Žáci se specifickými poruchami učení

Žáci se specifickými poruchami učení

V podmínkách výuky matematiky na Střední škole stavební Jihlava

vypracovali Tomáš Krásenský a Marie Zapomělová

1

Žáci se specifickými poruchami učení Žáci s SPU v podmínkách výuky matematiky na Střední škole stavební Jihlava Typologie, diagnóza a prognóza SPU je značně komplikovaná psychologicko pedagogická disciplína, která ani zdaleka ještě není uzavřená. Není v silách řadového učitele zvládat detaily jednotlivých poruch. Cílem péče o žáky s těmito poruchami je v zájmu jich samotných, školy i celé společnosti umožnit rozvoj těch schopností, které jako jedinci mají. Je proto důležité, aby škola a učitelé chápali hlavní problémy, které žákům z jejich poruchy plynou a dokázali hledat způsoby, jak se problémům vyhnout. Z hlediska učitele je významné rozlišovat zejména tři typy poruch: • dyslexii jako obtíže při čtení a vnímání zrakem vůbec • dysgrafii jako obtíže při vyjadřování se graficky • dysortografie jako obtíž při sluchovém vnímání (analýza a syntéza slyšeného) • dyskalkulii jako obtíže při provádění základních matematických operací • - a navíc je třeba počítat i dětmi s lehkými mozkovými dysfunkcemi (tzv. ADHD), zejména hyperaktivitou a hypoaktivitou, impulsivitou, nesoustředěností, … Dyslexie a dysgrafie ovšem často souvisejí, na druhé straně má každá ještě jemnější dělení. Každá z poruch se vyskytuje ve více stupních – hloubkách – projevu. Naše škola poskytuje zhruba řečeno dva typy středního vzdělání • „maturitní“ – čtyřleté studium, zakončené maturitní zkouškou • „učňovské“ – tříleté, zakončené učňovskými zkouškami a získáním výučního listu (s možností pokračovat ve dvouletém studiu zakončeném maturitou) o dvouleté odborné vzdělání pro žáky se značnými studijními problémy Středoškolské studium navazuje na základní školu. Bylo by vhodné, kdyby SPU byly u žáků diagnostikovány a reedukovány již na prvním a druhém stupni ZŠ, tím spíše, že zde je možné vyčlenit zvláštní třídy pro žáky s těmito poruchami a při hodnocení brát ohled na možnosti a potřeby jednotlivých žáků. I ke studiu na naší škole přicházejí žáci s různými SPU. Při výuce s nimi nelze dost dobře nepočítat.

2

Vzhledem k technickému zaměření naší školy a skutečnosti, že poskytuje již v určitém smyslu uzavřené vzdělání, není možné žáky hodnotit jen podle jejich možností a potřeb, ale je nutné splnit i určité – často dosti značné – požadavky profesní přípravy žáků, které jsou konec konců zjišťovány závěrečnou maturitní či učňovskou zkouškou. Je možné odhlédnout od těch předmětů, které nebudou přímo spojené s očekávaným profesním životem žáka, ale odborné znalosti a dovednosti je třeba požadovat v plné míře (podle typu studia například čtení výkresů, čtení a nárty schémat zapojení, důležité operace s čísly, plochami, objemy, …). K tomu, aby žáci s SPU tyto nutné složky své profese podle schopností zvládli, je třeba využít postupy výuky, procvičování a hodnocení, které odpovídají jejich změněným výchozím podmínkám tak, aby bylo pokud možno dosaženo cíle. Zde navržené postupy k tomu mohou být pomůckou.

3

Komplikace, které mohou SPU způsobovat v matematice: • Dyslexie: o Problémem jsou písemně zadané slovní úlohy, které může dyslektik obtížně, pomalu nebo chybně číst nebo chybně pochopit o Při poruše zrakového vnímání a pravolevého vnímání mohou nastat vážné těžkosti při běžných úlohách – například pro vynechání číslic a znaků, chybném posunu desetinné čárky či jiného významného symbolu nebo při i jen malých změnách postupů řešení úloh o Při poruše pravolevého vnímání a prostorové orientace nastávají obtíže při geometrických či stereometrických úlohách • Dysgrafie: o Obtíže se objevují obdobné jako při dyslexii, přibývá nedostatečné grafické či písemné vyjadřování. • Dysortografie: o Snížený jazykový cit znesnadňuje rychlé správné pochopení zejména složitějších mluvených textů. • Dyskalkulie: o Obtíže při pochopení základních matematických operací a vztahů o Obtíže při vykonávání základních geometrických transformací o Obtíže při získávání prostorové představy ƒ

Dyskalkulie je však velmi vzácná diagnóza

• LMD (ADD, ADHD) o Všeobecně obtíže při začleňování se do běžné školní výuky v libovolném předmětu a libovolné činnosti, trvající delší dobu.

Matematika na učňovském směru studia: Technické obory jsou postaveny na práci s materiálem a nástroji, cílem je vytvoření předmětu či zařízení nebo sestavení funkční konfigurace částí, které bezpodmínečně podléhají

4

kontrole funkčností. Jestliže výsledek práce není funkční, nehrají ohledy na poruchy učení roli. Teoretickým podkladem studia je vždy a neodmyslitelně i technická fyzika, jejím jazykem pak matematika. Bez schopnosti provádět a chápat základní matematické operace, nacházet, chápat a měnit číselné, grafické, plošné či prostorové vztahy není možné dobře zvládat řemeslo, natož jeho teorii. Namátkou uveďme čtení technických výkresů, chápání grafů (například charakteristiky čerpadel u instalatérů a další), základních výpočtů (i pro řemeslníky je nutné zvládat přinejmenším dobře přímou i nepřímou úměru, goniometrické funkce, procenta, základy geometrie, finanční matematika, …) Dvouleté učební obory (stavební výroba) jsou svou podstatou určeny žákům se značnými studijními problémy. Neočekává se u nich samostatná zodpovědná odborná práce. V tomto oboru není znalost matematiky a jejího použití nijak významná.

Matematika na maturitním směru studia: Absolventi školy s maturitou jsou vzdělávání především pro středoškolsky a vysokoškolsky vzdělané odborníky. Technika jako aplikovaná fyzika nutně vyžaduje dobrou znalost matematiky a jejího použití. Není přijatelné tolerovat závažné nedostatky ve spolehlivém a tvořivém použití matematiky.

5

Specifické poruchy učení na naší škole Dyskalkulie: • Maturitní směr: z výše uvedené charakteristiky maturitního vzdělání, poskytovaného naší školou je zřejmé, že pro maturitní směr studia je nereedukovaná dyskalkulie prakticky nepřekonatelnou překážkou. Žák s touto diagnózou by ke studiu vůbec neměl být přijat. Pokud se tak stane (například u nerozpoznané dyskalkulie), je úkolem učitelů včas tento problém rozpoznat a žákovi doporučit konzultaci v pedagogicko psychologické poradně a následně změnu studijního oboru (není-li porucha slabá). • Učební obor, zakončený výučním listem: pro tento studijní směr je dyskalkulie vážným problémem. Není nepřekonatelný, ale vyžaduje značné úsilí, věnované získání hlavních matematických dovedností a základní zběhlosti. Při výuce žáků s touto poruchou je třeba včas zhodnotit, je-li žák schopen dostát nárokům, které na něj bude výuka v daném oboru klást. Jako nevyhnutelné minimum je třeba brát úměrnosti, poměry, základy použití goniometrických funkcí a základní geometrické a stereometrické objekty. Není-li žák tyto nároky schopen splnit, je třeba jej včas nasměrovat do pedagogicko psychologické poradny a po konzultaci případně doporučit změnu oboru. • Dvouletý učební obor Stavební výroba: vzhledem k praktickému zaměření tohoto oboru by dyskalkulie neměla být překážkou úspěšného absolvování. Pokud je však dyskalkulie jediný studijní problém, bylo by vhodné po poradě s pedagogicko psychologickou poradnou uvažovat o jiném učebním oboru, který by byl zakončen výučním listem a kde by dyskalkulie nebyla vážnou překážkou.

Dyslexie: • Maturitní směr: vyučující – zejména českého a cizího jazyka – by měli včas rozpoznat, zda je míra dyslexie slučitelná se studiem. Nemusí být osudovou překážkou, pokud žák s učitelem najdou způsob, jak překonat nutnost číst a chápat písemné zadání. Od učitelů matematiky, případně dalších předmětů, které matematiku jako jazyk používají, je třeba očekávat, že během několika měsíců naleznou únosnou míru zadávání písemných prací, případně jiné cesty k zadávání, než psaný text – nebo seznají žákovu poruchu přílišnou pro studium zvoleného oboru. 6

• Tříletý i dvouletý učební obor: vzhledem k převážně praktickému zaměření tohoto studia by dyslexie neměla být vážnou překážkou úspěšného vyučení se.

Dysgrafie: • Všechny směry: vzhledem k rozšiřujícím se možnostem využití počítače při grafickém vyjadřování (výkresy, textové editory, …), neměla by dysgrafie být překážkou úspěšného vystudování matematiky na naší škole. Je však třeba brát poruchu v úvahu při písemných pracích a umožnit získání známky i jinak – ústním zkoušením, testováním, …

Dysortografie: • Všechny směry: problém může zejména nastat v porozumění slyšenému. Vzhledem k převažující písemné a grafické podobě vyjadřování v matematice by tato porucha neměla být překážkou úspěšného absolvování matematiky na naší škole, pokud je učiteli známa.

7

Návrh postupu při výuce matematiky žáků s SPU na naší škole Postup učitelů lze rozdělit do tří kroků (dle PhDr. Martínka – ústní sdělení v přednášce): 1. podle informací z přihlášek (potvrzení z pedagogicko psychologické poradny, sdělení rodičů, …) vytipovat žáky, jichž se SPU týkají a věnovat jim zvýšenou pozornost; navázat kontakt s rodiči, zjistit předchozí úspěchy a neúspěchy žáka a důkladně probrat možnosti a rizika studia na naší škole. 2. pokud jsou signalizované problémy vážné, je třeba během nejlépe prvního pololetí studia znovu zvážit setrvání žáka na škole. Pokud učitel po poradě s kolegy, s rodiči a případně po konzultaci s PPP usoudí, že žák by mohl zvolený obor vystudovat jen s velkými obtížemi, je třeba navrhnout změnu oboru (z maturitního na učební, případně volba jiného než technického studijního oboru) 3. pokud se porucha ukáže slučitelná se studiem na naší škole, je třeba ve spolupráci učitele, žáka a rodičů, případně PPP nalézt způsoby, jak co nejvhodněji rozvíjet ty schopnosti které zůstaly nezmenšeny a ty předměty, které jsou poruchou ovlivněny, rozvíjet v dostatečné míře a klasifikovat s ohledem na možnosti žáka a potřeby oboru. Žák – učitel – výchovný poradce - PPP

ZŠ SŠSJi přijímací řízení: je uchazeč způsobilý absolvovat zvolený obor? (výchovný poradce ředitel)

Žák s SPU na naší škole

ano

(0,5 – 1 rok) Je SPU a další nadání slučitelné se zvoleným oborem? (2 – 4 měsíce)

• Nalézt přirozené schopnosti žáka a ty podle možností rozvíjet • Nalézt hranice, které SPU klade v jednotlivých předmětech (v matematice) o Výuku přizpůsobit výběrem nezbytné látky o Nalézt vhodné prostředky pro zvládnutí nezbytné látky o Nalézt vhodné způsoby přezkušování a známkování nezbytné látky • Směrovat studenta dlouhodobě k oblasti, kde nebude výrazně znevýhodněn

ne

• Navrhnout změnu oboru o Méně náročný obor naší školy o Jiný typ studia – jiná škola

Žák Učitel matematiky Ostatní učitelé Rodiče Pedagogicko psychologická poradna

Žák Rodiče PPP Třídní učitel Výchovný poradce

8

Výuka matematiky žáků s SPU na naší škole ‐ metody Výběr látky • dyskalkulie o maturitní směr: bez omezení o tříletý učební obor: nejdůležitější operace a vztahy, základní dovednosti v práci s čísly, poměry, plochami, objemy o dvouletý učební obor: matematika není rozhodující při výuce tohoto oboru, tedy bez omezení, podle možnosti žáka • dyslexie o maturitní směr: bez omezení o tříletý učební obor: nižší důraz na abstraktní a formální algebraické operace a slovní úlohy o dvouletý učební obor: matematika není rozhodující při výuce tohoto oboru, tedy bez omezení, podle možnosti žáka • dysgrafie o maturitní směr: bez omezení o tříletý učební obor: bez omezení, tolerovat nižší rychlost a kvalitu při zvládání grafických údajů a materiálů o dvouletý učební obor: matematika není rozhodující při výuce tohoto oboru, tedy bez omezení, podle možnosti žáka

Výklad • dyskalkulie o maturitní směr: vzhledem k předpokládanému uplatnění absolventů není dobře myslitelné přizpůsobovat výklad třídě požadavkům žáků s výraznější formou tohoto omezení o tříletý učební obor: rovněž v tomto typu studia je matematika a její metody z větší části neodmyslitelná; při individuální práci s žáky s tímto postižením je třeba dávat důraz na názorné metody výkladu

9

s obrázky, množstvím jiných než číselných vyjádření, hmatatelné objekty; postupy řešení typových úloh omezit na nejnutnější míru a vybrané metody pak uplatňovat a procvičovat opakovaně – nestřídat postupy, jednou zavedený postup používat na různé situace. o dvouletý učební obor: výklad omezit na techniku základních matematických operací; matematika není zásadní součástí tohoto typu studia • dyslexie o maturitní směr: vzhledem k očekávané studijní a technicko odborné perspektivě žáků hledat vhodnou míru pro samostatnou studijní práci, při které nebude obtížnější zvládání psaného textu pro žáka nepřekonatelným problémem. Vhodné jsou grafické a jiné optické metody, výklad vlastními slovy učitele, pokud možno v krátkých a jednoduchých větách s opakováním; žákovi lze poskytnout studijní materiály, které omezí nutnost čtení (předtištěné materiály, audio a video nahrávky, …); lze doporučit pořizování videozáznamu učitelova výkladu žákem. Je však třeba mít na zřeteli i to, že od absolventa maturitního studia se bude očekávat schopnost aktivně číst texty s matematickým obsahem. o tříletý učební obor: důraz na jiné než písemné zadávání úloh, omezení abstraktních algebraických operací, zejména snaha o dobrý názor – „matematické vidění“ bez písemného mezistupně o dvouletý učební obor: základní početní úkoly, zejména s důrazem na názorné zobrazení (sčítání, odčítání, násobení, dělení, poměry). Alespoň mechanické operace a hlavní jevy v grafické podobě. • dysgrafie o maturitní směr: vzhledem k nutnosti grafického vyjadřování ve stavebně technických oborech je třeba očekávat, že případná dysgrafie žáka nebude silná a bude z větší části reedukovaná. Obtíže této poruchy lze zmenšit omezením nutnosti zapisovat a zakreslovat to, co lze udělat jinak, například poskytnutím nakopírovaných náčrtků, heslovitých výtahů látky, kvalitní učebnicí a podobně. Při výuce matematiky lze 10

omezit práci s rýsovacími potřebami prací s grafickými programy na počítači (využití moderních prostředků – interaktivní tabule a příklady připravené pro práci s ní – je na naší škole velmi snadné vzhledem k počtu instalací této pomůcky), pokud je postižena pouze jemná motorika a nikoli schopnost graficky se vyjadřovat. o tříletý učební obor: i pro řemeslníky je důležité dokázat vytvořit text či výkres. Případné dysgrafické obtíže lze obejít omezením požadavků na zdlouhavé a nikoli nezbytné zápisy a nákresy poskytnutím tištěných či jinak pořízených předloh či osnov. Zcela pominout kreslení či rýsování však nelze. o dvouletý učební obor: dysgrafické obtíže lze u žáků v dvouletém oboru očekávat poměrně často. Je třeba s tím počítat a zejména v teorii nepřetěžovat žáky delšími zápisy a nákresy.

Přezkušování a hodnocení • dyskalkulie o maturitní směr: bez omezení. o tříletý učební obor: je třeba vzájemné dohody a souhry učitelů, kde se kvantitativní práce (s čísly a grafy) očekává. Vzhledem k charakteru budoucí profese nelze kontrolu těchto schopností vypustit, lze však zvažovat,

co

budoucí

absolvent

bude

skutečně

potřebovat.

Neodmyslitelné jsou základní číselné operace, základní geometrické postupy (ať už konstrukční nebo výpočty vlastností geometrických útvarů), poměry a úměrnosti. Písemné zadání je zřejmě v úplnosti neodstranitelné – absolvent se s ním bude v praxi setkávat. V případně nepřekonatelných problémů s touto formou zkoušení klást hlavní důraz na zkoušení jiným způsobem: ústně nebo graficky zadané úkoly. o dvouletý učební obor: zcela vypustit jakékoli náročnější úkoly; omezit se na to, co žák zvládne z elementárních početních operací – řešení všemožně upravovat a přizpůsobovat jeho možnostem - využívat zejména grafické, názorné a manipulativní metody a hledat takové cesty, které žákovi řešení usnadní. Zadání může být optické (zápis jednoduchých příkladů číslicemi a znaménky, práce s nejjednoduššími 11

obrazci) sluchové (slovně vysvětlit zadání, případně zkoušet i akustické a rytmické součty, rozdíly, …) a hmatové (kuličky počítadla, stavebnice, …) a také řešení lze očekávat a přijímat v kterékoli z těchto podob. Většinou půjde o současnou kombinaci těchto metod a hledání nejprůchodnější cesty. Učitel ovšem není speciální pedagog, takže se neočekává objevitelská práce na tomto poli. Po poradě s výchovným poradcem, pedagogicko-psychologickou poradnou a ředitelem školy zvážit, co žáci s takovouto poruchou na daném směru mají zvládnout. Oceňovat je třeba i jen snahu a pokrok v pochopení kvantitativních vztahů. • dyslexie o maturitní směr: při zkoušení a klasifikaci studentů maturitního oboru lze odhlédnout od výsledků v písemném vyjadřování. Není třeba klást velké požadavky na pravopis, zadání úkolů lze z části převádět na jiné než písemné. Jako vhodné lze chápat například zadání pomocí obrázků a grafických symbolů, slovně nebo videem. I výsledky lze požadovat v jiné než slovní formě. Pokud možno, je dobré umožnit využití počítače

k zadání

i

zpracování

výsledků.

Naopak

vzhledem

k charakteru oboru nelze dost dobře ustoupit z požadavku pochopit zadání z ústního popisu a z grafických podkladů, při dostatku času i z písemného zadání o tříletý učební obor: při klasifikaci je vhodné využít myslitelných forem zadání: grafické podklady, ústní popis, názorné – fyzické úkoly (názorné i funkční modely, …) – ze zkušenosti žáka a učitele v součinnosti s rodiči, případně PPP pak najít takovou formu zadávání, která bude nejlépe vyhovovat – přinášet nejlepší výsledky. Výstupy úkolů rovněž mají mít různou podobu: obrázky, schémata, slovní popis, počítačové zpracování (tabulka, …). Nehodnotit nepříznivě neúspěchy v písemném vyjadřování, zejména gramatickou stránku textu. Naopak je možné a správné trvat na tom, aby žák zvládal základní matematické operace a postupy i při písemném zadání.

12

o dvouletý učební obor: zkoušení i hodnocení je nutno přizpůsobit obvykle kombinovanému omezení žáků. Kladně hodnotit i snahu o dosažení výsledku. • dysgrafie o maturitní směr: pokud jde o omezení jemných grafických schopností, je vhodné od počátku se soustředit na zjišťování mentálních schopností operací s čísly, pojmy, tvary; tedy nikoli na schopnost tyto operace kvalitně „ručně“ graficky vyjádřit. Po zkušenostech z různých typů požadovaných výstupů dávat přednost zejména zacházení s počítačem, různými programy a podobnými výstupy, dále vyžadovat dobré slovní vyjadřování. Při vhodné látce využít i připravené mechanické pomůcky, zejména v geometrii a podobných partiích matematiky, kde se vyžaduje grafické vyjadřování. Naopak algebraické, aritmetické a další formálně symbolické schopnosti by neměly být omezeny a tedy ani odlišně hodnoceny proti ostatním žákům. o tříletý učební obor: jako vhodné se jeví zadávání různých typů a zejména požadování výsledků v jiné než grafické podobě, například slovní, manipulativní, … Učitel se má snažit ve spolupráci s žákem, rodiči, mistry praktického výcviku a případně PPP nalézt takové formy hodnocení, které by vystihly skutečné schopnosti žáka vykonávat zvolené řemeslo – je třeba dbát na to, aby nebyl žák zbytečně znevýhodňován, ale také aby nebyly přehlíženy neschopnosti, které by se v praktickém životě ukázaly být vážným problémem (orýsování materiálu, náčrt výrobku, …) o dvouletý učební obor: zkoušet a známkovat s ohledem na omezené možnosti žáků zejména snahu a ochotu spolupracovat.

13

Návrhy učebních postupů a metod Tento oddíl je zaměřen na praktické výukové a hodnotící metody v matematice na naší škole. Nebude dělen na různé typy studia, učitel si má možnost z předložených návrhů sestavit a připravit vlastní učební postup a styl – je třeba, aby si žáci s SPU a učitel na sebe, své možnosti a způsoby zvykli. Naopak tento oddíl bude zhruba členěn na jednotlivé matematické obory. Zejména algebraické operace, poměry, geometrie – podobnosti, geometrii – výpočty délek, ploch a objemů, stereometrii – prostorovou představivost, grafy funkčních závislostí, … Vzhledem k zastoupení SPU v populaci je žádoucí zejména převádět abstraktní a formálně syntaktické matematické operace na konkrétní, mechanické a manipulační techniky. Výkladová část předpokládá aktivní účast učitele, který se žákům s SPU bude věnovat pokud možno individuálně a zapojí do procesu chápání různé smysly žáka: zrak, sluch, hmat,…

14

Poměry: Tyto úlohy představují poněkud dětinská řešení, ze zkušenosti je však zřejmé, že znázorňování („obrázky“) při řešení zcela zásadně pomáhají. Je vhodné a žádoucí připravit řadu příkladů obdobného typu, nejlépe i s hmatatelnými pomůckami (papír, …) a využívat individuálně v učitelské praxi a rovněž vést žáky k tomu aby si k řešení jednoduchými obrázky pomáhali. 10 10 10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

15

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

Poměry v podobných trojúhelnících: Prakticky velmi důležitý příklad poměrů. Jako pomůcku při vyučování je vhodné použít řadu trojúhelníků, které si skutečně podobné jsou (například odlišit stejnou barvou) a pomocí proměření základních rozměrů určit rozměry další – podle obrázku, ale raději podle modelu. Postačí z papíru či lepenky vystřižené pokud možno velké příklady a špejle k poměřování a rozměřování stran. Urči délky stran trojúhelníků, které jsou si vzájemně podobné:

Zadání 5 3

5 15 5

4

?

5

?

?

?

?

1

10

?

16

Poměry na páce – další z možných přístupů k poměrům: Podle možností lze se studenty navštívit dětské hřiště a ověřit si, jak je třeba rozsadit se na houpačku při různých hmotnostech (dlouhé měřítko s sebou). Stejným způsobem lze demonstraci ve třídě zajisti s jednoduchými pomůckami (špejle, „stojánek“ z polystyrenu, jednoduchá závažíčka – třeba kancelářské sponky, …) a velkými rovnoramennými vahami.

Příklad

Úkol 4x

4m

?x 6m

1m

1m

1x

Příklad 4m

Úkol 2x

2m

?x

6m

2m

1x

Příklad

Úkol

4x 3x

3x

4m

4m

3m

17

2m

?x

Procenta: Každé sloupec desetinu

políčko představuje setinu celku, každý celý řádek nebo 1%= 1/100 celku

10 % = 0,1 celku

20 % = 0,2 celku 2/10 = 1/5 celku

10

20

1

1 celek = 100 %

celku. 40 % = 0,4 celku = 4/10 = 2/5 celku

40

60 % = 0,6 celku = 6/10 = 3/5 celku

60 33 % = 0,33 celku = 33/100 = 1/3 celku

33 25 % = 0,25 celku = 25/100 = 1/4 celku

25

50 % = 0,5 celku = 50/100 = 1/2 celku

50 18

80 % = 0,8 celku = 8/10 = 4/5 celku

80 67 % = 0,67 celku = 67/100 = 2/3 celku

67 75 % = 0,75 celku = 75/100 = 3/4 celku

75

Procenta – cvičení: Stejně jako v případě výkladu je vhodné mít připravené pomůcky – grafické sítě s možností vybarvovat či mazat. Pro žáky je pak přínosem používat „čtverečkovaný“ sešit.

1 % = 1/100 celku = 0,01.500 = 5 Kč

40 % = ?

25 % = ?

5

celek = 500 Kč = 100 %

50 Kč = ? %

167 Kč = ? %

1% = ? 5

0,16 t = 80%

100% =?t

19

25 % =?t

Goniometrické funkce: Jedná se o zásadní nástroj technické matematiky. Proto jim je věnován větší prostor. Opět je vhodné využít připravené modely, zejména pro upoutání a udržení pozornosti, ale i pro usnadnění orientace.

Osoby a obsazení: Pravoúhlý trojúhleník – třeba tento: Trojúhelník má strany – označme je třeba a, b, c a úhly α, β, γ (γ je pravý úhel, β = 180°- α) … všímat si budeme úhlu α proti straně a:

α

Strany trojúhelníka: • odvěsna protilehlá úhlu α: označujeme ji a • odvěsna přilehlá úhlu α: označujeme ji b • přepona, označme ji c

Přepona

c

a protilehlá odvěsna

α b - přilehlá odvěsna

20

Goniometrické funkce ‐ představení: Sinus: sin(α) = protilehlá/přepona = a/c =

Kosinus: cos(α) = přilehlá/přepona = b/c =

Tangens: tg(α) = protilehlá/přilehlá = a/b =

Kotangens: cotg(α) = přilehlá/protilehlá = b/a = (funkce kotangens se ve skutečných výpočtech používá málo, neboť je zcela nahraditelná funkcí tangens)

21

Goniometrické funkce ‐ použití: K čemu je to dobré? Jen tak si dělit nějaké délky je pochopitelně k ničemu. ALE,

chceme-li

spočítat

některou

stranu

pravoúhlého

trojúhelníka, najdeme, kde se námi hledaná strana vyskytuje. Tuto funkci pak zkusíme použít k výpočtu. Prohlédnutím obrázků předchozí strany zjišťujeme, že: • protilehlá odvěsna a

se vyskytuje ve funkcích sinus a

tangens; proto: o

= a = c.sin(α) =

o

= a = b.tg(α) =

.sin(α) .tg(α)

• přilehlá odvěsna b

se vyskytuje ve funkcích

kosinus a tangens o

b = c.cos(α) =

o

b = a/tg(α) =

• přepona c

.cos(α) /tg(α)

se vyskytuje ve funkcích sinus a kosinus

o

= c = a/sin(α) =

o

= c = b/cos(α) =

22

/sin(α) /cos(α)

Například: protilehlá a = 3 cm,

přilehlá b = 4 cm,

přepona c = 5 cm

sin(α) = protilehlá/přepona =

= a/c = 3/5 = 0,6

cos(α) = přilehlá/přepona =

= b/c = 4/5 = 0,8

tg(α) = protilehlá/přilehlá =

= a/b = 3/4 = 0,75

cotg(α) = přilehlá/protilehlá =

= b/a = 4/3 = 1,33

23

Další příklady použití goniometrických funkcí: Úhel α

0°

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°

90°

Sin(α)

0

0,17

0,34

0,5

0,64

0,77

0,87

0,94

0,98

1

Cos(α)

1

0,98

0,94

0,87

0,77

0,64

0,5

0,34

0,17

0

Tg(α)

0

0,18

0,36

0,58

0,84

1,20

1,73

2,75

5,67

?

Cotg(α)

?

5,67

2,75

1,73

1,20

0,84

0,58

0,36

0,18

0

Když α = 30° a přepona

c = 2 m:

=a=?

=b=?

• přeponu i protilehlou odvěsnu najdeme současně ve funkci sinus, můžeme tedy psát

=

.sin(α), tedy

a = c.sin(30°),

pro 30° najdeme v tabulce (nebo vypočteme na kalkulačce), že sin(30°) = 0,5. Proto: a = 2.0,5 = 1 m • přeponu i přilehlou odvěsnu najdeme současně ve funkci sinus, můžeme tedy psát

=

.cos(α), tedy

b = c.cos(30°),

pro 30° najdeme v tabulce (nebo vypočteme na kalkulačce), že cos(30°) = 0,87. Proto: b = 2.0,87 = 1,94 m Když α = 70° a protilehlá

a = 0,8 m:

=c=?

=b=?

• přepona i protilehlá odvěsna jsou obě ve funkci sinus, můžeme tedy psát

=

.sin(α), tedy c = a/sin(70°),

pro 70°: sin(70°) = 0,94. Proto: c = 0,8/0,94 = 0,85 m • protilehlá i přilehlá odvěsna jsou obě ve funkci tangens, můžeme tedy psát

=

/tg(α), tedy

b = a/tg(70°),

pro 70° najdeme, že tg(70°) = 2,75. Proto: b = 0,8/2,75 = 0,29 m

24

Cvičení: V pravoúhlém trojúhelníku:

Když b = 80 cm a sin(α) = 0,2:

Když a = 5 cm, b = 12 cm,

• a=?

• c = ? (Pythagorovou větou!)

• c = ? (Pythagorovou větou!)

• sin(α) = ?

• cos(α) = ?

• cos(α) = ?

• tg(α) = ?

• tg(α) = ?

Když c = 18 cm a sin (α) = 0,5:

Když c = 18 cm a sin(α) = 0,5:

• a=?

• a=?

• b = ? (Pythagorovou větou!)

• b = ? (Pythagorovou větou!)

• cos(α) = ?

• cos(α) = ?

• tg(α) = ?

• tg(α) = ?

Když c = 5 m a α = 30°:

Když c = 200 cm a cos(α) = 0,75:

• a=?

• a=?

• b=?

• b = ? (Pythagorovou větou!)

Když b = 5 m a α = 60°:

• sin(α) = ?

• a=?

• tg(α) = ?

• c=? Když a = 0,2 mm a α = 20°:

Když a = 0,5 km a tg(α) = 3: • b=?

• c=?

• c = ? (Pythagorovou větou!)

• b=?

• cos(α) = ?

Když c = 4 cm a α = 90°:

• sin(α) = ?

• a=? • b=? 25

Druhé mocniny mnohočlenů:

2. mocninu dvojčlenu i trojčlenu je možné znázornit jako čtverec: (a + b)2, případně (a + b + c)2 jsou potom čtverce, jejichž strany mají délku jako a a b, případně i c dohromady. Podívej se na obrázky! (5 + 2)2 = 52 + 2.5.2 + 22 82 = 25 + 20 + 4 = 49

(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2

a2

a.b

b2

a.b a 2

b 2

2

a.b a.c a

a. b

a.c

b2 b .c

b.c

b

c

5.2 = 10

22 = 4

5

2

(5+1+2)2 = 52+12+32+2.5.1+2.5.2+3.2.1 82 = 25+1+4+10+20+4 = 64

2

(a+b+c) = a +b +c +2.a.b+2.a.c+2.b.c

a2

52 = 25

2.5 = 10

52 = 25

2

c

26

1.5 2.5 = 10 =5

5.1 = 5

12=1 2.1 = 2

5.2 = 10

1.2 =2

22 = 4

1

2

5

Poněkud složitější je to s rozdílem v mnohočlenu; všimni si, že pravý dolní roh (b2) je jakoby odečteno dvakrát, proto se musí „vrátit“ zpět: (a – b)2 = a2 – a.b - a.b + b2 = a2 – 2 a.b + b2

(a – b)2

(5 – 2)2 = 52 - 5.2 - 5.2 + 22 = 25 – 10 – 10 + 4 = 9

a.b

(5 – 2)2 = 32 = 9

b2

a.b a-b

5.2 = 10

5.2 = 10 22 = 4

b

5–2=3

a

2

5

Ještě zapeklitější je grafické znázornění jiného častého vzorce; rozdíl čtverců se převádí na plochu obdélníka:

a+b

a2 – b2 = (a + b).(a – b)

a2

a-b b2 b a

27

Třetí mocnina dvojčlenu: Geometricky lze znázornit i třetí mocninu dvojčlenu. Zde jenom naznačíme, opět je žádoucí umožnit žákům vlastní manipulaci s objekty.

(a + b)3 = a3 +3.a3.b + 3.a.b3 + b3 a.a.b = a2.b

a.b.b = a.b

b.b.b = b3

2

a.a.b = 2 a .b

a3 a.b.b = a.b2 b

a.a.b = a2.b a

a

b

a.b.b = a.b2

a

a

b

b

Například: (4 + 1)3 = 53 = 43 + 3.42.1 + 3.4.12 + 13 = 64 + 48 + 12 + 1 = 125

(a + b)3 = a3 +3.a3.b + 3.a.b3 + b3 b

1

a

4

a a

b

1

b

4 28

1

1

Která možnost je správně? – zaškrtni!

(a – b)2 =

a2 – 1 =

√(12 + 22) =

a) a2 + b2

a) (a - 1) (a + 1).

a) √3

b) a2 - 2a.b + b2

b) (1 - a).(a - 1)

b) √5

c) a2 + 2a.b - b2

c) (a – 1)2

c) √10

(3 – 2x)2 =

25k2 – 1 =

√(32+42) =

a) 9 + 4x2

a) (5k – 1) (5k + 1).

a) 7

b) 9 – 6x + 4x2

b) (1-5k).(5k – 1)

b) 5

c) 9 + 6x - 4x2

c) (5k – 1)2

c) 10

(m+n)3 =

(r+1)3 =

(5+2k)3 =

a) m3 + n3

a) r3+3r2+3r+1

a) 125+60+k3+8k3

b) m3+n3+3m2n+3mn2

b) r3+13

b) 125+8k3

c) m3+ 3n+3m+n3

c) r3+3r2+3r+9

c) 53+6.52k+60k2+8k3

Vystřihni z barevných papírů, případně obarvi modely druhé mocniny dvojčlenu i vícečlenu! Slep z papíru krychle a kvádry, které modelují třetí mocninu dvojčlenu! Co brání názornému zobrazení vyšších mocnin mnohočlenů?

29

Literatura: [1] Jucovičová, D., Žáčková, H., Sovová, H.: Specifické poruchy učení na 2. stupni základních škol (použitelné i pro střední školství); D+H, Praha 2007 [2] Michálková, Z.,.: Specifické poruchy učení na 2. stupni základních škol ZŠ a na školách středních; Tobiáš, Havlíčkův Brod 2004 [3] Lebeer J. (ed): Programy pro rozvoj myšlení dětí s odchylkami vývoje; Portál, Praha 2006

Další zdroje: [4] PhDr. Martínek: Cyklus přednášek o SPU pro učitele Střední školy stavební Jihlava; podzim 2007 – ústní sdělení.

30

Obsah: Žáci s SPU v podmínkách výuky matematiky na Střední škole stavební Jihlava ...................... 2 Komplikace, které mohou SPU způsobovat v matematice: ....................................................... 4 Matematika na učňovském směru studia: .............................................................................. 4 Matematika na maturitním směru studia: ............................................................................... 5 Specifické poruchy učení na naší škole...................................................................................... 6 Dyskalkulie: ........................................................................................................................... 6 Dyslexie:................................................................................................................................. 6 Dysgrafie: ............................................................................................................................... 7 Dysortografie:......................................................................................................................... 7 Návrh postupu při výuce matematiky žáků s SPU na naší škole ............................................... 8 Výuka matematiky žáků s SPU na naší škole - metody ............................................................. 9 Výběr látky ............................................................................................................................. 9 Výklad .................................................................................................................................... 9 Přezkušování a hodnocení .................................................................................................... 11 Návrhy učebních postupů a metod ........................................................................................... 14 Poměry: ................................................................................................................................ 15 Poměry v podobných trojúhelnících: ................................................................................... 16 Poměry na páce – další z možných přístupů k poměrům: .................................................... 17 Procenta: ............................................................................................................................... 18 Druhé mocniny mnohočlenů: ............................................................................................... 26 Třetí mocnina dvojčlenu: ..................................................................................................... 28 Literatura: ................................................................................................................................. 30 Další zdroje: ............................................................................................................................. 30 Obsah:....................................................................................................................................... 31

31