Appendix: Zwaartepunten Enkele opmerkingen vooraf: • Maak altijd eerst een schets van het betreffende gebied (en dat hoeft heus niet zo precies te zijn als de grafieken die ik hier door de computer kan laten tekenen). • Ik schrijf sin x zonder haakjes omdat het mag, maar sin(2x) m`et haakjes omdat het moet. Anders (bij de notatie sin 2x zonder haakjes) zou je kunnen denken dat er sin(2) · x bedoeld wordt. Bij sin x bestaat die verwarring niet: dat kan alleen maar sin(x) betekenen, dus mag je zelf kiezen of je de haakjes wel of niet opschrijft. • Ik schrijf [f (x)]2 i.p.v. f 2 (x) om verwarring te voorkomen. Bij de notatie f 2 (x) zou je nl. ook kunnen denken dat er f (f (x)) bedoeld wordt (dus: x invullen in f en dat resultaat weer opnieuw invullen in f ). [f (x)]2 betekent: x invullen in f en dat resultaat kwadrateren). Wel gebruik ik de notatie sin2 (x) = (sin x)2 omdat haast iedereen dat doet. • Ik bereken niet direct de co¨ ordinaten x en y van het zwaartepunt, maar bereken eerst als tussenstap Ax (dit wordt ook wel het totale moment t.o.v. de y-as genoemd) en 2Ay (dit is gelijk aan twee 1 op hoeft keer het totale moment Ay t.o.v. de x-as). Doordat je zo niet steeds de breuken A1 en 2A te schrijven, maak je minder snel rekenfouten bij het uitwerken van de integralen. • Denk erom dat je soms ´e´en of beide co¨ordinaten van het zwaartepunt al direct kunt aflezen uit de grafiek, nl. als het gebied symmetrisch is. Dit kan veel rekenwerk schelen. Omschrijf dit inzicht altijd wel in woorden, anders weet iemand anders (die je werk nakijkt) niet hoe je op je antwoord bent gekomen. door Jan-Jaap Oosterwijk
Opgaven Bepaal van elk van de volgende gebieden de co¨ordinaten van het zwaartepunt. 1. Het gebied begrensd door de x-as, de grafiek van f (x) = sin x en 0 ≤ x ≤ π. Uitwerking: fHxL = 2 - x2 1 1 2 1 2
3 2 1 2 1 8
Π
0
Π
Π
Π
Π
2Π
3Π
5Π
6
4
3
2
3
4
6
Het gebied ligt rechts van de lijn x = 0, links van de lijn x = π, onder de grafiek van f (x) = sin x en boven de x-as g(x) = 0, dus de oppervlakte ervan is Z π π 0 A= sin xdx = − cos x|0 = cos x|π = cos 0 − cos π = 1 − (−1) = 2. 0
1
x Π
Het totale moment t.o.v. de y-as is Z π Z π π x sin xdx = −x cos x|0 − − cos xdx Ax = 0 0 Z π π π π cos xdx = −x cos x|0 + sin x|0 = (π − 0) + (0 − 0) = π = −x cos x|0 + 0
(je gebruikt hier parti¨ele integratie), dus het x-co¨ordinaat van het zwaartepunt is x = A1 π = 12 π. Op zich had je dit ook al direct kunnen aflezen uit de grafiek, want het gebied is spiegelsymmetrisch t.o.v. de lijn x = 12 π. Het zwaartepunt ligt altijd op een symmetrie-as, als die er is. Twee keer het totale moment t.o.v. de x-as is Z π Z π 1 1 1 sin2 xdx = 2Ay = 2 − 2 cos(2x) dx = 2 x − 0
0
1 4
π sin(2x) 0 = 21 π
(je gebruikt hier de verdubbelingsformule cos(2x) = 1 − 2 sin2 x in omgekeerde vorm: deze truc is besproken in de laatste week van Calculus 1 en staat in het boek beschreven in §6.3), dus het 1 · 12 π = 18 π. Het zwaartepunt van het gebied is dus y-co¨ ordinaat van het zwaartepunt is y = 2A 1 1 ( 2 π, 8 π). NB: Je had de spiegelsymmetrie ook al kunnen gebruiken bij het berekenen van de oppervlakte A, door op te merken dat de oppervlakte van het totale gebied gelijk is aan twee keer de oppervlakte van het gebied aan slechts ´e´en kant van de symmetrie-as, oftewel Z A=2 0
1 2π
sin xdx = . . . = 2(cos 0 − cos( 12 π)) = 2(1 − 0) = 2.
In deze opgave maakt het weinig uit welke van de twee methodes je gebruikt: ze kosten beiden evenveel moeite (maar vaak kan zulk meetkundig inzicht erg veel werk schelen: dit wordt duidelijk in de volgende opgaven). 2. Het gebied dat gegeven wordt door 0 ≤ y ≤ 2 − x2 . Uitwerking: fHxL = 2 - x2 2
1 4 5
x - 2
-1
1
2
2
Het gebied ligt onder de grafiek van f (x) = 2 − x2 en boven√de x-as g(x) = √0. De grafiek van f (x) snijdt de x-as daar waar 2 − x2 = 0. Dat gebeurt bij x = − 2 en bij x = 2. De oppervlakte van het gebied is dus √
√ √ √ √ √ 2 2 2 (2 − x2 )dx = [2x − 13 x3 ]−√ = (2 2 − 2) − (−2 2 + 2) 3 3 2 − 2 √ √ √ √ = 2(2 2 − 23 2) = 2 · 43 2 = 38 2.
Z
A=
2
√
Je ziet dat je hier eigenlijk twee keer hetzelfde berekent. Dit wijst erop dat er al direct een makkelijkere methode was: merk nl. op dat het gebied spiegelsymmetrisch is t.o.v. de y-as x = 0. Je had de oppervlakte dus ook als volgt kunnen berekenen: √
Z
2
A=2 0
√ √ √ √ (2 − x2 )dx = 2[2x − 13 x3 ]0 2 = 2(2 2 − 23 2) = . . . = 83 2.
Het totale moment t.o.v. de y-as is √
Z Ax =
√
2 2
√ − 2
x(2 − x )dx =
Z
2
√ − 2
√
2 (2x − x3 )dx = [x2 − 41 x4 ]−√ = 1 − 1 = 0. 2
Je had ook kunnen herkennen dat √
Z Ax =
2
√
√ − 2
2 x(2 − x2 )dx = [− 14 (2 − x2 )2 ]−√ =0−0=0 2
(het integreren doe je hier via een substitutie, alhoewel ik de details ervan niet heb opgeschreven). Het x-co¨ ordinaat van het zwaartepunt is dus x = 0. Je had dit ook al direct kunnen aflezen uit de grafiek, want het gebied is spiegelsymmetrisch t.o.v. de y-as x = 0. Twee keer het totale moment t.o.v. de x-as is √
Z
√
2
Z
2
√
2 2 4 4 3 1 5 √ √ (2 − x ) dx = √ (4 − 4x + x )dx = [4x − 3 x + 5 x ]− 2 − 2 − 2 √ √ = . . . = 2(4 − 83 + 45 ) 2 = 64 15 2 2 2
2Ay =
dus het y-co¨ ordinaat van het zwaartepunt is y = is dus (0, 45 ).
1 2A
·
64 15
√
2 = 45 . Het zwaartepunt van het gebied
3. Het gebied dat begrensd wordt door de x-as, de grafiek van f (x) =
√
R2 − x2 en −R ≤ x ≤ R.
Uitwerking: R2 - x2
fHxL = R
4R 3Π
-R
R
3
x
R wordt een parameter genoemd: een willekeurige constante. In dit geval mag R elke√positieve waarde aannemen die je maar kunt bedenken. Het gebied ligt onder de grafiek van f (x) = R2 − x2 (een halve cirkel (met positieve y-co¨ ordinaat) van een cirkel met straal R en met de oorsprong als middelpunt) en boven de x-as g(x) = 0. De cirkelboog snijdt de x-as bij x = −R en bij x = R. De oppervlakte van het gebied is dus Z
R
p
A=
R2 − x2 dx = 2
Z
−R
R
p
R2 − x2 dx.
0
(we hebben het hier ons alvast iets makkelijker gemaakt door de spiegelsymmetrie rond de y-as x = 0 te gebruiken). Als je deze integraal wil uitrekenen zit er helaas niets anders op (dat is niet helemaal waar; als je dit te moeilijk vindt om te volgen, sla dit stuk dan eerst over en kijk alvast naar de volgende alinea) dan de goniometrische substitutie x = R sin θ te gebruiken waarbij 0 ≤ θ ≤ 21 π (ook deze truc is besproken in de laatste week van Calculus 1 en staat in het boek beschreven in §6.3.) De grenzen x = 0 en x = R komen overeen met θ = 0 en θ = 21 π. De integrand wordt q p p √ R2 − x2 = R2 − R2 sin2 θ = R2 (1 − sin2 θ) = R2 cos2 θ = R| cos θ| en op het interval 0 ≤ θ ≤ 12 π is | cos θ| = cos θ. Verder is R
Z
p
A=2
R2
−
x2 dx
Z =2
1 2π
dx dθ
= R cos θ, dus dx = R cos θdθ, dus
R cos θ · R cos θdθ = 2R
2
0
0
Z
1 2π
cos2 θdθ.
0
Gebruik hier weer een omgekeerde verdubbelingsformule en vind tenslotte dat A = 2R
2
1 2π
Z 0
( 12
+
1 2
cos(2θ))dθ = R
2
Z
1 2π
1
(1 + cos(2θ))dθ = R2 [θ +
0
1 2
π
sin(2θ)]02 = 12 πR2 .
(Lees hier verder ) Deze opgave is een goed voorbeeld van hoe meetkundig inzicht je soms een hoop werk kan besparen. Er is nl. gelukkig ook een makkelijkere manier om A te bepalen. In plaats van deze ingewikkelde berekening had je ook direct kunnen opschrijven dat A de helft is van de oppervlakte van een cirkel met straal R, waar je de formule al voor uit je hoofd kent. Zo had je direct ingezien dat inderdaad A = 21 πR2 . Het totale moment t.o.v. de y-as is Z
R
Ax =
x −R
p
R p R2 − x2 dx = − R2 − x2 = 0 − 0 = 0. −R
(het integreren doe je hier via een substitutie, alhoewel ik de details ervan niet heb opgeschreven). Dit had je ook af kunnen lezen uit de grafiek, want het gebied is spiegelsymmetrisch t.o.v. de y-as x = 0. Twee keer het totale moment t.o.v. de x-as is Z R p Z R Z R ( R2 − x2 )2 dx = (R2 − x2 )dx = 2 (R2 − x2 )dx 2Ay = −R
−R
0
3 1 3 4 3 = 2[R2 x − 31 x3 ]R 0 = 2(R − 3 R ) = 3 R .
Dit lijkt trouwens erg op de berekening van de oppervlakte in de vorige opgave, waar R = 2. Dus 1 · 43 R3 = 4R het y-co¨ ordinaat van het zwaartepunt is y = 2A 3π . Het zwaartepunt van de halve cirkel 4R is dus (0, 3π ). √ 4. Het gebied dat begrensd wordt door de grafieken van f (x) = x en g(x) = x2 , waarbij 0 ≤ x ≤ 1.
4
Uitwerking: y 1
9 20
x
9
0
1
20
Het gebied ligt rechts van de lijn x = 0, links van de lijn x = 1, onder de grafiek van f (x) = boven de grafiek van g(x) = x2 , dus de oppervlakte ervan is Z A= 0
1
√
x en
√ √ ( x − x2 )dx = [ 23 x x − 13 x3 ]10 = 31 .
Het totale moment t.o.v. de y-as is Z 1 Z 1 √ √ √ 2 Ax = x( x − x )dx = (x x − x3 )dx = [ 52 x2 x − 41 x4 ]10 = 0
0
dus het x-co¨ ordinaat van het zwaartepunt is x =
1 A
·
3 20
=
0
dus het y-co¨ ordinaat van het zwaartepunt is y = 9 9 , 20 ). dus ( 20
1 2A
·
3 10
=
−
1 4
=
3 20 ,
9 20 .
Twee keer het totale moment t.o.v. de x-as is Z 1 Z 1 √ 2 2 2 2Ay = ( x) − (x ) dx = (x − x4 )dx = [ 21 x2 − 15 x5 ]10 = 0
2 5
9 20 .
1 2
−
1 5
=
3 10 ,
Het zwaartepunt van het gebied is
Merk op dat in deze opgave x = y. Op zich had je dit ook al direct kunnen aflezen uit de grafiek (en dus slechts ´e´en van de twee co¨ ordinaten van het zwaartepunt hoeven te berekenen), want het gebied is spiegelsymmetrisch t.o.v. de lijn y = x. Het zwaartepunt ligt altijd op een symmetrie-as, als die er is. NB: Je had de spiegelsymmetrie ook al kunnen gebruiken bij het berekenen van de oppervlakte A, door op te merken dat de oppervlakte van het totale gebied gelijk is aan twee keer de oppervlakte van het gebied aan slechts ´e´en kant van de symmetrie-as, oftewel Z 1 A=2 (x − x2 )dx = 2[ 12 x2 − 13 x3 ]10 = 2( 12 − 13 ) = 13 . 0
5
