A Cochran–Fisher t´ etelr˝ ol A matematikai statisztika egyik fontos eredm´enye a Cochran–Fisher t´etel, amely a variancia anal´ızisben j´ atszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a t´etel l´enyeg´et tekintve ´ val´ oj´aban egy line´aris algebrai ´ all´ıt´ as. Erdemes megmutatni, hogy hogyan lehet ezt az eredm´enyt, illetve n´eh´ any ehhez kapcsol´od´ o a matematikai statisztik´aban szint´en hasznos ´ all´ıt´ ast a lin´ aris algebra m´ odszereivel bebizony´ıtani. E jegyzet ezt a bizony´ıt´ ast ´es a Cochran–Fisher t´etel n´eh´ any alkalmaz´as´at tartalmazza. El˝osz¨ or megfogalmazom mag´ at az eredm´enyt. Cochran–Fisher t´ etel. Legyen adva n f¨ uggetlen, standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ on P sz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ξ1 , . . . , ξn , ´es defini´ aljuk seg´ıts´eg¨ ukkel a Q = Q(ξ1 , . . . , ξn ) = ξj2 j=1
kifejez´est. Legyen adva ezenk´ıv¨ ul m´eg k darab Qj = Qj (ξ1 , . . . , ξn ), Qj =
n P n P
i=1 l=1 (j) ci,l
(j) cl,i
(j) ci,l ξi ξl ,
azonoss´ agot minden 1 ≤ i, l ≤ n, = 1 ≤ j ≤ k, alak´ u (quadratikus) kifejez´es a 1 ≤ j ≤ k, indexre teljes´ıt˝ o egy¨ utthat´ okkal, amelyekre ´erv´enyes a Q = Q1 + Q2 + · · · + Qk
(1)
azonoss´ ag. Jel¨ olje rang (Qj ) a Qj kifejez´es rangj´ at, amelyet u ´gy defini´ alunk, mint a Qj (j) kifejez´es definici´ oj´ aban szerepl˝ o egy¨ utthat´ ok seg´ıts´eg´evel defini´ alt (ci,l ), 1 ≤ i, l ≤ n, m´ atrix rangj´ at. Ekkor teljes¨ ul az n ≤ rang (Q1 ) + rang (Q2 ) + · · · + rang (Qk )
(2)
egyenl˝ otlens´eg. Ha a (2) formul´ aban egyenl˝ os´eg ´erv´enyes, akkor a Qj , 1 ≤ j ≤ k, 2 kifejez´esek f¨ uggetlen χ eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok rang (Qj ) szabads´ agfokkal. S˝ ot, ebben az esetben l´eteznek olyan f¨ uggetlen ζj,1 , . . . , ζj,rj , rj = rang (Qj ), 1 ≤ j ≤ k, rj P 2 ζj,s , 1 ≤ j ≤ k, standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, amelyekre Qj =
´es Q =
rj k P P
j=1 s=1
s=1
2 ζj,s .
Fel fogom id´ezni egy m´ atrix rangj´ anak a definici´ oj´at ´es legfontosabb tulajdons´agait. Ezel˝ ott megfogalmazom azt a line´aris algebrai ´ all´ıt´ ast, amelyb˝ol a Cochran-Fisher t´etel k¨ ovetkezik. T´ etel egy Euklideszi t´ erbeli identit´ as transzform´ aci´ o felbont´ as´ ar´ ol. Tekints¨ uk az I = In identit´ as transzform´ aci´ ot az n-dimenzi´ os Euklideszi t´erben. Legyen adva ennek egy I = Q1 + Q2 + · · · + Qk (3) alak´ u el˝ oa ´ll´ıt´ asa, ahol Q1 , . . . , Qk o ¨nadjung´ alt lek´epez´esek. Ekkor n ≤ rang (Q1 ) + rang (Q2 ) + · · · + rang (Qk ). 1
(4)
Ha a (4) formul´ aban egyenl˝ os´eg teljes¨ ul, akkor a Q1 , . . . , Qk lek´epez´esek egym´ asra mer˝ oleges projekci´ ok. Felid´ezem, hogy egy m´ atrix rangj´ at u ´gy defini´aljuk, mint a m´ atrixb´ ol kiv´alaszthat´o maxim´alis sz´am´ u line´arisan f¨ uggetlen sorok sz´am´at. Tekints¨ unk egy szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´enyt meghat´ aroz´o line´aris transzform´ aci´ot egy Euklideszi t´erben. Egy ilyen transzform´ aci´o tetsz˝oleges ortonorm´alt koordin´ atarendszerben fel´ırt m´ atrix´anak ugyanaz a rangja, mert a transzform´ aci´o k´et k¨ ul¨ onb¨oz˝ o koordin´ atarendszerben fel´ırt A ´es B m´ atrix reprezent´aci´oja k¨ oz¨ ott az A = U BU ∗ rel´ aci´o ´erv´enyes alkalmas U unit´er m´ atrix-szal. Innen k¨ ovetkezik, hogy besz´elhet¨ unk egy szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´eny vagy az ˝ ot egy´ertelm˝ uen meghat´ aroz´o kvadratikus alak rangj´ ar´ ol is. Egy (nem felt´etlen¨ ul szimmetrikus) transzform´ aci´o rangja megegyezik a transzform´ aci´o k´epter´enek dimenzi´ oj´aval, ´es egy kvadratikus alak rangja jellemezhet˝ o u ´gy is, mint a lek´epez´es f˝ otengely transzform´ aci´os alakj´ aban szerepl˝o nem z´er´ o saj´ at´ert´ekek sz´ama. Annak ´erdek´eben, hogy az identit´ as transzform´ aci´onak egy Euklideszi t´erben t¨ort´en˝ o felbont´as´ar´ ol sz´ol´ o t´etelt jobban meg´erts¨ uk, ´erdemes felid´ezni egy Euklideszi t´er projekci´ oj´anak fogalm´at ´es legfontosabb tulajdons´agait. Geometriai m´ odon egy E Euklideszi t´er (ortogon´alis) projekci´ oj´at egy B ⊂ E alt´erre u ´gy defini´aljuk, mint az Euklideszi t´er x ∈ E pontjainak azt az x → P x transzform´ aci´oj´at, amely az x pontnak e pont orthogon´alis vet¨ ulet´et felelteti meg a B alt´erre, azaz P x ∈ B, ´es x − P x mer˝oleges minden y ∈ B vektorra, azaz (x − P x, y) = 0, ha y ∈ B. K´et P ´es Q projekci´ o mer˝oleges egym´ asra, ha a P x ´es Qy vektorok mer˝olegesek egym´ asra minden x, y ∈ E ´ vektorra, azaz (P x, Qy) = 0 minden x ∈ E ´es y ∈ E vektorra. Erdemes a projekci´ ok ´es projekci´ ok mer˝olegess´eg´enek fogalm´at algebrai nyelven is megfogalmazni. A k¨ ovetkez˝ o lemma projekci´ ok ilyen jellemz´es´et tartalmazza. Lemma egy Euklideszi t´ er projekci´ oinak a tulajdons´ agair´ ol. Egy E Euklideszi t´er P projekci´ oja o ¨nadjung´ alt oper´ ator, ´es a projekci´ o definici´ oj´ aban szerepl˝ o B alt´er, ahov´ a a projekci´ o vet´ıt, megegyezik a P transzform´ aci´ o B = {P x: x ∈ E} k´epter´evel. Egy x ∈ B vektorra P x = x, ´es egy a B alt´erre mer˝ oleges x vektorra P x = 0. Egy Euklideszi t´er P o ¨nadjung´ alt oper´ atora akkor ´es csak akkor projekci´ o, ha teljes´ıti a P = P 2 azonoss´ agot. K´et P ´es Q projekci´ o akkor ´es csak akkor mer˝ oleges egym´ asra, ha P Q = 0. Ekkor a QP = 0 azonoss´ ag is teljes¨ ul. Speci´ alisan, ha P projekci´ o, akkor I − P egy r´ a mer˝ oleges projekci´ o. Ezenk´ıv¨ ul ´erv´enyes a 0 ≤ P ≤ I azonoss´ ag, azaz 0 ≤ (P x, x) ≤ (x, x) minden x ∈ E vektorra. A lemma bizony´ıt´ asa: Legyen P projekci´ o az E Euklideszi t´er egy B alter´ere. L´ assuk be el˝ osz¨ or, hogy a B alt´er megegyezik a P oper´ ator k´epter´evel. Val´ oban, egyr´eszt definici´ o szerint P x ∈ B minden x ∈ E vektorra. M´asr´eszt nincs olyan y ∈ B vektor, amelyet nem tartalmaz a P oper´ ator k´eptere. Ugyanis egy ilyen y vektor l´etez´ese eset´en y − P y olyan nem z´er´ o vektor lenne, amelyre y − P y ∈ B, ez´ert mer˝oleges o¨nmag´ ara, ´es ez ellentmond´as. Ha x ∈ B, akkor z = P x = x. Val´ oban, ekkor a z = x vektorra teljes¨ ul mind a z ∈ B, mind a (x − z, y) = 0 minden y ∈ B vektorra. Hasonl´ oan P x = 0, ha x mer˝oleges a B alt´erre, mert ekkor (x − 0, y) = 0 minden y ∈ B vektorra, ´es 0 ∈ B. Mutassuk meg azt is, hogy egy P projekci´ o olyan ¨ onadjung´ alt oper´ ator, amelyre 2
P 2 = P . Val´ oban, a P = P ∗ rel´ aci´o bizony´ıt´ as´ahoz el´eg megmutatni, hogy (P x, y) = (x, P y), ha y ∈ B vagy ha y mer˝oleges a B alt´erre. Ha y ∈ B, akkor y = P y, ez´ert (P x, y) − (x, P y) = (P x, y) − (x, y) = (P x − x, y) = 0, ´es ha y mer˝oleges a B alt´erre, akkor P y = 0, ez´ert (x, P y) = 0 ´es (P x, y) = 0, mert P x ∈ B. A P x = P 2 x bizony´ıt´ as´at is el´eg ellen˝ orizni akkor, ha x ∈ B vagy ha x mer˝oleges a B alt´erre. Az els˝ o esetben viszont x = P x = P 2 x, a m´ asodik esetben pedig 0 = P x = P 2 x. L´ assuk be, hogy ha P = P ∗ , ´es P = P 2 , akkor P projekci´ o a P transzform´ aci´o B = {P x: x ∈ E} k´epter´ere. Val´ oban, P x ∈ B minden x ∈ E vektorra, ´es mivel y = P z = P 2 z = P y valamely z ∈ E vektorral, ha y ∈ B, ez´ert (x − P x, y) = (x, y) − (P x, y) = (x, P y) − (x, P ∗ y) = 0 minden x ∈ E ´es y ∈ B vektorra.
K´et P ´es Q projekci´ o akkor ´es csak akkor mer˝oleges, ha (P x, Qy) = 0 minden x ∈ E ´es y ∈ E vektorra. Viszont (P x, Qy) = (P ∗ x, Qy) = (x, P Qy), ez´ert (P x, Qy) = 0 minden x ∈ E ´es y ∈ E vektorra akkor ´es csak akkor, ha P Q = 0. Ha P Q = 0, akkor 0 = (P Q)∗ = Q∗ P ∗ = QP . Ha P o¨nadjung´ alt oper´ ator, akkor (I − P )∗ = I ∗ − P ∗ = I − P , (I − P )2 = I − 2P + P 2 = I − P , ´es P (I − P ) = 0, azaz I − P a P projekci´ ora mer˝oleges projekci´ o. V´eg¨ ul, ha P projekci´ o, akkor (x, P x) = (x, P 2 x) = (P x, P x) ≥ 0, ´es alkalmazva ezt az ¨ osszef¨ ugg´est az I −P projekci´ ora azt kapjuk, hogy (x, (I −P )x) ≥ 0, azaz (x, P x) ≤ (x, x).
F¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok v´eges sorozata t¨obbv´ altoz´ os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor, ´es egy norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor line´aris transzform´altja szint´en norm´ alis eloszl´ as´ u. Ezenk´ıv¨ ul tudjuk, hogy egy t¨obbv´ altoz´ os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor koordin´ at´ ai akkor ´es csak akkor f¨ uggetlenek, ha korrel´atlanok. Megmutatom e t´enyek felhaszn´al´ as´aval, hogy az egy Euklideszi t´erbeli identit´ as transzform´ aci´o felbont´as´ar´ ol sz´ol´ o t´etelb˝ ol k¨ ovetkezik a Cochran–Fisher t´etel. A k´et t´etel felt´eteleinek ¨ osszehasonl´ıt´ asa alapj´ an azonnal l´athat´ o, hogy a line´aris algebrai t´etelb˝ ol k¨ ovetkezik a (2) egyenl˝otlens´eg. Be kell l´atni, hogy amennyiben a (2) egyenl˝otlens´egben azonoss´ag ´ all, akkor a Qj f¨ uggv´enyeknek a Cochran–Fisher t´etelben fel´ırt alakjuk van. Ennek ´erdek´eben vezess¨ uk be az al´ abb defini´alt kvadratikus alakokat egy n-dimenzi´os Euklideszi t´erben. Tekints¨ uk az n-dimenzi´os En Euklideszi t´ernek egy e1 , . . . , en b´azis´at, ´es ´ırjunk fel n P ¯ j (x) = Q ¯ j (x1 , . . . , xn ) = minden x ∈ En vektort x = xi ei alakban. Defini´ aljuk a Q n P n P
i=1 l=1
i=1
(j) ci,l xi xl ,
(j)
1 ≤ j ≤ k, kvadratikus alakokat az En t´eren, ahol a ci,l sz´amok meg-
egyeznek a Cochran–Fisher t´etelben bevezetett Qj kifejez´eseket defini´al´ o k´epletben szek P ¯ j = I, repl˝o megfelel˝ o egy¨ utthat´okkal. Ekkor az (1) k´epletb˝ol k¨ ovetkezik, hogy Q j=1
¯ j egy rang (Qj ) rang´ ez´ert, ha a (2) rel´ aci´oban egyenl˝os´eg van, akkor Q u projekci´ o. Vezess¨ uk be ebben az esetben az S0 = 0, Sj =
j P
l=1
rang (Ql ), 1 ≤ j ≤ k, sz´amokat,
´es v´ alasszunk olyan ortonorm´alt e¯1 , . . . , e¯n b´azist az En t´erben, amelyben az Sj−1 < ¯ j projekci´ i ≤ Sj index˝ u e¯i vektorok a Q o k´epter´eben vannak. ´Irjunk fel minden x ∈ En 3
vektort x =
n P
¯ j (x) = ti e¯i alakban. Ekkor Q
i=1
Sj P
i=Sj−1 +1
t2i minden 1 ≤ j ≤ k indexre.
Tov´ abb´a, mivel mind az e1 , . . . , en mind e¯1 , . . . , e¯n vektorok az En t´er ortonorm´alt n P b´azis´at alkotj´ ak, ez´ert e¯i = ui,l el , 1 ≤ i ≤ n alkalmas ui,l egy¨ utthat´okkal, amelyekre l=1 n n P P az (ui,l ), 1 ≤ i, l ≤ n, m´ atrix unit´er. Innen ti = (x, e¯i ) = xl el , ui,l el = n P
l=1
l=1
ui,l xl , ´es
l=1
¯ j (x1 , . . . , xn ) = Q
Sj X
i=Sj−1 +1
Defini´ aljuk az ζj,s =
n P
l=1
n X
ui,l xl
l=1
!2
minden 1 ≤ j ≤ k indexre.
(5)
ui,l ξl , 1 ≤ j ≤ k, 1 ≤ s ≤ rang (Qj ), i = Sj−1 +
s, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat a Cochran–Fisher t´etelben szerepl˝o ξj standard norm´ alis val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok seg´ıts´eg´evel. Ekkor a standard norm´ alis eloszl´ as´ u ζj,s , 1 ≤ j ≤ k, 1 ≤ s ≤ rang (Qj ), val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, mert egy norm´ alis eloszl´ as´ u ¯ j (x1 , . . . , xn ) kvadratikus alak v´eletlen vektor korrel´alatlan koordin´ at´ ai. Tov´ abb´a a Q ´es a Qj (ξ1 , . . . , ξn ) f¨ uggv´eny ¨ osszehasonl´ıt´ as´ab´ ol valamint az (5) formul´ ab´ ol k¨ ovetkezik, rj P 2 ζj,s minden 1 ≤ j ≤ k indexre, ahol rj = rang (Qj ). Ez´ert az (1) hogy Qj = s=1
formul´ ab´ ol k¨ ovetkezik a Q =
rj k P P
j=1 s=1
2 ζj,s , azonoss´ag is. Teh´ at a Cochran–Fisher t´etel
k¨ ovetkezik az ut´ ana megfogalmazott line´aris algebrai eredm´enyb˝ol. Egy Euklideszi t´erbeli identit´ as transzform´ aci´ o felbont´ as´ ar´ ol sz´ ol´ o t´etel bizony´ıt´ asa. Tekints¨ uk minden 1 ≤ j ≤ k indexre a Qj lek´epez´es k´epter´enek egy rj = rang (Qj ) elemb˝ol k P all´ ´ o ej,1 , . . . , ej,rj b´azis´at. Ha a rj < n rel´ aci´o teljes¨ ulne, akkor l´etezne olyan e ∈ En j=1
nem z´er´ o vektor, amelyre (e, ej,s ) = 0 minden 1 ≤ j ≤ k, 1 ≤ s ≤ rj indexre. Egy ilyen e vektorra a (e, Qj e) = 0 azonoss´ag teljes¨ ul minden 1 ≤ j ≤ k indexre. Ez viszont k P ellentmond a (3) azonoss´agnak, mivel innen azt kapjuk, hogy 0 < (e, Ie) = (e, Qj e) = j=1
0, ami ellentmond´as. k P Ha a rj = n azonoss´ag ´erv´enyes, akkor tekints¨ uk a Qj lek´epez´esek egy ej,1 , j=1
. . . , ej,rj b´azis´at minden 1 ≤ j ≤ k − 1 indexre. Vezess¨ uk be e vektorok a´ltal gener´ alt B alteret, ´es annak C ortogon´ alis kieg´esz´ıt˝ o alter´et az En Euklideszi t´erben. Ekkor k−1 P (Qk x, y) = (Ix, y) − (Qj x, y) = (x, y) minden x ∈ C ´es y ∈ En vektorra, ahonnan j=1
Qk x = x minden x ∈ C vektorra. Mivel mind a Qk m´ atrix rangja, mind a C alt´er 4
dimenzi´ oja n −
k−1 P j=1
rj , innen k¨ ovetkezik, hogy a Qk x = 0, ha x ∈ B, ´es ´ıgy a Qk transz-
form´aci´o az En Euklideszi t´er C alter´ere vett projekci´ o. Hasonl´ oan bizony´ıthat´ o, hogy az ¨ osszes Qj , 1 ≤ j ≤ k, oper´ ator projekci´ o. Tov´ abb´a, mivel Qj x ∈ B minden x ∈ En vektorra, ha 1 ≤ j ≤ k − 1, ´es Qk y ∈ C minden y ∈ En vektorra, ez´ert (Qj x, Qk y) = 0. Ez azt jelenti, hogy a Qk projekci´ o mer˝oleges minden Qj , j 6= k projekci´ ora. Hasonl´ oan l´athat´ o a t¨obbi projekci´ o ortogonalit´ asa is. A t´etelt bebizony´ıtottuk. A k¨ ovetkez˝ o t´etelben megfogalmazok ´es bebizony´ıtok n´eh´ any tov´ abbi a variancia anal´ızisben hasznos ´ all´ıt´ ast. T´ etel norm´ alis eloszl´ as´ u v´ eletlen vektorok kvadratikus alakjainak n´ eh´ any hasznos tulajdons´ ag´ ar´ ol. Legyen adva egy n-dimenzi´ os X = (X1 , . . . , Xn ) standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. a.) Tekints¨ unk egy A szimmetrikus n×n-es m´ atrixot. Az XAX ∗ kifejez´es akkor ´es csak akkor χ-n´egyzet eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ha teljes¨ ul az A2 = A azonoss´ ag. Ha ez teljes¨ ul, akkor XAX eloszl´ asa rang (A) szabads´ agfok´ u χ-n´egyzet eloszl´ as. b.) Ha A ´es B k´et szimmetrikus m´ atrix, amelyre A2 = A, B 2 = B, ´es AB = 0, akkor az XAX ∗ ´es XBX ∗ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es χ-n´egyzet eloszl´ as´ uak rang (A) ´es rang (B) szabads´ agfokkal. c.) Ha Q, Q1 , Q2 szimmetrikus n × n m´eret˝ u m´ atrixok, XQX ∗ ´es XQ1 X ∗ χ-n´egyzet eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, Q = Q1 + Q2 , ´es Q2 pozit´ıv szemidefinit m´ atrix, ∗ ∗ akkor XQ1 X ´es XQ2 X f¨ uggetlen χ-n´egyzet eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. A t´etel bizony´ıt´ asa. Ha az A szimmetrikus m´ atrix teljes´ıti az A2 = A felt´etelt, ∗ akkor projekci´ o, ´es az XAX kifejez´est a f˝ otengelytranszform´ aci´o seg´ıts´eg´evel fel´ırhatjuk rang (A) P Yj2 alakban, ahol Yj , 1 ≤ j ≤ rang (A) f¨ uggetlen, standard norm´ alis eloszl´ as´ u j=1
´ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. Altal´ anos szimmetrikus A m´ atrix eset´eben az XAX ∗ kifejez´est n P λj Yj2 alakban ´ırhatjuk a f˝ otengelytranszform´ aci´o seg´ıts´eg´evel, ahol Yj , 1 ≤ j ≤ n,
j=1
f¨ uggetlen, standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, ´es λ1 , . . . , λn az A m´ atrix saj´ at´ert´ekei. Ez a kifejez´es akkor ´es csak akkor χ-n´egyzet eloszl´ as´ u, ha az o¨sszes λj saj´ at´ert´ek 0 vagy 1 ´ert´eket vesz fel. (Ez p´eld´aul az eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek fel´ır´as´ab´ ol l´atszik.) Ez a tulajdons´ag viszont akkor ´es csak akkor teljes¨ ul, ha A projekci´ o, 2 azaz A = A. A t´etel b) pontj´anak bizony´ıt´ as´ahoz el´eg azt ´eszrevenni, hogy az adott felt´etelek mellett A ´es B k´et ortogon´ alis projekci´ o. Innen a Cochran–Fisher t´etel bizony´ıt´ as´anak alkalmaz´as´aval be lehet bizony´ıtani a b) pont ´ all´ıt´ as´at, de lehet a Cochran–Fisher t´etelt k¨ ozvetlen¨ ul is alkalmazni az n-dimenzi´os En t´er I identit´ as transzform´ aci´oj´anak alkalmas I = C +B+A alak´ u reprezent´aci´oj´anak felhaszn´al´ as´aval. Ebben a reprezent´aci´oban C az A+B projekci´ o k´epter´enek az En t´er n−rang (A)−rang (B) dimenzi´ os ortogon´ alis kieg´esz´ıt´es´ere vett projekci´ o. 5
A t´etel c) pontj´anak bizony´ıt´ asa ´erdek´eben mutassuk meg el˝ osz¨ or azt, hogy az adott felt´etelek mellett a Q projekci´ o B k´eptere tartalmazza a Q1 projekci´ o A k´epter´et. Val´ oban, ha l´etezne egy x ∈ A\B vektor, akkor erre az x vektorra teljes¨ ulne a (Q2 x, x) = (Qx, x) − (Q1 x, x) = (y, x) − (x, x) = (y, y) − (x, x) < 0 egyenl˝otlens´eg, ahol y az x vektornak (az x vektorn´ al r¨ovidebb) Qx vet¨ ulete a B alt´erre. Ez az egyenl˝otlens´eg viszont ellentmond annak a felt´etelnek, hogy Q2 pozit´ıv szemidefinit m´ atrix. Innen k¨ ovetkezik, hogy a Q2 transzform´ aci´o megegyezik a Q1 projekci´ o A k´epter´enek a Q transzform´ aci´o B k´epter´ere vett C ortogon´ alis kieg´esz´ıt´es´ere val´ o projekci´ oval. Ezut´ an a c) pont bizony´ıt´ asa a b) pont bizony´ıt´ as´ahoz hasonl´oan fejezhet˝ o be. A Cochran–Fisher t´etel egy alkalmaz´asak´ent megmutatom, hogy hogyan k¨ ovetkezik ebb˝ol az eredm´enyb˝ol ´es a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelb˝ ol a matematikai statisztika egyik fontos hat´areloszl´ast´etele, amely a χ-n´egyzet m´ odszer alapj´ aul szolg´ al. A k¨ ovetkez˝ o eredm´eny bizony´ıt´ as´at fogom ismertetni. Egy χ-n´ egyzet hat´ areloszl´ ast´ etel. Legyen adva r darab urna, ´es dobjunk ezekbe egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul n darab goly´ ot egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul u ´gy, hogy mindegyik goly´ o pj r P val´ osz´ın˝ us´eggel esik a j-ik urn´ aba, ahol pj ≥ 0, j = 1, . . . , r, pj = 1 el˝ o´ırt sz´ amok. j=1
Jel¨ olje νn (j), 1 ≤ j ≤ r, a j-ik urn´ aba es˝ o goly´ ok sz´ am´ at. Ekkor a
r P
j=1
(νn (j)−npj )2 npj
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´ alnak az r − 1 szabads´ agfok´ u χ-n´egyzet eloszl´ ashoz, ha n → ∞. E t´etelt a Cochran–Fisher t´etelb˝ ol ´es a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel al´ abbi k¨ ovetkezm´eny´eb˝ ol fogjuk levezetni. A t¨ obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel egy k¨ ovetkezm´ enye. Tekints¨ uk az el˝ obb megfogalmazott χ-n´egyzet hat´ areloszl´ ast´etelben le´ırt modellt ´es az abban defini´ alt νn (j), 1 ≤ j ≤ r, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat. Az √1n (νn (1) − np1 , . . . , νn (r) − npr ) v´eletlen vektorok eloszl´ asban konverg´ alnak egy olyan norm´ alis eloszl´ as´ u (Z1 , . . . , Zr ) v´eletlen 2 vektorhoz, amelyre EZj = 0, EZj = pj (1 − pj ), 1 ≤ j ≤ r, ´es EZi Zj = −pi pj , 1 ≤ i < j ≤ r, ha n → ∞. Az el˝ obb megfogalmazott χ-n´egyzet hat´areloszl´ast´etel k¨ ovetkezik a fenti hat´areloszl´ast´etelb˝ ol ´es abb´ol az ´ all´ıt´ asb´ ol, hogy egy olyan norm´ alis eloszl´ as´ u (Z1 , . . . , Zr ) v´eletlen 2 vektorra, amelyre EZj = 0, EZj = pj (1 − pj ), 1 ≤ j ≤ r, ´es EZi Zj = −pi pj , ha r Z2 P j 1 ≤ i < j ≤ r, a osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o χ-n´egyzet eloszl´ as´ u r − 1 szabads´agfokkal. pj val´ j=1
Ez ut´ obbi ´ all´ıt´ as a Cochran–Fisher t´etelb˝ ol ´es egy a (Z1 , . . . , Zr ) v´eletlen vektorral megegyez˝ o eloszl´ as´ u v´eletlen vektor al´ abb ismertetett konstrukci´ oj´ab´ ol k¨ ovetkezik.
Alkalmas kovarianci´ aj´ u v´ eletlen norm´ alis vektorok konstrukci´ oja. Legyenek adva Y1 , . . . , Yn f¨ uggetlen, standard norm´ alis val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´es olyan nem negat´ıv r P √ √ pj , 1 ≤ j ≤ r, val´ os sz´ amok, amelyekre pj = 1. Defini´ aljuk az U = p1 Y1 + p2 Y2 + j=1
6
√ √ · · · + pr Yr ´es Zj = pj Yj − pj U , 1 ≤ j ≤ r, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat. Ekkor EZj = 0, EZj2 = pj (1 − pj ), ´es EZi Zj = −pi pj , ha 1 ≤ i < j ≤ r. Ezenk´ıv¨ ul teljes¨ ul a r X Zj2 j=1
´es
r P
pj
2
+U =
r X
Yj2
(6)
j=1
Zj = 0 azonoss´ ag.
j=1
r P
j=1
A fenti eredm´enyb˝ol ´es a Cochran–Fisher t´etelb˝ ol k¨ ovetkezik az, hogy az el˝ obb fel´ırt
Zj2 pj
o¨sszeg χ-n´egyzet eloszl´ as´ u r − 1 szabads´agfokkal. Val´ oban, a (6) o¨sszegben sze-
repl˝o Zj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak az el˝ o´ırt eloszl´ asuk van, tov´ abb´a a
r P
j=1
Zj2 pj
kifejez´es a
f¨ uggetlen standard norm´ alis eloszl´ as´ u Y1 , . . . , Yr val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok kvadratikus kifer P jez´ese, amelynek rangja a Zj = 0 azonoss´ag miatt legfeljebb r − 1. Ezenk´ıv¨ ul U 2 egy j=1
olyan kvadratikus kifejez´ese az Y1 , . . . , Yr val´ osz´ın˝ us´egi v´ alt´ oknak, amelynek rangja 1. r Z2 P j es Ez´ert a (6) azonoss´agb´ol ´es a Cochran–Fisher t´etelb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy a pj kifejez´ j=1
r − 1 szabads´agfok´ u χ-n´egyzet eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. (Ezenk´ıv¨ ul azt is tudjuk, hogy ez f¨ uggetlen az U 2 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol. S˝ot a Zj , 1 ≤ j ≤ r, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek az U val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol. De erre a t´enyre nincs sz¨ uks´eg¨ unk). Felmer¨ ulhet a k´erd´es, hogy hogyan tal´ alhatjuk meg a (Z1 , . . . , Zr ) v´eletlen vektor fenti, sz´amunkra hasznos reprezent´aci´oj´at term´eszetes m´ odon. Ezt magyar´ azom el a k¨ ovetkez˝ o megjegyz´esben. Megjegyz´es. Tekints¨ unk egy B(t), 0 ≤ t ≤ 1, Brown bridge-t, ´es vezess¨ uk be az t0 = 0, j P tj = pl , 1 ≤ j ≤ r, sz´amokat. E mennyis´egek seg´ıts´eg´evel a keresett eloszl´ as´ u l=1
(Z1 , . . . , Zr ) vektort Zj = B(tj ) − B(tj−1 ), 1 ≤ j ≤ r, alakban a´ll´ıthatjuk el˝ o. Legyen adva a B(t) Brown bridge-nek egy B(t) = W (t)−tW (1), 0 ≤ t ≤ 1, alak´ u el˝ o´all´ıt´ asa egy −1/2 (W (tj ) − W (t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat seg´ıts´eg´evel. Ekkor bevezetve az Yj = pj W (tj−1 )), 1 ≤ j ≤ r, f¨ uggetlen, standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, r P √ √ fel´ırhatjuk az U = W (1) = pj Yj ´es Zj = pj Yj − pj U , 1 ≤ j ≤ r azonoss´agokat. j=1
Ezt az elj´ar´ ast k¨ ovett¨ uk a fenti konstrukci´ oban.
Az alkalmas kovarianci´ aj´ u v´eletlen norm´ alis vektorok konstrukci´ oj´ aban megfogalmazott eredm´enyek bizony´ıt´ asa. Az EZj = 0, 1 ≤ j ≤ r, rel´ aci´o nyilv´anval´ o. X 1/2 3/2 EZj2 = (pj − pj )2 EYj2 + p2j pl EYl2 l: 1≤l≤r, l6=j
2
= pj (1 − pj ) +
X
l: 1≤l≤r, l6=j
p2j pl = pj (1 − pj )2 + (1 − pj )p2j = pj (1 − pj ), 7
EZi Zj = pi pj
X
l: 1≤l≤r, l6=i,j
pl − pi pj (1 − pi )EYi2 − pi pj (1 − pj )EYj2
= pi pj (1 − pi − pj ) − pi pj (2 − pi − pj ) = −pi pj , ha i 6= j, ´es r X Zj2 j=1
pj
r r r r X X X X √ √ 2 2 2 2 pj Yj + U 2 +U = (Yj − pj U ) + U = Yj + pj U − 2U 2
=
j=1 r X j=1
V´eg¨ ul
j=1 r X
Yj2 + U 2 − 2U 2 + U 2 =
r X j=1
Zj =
r X √ j=1
pj Yj −
j=1
8
Yj2 .
j=1
r X
A k´ıv´ant eredm´enyeket bebizony´ıtottuk.
j=1
pj U = U − U = 0.
j=1
