BAB II TINJAUAN KEPUSTAKAAN

BAB II TINJAUAN KEPUSTAKAAN II.1 Tegangan Lentur pada balok II.1.1 Umum Pada kasus yang umum terjadi dapat dilihat ketika sebuah balok lurus yang menerima beban-beban lateral mengalami momen lentur dan gaya geser pada setiap penampangnya dimana besaran yang terjadi ini dapat dihitung secara manual. Sebagai contoh yang sederhana pada gambar 2.1 dimana sebuah balok kantilever yang terjepit pada salah satu ujungnya dan diberi beban terpusat W pada ujung yang bebas. Pada kejadian seperti ini maka serat atas memanjang dari balok kantilever akan mengalami tarik sedangkan serat bawah akan mengalami tekan. Sebagai tambahan pada tegangan lentur pada balok, juga ada tegangan geser pada setiap penampang dari balok. Pada kebanyakan permasalahan yang terjadi dianggap bahwa distorsi akibat geser dapat diabaikan karena tidak terlalu berbahaya sedangkan pada kenyataannya adalah tidak benar.

Gambar 2.1 Regangan lentur akibat pembebanan pada kantilever

Universitas Sumatera Utara

II.1.2 Lentur Murni pada Balok Masalah lentur ini ditinjau pada elemen balok dengan penampang persegi dan diberi gaya lentur pada kedua ujungnya. Balok ini memiliki lebar penampang b , ketinggian penampang h seperti gambar 2.2a dengan sumbu simetri dari penampang adalah Cx, Cy.

Gambar 2.2a Penampang balok persegi

Gambar 2.2b Balok lentur terhadap bidang yz

Sepanjang balok dibengkokkan terhadap bidang yz, gambar 2.2b dimana sumbu pada pertengahan memanjang dari sumbu Cz tidak mengalami tarik maupun tekan sehingga membentuk jari-jari seragam R. Kita tinjau daerah tertentu daripada balok dimana dalam keadaan tidak dibebani , AB dan FD yang merupakan bagian melintang dari sumbu memanjang balok dan saling sejajar. Pada saat dibengkokkan dianggap AB dan FD tetap datar dan A’B’ dan F’D’ adalah penampang dari balok yang dibengkokkan yang sudah tidak saling sejajar.


Pada bentuk yang dibengkokkan, beberapa serat memanjang seperti A’F’ mengalami tarikan dan B’D’ mengalami tekan. Permukaan pertengahan yang tidak mengalami tarik dan tekan dikenal sebagai permukaan netral dan sumbu Cx disebut sebagai sumbu netral. Sekarang kita tinjau serat HJ pada balok yang sejajar sumbu memanjang Cz seperti gambar 2.2c, serat sejauh y dari permukaan netral dan berada pada daerah tarik. Panjang awal dari serat HJ sebelum dibengkokkan adalah δz dimana panjang setelah di bengkokkan adalah (2.1) sejak sudut diantara A’B’ dan F’D’ pada gambar 2.2b dan 2.2c adalah δz/R. Maka selama pembengkokkan HJ tertarik sebesar (2.2) Regangan longitudinal dari serat HJ adalah (2.3)

Gambar 2.2c Tegangan pada balok lentur


Kemudian regangan longitudinal pada setiap serat adalah sebanding terhadap jarak serat itu dari permukaan netral. Pada daerah tekan yang berada di sisi sebelah bawah dari permukaan normal memiliki nilai regangan negatif. Jika material dari balok tetap berada dalam keadaan elastis selama pembengkokkan maka tegangan longitudinal pada serat HJ adalah (2.4) Penyaluran dari tegangan longitudinal pada setiap penampang seperti pada gambar 2.2d, karena penyaluran yang simetris dari tegangan terhadap cumbu Cx maka tidak terjadi dorongan longitudinal pada penampang dari balok. Resultan dari momen yang terjadi adalah (2.5) Dengan mensubstitusikan σ pada persamaan (2.6) maka didapat (2.6)

Gambar 2.2d Persebaran tegangan lentur


dimana

adalah momen kedua dari luas dari penampang terhadap sumbu Cx. Dari

persamaan (2.5) dan (2.7) didapat (2.7) Dapat disimpulkan bahwa jari-jari yang seragam, R, dari tengah dari sumbu Cz dapat terbentuk dari momen yang terjadi pada kedua ujung dari balok. Persamaan (2.7) menunjukkan hubungan yang linear antara M dan kelengkungan dari balok (1/R). Konstanta seperti EIx dalam hubungan yang linear ini disebut bending stiffness atau kadang disebut flexural stiffness dari balok. Kekakuan ini adalah hasil dari modulus Young (E) dan momen kedua dari luas (Ix) dari penampang terhadap sumbu pembengkokkan.

II.1.3 Kasus Umum Lentur Murni Balok Pada kasus yang lebih umum, biasanya tegangan lentur pada balok terjadi pada setiap sumbu dari penampang balok. Sebuah balok panjang seragam pada gambar 2.3a yang mempunyai titik berat C, Cz sebagai sumbu memanjang balok, Cx dan Cy sebagai sumbu titik berat balok.

Gambar 2.3a Sistem koordinat untuk balok


Balok akan dibengkokkan pada terhadap bidang yz terlebih dahulu sehingga sumbu Cz akan membentuk jari-jari lingkaran Rx seperti gambar 2.3b. Regangan yang terjadi pada balok sejauh y dari sumbu netral adalah (2.8) Jika material balok adalah elastis, maka tegangan longitudinal pada serat ini adalah

Dimana δA adalah elemen kecil dari luas penampang balok yang bekerja tegangan langsung σ seperti gambar 2.3b dan 2.3c. Gaya dorong total pada setiap penampang balok pada arah Cz adalah (2.9)

Gambar 2.3b Lentur bidang yz

Gambar 2.3c Momen lentur sumbu Cx, Cy


dimana pengintegralan dilakukan terhadap semua luasan A pada balok. Tetapi karena Cx adalah titik pusat sumbu, maka (2.10) dan tidak ada dorongan yang terjadi akibat tegangan σ. Momen terhadap Cx dan Cy akibat tegangan σ adalah (2.11)

Ketika balok dibengkokkan pada bidang xz seperti gambar 2.3d, regangan yang terjadi pada balok sejauh x dari sumbu netral adalah

Gambar 2.3d Lentur bidang xz

Gaya dorong yang dihasilkan tegangan ini adalah


karena Cy adalah titik pusat sumbu dari penampang. Momen terhadap Cx dan Cy akibat tegangan σ adalah (2.12)

Jika disuperposisikan kedua kondisi tersebut maka total momen terhadap sumbu Cx dan Cy adalah (2.13)

Persamaan ini dapat disusun menjadi bentuk (2.14)

(1/Rx),(1/Ry) adalah lengkung pada bidang yz dan xz yang terjadi karena Mx dan My. Jika Cx dan Cy adalah sumbu pusat utama maka Ixy = 0 dan persamaan (2.14) menjadi dan

(2.15)

Pada umumnya diperlukan pengetahuan terhadap sifat bentuk geometris 3 dimensi dari penampang profil seperti Ix, Iy, dan Ixy. Resultan akibat tegangan lentur pada setiap titik (x,y) dari penampang balok adalah (2.16)


II.2 Tegangan Geser pada Balok akibat Tegangan Lentur II.2.1 Umum Sebelumnya telah dibahas tentang tegangan langsung memanjang pada sebuah kantilever atau balok jepit bebas dengan gaya lateral pada ujung yang bebas. Tegangan ini terdistribusi secara merata pada setiap penampang balok yang mengalami momen lentur. Pada kenyataan umum, tegangan geser terjadi seiring terjadinya tegangan lentur dan tegangan geser juga terjadi pada setiap penampang dari balok seperti tegangan lentur. Tegangan lentur pada balok hampir tidak dipengaruhin oleh gaya geser pada setiap bagian dan berpengaruh besar nilainya terhadap momen lentur. Misalkan sebuah balok kantilever yang dibebani gaya geser pada ujung yang bebas dengan penampang segi empat seperti gambar 2.4a.

Gambar 2.4a Reaksi geser pada balok kantilever

Jika balok tersebut dipotong secara melintang pada bagian tertentu, maka harus dimasukkan momen M dan gaya geser F pada bagian tersebut untuk menjaga keseimbangan. Momen lentur M tersebar pada penampang balok dalam arah sejajar sumbu memanjang balok. Gaya geser F terdistribusi dalam bentuk tegangan geser τ yang bekerja tegak lurus penampang balok dan pada arah yang sejajar gaya geser.


Bentuk distribusi dari τ tergantung pada bentuk penampang potongan dan arah gaya F. Tegangan geser ini yang terjadi ini menambah nilai dari tegangan geser pelengkap yang kemudian sejajar dengan bidang memanjang dari balok.

II.2.2 Tegangan Geser penampang segi empat sempit Sebuah balok sederhana berupa sebuah kantilever dengan penampang segi empat yang sempit, dibebani dengan gaya lateral F pada ujung bebas balok, gambar 2.5a yang memiliki ketinggian h dari penampang dan ketebalan t yang nilainya besar dibandingkan dengan ketebalan. Gaya lateral F dibebankan pada arah sejajar dengan ketinggian pada penampang balok.

Gambar 2.5a Tegangan geserpada balok penampang sempit

Ditinjau bagian kecil sepanjang δz dari balok pada jarak z dari ujung yang dibebani. Pada bidang BC dari balok momen lentur yang terjadi adalah (2.17) Tegangan lentur yang terjadi sejauh y dari sumbu utama Cx adalah sama dengan lenturan seragam dari elemen kecil yang ditinjau sehingga (2.18)


dimana Ix adalah momen kedua dari luas terhadap sumbu utama dari pembengkokkan Cx yang juga merupakan sumbu netral. Pada bidang DE dari elemen momen lentur bertambah menjadi (2.19)

Tegangan lentur pada jarak y dari sumbu netral bertambah menurut (2.20) Tegangan lentur akan ditinjau diantara serat paling atas BD sebesar GH sebesar

dan serat

, gambar 2.5b. Total gaya lentur pada bidang BG akibat tegangan

lentur σ adalah (2.21)

Gambar 2.5b Gaya geser pada balok penampang sempit

Dengan cara yang sama untuk δσ maka total gaya pada bidang DH akibat σ + δσ adalah (2.22)


Gaya-gaya lentur yang terjadi memanjang pada sumbu Cz tidak cukup seimbang dengan selisih nilai sebesar (2.23) Sekarang bidang paling atas BD bebas dari tegangan geser, dan ketidakseimbangan ini harus diseimbangkan dengan gaya geser pada permukaan GH dimana gaya geser yang bekerja ini tersalur secara merata pada permukaan GH. Tegangan geser pada permukaan ini adalah kemudia menjadi (2.24)

Tegangan geser yang terjadi pada bidang sejajar bidang netral dari balok menimbulkan terjadinya tegangan geser pelengkap pada penampang sejauh y dari sumbu netral yang bekerja tegak lurus penampang tersebut. Analisis tersebut memberikan tegangan geser yang bervariasi sesuai dengan ketinggian dari balok dari penampang. Untuk kasus sederhana dengan tipe penampang ini (2.25) kemudian (2.26) Pertama harus diketahui bahwa tegangan ini tidak tergantung pada z karena resultan gaya geser pada semua penampang adalah sama dan sama dengan F. Resultan gaya geser yang terjadi dari variasi nilai tegangan τ adalah (2.27)


Tegangan geser ini akan cukup kemudian untuk menyeimbangkan gaya F yang dibebankan pada penampang dari balok. Variasi tegangan dari τ pada penampang balok berbentuk parabola, gambar 2.5c dengan nilai tegangan τ mencapai nilai maksimum pada sumbu netral dari balok, dimana

dan (2.28)

Gambar 2.5c Variasi nilai tegangan geser pada ketinggian balok

Tegangan geser harus bernilai nol pada serat terluar sejak tidak adanya tegangan geser pelengkap pada arah memanjang pada permukaan paling atas dan bawah dari balok. Pada kasus kantilever dengan beban tunggal terpusat F pada ujung bebas maka gaya geser untuk setiap penampang adalah sama, dan penyaluran dari tegangan geser juga sama untuk setiap penampang. Pada kasus yang lebih umum, tegangan geser yang terjadi itu bervariasi dari penampang yang satu dengan penampang yang lain.


II.2.3 Tegangan Geser penampang dengan satu sumbu simetris Balok dengan penampang yang memiliki satu sumbu simetris akan memiliki tegangan geser yang berbeda dengan balok dengan penampang sempit segi empat. Ini disebabkan karena balok dengan bentuk penampang yang berbeda akan memiliki nilai tegangan geser yang berbeda. Balok di bawah ini memiliki sumbu simetri Cy seperti gambar 2.6a. Pada balok ini dibebani dengan gaya F yang bekerja sejajar dengan sumbu Cy dan berada pada titik pusat dari penampang balok sedangkan Cx adalah sumbu lentur.

Gambar 2.6a Tegangan geser pada balok satu sumbu simetris

Ditinjau sebuah elemen kecil sepanjang δz pada balok dengan jarak sejauh z dari sisi bebas dari balok kantilever, maka momen lentur yang terjadi adalah

Gaya ini akan menimbulkan tegangan lentur pada penampang sehingga tegangan lentur longitudinal pada titik tertentu pada penampang sejauh y dari sumbu netral Cx adalah


Sekarang akan ditinjau bagian dari elemen yang dipotong dengan permukaan berbentuk silinder BDEGHJ, gambar 2.6b, yang sejajar pada sumbu Cz. Misalkan A adalah luas dari masing-masing ujung dari elemen silinder, maka total gaya memanjang pada ujung BDE akibat tegangan lentur adalah

dimana δA adalah elemen kecil pada A dan y adalah elemen ini dari sumbu netral Cx. Total gaya longitudinal pada ujung yang lain GHJ akibat tegangan lentur adalah

karena momen lentur pada bagian ini adalah M +δM = F(z + δz) Beban tarik pada ujung dari elemen BDEGHJ dibedakan dengan nilai

Jika ỳ adalah jarak dari titik pusat luas A dari sumbu Cx, maka

Ketidakseimbangan beban tarikan yang terjadi dapat diseimbangkan dengan gaya geser yang terjadi pada permukaan silindris BDEGHJ. Gaya geser ini adalah kemudian

dan bekerja di sepanjang permukaan BDEGHJ dan sejajar dengan cumbu Cz. Total gaya geser per satuan panjang pada balok adalah (2.29)


Jika b adalah panjang dari lengkung BDE, atau GHJ, maka rata-rata tegangan geser yang terjadi pada permukaan BDEGHJ adalah (2.30) Ketika nilai b kecil dibandingkan dengan ukuran-ukuran linear lainnya dari penampang maka didapat bahwa tegangan geser tersebar merata pada seluruh permukaan BDEGHJ. Ini sering dijumpai pada balok-balok dengan penampang tipis seperti profil I dan profil canal.

II.2.4 Tegangan Geser profil I Aplikasi pada metode yang umum dikembangkan pada subbab ini adalah tegangan geser yang bekerja pada dinding tipis (thin-walled) dengan penampang berbentuk I karena diberikan beban terpusat sebesar F pada ujung bebas dari balok. Gaya yang bekerja ini sejajar dengan sumbu Cy, gambar 2.7a.

Gambar 2.7a Tegangan geser akibat lentur


Penampang I ini memiliki dua sumbu simetris yaitu Cx dan Cy, lebar sayap I sebesar b, jarak di antara sayap atas dan sayap bawah sebesar h, dan ketebalan dari profil diasumsikan sama untuk badan dan sayap dari I-beam. Persamaan (2.29) memberikan gaya geser sebesar q per satuan panjang dari balok pada setiap bagian dari potongan penampang. Ditinjau titik 1 pada sayap dengan jarak s1 dari ujung yang bebas, gambar 2.7a, sehingga luasan yang terbentuk dari potongan pada titik 1 adalah (2.31) Jarak titik berat dari luasan ini ke sumbu netral Cx adalah (2.32) Kemudian gaya geser yang terjadi pada potongan penampang pada titik 1 adalah (2.33) Jika ketebalan dari profil t adalah sama besarnya dibandingkan dengan ukuran dimensi dari bagian lain, maka dapat dinyatakan bahwa q tersebar secara merata pada setiap ketebalan dinding dengan tebal t. Tegangan geser yang terjadi pada titik 1 adalah (2.34) Pada ujung sayap yang memberikan nilai s1= 0 , mak a τ = 0 , mak a tid ak ak an ada tegangan geser arah memanjang pada ujung dari sayap penampang. Tegangan geser τ akan bertambah secara beraturan (linear) dengan besaran nilai s1 yang semakin bertambah dari nol hingga

, pada sambungan antara badan dan sayap

maka (2.35)


Karena penampang I juga memiliki kesimetrisan terhadap Cy, maka tegangan geser pada pertemuan antar sayap juga bertambah secara linear dari ujung bebas yang bernilai nol sampai pertengahan sayap. Pada bagian kedua akan ditinjau pada bagian badan dengan titik 2 sebagai titik tinjauan yang berjarak s2 dari sambungan antara sayap dan badan. Dalam meninjau

untuk bagian ini maka harus diperhitungkan keseluruhan luasan yang

terpotong oleh titik 2. Luasan tersebut adalah

Maka gaya geser yang terjadi adalah

Jika gaya geser yang bekerja ini diasumsikan terjadi secara merata seperti tegangan geser, maka (2.36) Pada hubungan antara badan dan sayap s2 = 0, dan (2.37) Pada sumbu netral, s2 =

, dan (2.38)

Tegangan geser yang terjadi memiliki nilai bervariasi yang membentuk parabola pada ketinggian badan dari profil I, mencapai nilai maksimum pada s2 =

yang

merupakan sumbu netral, gambar 2.7b. Di setiap bagian dari penampang balok


terjadi tegangan geser yang nilainya beragam, pada sayap profil tegangan geser yang terjadi adalah sejajar sumbu Cx, dan tidak memberikan pengaruh pada total gaya pada bagian yang sejajar sumbu Cy.

Gambar 2.7b Variasi tegangan geser pada I-beam

Pada sambungan antara badan dan sayap, tegangan geser yang terjadi pada badan adalah dua kali lebih besar dari tegangan geser. Alasan untuk pernyataan ini dapat dilihat dengan menganggap bahwa kondisi yang seimbang terjadi pada sambungan antara badan dan sayap. Tegangan geser yang terjadi pada sayap adalah

dimana tegangan geser pada badan yang telah dihitung adalah

Untuk keseimbangan longitudinal, gambar 2.7c, dari satuan panjang untuk sambungan antara badan dan sayap akan didapat (2.39)


Gambar 2.7c Keseimbangan pada pertemuan sayap dan badan profil

Persamaan ini benar dan dalam kenyataannya telah dibuktikan dengan kombinasi persamaan-persamaan yang didapat dari peninjauan terhadap setiap bagian dari penampang profil. Jika sayap dan badan dari profil memiliki ketebalan yang berbeda, tf dan tw, maka kondisi keseimbangan pada sambungan akan terjadi persamaan (2.40)

Keadaan keseimbangan ini terjadi pada sambungan, seperti antara sayap dan badan dari penampang I dimana jumlah dari gaya geser per satuan panjang yang terjadi dan bertemu pada sambungan memiliki nilai nol. Untuk persamaan di sambungan adalah (2.41) dimana τ adalah tegangan geser pada sebuah elemen di sambungan, dan t adalah ketebalan dari elemen tesebut. Penjumlahan terjadi pada semua elemen-elemen yang bertemu pada satu titik sambungan.


Untuk sebuah profil dengan penampang berbentuk I yang menerima gaya geser sejajar dengan badan profil maka akan terjadi tegangan geser maksimum pada bagian tengah badan profil seperti yang terjadi pada persamaan (2.38) Jika Ix dari penampang adalah (2.42) maka (2.43) Total gaya geser yang terjadi pada badan profil yang sejajar dengan sumbu Cy adalah F dan jika gaya ini tersebar merata pada seluruh permukaan badan dari profil maka tegangan rata-rata adalah (2.44)

II.2.5 Tegangan Geser profil kanal Pada kasus-kasus umum telah dibahas mengenai tegangan geser dalam balok yang mengalami lentur yang hanya memiliki satu sumbu simetris dari bentuk penampangnya dimana beban dianggap bekerja sejajar dengan sumbu simetris tersebut. Kasus seperti ini hanya memiliki masalah yang sederhana karena dengan bekerjanya gaya sejajar sumbu simetris maka tidak terjadi puntiran atau perputaran pada balok pada saat di beri beban. Sekarang akan di bahas bagaimana jika beban geser diberikan dengan arah tegak lurus sumbu simetris penampang. Misalkan ada profil kanal dengan bentuk penampang simetris terhadap sumbu Cx, gambar 2.8a.


Gambar 2.8a Balok kanal terkantilever

Profil kanal ini memiliki ketebalan t yang seragam, b adalah total lebar dari masing-masing sayap, h adalah jarak antara kedua sayap, dan C yang merupakan pusat berat dari penampang kanal. Balok dijepit pada salah satu ujung dan gaya geser dibebani pada ujung bebas dengan jarak tertentu yang sejajar dengan sumbu Cy. Gaya geser yang diberikan pada titik O pada sumbu Cx sehingga tidak terjadi torsi pada kanal, gambar 2.8b.

Gambar 2.8b Tegangan Geser pada tiap bagian kanal


Jika beban diberikan pada sebelah kiri dari C maka puntiran atau perputaran akan terjadi dalam arah berlawanan jarum jam, sedangkan jika beban diberikan di sebelah kanan C maka puntiran dan perputaran akan terjadi searah jarum jam. Ada suatu posisi dari titik O dimana tidak terjadi puntiran, seperti yang terlihat dimana titik tersebut tidak bertepatan dengan titik pusat massa C. Masalah yang terjadi akan lebih sederhana jika beban terpusat F diberikan tepat pada titik O pada sumbu Cx yang tidak memberikan torsi pada kanal, seperti titik O yang memiliki jarak e dari pusat dari badan kanal, gambar 2.8b. Karena pada setiap bagian dari balok hanya terjadi tegangan lentur, dapat digunakan persamaan berikut (2.45) Pada jarak s1 dari ujung bebas dari sayap kanal

Pada jarak s2 sepanjang badan kanal mulai dari sambungan badan dan sayap kanal

Tegangan geser yang terjadi pada sayap

dan pada badan adalah

Tegangan geser τ1 pada sayap bertambah secara linear dari nol sampai pada nilai maksimum yang berada pada ujung dari sayap yang berhubungan dengan badan kanal. Sedangkan variasi dari tegangan geser τ2 terjadi secara parabola pada badan kanal dan mencapai nilai maksimum


pada pertengahan ketinggian dari badan kanal, gambar 2.8c. Tegangan geser τ1 pada sayap kanal menghasilkan total gaya geser sebesar (2.46)

Gambar 2.8c Variasi nilai tegangan geser; e adalah jarak ke pusat geser O

yang bekerja sejajar terhadap garis pusat dari sayap kanal dimana total tegangan geser pada kedua sayap kanal bekerja dalam dua arah yang berlawanan. Jika distribusi dari tegangan geser τ1 dan τ2 adalah statis ekuivalen terhadap gaya geser yang diberikan maka diperlukan adanya keseimbangan pada pertengahan ketinggian dari badan kanal B dimana

Kemudian (2.47)


adalah seperti yang diharapkan dimana beban terpusat yang diberikan seharusnya terjadi. Kita ketahui bahwa titik O adalah tidak bertepatan atau jauh dari titik pusat massa C dari penampang kanal, titik O ini biasanya disebut sebagai titik pusat geser. Titik O adalah titik dari penampang kanal dimana total resultan gaya geser harus bekerja jika lentur yang terjadi tidak disertai dengan timbulnya torsi pada balok.

II.2.6 Tegangan Geser profil berongga Sebuah bagian dari balok dengan profil kotak tunggal yang berdinding tipis tertutup (berongga) dilenturkan terhadap sumbu xx dan diberi beban geser melintang F yang bekerja langsung pada titik pusar geser, gambar 2.9a(a).

Gambar 2.9a Tegangan geser pada profil berongga

Kasus seperti ini dapat diubah menjadi kasus dengan tampang yang terbuka dengan mengadakan pemotongan secara memanjang (gambar 2.9a(b)) sehingga teori yang dikembangkan sebelumnya dapat diaplikasikan pada kasus tersebut. Tegangan geser yang terjadi pada setiap penampang balok dapat dicari dengan menggunakan persamaan (2.30). Pada titik ini regangan geser yang terjadi adalah τ/G dan ketika sebuah bagian kecil dengan lebar ds ditinjau maka terlihat bahwa pergerakan dalam


arah axial antara kedua permukaan adalah τ ds/G. Oleh karena itu, total perpindahan relatif dalam arah axial antar D dan C adalah (2.48) Perpindahan ini yang disebut juga dengan dislokasi dapat dihilangkan dengan menambahkan aliran geser Co (gambar 2.9a(c)) yang hilang ketika terjadi pemotongan secara memanjang pada balok. Seperti sebelumnya dimana aliran geser seperti Co adalah konstan disekililing profil sehingga jika tidak diinginkan terjadinya dislokasi pada D dan C maka (2.49) dimana (2.50)

Gambar 2.9b Profil dengan kotak lebih dari satu

Ketika profil memiliki lebih dari 1 kotak (gambar 2.9b) maka teknik penyelesaian yang sama juga dapat digunakan. Setelah mengubah profil dari tertutup menjadi terbuka dengan mengadakan pemotongan dalam arah memanjang profil, aliran geser diberikan pada setiap kotak (i=1,…,n). Dislokasi pada setiap daerah pemotongan dalam setiap kotak adalah sama dengan nol seperti seblumnya (G telah dihilangkan).


∮(τ +Ci/t) ds – Σ ∫web Ci/t ds = 0

(2.51)

dimana rumus terakhir menunjukkan kontribusi dari kotak yang bersebelahan terhadap distorsi pada badan profil yang terjadi secara umum pada profil dengan penampang lebih dari satu kotak. Persamaan (2.51) menunjukkan aliran geser Ci sampai Cn yang sembarang pada profil yang memiliki lebih dari satu kotak (berongga/hollow).


II.3 Torsi II.3.1 Umum Dalam bab sebelumnya telah dibahas tegangan lentur dan tegangan geser yang terjadi akibat pembebanan pada balok yang terjepit bebas. Konsep dari tegangan geser dan regangan geser ini memiliki aplikasi yang penting terhadap masalah-masalah torsi yang terjadi. Masalah-masalah seperti ini sering terjadi pada balok yang mengalami puntiran yang besar, pada balok yang dibebani secara tidak semetris, pada sayap dan badan pesawat, dan pada contoh-contoh lainnya. Masalah yang terjadi ini sangat rumit pada umumnya, dan pada bagian ini hanya akan dipelajari tentang torsi seragam pada balok lingkaran, balok berdinding tipis, dan dinding tipis terbuka.

II.3.2 Torsi pada thin circular tube Permasalahan torsi yang paling sederhana adalah pemuntiran terhadap pipa lingkaran tipis yang seragam. Pipa dalam gambar 2.10a memiliki ketebalan t, jarak jari-jari dari dinding r,dan L adalah panjang dari pipa lingkaran tersebut.

Gambar 2.10a Torsi pada thin-walled circular tube


Tegangan geser diberikan pada sekeliling permukaan dari pipa lingkaran pada kedua ujung akhir pipa dan dalam arah yang berlawanan. Jika tegangan τ adalah seragam di sekitar batas dinding pipa, total torsi T pada kedua ujung balok pipa adalah (2.52) Sehingga tegangan geser di sekeliling permukaan pipa akibar torsi T adalah (2.53) Selanjutnya akan diperhitungkan regangan geser yang terjadi akibat dari tegangan geser. Perlu diketahui pertama kali regangan geser pelengkap terjadi pada dinding pipa yang sejajar dengan sumbu memanjang dari pipa. Jika δs adalah sebahagian kecil panjang dari permukaan kemudian bagian dari dinding ABCD, gambar 2.10a, adalah dalam keadaan mengalami tegangan geser murni. Jika salah satu ujung dari balok pipa dianggap tidak ikut terpuntir, maka elemen dinding memanjang ABCD mengalami distorsi menjadi bentuk parallelogram ABC`D`, gambar 2.10a, sudut dari regangan geser menjadi (2.54) jika material adalah elastic, dan memiliki modulus geser G. Tetapi jika θ adalah sudut dari puntiran dari ujung dekat pipa maka akan didapat (2.55) Sehingga (2.56) Tetapi kadang akan lebih sesuai untuk mendefinisikan puntiran dari pipa sebagai perbandingan dari perubahan dari puntir terhadap satuan panjang yang dinyatakan dengan (θ/L), dan dari persamaan (2.58) ini adalah sama dengan


(2.57)

II.3.3 Torsi pada solid circular shafts Torsi yang terjadi pada pipa tipis lingkaran adalah masalah yang lebih sederhana karena tegangan geser dapat dianggap konstan pada seluruh ketebalan dinding. Kasus seperti tiang lingkaran yang padat lebih rumit karena tegangan geser sangat bervariasi pada setiap bagian dari penampang balok. Tiang berbentuk lingkaran padat dari gambar 2.11a memiliki panjang L dan jari-jari a pada penampang pada tiang.

Gambar 2.11a Torsi pada sebuah solid circular shaft

Ketika torsi yang besarannya sama diberikan dalam arah yang berlawanan pada setiap ujung dari tiang terhadap sumbu memanjang maka dapat diasumsikan bahwa: i. puntiran adalah seragam pada sepanjang tiang, sehingga seluruh penampang tegak lurus sumbu memanjang mengalami perputaran yang hampir sama, ii. penampang tetap datar pada saat mengalami puntiran, dan iii. jari-jari tiang tetap lurus selama puntiran terjadi.


Jika θ adalah sudut dari puntiran akibat torsi yang terjadi pada kedua ujung dari tiang, kemudian regangan geser γ dari sebuah elemen tiang dengan tebal δr dan pada jari-jari r adalah (2.58) Jika material bersifat elastis dan memiliki modulus geser G maka keseluruhan tegangan geser yang terjadi pada bagian tiang ini adalah (2.59) Ketebalan dari sebahagian tiang adalah δr, maka total torsi pada bagian ini adalah (2πr δr)τr = 2πr2τ δr Total torsi pada tiang adalah kemudian (2.60) Dengan menggantikan τ dari persamaan (2.61) , maka didapat (2.61) dimana (2.62) Ini adalah momen inersia polar dari luasan penampang terhadap sumbu pusat, dan biasanya ditulis dengan symbol J. Maka kemudian persamaan (2.63) dapat ditulis menjadi (2.63) Kombinasi dari persamaan (2.61) dan (2.65) menjadi (2.64)


Dapat dilihat dari persamaan (2.61) bahwa τ bertambah secara linear dengan r, dari nol pada pusat dari tiang menjadi Gaθ/L pada kelilingnya. Sepanjang jari-jari dari penampang, tegangan geser adalah tegak lurus terhadap jari-jari dan tetap dalam keadaan datar terhadap penampang, gambar 2.11b.

Gambar 2.11b Variasi dari tegangan geser akibat torsi pada penampang padat

II.3.4 Torsi pada hollow circular shafts Pada kasus umum yang sering terjadi adalah torsi yang disalurkan melalui tiang lingkaran dengan penampang hollow (berongga). Misalkan a1 dan a2 adalah jari-jari bagian dalam dan bagian luar dari tiang lingkaran hollow seperti gambar 2.12a.

Gambar 2.12a Penampang dari tiang lingkaran berlubang


Asumsi-asumsi yang sama seperti pada tiang lingkaran padat dapat diberlakukan. Jika τ adalah tegangan geser pada jari-jari r, maka total torsi pada tiang adalah (2.65) Jika diasumsikan bahwa jari-jari tetap lurus selama puntiran, dan bahwa material bersifat elastic, maka didapatkan

Kemudian persamaan (2.67) menjadi (2.66) dimana (2.67) J disini adalah momen inersia polar dari luasan penampang atau lebih umumnya adalah konstanta torsi dari penampang terhadap sumbu yang melalui titik pusat. J memiliki nilai (2.68) Maka, untuk keduanya hollow dan padat, dapat diambil suatu hubungan antara lain (2.69)

II.3.5 Torsi pada thin tubes dengan penampang bukan lingkaran Pada umumnya kasus dari torsi dari sebuah tiang yang mempunyai bentuk penampang tidak menyerupai lingkaran termasuk kedalam salah satu kasus yang rumit. Dalam kasus tertentu dimana tiang adalah sebuah pipa tipis kosong maka dapat dikembangkan teori dasar yang memberikan hasil-hasil yang cukup tepat untuk tujuan dari insinyur.


Misalkan sebuah pipa berdinding tipis yang tertutup memiliki bagian yang seragam pada setiap panjangnya. Ketebalan dari dinding pada setiap titik adalah t, gambar 2.13a, walaupun ini dapat berbeda pada titik disekeliling dari pipa. Kemudian torsi T diberikan pada setiap ujung akhir sehingga terjadi puntiran terhadap sumbu memanjang Cz. Diasumsikan bahwa torsi T tersebar pada ujung akhir dari pipa dalam bentuk tegangan geser yang sejajar terhadap penampang dinding pada setiap titik, gambar 2.13a, dan pada ujung dari pipa terbebas dari tahanan aksial.

Gambar 2.13a Torsi pada pipa berdinding tipis dengan penampang bervariasi

Jika tegangan geser pada setiap titik dari keliling adalah τ, maka tegangan geser pelengkap yang sama harus diberikan pada sepanjang panjang dari pipa. Ditinjau keseimbangan yang terjadi pada bagian ABCD dari dinding, jika tegangan geser τ terjadi seragam pada setiap titik pada ketebalan dinding maka gaya geser yang tersalur pada sisi BC adalah τt per satuan panjang. Untuk keseimbangan memanjang dari ABCD, gaya geser τt pada BC harus sama dan berlawanan arah dengan τt pada sisi AD, tetapi bagian ABCD hanya merupakan salah satu bagian sedangkan geser ini


harus bekerja pada seluruh secara konstan pada seluruh bagian dari pipa. Misalkan nilai konstan dari ini τt adalah (2.70) Gaya geser ini disebut dengan aliran geser yang memiliki satuan beban per satuan panjang dari keliling pipa. Kemudian dilakukan pengukuran dengan jarak s disekeliling pipa dari suatu titik O pada keliling dari pipa, gambar 2.13a. Gaya yang bekerja secara tegak lurus pada sebahagian penampang pipa dengan panjang δs ini adalah τt δs. Misalkan r adalah jarak tegak lurus dari pusat puntiran C pada sisi keliling pipa. Sehingga momen dari gaya τt δs terhadap titik pusat C adalah τtr δs

(2.71)

Total torsi pada penampang dari pipa adalah (2.72) dimana pengintegrasian dilakukan terhadap keseluruhan keliling dari pipa. Tetapi τt bersifat konstan dan sama dengan q untuk seluruh perubahan nilai s. Kemudian (2.73) Sekarang

adalah dua kali luasan dari pipa, A, ditutupi oleh garis tengah dari

dinding dari pipa, dam kemudian (2.74) Tegangan geser pada setiap titik ini kemudian adalah (2.75) Untuk mencari sudut putar dari pipa maka diperhitungkan energi regangan yang terjadi dalam pipa, dan menyamakan energi ini pada hasil yang dihasilkan torsi


T dalam pemuntiran terhadap pipa. Ketika sebuah material diberikan tegangan geser τ maka energi yang terdapat per satuan volume dari material adalah (2.76) dimana G adalah modulus geser dari material. Pada pipa, tegangan geser ini bervariasi pada sekeliling keliling pipa tetapi bukan sepanjang pipa. Kemudian energi regangan pada elemen memanjang dari panjang L, lebar δs dan tebal t adalah (2.77) Total regangan energi yang terkandung dalam pipa antara lain adalah sebesar (2.78) dimana integrasi dilakukan terhadap seluruh keliling dari pipa. Tetapi τt bersifat konstan, dan sama dengan q, sehingga dapat ditulis (2.79) Jika pada ujung dari pipa terjadi puntir yang berhubungan dengan satu sama lain dengan besar sudut θ, kemudian hasil dari torsi T adalah (2.80) Dengan menyeimbangkan U dan W, didapat (2.81) Dari persamaan (2.74) menunjukkan bahwa (2.82) Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan q kedalam persamaan (2.81), maka didapat (2.83)


Untuk pipa dengan ketebalan t, (2.84) dimana S adalah keliling dari pipa. Persamaan (2.83) dapat dituliskan menjadi

dimana (2.85) J adalah konstanta torsi untuk penampang, untuk penampang lingkaran J sama dengan momen inersia polar dari luasan penampang, tetapi ini tidak benar pada umumnya.

II.3.6 Torsi pada pelat datar segi empat Sebuah pelat strip dengan penampang berbentuk segi empat memiliki lebar b, tebal t, dan panjang L. Untuk torsi yang seragam terhadap titik pusat dari penampang, pelat strip datar ini dapat dianggap sebagai sebuah pipa berdinding tipis yang memiliki lubang dan mengalami puntiran dengan besaran yang sama pada seluruh bagiannya. Dianggap bahwa sebuah elemen seperti pipa yang berbentuk segi empat dimana sisi yang panjang memiliki jarak y dari pusat sumbu strip dan memiliki ketebalan pipa adalah δy, gambar 2.14a.


Gambar 2.14a Torsi pada pelat strip tipis

Jika δT adalah torsi yang terjadi pada bagian pipa ini maka tegangan geser pada sisi panjang dari pipa adalah dari persamaan (2.75), sehingga (2.86) dimana b diasumsikan sangat besar nilainya dibandingkan dengan t. Hubungan ini kemudian menjadi (2.87) Untuk sudut putar yang terjadi pada elemen pipa, dapat digunakan persamaan (2.84),

dimana L adalah panjang dari strip. Ini kemudian menjadi (2.88) Dengan membandingkan persamaan (2.87) dan (2.88), maka didapat (2.89) Ini menunjukkan bahwa tegangan geser τ berubah secara linear pada seluruh ketebalan dari pelat dan memiliki nilai maksimum pada permukaan sebesar (2.90)


Ciri-ciri yang penting adalah bahwa tegangan geser τ bekerja sejajar sisi panjang b dari pelat, dan arahnya berkebalikan terhadap ketebalan dari pelat. Solusi pendekatan ini memberikan gambar yang kurang tepat untuk tegangan geser dekat sudut dari penampang. Kita seharusnya meninjau pipa yang bukan berbentuk segi empat tetapi pipa datar dengan ujung melengkung. Bentuk aliran dari tegangan geser yang konstan kemudian berlangsung melengkung secara terus menerus, gambar 2.14b.

Gambar 2.14b Arah dari tegangan geser akibat torsi pada pelat tipis

Total torsi yang terjadi pada penampang adalah (2.91) Momen inersia polar dari luasan penampang terhadap pusat pelat strip adalah (2.92) Jika nilai b sangat besar dibandingkan nilai t, maka pendekatannya adalah (2.93) Bentuk tegangan geser yang terjadi konstan terdapat pada persamaan (2.91) adalah , sehingga dalam torsi yang terjadi pada pelat strip tipis tidak dapat digunakan momen inersia luasan untuk J dalam hubungan


Oleh karena itu dipakai (2.94)

II.3.7 Torsi pada dinding tipis terbuka dan tertutup tidak terjadi tegangan warping Analisis lebih lanjut dapat dilakukan pada bagian-bagian lain akibat torsi seragam dari dinding tipis terhadap bentuk-bentuk penampang lainnya. Pada bentuk penampang terbuka seperti gambar 2.15a, diambil sebahagian bagian dalam dua sayap. Jika t1 dan t2 sangat kecil dibandingkan dengan b1 dan b2, tegangan geser pada sayap 1 dan 2 adalah

dimana sudut puntir per satuan panjang, θ/L, terjadi pada kedua sayap. Tegangan geser terbesar terjadi kemudian pada permukaan dari sayap yang lebih tebal dari penampang.

Gambar 2.15a Torsi pada bagian berbentuk siku


Total torsi dari penjumlahan dari torsi-torsi yang terjadi pada kedua limb adalah (2.95) Pada umumnya, untuk dinding tipis penampang terbuka dengan berbagai bentuk, tegangan geser pada permukaan dengan tebal t adalah

Sehingga rumus untuk total torsi yang terjadi pada dinding tipis terbuka adalah (2.96) Untuk penampang gabungan seperti bagian yang terdiri dari sebuah profil tertutup dan beberapa profil terbuka yang tertempel padanya, hasil dari persamaan di atas dapat ditambahkan. Total torsi T adalah penjumlahan dari torsi yang terjadi pada profil terbuka seperti

dan torsi pada profil tertutup seperti

sehingga

menjadi =G

(2.97)

dimana J adalah konstanta torsi untuk seluruh penampang. Torsi yang terjadi pada salah satu pelat atau profil tertutup didapatkan dengan perbandingan yang sederhana. ;

(2.98)

Dengan mendapatkan torsi yang terjadi pada masing-masing pelat dari penampang profil, tegangan dapat ditemukan dengan menggunakan rumus sebelumnya. Akan didapatkan bahwa pada kebanyakan kasus-kasus, konstanta torsi dari bagian yang tertutup sangat mendominasi dan bagian yang terbuka biasanya dapat diabaikan.


Ketika penampang yang terdiri dari beberapa profil tertutup yang digabung bersamaan seperti gambar 2.15b, perkiraan keseimbangan pada sambungan seperti A menunjukkan bahwa (2.99) Untuk setiap bagian cell didapatkan dari persamaan (2.74)

Sehingga untuk keseluruhan penampang adalah (2.100) Sudut putar dari setiap kotak didapatkan dari persamaan (2.83), sehingga

(2.101) Sejak dϕ/dz memiliki nilai yang sama untuk setiap kotak, terlihat bahwa sekumpulan persamaan yang tidak diketahui (2.102) dapat diselesaikan. Dengan memasukkan nilai ᴪ kedalam persamaan (2.100) maka didapatkan hubungan sebagai berikut (2.103) sehingga konstanta torsi pada profil kotak ganda adalah (2.104) Ketika sebuah profil hanya terdiri dari satu kotak, persamaan (2.74) dan (2.85) menunjukkan bahwa (2.105)


Tetapi rumus sederhana ini tidak dapat dipakai pada profil yang memiliki banyak kotak tetapi harus menggunakan persamaan (2.101) dan (2.102) Pada bagian ini hanya dibahas masalah torsi seragam yang terjadi pada tiang pada sepanjang panjangnya dan warping

tidak diperhitungkan. Tidak terjadi

tegangan memanjang dan ini berbeda dengan torsi yang terjadi akibat warping.

II.3.8 Torsi pada dinding tipis terbuka dan tertutup terjadi tegangan warping Pada bagian ini akan dibahas tentang sifat dari sebuah balok lurus berpenampang tipis (thin-walled) yang kemudian diberikan beban lentur dan beban torsi terbagi rata pada permukaannya seperti gambar 2.16a. Bagian ini hanya akan membahas bagaimana persebaran dari tegangan-tegangan yang timbul akibat beban luar yang diberikan.

Gambar 2.16a Beban torsi yang bekerja pada balok berdinding tipis


Pada gambar 2.16b, dapat dilihat bahwa ketika sebuah balok berdinding tipis dikekang terhadap puntir maka timbul tambahan tegangan dalam arah memanjang dan melintang.

a. Balok I dengan momen torsi M

b. Tegangan geser Saint Vennant

c. Tegangan warping

Gambar 2.16b Contoh dari Saint Vennant dan Torsi warping

Tegangan-tegangan ini tidak muncul dalam kasus torsi seragam (Saint Vennant). C.Bach (1909) adalah orang yang pertama mengeluarkan pernyataan ini setelah melakukan percobaan menggunakan balok kantilever dengan penampang


kanal. Percobaan pertama adalah dengan memberikan beban terpusat pada ujung balok tepat pada titik berat penampang yang kemudian menimbulkan lentur dan perputaran penampang dalam arah memanjang. Percobaan ini menunjukkan bahwa bidang penampang tidak lagi datar dan mengalami tegangan warping keluar dari bidang. Kemudian dilakukan percobaan dengan mengubah-ubah posisi pembebanan sampai ditemukan titik pusat geser dan tambahan tegangan menjadi hilang. Pada bagian ini, persamaan umum didapat dengan terlebih dahulu menentukan koordinat sistem asal, kemudian koordinat sistem lanjutan ( intermediate), dan terakhir adalah koordinat sistem utama. Koordinat dari titik dalam ketiga sistem ini harus dinotasikan dengan lambang yang berbeda. Selanjutnya akan didapatkan funsi warping w, yang dihitung dengan acuan terhadap kutub B pada kedua koordinat sistem pertama dan dihitung terhadap titik pusat geser M pada koordinat sistem utama serta memperhatikan posisi dari titik awal V. Ketiga bagian koordinat sistem yang digunakan adalah 1. Koordinat sistem asal A(ẋ ,ẏ ,ż). Kutub B dan titik mulai V untuk menghitung fungsi warping diambil secara sembarang. Biasanya

(2.106) 2. Koordinat sistem intermediate S (ẍ ,ӱ,ż). Sumbu ini sejajar dengan sumbu (ẋ ,ẏ ,ż). Kutub B tetap tidak berubah dari posisi awal tetapi titik awal V berubah sehingga

(2.107)


3. Koordinat sistem utama S(x,y,z). Sumbu x dan y membentuk sudut ψ terhadap sumbu ẍ dan ӱ dan kemudian kutub B berpindah ke M. Sifat-sifat bagian untuk masing-masing perubahan koordinat sistem adalah 1. Koordinat sistem asal (ẋ ,ẏ ,ż) = momen pertama dari luasan terhadap sumbu ẏ = momen pertama dari luasan terhadap sumbu ẋ = Luas bidang momen pertama terhadap kutub B = momen kedua dari luasan terhadap sumbu ẏ = momen kedua dari luasan terhadap sumbu ẋ = hasil kali momen dari luasan dari profil (ẋ ,ẏ ,ż) = hasil kali bidang dari luas = hasil kali bidang dari luas = konstanta warping terhadap kutub B

2. Koordinat sistem lanjutan (ẍ ,ӱ,ż) = momen pertama dari luasan terhadap sumbu ӱ = momen pertama dari luasan terhadap sumbu ẍ = Luas bidang momen pertama terhadap kutub B = momen kedua dari luasan terhadap sumbu ӱ = momen kedua dari luasan terhadap sumbu ẍ


= hasil kali momen dari luasan dari profil (ẍ ,ӱ,ż) = hasil kali bidang dari luas = hasil kali bidang dari luas = konstanta warping terhadap kutub B

3. Koordinat sistem asal (x,y,z) = momen pertama dari luasan terhadap sumbu y = momen pertama dari luasan terhadap sumbu x = Luas bidang momen pertama terhadap kutub M = momen kedua dari luasan terhadap sumbu y = momen kedua dari luasan terhadap sumbu x = hasil kali momen dari luasan dari profil (x,y,z) = hasil kali bidang dari luas = hasil kali bidang dari luas = konstanta warping terhadap kutub M


Gambar 2.16c Koordinat sistem asal, lanjutan,dan utama

Fungsi warping untuk profil terbuka adalah (2.108) sedangkan fungsi warping untuk profil tertutup adalah (2.109)

Nilai dari fungsi warping ini tergantung kepada letak kutub B dan titik mulai V dari profil dimana pengintegrasian dilakukan. Dengan terjadinya perubahan posisi dari B dan V maka akan mengakibatkan perubahan fungsi warping dan perpindahan keluar bidang dari penampang. Fungsi warping akan memiliki nilai negatif ketika


bergerak berlawanan arah jarum jam dan bernilai positif jika bergerak searah jarum jam. Persamaan yang digunakan untuk perhitungan nilai keseimbangan rotasi terhadap sumbu ẋ dan sumbu ẏ adalah (2.110)

dengan memproyeksikan panjang ds dari elemen profil terhadap masing-masing sumbu maka akan didapatkan nilai ẋ dan ẏ . Untuk dapat berubah dari koordinat sistem asal menjadi koordinat sistem lanjutan maka digunakan persamaan (2.111)

dimana : (2.112)

Pada koordinat sistem lanjutan, kutub B tetap tidak berubah sedangkan titik asal V berpindah untuk memenuhi

. Setelah itu, kemudian di

lakukan perpindahan dari koordinat sistem lanjutan ke koordinat sistem utama dengan persamaan


(2.113)

dimana (2.114)

Pada koordinat sistem utama ini, titik kutub B sudah berpindah ke titik pusat geser M sehingga perhitungan untuk koordinat titik pusat geser adalah

(2.115)

Persamaan yang kemudian digunakan untuk menentukan fungsi warping untuk koordinat sistem utama adalah (2.116) Jika

maka nilai ẍ dan ӱ dari koordinat sistem lanjutan akan sama dengan

nilai x dan y dari koordinat sistem utama.

(2.117)

(2.118) Nilai yang lebih kecil pada hasil

atau

merupakan momen kedua dari luas

untuk masing-masing sumbu lemah dan sumbu kuat pada kondisi pembebanan


lentur.

merupakan konstanta warping untuk suatu jenis profil dengan

penampang tertentu yang nilainya konstan pada setiap ketinggian. Dalam menganalisa torsi dari balok lebih baik menggunakan hubungan di antara tegangan-tegangan dan total tegangan. Itu adalah di antara tegangan warping memanjang

dan bimomen

yang didapat dengan mengeliminasi persamaan (2.119)

dan (2.120) menjadi (2.121)

Sehingga total tegangan langsung arah memanjang adalah (2.122)

Distribusi tegangan geser pada profil terbuka kemudian didapatkan. Untuk profil terbuka, persamaan tegangan gesernya adalah

(2.123)

dimana pengintegrasian dilakukan dari ujung bebas menuju suatu titik tertentu s. Karena

dan

adalah turunan dari

dan

sehingga persamaan di atas dapat

ditulis menjadi


(2.124) Untuk single-cell dengan penampang tipis tertutup, pemisalan pemotongan dalam arah memanjang dapat dilakukan pada titik tertentu sehingga bagian pertama dari tegangan geser adalah nol pada titik pemotongan dan bagian berikutnya pada

mengalami kenaikan nilai tegangan geser akibat aliran geser C(z)= sekeliling profil.

Gambar 2.16d Aliran geser T= t merupakan penjumlahan profil terbuka dan C yang konstan sepanjang profil

untuk

Persamaan untuk aliran geser yang timbul akibat tegangan geser warping adalah (2.125) dimana (2.126) (2.127) (2.128) kemudian persamaan T menjadi (2.129) (2.130)


Sedangkan distribusi aliran geser dan tegangan warping longitudinal yang terjadi adalah (2.131) dan (2.132)

Persamaan yang berada di dalam kurung hanya merupakan fungsi dari pengukuran terhadap penampang sehingga tegangan geser warping hanya berubah terhadap

. Pada analisis di atas, perlu diketahui bahwa

mempertahankan keseimbangan longitudinal dari sebuah elemen yang mendapat tegangan warping longitudinal

. Aliran geser yang konstan pada setiap profil

dengan ketinggian z tidak

memberikan pengaruh terhadap keseimbangan

longitudinal melainkan memberikan pengaruh terhadap nilai

.

Penting untuk disadari bahwa nilai aliran geser C sedikit berbeda dari aliran geser Saint Vennant. Selain itu perlu juga diketahui bahwa walaupun pemisalan pemotongan dilakukan pada profil tetapi nilai dari

dan titik pusat geser M

tetap mengikuti profil yang tidak dilakukan pemisalan pemotongan.


II.4 Perbandingan corewall tidak berlubang dengan berlubang Konstruksi corewall memiliki bentuk penampang yang bermacam-macam, bisa mempunyai bentuk kotak tunggal, kotak banyak, dan bentuk penampang lainnya seperti O, Δ, Ε, dll serta dapat terbuat dari material seperti baja, beton bertulang, dan juga komposit. Corewall bisa bersifat massif dan bisa juga tidak massif karena dilemahkan oleh lubang-lubang seperti pembuatan lubang pintu lift, tangga, dll. Kedua jenis corewall ini memiliki keuntungan dan kelemahan masing-masing dan penggunaannya harus disesuaikan dengan kebutuhan. Pemilihan jenis corewall yang akan nantinya akan berperan sebagai daya dukung suatu konstruksi harus dapat dikombinasikan dengan balok, kolom, pelat lantai, dll sehingga disain bangunan tinggi akan memiliki tata letak yang teratur mencapai penggunaan yang paling hemat dan efisien. Pada umumnya, corewall tanpa lubang jarang ditemukan di dalam dunia konstruksi tetapi ini diperlukan untuk tujuan penentuan dasar guna menganalisa efek dari lubang pada distribusi tegangan. Corewall tanpa lubang kurang efektif dan efisien karena terdapat space waste (ruangan tidak berguna) pada tengah corewall yang seharusnya bisa dimanfaatkan untuk pembuatan lift, tangga darurat, dll. Sedangkan corewall berlubang lebih sering dipakai dan sangat berkembang saat ini karena sangat efektif dan efesien serta ekonomis untuk bangunan bertingkat tinggi. Pembuatan lubang pada dinding corewall untuk fungsi tertentu akan berpengaruh pada distribusi tegangan karena nantinya tegangan dari bagian yang dibuat lubang tesebut akan menyebar ke daerah lain. Dengan adanya lubang pada dinding corewall maka otomatis kekakuan bidang yang tadinya utuh akan berkurang karena sudah kehilangan kekakuannya walaupun tidak akan berpengaruh terlalu


besar dalam jumlah kecil. Penurunan nilai kekuatan pada corewall memberikan nilai yang relatif karena disesuaikan terhadap jumlah lubang yang terdapat pada dinding corewall itu sendiri dan biasanya penurunan kekuatan ini masih dalam batas yang diizinkan karena sudah dianalisis terlebih dahulu.

Gambar 2.17a Corewall tidak berlubang

Gambar 2.17b Corewall berlubang

Jika suatu profil yang tidak berlubang diubah menjadi berlubang seperti gambar diatas maka akan terjadi perubahan nilai kekuatan dimana sumbu kuat akan mengalami penurunan sebesar 20%, sumbu lemah berkurang sebesar 64,29%, sedangkan konstanta warping bertambah sangat signifikan melebih 100% karena sudah menjadi profil terbuka yang memiliki nilai konstanta warping yang besar.


II.5 Finite Element Method (FEM) Dalam pembuatan Skripsi ini akan menggunakan metode elemen hingga sebagai elemen segitiga dan segiempat sebagai perbangdingan dari perhitungan yang telah dicari dengan menggunakan metode yield line dan dalam hal ini dibantu dengan menggunakan program SAP 2000. Di dalam metode elemen hingga bila suatu kontinum dibagi bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi elemen-elemen hingga disebut proses “diskretisasi” (pembagian). Dinamakan elemen-elemen hingga karena bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding dengan kontinumnya. Dengan metode elemen hingga kita dapat mengubah suatu masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu sehingga proses pemecahannya akan lebih sederhana. Misalnya suatu batang yang panjang, bentuk fisiknya tidak lurus dipotongpotong sependek mungkin sehingga terbentuk batang-batang pendek yang relatif lurus. Maka pada bentang yang panjang tadi disebut kontinum dan batang yang pendek disebut elemen hingga. Suatu bidang yang luas dengan dimensi yang tidak teratur, dipotong-potong berbentuk segi tiga atau bentuk segi empat yang beraturan. Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. Dan banyak lagi persoalan yang identik dengan hal diatas. Maka dari sini dapat dikatakan bahwa elemen hingga pasti mempunyai lebih kecil dari kontinumnya. Sebaiknya pendekatan dengan metode elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang berdasarkan asumsi peralihan atau asumsi tegangan, bahkan dapat juga berdasarkan kombinasi kedua asumsi tadi dalam elemennya.


Tujuan utama analisis dengan metode elemen hingga adalah untuk memperoleh nilai pendekatan tegangan dan peralihan yang terjadi pada suatu struktur. Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut : 1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat dan lain sebagainya). 2. Pada titik-titk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi. 3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilai-nilai titik nodalnya. 4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan peralihan dan hubungan rengangan-tegangannya. 5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen dengan menggunakan prinsip usaha atau energi. 6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi. 9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan.


II.6 Constant Strain Triangle Element (CST Element) CST-element adalah elemen yang paling sederhana, dimana matriks material adalah sbb:

Matriks ini diperoleh dari hubungan tegangan dan regangan dari Hukum Hooke dua dimensional. Sedangkan displacement adalah sbb:

Gambar 2.18 CST Elemen dengan 6 DOF

Pada elemen CST derajat kebebasan atau DOF untuk satu elemen adalah 6 dapat dilihat pada gambar diatas, sedangkan jumlah simpul adalah tiga dengan penomoran berlawanan arah jarum jam. Pada persamaan displacement dapat dilihat bahwa hal itu adalah modifikasi dari metode Ritz.


x ij = x i – x j y ij = y i –y j 2A = (x2 - x1)(y3 – y1)-(x3 – x1)(y2 – y1)

Dimana, [G]=[N][A]-1

Dengan demikian

Maka :



Tabel 2.1 Matriks Kekakuan CST Column index j

1

row index 2

3

4

x ij = x i – x j ,

5

6

y ij = y i –y j


i

II.7 Elemen Segitiga Isoparametrik Elemen isoparametrik untuk pertama kalinya dipublikasikan pada tahun 1966. Dengan isoparametrik, maka dimungkinkan adanya elemen quadrilateral yang tidak segi empat. Keunggulan utamanya adalah sisi-sisi yang tidak harus lurus dan adanya koordinat khusus. Elemen isoparametrik sangat berguna untuk memodelkan struktur yang tepinya lengkung, dan membentuk jarring yang tidak lurus. Elemen ini banyak digunakan karena terbukti efektif dalam hal seperti masalah elastisitas dua atau tiga dimensi, analisis cangkang, dan juga aplikasi nonstruktural. Sebuah elemen hingga disebut isoparametrik bila fungsi geometrik dan fungsi bentuk peralihan dari elemen tersebut menggunakan rumus interpolasi yang sama. Bila fungsi geometrik berderajat lebih rendah daripada fungsi bentuk peralihannya, maka elemen tadi disebut subparametrik. Bila sebaliknya yang terjadi, maka elemen tadi disebut superparametrik. Titik simpul pada elemen mendefinisikan dua hal : 1. Derajat bebas titik simpul dapat dipakai untuk menunjukkan peralihan {u,v,w} pada titik di dalam elemen. 2. Koordinat titik simpul dapat dipakai mendefinisikan koordinat global{x,y,z} suatu titik dalam elemen. Metode isoparametrik dapat muncul sebagai suatu metode yang membingungkan tetapi metode ini akan menghasilkan perumusan yang sederhana dalam program computer. Istilah isoparametrik berasal dari penggunaan terhadap fungsi bentuk yang sama (atau fungsi interpolasi) untuk mencari bentuk geometrik elemen seperti yang digunakan untuk mencari perpindahan dalam elemen. Persamaan elemen isoparametrik diformulasikan dengan menggunakan koordinat


sistem asal yang diambil dari bentuk elemen dan bukan berdasarkan perpindahan elemen dalam koordinat sistem global. Pada umumnya, fungsi bentuk elemen dengan ordo yang lebih tinggi dapat dikembangkan dengan penambahan titik simpul pada sisi-sisi dari elemen yang linear. Elemen-elemen ini akan menghasilkan variasi nilai regangan yang lebih teliti dalam setiap elemen, sehingga konversi menjadi penyelesaian yang tepat dapat dilakukan dengan cepat menggunakan sedikit elemen. Keuntungan yang lain dari penggunaan elemen dengan tingkat ordo yang lebih tinggi adalah kurva batas dari bentuk yang tidak beraturan dapat lebih akurat daripada penggunaan elemen dengan sisi yang lurus. a. Koordinat Natural Dari Elemen Segitiga Karakteristik geometri dari elemen hingga tertentu, seperti misalnya elemen segitiga, kuadrilateral, serta elemen segitiga tiga dimensi lainnya, membuat kecendurangan penyelesaian suatu permasalahan dengan sistem koordinat yang tidak berdimensi (alami) lebih sering digunakan dibandingkan dengan sistem koordinat Cartesius. Turunan dan integrasi yang dibutuhkan dalam perhitungan kekakuan dan beban titik nodal ekuivalen dapat disederhanakan dengan menggunakan koordinat geometrik lokal. Sebuah elemen segitiga seperti tergambar pada gambar 2.19.

Gambar 2.19 Koordinat Alami untuk sebuah segitiga


Titik sudutnya diberi nomor 1, 2, dan 3, sedangkan letak titik 4 ditentukan dengan membagi segitiga tadi menjadi segitiga-segitiga kecil A1, A2, dan A3. Koordinat luas yang tidak berdimensi untuk segitiga didefinisikan (2.133) dan dapat memeriksa bahwa (2.134) jadi (2.135) yang menunjukkan bahwa ξ1, ξ2, dan ξ3 tidak saling bergantung. Gambar 2.19b menunjukkan

pada titik 1 dan sepanjang sisi 2-3 juga ditunjukkan

linear hingga sisi yang berhadapan, demikian juga untuk

dan

yang

. Bila koordinat

global x dan y dinyatakan dalam koordinat lokal, akan kita peroleh

(2.136) Sebaliknya, dapat dinyatakan koordinat lokal dalam x dan y dengan mencari nilai ξ1, ξ2, dan ξ3 dari persamaan (2.135) dan (2.136) sebagai berikut (2.137) Karena koordinat alami(natural) ξ1, ξ2, dan ξ3 elemen segitiga sama dengan fungsi bentuk peralihannya f1, f2, dan f3 maka dapat disimpulkan bahwa elemen segitiga tersebut adalah isoparametrik. Untuk menyederhanakan persamaan (2.137), dimisalkan Aij sebagai luas segitiga dengan titik nodal i dan j serta memiliki koordinat global yang terletak pada ujung. Selain itu


a1= x23

a2= x31

a3= x12

b1= -y23

b2= -y31

b3= -y12

Persamaan (2.137) kemudian dapat ditulis menjadi

(2.138) Bila fungsi f(ξ1, ξ2, dan ξ3) diturunkan terhadap x dan y akan diperoleh

(2.139)

Dari persamaan (2.138) dilihat bahwa

Sehingga persamaan (2.139) menjadi (2.140) Hasil integral suku polinom dalam koordinat luas ξ1, ξ2, dan ξ3 akan diperoleh sebagai berikut (2.141)


b. Integrasi Numerik Untuk berbagai tipe elemen, penurunan kekakuan dan beban titik nodal ekuivalen dengan elemen isoparametrik tidak dapat dilakukan. Untuk mengatasi hal-hal semacam ini diperlukan suatu teknik integrasi numerik tertentu. Salah satu teknik yang sangat akurat dan mudah adalah metode Gauss Quadrature. Untuk mendapatkan pendekatan integral yang mana dimana dapat dievaluasi

(2.142)

sebagai sampel pada titik tengah selang(interval)

kemudian mengalikannya dengan panjang selangnya, seperti diperlihatkan pada gambar 2.20a. Dengan demikian didapatkan I ≈ 2 ϕ1. Hasil ini eksak apabila fungsi ϕ merupakan garis lurus dengan kemiringan sembarang. Bentuk umum persamaan (2.142) adalah (2.143) Dengan demikian, untuk mendekati I maka dievaluasi lokasi ξ, mengalikan

yang diperoleh dengan bobot

pada beberapa dan menjumlahkannya.

Pada metode Gauss ini, penempatan titik-titik sampel ini sedemikian rupa sehingga untuk sejumlah titik sampel tertentu sudah dapat diperoleh hasil yang akurat. Titik-titik sampel diletakkan simetris terhadap pusat selang. Pasangan titik yang simetris tersebut mempunyai bobot polinomial berderajat

yang sama. Pada umumnya,

dapat diintegrasi secara eksak dengan menggunakan

n titik Gauss quadrature.


Dalam dua dimensi, diperoleh

(2.144) Sedangkan untuk tidak dimensi, diperoleh (2.145)


II.8 Program SAP 2000 SAP2000 adalah program computer untuk merancang struktur keluaran CSi (Computers and Structures Inc.).SAP2000 memungkinkan banyak hal yang sebelumnya dianggap mustahil menjadi sederhana dan mudah. SAP2000 mampu menggeser tugas menghitung yang rumit ke konsep perilaku struktur, pembagian beban dan analisa output sehingga konsep perancangan jauh lebih baik. SAP2000 benar-benar mampu mengambil tugas analisa struktur karena jika kita sudah melakukan input data dengan benar, maka proses analisa akan langsung diambil olah SAP2000 dan prosesnya pun tergolong sangat cepat. Secara garis besar, perhitungan analisa struktur rangka dengan SAP2000 ini akan melalui beberapa tahap, yaitu: 1. Menentukan geometri model struktur 2. Mendefinisikan data-data. a. Jenis dan kekuatan bahan. b. Dimensi penampang elemen struktur. c. Macam beban. 3. Menempatkan (assign) data-data yang telah didefinisikan ke model struktur. a. Data penampang. b. Data beban. 4. Memeriksa input data. 5. Analisa mekanika teknik (MT).


BAB II TINJAUAN KEPUSTAKAAN

Recommend Documents