Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Finanční rozhodování podniku je ovlivněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu než tytéž peníze získané v budoucnosti. Čím dříve peníze budeme mít, tím dříve je můžeme investovat a inkasovat zisk např. ve formě úroku. Koruna získaná dnes má větší hodnotu, než koruna získaná zítra. Proč? Důvody jsou následující: Inflace Zhodnocení, výnos Riziko Časový faktor platí u podnikových aktivit, které mají delší horizont než 1 rok. Patří sem nejvíce oblast rozhodování o budoucích investicích. Současné peněžní prostředky může podnik finančně investovat a okamžitě tak dostávat za to zaplaceno ve formě úrokových výnosů. Abychom mohli spočítat, o co větší hodnotu má koruna obdržená dnes než koruna obdržená později, musíme se nejprve seznámit s pojmy úročení a současná hodnota.
1
Úročitel Ilustrujme si postup oceňování našeho vkladu na jednoduchém příkladu: Představme si, že vám váš strýček předložil následující nabídku. Když mu půjčíte 1000 EUR, vrátí vám přesně za rok 1100 EUR. Předpokládejme, že strýčkově slibu lze plně důvěřovat a že s vaší zápůjčkou není spojena žádná nejistota. Buď se vám bude zdát nabídka výhodná a půjčíte strýčkovi 1000 EUR, nebo mu půjčit odmítnete. Pro co by jste se rozhodli vy? Při analýze takto předložené situace je v prvním kroku nutné znát výnos z možné půjčky tj: HB = HP*(1 + i) = 1000*(1+0,1) = 1100 EUR i = 1100 / 1000 – 1 = 0,1 = 10% HB – budoucí hodnota HP - počáteční hodnota i - úroková sazba Půjčíte-li strýčkovi peníze, vyděláte ze rok 10%. Ve druhém kroku musíte zvážit, kam jinam byste mohli oněch 1000 EUR vložit, tj. jaké je alternativní použití vašich 1000 EUR. Výnos i riziko musí být při investičním rozhodování posuzovány současně. S vaší investicí není spojeno prakticky žádné riziko nesplacení. Proto při hodnocení toho, zda 10% je hodně nebo málo, byste měli vycházet z údajů o výnosech na finančních trzích, které jsou rovněž bezrizikové, těmi jsou nejčastěji státní cenné papíry. Dalším faktorem, který je nutno do hodnocení zahrnout je čas, 10% výnos je výnos roční, proto při vyhledávání výnosů stáních cenných papírů je třeba vycházet ze státních cenných papírů, které jsou emitovány pouze na dobu jednoho roku. V České republice v roce 2008 činí roční výnos bezrizikových cenných papírů tj. státních dluhopisů 3,8%. Strýčkova nabídka 10% se tedy za předpokladu bezrizikovosti a roční splatnosti ukazuje jako velmi štědrá. Obdobný postup je při existenci rizika. Za této situace se opět vychází z dostupných výnosů na finančních trzích, se kterými je ale spojeno přibližně stejné riziko. Jedná se např. o firmy hodnocené stejným ratingem.
2
Odúročitel Postupujme podobně jako při výpočtu výnosu i, ale hledejme nyní částku, kterou bychom museli dnes mít a investovat na daný alternativní výnos tj. současnou hodnotu, když známe budoucí hodnotu, včetně výnosu. Protože výnos z bezrizikového aktiva např. u státních pokladničních poukázek činí 2,45% a protože známe i budoucí hodnotu 1100 EUR, potom výpočet současné hodnoty je: Známe budoucí hodnotu 1100 EUR HB a zjišťujeme hodnotu součastnou HS. HS = HB * 1 / (1+i*n) 1100 = HS * (1 + 0,0245) HS = 1100 / 1,0245 = 1 073,7 EUR. HS = 1 073,7 EUR n – počet let Pokud by strýček potřebovat půjčit na finančních trzích 1100 EUR na jeden rok, musel by zaplatit pouze 1000 * 1,0245 = 1024,5 EUR. U strýčka tedy existuje určitá překážka, která mu znemožňuje vstoupit na finanční trhy, kde by si mohl půjčit levněji tj. za 1024,5 EUR, místo za 1073,7 EUR.
Jednoduché úročení Při jednoduchém úročení se počítá úrok vždy z původní vložené částky. Např. při 4% úroku na 5 let budeme úročit hodnotu 1000 EUR. Parametry Úrok Celková částka
1. rok
2. rok
3. rok
4. rok
5. rok
40 Kč 40 Kč 40 Kč 40 Kč 40 Kč 1 040 Kč 1 080 Kč 1 120 Kč 1 160 Kč 1 200 Kč
Formalizace předchozího výsledku bude následující. Označíme-li: i - úrokovou sazbu v desetinném vyjádření P0 - částku určenou k uložení na účet na začátku období (tj. pro čas t = 0), n - počet období pak platí: 3
P1 = P 0 + P0 * i P2 = P 0 + P0 * i * 2 Pt = P0 + P0 * i * t Po=1000 Kč
P1=1040 Kč
P2=1080 Kč
P3=1120 Kč
P4=1160 Kč
P5=1200 Kč
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
t=5
Jak je patrné z časové osy, k okamžiku, kdy uložíme na bankovní účet částku 1000,- Kč, začíná se částka úročit. P0 – současná hodnota, P1 až P5 - hodnoty budoucí Časová osa směřuje zleva doprava. To znamená, že nyní známe současnou hodnotu, kterou je 1000 EUR ukládaných na úročený bankovní účet. Neznámé jsou budoucí hodnoty současných 1000 EUR. Po časové ose se můžeme pohybovat i obráceným směrem. Známe např., že za 5 let obdržíme 1200 EUR. Uzavíráme tedy smlouvu, která nám slibuje za 5 let přinést 1200 EUR. Kolik budeme dnes ochotni za tuto smlouvu zaplatit? Při přepočtech mezi současnými a budoucími hodnotami je vždy nutné kalkulovat s alternativním výnosem na finančních trzích. Předpokládejme tedy úrokovou sazbu 4%.
Od budoucí hodnoty k hodnotě současné
Současná hodnota odúročitel
Budoucí hodnota úročitel
P5=1200 EUR
Po= ???
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
t=5
Otázka typu „Kolik by jste byli ochotni zaplatit za 1 200 EUR , které získáte za 5 let ?“ je otázkou po současné hodnotě částky 1 200 EUR. Víme-li že platí:
4
Pt = P0 + P0 * i * t = P0 * /1 + i /t 1 Potom hledáme P0 = Pt * (1 + i * t) 1 P0 = 1200 * (1+0,04*5) =
1200 1,2 = 1000 EUR
Současná hodnota za kterou získáme 1200 EUR za 5 let je ve výši 1000 EUR. Pokud ze současných hodnot počítáme hodnoty budoucí, využíváme principu úročení. Pokud opačně, tj. když z budoucích hodnot kalkulujeme hodnoty současné, tak využíváme principu odúročení (diskontování). Úročení jednoduché Pt = P 0 + P0 * i * t Pt – budoucí hodnota P0 – počáteční hodnota i – úroková sazba t – počet let
Odúročení (diskontování) jednoduché 1 P0 = Pt * (1 + i * t)
Složené úročení Úročitel O složeném úročení hovoříme v případě, kdy se úročí jak původní částka, tak i připsané úroky. Celkový stav bankovního účtu po jednom roce zůstává při obou typech úročení shodný, a to 1040,- Kč. Následující rok se ale liší v tom, že úročena není pouze původní částka 1000,- Kč, ale 1040,- Kč. Na účtu tedy bude: 1040 + 1040 * 0,04 tj. 1081,60 Kč. P1 = P0 * (1+i) (BH)Pt = (SH)P0 * (1+i)t t – počet let i – úroková sazba 5 Budoucí
Porovnejme nyní, jak se bude vyvíjet úročení v jednotlivých letech při obou typech úročení: Parametry
0. rok
1. rok
2. rok
3. rok
4. rok
5. rok
Jednoduché úročení
1000
1040
Složené úročení
1000
1040 1081,6 1124,9 1169,9 1216,7
1080
1120
1160
1200
Na tomto případě vidíme, který způsob úročení vede k rychlejšímu nárůstu částky na účtu. V případě jednoduchého úročení roste částka lineárně (jde o lineární funkci), při úročení složeném roste částka exponenciálně (jedná se o exponenciální funkci). V našem případě, kdy úroková sazba není příliš vysoká, není rozdíl zase tak veliký. Nicméně s růstem původní částky, s růstem úrokových sazeb a s růstem období se budou rozdíly zvyšovat.
Úročení vícekrát ročně V rámci složeného úročení je nutné ještě zmínit situaci, kdy jsou úroky připisovány častěji než pouze na konci každého ročního období. Pokud úrok budeme vyplácet např. měsíčně, potom po prvním měsíci dostaneme: i P1/12 = P0 * (1+ 12) Na konci celého roku bude celková částka činit: P12/12 = P0 *(1+ i / 12)12 Budou-li v rámci jednoho období úroky připisovány m-krát, potom na konci roku bude celková částka Pt na účtu následující: i Pt = P0 * (1+ m )m *t
6
Skutečná výnosová míra za dané (v našem případě roční) období se nazývá efektivní úroková míra. Pokud se bude rovnoměrně m-krát v roce připisovat k úročené částce m-tina úroku, efektivní roční úroková sazba ie bude: ie = (1 + i / m)m – 1
Spojité úročení Již víme, že pokud stejná část úroku v průběhu roku připisována k úročené částce, tak konečná hodnota na konci roku bude: Pt = P0 * (1+
i m
)m
Budeme-li při stejné frekvenci připisování části úroků k úročené částce pokračovat i v dalších období, pak pro období v čase t platí: Pt = P0 * (1+
i m
)mt
Poněkud obtížně představitelná může být situace, kdy úroky budou připisovány nekonečně častokrát (každou minutu, každou sekundu, každou milisekundu…). To by znamenalo, že m se blíží nekonečnu ∞. lim (1 +
i m
)mt
= eit
Výsledkem je eit , kde e je tzv. Eulerovo číslo a rovná se přibližně 2,71828. Při tomto způsobu připisování úroků (spojitém) se původní částka nebude úročit výrazem (1 + i), ale veličinou rovnou výrazu eit . Tomuto způsobu úročení se říká spojité úročení. Pro vztah při kalkulaci budoucí hodnoty platí: Pt = P0 * eit Pro výpočet současné hodnoty platí: P0 = Pt * e-it
7
Zůstaňme u našeho příkladu s 1000 Kč. Kolik bychom měli na účtu za 5 let při spojitém úročení při úrokové sazbě 4% p.a.? Pt = P0 * eit = 1000 * e0,04*5 = 1 221,4 Kč Při porovnání s výsledkem pro jednoduché úročení 1 200,- Kč a s výsledkem pro složené úročení tj. 1 216,7 Kč, je vidět, že spojité úročení vede ještě k vyšším výnosům, než úročení složené. Při výpočtu současné hodnoty tj. při opačném postupu postupujeme: P0 = Pt * e-it = 1 221,4 * e-0,04*5 = 1 000 Kč Příklad: Roční úroková míra činí 10% (tj. 10% p.a.) Bankovní ústav připisuje úroky k úročené částce každý den. Jaká bude roční efektivní úroková míra? Jaká by byla úroková míra při kvartálním připisování úroků? Jaká bude úroková míra při denním připisování úroků? Jaká bude úroková míra při spojitém úročení? Jak velká částka by byla na účtech za 10 let při uvážení všech čtyřech typů připisování úroků? Za deset let by všechny tři úrokové sazby činily: ie1,10 - 1 = (1 + 0,1) 10 – 1 = 1,5937 ie4,10 - 1 = (1 + 0,1/4) 4*10 – 1 = 1,6857 ie365,10 - 1 = (1 + 0,1/365) 365*10 – 1 = 1,7179 iee - 1 = e 0,1*10 – 1 = 1,7173 Za deset let by úročená částka při připisování úroků vždy ke konci období vzrostla o 159,37%, v případě kvartálního připisování úroků o 168,51% a o 171,79% při každodenním připisování. Při spojitém úročení by úročená částka vzrostla o 171,83%. Jak je z výsledků vidět, rozdíly mezi každodenním úročením a úročením spojitým nejsou při 10% p.a. úrokové sazbě příliš velké.
8
Při jakém rozhodování používáme faktor času? 1) Při rozhodování o investicích – se posuzuje efektivnost jednotlivých investičních variant s různou dobou životnosti. Čím delší doba výstavby, tím déle jsou peněžní prostředky umrtveny, nepřinášejí žádné efekty, ani v podobě nejnižších depozitních úroky. Také výnosy během doby životnosti je třeba posuzovat z hlediska času: očekávané výnosy v budoucnosti jsou méně hodnotné než výnosy získané okamžitě. 2) Při kalkulaci výhodnosti jednotlivých forem financování fixního majetku – při hledání optimální kapitálové struktury – např. pomocí vlastního kapitálu, úvaru obligací či pomocí leasingu se srovnávají náklady, které souvisí s použitím různých druhů kapitálu po dobu životnosti např. úrokové náklady z úvaru, nájemné při leasingové formě financování. Tyto náklady jsou vynakládány v jednotlivých letech životnosti, je nezbytné jejich úroveň aktualizovat, tj. převést na současnou hodnotu. 3) Při stanovení prodejní, či nákupní ceny podniku, nebo jeho jednotlivých složek – konkrétní tržní cena je ovlivněna poptávkou a nabídkou na trhu. Jedna z metod aktualizované hodnoty majetku se opírá o kapitalizaci výnosů během určité doby jejíž trvání ovlivňuje tržní cenu. Jaké známe metody pro vyjádření faktoru času? Jsou to metody složeného úrokování. 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Budoucí hodnota jednorázového vkladu – úročitel Současná hodnota peněz – odúročitel Budoucí hodnota pravidelných plateb (anuity) – střadatel Budoucí platba pro dosažení budoucí hodnoty – fondovatel Kapitálová obnova (pravidelné splácení kapitálu) - umořovatel Současná hodnota budoucích plateb (anuity) - zásobitel
9
1) Budoucí hodnota jednorázového vkladu - Úročitel Při složeném úrokování (kdy se úrok počítá nejen z vkladů, ale i z dosud připsaných úroků se stanoví pomocí úročitele: HB = HS * (1+i )n HB – hodnota konečná (budoucí hodnota) HS - hodnota počáteční (jistina) i - úroková míra n (t) - počet let Hodnoty úročitele (1 + i)n – najdete v tabulkách složeného úrokování pro různou výši úrokové míry a různý počet let.Budoucí hodnota peněz se používá ke všem propočtům, kde se zachycuje růst o stejné procento (např. budoucí hodnota vkladů podniku na účtu v bance, hodnota investičních vkladů s ohledem na faktor času apod.)
Příklad: Akciová společnost Metrostav ve svém finančním plánu na 5 let předpokládá, že se pokusí zajistit pravidelný růst dividendy o 7% ročně. Stávající dividenda, vyplácená akcionářům činí Kč 250,-. Jaká bude výše dividendy v 5. roce? Hk = 250 (1+0,07)5 = 250 x 1,403 = 351 Kč Dividenda v 5. roce se 7% ročním růstem bude mít hodnotu 351,- Kč. 2) Současná hodnota peněz (diskontovaná hodnota) odúročitel 1 HS = HB * ( 1 + i )n HS – hodnota současná HB - hodnota budoucí i - úroková míra n (t) - počet let 10
Odúročitel neboli diskont se používá tam, kde je třeba budoucí příjem nebo výnos převést na současnou hodnotu ( např. při stanovení současné hodnoty budoucích příjmů z investic, při určení ceny majetku z očekávaných příjmů apod. 3) Budoucí hodnota pravidelných plateb - Střadatel (1 + i )n - 1 HB =
A* i
HB - celková výše úspor A - částka pravidelných úspor (anuita) Pomocí střadatele se určuje celková budoucí hodnota pravidelných vkladů (úspor) včetně úroků na určité období. Předpokládá se, že se pravidelné částky pravidelně ukládají koncem každého roku. Určí nám kolik naspoříme, budeme-li pravidelně spořit určitou částku peněz. Používá se pro: stanovení výše rezervních fondů, určení konečné hodnoty pravidelných úspor, výpočet hodnoty pravidelně vkládaných peněžních prostředků do investic apod.
4) Fondovatel – Pravidelná platba pro dosažení budoucí hodnoty i A = HB *
(1 + i )n - 1
Pomocí fondovatele určíme současnou hodnotu pravidelných vkladů koncem každého období, zajišťující požadovanou konečnou hodnotu.
11
Nebo-li kolik musíme pravidelně spořit, abychom naspořili požadovanou částku peněz.
5) Umořovatel – Kapitálová obnova Nebo-li anuitní splácení úvěru a placení úrokových plateb. i (1+i )n K = U *
(1+i )n - 1
K – roční splátka úvěru a úroků U - poskytnutý úvěr Pomocí umořovatele se umořuje výše pravidelných splátek (úmor) a úrokových plateb z dosud nezaplaceného úvěru. Dá se také využít pro výpočet ročních odpisů a úroku při propočtu efektivnosti investic pomocí metody ročních nákladů. Můžeme také využít pro výpočet splátek u hypotéčního, nebo investičního úvěru. 6) Zásobitel – Současná hodnota pravidelných budoucích plateb nebo výnosů (1 + i )n - 1 HS = HB * i*(1 + i )n HS – částka, která zajišťuje budoucí výnos HB – pravidelný budoucí výnos Významem je tento vzorec podobný odúročiteli, pokud hodnota budoucích výnosů je každý rok ve stejné výši. Zásobitel se používá pro: výpočty současné hodnoty pravidelných budoucích výnosů během určité doby,
12
výpočet diskontovaných provozních nákladů investiční varianty, jestli-že jsou roční náklady stejné pro výpočet vnitřního výnosového procenta při pravidelných peněžních příjmech z investice apod.
13
