BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam membahas permasalahan-permasalahan statistika dan fisika sering dijumpai analisa-analisa masalah yang menyangkut fungsi-fungsi non linier, misalnya
mengenai
bentuk-bentuk
kuadrat.
Bentuk
kuadrat
yang
bisa
digambarkan pada ruang tiga dimensi adalah permukaan kuadrat.
Anton dan Rorres (2005) menyebutkan, sebuah persamaan dengan bentuk
ax2 by 2 cz 2 dxy exz fyz gx hy iz j 0
(1.1)
di mana a, b, c, d , e, f tidak semua bernilai nol dan a, b, c, d , e, f , g , h, i, j ℝ, disebut persamaan kuadrat di dalam variabel x, y dan z atau disebut juga permukaan kuadrat;
Persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk matriks
x
y
a z d 2 e 2
d 2 b f 2
e 2 x f 2 y g c z
h
x i y j 0 z
atau xTAx + Kx + j = 0 di mana x x y , z
a A d 2 e 2
d 2 b f 2
e 2 f 2 , c
K g
h i
Grafik persamaan kuadratik dalam x, y dan z disebut kuadrat (quadric) atau permukaan kuadrat (quadric surface). Persamaan paling sederhana untuk permukaan kuadrat terbentuk apabila permukaan itu diletakkan pada posisi
2
standar tertentu relatif terhadap sumbu-sumbu koordinat yang digunakan. Gambar 1.1 memperlihatkan enam bentuk standar permukaan kuadrat.
Elipsoid
Kerucut Eliptik
x2 y2 z2 1 A2 B 2 C 2 Hiperboloid Satu Lembar
x2 y2 z2 A2 B 2 C 2 Hiperboloid Dua Lembar
x2 y2 z2 1 A2 B 2 C 2 Paraboloid Eliptik
x2 y2 z2 1 A2 B 2 C 2 Paraboloid Hiperbolik
x2 y2 z A2 B 2
x2 y2 z A2 B 2
Gambar 1.1. Enam bentuk standar permukaan kuadrat
Pada penyederhanaan permukaan kuadrat, berkaitan dengan matriksmatriks diagonal guna menyederhanakan matriks menjadi matriks diagonal yang
3
lebih sederhana, apabila dikembalikan pada hasil perkalian matriks-matriksnya terdapat perubahan pada persamaannya. Yaitu, perubahan persamaan dari bentuk umum ke bentuk standar kemudian membuat persamaan yang lebih mudah untuk diselesaikan. Permasalahan ini disebut diagonalisasi matriks simetris pada permukaan kuadrat.
1.2 Perumusan Masalah
Bentuk umum permukaan kuadrat belum tentu dapat langsung diketahui nama grafiknya. Bentuk umum permukaan kuadrat dapat disajikan menjadi matriks dan diagonalisasi matriks dapat digunakan untuk menyederhanakan masalah permukaan kuadrat menjadi bentuk yang lebih sederhana yaitu bentuk standar. Masalah dalam penelitian ini adalah: (i). Bagaimanakah langkah-langkah untuk mengubah bentuk umum permukaan kuadrat menjadi bentuk standar. (ii). Apakah permukaan kuadrat dapat diklasifikasikan (iii). Apakah
bentuk
standar
yang
dihasilkan
analisis
sesuai
dengan
visualisasinya menggunakan Maple.
1.3 Batasan Masalah
Untuk membuat permasalahan lebih terarah dan mencegah meluasnya permasalahan, maka dilakukan pembatasan-pembatasan antara lain: (i). Penelitian ini terbatas hanya pada analisis perubahan bentuk kuadrat di dalam x, y dan z atau yang disebut permukaan kuadrat dari bentuk umum ke bentuk standar. (ii). Nilai eigen yang digunakan adalah bilangan riil. (iii). Basis pada operasi elementer adalah bilangan bulat. (iv). Perubahan bentuk oleh translasi dan rotasi. 1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
4
(i). Menganalisa atau menentukan langkah-langkah perubahan bentuk umum permukaan kuadrat menjadi bentuk standar
dengan menggunakan
diagonalisasi matriks. (ii). Mengklasifikasikan suatu permukaan kuadrat sesuai dengan cirinya. (iii). Mensketsa hasil gambar bentuk standar permukaan kuadrat secara manual. (iv). Memplot gambar grafik permukaan kuadrat dan melihat kesesuaian hasil transformasinya.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut: (i). Membantu penulis dalam menerapkan ilmu dan pengetahuan yang didapat selama masa perkuliahan ke dalam dunia nyata. (ii). Penggunaan diagonalisasi matriks diharapkan dapat membantu setiap permasalahan penyederhanaan bentuk kuadrat dengan 3 variabel yang sering muncul pada permasalahan statistika dan fisika juga pada bidang ilmu lainnya. (iii). Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika dan ilmu terapan lainnya, terlebih bagi mahasiswa yang akan melakukan penelitian serupa.
1.6 Tinjauan Pustaka
Anton dan Rorres (2005) menuliskan bentuk kuadrat dalam x1 , x2 ,..., xn pada notasi matriks dapat ditulis xTAx x1
x2 xn
dengan matriks A berordo n n .
Sebuah persamaan kuadrat dengan bentuk
x1 x A 2 xn
5
ax2 by 2 cxy dx ey f 0
(1.2)
di mana a, b dan c adalah adalah tidak semua nol dan a, b, c, d , e, f ℝ, disebut persamaan kuadrat di dalam x dan y atau disebut juga irisan kerucut.
Persamaan (2) dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu
x
a c 2 x y y d c 2 b
x e f 0 y
atau xTAx + Kx + f = 0 di mana
x f , y
a c 2 A , c 2 b
K d
e
Grafik- grafik persamaan kuadratik dalam x dan y dinamakan irisan kerucut (conic section). Bentuk irisan kerucut yang diperoleh adalah berupa elips, lingkaran, parabola atau hiperbola. Persamaan paling sederhana untuk irisan kerucut terbentuk apabila grafiknya itu diletakkan pada posisi standar tertentu yang relatif terhadap sumbu- sumbu koordinat yang digunakan. Gambar 1.2 memperlihatkan empat irisan kerucut dasar beserta persamaan- persamaannya ketika grafik- grafik tersebut berada pada posisi standarnya.
Lingkaran
Elips
Parabola
Gambar 1.2. Irisan kerucut
Hiperbola
6
Berikut adalah empat bentuk persamaan dari irisan kerucut, yaitu y (0, a)
(-a, 0)
(a, 0) x
x2 y2 1; a 0 a2 a2
Gambar 1.3. Lingkaran (0, -a) y
y (0, b) (0, b)
(-a, 0)
(a, 0) x
(-a, 0)
(a, 0) x
(0, -b) (0, -b)
x2 y2 1;0 a b b2 a 2
x2 y2 1;0 b a a 2 b2
Gambar 1.4. Elips b y x a
(0, -a)
y y
y
b x a
(0, a)
a y x b
y
(0, a)
x x (0, -a)
x2 y2 1; a, b 0 a 2 b2
y2 x2 1; a, b 0 a 2 b2
Gambar 1.5. Hiperbola
a x b
7 y
y
x
x
k>0
k>0
y kx 2
x ky 2
y
y
x
x
k<0
k<0
Gambar 1.6. Parabola
1.7 Metodologi Penelitian
Adapun metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan metode kepustakaan, yaitu dengan mengumpulkan dan membaca informasiinformasi serta literatur yang berkaitan.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: (i). Mencari, mempelajari dan menelaah sumber-sumber informasi yang berhubungan dengan topik yang diteliti. (ii). Mencari beberapa persoalan umum permukaan kuadrat yang berbeda dengan koefisien- koefisien yang memberi ciri suatu permukaan kuadrat tertentu. (iii). Menentukan matriks yang bersesuaian pada masing- masing persoalan. (iv). Mendiagonalkan matriks yang asosiatif dari matriks yang dihasilkan dengan menggunakan diagonalisasi matriks simetris. (v). Mensketsa grafik dari bentuk standar yang telah disederhanakan. (vi). Memplot grafik dari bentuk umum permukaan kuadrat pada software sederhana
Maple
guna
memastikan
hasil
analisis
sesuai
dengan
visualisasinya. (vii). Menyimpulkan hasil analisis perubahan sesuai dengan perubahannya.
8
1.8 Diagram Konsep
Berikut
adalah
diagram
konsep perubahan
bentuk
permukaan
kuadrat
menggunakan diagonalisasi matriks:
Persamaan
Visualisasi Grafik
Bentuk Umum Permukaan Kuadrat
Plot Persamaan Bentuk Umum Permukaan Kuadrat
Membuat Matriks yang Bersesuaian dalam bentuk
x T Ax Kx j 0
Mencari Nilai Eigen dan Mencari Matriks Pendiagonal
Bentuk Standar Permukaan Kuadrat
Grafik Permukaan Kudrat
