adalah biaya marginal dari C terhadap Q x adalah biaya marginal dari C terhadap Q y Umumnya biaya marginal adalah positif C

A. Pendahuluan. Seperti telah diketahui bahwa diferensial membahas tentang tingkat perubahan sehubungan dengan perubahan kecil dalam variable bebas fungsi bersangkutan. Dengan diferensial dapat diketahui kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok, titik pelana dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat-manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum. Dalam hal fungsi dengan satu variable bebaspun dapat diturunkan lagi. Turunan berikut dari turunan parsial tadi sudah barang tentu bias sangat bervariasi, tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut. Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang terdiri dari satu variable bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam. Konsep derivatif parsial hanya dapat digunakan pada fungsi dengan 2 atau lebih variable bebas dimana variable-variabel bebas itu seringkali mempengaruhi satu sama lain. B. Aplikasi Ekonomi untuk Derivatif Lebih dari Satu Variable. 1. Biaya Marginal Jika fungsi biaya untuk menghasilkan dua produk x dan y adalah : C=f(Q x,Qy), maka derivatif parsial dari C terhadap Qx dan Qy disebut sebagai fungsi biaya marginal; jadi :

C adalah biaya marginal dari C terhadap Qx Qx

C adalah biaya marginal dari C terhadap Qy Q y Umumnya biaya marginal adalah positif (

C C  0 dan  0) Qx Q y

Contoh: Jika biaya gabungan untuk menghasilkan produk X dan Y berbentuk

C  25  3Qx2  Qx Qy  4Qy2 , maka :

C  6Qx  Q y Qx

C  Qx  8Qy Q y Seandainya Qx=2 dan Qy = 5, maka

C  17 dan Qx

C  42 ; Qy

C  17 artinya, dengan nilai Qy dianggap konstan yaitu 5. Maka setiap tambahan satu Qx unit produksi Qx akan meningkatkan (menambah) biaya sebesar 17.

C  42 , artinya..? Qy 2. Permintaan Marginal dan Elastisitas Permintaan Parsial Jika dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut. Qda = f(Pa,Pb) dan Qdb = f(Pa,Pb) Derivatif parsial dari fungsi tersebut dinamakan permintaan marginal. Derivatif dari fungsi-fungsi tersebut ada 4 macam.

Qda adalah marginal permintaan akan barang A berkenaan dengan Pa Pa

Qda adalah marginal permintaan akan barang A berkenaan dengan Pb Pb Qdb adalah marginal permintaan akan barang B berkenaan dengan Pa Pa Qdb adalah marginal permintaan akan barang B berkenaan dengan Pb Pb Elastisitas Permintaan Parsial  Elastisitas harga permintaan : Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang itu sendiri



 da 

%Qda EQda Qda Pa   * %Pa EPa Pa Qda

 db 

%Qdb EQdb Qdb Pb   * %Pb EPb Pb Qdb

Elastisitas Silang permintaan: Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang lain.

 ab 

%Qda EQda Qda Pb   * %Pb EPb Pb Qda

ba 

%Qdb EQdb Qdb Pa   * %Pa EPa Pa Qdb

Jika ab  0 danba  0  A dan B saling melengkapi (komplementer), artinya jika harga salah satu barang turun, akan mengakibatkan kenaikan permintaan terhadap keduanya. Jika ab  0 danba  0  A dan B kompetitif (substitutif), artinya jika harga salah satu barang turun, akan mengakibatkan kenaikan permintaan terhadap barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang lainnya Contoh 1: Fungsi permintaan akan barang A dan B masing-masing adalah sebagai berikut: A: Qda Pa2Pb3  1  0 B: Qdb Pa3Pb  1  0 Tentukan elastisitas masing-masing barang dan hubungannya. Jawab.

Qda Pa2Pb3  1  0

1  Pa 2Pb3 3 P Pb

Qda 

2 a

Qdb Pa3Pb  1  0

Qdb 

1  Pa3Pb1 P Pb 3 a

Qda   2Pa3Pb3 Pa

Qdb   Pa3Pb 2 Pb

Qda   3Pa 2Pb 4 Pb

Qda   3Pa 4Pb1 Pa

Maka:

 da 

Qda Pa P *   2Pa3Pb3   2 a 3 =-2 Pa Qda Pa  Pb

 db 

Qdb Pb P *   Pa3Pb 2  3 b 1  1 Pb Qdb Pa  Pb

 ab 

Qda Pb P *   3Pa 2 Pb 4   2 b 3   3 Pb Qda Pa Pb

ba 

Qdb Pa P *   3Pa 4 Pb1  3 a 1   3 Pa Qdb Pa Pb

| da |1  Barang A adalah elastis | db | 1  Barang B adalah unitary elastis

 ab  0 dan ba  0  Barang A dan B bersifat komplementer. Contoh 2: Fungsi permintaan dari 2 macam produk adalah:

Qx  17  2 Px  Py Q y  14  Px  2 Py Maka fungsi permintaan marjinalnya adalah:

Qx  2  0 Px

Qx  1  0 Py Qy  1  0 Px Qy  2  0 Py Karena

Qy Qx  0 dan  0 , maka kedua produk bersifat komplementer. Px Py

1. Produktivitas Marginal (MP) Produk marjinal adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marginal rnerupakan derivatif pertarna dari fungsi produk total. Beberapa faktor produksi untuk memproduksi barang Antara lain misalnya tanah, bahan baku, modal, mesin-mesin, dan sebagainya. P  f ( x1 , x2 ,...., xn ) , dimana : P =Jumlah keluaran xi = masukan yang digunakan (i = 1,2,…,n) Jika ada dua macam masukan variabel (k dan l), maka fungsi produksinya : P=f(k,l)

Produk Marjinal Parsial :

P = Produk marjinal berkaitan dengan k k P = Produk marjinal berkaitan dengan l l Contoh. Fungsi Produksi suatu barang dinyatakan dengan P  6k 2 / 3l 1 / 3 a>. Bentuklah fungsi produksi marjinal untuk masing-masing faktor produksi b>. Berapa produk marjinal tersebut jika digunakan 8 unit k dan 27 unit l Jawab.

P  4k 1 / 3l 1 / 3 k P MPl   2k 2 / 3l  2 / 3 l

a.> MPk 

b.> Jika k=8 dan l=27, maka

4l 1 / 3 4(27)1 / 3 MPk  1 / 3  6 k 81 / 3 2.8 2 / 3 8 MPl  2 / 3  l 9 2. Utilitas Marginal Parsial & Keseimbangan Konsumsi Jika U = kepuasan konsumsi xi = Barang-barang yang diproduksi maka fungsi utilitas : u =f(x1,x2,…,xn) untuk 2 macam barang konsumsi : u=f(x,y)

u = utilitas marjinal berkenaan dengan x x u = utilitas marjinal berkenaan dengan y y Contoh: Kepuasan konsumsi untuk 2 barang yang dikonsumsi x dan y : u  x 2 y 3 a> Bentuklah fungsi utilitas marginal untuk masing-masing barang b> Berapa utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit x dan 13 unit y Jawab. a> u  x 2 y 3 Marjinal Utilitas terhadap x = MU x 

U  2xy 3 x

Marjinal Utilitas terhadap y = MU y 

U  3x 2 y 2 y

b> Jika x=14 dan y=13, maka

MU x  2 xy 3  2 14 133  61.516

MU y  3x 2 y 2  3 14 2 132  99.372 Latihan: 1. Diketahui pasangan fungsi permintaan berikut. Tentukan fungsi permintaan marjinal, sifat hubungan diantara kedua barang dan elastisitas permintaan parsial. a. Qda  20  2Pa  Pb dan Qdb  9  Pa  2Pb b. Qdx 

Py Px2 Py

Qdy 

dan

Px2 Px Py2

2. Untuk setiap fungsi produksi Q=f(K,L) berikut ini, carilah produktivitas marjinal terhadap k dan l a. Q  5KL  2 K 2  2 L2

pada K=1 dan L=1

b. Q  0.03K 3  0.4 KL  0.5L

1/ 2

pada K=8 dan L=4