Zwaartepunten, traagheidsmomenten en verdeelde belasting
Opgeloste Vraagstukken 6.1
Een dunne draad ligt in de driedimensionale ruimte en bestaat uit een kwadrant AB van een cirkel samen met twee rechte stukken BC en CD, die evenwijdige met de z- en x-as georiënteerd zijn, respectievelijk, zoals getoond in Fig. 6-5. Bepaal het zwaartepunt van de draad.
Fig. 6-5 OPLOSSING De plaatsbepaling van de zwaartepunten van alle drie segmenten is bekend of kan eenvoudig gevonden worden, en dus gebruiken we een som. Voor xzw geldt er dan: x ( ∆L ) i i =1, 2,3 zw,i xzw = (∆L)i
∑ ∑i =1,2,3
waarbij xzw,i de afstand voorstelt van het yz-vlak naar het zwaartepunt van elk segment, en (∆L)zw,i de lengte van elk stuk, en we beschouwen de stukken AB, BC, en CD in die volgorde. Dan geldt er:
21
2 R πR 5 3 + R( R 2 ) + R( R) π 2 8 4 xzw = = 0,722R, πR 3 +R 2+ R 2 4 2 R πR +0+0 y zw,i (∆L)i i =1, 2,3 yzw = = π 2 = 0,268R, πR 3 ( ∆L ) i +R 2+ R i =1, 2,3 2 4
∑ ∑
zzw =
6.2
∑i =1,2,3 z zw,i (∆L)i = ∑i =1,2,3 (∆L)i
0+
R 2 3 ( R 2 ) + R 2 ( R) 2 4 = 0,722R. πR 3 +R 2+ R 2 4
Bepaal het zwaartepunt van een driehoek. OPLOSSING We gebruiken het coördinatensysteem zoals in Fig. 6-6. Dan is de y-coördinaat van het zwaartepunt: yzw =
∫ ydA A
Fig. 6-6 Het is het eenvoudigste om een element zo te kiezen dat y hetzelfde is voor alle punten in het element. Het horizontale gearceerde gedeelte in de figuur voldoet aan deze voorwaarden, en de ‘elementaire’ oppervlakte dA van het element is sdy. Dus, yzw =
∫ ysdy
A Het product y × sdy stelt het moment voor van het gearceerde element rond de x-as. Door evenredigheden in gelijkvormige driehoeken te gebruiken, volgt s/b = (h - y)/h. Door de waarde van s te vervangen in de vorige integraal, komt er h b y (h − y )dy 2 h b 0 h yzw = = y (h − y )dy bh / 2 h2 0 h
∫
∫
h
h
y 2 y3 2 h 3 h3 h = (h − ) = ( − )= 2 2 3 3 h h 2 2 0 3 0 xzw wordt gevonden door een gelijkaardige redenering. 2
22
6.3
(Niet) Omdat het resultaat in het vervolg wordt gebruikt vermelden we het: Het zwaartepunt van een halve cirkel met diameter op de x-as en met de y-as als symmetrieas is (0, 4r/3π) en dit van een kwart cirkel in het eerste kwadrant begrensd door de x-as en de y-as is (4r/3π, 4r/3π).
6.4
Het oppervlak OAB in Fig. 6-8 wordt begrensd door de coördinaatassen en de parabool y = H(1 – x2/K2). Bepaal de x- en y-coördinaten van het zwaartepunt van het oppervlak. OPLOSSING Per definitie wordt de y-coördinaat van het zwaartepunt gegeven door yzw =
∫ ydA
(1). A Om de integraal te evalueren, selecteren we een dun verticaal element (gearceerd in Fig. 6-8) met hoogte y en breedte dx; het zwaartepunt van dit elementair rechthoekig element ligt in het middelpunt van de hoogte, dat is, een afstand van y/2 boven de x-as.
Fig. 6-8 Het moment van dit element is dan (y/2)ydx. De oppervlakte A in de noemer van (I) is dan de som (de integraal) van alle dergelijke rechthoekige elementen. Daarom komt er dus:
1 K 2 2x2 x4 y H (1 − 2 + 4 )dx ydx ∫0 2 = 2 0 2 K K yzw = = H. 2 K 5 K x H (1 − 2 )dx ∫0 ydx 0 K De x-coördinaat van het zwaartepunt is xzw = ∫xdA/A. We gebruiken hetzelfde rechthoekige element en vinden zo dat: K
∫
∫
K
K
∫ xydx K ∫0 ydx
xzw = 0
6.5
=
∫0
xH (1 −
x2
)dx 3 K2 = K. 2 8 K x H (1 − 2 )dx 0 K
∫
Bepaal het zwaartepunt van het gearceerde oppervlak in Fig. 6-9, dat het gebied is dat overblijft nadat een hoek en een halve cirkel van een rechthoekig gebied wordt verwijderd.
Fig. 6-9 OPLOSSING
23
6.6
Het gearceerde deel bestaat uit (1) een rechthoek van 150mm bij 300mm, min (2) een driehoek van 150mm bij 75mm, min (3) een halve cirkel. Vermits de zwaartepunten van (2) en (3) werden bepaald in vraagstukken 6.2 en 6.3, respectievelijk, is integratie niet nodig en kan een eindige som worden gebruikt. De y-coördinaat van het zwaartepunt wordt gegeven door yzw = ∫ydA/A. De teller, die het moment voorstelt van het gearceerde deel rond de x-as, kan worden geëvalueerd door het moment te nemen van de rechthoek, min dat van de driehoek, min dat van de halve cirkel. Dus: 1 1 4.50 150.300.75 − 150.75.100 − π (50) 2 150 − 2 2 3π yzw = = 65,08mm. 1 1 2 150.300 − 150.75 − π (50) 2 2 Op dezelfde wijze wordt de x-coördinaat van het zwaartepunt gegeven door xzw = ∫xdA/A. De teller stelt hier het moment voor van de rechthoek, min dat van de driehoek, min dat van de halve cirkel, rond de xas. Dus: 1 1 150.300.150 − 150.75.25 − π (50) 2 200 2 2 xzw = = 164,3mm. 1 1 150.300 − 150.75 − π (50) 2 2 2 Bepaal het zwaartepunt van het I-profiel van Fig. 6-8. OPLOSSING Het zwaartepunt, dat op de y-as ligt, heeft als y coördinaat yzw = ∫ydA/A. De doorsnede van het I-profiel kan worden verdeeld in vijf rechthoeken die het samenstellen, zoals getoond in de figuur, en de teller van de uitdrukking kan worden geëvalueerd door numeriek optellen. Dus:
Fig. 6-10
75.50.300 + 75.50.300 + 50.325.325 / 2 + 50.100.25 + 50.100.25 = 152,3mm. 75.50 + 75.50 + 50.325 + 50.100 + 50.100 De horizontale as die gaat door het zwaartepunt werd in de figuur aangeduid met xG. yzw =
6.7
Bepaal de x-coördinaat van het zwaartepunt van het geschaduwde gebied in Fig. 6-11, dat bestaat uit een kwadrant van een cirkel waaruit een kleinere halve cirkel werd verwijderd.
Fig. 6-11
24
OPLOSSING De x-coördinaat van het zwaartepunt van het geschaduwde gebied wordt gegeven door xzw = Σi=1,2xi(∆A)i / Σi=1,2(∆A)i. De plaats van het zwaartepunt van een cirkelkwadrant werd gegeven in Vraagstuk 6.3. De xcoördinaat van het zwaartepunt van een halve cirkel ligt op de verticale as van symmetrie, d.w.z. op een afstand van 3R/4 van de y-as. Dus:
xzw =
R π R 4R π 2 R − (R − ) 3π 4 4 22
π 4
6.8
R − 2
π R
2
2
= 0,099R.
22
Het lichaam uit Fig. 6-12 bestaat uit (1) een rechthoekig blok, plus (2) een kleiner rechthoekig op een groter blok, plus (3) een driehoekige wig op het rechtse einde, min (4) een gat met een diameter van 1 cm geboord in het grotere blok, plus (5) een vaste cirkelvormige schijf vastgemaakt aan de voorkant van het blok. Zowel de schijft als het gat zijn gecentreerd op de hoogte van het grotere blok, 2,5 cm boven de xzas, zoals getoond. Bepaal de x-coördinaat van het zwaartepunt van het lichaam, rekening houdend met de dimensies gegeven in de figuur.
Fig. 6-12 De x-coördinaat van het zwaartepunt wordt gegeven door: xzw =
∑i=1,2,3 x zw,i (∆V ) i ∑i=1,2,3 (∆V ) i
De twee sommen kunnen mooi uitgerekend worden in een tabelvorm, als volgt: Volume 1 2 3 4 5 Totaal
xzw,i in cm 6 6 13 9 3
Dus is xzw = 716,4/107,6 = 6,66. 6.9 tot 6. 21 (niet)
(∆ ∆V)i in cm3 12.1,5.5 = 90 4.1.1,5 = 6 ½ 5.3.1,5 = 11,25 -π.(0,5)2.1,5 = -1,178 π.(1)2.0,5 = 1,57 107,6
xzw,i(∆ ∆V)i in cm4 540 36 146.3 -10,6 4.71 716.4
25
Aanvullende vraagstukken 6.22
Een dunne draad in de drie dimensionale ruimte bestaat uit een kwadrant van een cirkel AB in het yz-vlak, een recht stuk BC evenwijdig met de x-as en liggend in het xy-vlak, en een recht stuk CDE dat ook in het xy-vlak ligt maar zich uitbreidt over een afstand van 2R onder het xz-vlak (Fig. 6-37). Bepaal de plaats van de y-coördinaat van het zwaartepunt van de draag. Ant. yzw = 0,165R.
Fig. 6-37 6.23
Bepaal de y-coördinaat van het zwaartepunt van een parabolisch oppervlak georiënteerd zoals getoond in Fig. 6-38. Ant. yzw = 2a/5.
Fig. 6-38 6.24
Bepaal het zwaartepunt van de doorsnede van het kanaal getoond in Fig. 6-39. xzw = 0.
Fig. 6-39
Ant.
yzw = 4,1mm;
26
6.25
Bepaal het zwaartepunt van het gearceerde deel in Fig. 6-40, waarin een rechthoek werd verwijderd uit een halve schijf. Ant. xzw = 0; yzw = 70 mm.
Fig. 6-40 6.26
Bepaal het zwaartepunt van het gearceerde deel in Fig. 6-41, dat overblijft wanneer een gelijkzijdige driehoek werd verwijderd uit een rechthoek. Ant. xzw = 0; yzw = 102,5 mm.
Fig. 6-41 6.27
Bepaal de y-coördinaat van het zwaartepunt van het gearceerde deel in Fig. 6-11.
6.28
(niet).
6.29
Bepaal de y-coördinaat van het zwaartepunt van het volume in Fig. 6-12.
Ant.
Ant.
yzw = 0,637R.
yzw = 2,67cm.
27
EXTRA (uit het andere boek) 10.16 Bepaal het zwaartepunt van het volume getoond in Fig. 10-22. Het gat van 40mm is geboord in het middelpunt van het bovenvlak en staat loodrecht op dat vlak. OPLOSSING Uit de symmetrie van de figuur volgt dat zzw = 120 mm. Stel dat het parallellepipedum wordt genoteerd met 1, het driehoekige stuk met 2, en het cilindervormige met 3. De waarden die nodig zijn voor de formules worden gegeven in de volgende tabel. Vorm 1 2 3 xzw = yzw =
V 1728 × 103 432 × 103 7,54 × 103
xzw 60 140 60
yzw 30 20 30
1728 × 103.60 + 432 ×103.140 - 75,4 ×103.30 1728 ×103 + 432 × 103 - 75,4 × 103 1728 × 103.30 + 432 ×103.20 - 75,4 ×103.30 1728 ×103 + 432 × 103 - 75,4 ×103
= 76,6 mm
= 27,9 mm
Fig. 10-22
Fig. 10-23
10.17 Drie bollen met volumes 10, 15 en 25 cm3 zijn gesitueerd met betrekking tot een staaf zoals getoond in Fig. 10-23. Bepaal het zwaartepunt van de drie volumes. OPLOSSING Leg de x-as volgens de staaf. Een tabel geeft de lijst van gegevens. Vorm 10 15 25
V 4 12 24
yzw 4 cos 30° -6 cos 45° -4 cos 60°
zzw -4 sin 30° 6 sin 45° -4 sin 60°
10 × 4 + 15 ×12 + 25 × 24 = 16,4 cm 10 + 15 + 25 10 × 4 × 0,866 − 15 × 6 × 0,707 − 25 × 4 × 0,500 yzw = = -1,58 cm 50 -10 × 4 × 0,500 + 15 × 6 × 0,707 − 25 × 4 × 0,866 zzw = = -0,86 cm 50 Merk op dat de getallen 10, 15 en 25 even goed gewichten of massa’s kunnen voorstellen, want hiervoor volstaat het ze te vermenigvuldigen met hun massadichtheid. xzw =
