SOLUSI GELOMBANG BERJALAN UNTUK PERSAMAAN SCHRÖDINGER DENGAN PENUNDAAN TERDISTRIBUSI
Achmad Subeqan( 1206 100 062) Matematika FMIPA-ITS Dosen Pembimbing: 1. Dra.Sri Suprapti H, MSi 2. Drs.IGN Rai Usadha, MSi ABSTRAK Tugas akhir ini dikhususkan untuk mempelajari gelombang berjalan dari persamaan schrodinger nonlinier dengan penundaan terdistribusi berdasarkan penggunaan teori pertubasi singular geometri, teori diferensial manifold dan analisis pertubasi reguler untuk sistem hamiltonian. Berdasarkan asumsi bahwa kernel penundaan terdistribusi adalah besar dan rata-rata penundaanya kecil, pertama diinvestigasi eksistensi solusi gelombang soliter berdasarkan teori diferensial manifold.kemudian dengan menggunakan analisis pertubasi reguler untuk sistem hamiltonian, kita mengeksplorasi solusi gelombang berjalan secara periodik. Visualisasi solusi gelombang berjalan yang telah diperoleh diwujudkan dalam simulasi dengan menggunakan matlab. Berdasarkan simulasi terlihat bahwa solusi gelombang berjalan terjadi pada dua kasus yaitu saat c=0 maka didapatkan solusi gelombang homoklinik. Kemudian saat( c>0 dan c<0) solusi yang dihasilkan adalah gelombang berjalan secara periodik. Kata kunci: NLS dengan penundaan terdistribusi, gelombang berjalan, pertubasi reguler, pertubasi singular geometri, diferensial manifold, sistem hamiltonian. 1. Pendahuluan Penerapan persamaan Schrödinger pada sistem fisis memungkinkan kita mempelajari sistem tersebut dengan ketelitian yang tinggi. Penerapan ini telah memungkinkan perkembangan teknologi saat ini yang telah mencapai tingkatan nano. Penerapan ini juga sering melahirkan ramalan-ramalan baru yang selanjutnya diuji dengan eksperimen. Penemuan positron yang merupakan anti materi dari elektron adalah salah satu ramalan yang kemudian terbukti. Perkembangan teknologi dengan kecenderungan alat yang semakin kecil ukurannya pada gilirannya akan menempatkan persamaan Schrödinger sebagai persamaan sentral seperti halnya yang terjadi pada persamaan Newton selama ini.
1.1. Latar Belakang Masalah Persamaan Schrödinger diajukan pada tahun 1925 oleh fisikawan Erwin Schrödinger (1887-1961). Persamaan ini pada awalnya merupakan jawaban dari dualitas partikelgelombang yang lahir dari gagasan de Broglie yang menggunakan persamaan kuantisasi cahaya Planck dan prinsip fotolistrik Einstein untuk melakukan kuantisasi pada orbit elektron. Selain Schrödinger dua orang fisikawan lainnya yang mengajukan teorinya masing-masing adalah Werner Heisenberg dengan Mekanika Matriks dan Paul Dirac dengan Aljabar Kuantum. Ketiga teori ini merupakan tiga teori kuantum lengkap yang berbeda dan dikerjakan terpisah namun ketiganya setara. Teori Schrödinger kemudian lebih sering digunakan karena rumusan matematisnya yang relatif lebih sederhana. Meskipun banyak mendapat kritikan persamaan Schrödinger telah diterima secara luas sebagai persamaan yang menjadi postulat dasar mekanika kuantum.
Persamaan Schrödinger telah diterapkan di berbagai bidang fisika- matematika, seperti optik nonlinier, sistem kuantum partikel banyak, fisika plasma, superkonduktivitas dan mekanika kuantum . Persamaan Solusi gelombang berjalan ini dan berbagai generalisasi telah dipelajari secara luas untuk waktu yang lama. 1
|| = 1, || ∈
Pada tugas akhir ini dikhususkan untuk mempelajari gelombang berjalan persamaan Schrödinger nonlinear dengan penundaan terdistribusi dengan menerapkan teori perturbasi ksingular geometri, teori diferensial manifold dan analisis pertubasi reguler untuk sistem Hamiltonian.
!
"0, ∞, #$....(2.4)
Penundaan terdistribusi dengan besar dan rata-rata untuk kernel keterlambatan f (t) didefinisikan sebagai berikut:
% = & || .
2. Tinjauan Pustaka 2.1 Persamaan schrodinger nonlinier dengan penundaan terdistribusi
Biasanya kita menggunakan kernel penundaan terdistribusi Gamma sebagai berikut: || =
Persamaan Schrödinger nonlinear (NLS)
+ + || = 0...........(2.1)
keterangan : = √−1.
() )! * + , − 1!
dimana k> 0 dan konstanta n adalah bilangan bulat, dengan tundaanya= n / k> 0. Kemudian, besar || harus memiliki nilai mendekati nol. Untuk contoh yaitu dua kasus berikut:
U: fungsi bernilai kompleks dari ruang koordinat x
1 = * . , = 1 /, % 1 = * . , = 2 %
t : waktu α : koefisien dispersi β: koefisien Landau,.
|| = ∗.
Diasumsikan bahwa kernel keterlambatan f (t) terdistribusi dari sistem memiliki bentuk sebagai berikut:
∗ : konjugasi kompleks U.
= .1 * 42563 ...............................(2.5)
Untuk mengatasi adanya solusi gelombang berjalan dengan tundaan secara teoritis menggunakan persamaan Schrödinger nonlinear sebagai berikut:
23
dimana parameter w> 0.
+ + ∗ || − || = 0,....(2.2)
2.2 Gelombang berjalan
−∞ < < +∞, −∞ < < +∞
Gelombang adalah suatu gangguan dari keadaan setimbang yang bergerak dari satu tempat ke tempat lain (Young & Freedman, 1996:593). Sistem gelombang mempunyai fungsi gelombang yang menggambarkan perpindahan satu partikel dalam medium. Gelombang merambat dengan membawa energi. Sebagai contoh, cahaya membawa energi dari benda ke mata kita agar bisa diamati, atau gelombang radio pada telepon seluler membawa energi dari BTS ke terminal kita supaya suatu pesan bisa disampaikan. Gelombang yang berjalan juga memiliki kecepatan (yang terbatas). Untuk merambat dari satu titik ke titik
dimana: || : respon jangka penundaan nonlinier dan pengaruh parameter τ > 0, f *U konvolusi didefinisikan sebagai berikut:
∗ , = − , .......(2.3)
Karena U adalah fungsi bernilai kompleks, kernel f dapat didefinisikan sebagai fungsi bernilai kompleks, yaitu kernel f yang memenuhi asumsi normalisasi sebagai berikut:
2
yang lain, cahaya merambat dengan kecepatan 8
Kecepatan gerak P diperoleh dari turunan persamaan (2.6) , dengan demikian bisa dituliskan
3×10 m/detik. Gelombang juga memiliki sifat linieritas, artinya gelombang dengan frekuensi berlainan bisa saling melewati tanpa terjadi interferensi.
< =
−
< B + B
= 0.................................(2.7)
yang selanjutnya akan memberikan kecepatan fasa terhadap fungsi y sebagai berikut: CD =
B B
=
+ =
E/*9.......................(2.8)
Sedangkan frekuensi f diperoleh dari nilai resiprokal dari perioda temporal T = = GH....................................(2.9) !
Gambar 2.1 Perubahan sinusoidal dalam ruang dan waktu dari suatu gelombang monokromatis
Disamping frekuensi, dikenal pula frekuensi radian ω dan konstanta frase .
I = 2A
Suatu gelombang sinusoidal yang bergerak ke arah +x (sumbu-x positif) dinyatakan secara matematis sebagai: 7, =
< 89: ; =
−
< +
JKB …………………………………2.10a LMN
= + Q/ /E.................................(2.10b) Sehingga kecepatan fasa terhadap p dapat dinyatakan sebagai berikut: <
+ >? @............(2.6)
CR = ( =
Dimana: A: amplitudo gelombang T: perioda temporal gelombang λ: panjang gelombang φ : fasa awal/acuan.
S E/sec......................(2.11) T
Secara umum, gelombang yang merambat pada sumbu-x dapat dinyatakan sebagai
o
7, = 89:I − (arah sumbu x positif)
Secara spasial dan temporal, suatu gelombang monokromatis akan berubah menurut pola sinusoid, seperti dilukiskan apda Gb.2.1.Untuk pengamatan pertama, ambil titik tertentu pada gelombang, misalnya titik P pada Gb.2.2. Pada titik ini sudut fasanya bernilai 2π (dengan asumsi φ =
7, = 89:I + (arah
sumbu x negatif)
2.3 Teori perturbasi singular geometri Lemma geometri).
o
0°). Selanjutnya kita amati pergerakan titik pada sudut fasa 2π ini. Maka untuk sudut fasa tetap ini akan berlaku < < − + = 2A konstan =
(Teorema
Perturbasi
Singular
U = , 7, €.
7 U = W, 7, €.........................(2.12)
Dimana : X# ) , 7X# dan € adalah parameter nyata. f,g adalahY . di set Z[ dimana ZX# )\! I interval terbuka yang bernilai 0.
Diasumsikan untuk € = 0 , sistem normal, manifold ]? hiperbolik kompak dimana set ^, 7, 0 = 0_. manifold ]? dikatakan normal hiperbolik jika linierisasi dari lemma diatas pada setiap titik di ]? memiliki nilai
Gambar 2.2 Pergeseran posisi fasa konstan
3
eigen l tepatnya pada sumbu imajiner #( = 0. kemudian untuk setiap 0 < Q < +∞ jika X > 0 tapi cukup kecil, ada ]M manifold.
G, Z =
, = 8l* mn = 8 − 9* mKS
2.4 Teori Diferensial Manifold Geometri diferensial merupakan studi terhadap persoalan-persoalan geometri yang dibahas dengan menggunakan konsep analisis . Secara lebih mendalam, Klein mendefinisikannya sebagai studi sifat-sifat invarian dari manifold diferensiabel terhadap transformasi difeomorfisme. Obyek utama dalam riset geometri diferensial adalah manifold diferensiabel dan berbagai medan tensor di dalamnya. Maka untuk memahami geometri diferensial dan aplikasinya dalam fisika, kita mutlak harus memahami dahulu apa itu manifold diferensiabel. 2.4.1 Persamaan Manifold diferensial Persamaan Diferensial Manifold(J. Carr, 1981:35) sebagai berikut: BN B.
j Z − − 2 4 2
Bagian pertama adalah solusi terintegrasi sepanjang H, ZH pada dimensi manifold
cp stabil salah satu sistem asal o = ^r p q crr s dengan ZH > 0 untuk −∞ < H < 0 dan t 9, % dan Z0 = 0, yang terakhir ini sama. Ψ t 9 didefinisikan sebagai berikut: Ψ q
t 9, % = uN,.. Ψ .
t 9 = lim→ Ψ t 9, %................(2.15) Ψ
3.Diagram alur kerja
= BL B...................................(2.13) BN BL
dengan persamaannya sebagai berikut :
9 = a 7 b c
7 9 =a b
c
9 1 = d e1 − a 7 b f − 1 − a 7 b g % b
c
c
= − e1 − a 7 b f + 1 − a 7 b %
c
4.Hasil dan Pembahasan
c
Pada pembahasan ini , akan dibuktikan proposisi yang akan dijadikan objek pembuktian utama
2.5 Analisis pertubasi reguler untuk sistem Hamiltonian Analisis pertubasi reguler untuk sistem Hamiltonian dapat digunakan untuk menetapkan adanya solusi homoclinic. Kita perlu mendefinisikan fungsi yang sama sebagai berikut:
dari eksistensi solusi gelombang berjalan dan merupakan bagian dari tujuan utama untuk pembahasan ini. 4.1 Teori perturbasi singular geometri
Ψ9, % = G, Z i + G, Z i …..(2.14)
Lemma 4.1
dimana:
4
U = , 7, €
7 U = €W, 7, €
Dimana : X# ) , 7X# dan € adalah parameter
nyata.
9, & 9 > 0,dimana A adalah fungsi real dan
I interval terbuka yang bernilai 0.
> 0 . bagian real dan imajiner dari persamaan
dengan nomer gelombang / > 0 dan frekuensi
representasi amplitudo dari gelombang berjalan
f,g adalahY . di set Z[ dimana ZX# )\!
non delay (yaitu (2.2) dengan = , % = 0,. Persamaan NLS (2.1) dengan = = 1
Diasumsikan untuk € = 0 , sistem normal,
manifold ]? hiperbolik kompak dimana set
^, 7, 0 = 0_.
Manifold
]?
dibaca:
8UU − / 8 + 8 = 0,.
dikatakan
−98′ + 2/8U = 0,…...………………….(4.2)
pada setiap titik di ]? memiliki nilai eigen l
normal hiperbolik jika linierisasi dari lemma 4.1, tepatnya pada sumbu imajiner #( = 0.Untuk
setiap 0 < Q < +∞ jika X > 0 tapi cukup kecil,
ada ]M manifold. (I)
Invarian
secara
N
lokal
, 7 dan € pada ruang Y
(III)
=^, 7: = ℎ€ 7_
]M
menjadi:
N1 j
turunan
> 0,
pertama
persamaan(2.2)
8′′ = b8 − 8 , …………………………….(4.3)
untuk
sembarang Y fungsi ℎ€ 7 dan y
Selebihnya, C=
kompak untuk sembarang K;
(IV)
melambangkan
/ = & b = − +
berdasarkan(lemma 4.1) (II)
′
tehadap 8i. Sehingga dimana
,o √
jika
kita
memasukkan
skala
= √bi ke dalam persamaan (2.3),
Ada eksistensi invarian lokal pada
maka menjadi seperti berikut:
| L ]M dan
dan
Dimana ′ melambangkan turunan oleh z.
antara
sehingga ekuivalen dengan bentuk sebagai
| } ]M
C′′ = C − C ,………………………….(4.4)
manifold stabil dan non stabil
jika
tanpa
~€
darinya,
| L ]M dan | } ]M . berbeda
bahwa salah
morfologinya
berikut:
CU = …………………………….(4.5) U = C − C
bahan acuan untuk mengetahui apakah hasilnya
berkorespondensi pada kasus non penundaan.
Berdasarkan sistem (4.5), didapatkan eksistensi
Karena pernyataan poin I sampai dengan Poin
dari solusi
IV
gelombang
Selanjutnya lemma 4.1 digunakan sebagai
bertujuan untuk mencari persistensi dari
dengan
8i* mn = 8 − 9* mK ,
secara
periodik
dari
Lemma 4.6
, =
Untuk persamaan NLS penundaan (2.2) bentuk berjalan
berjalan
dan solusi
persamaan NLS(2.1).
gelombang berjalan ketika penundaannya kecil.
gelombang
gelombang soliter
Pada ruang fase C, , system (4.5) mempunyai
i=−
orbit homoklinik pada titik pusat (0,0) dan orbit 5
Menurut lemma 4.2, 0 ≤ < & 0 ≤ < . j !
periodik didalamnya. Jadi solusi gelombang soliter dan gelombang periodik lebih besar
Sesuai yang telah dijelaskan oleh P dan Q, orbit ^CH, H_
daripada 0. Bagian
real
dan
bagian
imajiner
,
dari
persamaan(2.2) dengan (2.5) dapat dinyatakan sebagai berikut:
U
−98′ + 2/8′ = 0……………………….(4.7)
W ∗ 8i =
∞ L * .1
Misalkan
/=
N
N1 , j
kita
B} . B
B C
B − C C , = & C C C
=&
0 < < , maka: !
7 lim = , lim = 2, → 5 →!
dapat Untuk
seperti :
didefinisikan kembali
C′′ = C − W ∗ CC + %"√bC C′ $,………(4.9)
membuktikan
sebagai berikut: B
+ 9 ...(4.10)
4.12,
, = 0,1,2,
C) C = −2 ) ′, & C B
untuk sembarang % ∗ > 0, masing-masing semua
Sehingga & diwujudkan sebagai berikut:
solusi pada system (4.9) dan (4.10).
1 C.,,N., H, 0 < % < % ∗ , 0 ≤ < 4
B C
=&
4.2 Analisis dengan integral abelian Perhatikan & sebagai berikut:
− C C U = −2 ′ + 4j C − 2 U ,
B
= & C C = ,
1 = &C′′ i , = & C′ i, 2
dasar dari & ! oleh empat lemma sebagai
Selanjutnya dibentuk menjadi integral abelian
kemudian perhatikan dua akar negatif dari }
proposisi
Kemudian dibangun:
Teorema 4.11
C −
& oleh integral
) = & C) C C ,
dengan
∞ L * 4 CH/√b .1
G = =
didapatkan sebagai berikut:
menuliskan kembali sistem (4.7) dengan (4.8)
W ∗ CH =
kurva
Diberikan = , dan U > 0, untuk
8i + 9 ,………(4.8)
& b = − +
dimana =
level
Proposisi 4.12
dengan 4
pada
|8 + 8 − / 8 + W ∗ 88 − %8 8 = 0,. ′′
!
= 2 = , , & < .
berikut:
6
Selebihnya bentuk lemma 4.13 dan 4.14,
Lemma 4.13
2 8 lim = , lim = , → → 3 15
Lemma 4.14
didapatkan : lim→
lim = lim C = 1, ! }→! →
2 − 3
4.3 Pembuktian teorema 4.3
§ 4 2 £ − ¤ 5 3
Karena :
W ∗ CH = &
! ! − © ! ⊿ −
²H = W ∗ CH.
! j
′ ! ª £ ′¤.
Jika kita mendiferensialkan terhadap H maka kita
mendapatkan:
8 2 2 16 8 − & = £ − ¤ − 7 7 3 7 21
dimana :
! 2 j⊿
− 4o + o > 0
didapatkan:
! 0 < < , kemudian ¬ U ′ < 0.
< ¬ < 1.
³ 1 ³ − C, = H %9 √b
Jika dinotasikan kembali CU = , maka sistem
Lemma 4.20.
j
1 L * . C"H/±b + 9$ . %
dengan mendeferensialkan terhadap z, maka
Lemma 4.19 jika ¬ U = 0 untuk semua
jika ¬ U = 0 untuk
1 ² ² − ³, = H %9 √b
³H = &
Lemma 4.18 !
L * . C"H/±b + 9$ %
Maka didapatkan definisi ² sebagai berikut:
Lemma 4.17
0 < < , oU = −
¯
dari X dibuktikan proposisi 4.12
⊿ = 2 − 1, j =
1
Tanpa menggunakan relasi 4.1, kemonotanan
Lemma 4.16
=
→
®
!
2 4 4 U = £2 − ¤ U − 5 3 25 UU £ UU ¤
j
untuk 0 < < , ¬ U > 0.
Lemma 4.15
4 =¦3 4 15
= , lim° ®1 = 1,………………(4.21)
Lemma 4.22
′ £ ¤ = ⋀ £ ¤ , ⋀ ′
®1 ®¯
0 < < ,maka !
(4.9) dengan (4.10) dapat diganti oleh sistem :
7
CU = ¶ U = C − C ² + % bC √ ....................(4.23) U %9 √b² = ² − ³ µ %9 √b³ U = ³ − C. ´
Jadi, pendekatan order pertama dai manifold invariant ]. adalah ]. = ^C, , ², ³ ∈ # j : ² = C + 9 √b + ¾% ,.
Perlu dicatat bahwa jika % = 0 maka sistem
³ = C + 9√b + ¾% _.........................(4.28)
(4.23) dapat direduksi menjadi: C =C−C UU
akan dipelajari alur dari (4.1) yang membatasi ]. dan menunjukkan bahwa mempunyai solusi gelombang berjalan. Sistem lambat(4.1) dibatasi ]. (4.6) dinyatakan sebagai berikut:
Solusi gelombang berjalan dari (2.8) tanpa
C′ = ......(4.29) ′ = C − C − %√b29 − C + ¾% .
penundaan.
C· = % ¶· = %C − C ² + % bC √ ................(4.24) 9 b²· = ² − ³ √ µ 9√b³· = ³ − C. ´
Untuk konvensi, akan dibuktikan parameter penundaan % dan kecepatan gelombang 9 sebagai variabel, lalu sistem (4.29) ekuivalen dengan:
Sistem lambat (4.23) untuk % = 0 , kemudian
C′ = , ¿ = C − C − %√b29 − C + ¾% ,....(4.30) %′ = 0, 9′ = 0.
alur sistem itu menjadi sebagai berikut:
^C, , ², ³ ∈ # j : ² = ³, ³ = C_.............(4.25)
Oleh substitusi ke dalam sistem lambat (4.23) , maka ℎ! , ℎ harus dinyatakan sebagai berikut:
%9 √b ¸ +
¹º° ¹}
+
¹º1 ¹}
+
¹º ; ¹»°
+
Selanjutnya dapat didefinisikan:
9, τ = h c, τ − h\ c, τ
¹º1 @¼. ¹»
C − C C + ℎ! + ℎ + %√bC = ℎ! .
%9 √b ¸ +
¹º1 ¹}
+ ; ¹»1 @¼. ¹º
Dan menurut pengamatan bahwa nulitas dari orbit homoklinik yang tak bergantung pada 9
orbit homoklinik berdasarkan lemma 4.2, ada
C − C C + ℎ! + ℎ + %√bC = ℎ ........(4.26)
′
% = 0,
̅9, 0 = 0,
dinyatakan 9, τ = τ ̅9, τ.
ketika
Ketika % adalah kecil, solusi dari bentuk persamaan diferensial parsial diperoleh dari pertubasi reguler series pada %, karena ℎ! , ℎ adalah nol ketika % = 0, maka ℎ! , ℎ menjadi sebagai berikut:
dengan
dan
Sehingga
diperoleh:
ÄÅ ÄÅ ̅9, 0 = Mc: = ; Äτ − Äτ @Ç 2
Æ
τc
..........(4.31)
Berdasarkan lemma yang telah disebutkan oleh proposisi dari ]9 yang telah didefinisikan diatas.
ℎ! C, , % = %ℎ!! C, + % ℎ! C, + ⋯,.
ℎ C, , % = %ℎ ! C, + % ℎ C, + ⋯,........(4.27)
Lemma 4.32
untuk sebarang % > 0 yang terlalu kecil, ada eksistensi kecepataan 9 = 9 bahwa ]9 didefinisikan pada (4.31) dinyatakan:
Berdasrkan substitusi (4.5) kedalam (4.4) dan gabungan kekuatan dari, seperti beberapa aljabar sebagai berikut: ℎ!! C, = 9±b , ℎ ! C, = 9 ±b.
8
]9 = 0, ]′9 ≠ 0,
dengan diberikan ²± H = C ∧ ∧ 9Ë! . H, Ë . H, Ë . H, maka:
Untuk ruang tangensial dari A ± 0 manifold invariant |.} Ê dan |.L Ê ,ada tiga vektor tangensial | } dan | L pada saat H = 0 bahwa dengan mudah kita temukan (ketika % = 0, 0 = 0) Ë! = Ì
²± = √b29 − C ..............................(4.34) ′
Untuk lebih memudahkannya mengecek ²± → 0 , H → ±∞. Sistem (4.34) dapat dicari solusinya dengan mudah pula yaitu:
∂h\ , 0,1,0Î, ∂τ
²± = ±∞ √b29 − C i...................(4.35)
Dimana C berasal dari khayal, setelah diketahui orbit homoklinik dari lemma 4.2 dan γ ≠ 0 sebagai berikut:
Ë = 0, u − u , 0,0 = 0, Ð, 0,0, Ë = 0,0,0,1,
]9 =
dimana C pada Ë sesuai C > 1, dst, Ð < 0, dapat dicek bahwa: C ∧ ∧ 9Ë! , Ë , Ë
= ∑<−1Lℊ)< C"Ë<! $ "Ë< $ 9"Ë< $ =
Ô¹º ± ¹.
γ
;39 − @ ∞ C′ i − ∞ C′′ i ...(4.36) !
\∞
!
\∞
Berdasarkan lemma 4.2 , solusi secara periodik dari sistem(4.5) dapat diketahui oleh level kurva dari G = . Untuk sistem (4.30), data inisial fix , 0 dengan 0 < < 1. Diberikan CH, H jadi solusi dari (4.16) dengan C, 0 = , 0, maka ada eksistensi H\ = H\ 9, % > 0 dan H = H 9, % < 0 sebagai berikut:
.....(4.33)
dimana A adalah sebuah permutasi dari1,2,3. kemudian dengan melihat bahwa persamaan untuk bentuk C ∧ ∧ 9 dapat dihitung sebagai berikut:
H > 0, H ∈ 0, H\ , H\ = 0;.
H < 0, H ∈ H , 0, H = 0..............(4.37)
C ∧ ∧ 9′
saat % = 0, CH = CH\ , H\ 9, 0, H = H 9, 0.
= C ∧ " C − 3C C − ±b29 − C %$ ∧ 9
= −±b29 − C C ∧ % ∧ 9.
dimana
H\ =
didefinisikan sebuah fungsi Φ sebagai berikut:
Dengan cara yang sama C ∧ % ∧ 9, ketika mengaplikasikan ruang tangensial A ± H pada Ëm . H, = 1,2,3, dapat dihitung kembali. Sehingga menjadi:
Æ
Φ, 9, % = & G· C, H, 2
′ melambangkan turunan pertama terhadap H,
G=
Ë! . H = ∗,∗ ,1,0,
Ë = v, u − u , 0,0,
}1
untuk
−
}
−
sistem
»1
adalah fungsi hamiltonian
(4.5),
dan
integral
untuk
menunjukkan orbit dari(4.30), jadi
Ë = ∗,∗ ,0,1,
Ini dapat dilihat C ∧ ∧ 9Ë! . H, Ë . H, Ë . H = −. berikut:
√
G· = %±b 29 − C + ¾%
Sehingga Φ, 9, % dinotasikan berbeda dari level diantara dua titik pada u-axis:
bahwa Sebagai
C ∧ ∧ 9′ = ±b29 − C 9
Φ, 9, % = GC"H\ , H\ $ − G"CH , H $.
Ø ÙΦ , 9, 0 = 2±b & C′ H > 0, Ù9
Jadi Φ, 9, % = 0 jika dan hanya jika solusi periodik untuk sistem (4.30) untuk menyelesaikan Φ = 0.
Ø =0 Kita dapatkan solusi persamaan Φ berdasarkan implikasi teorema fungsi .untuk lebih jelasnya, ada eksistensi sebuah fungsi halus yang unik 9%: = 9, % untuk masingmasing seperti dibawah ini:
Ø , 9, % = Φ, 9, %/% , Φ kemudian Ø , 9, %mempunyai limit ketika % mendekati Φ nol: Ø , 9 = lim Φ Ø , 9, % Φ .→
1 Ø , 9, %, % = 0, 0 < < , 0 < % < % ∗ . Φ 4
= ±b & 29 − C H.
Dimana C, adalah sebuah solusi dari (4.5) dan integral ini ditunjukkan pada level kurva Ø dan ]9 ^G = G, 0_ . hubungan antara Φ adalah sebagai berikut:
Berdasarkan (4.37) C , adalah solusi dari (4.5) dan integral ini ditunjukkan pada level kurva ^G = G, 0_, dimana G, 0 = ∈ ;0, @.sehingga j !
1 Ø , 9 = ±b £29 − ¤ & C ′ H Φ 3 −
catatan 4.41
√b & C ′′ H = 0. 3
Jika (2.2) tidak mempunyai respon penundaan nonlinier pada bentuk || , maka persamaan korespondensinya pada(4.9) akan menjadi:
Jadi, batasan kecepatan 9 > 0 adalah hasil determinan oleh:
;29 − @ C ′ H − C H = 0........(4.38) !
!
Menjadi
′′
dengan
∞
ekuivalen dengan
untuk 0 < < , mencari C , 9 sesuai yang !
diharapkan berdasarkan batasan kondisi kecepatan (4.38) untuk solusi secara periodik dengan = , dimana didefinisikan dan
Karena
2 1 lim 9 = , lim 9 = . ! → 5 → 2
BN¯ B
L * . C"H/±b + 9$ %
C′ = ¶ ′ Ú = C − C ², ...................................(4.42) ′ = ² − ³ %9 b² √ µ Ú%9 b³ ′ = ³ − C. ´ √
Jadi dari proposisi 4.1 kita dapatkannya.
pada pembahasan bab 4.2 , selanjutnya
C′′ = C − W ∗ CC
W ∗ CH = &
1 9 = + 1. 6
Lemma 4.39
Ø 9 = γMc Φ
Sistem (4.42) terbatas pada]. (4.29) yang berdasarkan:
> 0,
C′ = ′ .....(4.43) = C − C − %√b29 − C + ¾% .
]9 fungsi menjadi:
]9 =
10
29√b \∞ & C′ i ≥ 0. γ ∞
Dan diantara orbit dari (4.43) turunan dari hamiltonian sebagai berikut:
Yaitu:
pada kasus(c=0) terlihat bahwa gelombang berjalan adalah homoklinik
G· = 2%±b 9 + ¾%
solusi
4.Kesimpulan dan Saran Dari hasil pembahasan dan simulasi diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
Ø , 9 = 29±b & C ′ H ≥ 0. Φ
1. Dengan metode analitik dengan berbagai kasus kita dapatkan solusi gelombang berjalan baik homoklinik maupun periodik. 2. Dengan visualisasi berupa simulasi I(c=0) bahwa terlihat terjadi solusi gelombang homoklinik seperti yang telah dijelaskan oleh analitik . 3. Dengan visualisasi berupa kasus II(c>0 dan c<0) bahwa terlihat Solusi gelombang soliter berjalan secara peiodik
Dengan demikian ,ketidak eksistensi dari solusi gelombang berjalan dengan 9 ≠ 0 pada kasus ini. Simulai I c=0,5(tidak sama dengan nol)
DAFTAR PUSTAKA Baker , R. E et al , 2008.Partial differential equations for self-organization in cellular and developmental biology, Oxford OX1 3QU, UK. Carr,J, 1981. Application of Center Manifold Theory, Applied Mathematical Sciences, vol. 35, Springer, New York.
Gambar 4.1 solusi gelombang untuk U saat c=0.5
Simulasi II(c=0)
Cushman ,R.dan J. Sanders, A codimension two bifurcations with a third order Picard–Fuchs equation, J. Different. Equat. 59 (1985) 243– 256. Djohan ,Warsoma ,1997. Dinamika Gelombang Cnoidal di Atas Dasar Tak Rata Menggunakan Persamaan Gelombang Dua Arah Boussinesq , Institut Teknologi Bandung
Gambar 4.2 Solusi gelombang untuk U saat c=0. Simulasi III(saat c= -0,5)
Fenichel,N, Geometric singluar perturbation theory for ordinary diffenertial equations, J. Different. Equat. 31 (1979) 53–98. Gourley,S.A,2000. Travelling fronts in the diffusive nicholson’s blowflies equation with distributed delays, Math Comput. Model. 32 (2000) 843–853. Gambar 4.3 solusi gelombang berjalan untuk U saat c= -0,5
Jones, C.K.R.T. Geometrical singluar perturbation theory, in: R. Johnson (Ed.),
Dari simulasi diatas juga terlihat bahwa untuk kasus (c tidak sama dengan 0) terjadi gelombang berjalan secara periodik. Sedangkan
11
