi Beli (Call Option), yaitu opsi yang memberikan hak kepada pembeli opsi beli untuk membeli sekuritas dalam jumlah tertentu, pada waktu dan harga yang telah ditentukan. Pihak yang terlibat dalam call option yaitu pembeli opsi beli (call option buyer) dan penjual opsi beli (call option
6
7 seller). Jika call option buyer membeli opsi saham, maka call option buyer dapat melakukan spekulasi terhadap harga saham mendatang tanpa harus memiliki saham tersebut dan berharap harga saham naik sehingga dapat meraih keuntungan dari harga saham tersebut. Pada saat jatuh tempo, keuntungan tersebut diperoleh dari naiknya harga saham di atas harga yang disepakati dalam kontrak opsi, maka call option buyer dapat membeli saham dengan harga yang lebih murah (sebesar yang disepakati dalam kontrak opsi) dibandingkan harga pasar. 2.
Opsi Jual (Put Option), yaitu opsi yang memberikan hak kepada pemilik opsi untuk menjual sekuritas dalam jumlah tertentu, pada waktu dan harga yang telah ditentukan. Pihak yang terlibat dalam put option yaitu pembeli opsi jual (put option buyer) dan penjual opsi jual (put option seller). Berkebalikan dengan pemilik call option, investor yang membeli put option memiliki harapan agar pada saat jatuh tempo harga pasar berada di bawah harga yang telah disepakati dalam kontrak, sehingga pembeli put option dapat menjual saham tersebut dengan harga yang lebih tinggi dari harga pasar saham yang bersangkutan. Berdasarkan cara pelaksanaan hak opsi, opsi dapat dibedakan menjadi dua
tipe waktu pelaksanaan, yaitu opsi tipe Amerika yang dapat dilaksanakan kapan saja sampai batas waktu yang telah ditetapkan dalam kontrak opsi, dan opsi tipe Eropa yang hanya dilaksanakan pada saat jatuh tempo (expiration date).
2.1.2
Variabel yang Memengaruhi Harga Opsi Sedikitnya ada enam variabel yang dapat memengaruhi harga dari suatu
opsi, yaitu harga saham, harga pelaksanaan (exercise/strike price), periode opsi
8 (expiration date), tingkat suku bunga bebas risiko (risk-free rate), dividen yang dibayarkan dan volatilitas harga saham di pasar. Variabel harga saham yang dimaksud adalah harga saham sekarang. Harga pelaksanaan yaitu harga per lembar saham yang harus dibayarkan oleh pembeli call option pada saat jatuh tempo atau harga per lembar saham yang akan diterima oleh pemilik put option dari penjual put option pada saat jatuh tempo. Dengan kata lain, harga pelaksanaan yaitu harga per lembar saham yang dijadikan patokan oleh call option ataupun put option pada saat jatuh tempo. Periode opsi yaitu batas waktu suatu opsi dapat dilaksanakan, baik dengan menerapkan model Amerika atau model Eropa.
2.2
Model Black-Scholes Model Black-Scholes dikembangkan oleh Fischer Black dan Myron
Scholes, model ini digunakan untuk menentukan harga opsi. Model Black-Scholes hanya dapat digunakan untuk opsi dengan tipe Eropa (European Option) yang dilaksanakan pada saat waktu jatuh tempo (expiration date) dan mengasumsikan bahwa variansi atau volatilitas harga saham bersifat konstan selama usia opsi diketahui pasti. Selain itu model Black-Scholes hanya dapat diterapkan pada saham yang tidak memberikan dividend. Dengan demikian variabel yang digunakan dalam menentukan harga opsi, yaitu harga saham pada saat price
, tingkat bunga bebas risiko
, periode opsi
, strike
, dan volatilitas saham
. Persamaan Black-Scholes untuk menghitung harga opsi beli disajikan dengan rumus (Singh & Prabakaran, 2006):
9 dengan ( )
(
) √
√ ( )
(
) √
fungsi distribusi normal kumulatif standar: ∫
√
dan fungsi kepadatan peluang normal standar (Pacati,2013):
√
2.3
Volatilitas Saham Volatilitas saham adalah pengukuran statistik untuk fluktuasi harga saham
selama periode tertentu (Firmansyah,2006). Ukuran tersebut menunjukkan penurunan dan peningkatan harga dalam periode yang pendek dan tidak mengukur tingkat harga, namun derajat variasinya dari satu periode ke periode berikutnya. Volatilitas tinggi mengakibatkan harga opsi menjadi mahal. Menurut Schwert dan W. Smith, Jr. (1992) terdapat lima jenis volatilitas dalam pasar keuangan, yaitu : 1.
Future Volatility Future volatility adalah apa yang hendak diketahui oleh para pemain
dalam pasar keuangan (trader).
10 2.
Historical Volatility Historical Volatility adalah pemodelan dengan teori pricing berdasarkan
data masa lalu untuk dapat meramalkan volatilitas pada masa yang akan datang. 3.
Forecast Volatility Seperti halnya terdapat jasa yang berusaha meramalkan pergerakan arah
masa depan harga suatu kontrak demikian juga terdapat jasa yang berusaha meramalkan volatilitas masa depan suatu kontrak. 4.
Seasonal Volatility Komoditas pertanian tertentu seperti jagung, kacang, kedelai, dan gandum
sangat sensitif terhadap faktor-faktor volatilitas yang muncul dari kondisi cuaca musim yang jelek. 5.
Implied Volatility Implied Volatility adalah volatilitas yang diestimasi dari mekanisme pasar
dengan memilih kontrak opsi dengan expiration date yang sama. Berdasarkan keadaan persaingan pasar, Black dan Scholes menunjukkan bahwa harga suatu saham
mengikuti gerak Brown geometrik (geometric Brownian motion) pada
suku bunga dan ketidakstabilan (volatilitas) tertentu. Pergerakan harga saham tersebut dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut
dengan : perubahan harga saham yang mengikuti gerak Brown geometric : rata-rata dari tingkat pengembalian saham : perubahan waktu
11 : nilai volatilitas : gerak Brownian. Menurut Lee (2002), keadaan pasar yang demikian dikatakan tidak ada arbitrase. Dengan kata lain, pelaku pasar modal mengasumsikan bahwa harga opsi di pasar modal sama dengan harga teoritis yang dihitung menggunakan formula BlackScholes, atau dapat ditulis sebagai
dengan
menyatakan harga opsi observasi yang diperoleh dari harga pasar
sebenarnya, dimana masa jatuh tempo saham induk. Dalam hal ini,
opsi sama dengan masa jatuh tempo
menyatakan harga opsi teoritis dari formula
Black-Scholes yang didefinisikan oleh:
Persamaan (2.9) disubstitusi ke persamaan (2.8), diperoleh
dengan ( )
(
) √
√ dengan
adalah fungsi distribusi normal kumulatif standar yang disajikan
dalam persamaan (2.5). Nilai volatilitas non-linear
mempunyai invers, yaitu
Nilai volatilitas selalu positif karena pada
dapat ditentukan jika persamaan
adalah konstan dan
(Dharmawan & Widana, 2011).
monoton naik
12 2.4
Metode Numerik Metode Numerik adalah suatu cara untuk memformulasikan masalah
numerik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi perhitungan/aritmatika. Metode numerik digunakan untuk memperoleh solusi hampiran (approximation) yang mendekati solusi eksak, berarti ada selisih antara solusi eksak dengan solusi hampiran, selisih ini disebut dengan nilai galat (error). Tentu saja solusi terbaik adalah solusi hampiran dengan nilai galat terkecil. Penggunaan hampiran pada tiap penyelesaian masalah numerik hanya akan menghasilkan solusi hampiran yang bukan solusi eksak, sehingga galat timbul dari penggunaan hampiran tersebut. Galat tersebut meliputi dua hal, yakni: 1.
Kesalahan Pemotongan (Truncation Error) Galat ini timbul disebabkan oleh pemotongan deret dengan suku-suku yang tidak berhingga menjadi deret dengan suku-suku yang berhingga. Galat
pemotongan
dihasilkan
saat
penggunaan
hampiran
untuk
menyatakan prosedur matematika eksak. 2.
Kesalahan Pembulatan (Round-Off Error) Galat ini timbul disebabkan oleh terbatasnya jumlah digit dalam menyatakan bilangan real, sehingga angka desimal dalam bilangan real tersebut diganti dengan angka-angka hampiran. Jadi, galat ini terjadi bila angka-angka hampiran digunakan untuk menyatakan angka-angka eksak. Hubungan antara nilai sebenarnya, nilai hampiran, dan galat (error) dapat
ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
13 u nilai galat (error) adalah:
dengan
adalah nilai sebenarnya,
adalah nilai hampiran untuk , dan
adalah
galat terhadap nilai sebenarnya/galat absolut. Dengan demikian nilai galat (error) adalah: Bila nilai sebenarnya sulit untuk diketahui, dan hanya diketahui nilai galat terbaik dan nilai hampiran terbaik, dapat dihitung galat relatif dari suatu bilangan dengan menggunakan hampiran terbaik dari harga sebenarnya. Galat relatif (relative error) dapat dinyatakan dalam bentuk | |
|
|
Pada metode numerik biasanya dilakukan suatu iterasi, dalam hal ini hampiran sekarang dibuat berdasarkan hampiran sebelumnya. Pada iterasi metode numerik, galat adalah selisih antara nilai hampiran sebelumnya dengan nilai hampiran sekarang dan galat relatif juga dapat ditulis dalam bentuk | | dengan
|
|
adalah nilai hampiran pada iterasi ke ,
iterasi ke
dan
adalah nilai hampiran pada
. Galat relatif dalam bentuk persen dapat
dinyatakan sebagai | |
|
Pada penelitian ini, toleransi error
| yang digunakan sebesar
.
14 2.4.1
Deret Taylor Representasi deret pangkat dari sebuah fungsi dalam
disebut
deret Taylor yang diambil dari nama ahli matematika Inggris yaitu Brook Taylor (1685-1731) (Purcell & Rigdon, 2003). Diberikan turunan fungsinya, yaitu terbuka
yang mengandung
di dalam ,
dengan
dengan
2.4.2
adalah suatu fungsi dan
ada untuk setiap , maka nilai
di sekitar
pada selang
dan untuk setiap
dapat diekspansi ke dalam deret Taylor suku orde , yaitu:
disebut galat atau sisa yang dapat dinyatakan sebagai
adalah bilangan real di antara
dan
.
Metode Newton-Raphson Penurunan rumus metode Newton Raphson dapat dilakukan secara
geometris dan dengan bantuan deret Taylor. Hampiran linier terhadap dekat
dengan
di
diperoleh dengan memotong deret Taylor sampai suku orde satu, yaitu:
adalah bilangan real di antara
(2.19), diperoleh:
dan
. Substitusi
ke persamaan
15 dan karena untuk mencari akar dari
Jika
, maka
ini berarti:
cukup dekat dengan , suku terakhir pada ruas kanan persamaan (2.21)
akan bernilai kecil dibandingkan dengan jumlah dari dua suku pertama. Oleh karena itu, suku terakhir dapat diabaikan (Mathews, 1987). Dengan demikian, dapat didefinisikan hampiran
yang berada didekat akar, yaitu
atau
Proses terus berulang dengan cara yang sama. Jika maka hampiran selanjutnya adalah
Secara
geometris,
yang dapat ditulis sebagai berikut.
diberikan
adalah
didiferensialkan, dengan garis lengkung titik
adalah hampiran saat ini,
fungsi
singgung
dari
pada titik
Selanjutnya diberikan (Gambar 2.1). Karena
dapat
yang memotong sumbu- pada
memiliki sebuah garis singgung pada setiap titik. Diberikan
hampiran awal untuk
yang
sebagai
, berarti dapat dibentuk persamaan garis , yaitu:
sebagai titik potong sumbu- dari garis singgung , diperoleh
Persamaan (2.26) dapat ditulis sebagai persamaan (2.23).
16
𝑦 𝑓 𝑥 𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖
𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖
𝜎 𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑥
𝑥𝑖
Gambar 2.1 Iterasi pada Metode Newton-Raphson secara Geometris Pada Gambar 2.1 terlihat bahwa dari
, hampiran
singgung untuk
merupakan hampiran yang lebih baik
ini diperoleh dengan menggambarkan persamaan garis . Menggunakan cara yang sama yaitu menggambar
persamaan garis singgung yang melalui Hal ini terus berulang hingga | |
2.4.3
diperoleh hampiran baru
.
.
Metode Secant Metode Secant juga merupakan metode numerik yang dapat digunakan
untuk memecahkan persamaan tak linier dalam bentuk
Metode ini dimulai dengan hampiran awal persamaan (2.27). Selanjutnya dihitung
dan
untuk solusi
dari
sebagai hampiran baru untuk .
Metode Secant merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson, yaitu dengan mengganti fungsi turunan yang digunakan pada metode Newton-Raphson
17 menjadi bentuk lain yang ekuivalen. Turunan fungsi tersebut diselesaikan dengan jalan pendekatan,yaitu
Substitusi persamaan (2.28) ke persamaan (2.24), diperoleh
Secara geometris, metode Secant ditunjukkan oleh Gambar 2.2. Menentukan
dan
sebagai hampiran awal, selanjutnya dapat ditarik garis
lurus antara
dan
yang melewati sumbu- pada
.
Diperoleh dua segitiga sebangun ABE dan DCE, yang dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagai berikut.
atau
𝑦
𝑓 𝑥 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖 𝜎 𝑥𝑖
B
C E D 𝑥𝑖
A 𝑥𝑖
𝑥
Gambar 2.2 Iterasi pada Metode Secant secara Geometris
18 Persamaan (2.30) dapat ditulis sebagai persamaan (2.29). Iterasi terus berulang, dan berhenti saat | |
2.4.4
.
Metode Bisection Metode Bagi Dua (Bisection) atau metode Bolzano atau bracketing method
dimulai dengan sebuah interval
,
], dimana
dan
berbeda
tanda (Mathews,1992). Pada grafik (Gambar 2.3) fungsi kontinu memotong sumbu- pada akar
,
yang terletak di suatu tempat dalam interval.
Secara sistematis metode Bisection adalah metode pencarian akar dengan mengurangi separuh interval pertama untuk memilih titik
dan kemudian menganalisa kemungkinan yang akan timbul: (i)
Jika
dan
(ii)
Jika
dan
(iii)
Jika
]
berbeda tanda, akar terletak di berbeda tanda, akar terletak di
]
, diperoleh bahwa akar pada
Jika salah satu dari kasus (i) atau kasus (ii) terjadi, diperoleh interval yang merupakan setengah bagian dari interval pertama yang mengurung akar dan mengurangi separuh interval tersebut dengan proses yang sama (Gambar 2.3). Pada proses selanjutnya, separuh interval baru tersebut dinamai ulangi proses sampai | |
,
. Jika kasus (iii) terjadi, maka akar adalah
] dan .
19
𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖
𝜎
𝑥𝑖
𝑥
𝑓 𝑥𝑖
Gambar 2.3 Iterasi pada Metode Bisection secara Geometris
