4
3.2 Peralatan
……………………..(9) dimana
,
,
dan
………………….(10) substitusi persamaan (10) ke persamaan (9) maka dipero leh persamaan gelo mbang soliton DNA model PBD
…………………….....(11) agar persamaan (11) dapat dipecahkan sehingga harus diterapkan pendekatan semidiskrit yang artinya bahwa mencari solusi dalam bentuk gelombang soliton DNA model PBD [22]
Peralatan yang digunakan adalah alat tulis, laptop, software maple 11 dan software MATLAB 2008b yang bertujuan menganalisa hasil solusi secara ko mputasinya dan simulasi dari hasil perhitungan analitik. 3.3 Studi Pustaka Studi pustaka dilakukan untuk memahami p roses dalam mencari solusi soliton DNA model PBD dan memahami konsep perhitungan secara matematis, kemudian melihat hubungan segi fisis yang diperoleh sehingga memberi kesan bahwa tidak hanya persoalan matematis saja yang dibahas melainkan membahas hubungan antar variabel. 3.4 Penurunan S olusi Secara Analitik Metode ini dilaku kan dengan metode matemat is untuk mendapatkan persamaan NLS model PBD dengan ekspansi potensial morse hingga orde-4 yang kemudian mensubstitusikan anzats (tebakan solusi) traveling persamaan (14) ke persamaan (30) ……………………(14)
…………................... (12) …………..(13)
dengan
di sini, l adalah jarak antara dua nukleotida tetangga pada rantai yang sama, adalah frekuensi optik dari getaran pendekatan linear, q adalah bilangan gelombang soliton DNA, c.c adalah istilah conjugate-compleks dari fungsi F1 , F2 dan F3 .
3.5 Analisa Hasil Perhitungan Analitik Metode ini menggunakan metode plot yaitu dengan cara membuat plot antara variabel bebas (waktu) dengan variabel terikat (yn ) pada software MATLAB dalam membuat gambar dan menganalisis solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD.
BAB 4
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
METODE PENELITIAN
4.1 Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelit ian ini dilakukan di Laboratoriu m Fisika Teori Departemen Fisika Faku ltas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor mu lai bulan Ju li 2010 sampai bulan Desember 2010.
Persamaan (12) merupakan persamaan untuk kasus diskrit dan untuk menyelesaikannya harus diubah ke batas kontinu dengan mengambil batas dan menerapkan transformasi [16, 21, 22] ,
………………………..(15)
Transformasi di atas menghasilkan pendekatan untuk kasus kontinu berikut:
5
……...….(16) dengan mengubah fungsi F0 , F1 , F2 dan F3 pada persamaan (12) menjad i bentuk kontinu seperti persamaan (16) dan kemudian
mensubstitusikan persamaan hasil modifikasi tersebut ke persamaan (11), sehingga diperoleh persamaan (17) yang menggambarkan koefisien , dan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.3a)(B.6))
…………………………………………………………………..........…………(17)
Persamaan (17) merupakan bentuk kontinu hasil transformasi untuk koefisien F1 dari persamaan (11), dengan menyamakan koefisien untuk berbagai gerak harmonik, bisa diperoleh hubungan penting untuk menyatakan F0 , F2 , F3 dalam F1 [12-14,22]. Misal menyamakan koefisien untuk kemudian diperoleh hubungan dispersi ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.7a) dan (B.7d))
1+
2 ……………………..…...(18)
dengan cara yang koefisien untuk
menyamakan yang artinya maka d iperoleh hubungan F0 dengan F1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.7e)- (B.7g))
…………………………..….(20a) dengan ..(20b ) Asumsikan untuk koefisien maka dipero leh hubungan F3 dengan F1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.7k)- (B.7n))
sama
…………………….……..(19a) dengan
Asumsikan merupakan koefisien untuk maka d iperoleh hubungan F2 dengan F1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.7h)- (B.7j))
.……....(19b)
……………………………...(21a) dengan (21b) Persamaan (17) untuk koefisien dapat ditulis
6
……......................................................................(22)
Agar persamaan NLS ( persamaan (22) ) lebih sederhana maka diterapkan transformasi koordinat baru [16, 21, 22] ………………......(23) dengan merupakan kecepatan group dari nukleotida. Berdasarkan persamaan (23) maka persamaan (22) d ilakukan transformasi men jadi ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.11a)- (B.11c) )
…………………………......(24a) …………………………….(24b) … (24c) Substitusi persamaan (24b) dan (24c) ke persamaan (22) menghasilkan persamaan (25) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.12))
……………………………………………………………..........(25)
karena nilai <<1, dapat diasumsikan orde 3 O( 4 ) 0 sehingga ……………….(26) agar terbentuk persamaan NLS maka kecepatan group dari nukleotida harus berbentuk:
…….(27) substitusi persamaan (26) ke persamaan (25) menghasilkan persamaan NLS ( persamaan (28)) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.14) (B.17))
……………….......…(28)
7
Persamaan (28) dapat diubah mejad i lebih sederhana dalam penulisannya dengan menerap kan pemisalan untuk koefisien dispersi dan koefisien nonlinear
artinya anzats (tebakan) pada persamaan (12) sudah tepat. 4.2 Solusi Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD Agar persamaan (30) dapat diselesaikan maka diberikan persamaan (14) sebagai persamaan anzats (tebakan) dari persamaan NLS kubik -kuintik , dengan F1 merupakan fungsi dari S dan , sedangkan merupakan frekuensi gelo mbang soliton DNA berperan sebagai varibel bebas dan merupakan fungsi real. Substitusi persamaan (14) ke persamaan (30) maka d iperoleh persamaan
2
……………………………….(29a) ………....(29b ) …………....(29c) Sehingga diperoleh persamaan NLS kubik kuitik soliton DNA model PBD
….…...(31)
..(30) Persamaan (30) merupakan persamaan NLS kubik-kuintik untuk fungsi F1 dan untuk menyelesaikannya harus menggunakan anzats (tebakan). Berdasarkan persamaan tersebut terlihat perbedaan antara ekspansi potensial morse hingga orde-3 dan hingga orde-4 yaitu terdapat nilai konstanta R yang merupakan koefisien nonlinear atau dengan kata lain potensial morse hingga orde-4 mempuyai dua koefisien nonlinear. Nilai R itu sendiri d ipengaruhi oleh yang merupakan koefisien dari ekspansi deret taylor potensial morse hingga orde-4 ( 4 ). Jika diambil nilai sama dengan nol maka nilai koefisien nonlinear sama dengan nol (R=0), art inya persamaan (30) men jadi persamaan dengan ekspansi potensial mo rse hingga orde-3. Persamaan (12) jika diganti dengan anzats (tebakan) solusi dengan orde epsilon yang lebih tinggi maka dipero leh koefisian nonlinear R mempunyai orde ( 2 ), sedangkan untuk nilai itu sendiri sangat kecil sekali ( <<1),
kalikan persamaan (31) dengan
maka
diperoleh persamaan yang mengindikasikan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran C yaitu persamaan (C.2)- (C.5)): …....(32) dimana c merupakan sebuah konstanta. Selanjutnya kembali membatasi diri pada solusi yang memiliki kondisi 0 dan u 0 pada S ± ∞ dan mengimp likasikan untuk nilai c = 0. Persamaan (32) dapat diatur kembali men jadi bentuk yang lebih sederhana men jadi ...……....(33) Integrasi pada persamaan (33) diselesaikan sehingga diperoleh persamaan (34) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran C yaitu persamaan (C.8)- (C.15))
……………………………………...………..... (34)
Substitusi persamaan (34) ke persamaan (30) sehingga diperoleh solusi untuk anzats (tebakan) dari persamaan NLS kubik -kuintik ( persamaan (35a) ) dan untuk konjugat (
persamaan (35b ) ) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran C yaitu persamaan (C.16a) dan (C.16b))
8
……………………………....….....(35a)
dan
..……………………………........(35b)
Fungsi gelombang ( ) dari nukleotida dinyatakan dalam fungsi F0 , F1, F2 dan F3 , karena persamaan NLS kubik -kuintik hanya dinyatakan dalam fungsi F1 maka lakukan substitusi persamaan (18a), (19a) dan (20a) ke persamaan (12)
………….....(36) Solusi persamaan gelombang diperoleh dengan mensubstitusi persamaan (35) ke persamaan (36) maka d iperoleh
…………………………………………………..………………………..……(37)
dengan
………………...………………….….….(38)
9
persamaan (38) tersebut sederhanakan men jadi
dapat
di
……….. (39)
Solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD dapat ditulis sebagai berikut:
2
cos 3(
+
) ...(40)
Kasus amplitudo besar substitusi persamaan (40) ke persamaan (7) dengan memisalkan koefisien untuk persamaan (7) adalah 1 yang mempengaruhi pada koefisien F0 dan F2 . Apabila solusi pada penyelesaian persamaan (12) ditambah F3 maka koefisien dari F3 adalah , artinya atau karena 1 nilainya sangat kecil maka nilai 2 akan lebih besar dari pada 1 yang mengindikasikan untuk persamaan (7) bisa menggunakan nilai yang besar, maka diperoleh persamaan gelombang dalam bentuk
2
cos 3(
+
) …… (41)
dimana dan t merupakan variabel bebas, sedangkan , , , , dan n merupakan variabel terikat yang artinya nilai dari
variabel tersebut bergantung pada variabel bebas. Berdasarkan persamaan (40) dan persamaan (41) jelas terlihat agar solusi dari real maka harus dipenuhi >0 dan P>0, artinya /P>0 dan 16 R/3+Q2 >0. n itu sendiri menyatakan beda fase antara nukleotida yang berada pada rantai yang sama. 4.3 Analisa Hasil Perhitungan Analitik Bagian in i membahas hasil-hasil analisa numerik yang berkaitan dengan karakteristik solusi hingga orde-3 dan hingga orde-4. Program yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan tersebut dibuat dengan menggunakan parameter yang sudah ada pada literatur. Gambaran umu m dari proses replikasi (denaturasi) DNA merambat dari tengah hingga ke ujung rantai atas dan ujung rantai bawah (dapat dilihat pada Gambar 1), dengan bertambahnya waktu maka perambatan denaturasi DNA akan berpindah terlihat seperti gelo mbang pada Gambar 3, Gambar 4, Gambar 5 dan Gambar 6. Kasus pertama, karakteristik solusi hingga orde-3, pada kasus ini hanya menggunakan pendekatan potensial morse hingga orde-3 dan hanya terdapat satu koefisien nonlinear. Gambar 3 dan Gambar 4 merupakan representasi umu m proses replikasi DNA dengan ekspansi potensial morse hingga orde-3 dengan nilai parameter a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3 .
y n ( pm )
nl ( pm ) Gambar 3. Karakteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD h ingga orde3 pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3 plot yn (p m) terhadap nl(pm) pada saat T=0 .
10
y n ( pm )
T ( ps )
nl ( pm ) (a)
T ( ps )
nl ( pm ) (b) Gambar 4. Karakteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde-3 pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3 (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi (b) profil soliton DNA tampak atas .
Kasus kedua, karakteristik Solusi hingga orde-4. Pada kasus ini menggunakan pendekatan potensial morse hingga orde-4 dan terdapat dua koefisien nonlinear. Gambar 5 merupakan representasi umu m
proses replikasi DNA dengan ekspansi potensial morse hingga orde-4 dengan nilai parameter a= 2.8 x 1010 m-1 (jarak antar nukleotida rantai yang berbeda), = 1010 -3 dan = 10 .
11
y n ( pm )
nl ( pm ) (a)
y n ( pm )
nl ( pm ) (b)
T ( ps )
T ( ps )
nl ( pm ) (c) Gambar 5. Karakteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde4 pada saat = 1010 , a = 2.8 x 1010 m-1 dan = 10-3 (a) plot yn (pm) terhadap nl(pm) pada saat T=0, kurva merah ket ika a = 2.8 x 1010 m-1 dan kurva hitam ketika a = 3 x 1010 m-1 (b) p rofil soliton DNA dalam tiga d imensi (c) profil soliton DNA tampak atas.
Pada Gambar 3, Gambar 4 dan Gambar 5 terlihat ada beberapa faktor yang mempengaruhi model dari replikasi DNA, diantaranya jarak antar nukleotida untuk rantai yang berbeda dan ekspansi deret taylor pada potensial mo rse. Potensial morse
itu sendiri merupakan ikatan hidrogen antar nukleotida untuk rantai yang berbeda pada DNA, sedangkan jarak antar nukleotida untuk rantai yang berbeda mempengaruhi lebar dari potensial morse. Perbedaan terlihat ketika menggunakan potensial morse
12
hingga orde-3 dan hingga orde-4 pada panjang gelombang yang dihasilkan dalam satu siklus, semakin besar orde potensial morse yang dipakai maka semakin kecil panjang gelombang yang terbentuk oleh suatu nukleotida. Gambar 3 dan Gambar 5a memiliki amp litudo (simpangan) yang berbeda, terlihat ekspansi potensial morse hingga orde-3 memiliki amplitudo yang positif dan ekspansi potensial morse hingga orde-4 memiliki amp litudo yang negatif. Art inya pada saat ekspansi potensial morse hingga
orde-3 pergerakan denaturasi DNA lebih dominan ke arah u n , sedangkan pada saat potensial morse hingga orde-4 pergerakan denaturasi DNA leb ih do minan ke arah vn . Pada Gambar 5a terdapat dua grafik dengan amp litudo yang berbeda. Grafik warna merah untuk nilai a = 2.8 x 1010 m-1 dan grafik warna hitam untuk nilai a = 3 x 1010 m-1 . Hal tersebut disebabkan oleh lebar dari potensial morse. Semakin lebar potensial morse maka amp litudo yang terbentuk akan semakin besar. Pengaruh lebar potensial morse dapat dilihat pada Gambar 6.
T ( ps )
nl ( pm ) (a)
T ( ps )
nl ( pm ) (b) Gambar 6. Karakteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde4 pada saat = 1010 dan = 10-2 (a) pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 (b) pada saat a = 7 x 1010 m-1 .
Lebar potensial morse mempengaruhi amp litudo dari nukleotida, sedangkan lebar potensial mo rse itu sendiri bergantung pada jarak antar nukleotida pada rantai yang berbeda. Berdasarkan Gambar 6 terlihat semakin besar jarak antar nukleotida rantai
yang berbeda, maka amp litudo denaturasi semakin kecil. Art inya lebar potensial morse berbanding terbalik dengan jarak antar nukleotida rantai yang berbeda.
