Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok Géczi-Papp Renáta
Autoregresszív folyamat
Az Yt diszkrét paraméterű sztochasztikus folyamatok k-ad rendű autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha 𝑌𝑡 = 𝛼1 ∗ 𝑌𝑡−1 + ⋯ + 𝛼𝑘 ∗ 𝑌𝑡−𝑘 + 𝜀𝑡
Ahol:
αi konstansok
Yt fehér zaj (várható értéke 0, szórása σy)
2
Autoregresszív folyamat
Alapkifejezés nagyon hasonló a többváltozós regresszióhoz → „regresszív”
Saját késleltetett értékeivel magyarázzuk az Y változásait → „auto”
„Az AR folyamatokkal általában azokat az idősorokat modellezhetjük, amelyekről feltehetjük, hogy jelen idejű értékeik alakulásában a közvetlen múlton kívül a véletlen hiba is beleszól” (Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011))
3
Forrás: http://www.math.bme.hu/~mogy/oktatas/villamosMSC/het_7_stacionarius.pdf 4
Mozgóátlag-folyamat
Az Yt diszkrét paraméterű sztochasztikus folyamatot k-ad rendű mozgóátlag folyamatnak nevezzük, ha 𝑌𝑡 = 𝛽0 ∗ 𝑈𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑈𝑡−1 + ⋯ + 𝛽𝑘 ∗ 𝑈𝑡−𝑘
Ahol
βk konstansok
Ut diszkrét fehér zaj (várható érték 0, szórás σu)
5
Mozgóátlag-folyamat
MA folyamat várható értéke és autokovarianciája „t”-től független konstansok
Gyenge stacionárius folyamat
6
Forrás: 7 http://www.math.bme.hu/~mogy/oktatas/villamosMSC/het_7_stacionarius.pdf
AR és MA folyamatok
A két típusú folyamatok ki lehet egymásból fejezni
Mindkét esetben különböző rendeket különböztethetünk meg AR(p) MA(q) Ahol
p és q a folyamat rendjét jelenti
8
ARMA modellek
Autoregresszív és Mozgóátlag modellek (autoregressive and moving-average)
Sztochasztikus idősorelemzés legegyszerűbb és leginkább elterjedt módszere
AR és MA folyamatokat egyesít
Paraméterek megállapítása általában empirikus idősor alapján 9
ARMA (p,q) 𝑌𝑡
= 𝛼1 𝑌𝑡−1 + 𝛼2 𝑌𝑡.2 + ⋯ + 𝛼𝑝 𝑌𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 + 𝛽1 𝜀𝑡−1 + ⋯ + 𝛽𝑞 𝜀𝑡−𝑞 ,
Ahol εt
fehér zaj
p
és q az autoregresszív és mozgóátlag folyamat rendje 10
ARMA(p,q)
Az AR tag arra utal, hogy Yt részben saját, véges múltjának lineáris regressziójaként írható fel
A MA tag arra utal, hogy a lineáris regresszió hibatagja az εt fehérzaj mozgó átlaga, vagyis a jelen és a véges múlt lineáris kombinációja
(Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011)) 11
ARMA (p,q) modellezés
Forrás: Kehl, Sipos: Excel 12 parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)
13
Forrás: Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)
14
Forrás: Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)
15
Forrás: http://www.federalreserve.gov/pubs/feds/2008/200806/
Identifikáció
Paraméterek becslésére több lehetőség is, a feltételektől függően (pl. momentumok módszere, OLS, stb.)
Autokorrelációs és parciális autokorrelációs fv. árulkodó Folyamat
ACF
PACF
AR(p)
≠0
ha τ>p akkor =0
MA(q)
ha τ>q akkor =0
≠0 16
Takarékosság elve
Principle of parsimony Mindig a legegyszerűbb modell kialakítására kell törekedni, vagyis azt a reprezentációt kell keresni, amely a legkevesebb paramétert tartalmazza
17
Modellválasztás és qmax meghatározása (ökölszabály: ne legyen 3-nál nagyobb)
pmax
Minden ARMA modell becslése
Egy információs kritérium minimalizálása (takarékosság elve)
Kiválasztott modell helyességének ellenőrzése Forrás: Rappai Gábor
18
Információs kritériumok
1. Előrejelzés végső hibája (final prediction error)
2. Akaike
3. Schwarz
4. Hannan - Quinn 19
ARIMA (p,d,q)
Autoregresszív Integrált Mozgóátlag modell
Legáltalánosabb, megengedi a stacionárius transzformációkat (differenciálás, logaritmizálás)
p= autoregresszió rendje
d= differenciák száma (nem szezonális különbségek)
q= mozgóátlag rendje 20
Ismert ARIMA modellek
ARIMA (p, d, q)
ARIMA (0,1,0)=véletlen bolyongás
ARIMA (1,1,0)=módosított elsőrendű autoregresszív modell
ARIMA (0,1,1) nem állandó=egyszerű exponenciális simítás
ARIMA (0,1,1)=állandó egyszerű exponenciális simítás a növekedés
ARIMA (0,2,1) és (0,2,2) nem állandó=lineáris exponenciális simítás
A „vegyes” modell - ARIMA (1,1,1)
21
Forrás: (Prof. Dr. Besenyei Lajos, Domán Csaba (2011))
Autokorreláció tesztelése
22
Forrás: Kehl, Sipos: Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben (2011)
AR és MA rendjének meghatározása információs kritériumok segítségével
23
Forrás: saját számítás, EViews programmal
ARMA modell becslése
24
Forrás: saját számítás, EViews programmal
Előrejelzés ARMA modellel
25
Forrás: saját számítás, EViews programmal
Köszönöm a figyelmet!
26
