BAB 3 KONDISI SPECTRUM
Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Hasil utama yang diperoleh berdasarkan penjelasan - penjelasan yang telah dipaparkan pada bab bab sebelumnya. Hasil utama dari tulisan ini yaitu kondisi spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier bernorm, kemudian bagaimana kondisi spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach.
3.1 Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier Bernorm Andaikan E adalah ruang linier bernorm kompleks. Berikut ini akan diberikan bagaimana kondisi spectrum sp(T ) dari sebuah operator linier terbatas T di E. Teorema 3.1 Andaikan T sebuah operator linier terbatas di sebuah ruang linier bernorm kompleks tak-nol E. Maka ada sebuah titik λ ∈ sp(T ) sehingga |λ| ≥ limn→∞ kT n k1/n . Bukti. I: Diperlihatkan terlebih dahulu 0 ∈ sp(T ) sehingga limn→∞ kT n k1/n = 0. Dengan kontradiksi, bahwa 0 adalah di himpunan resolvent T . 1 = kIk = kT n (T −1)n k ≤ kT n kk(T −1)n k ≤ kT n kkT −1kn untuk n = 1, 2, · · · . Mengakibatkan 1 ≤ kT n k1/nkT −1 k untuk n = 1, 2, · · · , yang mana ini tidak mungkin karena limn→∞ kT n k1/n = 0 sehingga 0 ∈ sp(T ) karena sp(T ) adalah komplemen himpunan resolvent T pada daerah kompleks C. Ini membuktikan kasus ini ketika limn→∞ kT nk1/n = 0. II: Diperlihatkan λ ∈ sp(T ) untuk |λ| = υ dengan mengandaikan limn→∞ kT n k1/n = υ > 0. Dengan kontradiksi, bahwa {λ ∈ C : |λ| ≥ υ} ∈ {resolvent T} atau |λ| ∈ / sp(T ).
52 Pemetaan λ → I − λ−1 T adalah jelas kontinu di C ∼ {0} dan, berdasarkan 2.66 pemetaan S → S −1 adalah kontinu di himpunan elemen - elemen regular dari L(E). Mengakibatkan, oleh teorema 2.25 pemetaan λ → (I −λ−1 T )−1 , merupakan komposisi dua pemetaan kontinu, yang juga kontinu di himpunan {λ ∈ C : |λ| ≥ υ}. Berdasarkan teorema Borel-Lebesgue teorema (2.50)
A = {λ ∈ C : υ ≤ |λ| ≤ 2υ} adalah compact. Berdasarkan teorema 2.52 pemetaan λ → (I − λ−1 T )−1 adalah kontinu seragam di A. Andaikan ε > 0. Ada δ > 0 sehingga k(I − λ1 T )−1 − (I − µ1 T )−1k < ε
(*)
untuk semua λ, µ ∈ A dengan |λ − µ| < δ. Pilih sebuah bilangan kompleks λ dengan |υ − λ| < δ dan υ < |λ| ≤ 2υ. untuk setiap bilangan bulat positif n lemma 2.69 dan ketidaksamaan (*) diatas memberikan
−1
− I−
I − υ1n T n
1 n −1 T
n λ
−1 −1 !
1 1 1
X
T T n−1 − I− = I−
n k=0 εk υ εk λ
−1 −1
1 1 1X
T T n−1 I − − I− ≤
n εk υ εk λ k=0
< ε
(∗∗)
karena εk υ ∈ A, εk λ ∈ A dan |εk υ − εk λ| < δ untuk k = 0, 1, 2, · · · , n − 1. Ketika |λ| > υ terdapat limn→∞ kλ−n T n k1/n < 1 menyebabkan limn→∞ kλ−n T n k1/n = 0 Berdasarkan teorema 2.66 bahwa limn→∞ (I − λ−n T n)−1 = I dan ada bilangan bulat N sehingga
53
I − I −
1 n −1 T
n λ
<ε
(***)
untuk n ≥ N . dari ketidaksamaan (**) dan (***) didapat, untuk n ≥ N ,
1 1 1 1 n −1 n −1 n −1 n −1 − I − υn T
I − I − υn T
≤ I − I − εn T
+ I − εn T
< 2ε Ketidaksamaan terakhir menunjukkan bahwa limn→∞ (I − υ −n T n )−1 = I. Penerapan lain dari teorema 2.66 memberikan limn→∞ (I − υ −n T n) = I dan mengakibatkan limn→∞ υ −n T n = 0. Di lain hal berdasarkan lemma 2.62 bahwa υ −n kT n k ≥ 1 untuk n = 1, 2, · · · sehingga kT n k1/n ≥ υ. Karena limn→∞ kT n k1/n = υ > 0, maka ditemukan sebuah kontradiksi. Dimana {λ ∈ C : |λ| ≥ υ} ∈ / {resolvent T}, ini membuktikan bahwa ada sebuah bilangan kompleks λ dimana λ ∈ sp(T ) dan |λ| ≥ limn→∞ kT nk1/n . 3.2 Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach Berikut akan diberikan kondisi dari spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach. Teorema 3.2 Andaikan T adalah sebuah operator linier terbatas pada sebuah ruang Banach kompleks tak-nol E. Maka sp(T ) adalah sebuah himpunan bagian compact tak kosong dari disc tertutup {λ ∈ C : |λ| ≤ limn→∞ kT n k1/n} dan ada sebuah titik λ0 di sp(T ) sehingga |λ0 | = limn→∞ kT n k1/n . Bukti. I: Terlebih dahulu diperlihatkan sp(T ) ∈ {λ ∈ C : |λ| ≤ limn→∞ kT nk1/n } dan ada titik λ0 di sp(T ) dengan |λ0 | = limn→∞ kT n k1/n . Andaikan λ ∈ C dengan |λ| > limn→∞ kT n k1/n }. Teorema 2.61 menunjukkan bahwa I − λ−1 T adalah regular dan karenanya, berdasarkan lemma 2.59(c) , λI − T adalah regular. Karena sp(T ) = C ∼ {Resolvent(T )} sehingga membuktikan bahwa sp(T ) ⊆ {λ ∈ C : |λ| ≤ limn→∞ kT nk1/n }. Menunjukkan sebuah titik λ0 di sp(T ) dengan |λ0 | = limn→∞ kT nk1/n sesuai
54 dengan teorema 3.1 diatas. Dimana untuk sp(T ) ⊆ {λ ∈ C : |λ| ≤ limn→∞ kT n k1/n} terdapat titik λ0 di sp(T ) yaitu titik λ < limn→∞ kT n k1/n dan titik λ0 = limn→∞ kT n k1/n . II: Diperlihatkan sp(T ) adalah himpunan compact. Oleh Teorema 2.63 himpunan B dari elelmen - elemen regular L(E) adalah terbuka. Mengakibatkan himpunan {λ ∈ C : λI − T adalah regular} adalah terbuka, karena himpunan tersebuat adalah invers B atas pemetaan kontinu λ → λI − T . Ketika sp(T ) = C ∼ {λ ∈ C : λI − T adalah regular}, sp(T ) adalah tertutup. Teorema Borel-lebesgue (2.50) menunjukkan sp(T ) adalah compact.
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan Penelitian ini telah memperlihatkan bagaimana nilai λ ∈ sp(T ) dan kondisi spectrum sp(T ) dari sebuah operator linier terbatas pada ruang linier bernorm kompleks dan ruang Banach kompleks. Dimana di dalam penelitian ini diperoleh:
(1) λ ∈ sp(T ), ketika T adalah sebuah operator linier terbatas di ruang linier bernorm komleks maka |λ| ≥ limn→∞ kT k1/n. Dimana terdapat 0 ∈ sp(T ) sehingga limn→∞ kT k1/n = 0 dan terdapat λ ≥ υ > 0 sehingga limn→∞ kT k1/n = υ. (2) λ ∈ sp(T ), ketika T adalah sebuah operator linier terbatas di ruang Banach komleks maka diperoleh |λ| ≤ limn→∞ kT k1/n untuk λ ∈ C. Dan bila ada sebuah titik λ0 ∈ sp(T ) diperoleh |λ0 | = limn→∞ kT n k1/n , dan sp(T ) adalah compact.
4.2 Saran Penelitian ini telah menunjukkan kondisi dari spectrum dari operator linier terbatas sp(T ) pada ruang linier Banach. Penelitian lebih lanjut diperlukan untuk mencari spectrum dari sebuah operator linier compact pada ruang linier bernorm ataupun pada ruang Banach.
