BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari berkembangan teknologi modern, berperan penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya pikir manusia. Dengan demikian orang yang menguasai matematika maka ia bisa menguasai ilmu pengetahuan dan teknologi.

Pentingnya matematika ditunjukkan dalam Standar Isi KTSP 2006, pelajaran matematika diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar bahkan taman kanak-kanak sampai perguruan tinggi untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar peserta didik memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti, dan kompetitif.

Hal ini sejalan dengan prinsip pembelajaran matematika yang dikemukakan komunitas guru matematika di Amerika Serikat (NCTM) bahwa : “Students must learn mathematics with understanding, actively building new knowledge from experience and prior knowledge”. Belajar matematika merupakan interaksi aktif antara siswa dengan materi pembelajaran matematika. Dengan demikian materi pembelajaran akan siswa rasakan tidak serta merta datang, melainkan suatu pengetahuan dan pemahaman yang nyata dan berarti.

Keberhasilan proses pembelajaran yang dilaksanakan guru dapat dilihat dari hasil belajar siswa. Kenyataan menunjukkan bahwa pada mata pelajaran matematika, hasil belajar yang ditunjukkan siswa Indonesia belum memuaskan. Dalam survei tiga tahunan Programme for International Student Assessment (PISA) tahun 2006, Indonesia memperoleh nilai rata-rata 391 dan berada di urutan ke- 52 dari 57 negara dalam hal bermatematika. Selanjutnya, pada survey yang dilakukan PISA pada tahun 2009, Indonesia memperoleh nilai rata-rata 371. Sementara itu, peringkat Indonesia untuk matematika berada di urutan ke- 61 dari 65 negara.

1

Hasil yang hampir sama juga terlihat dari kajian Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) tahun 2007. Untuk pencapaian matematika kelas VIII posisi Indonesia berada pada peringkat ke- 36 (nilai rata-rata 397) dari 48 negara peserta. Hasilhasil survei yang dilakukan PISA dan TIMSS menggambarkan masih rendahnya kemampuan siswa di bidang matematika. Padahal, mata pelajaran matematika dipandang sebagai salah satu mata pelajaran penting yang berkaitan langsung dengan penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Namun, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai mata pelajaran yang sulit untuk dipelajari dan mereka tidak dapat mencapai prestasi belajar seperti yang diharapkan.

Rendahnya hasil belajar matematika semakin jelas terlihat ketika kita mencermati nilai matematika yang diperoleh siswa dalam Ujian Nasional. Hampir dalam setiap Ujian Nasional, mata pelajaran matematika cenderung menempati posisi nilai terendah jika dibandingkan dengan nilai mata pelajaran lain yang juga diujikan dalam Ujian Nasional. Bahkan, tidak jarang rendahnya nilai mata pelajaran matematika menjadi salah satu penyebab siswa tidak lulus dalam Ujian Nasional.

Ujian Nasional yang dilaksanakan pada tahun pelajaran 2011/2012, untuk jenjang pendidikan SMA/SMK/MA/MAK mencakup 6 mata pelajaran untuk masing-masing program. Untuk program IPA di SMA/MA, ke-enam mata pelajaran yang diujikan itu adalah: Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, Matematika, Fisika, Kimia, dan Biologi. Pemerintah menetapkan bahwa Ujian Nasional dijadikan sebagai salah satu tolok ukur keberhasilan dan kelulusan peserta didik pada setiap jenjang pendidikan - SLTP/MTs dan SMA/SMK/MA/MAK- Hal ini dapat dilihat dari Standar Kelulusan peserta ujian yang ditetapkan pemerintah, dalam hal ini Badan Standar Nasional Pendidikan (BSNP) melalui prosedur operasional Standar (POS), yaitu : Peserta ujian dinyatakan lulus jika memenuhi standar kelulusan Ujian Nasional, Peserta didik dinyatakan lulus UN apabila nilai rata-rata dari semua Nilai Akhir (Nilai Rapor dan Nilai UN) mencapai paling rendah 5,5 (lima koma lima) dan nilai setiap mata pelajaran paling rendah 4,0 (empat koma nol), dengan pembobotan 40% untuk nilai raport dari mata pelajaran yang diujinasionalkan dan 60% untuk nilai UN.

Standar kelulusan di atas meningkat dari standar kelulusan peserta ujian tahun-tahun sebelumnya. Harapan pemerintah dengan kenaikan standar kelulusan ini, tentu saja untuk meningkatkan kualitas pendidikan secara nasional dan meningkatkan citra positif dunia 2

pendidikan Indonesia di mata internasional. Tetapi di sisi lain, peningkatan itu membuat seluruh komponen pendidikan mulai dari kepala sekolah/madrasah, pendidik, peserta didik serta orang tua pun merasa cemas dan was-was. Mereka khawatir untuk menghantarkan peserta didik atau anak-anak mereka dapat lulus ujian, karena mereka memandang bahwa standar kelulusan yang ditetapkan pemerintah tersebut terlalu tinggi. Matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang diujikan pada UN, merupakan mata pelajaran yang paling dikhawatirkan ketercapaian standar kelulusannya, baik oleh guru maupun peserta didik. Selain karena tingginya standar kelulusan, kekhawatiran itu bisa muncul karena matematika tetap dianggap sebagai mata pelajaran yang dianggap sulit, begitu pun soal-soal UN-nya. Penyelesaian soal-soal matematika, begitu juga untuk soal matematika UN memerlukan penalaran matematis, dimana penalaran itu masih dirasakan kurang oleh peserta didik dan guru. Mereka kurang percaya diri untuk menghadapi soal-soal UN. Sebenarnya, dalam pembelajaran matematika, melalui standar isi dan standar proses yang telah ditetapkan pemerintah, Peserta didik telah dibelajarkan standar tersebut, yang dapat menumbuhkan penalaran matematis pada diri peserta didik. Sehingga secara kalkulasi teoritis, mestinya mereka telah mendapat bekal penalaran untuk dapat menjawab soal-soal matematika UN yang dihadapinya. Tetapi kenyataannya mereka tetap merasakan kekahwatiran itu. Karena hal itu, maka kepala sekolah dan guru-guru melakukan strategi dan upaya-upaya untuk mengatasi hal tersebut.

Salah satu penyebabnya adalah siswa kurang memahami konsep matematika dengan baik dan benar. Siswa belajar matematika cenderung menggunakan penalaran algoritma yang bersifat hafalan yang sering digunakan siswa dalam mengerjakan soal. Hal ini melemahkan pemahaman dasar matematika siswa dan menyebabkan mereka terhalang untuk mahir dalam pemecahan masalah dan pembuktian. Sementara yang diinginkan dalam pembelajaran matematika adalah menjadikan siswa menjadi penyelesai masalah, tidak hanya terampil melakukan perhitungan matematis dengan menggunakan rumus (algoritma).

Berdasarkan hal-hal yang telah diungkapkan pada bagian sebelumnya, peneliti merasa perlu untuk meneliti tentang analisis penalaran dalam

Ujian Nasional matematika SMA/MA

program IPA tahun pelajaran 2011/2012. Sehingga para guru dapat mengetahui tipe-tipe penalaran yang ada dalam soal UN, dan dapat menentukan strategi yang harus mereka berikan kepada anak didik mereka untuk menghadapi UN selanjutnya.

3

B. Rumusan Masalah Berdasarkan pendahuluan yang dikemukakan sebelumnya, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah: 1. Penalaran apakah yang diperlukan siswa untuk menjawab soal-soal Ujian Nasional (UN) Matematika SMA program IPA tahun pelajaran 2011/2012? 2. Apakah Ujian Nasioanal (UN) Matematika SMA program IPA tahun pelajaran 2011/2012 dapat mengukur pencapaian kompetensi bernalar siswa?

Dengan asumsi penelitian sebagai berikut: 1. Semua Standar Isi dalam pelajaran matematika sudah diberikan kepada siswa. 2. Siswa mengerjakan soal UN Matematika tidak dengan menebak jawaban untuk bentuk soal pilihan ganda. 3. Buku matematika yang menjadi pegangan guru dan siswa dari kelas X sampai kelas XII berasal dari lima penerbit yang banyak digunakan disekolah berdasarkan pengalaman peneliti. 4. Isi buku sesuai dengan Standar Isi pada KTSP 2006.

Berikut ini adalah daftar buku teks matematika SMA program IPA kurikulum 2006 yang dipakai dalam penelitian ini : Tabel 1.1 Daftar Buku Teks Matematika Penerbit

Pengarang

Judul

Kelas

Sartono W

Matematika Untuk SMA

X

Sartono W

Matematika Untuk SMA

XI IPA

Sartono W

Matematika Untuk SMA

XII IPA

Sigit S

Matematika SMA

XII IPA

Hery Nugroho

Matematika SMA

XI IPA

Marwanta

Matematika SMA

X

Siswanto

Matematika Inovatif

X

Buku 1A dan 1B

Tiga

Siswanto

Matematika Inovatif

XI IPA

Buku 2A dan 2B

Serangkai

Siswanto

Matematika Inovatif

XII IPA Buku 3A dan 3B

Suwah

Matematika Untuk SMA

X

Matematika Untuk SMA

XI IPA

Erlangga

Yudistira

Sembiring dkk Suwah

4

Keterangan

Yrama

Sembiring dkk

Widya

Suwah

Bilingual Matematika Untuk SMA

XII IPA

Asep Jihad dkk

Matematika SMA

X

Asep Jihad dkk

Matematika SMA

XI IPA

Asep Jihad dkk

Matematika SMA

XII IPA

Sembiring dkk

Arfindo

C. Tujuan Penelitian Tujuan penelitian adalah untuk mengkaji penalaran yang diperlukan untuk menyelesaikan soal-soal Ujian Nasional (UN) Matematika SMA/MA program IPA tahun ajaran 2011/2012.

D. Target luaran Target luaran dari penelitian ini adalah publikasi ilmiah dalam jurnal KULTURA ISSN:1411-0229 yang diterbitkan oleh Universitas Muslim Nusantara Al-Washliyah. Dan proseding pada Seminar Nasional Matematika dan Terapan (SiManTap) yang dilaksanakan pada tanggal 28-29 November 2012.

5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

A. Kompetensi Matematika Menurut David C. McCelland kompetensi adalah karakteristik dasar yang melekat pada kepribadian seseorang yang berkaitan dengan kinerja berkriteria efektif atau unggul dalam suatu pekerjaan dan situasi tertentu (Spencer & Spencer, 1993). Sementara menurut Rychen dan Salganik (2003 : 43), kompetensi adalah kemampuan untuk sukses berhadapan dengan tuntutan yang kompleks didalam konteks umum melalui mobilisasi tuntutan psikologis baik aspek kognitif maupun non-kognitif.

Kompetensi sangat dibutuhkan pada semua pekerjaan apalagi dalam matematika. Pengajaran matematika diarahkan supaya siswa memperoleh kompetensi matematika. National Research Council (Kilpatrick dkk, 2001) memberi istilah kompetensi sebagai mathematical proficiency (kecakapan matematika) yang terdiri dari lima komponen atau serat yaitu : a. Pemahaman Konseptual yaitu pemahaman terhadap konsep-konsep matematika, operasi dan relasi. b. Kelancaran Prosedural yaitu kemampuan melaksanakan keterampilan dan prosedur secara fleksibel, akurat, efisien, dan tepat. c. Kompetensi Strategis yaitu kemampuan untuk memformulasikan/merumuskan, merepresentasikan/menyajikan, dan memecahkan masalah matematika . d. Penalaran Adaptif yaitu kemampuan/kapasitas untuk berpikir logis, refleksi, penjelasan, dan pembenaran. e. Watak Produktif yaitu kebiasaan, kecenderungan untuk melihat matematika sebagai masuk akal, berguna, dan berharga, ditambah dengan ketekunan dan keyakinan.

Serat-serat ini tidak independen, lima serat ini berjalin dan saling bergantung dalam pengembangan kecakapan. Kemahiran matematika bukanlah satu dimensi sifat, dan tidak dapat dicapai dengan memusatkan perhatian hanya pada satu atau dua dari serat saja tetapi harus terintegrasi kesemuanya.

6

Sejalan dengan NRC, National Council Teaching Mathematics (NCTM) merumuskan kompetensi melalui standar matematika sekolah, yang terdiri dari standar isi dan standar proses. Standar isi matematika meliputi bilangan dan operasi, aljabar, geometri, pengukuran, analisis data dan probalitas. Standar proses matematika meliputi : a. Pemecahan Masalah yaitu kemampuan siswa untuk membangun pengetahuan matematika serta pengembangan ide-ide matematika melalui pemecahan soal. b. Penalaran dan Pembuktian. Penalaran adalah kebiasan otak, sementara pembuktian membantu memutuskan alasan kenapa jawaban masuk akal. c. Komunikasi adalah kemampuan untuk mengungkapkan ide-ide matematika baik berbicara, menuliskan, menggambarkan maupun menjelaskan. d. Koneksi adalah kemampuan menghubungkan antar konsep yang ada didalam matematika serta kemampuan untuk menghubungkan matematika dengan dunia nyata. e. Representasi/penyajian adalah kemampuan menyajikan data baik dalam bentuk tabel, simbol, grafik, dan bagan serta mengubah bentuk penyajian kedalam bentuk penyajian yang lainnya.

Untuk mencapai kompetensi matematika maka standar proses dan standar isi tidak dapat dipisahkan karena keduanya saling berkaitan. Artinya siswa dikatakan bisa matematika apabila menguasai konten/isi matematika serta kelima standar proses di atas.

Senada dengan hal diatas, pemerintah selalu melakukan perbaikan kurikulum dan yang

terbaru

adalah

Standar

Isi

KTSP

2006.

Dimana

mata

pelajaran

matematikaSMA/MA dalam kurikulum KTSP 2006 ini bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut: a. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep, dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah. b. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.

7

c. Memecahkan

masalah

yang meliputi

kemampuan

memahami

masalah,

merancang model matematika, menyelesaikan model, dan menafsirkan solusi yang diperoleh. d. Mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah. e. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.

B. Ujian Nasional (UN) Peraturan Pemerintah Republik Indonesia Nomor 19 tahun 2005 tentang Standar Nasional Pendidikan pada pasal 63 ayat 1 (Depag RI, 2005) menyatakan bahwa penilaian pendidikan pada jenjang pendidikan dasar dan menengah salah satunya dilakukan oleh pemerintah. Selanjutnya, pada pasal 66 ayat 1 ditegaskan bahwa penilaian hasil belajar yang dilakukan oleh pemerintah tersebut bertujuan untuk menilai pencapaian kompetensi lulusan secara nasional pada mata pelajaran tertentu dalam kelompok mata pelajaran ilmu pengetahuan dan teknologi dan dilakukan dalam bentuk Ujian Nasional.

Ujian Nasional adalah sebutan yang diberikan untuk ujian yang soal-soalnya disiapkan oleh pemerintah. Pada awal pelaksanaan (tahun 2003-2005), ujian ini bernama Ujian Akhir Nasional (UAN) dan nama tersebut berubah menjadi Ujian Nasional (UN) pada tahun 2006. Mata pelajaran yang diujikan dalam Ujian Nasional tingkat SMA/MA Program IPA pada awalnya mencakup tiga mata pelajaran, yaitu matematika, bahasa Indonesia, dan bahasa Inggris. Mulai tahun 2008 mata pelajaran yang diujikan dalam Ujian Nasional SMA/MA bertambah menjadi enam mata pelajaran, yaitu matematika, bahasa Indonesia, bahasa Inggris, Fisika, Kimia, dan Biologi.

Nilai minimal kelulusan siswa dalam Ujian Nasional setiap tahun juga semakin meningkat. Pada tahun pelajaran 2002/2003, nilai rata-rata minimal seluruh mata pelajaran Ujian Akhir Nasional adalah 3,01. Pada saat pelaksanaan Ujian Nasional tahun pelajaran 2009/2010, nilai kelulusan minimal dalam Ujian Nasional semakin jauh meningkat menjadi 5,5. 8

Ujian Nasional menjadi salah satu syarat kelulusan siswa dari satuan pendidikan. Hal ini mengacu pada pasal 72 ayat 1 Peraturan Pemerintah Republik Indonesia Nomor 19 tahun 2005, yaitu: Peserta didik dinyatakan lulus dari satuan pendidikan dasar dan menengah setelah: a. menyelesaikan seluruh program pembelajaran; b. memperoleh nilai minimal baik pada penilaian akhir untuk seluruh mata pelajaran kelompok mata pelajaran agama dan akhlak mulia, kelompok mata pelajaran kewarganegaraan dan kepribadian, kelompok mata pelajaran estetika, dan kelompok mata pelajaran jasmani, olahraga, dan kesehatan; c. lulus ujian sekolah/ madrasah untuk kelompok mata pelajaran ilmu pengetahuan dan teknologi; dan d. lulus Ujian Nasional.

Walaupun Ujian Nasional hanya merupakan salah satu penentu kelulusan siswa, namun banyak pihak yang beranggapan bahwa justru Ujian Nasional berperan sangat dominan dalam menentukan kelulusan siswa. Tidak adanya penggabungan antara nilai Ujian Nasional dan nilai sekolah menyebabkan banyak pihak yang menginginkan agar guru (sekolah) diberi peranan yang lebih besar dalam menentukan kelulusan siswa.

Pada tahun pelajaran 2010/2011 dan 2011/2012, pemerintah melakukan perubahan dalam kriteria kelulusan siswa. Di dalam Prosedur Operasi Standar Ujian Nasional (BSNP,2011), yang menyangkut kelulusan siswa dari satuan pendidikan menyatakan bahwa kelulusan peserta didik dari satuan pendidikan ditentukan oleh satuan pendidikan berdasarkan rapat Dewan Guru dengan menggunakan kriteria sebagai berikut: a. menyelesaikan seluruh program pembelajaran; b. memperoleh nilai minimal baik pada penilaian akhir untuk seluruh mata pelajaran kelompok mata pelajaran agama dan akhlak mulia, kelompok mata pelajaran kewarganegaraan dan kepribadian, kelompok mata pelajaran estetika, dan kelompok mata pelajaran jasmani, olah raga, dan kesehatan ; c. lulus ujian sekolah/madrasah untuk kelompok mata pelajaran ilmu pengetahuan dan teknologi; dan d. lulus Ujian Nasional. 9

Selanjutnya, dalam Prosedur Operasi Standar Ujian Nasional juga dinyatakan hal-hal yang berkaitan dengan kelulusan Ujian Nasional, yaitu: a. Peserta didik dinyatakan lulus Ujian Sekolah (US)/Madrasah (M) SMP/MTs, SMPLB, SMA/MA, SMALB, dan SMK apabila peserta didik telah memenuhi kriteria kelulusan yang ditetapkan oleh satuan pendidikan berdasarkan perolehan nilai Sekolah (S)/Madrasah (M). b. Nilai S/M sebagaimana dimaksud pada nomor 1 diperoleh dari gabungan antara nilai US/M dan nilai rata-rata rapor semester 1, 2, 3, 4, dan 5 untuk SMP/MTs dan SMPLB dengan pembobotan 60% untuk nilai US/M dan 40% untuk nilai rata-rata rapor. c. Nilai S/M sebagaimana dimaksud pada nomor 1 diperoleh dari gabungan antara nilai US/M dan nilai rata-rata rapor semester 3, 4, dan 5 untuk SMA/MA, SMALB dan SMK dengan pembobotan 60% untuk nilai US/M dan 40% untuk nilai ratarata rapor. d. Kelulusan peserta didik dari UN ditentukan berdasarkan Nilai Akhir (NA). e. NA sebagaimana dimaksud pada butir nomor 4 diperoleh dari gabungan nilai S/M dari mata pelajaran yang diujinasionalkan dengan nilai UN, dengan pembobotan 40% untuk nilai S/M dari mata pelajaran yang diujinasionalkan dan 60% untuk nilai UN. f. Skala yang digunakan pada nilai S/M, nilai rapor dan nilai akhir adalah nol sampai sepuluh. g. Pembulatan nilai gabungan nilai S/M dan nilai rapor dinyatakan dalam bentuk dua desimal, apabila desimal ketiga ≥ 5 maka dibulatkan ke atas. h. Pembulatan nilai akhir dinyatakan dalam bentuk satu desimal, apabila desimal kedua ≥ 5 maka dibulatkan ke atas. i. Peserta didik dinyatakan lulus UN apabila nilai rata-rata dari semua NA sebagaimana dimaksud pada butir nomor 5 mencapai paling rendah 5,5 (lima koma lima) dan nilai setiap mata pelajaran paling rendah 4,0 (empat koma nol) j. Kelulusan peserta didik dari satuan pendidikan ditetapkan oleh setiap satuan pendidikan melalui rapat dewan guru berdasarkan kriteria kelulusan sebagaimana dimaksud.

10

C. Penalaran Matematika adalah disiplin ilmu yang berkaitan erat dengan rasionalitas, logika dan penalaran. Departemen Penidikan Nasional (2002: 6) menyatakan bahwa," materi matematika dan penalaran matematika merupakan dua hal yang tak dapat dipisahkan, yaitu materi matematika dipahami melalui penalaran dan penalaran dipahami dan dilatihkan melalui belajar materi matematika."

Konsep-konsep matematika senantiasa didasari postulat, aksioma,teorema, dalil dan sifat-sifat. Penyelesaian masalah atau soal matematika, sejatinya selalu memerlukan penalaran yang melibatkan aplikasi algoritma, prosedur, strategi penyelesaian yang didasari konsep tertentu, atau keterkaitan antar konsep, gagasan atau idea-idea matematis.

Dalam pengembangan matematika, yaitu pengembangan konsep-konsep mulai dari yang sederhana ke konsep-konsep yang lebih lanjut, pola berfikir (nalar = pattern of thinking) ini diikuti dan dianut dengan ketat sekali, tanpa ada suatu kekhususan atau pengecualian.

Pola berfikir ini, hanya dapat dipelajari dan dihayati dengan cara mempelajari matematika dengan cara yang benar.Pola berfikir ini tidak dapat dipelajari, tanpa mengkaji matematika itu sendiri. Sebaliknya, materi matematika itu harus dipelajari menurut pola berfikir matematika yang disebutkan tadi.

Dalam matematika, jika terjadi pemahaman konsep yang salah dapat berakibat fatal dalam pengembangan pemahaman konsep selanjutnya. Keterbiasaan dengan pola berfikir atau penalaran matematika ini akan sangat membantu dalam menghadapi permasalahan, dalam proses penyelesaian masalah tersebut, serta dalam proses pengambilan keputusan, sekalipun di luar bidang Matematika sendiri.

Terminologi penalaran (reasoning), didefinisikan oleh Keraf (1982:5) sebagai : " Proses berfikir yang berusaha menghubung-hubungkan fakta-fakta dan evidensievidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan." Lithner, dalam kerangka kerjanya mendefinisikan penalaran sebagai jalan berfikir yang diambil untuk mengolah pernyataan dan menghasilkan kesimpulan dalam menyelesaikan soal 11

(Lithner, 2003; 3) Pada tempat lain Lithner mendefinisikan penalaran sebagai sebarang jalan berfikir dalam mengerjakan soal, sehingga penalaran tidak harus didasarkan pada logika deduktif formal, dan melambangkan prosedur yang singkat dalam menemukan fakta atau bukti. Fadjar Shadiq (2004:2) berpendapat bahwa, " pada intinya, penalaran merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berfikir untuk menarik kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasar pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya."

Vinner berpendapat bahwa penalaran adalah proses

berfikir dan hanya akan terlihat benar tidaknya penalaran tersebut dari hasilnya, dan perilaku reasoner pada saat proses berfikir berlangsung. (Vinner, 1977).

Dalam penelitian ini, ada beberapa istilah yang berkaitan dengan penalaran, yaitu soal, jawaban, solusi dan masalah. Soal lebih ditekankan pada masalah-masalah rutin yang menuntut pengerjaan siswa di dalam kelas, seperti latihan, ulangan, ujian sekolah,ujian nasional, kerja kelompok dan sebagainya. Jawaban adalah suatu gambaran dari informasi yang diminta. solusi adalah sebuah jawaban dan sebuah argumentasi, mengapa jawaban itu benar. Solusi seringkali tidak ditampilkan dengan sebuah penalaran yang aktual untuk meraih jawaban, tetapi merupakan sebuah kesimpulan yang ideal. Pengertian masalah, telah digunakan dalam sebuah literatur dengan makna yang berbeda, tetapi dalam masalah dinyatakan sebagai sebuah soal yang menuntut tingkat kesulitan intelektual setiap individu. (Schoenfield, 1985).

Penalaran merupakan salah satu dari lima standar proses yang dicanangkan National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Kelima standar proses itu adalah: problem solving (penyelesaian masalah), reasoning and proof (penalaran dan pembuktian), communication( mengkomunikasikan) , connections (keterkaitan), dan representation (menyajikan). OECD menetapkan bahwa penalaran merupakan salah satu dari lima komponen kecakapan dasar matematis (The Strands of Mathematical Proficiency). Kelima komponen itu adalah: conseptual understanding (pemahaman konsep), prosedural fluency (kelancaran berprosedur), strategic competence ( kompetensi stategis), adaptive reasoning (bernalar adaptif), productive disposition (pemanfaatan).

12

D. Kerangka Kerja Penalaran Kerangka kerja Penalaran menggunakan kerangka penelitian yang dikembangkan oleh Lihtner dalam penelitannya yang berjudul “A Research Framework for Creative and Imitative Reasoning “ dan Bergqvist dalam sebuah penelitian di Swedia yang berjudul “Types of Reasoning in University exams in Mathematics”. Kerangka kerja tersebut digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2.1 Kerangka Kerja Penalaran Matematika Berdasarkan Lithner.

Setiap analisis, terutama mengidentifikasi pemilihan strategi dan implemetasi strategi, konsep yang digunakan untuk menentukan jenis penalaran yang dibagi dalam sub-sub bagian penalaran. Dalam penelitian ini ada dua jenis dasar penalaran yang telah diidentifikasi dan didefinisikan, yaitu: creative mathematically founded reasoning (creative rasoning) dan imitative reasoning. 1. Imitative Reasoning (penalaran imitatif / tiruan) Imitative Reasoning (IR) adalah tipe penalaran yang membangun penalaran dengan cara meniru solusi soal yang terdapat pada contoh maupun latihan yang terdapat pada buku teks, yaitu dengan mengingat algoritma/langkah dari jawaban. Lithner membagi tipe penalaran imitatif (Imitative Reasoning) dalam dua bagian yaitu Memorized Reasoning (Penalaran Hafalan/MR) dan Algorithmic Reasoning (penalaran Algoritma/AR). 1.1 Memorized Reasoning (MR) Penalaran yang digunakan dalam menyelesaikan masalah matematika dikatakan bertipe MR jika ia memenuhi kriteria berikut: a. Strategi menjawab berdasar pada pengulangan kembali jawaban sesuai dengan yang ada pada memori pengerja soal. 13

b. Strategi menjawab dengan menuliskan atau mengucapkan jawaban yang sudah diingat atau dihafalkan.

Tipe soal yang dapat diselesaikan dengan MR biasanya berupa pertanyaan tentang fakta atau definisi, soal juga bisa meminta pembuktian pengertian, asalkan siswa sudah diberitahu sebelumnya bahwa akan ada pertanyaan mengenai pembuktian pernyataan (sehingga siswa berusaha menghafal pembuktian yang ada).

1.2 Algorithmic Reasoning (AR) Algoritma menurut Lithner adalah: serangkaian peraturan/prosedur yang jika diikuti akan memecahkan masalah (soal) yang dihadapi. Walaupun secara sepintas AR ini mirip dengan MR, karena memang prosedur yang akan digunakan juga harus dihafal (memorised) tetapi ada perbedaan diantara keduanya (MR dan AR). Perbedaan yang paling mendasar adalah pada AR walaupun siswa menghafal prosedur, tapi kemudian siswa mengerjakan soal itu lebih lanjut berdasar prosedur yang sudah diingat, sementara pada MR siswa hanya menyalin kembali jawaban yang diingat. Salah satu contoh soal yang penyelesaiannya menggunakan AR adalah “Tentukan akar-akar persamaan

”. Soal seperti ini banyak terdapat pada contoh dan

latihan pada semua buku teks. Untuk menyelesaikan soal ini siswa harus tahu dan hafal rumus/algoritma mencari akar-akar persamaan kuadrat bisa dengan rumus abc, memfaktorkan, atau melengkapi kuadrat sempurna, disini siswa tidak cukup hafal tetapi juga harus bisa mengerjakan algoritma dengan baik. Sementara itu soal diatas bisa bertipe MR jika yang ditanyakan adalah jenis dari persamaan kuadrat tersebut, disini siswa cukup menghafal deskriminan dan cirinya.

Perbedaan yang juga jelas adalah pada AR siswa sadar bahwa setiap tahapan penyelesaian soal sangat bergantung satu sama lain (antar tahap satu dan berikutnya) tidak seperti pada MR.

Penalaran yang digunakan dalam menyelesaikan soal matematika dikatakan bertipe AR jika memenuhi kriteria berikut: 14

a. Strategi menjawab soal dilakukan dengan mengingat kembali urutan prosedur yang benar dari solusi. b. Strategi menjawab mengikuti prosedur, sehingga pada setiap tahapan pengerjaan soal bisa dilakukan dengan kalkulasi yang tidak terlalu kompleks dan cukup sederhana.

AR dapat digunakan jika siswa berhadapan dengan soal yang sudah sering ia temui dan selesaikan. Namun, penelitian menunjukkan bahwa banyak siswa menggunakan AR untuk mengerjakan soal-soal yang bersifat "problem solving". Hal tersebut tidak perlu dipermasalahkan karena para ahli matematika pun sering menggunakan metode AR ini dalam memecahkan masalah matematika, karena penggunaan AR menghemat waktu pengerjaan dan meminimalisir resiko kesalahan, dan tidak kompleks (Bergqvist, 2007).

Soal-soal yang sering dikenali atau akrab bagi siswa (dapat dipecahkan dengan AR) adalah: a. Setidaknya 3 buku teks memuat tugas, contoh soal dan latihan yang memiliki kejadian sama/berkarakteristik sama dengan soal ujian. b. Atau ada bagian dari teori, contoh, dan latihan dalam buku teks yang tersambung dengan soal ujian sehingga memungkinkan siswa untuk mengidentifikasi algoritma yang berlaku.

2. Creative Reasoning (Penalaran Kreatif) Penalaran kreatif dalam matematika menurut Haylock (Lithner, 2008) adalah sebuah aktifitas berfikir kreatif, yang ditandai dengan fleksibelitas (kelenturan) berfikir melalui pendekatan yang berbeda. Menurut Lithner, kreatifitas tidak berhubungan dengan keturunan tetapi berkaitan dengan kreasi yang baru dan penalaran yang baik, berguna untuk menyelesaikan soal. Karakteristik penalaran yang kreatif dalam matematika secara spesifik adalah sesuatu yang baru (novelty), sesuatu yang masuk akal (plausibility), dan berlandasan matematika (mathematical foundation). Creative Reasoning (penalaran kreatif) terdiri dari 2 kategori yaitu Local Creative Reasoning (Penalaran Lokal Kreatif/LCR) dan Global Creative Reasoning (Penalaran Global Kreatif/GCR). 15

2.1 Local Creative Reasoning (LCR) Jika suatu soal hampir sepenuhnya dapat diselesaikan dengan menggunakan Imitative Reasoning (IR) dan memerlukan Creative Reasoning (CR) hanya dengan memodifikasi algoritma lokal, maka soal tersebut dikategorikan soal yang memerlukan Lokal Creative Reasoning (LCR). Keakraban siswa dengan suatu soal tergantung kepada seberapa banyak soal dan solusi yang mereka miliki, dan solusi tersebut sangat berbeda dengan buku teks. Sebuah soal dapat bagi seorang siswa bisa menggunakan penalaran AR, karena dalam buku teks yang digunakannya banyak contoh soal yang memiliki solusi sama dengan soal tersebut. Bagi siswa lainnya soal yang sama bisa menggunakan penalaran LCR, karena solusi soal tersebut tidak terdapat dalam buku teks. Hal ini dikarenakan penggolongan soal ujian didasarkan kepada kejadian-kejadian yang sama dalam buku teks.

2.2 Global Creative Reasoning (GCR) Bentuk soal yang dapat diselesaikan dengan global creative reasoning merupakan sesuatu hal yang baru bagi peserta didik, tetapi tidak harus memiliki penyelesaian yang kompleks. Suatu soal dikatagorikan dalam global creative resoning jika suatu soal tidak memiliki solusi yang didasarkan kepada imitatif reasoning.

Tidak ada algoritma yang akrab (terdapat contoh dan latihan yang berkarakterisitik sama dengan soal ujian pada kurang dari tiga buku teks) dengan peserta didik untuk menyelesaikan soal walaupun solusi tersebut dapat diperoleh secara langsung jika didasarkan pada sifat mendasar matematika yang ada dalam komponen soal. Soal yang masuk kedalam kategori penalaran global kreatif adalah: a. soal dengan solusi yang terdiri dari konstruksi contoh b. bukti dari sesuatu yang baru c. pemodelan

16

BAB III METODE PENELITIAN

A. Prosedur Penelitian Prosedur penelitian ini adalah membandingkan muatan materi, contoh, dan latihan soal yang ada dalam lima buku teks dengan soal Ujian Nasional (UN) matematika jurusan IPA tahun pelajaran 2011/2012. Buku yang dijadikan rujukan adalah buku yang sesuai dengan Standar Isi KTSP 2006 yaitu terbitan Erlangga, Tiga Serangkai, Arfino, Yudhistira, Yrama Widya. Penelitian ini tidak melihat pada proses yang terjadi dalam kelas, baik berupa materi pelajaran maupun bentuk contoh dan latihan soal yang diberikan guru. Penelitian ini hanya mengkaji materi, contoh, dan latihan pada lima buku teks, dengan asumsi bahwa sebagian besar siswa menggunakan dan membahas soal-soal pada buku teks tersebut.

Teknis analisis soal dilakukan dengan cara menggolongkan tiap soal dan solusinya dengan mengikuti empat langkah analisis seperti kerangka kerja Lithner berikut: Langkah 1 : Analisis soal ujian nasional Pada langkah pertama ada 4 tahapan yang dilakukan, yaitu: a. Solusi Jawaban dari soal atau algoritma untuk menyelesaikan soal. b. Konteks Konteks adalah situasi nyata dalam kehidupan (jika ada). Konteks terkadang membantu siswa untuk memilih suatu metode yang benar walaupun hanya bersifat mendasar sebagai contoh, konteks tentang “deposito bank” memberi petunjuk bahwa peserta didik dapat menggunakan algoritma tentang persamaan eksponensial. c. Informasi tentang situasi Informasi tentang situasi adalah informasi mengenai soal, dapat berupa penjelasan tentang kaitan soal dalam pokok bahasan atau sub pokok bahasan. d. Fitur kunci Fitur kunci untuk menunjukkan kata kunci, ungkapan-ungkapan (kalimat), rumus yang jelas digunakan, dan informasi lain yang sesuai dengan yang ada dalam buku teks yang dapat memperjelas soal seperti menggunakan kata “fungsi kuadrat” dan kata “minimum”. 17

Langkah 2 : Analisis buku teks Analisis dari buku teks adalah mengkaji muatan materi, kejadian-kejadian soal dalam buku teks baik contoh maupun latihan yang memuat sifat-sifat soal yang mendasar dan solusi yang memungkinkan untuk diidentifikasi siswa . Langkah 1 dan 2 digunakan untuk menentukan apakah mungkin ada suatu kejadian, misalnya soal dengan solusi atau memiliki karakterisitik yang sama dengan soal ujian. Terdapat dua jenis data yang digunakan, yaitu: a. Kejadian dalam buku teks Kejadian dalam buku teks adalah muatan materi yang terdapat dalam buku teks. b. Kejadian dalam contoh dan latihan Banyaknya kejadian dalam latihan dan contoh soal yang sama karakterisitiknya dengan soal ujian pada buku teks. Jika kejadian itu tidak sama atau sama dengan soal, maka perbedaan dan kesamaanya dicatat. Langkah 3 : Argumentasi dan Kesimpulan a. Argumentasi Argumentasi berisi penilaian terhadap persyaratan jenis penalaran. Argumentasi ini didasarkan pada informasi yang terkumpul dari langkah kedua dan berhubungan dengan kejadian dan kesamaan dengan soal ujian dengan buku teks. b. Kesimpulan Kesimpulan adalah pengelompokan jenis penalaran berdasarkan argumentasi yang sudah dibuat. Langkah 4 : Komentar Sebagai langkah terakhir, setiap soal yang disajikan dianalisis secara kuantitatif dan kemudian dikomentari. Komenter-komentar tersebut berhubungan dengan gejala yang khusus dari soal atau jenis soal serta hal-hal yang dianggap penting. Untuk memudahkan dalam pengambilan kesimpulan tentang jenis penalaran apa yang digunakan maka disini peneliti membuat ringkasan tentang karakteristik type penalaran berdasarkan kerangka kerja Lithner yang sudah dibahas didepan.

Karakteristik Tipe-Tipe penalaran: 1. Memorised Reasoning (MR), jika memenuhi kondisi berikut: a. Strategi menjawab soal didasarkan pada mengingat jawaban secara lengkap. b. Pelaksanaan strategi hanya terdiri dari menuliskan jawaban soal yang diingat siswa. 18

c. Pertanyaan berupa meminta fakta ,definisi atau bukti. 2. Algorithmic Reasoning (AR), jika memenuhi kondisi berikut: a. Strategi menjawab soal didasarkan pada mengingat algoritma yang sudah akrab bagi siswa. b. Tidak perlu membuat solusi baru dari soal. c. Soal akrab bagi siswa (minimal terdapat contoh pengerjaan soal dalam tiga buku teks). 3. Lokal Creative Reasoning (LCR) a. Algoritma yang dipakai adalah algoritma yang kompleks yang memiliki beberapa sub algoritma. b. Soal ujian tidak akrab bagi siswa. c. Penyelesaian soal membutuhkan Imitative Reasoning dengan modifikasi pada algoritma lokal. d. Contoh dan latihan soal yang memiliki kararteristik yang sama dengan soal ujian terdapat pada kurang dari tiga buku teks. 4. Global Creative Reasoning (GCR) a.

Soal ujian tidak akrab atau benar-benar baru bagi siswa.

b. Tidak ada algoritma yang akrab bagi siswa untuk mengerjakan soal tersebut c. Jawaban tidak mesti menggunakan solusi kompleks, solusi bisa sangat mudah jika didasarkan pada pemahaman intrinsik matematika (sifat mendasar matematika yang ada dalam soal). d. Penyelesaian soal terdiri dari konstruksi contoh, membuktikan suatu algoritma yang belum diberitahu cara pembuktiannya, atau pemodelan matematika. e. Contoh dan latihan soal yang memiliki kararteristik yang sama dengan soal ujian terdapat pada kurang dari tiga buku teks.

19

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELTIAN Data yang diperoleh dari hasil penelitian ini adalah berupa hasil yang diperoleh dari analisis data pada soal Ujian Nasional melalui penalaran yang dikemukakan oleh Lithner yang dikelompoKkan berdasarkan tipe penalaran yang berlaku, dan persentase penalaran Imitative Reasoning dan Creative Reasoning. Data tersebut berturut-turut dapat disajikan pada hasil berikut ini.

1.

ANALISIS SOAL UJIAN NASIONAL Analisis soal Ujian Nasional dapat dilakukan dengan cara mengelompokkan tiap soal

dengan mengikuti empat langkah : a.

Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional.

b. Langkah ke dua

: analisis dari buku teks.

c. Langkah ke tiga

: memberikan argumentasi dan kesimpulan.

d. Langkah ke empat : memberikan komentar.

Hasil yang diperoleh dari analisis data pada soal Ujian Nasional melalui penalaran yang dikemukakan oleh Lithner yang dikelompokan berdasarkan tipe penalaran yang berlaku adalah sebagai berikut : Jumlah soal yang termasuk kedalam tipe penalaran Imitative Reasoning (IR dan AR) yaitu sebanyak 39 soal, dengan komposisi 37 soal termasuk dalam Algoritmic Reasoning dan 2 soal termasuk dalam Memorized Reasoning. Sedangkan yang termasuk dalam tipe penalaran Creative Reasoning (LCR dan GCR) terdapat sebanyak 1 soal yang terdapat untuk tipe penalaran Local Creative Reasoning. Rangkuman hasil analisis dapat ditunjukkan pada tabel berikut ini:

20

TABEL 4.1 RANGKUMAN JENIS – JENIS PENALARAN UJIAN NASIONAL 2011 / 2012 Nomor Soal 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Nomor Soal 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

Jenis Penalaran Algoritmic Reasoning Memorized Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Memorized Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning

Jenis Penalaran Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Local Creative Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning Algoritmic Reasoning

Jumlah persentase tipe penalaran IR yang digunakan dalam soal – soal Ujian Nasional 2011/2012 adalah

= = 97,5 % Untuk Jumlah persentase tipe penalaran CR yang digunakan dalam soal – soal Ujian Nasional 2011/2012 adalah

21

= B. Pembahasan Setelah dilakukan penelitian pada soal UN matematika SMA / MA program IPA Tahun Ajaran 2011 / 2012 diperoleh data yaitu terdapat sebanyak 40 soal yang di ujikan dalam UN. Dari pengolahan data hasil penelitian yang berdasarkan pada pengelompokan jumlah soal berdasarkan tipe penalaran UN yang dikemukakan oleh Lithner maka didapat hasil terdapat sebanyak 37 soal yang termasuk kedalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning, 2 soal yang termasuk kedalam tipe penalaran Memotized Reasoning dan sebanyak 1 soal yang termasuk kedalam tipe penalaran Local Creative Reasoning. Berdasarkan tabel diatas, jumlah persentase soal yang termasuk dalam tipe penalaran IR adalah 97,5% yang didapat berdasarkan jumlah soal dalam Memotized Reasoning dan Algoritmic Reasoning. Sementara jumlah persentase soal yang termasuk dalam tipe penalaran CR adalah 2,5% yang berdsarkan pada soal yang termasuk tipe Local Creative Reasoning. Hasil penelitian tersebut menunjukan bahwa soal – soal yang diujikan didalam UN merupakan soal yang sudah pernah dijumpai oleh siswa di dalam kelas, dan para siswa seharusnya memperoleh nilai diatas nilai UN mata pelajaran matematika yang ditetapkan pemerintah yaitu 5,5. Namun, fakta yang terdapat di lapangan menunjukan bahwa masih banyak siswa, guru dan instansi sekolah yang cemas akan standard kelulusan yang diberikan pemerintah tersebut. Berdasarkan hasil penelitian tersebut bahwa 97,5% soal merupakan tipe penalaran IR yang berarti soal tersebut adalah sebagian besar ada soal yang mudah dikerjakan oleh siswa dan seharusnya nilai standard kelulusan UN matematika yang ditetapkan pemerintah adalah 9,75 bukan 5,5, karena melihat dari sudah begitu akrabnya siswa dengan soal-soal yang diujikan dalam UN. Hal itu dapat dilihat berdasarkan buku pegangan siswa yang diasumsikan adalah buku yang paling banyak di pakai siswa disekolah dan meupakan alat bantu yang dipakai dalam penelitian ini, Dimana terdapat soal latihan dan contoh soal yang mirip dengan soal UN. Namun ada beberapa hal yang menyebabkan masih banyaknya siswa yang tidak mampu diantaranya tidak meratanya distribusi pendidikan di setiap provinsi yang ada di Indonesia.

22

Distribusi pendidikan kota jauh lebih baik dari pada di desa. Hal itu yang mengakibatkan masih banyaknya siswa yang tidak dapat mencapai standard kelulusan yang telah ditetapkan oleh pemerintah. Berdasarkan hasil penelitian diatas juga seharusnya komposisi soal UN matematika SMA / MA adalah 55% IR dan 45% CR dengan standart kelulusan 5,5. Hal itu di berikan agar komposisi soal berimbang antara yang mudah dan yang sukar.

23

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Berdasarkan hasil analisis data, dan pengamatan maka dapat disimpulkan bahwa : 1. Soal Ujian Nasional yang diujikan merupakan soal yang sering ditemui siswa dalam Proses Belajar dan Mengajar (PBM), dimana terdapat 97,5 % soal merupakan tipe penalaran IR dan 2,5% soal merupakan tipe penalaran CR. Soal yang di ujikan di UN merupakan soal yang sudah pernah dibahas baik didalam contoh soal mau pun soal latihan hal ini diasumsikan berdasarkan pada buku pegangan siswa yang menjadi salah satu alat pendukung dalam penelitian ini. 2. Siswa seharusnya dapat mengerjakan soal UN tersebut dengan maksimal karena sudah pernah dibahas dalam Proses Belajar Mengajar. Dan mendapat nilai diatas standard kelulusan mata pelajaran Matematika yang ditentukan oleh pemerintah.

B. Saran Melalui hasil penelitian ini penulis mengemukakan beberapa saran antara lain : 1. Hendaknya soal Ujian Nasional yang baik untuk menguji tingkat kemampuan siswa memiliki komposisi soal berimbang yaitu 55% soal yang merupakan tipe penalaran IR dan 45% soal merupakan tipe penalaran CR. 2. Untuk instansi pendidikan dalam hal ini sekolah tidak perlu cemas karena tingkat kesukaran soal UN masih rendah. Hal ini berdasarkan data 97,5 % soal yang tergolong dalam IR.

24

DAFTAR PUSTAKA Babudin (2007) : Analisis Penalaran dalam Ujian Matematika SMA/MA Program IPA Th 2006/2007), Laporan Proyek Program Magister Pengajaran, Institut Teknologi Bandung. Badan Standar Nasional Pendidikan (2011) : Prosedur Operasi Standar Ujian Nasional Sekolah Menengah Pertama, Madrasah Tsanawiyah, Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa, Sekolah Menengah Atas, Madrasah Aliyah, Sekolah Menengah Atas Luar Biasa, dan Sekolah Menengah Kejuruan Tahun Pelajaran 2010/2011, Jakarta. Bergqvist, Ewa, (2007), Types of Reasoning Required in University Exam in Mathematics, Journal of Mathematical Behavior, 26, 348-370. Departemen Agama RI (2005) : Peraturan Pemerintah Republik Indonesia Nomor 19 Tahun 2005 tentang Standar Nasional Pendidikan, Dirjen Kelembagaan Agama Islam, Jakarta. Depdiknas (2006). Permendiknas no 22 Tahun 2006 : Tentang Standar Isi Sekolah Menengah Atas, Jakarta. Depdiknas (2009). Permendiknas no 75 tahun 2009 : Tentang Ujian Nasional Sekolah Menengah Pertama, Madrasah Tsanawiyah, Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa, Sekolah Menengah Atas, Madrasah Aliyah, Sekolah Menengah Atas Luar Biasa, dan Sekolah Menengah Kejuruan Tahun Pelajaran 2009/2010, Jakarta. IP-PMRI (2010) : Ranking Indonesia pada PISA 2009 dan 10 Terbaik, http:// p4mri.net/new/? tag= hasil-pisa-2009, 17 Desember 2011. Kilpatrick, J.,Swafford, J.,& Findell, B (2001) Adding it up ; Helping Children Learn Mathematics, Mathematics Learning Study Communitee, National Academi Press, Washington DC. Lithner, J.(2008). A Research Framework for Creative and Imitative Reasoning, Jurnal Educational Studies in Mathematics, 67, 255-276. Mumun Syahban, (2008). Educare Jurnal Pendidikan dan Budaya, Menumbuh kembangkan daya matematis siswa, http://educare.e-fkipunla.net, 17 Desember 2011. NCTM (2000) : Principles and Standards for School Mathematics, Reston, Virginia. OECD (2007) : PISA 2006: Science Competencies for Tomorrow’s World, http:// www.oecd.org/dataoecd/15/13/ 39725224. Pdf, 19 Desember 2011

25

Rychen, D, S. & Salganik, L, H,.(2003). Key Competencies for a Successful life and well functioning society, Hogrete & Huber. Spencer, L, M & Spencer, S, M,.(1993), Competence at work. Models for superior performance, The United States of America. Stigler, J.W., dan Hiebert, J. (1999) : The Teaching Gap, The Free Press, New York. TIMSS (2008) : Mathematics Achievement of Fourth and Eighth Graders in 2007, http://nces.ed.gov/timss/ results07math07.asp, 17 Desember 2011. Van De Walle, J.A. (2008) : Elementary and Middle School Mathematics (Suyono, Penterjemah), Edisi Keenam, Erlangga, Jakarta. Yuliana (2009) : Analisis Soal Ujian Nasional (UN) Matematika SMA/MA Program IPA Tahun Pelajaran 2007/2008 yang Didasarkan Pada Tingkat Penalaran, Laporan Proyek Program Magister Pengajaran, Institut Teknologi Bandung.

26

LAMPIRAN Lampiran 1 ANALISIS PENALARAN SOAL UN MATEMATIKA SMA/MA PROGRAM IPA PAKET A12 T.A 2011/2012 Soal No. 1. Diketahui premis-premis berikut : Premis I : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi Premis II : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah… A. Jika hujan maka saya tidak jadi nonton sepak bola. B. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola. C. Hari hujan dan saya nonton sepak bola. D. Saya tidak nonton sepak bola atau hari tidak hujan. E. Hari tidak hujan, saya tidak pergi tetapi saya nonton sepak bola. A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional. Solusi soal Penyelesaian : Misal, p ≡ hari ini hujan ; q ≡ saya tidak pergi ; r ≡ saya nonton sepak bola maka, premis I dan premis II dapat ditulis : Premis I : p → q ; serta Premis II : q → r Kesimpulan dari pernyataan p → q dan q → r adalah merupakan tautologi karena memiliki nilai yang selalu benar dalam silogisme Jadi, kesimpulan dari pernyataan p → q dan q → r adalah (p→r) Secara kalimat : Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola Jawaban : B Konteks : - Logika matematika dalam kehidupan sehari-hari dengan kondisi seseorang yang menunggu hujan. Informasi : - Soal materi : Logika matematika - Penarikan kesimpulan silogisme. B. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : {( p → q )^( q → r )} => (p→r) 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 286, contoh soal 32 : Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut 2 jika x -4=0 maka (x-2)(x+2)=0 jika (x-2)(x+2)=0 maka x=2 atau x=-2 Penyelesaian : 2 Premis I : jika x -4=0 maka (x-2)(x+2)=0 Premis II : jika (x-2)(x+2)=0 maka x=2 atau x=-2 2 Kesimpulan : jika x -4=0 maka x=2 atau x=-2

27

C.

D.

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 132, contoh soal 5.13, No.3 : Tentukan kesimpulan dari pernyataan berikut: Jika saya jujur maka usaha saya berhasil Jika usaha saya berhasil maka hidup saya senang Penyelesaian : Premis I : Jika saya jujur maka usaha saya berhasil Premis II : Jika usaha saya berhasil maka hidup saya senang Kesimpulan : jika saya jujur maka hidup saya senang c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 42, No.1f : Tulislah kesimpulan yang sah dari premis-premis yang diberikan berikut ini : P1 : jika harga bahan bakar naik maka harga barang naik P2 : jika bahan bakar naik maka banyak pengusaha mengeluh d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 192, contoh 28 : Tentukan konklusi dari premis berikut ini : 2 Jika x bilangan real maka x ≥ 0 2 2 Jika x ≥ 0 maka (x + 1) >0 Penyelesaian : 2 Premis I : Jika x bilangan real maka x ≥ 0 2 2 Premis II : Jika x ≥ 0 maka (x + 1) > 0 2 Kesimpulan : Jika x bilangan real maka (x + 1) > 0. e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 199, No.1 : Jika BBM naik maka biaya transportasi naik. P→q Jika biaya transportasi naik maka harga-harga naik. q→r Jika BBM naik, maka harga-harga naik p→r Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 4 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 1 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algorithmic Reasoning Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algorithmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

28

A.

B.

Soal No. 2. Negasi dari pernyataan “ Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin.” Adalah … A. Ada ujian sekolah dan semua siswa tidak belajar dengan rajin. B. Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak nelajar dengan rajin. C. Ada ujian sekolah dan ada siswa yang belajar dengan baik. D. Tidak ada ujian sekolah dan semua siswa belajar dengan rajin. E. Tidak ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : Misal, p ≡ ada ujian sekolah ; q ≡ semua siswa belajar dengan rajin maka pernyataan : Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin. Dapat ditulis : p→q Ingkaran atau negasi dari p→q adalah ~(p→q) ≡ ~(~p⋁q) ≡ p ~q (menggunakan sifat demorgan) Jadi, ingkaran dari pernyataan p → q adalah p ~q secara kalimat : Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin Jawaban : B Konteks : - Logika matematika dalam kehidupan sehari-hari dengan kondisi ketika siswa menghadapi ujian sekolah.. Informasi : - Soal materi : Logika matematika - Penyelesaian soal dengan menggunakan ingakaran atau negasi matematika. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : ~(p→q) ≡ p ~q 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 269 contoh soal 17c : Tentukan negasi dari : “ Jika Ali pergi maka Tuti menangis.” Penyelesaian : Negasi dari “Jika Ali pergi maka Tuti menangis.” Adalah “Ali pergi dan Tuti tidak menangis.” b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat soal latihan Uji kompetensi Bab 5 yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 140, No.3 : Inkaran dari pernyataan “Apabila guru tidak hadir, maka semua murid bersuka ria.” Adalah… A. Guru hadir dan semua murid tidak bersuka ria. B. Guru hadir dan ada beberapa murid yang tidak bersuka ria C. Guru hadir dan semua murid bersuka ria. D. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak bersuka ria. E. Guru tidak hadir dan semua murid tidak bersuka ria. c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 30, No.3a:

29

C.

D.

Tentukan negasi dari : “Jika Budi pandai maka ia naik kelas” d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 179, No.5e : Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan berikut ini : “Jika dua buah segitiga sama dan sebangun, maka dua buah segitiga itu sebangun.” e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 190 contoh soal 6.10 soal nomor 1 : Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut : “Jika hari ini tidak turun hujan, maka ia pergi jalan-jalan”. Penyelesaian : 1. Jika hari ini tidak turun hujan, maka ia pergi jalan-jalan P → q Oleh karena ~ (p → q) ≡ p ~ q. ingkaran dari pernyataan tersebut adalah : Hari ini turun tidak turun hujan, dan ia tidak pergi jalan-jalan P ~q Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 2 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 3 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Memorized Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Memorized Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No.3. Jika diketahui x = , y = , dan z = 2 maka nilai dari

A.

adalah…

A. 32 B. 60 C. 100 D.320 E.640 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Dalam soal diketahui : x = , y =

, dan z = 2

Dan yang ditanyakan dalam soal adalah nilai dari : Penyelesaian soal diatas dapat dikerjakan dengan cara berikut : Substitusi nilai x,y, dan z pada persamaan =(

. Sehingga didapat memakai sifat

=(

30

=

(-1) (-1)

= (3 ) 1

1

(-1) (-1)

. (5 )

.2

2

memakai sifat

=a

-m

2

= 3 .5 .2 = 3.5.4 = 60.

B.

Jadi, hasil yang didapat dari soal diatas adalah 60 Jawaban : B Konteks : - Operasi hitung bilangan berpangkat yang bernilai positif dan negatif Informasi : - Soal materi : operasi hitung berpangkatan. - Penyelesaian soal dengan menyatakan kedalam sifat-sifat yang ada. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : ;

=a

-m

2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA/MA terdapat soal latihan Uji Latih Pemahaman 1A yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 45, No.17 : Jika x = 25dan y = 64, maka nilai A. -2.000

B.

√

C. 2.000

=… D.

E. 100

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat soal latihan Uji kompetensi 1.2 yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 6, No.2a : hitunglah nilai dari bentuk-bentuk berikut! a.

(

)

c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 12, No.4d : Untuk x = 5 dan y = -5, hitunglah nilai dari bentuk berikut : d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 24, soal latihan 7, No.9a : Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini : e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 9, contoh soal 1.6 : Untuk x = –4 dan y = 5, hitunglah Penyelesaian : = C.

1

= (–4)( –4) x 5 = 16 x 5 = 80

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam

31

penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 1 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 4 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas.

D.

Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No.4. Bentuk sederhana dari √

A.

A.

√ √

adalah …

)

√

B.

√ √

√

B.

)

)

√

E.

C.

√

)

)

Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : dari soal diketahui

√

√

√

√

, dari soal tersebut diminta untuk mencari bentuk sederhananya.

Maka, soal tersebut dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut : √

√

√

√

=

√

√

√

√

x

√

√

√

√

rasionalkan penyebut dengan cara mengalikan dengan

√

√

√

√

Sehingga didapat, √

√

√

√

=

(√

√ ) √

√

(√

√ ) √

√

√

√

√ √

√

2

2

2

memakai sifat (a+b) = a +b +2ab

Jadi, dari soal diatas didapatkan hasil √

=

) menyederhanakan dengan mengeluarkan penyebut.

Jawaban : E Konteks :

B.

- Operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar (a+√ ) dan (a - √ sebagai penyebut. Informasi : - Soal materi : operasi aljabar dalam bentuk akar. - Penyelesaian soal dengan menyatakan kedalam sifat-sifat yang ada. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : 2 2 2 (a+b) = a +b +2ab √

√

=

√

√

x

√

√

√

√

2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada contoh 31 halaman 27 bagian a : Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini :

√

32

√

Penyelesaian : √

=

√

√ √

=

x

√ √

√

√

√

√

=√

√

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 14, contoh 1.10 c : Rasionalkan bentuk pecahan berikut

√

√

√

√

Penyelesaian : √

√

√

√

=

√

√

√

√ √

=

√

√

√ √

√

x

= 5 + 2√

c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 25, contoh d : Rasionalkan penyebut pecahan bilangan-bilangan berikut ini dan sederhanakanlah :

√ √

Penyelesaian : √

√

=

√

√

=

√

x

√

√ √

=

d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 15, contoh 12 bagian a : Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini :

√

√

Penyelesaian : √

=

√ √

= √

√

√

x

= 3(√

√

√

√

√

√ )

e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 35, Uji Kompetensi 1.2, No.11h : Rasionalkan penyebut dan nyatakan dalam bentuk paling sederhana : C.

D.

√

√

√

√

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 4 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 1 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

33

Soal No. 5. 3 3 15 Diketahui log 5 = m, log 7 = n, nilai log 245 = … A. A.

B.

C.

D.

E.

Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : 3 3 15 Dari soal diketahui : log 5 = m ; log 7 = n. dan kita harus menentukan nilai dari log 245 = … , maka soal diatas dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut : memakai sifat ( (

)

sifat

)

a

n

a

memakai sifat log b = n. log b

Jadi hasil yang didapat dari soal diatas adalah :

B.

Jawaban : A Konteks : - Operasi hitung logaritma dengan mengubah bilangan pokoknya. Informasi : - Soal materi : penentuan logaritma suatu bilangan - Penyelesaian soal dengan menyatakan kedalam sifat-sifat yang ada. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : a a

log b = n

a

log b = n log b. a a a log ab= log a + log b a n a log b = n( log b) 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada contoh 15 halaman 58 : 5 3 4 Jika log 3 = a dan log 4 = b, maka nyatakan log 15 dalam bentuk a dan b! Penyelesaian :

⁄

x

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 23, soal uji kompetensi 1.11, No.3c : 2 3 Jika diketahui log 3 = m dan log 5 = n, nyatakan logaritma berikut ke dalam bentuk m dan n! c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 41, contoh soal No.3a : 2 3 5 Jika diketahui log 3 = a dan log 5 = b. nyatakanlah logaritma log 2 dalam bentuk a dan b! Penyelesaian :

34

Diketahui Maka : d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada soal halaman 42, No.10a : 2 2 misalkan diketahui log 3 = p dan log 5 = q. nyatakan bentuk berikut 6 log 50 dalam p dan q! e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 45,contoh soal 1.29, bagian a : 4 4 4 4 Jika log 3 = p, log 5 = q, log 8 = r, hitunglah log 20 Penyelesaian : 4 4 4 4 log 40 = log (5x8) = log 5 + log 8 = q+r C.

D.

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 3 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 2 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No.6. 2 2 2 Persamaan kuadrat x + ax – 6 = 0, mempunyai akar-akar α dan β. Jika α + 4αβ + β = –8. Nilai a = …

A.

A. 4 atau –4 B. 2 atau –2 C. 2√ atau –2√ D. 4 E. 2√ Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : 2 Dari soal diketahui : persamaan kuadrat x + ax – 6 = 0, dimana α , β adalah akar-akar persamaan kuadrat. Koefisien-koefisien persamaan kuadrat adalah a = 1, b = a, c = –6 α+ β

rumus jumlah akar-akar

αβ

rumus hasil kali akar-akar

maka soal diatas dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut : 2 2 α + 4αβ + β = –8 2 (α + β) + 2αβ = –8 fungsi homogen akar-akar 2

(–a) + 2(–6) = –8 2

substitusi nilai α + β = 2

2

; αβ =

a – 12 = –8 → a – 12 + 8 = 0 → a – 4 = 0 2 2 (a – 2)(a + 2) =0 memfaktorkan kebentuk (x – y)(x + y) = x – y Dari pembahan diatas didapat nilai a yaitu : a1 = 2 atau a2 = –2

35

B.

Jawaban : B Konteks : - Mencari nilai suatu koefisien yang terdapat dalam soal persamaan kuadrat. Informasi : - Soal materi : mencari nilai koefisien a pada persamaan kuadrat sempurna - Penyelesaian soal dengan menyatakan kedalam sifat-sifat yang ada. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : α+ β

; αβ 2

misal, α dan β akar-akar dari persamaan kuadrat ax +bx+c = 0, maka : α+ β =

; 2

αβ = 2

rumus selisih kuadrat : x – y = (x – y)(x + y) 2 2 2 rumus jumlah kuadrat : (x + y) = x + 2xy + y 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA / MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 105, contoh 24a : 2 Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan x +2x+3 = 0. Tentukan nilai dari (x1 + 2)(x2 + 2) Pembahasan : 2 x +2x + 3 = 0 didapat a = 1, b = 2, c = 3 x1 + x2

b.

c.

d.

e.

; x1 . x 2

maka, (x1 + 2)(x2 + 2) = x1 . x2 + 2x1 + 2x2 + 4 = x1 . x2 + 2(x1 + x2) + 4 = 3 + 2(–2) + 4 = 3 Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 56, soal uji kompetensi 2.10, No.7 : 2 2 2 Diketahui α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat 3x + 9x + 2m + 3 = 0, apabila α + β = 17, tentukan nilai dari m ! Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 114, latihan ulangan No.11 : 2 Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan x – x – 4 = 0. Maka (x1 – 3x2)(x2 – 3x1) adalah … a. –17 b. –37 c. –67 d. 19 d. –32 Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga X SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 100, contoh soal 2.13 bagian a : 2 Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x + 4x + q – 4 = 0 dan α = 3β, tentukan nilai q. Penyelesaian : Koefisien-koefisiean persamaan kuadrat adalah a = 1, b = 4, c = (q – 4) α+β=

=



α + β = –4…

(*)

rumus jumlah akar-akar

substitusikan α = 3β kedalam persamaan (*), maka diperoleh : 3β + β = –4  4β = –4  β = –1 αxβ=

=

36

3β x β =

3β

2

=q–4 2

C.

D.

A.

B.

3(–1) = q – 4 q =7 Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 2 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 2 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN tersebut diatas dan 1 buku tidak ditemukan contoh soal maupun soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas.. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 7 2 Diketahui persamaan kuadrat 3x + ( k – 2 )x – k+2 =0. Jika akar-akar persamaan tersebut real dan berbeda maka batas nilai k yang memenuhi adalah … A. k ≤ 2 atau k ≥ 10 B.k ≤ –10 atau k ≥ 2 C. k < –10 atau k >2 D. –10 ≤ k ≤ 2 B. –2 < k < 10 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : 2 Dari soal diketahui persamaan kuadrat : 3x + ( k – 2 )x – k+2 =0. Dengan akar-akar persamaan real dan berbeda, dengan syarat D > 0. Dan nilai a = 3, b = (k – 2), c = –k + 2 Yang ditanyakan dari soal adalah menentukan batas nilai k yang memenuhi persamaan diatas. Maka, solusi yang didapat yaitu : 2 D>0 → b – 4ac > 0 sifat diskriminan persamaan kujadrat 2 (k – 2) – 4(3)(1 – k +2) > 0 substitusi nilai a,b, dan c kepersamaan 2 k – 4k + 4 + 12k – 24 > 0 penjabaran dari perkalian dan pengkuadratan 2 k + 8k- 20 > 0 → (k-2) (k+10) > 0 faktorisasi dari persamaan kuadrat Maka, nilai k yang memenuhi adalah k1 > 2 ; k2 < –10. Untuk melihat batas nilai k yang memenuhi, akan digunakan garis bilangan : +++ --+++ –10 2 Jawaban : C Konteks : - Persamaan kuadrat yang diterapkan dalam pertidaksamaan kuadrat dalam menentukan batas suatu nilai Informasi : - Soal materi : persamaan kuadrat. Dan pertidaksamaan kuadrat. - Penyelesaian soal dengan menyatakan kedalam sifat yang ada. Langkah kedua : Analisis dari buku teks

37

1. Dalam Teori : 2 Syarat pengkuadratan ax + bx + c = 0 yang memiliki akar-akar real dan berbeda memiliki nilai diskriminan besar nol, D > 0. 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA / MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 101 contoh 18 : 2 Tentukan nilai p agar persamaan x + 2x + p = 0 mempunyai akar kembar ! Penyelesaian : 2 x + 2x + p = 0, maka a = 1, b = 2, c = p, 2 Cara I : D = 0 → b – 4ac 2 2 – 4(1)(p) = 0 → 4 – 4p = 0 → p = 1 Cara II : x1 = x2 =

=

= –1 2

b.

c.

d.

e.

Substitusikan x = –1 ke x + 2x + p = 0, maka didapat : 1–2+p=0 → p=1 Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 54, contoh soal 2.18 : 2 Tunjukan untuk semua m bilangan rasional dengan m ≠ 2, maka persamaan kuadrat x + (m + 2)x + 2m = 0 selalu mempunyai dua akar real, berlainan dan rasioanal ! Jawab : 2 Dari persamaan kuadrat : x + (m + 2)x + 2m = 0; a = 1, b = (m+2), c = 2m 2 2 2 2 D = b – 4ac = (m + 2) – 4(1)(2m) = m + 4m + 4 – 8m = m – 4m + 4 2 D = (m – 2) > 0 => D merupakan bentuk kuadrat sempurna sehingga D positif. Karena nilai diskriminannya lebih besar nol dan merupakan kuadrat sempurna untuk m bilangan rasional terbukti bahwa kedua akarnya nyata (real), berlainan, dan rasional. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 85, soal “try this” : 2 Agar persamaan kuadrat x + (a – 1)x – a + 4 = 0. Mempunyai dua akar nyata berbeda, maka nilai a yang memenuhi adalah … a. a < –5 atau a > 3 b. a <–3 atau a >5 c. a < 3 atau a > 5 b. –5 < a < 3 e. –3 < a < 5 Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 86, soal latihan 8, No.2 : perlihatkan bahwa jika p dan r berlainan tanda (p > 0 ; r < 0 ; atau p < 0 ; r > 0), maka persamaan 2 kuadrat p + q x + r = 0 selalu mempunyai dua akar real yang berlainan. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 91, contoh soal 2.8 bagian b : 2

Tunjukan bahwa persamaan x + (1 + k)x +

= 0 memiliki dua akar real untuk semua harga k є R.

Penyelesaian : 2

x + (1 + k)x + 2

= 0 memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = (1 + k), c = . 2

2

2

D = b – 4ac =(1 + k) – 4(1)( ) = (1 + 2k + k ) – 2k → D = k + 1 2

2

D > 0 → k selalu berharga positif atau nol sehingga k + 1, selalu positif

38

Oleh karena nilai diskriminan selalu positif, persamaan kuadrat selalu memiliki dua akar real untuk semua harga k є R. C. Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, terdapat 3 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 2 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. D. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No.8 Umur Anti lebih muda 2 tahun dari umur Beny. Umur Beny lebih muda 3 tahun dari umur Candra. Jika jumlah umur Anti, Beny, dan Candra 61 tahun, jumlah umur Anti dan Candra adalah …. A. 31 tahun B. 33 tahun C. 38 tahun D. 41 tahun E. 43 tahun A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : Misal, Umur Anti =x; Umur Candra = z ; Umur Beny = y Umur Anti lebih muda 2 tahun dari Beny :x=y–2 …(1) Umur Beny lebih muda 3 tahun dari Candra :y=z–3 …(2) Jumlah umur Anti, Beny, dan Candra : x + y + z = 61 …(3) Yang ditanya dari soal diatas adalah jumlah umur Anti dan Candra : x + z = ….? Maka, dapat diselesaikan dengan cara eliminasi, persamaan (1) dan (2) : x=y–2 y=z–3_ x – 2y + z = 1 …(4) eliminasi persamaan (3) dan (4), maka didapat : x + y + z = 61 x – 2y + z = 1 _ 3y = 60 → y = 20 Substitusi nilai y = 20 ke persamaan (2), maka didapat hasil : y = z – 3 => 20 = z – 3 20 + 3 = z → z = 23 Dari hasil y dan z yang didapat, substitusikan nilai y dan z kepersamaan (3). Sehingga didapat hasil : x + y + z = 61 => x + 20 + 23 = 61 x + 43 = 61 → x = 18 tahun substitusi nilai x dan z x + z = 18 + 23 = 41 Jadi, jumlah umur Anti dan Candra adalah 41 tahun Jawaban : C

39

B.

Konteks : - Sistem Persamaan Linear tiga peubah yang diterapkan dalam penghitungan selisih dan jumlah umur dalam kehidupan sehari-hari Informasi : - Soal materi : Sistem Persamaan Linear. - Penyelesaian soal dengan menyatakan kedalam bentuk umum Sistem Persamaan Linear Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : { Solusi dari SPLTV dapat disusun dengan beberapa cara, yaitu : i) Metode substitusi ii) Metode eliminasi iii) Metode determinan 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 188, latihan 7 No.16 : Suatu bilangan terdiri dari 3 angka. Jumlah angka-angka bilangan tersebut 18. Tiga kali angka puluhan dikurangi lima kali angka satuan hasilnya 17. Jika 4 kali angka satuan ditambah 2 kali angka ratusan hasilnya 22. Tentukan angka-angka bilangan tersebut ! b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 81, contoh soal 3.8 : Sepuluh tahun yang lalu, umur Ita dua kali umur Tika, dan lima tahun kemudian umur Ita satu setengah kali umur tika. Berapa umur Ita sekarang! Jawab : Misalnya : Umur Ita = x tahun ; Umur Tika = y tahun Sistem persamaan dari permasalahan di atas adalah : x – 10 = 2 (y – 10) → x – 2y = –10 …(1) x – 5 = (y – 5)

→ 2x – 3y = –5 …(2)

dengan metode eliminasi diperoleh x – 2y = –10 x3  3x – 6y = –30 2x – 3y = –5 x2  4x – 6y = –10 – –x= –20 → x = 20 Jadi, umur Ita sekarang adalah 20 tahun. c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman135, contoh soal, No.4 : Diketahui lima tahun lalu, 3 kali umur A sama dengan 2 kali umur B. tiga tahun yang akan dating, 2 kali umur A sama dengan umur B ditambah 11 tahun. Berapakah umur A dan umur B sekarang ? Solusi : Dari informasi diatas kita memperoleh SPLDV sebagai berikut : 3(A – 5) = 2(B – 5)

atau

{

2(A + 3) = (B + 3) + 11 Dengan metode eliminasi – substitusi kita peroleh A dan B sebagai berikut : 3A – 2B = 5 x1 3A – 2B = 5 2A – B = 8 x2 4A – 2B = 16 –

40

– A = –11 → A = 11 2A – B = 8 → 2(11) – B = 8 → B = 14 Jadi, sekarang umur A = 11 tahun dan umur B = 14 tahun. d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 129, contoh soal 8 : Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka, jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu. Jawab : Misalkan bilangan itu xyz, x menempati tempat ratusan, y menempati tempat puluhan, z menempati tempat satuan. Jadi, nilai bilangan itu 100x + 10y + z. berdasarkan data pada soal diperoleh

SPLTV

sebagai

berikut

:

{



{

C.

Eliminasi peubah y : x + y + z = 16 x + y + z = 16 x11  11x + 11y + 11z = 176 x + y – z = –2 _ 79x – 11y – 20z = 13 x1 79x – 11y – 20z = 13 + 2z = 18 90x – 9z = 189  z=9 Substitusi nilai z = 9 ke persamaan 90x – 9z = 189, diperoleh : 90x – 9(9) = 189 → 90x – 81 = 189 → 90x = 270 → x = 3 Substitusikan nilai x = 3 dan z = 9 ke persamaan x + y + z = 16, diperoleh : 3 + y + 9 = 16 → y = 4 Jadi, karena x = 3, y = 4, dan z = 9 maka bilangan itu adalah 349 e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 182 : Pada suatu hari, Andi, Bayu, dan Jodi panen jeruk. Hasil panen Jodi 10 kg lebih sedikit dari hasil kebun Andi dan lebih banyak 10 kg dari hasil kebun Bayu. Jika jumlah hasil panen dari ketiga kebun itu 195 kg, hasil panen Andi adalah …. Jawab : Misalkan : Joni = x, Andi = y, dan Bayu = z Kalimat matematika : x = y – 10 …(1) x = z + 10 …(2) x + y + z = 195 …(3) substitusi (1) dan (2) , y – 10 = z + 10  y – z = 20 …(4) substitusi (1) dan (3) (y – 10) + y + z = 195  2y + z = 205 …(5) Dari (4) dan (5) diperoleh : y – z = 20 2y + z = 205 + 3y = 225 → y = 75 jadi, hasil panen andi adalah : y = 75 kg Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument :

41

D.

A.

Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 4 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 1 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. SOAL No.9 2 2 Lingkaran L = (x + 1) + (y – 3) = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah … A. x = 2 dan x = –4 B. x = 2 dan x = –2 C. x = –2 dan x = 4 D. x = –2 dan x = –4 E. x = 8 dan x = –10 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : 2 2 Cara I : dari soal diketahui L = (x + 1) + (y – 3) = 9 Titik pusat (a,b) = (–1,3), serta jari-jari r = 3 2 2 2 Garis y = 3 substitusi ke persamaan lingkaran L = (x + 1) + (y – 3) = 9 maka diperoleh hasil : x + 2x – 8 = 0 → (x – 2) (x + 4) y = 3 , titik singgung : (2,3) dan (–4,3) 2 * untuk (2,3) → (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r (x + 1) (2 + 1) + (y – 3) (3-3) = 9 3x + 3 + 0 = 9 → x = 2 2 * untuk (–4,3) → (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r (x + 1) (–4 + 1) + (y – 3) (3 – 3) = 9 –3x – 3 + 0 = 9 → x = –4 Maka, garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis adalah x = 2 dan x = –4 Cara II : 2 2 Diketahui persamaan lingkaran : L = (x + 1) + (y – 3) = 9 2

2

y = 3 → L = (x + 1) = 9 → x + 2x – 8 = 0 ,

B.

garis singgung yang melalui titik potong garis y dengan L yaitu : titik singgung : (2,3) dan (–4,3). Karena, x = 2 ┴ y = 3 dan x = –4 ┴ y = 3 Maka, persamaan garis singgung : x = 2 dan x = –4 Jawaban : C Konteks : - garis singgung lingkaran antara lingkaran dan garis. Informasi : - Soal materi : Lingkaran - Penyelesaian soal dengan menyatakan kedalam bentuk umum persamaan yang ada. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori :

42

2

2

L = (x + a) + (y – b) = c 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman178 uji latih pemahaman 4A, No.16 : 2 2 Garis x – 2y = 5, memotong lingkaran x + y – 4x + 8y + 10 = 0 di titik A dan B. panjang ruas garis AB adalah …. a. √ B. √ C. 4 D. b. 2√ e. 5 b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 115, soal Uji Kompetensi 4.5, No.2 : 2 2 Diketahui lingkaran x + y + 2x – 4y – 5 = 0 dan garis y = x + 1. Garis dan lingkaran berpotongan di titik A dan B. tentukan persamaan garis singgung di titik A dan B. c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 212, contoh soal No.1 : Tentukan persamaan garis singgung di titik (1, –2) pada lingkaran 2 2 L = (x +1) + (y – 3) = 25. Solusi 2 2 Titik (1, –2) pada lingkaran L = (x +1) + (y – 3) = 25 2 2 Karena, (1 – 1) + (–2 – 3) = 25, maka persamaan garis singgung di titik (1, –2) adalah : (x – 1) (1 – 1) + (y – 3) (–2 – 3) = 25 –5y + 15 = 25 → y = –2 Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = –2 d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 127, contoh 17 : 2 2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L = (x – 3) + (y + 1) = 25 yang melalui titik (7,2) Jawab : 2 2 Titik (7,2) → x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L = (x – 3) + (y + 1) = 25 Persamaan garis singgungnya : (7 – 3) (x – 3) + (2 + 1) (y + 1) = 25 4x – 12 + 3y + 3 = 25 4x + 3y – 34 = 0 2 2 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L = (x – 3) + (y + 1) = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x + 3y – 34 = 0 e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 237, contoh soal 4.10 bagian b : Tentukan persamaan 2 2 garis singgung yang melalui titik (–3, –4) pada lingkaran x + y + 6x – 2y – 15 = 0. Jawab : 2 2 Periksa titik (–3, –4) terhadap lingkaran x + y + 6x – 2y – 15 = 0. 2 2 (–3) + (–4) + 6(–3) – 2(–4) – 15 = 0 9 + 16 – 18 + 8 – 15 = 0 0 = 0 (benar), Jadi, titik (–3, –4) adalah titik singgung sehingga dapat digunakan cara pembagian adil. Persamaan 2

2

garis singgung melalui (–3, –4) pada lingkaran x + y + 6x – 2y – 15 = 0 adalah x1x + y1.y + (x1 + x) (y1 + y) – 15 = 0, dengan x1 = –3 dan y1 = –4. Jadi : (–3)x + (–4)y + 3(–3 + x) – 1(–4 + y) – 15 = 0 –3x – 4y – 9 + 3x + 4 – y – 15 = 0

43

C.

D.

–5y – 20 = 0 → y + 4 = 0 atau y = –4 Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 3 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 2 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No.10 2 2 Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi x – 3x + 2 bersisa 4x – 6 dan jiuka dibagi x – x – 6 bersisa 8x – 10. Suku banyak tersebut adalah …. 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 A. x – 2x + 3x – 4 B. x – 3x + 2x – 4 C. x + 2x – 3x – 7 D. 2x + 2x – 8x + 7 E. 2x + 4x – 10x + 9 A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : 2 Dari soal diketahui suatu suku banyak berderajat 3 dibagi x – 3x + 2, bersisa S(x) = 4x – 6, dan jika dibagi 2 x – x – 6, bersisa S(x) = 8x – 10. Dan yang menjadi pertanyaan dari soal tersebut adalah suku banyak yang dimaksud tersebut. Maka, penyelesaian sebagai berikut : 3 2 Bentuk umum suku banyak berderajat 3 : f(x) = ax + bx +cx + d Dari soal juga didapat, pembagi I : (x – 1)(x – 2) ; Dimana, x1 = 1 dan x2 = 2, maka menghasilkan S(x) = 4x – 6 Substitusikan nilai fungsi x1 dan x2 ke sisa S(x) = 4x – 6 f(1) = 4(1) – 6 = –2 dan f(2) = 4(2) – 6 = 2 pembagi II : (x – 3)(x + 2) ; Dimana, x1 = 3 dan x2 = –2, maka menghasilkan S(x) = 8x – 10 Substitusikan nilai fungsi x1 dan x2 ke sisa S(x) = 4x – 6 f(3) : 8(3) – 10 = 14 dan f(–2) : 8(–2) – 10 = –26 substitusi nilai f(x) = 1 dan 2 ke bentuk umum suku banyak kuadrat 3, sehingga f(1) : a + b + c + d = –2 eliminasi kedua persamaan tersebut f(2) : 8a + 4b + 2c + d = 2 – –7a – 3b – c = –4 …(1) Substitusi nilai f(x) = 1 dan 3 kebentuk umum suku banyak kuadrat 3, sehingga f(1) : a + b + c + d = –2 f(3) : 27a + 9b + 3c + d = 14 – –26a – 8b – 2c = –16 …(2) Dari persamaan 1 dan 2 didapat : –7a – 3b – c = – 4 x8 –26a – 8b – 2c = –16 x3 – 22a + 2c = 16 …(3) Substitusi nilai f(x) = 2 dan –2 kebentuk umum suku banyak kuadrat 3, sehingga f(2) : 8a + 4b + 2c + d = 2

44

B.

f(–2) : –8a + 4b – 2c + d = –26 _ 16a + 4c = 28 Eliminasi hasil dari persamaan diatas dengan persamaan (3), maka didapat hasil : 16a + 4c = 28 x1 22a + 2c = 16 x2 _ 60a = 60 a = 1, substitusi nilai a kepersamaan (3), didapat… 16(1) + 4c = 28  c = 3 Dengan mensubstitusikan nilai a dan c kepersamaan (1), maka didapat : –7a – 3b – c = –4  –7(1) – 3b – 3 = –4 –10 – 3b = –4 → b = –2 a + b + c + d = –2  1 – 2 + 3 + d = –2, maka nilai d = –4. 3 2 Jadi hasil yang didapat untuk mencari nilai f(x) adalah f(x) = x – 2x + 3x – 4 Jawaban : A b - Penyelesaian suku banyak berderajat 3 dengan aturan yang ada Informasi : - Soal materi : suku banyak - Penyelesaian soal dengan menyatakan kedalam bentuk umum persamaan yang ada. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Bentuk umum suku banyak : 3 2 f(x) = ax + bx +cx + d f(x) = (x – a)(x – b)H(x) + (px + q) 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 215 uji latih pemahaman 5A, No.14 : 2 Sebuah suku banyak berderajat 3, jika dibagi x – 3x + 2 mempunyai sisa 3x + 2 dan jika dibagi x + 3 mempunyai sisa 13, maka suku banyak tersebut adalah … 3 2 3 2 3 2 a. x + x + 13x + 6 c. x + x – 7x + 10 e. x + x + 7x – 10 3 2 3 2 b. x + x – 13x – 6 d. x + x + 7x + 10 b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 139, soal uji kompetensi 5.4, No.7 : Sebuah suku banyak berderajat 3 dalam variable x habis dibagi (x + 2). Jika suku banyak itu dibagi (x + 1) bersisa 2, dibagi (x – 1) bersisa 4, dan dibagi (x – 2) bersisa 12. Tentukan suku banyak tersebut ! c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 33, contoh soal No.2 : 2 Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 8, jika dibagi (x + 2) bersisa –1, dan jika dibagi (x + x – 2) 2 hasil baginya (x + 1). Tentukan f(x) ! Solusi : Dari soal disimpulkan f(1) = 8, f(–2) = –1 Persamaan dasarnya adalah f(x) = (x – 1)(x + 2). h(x) + (px + q) Untuk x = 1, maka f(1) = p + q = 8 …(1) Untuk x = –2, maka f(–2) = –2p + q = –1 …(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh p+q= 8

45

C.

D.

A.

–2p + q = –1 _ 3p + 0 = 9 → p=3 . untuk p = 3, maka p + q = 8 atau 3 + q = 8 → q = 5 . . px + q = 3x + 5 Jadi, sisanya adalah (3x + 5). Sehingga suku banyak dapat dinyatakan f(x) = (x – 1)(x + 2) . h(x) + (3x + 5) 2 = (x + x – 2) . h(x) + (3x + 5) 2 2 Karena jika f(x) dibagi (x + x – 2) menghasilkan (x – 1), maka 2 2 f(x) = (x + x – 2)(x + 1) + (3x + 5) 4 2 3 2 = x + x + x + x – 2x – 2 + 3x + 5 4 3 2 = x + x – x + 4x + 5 4 3 2 Jadi, f(x) = x + x – x + 4x + 5. d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 173, soal latihan 12, No. 7 : Suku banyak f(x) berderajat 3 mempunyai akar-akar persamaan 2, –1, dan 3. Nilai suku banyak f(x) untuk x = 1 adalah 8. Tentukan fungsi f(x) itu. e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI IPA SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 1 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 3 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas, sementara 1 buku lainnya tidak memiliki contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No.11 2 Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x + 2x – 3. Komposisi fungsi (g ο f)(x) = ………… 2 2 2 2 2 A. 2x + 4x – 9 B. 2x + 4x – 3 C. 4x + 4x – 18 D. 4x + 8x E. 4x – 8x Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : 2 Dari soal diketahui : f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x + 2x – 3, dan yang ditanya dari soal yaitu nilai dari komposisi fungsi (g ο f)(x). maka, didapat : (g ο f)(x) = g(f (x)) sifat komposisi fungsi = g(2x – 3) substitusikan nilai f(x) ke fungsi g(x) 2 = (2x – 3) + 2(2x – 3) – 3

46

2

2

= 4x – 12x + 9 + 4x – 9 = 4x – 8x

B.

Jawaban : E Konteks : - Penyelesaian komposisi.fungsi Informasi : - Soal materi : fungsi - Penyelesaian soal berdasarkan sifat yang ada dan mencari komposisi fungsi. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Aturan fungsi : (g ο f)(x) = g(f (x)) 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 238 contoh soal 17a : 2 Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh rumus f(x) = x + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3. Tentukan rumus untuk (g ο f)(x) ! Penyelesaian : 2 (g ο f)(x) = g(f (x)) = g(x + 4x + 5) 2 = 2(x + 4x + 5) + 3 2 2 = 2x + 8x + 10 + 3 = 2x + 8x + 13 b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 159, contoh soal 6.6 bagian a : Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan dengan aturan f(x) = 5x + 6 dan g(x) = 2x. Tentukan aturan g ο f ! Jawab : (g ο f) = g(f (x)) = g(5x + 6) = 2(5x + 6) = 10x + 12 c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 77, contoh soal No.1c : 2 Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x + 5. Tentukan rumus untuk (g ο f )(x) ! Solusi : (g ο f) = g(f (x)) = g(2x – 3) 2 2 = (2x – 3) + 5 = 4x – 12x + 9 + 5 2 = 4x – 12x + 14 d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 182, contoh 2a : 2 Diketahui fungsi f : R → R dengan f(x) = 4x – 1 dan fungsi g : R → R dengan g(x) = x + 2. (g ο f )(x)! Jawab : (g ο f)(x) = g(f (x)) = g(4x – 1) 2 2 = (4x – 1) + 2 = 16x – 18x + 3 2 = 4x – 12x + 14 2 Jadi, (g ο f) = 4x – 12x + 14. e. Buku terbitan Grafindo

47

C.

D.

A.

Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 54, contoh soal 6.3 bagian a : 2 Misalkan f dan g adalah dua fungsi yang didefinisikan sebagai f : x→3x + 1 dan g : x → 2x . Tentukanlah (g ο f )(x) ! Jawab : Untuk (g ο f) = g{f (x)}, anda mulai dengan memasukkan f(x) = 3x + 1 terlebih dahulu. Kemudian, dilanjutkan dengan mengganti x dalam g(x) dengan 3x + 1. Dengan demikian, (g ο f)(x) = g{f (x)} = g(3x + 1) 2 2 = 2(3x + 1) = 2(9x – 6x + 1) 2 = 18x – 12x + 2 Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, terdapat 5 buku yang memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 12 Seorang pegang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persedian. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp. 1.500.000,- per buah dan sepeda balap dengan harga Rp. 2.000.000,- per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp. 42.000.000,-. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp. 500.000,- dan sebuah sepeda balap Rp. 600.000,- maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah … A. Rp. 13.400.000,- B. Rp. 12.600.000,- C. Rp. 12.500.000,- D. Rp. 10.400.000,- E. Rp. 8.400.000,Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : Misal : x = sepeda gunung ; y = sepeda balap ; z = keuntungan penjualan sepeda x ≤ 0 ; y ≤ 0 Maka, jumlah keseluruhan sepeda : x + y ≤ 25 …(1) Harga 1 unit sepeda gunung (x) = Rp. 1.500.000,Harga 1 unit sepeda balap (y) = Rp. 2.000.000,Keuntungan penjualan sepeda (z) = Rp. 500.000,- (x) + Rp. 600.000,- (y) Uang yang dikeluarkan = Rp. 42.000.000,Dalam kalimat matematika ditulis : 1.500,000 x + 2.000.000 y ≤ 42.000.000 : 500.000 → 3x + 4y ≤ 84 …….(2) Dari soal yang ditanya adalah keuntungan maksimum dari penjualan sepeda tersebut = …. x + y ≤ 25 x4  4x + 4y ≤ 100 3x + 4y ≤ 84 – x1 3x + 4y ≤ 84 – x ≤ 16 → y ≤ 25 – 16 → y ≤ 9

48

titik-titik pojok yang terletak pada daerah himpunan penyelesaian adalah titik O(0,0), A(25,0), B(16,9), C(0,21). Nilai fungsi objektif 500.000(x) + 600.000(y) untuk setiap koordinat titik pojok diperlihatkan pada table dibawah : Titik pojok (x,y) Nilai bentuk 500.000(x) + 600.000(y) O(0,0) 0

B.

A(25,0)

12.500.000

B(16,9)

13.400.000

C(0,21)

12,600.000

Dengan metode titik pojok maka didapat grafik fungsi objektif seperti dibawah ini : Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan sepeda gunung dan sepeda balap yang diterima pedagang adalah sebesar Rp. 13.400.000,00 Jawaban : A Konteks : - Aplikasi materi program linear pada kehidupan sehari-hari yang diterapkan pada bidang perdagangan. Informasi : - Soal materi : program linear - Penyelesaian soal berdasarkan defenisi program linear dan aturan yang ada yang diubah kedalam bentuk model matematika. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Fungsi objektif : f(x,y) = ax + by ; untuk setiap titik pojok (x,y) dari daerah himpunan penyelesaian 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 54 contoh 4 : 2 Tanah seluas 10.000 m akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. untuk rumah tipe A diperlukan 2 2 100 m dan tipe B diperlukan 75 m . Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit, dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut? Penyelesaian : Misalkan : banyak rumah tipe A = x unit; banyak rumah tipe B = y unit Banyaknya rumah Luas tanah 2 Jenis rumah (unit) (m ) Keuntungan Tipe A X 100 Rp. 6.000.000,00 Tipe B Y 75 Rp. 4.000.000,00 Persediaan 125 10.000 x + y ≤ 125, 100x + 75y ≤ 10.000, x ≥ 0, y ≥ 0 Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear bagi masalah ini dapat digambarkan seperti berikut : Titik pojok himpunan ini adalah (0,0), (0,125), (25,100), (100,0). Nilai fungsi objektifnya ialah : Titik pojok f(x,y) = 6.000.000x + 4.000.000y (0,0) 0 (0,125) 500.000.000 (25,100) 550.000.000 (100,0) 600.000.000

49

Jadi, keuntungan maksimum yang didapat dari hasil penjualan rumah tersebut sebesar Rp. 600.000.000,00. b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 43, contoh soal 2.3, No.1 : Seorang pengusaha mebel mempunyai modal Rp. 1.600.000,00 dan 360 lembar papan kayu untuk membuat lemari dan meja. Bahan yang diperlukan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masing-masing adalah Rp. 80.000,00 dan Rp. 40.000,00. Keuntungan bersih untuk setiap lemari dan meja yang terjual adalah Rp. 17.500,00 dan Rp. 8.000,00. Buatlah model matematika untuk masalah tersebut. Jika keuntungan bersih yang diharapkan sebesar-besarnya! Jawab : Lemari Meja Persediaan Biaya Rp.80.000,00 Rp.40.000,00 Rp.1.600.000,00 Bahan 20 8 360 Keuntungan Rp.17.500,00 Rp. 8.000,00 Misalnya jumlah lemari yang diproduksi x buah dan meja yang diproduksi y buah. Biaya yang diperlukan adalah 80.000x + 40.000y. bahan yang diperlukan adalah 20x + 8y. karena modal yang dimiliki Rp.1.600.000,00 dan bahan yang tersedia adalah 360 lembar, maka harus dipenuhi pertidaksamaan : 80.000x + 40.000y ≤ 1.600.00 → 2x + y ≤ 40 20x + 8y ≤ 360 → 5x + 2y ≤ 90 Dengan mengingat bahwax dan y menyatakan banyaknya barang, maka x dan y tidak mungkin bernilai negative dan harus merupakan bilangan cacah. Dengan demikian x dan y memenuhi persamaan x ≥ 0, y ≥ 0 dan x, y є C. Keuntungan bersih : 17.500x + 8.000y. Jadi, model matematika untuk persoalan diatas adalah : 2x + y ≤ 40 ; 5x + 2y ≤ 90 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x, y є C dengan bentuk (17.500x + 8.000y) maksimum. Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut diperlihatkan oleh daerah yang diarsir, serta titik- titik pojok yang terletak pada daerah himpunan penyelesaiannya adalah titik O(0,0), A(18,0), B(10,20), C(0,40). Titik B adalah titik potong antara garis 2x + y ≤ 40 dengan garis 5x + 2y ≤ 90. Nilai fungsi objektif 17.500x + 8.000y untuk setiap koordinat titik pojok dan daerah himpunan penyelesaiaan diperlihatkan pada tabel dan gambar dibawah ini : Titik pojok (x , y) Nilai bentuk 17.500x + 8.000y O(0,0) 0 A(18,0) 315.000 B(10,20) 335.000 C(0,40) 320.000 Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 96, contoh soal No.1 : Seorang pedagang sepatu mempunyai modal Rp.8.000.000,00. Ia merenca-nakan membeli dua jenis sepatu, sepatu pris dan sepatu wanita. Harga beli sepatu pria adalah Rp.20.000,00 per pasang, dan sepatu wanita harga belinya Rp.16.000,00 per pasang. Keuntungan dari penjualan sepatu pria dan sepatu wanita berturut-turut adalah Rp.6.000,00 dan Rp.5.000,00. Mengingat kapasitas kiosnya, ia akan membeli sebanyak-banyaknya 450 pasang sepatu. Buatlah model matematika yang sesuai dengan persoalan ini. Berapa banyak sepatu pria dan sepatu wanita yang harus dibeli agar pedagang tersebut memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya ? Solusi :

50

Masalah diatas dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut : 1. merumuskan persoalan kedalam model matematika. Dari soal diperoleh siste, pertidaksamaan sebagai berikut : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 450, dan 5x + 4y ≤ 2.000 untuk x, y є C. fungsi objektif (6.000x + 5.000y) keuntungan sebesar-besarnya (maksimum). 2. Menggambarkan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan. x + y = 450 x5 5x + 5y = 2.250 5x + 4y = 2.000 x1 5x + 4y = 2.000 _ y = 250 untuk y = 250 → x + y = 450 x + 250 = 450 → x = 200

C.

D.

Titik pojok

Z = 6.000x + 5.000y

Nilai

(0,0) (400,0) (200,250) (0,450)

6.000(0) + 5.000(0) 6.000(400) + 5.000(0) 6.000(200) + 5.000(250) 6.000(0) + 5.000(450)

0 2.400.000 2.450.000 2.250.000

Dari tabel diatas dapat dilihat keuntungan maksimum diperoleh pada saat pedagang tersebut mampu menjual 200 pasang sepatu pria dan 250 pasang sepatu wanita. d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII IPA SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 62 latihan 3, No.3 : Seorang pedagang buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjajakan apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp.10.00,00 per kg dan pisang Rp.4.000,00 per kg. modal yang tersedia Rp.2.500.00,00 dan gerobaknya memiliki daya muat tidak lebih dari 400 kg. keuntungan per kg apel setara dengan keuntungan per kg pisang. Supaya pedagang itu mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya, berapa kg apel dan berapa kg pisang yang harus dijual ? e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 109, uji kompetensi 2.2, No.17 : Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis mikrokomputer, yaitu model A dengan 256 K RAM dan model B dengan 128 K RAM. Perusahaan tersebut dapat membuat maksimum 75 model A per hari dan 50 model B per hari. Diperlukan 8 jam untuk memproduksi model A dan 3 jam untuk memproduksi model B. seluruh pegawai dapat memberikan total 630 jam kerja per hari. Laba tiap model A adalah Rp.20,00 dan tiap model B adalah Rp.27,00. Berapa banyaknya setiap model harus diproduksi tiap hari untuk memberikan laba maksimum. Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, terdapat 3 buku yang memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 2 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar

51

Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 13 Diketahui matriks A = (

), B = (

Jika A + B – C = ( A.

), dan C = (

).

), maka nilai x + 2xy + y adalah …

A. 8 b. 12 c. 18 d. 20 e.22 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Solusi soal Penyelesaian : Dari soal diketahui nilai matriks A = ( C=(

) ; B=(

) ; dan C = (

). Serta nilai A + B –

). Serta yang ditanya dari soal tersebuat adalah x + 2xy + y. maka, penyelesaian dari soal

tersebut sebagai berikut : Matriks A + B – C = (

)

substitusikan nilai masing-masing matriks A, B, C (

)

(

)

(

(

)

(

B.

)

)

(

(

(

) menerapkan operasi aljabar )

)

Dari operasi aljabar diatas didapat : (1) x + 6 = 8 → x = 2 (2) y + 6 = 5x → y = 5(2) – 6 = 4 Substitusikan nilai x dan y sehingga diperoleh : x + 2xy + y = 2 + 2(2)(4) + 4 = 22 Jawaban : E Konteks : - Operasi aljabar matriks . Informasi : - Soal materi : matriks - Penyelesaian soal dengan penggunaan operasi aljabar pada matriks. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Operasi aljabar matriks (

)+(

)=(

)

(

)–(

)=(

)

2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 87 soal Latihan 6, No.9 : Diketahui matriks A=(

),B=(

) , dan C = (

52

).

Jika A + B = C, tentukan nilai p + q+ r. b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 146, soal uji kompetensi semester 1, No.13 : Diketahui matriks A = (

),B=(

) , dan C = (

).

Nilai p dan q yang memenuhi

A + 2B = C berturut-turut adalah … a. -2 dan -1 b. 1 dan 2 c. -2 dan 1 d. 3 dan -2 e. -2 dan 3 c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 189, soal latihan ulangan tengah semester, No.20 : Diketahui B = (

),C=.

/ dan A = B. jika A = C, maka x – 2xy + y = …

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII IPA SMA/MA tidak terdapat contoh soal maupun soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 125, contoh soal UN 2004 : )+(

Diketahui : 2(

)=(

Nilai a + b + c + d adalah … a. -11 c. -8 e. -3 d. -9 Jawab : 2( (

C.

)+(

d. -7

)=( )+(

)

) )=(

)

Misalkan, ( )+( )=( ) Dua matriks sama jika elemen-elemen yang seletak adalah sama, Dengan demikian, p11 + q11 = r11 –2a + 4 = 10 → –2a = 6 → a = 3 p21 + q21 = r21 → 2(c – 4) + 8 = –4 2c – 8 + 8 = –4 → 2c = –4 → c = –2 p12 + q12 = r12 → 2(b + 2) + b + c = –7 2b + 4 + b – 2 = –7 → 3b = –9 → b = –3 p22 + q22 = r22 → 2d – 2d = a – 1 4d = –3 – 1 → 4d = –4 → d = –1 Jadi, a + b + c + d = –3 – 3 – 2 – 1 = –9 Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 1 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 3 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas, serta 1 buku tidak memiliki contoh soal atau pun soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas.

53

D.

Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan oberdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No.14

A.

Diketahui vector ⃗ = ⃗ - x ⃗ + 3 ⃗⃗ . ⃗⃗ = 2 ⃗ + ⃗ - ⃗⃗ dan ⃗ = ⃗ + 3 ⃗ + 2 ⃗⃗ Jika nilai ⃗ tegak lurus ⃗⃗ maka 2 ⃗ . ( ⃗⃗ - ⃗) adalah … A. –20 B. –12 C. –10 D. –8 E. –1 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : Dari soal diketahui bahwa : ⃗ = ⃗ - x ⃗ + 3 ⃗⃗ ; ⃗⃗ = 2 ⃗ + ⃗ - ⃗⃗ ; ⃗ = ⃗ + 3 ⃗ + 2 ⃗⃗ 0 0 Karena, ⃗ ┴ ⃗⃗, Ө = 90 → ⃗ . ⃗⃗ = 0 syarat tegak lurus dimana Ө = 90 Berdasarkan aturan diatas maka, dapat dituliskan : (⃗ - ⃗ + 3 ⃗⃗) . (2 ⃗ + ⃗ - ⃗⃗ ) = 0 sifat komutatif : ⃗ . ⃗⃗ = ⃗⃗ . ⃗ (⃗ . 2 ⃗ + ⃗ . ⃗ - ⃗⃗ . ⃗⃗) – (2 ⃗ . ⃗ + x ⃗ . ⃗ - ⃗ . ⃗⃗) + (6 ⃗⃗ . ⃗⃗ + 3 ⃗⃗ . ⃗ - 3 ⃗⃗ . ⃗⃗)

Ketentuan : perkalian vektor sejenis memiliki nilai = 1 perkalian vektor berlainan jenis memiliki nilai = 0 maka : 2 – x – 3 = 0 → x = 0 sehingga, nilai dari 2 ⃗ . ( ⃗⃗ – ⃗) = 2 ( 1 1 3) (

B.

) = 2 (1 – 2 – 9) → –20

Jadi, hasil dari 2 ⃗ . ( ⃗⃗ – ⃗) = –20 Jawaban : A Konteks : - Operasi perkalian dan penjumlahan vektor. Informasi : - Soal materi : vektor - Penyelesaian soal dengan penggunaan sifat yang berlaku. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian vector ⃗ + ⃗⃗ = ( ) + ( ) = (

)

⃗ - ⃗⃗ = ⃗ + (– ⃗⃗) = ( ) - ( ) = ( ⃗ . ⃗⃗ = ( ) . ( ) =

)

+

Sifat komutatif : ⃗ . ⃗⃗ = ⃗⃗ . ⃗ 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 154 soal Latihan 4, No.5a : 0 Vektor-vektor ⃗ dan ⃗⃗ saling tegak lurus, dan masing-masing membentuk sudut 60 dengan vektor ⃗. Jika | ⃗| = 3 , | ⃗⃗| = 5, dan | ⃗| = 8. Hitunglah : (3 ⃗ – 2 ⃗⃗) . ( ⃗⃗ + 3 ⃗)

54

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 106 soal latihan uji kompetensi 4.3, No. 5 : Diketahui ⃗ = –⃗ + 3 ⃗ + 2 ⃗⃗, ⃗⃗ = 2⃗ – 2 ⃗ – ⃗⃗, dan ⃗ = 3⃗ + x ⃗ + y ⃗⃗. Tentukan nilai x jika ⃗ tegak lurus terhadap ⃗ dan ⃗⃗ ! c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 228, contoh a : Diketahui ⃗ ⃗ ⃗ – ⃗⃗ dan ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ . Tentukan x jika : ⃗ ┴ ⃗⃗ d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 163, contoh 24 : Diketahui vector ⃗ = ( ), dan vector ⃗⃗ = ( ), serta vector ⃗ ortogonal terhadap vector ⃗⃗. Hitunglah nilai m yang mungkin. Jawab : ⃗ . ⃗⃗ = (4) (3) + (6) (m) = 12 + 6m Karena vector ⃗ tegak lurus terhadap vector ⃗⃗, maka berdasarkan teorema ortogonalitas maka haruslah ⃗ . ⃗⃗ = 0 12 + 6m = 0 → 6m = –12 → m = –2 Jadi, vector ⃗ tegak lurus terhadap vector ⃗⃗ utnuk nilai m = –2 e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 198, contoh soal 4.11b : Diketahui u = 2⃗ – ⃗ + 2 ⃗⃗ dan v = 4⃗ + 10 ⃗ – 8 ⃗⃗, jika u + cv tegak lurus pada u, tentukan nilai c. Jawab : Pertama, setiap vektor dinyatakan dalam vector kolom. u(

)= dan v = (

)

kedua, vector u + cv ditentukan, dengan c adalah scalar u + cv = (

)+c(

)=(

)

ketiga, agar u + cv tegak lurus pada u maka (u + cv) . u = 0. (

).(

)=0

(2 + 4c) (2) + (-1 + 10c) (-1) + (2 – 8c) (2) = 0 4+ 8c + 1 – 10c + 4 – 16c = 0 9 – 18c = 0  c = C.

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 2 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 3 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas.

55

D.

Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Memorized Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Memorized Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No. 15 Diketahui vektor ⃗ = ( 0

A. 135 A.

) dan ⃗⃗ = (

0

). sudut antara vektor ⃗ dan ⃗⃗ adalah...

0

B. 120

0

C.90

0

D. 60

E. 45

Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : Dari soal diketahui bahwa : ⃗=(

) dan ⃗⃗ =(

) ; dimana, ⃗ . ⃗⃗ = (

).(

jelas tentang situasi

) = (6) + (6) – 12 = 0

| ⃗| = √ =√ dan | ⃗⃗| = √ =√ Yang ditanyakan besar sudut antar kedua vector tersebut. Maka, solusi yang didapatkan : ⃗ . ⃗⃗ = | ⃗| . | ⃗⃗| cos Ө rumus perkalian dua skalar cos Ө

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗| | ⃗⃗|

. √

/. √

/ √

√

0

Cos Ө = 0 → Ө = arc cos 0 = 90 Ө adalah sudut terkecil yang terbentuk Maka, sudut antara vektor ⃗ dan ⃗⃗ adalah 900

B.

Jawaban : C Konteks : - Operasi perkalian dan sudut antara dua vektor . Informasi : - Soal materi : vektor - Penyelesaian soal dengan penggunaan aturan yang berlaku dalam operasi hitung vektor. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : rumus perkalian dua skalar : ⃗ . ⃗⃗ = | ⃗| . | ⃗⃗| cos Ө ; dimana ⃗ ≠ 0 dan ⃗⃗ ≠ 0 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 153 contoh 23 : Tentukan besar sudut antara vektor ⃗ = -⃗ + ⃗ dan vektor ⃗⃗ = ⃗ - 2 ⃗ + 2 ⃗⃗. Penyelesaian : ⃗ = –⃗ + ⃗ = (–1 1 0) ⃗⃗ = ⃗ – 2 ⃗ + 2 ⃗⃗ = (1 –2 2)

56

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗|

cos Ө = | ⃗⃗| = cos Ө =

√

=

√

√

√ √

maka, Ө = 120

0

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 107 contoh 4.13, No.1 : Diketahui koordinat titik A (4,1) dan B (3,5). Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor posisi ⃗ dari titik A dan vektor ⃗⃗ dati titik B! Jawab : Vektor posisi ⃗ = ( ) dan ⃗⃗ = ( ) cos Ө =

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗| | ⃗⃗|

=

√

= √

√

0 0 Ө = 45 . Jadi, sudut yang dibentuk oleh ⃗ dan ⃗⃗ adalah 45 c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 228, soal latihan No.2b : Diketahui titik A (3,-1,2), B (2,4,0), dan C (1,3,2). Jika ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, tentukan : ∠( ⃗ . ⃗)

d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 163, contoh 28b : ) dan vektor ⃗⃗ = (

Diketahui vektor ⃗ = (

). Tentukan :

Besar sudut antara vektor ⃗ dengan vektor ⃗⃗. Jawab : Dengan menggunakan rumus kosinus sudut antara dua vektor, diperoleh : cos Ө =

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗| | ⃗⃗|

=

√

√

=  Ө = 60

=

0

jadi, besar sudut antara vektor ⃗ dan vektor ⃗⃗ sama dengan 60 e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 200, contoh soal 4.13, No.2 : Tentukan kosinus sudut antara p = (1, 2, 2) dan q = (3, –2, 6). Kemudian tentukan besar sudut antara p dan q. Jawab : 0

cos Ө =

⃗ ⃗⃗ | | |

. /.

= |

√

=

C.

/

√ √ √

=

=

= 0,524

Dari cos Ө ini, besar sudut q dapat ditentukan dengan bantuan tabel atau kalkulator. Anda akan 0 peroleh cos Ө = 0,524  Ө = 58 Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 4 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 1 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas.

57

Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. D. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 16 ⃗⃗ pada ⃗⃗ Proyeksi orthogonal vektor ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ C. A. ⃗ ⃗ B. ⃗ ⃗ ⃗ A.

⃗ ⃗

⃗⃗ adalah …

⃗ ⃗⃗

⃗

D.

⃗

⃗⃗

E. ⃗

⃗

⃗⃗

Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : Dari soal diketahui bahwa : ⃗⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ dari soal tersebut yang ditanyakan yaitu proyeksi vektor ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ solusi yang didapat yaitu : proyeksi skalar ⃗

orthogonal vektor ⃗ | ⃗| =

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗|

=

⃗⃗ adalah

rumus proyeksi skalar =

√

√

Dari proyeksi vektor yang didapat diatas maka, disubstitusikan kerumus proyeksi orthogonal vektor dibawah ini : | ⃗| =

⃗⃗

⃗⃗ | ⃗⃗|

. ⃗⃗

rumus proyeksi orthogonal vektor

Substitusi hasil diatas kepersamaan disamping | ⃗| = =

√

. (2,1,3) . (2,1,3) = (2,1,3)

Maka, nilai dari proyeksi orthogonal vektor diatas adalah ( ⃗

B.

⃗

⃗⃗ )

Jawaban : D Konteks : - Proyeksi suatu vektor pada vektor lain . Informasi : - Soal materi : vektor - Penyelesaian soal dengan penggunaan rumus yang berlaku dalam operasi hitung vektor. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Rumus proyeksi skalar : | ⃗| =

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗|

; dimana ⃗ ≠ 0 dan ⃗⃗ ≠ 0

Rumus proyeksi orthogonal vektor : | ⃗| =

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗|

2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 156 contoh 24 : Tentukanlah proyeksi skalar dan proyeksi vektor ⃗ = (5,6, –1) pada ⃗⃗ = (2,1, –2). Penyelesaian :

58

⃗⃗ adalah :

Proyeksi skalar ⃗ | ⃗| =

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗|

=

=

√

⃗⃗ adalah :

Proyeksi vektor ⃗ | ⃗| =

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗

| ⃗⃗|

=

=6

(2,1, –2) = (4,2, –4)

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 110 contoh 4.14, No.2a : ̂ dan ⃗ ̂ . Tentukan vektor proyeksi ⃗⃗ Diketahui ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗! Jawab : ⃗⃗ ⃗ = ( ) ( | ⃗⃗|

) = –4 + 2 – 4 = –6

√

, | ⃗|

=√

Maka, vektor proyeksi ⃗⃗

√

⃗: ⃗

=√ .

⃗⃗

⃗⃗ | ⃗⃗|

/⃗=

(

)=(

)

= ̂

̂

̂

̂ Jadi, vektor proyeksi ⃗⃗ ⃗ adalah : ⃗ = ̂ ̂ c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 235, soal try these UAN 2003 No.1 : ̂ pada vektor ⃗⃗ ̂ adalah... Proyeksi vektor ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ a.

(

)

(

b.

)

c.

(

)

d.

(

)

e.

(

)

d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 172, contoh 21b : Diketahui vektor ⃗ = ( ) dan vektor ⃗⃗ = ( ) adalah vektor-vektor dibidang yang disajikan dalam bentuk vektor kolom. Tentukan proyeksi vektor orthogonal dari ⃗ pada arah vektor ⃗⃗. Jawab : Proyeksi vektor orthogonal vektor ⃗ pada arah vektor ⃗⃗ , ditentukan oleh : ⃗=.

⃗⃗ | ⃗⃗|

⃗⃗

/ ⃗⃗ = (

(√

)( )

)

( )

Jadi, proyeksi vektor orthogonal vektor ⃗ pada arah vektor ⃗⃗ adalah ⃗ = ( ) e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 206, contoh soal 4.16, No.1b : ̂ dan b = ̂ Diberikan a = ̂ ̂ ̂ ̂ . Tentukan proyeksi vektor b pada a. Jawab : Proyeksi vektor b pada a, yaitu

b.a=a.b=4=

̂

(√

)

̂

( )= ̂

, adalah

=|

( )= ( )

59

|

( )

= |. /|

C.

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 4 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 1 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. D. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No. 17 Bayangan garis x – 2y = 5 bila ditransformasi dengan matriks transformasi (

A.

) dilanjutkan dengan

pencerminan terhadap sumbu X adalah … A. 11x + 4y = 5 B. 4x + 2y = 5 C. 4x + 11y = 5 D. 3x + 5y = 5 e. 3x + 11y = 5 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahama Ujian Nasional Solusi soal Penyelesaian : Dari soal diketahui bahwa : garis x – 2y = 5

matriks transformasi (

dan

) Maka bayangan garis

yang diminta dari soal diatas adalah sebagai berikut : Langkah I : Menentukan nilai x dan y ( )

(

)( ) 

( )

(

)

( ) (

Dengan menggunakan determinan matriks Maka, di dapat hasil : = ( ) =(

(

)( ) =(

). )( )

)

Dari hasil yang diatas maka didapat nilai x = dan nilai y = Langkah II : Substitusikan nilai x dan y yang di dapat ke persamaan x – 2y = 5. Maka, didapat hasil : ( ) – 2( )=5 ( )–( )=5 =5 atau =5 Dari hasil diatas maka, perhitungan dilanjutkan pada pencerminan terhadap sumbu X, sehingga di dapat : = 5 Pencerminan terhadap sumbu X berlaku = 5 ; Maka bayangan garis x – 2y = 5 adalah =5 Jawaban : C Konteks : - Bayangan garis yang di tranformasikan dengan matriks transformasi dan di lanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X Informasi : - Soal materi : Transformasi geometri

60

Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus yang ada yang merupakan penggabungan dari beberapa materi. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Persamaan bayangan kurva hasil transformasi dengan menggunakan matriks transformasi : -

B.

( )

( )

pencerminan terhadap sumbu X berlaku : 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 192 contoh 21 : Tentukanlah bayangan garis 2x + 3y + 4 = 0 jika ditransformasikan dengan (

).

Penyelesaian : Menentukan x dan y ( )

(

)( ) (



( )

(

)

)( ) → ( ) = (

( ) )

x=

dan y = Substitusikan x = dan y = ke persamaan 2x + 3y + 4 = 0, maka 2x + 3y + 4 = 0 → 2 ( )+3( )+4=0 +3 +4 =0 → 2 + 4 = 0 atau 2x – y + 4 = 0 Jadi, bayangan garis 2x + 3y + 4 = 0 adalah 2x – y + 4 = 0 b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 141soal Uji Kompetensi bab 5b, No.4 : Tentukan bayangan dari garis 2x – y + 5 = 0 hasil transformasi oleh (

), dilanjutkan refleksi

terhadap garis y = –x ! c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 279, soal aktivitas kelas No.1 : Tentukan bayangan garis 3x + 2y + 2 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (

).

d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII IPA SMA/MA terdapat soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 317 soal uji kompetensi komprehensif No.26 : Titik P(1,2) direfleksikan terhadap garis y = x dilanjutkan oleh transformasi regangan searah sumbu X dengan faktor skala 3. Koordinat titik bayangannya adalah … A. (1,6) B. (2,3) C. (7,2) D. (6,1) E. (3,2) e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII IPA SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 206, contoh soal 4.16, No.1b : ̂ dan b = ̂ Diberikan a = ̂ ̂ ̂ ̂ . Tentukan proyeksi vektor b pada a. Jawab : Proyeksi vektor b pada a, yaitu

, adalah

=|

61

|

( )

= |. /|

b.a=a.b=4 → =

̂ B.

C.

A.

B.

(√

̂

)

( )=

( )= ( )

̂

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 2 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 3 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No. 18 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan , x Є R adalah … A. x < 1 atau x > 9 B. x < 0 atau x > 1 C. x < –1 atau x > 2 D. x < 1 atau x > 2 E. x < –1 atau x > 1 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi Soal : Penyelesaian : Diketahui : x 2 Misal : 9 = p ; maka persamaan dapat ditulis menjadi : p – 10p + 9 > 0 (p – 1)(p – 9) > 0 pemaktoran pertidaksamaan kuadrat Diperoleh : p < 1 atau p > 9 syarat : p > 0 Maka nilai p yang memenuhi adalah : 0 < p < 1 atau p > 9 x Dengan mensubstitusi nilai p = 9 akan diperoleh : x (1) Untuk 0 < p < 1 → 0 < 9 < 1 Nilai x yang memenuhi adalah : x < 0 x (2) Untuk p > 9 → 9 > 9 Nilai x yang memenuhi adalah : x > 1 Jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah : x < 0 atau x > 1 Jawaban : B Konteks : - Pertidaksamaan eksponen. Informasi : - Soal materi : himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen - Penyelesaian soal dengan merubah bentuk pertidaksamaan eksponen ke dalam bentuk persamaan x kuadrat dengan memisalkan a = p dengan memperhatikan persyaratannya, yaitu nilai p > 0. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori :

62

Pertidaksamaan dalam bentuk eksponen dapat dengan mudah diselesaikan dengan merubahnya 2x x menjadi pertidaksamaan kuadrat. Jika bentuk pertidaksamaan eksponen : a + b.a + c > 0 ; maka kita x misalkan : a = p sehingga pertidaksamaan berubah bentuk menjadi pertidaksamaan kuadrat dengan 2 bentuk : p + b.p + c > 0. Akar-akar pertidaksamaan kuadrat ini diperoleh dengan cara pemaktoran, kemudian akar-akar ini x disubstitusikan ke pemisalan tadi sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi. Perlu diingat bahwa a = p mempunyai penyelesaian jika nilai p > 0. 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 322, Latihan 4 No. 1f : Tentukan penyelesaian yang memenuhi tiap pertidaksamaan eksponen berikut : b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 199, Uji Kompetensi BAB 7 No. 20 : x+1 x–1 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5 > 3 adalah …… a.

b.

c.

d.

e.

c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 80, Soal Latihan Ulangan No. 13: .√

Nilai x yang memenuhi √ a.

b.

/

c.

adalah …….. d.

e.

d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 291, Soal Latihan 4 No. 2b : Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut ini : e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 83, Contoh Soal 7.7 d : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen berikut : ( )

( )

Jawab : ( )

( ) 2

C.

1

8 + 2x – x < x + 2 tanda ketaksamaan dibalik karena 0 < a = /2 < 1 2 –x + x + 6 < 0 kalikan (–) tanda ketaksamaan dibalik 2 x –x–6>0 pertidaksamaan yang dikerjakan (x – 3)(x + 2) > 0 Titik kritis : x = 3 dan x = –2 Oleh karena pertidaksamaan yang diinginkan > 0 atau positip, maka interval x yang memenuhi adalah : x < –2 atau x > 3 Jadi himpunan penyelesaian : {x ! x < –2 atau x >3} Langkah ketiga ; Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5

63

D.

buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 1 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 4 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN tersebut diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 19 Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ……… A. Y 3 B. 2C. 1 (1,1) D.

(2,3)

X E.

-½ 1 (-1,-½)

2

3

- -1 - -2 A.

B.

Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi Soal : Penyelesaian : Buat tabel hubungan x dengan f(x) berdasarkan koordinat titik pada grafik. x+1 x 2 2 x X f(x) = 2 f(x) = 2 – 1 f(x) = log x f(x) = log(x–1) f(x) = 2 – 2 -1 1 -½ -1½ 0 2 0 -1 1 4 1 0 0 2 8 3 1 0 2 x Dari tabel diperoleh bahwa grafik tersebut mempunyai persamaan : f(x) = 2 - 1 Jawaban : B Konteks : - Persamaan fungsi eksponen berdasarkan grafik yang diberikan. Informasi : - Soal materi : eksponen - Penyelesaian soal dengan menyatakan hubungan antara x sebagai ordinat dan f(x) sebagai absis kedalam suatu table berdasarkan koordinat titik yang terdapat pada grafik. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : x Jika persamaan fungsi eksponensial : f(x) = a , maka grafiknya monoton naik untuk a > 1 dan monoton turun untuk 0 < a < 1 2. Contoh dan latihan soal

64

a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 316, contoh 11 : x Gambarlah grafik y = f(x) = 2 . Pembahasan : x Tabel hubungan x dengan y = 2 X →-∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 →∞ Y

→0

⅛

¼

½

Grafiknya :

Y 8765432-

/

1

2

4

8

→∞

(3,8)

(2,4) (1,2)

(-3,⅛) (-2,¼) (-1,½)1-

-4 -3 -2 -1 0

1 2 3

4

5 6

X

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 197, Uji Kompetensi BAB 7 No.4 : Fungsi dari grafik di bawah ini adalah ……. Y 16 14 12 10 8642-1 x

0 x

1

2

x

1

X x

1

x

a. Y = 4 b. Y = 3 c. Y = 2 d. Y = ( /3) e. Y = ( /4) c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada contoh soal halaman 64 : x Ganbarkanlah grafik fungsi f(x) = 2 , x Є R Pembahasan : x Untuk menggambarkan grafik fungsi f(x) = 2 , dapat diambil beberapa titik penting, yaitu nilai x, sehingga nilai y mudah ditentukan seperti pada tabel berikut ini. X →-∞ …. -3 -2 -1 0 1 2 3 …. →∞ Y

→0

….

⅛

¼

½

1

65

2

4

8

….

→∞

Grafiknya :

Y 8765432-

(3,8)

(2,4) (1,2)

(-3,⅛) (-2,¼) (-1,½)1-

-4 -3 -2 -1 0

1 2 3

4

5 6

X

d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 282, contoh soal 2 : x Gambarlah grafik fungsi eksponen : y = f(x) = 2 (x Є R) Pembahasan : Langkah 1 : x Buatlah daftar yang menunjukkan hubungan antara nilai-nilai x dengan nilai-nilai y = f(x) = 2 . Dalam hal ini, pilihlah nilai-nilai x sedemikian rupa sehingga nilai-nilai y dengan mudah dapat ditentukan. Pasangan nilai-nilai x dan nilai-nilai y itu di dalam bentuk daftar sebagaimana diperlihatkan pada tabel berikut : X →-∞ …. -3 -2 -1 0 1 2 3 …. →∞ Y

→0

….

⅛

¼

½

1

2

4

8

….

→∞

Langkah 2 : Titik dengan koordinat (x,y) yang diperoleh dari Langkah 1 digambarkan pada sebuah bidang Cartesius. Kemudian antara dua titik yang berdekatan dihubungkan dengan kurva yang mulus x sehingga diperoleh grafik fungsi eksponen y = f(x) = 2 sebagaimana divisualisasikan pada gambar berikut ini : Y 8(3,8) 7654(2,4) 32- (1,2) (-3,⅛) (-2,¼) (-1,½)1-

C.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas Langkah ketiga ; Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam

66

D.

penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 3 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 1 buku lainnya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN tersebut diatas dan 1 buku tidak ditemukan contoh soal maupun soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No. 20 2 Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 2n + 4n. suku ke-9 dari deret aritmatika tersebut adalah ……. A. 30 B. 34 C. 38 D. 42 E. 46 A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi Soal : Penyelesaian : Cara I : 2 Untuk : n = 9 → S9 = 2(9) + 4(9) = 198 2 n = 8 → S8 = 2(8) + 4(8) = 160 Un = Sn – Sn-1 → U9 = S9 – S8 = 198 – 160 = 38 Cara II : Untuk : n = 1 → S1 = 6 ; dan n = 9 → S9 = 198

B.

Jawaban : C Konteks : - Mencari nilai jumlah suku ke – n dari deret aritmatika. Informasi : - Soal materi : barisan dan deret. - Penyelesaian soal dengan menggabungkan rumus yang ada pada soal dengan rumus yang telah ditetapkan berdasarkan teori. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Bentuk Umum deret aritmatika : U1 + U2 + U3 + … + Un+1 Jumlah n suku pertama dari deret Aritmatika :

2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 249, contoh soal 23 : 2 Diketahui jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah S n = 7n – 2n . Tentukan suku ke-20 deret itu ! Pembahasan : Sebelum menentukan suku ke-20 (U20) kita tentukan terlebih dahulu rumus suku ke-n deret itu. (i) Menentukan rumus Un 2 Dari Sn = 7n – 2n diperoleh b = –4

67

2

C.

D.

Dalam deret aritmatika berlaku : U1 = S1, sehingga U1 = S1 = 7(1) – 2(1) = 5 Karena U1 = a = 5 dan beda b = –4, maka : Un = 5 + (n – 1)(–4) = 9 – 4n (ii) Menentukan suku ke-20 (U20) U20 = 9 – 4(20) = –71 Jadi suku ke-20 deret itu adalah –71. b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 160, contoh soal 6.6c: 2 Diketahui jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika adalah S n = 4n – 32n. tentukan suku ke-n dari barisan tersebut ! Pembahasan : 2 Un = Sn – Sn-1 = (4n – 32n) – {4(n – 1) – 32(n – 1)} 2 2 = 4{n – (n – 1) } – 32{n – (n – 1)} 2 2 = 4(n – n + 2n – 1) – 32(n – n + 1) = 8n – 36 c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 257, contoh soal 18 : 2 Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus S n = 4n – 3n. tentukan suku ke-n dan suku ke-2n dari deret aritmatika tersebut. Pembahasan : Suku ke-n dari deret aritmatika ditentukan dengan menggunakan sifat Un = Sn – Sn-1 2 2 Sn = 4n – 3n = 4n – 3n 2 2 Sn-1 = 4(n – 1) – 3(n – 1) = 4n – 8n + 4 – 3n + 3 _ Un = Sn – Sn-1 = 8n – 7 U2n = 8(2n) – 7 = 16n - 7 e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 3 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 2 buku tidak ditemukan contoh soal maupun soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

68

A.

Soal No. 21 Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah ……. A. 45.760 B. 45.000 C. 16.960 D. 16.000 E. 9.760 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Cara I : U1 = a = 1.900 ; b = –120 ; n = 16 U16 = 1900 + 15(-120) = 100

Cara II :

Jawaban : D Konteks : - Menentukan jumlah produksi pabrik dengan menggunakan barisan dan deret matematika untuk Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika. Informasi : - Soal materi : barisan dan deret. - Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama derat aritmatika : B.

Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Bentuk Umum jumlah n suku pertama dari deret aritmatika : Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un atau :

dan

2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 286, latihan 10 : Produk pupuk organic menghasilkan 100 ton pupuk pada bulan pertama. Bila setiap bulannya produksi pupuk dinaikkan secara tetap sebesar 5 ton, tentukanlah jumlah pupuk yang diproduksi selama 1 tahun ! b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 274, latihan 11 No. 3 :

69

C.

D.

Sebuah pabrik memproduksi barang tertentu dan banyak produksi dari satu bulan ke bulan berikunya mengikuti aturan barisan aritmatika. Hasil produksi pada bulan kedua sebanyak 200 unit dan pada bulan kelima sebanyak 350 unit. Tentukan jumlah produksi 3 tahun pertama ! e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 35, Uji Kompetensi 6.1 No. 40 : Gaji bulan pertama Ali sebesar Rp.700.000,00. Setiap bulan gajinya bertambah Rp.20.000,00. Berapa total gaji Ali selama 7 bulan ? Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 3 buku diantaranya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN dan sedangkan 2 buku tidak ditemukan contoh soal maupun soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No. 21 Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan bulan ke empat Rp.100.000,00 dan bulan ke delapan Rp.172.000,00, maka jumlah keuntungan sampai bulan ke dua belas adalah ……. A. Rp.1.740.000,00 B. Rp.1.750.000,00 C. Rp.1.840.000,00 D. Rp.1.950.000,00 E. Rp.2.000.000,00 A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Cara I : U8 = a + 7.b = 172.000 U4 = a + 3.b = 100.000 – 4.b = 72.000 → b = 18.000 dan a = 46.000 Cara II : Barisan Aritmatika : U1 , U2 ; U3 ; U4 ; U5 ; U6 ; U7 ; U8 ; U9 ; U10 ; U11 ; U12 U6 = 46.000 + 5(18.000) = 136.000 U7 = 46.000 + 6(18.000) = 154.000 Suku tengah (Median) : Sn = n.Ut = (12)(145.000) = 1.740.000 Jawaban : A Konteks : - Menghitung keuntungan seorang pedagang setiap bulan berdasarkan Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika. Informasi : - Soal materi : barisan dan deret

70

B.

C.

D.

A.

Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika :

Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Suku ke-n dari deret Aritmatika : Un = U1 + (n – 1)b Jumlah n suku pertama deret aritmatika : 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 286, Latihan 10 No.1 : Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila keuntungan sampai bulan keempat Rp.30.000,00 dan sampai bulan kedelapan Rp.172.000,00, tentukanlah keuntungan sampai bulan ke 18 ! b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 22, soal latihan No.48 : Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila keuntungan sampai bulan keempat adalah Rp.300.000,00 dan keuntungan sampai bulan kelima adalah Rp.720.000,00, tentukan keuntungan sampai bulan ke-18 ! d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 274, latihan 11 No. 2 : Keuntungan yang diperoleh seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Keuntungan sampai bulan keempat sebesar Rp.150.000,00 dan keuntungan sampai dengan bulan kedelapan sebesar Rp.860.000,00. Tentkanlah besar keuntungan sampai bulan kedua-belas ! e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 3 buku diantaranya memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 2 buku tidak ditemukan contoh soal maupun soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 23 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E terhadap bidang BDG adalah …… A. √ cm B. √ cm C. √ cm D. √ cm E. √ cm Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal :

71

E

Penyelesaian : H G 6 F 6 D

O P

A

B.

CP = √

√

GP = √ 2

√ 2

GO = /3.GP = /3( √ ) = 2√

C 6

B

GE = S√

√

EO = √ √ Jawaban : E Konteks : - Menghitung jarak titik terhadap bidang. Informasi : - Soal materi : ruang dimensi tiga - Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus rumus phytagoras dan garis tinggi suatu bidang (garis yang tegak lurus dengan bidang). Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku ditentukan dengan rumus Phytagoras : 2 2 2 AC = AB + BC dan jarak titik ke irisan bidang adalah dengan menarik garis dari titik itu yang tegak lurus dengan irisan bidangnya. 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 404, contoh 11 : Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. tentukan jarak titik C ke bidang BDG ! Pembahasan : Langkah 1 : H G CP = √ √ 6 E F C’ 6 GP = √ √ D T A

2

2

GO = /3.GP = /3( √ ) = 2√

C 6

B GE = S√ √ Bidang ACGE adalah bidang yang melalui titik C dan tegak lurus terhadap BD (salah satu garis pada bidang BDG) Langkah 2 : Garis GT merupakan perpotongan bidang BDG dengan bidang ACGE. Jadi d(C, BDG) = d(C, GT). Menghitung d(C, GT) AC = √ √ √ CT = √ √ GT = √ CC’ =

√

√

√

√ √

√

√

Jadi, jarak titik Cke bidang BDG adalah √ b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 189, soal Uji kompetensi 7.3 No. 7 : Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Tentukan jarak titik C ke bidang BDG ! c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 176, Latihan ulangan No. 7 :

72

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik D dan bidang ACH adalah …….. a. √ B. √ C. √ D. √ E. √ d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 318, Uji Kompetensi Komprehensif No. 33 : Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH sama dengan 2 cm. Jarak titik A ke bidang BDE sama dengan ……. a. b. √ c. √ d. √ e. √ e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 236, Uji kompetensi 7.3 No. 5d : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Hitunglah jarak dari titik E ke bidang BDG ! Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 1 buku diantaranya memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 4 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

C.

D.

Soal No.24 Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah . Nilai Sin = …….. A. √ B. √ C. √ D. √ E. √ A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : H G EO = HO = √ √ O E F AF = S√ √ AO = √ D 4 A

B.

√

C Sin

√

=

B Jawaban : C Konteks : - Menghitung sudut antara garis dengan bidang. Informasi : - Soal materi : ruang dimensi tiga - Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus Phytagoras dan Trigonometri. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : 2 2 2 Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku ditentukan dengan rumus Phytagoras : AC = AB + BC dan jarak titik ke irisan bidang adalah dengan menarik garis dari titik itu yang tegak lurus dengan irisan bidangnya. Sedangkan sudut yang dibentuk garis dengan bidang irisan ditentukan dengan rumus Sinus, Cosinus dan Tangen. 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya

73

C.

D.

A.

Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 417, latihan 3 No. 7f : Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukanlah Sinus sudut (HB, AHE) ! b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 195, soal Uji kompetensi 7.4 No. 17 :Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika adalah sudut antara CE dan BDG, tentukan nilai Tan! c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 184, Latihan Ulangan Akhir Semester No. 38 : Pada kubus ABCD.EFGH, sudut antara CG dan bidang BDG adalah . Nilai Sin adalah ……. a. √ b. √ c. √ d. √ e. √ d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 242, Uji Kemampuan 7.4 No. 3 : Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan : a. Cosinus sudut antara garis EG dan bidang BDG b. Tangen sudut antara sisi FG dan bidang BGE Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 4 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 1 buku tidak tidak memiliki contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas.. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No. 25 Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah 2 2 2 2 2 A. B. cm C. D. E. cm √ cm √ cm √ cm Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Cara I : Pada segienam beraturan akan terbentuk enam buah segitiga sama sisi yang kongruen B C AB = BC = CD = DE = EF = AF = P

OA = OB = OC = OD = OE = OF = S K = 6.S = 72 → S = 72 / 6 = 12 cm

A

O

D OP = √

74

√

( √ ) 2

√ cm Cara II : Ambil salah satu segitiga sama sisi yang ada, misalkan segitiga OAB : O a = b = c = 12 a

b

Untuk segitiga sembarang berlaku √

B

A c

Dimana : 2

B.

Jadi : √ √ cm Jawaban : C Konteks : - Menentukan Luas segienam beraturan. Informasi : - Soal materi : ruang dimensi tiga - Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus keliling segienam beraturan (K = 6.S) dan luas 1 segienam beraturan (L = /2 x Alas x Tinggi) atau dengan rumus Luas untuk segitiga sembarang ( ) √ Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Segienam beraturan mempunyai enam buah sisi yang sama panjang dan tiap-tiap garis diagonal akan membentuk enam buah segitiga sama sisi terhadap sisi-sisinya, sehingga keliling segienam beraturan sama dengan enam kali panjang sisinya. Secara matematis dituliskan : K = 6.S Luas salah satu segitiga sama sisi yang terbentuk dapat dicari dengan dua cara, yaitu : - L = ½ x alas x tinggi √ 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 371, contoh 46 : Tentukan luas segienam beraturan apabila diketahui jari-jari lingkaran luarnya 4 cm ! Pembahasan : √ Jadi luas segienam beraturan itu adalah

√

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas.

75

C.

D.

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang jarang dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 1 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 4 buku tidak tidak memiliki contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas.. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Local Creative Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Local Creative Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 26 Diketahui Sin

A.

dan Cos

sudut lancip). Nilai Sin (

)=

A. B. C. D. E. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : y=3 x = 12 , dimana : r = 5 dan , dimana : r = 13 x=4 y=5 Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin = ( )( )

B.

(

( )( )

Jawaban : A Konteks : - Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut. Informasi : - Soal materi : trigonometri - Penyelesaian soal dengan menginterpretasikan nilai Sinus dan Cosinus terhadap koordinat Cartesius serta mnggunakan rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Pada suatu segitiga siku-siku berlaku hubungan berikut ini A

x

Sin B = /r

Cos A = /r

y

Cos B = /r

x

Tan B = /x

Sin A = /r y

r

Tan A = /y C

x

y

x

y

B

Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih sudut adalah : Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 135, Uji Latih Pemahaman 3A No. 2 : Diketahui dan ; A dan B lancip. Nilai Cos (A – B) = …….. A.

B.

C.

D.

76

E.

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 78, Uji Kompetensi 3.2 No. 2.a : 3 4 Tentukan nilai Sin (a + b) dan Sin (a – b), bila diketahui Sin a = /5 ; Sin b = /5 ; a dan b lancip ! c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 164, Latihan No. 3c : Diketahui adalah dua sudut dikuadran III dan II dengan Hitunglah nilai dari Sin ( )! d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 86, contoh 6.a : Diketahui adalah sudut-sudut lancip Jika Cos dan Cos ; hitunglah Sin ( Pembahasan : Untuk Cos ; diperoleh Sin Untuk Cos ; diperoleh Cos Sin ( ) = Sin . Cos + Cos

)!

. Sin

Jadi Sin ( )= e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang sama persis dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 160, Contoh soal 3.5 butir a : 3 12 Diketahui Cos A = /5 dan Sin B = /13 (A dan B sudut lancip). Tentukanlah nilai Sin (A + B) ! Pembahasan : Sin (A + B) = Sin A . Cos B + Cos A . Sin B Cos A dan Sin B telah diketahui sehingga anda hanya perlu menentukan Sin A dan Cos B terlebih dahulu. Sin A = √ √

( )

√

√

Cos B = √ √

( )

√

Jadi Sin (A + B) = ( ) ( ) C.

D.

√ ( )( )

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 2 buku memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas, sedangkan 3 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

77

Soal No. 27 Himpunan penyelesaian persamaan Cos 2x – 3.Cos x + 2 = 0 untuk A. , A.

B.

C.

- B. ,

- C. ,

- D. ,

adalah … - E. ,

-

Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Persamaan Trigonometri untuk sudut rangkap : 2 Cos 2x = 2.Cos x – 1 dengan : 2 Cos 2x – 3.Cos x + 2 = 2.Cos x – 3.Cos x + 1 = 0 (2.Cos x – 1)(Cos x – 1) = 0 0 0 (1) 2.Cos x – 1 = 0 → x = (60 ; 300 ) 0 0 (2) Cos x – 1 = 0 → x = (0 ; 360 ) Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah : 0 0 0 0 x = {0 ; 60 ; 300 ; 360 } atau x = {0 ; } Jawaban : B Konteks : - Himpunan penyelesaian Persamaan trigonometri untuk sudut rangkap. Informasi : - Soal materi : trigonometri - Penyelesaian soal dengan menyederhanakan persamaan sehingga tidak memiliki sudut rangkap (terbentuk persamaan kuadrat), kemudian dicari akar-akar penyelesaiannya berdasarkan rumus penyelesaian persamaan kuadrat dan diteruskan dengan menentukan himpunan penyelesaian berdasarkan rumus umum persamaan trigonometri. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Akar-akar dari persamaan kuadrat ditentukan dengan cara pemaktoran dan himpunan penyelesaian akhir ditentukan dengan rumus umum persamaan trigonometri berikut ini : 0 0 Sin x = sin a , maka x1 = a + k.360 atau x2 = (180 – a) + k.360 . 0 0 Cos x = Cos a , maka x1 = a + k.360 atau x2 = – a + k.360 . 0 Tan x = Tan a , maka x1 = a + k.180 dengan 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 339, Latihan 6 No. 3 : 2 Jika x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan 2.Cos x + 3.Cos x – 2 = 0, tentukanlah nilai x1 + x2 . b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 165, Uji Kompetensi 6.7 No. 4.b : 0 0 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut untuk 0 < x < 360 ; Sin 2x - √ .Sin x = 0 c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas X SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 119, Latihan Ulangan bagian II No. 1.c : 0 0 2 Selesaikan persamaan di bawah ini untuk 0 < x < 360 : 2.Sin θ = 3.Cos θ d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas X SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas X SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam

78

D.

A.

penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 3 buku memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 2 buku tidak memiliki contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas.. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 27 0 0 Nilai dari Sin 75 – Sin 165 adalah ……. A. √ B. √ C. √ D. √ E. √ Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Cara I : 0 0 0 Sin 75 = Sin (45 + 30 ) 0 0 0 0 = Sin 45 .Cos 30 + Cos 45 .Sin 30 0

Sin 165

= ( √ )( √ ) ( √ )( ) (√ √ ) 0 0 0 = Sin (180 – 15 ) berlaku hubungan sin (180 – x) 0 0 0 = Sin 15 = Sin(45 – 30 ) 0 0 0 0 = Sin 45 .Cos 30 – Cos 45 .Sin 30 = ( √ )( √ )

0

B.

( √ )( )

0

(√

√ )

Sin 75 – Sin 165 = (√ (√ √ ) √ ) √ Cara II : Dengan memakai rumus penjumlahan trigonometri : Sin A – Sin B = 2.Cos ½(A + B).Sin(A - B) 0 0 0 0 Sin 75 – Sin 165 = Sin 75 – Sin 15 0 0 0 0 = 2.Cos ½(75 + 15 ).Sin(75 – 15 ) = 2(½√ )(½) = √ Jawaban : D Konteks : - Operasi Penjumlahan dan selisih Sinus Informasi : - Soal materi : trigonometri - Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus selisih Sinus Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Untuk sudut-sudut tumpul yang berada di kuadran 2 berlaku : 0 Sin x = Sin (180 – x) 0 Cos x = –Cos (180 – x) 0 Tan x = –Tan (180 – x) Sedangkan rumus trigonometri untuk Selisih Sinus adalah : Sin A – Sin B = 2.Cos ½(A + B).Sin(A - B) 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 129, Contoh 26 butuir c : 0 0 Nyatakan dalam bentuk perkalian : Sin 70 + Sin 40 ! Pembahasan : 0 0 1 0 0 1 0 0 Sin 70 + Sin 40 = 2.Sin /2.(70 + 40 ).Cos /2 (70 – 40 ) 0 0 = 2.Sin 55 .Cos 15 b. Buku terbitan Yudistira

79

C.

D.

Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 92, Uji Kompetensi BAB 3 No. 3 : 0 0 Nilai Sin 105 + Cos 15 = ……. A. ( √ √ ) B. (√ √ ) C. (√ √ ) D. (√ √ ) E. (√ √ ) c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 186, Latihan Ulangan bagian I No. 9 : Sin 3x + Sin 7x = … A. 2.Sin 5x Cos (-2x) B. -2.Cos 5x Sin 2x C. 2.Cos 5x Sin 2x D. -2.Sin 5x Cos 2x E. 2.Sin 5x Cos 2x d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 101, Contoh 18a : 0 0 Hitunglah nilai eksak dari : Sin 75 + Sin 15 Pembahasan : 0 0 1 0 0 1 0 0 Sin 75 + Sin 15 = 2.Sin /2 (75 + 15 ) Cos /2 (75 – 15 ) 0 0 = 2.Sin 45 Cos 30 1 1 1 = 2. /2√ . /2√ = /2√ e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 211, Uji Kompetensi 3.3 No. 5a : 0 Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah nilai eksak dari pernyataan berikut : Sin 75 + 0 Sin 15 Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 2 buku memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 3 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas.. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 28 Nilai

A.

(

√

)

…….

A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 E. –4 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : (

Dalam soal diketahui :

).

√

Maka, nilai dari limit tersebut adalah (

√

)

(

)(

√

√

) perkalian sekawan untuk merasionakan penyebut

=

(

√

)

Jawaban : A Konteks : - Operasi hitung Limit fungsi aljabar Informasi : - Soal materi : limit fungsi.

80

B.

- Penyelesaian soal dengan merasionalkan penyebut bentuk akar. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Nilai limit fungsi f(x) untuk x→0 dapat diperoleh dengan mensubstitusikan langsung nilai x = 0 ke 0 dalan fungsi f(x). Apabila hasilnya tak tentu ( /0), maka penyelesaiannya dapat dilakukan denga dua cara, yaitu : faktorisasi atau merasionalkan pembilang / penyebut yang berbentuk akar. 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 271, Contoh 7 : Tentukan hasil dari : √

Pembahasan : (√ √

) √

(√

√

)

b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 181, Contoh 7.4a : Tentukan limit fungsi berikut : √

Pembahasan : √

(

√ (

√

)

(

√

)

√ √

)

√ c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 111, Latihan No. 27 : √

√

d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 212, Latihan 3 No. 1b : Hitunglah nilia limit fungsi berikut ini : √

e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 107, Uji Kompetensi 7.1 No. 5b : √

C.

D.

√

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 2 buku memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas sedangkan 3 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas.. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

81

A.

Soal No. 29 Nilai ……… A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 E. 12 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : (

)

(

)

Pada limit trigonometri berlaku : (

)

(

)

Maka, dari aturan diatas didapat (

)

Jawaban : D Konteks : - Nilai Limit fungsi trigonometri Informasi : - Soal materi : limit fungsi. - Penyelesaian soal menggunakan identitas trigonometri dan rumus limit fungsi trigonometri. B. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : 2 2 Salah satu rumus identitas trigonometri adalah : 1 – Cos x = Sin x Penyelesaian limit fungsi trigonometri bentuk :

2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 191, Uji Kompetensi 7.4 No. 4d : Hitunglah nilai limit berikut : c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 129, Latihan No. 39 : d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 121, Soal UN thn 2004 : C.

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 3 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas sedangkan 2 buku tidak memiliki contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan :

82

D.

A.

Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 30 2 Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (2x – 4x + 12) dalam ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp.20.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan adalah … A. Rp.16.000,00 B. Rp.22.000,00 C. Rp.32.000,00 D. Rp.48.000,00 E. Rp.52.000,00 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : 2 Dari soal diketahui : Fungsi Biaya produksi : B(x) = 2x – 4x + 12 Laba maksimum dicapai bila biaya minimum. Syarat : B´(x) = 0 → 4x – 4 = 0 → x = 1 2 Untuk x = 1 : B(1) = 2(1) – 4(1) + 12 = 10 Jadi Biaya perunit sebesar Rp. 10.000,Karena harga jual sebesar Rp. 20.000,00, maka Laba perunit = Rp. 10.000,2 Fungsi Laba : L(x) = 20 – B(x) = –2x + 4x + 8 Nilai x yang memenuhi fungsi L(x) ini adalah : √

B.

√

√

Jadi, Laba maksimum yang diperoleh perusahaan adalah : Rp. 32.000,Jawaban : C Konteks : - Aplikasi turunan fungsi dalam pemecahan masalah Informasi : - Soal materi : program linear - Penyelesaian soal menggunakan nilai minimum suatu fungsi Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Untuk menentukan laba maksimum syaratnya adalah biaya harus minimum. Biaya minimum diperoleh bila turunan pertama dari fungsi biaya sama dengan nol sehingga diperoleh jumlah unit yang harus diproduksi (variabel x). langkah selanjutnya adalah mencari laba maksimum dengan mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsi laba. 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 355, Latihan 20 No. 5 : Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya perjam (

) ratus ribu rupiah. Agar biaya yang dikeluarkan minimum, dalam waktu

berapa jamkah produk tersebut harus diselesaikan ? b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 230, Uji Kompetensi BAB 8 bagian A No. 27 : 2 Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar 75 + 2x + 0,1 x rupiah. Jika semua produk perusahaan tersebut terjual dengan harga Rp.40,00 untuk setiap produknya, maka laba maksimum yang diperoleh adalah ……. a. Rp.3.535,00 b. Rp.3.540,00 c. Rp.3.545,00 d. Rp.3.550,00 e. Rp.3.555,00 c. Buku terbitan Esis

83

Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 211, Latihan No. 6 : Fungsi pendapatan dari suatu penjualan x unit barang dinyatakan dengan : 2 3 p(x) = 240x + 57x – x . Tentukan nilai x yang memaksimumkan pendapatan tersebut ! d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI SMA/MA tidak terdapat contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas. e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 210, Contoh soal 8.28 No. 1 : Biaya total untuk memproduksi x buah radio setiap hari adalah : ) (dalam ribuan), dan harga jual satu radio adalah :

Rp.( 1

Rp.(50 – /2 x) (dalam ribuan). Berapa jumla radio yang harus diproduksi setiap hari agar diperoleh keuntungan maksimum. Hitunglah keuntunfgan maksimum tersebut ! Pembahasan : Keuntungan = harga jual x radio – biaya produksi (

)

(

)

Keuntungan maksimum tercapai jika : Untuk x = 10 diperoleh :

C.

D.

Jadi keuntungan keuntungan maksimumnya adalah Rp.50.000,00 Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 3 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas dan 1 buku memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas. Sedangkan 1 buku tidak memiliki contoh soal dan soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No. 31 Nilai dari ∫ … A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 E. 20 A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Rumus : ∫ ∫

* *

+ +

Jawaban : A

84

Konteks : - Mencari nilai dari Integral Tertentu Informasi :

B.

- Soal materi : integral - Penyelesaian soal menggunakan rumus Integral tertentu untuk fungsi kuadrat Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Integral tertentu adalah integral dengan batas-batas, yaitu batas atas (a) dan batas bawah (b). Bentuk umum integral tertentu untuk fungsi kuadrat adalah : ∫

*

+

2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII SMA/MA soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 40, Uji Latih Pemahaman 1A No. 11 : ∫ A. 22 B. 16 C. 13 D. 12 E. 6 b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 15, Uji Kompetensi 1.5 No. 1d : Selesaikan integral berikut : ∫ c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 34, Latihan No. 2b : Hitunglah nilai integral berikut ini : ∫ d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang erdapat pada halaman 21, Latihan 5 No. 1f : Hitunglah nilai dari integral-integral tentu berikut ini :

C.

∫ e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 22, Contoh Soal 1.12b : Tentukan nilai : ∫ Pembahasan : [ ] ∫ [ ] [ ] = 22 + 8 = 30 Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 1 buku memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas sedangkan 4 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning.

85

D.

Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No. 32 Nilai ∫ A. – 2 A.

…… B. – 1

C. 0

D. 2

E. 4

Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Dari soal diketahui : ∫

*

berlaku, ∫

+

Dimana nilai a = 2 dan b = Maka, didapat hasil :

B.

[ ] ∫ Jawaban : B Konteks : - Mencari nilai Integral tertentu untuk fungsi Trigonometri Informasi : - Soal materi : integral - Penyelesaian soal menggunakan rumus integral fungsi trigonometri Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Penyelesaian integral tertentu untuk fungsi trigonometri menggunakan rumus : *

∫

+

2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 40, soal Uji latih Pemahaman 1A, No.12 : Nilai ∫

…

A. 4 - 4√ B.-1 + √ C.-1 - √ D. 4 + 4√ E. 1 - √ b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 15, soal Uji Kompetensi 1.5, No. 2a : Selesaikan integral berikut : =… ∫ c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 35, Latihan No. 3ℓ : Hitunglah : ∫ ( ) d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 24 contoh 13c : Hitung nilai integral tentu berikut ini : ∫

…

86

Jawab : Misalkan u = sin x maka du = cos x dx ∫ ∫ *

∫

C.

D.

+ =

=

Jadi, ∫ e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 36, Uji Kompetensi 1.2 No. 4a : Hitung integral tentu dari fungsi trigonometri berikut ini : ∫ Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 4 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas sedangkan 1 buku contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No. 32 Hasil dari ∫ A.

√

……… √

√

B.

C.

√

B. E. √ √ A. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yangcjelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal: Penyelesaian : Dari soal diketahui : ∫ √ 2 Misal : U = 3x + 1 → dU = 2(3x.dx) atau 3x.dx = ½ dU Maka, ∫

B.

√

∫ √

(

)

√ √ Jawaban : C Konteks : - Menentukan hasil dari Integral tak tentu Informasi : - Soal materi : integral - Penyelesaian soal menggunakan substitusi u = g(x) dengan g adalah fungsi yang mempunyai turunan sehingga dapat diubah menjadi ∫ Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Penyelesaian integral tak tentu dengan cara substitusi adalah dengan menggunakan rumus : ) ( ) ∫ ( ∫ 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya

87

Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII SMA/MA soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 15, Latihan 4 No. 2b : Dengan menggunakan cara substitusi, tentukan integral-integral berikut ini √ ∫ b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 17, Contoh 1.6 No. 1b : Selesaikan bentuk integral berikut ini : ∫ √ Pembahasan : Mis : u = x – 2 →x = u + 2 dan dx = du ∫ √

∫

∫(

√

)

√

√

c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 40, Latihan No. 14 : Tentukan hasil pengintegralan berikut ini : ∫ √ d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 27, Latihan 7 No. 1a : Tentukan integral berikut ini : ∫ √ e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 17, Uji Kompetensi 1.1 No. 6b : Lakukan dahulu manipulasi aljabar pada integran, kemudian hitunglah integralnya. ∫ √ C.

D.

A.

langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 1 buku memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas sedangkan 4 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No.35 2 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 3x + 4, dan y = 1 – x adalah ….. A. satuan luas B. satuan luas C. satuan luas D. satuan luas E. satuan luas Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Menentukan titik potong kedua kurva yang juga merupakan batas atas dan batas bawah pengintegralan. 2 y = x + 3x + 4 y=1–x _ 2 0 = x + 4x + 3 → (x + 3)(x + 1) = 0 x1 = –3 sebagai batas interval bawah (b) x2 = –1 sebagai batas interval atas (a)

88

Luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva ditentukan dengan rumus : ∫ 2 Dalam hal ini kurva y = 1 – x merupakan y2 (karena berada di bagian atas) dan kurva y = x + 3x + 4 merupakan y1 (karena berada di bagian bawah) Jadi : ∫ ∫ *

+ 2

B.

C.

Maka, Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 3x + 4, dan y = 1 – x Adalah Jawaban : B Konteks : - menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva Informasi : - Soal materi : Integral - Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus Luas suatu daerah yang dibatasi oleh dua kurva dengan perpotongan kedua kurva sebagai batas-batas pengintegralan Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Jika grafik fungsi kuadrat (Y1) dan fungsi linier (Y2) digabungkan, maka kedua grafik akan berpotongan di dua titik yang berbeda, yaitu x1 dan x2 . nilai x1 dan x2 ditentukan berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat yang merupakan persamaan fungsi gabungan Y1 dengan dengan Y2 . Luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva ditentukan dengan rumus : ∫ Dimana : Y1 = grafik fungsi yang berada di bagian atas Y2 = grafik fungsi yang berada di bagian bawah 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII SMA/MA soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 24, Latihan 6 No. 9 : 2 Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva yang terdapat pada tiap soal berikut : y = x – 2x dan y = 2x b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 27, Uji Kompetensi 1.8 No. 5d : Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva-kurva berikut : 2 y = x – 2x – 3 ; 5x – 3y – 5 = 0 ; sumbu X dan di kuadran I ! c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 54, Latihan No. 3 : 2 Hitung luas daerah antara y = –x + 4x + 2 dan y = x + 2 d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 36, Latihan 10 No. 4a : 2 Hitunglah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 1 dan y = x + 1. e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 72, Uji Kompetensi 1.3 No. 5c : 2 Hitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva yang diberikan y = x dan y = 2x + 3. Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 5 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning.

89

D.

Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 37 2 Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x dan y = –2x diputar 0 mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ……. A. satuan volume B. satuan volume

A.

B. C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Menentukan titik potong kedua kurva yang juga merupakan batas atas dan batas bawah pengintegralan. 2 –x = –2x → x(2 – x) = 0 x1 = 0 (batas bawah = b) dan x2 = 2 (batas atas = a) Volume benda putar ditentukan dengan rumus : ∫ ∫ ∫ *

B.

+

Jawaban : B Konteks : - Mencari Volume benda putar Informasi : - Soal materi : menghitung volume benda putar - Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus Volume benda putar dengan perpotongan kedua kurva sebagai batas-batas pengintegralan Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Jika grafik fungsi kuadrat (Y1) dan fungsi linier (Y2) digabungkan, maka kedua grafik akan berpotongan di dua titik yang berbeda, yaitu x1 dan x2 . nilai x1 dan x2 ditentukan berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat yang merupakan persamaan fungsi gabungan Y1 dengan dengan Y2 . 0 Jika grafiknya diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu X, maka Volume benda putar yang terbentuk ditentukan dengan rumus : ∫ Dimana : Y1 = grafik fungsi yang berada di bagian atas Y2 = grafik fungsi yang berada di bagian bawah 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XII SMA/MA soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 33, Latihan 7 No. 6 : 2 2 Tentukan volume yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva-kurva y = x + 1 dan y = 9 – x diputar mengelilingi sumbu X ! b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 31, Uji Kompetensi 1.9 No. 4a : Tentukan volume benda putar daerah yang dibatasi kurva-kurva berikut : 2 y = x + 1 dan y = 1 – 2x ! c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 70, Latihan No. 1f :

90

C.

D.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva pada soal 2 berikut diputar mengelilingi sumbu X. y = x dan y = x – 2 d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 44, Latihan 13 No. 2b : 0 Hitunglah vlume benda putar yang terjadi jika daerah-daerah berikut ini diputar sejauh 360 2 terhadap sumbu X. y = x dan y = 2x. e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XII SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 79, Uji Kompetensi BAB 1 No. 19 : 2 Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 3x ; x = 2 dan sumbu X 0 diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu X adalah ….. a. 6 π b. 12 π c. 18 π d. 24 π e. 48 π Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 5 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 38 Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut : Interval Frekuensi 20 – 29 3 30 – 39 7 40 – 49 8 50 – 59 12 60 – 69 9 70 – 79 6 80 – 89 5

A.

Nilai modus dari data pada tabel adalah … A. B. C. D. E. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Dari tabel dapat ditetapkan :  Kelas modusnya : 50 – 59 dengan frekuensi 12  Tepi bawah : L = 49,5  Tepi atas : U = 59,5  Panjang kelas : c = U – L = 10  Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelumnya (δ1) = 12 – 8 = 4  Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sesudahnya (δ2) = 12 – 9 = 3 Jadi, Modusnya :

( (

) )

Jawaban : D

91

jelas tentang situasi

B.

Konteks : - Mencari Ukuran pemusatan data Informasi : - Soal materi : Statistika - Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus Modus untuk data berkelompok Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Data berkelompok memiliki tepi bawah kelas modus (L) dan tepi atas kelas (U) serta interval kelas (c). Untuk mencari modus dari data berkelompok ini terlebih dahulu kita tetapkan frekuensi kelas modus, yaitu interval kelas yang memiliki frekuensi tertinggi. Kemudian barulah kita cari modusnya dengan (

rumus :

)

2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI SMA/MA contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 27, Contoh 14 : Misalkan distribusi frekuensi kelompok di samping menunjukkan data berat badan 40 siswa di sekolah Anda. Tentukan modus dari data tersebut Ukuran Frekuensi 46 – 48 3 49 – 51 6 52 – 54 10 55 – 57 11 58 – 60 6 61 – 63 4 Pembahasan : Kelas modus adalah 55 – 57 ; berarti Tb = 54,5 s1 = 11 – 10 = 1 ; s2 = 11 – 6 = 4 ; p = 57,5 – 54,5 = 3 Jadi modus data di atas adalah 55. b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 21, Contoh 1.17 : Tentukan modus dari data berikut ini : Skor Banyak Siswa 40 – 49 1 50 – 59 4 60 – 69 8 70 – 79 14 80 – 89 10 90 – 99 3 Pembahasan : Kelas modus 70 – 79, panjang kelas c = 79,5 – 69,5 = 10 Tepi bawah (tb) = 69,5 Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya, d 1 = 14 – 8 = 6 Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya, d2 = 14 – 10 = 4 (

)

(

)

Jadi nilai modusnya adalah M0 = 75,5 c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 58, contoh soal :

92

Tentukan modus dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi berikut : Berat Badan (kg) Frekuensi 40 – 49 5 50 – 59 14 60 – 69 16 70 – 79 12 80 – 89 3 Pembahasan : Berdasarkan data di atas, dapat diketahui : b = 59,5, d1 = 2, d2 = 4 dan k = 10 (

)

(

)

d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI SMA/MA terdapat contoh soal yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 22, Contoh 8 : Dari tabel distribusi frekuensi berikut, tentukan nilai modusnya ! Nilai Titik Tengah Frekuensi 55 – 59 57 6 60 – 64 62 8 65 – 69 67 16 70 – 74 72 10 75 – 79 77 6 80 - 84 82 4 Pembahasan : Dari tabel dapat ditetapkan : Kelas modusnya 65 – 69 (karena memiliki frekuensi terbesar, yaitu 16), tepi bawahnya L = 64,5 dan tepi atasnya U = 69,5 sehingga panjang kelas c = U – L = 69,5 – 64,5 = 5 Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya =16 – 8 = 8 dan Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya =16 – 10 = 6. Jadi modusnya adalah : (

)

(

)

e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 58, Uji Kompetensi 1.2 No. 13 : Tentukan mean, median dan modus dari data berkelompok berikut : Nilai fi 30 – 39 4 40 – 49 6 50 – 59 8 60 – 69 12 70 – 79 9 80 – 89 7 90 - 100 4 C.

Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 4 buku memiliki contoh soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas sedangkan 1 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning.

93

D.

A.

Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah. Soal No. 39 Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6 dan 7. Banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah … A. 20 B. 40 C. 80 D. 120 E. 360 Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Cara I : Dengan menggunakan rumus permutasi :

Dari soal diketahui bahwa r = 4 dan n = 6 Jadi banyaknya susunan angka yang dapat dibentuk adalah :

Cara II : Dengan menggunakan pengkotakan kemungkinan munculnya angka (aturan perkalian) : n n–1 n–2 n–3 Kotak 1 : semua angka dapat menempati posisi ini (6 angka) Kotak 2 : sudah berkurang satu angka menempati posisi ini (5 angka) Kotak 3 : berkurang satu angka lagi menempati posisi ini (4 angka), dst. Banyaknya susunan angka yang dapat dibentuk diperoleh dengan mengalikan semua angka yang berada di dalam kotak. 6 5 4 3

B.

6 x 5 x 4 x 3 = 360 Jawaban : E Konteks : - Aplikasi kombinasi peluang pada penyusunan angka. Informasi : - Soal materi : peluang. - Penyelesaian soal dengan menggunakan rumus permutasi atau aturan perkalian Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Bila dari sekumpulan angka (n) akan disusun r angka yang berbeda (tidak boleh terdapat angka yang sama), maka banyaknya cara penyusunan ditentukan dengan dua cara, yaitu : - Dengan cara menyebutkan kejadian satu persatu (dengan rumus permutasi) - Dengan cara menyusunan banyaknya cara ke dalam kotak-kotak (dengan aturan perkalian) 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI SMA/MA soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 64, Latihan 2 No. 6b : Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka dapat disusun dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 bila pemakaian angka tidak berulang ! b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 47, Uji Kompetensi 2.1 No. 8a : Tersedia angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5. Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari empat angka yang dapat dibuat dari angka-angka tersebut dengan syarat tidak boleh ada angka yang berulang ? c. Buku terbitan Esis

94

C.

D.

A.

Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 104, Latihan 2.b : Dari angka-angka 1, 3, 5, dan 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari dua angka. Berapa banyaknya bilangan yang terjadi jika angka-angkanya tidak boleh berulang ? d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 50, Latihan 2 No. 6 : Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka yang dibentuk dari angka-angka berikut ini : - 5, 6, 7, dan 8 - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 118, Uji Kompetensi 2.1 No. 24 : Misalnya, anda akan membentuk bilangan dari angka-angka 2, 3, 5, 6, dan 7 tanpa ada angka yang boleh diulang. Tentukan : - Banyaknya bilangan puluhan ribu yang dapat anda buat - Banyaknya bilangan ribuan yang dapat anda buat - Banyaknya bilangan ratusan yang dapat anda buat - Banyaknya bilangan puluhan yang dapat anda buat Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 5 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

Soal No. 40 Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah …….. A. B. C. D. E. Langkah pertama : menganalisis dari Solusi soal, konteks, dan informasi yang jelas tentang situasi yang ada dalam pemahaman Ujian Nasional Solusi soal : Penyelesaian : Banyaknya cara pengembilan 3 kelereng dari dalam kotak adalah : (1) Kejadian terambilnya 2 kelereng putih dan 1 kelereng merah Banyaknya cara terambilnya 2 kelereng putih dari dalam kotak adalah : Banyaknya cara terambilnya 1 kelereng merah dari dalam kotak adalah : Peluang terambilnya 2 kelereng putih dan 1 kelereng merah adalah : (

)( (

) )

(2) Kejadian terambilnya 3 kelereng putih Banyaknya cara terambilnya 3 kelereng putih dari dalam kotak adalah :

95

Peluang terambilnya 3 kelereng putih adalah : (

)

(

)

(3) Peluang terambilnya paling sedikit 2 kelereng putih adalah :

B.

Jawaban : E Konteks : - Aplikasi peluang matmatika dalam menentukan banyaknya peluang terambilnya kelereng warna putih didalam kotak Informasi : - Soal materi : menentukan peluang satu kejadian - Penyelesaian soal terlebih dahulu menentukan banyaknya cara pengambilan den dengan mengunakan rumus kombinasi, kemudian dilanjutkan dengan perhitungan peluang. Langkah kedua : Analisis dari buku teks 1. Dalam Teori : Jika dalam sebuah kotak terdapat A buah kelereng merah dan B buah kelereng putih, maka banyaknya cara pengambilan p buah kelereng adalah : ; banyaknya cara terambilnya q buah kelereng putih adalah : ; banyaknya cara terambilnya r buah kelereng merah adalah ; sehingga peluang terambilnya q buah bola putih dan r buah kelereng merah adalah : 2. Contoh dan latihan soal a. Buku terbitan Yrama Widya Berdasarkan buku terbitan Yrama Widya kelas XI SMA/MA contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 88, Contoh 38 : Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Jika kita ambil 3 bola dari kotak tersebut, tentukan peluang bahwa ketiga bola tersebut terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola putih. Pembahasan : Dalam pengambilan bola-bola tersebut, urutan tidak diperhatikan, sehingga banyaknya anggota ruang sampel dalam percobaan itu sama dengan banyak cara mengambil 3 bola dari 8 bola yang tersedia. n(K) = banyak cara mengambil 2 bola merah dan 1 bola putih dari 5 bola merah dan 3 bola putih.

Jadi peluang bahwa ketiga bola tersebut terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola putih adalah b. Buku terbitan Yudistira Berdasarkan buku terbitan Yudistira kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 60, Uji Kompetensi 2.6 No. 6b : Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Dari kotak tersebut diambil secara acak 3 bola sekaligus. Berapakah peluang terambilnya 2 bola merah dan 1 bola putih ? c. Buku terbitan Esis Berdasarkan buku terbitan Esis kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 147, Latihan Ulangan bagian A No. 30 : Sebuah kotak berisi 5 bola putih dan 4 bola biru. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak dari kotak itu, maka peluang terambil 3 bola putih adalah …. A. B. C. D. E. d. Buku terbitan Erlangga Berdasarkan buku terbitan Erlangga kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN diatas yang terdapat pada halaman 59, Latihan 5 No. 4c : Dalam sebuah kolam kecil terdapat 7 ikan lele dan 5 ikan gurame. Dari kolam itu akan diambil 4 ikan secara acak. Hitunglah nilai peluangnya jika yang terambil itu adalah : 1 ikan lele dan 3 ikan gurame

96

C.

D.

e. Buku terbitan Grafindo Berdasarkan buku terbitan Grafindo kelas XI SMA/MA terdapat soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas yang terdapat pada halaman 147, Uji Kompetensi 2.2 No. 25c : Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola berwarna hijau dan 6 bola berwarna merah. Jika diambil 2 bola satu persatu tanpa pengembalian, tentukan peluang kejadian kedua bola berwarna merah ! Langkah ketiga : Argument dan Kesimpulan Argument : Soal tersebut diatas merupakan soal yang paling sering dijumpai oleh siswa pada saat pembelajaran matematika disekolah. Hal itu diasumsikan penulis berdasarkan penelitian yang dilakukan terhadap 5 buku teks pegangan siswa yang paling sering dipakai dalam proses pembelajaran disekolah. Dalam penelitian terhadap 5 buku teks tersebut, 1 buku memiliki contoh soal yang mirip dengan soal UN di atas sedangkan 4 buku memiliki soal latihan yang mirip dengan soal UN di atas. Kesimpulan : Dari pembahasan yang ada diatas maka soal tersebut merupakan soal yang tergolong dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Langkah keempat : Komentar Soal diatas termasuk dalam tipe penalaran Algoritmic Reasoning. Siswa seharusnya dapat menyelesaikan soal tersebut dengan baik. Karena, soal tersebut merupakan soal yang sudah akrab dengan para siswa. Hal itu diasumsikan berdasarkan pada penelitian 5 buku teks yang sering dipakai siswa disekolah.

97

2.Biodata Tim Peneliti Ketua Penelitian: Nama

: Abdul Mujib, S.Pd., M.PMat.

Tempat/Tanggal Lahir

: Jombang, 11 Maret 1981

Jenis Kelamin

: Laki-Laki

NIDN

: 01111038101

Pangkat/ Golongan

: Penata Muda Tk. I/ III. B

Jabatan akademik

: Asisten Ahli

Alamat Kantor

: Jurusan PMIPA UMN Al-Washliyah Jl. Garu II no. 93 Medan Sumut

Nomor Telp Kantor

: 061-7867044, 7862747

Alamat Rumah

: Jl Karya Bakti No. 34 Medan Johor Sumut

No Telp HP

: 081362484724

Riwayat Pendidikan

: S1 Pend. Matematika (2005) UMNAW S2 Pengajaran matematika (2011) ITB

Pengalaman Pelatihan Penelitian yang relevan

1. Pelatihan

Teknis Pembelajaran Matematika Sekolah sekarang dan yang akan datang dan pemanfaatan alat peraga sebagai media pembelajaran Matematika, P4TK Yogjakarta 25 Februari 2010 2. Pelatihan dan Workshop “Mathematics Learning Revolution Through Word Problems”, ITB, Bandung 31 juli- 1 Agustus 2010 3. Pelatihan Penyusunan Proposal Penelitian, UMNAW 14 Februari 2012.

Pengalaman Penelitian

1. Pengaruh Pendekatan Realaitic Mathematic Education (RME) terhadap Hasil Belajar Matematika Siswa Madrasah Aliyah Swasta AlManar Medan Tahun Pelajaran 2005/2006 (Skripsi) tahun 2005 2. Bilangan kromatik Permainan Pada graf Hasil Kali Tensor (Tesis) tahun 2011 3. “Game Chromatic Numbers Of Tensor 98

ProductI". Dipresentasikan di International Reseach and Optimation Reseach (Interior), Medan 2011 4. Bilangan Kromatik Permainan Graf Kaktus. Dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Terapan, Bireun, 2011

Publikasi Ilmiah

1. Pengaruh Pendekatan Realistic Mathematic Education (RME) terhadap Hasil Belajar Matematika Siswa Nurul Hasanah Kecamatan Tembung Kabupaten Deli Serdang Provinsi Sumatera Utara. Dimuat dalam jurnal ilmiah KULTURA UMN Al-Washliyah Vol. 8 No. 1 Juni 2007 (ISSN: 1411-0229) 2. Matematika Selezat Pizza “Math Game” untuk SD Kelas 3. Buku Suplemen. Diterbitkan oleh Cakrawala Yogyakarta, 2011 (ISBN: 979-383111-1)

Anggota Penelitian: Nama

: Erik Suparingga

Tempat/Tanggal Lahir

: Bakaran Batu, 01 Juli 1986

Jenis Kelamin

: Laki-Laki

NIP/NIDN

: 0101078602

Pangkat/ Golongan

: -

Jabatan akademik

: -

Alamat Kantor

: Jurusan PMIPA UMN Al-Washliyah Jl. Garu II no. 93 Medan Sumut

Nomor Telp Kantor

: 061-7867044, 7862747

Alamat Rumah

: Jl. Utomo Dusun III Bakaran Batu Batang Kuis Deli Serdang Sumut

No Telp HP

: 085297593374

Riwayat Pendidikan

: S1 Pend. Matematika (2010) UMNAW

Pengalaman Pelatihan Penelitian yang relevan

1. Pelatihan Penyusunan Proposal Penelitian, UMNAW 14 Februari 2012

99

Pengalaman Penelitian

1. Upaya Meningkatkan Aktivitas Belajar Siswa dengan Menerapkan Metode Inkuiri pada Pembelajaran (Skripsi) 2010

Demikian daftar riwayat hidup ini dibuat untuk dapat digunakan sebagaimana mestinya Medan,

November 2012

Ketua Penelitian

Anggota Penelitian

Abdul Mujib, S.Pd, M.PMat. NIDN: 0111038101

Erik Suparingga, S.Pd NIDN: 0101078601

100