TECHNICKÁ MECHANIKA I. - STATIKA 1. Základní pojmy 1.1. Prostor V technické mechanice znamená prostor soubor všech míst v nichž může být umístěno těleso. V našich úvahách vystačíme s Newtonovou definicí prostoru, kde platí zákon setrvačnosti.
1.2. Síla Účinkem síly se tělesa deformují nebo pohybují. Jednotkou síly je Newton (N). Je to síla, která udílí tělesu s hmotností 1 kg zrychlení 1 ms-2. Síla je vektor, tj. veličina určená velikostí, směrem a působištěm. Při zavedení pojmu dokonale tuhéhé tělesa ztrácí působiště síly svůj smysl. V tomto případě se síla může po nositelce libovolně posouvat. Tuto sílu nazýváme vázaným vektorem na přímku.
1.3. Rozdělení sil Síly s kterými budeme pracovat v mechanice rozdělujeme do čtyř skupin: a) Objemové, hmotnostní síly. Jsou to síly prostorově rozložené, které přísluší hmotnostním nebo objemovým elementům. b) Plošné, povrchové síly. Tyto síly vznikají přim dotyku těles, kapalin a těles, nebo plynů a těles. c) Délkové síly. Délkové síly se zavádějí u těles jejichž délkový rozměr převládá ( lana, řetězy, dráty ). Zavádíme tedy délkové zatížení definované výrazem
q =
dF dl
( N.m-1 ).
d) Osamělé síly. Jsou to síly, které přísluší bodu. Všechny dříve jmenované síly můžeme za určitých předpokladů nahradit osamělými silami. To lze realizovat tehdy, když nahrazujeme pro zjednodušení výpočtu např. objemové síly osamělou silou - tíhou, která působí v těžišti.
1.4. Určení síly Budeme se zabývat počtem parametrů ( algebraických veličin ) které jsou nutné, aby síla byla jednoznačně určena, nebo zadána. Bude-li síla v rovině určena dvěma nebo třemi parametry, bude třeba k jejímu určení dvou nebo tří algebraických rovnic.
a) Síla v rovině.
Obr. 1.
K určení síly v rovině ( obr.1 ) je třeba znát tři parametry: Souřadnici xA , úhel α a velikost síly. Síla v rovině je tedy tříparametrová veličina. Při početním řešení síly v rovině bude zapotřebí tří algebraických rovnic.
b) Síla v prostoru.
Obr.2
Síla v prostoru je pětiparametrová veličina. Podle obr.2 je tedy určena souřadnicemi xA, yA, dvěma úhly α, β a velikostí. Pro stanovení neznámé síly v prostoru potřebujeme pět algebraických rovnic.
1.5 Posouvání síly po nositelce
Obr.3.
Ve statice můžeme každou sílu po její nositelce posouvat, aniž se pro její působení na r těleso něco změní. Do působiště P1 ( obr.3 ) připojíme dvě síly F stejně veliké jako původní síla v působišti P. Jedna síla má stejný smysl , druhá smysl opačný. Protisměrné síly se ruší a r zbývá posunutá síla F v novém působišti P1.
1.6 Silové dvojice
Obr.4. r Dvě stejně velké síly F , které jsou opačných smyslů a leží na rovnoběžných nositelkách, tvoří silovou dvojici. Silová dvojice leží v jedné rovině a nelze ji redukovat na osamělou sílu. Silová dvojice je vektorová veličina a má na těleso otáčivý účinek. Moment silové dvojice je
M = F × r ( N.m ).
1.7 Dokonale tuhé těleso Dokonale tuhé těleso se pod účinkem sil a silových dvojic v žádném případě nedeformuje. Dokonale tuhé těleso si představujeme tak, že je složeno z hmotných bodů,
které jsou spojeny nehmotnými tyčemi. Důležitá jsou místa dotyku těles. Skutečná tělesa se dotýkají v plochách. Protože ve statice budeme pracovat s osamělými silami, bude nutné nahradit skutečný dotyk v plochách ideálním dotykem v bodech ( obr. 5 ).
Obr.5.
1.8 Uložení tělesa, vazby Povrchové síly, které působí v místech uložení, nahrazujeme ideálními vazbami za předpokladu, že se tělesa dotýkají v bodech. Některá tělesa jsou uložena tak, že ze statických podmínek nelze stanovit síly v úložných bodech. Ke statickým podmínkám rovnováhy pak nutno připojit ještě podmínky kinematické nebo deformační. Jsou to úlohy staticky neurčité. 1.8.1 Vazby bodu Vazbou bodu rozumíme obecně nějakou podmínku, která omezuje jeho pohyb. Rozlišujeme: a) Volný bod, který není vázán žádnou podmínkou a jeho polohu v prostoru určují tři nezávislé souřadnice. b) Vázaný bod, jehož pohyb ovlivňuje nějaká podmínka. Tuto podmínku nazýváme obecně vazbou. 1.8.2 Stupeň volnosti Stupeň volnosti bodu je pojem doplňující vazbu bodu. Je vyjádřen počtem nezávislých parametrů ( souřadnic ), které určují polohu bodu. Bod v prostoru má tři stupně volnosti. Jeho poloha je určena třemi nezávislými souřadnicemi ( x, y, z ). Bod na ploše ( příkladně v rovině ) má dva stupně volnosti. Jeho poloha je jednoznačně určena dvěma souřadnicemi. Bod na křivce ( kružnici, přímce ) má jeden stupeň volnosti. Při stanovení jeho polohy stačí jedna souřadnice.
1.9 Podpory Všechny druhy uložení, které se vyskytují ve statice nahrazujeme podporami. Rozeznáváme tři druhy podpor ( obr.6. ) : a) Plošná podpora. b) Křivková podpora. c) Bodová podpora.
Obr.6.
Plošná podpora je charakterisována tím, že udává směr reakce ( nositelku reakce ) - obr.7.
Obr.7.
Pro stanovení reakce stačí určit její velikost. Reakce v plošné podpoře je tedy veličina jednoparametrová. K jejímu určení stačí jedna algebraická rovnice.
Křivková podpora udává rovinu, ve které leží reakce a bod, kterým reakce prochází - obr.8.
Obr.8.
Pro její stanovení je nutné určit směr nositelky v rovině a velikost reakce. Je to veličina dvouparametrová. K jejímu určení je třeba dvou algebraických rovnic.
Bodová podpora určuje bod, kterým nositelka reakce prochází - obr.9.
Obr.9.
Pro stanovení reakce je nutné určit její nositelku a velikost. K určení nositelky v rovině je nutné stanovit dva parametry. Reakce bodové podpory je veličina tříparametrová.
1.10 Princip akce a reakce Princip akce a reakce vyjadřuje vzájemné silové působení mezi tělesy. Působí-li těleso 1 na těleso 2 v místě dotyku silou F12 ( obr. 10. ), působí ve stejném místě ( bod A ) těleso 2 na těleso 1 stejně velikou silou, ale opačného smyslu. Platí:
F12 = - F21. Směr sil F12 a F21 platí pro dokonale tuhá tělesa.
Obr. 10.
Princip akce a reakce platí i pro silové dvojice - obr.11.
Obr. 11.
Zákon akce a reakce platí i pro tělesa, která se nedotýkají - obr.12. Princip platí v každém okamžiku, tedy jsou-li tělesa v klidu nebo se pohybují.
Obr. 12.
2. Řešení úloh statiky Úlohy statiky se řeší početně, graficky nebo i grafickopočetně. Počtářské řešení umožňuje při obecném řešení získat i funkční závislosti. Grafická řešení bývají obvykle jednodušší, rychlejší, zatížená menším počtem chyb. Pro kontrolu řešení obvykle kombinujeme metodu grafickou i početní.
2.1 Metoda uvolňování Uvolněním tělesa, bodu nebo soustavy těles, rozumíme nahrazení účinků okolních těles na uvolněné těleso, bod nebo soustavu těles, silami a silovými dvojicemi. Tvar sil a silových dvojic, které získáme při uvolňování, je závislý na druhu vazeb. Každá silová soustava má obecně jen určitý počet podmínek rovnováhy, které musí souhlasit s počtem neznámých hledaných veličin. Při uvolňování určujeme na základě způsobu uložení tělesa ( druhu a počtu podpor ), je-li úloha staticky určitá nebo neurčitá. Až na malé vyjímky se setkáváme při uvolnění pouze s podporami plošnými, křivkovými a bodovými. Ke stanovení statické určitosti je nutné vědět, kolik která z podpor představuje neznámých algebraických veličin.
3. Rovinné soustavy těles 3.1 Obecné závislosti Rovinnou soustavu sil tvoří síly ležící v jedné rovině. Silové soustavy jsou složeny ze sil a silových dvojic. Nahrazování silových soustav je výběr vhodné konfigurace - tvaru soustavy se stejnými statickými účinky. Náhradní soustava má nutně stejné statické účinky, má jednodušší tvar, nebo lépe vyhovuje dané úloze. Skládání a rozkládání sil - několik sil můžeme nahradit jedinou silou, nebo naopak jedinou sílu můžeme nahradit několika silami. Do rozkládání sil můžeme zahrnout i překládání síly na rovnoběžnou nositelku, tj. nahrazení síly silou a silovou dvojicí. Rovnováha silové soustavy - o rovnováze silové soustavy mluvíme tehdy, jestliže se účinky všech prvků soustavy navzájem ruší. r r Pro rovnováhu jakékoli silové soustavy, která je určena silami a momenty F, M , platí:
r
r
∑F = 0 ,
r
r
∑M = 0 .
Dále se budeme zabývat podmínkami rovnováhy a nahrazováním silových soustav, které rozdělíme do následujících skupin: 1. Síly na společné nositelce. 2. Síly, jejichž nositelky procházejí společným bodem - rovinná centrální soustava sil. 3. Obecná rovinná soustava sil - síly leží v jedné rovině.
3.2 Síly na společné nositelce 3.2.1 Nahrazení Se silami ležícími na společné nositelce můžeme pracovat jako se skalárními veličinami - obr. 13.
Obr. 13. Nahrazujeme tři síly F1, F2, F3, které leží na společné nositelce. Pro výslednou sílu platí:
F = F1 + F2 + F3 .
Obsahuje-li soustava n sil platí: n
F = ∑ Fi . 1
Síly na společné nositelce můžeme nahradit jedinou výslednicí, která má stejný směr jako nahrazované síly. Její velikost je určena algebraickým součtem jednotlivých sil soustavy.
3.2.2 Podmínky rovnováhy Pro rovnováhu sil, které leží na společné nositelce platí, že výslednice F se rovná nule. Tedy
F = 0, ale také n
∑F
i
= 0.
1
Tuto rovnici nazýváme podmínkou rovnováhy pro silové soustavy, které leží na společné nositelce.
3.3 Dvě síly různých směrů 3.3.1 Nahrazení a) Grafické Dvě síly různých směrů ( obr. 14 ), které leží v jedné rovině nahradíme jedinou silou na základě věty: Výslednice dvou různoběžných sil je určena chybějící stranou trojúhelníka sestrojeného z daných sil a leží v průsečíku těchto sil.
Obr. 14. Poloha nositelky je určena průsečíkem nositelek nahrazovaných sil. Tento úkon nazveme vektorovým součtem a zapíšeme jej ve tvaru
r r r F1 + F2 = F.
Při stanovení výslednice nezáleží na pořadí sil ve vektorovém součtu ( zákon komutativní ).
b) Početní Soustavu sil umístíme do pravoúhlého souřadnicového systému - obr. 15.
Obr. 15. Síly A a B nahradíme složkami Ax, Ay, Bx, By pro které platí: A x = A. cos α, A y = A. sin α, B x = B. cos β , B y = B. sin β
Složky ve směru jednotlivých os sečteme: Fx = A x + B x , Fy = A y + B y .
Konečně síly Fx a Fy nahradíme výslednicí, pro jejíž velikost platí:
F = Fx2 + F y2 .
Úhel který svírá výslednice s osou x určíme ze vztahu
χ = arctg
Fy Fx
.
3.3.2 Rovnováha Pro rovnováhu dvou sil, které jsou v rovnováze, musí platit, že jejich výslednice je rovna nule r r F = 0.
Rovnováha dvou sil může nastat jen tehdy, leží-li síly na společné nositelce, jsou stejných velikostí, opačných smyslů. Minimálně tři různoběžné síly ležící v jedné rovině jsou v rovnováze, jedině tehdy, když procházejí jedním bodem.
3.4 Rovinná centrální soustava sil 3.4.1 Nahrazení a) Grafické Centrální rovinnou soustavu, zobrazenou na obr.16., nahradíme výslednicí F1,2,3,4.
Obr.16.
Nejprve posuneme síly do společného průsečíku ( centrum soustavy ). Síly F1 a F2 nahradíme výslednicí F1,2 . Tuto výslednici složíme se silou F3 a získáme výslednici F1,2,3 , která složena se silou F4 dává výslednici F1,2,3,4 , nahrazující původní soustavu sil. Výslednici získáme jednoduše, zakreslujeme-li za sebou jednotlivé síly soustavy v libovolném pořádku. Grafické řešení vyjádříme vektorovou rovnicí
r r r r r F = F1 + F2 + F3 + F4 .
b) Početní Početní řešení naznačíme pro přehlednost pouze pro n-tou sílu Fn . Nejprve zvolíme pravoúhlý souřadnícový systém tak, aby počátek byl totožný s centrem soustavy. Všchny síly soustavy nahradíme složkami, pro které platí dle obr. 17.
