BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Diagram Alir Penelitian Berikut adalah diagram alir penelitian konduksi pada arah radial dari pembangkit energy berbentuk silinder.

Gambar 3.1 diagram alir penelitian konduksi

Universitas Sumatera Utara

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Solusi Analitik

Metode Analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah lazim.

4.1.1 Benda yang Berbebntuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan Temperatur Permukaan Konstan

Perhatikan suatu silinder panjang dengan jari-jari dalam r, dan panjang L, seperti pada gambar 4.1. Untuk silinder yang panjangnya sangat besar dibandingkan dengan diameternya, dapat diandaikan bahwa aliran kalor berlangsung menurut arah radial, sehingga koordinat ruang yang diperlukan untuk menentukan sistem ini adalah r .

Gambar 4.1 Konduksi panas radial pada silinder.

Pada gambar 4.2 benda silinder dengan radius r = b , di mana temperature permukaan disebut temperatur yang sama yaitu Tw, konduktiviti termal dan pembangkit energi konstan.


Gambar 4.2 Benda Silinder dengan Pembangkit Energi

Persamaan konduksi panas, dimana :

Temperatur permukaan = Tw T(r) = Tw pada r = b Persamaan (4.3a) diselesaikan dengan integrasi pertama :

Untuk

maka distribusi temperature menjadi

Dengan mengintegrasikan persamaan (4.5), maka Untuk syarat batas

pada temperature T(r) = Tw pada r = b, maka


Distribusi temperatur dari pers (4.5) dimasukkan ke pers (4.4) menjadi ;

4.1.2 Fluks Panas

Hukum dasar yang memberikan hubungan antara laju aliran panas dengan gradient temperatur, berdasarkan observasi eksperimen, yang secara umum dinamakan setelah ahli Matematika dan Fisika dari Perancis Joseph Fourier yang menggunakannya dalam teori analisanya tentang panas. Untuk material homogen, solid isotropic (contohnya: material yang konduktivitas termalnya tidak bergantung pada arah. Hukum Fourier diberikan dalam bentuk dimana gradient temperatur adalah normal vektor ke permukaan isothermal, vektor flux panas q(r,t) menggambarkan laju aliran panas per satuian waktu, per satuan luas dari permukaan isothermal pada arah yang mengalami penurunan temperatur, dan k adalah konduktiviats termal dari material yang positif secara kuantitas skalarnya. Jika vektor flux panas q(r,t) berada pada arah yang temperaturnya menurun, tanda minus pada persamaan (4.2) membuat laju aliran panas bernilai positif. Jika flux panas dalam W/m2 dan gradient temperatur adalah oC/m, konduktivitas termal bersatuan W/m oC. Sehingga jelas bahwa laju aliran panas untuk gradient temperatur yang diberikan secara langsung proporsional terhadap konduktivitas termal dari material. Sehingga dalam analisa perpindahan panas konduksi, konduktifitas termal dari material adalah sifat yang sangat penting, yang mengontrol laju aliran panas dalam suatu medium.

Fluks panas di dalam medium didefinisikan sebagai berikut :

Untuk fluks panas pada batas permukaan adalah Jika r = b maka fluks panas menjadi : Jika temperatur tinggi terjadi ditengah silinder maka temperatur digaris tengah diperoleh dari pers (4.6) dengan menentukan r = 0 menjadi :


4.1.3 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan Konveksi

Konveksi adalah perpindahan panas oleh gerakan massa pada fluida dari suatu daerah ruang ke daerah lainnya. Perpindahan panas konveksi merupakan mekanisme perpindahan panas antara permukaan benda padat dengan fluida. Mekanisme fisis perpindahan panas konveksi berhubungan dengan proses konduksi. Guna menyatakan pengaruh

konduksi secara

menyeluruh

digunakan hukum Newton tentang

pendinginan, yaitu :

dimana: = Laju perpindahan panas (W) h

= Koefisien perpindahan panas konveksi

A

= Luas permukaan

Tw

= Suhu permukaan (oC) = Suhu fluida (oC)

Pada gambar 4.3, aplikasi energi pada disipasi energi secara konveksi yang berasal dari luar permukaan menuju ke dalam dengan temperatur yang konstan

.

Konveksi Gambar 4.3 Benda berbentuk silinder dengan pembangkit energi ke kondisi batas konveksi


Secara matematik dapat ditulis persamaan:

Persamaan (4.14a) diintegrasikan dan diaplikasikan ke syarat batas pers (4.14b) dengan menentukan C1 = 0 maka,

Persamaan diatas diintegrasikan untuk mendapatkan distribusi temperatur pada C2 menjadi :

Pers (4.14c) diintegrasikan dengan syarat batas r = b maka C2 menjadi :

Distribusi temperatur pada silinder menjadi :

Secara fisika koefisien perpindahan panas

mempunyai 2 batasan yaitu :

1. Distribusi temperatur pada bidang datar (slab) pada koefisien perpindahan panas maka,

2. Koefisien perpindahan panas yang bernilai kecil di mana temperature T(r) menjadi tak terhingga, maka syarat batas pada pers (4.14b) menjadi :

Fluks panas

didefenisikan menjadi :


Persamaan (4.14) disubtitusikan ke persamaan (4.19), maka menjadi :

4.2 Solusi Numerik

Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, - , / , *).

4.2.1 Persamaan Konduksi Panas pada Koordinat Silinder

Persamaan konduksi panas pada koordinat silinder adalah sebagai berikut.

Persamaan konduksi panas pada koordinat silinder hanya dihitung pada arah radialnya saja, terlihat pada persamaan (4.23).

Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu :

4.2.2 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder

Metode beda hingga yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan konduksi panas pada silinder adalah metode beda tengah. Gambar 4.4 Menunjukkan penggunaan metode beda hingga pada koordinat silinder.


Gambar 4.4 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder

Pendekatan beda tengah untuk turunan parsial pada persamaan (4.22) adalah sebagai berikut

Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu : syarat batas

dan

, maka ;

Persamaan tersebut harus diturunkan untuk mendapatkan pendekatan orde dua. Dari persamaan (4.24), maka didapat;

Subtitusikan persamaan (4.25a) dan (4.25a) kedalam persamaan (4.27) untuk mendapatkan persamaan kesetmbangan panas.

Persamaan (4.28) dapat disederhanakan menjadi;

Bentuk beda hingga untuk persamaan energi dibagi kedalam M bagian, dan ketebalannya ( r) adalah ;


Pada Gambar 4.6, setiap bagian r = (m-1) ∆r

berisi M + 1 pada lokasi berikut;

pada m = 1,2,…, M+1

Gambar 4.6 Seleksi Node pada Benda Berbentuk Silinder dengan node – node m =1 dan m = M+1 sebanding dengan pusat dan luar batas permukaan benda silinder, dan node m=2,3,…,M adalah node dalam (seperti gambar diatas). Untuk temperatur node M+1 dinyatakan sebagai; pada m =1,2,…,M+1 2-15 Panas yang timbul pada element dengan ketebalan

pada node m maka;

Dimana;

H = panjang silinder

Dari persamaan (4.28) didapat kesetimbangan energi pada silinder ;

Atau

untuk untuk node m = 1 dengan radius

maka;


Rata – rata panas yang timbul Dari persamaan (4.31), persamaan beda hingga untuk kesetimbangan konduksi panas pada tengah node m = 1, maka;

Pada syarat batas r = b maka perlu menentukan syarat batas temperatur , fluks panas dan konveksi. 4.2.3 Menentukan Syarat Batas

a. Syarat Batas Temperatur Jika temperatur pada batas permukaan di node M yang spesifik yang disebut maka; pada m = M + 1

b. Syarat Batas Fluks Panas Kesetimbangan energi pada batas node M+1 di r = b maka;

Dimana

Dari ekspresi diatas diperoleh;

Untuk m = M + 1

c. Syarat Batas Konveksi


Dimana

Subtitusikan persamaan (4.37)ke persamaan kesetimbangan energi dan persamaan bedahingga dengan syarat batas r = b pada m = M + 1 maka dapat ditulis sebagai berikut;

Contoh benda yang berbentuk silinder. Benda sejenis chrome nikel yang berbentuk batang dengan diameter 10 cm, konduktiviti termal dengan rata-rata

, energi yang timbul dari panas elektrik . Permukaan batang dipanasi secara konveksi dengan

koefisien perpindahan panas

pada temperatur

a. Tentukan distribusi temperatur secara analitik! b. Tentukanlah persamaan beda hingga jika radius batang dibagi kedalam 5 interval! c. Galat

Penyelesaian : Dik

:


Dit

: a. Secara Analitik b. Secara Numerik c. Galat

Jawab : a. Penyelesaian secara analitik Dari persamaan (4.17) :

Maka, Pada saat r = 0

Pada saat r = 0.01

Pada saat r = 0.02

Pada saat r = 0.03


Pada saat r = 0.04

Pada saat r = b

b. Penyelesaian secara numerik M = 5, maka;

Persamaan beda hingga dipusat (4.35) pada node m =1 maka diperoleh;

untuk m = 1 Persamaan beda hingga dari persamaan (4.32) untuk node m =2 s/d 5 maka diperoleh ;

Hasil akhir persamaan beda hingga (4.39) untuk syarat batas konveksi pada node m = M+1 = 6 maka diperoleh;


Diperoleh persamaan berbentuk matrik 6 X 6 untuk 6 node temperatur Tm, m = 1 s/d 6.

Dari persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks;

Dari persamaan diatas diperoleh matriks tridiagonal, maka selanjutnya dengan menggunakan program aplikasi Matlab akan diperoleh temperaturnya dalam bidang silinder.


Tabel 4.1 Hasil distribusi temperature secara numerik Node

Temperatur

1

1682.18

2

1666.55

3

1619.68

4

1541.55

5

1432.31

6

1291.78

c. Galat Berdasarkan hasil distribusi analitik dan numerik, maka diperoleh galatnya.

Tabel 4.2 Hasil galat dari distribusi temperatur secara analitik dan numerik Node

R

T analitik (oC)

T numerik (oC)

Galat (%)

1

0

1670.625

1682.18

0.7

2

0.01

1655

1666.55

0.7

3

0.02

1608.125

1619.68

0.7

4

0.03

1530

1541.55

0.7

5

0.04

1420.625

1432.31

0.8

6

0.05

1280

1291.78

0.9

Hasil Simulasi Numerik Penyelesaian masalah kajian perambatan panas dilakukan dengan simulasi komputer menggunakan software matematika MATLAB 7.10. Berdasarkan Tabel 4.2 maka diperoleh hasil simulasi numerik.


Gambar 5.1 Hasil Simulasi Distribusi suhu


BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan Dari hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa: 1. Secara analitik bahan krom nikel memiliki temperatur permukaan isolasi pada r = 0 diperoleh sebesar

, temperatur pada batas konveksi r = b

diperoleh sebesar 2. Secara numerik bahan krom nikel memiliki temperatur pemukaan isolasi r = 0 terjadi pada node m = 1 sebesar

, temperatur pada batas konveksi r

= b terjadi pada node m = 6 sebesar 3. Galat perambatan kalor antara solusi analitik dan solusi numerik pada bahan krom nikel adalah pada saat r = 0 galatnya 0.7 % dan pada saat r = b galatnya 0.9 %.

3.2 Saran Pada tulisan ini dalam menentukan perambatan panas pada arah radial dari benda berbentuk silinder. Oleh karena itu diharapkan untuk peneliti selanjutnya dapat menentukan perambatan panas pada arah radial dari benda berbentuk bola.


BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN

Recommend Documents