ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI 2 ARAH 1)
Analisis Ragam Klasifikasi Dua Arah Analisis ragam klasifikasi dua arah adalah analisis ragam klasifikasi pengamatan yang berdasarkan dua kriteria. Dalam analisis ini perlu untuk mengetahui apakah sebagian keragaman ditentukan oleh perbedaan antarbaris atau disebabkan perbedaan antarkolom. Sehingga hipotesis yang diajukan: a. Mengetahui perbedaan keragaman disebabkan perbedaan antarbaris
b. Mengetahui perbedaan keragaman disebabkan perbedaan antarkolom
Penyusun data untuk kasus dengan menggunakan penyelesaian analisis ragam dua arah dapat disajikan seperti dalam table berikut: Kolom …. j
….
1
….
….
̅̅̅
2 .
…. .
…. .
̅̅̅ .
Baris
1
.
2
.
.
….
I . .
. .
. .
. .
Total
. .
̅̅̅
….
.
. .
. .
. .
….
. . ̅̅̅
…. ̅
Nilai rata
̅
….
…. ̅̅̅
.
….
….
R
c
Total
̅̅̅
T...
̅̅̅̅̅
Keterangan : c : banyak kolom r : banyak baris Xij : pengamatan baris ke-i dan kolom ke-j Ti. : total seluruh pengamatan dari baris ke-i T.j : total seluruh pengamatan dari baris ke-j T… : total seluruh rc pengamatan ̅̅̅̅ nilai rata seluruh rc pengamatan ̅ : nilai rata seluruh pengamatan pada baris ke-i ̅̅̅̅ : nilai rata seluruh pengamatan pada kolom ke-j Seperti pada anlisis ragam sebelumnya rumus hitung yang dipergunakan pada analisis ragam dua arah antara lain : a) Jumlah kuadrat total (JKT)
∑∑ b) Jumlah kuadrat untuk nilai rata-rata kolom (JKK) ∑
c) Jumlah kuadrat untuk nilai rata-rata baris (JKB) ∑ d) Jumlah kuadrat galat JKG = JKT – JKK - JKB e)
dengan
( )( ) Hasil dari perhitungan dengan rumus-rumus diatas kemudian disusun dalam tabel analisis ragam sebagai berikut : Sumber Jumlah Db Kuadrat tengah F-Hitung Keragaman kuadrat Baris JKB r-1
Kolom
JKK
c-1
Galat
JKG
(r-1)(c-1) (
)(
)
Total JKT rc-1 Keterangan : r : banyak baris c : banyak kolom Penarikan kesimpulan dalam analisis ini dilakukan dengan cara membandingkan antara F-hitung dengan F-tabel, dan keputusan yang diambil adalah : Jika F-hitung > F-tabel, maka H0 ditolak Jika F-hitung < F-tabel, maka H0 diterima 1.1. Contoh soal Data berikut adalah nilai yang dicapai tiga mahasiswa dalam lima kali kuis mata kuliah statistika Mahasiswa Kuis KeTotal Nilai rata A B C 1 25 52 61 138 46 2 31 27 37 95 31.67 3 26 36 29 91 30.33 4 45 20 32 97 32.33 5 28 30 21 79 26.33 Total 155 165 180 500 -
Nilai Rata 31 33 36 33.33 Melalui analisis ragam dua arah dengan taraf nyata 5% ujilah bahwa : - Ketiga mahasiswa tersebut memiliki kemampuan yang sama - Kelima kuis tersebut memiliki tingkat kesulitan yang sama Jawab : 1.
2. 3. Perhitungan
Sumber Keragaman Kuis
Jumlah kuadrat 666.66
Db 4
Kuadrat tengah 166.7
Mahasiswa
63.33
2
31.11
Galat
1099.34
8
137.42
Total
1829.33
14
F-Hitung
4. Wilayah
2)
(
)
(
)
5. Kesimpulan : Terima dan dapat disimpulkan bahwa kemampuan ketiga mahasiswa untuk mata kuliah statistika adalah sama Terima dan dapat disimpulkan bahwa kelima kuis tersebut memiliki tingkat kesulitan yang sama. Analisis Ragam dua arah dengan interaksi Untuk menyajikan rumus bagi analisis ragam dengan pengamatan yang diulang dengan memperhatikan susunan baris dan kolom dan ulangan pengamatan, kita tetap mempunyai sel tetapi setiap sel berisi pengamatan. Kita lambangkan pengamatan kedalam baris ke- dan lajur ke- dengan . Seperti dalam tabel:
Baris
1
Kolom 1
2
. . .
. . .
...
...
c
Total
. . .
̅
̅
... 2
. . .
Total Nilai Tengah
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
...
...
. . .
. . .
... ̅
̅
...
Nilai Tengah
̅
. . .
̅ ̅
Tabel 2 Klasifikasi dua arah dengan beberapa pengamatan per sel Keterangan : = Jumlah pengamatan dalam sel ke= Jumlah pengamatan dalam baris ke= Jumlah pengamatan dalam kolom ke= Jumlah semua pengamatan ̅ = Nilai rata-rata pengamatan dalam sel ke̅ = Nilai rata-rata pengamatan dalam baris ke̅ = Nilai rata-rata pengamatan dalam kolom ke̅ = Nilai rata-rata semua pengamatan Dalam analisis ragam klasifikasi dua arah dengan interaksi, hipotesis yang akan diuji ada tiga yaitu : 1. sekurang-kurangnya satu 2. sekurang-kurangnya satu 3. ( ) ( ) ( ) sekurang-kurangnya satu ( ) Keterangan : Pengaruh/efek baris Pengaruh/efek kolom
Pengaruh interaksi baris dan kolom Masing-masing uji tersebut akan didasarkan pada pembanding nilai dugaan yang bebas bagi , yaitu dengan cara menguraikan jumlah kuadrat total menjadi empat komponen melalui : JKT = JKB + JKK + JK(BK) + JKG Berikut merupakan langkah-langkah dalam menyelesaikan analisis ragam dua arah, yaitu : 1. Tentukan 3 hipotesis yang akan diuji. 2. Tentukan : *( ) a. : ( )+ ) ( b. : *( )+ )( c. : *( ) ( )+ 3. Perhitungan nilai Rumus hitung jumlah kuadrat: ∑∑∑ ∑ ∑ (
) ∑
∑
∑
∑ (
)
4. Susun tabel analisis ragamnya, seperti gambar di bawah : Sumber Jumlah Derajat Bebas Kuadrat Tengah Keragaman Kuadrat Baris
JKB
Kolom
JKK
Interaksi
JK(BK)
Galat
JKG
Total
JKT
( ) (
5. Tentukan wilayah : *( ) ( a. )+ *( ) ( b. )+ *( )( c. ) ( )+ 6. Penarikan Kesimpulan Jika , maka diterima Jika , maka ditolak 2.1. Contoh soal
( ) )( )
)( ( )
(
)
Mahasiswa mengadakan survey terhadap jumlah kendaraan (mobil pribadi, bus, dan truk) yang melintasi Jalan Tol Gempol Surabaya-Malang pada pagi,siang, dan sore selama 1 Jam dalam 3 kali pengulangan pengamatan, dengan data sebagai berikut : Waktu (dalam jangka waktu 1 jam) Kendaraan Pagi Siang Sore 56 75 58 Mobil Pribadi 60 57 63 46 50 45 35 42 57 Bus Umum 55 54 45 45 46 37 70 26 36 85 36 54 Truk 76 32 32 Gunakan taraf nyata 5% untuk menguji bahwa : A. Tidak ada perbedaan nilai rata-rata hasil pengamatan diantara 3 jenis kendaraan tersebut! B. Tidak ada beda nilai rata-rata hasil pengamatan diantara 3 waktu pengamatan ! C. Kendaraan dan waktu pengamatan tidak berinteraksi ! Jawab 1. a. sekurang-kurangnya satu b. sekurang-kurangnya satu ( ) ( ) ( ) sekurang-kurangnya satu ( )
c. 2. 3.
Perhitungan Kendaraan K1 K2 K3 Total Nilai Tengah
W1 162 135 231 528 176
W2 182 142 94 418 139,33
∑∑∑ ∑ ∑ (
)
∑
∑
∑
∑
W3 166 139 122 427 142,33
Total 510 416 447 1373 457,67
(
4.
5.
6.
)
Tabel analisis ragam dua arah dengan interaksi Sumber Keragaman
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas
Kendaraan
509,85
254,925
Waktu
828,97
414,49
Interaksi
2746,59
686,65
Galat Total
1526 5611,41
84,78
Kuadrat Tengah
Wilayah H1 *( *( *( Kesimpulan a.
) ( )+ ) ( )+ )( ) (
( ( )+
) ) (
)
b. c. 3.
Uji Pembandingan Berganda
Hasil yang diperoleh melalui analisis ragam dengan uji F , didperoleh kesimpulan terdapat adanya pengaruh atau perbedaan antargrup, akan tetapi belum dapat menjelaskan grup atau populasi yang manakah yang berbeda dan grup mana yang tidak berbeda. Kecuali populasi yang di amati hanya terdapat 2 populasi saja, sudah jelas nampak bahwa dalam penarikan kesimpulan keputusan yang didapatkan antara kedua populasi tersebut sama atau tidak sama. Untuk menentukan grup mana yang berbeda, jika populasi yang diamati > 2 populasi, perlu mebandingkan grup satu persatu. Sebagai contoh grup yang dibandingkan ada 3 grup (K, L, M ) dan ( p = 3 ) dalam hal ini p adalah banyak grup atau populasi, maka banyak kemungkinan pasangan yang akan dibandingkan adalah
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
Dalam hal ini ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ masing-masing secara berturut-turut adalah nilai tengah dari grup K , L , M . sehingga apabila kita memiliki grup sebanyak n yang akan di analisis, banyak kemungkinan pasangan yang akan dibandingkan adalah sebanyak ( )
(
)
( ) ( ) merupakan rumus kombinasi dimana dan . pembandingan-pembandingan seperti inilah yang disebut dengan uji pembandingan berganda. Ada beberapa macam uji untuk pembandingkan berganda, salah satunya dengan uji t. Pembandingan uji tersebut dinaamkan dengan Uji Nyata Terkecil (UNT). Dalam pengujian ini ditentukan suatu nilai /besaran yang dipergunakan untuk memutuskan apakah 2 nilai tengah yang dibandingkan berbeda nyata atau tidak. Besaran ini dinamakan Beda Nyata Terkcil (BNT). Misalkan terdapat 2 grup dengan rata-rata pengamatan ̅̅̅̅ dan ̅̅̅ , maka untuk ) bagi selisih membandingkan kedua grup tersebut daapat dibuat selang kepercayaan ( dua nilai tengah grup tersebut, yaitu (( ̅
̅ )
⁄ ( )
√
Atau batas kepercayaan untuk ( (̅
̂
(̅
̅ )
⁄ ( )
√
)
) , yaitu: ̅ )
⁄ ( )
√
Dengan, ⁄ ( )
s
=
Titik kritis sebaran t untuk taraf nyata α dan dengan db galat = v
= =
Penduga Banyaknya pengamatan untuk grup K dan L berturut-turut.
Dengan hipotesis , apabila akan mengandung nilai nol, dan sebaliknya jika kepercayaan akan mengandung nilai nol jika ;
) diterima, selang kepercayaan ( ̅ ̅ ditolak. Artinya, , dan selang
(̅
⁄
̅ )
( )
√
( )
√
Dan tidak mengandung nol jika (̅
⁄
̅ )
Dengan demikian, beda nyata terkecil pada taraf nyata α ( BNT(α) ) adalah ( )
⁄ ( )
√
Merupakan nilai terkecil untuk menunjukkan adanya perbedaan antara ,besaran : (
√
√
) atau
√
dan
untuk
Disebut dengan galat baku beda selisih 2 nilai rata-rata atau disingkat dengan galat ̅ ). (̅ baku beda, dan dicatat dengan Diketahui bahwa pada analisis ragam. Oleh karena itu, maka : (̅
̅ ) (̅
(
√ ̅ )
√
) untuk
, dan
untuk
Daftar pustaka : Pramoedyo, Henny.2013.Statistika Inferensia Terapan.Danar Wijaya.Malang
