BAB I PENDAHULUAN. SARS pertama kali dilaporkan terjadi di Propinsi Guandong Cina pada

BAB I PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG MASALAH Pergerakan populasi

sangat mempengaruhi proses dinamika dari

epidemi penyakit. Hal ini dapat ditunjukkan oleh beberapa penyakit menular. SARS

pertama kali dilaporkan terjadi

di Propinsi

Guandong Cina pada

November 2002. Penyebarannya sangat cepat yaitu dengan kontak orang yang bepergian dengan menggunakan pesawat terbang, kereta api dan bus. Akhir Juni 2003 penyebarannya telah mencapai 32 negara dan mengakibatkan 800 orang meninggal dan lebih dari 8000 orang terinfeksi. Untuk campak, Bartlett (1957) menemukan bahwa ukuran populasi adalah faktor yang menentukan dari suatu penyakit yang menahun . Di kota-kota besar, dulunya cacar air adalah adalah endemik dengan kemunculan yang berbeda. Di kota – kota di bawah batas ukuran populasi, cacar air menunjukkan suatu pola epidemik dengan kemusnahan penyakit yang lengkap antar wabah. Hal ini menunjukkan bahwa struktur ruang dan pergerakan populasi yang meningkatkan variasi spatio-temporal dari populasi yang dinamis dapat berupa faktor penting terhadap meratanya penyakit. Oleh karena itu penting untuk mempelajari bagaimana pengaruh pergerakan populasi, struktur ruang, dan transmisi penyakit untuk menentukan evolusi penyakit. Dalam tesis

1

2

yang akan diamati adalah Basic Reproduction Number dari pengaruh komponenkomponen tersebut. Basic Reproduction Number didefinisikan sebagai jumlah infeksi yang dihasilkan dalam populasi yang sangat rentan terhadap perseorangan yang terinfeksi secara individual. Dalam beberapa kasus, hal ini merupakan awal dari transmisi penyakit yang mempunyai pengaruh besar terhadap kontrol penyakit. Dalam tesis ini menggunakan skala ruang sehingga bisa menyajikan ruang tersebut dengan cara terdiskrit, dengan kata lain ruang tersebut terbagi menjadi dua daerah diskrit. Suatu daerah menggambarkan suatu kota atau desa dan pergerakan populasi dapat disimulasikan dengan penyebaran penyakit pada daerah tersebut. Kajian tentang pengaruh dari penyebaran populasi pada penyakit menular dengan pengaturan daerah ruang telah dilakukan pada penyakit SARS, influenza, cacar air, TBC dan malaria. Penelitian ini menyelidiki pengaruh penyebaran populasi dengan menggunakan

simulasi komputer. Untuk

mensimulasikan evolusi dari wabah dalam ruang

dan menghitung Basic

Reproduction Number, Arino dan Van den Driessche merumuskan model epidemi dengan perpindahan populasi antar kota yang tempat tinggal dari individu dijaga. Brauer dan van denDriessche,Castillo-Chaves dan Yakubu, Wang dan Mulone adalah kajian lain dari model epidemi dari meta populasi. Asumsi secara matematis samadengan anggapan bahwa kesempatan dari penyembuhan dengan suatu interval waktu adalah tetap dengan pengabaian waktu terinfeksi. Secara epidemiologi hal ini memang tidak realistik,

3

sebagaimana ditunjukkan dengan kajian statistik dari transmisi penyakit menular. Pada prakteknya waktu infeksi untuk beberapa penyakit termasuk myxomatosis tampak terdistribusi dengan baik mendekati rata-rata waktu bertahan hidup.

1.2 MANFAAT PENELITIAN Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat dan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan dan untuk menambah wawasan dalam terapan matematika, khususnya model matematika dengan penyebaran populasi dan periode infeksi.

1.3 TUJUAN PENELITIAN Tujuan penelitian ini adalah 1. Membentuk model matematika dengan perpindahan populasi dan periode infeksi. 2. Menentukan titik-titik ekuibrium model. 3. Menentukan Basic Reproduction Number (R0). 4. Menentukan kestabilan titik ekuilibrium.

1.4 TINJAUAN PUSTAKA Model SIR ( Susceptible-Infected-Recovered ) diperkenalkan pertama kali oleh Kermack dan Mc.Kendrick (1927) ( dalam Zhang, dkk (2008)) dengan laju insidensi bilinear. Cooke (1979) ( dalam Zhang,dkk (2008)) memperkenalkan

4

penggunaan waktu inkubasi 𝜏 > 0 sebagai waktu tundaan dan dimasukkan kedalam laju insidensi sehingga berbentuk 𝛽𝑆 𝑡 𝐼 𝑡 − 𝜏 . Dalam model SIR populasi dibagi menjadi tiga klas yaitu : individu yang rentan, individu yang terinfeksi dan individu yang sembuh. Individu yang rentan menjadi terinfeksi setelah kontak dengan individu yang terinfeksi. Individu yang terinfeksi menjadi sembuh ketika usia infeksi telah melampaui periode infeksi. Campak, Rubella, cacar dan SARS adalah penyakit dengan model SIR. Jika jumlah individu yang rentan dalam populasi pada saat i dinyatakan dengan Si , Jumlah individu yang terinfeksi dalam populasi pada saat i dinyatakan dengan

I i , jumlah individu

yang sembuh dalam populasi pada saat i dinyatakan dengan

Ri dan jumlah

populasi dinyatakan dengan N i maka akan didapat bahwa : 𝑁𝑖 = 𝑆𝑖 + 𝐼𝑖 + 𝑅𝑖 dan

𝑑𝑁 𝑖 𝑑𝑡

= 𝐵𝑖 𝑁𝑖 𝑡 𝑁𝑖 𝑡 − 𝜇𝑖 𝑁𝑖 (𝑡), dengan Bi adalah rata-rata kelahiran per

kapita dan i adalah rata-rata kematian perkapita. Anton dan Rorres (2005) memberikan definisi tentang nilai eigen suatu matriks. Kocak dan Hale (1991) memberikan definisi tentang matriks jacobian. Perko (1991) menjelaskan tentang eksistensi dan ketunggalan solusi sistem persamaan diferensial biasa, kestabilan titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial biasa nonlinear yang diselidiki melalui sistem linearisasi dengan mempertimbangkan matriks jacobiannya serta kriteria stabil, stabil asimtotik dan tidak stabil. Kestabilan titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial linear

5

berdasarkan nilai eigen dijelaskan oleh Olsder (1994). Peter J olver and Chehrzad Shakiban (2006) menjelaskan bahwa radius spektral dari matriks didefinisikan sebagai maksimal modulus dari semua nilai eigen dan memberikan definisi dari matriks konvergen.

1.5 METODE PENELITIAN Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dengan membentuk model epidemi penyakit dengan perpindahan populasi dan periode infeksi serta menganalisa kestabilan titik keseimbangannya berdasarkan referensi-referensi yang sudah ada. Penelitian didasarkan pada jurnal karya Wendi Wang dan XiaoQiang Zhao, kontribusi penulis dalam jurnal tersebut adalah menambahkan diagram transfer pembentukan model, menambahkan Lemma 3.3.2 , Teorema 3.4.1,

melengkapi

menentukan

bukti

teorema,

memberikan

langkah-langkah

dalam

titik ekuilibrium model, memberikan algoritma dalam mencari

gambar untuk simulasi model dan menggambar potret fase.

1.6 SISTEMATIKA PENULISAN Tesis ini disusun dalam empat bab. Bab I. Pendahuluan, memuat latar belakang permasalahan, perumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, sistematika penulisan, dan metode penelitian. Bab II. Landasan Teori, menguraikan tentang konsep dasar dan teori-teori yang mendukung untuk pembentukan model SIR. Bab III. Pembahasan memuat tentang

6

pembentukan model dan Basic Reproduction Number dari suatu penyakit serta contoh

sebagai gambaran dari pengaruh penyebaran populasi pada suatu

penyakit. Bab V. Merupakan penutup yang meliputi kesimpulan dan saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.