A Z Á R A M L Á S T A N A L A P J A I

%8'$3(67,06=$.,(*<(7(0 ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK

LAJOS TAMÁS

AZ ÁRAMLÁSTAN ALAPJAI (/$'È6,-(*<=(7

BUDAPEST 1992

BEVEZETÉS (] D MHJ\]HW HJ\ NpWHV NLPHQHWHO NtVpUOHWQHN LV WHNLQWKHW VLNHUO-e mintegy kétszáz oldalon úgy összefoglalni az emberi tudás egy nagy szegmensének, az áramlástannak a OpQ\HJHV UpV]HLW KRJ\ D] ROYDVy HOHJHQG VHJtWVpJHW NDSMRQ DQQDN PHJpUWpVpEHQ elsajátításában és ami a legfontosabb, megszeretésében és a mérnöki alkotómunkában való eredményes felhasználásában. 0LQWPLQGHQLVPHUHWN|]OpVDMHJ\]HWtUiVLVD]ÄHOKDOOJDWiVPYpV]HWH´D]WQHKp]XJ\DQLV meghatározni, hogy mi az, amit nem szükséges leírni, megtanítani és megtanulni. Az érdekes és fontos ismeretek nagy mennyisége és a terjedelmi korlátok közötti ellentmondást neKp] IHOROGDQL QHKH]HQ NHUOKHW HO D Yi]ODWRVViJ )LJ\HOHPEH YpYH D]RQEDQ KRJ\ H jegy]HW D] HODGiVRNNDO D WDQWHUPL pV ODERUDWyULXPL J\DNRUODWRNNDO HJ\WW VHJtWL D felkészülést, és bízva az olvasó |QiOOy PXQNiMiEDQ D V]HU] YiOODOWD D NHYpVEp UpV]OHWHV kifejtés kockázatát. $] iUDPOiVWDQ RO\DQ LVPHUHWHNNHO IRJODONR]LN DPHO\HN QHPFVDN D PV]DNL DONRWiVRN D PpUQ|NL IHODGDWRN QDJ\ UpV]pEHQ MiWV]DQDN G|QW V]HUHSHW GH KR]]iVHJtWHQHN DKKR] LV hogy mHJpUWVN D] pO pV pOHWWHOHQ WHUPpV]HW V]iPRV MHOHQVpJpW $ UHSOpVEHQ D hajózásban, az energetikában, a közúti közlekedésben, a szállításban, a vízépítésben, a környezetvédelemben, a vegyiparban, az épületgépészetben és az emberi tevékenység számos más területén fontos szerepe van a közegek áramlásával kapcsolatos ismereteknek. Ugyanakkor a meteorológia, az orvostudomány, a biológia, a hidrológia, az oceanográfia PYHOpVH VHP NpS]HlKHW HO D] iUDPOiVWDQ DONDOPD]iVD QpONO ,JHQ VRN WHUPpV]HWL jelenség, DPHO\ VLGN yWD PHJUDJDGMD D] HPEHU NpS]HOHWpW D OiQJRN ORERJiVD D IRO\yN YL]pQHN iUDPOiVD D WHQJHU KXOOiP]iVD D IHOKN MiWpND D V]pO VXVRJiVD PLQG-mind a közegek áramlásával vannak kapcsolatban, mutatva a lehetséges változatok végtelen számát, az áramlási jelenségek bonyolultságát. Az áramlástant sokan azért is tartják figyelemreméltó tantárgynak, mert igen szépen és érdemben kapcsolja össze a fizikai jelenségek leírását a matematikai ismeretek alkalmazásával és a gyakorlati mérnöki feladatok megoldásával. Ilymódon ez a tantárgy hozzájárulKDW HJ\ RO\DQ PpUQ|NL KDELWXV NLDODNXOiViKR] DPHO\ D J\DNRUODWL PV]DNL feladatok igéQ\HVHOPpOHWLDSSDUiWXVELUWRNiEDQW|UWpQPHJROGiViWUpV]HVtWLHOQ\EHQDKRO az elmélet és a gyakorlat szerves kapcsolata valósul meg. Megköszönve Kristóf Gergely doktorandusz kolléga lelkes munkáját az ábrák elkészítéséEHQpVD]DQ\DJV]HUNHV]WpVpEHQDV]HU]NLWDUWiVWpVWUHOPHWNpUYHHUHGPpQ\W és örömet kívánva az olvasó jóindulatába ajánlja a jegyzetet. Budapest, 1994 tavasz

Lajos Tamás 2

1. Az áramlástan tárgya, a folyadékok sajátosságai 1.1.

A folyadékok és a szilárd anyagok összehasonlítása

Az áramlástan nyugvó és mozgó folyadékok egyes sajátosságaival ill. e sajátosságok J\DNRUODWL PV]DNL DONDOPD]iViYDO IRJODONR]LN 1\XJYy IRO\DGpNWHUHNEHQ iOWDlában a nyomásmegoszlás meghatározása a feladat, míg áramló közegekben a nyomásmegoszlás mellett legtöbbször a folyadék sebességének eloszlására vagyunk kíváncsiak. $ ÄIRO\DGpNRN´ H WDQWiUJ\EDQHJ\DUiQW MHOHQWLNDFVHSSIRO\yVpVDOpJQHPKDOPD]állapotú közegeket,tJ\OHJW|EEV]|UDOHYHJYHOpVDYt]]HOPLQWDPV]DNLJ\DNRUODWEDQ legJ\DNUDEEDQHOIRUGXOyIRO\DGpNRNNDOIRJODONR]XQN 0L NO|QE|]WHWL PHJ D IRO\DGpNRNDW D V]LOiUG WHVWHNWO" 9pJH]]QN HO HJ\ JRQGRODWL kisérletet. Az 1.1. ábrán bal oldalon két síklap közé helyezett, lapos szilárd testet

1.1. ábra látunk, amelyet alul és felül a lapokhoz ragasztunk. Jobb oldalon a két párhuzamos lap között folyadékréteg (pl. olaj) van. A szilárd test és a folyadékréteg lappal párhuzamos keresztmetszete A. Az DOVy ODS U|J]tWHWW D IHOV |QPDJiYDO SiUKX]DPRVDQ HOPR]GtWKDWy Hassunk F HUYHO D IHOV ODSUD $]W WDSDV]WDOMXN KRJ\ D V]LOiUG DQ\DJEDQ NHOHWNH] τ = F A csúsztatófeszültség hatására a szilárd anyag deformálódik. A deformációra MHOOHP] γ szög egy határig arányos a τ csúsztatófeszültséggel (Hooke-W|UYpQ\ -HOHQWV deformáció általában csak az anyag szerkezetének tönkremenetelével valósítható meg. A folyadékrétegetN|]UHIRJyODSRNN|]ODIHOVUHFHUYHOKDWYDDIHOVODSXVHEHVVpJ mozgásba jön, a IRO\DGpNLGEHQIRO\DPDWRVDQGHIRUPiOyGLN+DNO|QE|]QDJ\ViJ~F HUWIHMWQNNLYDJ\NO|QE|]ANHUHV]WPHWV]HWV]LOiUGWHVWHNNHOYDJ\IRO\Ddékrétegekkel kísérletezünk, azt tapasztaljuk, hogy amíg a szilárd testnél a γ deformáció, a folyadéknál a deformáció sebessége, a dγ/dt arányos egyenesen a τ csúsztatófeszültséggel.

A kísérlet során azt tapasztalnánk, hogy D V]LOiUG IDOODO pULQWNH] Iolyadék sebessége közvetlenül a falnál megegyezik a fal sebességével. Ezt az általánosan alkalmazott tapasztalatot a tapadás törvényének szoktuk nevezni. 5DM]ROMXN IHO iEUD D NpW SiUKX]DPRV VtNRW |VV]HN|W D]RNUD PHUOHJHV H HJ\HQHV mentén a sebesVpJPHJRV]OiVW D]D] D]RQ VHEHVVpJYHNWRURN YpJSRQWMDLW |VV]HN|W görbét, amelyek talppontjai az e egyenesen vannak! A tapadás törvénye következtében D]iOOyODSKR]OHJN|]HOHEEOpYIRO\DGpNUpV]HNVHEHVVpJHY [ = PtJDIHOVODSN|]vetlen közelében a sebességHJ\HQODODSXVHEHVVpJpYHO0LO\HQDVHEHVVpJPHJRV]OiVDNpWODS között?

1.2. ábra (NpUGpVPHJYiODV]ROiViKR]HOV]|UKDWiUR]]XNPHJDγ és a v x közötti kapcsolatot! Megjegyzés:

A

differenciálhányados

szokásos

matematikai

értelmezése

egy

differenciálható y=y(x) függvény egy rögzített pontjában, ha ∆y a ∆x növekményhez tartozó függvényérték megváltozás: OLP

∆[ →

∆\ G\ = = \ = WJ α , ∆[ G[

ha α D U|J]tWHWW SRQWEDQ D] pULQW KDMOiVV]|JH D SR]LWtY [ WHQJHO\WO PpUYH $

dy itt egy dx

szimbolikus jelöléseDKDWiUpUWpNQHNpVQHPDV]iPOiOypVQHYH]KiQ\DGRVD (OVVRUEDQ D PV]DNL WXGRPiQ\RN WHUOHWpQ V]RNiVRV D

dy kifejezés egy másik dx

értelmezése: OLP

∆[ →

∆\ G\ = \ = WJ α = , ∆[ G[

DPLDOiWV]DWWDOHOOHQWpWEHQHOYLOHJNO|QE|]LND]HO]IHOtUiVWyO(V]HULQWDKDWiUpUWpNiOWDO U|J]tWHWWpULQWLUiQ\WDQJHQVNpWNLFVLQ\GHösszetartozó dx és dy érték hányadosával is kiIHMH]KHW$NLFVLQ\MHO]D]WMHOHQWLKRJ\H]HQpUWpNHNDJ|UEHRO\DQNLFVLV]DNDV]iQDNYeWOHWHL DPHO\ HOHJHQGHQ MyO közelíti az y=y(x) függvényt a rögzített pont környezetében. 4

Így értelmeztük a dy és dx differenciálokat, melyeknek hányadosa, szorzata stb. is értelmezett. A

jelen

jegyzetben

ez

utóbbi

értelemben

kezeljük

a

differenciálokat,

illetve

differenciálhányadosokat. Az 1.2. ábrán az y helyen látható egy dy vastagságú folyadékréteg. A csak az y-WyOIJJ Y [ sebességkomponens y irányú változását a GY [ G\ differenciálhányados jellemzi. *RQGRODWEDQ IHVVN PHJ D] iUDPOiVEDQ D] 0 MHO G\ KRVV]~ViJ~ V]DNDV]W pV YL]VJiOMXN PHJ KRJ\ GW LG DOatt milyen dγ V]|JJHO IRUGXO HO $] 0 V]DNDV] IHOV UpV]H

1 alatt 1 GY

6 G\ 6 G\ ⋅ GW -vel távolabbra jut, mint az alsó rész (ld. 1.2. ábra $GWLGWDUWDPUD

Y [ + GY [ G\ G\ , alsó része Y [ VHEHVVpJJHO PR]RJ $ V]DNDV] IHOV UpV]H GW LGWDUWDP [

jutó elfordulást, dγ-t a fenti szorzat dy-nal való osztásával kapjuk meg. $]HJ\VpJQ\LLGUH jutó szögelfordulás, azaz a deformációsebesség a dt-vel való osztás után adódik: Gγ GY [ = GW G\

(1.1)

$PLQWD]WD]HO]JRQGRODWNtVpUOHWEHQPHJiOODStWRWWXNDGγ/dt deformációsebesség és a τ csúsztatófeszültség között egyenes arányosság van. Ezért az (1.1)-et figyelembe véve felírható Newton viszkozitási törvénye: τ [\ = µ

GY [ Gγ =µ G\ GW

(1.2)

(A τLQGH[HLN|]OD]HOVDτ-t tartalmazó sík normálisának irányát, a második a τ irányát jelenti. τyx WHKiW D] \ QRUPiOLV~ VtNRQ pEUHG [ LUiQ\~ IHV]OWVpJHW MHO|OL $ V~UOyGiVRV közegek tárgyalásánál látni fogjuk, hogy általános esetben a τxy kifejezésében más sebességkomponens hely szerinti deriváltja is szerepel. Megjegyezzük továbbá, hogy a súrlódásos közegek deformációjánál a csúsztatófeszültségek mellett húzófeszültségek is keletkezhetnek, amelyekkel a 9. fejezetben foglalkozunk.) Az (1.2)-ben µ egy, a folyadék tulajdonságaitól IJJ pUWpN DUiQ\RVViJL WpQ\H] D dinamikai viszkozitás, amelynek mértékegységét a µ HJ\HQOHWEOW|UWpQNLIHMH]pVH után az alábbi módon határozzuk meg: µ = τ

G\ "# = NJ P ! GY $ V P

[

NJ P = P V PV

(1.3)

Definiáljuk a kinematikai viszkozitást, mint a dinamikai viszkozitás és a ρ [kg/m3] VUVpJKiQ\DGRViW: ν=

µ ρ

P V

5

(1.4)

Az (1.2) ismeretében már megválaszolhatjuk a sebességmegoszlás alakjára vonatkozó kérdést. Esetünkben a τ csúsztatófeszültség az e egyenes mentén, azaz a két lap között állandó, így (1.2)-EODGyGyDQGYx/dy is állandó, azaz a sebességmegoszlás lineáris. Ha megvizsgáljuk az (1.2) kifejezést, további következtetéseket vonhatunk le: ha a deformációsebesség zérushoz tart, akkor a csúsztatófeszültség is elWQLN (]W ~J\ V]RNWXN mondani, hogy – a szilárd anyagokkal ellentétben – a folyadékok nyugvásbeli súrlódása zérus. (Ezért lehet – persze csak igen lassan – eltolni kézzel a parttól egy több tonnás hajót.) Másrészt, ha a τ csúsztatyIHV]OWVpJ ]pUXVWyO NO|QE|]LN D] |VV]HIJJpVEO GY [ G\ ≠ következik, azaz nyugvó folyadékban nem tartható fenn tartósan Q\tUyIHV]OWVpJ D Q\tUyIHV]OWVpJ KDWiViUD D IRO\DGpN LGEHQ IRO\DPDWRVDQ deformálódik. Ez az egyik fontos sajátosság, amely a folyadékokat a szilárd anyagoktól megkülönbözteti. További különbség, hogy szemben a szilárd anyagokkal a folyadékok WHWV]OHJHVPprWpNEHQGHIRUPiOKDWyNEHOVV]HUNH]HWNPHJYiOWR]iVDQpONO Itt jegyezzük meg, hogy a folyadékok és a szilárd anyagok közötti éles különbségtétel sok DQ\DJ HVHWpQ QHP N|QQ\ IHODGDW 9DQQDN RO\DQ N|]HJHN XJ\DQLV DPHO\HN HJ\DUiQW UHQGHONH]QHN D IRO\DGpNRN pV D V]LOiUG DQ\DJRN MHOOHP]LYHO 9DQQDN WRYiEEi RO\DQ folyadékok is, amelyeknél a csúsztatófeszültség és a deformációsebesség között az (1.2)-WO HOWpU NDSFVolat áll fenn. Ezeket nem-newtoni közegeknek nevezzük, és sajátosságaikat NpVEEDIejezetben tárgyaljuk.

1.2 A folyadékok néhány tulajdonsága Az 1.3. ábránOiWKDWyGXJDWW\~YDOOH]iUWKHQJHUEHQJ]YDQDPHO\QHN9 m 3 térfogatát és m [kg] tömegét ismerjük, így ezek hányadosaként számolható a v m 3 kg fajtérfogat, HEEO SHGLJ D ρ=1/v

kg m 3 VUVpJ $ GXJDWW\~ PR]JDWiViYDO D J] WpUIRJDWiW

változtatjuk, miközben mérjük p [Pa] nyomását. A T >.@ KPpUVpNOHWHW HJ\ KFVHUpO VHJtWVpJpYHOKEHYH]HWpVVHOYDJ\HOYRQiVVDOiOODQGypUWpNHQWDUWMXN .O|QE|] 7=áll. mellett mozgassuk a dugattyút balfelé és mérjük a v fajtérfogat függvényében a p nyomást, majd a mérési eredményeket ábrázoljuk az 1.3. ábrán látható diagramban. $GRWWiOODQGyKPpUVpNOHWPHOOHWWFV|NNHQWYHDJ]WpUIRJDWiWDQ\RPiVNH]GHWEHQQ|YHkV]LNPDMGiOODQGyYiYiOLN(NNRUDKHQJHUEHQIRO\DGpNFVHSSHNMHOHQQHNPHJD]D]DJ] |VV]HQ\RPiV PpUWpNpWO IJJ UpV]e kondenzálódik. Tovább csökkentve a térfogatot az

6

ösV]HV J] NRQGHQ]iOyGLNpVFVDNFVHSSIRO\yVIi]LVOHV]DKHQJHUEHQDPHO\NLVWpUIRJDtcsökkenésre nagy nyomás növekedéssel reagál, azaz a görbék igen meredekek lesznek.

1.3. ábra $NO|QE|]7=áll. mellett kapott görbék két helyen törnek. E töréspontok összekötésével a diagram bal és jobb oldalán egy-HJ\ KDWiUROyJ|UEpW NDSXQN DPHO\HN D GLDJUDP IHOV részén egy u.n. kritikus pontban találkoznak. A görbék között a közeg mind cseppfolyós PLQG SHGLJ OpJQHP D]RNWyO EDOUD FVDN FVHSSIRO\yV MREEUD SHGLJ FVDN OpJQHP halmazállapotban van. Van egy olyan 7NULW Ji]KPpUVpNOHWDPHO\QpODOpJQHP-FVHSSIRO\yViWDODNXOiVUHMWHWWK felszabadulása nélkül megy végbe a S NULW nyomáson és Y NULW fajtérfogaton, és amelynél PDJDVDEEKPpUVpNOHWHQQHPOHKHWD]DGRWWJi]WFVHSSIRO\yVtWDQL9t]UH7NU = 647 K, S NU = ⋅ Pa.) Az 1.3. ábra MREE ROGDOiQ HOKHO\H]NHG KDWiUROyJ|UEpQ pV D &6/ MHO WHUOHWHQ D J] telített D]D] D J] D WpUIRJDW YiOWR]isára halmazállapot változással reagál. A jobb oldali KDWiUROyJ|UEpWO MREEUD DQQDN N|]HOpEHQ OpY SRQWRNNDO MHOOHP]HWW iOODSRWRNQiO túlhevíWHWWJ]UOPtJDKDWiUROyJ|UEpWOWiYROSO7 >> 7NULW esetén gázról beszélünk. $ OHYHJW DONRWy 2 és 1 esetén a 7NULW rendre >.@ pV >.@ WHKiW D PV]DNL DONDOPD]iVRNQiO V]RNiVRV KPpUVpNOHWHNQpO 7 >> 7NULW . ËJ\ D OHYHJ Ji]QDN WHNLQWKHW amelyre jó közelítéssel érvényes az ideális gázra vonatkozó gáztörvény: SY = ahol

S = 57 , ρ

5 = 5X 0

(1.5) (1.6)

az adott gáz gázállandója, ami az univerzális gázállandó (Ru = 8314.3 J/kg/K) és a PROW|PHJ0NJNPRO KiQ\DGRVD/HYHJUH0 >NJNPRO@WHKiW5 -NJ.$] 7

1.3. ábrán látható, hogy a CS+L-lel jelölt területen (ahol a gáz telített állapotban van) a

7 = iOO görbék vízszintesek, azaz egyDGRWW7KPpUVpNOHWKH]DGRWWWHOtWHWWJ]Q\RPiVSg tartozik. Rajzoljuk fel a a vízre vonatkozó 7 − S J u.n. tenziógörbét: 1.4. ábra!

1.4. ábra $ GLDJUDPEyO OiWKDWy KRJ\ NLV KPpUVpNOHWHQ LV OpWUHM|KHW J]Ii]LV D]D] D IRO\DGpN IRUUiVED M|KHW KD HOHJHQGHn kicsiny a nyomás. A nyomás csökkenését okozhatja pl. az iUDPOiVL VHEHVVpJ PHJQ|YHNHGpVH (OIRUGXOKDW WHKiW KRJ\ D] iUDPOy IRO\DGpNEDQ D nyomás a telíWHWW J]Q\RPiVLJ FV|NNHQ H]pUW J]EXERUpNRN NHOHWNH]QHN $PLNRU H buborékok nagyobb nyomású helyre kerOQHN D J] NRQGHQ]iOyGLN D EXERUpNRN összeroppannak és a közelükEHQ OpY V]LOiUG DQ\DJ IHOOHWpQ SO V]LYDWW\~ ODSiWMiQ MHOHQWVURQFVROiVWRNR]QDN$JzEXERUpNRNNpS]GpVpWpV|VV]HURSSDQiViWkavitációnak, a roncsolást kavitációs eróziónak nevezzük. $ FVHSSIRO\yV pV OpJQHP KDOPD]iOODSRW~ N|]HJHN N|]|WWL OHJIRQWRVDEE NO|QEVpJHN EHPXWDWiVDpUGHNpEHQUDM]ROMXNI|ODPROHNXOiNN|]|WWKDWyHUWDN|]|WWNOpYGWiYROViJ függvényében: 1.5. ábra. A diagramból látható, hogy a molekulák között DGWiYROViJWyOIJJHQYRQ]iVpVWDV]tWiVHJyaránt

felléphet. A G „semleges” távolság,

DPLNRUD]HU]pUXVHJ\V]HUPROHNXOiNQiOiltalában − ⋅ − [m],

ami kb. a molekulák

átmérMpYHO HJ\HQO A cseppfolyós halmazállapotú közegek molekulái egymáshoz viszony1.5. ábra.

lag közel vannak: G ≈ G . A távolság csökkenése eseWpQ PHUHGHNHQ Q|YHNHG WDV]tWiV PHg-

magyarázza, hogy miért növekszik olyan rohamosan a nyomás, ha csökkentjük a cseppfolyós halmazállapotú közegek térfogatát. (vö.: 1.3. ábra) A molekulák távolításakor kHOHWNH] YRQ]yHU QDJ\REE WiYROViJ HVHWpQ URKDPRVDQ G − -QHODUiQ\RVDQFV|NNHQ0LXWiQDJi]RNVUVpJHNEQDJ\ViJUHQGGHONLVHEEPLQWD folyadékoké, a molekulák közötti átlagos távolság gázoknál a cseppfolyós közegeknél ér-

8

vényes ≅ G távolságnak kb. tízszerese. Ezért – szemben a cseppfolyós halmazállapotú közegekkel – a gázoknál a molekulák közötti vonzó-YDJ\WDV]tWyHUD]WN|]pVHNWOHltekintve elhanyagolható. $ OpJQHP pV FVHSSIRO\yV N|]HJHN YLV]NR]LWiViQDN HUHGHWpW YL]VJiOYD MHOHQWV különbséget tapDV]WDOXQN 7XGMXN KRJ\ D N|]HJHN EHOV HQHUJLiMD DPLW D KPpUVpNOHWWHO jellemzünk) a közeget alkotó molekulák rendezetlen mozgásával függ össze. A OpJQHP közeg molekuláiD]WN|]pVHNWOHOWHNLQWYHHJ\PiVWyOIJJHWOHQOPR]RJKDWQDNDG -hoz képest jelentVWiYROViJRWV]DEDG~WKRVV]DW PHJWpYHNpWWN|]pVN|]|WW$]iUDPOyJi]RN tehát viszonylag nagy sebességgel, rendezetlenül mozgó molekulákból álló halmazok, amelyek a rendezetlen molekula-sebességhez képest általában egy-két nagyságrenddel lassabban mozognak az áramlás irányában. Amit mi a gáz sebességének tekintünk (pl. Y [ a (1.2) összefüggésben), az a gyorsan mozgó molekulák sebességének vektoriális átlaga. Tételezzük fel, hogy a Y [ változik az y mentén, azaz az egymás mellett haladó gázrétegek sebessége NO|QE|] $ UHQGH]HWOHQ K PR]JiV N|YHWNH]WpEHQ D QDJ\REE VHEHVVpJ UpWHJEO D NLVHEE VHEHVVpJEH iWMXWy PROHNXOiN J\RUVtWMiN D] H UpWHJEHQ KDODGy PROHNXOiNDWPtJDNLVHEEVHEHVVpJHNDQDJ\REEVHEHVVpJUpWHJEHMXWYDODVVtWMiND]WA NO|QE|] VHEHsséJ UpWHJHN N|]|WW D Ji]PROHNXOiN UHQGH]HWOHQ PR]JiVD N|YHWNH]WpEHQOpWUHM|YPolekuláris impulzuscsere a gázok viszkozitásának forrása. +DQDJi]KPpUVpNOHWHD]D]QDPROHNXOiNUHQGH]HWOHQPR]JiViQDNVHEHVVpJHQD NO|QE|] UpWHJHN N|]|WW iWOpS PRlekulák száma, ezért Q D YLV]NR]LWiV. Ha adott KPpUVpNOHW PHOOHWW D nyomás növekszik, nem várható a viszkozitás változása, ami a követke]NpSSHQ PDJ\DUi]KDWy $ Q\RPiV D] HJ\VpJQ\L IHOOHWHQ LUiQ\W YiOWR]WDWy PROHNXOiNiOWDODIHOOHWHQNLIHMWHWWHUDPLDGRWWKPpUVpNOHWD]D]DJi]PROHNXOiNDGRWW rendezetlen seEHVVpJH HVHWpQ D WpUIRJDWHJ\VpJEHQ OpY PROHNXOiN V]iPiWyO D]D] D VUVpJWOIJJ1aJ\REEQ\RPiVHVHWpQDJi]QDJ\REEVUVpJHN|YHWNH]WpEHQDUiQ\RVDQ W|EE PROHNXOD OpS iW XJ\DQ D] HOWpU VHEHVVpJ UpWHJEH GH D QDJ\REE PROHNXOD-VUVpJ miatt rövidebb az ütközések között megtett út (a szabad úthossz), ezért kisebb mélységben KDWROQDNEHD]HOWpUVHEHVVpJUpWHJEHD]D]NLVHEEDPROHNXOiNN|]|WWLLPSXO]XVFVHUH A cseppfolyós halmazállapotú közegek PROHNXOiL XJ\DQFVDN YpJH]QHN KPR]JiVW amelynek úthossza a molekulák közötti lényegesen kisebb távolság következtében sokkal csekélyebb, mint a gázoknál. A molekulák közötti kisebb távolság következtében a moleNXOiN N|]|WWL HUQHN MHOHQWV V]HUHSH YDQ a viszkozitás kialakulásában. Ezt indokolja az a körülmény, hogy – ellentétben a gázokkal – DKPpUVpNOHWQ|YHNHGWpYHODFVHSSIolyós közegek viszkozitása csökken 1|YHNY KPpUVpNOHW XJ\DQLV LQWHQ]tYHEE KPR]JiVWDPROHNulák közötti távolság növekedését éVDN|]|WWNKDWyYRQ]yHUFV|NNe-

9

nését eredményezi. Cseppfolyós közegek – mint láttuk – igen kevéssé összenyomhatók, tehát a nyomásnak ezeknél sincs gyakorlati befolyása a viszkozitásra. )RJODOMXN|VV]HDFVHSSIRO\yVpVOpJQHPKDOPD]iOODSRW~N|]HJHNNHONDpcsolatos megállapításokat! cseppfolyós

OpJQHP

Molekulák közötti távolág

kicsi≈/

nagy≈10/

0ROHNXOiNN|]|WWLHUV]HUHSH

nagy⇒szabad felszínt

kicsi⇒kitölti a

képez

rendelkezésre álló teret

Nyomás növekedés hatása

kicsi ⇒1000 bar 5%

nagy ⇒ T=áll. esetén

a térfogatra

térf. csökkenést

v az 1/p-vel

okoz

arányos (1.5)

molekulák közötti

PROHNXOiNKPR]JiVD

YRQ]yHU

miatti impulzuscsere

csökken

Q

nem függ

nem függ

A viszkozitás forrása

A viszkozitás DKPpUVpNOHWQ|YHNHGWpYHO a nyomástól

1.3. Az ideális folyadék $ IHQWL JRQGRODWPHQHWEO OiWKDWy KRJ\ MHOHQWV NO|QEVpJ YDQ D FVHSSIRO\yV pV OpJQHP közegek felépítése, szerkezete között. Mégis, ha az áramlástani feladatok megoldása szempontjából tekintjük e közegeket, igen sok egyezést tapasztalunk. Így például az (1.2) összefüggéssel leírt Newton viszkozitásiW|UYpQ\DOHJJ\DNUDEEDQHOIRUGXOyFVHSSIRO\yVpVOpgQHPKDOPD]iOODSRW~N|]HJHNUHHJ\DUiQWpUYpQ\HV (]pUWYROWOHKHWVpJDIRO\DGpNJ\MWIRJDORPEHYH]HWpVpUHYDODPLQWDNO|QE|]KDOPDzállapotú folyadékokra egyaránt érvényes áramlástani összefüggések meghatározására. $YDOyViJRVFVHSSIRO\yVpVOpJQHPKDOPD]iOODSRW~ IRO\DGpNRNPRGHOOH]pVpUHEHYH]Htték az ideális folyadék fogalmát, amelynek legfontosabb sajátosságait a valóságos folyadékokkal összehasonlítva adtuk meg.

10

Valóságos folyadék

Ideális folyadék

PROHNXOiULVV]HUNH]HW

homogén (kontinuum)

súrlódásos (µ ≠ 0)

súrlódásmentes (µ = 0)

összenyomható (ρ ≠ áll.)

összenyomhatatlan (ρ = áll.)

$ N|YHWNH] IHMH]HWHNEHQ W|EE D] LGHiOLV IRO\DGpNRNUD pUYpQ\HV |VV]HIJJpVW IRJXQN meghatározni, amelyek meghatározott esetekben jól használhatók valóságos folyadékok áramláViQDNOHtUiViUDPV]DNLIHODGDWRNPegoldására. Ahhoz kell szilárd tudás és intuició, KRJ\D]HJ\V]HUVtWIHOWHYpVHNDONDOPD]iViQDNOHKHWVpJpWKHO\HVHQKDWiUR]]XNPHJpVD] elhanyagolások, közelítések hatását jól meg tudjuk becsülni. Becsléseink, feltevéseink helyességét a kísérletek, a gyDNRUODWLWDSDV]WDODWRNPXWDWMiNPHJ.pVEEDV~UOyGiVPHQWHsség és az összenyomhatatlanság feltételeit már nem kötjük ki és ezáltal egyre bonyolultabb, de a valóságos közeg áramlását egyre tökéletesebben leíró megoldásokra jutunk. Felmerül a kérdés, hogy PLpUW YDQ V]NVpJ LO\HQ ÄW|EEOpSFVV´ PHJROGiVUD HOKDQ\Dgolásokra és ezek hatásának becslésére. Azért, mert jelenlegi áramlástani ismereteink, a rendelkezésUHiOOyPDWHPDWLNDLHV]N|]WiUpVV]iPtWiVLNDSDFLWiViOWDOiEDQQHPHOHJHQGKRJ\ a természetben YDJ\DPV]DNLJ\DNRUODWEDQHOIRUGXOyiUDPOiVWDQLSUREOpPiNDWV]iPtWiVVDO „pontoVDQ´ PHJROGMXN ËJ\ SO PpJ PLQGLJ WiYRO YDJ\XQN DWWyO D OHKHWVpJWO KRJ\ HJ\ személyauWyUD KDWy iUDPOiVL HUHGHW HUW V]iPtWiVVDO D PV]DNL J\DNRUODW V]HPSRQWMiEyO szükséges – mondjuk ±2%-os relatív hibahatáron belül – kiszámoljuk.

11

2. Fizikai mennyiségek és leírásuk 2.1. Skalárterekkel leírható mennyiségek 6UVpJ $ YDOyViJRV N|]HJ VUVpJH ρ Y = OLP ∆9⇒ ε

∆P NJ P , ahol ∆m a ∆9 WpUIRJDWEDQ OpY ∆9

közeg tömege, ε pedig egy, a vizsgált folyadéktér méreteihez képest kicsi, de a folyadékmolekulák közötti távolsághoz képest nagy méret. (Ha ε a molekula-távolság nagyságrendMpEHHVPpUHWOHQQHDNNRUDVUVpJMHOHQWVHQLQJDGR]QDDWWyOIJJHQKRJ\pSSHQKiQ\ molekula tartózkodik a ∆V térfogatban.) Az ideális folyadékot homogénnek tekintjük és ρVUVpJpWDPRGHOOH]HWWYDOyViJRVN|]HJ ρvVUVpJpYHOYHVV]NHJ\HQOQHNDPLiOWDOiEDQD]rKHO\YHNWRUpVDWLGIJJYpQ\HA VUVpJHW iOWDOiQRVDQ D ρ = ρ U W skalártér, azaz a ρ = ρ [ \ ] W négyváltozós függvény írja le. Nyomás Vegyünk fel nyugvó folyadékban egy felületelemet ill. az azt jelOHP]∆A felületelem vektortDPHO\PHUOHJHVDIHOOHWHOHPUHDEV]RO~WpUWpNHDUiQ\RVDIHOOHWHOHPQDJ\ViJiYDOpV zárt felület esetén kifelé mutat). A ∆A felületelemre ∆FHUKDW Nyugvó valóságos (súrlódásos) folyadékban az (1.2) összefüggés értelmében nem tartható fenn csúsztatófeszültség, ezért ∆F-QHN PHUOHgesnek kell lennie a felületre. (Ugyanez érvényes ideális közegben is, függetlenül attól, hogy nyugszik-e vagy áramlik.) $] HJ\VpJQ\L IHOOHWUH KDWy DUUD PHUOHJHV 2.1. ábra

HUW Q\RPiVQDN >1P2] ill. [Pa]) nevezzük, DPLDNNRUSR]LWtYKDD]HUDIHOOHWEHEHIHOp

mutat. (Súrlódásos közegek áramlása esetén a folyadék deformáció következtében is keletkezikIHOOHWUHPHUOHJHVHU,O\HQNRUDQ\RPiVDIRO\DGpNWpUEHQNHOHWNH]IIHV]OWVpJHN átlagának ellentettje, ld. 9. fejezet.) 9DOyViJRV N|]HJHNQpO D Q\RPiV D KPR]JiVW YpJ] PROHNXOiN pV D IHOOHW N|]|WWL N|lcsönhatás következményeként jön létre.

Az 2.1. ábrán látható, a nyugvó folyadékban gondolatban elhatárolt, háromszög alakú kis KDViEIHOOHWpQKDWyHUNHJ\HQV~O\EDQYDQQDNDPLNRUDKDViERWHJ\SRQWUD]VXJRUtWMXN $KDViEUDKDWyWpUHUVVpJ/SODV~O\HU/XJ\DQLVDIHOOHWLHUNK|]NpSHVWHOWQLNPLXWiQ D]DMHOOHP]PpUHWN|EpYHOPtJDIHOOHWLHUDQQDNQpJ\]HWpYHODUiQ\RVDQFV|NNHQ (]W D]HJ\HQV~O\WHJ\]iUyGyYHNWRUKiURPV]|JIHMH]LNLDPHO\QHNROGDODLPHUOHJHVHNDKDViE odalaira, következésképpKDVRQOyDKDViEKiURPV]|JDODN~NHUHV]WPHWV]HWpKH](EEONövetkezik, hogy [∆Fi] rendre arányos ∆Ai -vel, azaz a nyomás értéke egy pontban a felület irányításától független, skaláris mennyiség. A nyomás áltaOiEDQDKHO\pVD]LGIJJYpQ\HWHKiWDS Sr,t) skalártérrel azaz a p =p(x,y,z,t) négyváltozós függvénnyel írható le. Hasonlóan skalártérrel írható le a T=T(r,t) KPpUVpNOHW megoszlás is. A skalártereket szintfelületekkel (szintvonalakkal) jellemezzük, amelyek a tér (ill. sík) azon pontjait kötik össze, amelyekben a fizikai változó értéke azonos. (Pl. az izobárok az állandó nyomású pontokat.) A skalárterek hely szerinti változásának jellemzésére egy vektormennyiséget használunk, amelynek x, y és z komponensei a leírt fizikai mennyiség x, y és z irányú változásának rohamosságával arányosak: JUDG S = ∇S = DKRO

∂S ∂S ∂S ∂S L+ M+ N= ∂[ ∂\ ∂] ∂U

∇=

∂ ∂ ∂ L+ M+ N ∂[ ∂\ ∂]

A gradiens vektor – a skalártér legrohamosabb változásának irányával párhuzamos, – a skalártér növekedésének irányába mutat, – hossza arányos a változás rohamosságával, –PHUOHJHVDV]LQWIHOOHWUHV]LQWYRQDOUD +D D WpU NpW N|]HO OpY $ pV % SRQWMiW D ∆s vektor köti össze, amelynek talppontja az A pontban van, a p skalártér ∆p változását a B és A pont között lineáris közelítésben a ∆S = S % − S $ ≅ JUDG S ∆ V = skalárszorzat adja meg.

13

∂S ∂S ∂S ∆[ + ∆\ + ∆] ∂[ ∂\ ∂]

(2.1)

2.2. Vektorterekkel leírható mennyiségek Sebességtér A sebesség vektor viOWDOiEDQDKHO\pVD]LGIJJYpQ\HH]pUWHJ\YHNWRU-vektor függvénnyel (vektortérrel) írható le:

1 6

Y = Y[ L + Y\ M+ Y] N = Y U W . A vektortér meghatározható a vx , vy és vz vektorkomponens leírásával, azaz három skalártérrel is: Y [ = Y [ [ \ ] W Y \ = Y \ [ \ ] W Y ] = Y ] [ \ ] W . Tekintsük a 2.2. ábrát, ahol az r vektorhoz tartozó v vektort ábrázoltuk. Hogyan változik a sebesség, ha ∆r-rel elmozdulunk? Határozzuk meg tehát a sebességvektortér ∆r-hez tartozó ∆v megváltozását! A feladat megoldására felhasználhatjuk a skalártér jellemzésére tanult módszert, azaz képezhetjük az egyes vektorkomponensek,

2.2. ábra

mint skalárterek gradiensét, és ezek segítségével számolhatjuk a v sebességvektor komponenseinek változását a ∆r elmozdulásvektor mentén: ∆Y [ ≅ JUDG Y [ ∆ U =

∂Y [ ∂Y ∂Y ∆[ + [ ∆\ + [ ∆] . ∂[ ∂\ ∂]

(2.2)

Hasonlóképpen felírva a Y \ és Y ] megváltozását, látjuk, hogy a ∆v sebesség változás vektor az alábbi módon írható fel:

∂Y

[

∂[ ∂Y \

∆Y ≅

!

∂[ ∂Y ] ∂[

"# ## ## ## $ !

∂Y [ ∂Y ∂Y [ ∆\ + [ ∆] ∂\ ∂] ∂[ ∂Y \ ∂Y \ ∂Y \ ∆[ + ∆\ + ∆] = ∂\ ∂] ∂[ ∂Y ] ∂Y ] ∂Y ] ∆[ + ∆\ + ∆] ∂\ ∂] ∂[ ∆[ +

"# ## ∆[ " # ∆\ # # ∂] # # ∂Y # ! ∆] $ ∂] #$

∂Y [ ∂\ ∂Y \

∂Y [ ∂] ∂Y \

∂\ ∂Y ] ∂\

]

(2.3)

∆v ≅ D ∆r. A sebességtér hely szerinti változását tehát a D deriválttenzorral jellemezhetjük, amely – mivel három sebességkomponens változhat három koordináta irányban – kilenc mennyiséget tartalmaz.

14

A sebességteret két további mennyiséggel is jellemezhetjük. (Ezeket a deriválttenzor invariánsainak is szokták nevezni, hiszen koordináta-transzformáció esetén a D valamennyi tagjának értéke változhat, de ezek egyes kombinációinak értéke nem.)

Az egyik ilyen (skalár) invariáns a vektortér divergenciája, GLYY =

∂Y [ ∂Y \ ∂Y ] + + , ∂[ ∂\ ∂]

DPHO\QHNDN|YHWNH]IL]LNDLLQWHUSUHWiFLyWOHKHWDGQLDGLYv egy skalár mennyiség, amelynek értéke az áramlási tér adott pontjában megmutatja, hogy HJ\VpJQ\L LG DODWW egységnyi térfogatból mennyivel több folyadéktérfogat lép ki, mint be. Mértékegysége: GLY Y = P V P = V . Tekintsük a 2.3. ábrán látható térben rögzített, zárt felületet, amelyen közeg áramlik át. 9L]VJiOMXNPHJKRJ\PiVRGSHUFHQNpQWPHQQ\LYHOW|EEN|]HJiUDPOLNNLDIHOOHWEOPLQW be. A dA felületelem vektorral jellemzett felületen másodpercenként GT = Y G $ = Y G $ FRV α P V térfogatáram áramlik át. Ha v és dA közötti szög α < 90°, akkor dq > 0, azaz a két vektor skaláris szorzata kiáramlás esetén ad pozitív értéket. Ha kiszámoljuk a

I

Y G $ integrált a teljes zárt felületre, akkor a ka-

$

2.3 ábra

pott q [m3/s] mennyiség megmutatja, hogy másodpercenként mennyivel több folyadéktérfogat lépett ki az $IHOOHWEOPLQWEH

Tekintsünk most egy dV térfogatelemet az A felület által határolt V térfogatban. A divv fizikai interpretációjából adódóan dq = divv dV D]HOHPLWpUIRJDWEyOLGHJ\VpJEHQW|UWéQ

I

többletkiáramlás értékét adja meg. Képezve az egész térfogatra vonatkozó GLY Y G9 integ9

rált, ismét a másodpercenkénti többletkiramlás adódik. Ha az azonos mennyiségeket kifeje]LQWHJUiORNDWHJ\PiVVDOHJ\HQOYpWHVV]N

I

I

Y G $ = GLY Y G9

$

(2.4)

9

a v sebességtérre alkalmazott Gauss-Osztrogradszkij tételt kapjuk. A derivált tenzor másik (vektor) invariánsa a rotv rotáció vektor, amelyet az alábbi determináns formális kifejtésével képezhetjük:

15

L ∂ URW Y = ∇ × Y = ∂[ Y[

M ∂ ∂\ Y\

∂Y

"# N ∂\ ∂] # ∂Y ∂Y # ∂ = − . ∂] ∂] ∂[ # # ∂Y ∂Y # Y − ! ∂[ ∂\ #$ ]

]

−

∂Y \

[

]

\

[

(2.5)

A rotv vektor szoros kapcsolatban van az áramlási tér fontos sajátosságával, a folyadékrészek forgási szögsebességével, Ω-val: rotv = 2Ω .

(2.6)

9HJ\QNIHOHJ\HJ\V]HUHVHQ|VV]HIJJ$IHOOHWHWDPHO\HWD*]iUWJ|UEHYHV]N|UO* irányítása pozitív az A felület felöl nézve.) A rotv vektortér A felület mentén vett integrálja és a v VHEHVVpJWpU $ IHOOHWHW N|UOYHY * J|UEH PHQWL LQWHJUiOMD D Γ cirkuláció közötti kapcsolatot a

I I

Γ = Y G V = URW Y G $ *

(2.7)

$

Stokes-tétel teremti meg. A vektorterek, így a sebességtér leírásához – mint láttuk – általában három négyváltozós IJJYpQ\UH YDQ V]NVpJ /pQ\HJHV HJ\V]HUVtWpVW MHOHQWHQH KD D YHNWRUWpU OHírásához egy QpJ\YiOWR]yVIJJYpQ\VNDOiUWpU LVHOpJOHQQH$JUDGLHQVPYHOHWVHJtWVpJpYHOEiUPHO\ϕ GLIIHUHQFLiOKDWyVNDOiUWpUEOHOiOOtWKDWyD Y = JUDGϕ vektortér. Létezik-e valamennyi vektortér esetén olyan ϕ VNDOiUWpUDPLWSRWHQFLiOQDNQHYH]QN DPHO\EOD]DGRWWYHNWRrtér a gradvPYHOHWWHOOHtUKDWy" Sajnos nem. Tudjuk, hogy csak a vektorterek egy része, a potenciálos vektorterek rendelkeznek ezzel a sajátossággal. Matematikai tanulmányaink során megismertN KRJ\ HJ\V]HUHVHQ |VV]HIJJ WDUWRPiQyban megadott vektortérre – esetünkben v sebességtérre – az alábbi három állítás ekvivalens: – létezik potenciálfüggvény

I

– a cirkuláció bármely zárt G görbére Γ = Y G V = *

– a vektortér örvénymentes azaz rot v = 0 (ld. (2.7) Stokes-tétel). (O]HNEODGyGyDQSRWHQFLiORVVHEHVVpJWpUHVHWpQDIRO\DGpNUpV]HNQHPIRURJQDN (UWHUHN Hasonlóképpen, vektorterek írják le a g HUWHUHNHW DPHO\HN YHNWRUDL D WpUHUVVpJYHNWRURND]HJ\VpJQ\LW|PHJUHKDWyHUQDJ\ViJiWLUiQ\iWpVLUiQ\tWiViWPXWDWják. A 16

WpUHUVVpJ PpUWpNHJ\VpJH D IHQWLHN DODSMiQ J = 1 NJ = P V . Kérdés hogy a Föld neKp]VpJL HUWHUH DPHO\QHN DEV]RO~W pUWpNH V]pOHVVpJL N|UQN|Q NE 1NJ D]D] NJ W|PHJUH1V~O\HUKDW SRWHQFLiORV-e? Határozzuk meg a

I

J G V vonalintegrált tetsz

*

leges zárt G görbe mentén. Az integrál egy zárt görbe mentén mozgó egységnyi tömegen a nehézVpJL HUWpU iOWDO NLIHMWHWW PXQND QDJ\ViJiW KDWiUR]]D PHJ DPL Q\LOYiQYDOyDQ ]pUXV 7HKiWD)|OGQHKp]VpJLHUWHUHPLQWW|EEPiVHUWpUSRWHQFLiORV Jelöljük U [m/s]-val az HUWpUSRWHQFLiOMiWpViOODSRGMXQNPHJKRJ\DEEDQD]LUiQyEDQ Q|YHNHGMpN DPHO\LN LUiQ\EDQ D] HUWpU HOOHQpEHQ PXQNiW NHOO YpJH]QL KD HJ\ tömeget elmozdítunkSOD)|OG|QI|OIHOp (PHJiOODSRGiVEyODWpUHUVVpJ-vektor g és az U potenciál között a g = − gradU

(2.8)

kapcsolat következik. $ )|OG QHKp]VpJL HUWHUH felfelé mutató z koordináta mellett J = − J J N alakban írható, ahol J J =9.81 N/kg. $QHKp]VpJLHUWpU U g potenciáljaDPLHJ\VpJQ\LW|PHJWHVWKHOy]HWLHQHUJLiMiYDOHJ\HQO HEEHQD]HVHWEHQ 8 J = J J ] + NRQVW

(2.9)

DODNEDQtUKDWy+DD]IJJOHJHVNRRUGLQiWDOHIHOpPXWDWDNLIHMH]pVMREEROGDOiQD]HOjel megváltozik.) $ WRYiEEL NpW J\DNUDQ HOIRUGXOy SRWHQFLiORV HUWpUUHO a tehetetlenségi és centrifugális HUWpUUHOFVDNDNNRUNHOOV]iPROQLKDHJ\HQHVmentén gyorsuló vagy forgó koordináWDUHQGV]HUEO YL]VJiOMXN D MHOHQVpJHW (Nem az számít tehát, hogy a vizsgált folyadék gyorsul vagy forog-HKDQHPDNRRUGLQiWDUHQGV]HUiOODSRWDDPHO\EODMHOHQVpJHWYL]VJiljuk.) Az x koordináta irányban a = ai gyorsulással mozgó koordinátarendszerben hat egy avval ellentétes irányú és azonos nagyságú J W = − D L WHKHWHWOHQVpJLHUWpU(QQHNDSoWHQFLiOMiWDN|YHWNH]|VV]HIJJpVVHOV]iPtWKDWMXN 8 W = D [ + NRQVW

17

(2.10)

Egy ω szögsebességgel forgó koordináta-rendszerben a cenWULIXJiOLVHUWpUWpUHUVVpJ vektora sugár irányú vektor: J F = U ω . E vektortér potenciálját az

8F = −

U ω + NRVW

összefüggés írja le.

18

(2.11)

3. Kinematika és a folytonosság tétele 3.1. A folyadék mozgás leírása A kinematika a folyadékok mozgásával foglalkozik figyelmen kívül hagyva a folyadékra KDWyHUNHW A szilárd testek mozgását úgy írjuk le, hogy a test egy vagy több pontjának helyét adjuk PHJD]LGIJJYpQ\pEHQA folyadékoknál analóg módon járhatunk el. Az egyes folyadékrészeket a t=0 pillanathoz tartozó helyzetükkel „jelöljük meg” (amelyet az V helyYHNWRUKDWiUR]PHJ pVDWLGIJJYpQ\pEHQPHJDGMXNDIRO\DGpNUpV]HNKHO\pW

4 9

U = U V W .

(3.1)

A folyadékrész sebességét és gyorsulását az r LG V]HULQWL HOV pV PiVRGLN GLIIHUHQFLiOKányadosa adja meg rögzített V mellett:

Y=

∂U ∂W

D=

∂ U ∂W

.

Ezt a módszert Lagrange leírási módnak nevezzük. E módszer nehézkesnek mutatkozott, ezért ritkán használják. A továbbiakban a legelterjedtebb Euler-féle leírási módot alkalmazzuk, amely a folyadékrészek sebességét adja meg a hely (r)pVD]LGW IJJYpQ\pEHQ

1 6

Y = Y U W .

(3.2)

$]iUDPOiVRNMHOHQWVUpV]pQpO– mint látni fogjuk – a sebességvektortér nem függ az idWO VWDFLRQiULXViUDPOiVRN (J\HEHNPHOOHWWWHKiWD]pUWLVHJ\V]HUEEH]DOHtUiVLPyGPLQWD] HO] PHUW VWDFLRQiULXV iUDPOiVRNQiO ellentétben a Lagrange leírási móddal, a független YiOWR]yNV]iPDDWHOWQpVpYHOHJJ\HOFV|NNHQ

3.2. Néhány meghatározás $N|YHWNH]NEHQQpKiQ\J\DNUDQDONDOPD]RWWiUDPOiVWDQLIRJDOPDWKDWiUR]XQNPHJ $IRO\DGpNUpV]SiO\iMDHJ\NLV]HPHOWSRQWV]HUIRO\DGpNUpV]HJ\PiVWN|YHWSLOODQDWRNEDQHOIRJODOWKHO\HLW|VV]HN|WJ|UEH

Az áramvonal olyan görbe, amelyet egy adott pillanatban a sebességvektor minden pontjában érint: Y × GV = , ahol dsD]iUDPYRQDOHOHPLKRVV]~ViJ~GDUDEMiWMHOOHP] vektor. (Az áramvonal egy adott pillanatban a sebességvektorok burkológörbéje.) A nyomvonal a tér egy pontján egymás után áthaladó folyadékrészeket egy adott pilODQDWEDQ|VV]HN|WJ|UEH,O\HQQ\RPYRQDOSODMiUPYHNV]pOFVDWRUQDNLVpUOHWHLQpOOptrehozott füstcsík, vagy egy kéményEO NLOpS IVW]iV]Oy KD SRQWV]HUQHN WHNLQWMN D NéPpQ\NL|POQ\tOiViW $] iUDPIHOOHWHW HJ\ NLMHO|OW YRQDOUD LOOHV]NHG iUDPYRQDODN DONRWMiN DPHO\HNHW D sebességvektorok érintik. Ezért az áramfelületen nincsen átáramlás. Bármely áramlásba helyezett felület, amelyen nincs átáramlás (pl. egy szilárd testé), áramfelület. Az áramFVVSHFLiOLViUDPIHOOHWDPHO\QpOD]iUDPYRQDODNHJ\]iUWJ|UEpUHLOOHV]NHGQHN (ld. 3.7. ábra)

3.3. Stacionárius és instacionárius áramlások Az áramlások igen fontos sajátosságaLGIJJpVND]D]KRJ\MHOOHP]LNVHEHVVpJQ\oPiVVUVpJ IJJHQHN-HD]LGWO 6WDFLRQiULXVLGiOOy iUDPOiVEDQDMHOOHP]N Y S ρ 7 QHPIJJHQHND]LGWO, így a sebességteret a

16

Y=Y U

alakú vektortér írja le, azaz a sebességvektorok az áramlási tér egyes pontjaiban adott koordináta-UHQGV]HUEOQp]YHLGEHQQHPYiOWR]QDN ,QVWDFLRQiULXViUDPOiVRNQiODVHEHVVpJWpUD]LGWOLVIJJ

1 6

Y = Y U W

(J\HV iUDPOiVRN DWWyO IJJHQ OHKHWQHN VWDFLRQiULXVDN YDJ\ LQVWDFLRQiULXVDN KRJ\ milyen koordináta-UHQGV]HUEO YL]VJiOMXN D]okat. Így pl. egy tavon egyenletes sebességJHO KDODGy FVyQDN N|UOL iUDPOiV D] DEV]RO~W UHQGV]HUEO SO D SDUWUyO Qp]YH instacionárius, hiszen a korábban nyugvó folyadékrészek a csónak közeledtére mozgásba jönnek. Ha viszont az áramlást a csónakhoz rögzített koordináta-UHQGV]HUEO YL]VJiOMXN akkor e mozgó koordináta-rendszer egyes pontjaiban a (csónakhoz képesti) relatív sebesség LGEHQQHPYiltozik, azaz az áramlás stacionárius. Az instacionárius áramlás egyes esetekben stacionáULXVViWHKHWDNRRUGLQiWa-rendszer helyes megválasztásával.

20

3.1. ábra

A 3.1. ábraHJ\JOLFHULQQHOW|OW|WWFVEHQVOO\HGJ|PEN|UOLiUDPOiVWPXWDWEHDPHO\HW DIRO\DGpNEDQOHEHJHJ\NHVNHQ\IpQ\ViYYDOROGDOUyOPHJYLOiJtWRWWPDJQp]LXPUHV]HOpN tesz láthatóvá. A bal oldali kpSHQ D KRVV]DEE H[SR]tFLyV LGYHO PN|G IpQ\NpSH]JpS HJ\WWPR]RJDJ|PEEHODMREEROGDOLNpSHQiOO$]iUDPOiVUDMHOOHP]NpVEEWiUJ\DOW Reynolds-V]iPNLFVLD]D]DN|]HJPR]JiViWINpQWDV~UOyGiVEyOV]iUPD]yHUNEHIRO\áVROMiN$J|PEWOMREEUDOitható fekete sáv a gömb árnyéka.) Az expozíció alatt elmozduló szemcsék alkotta vonalak iránya és hossza az áramlási sebesség irányát és nagyságát mutatja. Látható, hogy a koordináta-rendszer megválasztásától – D]D] DWWyO KRJ\ D IpQ\NpSH]JpS iOO-e vagy mozog – MHOHQWVHQ IJJ D] iUDPNpS pV D] áramlás jellege is. Együttmozgó koordináta-rendszer esetén (bal oldali kép) az áramlás staFLRQiULXVKLV]HQHJ\NpVEELLGSRQWEDQNpV]OWNpSXJ\DQLO\HQOHQQH$]iOOyNRRUGLQiWDUHQGV]HUEOQp]YHD]iUDPOiVLQVWDFLRQiULXVDNpVEENpV]OWNpSHQDJ|PEpVDN|UO|WWH OpYiUDPNpSOHMMHEEOiWV]yGQD 9DQQDNRO\DQiUDPOiVRNDPHO\HNQpODWpUNO|QE|]SRQWMDLEDQD]iUDPOiVLVHEHVVpJHJ\ LGEHQ iOODQGy N|]pSpUWpN N|UO LQJDGR]LN (]HNHW kvázistacionárius áramlásoknak nevezzük. Belátható, hogy stacionárius áramlás esetén az áramvonal, a pálya és a nyomvonal egybeesik.(]D]HJ\EHHVpVDGOHKHWVpJHWDUUDKRJ\VWDFLRQiULXVHVHWEHQaz áramlás láthatóvá tételével végzett vizsgálatoknál az áramlásba bevezetett füstcsíkkal – ami egy

21

nyomvonal – YDJ\ D] iUDPOy Yt] IHOV]tQpQ ~V]y SDUDIDGDUDEUyO KRVV]~ H[SR]tFLyV LGYHO készített képpel – ami a pályát mutatja –DEHQQQNHWOHJLQNiEEpUGHNOáramvonalakról kapjunk felvilágosítást.

3.2. ábra A 3.2. ábrán egy vízáramlásba helyezett szárnyprofil körüli áramlást tesznek láthatóvá a V]iUQ\ HOWWL SRQWRNEDQ D] iUDPOiVED YH]HWHWW IHVWpNFVtNRN DPHO\HN D] HO]HN DODSMiQ nyomvonalak. Tekintettel azonban arra, hogy az áramlás stacionárius, a nyomvonalak egybeesnek az áramvonalakkal és a pályával is. Lehetnek olyan instacionárius áramlások, ahol az áramvonal, a pálya és a nyomvonal egyEHHVLNKDDVHEHVVpJYHNWRURNLUiQ\DLGEHQQHPYiOWR]LNSOHJ\HQHVFVEHQJ\RUVXOy áramlás esetén), de e vonalak instacionárius áramlásban általában különE|]HN.

3.4. A potenciálos örvény Eddigiekben megszerzett tudásunkat alkalmazzuk egy speciális áramlási formára, amelynek MHOOHP]L iOODQGy VUVpJ |VV]HQ\RPKDWDWODQ N|]HJ VWDFLRQiULXV VtNiUDPOiV NRQFHQWrikus kör alakú áramvonalak (3.3. ábra). Síkáramlásnak nevezzük azokat az áramlásokat, amelyeknél van olyan sík, amelyre merleges sebességkomponens értéke zérus, és amely síkkal párhuzamos valamennyi síkban az áramkép azonos. Legyen ez a sík az (x, y) sík. Ez esetben akkor beszélhetünk síkáramlásról, ha 3.3. ábra

22

Y ] = pV

∂Y [ ∂Y \ = = ∂] ∂]

(3.3)

Mivel koncentrikus körök az áramvonalak (ill. koncentrikus hengerek az azok által alkotott iUDPIHOOHWHN D]D] D N|]|WWN OpY iUDPOiVL NHUHV]WPHWV]HW D NHUOHW PHQWpQ iOODQGy pV ρ = iOODIRO\WRQRVViJNpVEEWiUJ\DOW) összefügJpVpEODGyGLNKRJ\DGRWWUVXJDU~ körön az áramlási sebesség abszolút értéke v = v = állandó . Tehát a sebesség abszolút értéke csak a sugár (r) függvénye és nem függ a ϑNHUOHWLV]|JWO Y = Y U . 9HJ\QNI|OHJ\UVXJiURQOpYHOHPLGUYDstagsággal és dϑ (3.3. ábra) középponti szöggel jellemzett dA elemi felületet, amelyre írjuk fel a Stokes-tételt (2.7)! A cirkuláció számításáQiODIHOOHWHOHPHWN|UOYHY*J|UEpW~J\MiUMXNN|UOKRJ\DWHUOHWDEDONH]QNIHOp essen (pozitív körüljárási irány):

I I I

Y GV = Y GV+ Y GV

*

I I

+ Y GV+ Y GV . =

(3.4)

=

$EDOROGDOPiVRGLNpVQHJ\HGLNLQWHJUiOMD]pUXVpUWpNKLV]HQv⊥ds$]HOVLQWHJUiOHVetén v és ds vektor α=0°-t zár be, a harmadik integrálnál pedig 180°-ot. Ezért az alábbi írható:

I

1

6

1

6

16

Y G V = U + GU Gϑ Y U + GU − U Gϑ Y U .

*

1

6 16

Figyelembe véve, hogy Y U + GU = Y U +

GY GU EHKHO\HWWHVtWpV pVDPYHOHWHNHOYpJ]pVH GU

után a

I

Y G V = U Gϑ

*

16

GY GY GU + GU Gϑ Y U + GU Gϑ GU GU GU ≈

(3.5)

|VV]HIJJpVWNDSMXNDPHO\QHNMREEROGDOLKDUPDGLNWDJMDKDUPDGUHQGHQNLFVLQ\, ezért a PiVLNNHWWWDJPHOOHWWHOKDQ\DJROKDWy A Stokes-WpWHO MREEROGDOiQV]HUHSOLQWHJUiOHVHWQNEHQtJ\tUKDWy

I

G$

1 6

URW Y G $ = URW Y

23

]

U Gϑ GU .

(3.6)

Itt jegyezzük meg, hogy ha a (2.5) determinánst a síkáramlásra tett (3.3) kikötések mellett fejtjük ki, az adódik, hogy síkáramlásban a rotv vektornak csak az áramlás síkjára meUOHJHV]LUiQ\~ NRPSRQHQVHNO|QE|]KHW]pUXVWyO

1 URW Y 6

]

=

∂Y \ ∂[

−

∂Y [ . ∂\

(3.7)

(Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha meggondoljuk, hogy egy síkáramlásban milyen tengely körül foroghatnak a folyadékrészek.) A (3.5) és (3.6 |VV]HIJJpVHNHWHJ\HQOYpWpYHpV r ⋅ dϑ ⋅ dr -rel elosztva minkét oldalt adódik:

1 URW Y 6

]

=

GY Y + . GU U

(3.8)

A (3.8) összefüggés természetesen csak a levezetés elején felsorolt feltételek fennállása esetén érvényes. A (3.8) összefüggés alapján már meghatározható, hogy milyen Y = Y U sebességmegoszlás esetén örvénymentes URW Y = az áramlás. Ez esetben ugyanis létezik sebességi potenciál. Ezt az áramlást potenciálos örvénynek nevezzük. 7HJ\N HJ\HQOYp D |VV]HIJJpV MREE ROGDOiW ]pUXVVDO pV ROGMXN PHJ D GLIIHUHQciálegyenletet! . GY GU =− ⇒ OQ Y = − OQ U + OQ .RQVW ⇒ Y = . U Y U

(3.9)

$IHQWLNHUHWH]HWW|VV]HIJJpVQHNPHJIHOHOVHEHVVpJPHJRV]OiVRNHVHWpQD]iUDPOiV|UYpnyessége a tengely kivételével mindenütt zérus, ami a (2.6) összefüggés miatt azt is jelenti, hogy a folyadékrészek a potenciálos örvény tengelyének kivételével nem forognak. (Ha kiHQJHGMNDYL]HWDNiGEyODNpVEEWiUJ\DODQGy&RULROLV-HUWpUN|YHWNH]WpEHQDOHIRO\yNöUOHJ\|UYpQ\DODNXONL+DHJ\NLVGDUDESDStUWD]|UYpQ\ÄWHQJHO\pWO´WiYRODEED]iUDmló víz felszínére dobunk, láthatjuk, hogy miközben a lefolyót megkerüli a papírdarab, nem, vagy csak kissé fordul el tengelye körül. Ez az áramlás tehát hasonló az imént meghatározott potenciálos örvényhez.)

24

Vegyünk fel a középpont körül egy r sugarú kört és számítsuk ki rajta a (2.7) összefüggésben definiált Γ cirkulációt, azaz a sebesség vonalintegrálját! Mivel a B kör (ld.3.3. ábra) áramvonal, rajta Y GV :

I

Γ = Y GV = U π Y = U π %

. = π . ≠ . U

(3.10)

Ha a zárt görbe tartalmazza a középpontot, akkor Γ = π . , egyébként Γ = . Milyen lehet a potenciálos örvény ϕ [m2/s] sebességi potenciálja? Miután Y = JUDGϕ , a ϕ = iOO . szinWIHOOHWHNQHN DPHO\UH D NRQFHQWULNXV N|U DODN~ iUDPYRQDODNDW pULQW VHEHsVpJYHNWRURNPHUOHJHVHN VXJiULUiQ\~D][\VtNUDPHUOHJHVVtNRNQDNNHOOOHQQLN/egyen ϕ = .ϑ . Számítsuk ki a sebességi potenciál gradiensét! Y = JUDG ϕ =

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ . H + H + H = Hϑ ∂] ] ∂U U U∂ϑ ϑ U

(3.11)

tehát visszakaptuk a potenciálos örvény sebességmegoszlását. Merev test-V]HUHQIRUJyIRO\DGpNesetén az áramvonalak ugyancsak koncentrikus körök, a sebességmegoszlást pedig a v = ω ⋅ r összefüggés írja le. A (3.8) összefüggést alkalmazva

1 URW Y 6

]

= ω

adódik, ami (ld. (2.6) összefüggés) várakozásainknak PHJIHOHOHQ

szolgáltatja a folyadékrészek forgási szögsebességét: Ω = ω .

3.5. Kis folyadékrész mozgása A 3.4. ábrán láthatók a példaképpen felvett Y = \L vektortérrel leírható áramlás áramvonalai és a sebességmegoszlás. Hogyan mozog a folyadékban gondoODWEDQ HOKDWiUROW HOHPL PpUHW folyadékhasáb? Ehhez nyilvánvalóan tudnunk kell, hogy a hasáb csúcsai hogyan mozdulnak el a

16

középponthoz képest, azaz ha ismerjük Y U -et,

1

6

hogyan határozzuk meg Y U + G U értékét. Erre a 3.4. ábra

2.2. fejezetben látható módon a ' derivált tenzor használható (ld. 2.2. ábra és (2.3) összefüggés):

1

6 16

Y U +GU ≅ Y U + 'GU.

25

(3.12)

Írjuk fel ' derivált tenzor mátrixát az x,y,z koordináta -rendszerben:

∂Y '=

!

"# ## . ∂] # # ∂Y # ∂] #$

(3.13)

9

(3.14)

∂[ ∂Y \

∂Y [ ∂\ ∂Y \

∂Y [ ∂] ∂Y \

∂[ ∂Y ] ∂[

∂\ ∂Y ] ∂\

]

[

Végezzük el az alábbi átalakítást! '=

4

9 4

' + ' + ' − ' ,

ahol ' DWUDQV]SRQiOWPiWUL[iEDQIiWOyUDWNU|]|WW GHULYiOWWHQ]or. ËUMXNIHODMREEROGDOHOVV]LPPHWULNXV WDJMiWpVMHO|MN$ 6 -sel:

A

=

S

4

1 D + D* 2

9

∂v x ∂v y + ∂y ∂x ∂v y 2 ∂y ∂v z ∂v y + ∂y ∂z

∂v x ∂x 1 ∂v y ∂v x = + ∂y 2 ∂x ∂v z ∂v x + ∂x ∂z 2

!

"# ## ## ## $

∂v x ∂v z + ∂z ∂x ∂v y ∂v z + . ∂z ∂y ∂v 2 z ∂z

(3.15)

A (3.14) összefüggés jobb oldalának második tagját jelöljük $ Ω -val.

A

Ω

=

4

0

9

1 1 ∂v y ∂v x − D − D* = ∂y 2 2 ∂x ∂v z ∂v x − ∂x ∂z

!

∂v x ∂v y − ∂y ∂x 0 ∂v z ∂v y − ∂y ∂z

∂v x ∂v z − ∂z ∂x ∂v y ∂v z − ∂z ∂y 0

"# ## ## . ## $

(3.16)

Látható, hogy a (3.16) tenzor mátrixának elemei a rotv vektor komponensei (ld. (2.5) összefüggés):

$

Ω

=

1 6 1 URW Y 6 1 URW Y 6 − 1 URW Y 6 ! − 1 URW Y 6 1 URW Y 6 − URW Y

]

]

\

[

26

\ [

"# ## . #$

Ha elvégezzük az $ G U PYHOHWHW Ω

$ GU = Ω

URW Y × G U

(3.17)

vektorszorzat adódik. Tekintettel arra, hogy a sebességtér örvényessége és a folyadékrészek forgási szögsebessége Ω között szoros kapcsolat van (ld. (2.6) összefüggés), a (3.17) öszszefüggés az alábbi módon írható fel: $ GU = Ω×GU Ω

(3.18)

.

Alkalmazzuk a (3.15), (3.16) tenzorokat a 3.4. ábrán látható áramlásra (ami síkáramlás, így D IHOWpWHOHN N|YHWNH]WpEHQ D GHULYiOW WHQ]RUQDN FVDN QpJ\ ]pUXVWyO NO|QE|] HOHPH lehet):

'=

"# ! $

$ = 6

"# pV ! $

$

Ω

=

"# . ! − $

3.5. ábra Alkalmazzuk az $ és az $ Ω WHQ]RURNDWDQpJ\]HWNHUHV]WPHWV]HWIRO\DGpNKDViEWHQJe6

1 6 = G[ L + G\ M 1 G U 6 = − G[ L + G\ M stb. , 2G Y 7 elemi sebesség megválvektorokra (ld. 3.5. ábra). Eredményül a 2 G Y 7 lyét a P1, P2, P3 és P4pOHNNHO|VV]HN|WHOHPL G U

6

Ω

tozás vektorokat kapjuk, amelyek megmutatják, hogy a hasáb éleinek sebessége mennyire WpUHODWHQJHO\pQHNVHEHVVpJpWO3OD31MHOpOpVDKDViEN|]pSSRQWMiQDNVHEHVVpJHNözött az $ és $ 6

Ω

tenzorok alkalmazásával az alábbi különbségek adódnak:

" G\ " 2 G Y 7 = ! "$# ! G[ G\ $# = ! G[ #$ 6

" G\ " . 2 G Y 7 = ! − "#$ ! G[ G\ #$ = ! − G[ #$ Ω

27

2 7

A sebesség megváltozás vektorokat ábrázolva látjuk (3.5. ábra), hogy a G Y V vektorok ha-

2

7

tására a hasáb alakja megváltozik, eltorzul, ugyanakkor a G Y Ω vektorok a hasábot forgatják. $]HO]HNEHQPHJKDWiUR]RWW|VV]HIJJpVHNHWIHOKDV]QiOYDtUKDWy

1

6 16

Y U + G U = Y U + $ G U + $ G U

(3.19)

Ω

6

A (3.19) összefüggés a 3.5. ábraDODSMiQD]N|YHWNH]NpSSLQWHUSUHWiOKDWy az áramlási térben a folyadékrész

−

középpontjának pillanatnyi sebességvektorával párhuzamosan elmozdul (transzláció): Y U

−

alakját és méretét változtatja (szögdeformáció és tágulás): $ G U

−

merev test-V]HUHQHOIRUGXOURWiFLy $ G U

6

Ω

A folyadékrész mozgásában játszott szerepe miatt $

6

tenzort alakváltozási sebesség

tenzornak, $ -t pedig örvénytenzornak nevezzük. Ω

Ha a ' derivált tenzor szimmetrikus, akkor $

Ω

=

4

9

' − ' = , azaz URWY = (a folya

dékrészek nem forognak). Ebben az esetben létezik a v sebességtér ϕ potenciálja (ld. 2.2. fejezet), amellyel Y = JUDG ϕ+DD]iUDPOyN|]HJVUVpJHρ iOODQGyDNpVEELHNEHQWirgyalt folytonosság tételének (3.25) összefüggése értelmében GLY Y = (azaz a derivált WHQ]RUIiWOyMiEDQOpYHOHPHN|VV]HJH]pUXV (]HVHWEHQ GLY JUDG ϕ = ∆ϕ = , azaz ∂ϕ ∂[

+

∂ϕ ∂\

+

∂ϕ ∂]

=

(3.20)

/DSODFH GLIIHUHQFLiOHJ\HQOHW tUMD OH D VHEHVVpJL SRWHQFLiOW $ V]iPRV MHOHQVpJ KYH]HWpV szivárgás stb.) leírására használt egyenletet a peremfeltételek ismeretében megoldva meghatározható a ϕ sebességi potenciál, abból pedig a sebességtér.

28

3.6. A folytonosság (kontinuitás) tétele Lehet-HWHWV]OHJHVDIRO\DGpNUpV]HNPR]JiVD"0HJYDOyVtWKDWy-e a természetben bármilyen

1 6

Y = Y U W sebességtér? Nyilvánvalóan nem: a folyadékrészek mozgásának eleget kell tennie az anyagmegmaradás törvényének, amelyet az áramlástanban a folytonosság vagy kontinuitás tételének nevezünk. E tétel azt a fontos tapasztalatot fejezi ki, hogy tömeg nem keletNH]KHWpVQHPWQKHWHO Tekintsük a 3.6. ábrán látható, az áramló közegben léYDWpUEHQU|J]tWHWW]iUWA felületet, amelyen a közeg átáramlik. Írjuk fel, hogy másodpercenként mennyivel több tömeg áramlik ki a felületen, mint be (ld. 2.2. fejezet divergenciával foglalkozó része):

I

TP = ρ Y G$

3.6. ábra

NJ V .

(3.21)

$

Nyilvánvaló, hogy a tömeg többletkiáramlás csak a térIRJDWEDQOpYW|PHJURYiViUDD]D]D VUVpJFV|NNHQpVHPHOOHWWPHKHWYpJEH$]A felület által határolt VWpUIRJDWEDQOpYWömeg másodpercenkénti változását a

I

∂ρ G9 ∂W 9

NJ V

(3.22)

integrál adja meg. Miután a dA felületi normális kifelé mutat, a (3.21) integrál pozitív értéke esetén – fogy a tömeg a V térfogatban – a (3.22) integrálnak negatívnak kell lenni, tehát a (3.21) és (3.22) integrál összege zérus. A (3.21) integrált a Gauss-Osztrogradszkij-tétel (2.4) alkalmazásával alakítsuk át térfogati integrállá és a fentiek figyelembevételével tegyük HJ\HQOYp D (3.22) integrál ellentettjével: −

I

I

I

1 6

∂ρ G9 = ρ Y G $ = GLY ρ Y G9 . ∂W 9 $ 9

(3.23)

A (3.23) egyenlet keretezett része a folytonossági tétel integrál alakja.A bal oldalra hozva a jobb oldali második integrált és figyelembe véve, hogy ugyanarra a V térfogatra végezzük el az integrálást, írható:

I !

9

1 6 "#$ G9 = .

∂ρ + GLY ρ Y ∂W

29

(3.24)

$ IHQWL LQWHJUiO FVDN DNNRU OHKHW ]pUXV WHWV]OHJHV 9 LQWHJUiOiVL WDUWRPiQ\ HVHWpQ KD D] integrandusz zérus. Ilymódon megkaptuk a folytonosság tételét differenciális alakban:

1 6

∂ρ + GLY ρ Y = . ∂W

(3.25)

Alkalmazzuk a folytonosság tételét a 3.7. ábránOiWKDWyiUDPFVUH/HJ\HQD]iUDPOiVVWacionáULXV &pOV]HUHQ D IRO\WRQRVViJ WpWHOH (3.23) összefüggésben megadott integrál alakját használjuk. Miután feltevésünk szerint ∂ρ / ∂t = 0, a (3.23) összefüggés bal oldala zérus, ezért: 3.7. ábra

I

ρ Y G$ =

$

(3.26)

,

ahol az A az áUDPFVSDOiVWMiEyO$p) valamint $ és $ be-pVNLOpSNHUHV]WPHWV]HWEO iOO 0LXWiQ D] iUDPFV SDOiVWMD iUDPIHOOHW DPelyen nincs átáramlás (v ⊥ dA), ezért a (3.26) összefüggés az alábbi módon írható:

I

ρ Y G$ +

$

I

ρ Y G$ = .

(3.27)

$

Tekintettel arra, hogy Y G $ = Y G $ FRV α, ahol α a két vektor által bezárt szög, (3.27) összefüggéssel adódik:

I

ρ Y G $ FRV α +

$

I

ρ Y G $ FRV α =

(3.28)

$

Tételezzük fel, hogy a be-pVNLOpSNHUHV]WPHWV]HWEHQDVHEHVVpJPHUOHJHVD]$1 és A 2 felületre, azaz cosα a belépésnél –1, a kilépésnél 1, továbbá azt, hogy az $ keresztmetV]HWEHQDVUVpJiOODQGy ρ, ugyanígy az A 2 keresztmetszetben ρ . Ilyen feltételek mellett a (3.28) összefüggés a ρ Y $ = ρ Y $

(3.29)

alakra hozható, ahol Y és Y az átlagsebesség az $ és $ keresztmetszetben. A (3.29) összefüggés azt fejezi ki, hogy stacionárius áramlás esetén a T P NJ V tömegáram az áramFVEiUPHO\NHUHV]WPHtszetében azonos. Látható, hogy e gyakran használt összefüggés használatához milyen sok feltételnek kell teljesülnie.

30

ÈUDPFV|YHWDONRWQDNDPV]DNLJ\DNRUODWEDQDONDOPD]RWWFV|YHNKLV]HQEHOVIHOOHWN|Q QLQFVHQIRO\DGpNiWOpSpV+DHJ\N|UNHUHV]WPHWV]HWFVNHUHV]WPHWV]HWpEHQD]iWODJVebesség Y pVDFViWPpUMH ' -UO ' -UHYiOWR]LND |VV]HIJJpVEODGyGyDQD v 2 átlagsebesség a ρ '

Y = Y

(3.30)

ρ '

összefüggéssel számolható ki. Ha a sebesség a keresztmetszetben változik, akkor a térfogatáramot (és abból a v átlagsebességet) a sebességmegoszlás NHUHV]WPHWV]HWHQ W|UWpQ LQWHJUiOiViYDO

3.8. ábra

lehet meghatározni. Tekintsük a 3.8. ábrátDKROHJ\'iWPpUM, kör keresztmetV]HWFVOiWKDWyDPHO\EHQDVHEHVVpgmegoszlást egy n-ed fokú forgási paraboloid írja le (a vmax és a v(r) különbsége az r sugár n-edik hatványával arányos):

16

1 6

Y U = Y PD[ − U 5

Q

(3.31)

.

Hogyan lehetne kiszámítani a v átlagsebességet? Írható: Y=

TY 'π

P V ,

(3.32)

ahol qv m3 /s DWpUIRJDWiUDPDFVNHUHV]WPHWV]HWHQHJ\VpJQ\LLGDODWWiWiUDPOyIRO\adéktérfogat). A térfogatáramot a 3.8. ábránOiWKDWyN|UNHUHV]WPHWV]HWFVHVHWpQD]DOiEEL módon írhatjuk fel:

I

1 6

5

T Y = Uπ Y PD[ − U 5

Az integrálást elvégezve T Y = 5 π Y PD[

Q

GU

(3.33)

.

Q adódik, azaz a Q+

Y=

Q Y PD[ . Q+

Másodfokú paraboloid (n = 2) esetén az átlagsebesség a maximális sebesség fele.

31

(3.34)

-HOOHP]NORNiOLVpVNRQYHNWtYPHJYiOWR]iVD A folytonosság kifejezésének második tagja a szorzat deriválási szabályai szerint felbontható:

1 6

∂ρ + Y JUDGρ + ρ GLY ρ Y = ∂W

(3.35)

ÉrtelPH]]N D |VV]HIJJpV HOV NpW WDJMiW Tekintsük a 3.9. ábrát, ahol egy dV térfogatú elemi folyadékrész látható. A folyadékrész v áramlási sebességgel mozog. Jellemezze a P pontban az áramlási sebességet 3.9.ábra

a v YHNWRU D VUVpJ KHO\ V]HULQWL YiOWR]iViW pedig a 2.1. IHMH]HWQHNPHJIHOHOHQDJUDGρ vektor.

Legyen instacionárius az áramlás, tehát ∂ρ / ∂t ≠ 0. VizsgálMXNPHJKRJ\GWLGHOWHOWpYHO PHQQ\LWYiOWR]LND]HO~V]yHOHPLIRO\DGpNUpV]VUVpJH A dρVUVpJYiOWR]iVNpWRNUDYH]HWKHWYLVV]D a/

PLYHO D VUVpJ D] LGWO IJJ ∂ρ ∂W ≠ D VUVpJ D 3 SRQWEDQ GW LG DODWW Gρ O =

b/

∂ρ GW értékkel változik; ∂W

D]HOHPLIRO\DGpNUpV]D]iUDPOyN|]HJJHOHJ\WWGWLGDODWW ds = v dt utat tesz meg és HJ\RO\DQ3¶KHO\UHMXWDKRODVUVpJ Gρ N = JUDGρ GV = JUDGρ Y GW értékkel tér el a P SRQWEDQOpYWOOGIHMH]HW

$]DDODWWLVUVpJYiOWR]iVUDDNNRULVVRUNHUOQHKDDN|]HJQHPiUDPODQDD]D]DG9Wprfogat a helyén maradna. Ezért a Gρ O -HW D VUVpJ lokális megváltozásának nevezzük, amelynek csak akkor van szerepe, KD D VUVpJ LGEHQ YiOWR]LN D]D] KD D] iUDPOiV instacionárius). $EDODWWLVUVpJYiOWR]iVRNDD]HOHPLWpUIRJDWHOPR]GXOiVDHOiUDPOiVDHJ\RO\DQKHO\UH DKRODVUVpJHOWpUH]pUWDGρ N -WDVUVpJkonvektív megváltozásának nevezzük. A folyadékrészVUVpJpQHNGWLGWDUWDPDODWWLWHOMHVPHJYiOWR]iVDWHKiW Gρ = Gρ O + Gρ N =

∂ρ GW + Y JUDGρ GW ∂W

32

(3.36)

DPLEO Gρ ∂ρ = + Y JUDGρ ∂W GW

(3.37)

$HJ\HQOHWEDOROGDOiQDNHOVNpWWDJMDWHKiWD Gρ GW -WDIRO\DGpNUpV]VUVpJpQHN LGV]HULQWLWHOMHVPHJYiOWR]iViWIHMH]LNL $IL]LNDLMHOOHP]NORNiOLVpVNRQYHNWtv megváltozása az áramlástan fontos gondolata, ami W|EEV]|UHOIRJNHUOQLDWRYiEELDNEDQ

33

4. Euler-egyenlet, Bernoulli-egyenlet, örvénytételek 4.1. A folyadékrészek gyorsulása $ IRO\DGpNUpV]HN PR]JiViW D] D]RNUD KDWy HUNNHO |VV]HIJJpVEHQ D NLQHWLND tárgyalja. MiXWiQ1HZWRQ,,D[LyPiMDV]HULQWDIRO\DGpNUpV]HNUHKDWyHUNNHOJ\RUVXOiVXNYDQNDpcsolatban, e fejezetben a folyadékrészek gyorsulásának leírásával foglalkozunk. $IRO\DGpNUpV]J\RUVXOiViWNLIHMH]|VV]HIJJpVWIHOtUKDWMXNDIHMH]HWEHQ tanult felbonWiVIHOKDV]QiOiViYDOOG |VV]HIJJpV (J\VNDOiUWpUUHOOHtUKDWyMHOOHP]RWWDVU ség, itt az áramlási sebesség Y [ Y \ vagy Y ] NRPSRQHQVH HJ\VpJQ\L LGUH YRQDWNR]y megváltozását a lokális és a konvektív megváltozás összegeként az alábbi módon írhatjuk fel: GY [ ∂Y [ = + Y JUDG Y [ . ∂W GW

(4.1)

$ |VV]HIJJpV D IRO\DGpNUpV] [ LUiQ\~ VHEHVVpJNRPSRQHQVpQHN HJ\VpJQ\L LGUH jutó megváltozását, azaz x irányú gyorsulását fejezi ki. Az összefüggés jobb oldalának HOVWDJMDDlokális gyorsulás, a második a konvektív gyorsulás. Hasonló összefüggés írható fel vy és vz sebességkomponensekre is. Elvégezve a (4.1) összefüggés jobb oldalán a két vektor skalár szorzását, a folyadékrészek gyorsulásának x,y és z komponensét az alábbi módon írhatjuk fel: ∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ GY [ ∂Y [ = + Y[ + Y\ + Y] ∂W ∂[ ∂\ ∂] GW GY \ GW

=

∂Y \ ∂W

+ Y[

∂Y \ ∂[

+ Y\

∂Y \ ∂\

+ Y]

∂Y \ ∂]

(4.2)

∂Y ] ∂Y ] ∂Y ] GY ] ∂Y ] = + Y[ + Y\ + Y] ∂W ∂[ ∂\ ∂] GW Felismerjük, hogy a gyorsulásvektor (4.2) összefüggésben megadott alakja a dv ∂v = + Dv ∂t dt kifejezéssel ekvivalens.

(4.3)

Határozzuk meg a dv/dt folyadékrész gyorsulást egy más meggondolással is. A v sebességvektortér az r KHO\ pV W LG IJJYpQ\H WHOMHV GLIIHUHQFLiOMiW WHKiW D dv =

∂v ∂v dt + d r összefüggés adja meg. Vonatkoztassuk a folyadékrész sebességének ∂t ∂r

PHJYiOWR]iViWHJ\VpJQ\LLGUHD]D]RVV]XNHODNLIHMH]pVWGW-vel: d v ∂v ∂v dr = + ∂t ∂ r dt . dt

(4.4)

A (4.4) kifejezés jobb oldalának második tagja fejezi ki a folyadékrész sebességének NRQYHNWtYHOiUDPOiVPLDWWL PHJYiOWR]iViW$]HWDJEDQV]HUHSOGrGWWpQ\H]v sebességJHOHJ\HQOPHUWD]WD]XWDWNHOOKRJ\PHJDGMDDPHO\HWDIRO\DGpNUpV]HJ\VpJQ\LLGDODWW tesz meg (mivel a dv/dt is az elúszó folyadéNUpV]VHEHVVpJpQHNLGV]HULQWLPHJYiOWR]iViW fejezi ki). Miután ∂ v / ∂ r = D , e meggondolás is a (4.3) összefüggésre vezetett.

$ IRO\DGpNUpV] J\RUVXOiVD WHKiW NpW UpV]EO iOO D

∂v lokális gyorsulásból és a 'Y ∂t

konvektív gyorsulásból. A lokális gyorsulás akkor különbö]KHW]pUXVWyOKDDVHEHVVpJWpUDWLGWOLVIJJDzaz az áramlás instacionárius. A konvektív gyorsulás nincs kapcsolatban az áramlás id függésével, értéke stacionárius és instacionárius áramlás esetén egyaránt lehet zérustól eltéUKonvektív gyorsulás akkor létezik, ha a folyadéktér sebességének nagysága és/vagy iránya a folyadékrész mozgásának irányában (azaz az áramlás irányában) változik. Hogyan lehetne a konvektív gyorsulást másként kifejezni? Bontsuk fel a ' deriválttenzort az alábbi módon:

4

9

' = ' + ' − ' , tehát a konvektív gyorsulás:

4

9

D NRQY = ' Y = ' Y + ' − ' Y

(4.5)

.

7HNLQWVND NLIHMH]pVMREEROGDOiQDNHOVWDJMiW

∂Y

[

∂[ ∂Y [ ' Y= ∂\ ∂Y [ ∂]

!

∂Y \ ∂[ ∂Y \ ∂\ ∂Y \ ∂]

∂Y ] ∂[ ∂Y ] ∂\ ∂Y ] ∂]

"# ## Y ## YY ## ! $

[ \ ]

"# ##$

Y

∂Y \ ∂Y [ ∂Y ] + Y\ + Y] ∂[ ∂[ ∂[ ∂Y \ ∂Y [ ∂Y ] = Y[ + Y\ + Y] ∂\ ∂\ ∂\ Y ∂ ∂Y [ ∂Y ] \ Y[ + Y\ + Y] ∂] ∂] ∂]

!

[

"# ## ## = ## $ (4.6)

35

∂ Y ∂[ ∂ Y = ∂\ ∂ Y ∂] ! 4

[

+ Y \ + Y ]

[

+ Y \ + Y ]

[

+ Y \ + Y ]

"# # # ## # = JUDG Y ### # $

.

9

A ' − ' G U NLIHMH]pVUO NRUiEEDQ PHJiOODStWRWWXN OG pV |VV]HIJJpVeket), hogy az URW Y × G U -UHOHJ\HQO+DVRQOyDQ

4 ' − ' 9 Y = URW Y × Y = − Y × URW Y

(4.7)

(A 4.7 összefüggés jobb oldalán a félreértések elkerülése végett cseréltük meg a vektorok VRUUHQGMpWPHJYiOWR]WDWYDDV]RU]DWHOMHOpW Végül eredményként azt kapjuk, hogy a folyadékrész gyorsulása: GY ∂Y Y = + JUDG − Y × URW Y . ∂W GW

(4.8)

4.2. Az Euler-egyenlet $PLQW D]W D] HO] IHMH]HWEHQ PHJiOODStWRWWXN D IRO\DGpNUpV]HN PR]JiViQDN OHtUiViQiO Newton II. axiómája alkalmazható, DPHO\ D IRO\DGpNUpV]HNUH KDWy HU pV PR]JiVmennyiVpJN LG V]HULQWL PHJYiOWR]iVD N|]|WW WHUHPW NDSFVRODWRW +DQ\DJROMXN HO D közeg súrlódásának hatásait, tekintsük a közeget súrlódásmentesnek! A folyadékrészekre általábDQNpWIDMWDHUKDWDW|PHJUHKDWyWpUHUSODV~O\HU pV D IRO\DGpNUpV] IHOOHWpQ KDWy IHOOHWL HU +D D N|]HJ V~UOyGiVPHQWHV D IHOOHWL HUQHN nincsen felülettel párhuzamos komponense (a csúsztatófeszültség zérus), csak a felületre meUOHJHVQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUKDW Tekintsük a 4.1. ábrát! Az ábrán a JUDG S nyomásgradiens YHNWRUWWQWHWWNIHOpVHJ\G$DODSWHUOHW GV magasságú hengert, amelynek tengelye párhuzamos a gradp vektorral. Vizsgáljuk meg, hogy milyen nagyságú, nyomásból szármD]yHUKDWDKHQJHUUH0LXWiQDKHQJHUIHGODSMiQD 4.1. ábra

nyomás p+dp, az alaplapon p, a hengerre ható, nyomásból

36

származó G ) S HUWD GV GV

G ) S = − G$ GS

(4.9)

vektor fejezi ki, amely ellentétes irányítású a ds vektorral. Tekintve, hogy GS = JUDGS GV valamint JUDGS és GVPHJHJ\H]LUiQ\~pVLUiQ\ítású, tehát GS = JUDGS GV , a (4.9) összefüggés a ρ VUVpJJHO YDOy V]RU]iV pV RV]WiV XWiQ D] DOiEEL módon írható: G )S = −

GV JUDGS ρ G V G$ ρ GV .

Miután ρ d s dA = dm , az elemi folyadékrész tömege és esetünkben a JUDGS

(4.10)

GV = JUDGS , GV

a (4.10) összefüggés mindkét oldalának dm-PHOW|UWpQRV]WiVa után az egységnyi tömegre KDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUW kapjuk: G )S GP

=−

JUDGS . ρ

(4.11)

$IRO\DGpNUpV]HJ\VpJQ\LW|PHJpUHKDWyHUWD]HUWpU J WpUHUVVpJYHNWRUiYDOIHMHzhetjük ki: G )J GP

=J

.

(4.12)

Newton II. axiómája értelmében adott (esetünkben egységnyi) tömegre ható HUNNHOHJ\ezik meg a tömeg és a dv/dt gyorsulás szorzata: dv 1 = g − gradp . ρ dt

(4.13)

A (4.13) összefüggést Euler-egyenletnek nevezzük, amely a valóságos közegben általában IHOOpSsúrlódás elhanyagolása esetén érvényes. Az Euler-egyenlet tehát egy mozgásegyenlet, amely a súrlódás elhanyagolása esetén |VV]HIJJpVWWHUHPWDIRO\DGpNUpV]J\RUVXOiVDpVDIRO\DGpNUpV]UHKDWyHUNN|]|WW A (4.8) összefüggés figyelembevételével kifejtve a (4.13) összefüggés bal oldalát az Euleregyenlet gyakran alkalmazott vektoriális alakját kapjuk:

37

∂Y Y + JUDG − Y × URW Y = J − JUDGS . ρ ∂W

(4.14)

+DDVUVpJDQ\RPiVIJJYpQ\Hρ = ρ S , a (4.14) egyenlet jobb oldalának utolsó tagja az alábbi módon írható: −

I16 S

GS JUDGS = − JUDG ρ S ρ S . S

16

(4.15)

$ OiQFV]DEiO\ V]HULQW HOMiUYD XJ\DQLV D YiOWR]y IHOV KDWiU~ LQWHJUiOW NHOO HOV]|U D IHOV határ szerint differenciálni – ami az 1/ρ primitív függvényt eredményezi.Ezt kell szorozni a válWR]yIHOVKDWiUKHO\V]HULQWLGLIIHUHQFLiOKiQ\DGRViYDOJUDGS-vel.) A (4.2) összefüggés figyelembevételével felírható az Euler egyenlet x,y és z irányú komponens egyenlet formájában: ∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂S + Y[ + Y\ + Y] = J[ − ρ ∂[ ∂W ∂[ ∂\ ∂] ∂Y \ ∂W

+ Y[

∂Y \ ∂[

+ Y\

∂Y \ ∂\

+ Y]

∂Y \ ∂]

= J\ −

∂S ρ ∂\

(4.16)

∂Y ] ∂Y ] ∂Y ] ∂Y ] ∂S + Y[ + Y\ + Y] = J] − ∂W ∂[ ∂\ ∂] ρ ∂] $ |VV]HIJJpVEOMyOOiWKDWyD]DGRWWNRRUGLQiWDLUiQ\~VHEHVVpJNRPSRQHQVLGV]eULQWL PHJYiOWR]iVD D] DGRWW LUiQ\~ J\RUVXOiV pV D] DGRWW NRRUGLQiWD LUiQ\~ HUN N|]|WWL kapcsolat. Határozzuk meg az Euler-egyenletet más módon! Tekintsük a 4.2. ábrát, ahol egy gondolatban elhatárolt (mondjuk kékre festett), a folyadékkal együtt úszó V térfogatú folyadékrész látható. A folyadékrész A felülete u.n. folyékony felület, hiszen a folyadékkal együtt mozog, rajta nincs átáramlás. A V térfogat alakját és nagyságát is változtathatja (hiszen a közeg 4.2. ábra

VUVpJHRGpEE~V]iVN|]EHQYiOWR]KDW GHDWpUIRJDWEDQOpY 0 W|PHJ QHP YiOWR]LN ËUMXN IHO D WpUIRJDWEDQ OpY tömeg

PR]JiVPHQQ\LVpJpQHN HJ\VpJQ\L LGUH MXWy PHJYiOWR]áViW DPL HJ\HQO D IRO\DGpkrpV]UHKDWyHUN|VV]HJpYHO (]HND]HUN

− −

DW|PHJUHKDWyHUWpUEOV]iUPD]yHU DIHOOHWHQKDWyHUDPHO\DV~UOyGiVPHQWHVVpJPLDWWDIHOOHWUHPHUOHJHVQ\RPiVEyO V]iUPD]yHUUHNRUlátozódik.

38

I

I

I

G ρ Y G9 = ρ J G9 − S G $ . GW 9 9 $

(4.17)

$MREEROGDOHOVWDJMDDWpUHUEOV]iUPD]yW|PHJUHKDWyHUWDPiVRGLNWDJDIHOOHWHQ KDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUWIHMH]LNL(]XWyEELHOMHOHD]pUWQHJDWtYPHUWDGA felületHOHPYHNWRUNLIHOpPXWDWtJ\QHJDWtYHOMHOHVHWpQDGyGLNDIRO\DGpNUpV]UHKDWyHU $ODNtWVXNiWD |VV]HIJJpVEDOROGDOiQOpYWDJRW9HJ\NILJ\HOHPEHKRJ\D]LntegUiOiVpVGLIIHUHQFLiOiVVRUUHQGMHIHOFVHUpOKHW(]LWWD]WMHOHQWLKRJ\XJ\DQD]WD]HUHdményt kapjuk, ha az egész folyadékrész mR]JiVPHQQ\LVpJpQHNLGEHQLYiOWR]iViWYL]VJiljuk, mint abban az esetben, ha az egyes elemi folyadékrészek mozgásmennyiségének megváltozását összegezzük. Figyelembe kell továbbá venni azt is, hogy amíg a V integrálási WDUWRPiQ\LOODG9HOHPLWpUIRJDWDVUVpJYiOWR]iVDPLDWWLGEHQYiOWR]KDWDGGLJD]0 folyadéktömeg ill. annak GP = ρG9 W|PHJHOHPHLGEHQQHPYiOWR]LN)HQWLHNILJ\HOHPEH YpWHOpYHOD]DOiEELiWDODNtWiVRNYpJH]KHWNHO G GW

I

Yρ G9 =

9

I

1

G Y ρ G9 GW 9

6

=

I

1

6

I

1

GY G ρ G9 + Y ρ G9 GW GW 9 9

6

.

(4.18)

=

$IHQWLiWDODNtWiVD]WMHOHQWLKRJ\D]LGEHQYiOWR]yWpUIRJDWEDQOpYW|PHJPR]JiVPHnynyiVpJpQHNYiOWR]iViWLGEHQYiOWR]DWODQHOHPLW|PHJHNpVJ\RUVXOiVXNV]RU]DWDNpQWKDWároz]XN PHJ D]D] D MREE ROGDO HOV LQWHJUiOMiEDQ OpY Gv/dt a folyadékrész gyorsulása, DPHO\HWD]HO]IHMH]HWEHQWiUJ\DOWXQNOG pV |VVzefüggések). Térjünk vissza a (4.17) összefüggéshez, amely jobb oldalának második tagját szeretnénk térIRJDWLLQWHJUiOOiDODNtWDQL9HJ\QNIHOHJ\WHWV]OHJHVb=konstans vektorteret és szorozzuk meg e vektortérrel a p nyomást. Ezzel az integrandusz vektortérré válik, amelyre alkalmazható a Gauss-Osztrogradszkij-tétel:

I

$

I

1 6

E S G $ = GLY E S G9 = 9

I1

6

S GLY E + E JUDGS G9

9

.

(4.19)

Tekintettel arra, hogy E = iOO GLY E = pV E D]LQWHJUiOMHOHOpNLYLKHW

I

I

E S G $ = E JUDGS G9 $

9

.

(4.20)

Tekintettel arra, hogy bWHWV]OHJHVLUiQ\~YHNWRUDNpWLQWHJUiOHJ\HQOHJ\PiVVDO Fentiek figyelembevételével írható:

(4.21)

39

I

I

I

GY ρ G9 = J ρ G9 − JUDGS G9 . GW 9 9 9 Valamennyi tagot bal oldalra hozva és figyelembe véve, hogy az integrálási tartomány megHJ\H]LNH]pUWN|]|VLQWHJUiOMHODOiYLKHWN

I

9

ρ

GY − ρ J + JUDGS G9 = . GW

(4.22)

$]LQWHJUiOpUWpNHWHWV]OHJHV9-nél zérus, ami csak akkor lehet, ha az integandusz zérus. Átrendezés és az egyenlet ρ-val való osztása után a (4.13) összefüggés adódik: dv 1 = g − gradp . ρ dt

4.3. Euler-egyenlet természetes koordinátarendszerben Legyen az áramlás stacionárius, a súrlódást hanyagoljuk el és vegyünk fel egy áramvonalhoz rögzített, „természetes” koordinátarendszert (ld. 4.3. ábra ( GHUpNV]|J NRRrdináta-rendszer az áramvonal P pontjára illeszkedik, és az e pULQW LUiQ\~ NRRUGLQiWDtengelye érinti az áramvonalat. Az n normális

4.3. ábra

irányú koordináta-tengely a P pontot az áramYRQDO*J|UEOHWLN|]pSSRQWMiYDO|VV]HN|WHJ\HQHVEHHVLN$ b binormális koordináta az e és n koordinátákkal jobbsodrású rendszert alkot. Vegyük fel a 4.3. ábrán látható, db, dn és de élhosszakkal jellemzett elemi folyadékhasábot és írjuk fel az arra ható e LUiQ\~ HUN egyensúlyát! Miután a súrlódást elhanyagoltXNDKDViEUDD]HUWpUpVDQ\RPiVEyOV]iUPa]yHUKDW

∂S GH "# GE GQ + ρ GE GQ GH J ! ∂H $

G)H = S GE GQ − S +

H

,

(4.23)

ahol geDWpUHUVVpJHLUiQ\~YHWOHWH (]D]HUD dm = ρ db dn de W|PHJIRO\DGpNUpV]WJ\RUVtWMD7HNLQWHWWHODUUDKRJ\NLN|Wésünk szerint az áramlás stacionárius, csak konvektív gyorsulás létezik. A (4.2) összefüggés HOVVRUpVWDJMiQDN|VV]HJHDGMDD][LUiQ\~NRQYHNWtYJ\RUVXOiVW(VHWQNEHQD]e koordináta-tengely irányú gyorsulást keressük, figyelembe véve, hogy Y Q = Y E = . Ez esetben:

40

D NRQY = Y

∂Y . ∂H

A fentiek alapján a (4.23) figyelembe vételével írható: ρ GE GQ GH Y

∂S ∂Y =− GH GE GQ + ρ GE GQ GH J H . ∂H ∂H

(4.24)

$]HOHPLW|PHJJHOYDOyHJ\V]HUVtWpVXWiQDGyGLNa természetes koordinátarendszerben felírt Euler-HJ\HQOHWpULQWLUiQ\~NRPSRQHQVHJ\HQOHWH

Y

∂Y ∂S =− + JH ∂H ρ ∂H

(4.25)

Tekintsük most a normális irányú egyensúlyt! Ahhoz, hogy a dm tömeg v sebességgel mozogjon az R görbületi sugarú áramvonalon, a görbületi középpont felé mutató GP

Y 5

QDJ\ViJ~ FHQWULSHWiOLV HUQHN NHOO D W|PHJUH KDWQLD (] D] HU LVPpW D Q\RPiVEyO V]iUPD]yDIRO\DGpNUpV]IHOOHWpQKDWyHUpVDW|PHJUHKDWyWpUHUVVpJ|VV]HJpYHOHJ\HQO − ρ GH GE GQ

"# ! $

∂S Y = S GE GH − S + GQ GE GH + ρ GH GE GQ J Q ∂Q 5

(4.26)

$]HJ\HVWDJRNHOMHOpWD]QNRRUGLQiWDpVD]HUNLUiQ\tWiViQDNILJ\HOHPEHYpWHOpYHOKDWáUR]WXN PHJ (J\V]HUVtWpV XWiQ DGyGLN D természetes koordinátarendszerben felírt Euler-egyenlet normális irányú komponens egyenlete:

−

Y ∂S =− + JQ ρ ∂Q 5

(4.27)

A binormális irányú komponens egyenlet – mivel ebben az irányban nincsen gyorsulás – DQ\RPiVEyOpVDWpUHUVVpJEOV]iUPD]yHUNHJ\HQV~O\iWIHMH]LNL =−

∂S + JE ρ ∂E

(4.28)

Az Euler-HJ\HQOHWNO|QE|]NLIHMH]pVHLWYL]VJiOYDHJ\QDJ\RQHJ\V]HUIL]LNDLLQWHUSUHWáció adódik. Súrlódásmentesség feltételezése mellett a folyadékrészekre a nyomásból és a WpUHUVVpJEOV]iUPD]yHUKDW+DHNpWIDMWDHUNLHJ\HQOtWLHJ\PiVWDN|]HJQHPJ\RUVXO YDJ\iOOYDJ\HJ\HQHVYRQDO~HJ\HQOHWHVVHEHVVpJPR]JiVWYpJH] )RUGtWYDLVLJD]KDD közeg áll, a nyRPiVEyOV]iUPD]yHUHJ\HQV~O\EDQYDQD]HUWpUEOV]iUPD]yHUYHO +DDNpWHUQHPHJ\HQOtWLNLHJ\PiVWDNNRUDN|]HJJ\RUVXO$]HUWpUDWpUHUVVpJYHkWRUUDOPHJHJ\H]LUiQ\~pVLUiQ\tWiV~J\RUVXOiVWHUHGPpQ\H]$Q\RPiVYiOWR]iVDHVHWpQD 41

folyadékréV]HNDFV|NNHQQ\RPiVLUiQ\iEDQDQ\RPiVJUDGLHQVVHOSiUKX]DPRVDQGHHllentétes irányítással) gyorsulnak. $WpUHUVVpJKDWiVDVRNHVHWEHQILJ\HOPHQNtYOKDJ\KDWyLOOHOKDQ\DJROKDWy,O\HQHVHWEHQ D]iUDPNpSUODQ\RPiVPHJRV]OiVUDLOODQ\RPiVPHJRV]Oisról az áramképre következtetKHWQN,J\SODIRO\DGpNUpV]HNFV|NNHQQ\RPiVLUiQ\iEDQJ\RUVXOQDNSOKDNO|QE|] Q\RPiV~WHUHNHW|VV]HQ\LWXQNDQDJ\REEQ\RPiV~WpUEODNLVHEEQ\RPiV~WpUEHiUDPOLND N|]HJ (J\ iUDPOiV LUiQ\iEDQ V]NO FVEHQ NRQI~zorban), amelyben a folytonosság PLDWWJ\RUVXODN|]HJD]iUDPOiVLUiQ\iEDQFV|NNHQDQ\RPiVÈUDPOiVLUiQ\iEDQEYO FVQpOGLII~]RUQiO ODVVXOD]iUDPOiVpVHQQHNPHJIHOHOHQQ|YHNHGQ\RPiVWDSDV]WDOKató. (A mozgó folyadéknak le kell lassulnia és a ODVVtWyHUW–V~UOyGiVpVWpUHUKLiQ\iEDQ– csak a nyomás áramlás irányú növekedése okozhatja.) Az eddigi példákban a közeg sebességének nagysága változott a nyomásmegoszlás hatására. Vannak esetek, amikor a nyomás változása nem a sebesség nagyságát, hanem irányát változtatja meg. Igen jól használható összefüggés a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenlet normális irányú komponens egyenlete (ld. (4.27) összefüggés). Szorozzuk meg a (4.27) egyenlet mindkét oldalát (–1)-el és tekintsünk el a téreUVVpJKDWáViWyO(]HVHWEHQD]N|YHWNH]|VV]HIJJpVWNDSMXN Y ∂S = 5 ρ ∂Q D]DOiEELN|YHWNH]WHWpVHNHWYRQKDWMXNOHD]|VV]HIJJpVEO a/

ha az áramvonalak párhuzamos egye-

nesek (R=∞ DNNRU D]RNUD PHUOHJHVHQ nem változik a nyomás; b/ ha az áramvonalak görbültek, akkor 4.4. ábra

D]RNUD PHUOHJHVHQ D Q\RPiV YiOWR]LN D J|UEOHWLN|]pSSRQWWyONLIHOpKDODGYDQ (A

Q\RPiVEyOV]iUPD]yFHQWULSHWiOLVHUNpQyszeríti körpályára a folyadékrészeket.) A 4.4. ábrán látható személyautó karosszériáján kialakuló nyomásmegoszlás jellegét a fenti meggondolásokkal meg lehet határozni: az áramvonalak görbületi középpontjából kifelé mutató nyilak a nyomás növekedését mutatják. A + és − jelek a zavartalan áramláshoz tartozó nyomáshoz NpSHVWLW~OQ\RPiVWLOOGHSUHVV]LyWNOVK|]NpSHVWNLVHEEQ\RPiVW MHOölik. Látható, hogy a homlokfal alatti spoiler csökkenti a nyomást, ezáltal csökken a felhajWyHU$PRWRUKi]WHWpVDV]pOYpGWDOiONR]iViQiOD]iUDPYRQDODNJ|UEOHWpEOOiWKDWyDQ túlnyoPiVYDQH]pUWLWWYH]HWLNEHDV]HOO]OHYHJW

42

4.4. A Bernoulli-egyenlet Az Euler-egyenlet (ld. (4.13), (4.14), (4.16) összefüggéseket) egy differenciálegyenlet, DPHO\NDSFVRODWRWWHUHPWDIRO\DGpNJ\RUVXOiVpVDIRO\DGpNUDKDWyHUNN|]|WW– a folyadék V~UOyGiViQDNHOKDQ\DJROiViYDO$PV]DNLIHODGDWRNPHJROGiViQiOiOODQGyVUVpJIHOWpWelezése mellett általában a vx, vy, vz és p a meghatározandó ismeretlenek. E négy ismeretlen meghatározásához szükséges 4 egyenletet az Euler-egyenlet három komponens egyenlete OG |VV]HIJJpV pVDIRO\WRQRVViJWpWHOH V]ROJiOWDWMD0V]DNLIHODGDWRNPHgoldhatók a fenti differenciálegyenletek megoldásával adott peremfeltételek mellett. Az Euler-egyenlet megoldásának egy igen hatékony módja a (4.14) alakban felírt egyenlet tagjainak az áramlási tér két (pl. 1-gyel és 2-YHOMHO|OW SRQWMiW|VV]HN|WYRQDOPHQWLKHO\ szerinti) integrálása:

I

I

I

∂Y Y G V + JUDG G V − Y × URWY G V ∂W ,

,,

I

= J GV ,,,

− ,9

I

JUDGS G V . ρ

(4.29)

9

Vizsgáljuk meg, hogy a legáltalánosabb alakban felírt Bernoulli-egyenlet milyen feltételek teljesülése eVHWpQKR]KDWyHJ\V]HUEEDODNUD a/

Miután (ld. (2.1) összefüggés)

I

JUDG I G V = I − I

D,,MHOLQWHJUiOPLQGHQWRYiEELIHOWpWHOQpONOD

b/

(4.30) ,

Y − Y alakra hozható.

(] D YRQ]y iWDODNtWiV D ,9 MHO LQWHJUiORQ LV HOYpJH]KHW KD D J HUWpU SRWHQFLiORV (ld. 2.2. fejezet, 2.8 összefüggés). A J = − JUDG8 helyettesítéssel és az integrálás elvégzésével a (4.29) Bernoulli-HJ\HQOHW,9MHOWDJMD-(U2- U1) alakú lesz. ∂v = 0, azaz ha az áramlás stacionárius. ∂t

c/

$]HJ\HQOHW,MHOWDJMD]pUXVKD

d/

$,,,MHOWDJV]iPtWiVDiOWDOiEDQQHKp]VpJHW okozna, ezért törekszünk zérussá tételére. (WDJ]pUXVpUWpNKD

− − − − −

a v sebesség zérus, a rotv=0, azaz az áramlás potenciálos, a ds a v és rotv vektor által kifeszített síkba esik a ds

v, azaz áramvonalon integrálunk,

a ds

rotv, azaz örvényvonalon (ld.4.5.fejezet) integrálunk,

43

−

v

rotv, u.n. Beltrami áramlás.

Az V tagban ρ = iOO. esetén a S ρ gradiensét kell vonal mentén integrálni, ami a

e/

−

S − S eredményre vezet. Ha ρ = ρ S , akkor a (4.15) összefüggés felhasználásáρ

I16

S

val az V integrál a

S

GS alakra hozható. ρ S

Ha a Bernoulli-HJ\HQOHWHW KDV]QiOMXN D N|YHWNH] NpUGpVHNHW FpOV]HU IHOWHQQL pV D YiOaV]RNDODSMiQDOHKHWVpJHVHJ\V]HUVtWpVHNHWYpJUHKDMWDQL

−

Stacionárius-e az áramlás? Ha nem, van e olyan (pl. együtt mozgó) koordinátaUHQGV]HUDPHO\EOVWDFLRQiULXVViWHKHW"

− − −

Potenciálos-e az áramlás? Ha nem, lehet-e áramvonalon integrálni? Potenciálos-HD]HUWpU" Állandó-HDVUVpJ" Ha nem, csak a nyomástól függ-e?

$PV]DNLJ\DNRUODWEDQOHJJ\DNUDEEDQHOIRUGXOyHVHWHNEHQaz áramlás stacionárius, leKHWiUDPYRQDORQLQWHJUiOQLD]HUWpUD)|OGQHKp]VpJLHUWHUHDPLSRWHQFLiORVDV UVpJSHGLJiOODQGy Ilyen esetben a Bernoulli-egyenlet az alábbi, jól ismert alakban írható fel: Y

+

Y S S + 8 = + + 8 ρ ρ

(4.31)

DKRO8D)|OGQHKp]VpJLHUWHUpQHNSRWHQFLiOMDDPLIHOIHOpPXWDWy]NRRUGLQiWDHVHWpQD] 8 = J J ] összefüggéssel írható le. A (4.31) összefüggés azt fejezi ki, hogy a fenti feltételek fennállása esetén a

4v

2

9

2 + p ρ + U Bernoulli-összeg egy áramvonal mentén állandó. (Potenciálos áramlás

esetén a Bernoulli-összeg az egész áramlási térben – és nemcsak áramvonal mentén – állandó.)

4.5. Örvénytételek (EEHQDIHMH]HWEHQWDOiQW~OHOPpOHWLQHNWQ|VV]HIJJpVHNHWIRJXQNPHJKDWározni, ameO\HNQHND]RQEDQHOPpOHWLMHOHQWVpJNPHOOHWWIRQWRVJ\DNRUODWLV]HUHSNLVYDQ$]DOiEEiakban tárgyalt |UYpQ\WpWHOHNDV~UOyGiVPHQWHVVpJIHOWpWHOH]pVpYHOYH]HWKHWNOH.

44

Tekintsük a 4.5. ábrát DKRO HJ\ * MHO ]iUW IRO\ékony vonalat tüntettünk fel. (A folyékony vonal a közeggel együtt úszik el.) Kérdés, hogyan változik a

I

Γ = Y G V FLUNXOiFLy pUWpNH D] LG IJJYpQ\pEHQ *

azaz

4.5. ábra

GΓ G = GW GW

I

Y GV = "

*

+DQHPtUMXND]HOOHQNH]MpWDN|UOMiUiVLLUiQ\PLQGLJSR]LWtY 9L]VJiOMXNPHJ Y GV LG szerinti megváltozását! A szorzat deriválási szabályait alkalmazva:

1 6

1 6

GY G G Y GV = GV+ Y GV . GW GW GW

(4.32)

A (4.32) összefüggés azt fejezi ki, hogy a Y GV V]RU]DW LG V]HULQWL PHJYiOWR]iVD D sebességWpUpVDIRO\pNRQ\YRQDOHOHPLGV]HULQWLPHJYiOWR]iViUDYH]HWKHWYLVV]D A 4.5. ábra alapján írható:

1 6

G GV = GW GW

1 Y + G Y 6 GW − Y GW

= G Y = ' G V.

A ds folypNRQ\YRQDOHOHPPHJYiOWR]iViWYpJSRQWMDLQDNNO|QE|]VHEHVVpJHRNR]]D(]W a sebességkülönbséget a (2.3) összefüggés alapján a derivált tenzor segítségével határozzuk PHJ+RJ\DQOHKHWQHDEHKHO\HWWHVtWpVXWiQD MREEROGDOiQPHJMHOHQ Y ' GV szorzatot PiVNpQWNLIHMH]QL"$]HJ\V]HUVpJNHGYppUWV]RUtWNR]]XQNVtNiUDPOiVUD

Y "# Y ' GV = !Y $ [ \

= Y[

7

∂Y !

"# ## #$

∂Y [ G\ ∂[ ∂\ = ∂Y \ ∂Y \ G[ + G\ ∂[ ∂\ [

G[ +

∂Y \ ∂Y \ ∂Y [ ∂Y [ G[ + Y [ G\ + Y \ G[ + Y \ G\ = ∂[ ∂\ ∂[ ∂\

∂ Y ∂[ = ∂ Y ∂\ !

[

[

(4.33)

"# + # "# = JUDG Y G V . ## ! G[ G\ $ Y # + # $ Y \

\

45

Mivel a súrlódásmentesség feltételezésével éltünk, a G Y GW folyadék gyorsulást az Euleregyenlet alapján fejezhetjük ki. A (4.32) összefüggésbe helyettesítve a (4.13) és (4.33) öszszefüggéseket, írható: G GW

I

*

Y GV =

I !J − ρ JUDGS + JUDG Y "##$ G V .

(4.34)

*

Ha a J HUWpUSRWHQFLiORVpVKDDVUVpJiOODQGyDNNRUDSρ, a v2/2 és a -U gradienseit kell zárt G görbe mentén integrálni. Figyelembe véve a (4.30) összefüggést, valamint azt, hogy zárt göUEHHVHWpQD]LQWHJUiOiVLWDUWRPiQ\IHOVpVDOVyKDWiUDHJ\EHHVLND |szV]HIJJpV MREE ROGDOiUD ]pUXV pUWpN DGyGLN +D D VUVpJ FVDN D Q\RPiV IJJYpQ\H D (4.15) alapján ugyanez az eredmény adódik.). A Thomson (Lord Kelvin) tétel értelmében – ha a] HUWpU SRWHQFLiORV pV D V~UOyGisPHQWHVN|]HJVUVpJHiOODQGyYDJ\FVDNDQ\RPiVIJJYpQ\H– a sebességtér zárt foO\pNRQ\YRQDOPHQWLYRQDOLQWHJUiOMDDFLUNXOiFLyD]LGIJJYpQ\pEHQQHPYiOWozik: G GW

I

Y GV =

(4.35)

*

Tekintettel arra, hogy a cirkuláció és a sebességtér örvényessége között a Stokes-tétel (2.7) értelmében szoros kapcsolat van, a Thomson-tétel alapján megállapítható, hogy súrlódásmentes közegben a fenti feltételek fennállása esetén örvényesség nem keletkezhet. Másként megfogalmazva: súrlódásmentes közeJQ\XJYyWpUEOYDJ\SRWHQFLiORViUDPOiVEyO HUHG áramlása potenciálos. Valóságos közeg esetén a folyadéksúrlódás következtében pl. szilárd IDOPHOOHWWNHOHWNH]LN|UYpQ\HVVpJgUYpQ\HVVpJHWKR]KDWOpWUHD]LVKDD]HUWpUQHPSotenciálos, például a Coriolis-HUWpUQHNV]HUHSHYDQWRUQiGyNFLNORQRNNLDODNXOiViEDQ Definiáljuk az örvényvonalat az alábbi módon: az örvényvonalat minden pontjában érinti a rotv vektor, azaz ha G V az örvényvonal eleme, akkor URWY × GV = . Definiáljuk

A

továbbá az örvényfelületet, amely örvényvonalakból áll, és amelyet a rotv vektorok

4.6. ábra

érintenek: URWY G$ = , ld. 4.6. ábra. Ve-

gyünk fel egy, az áramló folyadékkal együtt mozgó A folyékony örvényfelületet (4.6. ábra) és azon jelöljünk ki egy G folyékony vonalat. Tekintettel arra, hogy az örvényvektorok érintik a felületet, azoknak a G által határolt felületre vett felületi integrálja zérus. Ekkor viszont a (2.7) összefüggéssel megadott Stokes-tétel értelmében a folyékony felületen felvett G zárt folyékony vonalon a sebesség vonalintegrálja, a cirkuláció zérus. Ha fennállnak a Thomson-WpWHO OHYH]HWpVpQpO WHWW NLN|WpVHN V~UOyGiVPHQWHV iOODQGy VUVpJ N|]HJ 46

SRWHQFLiORVHUWpU , akkor a Thomson-tétel (4.35) értelmében a cirkuláció a G görbe mentén zérus értéN LV PDUDG .|YHWNH]pVNpSSHQ egy folyékony örvényfelület mindig megtartja örvényfelület jellegét. Belátható, hogy két folyékony örvényfelület örvényvonal mentén metszi egymást, amely az HO]HN V]HULQW PHJWDUWMD |UYpQ\YRQDO MHOOHJpW $ PHWV]pVYRQDORQ OpY IRO\DGpNUpV]HN mindkét folyékony felület részei, ezért mindig a metszésvonal részei maradnak. A metszésYRQDOWHKiWPLQGLJXJ\DQD]RNEyODIRO\DGpNUpV]HNEOiOO A Helmholz I tétele szerint egy örvényvonal, amely két örvényfelület metszésvonala, PLQGLJXJ\DQD]RNEyODIRO\DGpNUpV]HNEOiOO Tekintsük a 4.7. ábrát, ahol egy IRO\pNRQ\|UYpQ\FV (csövet DONRWy |UYpQ\IHOOHW OiWKDWy $] |UYpQ\FV SDOiVWMiQ YHJ\N fel az S zárt folyékony vonalat, amely S1,S26 ¶pV6 ÚpV]HNEO áll. Miután a zárt vonal az örvényfelületen van, a sebesség vonalintegrálja e vonal mentén a Stokes-tétel értelmében zérus. Írjuk fel a cirkulációt az S mentén, figyelembe véve, hogy a 4.7. ábra

sebesség vonalintegrálja S'’n és S'”n éppen kiejti egymást:

I I I Y GV =

6

Y GV+ Y GV =

6

6

47

.

(4.36)

A körüljárási irányokat az A1 és A2 keresztmetszetekhez képest adtuk meg (azaz a (4.36) jobb oldalán a második integrál körüljárási iránya negatív). Azonos (pozitív) körüljárási irány esetén az S2J|UEpUHYRQDWNR]yLQWHJUiOWSR]LWtYHOMHOOHODPiVLNROGDOUDYLKHWMNiW

I I Y GV =

6

azaz a Stokes-tétel értelmében:

I

$

Y GV,

6

URW Y G $ =

I

URW Y G $

$

.

(4.37)

Fentiek alapján megfogalmazható +HOPKRO],,WpWHOH$]|UYpQ\FVKRVV]DPHQWpQEirmely metszetében

I

URW Y G $ pUWpNHiOODQGypVLGEHQVHPYiOWozik.

$

4.8. ábra Következmény: D]|UYpQ\FVQHPIHMH]GKHWEHD]iUDPOyN|]HJEHQ9DJ\]iUWJ\UW alkot, vagy az áramlási tér határáig ér. (Különben $ ⇒ URW Y ⇒ ∞ következne a tételEO +HOPKROW],,W|UYpQ\HpUWHOPpEHQ]iUWJ\UDIVWNDULNDDPHO\+HOPKROW],. törvéQ\H pUWHOPpEHQ ÄHJU]L´D EHQQH OpY IVW|W D]D] LGEHQ XJ\DQD]RNEyO D IRO\DGpNUészekEOiOOOG4.8. ábra). Az örvénytételeknél alkalmaztuk az Euler-egyenletet, tehát e tételek valóságos közegeknél addig és olyan mértékben érvényesek, ameddig és amilyen mértékben az Euler-egyenlet. Látni fogjuk a súrlódásos áramlások tárgyalásánál, hogy valóságos közeg áramlása esetén számos esetben jó közelítés a súrlódás hatásának elhanyagolása. Ezért az örvénytételek sok 48

esetben jó közelítésként, más esetekben a tendenciák meghatározására eredményesen használhatók. $ UHSOJpS V]iUQ\DNUD IHOKDMWyHU KDW ami annak a következménye, hogy a szárny alatt a nyomás nagyobb, mint felette. Ez a nyomáskülönbség akkor jöhet létre, ha a szárny fölött az áramlási sebbesség na-

4.9. ábra

gyobb mint alatta, azaz a szárny körül felvett zárt görbén a sebesség vonalintegrálja, a ΓFLUNXOiFLy]pUXVWyOHOWpU$IHMezetben mutatMXNEHKRJ\HJ\V]iUQ\UDKDWyIHOKDMWyHUHJ\HQHVHQDUiQ\RVDV]iUQ\Nörüli cirkulációval. A szárny (pl. egy repüOJpS V]iUQ\ WHKiW RO\DQ iUDPNpSHW KR] OpWUH PDJD N|Ul, mintha egy örvény lenne. Vegyük körül a nyugvó szárnyat a 4.9. ábrán látható módon egy ]iUWJ|UEpYHODPLQDFLUNXOiFLyQ\XJYyOHYHJpViOOyV]iUQ\HVHWpQ]pUXVpVD7KRPVRQtétel (4.35 összefüggés) értelmében zérusnak kell maradnia, hiszen a szárnytól távol felvett G görbe környezetében az áramlási sebességek kicsinyek, így a Thomson-tétel érvényességét "„lrontó"”súrlódás hatása elhanyagolható. Ha mozgásba jön a szárny (elindul a repül gép), körülötte Γ cirkuláció alakul ki, ami csak akkor lehetséges, ha egy azonos nagyságú, de ellentétes irányban forgó u.n. indulási örvény keletkezik a szárny mögött (ld. 4.9. ábra). Hasonlóan belátható, hogy a szárny megállításakor is egy örvény, a megállási örvény válik le a szárnyról. A Helmholtz II tétel értelmébenYLV]RQWH]HNQHPIHMH]GKHWEHD]iUDPOiVLWpUEHQ0LO\HQ mechanizmus eredményeként adódik a zárt örvény hurok?

4.10. ábra Tekintsük a 4.10. ábrát, ahol egy áramlási térbe helyezett szárny látható felülnézetben. Látható, hogy a szárny mindkét végén folyamatosan úszik le egy-egy ellentétesen forgó örvény, amelyek körüli cirkuláció, megegyezik a szárny körüli cirkulációval. Ezek az örvé49

nyek kötik össze a szárnyat, ill. annak megállása után a megállási örvényt) az indulási örvénnyel, a Helmholtz II törvény értelmében zárt örvényhurkot alkotva. A szárnyvégi örvények keletkezését mutatja a 4.11. ábra is amely Ma=1.1 Mach-V]iPPDO OG NpVEE MHlOHP]HWWiUDPOiVEDKHO\H]HWWUHSOJpSPRGHOON|UONLDODNXOyiUDPOiVWOiWXQN$V]iUQ\YéJHNHQNHOHWNH]|rYpQ\HNHWDPHO\HNEHQDQ\RPiVpVtJ\DVUVpJLV NLVHEEDN|UQ\H]eWLQpODV]iUQ\YpJKH]FVDWODNR]yDUHSOJpSKRVsztengelyével párhuzamos sötétebb vonalak mutatják. (A kép többi részét a gázdinamika fejezet tárgyalásánál értelmezzük.)

4.11. ábra $ V]iUQ\YpJUO OH~V]y |UYpQ\HN NHOHWNH]pVpW HOHPL iUDPOiVWDQL PHJIRQWROiV DODSMiQ LV megérthetjük: a szárnyon úgy keletke]LN IHOKDMWyHU KRJ\ DOXO D Q\RPiV QDJ\REE PLQW IHOO ( Q\RPiVNO|QEVpJ KDWiViUD D V]iUQ\ YpJHLW PHJNHUO iUDPOiV DODNXO NL DPHO\ D szárny körüli áramlással összeadódva két örvényt alkot.

50

5. Alkalmazások: hidrosztatika, úszás 5.1. Hidrosztatika E fejezetben azokat az eseteket vizsgáljuk, amelyeknél létezik olyan koordináta-rendszer, DPHO\EOQp]YHDIRO\DGpNQHPJ\RUVXOD]D]D pUWHOPpEHQDWpUHUVVpJEOpVDQ\oPiVEyO V]iUPD]y HU NLHJ\HQOtWL HJ\PiVW 1HP J\RUVXO D N|]HJ KD D] DGRWW NRRUGLQitarendszerben áll, vagy egyenesvonalú, egyenletes mozgást végez. Ez utóbbi esetben viszont egy együttmozgó koordináta-rendszerrel „megállíthatjuk” a közeget. Ezért azon feladatokat, amelyeknél a folyadék gyorsulása G Y GW = hidrosztatikai feladatoknak nevezzük. Tekintsük az Euler-egyenlet (4.13) összefüggésben megadott alakját: GY = J − JUDGS . ρ GW

(5.1)

Miután a folyadékrészek sebessége zérus, hidrosztatikai feladatoknál az Euler-egyenlet valóságos (súrlódásos) közegben is elhanyagolás nélkül alkalmazható. Nyugalomban léY QHZWRQL N|]HJEHQ XJ\DQLV QHP OpSQHN IHO FV~V]WDWyIHV]OWVpJHN OG IHMH]HW (1.2) összefüggés): Az (5.1) egyenlet bal oldalára zérust írva, átrendezve és ρ-val átszorozva megkapjuk a hidrosztatika alapegyenletét: JUDGS = ρ J

(5.2)

A hidrosztatika alapegyenlete alapján megállapítható, hogy – a nyomás leggyorsabb változásának (növekedésének) iránya és irányítása megegyezik az HUWpUWpUHUVVpJYHNWRUiQDNLUiQ\iYDOpVLUiQ\tWiViYDO – D Q\RPiV YiOWR]iViQDN PpUWpNH D WpUHUVVpJ DEV]RO~W pUWpNpYHO pV D N|]HJ VUVpJpYHO arányos. +DD]HUWpUSRWHQFLiORVD]D]J = − JUDG8 , az (5.2) egyenlet átalakítható: JUDGS = −ρ JUDG8

,

(5.3)

D]D] D] D]RQRV Q\RPiVVDO MHOOHPH]KHW S = iOO felületek (izobárok) és az 8 = iOO ekvipotenciális felületek egybeesnek. A hidrosztatikai feladatok megoldásánál az (5.2) vagy (5.3) differenciálegyenletet kell inWHJUiOQL(]WPiUD]HO]IHMH]HWEHQPHJWHWWNDPLNRUD](XOHU-egyenlet vonal menti

integrálásával megkaptuk a Bernoulli-egyenletet. A hidrosztatikai feladatok megoldásánál tehát a Bernoulli-egyenlet tárgyalásániOPHJKDWiUR]RWWHJ\HQOHWHNHWFpOV]HUKDV]nálni az]DOD]HJ\V]HUVtWpVVHOKRJ\DVHEHVVpJHWLOOJ\RUVXOiVW WDUWDOPD]yWDJRN]pUXVpUWpNek. ËJ\ SO KD D] HUWpU SRWHQFLiORV KLGURV]WDWLNiEDQ FVDN LO\HQHNNHO IRJXQN WDOiONR]QL pV D N|]HJVUVpJHiOODndó, akkor a Bernoulli-egyenlet (4.29) összefüggésben megadott legáltalánosabb alakjából a (4.31) alakot kapjuk, természetesen a sebesség tagok nélkül: S S + 8 = + 8 ρ ρ

(5.4)

Tekintsük az 5.1. ábrát DKRO D )|OG QHKp]VpJL HUWHUpEHQ OpY WDUWiO\ OiWKDWy DPHO\EHQ ρ = NJ P VUVpJYt]YDQ+DWiUR]]XNPHJDQ\RPiVYiOWR]iViWDWDUWiO\EDQ (J\LN PHJROGiVL OHKHWVpJNpQW LQGXOMXQN NL D KLGURV]WDWLND DODSHJ\HQOHWpEO Legyen z lefelé mutató koordináta. Ebben a koordinátarendszerben J = J N , ahol g = 9 . 81 N kg . Az (5.2) egyenletet kifejtve: ∂S ∂S ∂S L+ M+ N = ρJ N ∂[ ∂\ ∂]

5.1. ábra

(5.5)

adódik. $] |VV]HIJJpVEO OiWMXN KRJ\ D Q\RPiV D YiUDNR]iVQDN PHJIHOHOHQ FVDN D IJJOHJHV koordináta mentén változik. Ezért írható: GS G] = ρ J . A differenciálegyenlet megoldása után a S = ρ J ] + .RQVW

(5.6)

összefüggést kapjuk, azaz a nyomás lefeléOLQHiULVDQQ A Konst. integrálási állandót úgy határozzuk meg, hogy a folyadéktér egy olyan pontjára írjuk fel az (5.6) összefüggést, ahol ismert a nyomás. Ilyen pont a felszín, ahol írható: ha ] = , akkor S = S . Behelyettesítve .RQVW = S adódik, tehát S = S + ρJ ]

(5.7) .

Ha a tartály alján keressük a nyomást, ] = + -t kell az (5.7) egyenletbe helyettesíteni. Másik megoldásként alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlet (5.4) alakját. (esetünkben az er WpUSRWHQFLiORVDN|]HJVUVpJHiOODQGy $%HUQRXOOL-egyenlet alkalmazásánál igen fontos

52

és HVHWHQNpQWWDOiOpNRQ\ViJRWLJpQ\OIHODGDWDNpWSRQWIHOYpWHOHDPHO\N|]|WWLYRQDORQD] egyenlet az Euler-egyenletet „integrálja”. Általában jól használható az a módszer, amely szerint az egyik pontot ott vegyük fel, ahol mindent ismerünk, a másikat pedig ott, DKRONHUHVQNYDODPLWpVDOHJW|EEMHOOHP]WLVPHUMN Legyen tehát az egyik pont (ahol mindent ismerünk) a felszínen felvett 1 pont, a másik a tartály alján z=+KHO\HQOpYSRQWDKRODQ\RPiVWNHUHVVN /HIHOpPXWDWy]NRordináta HVHWpQD)|OGQHKp]VpJLHUWpUSRWHQFLiOMDOGIHMH]HW 8 = − J] alakú. Az (5.4) egyenOHWHJ\HVWpQ\H]LWV]iPEDYpYH S = S ] =

S = " ] = + .

Behelyettesítés és átrendezés után: S − S = ρ J + adódik. Ha a 2 pontot nem a tartály alján, hanem valamely z változó mélységben vesszük föl, az (5.7) összefüggésre jutunk. Hogyan kell eljárnunk, ha a tartály felfelé gyorsul a gyorsulással? Abszolút (a Földhöz U|J]tWHWW UHQGV]HUEOYL]VJiOYDDMHOHQVpJHWD]VHPPLNpSSHQQHPWDUWR]LNDKLGURV]WDWLND N|UpEHDIRO\DGpNPR]RJVWJ\RUVXOYDPRzog, tehát az áramlás instacionárius. Szerencsére találunk egy olyan koordináta-UHQGV]HUWDPHO\EOQp]YHDN|]HJiOOH]DWDUWiOO\DOIHOIelé együtt gyorsuló koordináta-rendszer. Ha a koordináta-rendszer gyorsul, akkor abban WRYiEELHUWpUMHOHQLNPHJ (ldIHMH]HW (VHWQNEHQH]D]HUWpUDWHKHWHWOHQVpJLHU tér, amelynek potenciálja a (2.10) összefüggés alapján 8 W = − D ] , hiszen felfelé gyorsuló koordináta-rendszerben felfelé kell munkát végezni, ha elmozdítunk egy tömeget, azaz felIHOpFV|NNHQ]-k irányában) kell növekednie az 8 W -nak. $ WDUWiO\ DOMiQ OpY Q\RPiVW XJ\DQ~J\ NHOO V]iPROQL PLQW D] HOEE GH

$

8 = 8 J + 8 W = − J + D ] |VV]HIJJpVWNHOOKDV]QiOQLD]HUWpUSRWHQFLiOMiUD(UHGPpQ\O

$

a S − S = ρ J + D + kifejezést kapjuk, tehát a tartály felfelé gyorsulása a folyadékra ható V~O\HUWPLQtegy megnövelte. $IHOIHOpJ\RUVXOyWDUWiO\IHOV]tQpUOD]WWpWHOH]WNIHOKRJ\QHPYiOWR]LNDJ\RUVXOiVKDWáViUDÒJ\pUH]]ND]RQEDQKRJ\SOJ\RUVXOyWHKHUDXWyQOpYWDUWiO\EDQOpYFVHSSIRO\yV közeg felszíne nem marad „vízszintes”. Milyen kapcsolat vDQ D WpUHUVVpJ pV D IHOV]tQ között?

53

Vegyük a hidrosztatika (5.2) alapegyenletének rotációját. Miután URW JUDG

$ = , a bal ol-

dal zérus lesz. Ezért írható – figyelembe véve a szorzat deriválási szabályait:

" '

URW ρ J = ρ URWJ + JUDGρ × J = . 0LXWiQDKLGURV]WDWLNDLSpOGiLQNEDQHOIRUGXOyHUWHUHNSRWenciálosak, URWJ = (EEONövetkezik, hogy JUDGρ × J = D]D] D VUVpJ OHJURKDPRVDEE YiOWR]iViQDN LUiQ\D SiUhu]DPRV D WpUHUVVpJ YHNWRUUDO $ N|]HJ VUVpJH D IHOV]tQUH PHUOHJHVHQ YiOWR]LN D OHJURhamosabban, WHKiWNpWNO|QE|]VUVpJN|]HJHWHOYiODV]WyKDWiUROyIHOület (felszín) minGHQSRQWMiEDQPHUOHJHVD]HUWpUHUHG WpUHUVVpJYHNWRUiUD Ez azt is jelenti, hogy a felszín egybeesik valamely ekvipotenciális felülettel. (Ez utóbbi megállapítás közvetlenül belátható, ha meggondoljuk, hogy az 8 = iOOIHOOHWHNLVPHUOHgesek J -re.) 0HJiOODStWRWWXN KRJ\ YiOWR]y VUVpJ HVHWpQ D VUVpJ OHJJ\RUVDEE YiOWR]iViQDN LUiQ\D SiUKX]DPRV D WpUHUVVpJ YHNWRUUDO .pUGpV KRJ\ H YHNWRU LUiQ\iEDQ HOPR]GXOYD FV|NNHQ YDJ\QDVUVpJ%L]RQ\tWKDWyKRJ\PLQGNpWHVHWOHKHWVpJHVGHcsaNDWpUHUVVpJLUáQ\iEDQQ|YHNYVUVpJHVHWpQVWDELODUpWHJ]GpV. Térjünk vissza a felszín helyzetéhez. Az 5.2. ábrán egy jobbra gyorsuló kocsit és egy hengeres HGpQQ\HO HJ\WW PHUHY WHVW V]HUHQ IRUJy IRO\adékot látunk. Milyen alakú a felszín és hol helyezkedik el? Ha ugyanis e kérdésekre választ tudunk adni, fel tudjuk írni a Bernoulliegyenletet a felszín egy pontja és a folyadéktér HJ\PiVLNDNHUHVHWWMHOOHP]WWDUWDOPD]ySRQWMD 5.2. ábra

között. Gyorsuló kocsi esetén együtt gyorsuló

koordináta-rendszert veszünk fel, ezért a tehetetOHQVpJLHUWpUUHOJ W = − D L ) is kell számolQLD)|OGQHKp]VpJLHUWHUHJ J = − J N PHOOHWW$]DONDOPD]RWWHOMHOHND]5.2. ábrán felvett koordináta-rendszerhez igazodnak.) $] HUHG HUWpU SRWHQFLiOMD D NpW HUWpU SRWHQFLiOMiQDN |VVzege. A folyadék felszíne valamely ekvipotenciális felülettel esik egybe. E felületek egyenletét az 8 = J] + D[ + iOO összefügJpVEONDSKDWMXN ]=−

D [ + . J

(5.8)

$ J\RUVXOy NRFVLEDQ OpY IRO\DGpN IHOV]tQH WHKiW VtN DPHO\ D −D J LUiQ\WpQ\H]EO NöYHWNH]HQ PHUOHJHV D J HUHG HUWpUvektorra. Azt, hogy az ekvipotenciális felületsereg melyik elemével esik egybe a felszín, a folyadékmennyiség állandósága dönti el. Köny54

nyen beOiWKDWyKRJ\iOODQGyV]pOHVVpJNRFVLHVHWpQDKRVV]IHOpEHQOpY"tengely" körül "billen el" a felszín, ha nem vág be a kocsi aljába. (Ezért érdemes a koordináta-rendszer origóját itt felvenni.) A forgó edényben OpY PHUHY WHVW V]HUHQ IRUJy IRO\DGpNRW D] HJ\WWIRUJy UHQGV]HUEO célV]HU YL]VJiOQL DPLNRU D )|OG QHKp]VpJL HUWHUpKH] D FHQWULIXJiOLV HUWpU MiUXO $ 2.2.fejezetben foglaltak alapján felírható az ekvipotenciális felületek egyenlete: 8 = J] −

U ω U ω = iOO D]D] ] = − +. . J

(5.9)

/iWKDWyKRJ\D]HNYLSRWHQFLiOLVIHOOHWHNpVD]HJ\LNNHOHJ\EHHVIHOV]tQLV PiVRGIRN~ forgási paraboloidok. Ebben az esetben is a folyadék térfogatának állandósága szabja meg, hogy az ekvipotenciális felületsereg melyik eleme a felszín, azaz, hogy egy adott koordinátarendszerben mennyi a K értéke. A 3.6. fejezetben meghatároztuk egy n-ed fokú forgási SDUDERORLGDODWWOpYWpUIRJatot. Ha n=2, ez a térfogat a befoglaló henger térfogatának a fele (ld. 5.2. ábra (EEON|YHWNH]LNKRJ\DIRUJyHGpQ\EHQDIHOV]tQHUHGHWLIRUJiVHOWWLIHlszínhez képesti legnagyobb lesüllyedése és felemelkedése egymással megegyezik:

$

∆P = 5 ω J . +D HOHJHQG WDSDV]WDODWRW V]HU]QN KLGURV]WDWLkai feladatok megoldásában, a nyomásokat HJ\HJ\V]HUPHJIRQWROiVVDOLVV]iPROKDWMXN7XGMXNKRJ\D]HUWpUHNYLSRWHQFLiOLVIHOOeWHLHJ\EHHVQHND]iOODQGyQ\RPiV~IHOOHWHNNHOOG +DD]HUHGHUWpUW|EEHUWpU |VV]HJHNpQW DGyGLN D] HJ\HV HUWHrek "s„ját" ”kvipotenciális felületükön nem okoznak Q\RPiVQ|YHNHGpVW+DWHKiWD]HJ\LNHUWpU-|VV]HWHYHNYLSRWHQFLiOLVIHOOHWpQPR]GXOXQN el, a máVLNHUWpU|VV]HWHYRNR]KDWQ\RPiVQ|YHNHGpVW Az ekvipotenciális felületek megtalálása általában nem okoz nehézséget: a Föld nehészségi HUWHUH HVHWpQ YtV]LQWHV D WHKHWHWOHQVpJL HUWpU HVHWpQ D WpUHUVVpJ YHNWRUUD PHUOHJHV VíNRNFHQWULIXJiOLVHUWpUHVHWpQDIRUJiVWHQJHOO\HOPHJHJ\H]WHQJHO\KHQJHUHN+DD)|OG QHKp]VpJLHUWHUpYHOYDJ\DWehetetlenségi HUWpUWpUHUVVpJYHNWRUiYDOPHJHJ\H]LUiQ\EDQ és irányítással ∆V J LOO ∆V D távolságot mozdulunk el állandó ρVUVpJN|]HJEHQ ∆S J = ρ J ∆V J LOO ∆S D = ρ D ∆V D nyomásnövekedés adódik (ellentétes irányban nyomáscsökkenés). Ha ω szögsebességgel forgó koordinátarendszerben, ρVUVpJN|]HJEHQU1 sugárról egy nagyobb r2 sugárra me-

"

'

gyünk át, a nyomás ∆S F = ρ U − U ω érWpNNHOQDFHQWULIXJiOLVHUWpUKDWiViUD Felhasználva a fentieket az 5.2. ábránOpYHVHWHNEHQKDWiUR]]XNPHJD%pV$SRQWEDQ léYQ\RPiVNO|QEVpJpW 55

−

a gyorsuló kocsinál: S % − S $ = ρ J ∆V J + ρ D ∆V D

−

a forgó edénynél: S % − S $ = ρ J ∆V J + ρ 5 ω .

Az eddigiekben vizsgált esetekben a ρ = iOO feltételezéssel éltünk, ami cseppfolyós halmazállapotú közegeknél a valóságnak iJHQMyOPHJIHOHO$Ji]RNVUVpJHD]RQEDQDQ\oPiVQDJ\REEYiOWR]iVDHVHWpQMHOHQWVHQYiOWR]KDW$] Ji]W|UYpQ\pUWHOPpEHQDρs UVpJ7 iOOHVHWEHQDQ\RPiVVDODUiQ\RV 0LDWHHQGDNNRUKDDVUVpJQ\RPiVYiOWozása miatti változása nem hanyagolható el pl. meghaladja a 10%-ot? +DDVUVpJDQ\RPiVIJJYpQ\HDNNRUKDV]QiOKDWyD%HUQRXOOL-egyenlet általános alakja (4.29) a bal oldal zérus értéke mellett figyelembe véve a (4.15) átalakítást. Potenciálos er tér feltételezésével:

8

$

1$

S

− 8 +

S

GS = . ρ S

(5.10)

Általánosságban (pl. ha a ρ nem a p-WO IJJ KaQHP SO PpJ D KPpUVpNOHWWO pV D QHGvességtartalomtól is), a hidrosztatika (5.2) alapegyenletéhez (azaz az Euler-HJ\HQOHWKH] FpOV]HU YLVV]Dnyúlni. /HJ\HQ D IHODGDW D] DWPRV]IpUiEDQ OpY Q\RPiVPHJRV]OiV PHJKDWiUR]iVD iOODQGy OHYHJ5.3. ábra

KPpUVpNOHW 7 = iOO ) mellett. Vegyünk fel egy fel-

felé mutató z koordinátát (ld. 5.3. ábra). E koordináta-UHQGV]HUEHQD)|OGQHKp]VpJLHUWHUH J = − J N vektortérrel írható le. Alkalmazzuk a hidrosztatika (5.2) alapegyenletét:

$

∂S ∂S ∂S L+ M+ N = ρ −J N . ∂[ ∂\ ∂] Ismét látjuk, hogy a nyomás csak a z koordináta függvénye, ezért írható:

$

GS = −ρ S J , G]

$

ahol az (1.5) gáztörvény értelmében ρ S =

S . 57

56

Behelyettesítés és a differenciálegyenlet szétválasztása után az alábbi integrálás elvégzésével határozhatjuk meg a keresett S = S ] függvénykapcsolatot:

1 1 S

S

]

GS J G] =− S 57

S J] ⇒ OQ =− S 57

⇒

S = S H

−

J ] 57

(5.11)

Az 5.3. ábrába felvittük az (5.11) nyomásváltozást, amelynek a kezdeti ( ] = -hoz tartozó) pULQWMH PHJHJ\H]LN D] iOODQGy VUVpJ IHOWpWHOH]pVpYHO DGyGy Q\RPiVYiOWR]iV HJ\HQHVével. 0HJMHJ\H]]NKRJ\DYDOyViJEDQDKPpUVpNOHWIHOIHOpKDODGYDiOWDOiEDQFV|NNHQ

5.2. Testek úszása Az Euler-egyenlet levezetésénél láttuk (ld. 4.2. fejezet), hogy ha egy ∆V térfogatú testet egy JUDG S nyomásgradienssel jellemzett térbe helyezünk, akkor arra ∆ ) ≅ − JUDGS∆9 HUKDW$KLGURV]WDWLND DODSW|UYpQ\pWEHKHO\HWWHVtWYH ∆ ) = −ρ J ∆9 adódik, azaz a ρ sUVpJN|]HJEHPHUtWHWt ∆9WpUIRJDW~WHVWUHKDWyHULUiQ\tWiVDHOOHQWpWHVD]HUWpUYHNWRU irányításával, nagysága pedig megegyezik a ∆9 WpUIRJDW~ IRO\DGpNUDKDWyHUWpUEOV]iUmazó erYHO$)|OGQHKp]VpJLHUWHUpEHQÄIHOKDMWyHUUOÉHV]pOKHWQNDPHO\QDJ\ViJD megegye]LNDÄNLV]RUtWRWWIRO\DGpNV~O\iYDO´8J\DQLO\HQÄIHOKDMWyHU´PR]JDWMDJ\RUVXOy autóbuV]RQDKLGURJpQQHOW|OW|WWOpJJ|PE|WHOUHDYH]HWIONHIHOp +D HJ\ 9 WpUIRJDW~ WHVWHW D )|OG QHKp]VpJL HUWHUpEHQ ρ VUVpJ FVHSSIRO\yV YDJ\ OpgQHP IRO\DGpNEDPHUtWQNDUUD )I = ρ J 9 IHOKDMWyHUKDWDPLWWiPDV]WyHUQHNLVQHYHzQHN $ WiPDV]WyHU iWPHJ\ D N|EWDUWDORP N|]pSSRQWRQ DPL D KRPRJpQ W|PHJHORV]OiV esetén megegyezik a súlyponttal. (J\ WHVW DNNRU ~V]LN KD iWODJRV VUVpJH megegyezik a cseppfolyós közeg ρVUségével, vagy kisebb annál. Utóbbi esetben csak addig merül a vízbe a test, amíg a EHPHUOUpV]iOWDONLV]RUtWRWWIRO\DGpNVúlya megegyezik a test súlyával. A súlyHU pVDIHOKDMWyHUHJ\HQV~O\DPHOOHWWD]~V]y test stabilitásának YDQ MHOHQWVpJH DPLW az úszó test az elfordulással szemben mu-

5.4. ábra

tat.

57

Nyilvánvaló a test stabilitása, ha SV~O\SRQWMDDN|]HJEHPHUOUpV]K térfogatközéppontja alatt van (ld. 5.4. ábra). Ekkor elfordulás esetén egy, az elfordulást csökNHQWM nyomaték keletkezik. $WHVWDODNMiWyOIJJHOIRUGXOiVLV]|JLJVWDELOLVOHKHWDQQDNDWHVWQHNSOKDMyQDND]HJ\Hnsúlya is, amelynél az S súlypont a kiszorított térfogat K középpontja felett van. (Ezt kezdeti VWDELOLWiVQDN QHYH]]N PHUW D YLV]RQ\RNWyO IJJ pUWpNQpO QDJ\REE NLWpUpV HVHWpQ D KDMy felborul.) Tekintsük az 5.5. ábrát! Az ábrán látható hajótest szimmetria-VtNMDDIJJOHJHVKH] képest szöggel tért ki. Az ábrán láthatók az S súlyponton és a KWpUIRJDWLN|]pSSRQWRQiWPHQGV~O\HUpV )I felhajtóHUDKDMyNLWpUpVHHOWWLKHO\]HWUHYRQDWNR]WDWYD$NLWpUpV KDWiViUD D V~O\SRQW pV D V~O\HU YDODPLQW D IHOKDMWyHU nagysága nem változott megGHDIHOKDMWyHUWiPDGiVYRQa5.5. ábra

la eltolódott. A kitérés hatására ugyanis a hajótest AMHOpN DODN~ UpV]H NLNHUOW D Yt]EO D B MHO YLV]RQW EHOemerült.

$]HUHGHWLNLWpUpVHOWWLKHO\]HWKH]NpSHVWWHKiWHJ\HUSiUNHOHWNH]HWW(]HOWROWDDIHOKDjWyHUWamelynek támadásvonala az M metacentrumban metszi a szimmetriasíkot. Ha az S súlypont az M metacentrum alatt van, akkor a hajó egyensúlyi helyzete stabil, hiszen NLWpUpVHVHWpQHJ\D]]DOHOOHQWpWHVYLVV]DWpUtW Q\RPDWpNNHOHWNezik.

58

6. Alkalmazások: súrlódásmentes áramlások elemzése, számítása Ebben a fejezetben példaként néhány feladatot oldunk meg, felhasználva az eddig tanultakat. Az áramló közeg súrlódásmentes és összenyomhatatlan.

6.1. Áramlás konfúzorban Tekintsük a 6.1. ábrát, ahol egy konfúzor látható, amelyben víz áramlik. Mekkora a nyomásgradiens a tengely A pontjában, W = W SLOODQDWEDQ

KD

4

Y = Y + W 6.1. ábra

D

EHOpS

VHEHVVpJ

9 függvény szerint változik?

Miért változik a nyomás a konfúzorban? Az

iUDPOy IRO\DGpNUpV]HN J\RUVXOQDN DPL FVDN HU KDWiViUD PHKHW YpJEH 7HNLQWHWWHO DUUD KRJ\ D V~UOyGiV QHP MiWV]LN V]HUHSHW pV D V~O\HU D] iUDPOiVUD PHUOHJHV WHKiW FVDN D nyomás hely szerinti változása gyorsíthatja a közegrészeket. A gyorsulás és a nyomásgradiens között az Euler-egyenlet teremt kapcsolatot (4.13), DPHO\EONLIHMH]YHDQ\RPiVJUDGLHQVW JUDGS = −ρ

GY GW

(6.1)

|VV]HIJJpVDGyGLN$WpUHUVVpJQHNQLQFVen vízszintes irányú komponense, ezért nem befolyásolja a nyomás változását.) A G Y GW folyadékrész gyorsulása a (4.3) összefüggés szeULQWORNiOLVpVNRQYHNWtYUpV]EOiOO GY ∂Y = + ' Y. ∂W GW A fenti összefüggés kifejtése komponensegyenletekben a (4.2) kifejezésben látható. Miután a konfúzor tengelyében Y \ = Y ] = és ∂Y \ ∂[ = ∂Y ] ∂[ = D NLIHMH]pVEOPHJillapítható, hogy GY GW

= $

∂Y ∂W

[ $

+ Y [$

∂Y [ ∂[

$

L .

(6.2)

A vx VHEHVVpJNRPSRQHQV KHO\ pV LG V]HULQWL YiOWR]iViQDN V]iPtWiViQiO IHOKDV]QiOMXN D folytonosság tételének (3.29) alakját, ami a ρ VUVpJ illandósága miatt (ami víz esetén igen jó közelítés) a

16 16

Y ' = Y [ ' [

(6.3)

összefüggésbe megy át. $WHQJHO\EHQOpYYxVHEHVVpJHWHJ\HQOQHNYHVV]ND Y átlagsebességgel. Ezért valamely x koordinátához tartozó vx sebesség a ' [ = ' -

' - ' [ /

(6.4)

|VV]HIJJpVVHONLIHMH]KHWNRQI~]RUiWPpULVPHUHWpEHQD pV DODSMiQIHOtUKDWy

Y[ =

Y + W '

'

' - ' [ /

.

(6.5)

$ NLIHMH]pVWHOV]|UWPiVRGV]RU[V]HULQWGLIIHUHQFLiOYD[KHO\pEHPLQGNpWNLIHMH]psnél xA-t, t helyébe t1-t helyettesítve majd az így kapott értékeket a (6.2) összefüggésbe beírva meJNDSMXNDNHUHVHWWJ\RUVXOiVW(EEODQ\RPiVJUDGLHQVD |VV]HIJJpVEHYDOyKelyettesítéssel adódik.

6.2. Nyomás változás forgó edényben Tekintsük a 6.2. ábrát, ahol egy henger alakú, vízzel töltött, w V szögsebességgel forgó edény látható.$]HGpQ\IHOVODpMiQDIRUJiVWHQJHO\EHQOpYQ\tOiVN|WL|VV]HDPHUHYWHVWNpQWIRrgó folyadékot a környezettel. Határozzuk meg az ASRQWEDQOpY 6.2. ábra

Q\RPiVpVDNOVS0 nyomás különbségét.

+iURPNO|QE|]PyGV]HUWDONDOPD]XQNDIHODGDWPHJROGiViUD a/

együttforgó koordináta-rendszerrel „megállítjuk” a folyadékot, majd alkalmazzuk a hidrosztatika módszereit;

b/

az álló koordináta-rendszerben áramló közegre felírjuk a Bernoulli-egyenletet;

c/

az álló koordináta-rendszerben áramló közegre alkalmazzuk a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenletet.

60

a/ A folyadék együttforgó koordináta-UHQGV]HUEOYL]VJiOYDiOOXJ\DQDNNRU– mivel a koordináta-rendszer forog –ILJ\HOHPEHNHOOYHQQLDFHQWULIXJiOLVHUWHUHW$O pontból az A SRQWED D )|OG QHKp]VpJL HUWHUpQHN HNYLSRWHQFLiOLV IHOOHWpQ KDODGKDWXQN H]pUt az nem okoz nyomásnövekedést. Alkalmazva a O és A pont között az (5.4) összefüggést és figyeOHPEHYpYHDFHQWULIXJiOLVHUWpUSRWHQFLiOMiQDN NLIHMH]pVpWDQ\RPiVNO|QEVpJUHD

1

6

S$ − S = −ρ 8$ − 8 = −ρ −

5 ω 5 ω − =ρ

összefüggés adódik, ahol ρDYt]VUVpJH b/ Írjuk fel az abszolút rendszerben a Bernoulli-egyenlet (4.29) összefüggéssel megadott legáltalánosabb alakját!

I

A

0

I

I

A

I I

A

A

A

∂v 1 v2 d s + grad d s − v × rot v d s = g d s − gradp d s . ρ ∂t 2 0 0 0 0 I

II

III

IV

(6.7)

V

(VHWQNEHQD]DEV]RO~WVHEHVVpJWpUVWDFLRQiULXVH]pUWD],LQWHJUiO]pUXVpUWpN$,,LQWHg-

4

9

rál Y $ − Y alakra hozható. (ld. 4.4 fejezet $,,,LQWHJUiOWQHPWHKHWMNHJ\HQOYp]érussal (4.4. fejezet), hiszen az áramlásban a URW Y nem zérus, és – mivel az áramvonalak koncentrikus körök – nem lehet O-ból áramvonalon A-ba jutni. A IV tagnál figyelembe kell venni, hogy –PLYHOD]iOOyUHQGV]HUEO vizsgáljuk a jelenséget – csak a Föld nehézségi HUWHUHMiWV]KDWV]HUHSHW J D]RQEDQPHUOHJHV GV-re, ezért a IV integrál esetünkben zérus

1

6

értéN 7HNLQWHWWHO DUUD KRJ\ D N|]HJ |VV]HQ\RPKDWDWODQ D] 9 LQWHJUiO − S $ − S ρ alakra hozható. Ezek figyelembevételével:

I

$

S $ − S = ρ Y × URW Y G V − ρ

Y $ − Y

.

(6.8)

Abszolút rendszerben az áramlás koncentrikus kör alakú áramvonalakkal jellemzett síkáramlás, ahol a sebesség csak a sugár függvénye: Y = ω U . Ebben az esetben a URW Y-nek csak forgástengellyel

1

ni: URW Y

6

]

komponense van, amelyet a (3.8) összefüggéssel lehet meghatároz-

1

= GY GU + Y U (EEOHVHWQNEHQ URW Y

6

]

= w adódik. Keressük az egymás-

UDPHUOHJHV Y , URW Y és GV vektorok vegyes szorzatát. Tekintettel arra, hogy e három vektor jobbsodrású rendszert alkot és GV = GU D NLIHMH]pVEHQV]HUHSOLQWHJUiOHJ\V]HU en átalakítható. Figyelembe véve továbbá, hogy Y $ = 5 w pV Y = , a (6.8) összefüggés a (6.6)-WDOPHJHJ\H]DODNUDKR]KDWy 61

S$ − S = ρ

I1 5

6

U ω ω GU − ρ

5 ω 5 ω 5 ω = ρ 5 ω − ρ =ρ .

(6.9)

F /pQ\HJHVHQ HJ\V]HUEE PHJROGiV LV YDQ D] DEV]RO~W UHQGV]HUEHQ ËUMXN IHO D] (XOHUegyenlet normális irányú komponens egyenletét természetes koordináta-rendszerben (ld. 4.3. fejezet, (4.27) összefüggés) Y ∂S = − JQ . 5 J ρ ∂Q

(6.10)

Az 5 J iUDPYRQDOJ|UEOHWLVXJDUDHVHWQNEHQHJ\HQODN|UDODN~iUDPYRQDOUVXJDUiYDO a dn normális irányú elemi elmozdulás esetünkben dr-UHO HJ\HQO PHUW D] iUDPYRQDODN koncentrikus körök). A J Q esetünkben zérus értéN )HQWL PHJJRQGROiVRNNDO iWtUYD szétváODV]WYDPDMGLQWHJUiOYDDGLIIHUHQFLiOHJ\HQOHWHWDN|YHWNH]DGyGLN

I I

S

5

GS = ρ

S

I

5

Y GU = ρ U ω GU ⇒ 5 ω S$ − S = ρ U .

(6.11)

6.3. Kiömlés tartályból Tekintsük a 6.3. ábrát, ahol egy tartály látható, amelyben víz van. (A vízfelszínt tekinsük végtelen nagynak, azaz hanyagoljuk el a süllyedését.) A tartály hengeres falának alsó réV]pEOHJ\/KRVV]~ViJ~iOODQGyNHUHV]WPHWV]HWFVQ\~OLNNLDPHO\QHNYpJpQHJ\FVDS van, amelyet „hirtelen” (rövid – elvileg zérus –LGWDUWDPDODWW NLOHKHWQ\LWQL1\LOYiQYaló, hogy a folyadék nem a nyitás pillanatában éri el a stacionárius kiáramlási sebességet, haQHPFVDNEL]RQ\RVLGP~OYD+RJ\DQOHKHWQHDMHOHQVpJHWOHtUQL"

Írjuk fel a Bernoulli-egyenlet (4.29) összefüggésben megadott legáltalánosabb alakját:

I 2

1

I

I

2

I I

2

2

2

∂v 1 v2 d s + grad d s − v × rot v d s = g d s − gradp d s . ρ ∂t 2 1 1 1 1 I

II

III

62

IV

V

(6.12)

6.3 ábra

Vizsgáljuk meg a 4.4.fejezetben leírtak alapján, hogy hogyan lehetne a (6.12) összefüggést HJ\V]HUVtWHQL Az I integrál nyilvánvalóan nem zérus, hisz éppen a folyadék gyorsulását kívánjuk meghatározni, és nincs is olyan koordináta-rendszer, amHO\EOQp]YHD]iUDPOiVVWDFLRQiULXVViWeheW A II integrálon hajtsuk végre a szokásos átalakítást, amelynek eredményeként

4Y

9

− Y adódik.

A III integrálYL]VJiODWDHOWWG|QWVNHOKRJ\KRJ\DQYHVV]NIHOD]pVSRQWRNDWDPelyek között az integrálást véJUHKDMWMXN $] HJ\LN SRQW OHKHWVpJ V]HULQW RWW OHJ\HQ DKRO PLQGHQWWXGXQNOHJFpOV]HUEEDIHOV]tQHQ$PiVLNSRQWRWRWWYHVV]NIHODKROD]LVPHUHtlen fi]LNDLPHQQ\LVpJHWNHUHVVNpVOHKHWOHJPLQpOW|EEYiOWR]ypUWpNpWLVPHUMNH]DSRQW célV]HUHQDFVYpJHDNL|POpVKHO\HDKRODKHO\pVDQ\RPiVLVPHUWpVDVHEHVVpJHWpV gyorVXOiVWNHUHVVN$]pVSRQWIHOYHKHW~J\KRJ\HJ\iUDPYRQDORQOHJ\HQH]pUWD III integrál]pUXVpUWpN9DOyViJEDQD]¶pVSRQWRNN|]|WWiUDPYRQDORQLQWHJUiOXQN’ és 1 között pedig –DPLQWD]WNpVEEOiWMXN- Y ≅ Figyelembe véve, hogy az abszolút (Földhöz rögzített) koordináta-UHQGV]HUEOYL]VJiOMXND MHOHQVpJHWtJ\FVDND)|OGQHKp]VpJLHUWHUpYHONHOOV]iPROQXQNDPLSRWHQFLiORV(]pUWD

1

6

IV integrál a − 8 − 8 alakra hozható. 7HNLQWHWWHO DUUD KRJ\ D] iUDPOy N|]HJ Yt] DPHO\QHN VUVpJH iOODQGy D] V integrál a

1

6

− S − S ρ összefüggésbe alakítható át.

63

A fentiek figyelembe vételével (6.12) az alábbi alakra hozható:

!

I 2

"# #$

2 ∂v v +p+ ds + U 2 ρ 1 ∂t

2

=0

(6.13)

.

1

A (6.13) összefüggést szándékosan írtuk fel ebben a szokatlan alakban, mert így világosan OiWV]LN KRJ\ D] ÄLQVWDFLRQiULXV WDJRW´ D] LQWHJUiO IHOV KDWiUiKR] WDUWR]y %HUQRXOOLösszeghez kell hozzáadni. Esetünkben 8 = J] , mert a z koordináta felfelé mutat és tudjuk, hogy a potenciálnak abban az irányban kell növekednie, amerre munkát végzünk, ha egy testet elmozdítunk. +DWiUR]]XNPHJD]HJ\HVWDJRNpUWpNpWDFVYpJpQOpYFVDSNLQ\LWiVDXWiQAz 1-es pontEDQpVDWDUWiO\EDQDVHEHVVpJ]pUXVQDNWHNLQWKHWDNL|POpVN|UQ\H]HWpWOHOWHNLQWYH meUWDWDUWiO\IHOV]tQHNHUHV]WPHWV]HWH RO\DQQDJ\DFVNHUHV]WPHWV]HWpKH]NpSHVWKRJ\ a folyadékfelszín süllyedési sebessége elhanyagolható. Ugyanitt S = S , ] = + , ha a

] = szintet a 2-es pont magasságában vesszük fel (ld. 6.3. ábra). A 2-es pontban ] = és

16

a keresett sebesség Y = Y W 0HNNRUD D Q\RPiV D NL|PO NHUHV]WPHWV]HW WHQJHO\ében? Erre a kérdésre a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenlet ismeretéEHQDGKDWXQNYiODV]W0LXWiQHJ\FVEONL|POIRO\DGpNVXJiUEDQIHOOUOQp]YHD]iUDmvonalak párhuzamos egyenesek, a (4.27) egyenlet bal oldalának nevezMpEHQ V]HUHSO 5 áramvonal görbületi sugara ∞H]pUWDQ\RPiVYt]V]LQWHVHQD]iUDPYRQDODNUDPHUOHJHVHQ nem változik. Így a NL|PO NHUHV]WPHWV]HWEHQ D Q\RPiV D NOV Q\RPiVVDO HJ\HQO: S = S . (OlGDOUyOQp]YHDVXJiUDV~O\HUpVQHPDQ\RPiVNO|QEVpJKDWiViUDKDMOLNOH A gyorsulás vonalintegrálját az alábbi megfontolások alapján fejezzük ki. Ha a tartály eleJHQGHQQDJ\DNNRUEHQQHDVHEHVVpJHOKDQ\DJROKDWyGHDNNRUDJ\RUVulás is jó közelítéssel zérus. Ezért az integrálási útvonalat két részre osztjuk: 1-1’ és 1’- 2 szakaszra:

I

∂Y GV = ∂W

I

I

∂Y ∂Y GV+ GV . ∂W ∂W

(6.14)

$MREEROGDOHOVWDJMDPHUWDYpJWHOHQQDJ\QDNWHNLQWHWWWDUWiO\EDQDN|]HJJ\RUVXOiViW elhanyagolhatjuk. A jobb oldal második tagjának meghatározásához tegyünk néhány megállapítást. A ∂ Y ∂W gyorsulásvektor, amelynek abszolút értékét a-val jelöljük, párhuzamos a GVYHNWRUUDODFVWHQJHO\pEHQOpYLQWHJUiOiVL~WYRQDORQ+DDJ\RUVXOiVQDNOHQQHFV WHQJHO\UHPHUOHJHVNRPSRQHQVHDNNRUFVWHQJHO\UHPHUOHJHVVHEHVVpJNRPSRQHQVÄNeOHWNH]QH´DPLV]LPPHWULDRNRNEyOQHPOHKHWVpJHV 7pWHOH]]NIHOKRJ\HOUHQHPLVPHrjük a folyadékgyorsulás irányítását. Ilyen esetben felveszünk egy pozitívnak feltételezett LUiQ\tWiVWpVD]HUHGPpQ\HOMHOHPXWDWMa meg a gyorsulás tényleges irányítását. Vegyük fel SR]LWtYQDN D FV NL|PO NHUHV]WPHWV]HWH LUiQ\iED PXWDWy J\RUVXOiVW 7HNLQWYH KRJ\ D

64

∂ Y ∂W és a GV vektor iránya és irányítása megegyezik, az integrandusz az (a ds) alakban írható, ahol GV = GV . Hogyan változik aFVKRVV]DPHQWpQDJ\RUVXOiV"+Dρ=iOODNRQWLQXLWiVEyON|YHWNH]HQ DFVEiUPHO\NHUHV]WPHWV]HWpEHQHJ\DGRWWSLOODQDWEDQD]RQRVQDNNHOOOHQQLHDWpUIRJDtáramnak: Y $ = Y $ (EEON|YHWNH]LNKRJ\ D $ = D $

,

(6.15)

ugyanis belátható, hogy a keresztmetszet-viszonnyal fordítottan arányos sebességviszony csak hasonlóan fordítottan arányos lokális gyorsulás-YLV]RQ\HVHWpQM|KHWOpWUH(EEONöYHWNH]LN KRJ\ iOODQGy VUVpJ N|]HJ ORNiOLV J\RUVXOiVD iOODQGy NHUHV]WPHWV]HW FVEHQ QHPYiOWR]LNDFVKRVV]PHQWpQ(]pUWD |VV]HIJJpVD]DOiEELDNV]HULQWDODNtWKDWy át:

I

I

∂Y G V = D GV = D / . ∂W

(6.16)

Helyettesítsük (6.16) összefüggést (6.13)-ba, figyelembe véve, hogy v csak t függvénye: Y S S GY + = +J+ /+ . ρ ρ GW

Stacionárius esetben

(6.17)

GY = felírva a Bernoulli-egyeQOHWHWpVSRQWN|]|WWHJ\V]HUVíGW

tés után adódik: Y VW

= J+

(6.18) ,

ahol vstDVWDFLRQiULXViUDPOiVKR]WDUWR]yVHEHVVpJDFVEHQ A (6.18) összefüggést (6.17)-be helyettesítve és a differenciál-egyenletet szétválasztva kapjuk: GY Y VW

−Y

=

65

GW . /

Átalakítás után integrálhatunk:

v

I

d

v st

0

1−

v v st

I t

v v

2

=

v st dt 2L 0 .

(6.19)

st

Integrálás után az DUWK

WY / Y = VW összefüggés adódik. Bevezetve a τ = jelölést, ahol τ Y VW / Y VW

D]D]LGWDUWDPDPLDODWWDFVKRVV]NpWV]HUHVHYstVHEHVVpJJHOPHJWHKHW Fenti jelöléssel: Y W = WK . τ Y VW

(6.20)

A (6.20) függvénykapcsolatot a 6.4. ábra mutatja be. Látható, hogy a kiáramlás sebessége a stacionárius sebességet aszimptotikusan közelíti. A 6.3. ábránIHOWQWHWWNDFVWHQJHO\pEHQpVDWDUWiO\EDQ 6.4. ábra

DQ\RPiVPHJRV]OiViWDFVDSNLQ\LWiVDHOWWLpVXWiQLSLl-

1

6

lanatokban. A csap nyitiVDHOWW W < a nyomás mindenütt S + ρJ+ . A csap nyitásának

1

6

pillanatában W = a teljes ρJ+Q\RPiVNO|QEVpJDFVEHQOpYIRO\DGpNRVzlop gyorsítá-

1

6

ViUDÄIRUGtWyGLN´$KRJ\WHOLND]LG W > , a ρgH nyomáskülönbség egyre nagyobb része V]NVpJHVDWDUWiO\EDQOpYIRO\DGpNYVHEHVVpJUHW|UWpQIHOJ\RUVtWásához és egyre kevesebb jut a folyadékoszlop gyorsításáUD(OYLOHJYpJWHOHQLGHOWHltével a kiömlési sebesség eléri a Y VW = J+ értéket. 7HUPpV]HWHVHQDYDOyViJEDQDFVEHQIHOOpSV~UOódás következtében a nyomás stacionárius iOODSRWEDQVHPOHV]iOODQGyDFVKRVV]DPHQWpQ

6.4. A statikus-, a dinamikus, és az össznyomás Ha ρ iOODQGy VUVpJ S∞ nyomású közeg v∞ sebesség-

ρ

gel áramlik és az áramló közegbe egy szilárd testet helyezünk el (6.5. ábra), a testen találunk egy olyan pontot – a t

6.5. ábra

torlópontot – ahol az áramlási sebesség zérus, azaz a torlópontba tartó áramvonalon a folyadékrészek teljesen

OHIpNH]GQek. Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet az 1 és a t (torló)pont közé. (Az 1 pontban a zavartalan v∞VHEHVVpJXUDONRGMpNDPLDWHVW]DYDUyKDWiVDN|YHWNH]WpEHQDWHVWHOWWHOYi66

OHJFVDNYpJWHOHQWiYROViJEDQLJD]*\DNRUODWLODJHOHJHQGDWHVWHOWWDWHVWiUDPOiVUDPeUOHJHV PpUetének kb. öt-tízszerese távolságba elhelyezni az 1 pontot ahhoz, hogy a test HOUHKatása elhanyagolható legyen.) $] iUDPOiV VWDFLRQiULXV iUDPYRQDORQ LQWHJUiOXQN D )|OG QHKp]VpJL HUWHUpEHQ YDJ\XQN de J PHUOeges az integrálási útvonalra, ρ=áll., ezért a (4.31) alakú Bernoulli-egyenletet alkalmazzuk ρ-val való átszorzás után, azaz nyomás mértékegységben: S∞ +

ρ Y = SW = S| . ∞

(6.21)

Látható, hogy a torlópontEDQOpYSQ\RPiVQDJ\REEPLQWD]DYDUWDODQiUDPOiVEDQXUDlkodó p∞ statikus nyomás. A torlóponti nyomást össznyomásnak nevezzük és pö -vel jelöljük. Az össznyomás és a statikus nyomás különbsége: SG =

ρ Y ∞,

(6.22)

amit dinamikus nyomásnak nevezünk. Össznyomásnak (pö) megállított közeg nyomását nevezzük. Látható, hogy az össznyomás a potenciált tartalmazó taggal (ρU) különbözik a (4.31) összefüggés kapcsán definiált Bernoulli-összeg ρ-szorosától. Ha tehát a közeg súrlódásmentes, az áramlás stacionáriXV D] HUWpU KDWiViWyO HOWHNLQWQN pV D VUVpJ iOODQGy DNNRU D %HUQRXOOLegyenlet azt fejezi ki, hogy

−

potenciálos áramlásban az össznyomás állandó, vagy

−

örvényes áramlásban az össznyomás egy áramvonal mentén állandó. (Az össznyomás örvényes áramlásban áramvonalról áramvonalra változik. Példaként tekintsük az 1.2. ábrán látható áramlást, ahol a párhuzamos egyenes áramvonalakra meUOegesen a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenlet értelmében nem változik a nyomás (ld. (4.27) összefüggés). Miután azonban a sebesség minden áramvonalon más, a (6.21) összefüggéssel definiált össznyomás változik az áramvonalakra PHUOHJHVLUiQ\EDQ

A közeg megálOtWiVDNRU PHJILJ\HOKHW Q\RPiVQ|YHNHGpV UHiOLV PROHNXOiULV V]HUNH]HW N|]HJHNEHQD]DOiEELPyGRQPDJ\DUi]KDWy$PROHNXOiNPLQWD]HOVIHMH]HWEHQHPOttetWN UHQGH]HWOHQ KPR]JiVW pV HUUH V]XSHUSRQiOyGy iOWDOiEDQ VRNNDO ODVVDEE UHQGH]HWW mozgást végeznek, amit a közeg sebességének nevezünk. Ha feltesszük, hogy a közeg és a környezeWH N|]|WW QLQFVHQ KFVHUH DNNRU D ODVVXOy iUDPOiVEDQ OpY PROHNXOiN UHQGH]HWW VHEHVVpJN FV|NNHQpVH UpYpQ Q|YHOLN UHQGH]HWOHQ VHEHVVpJNHW D]D] Q D N|]HJ KPpU-

67

séklete pVD]HJ\VpJQ\LIHOOHWUHKDWyDPROHNXOiNWN|]pVpEOV]iUPD]yHUD]D]DQ\omás.

6.5. Radiális ventilátor, Euler-turbinaegyenlet Tekintsük a 6.6. ábrát, ahol egy radiális ventilátor vázlata látható.

6.6. ábra A súrlódásmentesnek tekintett közeg az (sz MHO V]tYyFVRQNRQ MXW EH D JpSEH HJ\ iOOy konfúzor (k) vezeti a forgó járókerékhez (j), amely az (m) motor (t) tengelyére van rögzítve. A közeg radiális irányba fordul és áthalad a járókerék (l) lapátjai között. A motor M [Nm] nyomatékot fejt ki az ω [1/s] szögsebességgel forgó járókerékre. E nyomaték hatására a járókeréken áthaladó közeg forgás irányában eltérül. Bejut a (cs MHOFVLJDKi]EDPDMGD (ny) nyomócsonkon keresztül hagyja el a gépet. A ventilátorok feladata a szállított közeg össznyomásának növelése$]HO]HNV]HULQWD] össznyomásnövekedés a

∆S | = S Q\| − S V]| = S +

ρ Y

− S + ρ Y

Q\

(6.23) V]

|VV]HIJJpVEOV]iPROKDWy A ventilátor hasznos teljesítményét (ami súrlódásmentes esetben a bevezetett teljesítményQ\HOHJ\HQO D 3 = T Y ∆S |

(6.24)

összefüggés fejezi ki, ahol qv[m3/s] a ventilátor által szállított térfogatáram. A fogalmak meghatározása után vizsgáljuk meg, hogy hogyan lehetne az össznyomásnövekedést a Bernoulli-egyenlet alkalmazásával kiszámolni! Írjuk fel az egyenletet a lapátrács

68

HOWWL1 és az utáni 2 pont között. Abszolút rendszerben a lapátok mozgása következtében az áramlás instacionárius, ezért a relatív (együttforgó) rendszerben – ahol az áramlás stacionárius – alkalmazzuk a Bernoulli-egyenletet.

6.7. ábra Tekintsük a 6.7. ábrát, ahol a lapátok eOWWL pVP|J|WWL SRQWEDQIHOUDM]ROWXNDv abszolút, w relatív és u szállító (kerületi) sebesség vektorokat. Írjuk fel a relatív rendszerben a (4.29) összefüggésben megadott Bernoulli-egyenletet:

I 2

1

I

I I

2

2

2

w 2 − w 12 ∂w 1 − w × rot w d s = g d s − ds+ 2 gradp d s . ρ ∂t 2 1 1 1 I

II

III

IV

(6.25)

V

Az I integrál zérus, miután a w relatív sebességtér stacionárius. A III integrál is zérus, mert 1 és 2 pontok lehetnek azonos relatív áramvonalon. Hamarosan látni fogjuk, hogy ha nem iUDPYRQDORQLQWHJUiOXQNGHDYHQWLOiWRUQ\XJYyN|]HJEOV]tYD,,,WDJNLHVLN$]9LQWHgrált ρ=áll. következtében − S − S ρ alakra hozhatjuk. A IV integrál kifejtése némi megfontolást igényel. Miután a koordináta-rendszerünk forog, DFHQWULIXJiOLVHUWpUUHONHOOV]iPROQXQN(]OpQ\HJHVHQPHJKDODGMDD)|OGQHKp]VpJLHUWerét, ezért ez utóbbit elhanyagoljuk. Tudjuk továbbá, hogy ha forgó rendszerben egy tömeg elmozdul, arra a Coriolis-HUWpUKDWDPHO\D J

&RU

= Z×ω

(6.26)

|VV]HIJJpVVHO tUKDWy IHO )LJ\HOHPEH YpYH KRJ\ D FHQWULIXJiOLV HUWpU SRWHQFLiORV J = − JUDG8 F továbbá 8 F = − F

U ω , a IV integrál az alábbi alakra hozható:

U ω − U ω + Z × ω GV = J G V I I ,

(6.27)

ahol ω a koordináta-rendszer forgási szögsebessége, ami megegyezik a járókerék szögseEHVVpJpYHO$ |VV]HIJJpVEOOiWKDWyKRJ\D&RULROLV-HUWpUYRQDOPHQWLLQWHJUiOMD zérus, ha áramvonalon integrálunk: Z GV. 69

Tételezzük föl, hogy nem áramvonalon integrálunk. Ebben az esetben a (6.26) összefüggés ,,, LQWHJUiOMD QHP ]pUXV pUWpN 7pWHOH]]N I|O WRYiEEi KRJ\ D] DEV]RO~W VHEHVVpJWpU örYpQ\PHQWHViUDPOiVEyOSOQ\XJYyWpUEO HUHGWHKiWD7KRPVRQ-tétel (4.35) értelmében az abszolút sebességtér örvénymentes is marad. Miután az abszolút, relatív és szállító sebességekre fennáll:

Y = Z + X,

URWY =

esetén írható:

URWZ = − URWX . Az

X

szállítósebesVpJ D VXJiUUD PHUOHJHV pV DEV]RO~W pUWpNH X = U ω alakban írható fel, ezért rotu a (3.8) összefüggés alapján ω -YDOHJ\HQO Mindezt beírva a III integrálba

I

I

1

I

6

− Z × URW Z G V = − Z × − ω G V = Z × ω G V

adódik, azaz a Coriolis-HUWpUYRQDOPHQWLLQWHJUiOMiYDOPHJHJ\H]DODNUDMXWXQNDPLNLHMWL azt. A fentieket összefoglalva:

−

ha a relatív sebesség forgó koordináta-rendszerben nem zérus, akkor a centrifugális ertér mellett a Coriolis-HUWpULVILJ\HOHPEHYHHQG

−

ha áramvonalon integrálunk akkor a Coriolis-HUWpUYRQDOLQWHJUiOMD]pUXV

−

ha nem tudunk áramvonalon integrálni, de az abszolút áramlás örvénymentes áramlási WpUEO HUHG DNNRU D &RULROLV-HUWHUHW WDUWDOPD]y WDJ D %HUQRXOOL-egyenlet III integráljával együtt kiesik.

Most térjünk vissza az eredeti feladathoz, és írjuk fel a Bernoulli-egyenletet az 1 és 2 pont között! Z

+

Z S U ω S U ω − = + − ρ ρ

(6.28)

Miután Z = Y − X ⇒ Z = Y + X − X Y Fenti átalakítást figyelembe véve (6.28) összefüggés felírható mint: Y

+

X

− Y X −

U ω

−

Y

−

X

+ Y X +

70

U ω

+

S − S = ρ

(6.29)

Mivel X = U ω DIHQWLHJ\HQOHWHJ\V]HUVtWKHWPDMGD]|VV]Q\RPiVQ|YHNHGpVD]DOiEEL PyGRQIHMH]KHWNL

∆S | = S | − S | = S +

2

X 7

ρ ρ Y − S + Y =

= ρ Y X − Y

Tekintettel arra, hogy Y X = Y X X , ahol Y X D Y vektor kerületi sebesség irányú vetülete. Ezzel az Euler-turbinaegyenlet ventilátorokra, szivattyúkra is érvényes alakja: ∆S | LG = ρ Y X X − Y X X

(6.30)

Az Euler-WXUELQDHJ\HQOHWQHPFVDNUDGLiOLVGHD[LiOLViW|POpViUDPOiVWHFKQLNDLJpSHNUHLV érvényes. Tekintettel arra, hogy a súrlódásmentességet feltételeztük, a létesített össznyomás-növekedést –KRJ\PHJNO|QE|]WHVVNDV~UOyGiVRVHVHWWO– ideális össznyomás-növekedésnek szoktuk nevezni és ∆S | LG -sal jelöljük. +D D YHQWLOiWRU Q\XJYy WpUEO V]tY D 7KRPVRQ-tétel értelmében Y X = , tehát írható: ∆S | LG = ρ Y X X . Látható, hogy az áramlástani gépek a közeg perdületének (a kerület iráQ\~VHEHVVpJ|VV]HWHYpVDVXJiUV]RU]DWD PHJYiOWR]WDWiViYDOYHQWLOiWRUV]LYDWW\~HVHWpQ növelésével, turbina esetén csökkentésével) adnak át energiát az áramló közegnek, vagy nyernek energiát abból.

71

7. A felületi feszültség $] IHMH]HWEHQ PHJLVPHUWN D IRO\DGpNPROHNXOiN N|]|WW D N|]WN OpY WiYROViJ IJJYpQ\pEHQIHOOpSWDV]tWy-YDJ\YRQ]yHUW&VHSSIRO\yVKDOPD]iOODSRW~N|]HJHNQpODPROHkuláNN|]HOYDQQDNHJ\PiVKR]H]pUWDYRQ]yHULWWDJi]RNNDOHOOHQWpWEHQ V]HUHSHWMiWV]LN$PtJDIRO\DGpNEHOVHMpEHQOpYPROHNXOiNUDPLQGHQROGDOUyOKDWQDNDV]RPV]pGRV moleNXOiN DGGLJ D KDWiUROyIHOOHWHQ OpY PROHNXOiNQiO D V]RPV]pG PROHNXOiN KDWiVD Niegyensúlyozatlan. Ezért a cseppfolyós halmazállapotú közegek felülete rugalmas hártyaként viVHONHGLNDNLHJ\HQV~O\R]DWODQPROHNXOiULVHUNDOHKHWOHJNLVHEEUHÄDNDUják” öszV]HK~]QL D IHOOHWHW (]pUW WDUWMD PHJ D Yt] IHOV]tQH SO D EH]VtUR]RWW WW H]pUt szaladgálhatnak rovarok a víz felszínén. Tekintsük a 7.1. ábrát ahol egy huzalból készült keretet látunk, amelynek egyik oldala elmozdítható. Mártsuk pl. szappanos vízbe a keretet! A kialakuOyKiUW\DNpWROGDOiQNHOHWNH]IHOOHWLIHV]OWVpJ csökkenteni akarja a hártya QDJ\ViJiW$]HOPR]GXOy/KRVV]~ViJ~KiUW\iWROGDOW)HUWDUWMDHJ\HQV~Oy7.1. ábra

ban, azaz írható: ) = / & , ahol C [N/m] az egységnyi hosszra jutó, felüle-

WLIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHUDPLWDIHOOHWLIHV]OWVpJiOODQGyMiQDNQevezünk. Ez az iOODQGyDIRO\DGpNpVDKDWiUIHOOHWHQD]]DOpULQWNH]V]LOiUGWHVWYDJ\N|]HJWXODMGRQViJDiWyOIJJ/HYHJYHOpULQWNH]Yt]HVHWpQ& = > 1 P@. Tekintsük egy folyadékfelszín 7.2. ábrán látható elemét. A felszín P pontjában a görbületet két, egymásra PHUOHJHV metszetben megadott R1 és R2 görbületi sugarakkal határozhatjuk

meg.

A

felszínelem

GV = 5 Gα

és

GV = 5 Gα hosszúságú oldalain felületi feszültség ébred, DPHO\EOV]iUPD]yHUNQHNOG7.2. ábra) van az elemi méUHW IHOV]tQUH PHUOHJHV NRPSRQHQVH 0LXWiQ D IHOV]tn HJ\HQV~O\EDQYDQH]WD]HUWDKiUW\DNpWROGDOiQOpYQ\R7.2. ábra

PiVNO|QEVpJpEOV]iUPD]yHUHJ\HQV~O\R]]DNL

S − S GV GV = & GV Gα + & GV Gα .

(7.1)

$]HOHPLV]|JHNHWDPHJIHOHOGVpV5pUWpNHNNHONLIHMH]YHEHKHO\HWWHVtWpVpVHJ\V]HUVítés után adódik:

∆S = S − S = &

5

+

5

(7.2)

Ha a felület hártya, akkor a (7.2) összefüggés jobb oldalán egy kettes szorzó jelenik meg, hiszen két felületen lép fel a felületi feszültség. Ha a felület gömb alakú 5 = 5 = 5 . Ezért gömb alakú folyadékcsepp belsejében a nyomás ∆S = & 5 ill. buborékban ∆S = & 5 összefüggéssel számolható. Háromféle folyadék (pl. leves, zstUFVHSS pV OHYHJ pULQWNH]pVpW Putatja a 7.3. ábra$NO|QE|]IRO\DGpNRNDWHOYiODV]WyIHOOHWHNHQIeOOHWL IHV]OWVpJHN pEUHGQHN DPHO\QHN iOODQGyL D] pULQWNH] IRO\Ddékok sajátosságaitól függenek. Vegyünk fel a három folyadék talál7.3. ábra

kozási vonalában egy D] iEUiUD PHUOHJHV GV KRVV]~ViJ~ YRQDOHOHPHWDPHO\Q\XJDORPEDQYDQWHKiWDUHiKDWyHUNHJ\HQV~O\EDQ

vannak (a vektorháromszög záródik). Ha pl. & > & + & , akkor nem állhat fenn egyensúly, az 1 folyadék a 2 és 3 folyadék határolófelületén szétterjed (mint pl. az ásványolaj a víz felszínén). Ha a szilárd fal és két folyadék esetét vizsgáljuk, akkor a 7.4. ábrán látható viszonyokat tapasztaljuk. Ekkor vízszintes irányban az egyensúly feltétele: 7.4. ábra

& GV = & GV + & FRVα GV .

(7.3)

A C13 IJJOHJHV NRPSRQHQVpW D V]LOiUG IDO pV D IRO\DGpN N|]|WW IHOOpS IJJOHJHV HU egyensúlyozza ki. +DDIRO\DGpNOHYHJD]D]HJ\V]LOiUGIHOOHWHQOpYFVHSSHVHWpWYL]VJiOMXN D & heO\pEHDIRO\DGpNpVDV]LOiUGDQ\DJN|]|WWIHOOpSDIHOOHWLIHV]OWVpJKH]KDVRQOyDQKDWy adhézió lép. Fejezzük ki cosα –WD HJ\HQOHWEOFRVα = & − & & . Ha & > & ⇒ α < ° , azaz a csepp alakja hasonló lesz a 7.4. ábrán láthatóhoz (pl vízFVHSS HJ\ ID ODSRQ (OOHQNH] HVHWEHQ α > ° (pl. a higanycsepp a padlón). Ha & > & + & , a folyadék szétterjed a felületen: pl. a petróleum „kimászik” az üvegEOKDQHP]iUMXNEHJRQGRVDQ

73

Vékony csövekben (kapillárisokban) a felületi feszültség a folyadékoszlop felemelkedését vagy lesüllyedését okozhatja. Tekintsük a 7.5. ábrát$]MHOIolyadékba mártott 2 jelUVXJDU~FVEHQOpYIRO\Ddék felszínét tekintsük egy R sugarú gömbsüvegnek. A p0 NOV Q\RPiV pV D] A SRQWEDQ OpY Q\RPiV D 7.5. ábra

összefüggés értelmében: S − S $ = & 5 = & FRVα U .

Az A SRQWEDQ DNNRU OHKHW D NOV Q\RPiVQiO NLVHEE Q\RPiV KD D IRO\DGpNRV]ORS S − S $ = ρ J P |VV]HIJJpVEl számolható m magasságra felemelkedik. A kapilláris felemelkedés a P=

& FRVα ρJ U

(7.4)

|VV]HIJJpVEO V]iPROKDWy hYHJ Yt] OHYHJ NRPELQiFLy HVHWpQ α < ° ezért felemelkedést ( P > WDSDV]WDOXQNYHJKLJDQ\OHYHJHVHWpQ α > ° , ezért a higanyszál a felületi feszültség hatására lesüllyed ( P > ). Ez a felemelkedés ill. lesüllyedés pl. a folyadékoszlop kitérésen alapuló nyomásmérésnél okozhat hibát. Itt is megjegyezzük, hogy a C23DIHOOHWLIHV]OWVpJKH]KDVRQOyVDMiWRVViJRNNDOEtUyDGKp]LyVHU

74

8. Az impulzustétel és alkalmazása 8.1. Az impulzustétel (EEHQDIHMH]HWEHQDIHMH]HWKH]KDVRQOyDQDIRO\DGpNPR]JiVpVDIRO\DGpNUDKDWyHUN közötti kapcsolatot vizsgáljuk, kikötve a súrlódásmentességet. Ellentétben a 4. fejezettel, ahol differenciálegyenlet adódott, itt a mozgásegyenlet integrál alakját határozzuk meg. Ismét Newton II axiómájából indulunk ki, amely szerint a tömeg mozgásmennyiségének LGV]HULQWLYiOWR]iVDHJ\HQODW|PHJUHKDWyHUNNHO(J\IRO\DGpNUpV]UHNpWIDMWDHU hatKDWDW|PHJUHKDWyWpUHUVVpJpVDIHOOHWHQKDWyHU Ez utóbbinak súrlódásmentes HVHWEHQFVDNIHOOHWUHPHUOHJHVNRPSRQHQVHYDQDQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUËUMXNIHOLsPpWDPR]JiVPHQQ\LVpJLGEHQLYiOWR]iVpVDIRO\DGpNUpV]UHKDWyHUNNDSFVRODWiWNLIHMH] egyenletet: G GW

I

ρ Y G9 =

9 W

I

ρ J G9 −

9 W

I

S G$

$W

(8.1)

,

ahol V(t) a folyadék gondolatban elkülönített, az A(t) felülettel határolt részének térfogata (ld. 8.1. ábra). 8J\DQHEEO D] HJ\HQOHWEO LQGXOWXQN NL D] (XOHUegyenlet levezetésénél, ld. (4.17) összefüggés.) A folyadékrész ∆WLGDODWWRGpbbúszik, és az A(t+∆t) felülettel jellemzett helyre kerül, miközben mozgás8.1. ábra

menQ\LVpJH HJ\UpV]W D VHEHVVpJWpU LGIJJpVH PLDWW

változhat meg (instacionárius áramlás esetén, ld. 4.1. fejezet), másrészt azért, mert a folyadékrész odébbúV]YD RO\DQ KHO\UH NHUO DKRO D VHEHVVpJ HOWpU )HMH]]N NL D |VV]efüggés bal oldalát a 8.1. ábra figyelembevételével! G GW

I

∆W → ∆W

ρ Y G9 = OLP

9 W

1ρ Y6 I ! 9 W + ∆W

W + ∆W

G9 −

I1

9 W

ρY

" 6 G9 ## $ W

(8.2)

$MREEROGDOL]iUyMHOD]HOPR]GXOWIRO\DGpNUpV]pVDNLLQGXOyKHO\]HWEHQOpYIRO\DGpNUpV] mozgásmennyiségének különbségét tartalmazza. Vonjuk le és adjuk hozzá a zárójelben léYWDJRNKR]D]WDPR]JiVPHQQ\LVpJHWDPHOO\HOD]$W∆t) felülettel határolt térrészben léYIRO\DGpNW|PHJWSLOODQDWEDQUHQGHONH]LN

d dt

I

1 ρ v 6 dV − I 1 ρ v 6 I ! I 1ρ v6 dV − I 1ρ v6 dV"##$

1 ∆t → 0 ∆t

ρ v dV = lim

V( t )

+

t + ∆t

V ( t + ∆t )

t

V ( t + ∆t )

V ( t + ∆t )

t

dV + (8.3)

t

V( t )

$MREEROGDOLNLIHMH]pVHOVNpWLQtegráljának integrálási tartománya megegyezik, ezért írható: ∆W → ∆W OLP

I 1ρ Y 6 ! 9 W + ∆W

W + ∆W

G9 −

" 1I ρ Y 6 G9 ## = OLP ∆W $

9 W + ∆W

W

∆W →

∂ ∂W

I

ρ Y W G9 ∆W .

9 W + ∆W

∆t-YHOYDOyHJ\V]HUVtWpVXWiQNpSH]YHD∆W → határátmenetet a ∆W → ∆W OLP

1ρ Y6 I ! 9 W + ∆W

W + ∆W

" 1I ρ Y 6 G9 ## = ∂∂W I ρ Y G9 $

G9 −

9 W + ∆W

W

(8.4)

9

összefüggést kapjuk, amely megengedi, hogy a ρ Y vektortérnek szakadása legyen a V térfogaton belül. $ |VV]HIJJpV MREE ROGDOiQ OpY KDUPDGLN pV QHJ\HGLN LQWHJUiO NO|QEVpJpQHN V]iPtWiVD PHJJRQGROiVW LJpQ\HO KLV]HQ D] LQWHJUiOiVL WDUWRPiQ\ NO|QE|] 6]HUHQFVpV NöUOPpQ\KRJ\XJ\DQDKKR]DWLGSRQWKR]WDUWR]yPHQQ\LVpJHNHWWDUWDOPD]QDND]LQWHJUálok. A két integrál különbsége úgy adódik, hogy a 8.1. ábránMHOOHOMHO|OWWpUUpV]EHQOpY mozgásPHQQ\LVpJEOOHNHOOYRQQLD–MHOOHOMHO|OWEHQOpYWKLV]HQDN|]|VUpV]NLHMWLHJymást. Vegyünk fel a G$ felületelem vektorral jellemzett felületelemet, amely ∆WLGDODWWD Y sebesség irányában Y ∆W távolságot mozdul el (és az A(t+∆t) felület részévé válik). Az elmozduló elemi felület a 8.1. ábrán vonalkázott Y ∆W G$ térfogatelemet határoz meg, amelyEHQOpYHOHPLW|PHJ mozgásmennyisége: Y ρ Y ∆W G $ . Ha Y és G$ tompaszöget zárnak be ( – jellel jelölt térrészben), akkor a mozgásmennyiség a skalárszorzat sajátosságai következtéEHQQHJDWtYOHV](]WD]LJHQNHGYH]N|UOPpQ\WNLKDV]QiOYDtUKDWy ∆W → ∆W OLP

I 1ρ Y 6 ! 9 W + ∆W

W

G9 −

" 1I ρ Y 6 G9 ## = OLP ∆W I Y ρ Y ∆W G $ = I Y ρ 1 Y G $ 6 $

9 W

W

∆W →

$

(8.5)

$

A jobb oldal utolsó integráljáEDQ HJ\ ]iUyMHO MHOHQW PHJ DPHOO\HO HJ\pUWHOPYp WHWWN hogy a mozgásmennyiség-megváltozás vektor a sebesség vektorral párhuzamos.

76

A (8.1), (8.3), (8.4) és (8.5) összefüggéseket figyelembe véve felírható az impulzustétel: ∂ ∂W

I1

I

6

1

6

I

I

ρ Y G9 + Y ρ Y G $ = ρ J G9 − S G $

9

$

9

$

(8.6)

.

Az impulzustétel egy PR]JiVHJ\HQOHW DPHO\ D IRO\DGpNUD KDWy HUN pV D IRO\DGpN mozgásállapota között teremt kapcsolatot. Amíg az Euler-egyenlet differenciálegyenlet az imSXO]XVWpWHOLQWHJUiORNDWWDUWDOPD]DPHO\HNNLV]iPtWiVDXWiQHUYHNWRURNDGyGQDN$] impulzustétel alkalmazásánál egy, a koordinátarendszerünkhöz képest rögzített, zárt A felületet, D]HOOHQU]IHOOHWHW kell felvenni (amely a V térfogatot körülveszi), és ki kell száPROQLD]LQWHJUiORNDW$]LPSXO]XVWpWHOLJHQQDJ\HOQ\HKRJ\MREEiUDIHOOHWLLQWHJUiORNDW tartalmaz. A két térfogati integrál közül a bal oldali – amelynek számítása általában megleKHWVHQERQ\ROXOW–]pUXVpUWpNKDD]iUDPOiVVWDFLRQiULXV(]pUWD]LPSXO]XVWpWHOWiOWDOáEDQVWDFLRQiULXVYDJ\NYi]LVWDFLRQiULXVLGEHQiOODQGyLGEHOLiWODJN|Ul ingadozó) áramOiVUDIRJMXNDONDOPD]QL$MREEROGDOLWpUIRJDWLLQWHJUiOD]HOOHQU]IHOOHWEHQOpYIRO\aGpNUDKDWyWpUHUWSOV~O\HUW IHMH]LNLDPHO\QHNV]iPtWiVDiOWDOiEDQYLV]RQ\ODJHJ\V]eU Helyezzünk egy szilárd testet áramló közegbe (ld. 8.2. ábra)! 9HJ\N IHO D] HOOHQU] IHOOHWHW ~J\ KRJ\ D] $b ÄEHOV´ felülettel rekesszük ki a szilárd testet a V térfogatból, ami így az Ak és Ab közötti térfogat. Legyen az áramlás stacionárius. Írjuk fel az impulzustételt! ∂ ∂W

8.2. ábra

I1

6

ρ Y G9 +

9

I

I

= ρ J G9 − 9

1

6

Yρ Y G$ +

$N

I

$N

S G$ −

I I

1

6

Yρ Y G$ =

$E

S G$

(8.7)

$E

$]HOVLQWegrál zérus, mert az áramlás megállapodásunk szerint stacionárius. A harmadik LQWHJUiOXJ\DQFVDN]pUXVKLV]HQDV]LOiUGWHVWIHOOHWpQpVtJ\D]HOOHQU]IHOOHWHQNHUHVztül nincsen átáramlás (Y⊥G$ $MREEROGDOLXWROVyLQWHJUiODEHOVIHOOHWHQDIRO\DGpkra KDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUW|VV]HJ]L%HOiWKDWyKRJ\D]LQWHJUiOiVHUHGPpQ\HNpQWDGóGyHUPHJHJ\H]QDJ\ViJ~pVLUiQ\~GHHOOHQWpWHVLUiQ\tWiV~PLQWDIRO\DGpNUyODV]LOiUG WHVWUHKDWyHUDPLW 5 vektorral jelölünk. Ha tehát stacionárius áramlás esetén a felvett elOHQU]IHOOHWEHQV]LOiUGWHVWYDQDNNRUD |VV]HIJJpVD]DOiEELDODNEDQtUKDWyIHO

I

$

1

6

I

I

Y ρ Y G $ = ρ J G9 − S G $ − 5 . 9

(8.8)

$

Azért szerepel az 5 az impulzustétel fenti alakjában, mert a mérnöki gyakorlatban legtöbbV]|UDV]LOiUGWHVWHNUHKDWyHUNUHYDJ\XQNkíváncsiak. Az 5 YHNWRUHOWWLQHJDWtYHOMHOUH 77

D]pUWYDQV]NVpJPHUWD]LPSXO]XVWpWHOEHQDV]LOiUGWHVWUODIRO\DGpNUDKDWyHUWNHOOV]erepeltetni. (Az 5 alkalmazására természetesen csak akkor kerül sor, ha a szilárd test az elOHQU]IHOOHWHQEHOOYDQpVQHPUHNHV]WMNNLD]HOOHQU]IHOOHWHJ\HOHPpYHO +DYaOyViJRVV~UOyGiVRVN|]HJHNUHDONDOPD]]XND]LPSXO]XVWpWHOWpVD]HOOHQU]IHOOHWHQDIoO\DGpNUDKDWyV~UOyGiVEyOV]iUPD]yHUNHWPHJWXGMXNKDWiUR]QLDNNRUH]HNHUHGMpW– 6 vektort – az impulzustétel (8.6) vagy (8.8) összefüggéssel megadott kifejezésének jobb oldalához kell adnunk. Végül felírható az impulzustétel legáltalánosabb alakja, amelynek jobb oldalán az elOHQU] IHOOHWEHQ OpY IRO\DGpNUD KDWy HUNHW |VV]HJH]]N pV HJ\HQOYp tesszük ugyanezen folyadék mozgásmennyiségének az egyenlet bal oldalán kifejezett egységQ\LLGUHHVPHJYiOWR]iViYDO ∂ ∂W

I1

9

6

I

1

6

I

I

ρ Y G9 + Y ρ Y G $ = ρ J G9 − S G $ − 5 + 6 $

9

(8.9)

$

8.2. Az impulzusnyomatéki tétel $IHMH]HWEHQHJ\]iUW$IHOOHWEHQOpYIRO\DGpNUDtUWXNIHOD]HUNpVDPR]JiVPHQQ\iség-megYiOWR]iVHJ\HQV~O\iW+DVRQOyPyGRQIHOtUKDWyH]HQHUNDWpUDGRWW3SRQWMiUDYonatkozó nyomatéka valamint a mozgásmennyiség-megváltozás-vektorok nyomatékának HJ\HQOVpJpWNLIHMH]impulzusnyomatéki tétel: ∂ ∂W

I

9

1 6

I

1

6

I

I

U × ρ Y G9 + U × Y ρ Y G $ = U × ρ J G9 − U × S G $ − 0 + 0 V $

9

(8.10)

$

ahol U a tér kijelölt P pontjából a dV térfogatelemhez ill. G$ vektor talppontjához húzott vektor, 0 DIRO\DGpNUyOD]HOOHQU]IHOOHWEHQOpYV]LOiUGWHVWUHiWDGyGyQ\RPDWpN 0 V SHGLJD]HOOHQU]IHOOHWHQKDWyV~UOyGyHUNQ\RPDWpND

8.3. Az impulzustétel néhány alkalmazása Mozgó sík lap Tekintsük a 8.3. ábrát, amelyen egy sík lap látható, amely

u

áll, vagy u sebességgel jobbra mozog. A sík lap egy vízVXJDUDW WpUtW HO DPHO\QHN WHQJHO\H PHUOHJHV DODSUD]avartalan sebessége v, keresztmetszete pedig A0LO\HQHU hat az álló és a mozgó lapra?

8.3. ábra

78

$IHODGDWPHJROGiVDD]LPSXO]XVWpWHOQpONOQHPOHQQHN|QQ\NLNHOOHQHV]iPROQLD]HlWpUO Yt]VXJiU iUDPNpSpW PDMG DQQDN LVPHUHWpEHQ D VtN ODS IHOOHWpQ NHOHWNH] pV D] iUDPYRQDODN J|UEOHWH DODSMiQ U|JW|Q IHOLVPHUKHW W~OQ\RPiVW D]D] D N|rnyezetinél naJ\REEQ\RPiVW(QQHNLQWHJUiOMDDGQiDNHUHVHWWHUW$]LPSXO]XVWpWHOOHOD]iUDPOiVUpVzOHWHLQHNLVPHUHWHQpONOSXV]WiQDIL]LNDLPHQQ\LVpJHNHOOHQU]IHOOHWHQW|UWpQYL]VJiOatával megválaszolható a kérdés. (OV]|U is vegyük fel az ellHQU]IHOOHWHW(QQpONpWWDQiFVRWFpOV]HUPHJIRJDGQL

−

KDV]LOiUGWHVWUHKDWyHUWNHUHVQNDWHVWHWYHJ\NEHOHD]HOOHQU]IHOOHWEHpV

−

DKROiUDPOiVYDQRWWD]HOOHQU]IHOOHWOHJ\HQPHUOHJHVD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHYDJ\ legyen azzal párhuzamos.

Esetünkben a fentiek szerint eljárva a 8.3. ábránOiWKDWyHOOHQU]IHOOHWDGyGLN Másodszor írjuk fel az impulzustételt (8.9.összefüggés) és állapítsuk meg, hogy mely tagjait kell az adott feladat megoldásánál figyelembe venni!

I1

6

I

1

6

I

I

∂ ρ v dV + v ρ v dA = ρ g dV − p dA − R + S ∂t V A V A I

II

III

IV

(8.11)

V VI

Az I integrál zérus, ha az áramlás stacionárius. Ha a lap áll, ez a feltétel fennáll, hiszen a Yt]VXJiULUiQ\DVHEHVVpJHLGEHQQHPYiOWR]LN+DYLV]RQWPR]RJDODSD]iUDPOiVD]iOOy rendszerben instDFLRQiULXVViYiOLNDWpUHJ\DGRWWSRQWMiEDQDPR]JyODSKHO\]HWpWOIJJD sebesség. Ha viszont a koordináta-UHQGV]HUQNHWpVD]HOOHQU]IHOOHWHW DPR]JyODSKR] rögzítjük, akkor az áramlás stacionáriussá válik, azaz az I integrál értéke ebben az esetben LV]pUXVViWHKHW $,,LQWHJUiOQHPOHKHWHOHYH]pUXVKLV]HQIRO\DGpNOpSiWD]HOOHQU]IHOOHWHQ $,,,LQWHJUiOpUWpNHHVHWQNEHQ]pUXVPHUWDYt]VXJiUUyODIJJOHJHVODSUDKDWyHUWDYtzVXJiUV~O\DQHPEHIRO\iVROMD$Yt]UHKDWyV~O\HUPLDWt változik a körben sugárirányban leOpSYt]VHEHVVpJHH]WD]RQEDQHOKDQ\DJROMXN(]pUWtUWXQNDOXOUDpVI|OOUHG, -t. $,9LQWHJUiOD]HOOHQU]IHOOHWHQKDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUWIHMH]LNL$PLQWH]WNorábban láttuk, a nyomás a párhuzamos, egyenes áUDPYRQDODNUDPHUOHJHVHQQHPYiOWR]LN D]D]HJ\IRO\DGpNVXJiUEDQiOODQGypVPHJHJ\H]LNDNOVQ\RPiVVDO(PLDWWD8.3. ábrán OiWKDWy HOOHQU] IHOOHWHQ D Q\RPiV PLQGHQWW D]RQRV WHKiW D IHOOHWHQ KDWy Q\omásból V]iUPD]yHUNHUHGMH]pUXV Az V tag neP]pUXVKLV]HQYDQV]LOiUGWHVWD]HOOHQU]IHOOHWHQEHOO 79

A VI tag zérus, hiszen a súrlódást elhanyagoltuk. (Ez esetben ez az elhanyagolás nem okoz hibát.) $]HO]PHJJRQGROiVRNNDOD HJ\HQOHWMHOHQWVHQHJ\V]HUV|G|WW

I

$

1

6

Yρ Y G$ = −5 .

(8.12)

Harmadszor, határozzuk meg az integrálok (esetünkben egy integrál) értékeit álló lap eseWpQ$]HJ\V]HUVpJNHGYppUWDWHOMHV]iUW$HOOHQU]IHOOHWUHYRQDWNR]yLQWHJUiOWW|EEIelületrészen számolt integrál összegeként határozzuk meg. A (8.12) összefüggés bal oldalán OpYLQWHJUiOLQWHJUDQGXV]D]pUXVDKROQLQFVIRO\DGpNiWOpSpVDIHOOHWHQYDJ\D]pUWPHUW Y = , vagy mert Y⊥G$ ), ezért esetünkben csak azokon a felületrészeken kell integrálni, DKRON|]HJOpSiWD]HOOHQU]IHOOHWHQD]$1 és A2 keresztmetszeten. E keresztmetszetekben a sebesség állandó: Y ill. Y pVPLYHOD]HOOHQU]IHOOHWHWD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHPeUOHJHVHQYHWWNIHO Y G$ (OV]|UWHNLQWVND]$1 keresztmetszetet, ahol a közeg belép a felületbe. Miután a sebesség és a felületelem-vektor irányítása ellentétes ρ Y G $ < . Zérusnál kisebb számmal szorozva a vYHNWRUWHJ\D]]DOPHJHJ\H]LUiQ\~GHHOOHQWpWHVLUáQ\tWiV~YHNWRUWNDSXQN0LXWiQD]LQWHJUDQGXV]EDQV]HUHSOVUVpJpVVHEHVVpJD]$1 felület mentén állandó, írható: , =

I

$

1

6

4

9

Y ρ Y G $ = ρ Y $ − Y Y ,

ahol , a mozgásmennyiség-megváltozás (impulzusáram) vektor. Határozzuk meg az , pUWpNpW D KHQJHUSDOiVW DODN~ NLOpSNHUHV]WPHWV]HW Gϑ középponti szöghöz tartozó dA2 IHOOHWHOHPpQ $] HOOHQU] IHOOHWEO YDOy NLOpSpVQpO Y G $ > , H]pUWD EDOROGDOiQOpYLQWHJUiOLQWHgrandusza a Y YHNWRUUDOPHJHJ\H]LUiQ\~pV irányítású vektor: G , = ρ Y G$

Y Y

Arra az érdekes eredményre jutottunk, hogy az , mozgásmennyiség-vektorok (amelyekkel a (8.11) összefüggés II integráljának egyes felület szakaszokra vonatkozó értékeit jelöltük)

−

PLQGLJSiUKX]DPRVDNDVHEHVVpJYHNWRUUDOWHKiWKDD]HOOHQU]IHOOHWHWDVHEHVVpJUH PHUOHJHVHQYHWWNIHODNNRUD]HOOHQU]IHOOHWUHPHUOHJHVHN

−

NLIHOHPXWDWQDNDIHOOHWEOpV

80

−

DEV]RO~W pUWpNN D NHUHV]WPHWV]HW PHQWpQ iOODQGy VHEHVVpJ pV VUVpJ HVHWpQ , = ρ Y $ .

Az , pV G , vektorokat ábrázoltuk a 8.3. ábrában. Negyedszer vegyünk fel egy koordináta-rendszert és koordináta irányonként írjuk fel az HUN HJ\HQV~O\iW 6]LPPHWULD RNRNEyO PHJ D]pUW LV PHUW D ODSRQ FVDN DUUD PHUOHJHV Q\RPiVEyO V]iUPD]y HU KDW FVDN [ WHQJHO\ LUiQ\~ HUYHO V]iPROKDWXQN H]pUW HEEHQ D] HVHWEHQFVDND][LUiQ\~HJ\HQV~O\WtUMXNIHO)LJ\HOHPEHYpYHKRJ\DYHNWRUPHJHJ\H] vagy ellentétes irányítású az x tengely pozitív irányításával, az egyes vektorok (esetünkben az , YHNWRURN DEV]RO~W pUWpNHLW YDJ\ SR]LWtY YDJ\ QHJDWtY HOMHOOHO NHOO EHtUQL D HJ\HQOHWPHJIHOHOROGDOiUD x irányú egyensúly: − , = − 5 [ D]D] − ρ Y $ = − 5 [ = − 5 D]D]D]iOOyODSUDKDWyHUD] 5 = ρ Y $ NpSOHWEO számolható. (Fenti összefüggésekben a vektorjel nélküli mennyiségek az abszolút értéket jelentik.) +RJ\DQKDWiUR]]XNPHJDODSUDKDWyHUWDNNRUKDDODS X sebességgel x irányban mozog? A mozgó laphoz rögzített koordináta-UHQGV]HUpVHOOHQU]IHOOHWHVetén ugyanígy kell eljárni, mint álló lapnál, csak a Y sebesség helyett a Z = Y − X relatív sebességgel kell számolni:

1

5 = ρ Y − X

6

$.

(Ha a lap a sugárral szemben mozogna, a relatív sebesség Y + X lenne.) 9DQQDN KDVRQOy IHODGDWRN DKRO D NLOpS IRO\DGpNVXJiUUDO LV V]iPROQL NHOO Hogyan határozható meg v1 és A1 ismeretében v2 és A2 ? Írjuk fel a Bernoulli-HJ\HQOHWiOODQGyVUVpJ kö]HJ VWDFLRQiULXV iUDPOiViUD YRQDWNR]y iUDPYRQDORQ W|UWpQ LQWHJUiOiV HVHWpQ pUYpQ\HV (4.31) alakját az 1 és 2 keresztmetszet között, elhanyagolva a fRO\DGpNUDKDWyV~O\HUW Y

+

S Y S = + ρ ρ

0LXWiQDYt]VXJiUEDQDQ\RPiVDNOVQ\RPiVVDOHJ\HQOIHQQiOO S = S , tehát Y = Y . A folytonosság tételét figyelembe véve pedig $ = $ . Ugyanez vonatkozik mozgó lapra is de itt a relatív sebességekre.

81

A Borda-féle kifolyónyílás A 8.4.a. ábrán egy tartály látható, amelyben víz van. A tartályon egy speciális u.n. BordaIpOH NLIRO\yQ\tOiVW NpSH]QN NL DPHO\ D NL|PONHUHV]WPHWV]HW SHUHPpKH] U|J]tWHWW D WDrWiO\EDEHQ\~OyFVGDUDE+DQLQFVLO\HQFVDNNRUDNL|POQ\tOiVN|]HOpEHQIRNR]DWRVDQ felgyorVXODN|]HJpVDWDUWiO\IDOiQDNL|POQ\tOiVN|]HOpEHQFV|NNHQD S − S túlnyomás (ld. 8.4.b. ábra MMHOQ\RPiVPHJRV]OiV $%RUGD-IpOHNL|POQ\tOiVDONDOPD]iVDHVHWpQD NL|POQ\tOiVN|]HOpEHQDWDUWiO\IDOiQDQ\RPiVPHJHJ\H]LND]DGRWWPDJDVViJEDQDtartály faláQDNPiVSRQWMDLQOpYQ\RPiVVDOOGNMHOQ\RPiVPHJRV]OiV

p-p0

8.4. ábra Alkalmazva a Bernoulli-egyenlet (4.31) alakját az adódik, hogy a víz a H magasságkülönbség hatására Y = J+

(8.13)

VHEHVVpJJHOiUDPOLNNLDWDUWiO\EyO$NL|POYt]VXJiUDWDSasztalatok szerint nem tölti ki teljesen az A [m2@ NL|PONHUHV]WPHWV]HWHW +DWiUR]]XN PHJ D Yt]VXJiU |VV]HK~]yGiViUD MHOOHP] α = $6 $

(8.14)

ú.n. NRQWUDNFLyVWpQ\H] értékét a Borda-kifolyónyílás esetén, ahol AS a vízsugár keresztmetszete a kiömlés helyén. Alkalmazzuk az impulzustételt! Vegyük föl a 8.4.a. ábránOiWKDWyHOOHQU]IHOOHWHWDPLWD 8.4.c. ábránNO|QNLUDM]ROWXQN,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\D]HOOHQU]IHOOHWFpOV]HUIHOYétele – hasonlóan a Bernoulli-egyenlet integrálási határainak célirányos kijelöléséhez – a felDGDWRNVLNHUHVPHJROGiViWMHOHQWVHQEHIRO\iVROyLQWXLFLyWpVQpPLJ\DNRUODWRWLJpQ\OWevékenység.) Alkalmazzuk az impulzustétel (8.9) összefüggéssel megadott alakját:

I1

6

I

1

6

I

I

∂ ρ v dV + v ρ v dA = ρ g dV − p dA − R + S . ∂t V A V A I

II

III

82

IV

V VI

Az I integrál értéke esetünkben zérus, mert elhanyagolva a víz felszínének süllyedését az iUDPOiVVWDFLRQiULXV$,,,WDJJDOQHPNHOOIRJODONR]QLPHUWHOUHOiWKDWyKRJ\Yt]V]LQWHV LUiQ\EDQ tUMXN IHO D] HJ\HQV~O\L HJ\HQOHWHW H]pUW D IJJOHJHV V~O\HU DEEDQ QHP MiWV]LN szerepet. (OWpUHQ D] HO] DONDOPD]iVWyO a IV tag nem hagyható el, mert a nyomásból származó HUHGHUYiUKDWyDQQHP]pUXV$]HOOHQU]IHOOHWHQEHOOQLQFVV]LOiUGWHVWLOODV~UOyGiVW elKDQ\DJROWXNDYDOyViJEDQVHPMiWV]LNMHOHQWVV]HUHSHW H]pUWD]9pV9,WDJ]pUXV A nyomásból származyHUNHWNLIHMH],9LQWHJUiOWKDVRQOyPyGRQV]iPROMXNPLQWD] , vektorokat: a teljes AHOOHQU]IHOOHWUHKDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUWD]A felület egyes részein kiszámolt 3 Q\RPiVEyOV]iUPD]yHUYHNWRURN|VV]HJHNpQWtUMXNIHO$ 3 vektorok – miután −S G$ integrálása révén adódtak, és a G$ NLIHOHPXWDWDIHOOHWEO– befelé muWDWQDNDIHOOHWEHpVDIHOOHWUHPLQGLJPHUOHJHVHN$8.4.c. ábránDNL|POpVKHO\pQOpY HOOHQU]IHOOHWUpV]UHpVD]D]]DOÄV]HPEHQÓpYXJ\DQFVDNA nagyságú felületrészre vonatkozó nyomás integrálokat (3 pV 3 YHNWRURNDW WQWHWWNFVDNIHOPHUWD]HOOHQU]IHOüOHWW|EELUpV]pQOpYQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUNNLHJ\HQOtWLNHJ\PiVW(J\KHO\HQDNL|mOpVQpOOpSiWDYt]D]HOOHQU]IHOOHWHQH]pUWHJ\PR]JiVPHQQ\LVpJ-megváltozás-vektort ( , ) vetWQNIHODPLD]HO]HNV]HULQWNLIHOpPXWDWD]HOOHQU]IHOOHWEOpVSiUKX]DPRV az áramlási sebességgel. Vegyük fel a jobbra mutató x tengelyt, majd az egyes vektorok x-hez képesti irányítását figyelembe véve írjuk fel az impulzustételt: , = 3 − 3 . Az I helyébe ρ Y $ V -t, P helyébe S $ − W 3¶ KHO\pEH SHGLJ D IHOV]tQ DODWW + PpO\VpJEHQ OpY Q\RPiVW ILJ\HOHPEH YpYH

1S

6

1

6

+ ρ J + $ helyettesítve ρ Y $ V = S + ρ J + $ − S $ HJ\HQOHWDGyGLN(J\V]HUVí-

tés és a (8.13) összefüggés behelyettesítése után ρ J + $ V = ρ J + $ DGyGLN DPLEO D NRQWUDNFLyV WpQ\H] α = $ V $ = , azaz a vízsugár keresztmetszete fele a Borda-féle NLIRO\yNHUHV]WPHWV]HWQHN,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\DNRQWUDNFLyVWpQ\H]SOHJ\pOHVV]pO nyílás esetén a α ≅ 0LQpOMREEDQOHNHUHNtWMNDNL|POQ\tOiVWDQQiOMREEDQPHJN|]elítjük az α = értéket.

83

A Pelton-turbina Tekintsük a 8.5. ábrát, ahol egy Pelton-turbina vázlata látható. Az A1NHUHV]WPHWV]HWY1VHEHVVpJYt]sugár az u kerületi sebességgel forgó kanalakon változWDW LUiQ\W $ NDQDODN NLOpS pULQWMH D UDGLiOLV irányhoz képest zárjon be ϑ szöget. Vizsgáljuk meg, hogy melyik koordináta-rendszerben stacionárius az áramlás. Az álló koordináta-rendszerben nem, hiszen

8.5. ábra

a laSiWRN KHO\]HWpWO IJJHQ YiOWR]LN D] iUDPOiVL

WpU$]HJ\WWIRUJyUHQGV]HUEOQp]YHXJ\DQFVDNLQVWDFLRQiULXVKDlehet ezt fokozni, „még instacionáriusabb”) az áramlás. Ezért térjünk vissza az abszolút (álló) koordinátarendszerbe, ahol a lapátváltás periodikussága következtében az áramlás kvázistacionárius, D]D]D]iUDPOiVLVHEHVVpJHNpVD]HUNN|]pSpUWpNHNN|UOLQJDGR]QDN$NHUOHWLHUNö]pSpUWpNHN|]HOtWHQDKKR]DKHO\]HWKH]WDUWR]LNDPLNRUDYt]VXJDUDWHOWpUtWODSiWRWDIRrJiVWHQJHOO\HO|VV]HN|WHJ\HQHVpSSHQPHUOHJHVDYt]VXJiUUDOG8.5. ábra). +DWiUR]]XNPHJDWXUELQiUDKDWyNHUOHWLHUWpVDPD[LPiOis teljesítményhez tartozó u kerületi sebességet! 9HJ\QNI|OHJ\HOOHQU]IHOOHWHW6]LOiUGWHVWUHKDWyHUWNHUHVQNH]pUWD]HJpV]NHUeket körülvesszük a felülettel, ahol pedig víz lép át a felületen, ott a sebesség irányára mer legesen vesszük fel a]HOOHQU]IHOOHWHW7HNLQWVND |VV]HIJJpVW$],LQWHJUiO]érus, mert az áramlást stacionáriusnak tekintjük, a III ugyancsak, mert a víz súlya nem játV]LNV]HUHSHWDNHUOHWLHUEHQD,9LQWHJUiOLV]pUXVKLV]HQD]HOOHQU]IHOOHWHQDYt]VuJDUDNEDQLV DQ\RPiViOODQGyPHJHJ\H]LNDNOVQ\RPiVVDOD,9WDJ]pUXVPHUWD]HlOHQU]IHOületen a súrlódás nem játszik szerepet. Ezek szerint csak az , vektorokat kell felrajzolni (ld. 8.5. ábra) és keressük a turbinára ható 5 HUNHUOHWLLUiQ\ú komponensét. Írjuk föl az x (kerületi) irányban az impulzustételt: − , + , X = − 5 X ,

ahol

u

indexszel

jelöltük

a

kerületi

irányt.

, = ρ Y $ , X = ρ Y $ FRVβ , ahol β D Y és a kerületi irány által bezárt szög. Miután a folytonosság tételéEOρ Y $ = ρ Y $ írható:

1

6

5 X = ρ Y $ Y − Y X ,

(8.15)

ahol Y X = Y FRVβDNLOpSVHEHVVpJNHUOHWLUiQyú komponense. $ |VV]HIJJpV D] DOiEEL N|YHWNH]WHWpVUH YH]HW KD D Q\RPiVEyO V]iUPD]y HU pV D V~O\HU]pUXVDNNRUDV]LOiUGWHVWUHKDWyHUHJ\HQODN|]HJW|PHJiUDPiQDNρ Y $ ) és a

1

6

NHUHVHWWHUYHOSiUKX]DPRVVHEHVVpJNRPSRQHQVPHJYiOWR]iViQDN Y − Y X szorzatával. 84

A v2u értékét a 8.5. ábrán OiWKDWy D NLOpS Yt]VXJiUUD YRQDWNR]y VHEHVVpJL KiURPV]|JEO határozhatjuk meg. A Z UHODWtYVHEHVVpJKH]DPHO\QHNLUiQ\DSiUKX]DPRVDODSiWNLOpS pULQWMpYHOKR]]iDGYDD] X kerületi (szállító) sebességet megkapjuk a Y NLOpSDEV]RO~W sebességet. Ennek kerületi irányú komponense Y X = X − Z VLQϑ . Felírva gondolatban az együttforgó rendV]HUEHQDODSiWHOWWpVP|J|WWOpYSRQWRNN|]pD%HUQRXOOL-egyenletet az LQVWDFLRQiULXVWDJDV~O\HUpVDFHQWULIXJiOLVHUWpUHOKDQ\DJROiVDPHOOHWt Z = Z adódik, miután a nyomás mindenütt állandó. Belátható, hogy a beOpS UHODWtY VHEHVVpJ Z = Y − X . Mindezeket behelyettesítve a (8.15) összefüggésbe rendezés után adódik:

1

61

5 X = ρ Y $ Y − X + VLQϑ

6

(8.16)

$NHUOHWLHUPD[LPXPiWβ = ° -nál éri el. Vizsgáljuk meg, hogy milyen kerületi sebességnél maximális a Pelton turbina teljesítménye, amelyet az alábbi összefüggéssel fejezhetünk ki (ϑ = ° esetén):

1

6

3 = ρ Y $ Y − X X

.

.

(8.17)

.HUHVVNDWHOMHVtWPpQ\V]pOVpUWpNpWXIJJYpQ\pEHQD]D]NpSH]]N ∂3 ∂X -t és tegyük HJ\HQOYp]pUXVVDO

1

6

∂3 = ρ Y $ Y − X − X = , amLEO X = Y adódik a maximális teljesítményhez ∂X tartozó kerületi sebességre. Ezt az eredményt visszahelyettesítve (8.17) összefüggésbe 3PD[ = ρ Y $ Y

(8.18)

kifejezést kapjuk, azaz ebben az optimális esetben a Pelton-turbina a víz teljes mozgási energiáját hasznosítja. A s]iUQ\UiFVUDKDWyHU A 8.6. ábrán HJ\ IJJOHJHV LUiQ\EDQ IHOIHOp pV OHIHOp egymástól t osztás távolságra végtelen sokszor ismétOGV]iUQ\DNEyOiOOyV]iUQ\UiFVOiWKDWyDPHO\DUiFVUD PHUOHJHV[WHQJHOO\HOα szöget bezáró Y hozzááramlási sebességet eltéríti: a Y sebesség α szöget zár be D] [ WHQJHOO\HO $ IRO\WRQRVViJ WpWHOpEO N|YHWNH]LN 8.6. ábra

hogy Y [ = Y [ = Y [ . Határozzuk meg a szárnyrács egy

85

HOHPpQHN ODSUD PHUOHJHVHQ P hosszúságú szakaszáUD KDWy iUDPOiVL HUW ,VPpWHOWHQ D] impulzustételt hívjuk segítséJOHPHJOHKHWVHQERQ\ROXOWNpUGpVPHJYiODV]ROiViKR] 9HJ\QNIHOHJ\HOOHQU]IHOOHWHWDPHO\DNpUGpVHVV]iUQ\DWN|UOYHV]L(OOHQWpWHVHQD] HGGLJLHNNHODIHOOHWHWQHD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHPHUOHJHVHQYHJ\NIHOKDQHPD]\NRRrdinátával párhuzamosaQLOONpWHJ\PiVWyOWRV]WiVQ\LUDOpYiUDPYRQDOPHQWpQ$WRVzWiVDV]iUQ\DNWiYROViJiYDOHJ\HQO $]HOOHQU]IHOOHWODSUDPHUOHJHVPpUHWHP . Ismét a (8.11) összefüggésben megadott impulzustételt alkalmazzuk stacionárius, súrlódásmentes áramláVUD pV ILJ\HOHPEH YpYH KRJ\ D V~O\HUQHN QLQFVHQ V]HUHSH H]pUW D] HJ\HQOHW,,,,pV9,WDJMDNLHVLN5DM]ROMXNIHODVHEHVVpJJHOSiUKX]DPRVpVD]HOOHQU]IeOOHWEO NLIelé mutató , pV D IHOOHWUH PHUOHJHV DEED EHIHOp PXWDWy 3 vektorokat. Az áramvonaOODOHJ\EHHVIHOOHWHNHWHJ\RV]WiVWiYROViJEDQYHWWNIHOH]pUWDUDMWXNNLDODNXOy nyomásmegRV]OiVWHOMHVHQPHJHJ\H]LNËJ\D]H]HNHQNHOHWNH]Q\RPiVEyOV]iUPD]yHUN kiejtik egymást. E felületeken nincsen folyadék átlépés, ezért ezeken , = . Írjuk fel x és y irányban az impulzustételt! − , [ + , [ = 3 − 3 − 5 [ pV − , \ + , \ = − 5 \ Miután

, = ρ Y [ W Y

(tömegáram

×

sebesség)

, = ρ Y[ W Y

és

valamint

3 = S W pV 3 = S W , 5 [ − UH pV 5 \ − UD az alábbi összefüggések adódnak:

1

6

1

5 [ = S − S W + ρ Y [ W Y FRVα − Y FRVα

3

5 \ = ρ Y [ W Y \ − Y \

8.

6

(8.19)

(8.20)

$ |VV]HIJJpVPiVRGLNWDJMiEDQOpY]iUyMHODIRO\WRQRVViJWpWHOHN|YHWNH]WpEHQ]éUXVD]HOVWDJMiWD%HUQRXlli-egyenlet felhasználásával határozzuk meg a Y [ = Y [ figyelembe vételével: S − S =

4

9 4

9

ρ ρ Y − Y = Y − Y \ . \

Fentiek alapján a (8.19) összefüggés átalakítható: 5[ =

3

83

ρ Y \ − Y \ W Y \ + Y \

3

8

(8.21)

8

A 8.20 és 8.21 kifejezésekben szerepel a Γ = Y \ − Y \ W kifejezés, ami az áramlási seEHVVpJHOOHQU]IHOOHWUHLOOHV]NHG*]iUWJ|Ube mentén vett vonalintegrálja, a cirkuláció. $] iUDPYRQDODNUD LOOHV]NHG NpW YRQDOV]DNDV]RQ D VHEHVVpJ YRQDOLQWHJUiOMD pSSHQ NLHMWL

86

HJ\PiVW ,WWDKDJ\RPiQ\RNQDNPHJIHOHOHQDV]RNiVRVVDOHOOHQWpWHVHQYHWWNI|ODSR]itívnak tekintett körüljárási irányt. Írjuk fel az 5 vektor két komponensét!

5 [ = −ρ Γ

Y \ + Y \

5 \ = ρ Γ Y [,

5 = 5 [ + 5 \ = ρ Γ Y [ +

Y

\

+ Y \

(8.22)

.

Az 8.6 ábra és a (8.22) összefüggések alapján belátható, hogy a szárnyra ható 5 HUPHU leges a Y ∞ zavartalan áramlási sebesség vektorra (Y ∞ lenne a sebesség, ha a szárnyrács nem lenne az áramlásban). Felismerve, hogy a gyökjel alatti mennyiség a 8.6. ábrán Y ∞ -nel jelölt „átlagos” sebesség abszolút értéke, írható: 5 = ρ Y∞ Γ

1 P

,

(8.23)

azaz DV]iUQ\UiFVHJ\V]iUQ\iQDNODSUDPHUOHJHVPKRVV]~ViJ~V]DNDV]iUDKDWyHU DVUVpJD]ÄiWODJVHEHVVpJ´pVDV]iUQ\N|UOLFirkuláció szorzataként adódik. „Hígítsuk” minden határon túl a szárnyrácsot, azaz W → ∞ , miközben Y \ − Y \ → úgy,

3

8

hogy Γ = W Y \ − Y \ = iOO , azaz a szárnyrácsból egy egyedülálló szárny lesz, ami természetesen nem képes eltéríteni az egész áramló közeget, azaz Y → Y → Y ∞ . Egyedülálló szárny esetpQWHKiWDV]iUQ\UDKDWyHUPHUOHJHVD]DYDUWDODQDV]iUQ\WyOWiYROprYpQ\HV iUDPOiVLVHEHVVpJUH$V]iUQ\PKRVV]~V]DNDV]iUDKDWyHUWD] 5 = ρ Y∞ Γ

(8.24)

|VV]HIJJpVEOV]iPROKDWMXN.XWWD-Zsukovszkij-tétel). Itt jegyezzük meg, hogy a szárny körül csak akkor alakul ki cirkuláció, ha az áramló közeg súrlódásos. Mindazonáltal az általunk is használt tárgyalásmód, amely a súrlódást csak a cirkuláció kialakulásáig veszi figyelembe, egyébként pedig súrlódásmentes közeg feltételezésével vizsgálja az áramlást, a gyakorlatban is jól hasznosítható eredményekre vezetett. A szárnyrácsok vizsgálatának az áramlástechnikai gépek tervezésénél van gyakorlati jelent sége, hiszen pl. egy radiális ventilátor járókerekében (ld. 6.6. ábra) bármely irányban is jáUXQNN|UODODSiWRNYpJWHOHQVRNV]RULVPpWOGQHN(J\LO\HQ~QN|UUiFVQDNDOHNpSHzésével juthatunk a 8.6. ábrán látható egyenes rácshoz.

87

9. A súrlódásos közegek és mozgásegyenletük Az 1. fejezetben bevezettük az ideális közeg fogalmát. Az ideális közeg a valóságossal ellentétben homogén, súrlódásmentes és összenyomhatatlan. Ebben és néhány további fejezetben feladjuk a súrlódásmentesség kritériumát: olyan áramlásokkal foglalkozunk, amelyekben a súrlódásos közeg deformációjának hatására csúsztatófeszültségek és húzófeszültségek is ébrednek.

9.1. A nemnewtoni közegek Az 1. fejezetben már foglalkoztunkDIRO\DGpNEDQNHOHWNH]FV~V]WDWyIHV]OWVpJpVDIRO\adék deformáció kapcsolatával, és megállapítottuk, hogy a csúsztatófeszültség a deformációsebességgel arányos: τ \[ = µ

GY [ Gγ =µ G\ GW

Megállapítottuk továbbá, hogy az aláhúzott Newton-féle viszkozitási törvény a folyadékok nagy részére, az u.n. newtoni folyadékokra vonatkozik. Newtoni folyadékok a mérnöki J\DNRUODWEDQOHJW|EEV]|UHOIRUGXOyN|]HJHNDYt]DOHYHJDJi]RNSzámos olyan folyadék van azonban, amelyeknél a csúsztatófeszültség nem egyenesen arányos a deformációsebességgel. Ezeket a folyadékokat nemnewtoni folyadékoknak nevezzük. A nemnewtoni közegekkel a reológia foglalkozik. Tekintsük a 9.1. ábrát$GLDJUDPRQDNO|QE|]N|]egek reológiai görbéi láthatóak, amelyek a folyadékban NHOHWNH]τ csúsztatófeszültség és a dγ/dt-vel jellemzett deformációsebesség kapcsolatát mutatják meg. Az 1 jeO J|UEH HJ\ QHZWRQL N|zegre vonatkozik, a 2 MHO Sedig egy plasztikus folyadékra, amelynél egy meghatá9.1. ábra

rozott τ K határ-csúsztató feszültség elérése után kezd a közeg folyamatosan deformálódni: τ = τK + µ∞

Gγ GW

ahol µ ∞ DN|]HJVDMiWRVViJDLWyOIJJiOODQGy$SODV]WLNXVIRO\DGpNRNUDiOWDOiEDQYDODPiO\HQ WpUKiOyV V]HUNH]HW D MHOOHP] DPHO\QHN τ K KDWiViUD EHN|YHWNH] |VV]HRPOiVD XWiQ kezd áramlani a közeg. Plasztikus közeg pl. az olajfesték és a fogpép.

A 3 és 4MHOJ|UEpND]~Qhatványfüggvény közegekre vonatkoznak, amelyeknél a csúsztatófeszültség és a deformációsebesség közötti kapcsolatot egy hatványfüggvény írja le:

1

τ = N Gγ GW

6. Q

n < 1 esetén a 3 MHO UHROyJLDL J|Ube a plasztikus közegekéhez hasonlít, ezért ez egy ún. pszeudoplasztikus közegre vonatkozik. Ezek a közegek általában hosszú láncú moleNXOiNDWWDUWDOPD]QDN(PROHNXOiNÄHOUHQGH]GpVpLJ´DGHIRUPiFLyVHEHVVpJDGRWWQ|YHNHdéséhez nagy csúsztatófeszültség-viOWR]iVWDUWR]LNNpVEENLVHEE Az n > 1KDWYiQ\NLWHYYHOUHQGHONH]4MHO~QdilatálóN|]HJHNNLVVHEHVVpJGHIRUmáFLyMiKR]YLV]RQ\ODJNLVFV~V]WDWyIHV]OWVpJWDUWR]LNQ|YHNYGHIRUPiFLyVHEHVVpJURKDPoVDQ Q|YHNY FV~V]WDWyIHV]OWVpJHW LJpQ\HO ,O\HQ N|zeg pl. az ásványi porokat tartalmazó zagy. Az 5MHOJ|UEHtixotrop közegre vonatkozik. A tixotrop közegek fontos tulajdonsága, hogy UHRORJLDL J|UEpLN DODNXOiVD IJJ D N|]HJ PHJHO] GHIRUPiFLyMiWyO ,O\HQ N|]HJ SO D nyersolaj.

9.2. A mozgásegyenlet Az áUDPOyN|]HJJRQGRODWEDQHOKDWiUROWUpV]pUHNpWIpOHHUDW|PHJUHKDWyWpUHUsség pVDIHOOHWHQKDWyDV]RPV]pGRVIRO\DGpNUpV]HNUOiWDGyGyHUKDW(]HNQHND]HUNQHND]HUHGMHYiOWR]WDWMDPHJD]iUDPOyN|]HJPR]JiVPHQQ\LVpJpWD]D]J\RUVtWMDD gondolatban elhatárolt folyadékrésztËUMXNIHOH]WDJRQGRODWRWHJ\VpJQ\LW|PHJIRO\adékrészre: dv = g+F dt

(9.1)

A g D] HUWpU WpUHUVVpJ YHNWRUD D]D] D] HJ\VpJQ\L W|PHJUHKDWyHU D]F SHGLJD]HJ\VpJQ\LW|PHJIoO\DGpNUpV]IHOOHWpQKDWyHUNHUHGMH(A 4.2. fejezetben láttuk, hogy a súrlódás elhanyagolása esetén )=−

JUDGS .) A súrlódásos közegekben a gondoρ

latban elhatárolt folyadékrész felületén az arra me9.2. ábra

UOHJHV Q\RPiVEyO V]iUPD]y HUQ NtYO D IHOOHWUH

PHUOHJHV D IRO\DGpN GHIRUPiFLyMiYDO |VV]HIJJ K~]yIHV]OWVpJEO pV D IHOOHWWHO párhuzamos, csúszWDWyIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHUNLVpEUHGQHN A 9.2. ábrán egy elemi pOKRVV]~ViJ~ NRFNiQ PXWDWMXN EH D] [ LUiQ\~ HUNHW HOLGp] IHV]OWVpJeket. A τ 3D 89

csúsztatófeszültségek és a σ 3D

(az eddig tárgyalt nyomást is tartalmazó) húzó-

feszültVpJHNDWpUEHQYiOWR]QDN(]DYiOWR]iVRNR]]DDIHOOHWHQKDWyHUNEOV]irma]yD]HOHPLIRO\DGpNUpV]WJ\RUVtWyHUHGHUW ËUMXNIHODNLVNRFNiUDKDWy[LUiQ\~HUHGHUWPDMGRVV]XNHODNLVNRFND ρ G[ G\ G] tömegével, hogy az egységnyi tömegre ható F HU[NRPSRQHQVpWNDSMXN )[ =

ρ G[ G\ G]

J σ 1 [ + G[ 6 − σ 1 [ 6 G\ G] + τ 1 \ + G\ 6 − τ 1 \ 6 G[ G] + τ 1 ] + G] 6 − τ 1 ] 6 G[ G\ C [

[

\[

][

\[

(9.2)

][

$]LQGH[HNN|]|WWD]HOVDQQDNDVtNQDNDQRUPiOLViWMHO]LDPHO\HQD]DGRWWIHV]OWVpJ ébUHGDPiVRGLNSHGLJDIHV]OWVpJLUiQ\iW+DHNHWWHJ\EHHVLNDNNRUFVDNHJ\LQGH[HW használtunk.)

1

6

16

Tekintettel arra, hogy pl. σ x x + dx = σ x x +

∂σ x dx , a (9.2) összefüggés átalakítás után ∂x

az alábbi alakra hozható: )[ =

∂σ [ ∂τ \[ ∂τ ][ + + ρ ∂[ ∂\ ∂] .

(9.3)

Jelöljük Φ -vel a feszültségtenzort, amelynek mátrixa:

σ

[

Φ = τ [\ τ []

!

τ \[ σ\ τ \]

τ ][ τ ]\ σ]

"# ## . $

(9.4)

pV |VV]HYHWpVpEO OiWKDWy KRJ\ D] HJ\VpJQ\L W|PHJ IRO\DGpNUD KDWy F HU D feszültségtenzorból az )=

|VV]HIJJpVVHOIHMH]KHWNLDKRO ∇ =

Φ∇ ρ

(9.5)

∂ ∂ ∂ L+ M+ N a szokásos nabla (vektor) differen∂[ ∂\ ∂]

ciáloperátor. $IRO\DGpNUDKDWyHUNpVDPR]JiViOODSRWN|]|WW|VV]HIJJpVWWHUHPW (9.1) mozgásegyenlet tehát így írható: GY = J+ Φ∇ GW ρ

90

(9.6)

Figyelembe véve a folyadékrész gyorsulás tárgyalásánál tanultakat (4.2), a mozgásegyenlet x irányú komponens egyenlete az alábbi módon írható fel:

∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂σ [ ∂τ \[ ∂τ ][ + Y[ + Y\ + Y] = J[ + + + . ρ ∂[ ∂W ∂[ ∂\ ∂] ∂\ ∂]

(9.7)

A (9.6) ill. (9.7) mozgásegyenleteket nem tudjuk használni mindaddig, amíg a feszültségiOODSRWUyOQLQFVLQIRUPiFLyQN$]HO]HNEHQPiUPHJLVPHUWNDIRO\DGpNRND]RQVDMiWRVságát, hogy a csúsztatófeszültség és a deformációsebesség között kapcsolat van. Így tehát le lehet vezetni a feszültségállapotot a mozgásállapotból és a (9.6) és (9.7) összefüggés jobb oldalára a σ és τ helyett a sebességkomponenseket tartalmazó kifejezéseket lehet írni. EzálWDOD]HJ\HQOHWHNEHQOpYLVPHUHWOHQHNV]iPDUDGLNiOLVDQFV|NNHQWKHW Szorítkozzunk newtoni közegekre, amelyeknél a csúsztatófeszültség a tapasztalatok szerint arányos a Gγ GW deformációsebességgel. A kis folyadékrész mozgásának elemzésénél (3.5. fejezet) megismertük, hogy a folyadékrész mozgását párhuzamos eltolódásra, forgásra, tágulásra és alakváltozásra lehet felbontani. Ezek közül az utolsó, az alakváltozás van kapcsolatban a feszültségállapottal. Tekintsük a 9.3. ábrát, ahol egy, az áramló közegben gonGRODWEDQHOKDWiUROWHOHPLPpUHWKDViEOiWKDWy9L]Vgáljuk meg, hogy a γ V]|J LG V]HULQWL YiOWR]iVD KRJ\DQ IJJ D KDViEGHIRUPiFLyMiQDNVHEHVVpJpWOD]D]DODSVtNMiEDHV sebességkomponensek hely szerinti változásától. A dx 9.3. ábra

hosV]~ViJ~ ROGDO GW LG DODWW Gα szöget fordul el, mert a YpJSRQWMDLQDN\LUiQ\~VHEHVVpJHNO|QE|]GWLGDODWWD

végpontok által megtett út különbsége:

∂Y \ ∂[

G[ GW . Az dα elfordulási szöget úgy kapjuk,

hogy ezt elosztjuk dx-szel. Tekintettel arra, hogy Gγ = Gα + Gβ írható:

Gγ = Gα + Gβ =

∂Y \ ∂[

GW +

∂Y [ GW . ∂\

(9.8)

$]HJ\VpJQ\LLGUHMXWyV]|JHOIRUGXOiVWD]D]DGHIRUPiFLyVHEHVVpJHWDGLQDPLNDLYLV]ko]LWiVVDO PHJV]RUR]YD D GHIRUPiFLyW HOLGp] τ [\ pV D] H]]HO PHJHJ\H] τ \[ csúsztatófeszültségeket kapjuk:

τ [\ = µ

∂Y ∂[

\

+

∂Y [ ∂\

=τ

\[

.

+DVRQOyDQNLIHMH]KHWDW|EELFV~V]WDWyIHV]OWVpJNRPSRQHQVLV

91

(9.9)

$ IHOOHWUH PHUOHJHV σ IHV]OWVpJNRPSRQHQVHN NpW UpV]EO WHYGQHN |VV]H D PiU PHJLVPHUWQ\RPiVEyOpVD]DODNYiOWR]iVEyODGyGyK~]yIHV]OWVpJEO A nyomást a tér P pontjában úgy tekintMNPLQWHJ\3N|]pSSRQW~UVXJDU~J|PEIHOOHWpQDIHOOHWUHPHUleges feszültségek átlagát r → 0 esetén:− S =

3

8

σ [ + σ \ + σ ] . A σ húzófeszültségek a

Q\RPiVWQHJDWtYHOMHOOHOIRJMiNWDUWDOPD]QLKLV]HQD]DNNRUSR]LWtYKDDIHOOHWEHEHIHOp PXWDWy HUW HUHGPpQ\H] Az alakviOWR]iV HUHGPpQ\HNpQW OpWUHM|Y FV~V]WDWyIHV]OWVpJHNN|YHWNH]WpEHQIHOOHWUHPHUOHJHV σ húzófeszültségek is keletkeznek, azaz pl. a IRO\DGpNEDQ NHOHWNH] σ húzófeszültség x irányú komponensére írható: σ x = − p + σ 'x A deforPiFLy N|YHWNH]WpEHQ NHOHWNH] IHV]OWVpJHN meghatározása érdekében

tekintsük a

9.4.a. ábrátDKROHJ\KDViERWOiWKDWXQN$ODSUDPHUOHJHVHQ

9.4.a. ábra

9.4.b. ábra

egységnyi hosszúságú, négyzet alapú hasáb ∆D ⋅ IHOOHW ROGDOain ható τ csúsztatófeszültségeket az átlóval kijelölt sík mentén ható σ húzófeszültség tartja egyensúlyban. A lapra meUOHJHVHQ HJ\VpJQ\L KRVV]~ViJ~ KDViEUD KDWy HUN HJ\HQV~O\iW IHOtUYD ∆D τ

Gγ = ∆D σ DPLEOσ = τ = µ adódik. GW

A 9.4.b. ábrán látható a hasáb deformálódása, amely az x irányú sebességkomponens x iráQ\~YiOWR]iViUDYH]HWKHWYLVV]D$]iWOyPHJQ\~OiVDGWLGDODWW 33 . Ennek fele a Gγ szögelfordulást meghatározó, az x tengellyel 45° -ot bezáró 33 szakasz x irányú vetülete. A 33 szakasz hossza tehát:

∂Y [ Gγ ∂Y [ GW . Fentiek figyelembevéte∆D GW DPLEOD = ∂[ ∂[

lével írható: σ 1' x = µ

∂v y ∂v ∂v dγ = 2 µ x . Hasonlóan σ 1' y = 2 µ és σ 1' z = 2 µ z . ∂x ∂z ∂y dt

(9.10)

$ NLIHMH]pVHN|VV]HIJJpVWWHUHPWHQHNHJ\DGRWWNRRUGLQiWiUDPHUOHJHVVtNRQpEUeGD]DODNYiOWR]iVPLDWWNHOHWNH]K~]yIHV]OWVpJHNpVDVtNUDPHUOHJHVVHEHsségkomponensek adott koordináta irányú megváltozása között. Ha viszont ρ ≠ iOO esetén mindhárom koordináta irányban egyformán „tágul” a közeg, ∂Y [ ∂Y \ ∂Y ] Gγ = = = ). , akkor a folyadékrész növekszik, de nincsen alakváltozás ( GW ∂[ ∂\ ∂]

92

Miután ∂Y [ ∂Y \ ∂Y ] + + = GLY Y ∂[ ∂\ ∂]

(9.11)

valamennyi irányban azonos WHP ÄWiJXOiV´ HVHWpQ SO

∂Y [ = GLY Y . A húzófeszült ∂[

VpJHNNHOHWNH]pVpWHUHGPpQ\H]GHIRUPiFLyWWHKiWQHPD

∂Y [ ∂Y [ − GLY Y ki, hanem a ∂[ ∂[

fejezés σ[ = µ

értéke

∂Y ∂[

[

jellemzi.

Ezért

a

deformáció

miatti

húzófeszültségre

írható,

− GLY Y , azaz a σ [ D]DOiEELPyGRQIHMH]KHWNL σ[ = −S + µ

(9.12)

∂Y [ − µ GLYY . ∂[

A (9.9) és (9.12) összefüggések figyelembevételével az alábbi módon írható fel a sebességkomponensek deriváltjaival a feszültségtenzor mátrixa:

− S + µ ∂Y Φ=

[

−

µ GLYY

∂[ ∂Y \ ∂Y [ µ + ∂[ ∂\

∂Y µ ! ∂]

[

∂Y + ∂[

µ

∂Y + ∂Y ∂[ ∂\ \

−S + µ

∂Y \

−

µ

µ GLYY

∂\ ∂Y \ ∂Y ] µ + ∂] ∂\

]

∂Y ∂] ∂Y µ ∂]

[

[

\

−S + µ

"# ## ## (9.13) ## − µ GLYY #$

∂Y + ∂\ +

∂Y ] ∂]

∂Y ] ∂[ ]

Látható, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus mátrixa a D deriválttenzor (3.28) és transzponáltja segítségével az alábbi módon írható fel:

Φ = −S −

ahol E az egységtenzor, $ = 6

4

µ GLY Y ( + µ $ 6 ,

(9.14)

9

' + ' az alakváltozási sebesség tenzor (ld. (3.15) ösz

szefüggés). A (9.14) kifejezés szépen mutatja a feszültségek és a deformációsebesség lineáris kapcsolatát, amely a newtoni folyadékok sajátossága. A (9.14) összefüggéshez hasonló V]HUNH]HWGHERQ\ROXOWDEENLIHMH]pVHNHWOHKHWIHOtUQLDNO|QE|]QHPQHZWRQLIRO\DGpNRN esetén a deformációsebesség és a feszültségállapot között. Most már képezhetjük a Φ ∇ -t és fel tudjuk írni a mozgásegyenlet (9.6) kifejezését az egyes koordináták irányában. Az x irányú komponens egyenlet:

93

%& ' !

"# $

∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂Y ∂S ∂ µ [ − µ GLYY + + Y[ + Y\ + Y] = J[ − + ρ ∂[ ρ ∂[ ∂W ∂[ ∂\ ∂] ∂[ ∂ ∂Y + µ ∂\ ! ∂[

\

∂Y + [ ∂\

"# + ∂ µ ∂Y #$ ∂] ! ∂]

[

∂Y + ] ∂[

"# (K) $ K*

(9.15)

Hasonlóképpen felírva a mozgásegyenlet legáltalánosabb alakját y és z koordináta irányban, 3 egyenletet kapunk, amelyekben hat ismeretlen: Y [ Y \ Y ] S ρ µ szerepel. Negyedik egyenletként felírható a folytonosság tétele a (3.25) összefüggés alakjában. A ρ és µ meghaWiUR]iViKR] V]NVpJHV HJ\ KHWHGLN LVPHUHWOHQ D 7 KPpUVpNOHW EHYH]HWpVH gW|GLN egyenletünk a sUVpJ D Q\RPiV pV D KPpUVpNOHW NDSFVRODWiW IHMH]L NL SO Ji] HVHWpQ D] Ji]W|UYpQ\DKDWRGLNHJ\HQOHWSHGLJNDSFVRODWRWWHUHPWDYLV]NR]LWiVpVDKPprséklet N|]|WW $ KLiQ\]y KHWHGLN HJ\HQOHW D] HQHUJLDHJ\HQOHW DPHO\ D EHOV HQHUJLD KPpUVpklet), a mozgási energia valamint a közeg által és a közegen végzett munka között teremt kapcsolatot. Elvileg tehát rendelkezésre áll az ismeretlenek számával megeJ\H] V]iP~ egyenletet tartalmazó legáltalánosabb egyenletrendszer, amelynek analitikus megoldása azonban csak korláto]RWW V]iP~ HJ\V]HU HVHWHNEHQ LVPHUW QXPHULNXV PHJROGiVD SHGLJ LJHQVRNHVHWEHQPpJQHPOHKHWVpJHV(]pUWHJ\V]HUVtWIHOWHYpVHNHWWHV]ünk.

9.3. A Navier-Stokes-féle egyenlet Tételezzük fel, hogy µ = iOO és ρ = iOO azaz az áramló közeg dinamikai viszkozitása és VUVpJH iOODQGy Figyelembe véve, hogy ρ = iOO esetén a folytonosság (3.25) tétele értelmében divv = 0, e feltételezéssel a (9.15) összefüggés jobb oldaOiQOpYNDSFVRV]iUóMHOEHQOpYNLIHMH]pVD]DOiEELDODNUDKR]KDWy

∂Y + ∂]

∂ Y[ ∂ Y[ ∂ Y \ ∂ Y [ ∂ Y] ∂ Y[ ∂ Y [ ∂ Y [ µ + + + + = + + + ν ρ ∂[ ∂\ ∂] ∂] ∂[ ∂[ ∂\ ∂[ ∂\ ∂]

+ν

∂ ∂Y [ ∂Y \ + ∂[ ∂[ ∂\

(9.16)

]

Miután az egyenlet jobb oldalán álló második tag a divv x szerinti deriváltja, amely divv = 0 következtében zérus, IHOtUKDWy D] iOODQGy VUVpJ pV YLV]NR]LWiV HVHWpQ pUYényes mozgásegyenlet a Navier-Stokes-féle egyenlet, amelyet Navier 1827-ben, majd Stokes 1845-ben vezetett le:

94

∂Y ∂ Y ∂S =J − + ν ρ ∂\ ∂] ∂[ ∂ Y ∂Y ∂S =J − + ν ∂] ρ ∂] ∂[

∂ Y + ∂] ∂ Y + ∂]

∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂ Y [ ∂ Y [ ∂ Y[ ∂S + Y[ + Y\ + Y] = J[ − +ν + + ∂W ∂[ ∂\ ∂] ρ ∂[ ∂[ ∂\ ∂] ∂Y \ ∂W

+ Y[

∂Y \ ∂[

+ Y\

∂Y \ ∂\

+ Y]

∂Y ] ∂Y ] ∂Y ] + Y[ + Y\ + Y] ∂W ∂[ ∂\

\

]

\

\

]

]

+ +

∂ Y\ ∂\

∂ Y ] ∂\

\

(9.17)

]

A négy ismeretlen (Y [ Y \ Y ] és p) meghatározásához szükséges negyedik egyenlet a folytonosság egyenlete, amely ρ = iOO esetén a ∂Y [ ∂Y \ ∂Y ] + + = ∂[ ∂\ ∂]

(9.18)

alakban írható fel. Vektoriális írásmódban a Navier-Stokes-féle egyenlet: GY ∂Y Y = + JUDG − Y × URW Y = J − JUDGS + ν ∆ Y GW ρ ∂W

(9.19)

Látható, hogy a Navier-Stokes-egyenlet a jobb oldal utolsó tagjával a ν ∆ Y taggal különbözik a súrlódásmentes esetre levezetett Euler-HJ\HQOHWWOOG |VV]HIJJpV $V~rOyGiVKDWiViWNLIHMH]WDJEDQV]HUHSO ∆ v felbontható: ∆v = graddivv − rotrotv . Miután divv = 0 írható: GY = J − JUDG S − ν URW URW Y . GW ρ

(9.20)

A (9.20) egyenlet jól mutatja az áramlás örvényessége és a súrlódás közötti kapcsolatot. Po-

1

6

tenciálos áramlás rotv = 0 VWiOODQGy|UYpQ\HVVpJiUDPOiVHVHWpQDV~UOyGiVQDNQLQFV szerepe, a Navier-Stokes-egyenlet az Euler-egyenletbe megy át.

95

9.4. Alkalmazások Couette-áramlás Tekintsük a 9.5. ábrán OiWKDWy $ MHO VHEHVVpJPHJRV]Oissal jellemzett ún. Couette-áramlást, amely hasonlít a szilárd fal mellett a valóságban kialakuló áramlásra. Legyen ρ = iOO, és µ = iOO, az áramlás pedig legyen stacionárius síkáramlás 9.5. ábra

(ld.

3.4.fejezet).

Ennél

16

Y [ = Y [ \ Y \ = . Következéskép

az

áramlásnál

∂Y [ ∂Y \ = = . ∂[ ∂[

Mivel divv = 0, a (9.13) feszültségtenzor az alábbi alakban írható fel:

σ Φ= !τ

[

\[

"# $

τ \[ = σ\

!

−S µ

µ

∂Y [ ∂\

∂Y [ ∂\ −S

"# ## , #$

azaz a tananyag legelején tárgyalt, Newton-féle viszkozitási törvény adódott a τ [\ -re. Határozzuk meg a Φ ∇ -t!

∂σ

[

∂[ Φ∇ = ∂τ [\

!

∂[

"# − ∂S + µ ∂ Y "# ∂[ ∂\ # ∂\ # = ∂σ # ∂ Y ∂S # . + # − µ # ∂\ $ ! ∂[ ∂\ ∂\ #$

+

∂τ \[

\

[

(9.21)

[

7HNLQWVQNHOD)|OGQHKp]VpJLHUWHUpWOpVtUMXNIHOD PR]JiVHJ\HQOHW[pV\LUiQ\~ komponens egyenletét! GY [ ∂ Y[ ∂S =− +ν GW ρ ∂[ ∂\ GY \ GW

=−

∂ Y [ ∂S +ν ∂[ ∂\ ρ ∂\

Miután a folyadékrészek gyorsulása és a sebesség x irány mentén képzett deriváltjainak érWpNH]pUXVDPiVRGLNHJ\HQOHWEO

∂S = eredményre jutunk, azaz a párhuzamos egyenes ∂\

iUDPYRQDODNUD PHUOHJHVHQ QHP YiOWR]LN D Q\RPiV OG PpJ (XOHU-egyenlet természetes koordináta-UHQGV]HUEHQ $IHOVHJ\HQOHWEOSHGLJD

96

∂ Y[ ∂S =µ eredmény adódik. ∂[ ∂\

Ha a sebességmegoszlás lineáris (ld. 9.5. ábra%MHOJ|UEH DNNRUDz áramlásban elképzelt KDViEDODN~NLVIRO\DGpNUpV]IHOVpVDOVyODSMiQD1HZWRQYLV]NR]LWiVLW|UYpQ\ pUWHlmében ugyanakkora, de ellentétes irányítású csúsztatófeszültség alakul ki, amely kiegyensúlyozza egymást. Ezért az áramlás fenntartásához nincs szükség nyomáskülönbségre. UgyanH]DGyGLND]HUHGPpQ\ONDSRWWPR]JiVHJ\HQOHWEOLVPLYHO Y [ y szerinti második deriváltja lineáris sebességmegoszlás esetén zérus és a folyadékrészek nem gyorsulnak. +D D VHEHVVpJPHJRV]OiV D] $ MHO J|UEpQHN IHOHO PHJ Dkkor a második derivált negatív, D]D][LUiQ\EDQFV|NNHQQ\RPiVHVHWpQWDUWKDWyIHQQD]iUDPOiV(EEHQD]HVHWEHQXJ\DnLVDNLVKDViEIHOVODSMiQNLVHEEτ keletkezik, mint az alsón, ezért a csúsztatófeszültségek HUHGMH -x irányítiV~ HU OHV] DPLW D Q\RPiVNO|QEVpJEO V]iUPD]y HUQHN NHOO HOOHQVúlyoznia. /DPLQiULVUpWHJHV iUDPOiVFVEHQ Tekintsük a 9.6. ábrátDPHO\HJ\N|UNHUHV]WPHWV]HWHJ\HQHVFVEHQOpYNLDODNXOWKHngerszimmetrikus áramlást mutat be. (Azt az áramlást nevezzük kialakult áramlásnak, amelyEHQDVHEHVVpJPHJRV]OiVDFVKRVV]DPHQWpQQHPYiOWR]LN Y U = ,

∂

1 6 = .)

∂]

9.6. ábra 9HJ\QNIHOHJ\DFVWHQJHO\pYHONRQFHQWULNXVUVXJDU~G]KRVV]~ViJ~KHQJHUWpVtUMXN IHOD]HUUHKDWyHUNHJ\HQV~O\iW7HNLQWHWWHODUUDKogy e folyadékhenger nem gyorsul, a rá haWy HUNQHN NL NHOO HJ\HQV~O\R]QLRN HJ\PiVW $ KHQJHUUH D] DODS- pV IHGODSMiQ OpY nyomáVRN NO|QEVpJpEO V]iUPD]y HU pV D SDOiVWRQ NHOHWNH] FV~V]WDWyIHV]OWVpJEO V]iUPD]y HU KDW 9HJ\N IHO D ] NRRUGLQiWD WHQJelyt és pozitív irányításának figyelembevéWHOpYHOtUMXNIHOD]HUNHJ\HQV~O\iW

1

6

U π S − U π S + GS + U π G] τ =

.

(9.22)

Behelyettesítés és egyszerüsítés után τ G] = U GS DGyGLNDPLEOD1HZWRQ-féle viszkozitási törvényt felhasználva: τ=

GY GS U =µ ] G] GU

97

(9.23)

adódik. A (9.23) differenciálegyenletet a változók szétválasztásával oldjuk meg, figyelembe YpYHKRJ\NLDODNXOWFViUDPOiVEDQGSG] iOO

I

GY ] =

GS µ G]

I

U GU ⇒ Y ] =

GS U + iOO µ G]

(9.24)

Ha r=5D]D]DFVIDORQDVHEHVVpJ v z = 0. Ezt a peremfeltételt a (9.24) összefüggésbe behelyettesítve megkapjuk az integrálási állandót, majd Y ] -t kifejezve a Y] = −

GS 5 − U µ G]

(9.25)

összefüggést kapjuk. A sebességmegoszlás tehát másodfokú forgási paraboloid alakú (ld. 9.6. ábra). Látható, hogy akkor egyezik meg az áramlás iránya a z tengely pozitív irányításával, (azaz v z > 0), ha

dp < 0, azaz – a várakozásnak megfeleOHQ–DQ\RPiVQ|YHNY] dz

NRRUGLQiWiN LUiQ\iEDQ FV|NNHQ ÈUDPOiV LUiQ\iEDQ FV|NNHQ Q\RPiVEyO V]iUPa]y HU PR]JDWMDDN|]HJHWDV~UOyGyHUNNHOV]HPEHQ 9H]HVVNEHD ∆p' Pa súrlódási veszteség IRJDOPiW DPL LWW D V~UOyGiV N|YHWNH]WpEHQ EHN|YHWNH] Q\RPiVFV|Nkenés. (KéVEE H]W D fogalmat kiterjesztjük a Bernoulli összeg csökkenésére.) A fentiek alapján írható: dp ∆p' =− , ahol l m D] D FVKRVV] DPHO\HQ D V~UOyGiV N|YHWkeztében a ∆p' nyomásdz l csökkenés bekövetkezett. Ezzel a (9.23)-mal megadott csúsztatófeszültség és a (9.25) sebességmegoszlás így írható: ∆S

U pV O

(9.26)

∆S

5 − U . µ O

(9.27)

τ=−

Y] =

A 9.6. ábrában felrajzoltuk a τ és a sebesség sugár menti változását. Látható, hogy a τ negaWtYpVDEV]RO~WpUWpNHDVXJiUIJJYpQ\pEHQQ A maximális sebesség r = 0 -nál adódik: Y ] PD[ =

∆S 5 . A (3.34) összefüggés kapcsoµ O

latot teremtett a forgási paraboloid alakú sebességmegoszlás esetén a maximális sebesség és a v átlagsebesség között. Másodfokú paraboloid (n=2) esetén Y =

Y=

∆S 5 µO

98

Y ] PD[

. Így írható:

ill. a nyomásveszteséget kifejezve: ∆S =

µ Y O

(9.28)

5 .

$ FV~V]WDWyIHV]OWVpJ D |VV]HIJJpVEO D IDOQiO τ IDO = −

∆S 5 értéket vesz fel. O

8J\DQH] DGyGLN KD HJ\HQOYp WHVV]N D] iUDPOiVW DNDGiO\R]y FV~V]WDWyIHV]OWVpJEO származó 5 π O τ IDO HUpVD]iUDPOiVWIHQQWDUWyQ\RPiVEyOV]iUPD]y 5 π ∆S HU|szszegét zérussal (mivel nem gyorsul a közeg) és kifejezzük a τ IDO értékét.

99

10. Lamináris és turbulens áramlások, határrétegek Ebben a fejezetben a valóságos (súrlódásos) közegek sajátosságaival foglalkozunk. Az itt tanult, többnyire kvalitatív ismeretek segítségünkre lesznek abban, hogy gyakorlati áramlástani jelenségeket értelmezni tudjunk, közelebb kerülve ezáltal megoldásukhoz.

10.1. A Reynolds-féle kísérlet, lamináris és turbulens áramlások $P~OWV]i]DGKDUPDGLNKDUPDGiEDQYpJH]WHDODSYHWNtVpUOHWHLW5H\QROGV$10.1. ábrán OiWKDWyWDUWiO\EyOV]DEiO\R]KDWyPHQQ\LVpJYt]iUDPOLNNL$]YHJEONpV]OW

10.1. ábra NLIRO\yFVWHQJHO\pEHHJ\PiVLNYpNRQ\DEEFV|Y|QNHUHV]WOPHJIHVWHWWIRO\Ddék (pl. kék WLQWD YH]HWKHWEH+DDIRO\DGpNVHEHVVpJHNLFVLDIHVWHWWIRO\DGpNV]iOYpJLJK~]yGLNDFV WHQJHO\pEHQMyOPHJNO|QE|]WHWKHWHQD]iWOiWV]yYt]WOOGIHOVNpS (EEHQD]HVHtben lamináris (= réteges) áramlásról beszélhetünk, amelyben az egymás mellett áramló folyadékrétegek anyaga csak a molekuláris diffúzióval keveredik egymással. A sebességYHNWRUDFVEiUPHO\SRQWMiQLGEHQQHPYiOWR]LND]iUDPOiVVWDFLRQiULXVKDDNiömOIRO\DGpNPHQQ\LVpJLGEHQQHPYiOWR]LN Növelve a folyadék VHEHVVpJpWDIHVWHWWIRO\DGpNV]iOLGQNpQWLPHJ]DYDUiViWWDSDV]WDOKDtMXN OG N|]pSV NpS DPL D VHEHVVpJ Q|YHNHGpVpYHO HJ\UH J\DNRULEE OHV] PtJQHP D] áramlás teljes egészére kiterjed és állandósul ez a megzavart áramlási állapot (ld. alsó kép). Még nagyREEVHEHVVpJQpODFVEHQiUDPOyN|]HJHJ\HQOHWHVYLOiJRVNpNV]tQWHKiWDIHsWpNWHOMHVHQHONHYHUHGLNDFVEHQiUDPOyN|]HJJHO(]DWDSDV]WDODWD]WEL]RQ\tWMDKRJ\D] áramlásEDQ LGOHJHVHQ MHOHQWV FVWHQJHO\UH PHUOHJHV VHEHVVpJNRPSRQHQV LV YDQ, ameO\ D IHVWpNV]HPFVpNHW D WHOMHV FVNHUHV]WPHWV]HWEHQ HONHYHUL +D D NL|PO IRO\DGpNmennyiség idben nem is változik, az áramlási tér pontjaiban a sebesség iránya és nagysága LGEHQ HJ\ N|]pSpUWpN N|UO LQJDGR]LN az áramlás kvázistacionárius. Megvizsgálva az áramlás struktúráját megállapíthatjuk, hogy abban kisebb nagyobb örvények keletkeznek, HJ\PiVVDOKHO\HWFVHUpOQHN|VV]HROYDGQDNHONHYHUHGQHNHOWQQHN. Az áramlási tér egy adott pontMiEDQDVHEHVVpJYHNWRULQJDGR]iVDD]HJ\PiVXWiQiWKDODGyNO|QE|]PpUHWpV

intenzitású örvényekkel magyarázható. Ezt az örvényekre szétbomló, igen bonyolult áramlást turbulens áramlásnak nevezzük. 5H\QROGVNLGHUtWHWWHKRJ\DFViUDPOiVODPLQiULVEyOWXUEXOHQVEHYDOyiWDODNXOiVDQHPFVXSiQ D Y iWODJVHEHVVpJWO KDQHP a

YGρ GLPHQ]LyWODQ FVRSRUW pUWpNpWO LV IJJ DPHO\HW µ

Reynolds-V]iPQDNQHYH]QNpVDPHOO\HONpVEEEHKDWyDQIRJODONR]XQN 5H =

YGρ µ .

(10.1)

+DDFVLOOH]iOWDOD]iUDPOiVUH]JpVHNQHN]DYDUiVQDNYDQNLWpYHDNNRUDlamináris-turbulens átalakulás 5H ≅ körül megy vpJEH +D NHOOHQ ]DYDUPHQWHVVp WHVV]N D] áramlást, ennél lényegesen nagyobb Reynolds-szám értékek mellett is lamináris maradhat D]iUDPOiVGHLO\HQHVHWEHQPiUHJ\NLV]DYDUiVUDLVUREEDQiVV]HUHQYpJEHPHJ\D]iWDOakulás (átcsapás). $] LGEHOL iWODJpUWpNekre vonatkozóan stacionárius turbulens áramlásban a Y sebességvektor úgy írható fel, mint az LGEHOLiWODJVHEHVVpJ

Y=

I

7

Y GW 7

(10.2)

és a sebességingadozás Y összege: Y = Y + Y

.

(10.3)

$7>V@iWODJROiVLLGWDUWDPKDODGMDPHJOpQ\HJHVHQD]WD]LGWDUWDPRWDPLDODWWHJ\ örvény a tér egy pontján áthalad.) $V]WRFKDV]WLNXVDQYiOWR]yLQJDGR]yVHEHVVpJLGEHOLiWODJiUDtUKDWy

Y =

I

7

Y GW = 7

A turbulens áramlásban a nyomás is ingadozik: S = S + S . A turbulencia mértékének jellemzésére a turbulenciafokot használjuk, amely a sebességingadozások iWODJRVPpUWpNpWYLV]RQ\tWMDD]LGEHQLiWODJVHEHVVpJKH]

101

7X =

1 Y 6 Y

Y [ + Y \ + Y ]

=

(10.4)

Y

$]LGEHQLiWODJRNUDYRQDWNR]yPR]JiVHJ\HQOHW $]HO]IHMH]HWEHQOHYH]HWHWW PR]JiVHJ\HQOHWLOOD]iOODQGyVUVpJpVYLV]NR]LWiV esetén érvényes (9.17) ill. (9.19) Navier-Stokes-egyenlet helyesen írja le a newtoni közegek áramlását – függetlenül attól, hogy az áramlás lamináris vagy turbulens. A turbulens áramOiVRN LJHQ ERQ\ROXOW VWUXNW~UiMD LGIJJpVH NpUGpVHVVp WHV]L KRJ\ WDOiOXQN-e olyan módszereket, amelyekkel ezek az áramlások teljes bonyolultságukban számíthatók lennének. (]pUW5H\QROGVOHYH]HWWHD]LGEHQLiWODJRNUDYRQDWNR]yPR]JiVHJ\HQOHWHW 9pJH]]NHOPLLVXJ\DQH]WDIHODGDWRW/HJ\HQDVUVpJρ=áll. Írjuk fel a Navier-Stokesegyenlet x irányú komponens egyenletét (ld. (9.17) összefüggés) úgy, hogy a bal oldalhoz adjunk hozzá Y [ GLYY = -t:

∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂Y \ ∂Y ] + Y[ + Y\ + Y] + Y[ + + ∂W ∂[ ∂\ ∂] ∂[ ∂\ ∂] = J[ −

=

(10.5)

∂ Y[ ∂ Y[ ∂ Y[ ∂S +ν + + ρ ∂[ ∂ [ ∂ \ ∂ ]

$EDOROGDORQHOYpJH]YHDPYHOHWHWD]DOiEELNLIHMH]pVWNDSMXN

4 9 3

8 1

6

∂ Y[Y\ ∂ Y[Y] ∂ Y[ ∂ Y[ ∂ Y [ ∂Y [ ∂ Y [ ∂S + + + = J[ − +ν + + ρ ∂[ ∂W ∂[ ∂\ ∂] ∂ [ ∂ \ ∂ ]

(10.6)

Helyettesítsük be a (10.3) alapján felírható Y [ = Y [ + Y [ stb. kifejezéseket a (10.6) egyenOHWEH pV H]W N|YHWHQ NpSH]]N D HJ\HQOHW PLQGNpW ROGDOiQDN LGEHOL iWODJiW DPL PHgegye]LND]HJ\HVWDJRNLGEHOLiWODJiQDN|VV]HJpYHOLOONO|QEVpJpYHO$]LGEHOLiWODJRW D |VV]HIJJpVQHNPHJIHOHOHQGHILQLiOMXNpVD]HGGLJLHNQHNPHJIHOHOHQIHOOYRQisVDOMHO|OMN $]HJ\V]HUVpJNHGYppUWFVDND]HJ\HVWLSLNXVWDJRNUDPXWDWMXNEHD]HOMárást: ∂ Y[ ∂ Y[ ∂ Y[ ∂ Y[ = + = , ∂W ∂W ∂W ∂W

102

PLYHODN|]pSVNLIHMH]pVPiVRGLNWDJMD]pUXV$]LGEHOLiWODJROiVXJ\DQLVLGV]HULQWLLntegrálást jelent (ld. (10.2) összefüggés), az integrálás és a differenciálás sorrendje pedig felFVHUpOKHW(]pUW ∂ Y [ ∂ Y [ = = . ∂W ∂W

A

∂ vx pUWpNH ]pUXV KD D] LGEHOL iWODJVHEHVVpJ KRVV]DEE LGWDUWDPRW ILJ\HOHPEHYpYH ∂t

LGEHQiOODQGy$]LGEHOLiWODJVHEHVVpJYiOWR]KDWSOKDWXUEXOHQViUDPOiVHVHWpQDFVYéJpQOpYFVDSRWIRNR]DWRVDQNLQ\LWMXN(]HVHWEHQDIHQWLGLIIHUHQFLiOKiQ\DGRVpUWpNH]pUXstól elWpU Írható továbbá:

1 6

∂ vx

2

∂x

=

4 9 + 2 ∂1 v v ' 6 + ∂4 v ' 9 ,

∂ v x2

2

x

∂x

x

x

∂x

∂x

DKRODIHQWLHNDODSMiQDMREEROGDOPiVRGLNWDJMDXJ\DQFVDN]pUXVpUWpN+DVRQOyDQtUKDWy

3

∂ Y[Y\ ∂\

8 = ∂3 Y Y 8 + ∂3 Y Y 8 + ∂3 Y

[

\

[

∂\

\

∂\

[

Y\

∂\

8 + ∂3 Y

[

Y \

∂\

8,

ahol a jobb oldal második és hDUPDGLNWDJMD]pUXVKLV]HQLWWHJ\LGEHQiOODQGyiWODJVHbességkomponenssel – konstanssal – szorozva szerepelnek az ingadozó sebességkomponensek LGEHOLiWODJDL ∂S ∂S ∂S

= + , ∂[ ∂[ ∂[ ahol a jobb oldal második tagja zérus. ∂ Y[ ∂[

=

∂ Y[ ∂[

ahol a jobb oldal második tagja ismét zérus.

103

+

∂ Y [ ∂[

,

A fentiek alapján a (10.6) összefüggés az alábbi alakban írható:

4 9 3

8 1

6

2 ∂ vx vy ∂ vx vz ∂2 vx ∂2 vx ∂2 vx ∂v x ∂ v x 1 ∂p + + + = gx − +ν + + − ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2

−

4 9 ∂3 v' −

∂ v ' 2x ∂x

x

v'y

∂y

8 − ∂1 v '

x

v'z

∂z

6.

(10.7)

A bal oldal második, harmadik és negyedik tagjában elvégezve a deriválást, megkapjuk a Y [ GLYY = tagot, amit elhagyunk. Ha tehát egy turbulens, kvázistacionárius áramlásra írjuk fel a Navier-Stokes-egyenlHWHWD]LGEHOLVHEHVVpJ- és nyomásátlagokra egy teljesen hasonló egyenletet kapunk, csak az egyenlet jobb oldalán a sebességingadozások KDWiViWNLIHMH]D]LQJDGR]yVHEHVVpJHNQpJ\]HWHLQHNLOOV]RU]DWiQDNLGEHOLiWODJDLW tartalmazó tagok jelennek meg. Vizsgáljuk meg az impulzustétel segítségével ezeknek a tagoknak a jelentését! Tekintsük a 10.2. ábrátDKROHJ\WHWV]OHJHV$HOOHnU]IHOOHW dA vektorral jellemzett felületeleme látható. A vektor talppontjában ebben a pillanatban a sebességingadozás v', amely normáOLVpVpULQWLUiQ\~NRPSRQHQVHNUHY Q pV Y W ) bontható fel.

10.2. ábra

LeJ\HQD]LGEHOLiWODJVHEHVVpJ Y stacionárius. Felírva az impul]XVWpWHOWD]HO]PHJIRQtolások alapján beláthatóan az alábbi kifejezés adódik:

I

I

I

I

Y ρ Y G $ = − S G $ + ρ J G9 − Y ρ Y G $

$

$

9

$

(10.8)

.

A jobb oldal utolsó tagja fejezi ki a sebességingadozás hatását. Figyelembe véve, hogy Y = Y Q + Y W és a Y W G $ = ill. Y Q G $ = Y Q G$ = Y Q G$ , írható:

I

I

I

− v ' ρ v ' dA = − v ' n ρ v ' n dA − v ' t ρ v ' n dA . A

A

A

$MREEROGDOLHOVLQWHJUiODIHOOHWUHPHUOHJHVHUYHNWRUWHUHGPpQ\H]H]pUWD |szszefüggés az alábbiak szerint írható fel:

I

A

v ρ v dA = −

I !

A

"# dA + $

p + ρ v ' 2n

I

V

I4

9

ρ g dV − ρ v ' t v ' n dA

(10.9)

A

A kvázistacionárLXViUDPOiVUDIHOtUWLPSXO]XVWpWHOWHKiWiWPHQWHJ\LGEHOLiWODJRNUD YRQDWNR]yNLIHMH]pVEHDPHO\EHQPHJMHOHQWDVHEHVVpJLQJDGR]iVRNKDWiViWNLIHMH]NpW tag. (]HNHWDWDJRNDWDPHO\HNHWD]HOOHQU]IHOOHWHQNHOOLQWHJUiOQXQNlátszólagos nyomásnövekedés és látszólagos csúsztatófeszültség tagoknak nevezzük. A

104

3 8

S l = ρ Y Q

(10.10)

DOiWV]yODJRVDVHEHVVpJLQJDGR]iVRNN|YHWNH]WpEHQOpWUHM|Y Q\RPiVQ|YHNHGpVD

4

τl = −ρ Y W Y Q

9

(10.11)

pedig a látszólagos csúsztatófeszültség. (A kifejezésekben az "„"”index jelzi, hogy látszólagos IHV]OWVpJHNUOYDQV]y $]HGGLJLHNDODSMiQIHOLVPHUMND HJ\HQOHWMREEROGalán a látszólagos húzófeszültség és a látszólagos csúsztatófeszültségek x komponensének hely szerinti deriváltjait:

−

∂ 4 Y

−

∂ Y [ ∂[

[

Y \

9 ∂4 Y

−

∂\

[

Y ]

∂]

9 ∂σ = ρ ∂[

[l

+

∂ τ \[l ∂\

∂ τ ][l ∂]

+

.

Ha hasonlóképpen átalakítjuk a másik két komponensegyenletet, akkor rájövünk, hogy a jobboldal egyenletenként három utolsó tagja egy Φ látszólagos feszültségtenzor és a ∇ l

V]RU]DWDD]D]DNYi]LVWDFLRQiULXViUDPOiVUDD]LGEHOLiWODJRNNDOIHOtUWPR]JiVHJ\HQOHWOG (9.6) összefüggés) így írható: GY = J+ Φ∇+ Φ ∇ ρ ρ l GW

(10.12)

ahol

− ρ Y = − ρ4 Y Y 9 ! − ρ4 Y Y 9 [

Φ

l

[

[

\ ]

4 9 "# σ # − ρ4 Y Y 9 # = τ − ρ Y # !τ − ρ4 Y Y 9 − ρ Y # #$ 4

−ρ Y [ Y \ \

\

9

−ρ Y [ Y ] \

]

]

]

[l

[\l []l

τ \[l σ \l τ \]l

"# ## $

τ ][l τ ]\l . σ ]l

(10.13)

A (10.10) és (10.11) összefüggéssel megadott feszültségeket és a Φ látszólagos feszültl

ségtenzor elemeit Reynolds-feszültségeknek nevezzük. A Reynolds-feszültségek bevezetése igen hasznos volt a turbulencia hatásának megértése és a turbulens áramlások közeOtW számítása szempontjából egyaránt. Az instacionárius Navier-Stokes-egyenlet ugyanis helyesen írja le a legbonyolultabb turbulens áramlásokat is.6]iPtWiVXNHJ\HOUHD]RQEDQ reménytelen teljes komplexitásukban, ezért megelégszünk a sebesség és a nyomás LGEHOL átlagainak meghatározásával. Ez úgy történik, hogy felírjuk D]LGEHOLiWODJRNUDYRQDtkozó Navier-Stokes-egyenletet és kiegészítjük azt a sebességingadozások hatását kifeMH] WDJRNNDO, amelyek a látszólagos (az instacionárius turbulens áramlásban valóságban QHPOpWH] Q\RPiVQ|YHNHGpVLOOK~]yIHV]OWVpJ-növekedés) és a látszólagos csúsztatófeszültség komponensek (a Reynolds-feszültségek) hely szerinti deriváltjai. A turbulens in105

gadozásokból adódó látszólagos feszültségek a folyadékrész átlagsebességgel számolt deformációjából adódó feszültségeknél általában egy-két nagyságrenddel nagyobbak, ezért fontos lenne viszonylag pontos számításuk. A Reynolds-feszültségek bevezetése a turbulens áramlások számításával kapcsolatos problémákat nem oldotta meg teljesen, mert még ma sem ismeretes olyan univerzális összefüggés, amely általánosságban leírná az egyes Reynolds-feszültségeket, azaz megoldhatóvá tenné a turbulens áramlásokat leíró egyenletUHQGV]HUW6]iPRVPRGHOOOpWH]LNDPHO\HNNHON|]HOtWV]iPtWiVRNYpJH]KHWN-elenleg az áramlástani kutatások egyik legfontosabb területe ezeknek a feszültségeknek a PHJKDWiUR]iVDOHtUiVD(]pUWLVYiOWDNLJHQIRQWRVViD]RNDPpUpVLPyGV]HUHNSODKGUót méréstechnika), amelyekkel a turbulens ingadozások meghatározhatók.

10.3. Határrétegek, keveredési úthossz, univerzális faltörvény $PpUQ|NLIHODGDWRNERQ\ROXOWDEEiYiOiVDSODUHSOpVIHMOGpVH V]NVpJHVVpWHWWHRO\DQ számítási eljárások kidolgozásiW DPHO\HNNHO ERQ\ROXOW WXUEXOHQV iUDPOiVRN MHOOHP]L My közelítéssel meghatározhatók. A teljes áramlási tér leírása pl. egy szárny körül megoldhatatODQ QHKp]VpJHW MHOHQWHWW D V]iPtWyJpSHN PHJMHOHQpVH HOWW 3UDQGWO QpPHW áramlástan professzor évszázadunkHOVpYHLEHQD]DOiEELPHJIRQWROiVWWHWWHKDHJ\V]LOiUG testet teszünk az áramlásba, falán a sebesség (a tapadás törvénye értelmében) zérus, a sebesség a fal közelében, attól távolodva rohamosan növekszik. Ebben a rétegben a súrlódásnak nagy szerepe van $ V]LOiUG WHVWWO WiYRO SHGLJ D V~UOyGiV HOKDQ\DJROKDWy Tehát ha a súrlódás hatása szempontjából vizsgáljuk a teret, az két részre osztható (ld.10.3. ábra):

−

egy fal melletti viszonylag vékony rétegre, az ún.

határrétegre, ahol a sebesség a fal közvetlen közeOpEHQpUYpQ\HV]pUXVpUWpNUODIDOWyOWiYRODEEpUYpQ\HV VHEHVVpJUH Q pV DKRO D V~UOyGiVQDN G|QW V]erepe van, 10.3. ábra

−

a faltól távolabbi áramlási térre, ahol a súrló-

dás hatása elhanyagolható (azaz jó közelítéssel érvényes az Euler-egyenlet). Hasonlóképpen osztanánk fel a teret két részre az áramló közegbe helyezett felmelegített VtNODSN|UOLKPpUVpNOHWHORV]OiVV]HPSRQWMiEyOLV$PHOHJVtNODSWiYRODEELVIHOPHOHgíti D]iUDPOyN|]HJHWH]D]RQEDQHOKDQ\DJROKDWyDODSN|]HOpEHQEHN|YHWNH]IHOPHOHJHGpsKH]NpSHVW(]pUWD]iUDPOiVLWHUHWDODSN|]HOpEHQOpYQDJ\REEKPpUVpNOHWWHOpVKPprVpNOHWJUDGLHQVVHOMHOOHPH]KHW~QKPpUVpNOHWLKDWiUUpWHJUHpVD]D]RQNtYli térre oszthatMXNDKRODKPpUVpNOHWHWiOODQGyQDNWHNLQWMN,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\DKPpUVpNOHWLKaWiUUpWHJEHQOHMiWV]yGyKiWDGiVLIRO\DPDWRNpVD]iUDPOiVLKDWiUUpWHJEHQOpYLPSXl-

106

zuscsere DIDOKR]N|]HOHEEOpYDIDOKDWiViUDOHODVVXOWIRO\DGpNUészek fékezik a távolabbi gyorsabb folyadékrészeket) gyakorlatilag ugyanannak a mechanizmusnak az eredménye: a molekuláris méretekben a molekulák ütközése, turbulens áramlások esetén ezen kívül az örvények egymásrahatása, keveredése okozza a fenti jelenségeket. A határréteg és azon kívüli áramlás felosztását indokolhatjuk a Navier-Stokes-egyenlet (9.20) alakban felírt változata alapján. Belátható, hogy a fal közelében az áramlás örvényessége ( URWY QHP |VV]HWpYHV]WHQG D WXUEXOHQFLiYDO QDJ\ pV D KHO\ IJJYpQ\pEHQ J\RUVDQ YiOWR]LN WHKiW D V~UOyGiV KDWiViW NLIHMH] ν URW URW Y értéke viszonylag nagy. Ha IHOWHVV]N KRJ\ D WHVW N|UOL iUDPOiV Q\XJYy WpUEO YDJ\ |UYpQ\PHQWHV iUDPOiVEyO V]irmazik (pl. repüOJpp-V]iUQ\HVHWpQ DNNRUD]iUDPOiVEiUPHO\KDWiUUpWHJHQNtYOHVSRQtjában a ν URW URW Y értéke zérus. $KDWiUUpWHJMHOOHP]LWD1DYLHU-Stokes-egyenlet segítségével számolhatjuk, ahol az alábbi feltételezésekkel szoktunk élni (ld.10.3. ábra):

−

a határrétegáramlás síkáramlás (Y ] =

−

Y \ << Y [ ,

−

∂

∂

1 6 = ),

∂]

1 6 << ∂1 6 ,

∂x

∂y

−

az áramlás stacionárius,

−

DWpUHUKDWiViWILJ\HOPHQNtYOKDJ\MXk.

Lamináris áramlás esetén a határréteg sajátosságai a Navier-Stokes-egyenlet (9.17) alakjából származtatott síkáramlásra vonatkozó alábbi egyenletrendszer (pl. numerikus) megoldásával határozható meg:

Y[

Y[

∂Y \ ∂[ ≅

∂ Y [ ∂ Y[ ∂Y [ ∂Y [ ∂S + Y\ =− +ν + ρ ∂[ ∂[ ∂\ ∂[ ∂\

+ Y\

∂Y \ ∂\ ≅

=−

∂S +ν ρ ∂\

≅ ∂ Y \ ∂ Y\ + ∂[ ∂\ ≅ ≅

(10.14)

⇒

∂S ≅ ∂\

A (10.14) összefüggés több tagjánál ≅ -val jelöltük, hogy azokat a feltevéseinknek megfeOHOHQDW|EELWDJKR]NpSHVWHOKDQ\DJROWXN$PiVRGLNHJ\HQOHWEOD]DGyGRWWKRJ\a határrétegen belül a nyomás az adott x metszetben a határrétegen kívüli nyomással egye-

107

zik meg jó közelítéssel. A határrétegen kívül viszont a súrlódás elhanyagolható, ezért az Euler-HJ\HQOHWEODGyGyDQtUKDWy −

∂S G9 =9 ρ ∂[ G[ ,

(10.15)

ahol V [m/s] a határrétegen kívüli áramlási sebesség. %HKHO\HWWHVtWYH D |VV]HIJJpVW D IHOV HJ\HQOHWpEH PHJNDSMXN D] ~Q határréteg-egyenletet DPHO\ D] iOODQGy VUVpJ HVHWpQ pUYpQ\HV NRQtinuitás egyenlettel HJ\WWDONRWMDD]WDNpWHJ\HQOHWEOiOOySDUFLiOLVGLIIHUHQFLiOHJ\HQOHW-rendszert, amely a peremfeltételek ismeretében (pl. numerikusan) megoldható:

Y[

∂Y [ ∂Y [ ∂ Y[ G9 + Y\ =9 +ν ∂[ ∂\ G[ ∂\

(10.16)

∂Y \

∂Y [ + = ∂[ ∂\ Turbulens határrétegek számítására elvileg rendelkezésre áll az instacionárius tagot tartalmazó Navier-Stokes egyenlet. Ezt azonban – mint említettük – még nem tudjuk megoldaQLDERQ\ROXOWLQVWDFLRQiULXViUDPNpSUH(]pUWD]LGEHOLiWODJRNUDIHOtUW1DYLHU-StokesHJ\HQOHWHWDONDOPD]]XND]HJ\HQOHWMREEROGDOiQPHJMHOHQDVHEHsségingadozások hatását NLIHMH] OiWV]yODJRV FV~V]WDWyIHV]OWVpJHN ILJ\HOHPEHYpWHOpYHO $ WXUEXOHQV KDWiUUpWHJHN számítására szolgáló egyenletet a már megismert elhanyagolások (ld. 10.14) alkalmazásával kapjuk oly módon, hogy a lamináris határrétegekre kapott (10.16) egyenlet jobb oldalát a

+

∂τ \[l ρ ∂\

WDJJDOEYtWMN(EEHQD]HJ\HQOHWEHQpVDWXUEXOHQViUDPOiVRNWRYiEELWiUJ\DOiVDVRUiQD IHOOYRQiVQpONOLVHEHVVpJHNLGEHOLiWODJVHEHVVpJHNHWMHOHQWHQHN $WXUEXOHQVLQJDGR]áVRNKDWiViWILJ\HOHPEHYHY τ \[l látszólagos csúsztatófeszültség számítására többféle modell létezik. Ezek közül az igen szemléletes, klasszikus Prandtl-féle keveredési úthossz modellt fogjuk megismerni. Prandtl a gázok µ viszkozitását okozó molekuláris impulzuscsere analógiáját (ld. 1.fejezet) alkalmazta a turbulens határrétegekre, ahol nem molekulák, hanem kisebb-nagyobb méUHWIRO\DGpNUpV]HN|UYpQ\HNPR]RJQDNDNO|QE|]VHEHsVpJIRO\DGpNUpWHJHNN|]|WW(]HQIRO\DGpNUpV]HNiOWDORNo10.4. ábra

zott impulzuscsere a látszólagos viszkozitás okozója. Tekint-

108

16

sük a 10.4. ábrát, ahol egy turbulens határréteg Y [ \ sebességmegoszlása látható. Bejelöltük a határréteg δ vastagságát is, amelynél a Y [ megegyezik a határrétegen kívüli V sebesVpJJHOLOOHOtUWPpUWpNEHQSO-ra megközelíti azt). Berajzoltunk egy kis „folyadékFVRPDJRW´SOHJ\|UYpQ\W DPHO\DIiUDPOiVLLUiQ\UDPHUOHJHVHQ l [m] ún. keveredési úthosszat képes megtenni v’y ingadozási sebességgel (ld. (10.3)). A látszólagos csúsztatófeszültségre vonatkozóan írható (ld. (10.11) és (10.13) összefüggések): τ \[l = − ρ Y [ Y \ Amikor a „folyadékcsomag” l WiYROViJEDQHOPR]GXOHJ\DVDMiWMiWyOHOWpUVHEHVVpJUétegbe kerül, ahol Y [ sebességingadozást okoz. Az ingadozás abszolút értéke függ a sebesVpJSURILOPHUHGHNVpJpWOpVDNHYHUHGpVL~WKRVV]WyO Y [ ≅ l

∂Y [ ∂\ .

(10.17)

.RQWLQXLWiVLPHJIRQWROiVRNDODSMiQN|]HOtWHQtUKDWy Y \ ≅ Y [

.

(10.18)

Tekintsük a 10.4. ábrát. MegálODStWKDWMXNKRJ\\LUiQ\EDQQ|YHNY Y [ sebességek esetén Y [ Y \ < , mert ha Y \ > , azaz a „folyadékcsomag” felfelé mozdul el, akkor Y [ < , miután sebessége kisebb a helyi sebességnél. Hasonlóan ha Y \ < , akkor Y [ > . Ennek alapján írható: τ = τ \[l = ρ l

∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ = µW ∂\ ∂\ ∂\ .

(10.19)

A (10.19) összefüggés akkor is helyesen fejezi ki a τHOMHOpWKDQHPPRQRWRQQ|YHNYD sebességmegoszlás. A µ W D]HO]HNEHQPHJLVPHUWÄDQ\DJMHOOHP]YLV]NR]LWiV´DQDOyJLájára bevezetett „turbulens viszkozitás”, DPHO\HOVVRUEDQQHPDN|]HJIL]LNDLVDMiWRVVigaLWyOKDQHPD]iUDPOiVMHOOHP]LWOIJJ µ W = ρ l

∂Y [ ∂\ .

(10.20)

A látszólagos csúsztatófeszültség (10.19) kifejezése alkalmazható a turbulens határrétegek számításánál. $ONDOPD]]XN3UDQGWOQpKiQ\N|]HOtWI|OWHYpVpW

109

−

A fal közvetlen közelében a fal jelenléte miatt a keveredési úthossz zérus, távolabb a fal hatása egyre kevésbé érvényesül, ezért l Q

−

/HJ\HQDNHYHUHGpVL~WKRVV]HOVN|]HOtWpVEHQOLQHiULVIJJYpQ\HD]\QDNl≅ κ \ .

−

$IDON|]HOpEHQOpYUpWHJEHQDFV~V]WDWyIHV]OWVpJMHOHQWVHQQHPYiOWR]KDW7pWHOHz-

16

]N IHO N|]HOtWHQ KRJ\ τ \ ≅ τ D]D] D FV~V]WDWyIHV]OWVpJ N|]HOtWHQ iOODQGy pV HJ\HQOτ 3D − ODO DIDORQpEUHG~Qfali csúsztatófeszültséggel.

−

A határréteg falhoz közeli részén

∂Y [ > . ∂\

A fenti feltevésekkel (10.19) átalakítható:

τ = ρ κ \

Bevezetve az X =

τ ρ

∂Y ∂\ [

⇒

τ ∂Y =κ\ [ . ∂\ ρ

P "# ún. súrlódási sebesség fogalmát és szétválasztva a fenti dif!V$

ferenciálegyenletet írható: GY [ X

=

Y G\ DPLEOLQWHJUiOiVXWiQDGyGLN [ = OQ \ + .RQVW κ κ \ X

Alakítsuk át az egyenlet jobb oldalát: Y[ X

=

\ X X − OQ + .RQVW OQ κ ν κ ν

A határréteg egy adott metszetében X állandó, ezért a fenti egyenlet két utólsó tagja egy K konstansba fogható össze: Y[ X

=

\ X +. OQ . κ ν

(10.21)

A (10.21) összefüggést univerzális (logaritmikus) faltörvénynek nevezzük, amely állandóira κ = és . = adódott aNtVpUOHWHNEO(]D]HJ\V]HUpVQ\LOYiQYDOyDQGXUYDNö]HOtWpVHNNHOOHYH]HWHWW|VV]HIJJpVPHJOHSHQSRQWRVDQtUMDOHDWXUEXOHQVKDWiUUpWHJHNIDlhoz közeli rétegében a sebességmegoszlást. Turbulens határrétegeknél a fal jelenléte megakadályozza a közvetOHQ N|]HOpEHQ OpY UéWHJEHQD]|UYpQ\HNNHOHWNH]pVpWIDOUDPHUOHJHVLUiQ\~PR]JiViW0LYHOHUpWHJEHQDYLVzkoziWiVGRPLQiODIDON|]YHWOHQN|]HOpEHQOpYUpWHJHWviszkózus (vagy gyakran lamináris) 110

alaprétegnek nevezzük. E rétegben Newton viszkozitási törvénye (1.2) értelmében τ = τ = µ

∂Y ∂Y [ , azaz µ = ρ ν figyelembe vételével: X = ν [ adódik. A differenciál∂\ ∂\

egyenletet szétválasztva:

Integrálás után adódik:

GY [

Y[ X

X

=

=\

X G\ összefüggést kapjuk. ν

X + & . Ha \ = Y [ = , ezért & = . ν

Mindezekkel a fal melletti viszkózus alaprétegben a sebességmegoszlást a Y[ X

=

\ X ν

(10.22)

összefüggés írja le. Tekintsük a 10.5. ábrát, ahol a dimenziótlan faltávolság

Y \ X függvényében vittük fel a [ ν X

dimenziótlan sebességet.

10.5. ábra

A fél-logaritmikus diagramban a kis faltávolságoknál érvényes, a (10.22) összefüggéssel leírt lineáris sebességmegoszlás egy görbét ad, amely törvényt leíró egyenesbe.

\ X ≅ és 30 között átmegy a (10.21) logaritmikus falν

\ X > értékeknél a sebességmegoszlás eltér az egyeQHVWO ν

Látható tehát, hogy a viszkózus alapréteg vastagsága

\ X ≅ alapján számolható, az ν

univerzális faltörvény érvényességi tartománya pedig ≤

\ X ≤ . A határUpWHJNOV ν

UpV]HLQ|UYpQ\HVVHEHVVpJPHJRV]OiVOHtUiViUDNO|QE|]HPSLULNXVYDJ\IpOHPSLULNXV|szszefüggések szolgálnak.

111

10.6. ábra A 10.6. ábraNO|QE|] \ + =

\ X pUWpNHNQpOPXWDWMDD]iUDPOiVMHOOHP]LW$EDO oldali ν

képen (y + = D YLV]Ny]XV DODSUpWHJUH MHOOHP] iUDPNpS D N|]pSVQ y + =101) kialakult turbulens áramlás látható. A jobb oldali kép (y + =407) a logaritmikus faltörvény érvényességi határán kívüli rendezett áramlást mutatja, amelyet csak helyenként zavar meg a turbulens zónából származó nagy örvény. Annak érdekében, hogy érzékeljük a határréteg méreteit, a sebességnövekedés rohamosságát, számítsuk ki egy ' = PP iWPpUMKHQJHUHVFVEHQDIDOPHOOHWWNLDODNXOyYLVzkózus alapréteg vastagságát és az univerzális faltörvény érvényességi tartományát. (A száPtWiV VRUiQ IHO NHOO KDV]QiOQL QpKiQ\ IRJDOPDW pV |VV]HIJJpVW DPHO\HW FVDN NpVEE WirJ\DO D MHJ\]HW (]HNHW PHJNO|QE|]WHWpVO ]iUyMHOEH WHVV]N $ FVEHQ OHYHJ iUDPOLN ρ = 5H =

NJ P

, ν = ⋅ −

P P , átlagsebessége legyen Y = . (A Reynolds-szám értéke V V

Y' = , a λ FVV~UOyGiVLWpQ\H]pλ = (J\HQOYpWpYHHJ\/KRVV]~Vágú ν

HJ\HQHVFVEHQNHOHWNH]D |VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWy ∆S nyomásveszteség és a FVNHUHV]WPHWV]HWV]RU]DWiWD τ IDOLFV~V]WDWyIHV]OWVpJpVD]/KRVV]~ViJ~FVIDOIHOOHWének szorzatával kiszámítható a fali csúsztatófeszültség értéke: τ =

ρ Yλ = 3D .

Ezekkel a súrlódási sebesség értékére X = P V adódik. A viszkózus alapréteg vastagságára

\ X = értékhez PP -t kapunk. A viszkózus alapréteg határán a sebesség a ν

|VV]HIJJpVEO V]iPROYD PV Az univerzális faltörvény (10.21) összefüggése \ = − PP intervallumban érvényes. Ezen intervallum szélén, a faltól 6.3 mm távolságban a sebesség 13.7 m/s.

112

A fenti számításból néhány érdekes következtetés vonható le:

−

A fali csúsztatófeszültség viszonylag kicsiny3D DFVEHQOpYiWODJVHEHVVpJJHO számolt ρ

−

Y dinamikus nyomás 0,0044 szerese

A viszkózus alapréteg igen vékonyYDVWDJViJDDFVVXJDUiQDN-a, de e rétegben az áramlási sebesség igen meredeken növekszik, a vékony réteg határán eléri az átlagsebesség csaknem felét.

−

$] XQLYHU]iOLV IDOW|UYpQ\ pUYpQ\HVVpJH D FVNHUHV]WPHWV]HW YLV]RQ\ODJ NLV UpV]pUH D sugár 12%-ára) terjed ki, de az érvényességi tartomány határán a sebesség csaknem PHJHJ\H]LND]iWODJVHEHVVpJJHOD]D]DIDOpVDFVWHQJHO\N|]|WWLVHEHVVpJQ|YHNHGpV MHOHQWVUpV]HDYLV]Ny]XVDODSUpWHJEHQpVLWWMiWV]yGLNOH

Tekintsük a 10.7. ábrát, ahol a sugár függvényében jellegre helyesen vittük fel lamináris és turbulens áramlás eseWpQDKHQJHUHVFVEHQNLDODNXOyVHEHVVpJPHJRV]OiVRNDWpV a csúsztatófeszültség megoszlását. Lamináris esetre, amikor a sebességmegoszlás másodfokú forgás-paraboloid a 9.6. ábrában már bemutattuk ezeket a megoszlásokat. A 10.7. ábra

csúsztatófeszültség sugármenti változásának jellege füg-

getlen attól, hogy az áramlás lamináris vagy turbulens. Tételezzük fel, hogy a τ 0 fali csúsztatófeV]OWVpJ pUWpNH D] iEUi]ROW ODPLQiULV pV WXUEXOHQV FViUDPOiV HVHWpQ XJ\Dnakkora. HRJ\DQ PDJ\DUi]KDWyDVHEHVVpJPHJRV]OiVRNDODNMiQDNNO|QE|]VpJH"$WHQJHO\LUiQ\~ sebesség sugár menti változásának rohamossága és a csúsztatófeszültség közötti kapcsolatot lamináris esetben (és a viszkózus alapréteg esetén) a (9.23) összefüggés adja meg: τ=µ

∂Y [ ∂Y [ , turbulens áramlásra pedig a (10.19) értelmében a τ = µ W kifejezés, ahol µ W ∂U ∂U

a turbulens viszkozitás (ld.(10.20) összefüggés). A fal mellett a lamináris áramlásban ill. a turbulens áramlás viszkózus alaprétegében nagy rohamosViJJDOQDVHEHVVpJDIDOWyOWivolodva, hiszen csak így jöhet létre az (1.2) összefüggés alapján viszonylag kis viszkozitás mellett nagy csúsztatófeszültség. A faltól beljebb haODGYD D VHEHVVpJPHJRV]OiVRN MHOOHJH WHOMHVHQ HOWpU OHV] /DPLQiULV HVHWEHQ WRYiEEUD LV viszonylag rohamosDQ Q D VHEHVVpJ D IDOWyO WiYRORGYD ÄFV~FVRV´ D VHEHVVpJPHJRV]OiV Turbulens esetben viszont a sebességmegoszlás „ellaposodik”, azaz azonos τ csúsztatófeszültséghez a sebességprofil sokkal kisebb meredeksége tartozik. Ez azt mutatja, hogy a µ W turbulens viszkozitás sokkal (ténylegesen egy-két nagyságrenddel) nagyobb, mint az anyagUD MHOOHP] µ GLQDPLNDL YLV]NR]LWiV $ WXUEXOHQV iUDPOiV IDOWyO WiYRODEE OpY 113

részein az áramlás olyan sajátosságokat mutat, mintha egy lényegesen nagyobb (és a hely függvényében változó) viszkozitású közeg áramolna. $KDWiUUpWHJHNiUDPOiVLUiQ\~YiOWR]iViUDLOODFViUDPOiVNLDODNXOiViUDYRQDWNR]yDQQéhány megjegyzést teszünk:

−

Ha az áramlásba egy szilárd testet helyezünk, akkor annak áramlással szembefordított felületén torlópont alakul ki. A torlóponttól kiindulóan lamináris határréteg keletkezik – függetlenül attól, hogy a test körüli áramlás lamináris vagy turbulens. A torlóponttól távolodva a lamináris határréteg egy átmeneti zóna mögött általában turbulenssé válik. Amint láttuk, a turbulens határréteg „alján” viszkózus alapréteg van. A turbulens határréteg kialakulásának távolsága az áramlási seEHVVpJWODN|]HJYLV]No]LWiViWyODNOViUDPOiVWXUEXOHQFLDIRNiWyODIHOOHWpUGHVVpJpWOVWEIJJ$ODPLQáris-WXUEXOHQV iWDODNXOiVW HOLGp]KHWMN D] iUDPOiV PHJ]DYDUiViYDO SO D IHOOHWHQ D] áramOiVUDPHUOHJHVHQHOKHO\H]HWWKX]DOODOWXUEXOHQFLDJenerátorral).

−

A határrétegben áramló közeg mennyisége az áramlás irányában folyamatosan QKLV]HQHJ\UHW|EEN|]HJUHKDWDYLV]NR]LWiVUpYpQDV]LOiUGIDOIpNH]KDWiVDA haWiUUpWHJ YDVWDJViJD LV Q – HUVHQ J\RUVXOy iUamlások kivételével – az áramlás irányában.

−

/HNHUHNtWHWWEH|POQ\tOiVRQNHUHV]WOHJ\FVEHEHiUDPOyN|]HJpVDFVIDON|OcsönKDWiVDN|YHWNH]WpEHQDFVEHOVHMpEHQDIDORQKDWiUUpWHJDODNXONL$KDWiUUpWHJD]HO ]HNEHQ bemutatott módon vastagszik és meghatározott feltételek fennállása esetén WXUEXOHQVVpYiOLN0LN|]EHQDKDWiUUpWHJV]pOHDFVKRVV]DQ|YHNHGWpYHODIDODNLUáQ\iEyO N|UEHQ N|]HOtW D FV WHQJHO\H IHOp D SRWHQFLiORVQDN WHNLQWKHW EHOV iUDPOiV (amelyet a s~UOyGiV KDWiVD D]D] D KDWiUUpWHJPpJQHPpUWHO VHEHVVpJHDFVKRVV]D mentén állanGyDQ Q $ EH|POpVWO WiYRORGYD XJ\DQLV HJ\UH QDJ\REE D FVNHUHV]Wmetszet azon része, ahol az áramlási sebesség a súrlódás következtében lecsökkent, ugyanakkor a folytonoVViJ WpWHOH PLDWW D] iWODJVHEHVVpJ QHP YiOWR]KDW D FV KRVV]D mentén. Tovább távoORGYDDEH|POpVWODKDWiUUpWHJHOpULDFVWHQJHO\pWpVDFVEHQ adott távolságon belül kialakul az a lamináris vagy turbulens áramkép, amely az egyenes és állandó keresztmetV]HW FV KRVV]D PHQWpQ WRYiEE PiU QHP YiOWR]LN (]W D] áramképet kialakult lamináULV YDJ\ WXUEXOHQV FViUDPOiVQDN nevezzük és azt a FVKRVV]DW DPHO\UH V]NVpJ YDQ D NLDODNXOW FViUDPOiV OpWUHM|WWpKH] kezdeti cs hossznak (O N P QHYH]]NDPHO\QHNGFViWPpUK|]YLV]RQ\tWRWWKRVV]D

114

−

lamináris áramlás esetén:

ON = 5H, G

−

turbulens áramlás esetén:

ON = 5H . G

A Re (Reynolds szám) definícióját a (10.1) összefüggésben adtuk meg.

115

11. A határrétegek sajátosságai, hatásuk $]HO]IHMH]HWEHQGHILQLiOWXNDKDWiUUpWHJHWa szilárd fal melletti áramlásban a súrlóGiVKDWiViUDOpWUHM|YUpWHJDPHO\EHQDVHEHVVpJDIDOPHOOHWWpUYpQ\HV]pUXVUyODIDlWyO WiYRO pUYpQ\HV ~Q KDWiUUpWHJHQ NtYOL VHEHVVpJUH Q $ KDWiUUpWHJEHQ D V~rlódásnak nagy szerepe van, azon kívül a súrlódás hatása általában elhanyagolható. Ebben a fejezetben a határrétegek legfontosabb hatásait tárgyaljuk.

11.1. A határréteg „kiszorít” $IDOPHOOHWWNLDODNXOyUpWHJEHQOHIpNH]GLNDN|]HJH]iltal a fal közelében adott térfogatáram kisebb átlagsebességgel vastagabb sávban áramlik át. A határréteg létrejötte tehát a határrétegen kívüli áramlást mintegy „kiszorítja”, olyan hatást gyakorol rá, mintha a test „kövérebb” lenne. A 11.1. ábrán egy határréteg sebességmegoszlása látható.

11.1. ábra

A határréteg vastagsága δ. Jelöljük δ -gyel az ún. kiszorítási vastagságot, amelynek értéke megmutatja a zavartalan áramlás határréteg miatti „elmozdításának” mértékét. A δ értékét abból a megfontolásból kiindulva határozzuk meg, hogy a fal és a határréteg széle között a határrétegEHQiWiUDPOyWpUIRJDWiUDPRWHJ\HQOYp tesszük azzal a térfogatárammal, amely a határrétegen kívüli V sebességgel a (δ − δ ) vastagságú rétegen áramlana át. Tehát δ -gyel vékonyabb rétegben áramlana át ugyanannyi súrlódásmentes közeg.

1δ − δ 6 9 = I Y δ

I1 δ

[

G\ ⇒ δ 9 =

6

9 − Y [ G\ ,

DPLEODNLV]RUtWiVLYDVWDJViJ

I δ

δ =

−

Y[ G\ . 9

(11.1)

Csak a nagyságrend érzékeltetésére: egy személygépkocsi hátsó részén a határréteg vastagsága néhányszor tíz mm, a kiszorítási vastagság pedig ennek kereken tizede, néhány mm.

$KDWiUUpWHJEHQKpVDQ\DJiWDGiVMiWV]yGLNOH $PV]DNLIHODGDWRNMHOHQWVUpV]pQpOD]iUDPOyN|]HJJHOpULQWNH]V]LOiUGWHVWpVDN|]HJ N|]|WWQHPFVDNV~UOyGyHUOpSIHOGHDV]LOiUGIHOOHWpVDN|]HJN|]|WWKLOODQ\DJis

átadódhatJRQGROMXQNDKFVHUpONUHpVDV]iUtWiVIRO\DPDWiUD$]LPSXO]XV-DK- és az anyagátadás mechanizmusa igen hasonló, különösen turbulens határrétegekben a viszkózus DODSUpWHJHQ NtYO DKRO D] LGEHOL iWODJVHEHVVpJUH PHUOHJHVHQ HOPR]GXOy „folyadékcsoPDJRN´|UYpQ\HNIHOHOVHNPLQGKiURPPHQQ\LVpJHJ\WWOH]DMOyWUDQV]SRUWMipUW Egy „folyaGpNFVRPDJ´HJ\LNUpWHJEOHJ\HOWpUVHEHVVpJKPpUVpNOHWpVNRQFHQWUiFLyM~Uétegbe elmozdulva e rétegben impulzus-K- és koncentráció-változást okoz. Ezért a határréWHJ D KPpUVpNOHWL pV D NRQFHQWUiFLy-határréteg vastagsága turbulens esetben nem sokkal különbözik egymástól. Láttuk azonban, hogy a turbulens impulzustranszportra („vezeWpVUH´ MHOOHP]µ W örvényviszkozitás egy-két nagyságrenddel nagyobb a µ-nél, ugyantJ\DWXUEXOHQVKYH]HWpVLOOGLII~]LyLVHJ\-két nagyságrenddel intenzívebb a molekuOiULVIRO\DPDWRNiOWDOHOLGp]HWWKYH]HWpVQpOpVGLII~]LyQiO, amelyek a lamináris határrétegben dominálnak.

11.3. A határrétegben csúsztatófeszültségek keletkeznek Tekintettel arra, hogy a határrétegben változik a legrohamosabban a sebesség, itt a legnagyobb a deformációsebesség, ezért itt kell a legnagyobb csúsztatófeszültségekkel számolnunk. A csúsztatófeszültségek nagyságrendjéreMHOOHP]D τ fali csúsztatófeszültség, amelyet a F I helyi V~UOyGiVLWpQ\H]YHO szoktunk jellemezni: F I =

τ , ρ 9

(11.2)

azaz a helyi fali csúsztatófeszültséget a határrétegen kívüli sebességgel számított dinamikus nyomáshoz viszonyítjuk. A 11.2. ábrán egy síklap esetén látható F I a Reynolds-szám függvényében, amelynél az L jellem] PpUHW D YL]VJiOW KHO\ pV D VtNODS iUDPOiVVDO 11.2. ábra

szembeIRUGtWRWW~QEHOpSpOHN|]|WWLWiYROViJ$ORJ-

log diagramon látható a lamináris és a turbulens határrétegre vonatkozó két egyenes, azaz a F I -Re kapcsolatot hatványfüggvények írják le. A legfontosabb tanulság, ami a diagramból levonható az, hogy a fali csúsztatófeszültségek igen kicsik, F I a néhány ezred, azaz a τ D GLQDPLNXV Q\RPiV QpKiQ\ H]UHOpNH $ KHQJHUHV FVUH YRQDWNR]y számításunknál τ = 3D értéket kaptunk, amelyhez F I ≅ tartozik.) A csúsztatófeszültségek kis pUWpNHLEO DUUD D WpYHV N|YHWNH]Wetésre juthatunk, hogy a súrlódás kis szerepet játszik pl. HJ\DXWyUDKDWyHUV]HPSRQWMiEyOKLV]HQD]iWODJRV τ -lal megszorozva az autó teljes felüOHWpWWpQ\OHJFVDNQpKiQ\1HUWNDSXQN0pJMREEDQPHJHUV|GLNEHQQQNH]DJRQGR-

117

lat, ha a szokásos F I értékeket összehasonlítjuk pl. egy, az áramlásba helyezett test felüleWpQNHOHWNH]Q\RPiVUDMHOOHP]F S Q\RPiVWpQ\H]jellem]pUWpNHLYHO FS =

S − S ρ 9

(11.3)

$Q\RPiVWpQ\H]PD[LPiOLVpUWpNpWF S PD[ = ) a torlópontban veszi fel, legkisebb értéke szokásos körülmények között F S PLQ = − körüli. A F S értékek tehát szokásosan 2-3 nagyságrenddel haladják meg a F I értékeket, azaz ugyanilyen arányban nagyobbak a nyomásból sziUPD]yHUNDFV~V]WDWyIHV]OWVpJHNEOV]iUPD]yHUNQpO0pJLVDFV~V]WDtóIHV]OWVpJHNQHNG|QWMHOHQWVpJNYDQPHUWD]H]HNEOV]iUPD]yNLVHUNDKDWiUréteg leválását okozzák OGN|YHWNH]DOIHMH]HW pVH]iOWDODODSYHWHQPHJYiOWR]WDtják az áramkéSHWDWHVWHQNHOHWNH]Q\RPiVPHJRV]OiVWpVtJ\DWHVWUHKDWyHUW. A súrlóGiVDODSYHWKDWiVDWHKiWiOWDOiEDQHJ\ERQ\ROXOWPHFKDQL]PXVRQD]iUDPNpSpVH]iOWDOD nyomásmegoszlás megváltozásán keresztül, és nem közvetlenül érvényesül, pl. egy áramlásbaKHO\H]HWWWHVWUHKDWyHUWHNLQWHWpEHQ

11.3. ábra A 11.3. ábraSOHJ\iUDPOiVVDOSiUKX]DPRVWHQJHO\KHQJHUP|J|WWLOHYiOiVLEXERUpNRWpV Q\RPRWPXWDWEH$OHYiOiVLEXERUpNEDQDQ\RPiVN|]HOtWOHJiOODQGypVN|]HOPHJHJ\ezik azzal a nyomással, amit egyDOHYiOiVLEXERUpNRWNLW|OWDKHQJHUKH]FVDWODNR]yWHVWIHOszínén mérnénk.

118

11.4. A határréteg leválik A 11.4. ábrán egy klasszikus kísérlet eredményét vázoljuk. A bal oldalon egy síkáramOiVEDQD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHPHUOHJHVHQHOKHO\H]HWWODSKDWására kialakuló ún. torlópontáramlást látunk. Ha a torlópontbaYH]HWHJ\HQHViUDPYRQDODNiOWDONLMHO|OWVtNEDHJ\Yékony szilárd lapot helyezünk a falhoz, az áramkép váratlan drámai változását figyelhetjük meg: ld. jobb oldali ábra. Mi okozhatta a szilárd falon a visszaáramlás kialakulását?

11.4. ábra A fal fölötti áramkép részletei a 11.5.a. ábrán láthatók:

11.5. ábra $WRUOySRQWiUDPOiVIMHOOHJ]HWHVVpJHKRJ\DN|]HJnyomásnövekedéssel szemben áramlik és a nyomástér hatására lassul. A falhoz közel lpY IRO\DGpNUpV]HNHW QHPFVDN D 119

nyomásnövekedés, hanem a falsúrlódás is lassítja. Ezért áramlás irányban rohamosan lasVXOQDNDJ\RUVDQYDVWDJRGyKDWiUUpWHJEHQOpYIRO\DGpNUpV]HN+DD]ÄHJpV]VpJHVŃlViUDPOiVQHPNpSHVLPSXO]XVFVHUHUpYpQPR]JiVEDQWDUWani a határrétegben áramló folyadékrészeket, akkor azok megállnak és a nyomáskülönbség hatására a fal mellett visszaáramló folyadékrészek a határrétegben áramló közeget elválasztják a faltól és az áramlási tér belsejébe terelik: a határréteg leválik. (ld. 11.5.a. ábra) A határréteg leválásnak tehát két szükséges feltétele van:

−

fal közelsége,

−

iUDPOiVLUiQ\iEDQQ|YHNYQ\RPiV

A 11.5.b./ és c./ábra a határrétegben láthatóvá tett áramlást mutatja be két esetben. A b./ áramkép áramlás irányában FV|NNHQQ\RPiVKR] tartozik, azaz az áramlás gyorsul. Ebben az esetben a határréteg vékony marad (esetleg vékonyodik, és a turbulens határréteg laminárissá válhat.) A c./ esetben áramlás irányában QDQ\RPiV, amelyhez a határréteg vastagodása, majd leválása tartozik. A képen jól látható, hogy a határréteg láthatóvá tett közegrészei „leválnak” a falról, és az áramlási tér belseje felé áramlanak. Tekintsük a 11.6. ábrát, ahol egy síkáramlásba helyezett henger körüli áramképet vázoltuk: az ábra alsó felén a súrlódásmentes áramlás esetén érvényes áramképet, felül pedig a határréteg leválás folyamatát. Súrlódásmentes közeg eseWpQ QHP KDW HU D KHQJHUUH, a sebesség- és 11.6. ábra

nyomásmegRV]OiVDIJJOHJHVWHQJHO\UHV]LPPHWULNXV$]

vonaODNJ|UEOHWpEOOGDWHUPpV]HWHVNRRUGLQiWD-rendszerben áramvonaODN J|UEOHWpEO OG felírt D WHUPpV]HWHV Euler-egyenlet NRRUGLQiWD(4.27) normális irányú komponens egyenlete) is látható, hogy a közeg a henger áramlással szemEHQp] KRPORNIDOiQ FV|NNHQ Q\RPiV LUányában gyorsulva áramlik. Itt tehát akkor sincs leválási veszély, ha az áramló közeg súrlódásos. A henger hátsó részén azonban a fal melOHWWL N|]HJUpV]HN Q|YHNY Q\RPiV LUiQ\iEDQ iUDPRlnak és súrlódásos közeg esetén a 11.5.a./ábrán is látható módon határréteg leválás következik be. A leválás miatt módosul az áramkép és könnyen beláthatóan a lassuló áramlás kezdete és így a leválás helye is az óramutató járásával ellentétesen mozdul el a henger felületén. Egyensúlyi állapot alakul ki, ahol a leválás helye kb. ° -NDODIJJOHJHVitPpUÄHOWWíOODQGyVXO(]D]iUDPNpS– DPLQWD]WNpVEEOiWQLIRJMXN–DUUDD]HVHWUHYRQDWNR]LNDPLNRUDKHQJHUKRPORNIDOiQOpY határréteg lamináris.) A henger körüli áramképet mutatja be a 11.7. ábra bal oldali része. A képen a henger két oldalán felváltva, periodikusan leúszó örvények (Kármán-féle örvénysor) egyikének keletkezése látható. E jelenséggel a 14. fejezetben foglalkozunk részletesen. Az ábra jobb oldaOiQ OiWKDWy D KHQJHU IHOOHWpQOpYQ\RPiVYiOWR]iVDDN|]pSSRQWLVzög

120

függvényében: az A görbe a súrlódásmentes esetre, a B görbe pedig az általunk tárgyalt iUDPNpSKH]WDUWR]LN$&J|UEHWiUJ\DOiViUDNpVEEYLVV]DWpUQN

11.7. ábra $Q\RPiVNHUOHWPHQWLYiOWR]iViWYL]VJiOYDQpKiQ\PHJiOODStWiVWHKHW

−

V~UOyGiVPHQWHVN|]HJiUDPOiVDHVHWpQDKHQJHUPHJI~YiVLLUiQ\UDPHUOHJHViWPpUjének végpontjában a sebesség Y ∞ H]pUW D Q\RPiVWpQ\H] pUWpNH D %HUQRXOOLHJ\HQOHWEOOiWKDWyDQ –3

−

ahol az áramlás gyorsul, ott a valóságos, súrlódásos közeg áramképe általában csak kissé tér el az ideálisétól DPL D Q\RPiVPHJRV]OiVRN QDJ\PpUWpN KDVRQOyságából látható;

−

D KDWiUUpWHJ OHYiOiVD D V~UOyGiVPHQWHV iUDPOiVKR] NpSHVW DODSYHWHQ megváltoztatta az áramképet, ami a henger hátsó részére vonatkozó nyomásmegoszlások küO|QE|]VpJpEOOiWV]LN

−

a leválás hatására kialakuló térben, amelyet leválási buboréknak is nevezünk, a Q\RPiVLGEHOLiWODJDN|]HOtWleg állandó.

−

a nyomásmegoszlás a leválás következtében nagy mértékben aszimmetrikussá vált, H]pUWDKHQJHUUHiUDPOiVLHUHGHWHUKDW

121

-HOOHP] SpOGDNpQW YL]VJiOMXN PHJ D] iUDPOiVW HJ\ diffúzorban, amely egy, az áramlás irányában növekY NHUHV]WPHWV]HW FVGDUDE (ld. 11.8. ábra) LeJ\HQDN|]HJVUVpJHiOODQGy6~UOyGiVPHQWHVHVHWben DGLDJUDPRQOiWKDWyIRO\WRQRVYRQDOQDNPHJIHOHOOHnQHDN|]HJODVVXOiViYDO|VV]HIJJQ\RPiVnövekedés. A Bernoulli-egyenlet alkalmazásával:

1S

− S

6

=

LGHiOLV

4

ρ Y − Y

9

(11.4)

11.8. ábra

Valóságban a diffúzor fala közelében a nyomásnövekedéssel szemben áramló folyadékrészek a súrlódás következtében még rohamosabban lassulnak mint a faltól távoliak, a határréteg gyorsan vastagodik, esetleg leválás következik be. Emiatt a NL|PONHUHV]Wmetszetben nem egyenletes a sebességmegoszlás (amit a (11.4) összefüggés felírásánál feltettünk), a fal közelében vagy visszaáramlás (ld. 11.9. ábra), vagy jobb esetben is kiterjedt, kiVHEE VHEHVVpJJHO MHOOHPH]KHW ]yQD YDQ $ GLII~]RU N|]pSV UpV]pQ SHGLJ D GLII~]RU Neresztmetszet viszonyából számolható Y átlagsebességnél nagyobb a nyomás szempontjá-

1

ból mértékadó sebesség, azaz a S − S

6

YDOy

valóságos nyomásnövekedés nem éri el a súr-

OyGiVPHQWHViUDPOiVHVHWpQV]iPtWRWWDW$GLII~]RUPNödését az η GLII diffúzor hatásfokkal szoktuk jellemezni:

η GLII =

1S − S 6 1S − S 6

YDOy

11.9. ábra

122

LG

(11.5) .

$ KDWiUUpWHJ KDVRQOy OHYiOiVD RNR] MHOHQWV iUDPNpS YiOWR]iVW SO HJ\ QDJ\ iOOiVV]|J V]iUQ\IHOVUpV]pQHJ\V]HPpO\DXWyKiWVyUpV]pQHJ\tYHOWFV-könyökben stb. A határréteg lHYiOiVDVRNHVHWEHQNHGYH]WOHQ+RJ\DQOHKHWQHDOHYiOiVWPHJDNDGiO\R]QL"

−

$]HJ\LNOHKHWVpJ– inkább csak kuriózumként – a fal mozgatása együtt az áramlással.

−

Gyakorlati szempontból fontos módszer a nyomásnövekedés rohamosságának (ezáltal a határrétegben áramló közeg lassításának) csökkentése (pl. a diffúzor kúpszöJpQHNYDJ\DV]iUQ\iOOiVV]|JpQHNFV|NNHQWpVHDFVtYJ|UEOHWLVXJDUiQDNQ|YHOpVH a karosszéria éleinek lekerekítése, a hátsó rész fokozatos „összehúzása” stb.)

−

7RYiEELOHKHWVpJa falhoz közel áramló közegrészek sebességének növelése:

•

a lelassult közegrészek eltávolításával: határréteg-elszívás,

•

a közegrészek gyorsításávalQDJ\VHEHVVpJVtNOHYHJVXJiUbefúvása a fal mel-

lett,

•

a határrétegen belüli impulzuscsere növelésével: a lamináris határréteg turbu-

lenssé tételével ill. a turbulencia növelésével. Itt térünk vissza a 11.6. ábránOiWKDWyiUDPNpSKH]LOO&MHOJ|UEpKH]+DDKHQJHUKRPORkfelületén lamináris határréteg alakul ki, viszonylag kis nyomásnövekedés már a határréteg leválását eredményezi. Ha a Reynolds-szám növelésével, vagy az áramlás megzavarásával turEXOHQVVpWHVV]NDKDWiUUpWHJHWD]DEEDQYpJEHPHQnagyságrendekkel nagyobb turbuOHQVLPSXO]XVFVHUHHOHJHQGHQHUJLiWV]iOOtWDKDWiUUpWHJDOVyUpV]pEHDKKR]KRJ\D haWiUUpWHJEHQ OpY IRO\DGpNUpV]HN WRYiEE OHV]QHN NpSHVHN nyomásnövekedés ellenében áramolni(]WNU|]GLND11.6. ábránpVD&MHOJ|UEpEOOiWKDWyKRJ\DOHYiOiVOényegesen hátrább következik be, emiatt a leválási buborék sokkal kisebb, és a henger hátsó UpV]pQDOHYiOiVLEXERUpNEDQOpYQ\RPiVVRNNDOQDJ\Rbb, mint lamináris határréteg esetén. A haWiUUpWHJEHQ EHN|YHWNH] ODPLQiULV-WXUEXOHQV iWDODNXOiV D KHQJHUUH KDWy HU KDrmadára csökkenését eredményezi.

123

A 11.10. ábra egy ívelt felületen kialakuló, láthatóvá tett lamináris és turbulens határréteget mutat be. Amíg a lamLQiULVKDWiUUpWHJIHOVNpS DOHJPDJDVDEESRQWXWiQU|JW|QOHYiOLN addig a turbulens határréteg jó darabig képes nyomásgradienssel szemben áramolni, és csak azután válik le.

11.10. ábra

11.5. A határréteg szekunder áramlást okoz Ha fel akarjuk keverni a cukrot a teában, akkor a kanál mozgatásával egy N|UN|U|ViUDPOiVWKR]XQNOpWUHDSRKiUEDQ0LKR]]DIHODWHDIHOVUpWHgeihez a cukrot, ha az általunk létrehozott áramlásban körpályán mozognak a folyadékrészek? Vizsgáljuk meg a nyomás változását a sugár 11.11. ábra

mentén. Alkalmazzuk a természetes koordináta-rendszerben felírt EuleregyenOHW QRUPiOLV LUiQ\~ NRPSRQHQV HJ\HQOHWpW DPHO\ D WpUHU

elhanyagolása esetén a

; ∂5 = DODNEDQ tUKDWy IHO $ SRKiUEDQ OpY iUDPOiVEDQ D] # ρ ∂3

áramYRQDODN N|]HOtWHQ N|U DODN~DN UiMXN PHUOHJHVHQ VXJiULUiQ\EDQ D Q\RPiV D IHQWL összeIJJpVEOOiWKDWyDQQ(]pUWPagasabb a folyadékfelszín a pohár szélén, mint középen.) A nyomásmegoszlást a pohárban forgó, és a pohár alja által le nem fékezett folyadék sebességmegoszlása határozza meg. A pohár alsó részéhez közel azonban egy határréteg DODNXO NL DPHO\EHQ D VHEHVVpJHN NLVHEEHN PLQW D PDJDVDEEDQ OpY IRO\Ddékrészeké. A lassabban forgó folyadékrészek kisebb nyomáskülönbséget hoznak létre, mint ami a pohárban kialakul, azaz a pohár alján a határrétegben egy spirálishoz hasonló, befelé irányuló áramlás indul meg (ami a tealaveleket tapasztalataink szerint középre, a cukrot pedig a tea felV UpWHJHLEH YLV]L OG 11.11. ábra). A pohár alja közelében a tengely irányában befelé áramló közeg pótlására a fal mellett lefelé áramlás, középen pedig felfelé áramlás indul meg, amely hozzáadódik a körköU|V ÄIáramláshoz” (ld. 11.11. ábra). Ezt a domináns áramlásra szuperponáló áramlást szekunder áramlásnak nevezzük. A határréteg léte az ismertetett példához hasonló okokból szekunder áramOiVWRNR]SOFVtYEHQYDJ\IRO\ykanyarban. Ez utóbbi esetben a homorú partról a domború felé irányuló szekunder áramlás hordja át a földet a homorú partról a szemköztire aminek következménye a folyókanyarok öblösödése. 124

12. Az áramlások hasonlósága A 9. és 10. fejezetben foglalkoztunk a Navier-Stokes-egyenlettel és megállapítottuk, hogy az – különösen turbulens áramlás esetén – igen nehéz, általában lehetetlen megoldani. UgyanDNNRU D PV]DNi feladatok megkövetelik, hogy meghatározott kérdésekre választ adMXQN $ GLIIHUHQFLiOHJ\HQOHWHN PHJROGiVD PHOOHWW D PV]DNL IHODGDWRN PHJROGiViQDN fontos eszköze a kísérlet, amelyet technikai és költségkimélési okokból is gyakran az eredeti berendezés kismintáján hajtunk végre. Így pl. ha meg kell határozni egy hajó PRWRUMiQDNHOtUWVHEHVVpJHOpUpVpKH]V]NVpJHVWHOMHVtWPpQ\pWYDJ\DNRUUHNWV]LOiUGViJL méreWH]pVKH] LVPHUQL NHOO HJ\ V]HUNH]HWUH YDJ\ pSOHWUH KDWy V]pOHUW FVDN kismintakísérletek jöhetnek szóba. (J\ NLVPLQWDNtVpUOHWQHN FVDN DNNRU YDQ pUWHOPH KD HUHGPpQ\H PHJIHOHO EL]WRQViJJDO átYLKHWIHOKDV]QiOKDWyDQDJ\NLYLWHOQpO(]DIHOWpWHODNNRUYDOyVXOPHJKDD kisminta és a nagy kivitel körüli áramlás hasonló. Vizsáljuk meg az áramlások hasonlóságának feltételeit összenyomhatatlan közegek esetén. A 12.1. ábrán egy hajó és kismintája látható. Az iUDPOiVUDMHOOHP]VHEHVVpJpVPpUHWOHKHWSOD]avartalan sebesség v0 és v0m ill. a hajó és a modell hossza l 0 és l 0m $ MHOOHP] PpUet és sebesség KiQ\DGRVD 12.1. ábra

t0 =

HJ\

MHOOHP]

LGW

HUHGPpQ\H]

l0 l ill. t 0m = 0 m . Írják le a sebesség-megv0 v 0m

oszlást és a nyomásmegoszlást a nagy kivitelben az alábbi függvények, amelyekben mind a IJJHWOHQPLQGDIJJYiOWR]yNGLPHQ]Lytlanok:

v x y z t =f , , , l0 l0 l0 t 0 v0

és p ρv

2 0

=F

x , y , z , t l l l t . 0

0

0

(12.1)

0

A kisminta körüli áramlás akNRU KDVRQOy D QDJ\ NLYLWHOpKH] KD PHJHJ\H] IJJYények írják le a sebesség és nyomásmegoszlást WHUPpV]HWHVHQ D NLVPLQWiUD MHOOHP] v 0 m , l0 m , és t 0m − mel dimenziótlanított formában. Mi ennek a feltétele? Mikor azonos a dimenziótlan sebességet és nyomást leíró függvény a nagy kivitelnél és a kismintánál? Nyilván akkor, ha ugyanaz a dimenziótlan differenciálegyenlet-rendszer írja le és ugyanazok a kezdeti- és peremfeltételek a dimenziótlan hely-pVLGNRRUGLQiWiNEDQ Írjuk fel a Navier-Stokes-egyenlet x irányú komponens egyenletét a (9.17) összefüggés alapján!

∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂Y [ ∂ Y [ ∂ Y [ ∂ Y[ ∂S + Y[ + Y\ + Y] = J[ − +ν + + ρ ∂[ ∂W ∂[ ∂\ ∂] ∂[ ∂\ ∂]

6]RUR]]XNEHD HJ\HQOHWPLQGNpWROGDOiQOpYWDJRNDW

l0 v 20

(12.2)

− tel , azaz dimenziótlanít-

suk a Navier-Stokes-egyenlet x komponens egyenletét:

∂

v v x

∂ l

0

t / 0 v0

v + x v0

v v +.... = g l x v ∂ l

∂

∂

x

0

0

x

2 0

−

p−p ρ v ν ∂ x + v l l 0

2 0

0

0

0

0

v ∂ v x +.... . ∂ l 2

x

0

2

(12.3)

0

$KDVRQOyV]HUNH]HWWDJRNEyOFVDNHJ\QHN-egynek mutattuk be a dimenziótlanítását.) A nyomást egy S állandó vonatkoztatási nyomáshoz viszonyítottuk, amellyel a hely szerinti differenciálhányados nem változott. Hasonlóképpen fel lehet írni a dimenziótlanított Navier-Stokes-egyenlet y és z komponens egyenletét, valamint a kontinuitás dimenziótlanított formáját, figyelembe véve, hogy a Navier-Stokes-egyenlet alkalmazásakor már eldöntöttük, hogy ρ = iOO feltételezéssel élünk. Ez esetben a folytonosság egyenlete GLYY = alakot ölti, ami dimenziótlanítva:

v ∂ v ∂ v v + v + v =0 x y z . ∂ ∂ ∂ l l l

∂

x

y

z

0

0

0

0

0

0

(12.4)

A három Navier-Stokes komponens egyenlet és a folytonosság egyenlete egy parciális differenciálegyenlet-rendszert alkot, amelyet adott kezdeti- és peremfeltételekhez egy megoldást ad a négy ismeretlenre (a három sebességkomponens és a nyomás dimenziótlan alakjára). Két áramlás hasonló, ha a/

azonos dimenziótlan differenciálegyenlet írja le mindkét áramlást, ami azt jelenti, KRJ\ D |VV]HIJJpVEHQ pV D WRYiEEL NpW NRPSRQHQV HJ\HQOHWEHQ V]HUHSO álODQGyQDN pV HJ\WWKDWyQDN D]RQRV pUWpNQHN NHOO OHQQLH D NpW iUDPOiVUD vonatkozóan. A nagy kivitel és a modell esetén ez azt jelenti, hogy g x l0 v 20

=

g xm l0 m v 20m

126

, és

(12.5)

νm ν = v 0 l0 v 0m l0 m ;

(12.6)

b/ és ha azonosak a kezdeti és peremfeltételek. Ezt a feltételt általában a modell és a nagy kivitel geometriai hasonlóságával, az áramlási tér peremén hasonló viszonyok biztosításával pV D] LQVWDFLRQiULXV KDWiVRN PHJIHOHO PRGHOOH]pVpYHO OG NéVbb) valósíthatjuk meg. $ pV |VV]HIJJpVEHQV]HUHSONLIHMH]pVHNKHO\HWWDKDJ\RPiQ\RNQDNPHJIHOeOHQD]RNUHFLSURNiWLOODQQDNJ\|NpWKDV]QiOMXNDPHO\HNQHNQHYHL

Froude-szám:

Fr =

Reynolds-szám: Re =

v0

(12.7)

g l0 v 0 l0 ν

(12.8)

A két áramlást leíró dimenziótlan differenciálegyenlet rendszer tehát a Reynolds-szám és a Froude-szám azonossága esetén egyezik meg. A Froude- és Reynolds-számot más, hasonlóan dimenziótlan mennyiségekkel együtt hasonlósági számoknak is szoktuk nevezni. A Froude-szám és a Reynolds-sziP D]RQRVViJiQDN HJ\LGHM EL]WRVtWiVD iOWDOiEDQ QHKp] YDJ\OHKHWHWOHQIHODGDW/HJ\HQDPRGHOONtVpUOHWWiUJ\DHJ\DXWyOpSWpNPRGHOOMH0LuWiQDV]pOFVDWRUQiEDQiUDPOyOHYHJν viszkozitása megegyezik az autót körüláramló leveJYLV]NR]LWiViYDOD5H\QROGV-V]iPD]RQRVViJDIHOWpWHOEO Re m = Re ⇒

l ν l v 0m = 0 m = 0 adódik. A Frm = Fr IHOWpWHOEOSHGLJ l0m ν l0 m v0 v 0m = v0

l0 m , miután g m = g . l0

Látható, hogy a Re azonosságát a sebesség négyszeresére növelésével, a Fr azonosságát pedig felére csökkentésével lehet megvalósítani. Vizsgáljuk meg, hogy ebben az esetben szükség van-HPLQGNpWIHOWpWHOHJ\LGHMEHWDUWiViUD" +DD]iUDPOiVLWHUHWNLW|OWLD]iUDPOyN|]HJPLQWD]HOEELSpOGiQNQiO D]DOiEELPHJIRntoOiVRN WHKHWN ÈOOy N|]HJ HVHWpQ D 1DYLHU-Stokes-HJ\HQOHWEO OG |VV]HIJJpV 0= g−

1 gradp á aODN~NLIHMH]pVPDUDG+DH]WOHYRQMXND]HUHGHWLHJ\HQOHWEOD1DYLHUρ

Stokes-HJ\HQOHWRO\DQYiOWR]DWiWNDSMXNDPHO\QHPWDUWDOPD]]DDWpUHUVVpJHWXJ\DQDNNRU DWpUHUVVpJRNR]WD p á nyomásmegoszláshoz képesti különbségek szerepelnek benne: 127

1

6

1 dv = − grad p − p á + ν ∆ v . ρ dt

(12.9)

A (12.9) alakú Navier-Stokes-HJ\HQOHWWHO YpJUHKDMWYD D] HO]HNEHQ EHPXWDWRWW dimenziótlanítást a Froude-szám (ill. négyzetének reciproka) nem jelenik meg az egyenletrendszerben, tehát ha az áramló közeg kitölti a teret, a Froude-szám azonos értéken tartása nem feltétele a hasonlóságnak. Hajómodellek vizsgálatánál viszont, ahol a hullámkeltés mértéke (a hullámellenállás) LJHQMHOHQWVPpUWpNEHQEHIRO\iVROMDDKDMyWHVWUHKDWyHUWD)URXGH-szám azonos értéken tartása igen fontos követelmény. Belátható ugyanis, hogy a hullámok keletkezéséQpODDV~O\HUQHNG|QWV]HUHSHYDQ Ha a peremfeltételek instacionáriusak, akkor gondoskodni NHOO DUUyO KRJ\ H]HN VDMiW LGOpSWpNNEHQ D]RQRVDQ Yiltozzanak. Legyen pl. a feladat egy, az áramlásba helyezett, vízszintes tengely körül periodikusan oda-vissza mozgatott lapra (ld. 12.2. ábra KDWyHUPHJKDWiUR]iVDPRGHOl-

12.2. ábra

kísérletekkel. Legyen a modell léptéke 1:3. Miután a teret kitölti az áramló közeg, az áramlások hasonlóságának egyik feltétele a Reynolds-szám azonosViJD (EEO D] HO]HN DODSMiQ D] DGyGLN KRJ\ D PRGHOOPHJI~YiVLVebességének háromszor akkorának kell lennie, mint a nagy kivitel megfúvási sebessége. Milyen legyen a modell lap mozgatásának periódusideje, ha az eredetinél ez W S volt? Nyilvánvalóan akkor járunk el helyesen, ha t pm t 0m Figyelembe véve, hogy t p =

Strouhal-szám: Str =

fl0 v0

=

tp t0

azaz

t pm v 0m l0m

=

t p v0 l0

.

"# !$

1 1 DIUHNYHQFLDEHYH]HWKHWD , ahol f s f

,

(12.10)

amelynek azonos értéke szükséges az azonos kezdeti- és peremfeltételek biztosításához.

128

9DQQDN HVHWHN DPLNRU D] iUDPOiV SHUHPpQ NHOO PHJIHOHO nyomásértéket, mint peremfeltételt biztosítani. Ez esetben az

Euler-szám:

Eu =

p − p0 (12.11)

ρ v 20

D]RQRVViJDNDSV]HUHSHWËJ\SONLVKXOOiPRNHVHWpQDIHOOHWLIHV]OWVpJMHOHQWVV]HUHSHW MiWV]LNDKXOOiPRNDODNXOiViEDQ8J\DQH]DKHO\]HWSODFVHSSHNNpS]GpVpQpO a porlasztásnál.) Ilyen esetben a (12.11) kifejezés számlálójába a nyomáskülönbség helyébe a (7.2) összefüggés alapján a ∆p ~

C C kerül, ahol & ~ R l0

1 "# a felületi feszültség állandója, R a !P$

felszín görbületi sugara, amely nyilvánvalóan arányos az l MHOOHP]KRVV]DO,O\Pódon az Euler-számból egy új hasonlósági számot kapunk:

Weber-szám:

We =

C

(12.12)

ρl0 v 20

A Weber-szám azonos értéke különösen fontos azon modellkísérleteknél, amelyekben a felüOHWLIHV]OWVpJQHNIRQWRVV]HUHSHYDQSOFVHSSNpS]GpVYL]VJiODWiQiO Itt jegyezzük meg, KRJ\ D YL]VJiOW MHOHQVpJWO IJJHQ D] (XOHU-szám és a Strouhal-szám kiIHMH]pVH IJJ LOO IJJHWOHQ YiOWR]yNpQW LV V]HUHSHOKHW D GLPHQ]LyWODQ 1DYLHU-Stokesegyenletünkben. Így pl. az Euler-szám azonossága egy autó és modellje felületének adott helyén nem követelmény, hanem következmény, a két áramlás hasonlóságának következménye.

$] iUDPOiVED KHO\H]HWW KHQJHUUO DPHO\ N|UOL iUDPOiVVDO D] HO] IHMH]HWEHQ PiU foglalkozWXQN SHULRGLNXVDQ YiOQDN OH LQWHQ]tY |UYpQ\HN KD D KRPORNIDORQ NHOHWNH] KDtárréteg lamináris (11.7. ábra B görbe). (Ennek az ún. Kármán-féle örvénysornak a leírásával nagy érdemeket szerzett Kármán Tódor, egyetemünk volt hallgatója és rövid ideig oktatója, majd díszdoktora, aki századunk egyik legismertebb áramlástan kutatója.) A kismintánál és a nagy kivitelnél a hasonlósági feltételek betartása esetén az örvényleválás frekvenciájával számolt Strouhal-V]iPD]RQRVDPLD]HO]HNV]HULQWDNpWiUDPOiVKDVRQlóságából következik. $ KDVRQOyViJL V]iPRN PHJKDWiUR]KDWyN HJ\VpJQ\L W|PHJ IRO\DGpNUpV]UH KDWy HUN hányadosaiként is: 1 kg tömegre ható

WHKHWHWOHQVpJLHU:

FT ~

v 20 l0

(hiszen az áramkép egyes pontjaiban a sebesség a v0-lal arányos, az áramvonal görbületi sugara pedig az l0 -lal.)

129

V~O\HU:

)* a J

Q\RPiVEyOV]iUPD]yHU:

FP ~

1p − p 6l = 1p − p 6 0 ρ l30

2 0

0

ρ l0

(felírtuk a jelOHP]IHOOHWV]RU]DWiWDQ\RPiVNO|QEVpJJHOpVRV]WRWWXNDMHOOHP]PpUHthez tartozó tömeggel, hogy a folyadék 1 kg-MiUDYRQDWNR]yHUWNDSMXN

FS ~ ρ ν

V~UOyGiVEyOV]iUPD]yHU:

v 0 l20 v = ν 20 3 l0 ρ l0 l0

(a Newton-féle viszkozitási törvényt (1.2) használtuk fel a csúsztatófeszültséggel arányos PHQQ\LVpJ NLIHMH]pVpUH DPLW D MHOOHP] IHOOHWWHO V]RUR]WXQN PDMG D MHOOHP] PpUHWKH] tartozó tömeggel osztottunk)

IHOOHWLIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHU:

FF ~

C l20 C = l0 ρ l30 ρ l20

LWWKDVRQOyDQMiUWXQNHOPLQWDQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUHVHWpQGHDQ\RPiVNO|QEVpJKelypEHDIHOOHWLIHV]OWVpJRNR]WDQ\RPiVNO|QEVpJNLIHMH]pVpYHO|VV]KDQJEDQOpYNLIHMezést tettünk). .pSH]]ND]HJ\VpJQ\LW|PHJUHKDWyHUNKiQ\DGRVDLW

Re ~

Fr ~

tehetetlenségi erõ F v2 / l v l = T ~ 0 02 = 0 0 ν súrlódásból származó erõ FS ν v 0 / l0 tehetetlenségi erõ = súlyerõ

FT = FG

v 20 / l0 = g

1

v0 g l0

6

(12.13)

(12.14)

Eu ~

p − p 0 / ρ / l0 p − p 0 nyomásból származó erõ FP = = ~ tehetetlenségi erõ FT ρ v 20 v 20 / l0

(12.15)

We ~

felületi fesz. − bõl származó erõ FF C / l20 / ρ C = = ~ 2 tehetetlenségi erõ FT ρ v 02 l0 v 0 / l0

(12.16)

$KDVRQOyViJLV]iPRNHUNKiQ\DGRVDNpQWW|UWpQHOiOOtWiVDLJen szemléletesen mutatja az áramlást befolyásoló egyes hatások viszonyát. Így pl. ha a Reynolds-szám értéke nagy, akkor ez a (12.13) alapján azt jelenti, hogyDV~UOyGyHUNKDWiVDYLV]RQ\ODJNLFVLDWHKeWHWOHQVpJL HUNK|] NpSHVW (Ez természetes, hiszen a dimenziótlan Navier-StokesHJ\HQOHWEHQ D V~UOyGiVW NLIHMH] XWROVy WDJ HJ\WWKDWyMD D 5H UHFLSURND OG (]pUW minél nagyobb a Re értéke, annál kisebb számmal szorozzuk ezt a tagot.) Ezzel mindjárt

130

értheWYpYiOLND]DWDSDV]WDODWKRJ\D5HQ|YHNHGésével turbulenssé válik az áramlás. A V~UOyGyHUN XJ\DQLV FVLOODStWMiN D UHQGH]HWOHQ PR]JiVRNDW FV|NNHQWLN D URKDPRV WpUEHOL sebességváltozásokat, így a súrlódás viszonylagos hatásának csökkenése a turbulencia keletkezéséhez vezet. Ha viszont kicsi a Reynolds-szám értéke (pl. egy kis porszem süllyed a OHYHJEHQYDJ\QDJ\YLV]NR]LWiV~N|]HJiUDPOLNHJ\FVEHQ DNNRUDV~UOyGiVGRPLQDQFiájával, lamináris áramlással számolhatunk.

131

13. Hidraulika Ebben a fejezetben a csövekben, csatornákban áramló közeJHNiUDPOiViQDNMHOOHP]LWWiUgyaljuk. A mérnöki gyakorlat szempontjából talán ez a fejezet a legfontosabb része a jegyzetnek. A hidraulika az emberi tudás egyik igen régóta alkalmazott és fejlesztett területe, hiszen az öntözésnél, a folyók szabályozásánál, a vízvezetékek építésénél sok nehézséget kellett megoldani eleinknek, akik ennek folytán nagyon sok gyakorlati ismeretet halmoztak IHO8J\DQDNNRUD]iUDPOiVWDQDODSW|UYpQ\HLQHNOHYH]HWpVHD]iUDPOiVWDQDODSYHWL|VV]Hfüggéseinek kutatása évszázadokon keresztül a hidraulika gyakorlatától elszigetelve folyt. Csak a XIX. évszázadban találkozott össze az elméleti áramlástan és a gyakorlatra orientált hidraulika.

13.1. A súrlódási veszteség Tekintsük a 13.1. ábrát, ahol egy vízszintes, egyenes, állandó kerHV]WPHWV]HWFVOiWKDWy

l

13.1. ábra $ FVEHQ iOODQGy VUVpJ N|]HJ iUDPOLN $] iUDPOiV OHJ\HQ VWDFLRQiULXV D] LG függvényében nem változik a térfogatáram). Ha felírjuk a Bernoulli-egyenlet erre az esetre alkalmazható (4.31) alakját a ρ VUVpJJHO YpJLJV]RUR]YD D]D] Q\RPiV GLPHQ]LyEDQ D] egy áramvonalon egymástól l WiYROViJUDOpYpVSRQWN|]|WWD]DGyGLNKRJ\ S = S , D]D] D Q\RPiV D FV KRVV]D PHQWpQ D %HUQRXOOL-egyenlet alkalmazásával a súrlódásmentességet feltételezve) nem változik. Valóságos közeg áramlása esetén azonban S < S , azaz az 1 és 2 pontban nem azonos a Bernoulli-összeg: ρ

v12 v2 + p 1 + ρ U1 > ρ 2 + p 2 + ρ U 2 . 2 2

(13.1)

(A Y és Y D FV DGRWW NHUHV]WPHWV]HWpEHQ pUYpQ\HV iWODJVHEHVVpJ DPL D J\DNRUODW szempontjából elfogadható közelítés.) A Bernoulli-összeg tehát a súrlódás következtében az áramlás irányában csökken. $QQDN pUGHNpEHQ KRJ\ D HJ\HQOWOHQVpJEO egyenlet legyen, D] iUDPOiV LUiQ\iEDQ WiYRODEE OpY SRQWUD YRQDWNR]y %HUQRXOOLösszeget meg kell növelni a két pont közötti Bernoulli-összeg csökkenéssel, amit ∆S vel jelölünk és súrlódási veszteségnek nevezünk:

ρ

v12 v2 + p1 + ρ U1 = ρ 2 + p 2 + ρ U 2 + ∆p ' 2 2

(13.2)

A (13.2) összefüggést veszteséges Bernoulli-egyenletnek nevezzük. $ N|YHWNH]NEHQ D ∆p' veszteség meghatározásának módjával foglalkozunk. Ebben igen fontos szerepe voOWpVYDQDNtVpUOHWH]pVQHN(]pUWDN|YHWNH]DOIHMH]HWDQHPFVDNiUDPlásWDQL NtVpUOHWL PXQNiW QDJ\PpUWpNEHQ PHJN|QQ\tW GLPHQ]LyDQDOt]LVW YDJ\ Buckingham-féle Π elméletet) ismerteti.

13.2. A dimenzióanalízis Legyen a feladatunk a 13.1. ábrán láthatóFVEHQEHN|YHWNH] ∆S súrlódási veszteség általános kísérletiYL]VJiODWD(OV]|UPHJNHOOKDWiUR]QLD]RNDWDIL]iNDLMHOOHP]NHWDPHO\HN befolyásolhatják a ∆p ' Pa pUWpNpWFVKRVV] l m , viszkozitás, µ kg / m / s , az áramló N|]HJVUVpJH ρ kg / m 3 FViWPpU d m , átlagos áramlási sebesség, v m / s . FeltéWHOH]]NKRJ\DFVEHOVIDODVLPDH]pUWD]pUGHVVpJJHOQHPIRglalkozunk (ld. KéVEE A feladat tehát a

1

∆p ' = f l, µ , ρ, d , v

6

(13.3)

függvénykapcsolat meghatározása mérésekkel.(]SO~J\YpJH]KHWHOKRJ\D]|WIggetlen változó közül négynek rögzített értékénél az ötödiket változtatjuk és mérjük a változWDWiVKDWiViWDYHV]WHVpJUH(]WN|YHWHQDQpJ\YiOWR]yN|]OYDODPHO\LNpUWpNpWPHJYiltoztatjuk és ismét végigmérjük az ötödik változásának hatását a ∆S -re. Belátható, hogy valamennyi változó koPELQiFLyNLPpUpVHLJHQKRV]~LGHLJWDUWDQD(]pUWNHGYH]KRJ\YDQ HJ\ RO\DQ PyGV]HU D GLPHQ]LyDQDOt]LV DPLYHO D YiOWR]yN V]iPiWMHOHQWVHQFV|NNHQWKHtjük. Az általunk vizsgált feladatoknál a mértékrendszerünk három alap fizikai mennyiségét alkalmazzuk: D W|PHJHW >NJ@ D KRVV]DW >P@ pV D] LGW >V@ Kiindulásként feltesszük, KRJ\YDODPHQQ\L4PHFKDQLNDLPHQQ\LVpJGLPHQ]LyV]HPSRQWMiEyOHOiOOtWKDWyD]DODSIizikai mennyiségek hatványainak szorzataként: Q = kg α mβ s γ . Adott n > 3 fizikai menynyiség: Q1 , Q 2 , ......, Q n . (Mint pl. a mi fenti n = 6 fizikai mennyiségünk.) Keressük mé-

1

6

réssel a F Q1 , Q 2 , ......, Q n = 0 ismeretlen függvényt.

133

$4IL]LNDLPHQQ\LVpJHNPpUWpNHJ\VpJHLDIHQWLHNV]HULQWHOiOOtWKDWyND]DOiEELPyGRQ Q1 = kg a11 m a 21 sa 31 Q 2 = kg a12 m a 22 sa 32

(13.4)

......... Q1 = kg a1n m a 2n sa 3n Az a i , j NLWHYNHWLVPHUMNKLV]HQLVPHUWHNDMHOHQVpJEHQV]HUHSHWMiWV]yIL]LNDLPHQQ\LVégek. Létezik-e Π = Q1k1 Q 2k 2 .... Q kn n

(13.5)

DODN~DIL]LNDLPHQQ\LVpJHNKDWYiQ\DLQDNV]RU]DWDNpQWHOiOOtWKDWyGLPHQ]LyWODQNLIHMH]pV és ha igen, hány egymástól független van? Írjuk fel a (13.5) összefüggés dimenzió egyenletét figyelembe véve (13.4) kifejezéseket:

4

Π = kg 0 m 0 s0 = kg a11 m a 21 sa 31

9 4 kg k1

a12

m a 22 sa 32

9 ... 4 kg k2

a1n

m a 2n sa 3n

9

kn

(13.6)

.

$ HJ\HQOHWDODSMiQKiURPHJ\QOHWEOiOOyHJ\HQOHWUHQGV]HUKDWiUR]KDWyPHJ a 11 k 1 + a 12 k 2 + ..... + a 1n k n = 0 a 21 k 1 + a 22 k 2 + ..... + a 2 n k n = 0

(13.7)

a 31 k 1 + a 32 k 2 + ..... + a 3n k n = 0 A k 1 , k 2 , ....., k n Q GDUDE LVPHUHWOHQUH HJ\ HJ\HQOHWEO iOOy OLQHiULV HJ\HQOHWUHQGV]HUW kaptunk.

Képezzük az ismert D L M NLWHYNEODGLPHQ]LyPiWUL[RW

a

11

a 12

... a 1n

a 21 a 22 .... a 2 n

!a

31

a 32 .... a 3n

"# ## $

(13.8)

A dimenziómátrix rangja r, ha létezik r-HG UHQG ]pUXVWyO NO|QE|] DOGHWHUPLQiQVD GH nem létezik r+1-HG UHQG QHP QXOOD pUWpN DOGHWHUPLQiQVD ÈOWDOiEDQ U D] DODS IL]LNDL PHQQ\LVpJHNV]iPiYDOHJ\HQOHVHWQNEHQU +DDGLPHQ]LyPiWUL[UDQJMDUD]HJ\Hnletrendszernek n-r független megoldása van (ennyi összetartozó k 1 , k 2 ,.... k n pUWpNHNEOilló csoport létezik), azaz n-r dimenziótlan ΠFVRSRUWNpSH]KHW(]D]WMHOHQWLKRJ\a kísérletileg vizsgálandó változók száma általában az alap fizikai mennyiségek számával, HVHWQNEHQKiURPPDOFV|NNHQWKHW

134

Vizsgáljuk meg a dimenzióanalízis alkalmazásának lépéseit:

−

Az alap fizikai mennyiségek meghatározása,

−

A jelenséget befolyásoló Q1 , Q 2 ,... mennyiségek meghatározása

−

Dimenziómátrix felállítása, rangjának meghatározása,

−

Egyenletrendszer megoldása, (n-r megoldás meghatározása),

−

A Π1 , Π 2 , Π 3 ,..... Π n − r , dimenziótlan csoportok képezése,

−

Az F Π1 , Π 2 , Π 3 ,..... Π n − r , = 0 függvénykapcsolat kísérleti meghatározása.

1

6

Térjünk vissza a példánkhoz, alkalmazzuk a dimenzióanalízist. A Π dimenziótlan csoportokat az alábbi alakban kívánjuk képezni: Π = ∆p ' k1 lk 2 µ k 3 ρ k 4 d k 5 v k 6 . Állítsuk fel a dimenziómátrixot: ∆p ' l µ

ρ

d

v

1

1

0

0

0

m

−1

1 −1 −3 1

1

s

−2

0 −1

kg

1

0

0 −1

A dimenziómátrix pl. harmadik oszlopa a dinamikai viszkozitás dimenzióját tartalmazza: kg m −1 s−1 . A dimenziómátrixot megvizsgálva látható, hogy r=3, hiszen az utolsó 3 oszlop által kijelölt DOGHWHUPLQiQVQHP]pUXV(EEON|YHWNH]LNKRJ\D]HJ\HQOHWUHQGV]HUQHNKiURPHJ\PiVWyO független megoldása van. Írjuk fel a fenti a i , j értékekkel a (13.7) egyenletrendszert! k1 + k 3 + k 4 = 0 − k 1 + k 2 − k 3 − 3k 4 + k 5 + k 6 = 0 −2 k 1 − k 3 − k 6 = 0 Mivel a 6 ismeretlenre 3 egyenletünk van, 3 ismeretlen, pl. a k 1 , k 2 és k 3 pUWpNHLWWHWV]OeJHVHQYHKHWMNIHOpVD]HJ\HQOHWUHQGV]HUEONLV]iPtWKDWMXNDWRYiEELKiURPLVPHUHWOHQW k1

k2

1

0

k3 k4 0 −1

k5 0

135

k6 −2 ⇒ Π1' = ∆p ' / ρv 2

4 9

Most vegyünk fel ismét k1, k2, k3 értékeket: 0

1

0

0

1

0 −1

0 ⇒ Π' 2 = l / d

A harmadik felvételre adódik: 0

1 6

−1 −1 −1 ⇒ Π' 3 = µ / ρd v = 1 / Re

A dimenziótlan csoportokat kombinálhatjuk, szorozhatjuk konstanssal, vehetjük a recipURNXNDWVWE(]pUWFpOV]HUD Π -k helyett az azokból képezett alábbi csoportok bevezetése: Π1 =

vd ∆p ' , Π 2 = l/ d és Π 3 = Re = . ρ 2 ν v 2

A kísérletek során tehát nem a (13.3) függvénykapcsolatot kell meghatározni, hanem a

1

6

F Π1 , Π 2 , Π 3 = 0 függvényt (azaz nem kell olyan változatokat vizsgálni, amelyek ugyanazon Π értékeket adnak).

$FVV~UOyGiVLYHV]WHVpJ Végezzünk el kísérleteket a 13.1. ábrán látható csövön anQDNpUGHNpEHQKRJ\DFVEHQNHOHWNH]YHV]WHVpJNO|QE|] WpQ\H]NWO OG |VV]HIJJpV való függését,

1

6

azaz a Π1 = f Π 2 , Π 3 függvényt megismerhessük. A kíl

13.2. ábra keknél a Π =

sérletek eredménye a 13.2. ábrán látható, ahol a Π 2 =

l d

függYpQ\pEHQYLWWNIHONO|QE|]iOODQGy Π 3 = Re érté-

∆S

PpUWpUWpNHLW$KRJ\DQYiUKDWyYROWDYHV]WHVpJDFVKRVV]l d függρ Y

YpQ\pEHQOLQHiULVDQQ Ezért írható:

1 6

∆p ' l = λ Re , ρ 2 d v 2 ahol a λ a 13.2. ábránOiWKDWyHJ\HQHVHNLUiQ\WpQ\H]MHDPLD5H\QROGV-szám függvénye. λ − t FVV~UOyGiVLWpQ\H]QHN nevezzük.

136

A fenti tapasztalati összefüggést átalakítva adódik a ∆p ' =

1 6

ρ 2l λ Re v 2 d

(13.9)

kifejezés az egyenes cVYHV]WHVpJpUH A Navier-Stokes-HJ\HQOHWOHYH]HWpVHXWiQN|UNHUHV]WPHWV]HWFVEHQDVHEHVVpJPHJRV]OiV és a nyomáscsökkenés meghatározására alkalmaztuk a tanultakat (ld. 9.4.fejezet). A nyoPiVFVKRVV]PHQWLFV|NNHQpVpUHDPLQHPPiVPLQWD ∆p' veszteség) a (9.28) összefüggést kaptuk: ∆p ' = ∆p ' =

8µ l R

2

v , ahol R =

d . Figyelembe véve, hogy µ = ρ ν , átalakítások után adódik: 2

vd ρ 2 l 64 ν = Re írható: , azaz mivel v 2 d vd ν ∆p ' =

ρ 2l λ lam v 2 d

(13.10)

ahol a lamináris áramlásra vonatkozó λFVV~UOyGiVLWpQ\H] λ lam =

64 Re

(13.11)

Eredményül tehát azt kaptuk, hogy lamináris (réteges) áramlás esetén a λFVV~UOyGiVL WpQ\H]DFViWPpUYHONpSH]HWW5H\QROGV-számmal fordítottan arányosan változik. A 10.1.fejezetben a Reynolds-féle kísérlet kapcsán megállapítottuk, hogy a lamináristurbulens átmenet Re ≅ 2300 érték körül megy végbe. Ezért a (13.11) összefüggés a

Re ≤ 2300 tartományra érvényes. Hogyan függ a λFVV~UOyGiVLWpQ\H]D5H\QROGV-V]iPWyON|UNHUHV]WPHWV]HWFV|YHNpV WXUEXOHQViUDPOiVHVHWpQ"$NpUGpVPHJYiODV]ROiVDHOWWYH]HVVNEHDhomokérdesség foJDOPiW$FVIDOHOtUWpUGHVVpJpW~J\OHKHWHJ\V]HUHQHOiOOtWDQLKRJ\V]LWiOiVVDOiOODQGy PpUHW KRPRNV]HPFVpNHW NO|QtWQN HO HJ\ V]HPFVHKDOPD]EyO pV IHOUDJDV]WXQN D FVIDO belV IHOOHWpUH $ FVIDO ~Q KRPRNpUGHVVpJpQHN MHOOHP]pVpUH D Π 4 =

k dimenziótlan d

csoport szolgál, ahol k m DKRPRNV]HPFVpNiWPpUMH Határozzuk meg méréssel a λFVV~UOyGiVLWpQ\H]WD5HIJJYpQ\pEHQNO|QE|]

k = áll. d

értékek mellett, és a mérések eredményét ábrázoljuk kétszer logaritmikus diagramban.

137

Eredményül a 13.3. ábrán látható görbéket kapjuk. Látható, hogy lamináris áramlás eseWpQD]pUGHVVpJQHNQLQFVHQKDWiVDDFVV~UOyGiVLWpQ\H]UH7XUEXOHQViUDPOiV5H! k = áll. J|UEpN Q|YHNY 5H HVHWpQ d

HVHWpQ YLV]RQW D] pUGHVVpJ KDWiVD MHOHQWV: a

egy adott Re h határ Reynolds-szám értékig azonos görbén futnak, Re > Re h esetén elválQDN H J|UEpWO pV Yt]V]LQWHVEH PHQQHN iW (EEHQ D 5H\QROGV-szám tartományban λ tehát csak a

k IJJYpQ\H$]WDJ|UEpWDPHO\EODNO|QE|]pUGHVVpJFV|YHNKH]WDUWR]yJ|rd

bék kiágaznak, az 1 λ turb

4

9

= 2 lg Re λ turb − 0. 8

(13.12)

összefüggés írja le. Egy adott, Re < Re h Reynolds-szám esetén (amikor a λ értékét a |VV]HIJJpVVHOOHtUWJ|UEpQWDOiOMXNPHJ WHKiWKLiEDFV|NNHQWMNDFVIDOiQDNprdességét, a λ értéke változatlan marad. (J\ FV DGRWW 5H\QROGV-számon hidraulikailag VLPDKDFV|NNHQWYHD]pUGHVVpJHWDFVVXUOyGiVLWpQ\H]pUWpNHQHPYiOWR]LNA hidrauOLNDLODJVLPDFV|YHNFVV~UOyGiVLWpQ\H]MpWD5H\QROGV-szám ismeretében a (13.12) öszszeIJJpVEOYDJ\D]H]WD4000 ≤ Re ≤ 105 tartománybDQMyON|]HOtW Blasius-képlettel: λ turb =

0. 316 4

(13.13)

Re

határozzuk meg.

13.3 ábra $ FVIDO pUGHVVpJ HO]HNEHQ OHtUW KDWiViW D] DOiEEL PyGRQ PDJ\DUi]KDWMXN PHJ /iWWXN hogy a lamináris áramlásban az érdességnek nem volt befolyása a λ értékére. Korábban megállapítottuk, hogy a turbulens határrétegek alján egy viszkózus alapréteg van (ld. 10.3.fejezet), amelynek y v vastagsága fordítottan arányos az u* fali csúsztatófeszültséggel, hiszen

y v u* = 10 érvényes a réteg vastagságára, azaz ν y v = 10

138

ν u*

.

(13.14)

Másrészt egy l KRVV]~ViJ~FVEHQiUDPOyIRO\DGpNUDIHOtUKDWyDQ\RPiVNO|QEVpJEOV]irPD]yHUpVDτ 0 IDOLFV~V]WDWyIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHUHJ\HQV~O\D

∆p '

d2π ρ 2 l d2π = v λ = τ 0 d πl d 4 2 4

(13.15)

DPLEO τ0 =

ρ 2λ v 2 4.

Figyelembe véve (13.14) összefüggést és hogy u * =

(13.16)

τ0 , a viszkózus alapréteg vastagsáρ

gára átalakítások után adódik: yv 20 2 = d λ Re .

(13.17)

λ helyébe a Blasius-NpSOHWHW tUYD D FViWPpUK|] YLV]RQ\tWRWW YLV]Ny]XV DODSUpWHJ YDVWDgságra kapjuk: y v Konst . = d Re 7 / 8 .

(13.18)

A viszkózus alapréteg vastagsága a Reynolds-szám növekedésével csökken, tehát egy adott határ Reynolds-szám ( Re h I|O|WW D FVIDO pUGHVVpJpQHN PpUHWH PHJKDODGMD D] y v -WD]D]D]pUGHVVpJFV~FVRNÄNLOyJQDN´DYLV]Ny]XVDODSUpWHJEO pVHNNRUDFVIDO érdessége befolyásolja a λ értékét. Ha Re < Re h D]D]DFVKLGUDXOLNDLODJVLPDDNNRU az érdesség cV|NNHQWpVpQHND]HO]HNEOEHOiWKDWyRNRNPLDWWQLQFVEHIRO\iVDD λ értékére. Nem homokszemcsékkel érdesített csövek, pl. acélcsövek esetén az érdesség mérete változó, tehát a Reynolds-szám növekedésével fokozatosan egyre több érdességcsúcs kerül ki a viV]Ny]XVDODSUpWHJEO(]pUWD]pUGHVVpJD5H\QROGV-szám növekedésével fokozatosan nöYHNYPpUWpNEHQEHIRO\iVROMDDFVV~UOyGiVLWpQ\H]pUWpNpW0LXWiQD]pUGHVVpJPpUWpNH V]pOHVKDWiURNN|]|WWQHPIJJDFViWPpUWOFVDNDFVJ\iUWiVWHFKQROyJLiMiWyOD relatív pUGHVVpJ MHOOHP]pVpUH D FViWPpUW KDV]QiOKDWMXN: minél nagyobb d, adott érdességnél annál

kisebb a relatív érdesség. Egy adott technológiával készült acélcsövekre vonatkozó

λ − Re görbéket kétszer logaritmikus diagramban a 13.4. ábra mutatja.

139

1HP N|U NHUHV]WPHWV]HW FV|YHN YHV]WHségéQHN V]iPtWiViUD D] HJ\HQpUWpN iWPpUW Yezetjük be: de =

4A K

(13.19)

ahol A A m 2 D FVNHUHV]WPHWV]HW QDJ\ViJD 13.4. ábra K m az ún. nedvesített kerület, azaz a keresztmetszet kerülete azon szakaszának hossza, ahol az áramló közeg az álló fallal érintkezik.+DD]iUDPOiVNLW|OWLDFVNHUHV]WPHWV]etet, akkor K a teljes kerület, az árokban IRO\yYt]HVHWpQSHGLJDWpQ\OHJHVHQÄQHGYHVtWHWWŃHUOHW$FVV~UOyGiVLYHV]WHVpJHWQHP kör keresztmetV]HW FV|YHN HVHWpQ LV D |VVzefüggéssel számoljuk azzal a különbséggel, hogy a d csiWPpUKHO\pEHDG H HJ\HQpUWpNiWPpUNerül: ∆p ' =

1 6

ρ 2 l v de λ Re Re = v , ahol 2 de ν

(13.20)

(Fenti összefüggésekben v m / s DYDOyViJRVFVNHUHV]WPHWV]HWWHOV]iPROWiWODJVHEHVVpJ A Reynolds-szám ismeretében a λ FVV~UOyGiVLWpQ\H]WD5HpUWpNpWOIJJHQD vagy (13.13) összefüggéssel vagy λ − Re diagram használatával határozhatjuk meg. +DDFVWpJODODSNHUHV]WPHWV]HWpVD]ROGDOYLV]RQ\UDIHQQiOO

a < 0. 5 , akkor a λ számíb

tásához a Reynolds-szám értékét a Re = Φ

v de összefüggéssel számolt Reynolds számmal ν

határozzuk meg a szokott módon, ahol Φ ≅

2 11 a a + 2− . 3 24 b b

$ IHMH]HW YpJpQ GHILQLiOWXN D NLDODNXOW FViUDPOiVW pV D]W D] l NH]GHWL FVKRVV]DW DPHO\PHQWpQDFVEHW|UWpQEH|POpVWN|YHWHQDNLDODNXOWiUDPOiVOpWUHM|Q$NLDODNXOW FViUDPOiV OpWUHM|WWpKez a tapasztalat szerint nagyobb nyomásesésre van szükség, mint amennyi az adott Reynolds-számnál az adott lk egyenes csövön kialakult áramlás esetén keletkezik. Ezt a többlet veszteséget ∆p ' be beömlési veszteségnek nevezzük és a ∆p ' be =

ρ 2 v ζ be 2

(13.21)

összefüggéssel határozhatjuk meg, ahol ζ be a EH|POpVL YHV]WHVpJWpQ\H] DPHO\QHN számértéke megmutatja, hogy az átlagsebességgel számolt dinamikus nyomás hányszorosa a beömlési veszteség.$ODPLQiULVFViUDPOiVHVHWpQ ζ be ≅ 1. 2 , turbulens esetben a beömlési veszteség lényegesen kisebb (ζ be ≅ 0. 05 ), ezért azt általában elhanyagolják. 140

A ζYHV]WHVpJWpQ\H]WLJHQJ\DNUDQDONDOPD]]XN+DHJ\DGRWWJHRPHWULiM~pUGHVVpJFV LGRP YHV]WHVpJpQHN IJJpVpW YL]VJiOMXN D] D]W EHIRO\iVROy WpQ\H]NWO DNNRU D

1

6

∆p ' = F v , ρ, d , µ függvénykapcsolatot kívánjuk felderíteni. Ha a 13.2. fejezetben bemutatott dimenzióanalízist erre az esetre alkalmazzuk, ahol 5 dimenziós változó van, 5 − 3 = 2 GLPHQ]LyWODQFVRSRUWRWiOOtWKDWXQNHO Π1 =

vd ∆p ' = ζ és Π 2 = = Re . ρ 2 ν v 2

(13.22)

1 6

$]DGRWWFVLGRPYHV]WHVpJpWWHKiWDζ = ζ Re összefüggés megadásával lehet jellemezni, D]D]DGRWWFVLGRPYHV]WHVpJWpQ\H]MHFVDND5H\QROGV-szám függvénye, de a szokott Re WDUWRPiQ\EDQUHQGV]HULQWiOODQGyQDNWHNLQWKHW

&VLGRPRNiUDPOiVLYHV]WHVpJH $]HO]IHMH]HWEHQD]HJ\HQHVFVV~UOyGiVLYHV]WHVpJpWWHNLQWHWWNiWHEEHQpedig a küO|QE|]FVLGRPRNpW Borda-Carnot átmenet Tekintsük a 13.5. ábrát, ahol egy hirtelen keresztmetszet növekedéssel jellemzett ún. Borda-Carnot átmenetet mutatunk be. A berajzolt áramvonalak a valóságos áramláshoz közelálló áramképet mutatják be. Alkal13.5. ábra

mazzuk az impulzustételt annak érdekében,

hogy a Borda-Carnot átmenet veszteségét, az ún. Borda-Carnot veszteséget: ∆p ' BC meghatározzuk. Legyen az áramlás stacionáULXVD]iUDPOyN|]HJVUVpJHSHGLJiOODndó. Raj]ROMXNIHOD]HOOHQU]IHlületet, valamint a P és I YHNWRURNDW$]HOOHQU]Ielületen ható, V~UOyGiVEyO V]iUPD]y HUNHW HOKDQ\DJROMXN $ IHMH]HWEHQ WDQXOWDN DODSMiQ tUKDWy − I1 + I 2 = P1 − P2 , azaz − ρ v12 A 1 + ρ v 22 A 2 = − p 2 A 2 + p1 A 2 . (A jobb oldal utolsó tagja felírásánál azt a kísérleti tapasztalatot használtuk fel, hogy a teQJHO\UHPHUOHJHVN|UJ\UDODN~IHOOHWHQDQ\RPiVMyN|]HOtWpVVHOiOODQGypVPHJHJ\ezik az A 1 keresztmetszetben uralkodó nyomással.) Tekintettel arra, hogy a kontinuitás következtében ρ v1 A 1 = ρ v 2 A 2 , behelyettesítés és az egyenlet mindkét oldala A 2 -vel való osztása után adódik: 141

1p

− p1

2

6

BC

1

= ρ v 2 v1 − v 2

6.

(13.23)

Ha az áramlás súrlódásmentes volna, akkor a Bernoulli-egyenlet alkalmazásával számolhatnánk az „ideális” nyomáskülönbséget:

1p

2

− p1

6

id

=

4

9

ρ 2 v1 − v 22 . 2

Az „ideális” és a valóságoshoz közelálló, (13.23) összefüggéssel megadott nyomáskülönbség különbsége a súrlódás következtében létrejöv~Q Borda-Carnot veszteség:

1

∆p ' BC = p 2 − p1

6 − 1p id

2

− p1

6

BC

=

4

9

1

6

ρ 2 v1 − v 22 − ρ v 2 v1 − v 2 , 2

DPLEOHJ\V]HUVtWpVHNpViWDODNtWiVRNXWiQDGyGLN ∆p ' BC =

1

ρ v1 − v 2 2

6

2

(13.24)

A Borda-Carnot veszteség az egyik legfontosabb veszteségforrás, amelynek hatását V]iPRVPiVFVLGRPEDQLVIHOIRJMXNIHGH]QL Kilépési veszteség A Borda-&DUQRWYHV]WHVpJHJ\LNJ\DNUDQHOIRUGXOyVSHciális esete a kilépési veszteség, amely akkor keletkezik, KDDN|]HJHJ\FVEOQDJ\WpUEHSOHJ\WDUWiO\EDiUDmlik (ld. 13.6. ábra). Alkalmazzuk a Borda-Carnot veszteség (13.24) kifejezését, figyelembe véve, hogy v 2 = 0 , azaz a tar13.6. ábra

WiO\EDQ OpY VHEHVVpJ D N|]HJ V~UOyGiV PLDWWL OHIpNH]GpVH következtében zérus: ∆p ' ki =

1

6

ρ ρ 2 v1 − 0 = v12 2 2 .

142

(13.25)

Szelepek, tolózárak, csappantyúk A szelepek, tolózárak, csappantyúk (ld. 13.7. ábra) vesztesége is nagyrészt a Borda-Carnot veszteVpJUH YH]HWKHW YLVV]D H]HN HOPR]GXOy HOHPHL OeV]NtWLND]iUDPOiVLNHUHV]WPHWV]HWHWH]iOWDOKLUWeOHQ NHUHV]WPHWV]HW Q|YHNHGpV M|Q OpWUH D OHV]NOW keresztmetszet után. A szelepek, tolózárak áramlási veszteségét is ζ sz veszteségténye]YHO jellemezzük, amely a ∆p ' sz YHV]WHVpJpVYDODPHO\MHOOHP]

13.7. ábra

sebességgel számolt dinamikus nyomás hányadosa. A 13.7. ábraMHO|OpVHLWDONDOPD]YDHPHOMNNLD |VV]HIJJpVEODY2 -t,

2

2

v A2 ρ ∆p ' sz ≅ v 22 1 − 1 , azaz ζ sz ≅ −1 . v2 A1 2

(13.26)

Egy szelep (pl. a vízcsap) forgatása esetén a szelep és a szeleptányér közötti rést (azaz az A 1 keresztmetszetet) változtatjuk, ezáltal változik a ζ sz YHV]WHVpJWpQ\H] pUWpNH LV 3O D csap zárása esetén A 1HJpV]HQD]pUXVLJFV|NNHQPLN|]EHQDYHV]WHVpJWpQ\H]PLQGHQKaWiURQW~OQ$]HJ\UHQDJ\REEYHV]WHVpJWpQ\H]PLDWWDYt]YH]HWpNUHQGV]HUEHQOpYQ\omás hatására egyre kisebb v 2 sebességgel áramlik ki a víz, azaz (teljes zárásig zérusra) csökken a térfogatáram. Hirtelen keresztmetszet-csökkenés Tekintsük a 13.8. ábrát, ahol egy hirtelen keresztmetszet-csökkenés látható. A vázolt áramvonalaknak görbülete alapján meghatározható a fal mellett a nyomás változása (az ábrán a nyilak a nyomás fal menti növekedése irányába mutatnak). A bal oldali nyíl által jellemzett 13.8. ábra

nyomásnövekedés oka, hogy a közeg a „sarok” felé áram-

lik, aholWRUOySRQWDODNXONLDPHO\EHQDQ\RPiVQDJ\REEPLQWDWRUOySRQWHOWWLWpUEHQ$ KLUWHOHQNHUHV]WPHWV]HWFV|NNHQpVKHO\pQDWHQJHO\UHPHUOHJHVN|UJ\UDODN~IDOpVDNisebb átméUMFVWDOiONR]iViQiODÄVDURNŃörül az áramlás felgyorsul, a nyomás lecsökNHQ $ VDURN XWiQ iUDPOiV LUiQ\iEDQ KDODGYD D VHEHVVpJ FV|NNHQ WHKiW D Q\RPiV Q $ 11.4.fejezetben láttuk, hogy az áramlás iráQ\iEDQ Q|YHNHG Q\RPiV HVHWpQ OHYiOKDW D] áramlás. Általánosságban megállapítható, hogy az áramlást határoló szilárd felület hirtelen irányváltozásainál („sarkok” közelében) fal melletti, áramlás irányú nyomásnövekedéssel és így határréteg leválás esélyével számolhatunk. Ha a sarok „homorú” (ld. 143

13.8. ábra$ DNNRUD]LUiQ\YiOWR]iVHOWWKDÄGRPERU~ÓG13.8. ábra B) az irányváltozás után jöhetnek létre a határréteg leválás feltételei. Az adott esetben két helyen következik be határréteg leválás: az A-val és a B-vel jelölt heO\HQ$]XWyEELOHYiOiVN|YHWNH]WpEHQDNLVHEEiWPpUMFVHOHMpQD]ÄHJpV]VpJHV´áramlási kerHV]WPHWV]HW OHV]NO PDMG XWiQD %RUGD-Carnot átmenethez hasonló sebességkiHJ\HQOtWGpV PHJ\ YpJEH, ami – mint láttuk – MHOHQWV YHV]WHVpJJHO MiU $ NHUHV]WPHWV]HWOHV]NOpVHLOOD]H]WMHOOHP]α =

szetviszony (

A '1 NRQWUDNFLyVWpQ\H]pUWpNH DNHUHV]WmetA1

A A1 ) függvénye, ami a tapasztalatok szerint α ≅ 0. 6 + 0. 4 1 A0 A0

2

, azaz minél

nagyobb a keresztmetszetek hányadosa, annál jobban összehúzódik az áramlás. A hirWHOHQ NHUHV]WPHWV]HW FV|NNHQpV YHV]WHVpJpQHN W~OQ\RPy UpV]pW D NLVHEE iWPpUM FVEHQ beN|YHWNH]%RUGD-Carnot veszteség teszi ki, tehát írható (ld.(13.24) összefüggés):

∆p ' hk =

1

ρ v '1 − v1 2

6

2

=

2

ρ 2 1 −1 v1 . α 2

(13.27)

(Általánosságban megállapítható, hogy gyorsuló áramlások vesztesége általában kicsiny. A lassuló áramlásoknál lehet nagyobb veszteségekkel számolni. Lassuló áramlások az áramlási keresztmetszet növekedése, vagy az áramlási irány változása következtében jöhetnek létre.) $ |VV]HIJJpVEO OiWKDWy KRJ\ D KLUWHOHQ NHUHV]WPHWV]HW FV|NNHQpV YHV]WHségWpQ\H]MHDNLVHEENHUHV]WPHWV]HWFVEHQOpYiWODJVHEHVVpJJHOV]iPROWGLQDPLNXVQ\Rmásra vonatkoztatva):

ζ hk =

1 − 1 α

2

.

,O\HQYHV]WHVpJNHOHWNH]LNSOHJ\WDUWiO\EyOHJ\FVEHW|UWpQEHiUDPOiVQiOKDDWDUWiO\IaODpVFVN|]|WWLiWPHQHWQLQFVHQOHNHUHNtWYH$IHMH]HWEHQWiUJ\DOW%RUGD-féle kifolyónyílás esetén pl. α = 0. 5 , tehát e veszteséget jellemz ζ hk = 1 +D D FV QHP Q\~OLN EH D tarWiO\EDD]DIHQWLNLIHMH]pVpEO

A1 ≅ 0 -hoz α ≅ 0. 6 NRQWUDNFLyVWpQ\H]WDUWR]LNDPLYHO A0

ζ hk = 0. 44 . Diffúzor $] iUDPOiV LUiQ\iEDQ EYO FVWROGDWRNDW QHYH]]N GLII~]RURNQDN V]HPEHQ D NRQI~zorokkal, amelyek keresztmetszete az áramlás irányában csökken). A diffúzorokban áramOiVLUiQ\iEDQFV|NNHQDVHEHVVpJQDQ\RPiV$IHMH]HWEHQOiWWXNKRJ\LO\HQHVHt144

ben a fal mellett kialakuló határréteg rohamosan vastagszik, ill. leválhat. Tekintsük a 11.8. ábrát, ahol egy diffúzor és alatta a diffúzor tengelye menti nyomásmegoszlás látható súrlódásmentes („ideális”) és valóságos esetben. A (11.5) összefüggéssel definiált ηG diffúzorhatásfok ismeretében valamint (11.4) összefüggés figyelembevételével a diffúzor súrlódási vesztesége ∆p ' diff meghatározható. A veszteség ugyanis az „ideális” és valóságos nyomásnövekedés különbsége:

1

∆p ' diff = p 2 − p1

6 − 1p id

2

− p1

6 = 11 − η 6 ρ2 4 v d

val

2 1

− v 22

9

(13.28)

,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\DGLII~]RUYHV]WHVpJHMHOHQWVPpUWpNEHQIJJDGLII~]RUEDEHOpS VHEHVVpJPHJRV]OiV MHOOHP]LWO +D D IDO N|]HOpEHQ OpY iUDPOiVL VHEHVVpJHN PiU D EHOppésnél viszonylag kicsik („csúcsos” a sebességprofil), a határréteg hamar leválLNpVDNLOpS NHUHV]WPHWV]HWMHOHQWVUpV]pQOHV]YLVV]DiUDPOiV(]D]WMHOHQWLKRJ\DGLII~]RUVRNNDONevésbé lassítja le az áramlást, mint az a geometriai viszonyokból adódna. Ezért a valóságos nyomásnövekedés sokkal kisebb, mint a keresztmetszetviszony alapján számolt érték, azaz ηd kicsi és a (13.28) összefüggéssel számolt diffúzor súrlódási veszteség nagy. $GLII~]RUEyONLOpSN|]HJVHEHVVpJPHJRV]OiVDDIHQWLHNEON|YHWNH]HQiOWDOiEDQHJ\HnOWOHQ +D D GLII~]RU NLOpSNHUHV]WPHWV]HWH HJ\ FVEHQ IROytaWyGLN HEEHQ D] HJ\HQOWOHQ iUDPOiVLVHEHVVpJNLHJ\HQOtWGLN(]DVHEHVVpJNLHJ\HQOtWGpVKDVRQOyD%RUGD-Carnot átmenetben (13.5. ábra WDSDV]WDOKDWyMHOHQVpJKH]DQ\RPiViUDPOiVLUiQ\iEDQQGHNHYpsEpPLQWD]DVHEHVVpJFV|NNHQpVpEOYHV]WHVpJPHQWHVHVHWEHQDGyGQDD]D]MHOHQWVYHV]Weség keletkezik. Mégis ez a nyomásnövekedés növeli a diffúzor hatásfokát. &VtYHNN|Q\|N|N A csövekben áramló közegek irányYiOWR]iVDLQiODFVtYHNEHQN|Q\|kökEHQMHOHQWVV~rlódási veszteségek keletkezhetnek, amelyeket ugyancsak ζ veszteVpJWpQ\H]YHO MHOOHmzünk. A veszteségek okai között a fali csúsztatófeszültség általában alárendelt szerepet játV]LN 1DJ\REE MHOHQWVpJH van

a

13.9.

11.5.fejezetben

ábrán

vázolt

tárgyalt

és

a

szekunder

áramlás keletkezésének, hiszen a többlet mozgási energia létrehozásához többlet nyomáskülönbségre van szükVpJ pV D] tJ\ NHOHWNH] PR]JiVL HQHrgia nem hasznosul: legnagyobb része a súrlódás követNH]WpEHQ KYp DODNXO

13.9 ábra

Nagy veszteséget okozhat a határréteg 145

leválás következtében létrejöYNeUHV]WPHWV]HWV]NOpVPLDWWL%RUGD-Carnot veszteség. Az HO] PHggondolások alapján a 13.9. ábrán felrajzoltuk a fal mellé a nyomásnövekedést mutató nyilakat, és berajzoltuk a határréteg leYiOiVDIRO\WiQOpWUHM|Y~Qleválási buborékokat és az azok által okozott keUHV]WPHWV]HW V]NOpVHNHW /iWKató, hogy az irányváltás XWiQLOHYiOiVRNR]KDWMHOHQWVYHVzWHVpJHW$FVtYHNN|Q\|N|NYHV]WHVpJpWNpWIpOHNpSSHQ szokták csökkenteni: az átmenetek lekerekítésével ill. az R/d relatív görbület (ld. 13.9. ábra) Q|YHOpVpYHO YDJ\ WHUHOODSiWRN Dlkalmazásával, amelyekkel naJ\REE UHODWtY J|UEOHW rész-íveket ill. rész-könyököket hozunk létre. $ IHQWLHNEHQ iWWHNLQWHWW IRQWRVDEE FVLGRPRNRQ NtYO W|EE PiV LWW QHP WiUJ\DOW YHV]teségforrás vaQ SO ]VDOXN FVHOiJD]iVRN DPHO\HN YHV]WHVpJWpQ\H]LW V]DNN|Q\YHNEO katalóJXVRNEyOJ\iUWPiQ\LVPHUWHWNEOOHKHWNLYHQQL Itt jegyezzük meg, hogy a ζ YHV]WHVpJWpQ\H]N pV D λ FVV~UOyGiVL WpQ\H] V]iPolt vagy kaWDOyJXVEyO V]DNLURGDORPEyO NLYHWW pUWpNHL D YDOyViJRV DONDOPD]iVRNQiO FVDN N|]HOtWHQ helyesek, hiszen a képletek ill. mért értékek nem veszik figyelembe a súrlódási veszteségforrások egymásrahatását. Belátható, hogy a (13.11) vagy (13.13) összefüggéssel számolt értékWOHOWpUDQQDNDFVQHNDλFVV~UOyGiVLWpQ\H]MHDPHO\HOWWHJ\KLUWHOHQNHUHV]tmetszet növekedés (Borda-Carnot átmenet) van, hiszen a λ – legalábbis a kezdeti szakaszon – függ a FVEHYDOyEHiUDPOiVMHOOHP]LWO8J\DQFVDNQHPN|]|PE|VHJ\FVtYζ veszteségtényezjének értéNHV]HPSRQWMiEyOKRJ\HOWWHHJ\HQHVFVYDJ\HJ\PiVLNFVtYYDQ (]XWyEELHVHWEHQSOD]LVMHOHQWVHQEHIRO\iVROKDWMDDPiVRGLNFVtYζ veszteségtényez jének értékét, hogy a a két ív U vagy S alakot ír le. $FVLGRPRNHJ\PiVUDKDWiVDiOWDOiEDQHOUHQHPV]iPROKDWyH]pUWSOFVYH]HWpNHNPpUHtezésénél a számítással ill. táblázatok alkalmazásával kapott eredményeket csak közelítésQHNWHNLQWKHWMN(]HQW~OPHQHQFVDNV]DEYiQ\RVFViWPpUWYiODV]WKDWXQND]D]iOWDOáEDQ HO NHOO WpUQQN D V]iPtWRWW pUWpNWO $GRWW iWiUDPOy WpUIRJDW HVHWpQ SHGLJ D iUDPOiVL YHV]WHVpJDFViWPpUN|]HOKDWYiQ\iYDODUiQ\RVWHKiWDWWyOLJHQHUVHQIJJ (]pUWD WHUYH]pVQpOHJ\UpV]WpVV]HUWDUWDOpNRWSODV]iPtWRWWQiOYDODPLYHOQDJ\REEWHOMHVtWPpQ\ YHQWLOiWRUW pV EHiOOtWiVL V]DEiO\R]iVL OHKHWVpJHW NHOO EHpStWHQQN D UHQGV]HUEH KRJ\ D számítás pontatlansága miatt szükségessé váló korrekciót a rendszer felépítése után végre tudjuk hajtani. Vigyázni kell ugyanakkor arra, hogy ez az utólagos beállítás, szabályozás ne okozzon fölösleges energiaveszteséget. Hibás megoldás például, ha egy óvatosságból nagyon túlméretezett ventilátor légszállítását egy csappantyú, (azaz egy többlet súrlódási veszteség forrás) beiktatásával csökkentjük a kívánt értékre. Ilymódon ugyanis a csappanW\~Q NHOHWNH] D UHQGV]HU IXQNFLyMD WHNLQWHWpEHQ I|O|VOHJHV YHV]WHVpJ Q|YHOL D YHQWLOiWRU hajtásához szükséges energia költségét.

146

gVV]HQ\RPKDWyN|]HJiUDPOiVDFVEHQ $] HGGLJLHNEHQ IHOWpWHOH]WN KRJ\ D FVYH]HWpNEHQ iUDPOy N|]HJ VUVpJH iOODQGy (z FVHSSIRO\yVN|]HJHNHVHWpQDV]yEDM|KHWQ\RPiVRNHVHWpQpVDNDYLWiFLyWNL]iUYDJi]RN esetén pedig az abszolút nyomás 10%-át meg nem haladó nyomásváltozások esetén igen jó N|]HOtWpV *i]RN KRVV]~ FV|YHNEHQ W|UWpQ iUDPOiVD HVHWpQ D]RQEDQ HOIRUGXOKDW hogy a YHV]WHVpJN|YHWNH]WpEHQDQ\RPiVD]DEV]RO~WQ\RPiVKR]NpSHVWMHOHQWVHQFV|NNHQH]]HO HJ\WWFV|NNHQDVUVpJQDVHEHVVpJ7LSLNXVSpOGiLHQQHND]HVHWQHNDVUtWHWWOHYHJ YH]HWpN UHQGV]HUHN +RJ\DQ NHOO HEEHQ D] HVHWEHQ V]iPROQL D FVV~UOydási veszteséget? Tekintsük a 13.10. ábrát, ahol egy L m hosszúságú, D m iWPpUM FVYH]HWpN HJ\

13.10. ábra szakasza látható. Hanyagoljuk el a súrlódási veszteséghez képest a gáz felgyorsításához V]NVpJHV Q\RPiVNO|QEVpJHW $ FV G[ KRVV]~ViJ~ V]DNDV]iQ D FVV~UOyGiVL YHV]WHVpJ miatti nyomásváltozás (nyomáscsökkenés): − dp =

ρ 2 dx λ v D . 2

(13.29)

$ EDO ROGDORQ D QHJDWtY HOMHOUH D]pUW YDQ V]NVpJ PHUW D Q\RPiV D] [ WHQJHO\ PHQWpQ csökken.) Fejezzük ki az átlagsebességet: v=

qm ρA ,

(13.30)

kg "# D FVEHQ iUDPOy Ji] W|PHJiUDPD A = D π D FV NHUHV]WPHWV]HWH $ 4 !s$ 2

ahol q m

(13.30) kifejezést (13.29)-be helyettesítve és a gáztörvény ρ =

p alakját a ρ kifejezésére RT

IHOKDV]QiOYDHJ\V]HUVtWpVXWiQDGyGLN − dp =

q 2m R T λ dx , 2 p A2 D

ami szétválasztás és integrálás után a

(13.31)

147

I I

p2

L

− p dp = p1

0

q 2m R T λ 2 A2 D

dx

alakra hozható. A jobb ROGDOLLQWHJUDQGXV]WpQ\H]LUOD7KPpUVpNOHWpVDλFVV~UOyGiVL WpQ\H] NLYpWHOpYHO EHOiWKDWy KRJ\ D FV KRVV]D D] [ PHQWpQ QHP YiOWR]LN $ FVIDORQ NHUHV]WOW|UWpQKiWDGiVPLDWWD]iUDPOyJi]7KPpUVpNOHWHDWDSDV]WDODWV]HULQWDFV hossz mentéQMyN|]HOtWpVVHOiOODQGy$FVV~UOyGiVLWpQ\H] λ DFVIDOUHODWtYpUGHVVpJpV a Reynolds-V]iPIJJYpQ\H(OEELDFVKRVV]PHQWpQiOODQGy$5H\QROGV-szám kifejezése a (13.30) felhasználásával átalakítható: Re =

v D qm D qm D = = . ν ρA ν Aµ

Tekintettel arra, hogy a dinamLNDL YLV]NR]LWiV FVDN D KPpUVpNOHW IJJYpQ\H OG 1.2.fejezet) és T ≅ áll. D FVKRVV] PHQWpQ Re ≅ áll. és λ ≅ áll. eredményre jutunk. A (13.31) összefüggés az integrálás után és ρ12 -tel szorozva és osztva: A gáztörvényt valamint (13.30) összefüggést figyelembe véve írható: p12 − p 22 q 2m R T λ L ρ12 = . 2 2 A 2 D ρ12

(13.32)

(13.33)

ρ p12 − p 22 L = p1 1 v12 λ 2 2 D , DKRODMREEROGDORQIHOLVPHUMND]|VV]HQ\RPKDWDWODQN|]HJHVHWpUHDFVHOHMpQOpYiOOapotra vonatkozó ∆p ' ink kifejezést, amellyel írható: p12 − p 22 = p1 ∆p ' ink 2

(13.34)

+DLVPHUMNDFVHOHMpQD]SRQWEDQDYLV]RQ\RNDWDFVYpJpQDSRQWEDQDQ\RPiVD (13.33) összefüggéssel kiszámítható.

ÈUDPOiVQ\tOWIHOV]tQFVDWRUQiNEDQ A 13.11. ábrán egy csatorna látható, amelyben víz folyik egyenletes sebeséggel (kialakult áramlás), azaz a FVDWRUQD HVpVH PLDWW D Yt]UH KDWy V~O\HU FVDWRUQD LUányú komponensével éppen egyensúlyt tart a folyadék 13.11. ábra

iUDPOiViW IpNH] V~UOyGiV /HJ\HQ D] l csatorna-

hosszra jutó, a ∆p'iUDPOiVLYHV]WHVpJQHNPHJIHOHOYt]V]LQWPagasságkülönbség ∆h' , ami

148

D]HO]HNV]erint éppen a súrlódási veszteséget fedezi. A nem kör keresztmetV]HWFV|vek áramlási veszteségére felírt (13.20) összefüggés mindkét oldalát ρg -vel osztva írható:

∆h ' =

ahol d e =

v2 l λ 2 g de ,

(13.35)

4A HJ\HQpUWpNiWPpUOG |VV]HIJJpV (VHWQNEHQ$D]iUDPOiVLNeK

UHV]WPHWV]HW.SHGLJD]iUDPOyYt]PHGHUUHOpULQWNH]NHUOHWHOG13.11. ábra). Vezessük be az i =

∆h ' esést és helyettesítsük be a (13.35) összefüggésbe, majd fejezzük ki az átlagl

sebességet:

v=

2 g de i = C d e i , ahol C = λ

2g λ .

(13.36)

A (13.36) összefüggést Chézy-képletnek szoktuk nevezni. λ = 0. 02 ~ 0. 03 közötti értékkel

C ≅ 25.

13.7. Alkalmazási példák A veszteségek számításának bemutatására két feladat megoldását vázoljuk. Házi vízellátó rendszer szivattyújának kiválasztása A 13.12. ábrán HJ\N~WOiWKDWyDPHO\EHHJ\V]LYDWW\~KR]FVDWODNR]yFVQ\~OLNEH

13.12. ábra $V]LYDWW\~XWiQHJ\N|Q\|N|NEOV]HOHSEOpVHJ\HQHVFVV]DNDV]RNEyOiOOyYH]HWpNNövetkezik, amely egy diffúzoron keresztül csatlakozik a tartályhoz. A tartályban víz van, felette pedig a p 0 NOV Q\RPiVQiO QDJ\REE LVPHUW túlnyomás: S W $ V]LYDWW\~ HOWWL FV szakasz elején egy lábszelep van, amely megakadályozza, hogy a szivattyú leállása után a YH]HWpNEODN~WEDYLVV]DIRO\MpNDYt]

149

Ismert a d FViWPpU, az l1 , l2 stb. FVKRVVzak, a h1 , h 2 magasságkülönbségek, a GLII~]RUNLOpSNHUHV]WPHWV]HW'iWPpUMH. Katalógusokból, szakirodalomból kivesszük a lábszelep, a szelepek és a könyökök ζ l , ζ sz , ζ k YHV]WHVpJWpQ\H]LWDGLII~]RU ηd hatásfo-

m "# térfogatáramot és keressük a szivattyú H ún. !s$ 3

kát. Megadjuk a szállítandó q v

szállítómagasságátDPHO\DIHMH]HWEHQEHYH]HWHWW|VV]Q\RPiVQ|YHNHGpVEOKDWiUR]Kató meg figyelembevéve a szivattyú nyomó és szívócsonkja közti magasságkülönbséget: H=

3

8

∆p ö + z ny − z sz , ρg

(13.37)

ahol ny és sz indexek a szivattyú nyomó és szívócsonkjára utalnak. Keressük továbbá a szivattyú hajtásához szükséges hálózati teljesítmény igényt. A szivattyú hasznos teljesítménye a Ph = q v ρ g H

(13.38)

|VV]HIJJpVEOV]iPtWKDWy Ahhoz, hogy a kérdésekre a választ megadhassuk, meg kell határozni az össznyomást a szivattyú nyomó és szívócsonkján, majd venni kell a különbségüket, a ∆p ö össznyomásnövekedést. A feladat megoldására a 13.1.fejezetben ismertetett meggondolásokkal meghatározott (13.2) veszteséges Bernoulli-egyenletet használjuk fel. Az alkalmazás (pl. az 1 és 2 pont kiválasztásának) elvei megegyeznek a 4.4. és a 6.3. fejezetekben leírtakkal. Így pl. esetünkben a kútban és a tartályban OpY Q\XJYy Yt] IHOV]tQpQ FpOV]HU D] LQWHJUiOiVL ~WYRQDODN NH]G- vagy végpontjait felvenni, ahol mindent ismerünk. Egy Bernoulli-egyenlet nem írható fel e két vízIHOV]tQI|O|WWKLV]HQDN|]EHQOpYV]LYDWW\~IHODGDWDpSSHQD%HUQRXOOLösszeg növelése. Ezért két veszteséges Bernoulli-HJ\HQOHWHWtUXQNIHO(J\LNHWDN~WEDQOpY Yt]IHOV]tQpQOpYSRQWpVD]V]tYyFVRQNV]SRQWMDN|]|WWDPiVLNDWSHGLJDQ\RPyFVRQN ny pontja és a tartály felszínének 2 pontja között:

ρ

v12 v2 + p1 + ρ U1 = ρ sz + p sz + ρ U sz + Σ∆p ' sz , 2 2

(13.39)

ahol Σ∆p ' sz a szívóoldali összesiUDPOiVLYHV]WHVpJHWNLIHMH]WDJDPHOO\HOD]iUDPOiV LUiQ\iEDQWiYRODEEOpYSRQWEDQIHOtUW%HUQRXOOL|VV]HJHWQ|YHOWNPHJ A 13.12. ábra jelöléseivel:

150

' ∑ ∆p sz =

ρ

v 2ny 2

l ρ 2 v ζ1 + 1 λ 1 2 d .

+ p ny + ρ U ny = ρ

(13.40)

v 22 + p 2 + ρ U 2 + Σ∆p ' ny 2

(13.41)

ahol ' ∑ ∆p ny =

1

+ 1 − ηd

l l l ρ 2 l2 λ 2 + ζ k + ζ sz + 3 λ 3 + ζ k + 4 λ 4 + ζ k + 5 λ 5 + v d d d d 2

6 4

9

ρ 2 ρ v − v 2D + v 2D . 2 2

(13.42)

A (13.42) összefüggés jobb oldalának utolsó tagja a tartályEDYDOyEHiUDPOiVQiONHOHWNH] kilépési veszteség. A (13.39) összefüggés jobb oldalán és a (13.41) összefüggés bal oldalán a szívó és a nyomóoldali össznyomást ismerjük fel. Figyelembe kell venni, hogy

3

8

1

6

; = ; = ,

U ny − U sz = g z ny − z sz , U 2 − U1 = g h 2 − h1 , p1 = p 0 , p 2 = p t és miután a ReynoldsV]iP YDODPHQQ\L FVszakaszban megegyezik, a λ 1 = λ 2 = .... = λ . A (13.41) összefüggés bal oldalából vonjuk ki a (13.39) összefüggés jobb oldalát! Átrendezés után kapjuk:

1

6 3 8 ρ ρ λ + 11 − η 6 4 v − v 9 + v 2 2

∆p ö = p nyö − p szö = p t − p 0 + ρ g h 2 − h 1 − ρ g z ny − z sz +

Σ li ρ + v 2 ζ l + ζ sz + 3 ζ k + d 2

2

d

2 D

(13.43) 2 D

.

A NRQWLQXLWiV W|UYpQ\pEO v d 2 = v D D 2 . A λ FVV~UOyGiVL WpQ\H]W a Reynolds-szám Re =

vd NLV]iPtWiVDXWiQDQQDNpUWpNpWOIJJHn a (13.11) vagy a (13.13) összefüggéssel ν

KDWiUR]KDWMXNPHJKDDFVKLGUDXOLNDLODJVLPD+DQHPDNNRUWiEOi]DWRWYDJ\GLDJUDPRW használunk a λ meghatározására. $ pV |VV]HIJJpVEO OiWKDWy KRJ\ a szivattyú szállítómagassága a tartályban OpYQ\RPiVpVDNOVQ\RPiVNO|QEVpJpQHNYDODPLQWDPDJDVViJNO|QbVpJQHNDOHJ\]pVpUHIRUGtWyGLNpVIHGH]LD]|VV]HViUDPOiVLYHV]WHVpJHWA hálózati teljesítményigény a Phál =

Ph |VV]HIJJpVEOV]iPROKDWyDKROD]ηsz és ηm a szivattyú ηsz η m

és az azt hajtó motor hatásfoka. ÈUDPOiVWDUWiO\RNDW|VV]HN|WFVEHQ $]HO]IHODGDWQiODFViWPpUMHpVDFVEHQiUDPOyWpUIRJDWiUDPDGRWWYROWtJ\D]iUDPOiVL VHEHVVpJ D FVEHQ LVPHUW YROW (]]HO D VHEHVVpJJHO V]iPROKDWWXN D 5H\QROGV-számot, aminek ismerete szükséges vROWDFVV~UOyGiVLWpQ\H]PHJKDWiUR]iViKR]0LDWHHQGKD

151

az

áramlási

sebesség

az

ismeretlen?

A

13.13.

ábrán

két

tartály

látható,

l

13.13. ábra amelyeket egy ismert d iWPpUM és l hosszúságú FV N|W |VV]H $ FVEHQ WROy]iU YDQ amelynek ismerjük a ζ t vHV]WHVpJWpQ\H]MpW. Mekkora az egyik tartályból a másikba

m "# térfogatáram KD HOKDQ\DJROMXN D WDUWiO\RNEDQ OpY Yt]IHOV]tQ VOO\H!s$ 3

áramló q v

dését ill. emelkedését. Írjuk fel a (13.2) veszteséges Bernoulli-egyenletet a tartályok IHOV]tQpQOpYpVSRQWN|]|WW! ρ

v12 v2 + p1 + ρ U1 = ρ 2 + p 2 + ρ U 2 + Σ∆p ' . 2 2

p1 = p t és p 2 = p 0 ,

Miután Σ∆p ' sz =

U = gz

és

z 2 = 0,

z1 = H ,

(13.44) v1 = v 2 = 0

és

a

ρ 2 l v ζ be + ζ t + λ + 1 , ahol ζ -0 a belépési veszteség. Mindezeket figyelembe 2 d

véve kapjuk: pt − p0 + ρ g H =

l ρ 2 v ζ be + ζ t + λ + 1 DPLEONLIHMH]KHWDYVHEHVVpJ d 2

v=

2 p t − p0 + ρ g H ρ ζ +ζ +1 + lλ . be t d

1

6

(13.45)

A (13.45) összefüggésben a λ NLYpWHOpYHO PLQGHQ LVPHUW $ FVV~UOyGiVL WpQ\H] számításához viszont ismernünk kell a Reynolds-számot, ahhoz pedig a sebességet. Látjuk, hogy a feladat iterációval oldható meg (QQHN PHJN|QQ\tWpVH pUGHNpEHQ FpOV]HU D] ismert mennyiségeket behelyettesíteni, kiszámolni és a (13.45) összefüggést az alábbi alakban felírni:

v=

A B + Cλ .

(13.46)

$PHJROGiVHOVOpSpVHNpQWYHJ\NIHO λ' = 0. 02 értéket. ( A ’-k száma az iterációs lépések VRUV]iPiWMHO]L 7HWV]OHJHVHQIHOYHKHWQNPiVλ' − t is, a számítás igen gyorsan konvergál. λ' − t

behelyettesítve (13.46) összefüggésbe megkapjuk v ' − t , ezzel kiszámolható

152

Re' =

v' d értéke. Ha Re' < 2300 , akkor a (13.11) összefüggéssel kiszámolhatjuk λ' ' −t . Ha ν

Re'≥ 2300 DNNRUDFVIDOpUGHVVpJpQHNIJJYpQ\pEHQWiEOi]DWEyOYDJ\GLDJUDPEyOYHszszük ki a λ' ' pUWpNpW YDJ\ KLGUDXOLNDLODJ VLPD FV HVHWpQ D |VV]HIJJpVEO V]imítjuk ki. A λ' ' LVPHUHWpEHQHOOUONH]GMNDIHQWLV]iPtWiVWPLQGDGGLJDPtJNpWHJ\PiV utáni iterációs lépésben kapott λ érték közötti különbség nem halad meg egy általunk felvett értéket. Az iteráció eredményeként kapott v sebesség ismeretében a q v = v összefüggéssel számoljuk ki az egyik tartályból a másikba áramló térfogatáramot.

153

d2 π 4

14. Az áramlásba helyezett testekre ható erõ $]iUDPOiVLHUHGHWHUNNHOHWNH]pVH (EEHQDIHMH]HWEHQPHJYL]VJiOMXNKRJ\D]iUDPOyN|]HJEHKHO\H]HWWWHVWHNUHPLO\HQHUN és nyomatékok hatnak. Ezek ismerete XJ\DQLVLJHQIRQWRVDUHSOJpSHNWHUYH]pVpEHQNüO|QE|]MiUPYHN]HPDQ\DJIRJ\DV]WiViQDNFV|NNHQWpVHPHQHWWXODMGRQViJiQDNMDYtWiVD szempontjából, a szélnek kitett szerkezetek, épületek méretezésében, az áramlástechnikai gépek tervezésében. A testek körüláramlása vagy úgy következik be, hogy álló közegben mozog a test (pl. járPYHN YDJ\álló testhez képest áramlik a közeg (pl. szélnek kitett antenna vagy folyóEDQOpYPWiUJ\ /HKHWVpJHVH]HNNRPELQiFLyMDLVSOV]pOEHQPR]JyDXWyAnnak érdekében, hogy a test körüláramlása stacionárius legyen, az áramképet általában a testhez rögzített koordináta-rendszerben vizsgáljuk. $]iUDPOyN|]HJUODV]LOiUGWHVWUHD]HUDWHVWIHOOHWpQNHOHWNH]Q\RPiV- és csúsztatófeszültség-megoszlás révén adódik át. EnneN D PDJiWyO pUWHWG PHJiOODStWiVQDN D kon]HNYHQVDONDOPD]iVDQDJ\RQPHJN|QQ\tWLD]HEEHQDWpPDN|UEHQMHOHQWNH]IHODGDWRN megoldását. Tekintsük a 14.1. ábrát, ahol egy áramló közegbe helyezett henger látható. Legyen a közeg súrlódásmentes. Vizsgáljuk meg az impulzustétel VHJtWVpJpYHODWHVWUHKDWyHUNHW$WHVW

14.1. ábra N|UOQDJ\HOYLOHJYpJWHOHQWiYROViJEDQ YHJ\QNIHOHOOHQU]IHOOHWHW$WHVWHOWWDVebesség Y ∞ , a nyomás S ∞ . Ugyanennyi a nyomás a test mögött nagy távolságban, ahol a test zavDUiVD PHJV]QLN (EEO DGyGyDQ p = p . Miután súrlódásmentes közeg esetén a 2

1

Bernoulli-egyenlet érvényes, annak (4.31) alakját alkalmazva arra az eredményre jutunk, hogy mivel S = S = S ∞ , a test mögött a sebesség ; ∞ D]D]PHJHJ\H]LNDWHVWHOWWLVHEHsVpJJHO (EEO N|YHWNezik, hogy I 2 = I1 . Az x koordináta irányban felírva az egyensúlyt

(ld. (8.8) összefüggés): − I1 + I 2 = P1 − P2 − R x D] HO]HN DODSMiQ R x = 0 adódik. Eredményként azt kaptuk, hogyV~UOyGiVPHQWHVN|]HJEHQHOKHO\H]HWWWHVWUHQHPKDWHU 9DOyViJRViUDPOiVHVHWpQDWHVWN|]HOpEHQOpYiUDPvonalak mentén a Bernoulli-összeg a súrlódás következtében csökken, ezért a test mögött egy áramlási nyom keletkezik, amelyben a sebesség (és elvileg a nyomás is) eltér a zavartalantól (ld. 14.1. ábra$MHOJ|rbe). A WHVWUHKDWyHUUH tehát nemcsak a testIHOOHWpQNHOHWNH]Q\RPiV- és csúsztatófeszültség megoszlásból, hanem D WHVW P|J|WWL Q\RP MHOOHP]LEO LV OHKHW N|YHWNH]WHWQL +DDQ\RPEDQMHOHQWVDÄVHEHVVpJKLiQ\ÝDJ\KDDWHVWP|J|WWD]DYDUWDODQVHEHVVpJJHO SiUKX]DPRVWHQJHO\|UYpQ\HNNHOHWNH]QHk, amelyekben a statikus nyomás lecsökken, akNRUYiUKDWyDQQDJ\OHV]DWHVWUHKDWyKR]]iiUDPOiVVDOSiUKX]DPRVHU,O\HQ|UYpQ\HNYi]HV ~WRQ KDODGy DXWyN P|J|WW ILJ\HOKHWN PHJ +D D WHVW P|J|WW D Q\RPEDQ D sebességvekWRURN LUiQ\D HOWpU D WHVW HOWWL iUamlási iránytól, akkor a hozzááramlási sebességre merOHJHVWHVWUHKDWyHUNRPSRQHQVVHONHOOV]iPROQXQN

$KHQJHUUHKDWyiUDPOiVLHU Egy l m hosszúságú, d m iWPpUMN|UKHQJHUUHKDWyD]DYDUWDODQKR]]iiUDPOiVLVHEHsséggel, Y ∞ -nel párhuzamos Fe N ellenálliVHUpVD]D]WEHIRO\iVROyPHQQ\LVpJHNNDSFVo-

1

6

latát az f Fe , v ∞ , ρ, µ , d , l = 0 függvénykapcsolat határozza meg. Alkalmazva a dimenzióanalízist (ld. 13.2.fejezet) 6-3=3 független dimenziótlan csoport határozható meg: Π = c e =

Fe ρ 2 v ∞ ld 2

Π = Re =

v∞ d ν

Π3 =

l d

HOOHQiOOiVWpQ\H]

(14.1)

Reynolds-szám,

(14.2)

relatív hossz.

(14.3)

6]RUtWNR]]XQNHOV]|UDN|UKHQJHUN|UOLsíkáramlásraDKRODKHQJHUWHQJHO\pUHPHUOHJHV valamennyi síkban azonos az áramkép. (Ilyen áramkép Π 3 =

l = ∞ -hez tartozik) Ezeket a d

szakirodalomban „kétdimenziós” (2D) áramlásnak nevezik, megkülönböztetve azokat a

1 6

1 6

térbeli (3D) áramlásoktól. Ebben az esetben a Π1 = f Π 2 azaz a c e = f Re függvény meghatározása a feladatunk. Ábrázoljuk e kísérlet útján meghatározott függvénykapcsolatot kétszer logaritmikus diagramban (ld. 14.2. ábra).

155

14.2. ábra Ha a Reynolds-V]iPpUWpNHNLFVLD]D]DYLV]Ny]XVHUNGRPLQiOQDN(ld. (12.13) összeIJJpV D]HUDVHEHVVpJJHOpVDYLV]NR]LWiVVDOHJ\HQHVHQDUiQ\RV Fe ~ µ v ∞ . Ezt figyelembe véve a (14.1)-EO OiWKDWyDQ D] HOOHQiOOiVWpQ\H] IRUGtWRWWDQ DUiQ\RV D 5H\QROGVszámmal, tehát a 14.2. ábrán látható diagramon látható görbe kis Re értékeknél egy –1 irányWpQ\H]M HJ\HQHVVHO N|]HOtWKHW Nagyobb Reynolds-számoknál a tehetetlenségi HUN GRPLQiOQDN (12.13), tehát Fe ~ v 2∞ DPLEO D ILJ\HOHPEH YpWHOpYHO c e = áll. adódik. Nagyobb Reynolds-számoknál tehát egy vízszintes egyenessel közelíthetjük a c e − Re összefüggést. Nagy Reynolds-V]iPRNQiODKHQJHUIHOOHWpQNHOHWNH]KDWiUUpWHJPpJOHYiOiVHOWWWXrbulenssé válik, a határréteg-leválás sokkal hátrább következik be, a nyomásmegoszlás nagymértékben megváltozik (ld. 11.7. ábra%pV&MHOJ|UEH pVDKHQJHUUHKDWyHULOOD] HOOHQiOOiVWpQ\H] MHOHQWVHQ OHFV|NNHQ. Ennek mechanizmusát a 11.4.fejezet végén tárgyaltuk. A 14.2. ábra jobb oldalán az egyes Reynolds-V]iPWDUWRPiQ\RNUDMHOOHP]iUDPNpSHNOithatóak. A kis Reynolds-V]iP WDUWRPiQ\RNEDQ SO V]UDQ\DJRN ~ 20 µm iWPpUM HOHPL V]iODL N|UO D]DMHOiUDPNpSILJ\HOKHWPHJD]iUDPOiVWDODSYHWHQDV~UOyGyHUNEHIRO\iVRlják.

156

Növelve a Reynolds-V]iPRW D WHKHWHWOHQVpJL HUN V]HUHSH Q|YHNV]LN HJ\ V]Lmmetrikus |UYpQ\SiUMHOHQLNPHJDKHQJHUKiWVyUpV]pQOGEMHOiUDPNpS 7RYiEEQ|YHOYHD5HpUWpNpWDEEDDWDUWRPiQ\EDMXWXQNDKRODWHKHWHWOHQVpJLHUNGRPinálnak: D KHQJHUUO SHULRGLNXVDQ YiOQDN OH QDJ\ pV LQWHQ]tY |UYpQ\HN .iUPiQ-féle örvénysor, F MHO iUDPNpS (]HQ |UYpQ\HN pV D KHQJHUUH KDWy HU N|]|WWL NDSFVRODWUyO több megállapítást tehetünk:

−

Az örvények felváltva keletkeznek és úsznak le a henger két oldaláról, ezért az áramNpS V]LPPHWULiMD PHJV]QW D KHQJHUUH D PHJI~YiVL LUiQ\UD PHUOHJHV SHULRGiNXVDQYiOWR]yHUKDW. Emiatt „zenélnek” a villanydrótok. A leváló örvények a szerkezetek tönkremenetelét okozhatják, ha frekvenciájuk a szerkezetek sajátfrekvenciája közelében van. A tapasztalat szerint a leváló örvények frekvenciájával, a henger átméUMpYHO pV D PHJI~YiVL VHEHVVpJJHO V]iPROW 6WURXKDO-szám értéke (ld. (12.10) összefüggés) széles Reynolds-szám tartományban állandó: Str ≅ 0. 21.

−

$KHQJHUKiWVyUpV]HN|]HOpEHQNHOHWNH]|UYpQyekben a sebesség viszonylag nagy, a Q\RPiVWHKiWYLV]RQ\ODJNLFVLQ\$KHQJHUUHKDWyHUMHOHQWVUpV]HWHKiWDKHQJHUKitsó részén az |UYpQ\HNNHOHWNH]pVHPLDWWOpWUHM|YGHSUHVV]LyN|YHWNH]PpQ\H. Ha a periodikus örvények keletkezését egy, a henger mögött a szimmetriasíkban elhelyezett ODSSDOPHJV]QWHWMND]HOOHQiOOiVWpQ\H]MHOHQWVHQFV|NNHQ

−

$KHQJHUUHKDWyQDJ\HOOHQiOOiVHUPDJ\DUi]KDWyPpJDOHYiOy|UYpQ\HNnagy mozgási energia tartalmával is, ami a test mögött KYpDODNXO9LV]RQ\ODJQDJ\PXQNiW kell kifejtenünk a henger álló közegben való mozgatásakor, hogy az ennek következtéEHQ NHOHWNH] pV D V~UOyGiV IRO\WiQ KYp DODNXOy QDJ\ PR]JiVL HQHUJLiW IHGH]QL WXdjuk.)

−

A henger mögötti nyomban periodikusan nagy „sebesség hiányt” ill. a környezetinél kisebb nyomást okoznak az örvények.

+D WXUEXOHQVVp YiOLN D KHQJHU KRPORNIDOiQ NHOHWNH] KDWiUUpWHJ D OHYiOiV D KHQJHU KiWVy réV]pUH WROyGLN D] LQWHQ]tY SHULRGLNXV |UYpQ\OHYiOiV PHJV]QLN, HOOHQiOOiVWpQ\H]MHNEQHJ\HGpUHFV|NNHQ

157

a

henger

14.3. ábra Ezt a jelenséget gömb esetén a 14.3.a/ és b/ ábra szemlélteti. Az a/ képen víz festékkel látKDWyYiWHWWiUDPOiVDOiWKDWyDKRODJ|PEIHOV]tQpQNHOHWNH]ODPLQiULVKDWiUUpWHJD]DYDUWalan áUDPOiVUDPHUOHJHVÄHJ\HQOtW´HOWWYiOLNOH(QQHNPHJIHOHOHQDJ|PEP|J|WWQDJ\ Q\RPNHOHWNH]LND]HOOHQiOOiVLHUQDJ\+DDJ|PEUHIHOK~]RWWGUyWNDULNDVHJtWVpJpYHOD] áramlást turbulenssé tesszük, (ld. 14.3.b/ ábra) a nyom mérete (és így az áramlási ellenállás) MHOHQWVHQFV|NNHQ8J\DQLO\HQKDWiVpUKHWHOD5H\QROGV-szám növelésével. l

+DVRQOy |UYpQ\OHYiOiV WDSDV]WDOKDWy SO HJ\ iUDPOiVUD PHUOHJHVHQ elhelyezett lemezcsík (ld. 14.4. ábra) körüli 2D áramlásban, amely

14.4. ábra

l = ∞ esetén alakul ki. (EEHQ D] HVHWEHQ D] HOOHQiOOiVWpQ\H] LJHQ t nagy: c e = 2 . A lapra ható Fe HOOHQiOOiVHUIHOtUKDWyDKRPORNIDORQ

pVDKiWIDORQNHOHWNH]iWODJRVQ\RPiVUHQGUH p f és p b ) különbségének és a lap felületé-

1

6

nek szorzataként: Fe = p f − p b lt $GMXQNDMREEROGDORQD]iUyMHOEHQOpYNülönbséghez

158

p ∞ pVYRQMXNOHPDMGKHO\HWWHVtWVND]HOOHQiOOiVHUtJ\NDSRWW|VV]HIJJpVpWD NppOHWEHDMHOOHP]IHOOHWWHOLWW l⋅ t -YHO YDOyHJ\V]HUVtWpVXWiQD ce =

pf − p∞ pb − p∞ − = c pf − c pb ρ 2 ρ 2 v∞ v∞ 2 2

(14.4)

összefüggést kapjuk. A c p Q\RPiVWpQ\H]W NRUiEEDQ WiUJ\DOWXN OG IHMH]Ht, (11.3) összefüggés). A homlokfalon legfeljebb c p = 1NHOHWNH]KHWDWRUOySRWEDQD]iWODJRVQ\RPiVWpQ\H] c pf HQQpONLVHEEN|UOL(EEOpVc e = 2 -EO DODSMiQ c pb ≅ −1. 3 adódik, azaz a leváOy |UYpQ\HN QDJ\ GHSUHVV]LyW RNR]QDN pV H] D GHSUHVV]Ly D I RND D QDJ\ HOlenállásténye]QHN Mi történik akkor, ha a henger vagy a lemez l hossza véges? Nyilvánvaló, hogy pl. a lePH]FVtNHVHWpQDKRPORNIDOHOWWOpYQDJ\REEQ\RPiV~pVDKiWIDOP|J|WWLNLVQ\RPiV~ tér között egy, a lemezcsík végeit PHJNHUONLHJ\HQOtWiUDPlás jön létre, amely kétféleképSHQLVFV|NNHQWLD]HOOHQiOOiVHUW

−

FV|NNHQWLDOHPH]FVtNYpJHLN|]HOpEHQDKRPORNIDORQOpYW~OQ\RPiVWHQQHNNLVHEED MHOHQWVpJH

−

a hátfal mögé áramló k|]HJN|OFV|QKDWiVEDOpSDSHULRGLNXVDQNHOHWNH]|UYpQ\HNNHO pV MHOHQWVHQ OHFV|NNHQWL D]RN LQWHQ]LWiViW LOO l G kisebb értékeinél teljesen meg is szünteti az intenzív periodikus örvényeket).

Mindezek hatására a hossz csökkenésével (az áramlás 2D jellegének csökkenésével) a F H is csökken. Ha az

l − t ∞ -UO -re, majd 1-UH FV|NNHQWMN DOHPH]FVtNHOOHQiOOiVWpQ\H]MH d

2-UOPDMG-UHFV|NNHQ.|UKHQJHUHVHWpQDPHJIHOHOpUWpNHNc e =1.2, 0.82 és 0.63.

6]iUQ\DNUDKDWyHU Az eddigiek során ún. „tompa testHNUO” beszéltünk, amelyeket az különböztet meg az ún. „iUDPYRQDODVWHVWHNWO”, hogy felületük nagy részére kiterjed a határréteg-leválás ill. a leYiOiVN|YHWNH]WpEHQOpWUHM|YOHYiOiVLEXERUpNLeválási buboréknak a határréteg leválása következtében létrHM|YpVDOHYiOiVKHO\HP|J|WWHOKHO\H]NHGiUDPOiVLWpUUpV]W nevezzük, amelyben jellegzetesen a zavartalan áramlással ellentétes visszaáramlás van, általában viszonylag kicsik a sebességek és nagy a turbulenciafok.) Ugyanakkor, ha az áramvonalas testek körüli áramlásban van határréteg leválás, az csak a test felületének

159

korláWR]RWW UpV]pQ ILJ\HOKHW PHJ pV D WHVW P|J|WW NLDODNXOy iUDPOiVL Q\RP LV YLV]RQ\ODJ kis keUHV]WPHWV]HW7RPSDWHVWHNDKi]DNDWRUQ\RND]DXWyNPtJiUDPYRQDODVWHVWHNSO a reSOJpSHNpVDKDMyNYt]EHPHUOUpV]HL Jellegzetes áramvonalas test a 14.5. ábrán látható szárny LV DPHO\QHN QDJ\ MHOHQWVpJH YDQ D UHSOpVEHQ pV D] áramlástechnikai gépekben is. Az impulzustétel tárgyalásánál már levezettük a Kutta-Zsukovszkij tételt (ld. 14.5. ábra

8.3.fejezet, (8.24) összefüggés), amely szerint súrlódásmentes közeg esetén a szárny egységnyi hosszúságú sza-

N "# összefüggéssel számolható, ahol v m "# a szárnytól ! m$ !s$ m "# pedig a szárny körüli cirkuláció. A levezetávoli zavartalan áramlási sebesség, Γ !s$ NDV]iUDKDWyHUD] R = ρ v ∞ Γ

∞

2

WpVEOD]LVDGyGRWWKRJ\DV]iUQ\UDKDWy R HUPHUOHJHVD v ∞ sebesség vektorra. ValósáJRVV~UOyGiVRV N|]HJEHQDV]iUQ\UDKDWyHUNpWNRmponensre bontható: a zavartalan (megfúvási) sebességUH PHUOHJHV Fe N IHOKDMWyHUUH (ami megfelel a súrlódásmentes esetre levezetett R

N "# és az l m !m$

szárny-hossz szorzatának) és a v ∞ -nel párhuzamos

Fe N elOHQiOOiVHUUH$ |VV]HIJJpVVHODQDOyJPyGRQEHYH]HWKHWDV]iUQ\UDYonatkozó IHOKDMWyHUWpQ\H]pVHOOHQiOOiVWpQ\H]: cf =

Ff ρ 2 v∞ A 2

ce =

Fe ρ 2 v∞ A 2

(14.5)

(14.6)

Amíg az eddig tiUJ\DOWWRPSDWHVWHNQpOD]HUWpQ\H]NLIHMH]pVpQHNQHYH]MpEHQOpYMHlOHP]IHOOHWDWHVW]DYDUWDODQiUDPOiVUDPHUOHJHVOHJQDJ\REENHUHV]WPHWV]HWHYROWDGGLJ DV]iUQ\DNQiOH]DMHOOHP]IHOOHWD]DODSWHUOHWDV]iUQ\ h m húrhosszának és a szárny l m hosszának a szorzata: A = hl 'HILQLiOKDWyWRYiEEiD]iUDPOiVLHUNQHNDV]iUQ\HJ\DGRWWSOD3-vel jelölt) pontjára vett nyomatéka: M N m , valamint a . Q\RPDWpNLWpQ\H]. (P az ábrán az orrpont): cM =

M ρ 2 v∞ A h 2

160

(14.7)

$GRWW JHRPHWULiM~ V]iUQ\UD KDWy iUDPOiVL HUHGHW HU pV Q\RPaték vizsgálatánál a követke] WpQ\H] KDWiViW NHOO YL]VJiOQL D] HOOHQiOOiV HUUH D IHOKDMWyHUUH pV D nyomatékra: v ∞ , ρ, µ , h, l, α , ahol α állásszög a szárny húrja és a v ∞ zavartalan sebesség által bezárt szög (ld. 14.5 ábra). 13.2.fejezetben tanult dimenzióanalízist alkalmazva 4 dimenziyWODQ FVRSRUW NpSH]KHW F I (vagy c e vagy c M ), Re, l/h és α. Vizsgáljuk a 2D esetet, azaz legyen l K = ∞ 0pUMN PHJ NO|QE|] 5H\QROGV V]iPRN mellett az Ff és Fe ill. c f és c e értékeit az α függvényében. A mérés eredményeit vigyük fel diagramban (ld. 14.6. ábra). l

14.6. ábra $] iEUiEyO OiWKDWy KRJ\ D IHOKDMWyHUWpQ\H] N|]HOtWHQ OLQHiULVDQ Q D] iOOiVV]|J függvényében, majd c f ≅ 1. 2 ~ 1. 6 maximális értéket elérve hirtelen csökken. Az HOOHQiOOiVWpQ\H] D] iOOiVV]|J Q|YHOpVpUH NHYpVEp ÄpU]pNHQ\´ pUWpNH V]pOHV iOOiVV]|J határok között közel állandó, viszonylag kis érték (c e ≅ 0. 01 − 0. 03 $]HOOHQiOOiVWpQ\H] FVDN DNNRU Q PHJ URKDPRVDQ DPLNRU D c f hirtelen lecsökken. A jelenség a már tanult határréteg leválással van összefüggésben. $ V]iUQ\UD D]pUW KDW IHOKDMWyHU PHUW D Q\RPiVDIHOVUpV]pQNLVHEEPLQWD]DOVyQ. A határrétegen kívüli áramlásra alkalmazva a Bernoulli-egyenletet, az a következtetés adódik, hogy az áramlási sebesség a szárny felett nagyobb, mint alatta. (Ez]HOPDJ\DUi]KDWyPHJDV]iUQ\UDKDWyHUpVDFLUNXOiFLy Kutta-Zsukovszkij tételben (8.23) bemutatott kapcsolata.) .|]YHWOHQO D V]iUQ\ NLOpSpOH P|J|WW D VHEHVVpJQHN DOXO pV IHOO D]RQRVQDN NHOO OHQQLH hiszen a nyomás közYHWOHQO D NLOpSpO XWiQ DGRWW pUWpN DPL D %HUQRXOOL-egyenlet pUWHOPpEHQ DGRWW VHEHVVpJHW KDWiUR] PHJ (EEO N|YHWNH]LN KRJ\ D V]iUQ\ IHOHWWL áramlásnak a szárny hátsó részén lassulnia kell. Annál nagyobb a lassulás, minél nagyobb a IHOV pV DOVy VHEHsséJ N|]|WWL NO|QEVpJ D]D] PLQpO QDJ\REE D IHOKDMWyHU $] iOOiVV]|J növelésével tehát elérünk egy olyan lassuláshoz ami a határréteg leválásához, leválási buborék keletkezéséhez vezet (ld. 14.6. ábra alsó része). Ennek következtében lecsökken a IHOKDMWyHU pV PHJQ D] HOOHQiOOiV. A méréseket nagyobb Re számnál elvégezve kissé nagyobb felhajtóHUPD[LPXPUDpVYDODPLYHONLVHEEHOOHQiOOiVWpQ\H]UHV]iPtWKDWXQN

161

$V]iUQ\DNMHOOHP]DGDWDDsiklószámDPHO\DIHOKDMWyHUWpQ\H]pVD]HOOHQiOOiVWpQ\H] hányadosa:

cf (J\YLWRUOi]yUHSOJpSVLNOyV]iPDPHJDGMDKRJ\KiQ\PpWHUWWHV]PHJ ce

a gép vízszintesen siklásban, miközben 1 métert süllyed.) A siklószám általában 10 és 50 N|]pHVLN$V]iUQ\DNDWH]DWXODMGRQViJXNWHV]LLJHQpUWpNHVVpDGRWWHOOHQiOOiVHUÄiUiQ” DQQDNVRNV]RURViWNLWHYIHOKDMWyHUNHOHWNH]LNUDMWXN

+DViEUDKDWyiUDPOiVLHU Tekintsük a 14.7. ábrát, ahol egy t m élhosszúságú négyzet alapú, l m hosszúságú hasáb látható, amelyet hossztengelyével párhuzamos l

áramlásba helyezünk. A hDViEUD KDWy HOOHQiOOiVHU D KRPORNIDORQ pVDKiWIDORQNHOHWNH]Q\RPiVPHJRV]OiVEyOpVD]ROGDOIDODNRQNe-

14.7. ábra

letNH]FV~V]WDWyIHV]OWVpJEOWHYGLN|VV]H l c e = c pf − c pb + 4 c ' f t .

(14.8)

$]|VV]HIJJpVMREEROGDOiQV]HUHSOHOVNpWWDJKDVRQOyPHJIRQWROiVRNDODSMiQDGyGRWW mint

a

|VV]HIJJpV D] XWROVy WDJ SHGLJ D] ROGDOIDODNRQ NHOHWNH]

csúsztatófeszültséJHNEO V]iUPD]y WHQJHO\ LUiQ\~ HUW IHMH]L NL OG |VV]HIJJpV $ KDViE N|UO WpUEHOL ' iUDPOiV DODNXO NL DPHO\QHN HJ\LN MHOOHP]MH D KRPORNIDO pOHV kerületén (a EHOpSpOHQ NHOHWNH]KDWiUUpWHJOHYiOiVpVD]HQQHNN|YHWNH]WpEHQDEHOpSpO mögötti oldalfalszakasz mellett kialakuló leválási buborék. 9L]VJiOMXN PHJ KRJ\ KRJ\DQ IJJ D KDViE HOOHQiOOiVWpQ\H]MH D] l hosszúságtól! A mérések szerint l t = 0 (négyzet alakú síklap) és l t = 5 esetén a c e értéke rendre 1.1 és 0.8. Látjuk, hogy a hasáb hosszának növekedése esetén a c e MHOHQWVHQ FV|NNHQ SHGLJ D (14.8) összeIJJpV V]HULQW Q|YHNY KRVV] HVHWpQ D] ROGDOIDOL FV~V]WDWyIHV]OWVpJEO V]iUPD]yHUHJ\UHQDJ\REE8J\DQDNNRUEHOiWható, hogy a hasáb hosszának növelése nem befolyásolhatja lényegesen a c pf átlagos homlokfali túlnyomás értéket. A c e csökkenését tehát a hátfali nyomás növekedése okozhatja. A hasáb hátfala leválási buborékban van, amelynek két tulajdonságát emeljük ki:

−

a leválási buborékban a sebességek viszonylag kicsinyek, a v ∞ 20%-át általában nem haladják meg, ezért DQ\RPiVDOHYiOiVLEXERUpNEDQQHPYiOWR]LNMHOHQWVHQ;

162

−

D OHYiOiVL EXERUpNEDQ OpY N|]HO iOODQGy Q\RPiVW D KDWiUUpWHJ-OHYiOiV KHO\pQ OpY nyomás határozza meg. Jól használható tapasztalat: minél nagyobb a v ∞ ésDOHYiOiVKHO\HN|]HOpEHQOpY β

határrétegen kivüli áramlási sebesség-vektor között bezárt szög, (β = ϕ 2 ld. 14.8. ábra) annál kisebb a nyomás a leválási buborékban, tehát annál nagyobb az

14.8. ábra

HOOHQiOOiVWpQ\H]

Ezekkel az ismeretekkel megmagyarázható a c e csökkenése. Ha a hasáb rövid, akkor hátfaODDEEDQDOHYiOiVLEXERUpNEDQYDQDPLDEHOpSpOHNP|J|WWNHOHWNH]LN0LXWiQLWWD leválás helyéhez közeli, határrétegen kívüli sebesség jó közelítéssel 90°-os szöget zár be a v ∞ -nel, a leválási buborékban viszonylag nagy depresszió van. Emiatt a (14.8) kifejezésben léY c pb viszonylag nagy negatív érték, a c e SHGLJ QDJ\ +D D KDViE KRVV]iW HOHJHQGHQ megnövelMNDEHOpSpOQpONHOHWNH]OHYiOiVLEXERUpND]ROGDOIDORQEHIHMH]GLNa levált határréteg visszafekszik pV D KiWIDODW N|UOYHY ~Q NLOpSpOHQ NHOHWNH]LN D KiWIDO mögötti leválási buborékot létrehozó határréteg-leválás. Itt azonban a határrétegen kívüli sebesség és a v ∞ kö]|WW EH]iUW V]|J D] HO]QpO MyYDO NLVHEE β ≈ 0° , tehát a nyomás nagyobb, mintD]HO]HVHWEHQ7RYiEEQ|YHOKHWDKiWIDOLQ\RPiVD]D]FV|NNHQWKHWc e ) a β szög további csökkentésével, azaz a hasáb hátsó részének „összehúzásával”. $KDViEUDKDWyHOOHQiOOiVHUMHOHQWVUpV]pWWHV]LNLDKRPORNIDORQNHOHWNH]W~OQ\Rmásból származó HU. A nyomás a Bernoulli egyenlet értelmében az áramlási sebesség Q|YHOpVpYHO FV|NNHQWKHW (] D KRPORNIDODW N|UOYHY pOHN 14.9. ábrán látható lekerekítésével pUKHW HO $ KRPORNIDO N|]pSV UpV]pQ NHOHWNH] W~OQ\RPiVEyO V]iUPD]y ellenálOiVHUWWHOMHV egészében is képes ellensúlyozni a homlokfal kerületén, a lekerekítés helyén keOHWNH]GHSUHVV]Ly$]iUDPOiVKLGURJpQEXERUpNRNNDOW|UWpQOiWKDWyYiWpWHOpYHO NDSRWW iUDPNpSHQ D] ROGDOIDO PHOOHWW NHOHWNH] OHYiOiVL EXERUpN PXWDWMD KRJ\ HEEHQ D] esetben DKRPORNIDOUDKDWyHUQHP]pUXV

14.9. ábra $] HO]HNEHQ WiUJ\DOW l t = 5 KRVV]~ViJ~ KDViE HOOHQiOOiVWpQ\H]MpW NE QHJ\HGpUH c e = 0.2 pUWpNUH OHKHW FV|NNHQWHQL D KRPORNIDO EHOpSpOHLQHN PHJIHOHO PpUWpN OHNHUHkítésével.

163

Ha megvizsgáljuk a fali csúsztatófeV]OWVpJ UpV]DUiQ\iW D WHVWHNUH KDWy HUNEHQ PHJállapíthatjuk, hogy áramvonalas testek (pl. a szárnyak) esetén a viszonylag kis csúsztatófeszültség (ld. 11.2. ábra) D] iUDPOiVL HUHGHW HUQHN V]iUQ\ HVHWpQ SO D] ellenállásHUQHN MeOHQWV UpV]pW WHKHWik ki. Ugyanakkor tompa testeknél a nyomásPHJRV]OiVEyO V]iUPD]y HUN GRPLQiOQDN. A csúsztatófeszültség szerepe abban van, amint azt a 11.3. fejezetben látWXN KRJ\ KDWiUUpWHJ OHYiOiVW HOLGp]YH DODSYHWHQ megváltoztathatja a test körüláramlásáQDNMHOOHP]it és ezen keresztül a nyomásmegoszlást.

14.5. Porszemcse süllyedési sebessége $OHYHJEHYDJ\Yt]EHNHUONLVPpUHWV]LOiUGV]HPFVpNLOODOHYHJEHQOHEHJFVHSSHN mozgásának ismerete igen fontos a mérésük, leválasztásuk szempontjából. Itt a szokásos, d p = 0.01- 50 µm iWPpUM V]HPFVpN Q\XJYy N|]HJEHQ YDOy VOO\HGpVpQHN VHEHVVpJpW hatáUR]]XNPHJ$V]HPFVpNDQ\XJYyOHYHJEHQYDJ\Yt]EHQDUiMXNKDWyV~O\HUKDWiViUD w s sebességgel süllyednek. A szemcse körül kialakuló áramkép akkor stacionárius, ha azt a szemcséhez rögzített koordináta-UHQGV]HUEOYL]VJiOMXN$V]HPFVHNLVPpUHWHpVDZs kis értéke miatt a gömbnek tekintett szemcse körüli relatív áramlásra felírt Reynolds-szám: Re p = w s d p / ν általában igen kicsiny (Re<1), tehát az iUDPOiVEDQDV~UOyGyHUNKDWiVD D] HOVGOHJHV. Ilyen Reynolds-V]iPRNQiO D J|PEUH KDWy HOOHQiOOiV HUW MyO N|]HOtWL D Stokes-formula: Fe = 3π µ d p w

,

(14.9)

ahol w m / s az közeg zavartalan relatív sebessége a porszemcséhez képest. A (14.9) összefüggést Stokes a linearizált Navier-Stokes-egyenlet megoldásával kapta meg. Kis Reynolds-V]iPRNHVHWpQD HJ\HQOHWEDOROGDOiQOpYDWHKHWHWOHQVpJLHUNHWNLIHMH] nem lineáris tagok elhanyagolhatók (az egyenlet linearizálható), és adott peremfeltételek PHOOHWW D] HJ\HQOHW PHJROGKDWy $] tJ\ PHJKDWiUR]RWW iUDPNpSEO D IHOOHWi nyomás- és csúsztatófeszültség megoszlás kiszámítható. Ezek integrálásával adódott a gömbre ható iUDPOiVL HOOHQiOOiV HU IHQWL NLIHMH]pVH +D D NLIHMH]pVW EHKHO\HWWHVtWMN D összefüggésbe, a ceHOOHQiOOiVWpQ\H]UHD ce =

24 Re p

(14.10)

összefüggés aGyGLN (] D NLIHMH]pV KDVRQOy D KHQJHU HOOHQiOOiVWpQ\H] NLIHMH]pVpKH] NLV Reynolds-számok esetén. Megjegyezzük, hogy a gömbre vonatkozó c e − Re görbe, a hengerre vonatkozó 14.2. ábrán látható görbéhez jellegre igen hasonló.)

164

Írjuk fel a ρI VUVpJ N|]HJEHQ VOO\HG ρ S VUVpJ SRUV]HPFVpUH KDWy HUN HJ\HQVúlyát: d 3p π 6

!

&

g ρ p − ρ f = 3π µ d p w s ,

DPLEOD süllyedési sebesség:

ws =

!

&

d 2p ρ p − ρ f g 18 µ

.

(14.11)

+D D N|]HJ OHYHJ DNNRU ρ f elhanyagolható ρ p mellett. Pl. Egy d p = 5µm iWPpUM FePHQWV]HPFVHVOO\HGpVLVHEHVVpJHOHYHJEHQPPVD Re p értéke pedig 7.10 −4 .

165

15. Összenyomható közegek áramlása, gázdinamika Ebben a fejezetben olyan áramlásokkal foglalkozunk, amelyeknél az iUDPOyN|]HJVU VpJH MHOHQWVHQ YiOWR]LN. Az 1.fejezetben leírtak értelmében a gázok VUVpJH NpSHV D nyomásváltozás hatására nagy mértékben változni. Ezért nevezzük az áramlástan összenyomható közegek áramlásával foglalkozó részét gázdinamikának.

15.1. Az energiaegyenlet A 15.1. ábrán az áramló gáz egy gondolatban elhatárolt, V térfogatú, elúszó része látható. A gázrésznek

− − − 15.1. ábra

−

mozgási energiája és helyzeti energiája van.

A vizsgált gázrész energiáját

a IHOOHWLHUNPXQNiMD, ezen belül

• •

− −

EHOVHQHUJLiMD

a nyomásból és az alakváltozás miatt a súrlódásból szárPD]yHUNPXQNiMD

DW|PHJUHKDWyWpUHUNPXQNiMD és a Kiramlás változtathatja meg.

$WRYiEELDNEDQDKHO\]HWLHQHUJLDYiOWR]iVVDOpVDWpUHUNPXQNiMiYDOQHPIRJODONR]XQN +V]LJHWHOW pV V~UOyGiVPHQWHV N|]HJ iUDPOiViW IHOWpWHOH]YH pV HOKDQ\DJROYD D WpUHUVVpJPXQNiMiWFVDNDQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUNPXQNiMiWkell figyelembe venni. Szorítkozzunk stacionárius áramlásra. Írjuk fel a kapcsolatot a 15.1. ábrán látható V térfogatú Ji]HQHUJLiMiQDNLGHJ\VpJUHHV változása és a gázon végzett munka között:ce−R

I

I

d v2 + c v T ρ dV = − v p dA , dt V 2 A

ahol c v

J "# iOODQGyWpUIRJDWRQYHWWIDMK. ! kg K $

(15.1)

A (15.1) kifejezés bal oldalán a gondolatban elhatárolt, V térfogatú gázrész mozgási és belVHQHUJLiMiQDNLGV]HULQWLGLIIHUHQFLiOKiQ\DGRVDD]D]HJ\PiVRGSHUFUHMXWyPHJYiOWR]áVD YDQDPHO\HJ\HQODQ\RPiViOWDOD]$IHOOHWHQPiVRGSHUFHQNpQWYpJ]HWWPXQNiYDO (−p dA D]HOHPLIHOOHWUHKDWyHUHQQHN v sebességgel való szorzata a teljesítményt adja.) A (15.1) összefüggés bal oldalára vonatkozóan írható:

I

1 d v2 + c v T ρ dV = lim ∆ → t 0 ∆t dt V 2

v ρ dV − v + c T ρ dV"# + c T I I1 6 2 #$ ! 1 6 2 2

2

v

v

V t + ∆t

(15.2)

V t

$ MREEROGDOiQOpYV]|JOHWHV]iUyMHOEHQD15.1. ábrán + és – jellel jelölt térfogatokEDQOpYJáztömeg energiájának különbsége van, (hiszen – miután stacionárius áramlást tételezünk fel – a közös rész energiája kiesik), amit az impulzustétel levezetésénél (ld. 8.1.fejezet) alkalmazott módszer felhasználásával az alábbi módon írhatunk fel:

I

I

d v2 v2 + c v T ρ v dA . + c v T ρ dV = 2 dt V 2 A A (15.1) összefüggés jobb oldalán ρ-val szorozva és osztva:

I v2 + c T ρ v dA = − I ρp ρ v dA . 2

v

A

A

Bal oldalra rendezve az integrálokat és kihasználva, hogy az integrálási tartomány megegyezik:

I v2 + c 2

A

v T+

I

p v2 ρ v dA = + c p T ρ v dA = 0 . ρ 2 A

(15.3)

A (15.3) kifejezés felírásakor figyelembe vettük, hogy cv T +

p = h = cp T , ρ

ahol h [J/kg] az entalpia és cp [J/kg/K] az iOODQGyQ\RPiVRQYHWWIDMK.

167

(15.4)

Alkalmazzuk a Gauss-Osztrogradszkij-tételt a (15.3) kifejezés felületi integráljára:

I Y + F 7 ρ Y G $ = I GLY ! Y + F 7 ρ Y "##$ G9 = Y + F 7 ρ Y + Y + F 7 GLY 1 ρ Y 6 "# G9 = = I JUDG #$ !

S

S

$

9

(15.5)

S

S

9

1 6

A folytonosság (3.6) összefüggése értelmében div ρ v = − nárius

∂ρ és miután az áramlás stacio∂t

∂ρ = 0. Ennek figyelembe vételével a (15.5) összefüggés: ∂t

I

v + c T ρ v dV = 0 2 2

grad

V

(15.6)

p

alakra hozható. $] LQWHJUiO WHWV]OHJHV 9 WpUIRJDW HVHWpQ DNNRU ]pUXV KD D] LQWHJUDQGXV] ]pUXV $]

v + c T 2 2

integrandusz akkor zérus, ha

v + c T PHUOHJHV D Y 2

p

az egész térben állandó, vagy ha változik, a

2

grad

p

v + c T 2 2

sebességvektorra, azaz a

p

egy áramvonal

mentén állandó. $]HQHUJLDHJ\HQOHWV~UOyGiVPHQWHVKV]LJHWHOWN|]HJVWDFLRQiULXViUDPOiVDHVHWpQD]W fejezi ki, hogy a gáz kinetikai energiájának és az entalpiájának összege az áramvonal mentén állandó: v2 + c p T = áll. 2

(15.7)

Osszuk végig a (15.7) egyenletet cp -vel: T+

v2 = Tö = áll. 2 cp

ahol T (vagy Tst ) [K] a VWDWLNXVKPpUVpNOHW, Td =

(15.8)

v2 [ K ] a GLQDPLNXVKPpUVpNOHWD 2c p

NHWW|VV]HJHSHGLJDTö [ K ]|VV]KPpUVpNOHW Az energiaegyenlet (15.8) alakja tehát úgy is megfogalmazható, hogy súrlódásmentes, h szigetelt közeg stacionárius áramlása esetén áramvonDORQD]|VV]KPpUVpNOHWiOODQGy.

168

Alkalmazzuk az energiaegyenletet egy tartálybólNLiUDPOyOHYHJVXJiUUDOG15.2. ábra). $WDUWiO\EDQDKPpUVpNOHWT0 DOHYHJVHEHVVpJH]pUXV +HO\H]]QN HO D OHYHJVXJiUEDQ HJ\ ~Q torlySRQWKPpUW, DPHOO\HODPHJiOOtWRWWOHYHJKPpUVpNOHWHD 7W > . @ torlópontKPpUVpNOHWPpUKHWËUMXNIHOD]HQHUJLDHJ\HQOHW DODNMiW DWDUWiO\EDQOpYpVDWRUOySRQWKPpUEHQOpYWSRQWN|]|WWD 0 és a t pont egy áramvonalon van): 15.2. ábra 7 +

Y FS

= 7W +

Y W FS

.

(15.9)

Miután Y = Y W = , adódik, hogy 7W = 7 , azaz a WRUOySRQWKPpUDWDUWiO\KPpUVpNOetet méri.+DSODWRUOySRQWKPpUWOHYHJPVVHEHVVpJiUDPOiViEDKHO\H]]ND]D] iUDPOyOHYHJVWDWLNXV KPpUVpNOHWpQpO.-QHOQDJ\REEKPpUVpNOHWHWPpUKLV]HQDOeYHJ F S = - NJ . állandó nyRPiVRQ YHWW IDMKMpYHO V]iPROYD 7G = .

(LeveJHVHWpQDGLQDPLNXVKPpUVpNOHW7G = Y

$

kifejezéssel számítható.)

15.2. A Bernoulli-egyenlet összenyomható gázokra Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet (4.29) alakját áramvonal mentén, súrlódásmentes és h szigetelt közeg staFLRQiULXViUDPOiViUDDWpUHUVVpJKDWiViQDNHOKDQ\DJROiViYDO0LuWiQ V~UOyGiVPHQWHV pV KV]LJHWHOW D N|]HJ D EHQQH OHMiWV]yGy IRO\DPDWRN L]HQWropikusak. ,]HQWURSLNXViOODSRWYiOWR]iVHVHWpQDVUVpJpVQ\RPiVNDSFVRODWiUDIHQnáll: S ρ ahol κ =

FS FY

κ

S

= iOO =

ρκ

(15.10)

azaz aVUVpJFVDNDQ\RPiVIJJYpQ\HNpQWLVNLIHMH]KHW(]WLVILJ\HOHPEH

véve (ld. 4.4.fejezet) a Bernoulli-egyenlet:

1$

p

2 v 22 − v12 dp =− ρ p 2 p 1

alakban írható fel.

169

(15.11)

Kifejezve ρ − W D |VV]HIJJpVEO pV EHKHO\HWWHVtWYH D |VV]HIJJpV MREE oldalába Y − Y

I

S

=−

S

=

κ S κ GS κ S = − S − κ ρ S κ κ − ρ

κ κ −

κ S

κ − S κ

ρ

S S

=

S "# − S ## ! $

(15.12)

κ − κ

A (15.12) összefüggés rendezése után eljutottunk a végeredményhez:

Y

=

Y

"# # #$ ! κ − κ

S κ S + − κ − ρ S

(15.13)

Legyen adva egy áramvonalon az 1 és a 2 pont. Tételezzük fel, hogy az áramlás stacionáULXV V~UOyGiVPHQWHV pV QLQFV KYH]HWpV /HJ\HQ LVPHUW D] SRQWEDQ D

sebesség, a p1

nyomás és a T1 KPpUVpNOHW+RJ\DQKDWiUR]]XNPHJD]iUDPOyN|]HJMHOOHP]LWDSRQtban, ahol ismerjük a p 2 Q\RPiVW"$V~UOyGiVPHQWHVVpJpVDKV]LJHWHOWVpJIHOWpWHOpEODGódik, hogy az áramló gázban az 1 és 2 pont között lejátszódó állapotváltozás izentrop, azaz a Q\RPiV pV D VUVpJ NDSFVolatára a (15.10) összefüggés, a sebességekre a Bernoulliegyenlet alapján kapott (15.13) összefüggés érvényes. Ezért ez utóbbi kifejezésben

p1 heρ1

lyett a gáztörvény alapján 57 -HWtUYDDSRQWEDQOpYVHEHVVpJUHtUKDWy

v 2 = v1

2

!

p 2κ + RT1 1 − 2 κ −1 p1

κ −1 κ

"# ## $

(15.14)

$]SRQWEDQpUYpQ\HVVUVpJHWDJi]W|UYpQ\EOV]iPtWKDWMXN ρ1 =

p1 . R T1

A gáztörvény és az izentropikus állapotváltozást leíró (15.10) kifejezés felhasználásával meghatározható a KPpUVpNOHWYLV]RQ\:

T p p 2 ρκ2 p κ Tκ R κ = κ = 2κ 1 κ κ ⇒ 2 = 2 T1 p1 p1 ρ1 R T2 p1

170

κ −1 κ

(15.15)

A nyomásviszonyból a VUVpJYLV]RQ\D NLIHMH]pVDODSMiQNLIHMH]KHW

ρ2 p = 2 ρ1 p1

1 κ

(15.16)

.

$ pV NLIHMH]pVHNEODVUVpJYLV]RQ\pVDKPpUVpNOHWYLV]RQ\NDSFVROata határozható meg:

ρ2 T = 2 ρ1 T1

1 κ −1

(15.17)

.

Helyettesítsük be a (15.13) összefüggésbe ismét az R T1 kifejezést és a (15.15) összefüggést! Eredményül kapjuk:

v 22 = v12 +

Miután

!

"# $

T 2κ R T1 1 − 2 . κ −1 T1

cp 2κ R = 2 cp a κ = felhasználásával, T1 -gyel való beszorzás után a κ −1 cv

1

v 22 = v12 + 2 c p T1 − T2

6

(15.18)

NLIHMH]pVDGyGLNDPLEOiWDODNtWiVXWiQD]HQHUJLDHJ\HQOHWOHYH]HWpVpQpONDSRWW |szszeIJJpVVHOPHJHJ\H]NLIHMH]pVQ\HUKHW

c p T1 +

v12 v2 = c p T2 + 2 2 2

(15.19)

Ha a gáz tartályból áramlik ki izentrópikusan, akkor a (15.14 |VV]HIJJpVEOY1=0 figyelembe vételével a kiáramlási sebességre a

v=

"# # #$ !

p 2κ R Tt 1 − e κ −1 pt

κ −1 κ

(15.20)

ún. izentrópikus kiömlési képletet kapjuk, ahol a ’t’ index a tartályra utal, az pe pedig az u.n.HOOHQQ\RPiVDWDUWiO\EyONLiUDPOyJi]VXJiUEDQOpYQ\RPiV.

171

15.3. A hang terjedési sebessége Ae

A Ae

15.3. ábra A 15.3. ábrán egy csövet látunk, amelynek a bal oldali végére egy gumihártyát (membránt) HUVtWQN$FVEHQYDOyViJRV|VV]HQ\RPKDWy Ji]SOOHYHJYDQ+DHKiUW\iUDUiWQN DNNRUDKiUW\DHOPR]GXOiViQDNHOVGWLGWDUWDPDDODWWD]DKKR]OHJN|]HOHEEOpYOHYHJUéV]HNGYVHEHVVpJPR]JiVEDM|QQHNDOHYHJQ\RPiVDVUVpJHHOHPLPpUWpNEHQPHJQ Belátható, hogy a gázállapot és -VHEHVVpJQHPHJ\V]HUUHYiOWR]LNPHJD]HJpV]FVEHQKaQHPHJ\DGRWW[NRRUGLQiWiQiOOpYNHUHV]WPHWV]HWEHQDNNRUYiOWR]QDNPHJHMHOOHP]NKD a jobbra a m / s terjedési sebességgel mozgó hullám az adott keresztmetszetet eléri (ld. 15.3. ábra). AKDQJHOHPLQHNWHNLQWKHWQ\RPiVKXOOiPRNVRUR]DWD ezért a tárgyalt hullám terjedési sebessége a hang terjedési sebességével egyezik meg, amit a-val

2a

= m/s

7

jelölünk. Határozzuk meg az impulzustétel segítségével, hogy milyen sebességgel halad a nyomáshullám. Vegyük fel az A e HOOHQU]IHOOHWHWD]iEUiQOiWKDWyPyGRQ$NNRUWHNLQWKHWD] áramlás stacionáriusnak, ha az elleQU]IHOOHWMREEUDPR]RJDKXOOiP a m / s sebességéYHOPHJHJ\H]VHEHVVpJJHO(]HVHWEHQD]HOOHQU]IHOOHWEHMREEROGDORQ a m / s sebességgel lép be a ρVUVpJN|]HJpVEDOROGDORQD ρ + dρ VUVpJJi]D-dv sebességgel lép ki, hiszen a hulláPGYVHEHVVpJiUDPOiVWKR]OpWUH$15.3. ábrán felvitt I és P vektorok egyensúlyát felírva adódik: I1 − I 2 = P2 − P1 , azaz

1

61

6

2

1

6

ρ a 2 A − ρ + dρ a − dv A = p + dp A − pA , DPLEODNLMHO|OWPYHOHWHNHOYpJ]pVHpVHJ\V]HUVtWpVHNYDODPLQWDPiVRG- és harmadrenden kicsiny tagok elhagyása után a 2 a ρ dv − a 2 dρ = dp

172

(15.21)

összefüggést kapjuk. Írjuk fel a folytonosság tételét:

1a − dv61ρ + dρ6 = a ρ DPLEO

ρ dv = a dρ (]W EHKHO\HWWHVtWYH D NLIHMH]pV EDO ROGDOL HOV WDJMiED D] a 2 dρ = dp ösV]HIJJpVUHMXWXQNDPLEOa hullám terjedési sebessége, a hangsebesség:

a=

dp dρ

(15.22)

A (15.22) összefüggés teljesen általánosan írja le az elemi hullám terjedési sebességét egy álló, összenyomható közegben, amire vonatkozóan eddig semmilyen kikötést nem tettünk. *i]EDQ D] HOHPL KXOOiPRN WHUMHGpVHNRU EHN|YHWNH] iOODSRWYiOWR]iV My N|]HOtWpVVHO izentropikus. Miután ez esetben a (15.10) alapján S=

S

ρ κ

ρκ

GS S = κ ρ κ − , amibe behelyettesítve a (15.10) összefüggést Gρ ρ κ

és a gáztörvényt, dp = a = κRT dρ

(15.23)

kifejezés adódik a hang terjedési sebességére. )LJ\HOHPUHPpOWyKRJ\DKXOOiPWHUMHGpVLVHEHVVpJHHJ\DGRWWJi]EDQFVDNDKPpUVpNOHtWOIJJ7HNLQWHWWHODUUDKRJ\YDOyViJRVJi]RNUHQGH]HWOHQK PR]JiVWYpJ]PROHNXOiL ÄWRYiEEtWMiNDMHOHW´LO\HQMHOOHKHWD]KRJ\DFVYpJpQOpYKiUW\DPR]JiVDHUHGPpQ\eNpQWDJi]PROHNXOiNRQYpJ]HWWPXQNDUpYpQPHJNHOOQQLHD]RNÄUHQGH]HWWÝ pVUHQGezetlen sebességének (D]D]KPpUVpNOHWpQHNpVQ\RPiViQDN (PHJIRQWROiVpUWKHWYpWHV]L KRJ\PLpUWDFVDNDJi]KPpUVpNOHWpWOD]D]DJi]PROHNXOiNUHQGH]HWOHQPR]JiViQDNVebességéWOIJJDKDQJWHUMHGpVLVHEHVVpJH

15.4. Áramlások hasonlósága összenyomható közegek esetén A 12. fejezetben foglalkoztunk az áramlások hasonlóságával és megállapítottuk, hogy két áramlás hasonló, ha az azokat leíró dimenziótlan differenciálegyenletek azonosak, és a SHUHPIHOWpWHOHNLVPHJHJ\H]QHNDGLPHQ]LyWODQKHO\pVLGNRRUGLQiWiNEDQ A 12. fejezetben az összenyomhatatlan közegek áramlására határoztuk meg a hasonlóság feltételeit, hiszen a Navier-Stokes-egyenlet ρ = áll. esetén érvényes. Ebben a fejezetben összenyomható gázok áramlására vonatkozóan határozzuk meg a hasonlóság további feltételeit. A (12.2) összefüggés jobb oldalának második tagját a differenciálegyenletet a 12. fejezetEHQOHtUWDNWyOHOWpUHQGLPHQ]LyWODQtWMXN–ILJ\HOHPEHYpYHKRJ\DVUVpJLVYiOWR]LN

173

−

1 ∂p l 0 1 = 2 ρ ρ ∂x v 0 ρ0

p p p x ρ v ∂ l

∂

0

0

0

2 0

(15.24)

.

0

A differenciálegyenlet azonosságának feltétele tehát az Eu =

p0

(15.25)

ρ0 v 20

Euler-szám azonossága a kismintánál és a nagy kivitelnél. A (15.6) összefüggés alapján a

v + c T = 0 2 2

v grad

(15.26)

p

alakban is felírható az energiaegyenlet. Ha kifejtjük a (15.26) összefüggést, a

vx

∂ v2 ∂ v2 ∂ v2 + cpT + v z + cpT = 0 + c pT + v y ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

adódik az energiaegyenletre. Dimenziótlanítsuk a (15.27) összefüggést

(15.27)

l0 v 30

-nel végig-

szorozva az egyenletet:

vx v0

%K 1 v v v " c T # ∂ x &K' 2 ! v + v + v #$ + v l 2

2

∂

2

x

y

z

0

0

0

0

p

0

2 0

(K )K *

T + .... = 0 T0

(15.28)

A dimenziótlan energiaegyenlet akkor azonos a kismintánál és a nagy kivitelnél, ha a c p T0 v 20

= azonos.

174

(15.29)

A (15.25) kifejezés átalakítható: p0 ρ0 v 20

=

R T0 v 20

=

κ R T0 κ v 20

=

1 a0 κ v0

2

= azonos

.

(15.30)

Ha a (15.25) és (15.29) kifejezések értékei azonosak a nagy kivitelnél és a kismintánál, akkor hányadosuk értéke is: v 20 RT0 c p − c v 1 κ −1 = = = 1− = = azonos 2 . κ κ c T c T c ρ0 v 0 p 0 p 0 p p0

(15.31)

A (15.30) és (15.31) feltétel akkor teljesül, ha κ = azonos és a Mach szám Ma =

v0 = azonos. a0

(15.32)

Az áramlások hasonlóságának feltételeként a 12. fejezetben felsoroltak mellett a κ és a Mach-szám azonosságát is biztosítani kell.

15.5. Gázok kiömlése tartályból, a Laval-FV A (15.20) kifejezés stacionárius, izentrópikus áramlás esetén kapcsolatot teremt a tartályból W|UWpQNLiUDPOiVYVHEHVVpJHDWDUWiO\EDQOpYJi]7tKPpUVpNOHWHpVSt nyomása, valamint a kiáramlás helyén a gázVXJiUEDQOpYSQ\RPiVN|]|WW

v=

!

2κ p R Tt 1 − κ −1 pt

κ −1 κ

"# ## . $

Ábrázoljuk adott pt tartálynyomás esetén a v kiáramlási sebesség függvényében a p ellennyomást!

15.4. ábra

175

A p-v görbe a 15.4. ábrán látható. A maximális kiáramlási sebesség (vmax ) p = 0-hoz tartozik:

v max =

2κ R Tt κ −1

(15.33)

Vizsgáljuk meg a p-v görbe pULQWLW! A természetes koordináta-rendszerben az áramvonal pULQWMHLUiQ\iEDQIHOtUW(XOHU-HJ\HQOHWEO NLIHMH]KHW dp = −ρ v . dv

(15.34)

A 15.4. ábrán látható görbének v = 0 -nál és v = v max -nál van Yt]V]LQWHV pULQWMH (utóbbi helyen p = 0, ezért ρ = 0). Közben a

GS dp -nek minimumának kell lennie. Keressük a GY dv

maximumát a v függvényében! Differenciáljuk a (15.34) kifejezés jobb oldalát v szerint, és WHJ\NHJ\HQOYp]pUXVVDO

v

1 6 = v dρ + ρ = 0. A láncszabály alkalmazásával:

d ρv dv

dv

dρ dp + ρ = 0DPLEOD EHKHO\HWWHVtWpVpYHOpVρ kiemelése után a dp dv

!

ρ 1−

"# $ !

"# $

v2 v2 = ρ 1− 2 = 0 dp / dρ a

kifejezés adódik, miután a (15.22) kifejezés alapján felismertük, hogy a zárójel második WDJMiQDNQHYH]MpEHQD]DKDQJVHEHVVpJQpJ\]HWHV]HUHSHO$

dp -nek tehát v = a, azaz dv

Ma = 1 HVHWpQYDQV]pOVpUWpNHD]D]DKROD]iUDPOiVLVHEHVVpJHJ\HQOD]DGRWWKHO\HQ OpYJi]KPpUVpNOHWKH]WDUWR]yKHO\LKDQJVHEHVVpJJHO Vizsgáljuk meg, hogy milyen A csatornakeresztmetszet felel meg az adott áramlási viszonyoknak? Az áramlás stacionárius, ezért a kontinuitás összefüggése a (15.34) figyelembevételével az alábbi módon írható fel: qm = ρvA = −

dp A = áll. dv

(15.35)

$KRO WHKiW Yt]V]LQWHV D] pULQW D J|UEH v = 0 és p = 0 értékekhez tartozó helyein), a keresztmetszet A → ∞. Az A keresztmetszetnek ott van minimuma, ahol a −

dp -nek madv

ximuma van, azaz a p-v görbe inflexiós pontjánál, ahol a v sebesség a helyi hangsebesVpJJHO HJ\HQO Egy adott q m kg / s tömegáramhoz felrajzolható az A csatornakeresztmetszet változása a p függvényében (ld. 15.4. ábra). Az adott áramlási sebesség, nyo176

PiVpVVUVpJYiOWR]iVEyOHJ\DFV|NNHQQ\RPiVRNLUiQ\iEDQHOV]|UV]NOPDMG EYONHUHV]WPHWV]HWFVWROGDWDGyGLN 9L]VJiOMXNPHJD]iUDPOiVMHOOHP]LWDV]NO-EYOFVV]DNDV]PHQWpQ,VPpWDWHUPészetes koordináta-UHQGV]HUEHQ D] iUDPYRQDO pULQWMH LUiQ\iEDQ IHOtUW (XOHU-HJ\HQOHWEO (4.25) indulunk ki:

v

∂v 1 ∂p 1 ∂p ∂ρ 1 ∂ρ =− =− = − a2 ∂e ρ ∂e ρ ∂ρ ∂e ρ ∂e .

1

(15.36)

6

Miután a kontinuitásból ρ v A = áll., d ρ v A = 0 , azaz dρ v A + ρ dv A + ρ v dA = 0DPLEO dρ dv dA + + =0 ρ v A

(15.37)

adódik. $ |VV]HIJJpVEO v dv = − a 2

dρ dρ .A -W NLIHMH]YH NLIHMH]pVEO pV EHKeρ ρ

lyettesítve kapjuk v dv = − a 2

dρ dv dA = a2 + ρ v A .

(15.38)

ÈWDODNtWiVXWiQD |VV]HIJJpVEONDSMXN v 2 dv dv dA = + , v A a2 v DPLEO

4 Ma − 19 dvv = dAA . 2

(15.39)

A |VV]HIJJpVEOD]DOiEELN|YHWNH]WHWpVHNYRQKDWyNOH α/ Ha Ma < 1, akkor dv / v > 0 -hoz azaz gyorsuló áramláshoz dA / A < 0 , azaz iUDPOiV LUiQ\iEDQ FV|NNHQ NHUHV]WPHWV]HW NRQI~]RU ODVVXOy iUDPOiVKR] ( dv / v < 0 SHGLJQ|YHNYNHUHV]WPHWV]HWGLII~]RU, dA / A > 0 ) tartozik. Ebben az esetben a nyomás és a sebesség kapcsolatát a 15.4. ábrán látható p-v görbe inflexiós SRQWWyOEDOUDHVUpV]HtUMDOH β/ Ha Ma > 1 DNNRUQ|YHNYVHEHVVpJKH]Q|YHNYNHUHV]WPHWV]HWGLII~]RU WDUWR]LN Ez az állapotMHOOHP]LDJ|UEHLQIOH[LyVSRQWWyOMREEUDHVV]DNDV]iW

177

γ/

dA / A DNNRU]pUXVD]D]DNHUHV]WPHWV]HWQHNRWWYDQV]pOVpUWpNHPLQLPXPD DKRO dv / v = 0 vagy Ma = 1 +DDNHUHV]WPHWV]HWV]pOVpUWpNpQpOD]iUDPOiVLVHEHVVpJQövekszik (ld. 15.4. ábra), a KDQJVHEHVVpJQpO NLVHEE VHEHVVpJ J\RUVXOy iUDPOiV D keresztmetszet minimumánál éri el a hangsebességet.

δ/

Ha Ma ≠ 1 , és dA / A = 0 DVHEHVVpJQHNV]pOVpUWpNHYDQ

0LHOWWPHJYL]VJiOQiQND]iUDPOiVMHOOHJ]HWHVVpJHLWDNL|POpVQpOKDWiURzzuk meg a közeg MHOOHP]LW D OHJV]NHEE NHUHV]WPHWV]HWEHQ DEEDQ D] HVHWEHQ DPLNRU D Ma = 1 , azaz Y = D . (A *MHODN|YHWNH]NEHQDOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWUHXWDO ËUMXNIHOD]energiaegyenletetDWDUWiO\EHOVHMpQHNHJ\SRQWMDW pVDOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HW (*) között figyelembe véve, hogy Y = D és felhasználva a hangsebesség (15.24) kifejezését: 7W = 7 +

!

"# #$

FS FY FS − FY κ 5 7 κ + D = 7 + = 7 + = 7 FS FS FS

(15.40)

(15.40)-EO– figyelembe véve a (15.15) és (15.17) kifejezéseket – meghatározhatók a legV]NHEENHUHV]WPHWV]HWEHQpVDWDUWiO\EDQpUYpQ\HVJi]iOODSRWMHO]NKányadosai: 7 = κ + 7W

S 7 = SW 7W

ρ 7 = ρW 7W

κ κ −

κ −

1 = 6

= κ + = κ +

κ κ −

κ −

(15.41)

1 = 6 1 = 6 .

(15.42)

(15.43)

A (15.41) – |VV]HIJJpVHNEHQ]iUyMHOEHQV]HUHSOV]iPRN κ = 1. 4 (azaz kétatomos gázok) esetén érvényesek. Foglaljuk most össze, hogy milyen gyakorlati következményei vannak az eddigi megállapításainknak. Legyen adva van egy tartály, amelyben adott a gáz állapota: Tt , p t , ρ t . (Ez utóbbit a gáztörvénnyel számolhatjuk ki az HO]NHWWLVPHUHWpEHQ /HJ\HQDWDUWiO\IDOiQHJ\D15.5. ábrán látható 15.5. ábra

ÄHJ\V]HUŃL|POQ\tOiVDPHO\QHNOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWHDNiömlés helyén van./HJ\HQDNOVHOOHQ Q\RPiV p e < p t , amit változtatni tu-

dunk. Ha p e / p t közel van az 1 értékhez, pl. > 0.95, akkor jó közelítéssel használhatjuk a Bernoulli-HJ\HQOHWEOOHYH]HWHWWiOODQGyVUVpJNözeg áramlására vonatkozó öszszefüggést a v kiömlési sebesség számítására:

178

v=

1

2 p t − pe ρ

6

(15.44)

Tovább csökkentve a peHOOHQQ\RPiVWDJi]VUVpJHRO\DQPpUWpNEHQYiOWR]LNDNL|POpV során, hogy a ρ = áll. feltevés már nagy hibát okoz. Ekkor a (15.20) összefüggéssel számolható a kiömlési sebesség.$]|VV]HIJJpVEOOiWKDWó, hogy a pe ellennyomás csökkentésével növelhetjük a kiáramlási sebességet. Amikor a p e / p t csökkenve eléri a 0.53 értéket ( κ = 1.4 HVHWpQ D]HO]PHJJRQGROiVDLQNpUWHOPpEHQDkiáramlási sebesség eléri a helyi hangsebességet: Y = D = κ 5 7

(15.45)

,

DKRO D OHJV]NHEE NHUHV]WPHWV]HWEHQ OpY KPpUVpNOHW D |VV]HIJJpV pUWHOPpEHQ 7 = 7W . Tovább csökkentve a p e ellennyomást azt tapasztaljuk, hogy a kiömlési sebesség nem növekszik tovább, a kilépési keresztmetszetben a gázsebesség és a gáz álODSRWMHOOHP]LYiOWR]DWODQRN$OHJPHJOHSEEMHOHQVpJD]KRJ\D S DOHJV]NHEENiOpS NHUHV]WPHWV]HWEHQOpYQ\RPiVQHPHJ\H]LNPHJD p e ellennyomással, nagyobb annál, a (15.42) összefüggés értelmében S

S W . Mi lehet ennek a jelenségnek az

oka? A tartályból kiáramló közeg a pt és a pe nyomások különbsége hatására gyorsul. Ha FV|NNHQWMN D] HOOHQQ\RPiVW D WDUWiO\RQ NtYOUO HJ\ KXOOiP LQGXO D NL|POQ\tOiVRQ Neresztül a tartályba, megváltoztatva a nyomásmegoszlást a kiömlés környezetében. A megváltozott nyomásmegoszlás hatására a közeg nagyobb méUWpNEHQJ\RUVXOD]D]DNLOpSVeEHVVpJ Q +D HOpUMN D KHO\L KDQJVHEHVVpJJHO PHJHJ\H] VHEHVVpJHW D OHJV]NHEE Neresztmetszetben, az ellennyomás további csökkenésével kapcsolatos „információ”, amely egy nyomáshullám alakjában éppen hangsebességgel terjed, nem képes átjutni a legszkebb keresztmetszeten. Az ellennyomás változása tehát nem tudja módosítani a nyomásPHJRV]OiVW D WDUWiO\ pV D NL|POpV OHJV]NHEE NHUHV]WPHWV]HWH N|]|WW A gáz HEEHQD]HVHWEHQQHPWXGDOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWLJÄOHH[SDQGiOQL´DWDUWiO\EDQOpY Q\RPiVUyO D NOV HOOHQ Q\RPiVUD $]W D Se/pt nyomásviszonyt, amelynél a kiömlési seEHVVpJ D OHJV]NHEE NHUHV]WPHWV]HWEHQ HOpUL D KHO\L KDQJVHEHVVpJHW kritikus nyomásviszonynak nevezzük. Ennek értéke κ = 1.4 esetén a (15.42) értelmében (p e / p t ) kr = 0.53. Öss]HIRJODOyDQ

PHJiOODStWKDWMXN

KRJ\

HJ\V]HU

NL|POQ\tOiV

HVHWpQ

KD

p e / p t ≥ (p e / p t ) krit D Ji] Q\RPiVD D NLOpS NHUHV]WPHWV]HWEHQ PHJHJ\H]LN D] HOOHnnyomással: S = S H , a kiömlési sebességet a (15.20) összefüggéssel számolhatjuk. Ha a nyomásviszony éppen megegyezik a kritikus nyomásviszonnyal, akkor a gáz sebessége a legszkebb keresztmetszetben eléri a helyi hangsebességet, ezért a (15.45) összefüggés is használható a Y meghatározására (ami természetesen ugyanazt az eredményt adja, mint a

179

(15.20) összefüggés). S H S W ≥ S H S W NULW HVHWpQDNLOpSNHUHV]WPHWV]HWEHQOpYVU VpJpVKPpUVpNOHWD pV |VV]HIJJpVHNILJ\HOHPEHYpWHOpYHOV]iPROKDWy

SH 7 = 7W SW

κ − κ

SH ρ = ρW SW

κ

(15.46)

.

Ha S H S W ≤ S H S W NULW , DNL|POpVLOHJV]NHEE NHUHV]WPHWV]HWEHQD]iUDPOiVLVHEHsség megegyezik a helyi hangsebességgel, ami a (15.45) összefüggéssel számolható. (Természetesen továbbra is érvényes a (15.20) kiömlési képlet, de a pe KHO\pEH D NL|PO NeUHV]WPHWV]HWEHQ YDOyViJEDQ OpY Q\RPiVW κ = 1.4 esetén 0.53 p t -t kell helyettesíteni.) A Ji]iOODSRWMHOOHP]LD pV |VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWyN $ PV]DNL DONDOPD]iVRN V]HPSRQWMiEyO NHGYH]WOHQKRJ\DJi]WQHPWXGMXND]HOOHQnyomásnak PHJIHOHOpVD |VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWy sebességre felgyorsítani. Ezért a 15.4. ábrával kapcsolatos meggondolások alapján a 15.5. ábrán látható V]NOFVWROGDWRWHJ\EYOFVYHOHJészítjük ki, amivel a 15.6. ábrán látható Lavalcsövet kapjuk. Az ábrán a Laval-FVDWDUWiO\WHJ\ másik tartállyal köti össze, amelyben az ellennyomás a kiáramló gáz mennyiségének változtatásával

15.6. ábra

változtatható. A Laval-FV DODWWL GLDJUDPEDQ IHl-

WQWHWWNDQ\RPiVYiOWR]iViWDFVWHQJHO\pEHQ Írjuk fel az adott $ és A ki OHJV]NHEE pV NLOpS NHUHV]WPHWV]HWUH D kontinuitás törvényét! T P = ρ Y $ = ρ NL Y NL $ NL

(15.47)

$OHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWUHYRQDWNR]yPHQQ\LVpJHNHWD pV15.47) öszV]HIJJpV IHOKDV]QiOiViYDO IHMH]KHWMN NL $ NLOpS NHUHV]WPHWV]HWUH YRQDWNR]y PHQQ\Lségeket pedig annak a feltételezésével, hogy a közeg a pe ellennyomásra leexpandál a tartály és az A ki keresztmetszet között. Ebben az esetben a (15.15) és a (15.20) összefüggések használhatók:

ρ W κ 5 7W $ = $ NL

S ρ S W

H W

κ

"# # #$ !

S κ 5 7W − H κ − SW

180

κ − κ

(15.48)

A (15.48) összefüggés adott keresztmetszetviszonyhoz két megoldást ad a S H S W nyomásviszonyra, azaz adott pt tartálynyomáshoz két pe ellennyomás tartozik, amelyeknél D WDUWiO\ pV D NL|PONHUHV]WPHWV]HW N|]|WW L]HQWURSikus állapotváltozáson keresztül ~J\J\RUVXOIHODN|]HJKRJ\VHEHVVpJHDOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWEHQHOpULDKDQgsebességet. A 15.6. ábrán e két ellen nyomást a B és D pontok jelzik. Vizsgáljuk meg a B pontba futó görbe esetén az áramlás lefolyását. A gáz a Laval-FV V]NO UpV]pQ J\RUVXO (α eset, ld. 181. oldal ), majd a OHJV]NHEE NHUHV]WPHWV]HWEHQ sebessége eléri a hangsebességet ( Ma = 1 , ld. γ eset). $OHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWXWiQ a közeg nyomása csökken, VHEHVVpJH Q, Ma > 1 , azaz a β eset értelmében gyorsuló áramlásKR]EYOFVWDUWR]LN 7HNLQWVND'SRQWEDIXWyJ|UEpW$OHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWLJDN|]HJD]HO]HVHWWHO PHJHJ\H]PyGRQJ\RUVXOVHEHVVpJHHOpULDKDQJVHEHVVpJHWmajdDJi]DQ|YHNYQ\omás miatt lassulni kezd ( Ma < 1 DOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWXWiQ (EEHQD]HVHWEHQD] α pont értelmében EYO FVWROGDWEDQ FV|NNHQ D VHEHVVpJ D GLII~]RU D PHJV]RNRWW PyGRQPN|GLN Ha az ellennyomás nagyobb, mint p D , akkor a közeg izentropikus állapotváltozáson keresztül expandál le az adott nyomásra (ld. 15.6. ábra D és E pontok közé kifutó görbék). Itt a (15.20) kiömlési képlet használható.A 181.oldal δHVHWpQHNPHJIHOHOHQDVHEHVVpJKHlyi KDQJVHEHVVpJQpONLVHEEV]pOVpUWpNpWPD[LPXPiW DOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWEHQpULHO A B és D pontokkal jelzett nyomások közötti ellennyomások esetén nincsen izentropikus megoldás, a gáz egy ún. lökéshullámon (hirtelen nyomásugráson 15.6. ábra ML) keresztül lassul leDY!DVHEHVVpJUODYDVHEHVVpJUHPLN|]EHQQ\RPiVDD15.6. ábrán látható PyGRQXJUiVV]HUHQPHJQ $&pV'SRQWRNN|]|WWDO|NpVKXOOiPPHUOHJHVD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHpVD/DYDO-fúvóka EYOUpV]pEHQYDQ$PHUOHJHV lökéshullám mögött Ma < 1 , ezért az α eset értelmében Q|YHNYNHUHV]WPHWV]HWKH]FV|NNHQVHEHVVpJWDUWR]LN&V|NNHQHOOHQQ\RPiVHVHWpQDOökéshullám megközelíti, majd (S H = S & HVHWpQ HOpUL D NLOpS NHUHV]WPHWV]HWHW $ % pV & pontok közötti ellennyomáVRNHVHWpQSHGLJDNLOpSNHUHV]WPHWV]HWNHUOHWpKH]FVDWODNR]y DNpVEELHNEHQEHPXWDWRWW ferde lökéshullámon (ld. 15.6. ábra FL) keresztül lassul le a gáz. Ha S H < S % D]$pV%SRQWRNN|]|WW DN|]HJDNLOpSNHUHV]WPHWV]HWHOKDJ\iVDXWiQDNéVEEWiUJ\DOWIerde szíváshullámokon (ld.15.6. ábra FSZ) keresztül gyorsul tovább. Fontos megjegyezni, hogy a S H < S ' esetén a Laval-FVV]NOUpV]pQDviszonyok nem YiOWR]QDN D] HOOHQQ\RPiV YiOWR]iViQDN KDWiViUD ËJ\ SO D WDUWiO\EyO NL|PO 181

Ji]W|PHJiUDPNO|QE|]Se értékek HVHWpQYiOWR]DWODQD]WDOHJV]NHEENHUHV]WPHtV]HWEHQNLDODNXOyDKHO\LKDQJVHEHVVpJJHOPHJHJ\H]VHEHVVpJiUDPOiVMHOOHP]LKaWiUR]]iNPHJDPHO\HNFVDNDWDUWiO\EDQOpYKPpUVpNOHWpVQ\RPiVLOOVUVpJ prWpNpWOIJJHQHN

15.7. A nyomáshullám terjedése +HO\H]]QNHJ\KDQJV]yUyWHJ\YVHEHVVpJiUDPOiVEDD]$SRQWED v = 0 esetén egy vizsJiOWKDQJKXOOiPDGRWWWLGDODWWPLQGHQLUiQ\EDQHJ\HQOVHEHVVpJJHOWHUMHGYH r = a t sugarú gömböt alkot. Ha v ≠ 0, a gömb középpontja az A ponthoz képest az áramlás irányába

Y ⋅ W távolságra mozdul el (ld. 15.7.a. ábra), hiszen az áramló közegben továbbra is

15.7. ábra PLQGHQLUiQ\EDQHJ\HQOVHEHVVpJJHOWHUMHGDQ\RPiVKXOOiPYDD]D] Ma < 1 esetén a hullámfront helyzetét a 15.7.a. ábra, Ma = 1 esetén a b., Ma > 1 esetén pedig a c. ábra mutatja be. Ez utóbbi esetben, KDQJVHEHVVpJHW PHJKDODGy VHEHVVpJ iUDPOiVEDQ D] $ hangforrásból kibocsájtott jelek a tér egy αIpON~SV]|JJHOMHOOHPH]KHWUpV]pEHQpVzOHOKHWN$]α, amelyet Mach-szögnek nevezünk, a sinα =

at a 1 = = v t v Ma

(15.49)

összefüggéssel határozható meg. Hasonló a helyzet álló közegben mozgó hangforrás (pl. UHSOJpS HVHWpQD]RQEDQLWWDPR]Jy$SRQWKR]U|J]tWHWWNRRUGLQiWD-rendszerben alakulnak a 15.7. ábrán bemutatotthoz hasonlóan a hullámfrontok (ld. 4.11. ábra). Ha a Laval-FVEYOUpV]pQHNIDOiQHJ\NLVNLHPHONHGpV van, akkor ennek jelenlétét a hangsebességnél nagyobb sebességgel áramló közeg egy nyomáshullám formájában „észleli”, amely α1 szöget zár be a fallal (ld. 15.8. ábra). (]DV]|JD]iUDPOiVLUiQ\iEDQFV|NNHQPLXWiQD0DQ 15.8. ábra

(ld. (15.49) összefüggést). Hangsebességnél kisebb seEHVVpJiUDPOiVEDQD]iUDPOyN|]HJEHQD]DYDUiVKa-

WiVDÄHOUHKDW´H]pUWDN|]HJPLQWHJ\ÄIHONpV]O´HJ\IDORQOpYNLHPHONHGpVPHJNerülésére vagy egy test körüláramlására stb.. Ma > 1 esetén a közeg áramlását befolyá-

182

soló „nyomásjelek” Mach-szög alatt terjednek és változásokat eredményeznek a sebesség nagyságában és irányában, valaPLQWDJi]iOODSRWMHOOHP]LEHQ Tekintsük a 15.9.a. ábrát, ahol a egy szilárd fal hirtelen irányváltozása (pl. a 15.6. ábra

15.9. ábra NL|PONHUHV]WPHWV]HW N|UOL UpV]H OiWKDWy /HJ\HQ D IDO PHOOHWWL iUDPOiV VHEHVVpJH Qagyobb, mint a hangsebesség, Ma > 1 , a nyomás itt legyen p1 . Az a/ esetben a sarok mögött a nyomás legyen kisebb: S S (]D]HVHWDNNRUiOOHO Laval-FV HVHWpQ KD D S $ ≤ S H < S % , ld.15.6. ábra $ VDURNKR] N|]HOtW IRO\DGpNUpV]HN FVDNDNNRUÄYHV]QHNWXGRPiVW´DVDURNMHOHQOpWpUOKDD]iEUiQEHUDM]ROWDIDOODOSiUKX]amos áramvonalakkal α1 Mach-szöget bezáró ferde szíváshullámot elérik. A szíváshullámon áthaladva D KXOOiPUD PHUOHJHV Q\RPiVFV|NNHQpV D KDWiViUD D N|]HJ UpV]HN D hulOiPVtNMiUDPHUOHJHVLUiQ\EDQJ\RUVXOQDN0LYHOQD0DFV|NNHQD0DFK-szög, és így az α értéke (α < α ). További szíváshullámok indulnak a sarokról, amelyek hatására az áramló közeg iránya tovább változik. (A valóságban elemi szíváshullámok indulnak a sarokról, és hatásukra folyamatosan változik a sebesség iránya és nagysága. Az ábrán látható véJHVLUiQ\YiOWR]iVWRNR]yKXOOiPRNHOHPLKXOOiPRN|VV]HJ]pVHNpQWNpS]HOKHWNHO A b/ esetben legyen p 2 > p1 , azaz a sarok mögött nagyobb a nyomás, mint az áramló közeg nyomása, ami a 15.6. ábrán a S % < S < S & HVHWQHNIHOHOPHJ$VDURNIHOpN|]HOtWN|]Hgrészek egy α1 Mach-V]|JDODWWWHUMHGD15.9. ábrán A-val jelölt nyomásnövekedési hulOiPRQ iUDPODQDN NHUHV]WO DPHO\ VDMiW PDJiUD PHUOHJHVHQ ODVVtWMD D N|]HJHW D] áramlás iránya felfelé térül el, a Ma értéke a hullám után kisebb, az αQ/HKHW-e a sarokról induló további olyan hullámot rajzolni, amely áramvonallal bezárt szöge nagyobb, PLQWDKXOOiPHOWWL0DFK-szög, azaz α > α ? Az ábrán láthatóan ilyen hullámot csak az $MHOKXOOiPWyOEDOUDWXGXQNUDM]ROQL%MHOKXOOiPDPi természetesen a valóságban nem jöhet létUH $ Q\RPiVQ|YHNHGpVL KXOOiPRN PLQWHJ\ Ä|VV]HVUV|GQHN´ HJ\ igen vékony lökéshullámot alkotnak (ld. 15.9.b. ábra&MHOKXOOiP DPHO\HQNHUHV]WODMHOOHP]N VHEHVVpJLUiQ\QDJ\ViJQ\RPiVVWE XJUiVV]HUYiltozása következik be. Ez az „öszV]HVUV|GpV´D]DOiEELPyGRQLVEHOiWKDWy$15.9. ábrán látható, abszolút rendszerben álló hullámok az áramló közeghez képest hangsebességgel mozognak az áramlással szemben. $KDQJVHEHVVpJV]tYiVKXOOiPHVHWpQDQ|YHNYVHEHVVpJiUDPOiVLUiQ\iEDQFV|NNHQPiYHODQ\RPiVpVDKPpUVpNOHWLVFV|NNHQ(]pUWDV]tYiVKXOOiPRNOHJ\H]V]HUHQV]pWWe183

rülnek. NyomásQ|YHNHGpVLKXOOiPHVHWpQD]RQEDQD]iUDPOiVLUiQ\iEDQQDQ\RPiVH]]HO DKPpUVpklet és így a hangsebesség is, és csökNHQD]iUDPOiVLVHEHVVpJ(EEODGyGyDQD] iUDPOiVLUiQ\iEDQQDKXOOiPWHUMHGpVLVHEHVVpJHEDOIHOpD]D]DKXOOiPRNPLQWHJ\ÄIHltorlódnak”: lökéshullám keletkezik.

15.10. ábra Az 15.10. ábrán Ma = 1. 5 esetén láthatók egy csatornában a csatorna falának egyenetlenséJHLQNHOHWNH]Q\RPiVKXOOiPRNDPHO\HNIDOODOEH]iUWV]|JHD |VV]HIJJpVEOV]áPROKDWyN /iWKDWy WRYiEEi HJ\ PHUOHJHV O|NpVKXOOiP DPHO\ XWiQ D] iUDPOiV VHEHVVpJH kisebb a hangsebességnél (ld. 15.6. ábra). Hasonló lökéshullám keletkezik egy hangsebességnél nagyobb sebességgel haladó test, pl. J|PEHOWWOG15.10. ábra), hiszen a gömbhöz rögzített koordinátarendszerben a test felé iUDPOyN|]HJQHNOHNHOOIpNH]GQLHDPLDQ\RPiVQ|YHNHGpVpYHOMiUHJ\WW(]DO|NpVKXllám amelyet fejhullámnak nevezünk, a távolabb nyomásnövekedési hullámba megy át, DPLSODODFVRQ\DQV]iOOyUHSOJpSHVHWpQiWKDODGYDDPHJILJ\HOI|O|WWKLUWHOHQQ\RPisnövekedést okoz, amit robbanáshoz hasonló zajként érzékelünk. Az áramlási sebesség a lökéshullám mögött és a g|PEIHOV]tQpQHNiUDPOiVVDOV]HPEHQp]UpV]pQDPHJI~YiVLLUinynyal bezárt kb. 45° szögig kisebb mint a helyi hangsebesség. A gömb felszíne közelében hangsebességet meghaladó sebességre gyorsuló közeg 90° -nál lassulni kezd, aminek hatására egy újabb ferde lökéshullám keletkezik a határréteg leválás helyén.

184

16. Akusztikai alapismeretek $]DNXV]WLNDHJ\LNQDJ\IHMH]HWHDFVHSSIRO\yVpVOpJQHPKDOPD]iOODSRW~N|zegekben keOHWNH] KDODGy pV HOKDOy KDQJKXOOiPRN OHtUiViYDO IRJODONR]LN (] UpV]EHQ D] iUDPOiVWDQ alapegyenleteinek felhasználásával lehetséges, ami mutatja az áramlástan és az akusztika közötti szoros kapcsolatot.

16.1. A hullámegyenlet Ebben a fejezetbeQ D Q\XJYy N|]HJEHQ WHUMHG KDQJ QpKiQ\ VDMiWRVViJiYDO IRJODONR]XQN +DQJQDN D YLYN|]HJ VDMiWRVViJDLQDN HOHPL LQJDGR]iViW QHYH]]N DPHO\ KXOOiP alakjában terjed. A hang esetén a tér pontjaiban a részecske sebesség v m / s , a nyomás p Pa pVDVUVpJρ kg / m 3 változik azLGIJJYpQ\pEHQ$KDOOiVNV]|EQHNPHJIHOHO HIIHNWtY Q\RPiV GHILQtFLyMiW OG NpVEE 2 . 10 −5 Pa , 20 Pa pedig már fájdalmat okoz, tehát a nyomásingadozások a 10 5 Pa atmoszférikus nyomáshoz képest jó közelítéssel elemiQHNWHNLQWKHWN $]HO]IHMH]HWEHQOiWWXNKRJ\D hang terjedési sebességére írható: dp dρ ,

a=

(16.1)

amely gázok esetén izentropikus állapotváltozást feltételezve az (16.2)

a = κRT

kifejezéssel határozható meg. Szilárd testekben a nyomás (negatív húzófeszültség) változása és a dl l relatív megnyúlás között az E [Pa] rugalmassági modulusz teremt kapcsolaWRW)LJ\HOHPEHYpYHDPHJQ\~OiVpVDVUVpJYiOWR]iVDN|]|WWLNDSFVRODWRWHJ\GLPHQ]LyV eset feltételezésével írható: dp = − E

dρ dl =E ρ , l

(16.3)

DPLEODKDQJWHUMHGpVLVHEHVVpJHDV]LOiUGWHVWEHQ a=

dp = dρ

E ρ .

(16.4)

Tekintsük a 16.1. ábrát, ahol egy a hangsebességgel jobbfelé haladó elemi hullámot ábrázoltunk, amely a seEHVVpJHW D Q\RPiVW pV D VUVpJHW ∆v, ∆p és ∆r értékkel változtatja PHJËUMXNIHOD]LPSXO]XVWpWHOWD]iEUiQOiWKDWyHOOHQr]IHOületre, amely a hullám sebességével halad jobbfelé. (Ebben az esetben stacionárius az áramlás.) Az x tengely pozitív irányítását figyelembe véve írható: 16.1. ábra

1

61

ρ a 2 A − ρ + ∆ρ a − ∆v

1

61

6

− I 1 + I 2 = + P1 − P2 azaz 2

1

6

A = p + ∆p A − p A .

6

A kontinuitásból a ρ a A = ρ + ∆ρ a − ∆v A adódik, amelyet behelyettesítve kapjuk:

(16.5) ∆p = ρ a ∆v

.

A (16.5) összefüggés a ∆p nyomásnövekedés (amit könnyen tudunk mérni) és a ∆v részecskesebesség között teremt kapcsolatot. $N|YHWNH]NEHQYL]VJiOMXNQ\XJYyOHYHJEHQHJ\síkhullám terjedését, amelynél a jelOHP]NFVDND][NRRUGLQiWiWyOpVD]LGWOIJJHQHN

1 6

nyomás: p = p x , t ,

1 6 a részecskesebesség: v = v 1 x , t 6 i . DN|]HJVUVpJHρ = ρ x , t , x

Az egyes mennyiségeket felbonthatjuk, a „0” indexszel jel]HWWLGEHOLiWODJpVD]LQJDGR]iV (’-vel jelölve) összegeként. Így pl. a ρ = ρ 0 + ρ ' ill. mivel v 0 = 0 , v x = v 'x a részecskesebesség, amit a továbbiakban v -vel jelölünk. Írjuk fel a kontinuitás törvényét és az Euler-egyenletetILJ\HOHPEHYpYHKRJ\DWpUHUVVpJQHNQLQFVHQV]Hrepe az akusztikai jelenségeknél):

1 6

∂ρ + div ρ v = 0, azaz ∂t

1

6

∂ρ ∂ρ ∂v +v + ρ0 + ρ' =0 , valamint ∂x ∂t ∂x

(16.6)

dv 1 = − grad p , azaz ρ dt

1ρ

0

+ ρ'

6 ∂∂vt + 1 ρ

0

6

+ ρ' v

186

∂p ∂v =− ∂x ∂x .

(16.7)

A (16.6) és (16.7) összefüggések bal oldalának második tagjai a többi taghoz képest elhanyagolhatóan kicsik a v részecskesebesség kis értéke miatt. A ρ’-vel szorzott tagok ugyancsak elhanyagolhatóak a ρ0-YDOV]RU]RWWDNPHOOHWW$ |VV]HIJJpVEOtJ\NDSRWWNLIejezésben a

∂ρ ∂ρ ∂p 1 ∂p = = iWDODNtWiVWHOYpJH]YHPDMGDNLIHMH]pVPLQGNpWROGDOiWLG ∂t ∂p ∂t a 2 ∂t

szerint differenciálva kapjuk: 1 ∂2 p a 2 ∂t 2

∂2 v = 0. ∂t ∂x

+ ρ0

(Az a KDQJVHEHVVpJ LG V]HULQWL GLIIHUHQFLiOKiQ\DGRViW HOKDQ\DJROWXN 'LIIHUHQFLiOMXk a IHQWLPHJJRQGROiVRNDODSMiQHJ\V]HUVtWHWW |VV]HIJJpVPLQGNpWROGDOiW[V]HULQW ρ0

∂2 v ∂2 p + = 0. ∂x ∂t ∂x 2

0LQGNpW |VV]HIJJpVEO NLIHMH]YH D] D]RQRV DODN~ WDJRW pV HJ\HQOYp WpYH PHJNDSMXN D] egydimenziós akusztikai hullámegyenletet: 1 ∂2 p a 2 ∂t 2

=

∂2 p

(16.8)

∂x 2

A hullámegyenlet általános megoldása a

1 6 1

6 1

6

p x, t = f x − a t + g x + a t + p0 függvény, ahol p0 D] LGEHQ pV WpUEHQ iOODQGy HJ\HQV~O\L VWDWLNXV Q\RPiV $ NtQiONR]y V]iPRVOHKHWVpJN|]OYiODVV]XNPRVWDWHUPpV]HWEHQJ\DNUDQHOIRUGXOyKDUPRQLNXVKXllámot leíró függvényt: 2π   2π p = pˆcos t± x  + p0 , λ   T

ahol T s k=

perióGXVLG, λ m

"# ! $

hullámhossz. Bevezetve az f =

"# !$

(16.9)

"# !$

1 1 T s

frekvencia,

1 2π 1 körfrekvencia jelöléseket írható: hullámszám, ω = 2 π f λ m s p = pˆcos(ωt ± k x ) + p 0

187

.

(16.10)

Vizsgáljuk meg, hogy milyen tulajdonságai vannak ennek a függvénynek: Tekintsük az ω t − k x esetet. Ábrázolja

t = 0 pillanatban a nyomáshullámot a 16.2. ábra. A maximális nyomás az x = 0 helyen van, miután t = 0 -hoz és 16.2. ábra

x = 0 -hoz a cosinus függvény zérus argumentuma tartozik. Annak érdekében, hogy t = t 1 pillanatban ugyanazt a

nyomást kapjuk, a függvény argumentumának ugyanakkorának kell lennie: ω t 1 − k x 1 = 0 , DPLEO x1 ω ω λ 2 π f λ = = = =a , 2π t1 k 2π

(16.11)

mivel f λ = a m / s hangsebesség $ |VV]HIJJpVEO OiWKDWy KRJ\ a hullám a hang a terjedési sebességével (ld. (15.23) összefüggés) PHJHJ\H] VHEHVVpJJHO KDODG jobbra (ld. 16.2. ábra). Ugyanezzel a sebességgel balra haladó hullámot kapunk, ha az ω t + k x argumentum esetét vizsgáljuk.

16.2. Hangteljesítmény, intenzitás 3HULRGLNXVJHUMHV]WpVHVHWpQDYLYN|]HJSHULRGLNXVPR]JiViEDQpVHJ\PiVWN|YHWNRPpressziók és expanziók formájában jelentkezik a hang, amely terjedése során energiát szállít. Ha p Pa nyomás ellenében V m 3 térfogatnyit „kiszorítunk” p V J munkát végzünk. (]pUWV]DEDGWpUEHQWHUMHGVtNKXOOiPHVHWpQDhangteljesítményre írható:

16

1 6 1 6.

P t =Av t p t

(16.12)

A (16.5) összefüggést figyelembe véve írható: p = ρ v a DPLEO v=

p ρa

(16.13)

(16.13) kifejezést (16.12)-be helyettesítve kapjuk:

16

P t =A

p2 DPLEOD]átlagos teljesítmény: ρa

188

P=A

p2 . ρa

(16.14)

A (16.10) kifejezéssel leírt harmonikus hullám négyzetét 0-tól T-ig integrálva és T-vel elRV]WYD NpSH]KHWMN D Q\RPiV QpJ\]HWpQHN LGEHOL iWODJiW p 2 = nyomás tehát p eff =

pˆ

pˆ 2 . Az effektív hang2

. Ezzel az effektív hangteljesítmény:

2 p 2eff A ρa

P=

(16.15)

A mérések során a p 2eff -et határozzuk meg. Az 1 m 2 keresztmetszetre jutó hangteljesítményt intenzitásnak nevezzük:

I=

p 2eff ρa

(16.16)

16.3. Szintek A hangteljesítmény igen széles skálán mozog: a csendes beszédé 10 −9 W, egy nagy teljesítPpQ\UDNpWipSHGLJ10 7 W is lehet. Milyen skálát használjunk, hogy ezt az igen széles tartományt átfoghassuk? Használjuk ki az emberi érzékelés azon sajátosságát, hogy az érzékelt változás mértéke (∆é) az inger változás (∆i) és az inger (i) hányadosával ará-

1 6

nyos: ∆é ~ ∆i / i 0 DPLEO D] pU]pNHOpV pV D] LQJHU NDSFVRODWiUD DGyGLN é ~ ln i / i 0 . Az átfogott skála szélessége és az érzékelésünk sajátosságai indokolják, hogy az akusztikában alkalmazott fizikai mennyiségek jellemzésére az alábbi szinteket alkalmazunk:

Hangteljesítményszint:

L W = 10 lg

Intenzitásszint:

L I = 10 lg

Hangnyomásszint:

L = 10 lg

P dB , P0

I dB , I0

p p

(16.17)

(16.18)

2

dB ,

(16.19)

0

ahol a dB (decibel) a szintek mértékegysége. (Itt jegyezzük meg, hogy a fentieken kívül PiVWHOMHVtWPpQ\WNLIHMH]PHQQ\LVpJHNQpOLVKDV]Qáljuk a dB mértékegységet.)

189

A p0 vonatkozási nyomásnak a hallásküszöböt választották: p 0 = 2 ⋅ 10 −5 Pa .

1ρ a 6

0

= 400

kg s m2

függés alapján

és A 0 = 1 m 2 vonatkozási értéket választva a (16.15) és (16.16) összeI0 =

p 20 ρa

1 6

= 10 −12 0

W m

P0 = 10 −12 W .

ill.

2

+RJ\DQV]iPtWMXNNLNpWHJ\HQOL W KDQJWHOMHVtWPpQ\KDQJIRUUiVL Weredõ eUHGKDQJWHljesítményét? L Weredõ = 10 lg

2P P = 10 lg + 10 lg 2 = L W + 3 dB . P0 P0

+D NpW NO|QE|] L W1 = 10 lg P1 / P0 és L W2 = 10 lg P2 / P0 KDQJWHOMHVtWPpQ\ KDQJIRUUiVHVHWpQNHUHVVND]HUHG L We hangteljesítményt, akkor az alábbi módon járunk el:

L We

!

P + P2 = 10 lg 1 = 10 lg 10 P0

L w1 10

Lw2 + 10 10

"# = 10 lg 10 1 + 10 #$ ! L w1 10

L w 2 − L w1 10

"# # $

$NLMHO|OWPYHOHWHWHOYpJH]YHHUHGPpQ\ONDSMXN

L We = L W1 + ∆L W

, ahol

∆L W

= 10 lg 1 + 10

1 L w1 − L w 2 10

.

(16.20)

A 16.3. ábrán látható nomogram megkönnyíti a ∆L W számítását: megmutatja, hogy a hangteljesítmény-szintek közötti különbség ( L W1 − L W2 ) függvényében mennyivel kell a nagyobbik ( L W1) hangteljesítmény-szintet megnöYHOQL KRJ\ D] HUHGW PHJNDSMXN Látható, hogy L W1 − L W2 ≥ 10 dB különbség esetén már el lehet hanyagolni a kisebb teljeVtWPpQ\KDQJIRUUiVSODKiWWpU]DM KR]]iMiUXOiViWD]HUHGKDQgteljesítményszinthez.

16.4. A zaj spektrális jellemzése $ KDQJWpU DGRWW SRQWMiEDQ D KDQJQ\RPiV LGEHOL OHIXWiViQDN LVPHUHWpEHQ HOiOOtWKDWy D] igen informatív hangszínkép (hangspektrum), amely megmutatja, hogy milyen frekvenFLiM~ pV DPSOLW~GyM~ KDUPRQLNXV |VV]HWHYNEO iOOtWKDWy HO D] HUHGHWL Q\RPiV-LG IJgYpQ\ ËJ\ SO D WLV]WD ]HQHL KDQJ VSHNWUXPD GE KDUPRQLNXV |VV]HWHYW WDUWDOPD] OG

190

16.4.a. ábra). A gyakorlatban a hang jellemzésére pl. oktávsávos spektrumot használunk. (Egy oktáv az f a Hz alsó és f f Hz = 2 f a IHOV IUHNYHQFLD N|]|WWL IUHNYHQFLiNDW IRJMD át.) A középfrekvencia: f k = f a f f = 2 f a .

16.4. ábra A 16.4.b. ábra egy mérés eredményét mutatja, ahol az egyes oktávsávokban mért hangteljeVtWPpQ\V]LQWHNHWD]DGRWWN|]pSIUHNYHQFLiNKR]YLWWNIHO$]HPEHULpU]pNHOpVHOWpUHQUeaJiODNO|QE|]IUHNYHQFLiM~KDQJRNUDDPpO\KDQJRNUDSO+] YLV]RQ\ODJpU]pNHtOHQPtJN|]HOtWOHJ+]-nél a legérzékenyebb. Az emberi érzékelés „torzítását” speciiOLVV]UYHOOHKHWILJ\HOHPEHYHQQLD]tJ\DGyGypUWpNHNHWG%$ -val jelöljük.

16.5. Irányítottság Egy nagy térben elhelyezett, 3 KDQJWHOMHVtWPpQ\ SRQWV]HU KDQJIRUUiVW IHOWpWHOH]YH, amely minden irányban egyformán bocsájt ki hanghullámokat, az r sugarú gömb felületén érvényes intenzitásra írható:

Ig =

P 4 π r2

=

p g2 ρa .

(16.21)

+DSRQWV]HUKDQJIRUUiVXQNDWYiOWR]DWODQKDQJWHOMHVtWPpQ\PHOOHWW DKDWiURODWODQV]DEDG WpUEOYDODPLO\HQKDWiUROWWpUEHKHO\H]]NDWpUHJ\DGRWWSRQWMiEDQD]LQtenzitás megváltozását a 'LUiQ\tWiVLWpQ\H]YHOfejezhetjük ki:

D=

p2 ρa

p2 4 π r 2 I = 2 = ρa P . Ig pg

(16.22)

ρa Ha egy minden irányban egyforma intenzitású hanghullámokat kibocsájtó hangforrást nagy térben helyezünk el, D = 1 érték adódik. Ha a hangforrást egy síkra tesszük, ami a hangot visszaveri, D = 2 -t kapunk. Ha két sík metszésvonalába tesszük, akkor D = 4 , ha pedig betesszük a sarokba, akkor csak a tér egy-nyolcadába bocsájtja ki a hangteljesítményt, ekkor

D = 8. 9L]VJiOMXNPHJKRJ\DGRWWWHOMHVtWPpQ\V]LQWKDQJIRUUiVPLO\HQKDQJQ\RPiVV]LQWKDQgteret hoz létre, azaz mekkora lesz adott helyen a hangnyomásszint. Legyen a tér kiválasztott 191

SRQWMiEDQ D] LUiQ\tWiVL WpQ\H] LVPHUW ' pUWpN $ pV |VV]HIJJpVHN IHlhasználásával írható:

I = D Ig = D

P 4 π r2

=

p2 ρa .

(16.23)

A vonatkozási intenzitás az alábbi módon írhDWyIHOD]HO]HNDODSMiQ p 20 ρa

1 6

I0 =

= 0

P0 r02

, ahol r0 = 1 m .

(16.24)

Fejezzük ki az I / I 0 hányadost a (16.23) és (16.24) segítségével:

1 6

I P r02 p 2 ρ a =D = I0 4 π r 2 P0 ρ a p 20

(16.25)

0

(16.25)-EOIHMH]]NNLDKDQJWHOMHVtWPpQ\HNYLV]RQ\iW

1 6

p2 ρ a 0 4 π r 2 1 P = 2 P0 p 0 ρ a r02 D

(16.26)

Vegyük a (16.26) összefüggés mindkét oldalának tízszeres logaritmusát:

L W = 10 lg

p P = 10 lg P0 p0

2

+ 10 lg

1ρ a 6 ρa

0

+ 10 lg 4 π + 10 lg

r r

2

− 10 lg D

0

DPLEOILJ\HOHPEHYpYHKRJ\( ρ a ) 0 ≅ ρ a DNLMHO|OWPYHOHWHNXWiQNDSMXN L W = L + 20 lg r − 10 lg D + 11 .

(16.27)

Ha tehát a hangforrástól r m távolságban L dB hangnyomásszintet mérünk és ismerjük a ' LUiQ\tWiVL WpQ\H] pUWpNpW D |VV]HIJJpVVHO V]iPROKDWy D KDQJIRUUiV KDQJWHOMesítményszintje.

192

Ajánlott irodalom 9iORJDWiVDPDJ\DUQ\HOYHQKR]]iIpUKHWV]DNLURGDORPEyO 1.

Dr. Gruber József, Dr. Blahó Miklós:

Folyadékok mechanikája; Tankönyvkiadó Budapest, 1973. 2.

L.D.Landau, E.M.Lifsic:

Elméleti fizika VI. Hidrodinamika; Tankönyvkiadó, Budapest, 1980. 3.

)L]LNDLNp]LN|Q\YPV]DNLDNQDN,N|WHW+LGURPHFKDQLND

IV]HUNHV]W'U$QWDOO-iQRVIHMH]HWV]HU]N'U&]LEHUH7LERU'U6]DEy-iQRV Mszaki könyvkiadó, Budapest, 1980. 4.

Dr. Szentmártony Tibor, Dr. Kurutz Imre:

$PV]DNLDNXV]WLNDDODSMDL--970 kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1981. 5.

Willi Bohl:

0V]DNLiUDPOiVWDQ0V]DNLN|Q\YNLDGy%XGDSHVW 6.

Dr. Szentmártony Tibor:

Folyadékok mechanikája I.; J4 -920 kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984. 7.

Dr. Litvai Elemér:

Alkalmazott áramlástan (A vegyipari gépészek részére); J4 -730 kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986. 8.

Dr. Litvai Elemér, Dr. Bencze Ferenc:

Áramlástan II.; J4 -906 kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1987. 9.

Dr. Bobok Elemér:

ÈUDPOiVWDQEiQ\DPpUQ|N|NQHN0V]DNL.|Q\YNLDGy%XGDSHVW 10.

0V]DNLK- és áramlástan I-1., I-2., II. kötetek, J7 -724, J7 -724-a, J7 -725, az

Aero- és Termotechnika Tanszék Munkaközössége; kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988.

$MiQORWWLGHJHQQ\HOYV]DNLURGDORP 11.

Klaus Oswatitch:

Gasdynamik; Springer -Verlag, 1952.

12.

Ludwig Prandtl:

Führer durch die Strömungslehre; Friedr.Vieweg & Sohn Braunschweig 1965. 13.

E. Truckenbrodt:

Strömungsmechanik; Springer -Verlag, 1968. 14.

Dr. Jürgen Zierep:

Grundzüge der Strömungslehre; G.Braun Kalsruhe. 15.

Dr. Jürgen Zierep:

Ähnlichkeitsgesetze und Modellregel der Strömungslehre; G.Braun Kalsruhe, 1972. 16.

Robert W.Fox, Alan T.McDonald:

Introduction to Fluid Mechanics; John Wiley & Sons, 1978. 17.

Dr.Werner Albring:

Element arvorgänge fluider Wirbelbewegungen; Akademie -Verlag Berlin, 1981. 18.

A.P.Dowling, J.E.Ffowcs Williams:

Sound and Sources of Sound; Ellis Horwood Limited, 1983. 19.

Victor L. Streeter, E.Benjamin Wylei:

Fluid Mechanics; McGraw -Hill Book Company, 1985. 20.

Philip M.Gerhart, Richard J.Gross:

Fundamentals of Fluid Mechanics; Addison -Wesley Publishing Company, 1985. 21.

Rolf H.Sabersky, Allan J.Acosta, Edward G.Hauptmann:

Fluid Flow; Macmillan Publishing Company, 1989. 22.

M.B.Abot, D.R.Basco:

Computational Fluid Dynamics An Introduction for Engineers; Longman Scientific & Technical, 1989. 23.

Werner Albring:

Angewandte Strömungslehre; Akademie -Verlag Berlin, 1990. 24.

W.J.Duncan, A.S.Thom, A.D.Young:

Mechanics of Fluid; Edward Arnold, 1990. 25.

Merle C.Poter, David C.Wigger:

Mechanics of Fluid; Prentice -Hall Internacional, Inc., 1991.

195

26.

John D.Anderson, Jr.:

Fundamentals of Aerodynamics; McGraw -Hill, Inc.1991. 27.

Dr. Jürgen Zierep: Theoretische Gasdynamik; G.Braun Kalsruhe, 1991.

28.

Charles Hirsch:

Numerical Computation of Internal and External Flows; Volume 1, 2, John Wiley & Sons, 1991. 29.

C.A.J.Fletcher:

Computational Techniques for Fluid Dynamics; Volume 1, 2, Springer -Verlag, 1991.

196

A Z Á R A M L Á S T A N A L A P J A I

Recommend Documents