1. Pengantar a. Hubungan Gerak Melingkar dan Gerak Lurus Gerak melingkar adalah gerak benda yang lintasannya berbentuk lingkaran dengan jari jari 𝑟 Kedudukan benda ditentukan berdasarkan sudut 𝜃 dan jari jari 𝑟 lintasannya
Gambar 1 Hubungan antara jarak tempuh linier dan sudut tempuh adalah 𝑠 = 𝜃𝑟 Kecepatan sudut adalah sudut yang ditempuh per satuan waktu Percepatan sudut adalah perubahan kecepatan sudut per satuan waktu Hubungan antara kecepatan sudut dan kecepatan linier ! ! 𝑣 =! 𝑎 =! !" 𝜃𝑟 𝑎 = 𝑣 =
!
𝑣
𝑎
= 𝜔𝑟
𝑣 = 𝜔𝑟
!
= 𝛼𝑟
𝑎 = 𝛼𝑟
Hubungan gerak lurus (translasi) dan gerak melingkar (rotasi) Translasi Jarak Kecepatan Percepatan
𝑠 𝑣 𝑎
Rotasi Sudut Kecepatan Percepatan
𝜃 𝜔 𝛼
Hubungan 𝑠 = 𝜃𝑟 𝑣 = 𝜔𝑟 𝑎 = 𝛼𝑟
2. Momen Gaya dan Momen Inersia a. Momen Gaya dan Momen Inersia Pada pelajaran tentang hukum Newton II diketahui bahwa benda melakukan gerak lurus (translasi) akibat adanya gaya 𝐹 yang bekerja pada benda Pada gerak melingkar (rotasi) hukum Newton II juga berlaku, benda melakukan gerak melingkar akibat adanya momen gaya atau torsi atau momen putar yang dilambangkan dengan 𝜏 Momen gaya adalah hasil perkalian vektor antara gaya dengan jarak dari sumbu putar ke garis kerja gaya. Momen gaya adalah besaran vektor 𝜏 = 𝐹×𝑟 Momen gaya di atas yang mengakibatkan benda melakukan gerak rotasi sehingga benda memiliki percepatan sudut 𝛼 𝑟 adalah panjang garis yang tegak lurus dari sumbu putar ke garis kerja gaya
Gambar 2
Hukum Newton II pada gerak translasi merumuskan 𝐹 = 𝑚𝑎 maka momen gaya besarnya adalah 𝜏 = 𝐹×𝑟 𝜏 = 𝑚×𝑎×𝑟 𝜏 = 𝑚×𝛼×𝑟×𝑟 𝜏 = 𝑚×𝛼×𝑟 ! 𝜏 = 𝑚𝑟 ! 𝛼 Jika pada gerak translasi massa 𝑚 adalah ukuran kelembaman benda maka pada gerak rotasi besaran 𝑚𝑟 ! adalah ukuran kelembaman yang disebut juga momen kelembaman atau momen inersia dan dilambangkan dengan 𝐼 sehingga 𝐼 = 𝑚𝑟 ! dan 𝜏 = 𝐼𝛼
Makin besar kelembaman suatu benda semakin besar pula gaya atau momen gaya yang diperlukan untuk mengubah keadaan gerak translasi atau rotasi suatu benda Momen gaya atau torsi adalah besaran vektor yang mempunyai besaran dan arah Arah vektor momen gaya atau torsi memenuhi kaidah tangan kanan dimana arah genggaman keempat jari adalah arah rotasi dan jempol sebagai arah momen gaya Rotasi yang searah putaran jarum jam adalah − sedangkan rotasi berlawanan arah jarum jam adalah + Untuk beberapa gaya yang bekerja pada suatu bidang yang sama maka momen gaya tegak lurus bidang sehingga resultannya adalah 𝜏!"!#$ = 𝜏! + 𝜏! + ⋯ + 𝜏! Hubungan gerak lurus (translasi) dan gerak melingkar (rotasi) Translasi Kelembaman Percepatan Gaya Rumus
Rotasi Hubungan 𝑚 Kelembaman 𝐼 𝐼 = 𝑚𝑟 ! 𝑎 Percepatan 𝛼 𝑎 = 𝛼𝑟 𝐹 Momen Gaya 𝜏 𝜏 = 𝐹×𝑟 𝐹 = 𝑚𝑎 Rumus 𝜏 = 𝐼𝛼 𝐹×𝑟 = 𝐼𝛼
b. Momen Inersia dan Bentuk Benda Pada persamaan 𝐼 = 𝑚𝑟 ! diasumsikan benda adalah partikel tunggal yang sagat kecil dengan massa 𝑚 dan berjarak 𝑟 dari sumbu putar Suatu benda dapat dianggap sebagai kumpulan beberapa partikel sehingga momen inersianya dapat ditulis sebagai !
!
!!!
!
𝐼 = 𝑚! 𝑟! + 𝑚! 𝑟! + ⋯ + 𝑚! 𝑟! =
!!!
𝑚! 𝑟! !
Benda tegar adalah benda yang memiliki suatu kesatuan yang kontinu dan tidak dapat dipisahkan satu sama lain, sehingga dengan memanfaatkan teknik integral momen inersianya adalah 𝑟 ! 𝑑𝑚
𝐼=
Contoh untuk batang berbentuk silinder dengan kerapatan massa 𝜌 dan panjangnya 𝐿 diputar pada jarak ℎ dari ujung 𝑚 = 𝜌𝑉 ⟹ ∆𝑚 = 𝜌∆𝑉 ⟹ 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 sedangkan volume adalah luas alas kali tinggi 𝑉 = 𝐴𝑥 maka 𝑑𝑉 = 𝐴𝑑𝑥
Gambar 3 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼
= = =
𝑥 ! 𝑑𝑚 𝑥 ! 𝜌𝑑𝑉 𝑥 ! 𝜌𝐴𝑑𝑥
=
!"# 𝑥 ! ! 𝑑𝑥 !!
=
𝐼
=
𝐼
=
𝑥
𝑑𝑥
! !!! ! 𝑥 𝑑𝑥 ! !! !!! ! !! !
!
! !!
𝐼
=
! !! ! !
𝐼
=
𝐼
=
𝐼
=
𝐼
=𝑚
!!!
! !! !!! !
−
!! !
! ! ! ! ! ! !!! ! !!!!! ! !! ! ! ! ! ! ! !!! ! !!!!! ! !
! ! ! !!!!!!! ! !
+
!! !
Jika ℎ = 0 (sumbu putar di ujung)
!
Jika ℎ = ! (sumbu putar di tengah) !
𝐼 𝐼
=𝑚
𝐼
=𝑚
=𝑚
! ! !!!!!!! !
𝐼
! ! ! !!! ! !! ! ! ! ! ! !!!!
𝐼
=𝑚
𝐼
= ! 𝑚𝑙 !
!
!
𝐼
=𝑚 =𝑚
! !
! ! !!! ! !! ! ! !!!
!!! !!! ! ! !
! !!! !!! !!! ! ! ! ! !
! !! !
𝐼
=𝑚
𝐼
= !" 𝑚𝑙 !
!
!
Secara umum dapat dituliskan momen inersia dari suatu benda adalah 𝐼 = 𝑘𝑚𝑟 ! dimana 𝑘 adalah suatu konstanta tergantung bentuk benda dan letak sumbu putar Bentuk Benda Konstanta Konstanta Gambar Silinder Tipis Berongga
𝑘 = 1
𝐼 = 𝑚𝑟 !
Silinder Berongga
1 𝑘 = 2
1 𝐼 = 𝑚 𝑟! ! + 𝑟! ! 2
Silinder Pejal
1 𝑘 = 2
1 𝐼 = 𝑚𝑟 ! 2
Bola Pejal
2 𝑘 = 5
2 𝐼 = 𝑚𝑟 ! 5
Bola Berongga
2 𝑘 = 3
2 𝐼 = 𝑚𝑟 ! 3
