\ ...: '\ j 'j ..:JI ' J:; .lJ J JJJ I l I ' .J
'\ ...: "" '\ ..:J..I J:.J .J .lJ I I
'
""
.,
...
'
.J
.J
jJ J ,.., :..; � ,.., 1..I ' 1.J 'J 1.J 'J r' r..!J r' rjJ r' rj I
I
IJJ 'J
J
r..1 r..1 ! \ j !J!J..1.l
Winarni Hadi pratomo
400
kg/cm2
T:Jl:-r-i--�� 1200
.___ ____ __ _
'\
DASAR·DASAR
METODE ELEM EN BINGGA
Winarni Hadi pralomo Lektor Kepala pada Program Studi Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Katolik Parahyangan Bandung
P-/
l;t-aoS 9 � t3 tb
.
3
cfJ
{ flS
Katalog da/am. terbitan (KDT) Buku dasar-dasar metocle elemeu hiugga Winarni Haclipratomo. vi, 17 l hlm.; 25
x
l 7,5 cm. (ticlak tcrmasuk bibliografi)
lSBN 979-99658-3-7
-----·-· ·
C
Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk clan dengan cara apapun, termasuk fotokopi, tanpa izin tertulis dari penerbit. ·
----·
-
·
-
-
.
I
De
1
------·-·-·-···----······--·-·---------.
un
sci da
Re
di1 'T' a
DASAR-DASAR METODE ELl�MEN HINGGA Winarni Haclipratomo
M St 111(
H' 111<
K' sa SC
Hak Cipta clilinclungi olch Undang-unclang
be
Pcrancang Sampul & Isi : CONCEPT Viscom Cetakan kc- l : 2005 �
Dicctak clan cliterbikan oleh: PT Danamartha Scjahtcra Utama (anggota fKAPr) JI. Cihampclas 169, Bandung 40131
[),
L
l)cngan inakin banyaknya pcngguna sarana ko1nputcr, dirasakan adanya kcbutuhan untuk dapat 111cn1pcrccpat dan 1ncnycdcrhanakan proses analisis struktur. Mcn1ang scbclun1 bcralih kc analisis struktur dengan 111cnggunakan kon1putcr, pcngctahuan dasar yang tcnnasuk dalan1 Mckanika l�cknik atau yang bclakangan disebut Mckanika
H ckayasai tidak dapat ditinggalkan. Prinsip-prinsip dasar dalan1 Mckanika ·rcknik tctap ..
dipcrlukan scbagai dasar analisis. Tahap bcrikutnya adalah Analisis St ruktur dcngan Mctodc Kckakuan Langsung. Mctodc ini n1cnggunakan proses opcrasi 111atriks, sehingga sering discbut Analisis Struktur dcngan Mctodc Matriks (ASDM). Dalam buku ini dijclaskan sccara singkat n1etodc kckakuan langsung yang n1cnjadi dasar dari Mctodc F�len1cn J--Jingga. I--1arapan pcnulis,
dengan adanya pcnjclasan singkat tcntang ASI)M akan dapat
n1cnjcn1batani para pcn1baca yang baru 111ulai 111cngcnal Mctodc lilcn1cn ll ingga. Karena buku ini ditujukan untuk pen1ula, n1aka pcn1bahasan dibatasi n1cngcnai elcn1cn satu din1cnsi, clcn1cn scgitiga) clcn1cn scgicn1pat 4 titik nodal dcngan bcban scbidang� scrta contoh-contoh soal yang bcrkaitan, baik yang sudah disclcsaikan n1aupun yang bclum disclcsaikan.
Winarni Hadipratomo
J)it:s·br-da.�ar Arfetf)de..E'lf!.lnen llingga
DAFTAR ISi Prakata Daftar Isi
111
Dat f ar Notasi
VI
BAB l I. J
SejarahPerkembangan
J
1.2
MasalahDalam Metode Elemen Hingga
2
ANALISISDENGAN MATRIKS
3
Derajat KebebasanDan Syarat Batas
3
BAB2 2.1 2.2
Metode Kekakuan Langsung
5
LANGKAH-LANGKAH MEH
11
3.1
Langkah1. Deskretisasi danPemilihan Konfigurasi Elemen
11
3.2
Langkah2. Memilih Model atauPersamaanPolinomial
16
3.3
Langkah3. Menentukan HubunganTegangan danRegangan
17
3.4
Langkah4. MenunmkanPersamaan Elemen
21
3.5
Langkah5. PerakitanPersamaan Elemen kePersamaanGlobal
21
3.6
Langkah6. PenyelesaianPersamaan: Primary Unknown
21
3.7
Langkah7. Penyelesaian Besaran Kedua
22
3.8
Langkah8. Interpretasi Hasil
22
JEN IS-JENIS ELEMEN
23
4.1
Elemen SatuDimensi
23
4.2
ElemenDuaDimensi
24
4.3
Elemen Selaput(Shell)
25
4.4
ElemenTigaDimensi
25
4.5
Elemen Simetris-Aksial
25
4.6
RingkasanJenis Elemen
25
BAB3
BAB4
�ga
PENDAHULUAN
Dasar-dasar Metode Eleme11 Hingga
iii
BAB 5 5. l
Jcnis Sistcm Koordinat
29
5.2
Elemcn Satu Dimcnsi
30
5.3
Elemen Scgitiga
32
BAB 6
Pen1bcntukan Fungsi Peralihan
35
6.2
Pcnurunan Rcgangan dari Energi R.cgangan
37
6.3
Energi Potcnsial dari Beban Kctja
37
6.4
Prinsip Encrgi Potcnsial Minimum
40
6.5
Pcnyclcsaian Soal Elcmcn Satu Dimcnsi
41
6.6
Soal Latihan
49
7. l
7.2
iv
BP
51
Koordinat Global 7.1.1
Dcrajat Kcbcbasan dan Fungsi Pcralihan
sl
7. l.2
R.cgangan clan Encrgi R.cgangan
54
7.l.3
Encrgi Potcnsial Beban
55
7.1.4
Encrgi Potcnsial Total
64
7. l . 5
Fungsi 'fegangan --- IZegangan
65 DI
66
Koordinat Lokal Elcmcn 7 2.l
Fungsi Pcralihan
66
7.2.2
[{cgangan clan Energi R.egangan
68
7.2.3
Encrgi Potensial Bcban
69
7.2.4
Transformasi Koordinat Lokal M cnjacli Koordinat Global
70
7.2.5
Pcnggabungan I�lcn1cn
71
7.2.6
f)etail Proscdur Pcnggabungan E�lcn1en
71
7.3
Pcnyclcsaian Soal Elcmen Scgitiga
73
7.4
Soal Latihan
98
FORMULA INTERPOLASI LAGRANGE
103
8.1
Formula !ntcrpolasi untuk Satu Variabcl Bcbas
103
8.2
!ntcrpolasi untuk Dua Variabel Bcbas
107
BAB 8
BP
5l
ELEM EN SEGITIGA
.
BP
35
ELEMEN SATU DIMENSI
6. l
BAB 7
BP
29
SISTEM KOORDINAT REFERENSI
Dai
Da.sdr_-das'ar1Vletode-l�'len1en fliil;gga
-L_
19 29 30 32 35 35 37 37 40 41 49 51 51
BAB 9
INTEGRASI DEN()AN GAUSS QUADRATURE
1 05
BAB JO
DETERMINAN JACOBIAN
lll
BAB l l
ELEMEN SEGl-EMPAT 4 TITIK NODAL
119
11.I
Koordinat Alamiah Elcmen Scgi-empat
1 20
I l .2
Fungsi Bcntuk Elcmen Scgi-cmpat
1 21
I 1 .3
Matriks Rcgangan
Pcralihan Elcmen
1 22
1 1 .4
Matriks Kckakuan Elcmcn Scgi-cmpat
1 26
1 1 .5
Pcdoman untuk Pcmilihan Koordinat
1 28
l I .6
Gaya Nodal Ekuivalen
1 30
l I .7
Pcnyclcsaian Soal Elemen Scgi-cmpat
1 37
····
I I .8. Soal Latihan BAB 1 2
SOLUSI DENGAN PROGRAM SAP2000
1 49 1 51
Soal l .
Balok Kantilcver
144
Soal 2.
Balok Di atas Dua Pcrletakan Bcbas
1 56
55
Soal 3.
Dinding Geser
1 57
)4
Soal 4.
Tangga Bentuk U
1 58
51 54
)5 66 66 68 69 70 71 71 73 98
:n )3 l7
ga
DAFTAR PUSTAKA
171
r$t
p
A
Luas Pcnampang Elcmcn Satu Dimensi
[A]
Matriks Transformasi Elcrnen Segitiga
A123
Luas Elcmen Segitiga
[B]
Matriks Fungsi Peralihan Regangan
[DJ
Matriks Bahan
E
Modulus Elastisitas
Fi, Fj
Gaya Nodal pada titik nodal i
I JI
Determinan Jacobian
K
Matriks Kekakuan
[NJ
Matriks Fungsi Bentuk
1. J
QBF
Beban Gaya Tubuh elemen
Me
QT
Behan Traksi clcmen
QTEMI'
Beban Suhu elemen
R BI'
Behan Gaya Tubuh global
terl pac ker
RNF
Behan Titik Nodal global
Rr
Bcban Traksi global
RrEMP
Beban Suhu global
r
Pcralihan Titik Nodal global
,
j
Pac Ke! de1
be r Tai Eh
rr1a sar
Energi Rcgangan
u lli,
1-2-3
llj
Peralihan pada titik nodal i,
j.
Vm•
Energi Potensial Gaya Tubuh
vN[.
Energi Potensial Gaya Nodal
VT
Energi Potensial Gaya Traksi
ax, cty, a,..
Koefisien Muai Panjang dalam l/ °C pada arah X-Y-Z
L;t
Perubahan Suhu dalan1 °C.
E
Regangan
Bo
Regangan Awai
CJ
Tegangan
CTo
Tegangan Awai
Tel ma ata sue bia Pai ba1 da1 ke� sar ba1
(initial strain) (initial stress)
Ga Be ko1
Dh�
i;Jftif:i)1�tfa,;Yl1F'.Mei!id�>:'.El�fA�!(lIJi1ggtf
L
BABl
PENDAHULUAN
1.1
SEJARAH PERKEMBANGAN
Metode Elemen Hingga (MEH) mulai dipelajari oleh ahli rangka pesawat terbang yang mengubahnya menjadi teknik solusi numerik yang dapat diterapkan pada masalah fisika yang lebih luas. Hal ini dimulai pada tahun 1940 yang kemudian dikembangkan dengan baik sampai tahun 1965. Pada saat yang bersamaan, S. Levy (th 1953) dari USA, serta J. Argyris dan S. Kelsey (th 1960) dari lnggris, telah mengembangkan Metode Analisis Struktur
dengan Matriks serta Teknik Solusi Persamaan Linier Simultan yang baru berarti bila dikerjakan dengan komputer. Tahun 1965 OC. Zienkiewicz dan YK. Cheung mengatakan, bila Masalah Elastisitas dapat dipecahkan berdasarkan Energi Potensial Minimum, maka ma$alah lain dengan fungsi yang sama harus dapat dipecahkan dengan cara yang sama pula. Teknik solusi numerik pada metode elemen hingga yang dapat diterapkan pada masalah fisika yang luas, berhubungan dengan variabel dari aljabar, diferensial, atau persamaan integrasi. Mencari solusi yang memenuhi persamaan diferensial suatu daerah, serta harus memenuhi syarat-syarat batasnya adalah tidak mudah, biarpun untuk masalah yang sederhana. Pada MEH kesulitan ini diatasi dengan membagi sebuah kontinum menjadi bagian-bagian kecil yang disebut elemen, sehingga solusi dalam tiap bagian kecil dapat dinyatakan dalam fungsi yang jauh lebih sederhana daripada fungsi untuk keseluruhannya. Bagian-bagian kecil tadi
secara matematis dihubungkan satu
sama lain dengan kondisi sedemikian sehingga kompatibel dan kontinu antar bagian kecil atau elemen. Disamping itu syarat batasnya juga terpenuhi. Gambar
1.1
Bentuk dan
memperlihatkan
ukuran elemen tidak harus
kompatibel. gga
pembagian
Dasar-dasar Metode Elemen Hingga
(deskretlsasl) sama,
sebuah
tetapi harus
kontinum.
kontinu
dan
t ttt
'd
A
0
]\
(a)
t t tt
(b) Ga1nbar 1.1 Deskrctisasi sebuah kontinum (a) kontinum (b) cleskretisasi mcnjadi elemcn
1.2
MASALAH DALAM METODE ELEMEN HINGGA
Mei
3 bidang utama yang dapat dipecahkan dengan MEH adalah:
beri
1. Masalah Keseimbangan
pen
Meliputi masalah yang tidak tergantung waktu, misalnya analisis tegangan
cl al<
dari sistim linier elastis, elektrostatis, magnetostatis, konduksi thermal, dan
sed
aliran fluidal.
me1
2. Masalah
clan
Eigenvalue
Merupakan lanjutan dari masalah keseimbangan. Nilai spesifik atau nilai
2.1
kritis tertentu harus ditentukan, misalnya masalah stabilitas struktur dan penentuan frekuensi alamiah suatu sistim linier elastis dan masalah vibrasi. 3. Masalah Penyebaran
Su2
(Propagation Problems).
ata1
Meliputi masalah yang tergantung waktu, misalnya hidro-dinamika, analisis
Per
dinamis.
clil«
Penerapan dapat mengenai masalah linier dan non-linier.
Gai
Solusi dengan menggunakan Metocle Elemen Hingga meliputi prosedur atau
eler
langkah berikut: Langkah 1.
Deskretisasi dan Pemilihan Konfigurasi Elemen.
Langkah 2.
Memilih Model atau Fungsi Pendekatan.
Langkah 3. Langkah 4.
Menentukan hubungan tegangan Menurunkan Persamaan Elemen.
Langkah 5.
Merakit Persamaan Elemen menjadi Persamaan Global.
Langkah 6.
Menyelesaikan Primary
Langkah 7.
Menyelesaikan Besaran Kedua.
Langkah 8.
Interpretasi Hasil.
er
-
pad stru
regangan .:.
Unknowns
I)tis+.il:;-difSa'P:!Nfe_t(jdi!J!,'.14-,t_i¢h,_}Jitrifgi:1_
f),Js1
L,
ANALISIS DENGAN MATRIKS
Metode Elemen Hingga (MEH) akan meliputi suatu operasi perhitungan yang berdasarkan Metode Kekakuan Langsung yang memanfaatkan perkalian dan pembagian dengan matriks. Metode Kekakuan Langsung ini merupakan metode dalam analisis struktur yang mudah digunakan, baik untuk struktur yang sederhana maupun struktur yang kompleks. Karena metode ini merupakan metode yang dipakai pada solusi dengan Elemen Hingga, maka perlu dipahami dan dikuasai dulu sebelum membahas lebih jauh Metode Elernen Hingga.
2.1
DERAJAT KEBEBASAN DAN SYARAT BATAS
Sual:u strukl:ur yang akan dianalisis perlu ditenl:ukan dulu syarat-syarat batasnya, atau yang dalarn Mekanika Teknik dikenal sebagai Jenis Perletakan dan Reaksi Perletakan. Dengan sudah dile : ntukannya perletakan suatu struktur, malm dapat diketahui pergerakan yang rnungkin pada sesuatu lokasi dari struktur tersebut. tau
Garnbar 2.1 (a) rnemperlihatkan struktur rangka batang bidang yang terdiri al:as 5 elernen dan 4 titik nodal, perletakan sendi pada titik nodal 1 dan perletakan rol pada titik nodal 2. Strukl:ur menerirna beban terpusat P1, P2, clan P3. Sumbu strukl:ur dinyatakan sebagai sumbu 1-2 (garis terputus-putus).
3
42
42
160
(]s !q3 "�---J.--+ Q4
w
@
Tal ole adc
0·
� ®�
iw
2J
I
-
l3l
-�
+12s++14s�
�rI�
[j]
2L.1 @
�±It
(b)
(a)
w-
"
�
Ru1
Gambar 2.1 Struktur Rangka Batang Bidang (a) li.:lenien, Pcrlctakan, dan lleban (b) Sumbu Global-Lokal, Derajat kebebasan
Pada gambar 2. 1 (b) terlihat sumbu struktur yang adalah sum bu global 1-2 dan sumbu lokal 1-2 untuk tiap elemen. Arah kedua sumbu itu menurut hukum tangan kanan, yaitu ibu jari tangan kanan adalah sumbu 1, telunjuk adalah sumbu 2, dan jari tengah adalah sumbu 3. Sumbu lokal 1 selalu pada elemen yang berawal dari titik nodal nomor rendah ke titik nodal nomor lebih tinggi. Derajat kebebasan atau Degree of Freedom (DOF) dimulai dari titik nodal 1 secara berurutan clan tidak ada nomor ganda. Dalam contoh di alas, tidak ada DOF di titik nodal 1, karena merupakan perletakan sendi. Sedangkan pada perletakan rol di titik nodal 2, ada satu DOF yaitu qi. karena pada rol hanya ada satu arah pergerakan yang mungkin, yaitu translasi mendatar. Berikutnya DOF disusun menjadi Matriks Kade Batang [M] sebagai berikut: Jumlah baris menyatakan jumlah DOF satu elemen, clan jumlah kolom menyatakan jumlah elemen. Dalam hal elemen rangka batang bidang, terdapat 2 buah translasi (mendatar clan vertikal) sebagai DOF pada satu titik nodal menurut sumbu global, sehingga terdapat 4 DOF pada sebuah elemen. Jumlah elemen ada 5 buah, jadi jumlah kolom = 5. Matriks Kode Batang [Ml berisi nomor DOF, sehingga menjadi:
[Ml= I
I
2
3
4
5
2
0
0
0
I
3
0
0
0
0
4
l
2
4 4
5
0
3
5
5
c, sur ele Me
Un yar
Sei
(2.1) Da
J>a;�
2.2
METODE KEKAKUAN lANGSUNG
Tahap pertama yang harus dihitung adalah peralihan titik nodal yang dinyatakan oleh q" dengan k = 1, 2, 3, 4, 5. Model Sistem dari struktur rangka batang bidang adalah:
(KJ{q} = {Q}
(2.2)
Rumus Matriks Kekakuan [Kl dari rangka batang bidang menurut sumbu global:
C1C2 -Ci 2 C2 2 -C1C2 C1 C EA 2 -(K]= L -Ci 2 -C1C2 C1 2 -C1C2 -C2 2 C1C2 cI
dan .gan dan dari 1lau idak ·ena ada 1ang kut: fom at 2 urut ada OF,
2
C1C2 -C2 2 C1C2 2 c2
·-
(2.3)
c1 = cos u dan c = sin u dengan u adalah sudut antara sumbu 1 global dan 2 sumbu 1 lokal dengan arah berlawanan jarum jam di titik nodal awal/rendah dari elemen.
]
Menurut sumbu lokal, rumus matriks kekakuan rangka batang bidang adalah:
(K]=
1 -1 L -1 1
EA
(2.4)
Untuk menghemat pekerjaan, bagian dari matriks kekakuan yang diisi hanyalah yang ada DOF-nya, berarti harus melihat [M] dari persamaan (2.1) di atas.
Secara berurut akan dihitung Matriks Kekakuan [K] semua elemen dengan A 30 cm2, E 2. 106 kg/cm2. Panjang elemen dalam cm seperti gambar. =
U)
=
L 1 = 125t'.m, L 2 = 270 cm, L3 = 160 cm. Dan L4 =
�(1252 + J-602)= 203 cm
L5=�(i.4s2+1602) = 216cm
5
