1
A Maxwell - kerékről Maxwell - ingának is nevezik azt a „szerkezetet”, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!
1. ábra – forrása: [ 1 ] Itt azt láthatjuk, hogy egy r sugarú kis hengerre felerősítettek egy R - r sugarú körtárcsát, majd a kis hengerre felcsévélt vékony cérna felső végét rögzítették; így az egész mg súlyú test elindul lefelé. Ez a szerkezet egyik kedvence a fizikai kísérleteket végzőknek, mert több minden szemléltetésére, illetve meghatározására alkalmas. Leginkább az energia megmaradásának bemutatására használják. A feladat többféle megoldásával találkoztunk. A feladat: minden érdemleges erő - és mozgástani mennyiség meghatározása. Először [ 2 ] alapján dolgozunk. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! Itt azt látjuk, hogy a szimmetrikus kialakítású eszközt elhelyezték egy térbeli derékszögű Oxyz koordináta - rendszerben. A kerékre ható erők: a P súlyerő és a fonalakban működő F húzóerők. A számítás során néhány elhanyagolást teszünk. A szerkezet a felső holtpontból való elindulás után egyidejű haladó és forgó mozgást vé gez: a C tömegközéppont haladó, és a C körüli forgó mozgásról van szó. Ennek mozgás egyenletei az alábbiak: (1)
2
2. ábra – forrása: [ 2 ] (2) (3) A ( 1 ) egyenlet közvetlenül integrálható: (4) Minthogy a feladatban (5) így ( 4 ) és ( 5 ) szerint: (6) Eszerint a kerék tömegközéppontja egy függőleges egyenes mentén mozog. Most fordítsuk figyelmünket ( 2 ) és ( 3 ) együttes megoldására! Itt szükség van még egy geometriai feltételi egyenletre, amely kapcsolatot teremt az yC és a φ változók között. Ezt a legördülés feltétele adja – [ 3 ] – : (7) Ez azt fejezi ki, hogy a kerék tömegközéppontja csak annyit süllyedhet, mint amekkora hosszúságú cérna a forgás következtében lefejtődik.
3
Differenciálva ( 7 ) - et: (8) minthogy (9) így ( 8 ) és ( 9 ) szerint: ( 10 ) vagyis a tömegközéppont haladási sebességének nagysága egyenlő a kis henger kerületi sebességének nagyságával. ( 9 ) további differenciálásával: ( 11 ) ahol aC a tömegközéppont skalár gyorsulása, ε pedig a forgás skaláris szöggyorsulása. Most ( 8 ) - ból: ( 12 ) Ezután visszatérünk a ( 2 ) és ( 3 ) mozgásegyenletekhez. Mivel ( 13 ) így ( 2 ), ( 12 ) és ( 13 ) szerint: ( 14 ) majd ( 3 ) - ból: ( 15 ) Most kiküszöböljük F - et, ( 14 ) és ( 15 ) - ből:
( 16 ) most ( 13 ) és ( 16 ) - tal a kerék szöggyorsulása: ( 17 )
Majd ( 11 ), ( 12 ) és ( 17 ) - tel a tömegközéppont gyorsulása:
4
( 18 )
A fonalakban fellépő F erő - nagyság ( 15 ) - ből: ( 19 ) majd ( 17 ) és ( 19 ) - cel: tehát:
( 20 )
A sebesség nagysága ( 12 ) integrálásával adódik, figyelembe véve, hogy ( 21 ) valamint ( 18 ) - cal is: ( 22 ) Az elmozdulás ( 22 ) integrálásával, figyelembe véve, hogy ( 23 ) valamint ( 18 ) - cal is: ( 24 ) A legmagasabb ponttól a legmélyebb pontig T idő alatt megtett út h hosszára ( 24 ) - ből: ( 25 ) innen adott h - val a leérkezési időre: ( 26 ) A legmélyebb pontban a sebesség maximumára ( 22 ) és ( 26 ) - tal:
5
( 27 ) A felírt képletekben szerepel IC, azaz a korong + tengely közös forgástengelyére vett forgási inercianyomatéka. Ennek értéke kis közelítéssel – elhanyagolva az r sugarú henger azon részének inercianyomatékát, amely a keréken kívül esik, feltéve, hogy ugyanolyan anyagból készültek, viszont az m össz - tömegbe annak tömegét is beleértve – : ( 28 ) Most ( 18 ) és ( 28 ) - cal: tehát:
( 29 )
A fonalakban ébredő húzóerő nagysága – a leérkezés előttig – ( 20 ) és ( 28 ) szerint: tehát:
( 30 )
A leérkezési idő ( 26 ) és ( 29 ) szerint: tehát:
( 31 )
A C pont legnagyobb sebessége ( 27 ) és ( 29 ) szerint: tehát:
6
( 32 )
A tömegközéppont mozgásának időfüggvénye a lefelé irányuló mozgás során ( 24 ) és ( 29 ) szerint: ( 33 )
Megjegyezzük, hogy ( 34 ) A maximális szögsebesség ( 10 ) és ( 32 ) szerint: ( 35 )
A képletekből jól kiolvasható, hogy a megfelelő eredmények jelentősen elmaradhatnak a szabadesési eredményektől. A legmélyebb ponton a kerék a 3. ábra szerinti módon átfordul, miközben egy jelentős lökést kap.
3. ábra – forrása: [ 1 ]
7
[ 1 ] szerint a cérnákban fellépő többlet - erő számítása a következő. A kerék C( = S ) tömegközéppontja egy kis Δt idő alatt 180 fokos fordulatot tesz. A cérnára ható erő F* nagysága ekkor közelítéssel: ( 36 ) Az impulzus - változás nagysága: ( 37 ) ennek időtartam a ( 38 ) valamint a ( 39 ) összefüggésekből: ( 40 ) most ( 10 ), ( 36 ), ( 37 ), ( 38 ) és ( 40 ) szerint: tehát:
( 41 ) Most ( 32 ) és ( 41 ) - gyel: tehát:
( 42 ) Ezután a lökésszerű erőhatás után a C pont emelkedik, lassuló mozgással, majd y = y0 - nál megáll, és újra kezdődik az egész elölről. A vékony, nem eléggé erős cérna az alsó forduló nál akár el is szakadhat, a hirtelen terhelés - növekedés miatt. A ( 41 ) képlet alakja is mutatja, hogy itt egy centripetális erőről van szó. Fentiek alapján írhatjuk, hogy egy teljes mozgási ciklus időigénye:
8
( 43 ) A tan - és szakkönyvek megjegyzik, hogy a mozgás során a teljes helyzeti energiának hányad részét teszi ki a haladó, és hányad részét a forgó mozgás energiája – 4. ábra.
4. ábra – forrása: [ 4 ] Ezzel kapcsolatban megemlítjük azt az apróságot, hogy nem tettek különbséget a I inercia nyomaték jelölésében az a gyorsulás, illetve Erot képletében; ugyanis az első a kis henger és a cérna érintkezési pontjára, a második pedig a kerék tengelyére vonatkozik. Értelemszerű, hogy a súrlódási energia - veszteségek oda vezetnek, hogy az egyszer elindí tott „fáradhatatlan Maxwell - kerék” valamikor leáll. Ezzel itt már nem foglalkozunk.
9
Kis különbség látható az 1. ábra, valamint a 2. és 4. között. Itt a cérnák ferde, illetve füg gőleges helyzetére gondolunk. Bizonyára nem mindegy ez, már csak a szükséges cérna hosszak miatt sem. A ferde ( nem függőleges ) cérna - állás előnye lehet, hogy a cérna menetei egymás mellé, nem pedig egymásra tekerednek fel. A ( 2 ) egyenletben az R betű az eredő erőre utal, nem pedig a nagyobbik sugárra. Ajánljuk az Olvasónak, hogy ( 24 ) - et vezesse le az energiatétel – ld. [ 5 ] – alapján is! A Maxwell - kerék működéséről videókat is találhatunk az interneten. Itt többféle kialakí tást láthatunk: fém - fém, fa - fém, stb. Megfigyelhető, hogy elég nehéz úgy indítani a kere ket, hogy ne vigyünk bele a mozgásába valamilyen zavart. Egy ilyet nézhetünk meg itt: http://www.firstpost.com/topic/person/james-clerk-maxwell-7-1886-maxwells-wheel-video8Ch9TDeW1FU-12173-13.html
Források: [ 1 ] – Christian Ucke ~ Hans Joachim Schlichting: Das unermüdliche Maxwell - Rad http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/piuz.201401385/epdf [ 2 ] – M. I. Baty ~ G. Ju. Dzsanelidze ~ A. Sz. Kel’zon: Tyeoretyicseszkaja mehanyika v primerah i zadacsah Tom II. Gyinamika 5. kiadás, Izdatyelsztvo „Nauka”, Moszkva, 1972. [ 3 ] – Nagy Dezső: Dinamika Budapest, Pátria, 1905. [ 4 ] – Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1, Mechanik und Waerme 4. Auflage, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2006. [ 5 ] – Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2015. 05. 24.
